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1. Apresentao Pessoal .......................................................................... 2
2. Raciocnio Lgico para Analista-Tributrio da Receita Federal do Brasil:Objetivo do Curso e Pblico-Alvo ............................................................... 2
3. Programao do Curso ......................................................................... 3
4. Mensagem Final .................................................................................. 4
5. Aula Demonstrativa Nmeros e grandezas proporcionais; razo eproporo; diviso proporcional; regra de trs simples e composta;
porcentagem; ......................................................................................... 65.1 Proporcionalidade direta e inversa..................................................... 6
5.1.1 Regra de Trs para Grandezas Diretamente Proporcionais ........... 75.1.2 Regra de Trs para Grandezas Inversamente Proporcionais ......... 95.1.3 Regra de Trs Composta ........................................................ 11
5.2 Diviso em partes proporcionais ...................................................... 135.2.1 Diviso em partes diretamente proporcionais ............................... 135.2.2 Diviso em partes inversamente proporcionais ............................. 14
5.3 Porcentagem ................................................................................. 16
6. Exerccios comentados ........................................................................ 197. Memorex ........................................................................................... 31
8. Lista das questes abordadas em aula .................................................. 34
9. Gabarito ............................................................................................ 37
Aula Demonstrativa
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1. Apresentao Pessoal
Oi, tudo bem?
Meu nome Karine Waldrich. Nasci Blumenau, Santa Catarina. Sou Auditora-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovada em 39o lugar, no concurso de2009.
Depois comentarei um pouco mais sobre isso, mas, por hora, vamos aosdetalhes do curso.
2. Raciocnio Lgico para Analista-Tributrio da Receita Federal do Brasil:Objetivo do Curso e Pblico-Alvo
O objetivo deste curso ensinar Raciocnio Lgico-Quantitativo para osaspirantes ao cargo de ATRFB.
Meus cursos aqui no Ponto seguem duas premissas principais:
1)Eu no sou terica da matria. Sou uma aprovada em concurso queestudou muito para passar e tem uma boa ideia do que as bancascobram e como cobram. Por isso, no me aprofundo em teoriasdesnecessrias ao entendimento e que no caem em concursos.
2)Acho que mais explicao melhor do que menos, portanto procuroesmiuar o contedo, pois na poca em que eu estudava preferiaprofessores que fizessem isso. Nada ficar subentendido.
O curso se prope a ser desenvolvido com base em teoria e questescomentadas. O objetivo ver tudo desde o comeo. Mesmo que no possuiconhecimento algum na matria possui condio de acompanhar asaulas.
A banca deste concurso a ESAF. Vamos resolver todas as questes daESAF dos anos de 2011, 2010 e 2009 (referentes ao assunto do edital deATRFB, claro). Quando as questes destes 3 ltimos anos no forem
suficientes, utilizarei tambm questes mais antigas. Mas, prioritariamente,utilizaremos apenas questes recentes.
Assim, mais do que aprenderem a matria, vocs aprendero o jeito que aESAF cobra a matria. Faremos uma anlise precisa de como est sendocobrado o Raciocnio Lgico-Quantitativo pela ESAF.
Ao final de cada aula, ser apresentado um esquema dos pontos maisimportantes uma espcie de Memorex para que vocs revisem o assuntode forma rpida.
Para este curso, vamos seguir o edital do concurso de ATRFB 2009.
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No edital deste concurso, Raciocnio Lgico-Quantitativo contava com 10questes. O edital do concurso dizia:
RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVO: 1. Estruturas Lgicas. 2. Lgica deArgumentao. 3. Diagramas Lgicos. 4. Trigonometria. 5.Matrizes e Determinantes6. lgebra elementar. 7. Probabilidade e Estatstica Descritiva. 8. Geometria Bsica. 9.
Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros e Desconto. 10. Compreenso eelaborao da lgica das situaes por meio de: raciocnio matemtico (queenvolvam, entre outros, conjuntos numricos racionais e reais - operaes,
propriedades, problemas envolvendo as quatro operaes nas formas fracionria edecimal; conjuntos numricos complexos; nmeros e grandezas proporcionais; razoe proporo; diviso proporcional; regra de trs simples e composta; porcentagem);raciocnio sequencial; orientao espacial e temporal; formao de conceitos;discriminao de elementos.
Todos esses tpicos sero vistos no nosso curso, claro.
3. Programao do Curso
Estruturei o nosso curso para possuir 7 aulas, mais a aula demonstrativa(esta). Agrupei os contedos nas aulas de acordo com sua semelhana, paraque seja mais fcil de eu explicar e vocs o assimilarem. O cronogramaencontra-se na tabela abaixo:
AULA ASSUNTOAULA 0 Nmeros e grandezas proporcionais; razo e proporo; diviso
proporcional; regra de trs simples e composta; porcentagem;AULA 1 Matrizes, Determinantes.AULA 2 Conjuntos numricos racionais e reais - operaes, propriedades,
problemas envolvendo as quatro operaes nas formasfracionria e decimal; conjuntos numricos complexos; 6. lgebraelementar.
