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Parte 1

ÁLGEBRA BOOLEANA

109/08/2017

1. INTRODUÇÃO

2. NEGAÇÃO LÓGICA

3. MULTIPLICAÇÃO LÓGICA

4. ADIÇÃO LÓGICA

5. OU EXCLUSIVO

6. NAND

7. NOR

8. TEOREMAS

9. CASOS GERAIS

209/08/2017

INTRODUÇÃO1

INTRODUÇÃO

309/08/2017

INTRODUÇÃO1

• A lógica booleana é aplicada na comunicação entre

as pessoas, qualquer que seja o idioma.

• Toda frase compreensível e que comunique alguma

informação pode ser representada por meio de

uma expressão algébrica booleana.

• A compreensão da lógica booleana aplicada à

formulação de ideias e pensamentos facilita a

capacidade de comunicação.

• O uso de transformações lógicas corretas permite

que se coloque as palavras de modo a se obter a

reação desejada em quem recebe a informação.

Comunicação

409/08/2017

INTRODUÇÃO1

• A habilidade no uso da lógica booleana aplicada à comunicação

interpessoal é, particularmente, útil, necessária e largamente

empregada em certas profissões, como, por exemplo:

• Professores

• Pedagogos

• Psicólogos

• Políticos

• Advogados

• Vendedores

• Oradores

• Porta-vozes

• Jornalistas

• Escritores

• Homens de negócios

Comunicação

509/08/2017

INTRODUÇÃO1

• A introdução à lógica booleana é feita é

feita na criança assim que ela inicia seu

aprendizado na capacidade de

comunicar-se.

• As frases usadas como exemplo são

meramente ilustrativas, não consistem de

divulgação de mensagem (explícita nem

subliminar) nem da opinião do autor

sobre os diversos assuntos abordados.

• Exemplos são usados para que se

evidencie a aplicação da lógica booleana

na comunicação do dia-a-dia.

Comunicação

609/08/2017

2

INTRODUÇÃO1

Variável lógica: Letra ou palavra para a

qual se associa uma sentença.

Sentença ou proposição: Frase que

expõe um determinado acontecimento.

Exemplos:.

A: Fazer sol

B: Chover

C: Ir trabalhar

Entidades da lógica

709/08/2017

INTRODUÇÃO1

Variável verdadeira: Sua afirmação é satisfeita.

Variável falsa: Sua afirmação não é satisfeita.

Não existe um terceiro valor.

Uma variável somente pode ser verdadeira ou falsa.

Valor verdadeiro: 1

Valor falso: 0

Entidades da lógica

809/08/2017

INTRODUÇÃO1Unicidade da verdade

• Não existem duas verdades.

• A verdade é uma só.

• Se duas proposições são mutuamente

excludentes, uma delas é falsa e a outra

é verdadeira, ou são ambas falsas.

909/08/2017

INTRODUÇÃO1Falácia das duas verdades

• Você já deve ter lido a respeito do caso onde uma pessoa lê o

número 6 e a outra pessoa lê o número 9.

• Nesta estória, o leitor é induzido a acreditar que existem duas

verdades, a depender do ponto de vista do analista.

• Isso é mentira.

• Um dos dois observadores está lendo o número de cabeça para

baixo, está fazendo uma interpretação errada.

• A pessoa que desenhou o número quis expressar 6 ou 9, mas

não ambos.1009/08/2017

INTRODUÇÃO1Falácia das duas verdades

• Você já deve ter lido a respeito do caso onde uma pessoa

enxerga um quadrado, e outra pessoa enxerga um círculo.

• Os dois observadores estão fazendo uma leitura errada,

pois o cilindro não é nem um quadrado, nem um círculo.

• Os dois estão fazendo uma interpretação bidimensional

de uma figura tridimensional. 1109/08/2017

NEGAÇÃO LÓGICA2

NEGAÇÃO LÓGICA

1209/08/2017

3

NEGAÇÃO LÓGICA2

Uma dupla negação não tem efeito.

