Luiz GuedesCaldeira
Sumario
Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb
Auto-Valores e Auto-Vetores
Luiz Guedes Caldeira
IFPBInstituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da Paraba
Joao Pessoa, 2011
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Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb
1 Introducao
2 Determinacao dos Auto Valores e Auto Vetores
3 Propriedades dos Auto Valores e Auto Vetores
4 Diagonalizacao de Operadores
5 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas
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Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Definicao
Definicao
Seja o operador linear T : V V e v V , v 6= 0. v e o autovetor do operador T se existe um numero R tal que:
T (v) = v,
o numero real e o auto valor de T , associado ao auto vetorv.
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Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Exemplo (v = (5, 2),T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).)
v = (5, 2) e um auto vetor de T ?
T (v) = v,
T (5, 2) = (4 5 + 5 2, 2 5 + 2) = (30, 12) = 6(5, 2),
logo v = (5, 2) e auto vetor de T com auto valor = 6.
Exemplo (v = (2, 1),T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).)
Verificando:
T (2, 1) = (4 2 + 5 1, 2 2 + 1) = (13, 5) 6= (2, 1),
logo v = (2, 1) nao e auto vetor do operador T pois @ R|(13, 5) = (2, 1).
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Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Determinacao dos Auto Valores
Como v = (x , y , z) 6= (0, 0, 0), entao:
det (A I) = 0 , (1)
det
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= 0,det (A I) e chamada de equacao caracterstica dooperador T (ou matriz A). As razes desta equacao sao os autovalores de T . det (A I) e um polinomio em denominadode polinomio caracterstico.A substituicao destas razes (auto valores) na Equacao (1)permite calcular os respectivos auto vetores.
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Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279
Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)
A =
3 1 11 5 11 1 3
,determinando o polinomio caracterstico p():
p() = det (A I) ,
= det
3 1 11 5 11 1 3
= 0,= 3 112 + 36 36 = 0 1 = 2, 2 = 3, 3 = 6.
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Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)Determinando os auto vetores: 3 1 11 5 1
1 1 3
xyz
= 00
0
,1 = 2
1 1 11 3 11 1 1
xyz
= 00
0
,
x y +z = 0,x +3y z = 0,x y +z = 0,
x = z ; y = 0,
v1 = (x , 0,x) = x(1, 0,1), x R, x 6= 0 .7 / 39
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Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279
Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)Determinando os auto vetores:
2 = 3 0 1 11 2 1
1 1 0
xyz
= 00
0
,
0x y +z = 0,x +2y z = 0,x y +0z = 0,
y = x ; z = x ,
v2 = (x , x , x) = x(1, 1, 1), x R, x 6= 0.
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Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279
Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)Determinando os auto vetores:
3 = 6 3 1 11 1 1
1 1 3
xyz
= 00
0
,3x y +z = 0,x y z = 0,x y 3z = 0,
y = 2x ; z = x ,
v3 = (x ,2x , x) = x(1,2, 1), x R, x 6= 0.
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Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.2.1-3, pg. 285
Exemplo (T (x , y) = (16x + 10y ,16x + 8y).)Determinando os auto vetores:
det
[ 16 1016 8
]= 0,
2 + 8+ 32 = 0 1 = 4 + 4;2 = 4 4,
como as razes sao complexas e pela definicao o auto valor e um numero real associado ao auto vetor, este operador naopossui auto valores nem auto vetores.
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Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Propriedades dos auto vetores e auto valores
P1 - O vetor v e tambem um auto vetor associadoao mesmo auto valor .
T (v) = v,
T (v) = T (v) = v = (v).
P2 - O conjunto S de todos os vetores v V , inclu-sive o vetor nulo, associados ao auto valor , eum subespaco vetorial de V . Seja v1, v2 S:
T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = (v1 + v2) ,
logo v1, v2 S. O subespaco S = {v|T (v) =v} e chamado de auto espaco associado a .
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Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Propriedades dos auto vetores e auto valores
Exemplo (Seja = 6 associado ao auto vetor v = x(5, 2).)
O auto espaco associado a = 6 e:
S6 = {x(5, 2)|x R} = [(5, 2)],
seu auto espaco e dado pela reta que passa pela origem daFigura abaixo.
