1Resistncia de Materiais II
Deformaes em flexo
1. Deformaes em flexo
Ana M. Giro Coelho
Victor Magalhes
Resistncia de Materiais II
Deformaes em flexo
1 Introduo
2 Deformaes devidas ao momento flector
2.1 Equao da deformada
2.2 Equaes diferenciais de vigas flectidas
2.3 Integrao da linha elstica
Contedo
2Resistncia de Materiais II
Deformaes em flexo
Introduo
Quando no pargrafo 6.2.2 do captulo 6 (Flexo plana) da
disciplina de Resistncia de Materiais I se estudou o efeito do
momento flector, deduziu-se uma expresso que relaciona o
momento flector M com a curvatura 1/r que ele provoca no eixo da
pea:
A validade desta expresso limitada apenas pela relao tenso-
extenso do material, que tem de ser linear e no pelo tamanho
das deformaes.
1 M
r EI=
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Deformaes em flexo
Introduo
Neste pargrafo estudam-se mtodos de determinao da
deformao do eixo da pea, a partir da relao entre o momento
flector e a curvatura.
Como se viu, se uma viga estiver solicitada em flexo simples, o
seu eixo deforma-se, adquirindo uma determinada curvatura.
Designa-se por linha elstica a curva que define o eixo da pea
aps deformao.
Os vrios pontos do eixo da viga sofrem deslocamentos
transversais v (translaces). O ngulo que a configurao deformada do eixo (ou, simplesmente, deformada) forma com a
configurao inicial corresponde ao valor da rotao do eixo.
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Introduo
1: eixo na configurao inicial2: deformada
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Introduo
A determinao dos dois deslocamentos anteriores (translaco v e
rotao ) de grande interesse prtico.
Neste captulo caracteriza-se a deformada e deduz-se a sua
equao, com base nas hipteses seguintes:
1. A flexo simples plana;
2. O eixo da viga rectilneo na configurao inicial e as cargas
actuam perpendicularmente a esse eixo (note-se que uma carga
oblqua tem uma componente transversal M0 e N=0 e uma
componente longitudinal M=0 e N0);
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Deformaes em flexo
Introduo
3. Os deslocamentos so infinitesimais, pelo que se assume vlida
a hiptese de linearidade geomtrica;
4. Os efeitos do momento flector e do esforo transverso so
dissociveis.
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Deformaes devidas ao Momento FlectorEquao da deformada
Considere-se a seguinte viga deformada:
No sistema de eixos (x,y),
designa-se por u(x) e v(x) as
componentes do deslocamen-
to de um ponto do eixo da
viga, e q(x) o ngulo de
rotao deste eixo.
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Deformaes devidas ao Momento Flector
=
1 d
r ds
Equao da deformada
Em flexo pura, as normais mantm-se perpendiculares ao eixo da
pea na configurao deformada (lei de Bernoulli). O ngulo AOB
intercepta o elemento ds vale d, tal que ds = r d. A curvatura corresponde variao do ngulo:
Introduzindo, agora, a hiptese de linearizao geomtrica. Os
ngulos devem manter-se infinitesimais de tal forma que:
2tan 1 tan cos 1
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Deformaes devidas ao Momento FlectorEquao da deformada
Um elemento dx do eixo da
viga transforma-se num
elemento ds aps deformao
(ver figura). No entanto,
sobre o eixo a deformao
axial nula ( = 0), visto se
tratar do eixo neutro. Logo,
os comprimentos dx e ds so
iguais.
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Deformaes devidas ao Momento Flector
cosds ds dx =
Equao da deformada
A projeco de ds sobre o eixo x vale:
donde resulta, uma vez que, u+ds cos = dx+u+du:
du = 0
O eixo de uma viga flectida no varia de comprimento, visto as
extenses axiais, ao nvel do eixo neutro serem nulas. Na figura
anterior, os pontos A, A e B, B esto situados sobre uma
perpendicular ao eixo x. Ento, estes pontos apenas sofrem um
deslocamento transversal v, frequentemente designado por
flecha.