//A = A

--A=A

Símbolo da negação: Barra ou hífen.

Exemplos: /A, -A

Transforma o verdadeiro em falso e vice-versa.

Negação

1309/08/2017

NEGAÇÃO LÓGICA2

Afirmação: A = ir trabalhar

Negação: /A = não ir trabalhar

Afirmação: A = dia

Negação: /A = noite

Afirmação: A = bom

Negação: /A = ruim

Afirmação: A = aprovado

Negação: /A = reprovado

Exemplos

1409/08/2017

NEGAÇÃO LÓGICA2

B = /A

Se A é verdadeiro, então B é falso.

Se A é falso, então B é verdadeiro.

Se A=1, então B=0.

Se A=0, então B=1.

Variáveis opostas

1509/08/2017

NEGAÇÃO LÓGICA2

/A = B

Se você não trabalhar, passará fome.

A = Trabalhar

B = Passar fome

A = /B

Se você trabalhar, não passará fome.

/B = A

Você não passará fome se trabalhar.

B = /A

Você passará fome se não trabalhar.

Equivâlências de negação

1609/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA

1709/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

Principais conectivos lógicos:

E AND

OU OR

• Operação que une duas ou mais

sentenças.

• Para os matemáticos, os conectivos

(lógicos e aritméticos) unem, apenas,

duas variáveis ou constantes (entradas).

• Para os engenheiros, o conceito de

conectivo é expandido para mais de

duas entradas.

Conectivo

1809/08/2017

4

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

C = A * B

AND de duas variáveis

• Multiplicação lógica *

• Conjunção Λ

• Intersecção

• E lógico

• AND

1909/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

• A sentença é verdadeira se, e somente

se, as duas variáveis forem verdadeiras.

• No contrário, a sentença é falsa.

• Se uma das variáveis de entrada for

falsa, a variável de saída é falsa.

AND de duas variáveis

2009/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

B A A*B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

AND de duas variáveis

2109/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3AND de duas variáveis

C = 0

C = 0C = 0 C = 1

2209/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

C = A * B

C = Ir ao cinema

A = Ter dinheiro

B = Ter bom filme em cartaz

Eu vou ao cinema se, e

somente se, eu tiver dinheiro e

tiver um bom filme em cartaz.

AND de duas variáveis – Exemplo 1

2309/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

C = A * B

C = Implantar o projeto

A = Ter tempo

B = Ter dinheiro

A implantação deste projeto

requer tempo e dinheiro.

AND de duas variáveis – Exemplo 2

2409/08/2017

5

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

C = A * B

C = Ser aprovado

A = Ter média superior a 6,0

B = Ter freqüência superior a 75%

O aluno é aprovado se

tiver média superior a 6,0 e

freqüência superior a 75%.

AND de duas variáveis – Exemplo 3

2509/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

• A sentença é verdadeira se, e somente

se, as três variáveis forem verdadeiras.

• No contrário, a sentensa é falsa.

• Se uma das variáveis de entrada for

falsa, a variável de saída é falsa.

D = A * B * C

AND de três variáveis

2609/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

C B A A*B*C

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

AND de três variáveis

2709/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3AND de três variáveis

D = 0

D = 0D = 0D = 1

D = 0

D = 0D = 0

D = 0

2809/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

D = Ir passear

A = Ter boa companhia

B = Houver um local legal

C = O tempo estiver bom

Eu vou passear se tiver companhia,

se tiver um local legal para ir e se o

tempo estiver bom, senão não.

D = A * B * C

AND de três variáveis – Exemplo 1

2909/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

D = Namorar este alguém

A = Este alguém ter erudição

B = Este alguém ter boa moral

C = Este alguém ter boa aparência

Eu vou namorar alguém que

tenha erudição, boa moral e

boa aparência.