AULA 3 4. Trigonometria. 9. Geometria Bsica.AULA 4 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto.
Probabilidade.AULA 5 Estatstica Descritiva
AULA 6 1. Estruturas Lgicas. 2. Lgica de Argumentao. 3. DiagramasLgicos.
AULA 7 11. Compreenso e elaborao da lgica das situaes por meiode: raciocnio matemtico (que envolvam, entre outros, raciocniosequencial; orientao espacial e temporal; formao deconceitos; discriminao de elementos.
Alm disso, teremos o Frum de dvidas, tradicional nos cursos do Ponto.
Estou sempre disponvel no [email protected]. Antesdo curso (mesmo que voc no se inscreva), durante o curso (para algum
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assunto que queira tratar de forma pessoal comigo, sem utilizar o frum) edepois do curso (para alguma dvida posterior).
4. Mensagem Final
Pessoal, como falei no comeo desta apresentao, sou de Blumenau.
Me formei em Engenharia Qumica pela Universidade Federal de Santa Catarina(2008) e em Administrao de Empresas pela Escola Superior deAdministrao e Gerncia da Universidade do Estado de Santa Catarina (2007).
Quando me formei em Administrao, fui fazer o estgio final de EngenhariaQumica em uma multinacional.
Trabalhei muito, o que nunca me incomodou. Sou o tipo de pessoa formiga,que acha que nada cai do cu.
Mas o clima de instabilidade me incomodava demais. Depois de muito refletir,vi que, acima de qualquer aspirao profissional, minha maior vontade erasimplesmente ser feliz, com qualidade de vida.
Em 2009, quando saiu a autorizao para o concurso da Receita Federal (maisprecisamente, no dia 24 de abril de 2009), comecei a estudar para esteconcurso, para o cargo de Auditor-Fiscal.
Claro que eu tinha um pouco de base das faculdades, mas no sabia nada dosDireitos e comecei do zero. Estudei muito. Em setembro saiu o edital e emdezembro foram as provas.
Fui aprovada em 39o lugar, dentre os 70.000 candidatos. Atualmente, exeroeste cargo na Inspetoria da Receita Federal de So Paulo.
Quase gabaritei a prova de Raciocnio Lgico deste concurso, acertando 19 das20 questes. A nica questo que errei defendo que deveria ter sido anulada(inclusive j debati esse assunto em uma coluna no site do Ponto). Gosto
muito da matria e, por isso, hoje em dia dou aula dela no Ponto.
Falando sobre meu estudo, Blumenau uma cidade de 300.000 habitantes,sem muita opo de estudo para concursos. Estudei basicamente em casa,numa escrivaninha velha do lado da minha cama. Utilizei alguns cursos doPonto, especialmente depois do edital, e foi o que salvou, por seremespecficos para o concurso que eu estava pretendendo (naquele caso, o daReceita).
Independente disso, o que foi determinante para a minha aprovao, sem
dvidas, foi a fora de vontade. Foi estudar muito. Eu queria muito passar,queria muito sair daquela escrivaninha.
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Concurso pblico no pede foto para inscrio. No importa se voc bonitoou feio, preto ou branco, rico ou pobre, gordo ou magro. O que importa sevoc:
1)Quer passar;2)Estudar muito para passar.
Se voc quer passar, e estudar muito para passar, j tem 90% das chances deser aprovado.
Espero que possamos ter um excelente curso, e conto com vocs para isso.
Agora vamos ao contedo desta aula demonstrativa, propriamente dito.
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5. Aula Demonstrativa Nmeros e grandezas proporcionais; razo eproporo; diviso proporcional; regra de trs simples e composta;porcentagem;
5.1 Proporcionalidade direta e inversa
De incio, um esclarecimento: o que Grandeza?
Grandeza todo valor que, ao ser relacionado a outro, varia quando este outrotambm sofre variao.
Por exemplo, depois do concurso vocs iro passear bastante, e espero queviajem para Santa Catarina (minha terra).
O trajeto entre Blumenau e Florianpolis leva, em mdia, 2 horas para serrealizado de carro, a uma velocidade de 90km/h. Mas, se a velocidade doveculo for aumentada, o tempo de viagem diminui.
Perceberam a relao entre velocidade e tempo? Neste caso, temos duasgrandezas relacionadas.
As grandezas podem ser diretamente proporcionais e inversamenteproporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais so aquelas que, quando umaaumenta, a outra tambm aumenta, e quando uma diminui, a outra tambmdiminui.
Por exemplo, o peso de uma pessoa diretamente proporcional quantidade de comida que ingere (quanto mais come, normalmente maioro seu peso).
Ou ento, a quantidade de gasolina colocada no tanque de um automvel diretamente proporcional distncia que o carro pode percorrer (quando
mais gasolina, maior a distncia).
J as grandezas inversamente proporcionais so aquelas que, quandouma aumenta, a outra diminui, e quando uma diminui, a outra aumenta.
