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Tese de Church-Turing (1930):
Qualquer computação que possa serrealizada de maneira mecânicapode ser feita por uma Máquina de Turing
Prof. Busch - LSU 3
Algoritmo:
Um algoritmo para um problema é uma Máquina de Turing que resolve este problema
O algoritmo descreve os passos do procedimento mecânico
Isso pode ser traduzido na forma deinstruções de uma Máquina de Turing
4
Quando dizemos:Existe um algoritmo
Algoritmos são Máquinas deTuring
Queremos dizer:Existe uma Máquina de Turing
6
Cabeça de Leitura-Escrita
Unidade de Controle
a a c b a cb b a a
Determinista
O Modelo Padrão
Fita Infinita
(Esq. ou Dir.)
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Variantes do Modelo Padão
• Opção de não mover • Fita semi-infinita• Off-Line• Múltiplas fitas• Multidimensional• Não determinista
Máquinas de Turing com:
8
Queremos provar:
Cada Classe tem o mesmopoder de computação do Modelo Padrão
As variantes formam diferentesClasses de Máquinas de Turing
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Mesmo poder de computação de duas classes:Ambas as classes de máquinas de Turingaceitam as mesmas linguagens
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Mesmo poder de computação de duas classes
Para qualquer máquina da primeira classe1M
existe uma máquina da segunda classe 2M
tal que: )()( 21 MLML
e vice-versa
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técnica para provar mesmo poderSimulação:
Simular a máquina de uma classepor uma máquina de outra classe
Primeira ClasseMáquina Original
1M 1M2M
Segunda ClasseMáquina de Simulação
12
Configurações na Máquina Originalcorrespondem a configurações na Máquina de Simulação
nddd 10Máquina Original:
Máquina Simulação: nddd
10
13
A Máquina de Simulaçãoe a Máquina Originalaceitam a mesma linguagem
fdMáquina Original:
Máquina de Simulação: fd
Configuração Final
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Máquinas de Turing com Opção Não Move
A cabeça pode permanecer na mesma posição
a a c b a cb b a a
Esquerda, Direita, Não move
movimentos: L,R,S
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Máquinas com opção não movetêm o mesmo poder de computação que Máquinas de Turing padrão
Teorema:
17
Prova:
Parte 1: Máquinas com opção não move são pelo menos tão poderosas quanto máquinas padrãoProva:uma máquina padrão é também
uma máquina com opção não move(que nunca usa a opção S)
18
Parte 2: Máquinas padrão são pelo menos tão poderosas quanto
máquinas com opção não move
Prova:uma máquina padrão pode simularuma máquina com opção não move
Prova:
19
1q 2qLba ,
1q 2qLba ,
Máquina com opção não move
Simulação na Máquina Padrão
Similar para movimentos para a Direita
20
1q 2qSba ,
1qLba , Rxx ,
Máquina com opção não move
Simulação na Máquina Padrão
Para todo símbolo x
21
Exemplo
a a b a
1q
Máquina com opção não move:1
b a b a
2q
21q 2qSba ,
Simulação na Máquina Padrão:
a a b a
1q
1 b a b a
2 b a b a
3
26
Máquinas com fita semi-infinita simulammáquinas de Turing padrão:
Máquina padrão
.........Máquina com fita semi-infinita
..................
27
Máquina padrão
.........
Máquina com fita semi-infinita e duas trilhas
..................
ponto de referência
##
parte dir.parte esq.
a b c d e
ac bd e
29
1q 2qRga ,
Máquina padrão
Lq1Lq2
Lgxax ),,(),(
Rq1Rq2
Rxgxa ),,(),(
Máquina com fita semi-infinita
parte esq.
parte dir.
para todos os símbolosx
30
Máquina padrão.................. a b c d e
1q
.........
Máquina com fita semi-infinita
##
parte dir.parte esq. ac b
d e
Lq1
Instante 1
31
Instante 2
g b c d e
2q
##
parte dir.parte esq. gc b
d e
Lq2
Máquina padrão..................
.........
Máquina com fita semi-infinita
32
Lq1Rq1
R),#,(#)#,(#
Máquina com fita semi-infinita
parte esq.
Na borda da fita:
Rq1Lq1
R),#,(#)#,(# parte dir.
33
.........