D = A * B * C

AND de três variáveis – Exemplo 2

3009/08/2017

6

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

Utopia capitalista: Bom, bonito e barato.

Utopia socialista: Público, gratuito e de qualidade.

AND de três variáveis – Exemplo 3

3109/08/2017

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3

E = Contratação

A = Prova escrita

B = Prova didática

C = Prova de títulos

D = Exame médico

Para ser contratado, o

professor precisa ser

aprovado na prova escrita, na

prova didática, na prova de

títulos e no exame médico.

E = A * B * C * D

AND de quatro variáveis – Exemplo

3209/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

ADIÇÃO LÓGICA

3309/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

C = A + B

OR de duas variáveis

• Adição lógica +

• Disjunção V• União

• OU lógico

• OR

• OU inclusivo

• Inclusive OR - IOR

3409/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

• A sentença é falsa se, e somente se,

as duas variáveis forem falsas.

• No contrário, a sentença é verdadeira.

• Se uma das variáveis de

entrada for verdadeira, a

variável de saída é verdadeira.

OR de duas variáveis

3509/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

B A A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

OR de duas variáveis

3609/08/2017

7

ADIÇÃO LÓGICA4OR de duas variáveis

C = 0

C = 1C = 1 C = 1

3709/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

C = A + B

C = Sair de casa

A = Ir trabalhar

B = Ir passear

Eu vou sair de casa se tiver que

trabalhar ou se quiser passear.

Exemplo 1

3809/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

C = A + B

C = Empresa competitiva

A = Produto de qualidade

B = Concorrência deficiente

A competitividade da empresa

depende da qualidade de seu produto

ou da deficiência da concorrência.

Exemplo 2

3909/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

• A sentença é falsa se, e somente se,

as três variáveis forem falsas.

• No contrário, a sentença é verdadeira.

• Se uma das variáveis de entrada for

verdadeira, a variável de saída é verdadeira.

D = A + B + C

OR de três variáveis

4009/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

C B A A+B+C

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

OR de três variáveis

4109/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4OR de três variáveis

D = 0

D = 1D = 1D = 1

D = 1

D = 1D = 1

D = 1

4209/08/2017

8

ADIÇÃO LÓGICA4

D = Querer o emprego

A = Ser tranqüilo

B = Oferecer bom pagamento

C = Ser prazeroso

Eu quero um emprego que seja

tranqüilo, ou que pague bastante,

ou que seja algo de que eu goste.

D = A + B + C

OR de três variáveis – Exemplo 1

4309/08/2017

ADIÇÃO LÓGICA4

D = Ajudar você

A = Ter tempo

B = Ser pago

C = Ter interesse

Eu vou te ajudar se eu tiver

tempo, ou se você pagar, ou

se eu tiver interesse nisso.

D = A + B + C

OR de três variáveis – Exemplo 2

4409/08/2017

OU EXCLUSIVO5

OU EXCLUSIVO

4509/08/2017

OU EXCLUSIVO5XOR de duas variáveis

C = A B

• OU exclusivo

• Exclusive OR - XOR

4609/08/2017

OU EXCLUSIVO5

• As sentenças requerem exclusividade.

• Um ou outro, mas não ambos.

• A sentença é verdadeira se uma e apenas uma das

variáveis for verdadeira.

• A sentença é verdadeira se as duas variáveis forem

diferentes.

• A sentença é falsa se as duas variáveis forem iguais.

XOR de duas variáveis

4709/08/2017

OU EXCLUSIVO5

B A AB

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

XOR de duas variáveis

4809/08/2017

9

OU EXCLUSIVO5XOR de duas variáveis

C = 0

C = 1C = 1 C = 0

4909/08/2017

OU EXCLUSIVO5

C = Querer o trabalho

A = Em Piracicaba

B = Em Capivari

Eu só quero trabalhar em Piracicaba ou em Capivari.

