Tema 2
CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL DEL SÓLIDO RÍGIDO
1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
1
Augusto Beléndez Vázquez
Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal
Universidad de Alicante
Tema 2
CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL DEL SÓLIDO RÍGIDO
1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
2
INTRODUCCIÓN
• Elmovimiento tridimensional de un sólido rígido esmuchomás
complejoqueelmovimientoplano.
• Lospuntosdelcuerposedesplazanenelespaciotridimensionaly
además las direcciones de los vectores velocidad angular y
aceleraciónangularvaríanconel?empo.
• Recordemos que en movimiento plano de un sólido rígido las
direcciones de los vectores y no cambian, manteniéndose
siempreperpendicularesalplanodelmovimiento.
• Enelmovimientotridimensionaldeunsólidorígidoeltratamiento
vectorialnosóloesú?l,sinoestrictamentenecesario.
!ω
!ω
!α
!α
3
Tema 2
CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL DEL SÓLIDO RÍGIDO
1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
4
TEOREMA DE EULER
Dosrotaciones“componentes”alrededordeejesquepasan
por un punto equivalen a una sola rotación resultante
alrededordeunejequepasaporelpunto.
Siseaplicanmásdedosrotaciones,puedencombinarseen
paresycadaparpuedereducirseaúnmásenunarotación.
5
ROTACIONES FINITAS E INFINITESIMALES
Rotacionesfinitas(nosonvectores)
Δ!θ1+Δ
!θ2 ≠ Δ
!θ2 +Δ
!θ1
• Silasrotacionescomponentesu?lizadasenelteoremadeEuler
son finitas, es importante mantener el orden en el que se
aplican.
• Las rotaciones finitas no obedecen la ley conmuta?va de la
adiciónynopuedenclasificarsecomovectores:
• Ejemplo:
:Rotaciónan?horariade90°alrededordelejexΔ!θx = 90º
!i
:Rotaciónan?horariade90°alrededordelejeyΔ!θ y = 90º
!j
Δ!θx +Δ
!θ y ≠ Δ
!θ y +Δ
!θx
6
ROTACIONES FINITAS
y
x
z
7
ROTACIONES FINITAS
y
x
z
y
x
z Δ!θx = 90º
!i
Δθx
8
ROTACIONES FINITAS
Δ!θx +Δ
!θ y
y
x
z
y
x
z
y
x
z Δ!θ y = 90º
!j
ΔθxΔθ y
Δ!θx = 90º
!i
9
ROTACIONES FINITAS
Δ!θx +Δ
!θ y
y
x
z
y
x
z
y
x
z
ΔθxΔθ y
y
z
x
Δ!θx = 90º
!i Δ
!θ y = 90º
!j
10
ROTACIONES FINITAS
Δ!θx +Δ
!θ y
y
x
z
y
x
z
y
x
z
ΔθxΔθ y
y
z
y
x
z
Δθ yx
Δ!θx = 90º
!i
Δ!θx = 90º
!i
Δ!θ y = 90º
!j
Δ!θ y = 90º
!j
11
ROTACIONES FINITAS
Δ!θx +Δ
!θ y
y
x
z
y
x
z
y
x
z
ΔθxΔθ y
Δ!θ y +Δ
!θx
y
z
y
x
z
y
x
z
Δθx
Δθ yx
Δ!θx = 90º
!i
Δ!θx = 90º
!i
Δ!θ y = 90º
!j
Δ!θ y = 90º
!j
12
ROTACIONES INFINITESIMALES
d!θ1d
!θ2
d!θ
Q1
Q2
S
!r
d !r2P
d !r
d !r1
Pd!θ1
⎯ →⎯⎯ Q1 d!θ2
⎯ →⎯⎯ S
Pd!θ2
⎯ →⎯⎯ Q2 d!θ1
⎯ →⎯⎯ S
d!θ = d
!θ1+ d
!θ2
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1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
14
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
O (puntofijo)
Ejeinstantáneoderotación(paraleloaypasaporelpuntofijoO)
d!θ
!ω1
!ω
!ω2
!ω
Velocidadangular
!ω =!ω1+
!ω2
!ω =!"θ = d
!θdtd
!θ = d
!θ1+ d
!θ2
15
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
O
!ω
P
!r
!α
Ejeinstantáneoderotación(paraleloaypasapor
elpuntofijoO)
!ω
Aceleraciónangular
!α =!"ω = d
!ωdt
En general, no tendrá la
dirección del eje instantáneo
derotación.