Máquina com fita semi-infinita
##
parte dir.parte esq. gc b
d e
Lq1
.........##
parte dir.parte esq. gc b
d e
Rq1
Instante 1
Instante 2
34
Teorema:
Máquinas com fita semi-infinitatêm o mesmo poder computacional queMáquinas de Turing padrão
35
Máquina Off-Line
Unidade de Controle
Arquivo de entrada
fita
apenas leitura
a b c
d eg
leitura / escrita
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Máquinas off-line simulam Máquinas de Turing padrão:
Máquina off-line:
1. Copia o arquivo de entrada para a fita
2. Continua a computação como na Máquina de Turing padrão
371. Copia o arquivo de entrada para a fita
Arquivo de entradaa
Fita
b c Máquina padrão
Máquina off-line
a b c
382. Faz computações como na máq. de Turing
Arquivo de entradaa b c
Fita
a b c
a b c
1q
1q
Máquina padrão
Máquina off-line
39
Máquinas de Turing padrão simulammáquinas off-line:
Use uma máquina padrão com quatro trilhaspara manter informação sobre arquivo de entrada e o conteúdo da fitada máquina off-line
40
Arquivo de entradaa b c
FitaMáquina off-line
e f gd
Fita de 4 trilhas – Máquina padrão
a b c d
e f g0 0 0
0 0
1
1
Arquivo de entradaPosição da cabeçaFita
Posição da cabeça
##
41
a b c d
e f g0 0 0
0 0
1
1
Arquivo de entradaPosição da cabeçaFita
Posição da cabeça
##
Repita para cada transição de estado:• Retorne ao ponto de referência• Encontre o símbolo corrente no arquivo • Encontre o símbolo corrente na fita• Faça a transição
Ponto de referência
46
Máquinas padrão simulam máquinas com múltiplas fitas:
• Use uma fita com múltiplas trilhas
• Uma fita da máquina de múltiplas fitas corresponde a um par de trilhas
Máquina padrão:
47
a b c h e f g
Máquina de múltiplas fitasFita 1 Fita 2
Máquina padrão com fita de 4 trilhas
a b c
e f g0 0
0 0
1
1
Fita 1Posição da cabeçaFita 2Posição da cabeça
h0
48
Repita para cada transição de estado:•Retorne ao ponto de referência•Encontre o símbolo corrente na fita 1•Encontre o símbolo corrente na fita 2•Faça a transição
a b c
e f g0 0
0 0
1
1
Fita 1Posição da cabeçaFita 2Posição da cabeça
h0
####
Ponto de referência
49
Teorema:
Máquinas com múltiplas fitastêm o mesmo poder de computação queMáquinas de Turing padrão
50
Mesmo poder não significa mesma velocidade:
Linguagem }{ nnbaL
Tempo de aceitação
Máquina padrão
Máquina com 2 fitas
2n
n
51
}{ nnbaL
Máquina padrão:
vai para frente e volta vezes2n
Máquina de duas fitas:
Copia na fita 2 nb
Deixa na fita 1 naCompara a fita 1 e a fita 2
n( passos)n( passos)n( passos)
52
Máquina de Turing MultiDimensional
x
y
ab
c
Fita de 2 dimensões
CABEÇAPosição: +2, -1
MOVE: L,R,U,D
U: cima D: baixo
54
Máquinas padrão simulammáquinas multidimensionais:
Máquina padrão:
• Use uma fita com 2 trilhas
• Armazene os símbolos na fita 1• Armazene as coordenadas na fita 2
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Repita para cada transição
• Atualize o símbolo corrente• Compute as coordenadas da próxima posição• Vá para a próxima posição
Máquina padrão:
60
string de entrada é aceito seesta é uma computação possível
w
yqxwq f0
configuração inicial configuração final
estado final
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Máquinas Não Deterministas simulam Máquinas padrão (deterministas) :
Toda máquina deterministaé também uma máquina não determinista
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Máquinas deterministas simulammáquinas não deterministas:
Mantém informação sobre todas as possíveis computações
Máquina Determinista:
65
• Mantém informação sobre todas as possíveis computações
Máquina Determinista:
Simulação
• Armazena essas computações em uma fita bidimensional
66
a b c
1q
Lba ,
Rca ,
1q
2q
3q
Instante 0
Máquina Não Determinista
Máquina Determinista
a b c1q
# # # # ##### # #
##
# #
Computação 1
67
Lba ,
Rca ,
1q
2q
3q
b b c2q
# # # # #### #
#
# #
Computação 1
b b c
2qOpção 1
c b c
3q
Opção 2
c b c3q ## Computação 2
Máquina Não Determinista
Máquina Determinista
Instante 1
68
Repita• Execute um passo em cada computação:
• Se existem duas ou mais opções na computação corrente: 1. Copie a configuração 2. Modifique o estado na cópia
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