C = A B

XOR de duas variáveis – Exemplo 1

5009/08/2017

OU EXCLUSIVO5

C = Comer o bolo

A = Bolo de chocolate

B = Bolo de nozes

Vou comer o bolo de chocolate ou o de

nozes, mas não agüento comer os dois.

C = A B

XOR de duas variáveis – Exemplo 2

5109/08/2017

OU EXCLUSIVO5

C = Sair

A = Escolher a jaqueta de couro

B = Escolher a moleton

Hoje vou sair com a jaqueta

de couro ou com a moleton.

C = A B

XOR de duas variáveis – Exemplo 3

5209/08/2017

OU EXCLUSIVO5

C = Comer o sorvete

A = Estar com fome

B = Estar triste

Vou comer o sorvete de chocolate se estiver

com fome ou se estiver em depressão. Se

estiver triste, eu perco o apetite.

C = A B

XOR de duas variáveis – Exemplo 4

5309/08/2017

OU EXCLUSIVO5

C = Ingerir

A = Bebida fermentada

B = Bebida destilada

Vou ingerir uma bebida fermentada

ou uma bebida destilada.

C = A B

XOR de duas variáveis – Exemplo 5

5409/08/2017

10

OU EXCLUSIVO5

C = Escrever

A = Ter uma caneta

B = Ter um lápis

Para escrever, preciso de uma caneta ou um lápis.

C = A + B

Para escrever, uso uma caneta ou um lápis.

C = Escrever

A = Usar uma caneta

B = Usar um lápis

C = A B

XOR de duas entradas – Exemplo 6

5509/08/2017

OU EXCLUSIVO5Exemplo 6 – continuação

• É possível, para uma pessoa, precisar de

uma caneta e de um lápis ao mesmo

tempo, caracterizando, assim, um “OU

inclusivo”.

• Não é possível, para uma pessoa, usar

uma caneta e um lápis ao mesmo tempo,

caracterizando, assim, um “OU” exclusivo.

• A determinação se o “OU” é inclusivo ou

exclusivo depende da interpretação do

texto. Nem sempre isso é fácil.

5609/08/2017

NAND6

NAND

5709/08/2017

NAND6

• A sentença é falsa se, e somente se,

as duas variáveis forem verdadeiras.

• No contrário, a sentença é verdadeira

• Se uma das variáveis de entrada for

falsa, a variável de saída é verdadeira.

C = /(A * B)

NAND de duas variáveis

5809/08/2017

NAND6

B A /(A*B)

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

NAND de duas variáveis

5909/08/2017

NAND6NAND de duas variáveis

C = 1

C = 1C = 1 C = 0

6009/08/2017

11

NAND6

/C = A * B

C = /(A * B)

C = Ser aprovado

A = Perder a matéria

B = Ser displicente nos estudos em casa

O aluno não é aprovado se o aluno perder a

matéria e se for displicente nos estudos em casa.

NAND de duas entradas – Exemplo 1

6109/08/2017

NAND6

/C = A * B

C = /(A * B)

C = Eu perdoar você

A = Você fazer mal a mim

B = Você pedir perdão a mim

Eu não vou perdoar você se você

fizer mal a mim e não pedir perdão.

NAND de duas variáveis – Exemplo 2

6209/08/2017

NOR7

NOR

6309/08/2017

NOR7

• Se uma das variáveis de entrada for

verdadeira, a variável de saída é falsa.

C = /(A + B)

• A sentença é verdadeira se, e somente

se, as duas variáveis forem falsas.

• No contrário, a sentença é falsa.

NOR de duas variáveis

6409/08/2017

NOR7

B A /(A+B)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

NOR de duas variáveis

6509/08/2017

NOR7NOR de duas variáveis

C = 0

C = 0C = 0 C = 1

6609/08/2017

12

NOR7

C = O café estar bom

A = O café estar frio

B = O café estar amargo

O café não fica bom se estiver frio ou amargo.