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Deformaes devidas ao Momento Flector
dv
dx =
Equao da deformada
A hiptese de linearidade geomtrica permite concluir que o ngulo
de rotao q entre as seces rectas igual inclinao da
deformada, isto :
Introduzindo, as relaes anteriores, a curvatura da pea pode re-
escrever-se:
ou seja, a curvatura igual segunda derivada da flecha.
2
2
1 d d v
r dx dx
= =
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1 M
r EI=
Equao da deformada
Deduziu-se j a seguinte relao (ver captulo 6, Resistncia de
Materiais I):
Assim, pode escrever-se tambm:
que corresponde equao diferencial da deformada em
flexo ou linha elstica.
2
2
d v M
EIdx=
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2
2
dV dM d Mq V q
dx dx dx= = =
Equaes diferenciais de vigas flectidas
As equaes de equilbrio:
e as equaes anteriores permitem escrever a seguinte srie de
equaes diferencais:
1. Equao da deformada ou da linha elstica: v(x)
2. Rotao: dv
dx =
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2 2
2 2
1 d v M d vM EI
r EIdx dx= = =
2 2
2 2 2
d M d d vq EIdx dx dx
= =
Equaes diferenciais de vigas flectidas
3. Curvatura, momento:
4. Esforo transverso:
5. Carga transversal:
2
2
dM d d vV EI
dx dx dx
= =
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Deformaes devidas ao Momento Flector
2
2
d v M
EIdx=
0
dv Mdx
dx EI = = +
Integrao da linha elstica
A equao da linha elstica escreve-se, como se viu:
A primeira integrao desta equao fornece-nos a inclinao da
tangente deformada, ou seja, o ngulo de que roda cada seco da pea:
A segunda integrao permite determinar a ordenada v da
deformada:
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20 0
Mv dx dx x v
EI = = + +
Integrao da linha elstica
As constantes de integrao 0 e v0 so determinadas a partir das condies de apoio e de condies de continuidade.
Se M/EI fr um polinmio de grau p em x, v ser um polinmio de
grau p+2. Em particular, a deformada de um troo prismtico no
solicitado transversalmente representada por uma equao
cbica.
Se, numa seco de uma viga, o momento flector fr nulo, a
deformada apresenta nesta seco um ponto de inflexo, visto a
curvatura ser nula (ver figura seguinte).
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Deformaes devidas ao Momento FlectorIntegrao da linha elstica
AB e BC: arcos cbicos; D: ponto de inflexo; B: ponto de descontinuidade
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Deformaes devidas ao Momento FlectorIntegrao da linha elstica
Naturalmente, a flecha v e a inclinao no podem apresentar descontinuidades, excepto nas zonas de ligaes/apoio, uma vez
que isso implicaria o eixo da viga ser descontnuo. Pelo contrrio, a
curvatura poder ser descontnua em todas as seces visto as
grandezas M, E e I poderem ser descontnuas (aco de um
momento externo, mudana de material ou variao de seco), o
que geometricamente corresponde a uma variao brusca do raio
de curvatura 1/r.
Estas integraes s so passveis de resoluo analtica se as
expresses forem relativamente simples, ou seja, se a carga variar
de forma simples e, principalmente, se a inrcia se mantiver
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Deformaes devidas ao Momento FlectorIntegrao da linha elstica
constante. Por exemplo, considere-
se o caso representado na figura
anexa. O momento flector tem trs
expresses diferentes (M1, M2 e
M3), pelo que se ter de dividir a
viga em trs troo diferentes: AB,
BC e CD. As trs expresses
diferentes que surgem para a
deformada contm um total de
seis constantes de integrao, que
podero ser determinadas da
seguinte forma:
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Deformaes devidas ao Momento FlectorIntegrao da linha elstica
Exemplo de aplicao:
Deduzir a equao da deformada de uma viga metlica
simplesmente apoiada, de comprimento L, com inrcia I constante,
sujeita a uma carga uniformente distribuda q.
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