Temos o exemplo que falei acima: quanto maior a velocidade, menor otempo para percorrer um trajeto.
Numa fbrica, quanto maior a quantidade de trabalhadores, menor acarga de trabalho para cada um deles.
Existem infinitas relaes de proporcionalidade. Veremos algumas durantenossa aula, principalmente nas questes.
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Para resolver questes com grandezas proporcionais (direta ou inversamente),temos que aprender a Regra de Trs. O princpio o mesmo, s a maneira decalcular muda um pouco, para o caso de Grandezas Diretamente e
Inversamente proporcionais.5.1.1 Regra de Trs para Grandezas Diretamente Proporcionais
Se colocamos 20 litros de combustvel no tanque do carro, ele anda 250kilmetros.
E se colocarmos 30 litros?
Quantidade de combustvel no tanque e distncia percorrida com o combustvelso grandezas diretamente proporcionais, como vimos.
Portanto, temos:
Assim, se eu colocar 30 litros, ando quanto? Vamos montar a Regra de Trs,seguindo o esquema abaixo:
Quantidade decombustvel Distnciapercorrida
Grandezas Diretamente Proporcionais
Quantidade deCombustvel
DistnciaPercorrida
Est paraGrandeza A
InicialGrandeza B
Inicial
MONTAGEM DA REGRA DE TRS
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No nosso caso, temos:
Para resolver a Regra de Trs, o passo multiplicar em cruz. Vejamos
abaixo:
Para o nosso caso, fica:
x
x
Assim como:
Est paraGrandeza A
FinalGrandeza B
Final
Grandeza A
InicialGrandeza B
Inicial
Grandeza A
FinalGrandeza B
Final
RESOLUO DA REGRA DE TRS
Multiplicar emCruz
Assim como:
Est para
Est para20 litros 250
kilmetros
30 litros Xkilmetros
MONTAGEM DA REGRA DE TRS
RESOLUO DA REGRA DE TRS
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Ou seja:
20.x = 30.250
x =30.250
37520
= km
Portanto, colocando 30 litros, ando 375km.
Vamos ver como funciona o clculo para as Grandezas InversamenteProporcionais.
5.1.2 Regra de Trs para Grandezas Inversamente Proporcionais
No incio da aula, falei que, a uma velocidade de 90km/h, se leva 2 horas parapercorrer a distncia entre Blumenau e Florianpolis.
E se fizermos uma velocidade de 100km/h?
Existe uma relao entre velocidade e tempo:
No entanto, a relao entre elas inversamente proporcional: quando umaaumenta, a outra diminui:
Velocidade Tempo
x
x
20 250
30 x
Multiplicar emCruz
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A Regra de Trs correspondente a uma relao de grandezas inversamenteproporcionais chamada Regra de Trs Inversa. Ela calculada da seguintemaneira:
No exemplo, temos que, viajando-se a 90km/h, percorre-se a distncia entreBlumenau e Florianpolis em 2 horas. Para saber em quanto tempo se chega
viajando-se a 100km/h:
Grandezas Inversamente Proporcionais
VelocidadeTempo de
Trajeto
x
x
Grandeza A
Inicial1___
Grandeza B
Inicial
Grandeza AFinal
1___Grandeza B
Final
RESOLUO DA REGRA DE TRS INVERSA
Multiplicar emCruz
90km/h1_2
horas
100km/h 1_x
horas
x
x
Multiplicar emCruz
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Portanto:
1 190. 100.
2
90 50
901,8
50
x
x
x horas
=
=
= =
O trajeto completado em 1,8 horas. Para saber o quanto 0,8 hora representaem minutos, podemos at fazer outra regra de trs, pois 1 hora possui 60minutos. Quanto mais horas, mais minutos:
1 hora--------60minutos
0,8 hora -----x minutos
Multiplicando em cruz:
x = 0,8.60 = 48 minutos.
Portanto, com o aumento da velocidade, o tempo de trajeto entre Floripa eBlumenau diminui 12 minutos (passou de 2 horas para 1 hora e 48 minutos).
Passamos agora para uma variao da Regra de Trs Simples. a Regra de
Trs Composta:
5.1.3 Regra de Trs Composta
A regra de trs composta utilizada no caso de termos 3 grandezasinterligadas.
Por exemplo: em uma mecnica com 10 funcionrios, a folha de pagamento de 15000 reais, e o salrio proporcional tambm quantidade de carros
consertados por mecnico, que de 3 carros por dia.
O dono da mecnica quer aumentar o faturamento da oficina. Quer que aquantidade de carros consertados por mecnico seja de 4 carros. E quercontratar 5 mecnicos.
A folha de pagamento, nesse caso, passa a ser de quanto?
Existe uma relao entre essas trs grandezas: quanto maior o nmero deentregados e maior a quantidade de carros consertados por empregado, maior
a folha de pagamento.Em sumo:
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Para descobrir o valor da Folha, fazemos a Regra de Trs Composta:
Na Regra de Trs Composta, importante atentar para as grandezasinversamente proporcionais. Assim como na Regra de Trs Inversa, este tipode grandeza deve ser dividido por um.