!α
16
!ω =!ω1+
!ω2
!ω =!ω1+
!ω2
!ω =!ω1+
!ω2
!ω =!ω1+
!ω2
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
Ejeinstantáneoderotación
!ω
Ejeinstantáneoderotaciónydeslizamientomínimo
Conoespacial
(axoidefijo)
Conocorporal
(axoidemóvil)
!ω
17
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
Ejeinstantáneoderotación
!ω
Ejeinstantáneoderotaciónydeslizamientomínimo
!α
Conoespacial
(axoidefijo)
Conocorporal
(axoidemóvil)
18
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
O
P
y
z
x
!ωp
!ωs
G
19
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
O
P y
z
x
!ωp
!ωs
G
20
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
O
P y
z
x Ejeinstantáneo
derotación
!ωp
!ωs
!ωs
!ωp
!ω
!ω =!ωs +
!ω p
!vO =!vP = 0
G
21
ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO
O
P y
z
x Ejeinstantáneo
derotación
O
Ejeinstantáneo
derotación
Conocorporal
(axoidemóvil)
Conoespacial
(axoidefijo)
!ωp
!ωs
!ωp
!ωs
!ω
!ωs
!ωp
!ω
!ω =!ωs +
!ω p
G
!vO =!vP = 0
22
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1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
23
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO
O
z
B !rA
y
x
!ω
Ejeinstantáneoderotación
A AB
Todoslospuntossituadosenelejeinstantáneo
derotación?enenlamismavelocidad!v
!rB =!rA +AB
AB = constante
!rB
!rB/A = AB
24
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO
!vB +!ω×AB
!vA =
AceleraciónabsolutadeB
VelocidadabsolutadeB
!aB =!aA +!α×AB+
!ω× (
!ω×AB)
!vB/A =!ω×AB
!aB/A =!α×ABcomponentetangencial
!"# +$ω× (
$ω×AB)
componentenormal
! "## $##
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1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
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EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
Eleje instantáneoderotaciónesel lugargeométricode lospuntos
delespacioenlosqueelmódulodelvectorvelocidadesmínimo.!v
InvariantesEnelmovimientodeunsólidorígidosoninvariantes,encada
instante:
(a) Lavelocidadangular(rotación),.
(b) Elproductoescalarqueeselmismoparatodoslospuntos.
Ejeinstantáneoderotación
!ω!v ⋅
!ω
Movimiento plano ⇒!v⊥!ω ⇒
!v ⋅!ω = 0
Rotación en torno a un punto fijo
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒!v ⋅!ω = 0
Movimiento general en el espacio ⇒!v ⋅!ω ≠ 0
27
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
AP
!v ⋅!ω = 0
!vA
A
P
O
z
x
P(x, y, z)A(xA, yA, zA)
Ejeinstantáneoderotación
ydeslizamientomínimo
y
!ω
!ω =ωx
!i +ω y
!j +ωz
!k
!vA = vAx!i + vAy
!j+ vAz
!k
⎫
⎬⎪
⎭⎪
AP = (x − xA)!i + (y − yA)
!j+ (z − zA)
!k !vP = 0 =
!vA +!ω×AP
P ∈ EIR
28
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
!v ⋅!ω = 0 P ∈ EIR ⇒
!vP = 0 =!vA +
!ω×AP
vAx!i + vAy
!j+ vAz
!k +
!i
!j
!k
ωx ω y ωz
x − xA y − yA z − zA
= 0
(I) vAx+ω y (z − zA)−ωz (y − yA) = 0(II) vAy+ωz (x − xA)−ωx (z − zA) = 0(III) vAz+ωx (y − yA)−ω y (z − xA) = 0
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
!v ⋅!ω = 0 ⇒ ωx (I)+ω y (II)+ωz (III) = 0
29
Ejeinstantáneoderotación
ydeslizamientomínimo
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
AP
!v ⋅!ω ≠ 0
!vA A
P
!ω
!vP
O
z
y
x
P(x, y, z)A(xA, yA, zA)
!v ⋅!ω!ω
INVARIANTE:
P ∈ EIR
!ω
30
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
AP
!v ⋅!ω ≠ 0
!vA A
P
Ejeinstantáneoderotación
ydeslizamientomínimo
!ω
!vP
O
z
y
x
P(x, y, z)A(xA, yA, zA)
!v ⋅!ω!ω
INVARIANTE:
!vP = vPx!i + vPy
!j+ vPz
!k
!vA = vAx!i + vAy
!j+ vAz
!k
!ω =ωx
!i +ω y
!j +ωz
!k
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⇒!vP / /
!ω
P ∈ EIR
!ω
31
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
!v ⋅!ω ≠ 0
!vP = vPx!i + vPy
!j+ vPz
!k
!vA = vAx!i + vAy
!j+ vAz
!k
!ω =ωx
!i +ω y
!j +ωz
!k
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⇒!vP / /
!ω ⇒
vPxωx
=vPyω y
=vPzωz
!vP =!vA +
!ω×AP ⇒
vPx = vAx+ω y (z − zA)−ωz (y − yA)vPy = vAy+ωz (x − xA)−ωx (z − zA)vPz = vAz+ωx (y − yA)−ω y (z − xA)
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
AP = (x − xA)!i + (y − yA)
!j+ (z − zA)
!k
32
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
!v ⋅!ω ≠ 0
!vP = vPx!i + vPy
!j+ vPz
!k
!vA = vAx!i + vAy
!j+ vAz
!k
!ω =ωx
!i +ω y
!j +ωz
!k
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⇒!vP / /
!ω ⇒
vPxωx
=vPyω y
=vPzωz
vAx+ω y (z − zA)−ωz (y − yA)ω y