NOR de duas variáveis – Exemplo 1

/C = A + B

C = /(A + B)

6709/08/2017

NOR7

/C = A + B

C = /(A + B)

C = Seu cônjuge amar você

A = Você desrespeitá-lo

B = Você desprezá-la

Seu cônjuge não mais te amará se você

desrespeitá-lo ou se você desprezá-lo.

NOR de duas variáveis – Exemplo 2

6809/08/2017

NOR7

/C = A + B

C = /(A + B)

C = Ir ao cinema

A = Fazer bagunça

B = Bater na irmãzinha

Mãe para o filho: Você não vai ao cinema

se continuar fazendo bagunça ou se

continuar batendo na sua irmãzinha.

NOR de duas variáveis – Exemplo 3

6909/08/2017

NOR7

/C = A + B

C = /(A + B)

C = Entrar na escola

A = Estar embriagado

B = Portar arma

O aluno não entra na escola se estiver

embriagado ou portando arma.

NOR de duas variáveis – Exemplo 4

7009/08/2017

NOR7

/C = A + B

C = /(A + B)

C = A economia funcionar

A = O governo imprimir dinheiro

B = O governo oferecer crédito subsidiado

A economia de um país não funciona

se o governo imprime dinheiro e se

oferece crédito subsidiado.

NOR de duas variáveis – Exemplo 5

7109/08/2017

NOR7

/C = A * B

C = /(A * B)

C = O homem sentir-se realizado

A = Trabalhar em um serviço imoral

B = Trabalhar em um serviço ilegal

O homem não se sente realizado se for

trabalhar em um serviço imoral ou ilegal.

NOR de duas variáveis – Exemplo 6

7209/08/2017

13

8 TEOREMAS

TEOREMAS

7309/08/2017

8 TEOREMAS

• Excluded Middle

• Princípio do meio excluído: Não há um

terceiro valor para a lógica booleana.

• Uma dupla negação não tem efeito.

• Uma quantidade par de negações não

tem efeito.

• Uma quantidade ímpar de negações pode

ser representado por uma única negação.

Dois valoers

7409/08/2017

8 TEOREMAS

A * B = /(/A + /B)

B A A*B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A ou B ou ambos são

falsos, a sentença é falsa.

A e B são verdadeiros, a

sentença é verdadeira.

Teorema de De Morgan – modo 1

7509/08/2017

8 TEOREMAS

C = A * B

C = Implantar o projeto

A = Ter tempo

B = Ter dinheiro

A implantação deste projeto

requer tempo e dinheiro.

Este projeto não pode ser implantado se não houver

tempo ou se não houver dinheiro, ou ambos.

/C = (/A + /B)

Teorema de De Morgan – modo 1 – Exemplo

7609/08/2017

8 TEOREMAS

A + B = /(/A * /B)

B A A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1A ou B ou ambos são

verdadeiros, a sentença

é verdadeira.

A e B são falsos, a

sentença é falsa.

Teorema de De Morgan – modo 2

7709/08/2017

8 TEOREMAS

C = A + B

C = Sair de casa

A = Ir trabalhar

B = Ir passear

Eu vou sair de casa se tiver que

trabalhar ou se quiser passear.

Eu não vou sair de casa se não tiver

que trabalhar e se eu não for passear.

/C = (/A * /B)

Teorema de De Morgan – modo 2 – Exemplo

7809/08/2017

14

8 TEOREMAS

A + A = A

0 + 0 = 0

1 + 1 = 1

Elemento idêntico da adição lógica

7909/08/2017

8 TEOREMAS

Para se formar, o aluno deve estudar.

B = O aluno formar-se

A = O aluno estuda

Para se formar, ou o aluno estuda, ou ele estuda.

B = A + A

B = A

Elemento idêntico da adição lógica – Exemplo 1

8009/08/2017

8 TEOREMAS

O escravo obedece.