Outro aspecto importante da Regra de Trs Composta que no hmultiplicao em cruz. Ento, essa Regra segue o que chamo de
Esquema do Grude:
Assim como:Assim como:
Est para
Est paraGrandeza A
InicialGrandeza B
Inicial
Grandeza AFinal
Grandeza B
Final
MONTAGEM DA REGRA DE TRS COMPOSTA
Grandeza C
Inicial
Grandeza C
FinalEst para
Est para
Se a grandeza forinversamente
proporcional, noesquea de dividi-
la por 1
Quantidade defuncionrios
Qtde. de carrospor mecnico
Folha depagamento
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Portanto, no exemplo da mecnica, temos:
10 3 15000.15 4
30 1500060
1 150002
30000
X
X
X
X
=
=
=
=
Portanto, a folha dobrou, passou para 30.000 reais. Se a folha dependesseapenas da quantidade de funcionrios (que variou de 10 para 15), no teriadobrado.
5.2 Diviso em partes proporcionais
5.2.1 Diviso em partes diretamente proporcionais
____________________________________________________ x
Grandeza AInicial
Grandeza BInicial
Grandeza AFinal
Grandeza B
Final
Grandeza CInicial
Grandeza C
Final
RESOLUO DA REGRA DE TRS COMPOSTAESQUEMA DO GRUDE
=
____________________________________________________ x
10 mecnicos 3 carros pormecnico
15mecnicos
4 carros pormecnico
Folha: 15000reais
X reais
=
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O assunto diviso em partes proporcionais nada mais do que umacontinuao da Regra de 3 direta e inversa.
O que ele ensina, na verdade, uma tcnica matemtica que ajuda aestabelecer divises proporcionais.
Dividir um nmero N em partes diretamente proporcionais aos nmeros a, b ec o mesmo que determinar os nmeros x, y e z, de maneira que:
- as seqncias (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente proporcionais- x + y + z = N
Neste caso, podemos usar uma tcnica matemtica, que :
Sex y za b c
= =, ento
x y z N x y za b c a b c a b c
+ += = = =
+ + + +
Por exemplo. Temos 12 reais em notas de 1, e queremos dividir de formaproporcional idade de 3 crianas, que possuem 5, 4 e 3 anos. Neste caso,temos:
5 4 3x y z
= =
Assim:
121
5 4 3 12x y z+ +
= =+ +
Portanto:
15
5
x
x
=
=
Da mesma forma, y = 4 e z = 3. As criana de 5 anos receber 5 reais, a de 4anos receber 4 reais, e a de 3 anos receber 3 reais.
5.2.2 Diviso em partes inversamente proporcionais
No exemplo anterior, digamos que, ao invs de notas de 1 real, tenhamos umaquantia de 3000 reais para dividir entre jovens de 12, 15 e 20 anos, para queeles faam um intercmbio. S que queremos dividir de forma inversamenteproporcional: o jovem com menos idade recebendo mais dinheiro para viajar,assim por diante.
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Um nmero N dividido em partes inversamente proporcionais aos nmeros a, be c, significa fazer a diviso de N em partes diretamente proporcionais aosinversos de a, b e c, sendo a.b.c 0. Ou seja:
Se1 1 1x y z
a b c
= = , ento1 1 1 1 1 1x y z x y z
a b c a b c
+ += = =
+ +
No caso dos jovens, temos:
30001 1 1 1 1 112 15 20 12 15 20
x y z= = =
+ +
Na aula de lgebra veremos a fundo como funciona a soma de fraes. Mas, jadianto que precisamos encontrar o Mnimo Mltiplo Comum, ou seja, umnmero que seja divisvel por 12, 15 e 20. J adianto que o 60, mas no sepreocupem, pois veremos isso mais a frente:
3000 3000 3000 60.30005.3000 15000
1 1 1 5 4 3 12 1212 15 20 60 60
= = = = =+ +
+ +
Portanto:
15000112
12 15000
1250
x
x
x
=
=
=
15000115
15 15000
1000
y
y
y
=
=
=
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15000120
20 15000
750
z
z
z
=
=
=
5.3 Porcentagem
O que percentual?
Aula de portugus: Per-centual... Per cem... dividido por 100.Um nmero percentual, portanto, um nmero que no se encontra de formaabsoluta, e sim dividido por 100. Por exemplo:
Todo nmero percentual pode ser expresso em decimais:
A teoria relativamente simples, mas na prtica vrias questes podem sercapciosas...
Isso porque, na hora de resolver uma questo, muitas pessoas se esquecemdo seguinte (vamos chamar de Regra Fundamental do Percentual):
O percentual um nmero relativo. Ele no est sozinho, no pode ser tratadoem uma equao como um nmero sozinho.
Por exemplo: pagava 100 reais por dia para uma Senhora limpar minha casa,
mas agora ela vai cobrar 25% a mais. Quanto passarei a pagar?