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Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Propriedades dos auto vetores e auto valores
P3 - Matrizes semelhantes tem o mesmo polinomiocaracterstico e os mesmos auto valores.
[T ]B = M1 [T ]A M,M = [I]BA :
det ([T]B I) = det(M1 [T ]A M I
)= det
(M1 [T ]A M M1IM
)= det
(M1 ([T ]A I) M
)= det M1 det ([T ]A I) det M= det M1 det M det ([T ]A I)= det
(M1M
)det ([T ]A I)
det ([T]B I) = det ([T ]A I) .
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Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Diagonalizacao de Operadores
Introducao
Seja um operador T : V V ;Uma base B V corresponde a uma matriz [T]B ;Pode-se ter a matriz [T]B representada por uma matrizmais simples;
A mais simples representacao de [T]B e uma matriz dia-gonal.
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ifpb Propriedade
Auto vetores associados a auto valores distintos de umoperador T : V V sao L.I.Prova
Sejam T (v1) = 1v1 e T (v2) = 2v2, com 1 6= 2 ea1v1 + a2v2 = 0, v1, v2 6= 0; (2)
Pela linearidade:
a1T (v1) + a2T (v2) = 0,
a11v1 + a22v2 = 0, (3)
(2) 1 a11v1 + a21v2 = 0, (4)(3) (4) a2(2 1)v2 = 0,
2 1 6= 0, a2 = 0,a2 (2) a1 = 0.
O conjunto {v1, v2} e L.I.15 / 39
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Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Exemplo (T (x , y) = (3x 5y , 2y).)
A =
[ 3 50 2
] det
[ 3 50 2
]= 0,
p() = 2 + 6 = 0,
como 1 = 2 6= 2 = 3, [v1, v2] = R2.[ 3 50 2
] [xy
]=
[00
],
1 = 2 v1 = x(1,1),2 = 3 v2 = x(1, 0),
[(1,1), (1, 0)] = R2.
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Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.4.2-4, pg. 292 OBS: Dada a base formadapelos auto vetores e o conhecimento dos auto valoresassociados, podemos determinar o operador T .
Exemplo (1 = 2, 2 = 3, v1 = (1,1), v2 = (1, 0).)
(x , y) = av1 + bv2 = a(1,1) + b(1, 0),a = y , b = x y ,
(x , y) = y(1,1) + (x y)(1, 0),T (x , y) = yT (1,1) + (x y)T (1, 0),
= y(2)(1,1) + (x y)(3)(1, 0),T (x , y) = y(2,2) + (x y)(3, 0) = (3x 5y , 2y).
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Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.4.2-4, pg. 292 - Observacoes:
Exemplo (1 = 2, 2 = 3, v1 = (1,1), v2 = (1, 0).)Seja a base encontrada P = {(1,1), (1, 0)}, temos que:
T (1,1) = 1(1,1) + 0(1, 0) = 2(1,1) + 0(1, 0),= (2,2),
T (1, 0) = 0(1,1) + 2(1, 0) = 0(1,1) 3(1, 0),= (3, 0),
que leva a matriz do operador T na base P, [T]P :
[T]P =
[2 00 3
],
uma matriz diagonal cuja diagonal sao os auto valores 1, 2.18 / 39
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ifpb Propriedade
Seja T em Rn com uma base de auto vetores B = {v1, . . . , vn},associados a distintos auto valores {1, . . . , n}. Sabendo que:
T(v1) = 1v1 + 0v2 + + 0vn,T(v2) = 0v1 + 2v2 + 0v3 + + 0vn,
... =...
T(vn) = 0v1 + 0v2 + + nvn.O que leva a matriz diagonal, de dimensao n n, do operadorT na base B, [T]P :
[T]P =
1 0 00 2 0...
... ...0 0 n
= D,cujos elementos sao os auto valores i , i = 1, . . . , n.
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Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Propriedade
Seja A a matriz canonica do operador T , ou seja, [T] = A, asmatrizes A e D sao semelhantes por representarem T em basesdiferentes, o que leva a:
D = M1AM,
sendo M = [I]PC a matriz de mudanca da baseP = {v1, v2, , vn} para a canonica C = {e1, e2, , en}.Lembrando que:
M = [I]PC = C1P = I1P = P.