=vAy+ωz (x − xA)−ωx (z − zA)
ω y=vAz+ωx (y − yA)−ω y (z − xA)
ωz
33
Ejeinstantáneoderotación
ydeslizamientomínimo
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
!ω
AP
!v ⋅!ω ≠ 0
!vA A
!ω
O
z
y
x
P(x, y, z)A(xA, yA, zA)
P
!vP
P’
!vP’
AP’
P ∈ EIR
!vP´ =!vA +
!ω×AP´=
!vA +!ω×AP+
!ω×PP´= !vP
PP´∈ Eje instantáneo de rotación ⇒!ω×PP´= 0
⎫⎬⎪
⎭⎪
Todoslospuntosdeleje
instantáneoderotación
?enenlamismavelocidad
quesedenominavelocidaddedeslizamiento
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Tema 2
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1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
35
O
Z
!i
!k
A !rB
e
B
AB
MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL RELATIVO A EJES EN ROTACIÓN
y
ex
ez
!rA
Y
X
!j
!ω y
x
z
36
MOVIMIENTO PLANO RELATIVO A EJES EN ROTACIÓN
!vB Velocidad de B medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ
!vA Velocidad de A (origen del sistema giratorio xyz) medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ
!vBrel Velocidad de “B con respecto a A” medida respecto al sistema giratorio xyz
!ω
Velocidad angular del sistema de referencia xyz medida respecto al sistema de referencia XYZ
AB Posición de B con respecto a A, cuyas componentes se miden respecto al sistema rotatorio xyz
!vB=!vA +
!ω×AB + !vB relVelocidad:
37
MOVIMIENTO PLANO RELATIVO A EJES EN ROTACIÓN
!vB( )XYZ Velocidad de B medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ
!vA( )XYZ Velocidad de A (origen del sistema giratorio xyz) medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ
!vBrel( )xyz
Velocidad de “B con respecto a A” medida respecto al sistema giratorio xyz
!ω
Velocidad angular del sistema de referencia xyz medida respecto al sistema de referencia XYZ
AB Posición de B con respecto a A, cuyas componentes se miden respecto al sistema rotatorio xyz
!vB( )XYZ=!vA( )XYZ +
!ω×AB + !vBrel( )xyz
38
MOVIMIENTO PLANO RELATIVO A EJES EN ROTACIÓN
Aceleración:!aB =
!aA +!α ×AB+
!ω× (
!ω×AB)+ !aB rel + 2
!ω×!vB rel
!aB Aceleración absoluta de B Movimiento de B observado en el sistema fijo XYZ
!aA Aceleración absoluta de A (origen del sistema giratorio xyz)
Movimiento del sistema de referencia xyz observado desde el sistema fijo XYZ
!α ×AB El efecto de la aceleración angular
provocado por la rotación del sistema xyz
!ω× (
!ω×AB) El efecto de velocidad angular por la
rotación del sistema xyz
2!ω×!vBrel
aceleración de Coriolis
El efecto combinado de B al moverse con respecto a las coordenadas xyz y a la rotación del sistema xyz
Movimiento interactuante
!aBrel Aceleración de “B con respecto a A” con coordenadas xyz
Movimiento de B observado desde el sistema móvil xyz
39
!aB( )XYZ Aceleración absoluta de B Movimiento de B observado en el sistema fijo XYZ
!aA( )XYZ Aceleración absoluta de A (origen del sistema giratorio xyz)
Movimiento del sistema de referencia xyz observado desde el sistema fijo XYZ
!α ×AB El efecto de la aceleración angular
provocado por la rotación del sistema xyz
!ω× (
!ω×AB) El efecto de velocidad angular por la
rotación del sistema xyz
2!ω×!vBrel( )xyz
aceleración de Coriolis
El efecto combinado de B al moverse con respecto a las coordenadas xyz y a la rotación del sistema xyz
Movimiento interactuante
!aBrel( )xyz Aceleración de “B con respecto a A” con coordenadas xyz
Movimiento de B observado desde el sistema móvil xyz
MOVIMIENTO PLANO RELATIVO A EJES EN ROTACIÓN
!aB( )XYZ =!aA( )XYZ +
!α ×AB+
!ω× (
!ω×AB)+ !aBrel( )xyz + 2
!ω×!vBrel( )xyz
40
Tema 2
CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL DEL SÓLIDO RÍGIDO
1. Introducción
2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales
3. Rotación en torno a un punto fijo
4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación
7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un
sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio
41
O
Z
!i
!k
ey
x
DERIVADA RESPECTO AL TIEMPO DE UN VECTOR MEDIDO CON RESPECTO A UN SISTEMA FIJO O UN SISTEMA TRASLADANTE-ROTATORIO
y
ex
ez
z
Y
X
!j
!ω
!A
d!Adt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟XYZ
=d!Adt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟xyz
+!ω×!A
!A = Ax ex + Ay e y + Az ez
42
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