15% = 15100
15% = 0,15
Regra fundamental do Percentual
O percentual no est sozinho
100 + 25%?
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A resposta fcil, intuitiva: 100 + 25 por cento igual a 125.
Mas e se acontecesse o contrrio?Pago 125 para uma senhora limpar minha casa. Agora vou pagar 25% amenos. Quanto passarei a pagar?.
Neste caso, estaria certo mudar o 25% de lado na equao, chegando ao100 que chegamos na equao anterior? A resposta NO.
O percentual no est sozinho. Ou seja, quando falamos 125 25%, naverdade estamos querendo dizer:
Quando dizemos 25% de 125, estamos querendo pegar uma parcela do125, um pedao, uma frao, um... percentual. J vimos acima que opercentual equivale a algo dividido por 100. Ento a expresso acima fica:
Perceberam a diferena?
Portanto, a resposta da equao 125 25% no 100, e sim 93,75.
Esse entendimento muito importante, e grande parte das pegadinhas nasquestes de percentual se baseia nisso...
No mais, para verificar a variao percentual em um perodo, utilizamos aseguinte equao:
125 25% = 100
125 (25% de 125)
125 25100
. 125
125 0,25. 125
125 31,25 = 93,75
ERRADO!!!
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Variao percentual =Valor Final - Valor Inicial
100Valor Inicial
x
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6. Exerccios comentados
Questo 1 ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques emeio de leo diesel. Se a distncia entre a cidade A e a cidade B de500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de leo diesel,quantos litros de leo diesel cabem no tanque da picape?a) 60b) 50c) 40d) 70e) 80
Vejam que a questo fornece uma relao: so necessrios 25 litros para ocarro fazer 100 km de percurso.
Quantidade de combustvel e percurso so, portanto, grandezas diretamenteproporcionais.
Se a distncia entre a cidade A e a cidade B de 500 km, para saber aquantidade de combustvel gasta basta fazer uma regra de trs simples:
25 litros -------- 100 kmx litros ---------- 500 km
100x = 25.500100x = 12500x = 125 litros.
A questo diz que esta quantidade corresponde a 2,5 tanques de combustvel.Portanto, com mais uma regra de trs, descobrimos a capacidade do tanque:
2,5 tanque --------- 125 litros
1 tanque ----------- x litros
2,5x = 125x = 50 litros.
Portanto, cabem 50 litros de combustvel no tanque do carro.
Resposta: Letra B.
Questo 2 ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Dois pintores com habilidade padro conseguem pintar um muro navelocidade de 5 metros quadrados por hora.
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Se fossem empregados, em vez de dois, trs pintores com habilidadepadro, os trs pintariam:a) 15 metros quadrados em 3 horas.b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.
c) 6 metros quadrados em 50 minutos.d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.e) 5 metros quadrados em 40 minutos.
No incio, temos 2 pintores. Os dois, juntos, pintam o muro a 5 metrosquadrados por hora.
Precisamos saber quanto pinta um pintor, apenas. A partir da, saberemosquantos metros quadrados 3 pintam.
A metragem diretamente proporcional quantidade de pintores. Se 2 pintam5 metros quadrados, 1 pintar, apenas, 2,5 metros quadrados.
E 3, pintaro, portanto, 3 x 2,5 = 7,5 metros quadrados por hora.
Cada alternativa fala uma coisa, em um tempo diferente. Precisamos saberqual fala um valor equivalente ao que encontramos: 7,5 metros quadrados porhora.
Vamos analisar as alternativas:
a)15 metros quadrados em 3 horas.
Se so 7,5 metros quadrados por hora, ento, em 3 horas, so 3x7,5 = 22,5metros quadrados.
Alternativa falsa.
b)7,5 metros quadrados em 50 minutos.
7,5 metros quadrados so pintados em uma hora, o que equivale a 60
minutos.
Alternativa falsa.
c)6 metros quadrados em 50 minutos.
Vamos fazer uma regra de trs para saber quanto tempo leva para pintar 6metros quadrados:
7,5 metros quadrados ------ 60 minutos
6 metros quadrados -------- x minutos
7,5x = 360
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x = 48 minutos
Portanto, leva-se 48 minutos, e no 50. Alternativa falsa.
d)7,5 metros quadrados em 30 minutos.J sabemos que 7,5 metros quadrados so pintados em 60 minutos, e no em30. Alternativa falsa.
e)5 metros quadrados em 40 minutos.
Esta provavelmente a alternativa correta, porque as outras esto erradas.Vamos comprovar por regra de trs:
7,5 metros quadrados ------- 60 minutos5 metros quadrados --------- x minutos
7,5x = 5.607,5x = 300x = 40 minutos.
Resposta: Letra E.
Questo 3 ESAF/MF/ATA/2009
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas aprimeira torneira for aberta, ao mximo, o tanque encher em 24horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao mximo, o tanqueencher em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmotempo, ao mximo, em quanto tempo o tanque encher?a) 12 horasb) 20 horasc) 16 horasd) 24 horase) 30 horas
Para facilitar nossos clculos, vamos chutar um valor para a capacidade dotanque. Vamos dizer que a capacidade do tanque de 100.