B: A sentença

A = O escravo obedecer

O escravo, ou obedece, ou obedece.

B = A + A

B = A

Elemento idêntico da adição lógica – Exemplo 2

8109/08/2017

8 TEOREMAS

A * A = A

0 * 0 = 0

1 * 1 = 1

Elemento idêntico da multiplicação lógica

8209/08/2017

8 TEOREMAS

A criança chorava...

B: A sentença

A = A criança chorar

A criança chorava e chorava...

B = A * A

B = A

Elemento idênt. da multiplic. lógica – Exemplo 1

8309/08/2017

8 TEOREMAS

Eu esperei você.

B = A sentença

A = Eu esperar você

Eu esperei você por horas e horas.

B = A * A

B = A

Elemento idênt. da multiplic. lógica – Exemplo 2

8409/08/2017

15

8 TEOREMAS

Eu somente escolheria você.

B = Eu precisar escolher duas pessoas neste mundo

A = Eu escolher você

Meu amor, se eu precisasse escolher duas

pessoas neste mundo, eu escolheria você e você.

B = A * A

B = A

Elemento idênt. da multiplic. lógica – Exemplo 3

8509/08/2017

8 TEOREMAS

A + /A = 1

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Elemento inverso da adição lógica

8609/08/2017

8 TEOREMAS

O ladrão será procurado.

B = O ladrão ser procurado

A = O ladrão estar vivo

/A = O ladrão estar morto

O ladrão está sendo procurado vivo ou morto.

B = 1

B = A + /A

Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 1

8709/08/2017

8 TEOREMAS

Você vai fazer o serviço.

B = Você fazer o serviço

A = Você querer

/A = Você não querer

Você vai fazer o serviço, quer você queira, quer não.

Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 2

B = 1

B = A + /A

8809/08/2017

8 TEOREMAS

Você vai sair dessa cama.

B = Você sair dessa cama

A = Você sair por bem

/A = Você sair por mal

Você vai sair dessa cama por bem ou por mal.

Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 2

B = 1

B = A + /A

8909/08/2017

8 TEOREMAS

A sentença é verdadeira.

B = A sentença

A = Você tem

/A = Você não tem

Fiat Stilo, ou você tem, ou você não tem.

Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 3

B = 1

B = A + /A

9009/08/2017

16

8 TEOREMAS

A * /A = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

Elemento inverso da multiplicação lógica

9109/08/2017

8 TEOREMAS

Nunca haverá paz na selva.

B = Haver paz na selva

A = Satisfazer a caças

/A = Satisfazer a caçadores

Para que haja paz na selva, é preciso

satisfazer a caças e a caçadores.

Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 1

B = A * /A

B = 0

9209/08/2017

8 TEOREMAS

Não dá para agradar a ambos.

B = Agradar

A = A Deus

/A = Ao diabo

Quero agradar a Deus e ao diabo.

Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 2

B = A * /A

B = 0

9309/08/2017

8 TEOREMAS

B = A sentença

A = Eu te amo

/A = Eu te odeio

Eu te amo, mas, ao mesmo

tempo, eu te odeio.

B = A * /A

B = 0

A sentença é falsa.

Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 3

9409/08/2017

8 TEOREMAS

B = A sentença

A = Querer ser rico

/A = Querer um mundo igualitário

Quero ser rico, mas luto

por um mundo igualitário.

B = A * /A

B = 0

Trata-se de uma utopia.

Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 4

9509/08/2017

8 TEOREMAS

A + 0 = A

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

Elemento indiferente da adição lógica

9609/08/2017

17

8 TEOREMAS

O projeto vai fracassar

somente se o mercado

financeiro entrar em crise.

B = O projeto fracassar

A = O mercado financeiro entrar em crise

0 = A Terra ser invadida por alienígenas

Para que este projeto fracasse, só mesmo se o mercado financei-

ro entrar em crise ou se a Terra for invadida por alienígenas.