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Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Propriedade
Seja A a matriz canonica do operador T , ou seja, [T] = A, asmatrizes A e D sao semelhantes por representarem T em basesdiferentes, o que leva a:
D = P1AP, (5)
sendo P a matriz cujas colunas sao os auto vetoresP = {v1, v2, , vn} do operador T .A partir de (5), temos a seguinte definicao:
Definicao
A matriz quadrada A e diagonalizavel se existe uma matrizinversvel P, tal que P1AP e uma matriz diagonal.
Quando isto se verifica, dizemos entao que P diagonaliza A ouque P e diagonalizadora.
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ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.4.4-5, pg. 294
Exemplo (Determinar a matriz diagonalizadora P)
Seja a matriz A:
A =
3 1 11 5 11 1 3
,ja calculamos os auto valores desta matriz:
1 = 2 v1 = (1, 0,1),2 = 3 v2 = (1, 1, 1),3 = 6 v3 = (1,2, 1),
com i distintos, P = {v1, v2, v3} formam uma base de R3.22 / 39
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ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.4.4-5, pg. 294
Exemplo (Determinar a matriz diagonalizadora P)
v1 = (1, 0,1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1,2, 1);1 = 2, 2 = 3, 3 = 6.
P =
1 1 10 1 21 1 1
P1 = 12 0 121
313
13
16 13 16
,D =
12 0 1213
13
13
16 13 16
3 1 11 5 11 1 3
1 1 10 1 21 1 1
,=
2 0 00 3 00 0 6
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Prob. Resolv. 6.4.4-6, pg. 296
Exemplo (Determinar uma base diagonal a T (x , y) = (4x +5y , 2x + y))
v1 = x(5, 2), v2 = x(1,1), 1 = 6, 2 = 1.
A =
[4 52 1
],
logo P = {(5, 2), (1,1)}, e a matriz que diagonaliza A e:
P =
[5 12 1
] P1 =
[1/7 1/72/7 5/7
],
P1AP = D =[
6 00 1
].
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Prob. Resolv. 6.4.4-7, pg. 297
Exemplo (Determinar P que diagonaliza A)
Dada:
A =
2 1 00 1 10 2 4
,Solucao:Calculando p():
p() = det
2 1 00 1 10 2 4
= 0,p() = (2 )(2 )(3 ) = 0,
1 = 2 2 = 3. 25 / 39
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ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.4.4-7, pg. 297
Exemplo (Determinar P que diagonaliza A)
1 = 2 2 = 3.
Calculando os auto vetores: 2 1 00 1 10 2 4
xyz
= 00
0
,o que resulta em {v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1,2)}, para os res-pectivos auto valores 1 = 2, 2 = 3. Os vetores encontradosnao formam uma base de auto vetores que gera R3, portantoA nao e diagonalizavel.
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ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306
Exemplo (Determinar P que diagonaliza A)
A =
1 0 20 0 02 0 4
,Calculando p():
p() = det
1 0 20 02 0 4
= 0,p() = 3 + 52 = 2(5 ) = 0,
1 = 0, 2 = 0, 3 = 5.
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Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306
Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 0, 2 =0, 3 = 5.)
Calculando os auto vetores: 1 0 20 02 0 4
xyz
= 00
0
,para 1 = 2 = 0. Os vetores encontrados sao:{
x 2z = 02x + 4z = 0 z =
x
2, y R.
assim temos auto vetores v =(x , y , x2
), associados aos auto
valores 1 = 2 = 0.28 / 39
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ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306
Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 2 =0, 3 = 5.)
Calculando os auto vetores:Com auto vetores v =
(x , y , x2
), associados aos auto valores
1 = 2 = 0, se atribuirmos valores para x e y , como porexemplo:
x = 2, y = 0 v1 = (2, 0, 1), 1 = 0,x = 0, y = 1 v2 = (0, 1, 0), 2 = 0,
3 = 5 4x 2z = 0
5y = 02x z = 0
,
y = 0, z = 2x v3 = x(1, 0,2) = (1, 0,2)[v1, v2, v3] = R3. 29 / 39
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Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306
Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 2 =0, 3 = 5.)