Vocs vo me ver fazendo isso durante o curso todo. Chutando valores,quando eles no interferem no resultado da questo. Vejam aqui, porexemplo: como o que importa a relao entre as duas torneiras, no importao tamanho do tanque. Se chutarmos que ele mede 1, 100 ou 1000, no mudanada.
Se s a primeira torneira for aberta, o tanque (que dissemos que a capacidade de 100) encher em 24 horas.
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Se s a segunda torneira for aberta, o tanque encher em 48 horas.
Portanto, se abrirmos as duas torneiras ao mesmo tempo, durante 24 horas, aprimeira encheria o tanque (com 100), e a segunda estaria na metade (pois,
se a segunda enche 100 em 48 horas, ento encher 50 em 24 horas).Assim, em 24 horas, as duas enchem 150. Mais do que o tanque precisa.
Portanto, vamos fazer uma regra de trs para ver em quanto tempo as duas,juntas, enchem os 100 do tanque:
24 horas ------ 150x horas ------- 100
150x = 2400x = 16 horas.
Assim, as duas, juntas, levam 16 horas para encher o tanque.
Resposta: Letra C.
Questo 4 ESAF/MF/ATA/2009
Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficariapronta?a) 30b) 16c) 24d) 20e) 15
Percebam que temos 4 grandezas:
- nmero de trabalhadores;- horas por dia;- produtividade;- dias de trabalho.
Os dias de trabalho so inversamente proporcionais ao nmero detrabalhadores (ou seja, quanto mais trabalhadores, menos dias de trabalho),s horas por dia (ou seja, quanto mais horas por dia, menos dias de trabalho)e produtividade (quanto maior a produtividade, menos dias de trabalho).
Assim, podemos fazer uma regra de trs composta que relacione as 4grandezas no incio e no final (vamos chamar o incio de 1 e o final de 2). Os
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valores dos trabalhadores, da produtividade e das horas por dia devero estardivididos por 1, por so inversamente proporcionais.
Como no temos dados da produtividade, s sabemos que ela diminui 20%,
vamos supor que no incio ela valia 1 e no final valia 0,8:
Colocando os valores, temos:
Assim:
1 11 2450 8. .
1 1 140 0,8 10
x=
Vamos fazer novamente o extremos pelos meios para resolver as fraesdentro das fraes (repito que veremos isso, em detalhes, na aula de lgebra):
40 0,8 10 24. .50 1 8 x=
Percebam que, quando a grandeza tiver proporcionalidade inversa, bastacolocar na frao de maneira trocada (o que se refere ao incio vai nodenominador, e o que se refere ao final vai no numerador).
Continuando:
________________________________________________x
Trabalhadores1
Trabalhadores2
=_____________x
Horas por dia 1Produtividade 1
Grandeza B
FinalHoras por dia 2
Nmero dedias 1
Nmero dedias 2
________________________________________________x
1/50
1/40
=_____________x
1/81/1
1/0,8 1/10
24
X
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320 24400
320 9600
30
x
x
x
=
=
=
Resposta: Letra A.
Questo 5 ESAF/SUSEP/Analista Tcnico/2010
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus trsfilhos, na razo direta da quantidade de filhos que cada um tem e na
razo inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho maisvelho duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho domeio trs vezes a renda do mais novo, e que, alm disso, o filho maisvelho tem trs filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho maisnovo tem dois filhos, quantos alqueires receber o filho do meio?
a) 80b) 100c) 120d) 160e) 180
O pai deseja dividir a fazenda de 500 alqueires entre os 3 filhos.
Mas no para dividir igualmente. A diviso deve ser na razo direta (ou seja,diretamente proporcional) quantidade de filhos que cada um tem e narazo inversa (ou seja, inversamente proporcional) s suas rendas.
Diante disso, a questo d diversas relaes entre as rendas e o nmero defilhos dos 3 filhos do pai. Vamos colocar tudo na tabela abaixo, para que agente no se perca:
Filho Filho 1 Filho 2 Filho 3RendaNmero deFilhos
A questo diz: Sabendo-se que a renda do filho mais velho duas vezes arenda do filho mais novo, e que a renda do filho do meio trs vezes a rendado mais novo.
Poderamos, como fizemos na questo anterior, chamar a renda do filho maisnovo (filho 3) de 100. Se a renda do filho mais novo fosse 100, e a renda do
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filho mais velho (filho 1) de 2x a do filho mais novo, a renda do filho maisvelho seria de 200. E, da mesma forma, a renda do filho do meio (filho 2) seriade 3x100 = 300. Mas, ser muito mais fcil trabalhar com nmero menores,portanto vamos utilizar apenas 2, 3 e 1.
Filho Filho 1 Filho 2 Filho 3Renda 2 3 1Nmero deFilhos
A questo tambm diz: o filho mais velho tem trs filhos, o filho do meio temdois filhos e o filho mais novo tem dois filhos. Vamos completar na tabela:
Filho Filho 1 Filho 2 Filho 3
Renda 2 3 1Nmero deFilhos
3 2 2
A questo pergunta quantos alqueires receber o filho do meio.
Isso ser diretamente proporcional quantidade de filhos do filho 2 (que tem 2filhos) e inversamente proporcional sua renda (ele ganha 3).
Portanto, vamos juntar a diviso diretamente proporcional e a diviso
inversamente proporcional. Temos a seguinte relao:
3 2 22 3 1
x y z= =
Assim:
500 500 500.63 2 2 9 4 12 25
2 3 1 6
= =+ +
+ +
Desta forma:
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500.62 253
3 500.62 25
500.6.2 500.2.280
25.3 25
y
y
y
=
=
= = =
Resposta: Letra A.
Questo 6 ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010
O PIB de um pas que entrou em recesso no fim de 2008 tinhacrescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundotrimestre, tinha ficado estvel no terceiro trimestre e tinha cado 10%no ltimo trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIBdesse Pas, em 2008.a) 1,25%.b) 5%.c) 4,58%.
d) 3,95%.e) -5%.
Vamos usar a equao da variao percentual para calcular a variao a cadatrimestre.
Como j viemos fazendo, vamos determinar um valor inicial para o PIB, quefacilite os clculos. Em questes de percentagem, o melhor valor o prprio100. Temos:
Variao percentual =Valor Final - Valor Inicial
100Valor Inicial x
Para o primeiro trimestre, o PIB cresceu 10%. Temos:
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Valor Final - 10010 100
100
Valor Final - 1000,1 100
10 Valor Final - 100
Valor Final=100+10=110
x =
=
=
No segundo trimestre, o PIB cresceu 5%:
Valor Final - 1105 100110
Valor Final - 1100,05
110
5,5 Valor Final - 110
Valor Final=115,5
x
=
=
=
No terceiro trimestre, ficou estvel, e no quarto, caiu 10%, ou seja, a variaopercentual foi de 10%. Assim:
Valor Final - 115,510% 100
115,5
Valor Final - 115,50,1
115,5
11,55 Valor Final - 115,5
Valor Final=115,5-11,55 = 103,95
x
=
=
=
Assim, o valor do PIB, que era de 100, passou para 103,95. Quando o ValorInicial 100, o aumento percentual sai diretamente. Portanto, o aumento foide 3,95%.
Resposta: Letra D.
Questo 7 ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010
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Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Trs outros trabalhadores,trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de
arroz em 10 dias. Em mdia, quanto um trabalhador do primeiro grupo mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?
a) O trabalhador do primeiro grupo 10% menos produtivo.b) O trabalhador do primeiro grupo 10% mais produtivo.c) O trabalhador do primeiro grupo 25% mais produtivo.d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos a mesma.e) O trabalhador do primeiro grupo 25% menos produtivo.
Na situao 1, temos 2 trabalhadores trabalhando 8 horas por dia durante 15
dias. Portanto, eles trabalham 8 * 15 = 120 horas, cada um.Colhem, juntos, 60 sacos de arroz. Portanto, cada um colhe 30 sacos.
Assim, a produtividade de 30/120 = 0,25 sacos por hora, por trabalhador.
Na situao 2, temos 3 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, em 10dias. Ou seja, eles trabalham 100 horas cada um.
Como colhem 75 sacos, colhem 75/3 = 25 sacos cada.
Assim, a produtividade deles de 25/10 = 0,25 sacos por hora.
Desta forma, a produtividade dos dois grupos a mesma.
Resposta: Letra D.
Questo 8 ESAF/RFB/ATRFB/2009
Em um determinado perodo de tempo, o valor do dlar americanopassou de R$ 2,50 no incio para R$ 2,00 no fim do perodo. Assim,
com relao a esse perodo, pode-se afirmar que:a) O dlar se desvalorizou 25% em relao ao real.b) O real se valorizou 20% em relao ao dlar.c) O real se valorizou 25% em relao ao dlar.d) O real se desvalorizou 20% em relao ao dlar.e) O real se desvalorizou 25% em relao ao dlar.
Percebam que o enunciado desta questo fala da desvalorizao do dlar(afinal, ele passou de 2,50 para 2,00), mas a maioria das alternativas fala davalorizao/desvalorizao do real.
Vamos ver o que aconteceu com o dlar:
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Variao percentual =Valor Final - Valor Inicial
100Valor Inicial
x
Variao percentual =2 - 2,5
1002,5
x
Variao percentual =-0,5
1002,5
x
= -20%
Portanto, o dlar se desvalorizou 20%.
Vamos ver o que aconteceu com o real. Precisamos saber quanto valia 1 realno incio e no final, em termos de dlar.
Se, no incio, 1 dlar valia 2,5 reais, quanto valia 1 real? Por regra de 3,temos:
1 dlar ------- 2,5 reaisx dlar ------- 1 real
2,5x = 1x = 1/2,5 = 0,4 dlar.