Logo, a matriz P que diagonaliza a matriz Ae a que tem como colunas os auto vetores(v1 = (2, 0, 1), v2 = (0, 1, 0), v3 = (1, 0,2)).
P =
2 0 10 1 01 0 2
P1 = 2/5 0 1/50 1 0
1/5 0 2/5
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Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306
Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 2 =0, 3 = 5.)
D = P1AP,
=
2/5 0 1/50 1 01/5 0 2/5
1 0 20 0 02 0 4
2 0 10 1 01 0 2
,=
0 0 00 0 00 0 5
.
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Propriedades
P1 - A equacao caracterstica de uma matriz simetricatem apenas razes reais:
Prova
Vamos considerar uma matriz simetrica de ordem 2:
A =
[p rr q
],
p() = det
[p rr q
]= 0,
= (p )(q ) r2 = 2 (p + q)+ pq r2,
com discriminante (p + q)2 4(pq r2) = (p q)2 + 4r2,sempre positivo, levando assim a razes reais.
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Propriedades
P2 - Se T : V V e simetrico, com auto valoresdistintos, entao os auto vetores sao ortogonais.
Prova
Sejam 1 6= 2, com T (v1) = 1v1,T (v2) = 2v2, devemosprovar que v1, v2 = 0. Lancando mao da propriedade deopreadores simetricos:
T (v1), v2 = v1,T (v2),1v1, v2 = v1, 2v2,1v1, v2 = 2v1, v2,
(1 2)v1, v2 = 0,
como 1 6= 2, v1, v2 = 0, os auto vetores sao ortogonais.33 / 39
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Propriedades
P3 - A matriz P que diagonaliza a matriz A edada por D = P1AP;Se A e simetrica, entao P sera ortogonal;E conveniente que a matriz seja ortonor-mal. Sendo assim, P1 = Pt .
Logo:D = PtAP.
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ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301
Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)
A =
7 2 02 6 20 2 5
,
p() = det
7 2 02 6 20 2 5
= 0,(6 )( 3)( 9) = 0,1 = 3, 2 = 6, 3 = 9.
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Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301
Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)
1 = 3, 2 = 6, 3 = 9. Calculando os auto vetores:
1 = 3
4x 2y +0z = 02x +3y 2z = 0
0x 2y +2z = 0,
y = 2x , z = 2x v1 = x(1, 2, 2),
fazendo x = 1 e normalizando v1, tem-se u1 =(
13 ,
23 ,
23
).
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Luiz GuedesCaldeira
Sumario
Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301
Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)
1 = 3, 2 = 6, 3 = 9. Calculando os auto vetores:
2 = 6
x 2y +0z = 02x +0y 2z = 0
0x 2y z = 0,
y = x/2, z = x v2 = x(
1,1
2,1
),
fazendo x = 1 e normalizando v2, tem-se u2 =(
23 ,
13 ,23
).
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Luiz GuedesCaldeira
Sumario
Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301
Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)
1 = 3, 2 = 6, 3 = 9. Calculando os auto vetores:
3 = 9 2x 2y +0z = 02x 3y 2z = 0
0x 2y 4z = 0,
y = x , z = x/2 v3 = x(
1,1, 12
),
fazendo x = 1 e normalizando v3, tem-se u3 =(
23 ,23 , 13
).
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Sumario
Introducao
Determinacaodos AutoValores e AutoVetores
Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores
Diagonalizacaode Operadores
Diagonalizacaode MatrizesSimetricas
ifpb Exemplos
Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301
Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)
1 = 3, 2 = 6, 3 = 9,u1 =(
13 ,
23 ,
23
),u2 =(
23 ,
13 ,23
),u3 =
(23 ,23 , 13
)A matriz P e:
P =
1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/32/3 2/3 1/3
,D = PtAP =
1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/32/3 2/3 1/3
7 2 02 6 20 2 5
1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/32/3 2/3 1/3
= 3 0 00 6 0
0 0 9
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IntroduoDeterminao dos Auto Valores e Auto VetoresPropriedades dos Auto Valores e Auto VetoresDiagonalizao de OperadoresDiagonalizao de Matrizes Simtricas
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