No final, 1 dlar valia 2 reais. Um real, portanto:
1 dlar ------- 2 reaisx dlar ------- 1 real
x = 1x = 1/2 = 0,5 dlar.
Assim, a variao percentual do real foi:
Variao percentual = Valor Final - Valor Inicial 100Valor Inicial x
Variao percentual =0,5 - 0,4 0,1
100 100 0,25 100 25%0,4 0,4
x x x
= = =
Assim, o real se valorizou 25% frente ao dlar.
Resposta: Letra C.
At a prxima aula, pessoal.
Abraos
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Karine
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7. Memorex
x
x
Grandeza A
Inicial1___
Grandeza B
Inicial
Grandeza A
Final
1___Grandeza B
Final
RESOLUO DA REGRA DE TRS INVERSA
Multiplicar emCruz
x
x
Grandeza A
InicialGrandeza B
Inicial
Grandeza A
FinalGrandeza B
Final
RESOLUO DA REGRA DE TRS
Multiplicar emCruz
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Assim como:Assim como:
Est para
Est paraGrandeza A
InicialGrandeza B
Inicial
Grandeza AFinal
Grandeza B
Final
MONTAGEM DA REGRA DE TRS COMPOSTA
Grandeza C
Inicial
Grandeza C
Final
Est para
Est para
Se a grandeza forinversamente
proporcional, noesquea de dividi-
la por 1
Regra Fundamental da Regra de Trs:
Cada lado em umaunidade!!!
Antes de comear a Regra de Trs, escolhatrabalhar com:
Gigabyte OU Megabyte OU Byte; Hora OU minuto OU segundo; Km OU metro; Ano OU meses OU dias. Dentre outros.
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Diviso diretamente proporcional:
Se
x y za b c
= =, ento
x y z N x y za b c a b c a b c
+ += = = =
+ + + +
Diviso inversamente proporcional:
Se1 1 1x y z
a b c
= = , ento1 1 1 1 1 1x y z x y z
a b c a b c
+ += = =
+ +
Variao percentual =Valor Final - Valor Inicial
100Valor Inicial
x
Regra fundamental do Percentual
O percentual no est sozinho
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8. Lista das questes abordadas em aula
Questo 1 ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques emeio de leo diesel. Se a distncia entre a cidade A e a cidade B de500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de leo diesel,quantos litros de leo diesel cabem no tanque da picape?a) 60b) 50c) 40d) 70e) 80
Questo 2 ESAF/MPOG/EPPGG/2009Dois pintores com habilidade padro conseguem pintar um muro navelocidade de 5 metros quadrados por hora.Se fossem empregados, em vez de dois, trs pintores com habilidadepadro, os trs pintariam:a) 15 metros quadrados em 3 horas.b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.c) 6 metros quadrados em 50 minutos.d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.e) 5 metros quadrados em 40 minutos.
Questo 3 ESAF/MF/ATA/2009
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas aprimeira torneira for aberta, ao mximo, o tanque encher em 24horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao mximo, o tanqueencher em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmotempo, ao mximo, em quanto tempo o tanque encher?a) 12 horasb) 20 horas
c) 16 horasd) 24 horase) 30 horas
Questo 4 ESAF/MF/ATA/2009
Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria
pronta?a) 30b) 16
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c) 24d) 20e) 15
Questo 5 ESAF/SUSEP/Analista Tcnico/2010Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus trsfilhos, na razo direta da quantidade de filhos que cada um tem e narazo inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho maisvelho duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho domeio trs vezes a renda do mais novo, e que, alm disso, o filho maisvelho tem trs filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho maisnovo tem dois filhos, quantos alqueires receber o filho do meio?
a) 80b) 100c) 120d) 160e) 180
Questo 6 ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010
O PIB de um pas que entrou em recesso no fim de 2008 tinhacrescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundotrimestre, tinha ficado estvel no terceiro trimestre e tinha cado 10%no ltimo trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIBdesse Pas, em 2008.a) 1,25%.b) 5%.c) 4,58%.d) 3,95%.e) -5%.
Questo 7 ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Trs outros trabalhadores,trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos dearroz em 10 dias. Em mdia, quanto um trabalhador do primeiro grupo mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?
a) O trabalhador do primeiro grupo 10% menos produtivo.b) O trabalhador do primeiro grupo 10% mais produtivo.c) O trabalhador do primeiro grupo 25% mais produtivo.d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos a mesma.
e) O trabalhador do primeiro grupo 25% menos produtivo.
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Em um determinado perodo de tempo, o valor do dlar americanopassou de R$ 2,50 no incio para R$ 2,00 no fim do perodo. Assim,com relao a esse perodo, pode-se afirmar que:
a) O dlar se desvalorizou 25% em relao ao real.b) O real se valorizou 20% em relao ao dlar.c) O real se valorizou 25% em relao ao dlar.d) O real se desvalorizou 20% em relao ao dlar.e) O real se desvalorizou 25% em relao ao dlar.
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9. Gabarito
1 B
2 E
3 C
4 A
5 A
6 D
7 D
8 C