B = A

B = A + 0

Elemento indif. da adição lógica – Exemplo 1

9709/08/2017

8 TEOREMAS

Eu vou pedir demissão

somente se conseguir

outro emprego melhor.

B = Eu pedir demissão

A = Eu conseguir outro emprego melhor

0 = Eu ganhar na loteria

Eu vou pedir demissão somente se conseguir

outro emprego melhor ou se ganhar na loteria.

B = A

B = A + 0

Elemento indif. da adição lógica – Exemplo 2

9809/08/2017

8 TEOREMAS

A * 1 = A

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1

Elemento indiferente da multiplicação lógica

9909/08/2017

8 TEOREMAS

Basta que o mercado financeiro se recomponha.

B = O projeto funcionar

A = O mercado financeiro se recompuser

1 = O tempo passar

Para que este projeto funcione,

basta que o mercado financeiro se

recomponha e que o tempo passe.

B = A

B = A * 1

Elemento indif. da multiplic. lógica – Exemplo 1

10009/08/2017

8 TEOREMAS

Basta estudar.

B = Passar na prova

A = Estudar

1 = Ter um cérebro

Para você passar na prova,

basta estudar e ter um cérebro.

B = A

B = A * 1

Elemento indif. da multiplic. lógica – Exemplo 2

10109/08/2017

8 TEOREMAS

A + 1 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 1

Elemento nulo da adição lógica

10209/08/2017

18

8 TEOREMAS

O momento desejado vai chegar.

B = O momento desejado chegar

A = Distrair-se com outra coisa

1 = Deixar o tempo passar

Para o momento desejado chegar, basta deixar o

tempo passar, ou, então, distrair-se com outra coisa.

B = 1

B = A + 1

Elemento nulo da adição lógica – Exemplo

10309/08/2017

8 TEOREMAS

A * 0 = 0

0 * 0 = 0

1 * 0 = 0

Elemento nulo da multiplicação lógica

10409/08/2017

8 TEOREMAS

Você não permanecerá jovem.

B = Permanecer jovem

A = Cuidar da saúde

0 = Retardar o avanço do tempo

Para permanecer jovem, basta cuidar da

saúde e retardar o avanço do tempo.

B = 0

B = A * 0

Elemento nulo da multiplic. lógica – Exemplo

10509/08/2017

8 TEOREMAS

(A * B) + (A * C) = A * (B + C)

Distributiva da multiplicação sobre a adição

10609/08/2017

8 TEOREMAS

D = Almoço

A = Arroz

B = Feijão

C = Lentilha

Para o almoço, quero arroz com feijão ou arroz com lentilha.

Para o almoço, quero arroz com feijão ou com lentilha.

Distrib. da multipl. sobre a adição – Exemplo 1

D = (A * B) + (A * C)

D = A * (B + C)

10709/08/2017

8 TEOREMAS

D = Dança

A = João

B = Sua mãe

C = Sua esposa

A dança de formatura pode ser

representada pelo João com a sua mãe

ou com a sua esposa.

D = (A * B) + (A * C)

D = A * (B + C)

A dança pode ser interpretada pelo João

com a sua mãe ou com a sua esposa.

Distrib. da multipl. sobre a adição – Exemplo 2

10809/08/2017

19

8 TEOREMAS

(A + B) * (A + C) = A + (B * C)

Distributiva da adição sobre a multiplicação

10909/08/2017

8 TEOREMAS

• Nem todas as combinações das variáveis

de entrada precisam ser usadas.

• A decisão a ser tomada nas

possibilidades que jamais acontecerão

são irrelevantes.

Irrelevância

11009/08/2017

8 TEOREMAS

C = Comprar uma casa

A = Conseguir o emprego

B = Começar a trabalhar

Se eu conseguir aquele emprego e

começar a trabalhar, comprarei uma casa.

Irrelevância – Exemplo 1

11109/08/2017

8 TEOREMASIrrelevância – Exemplo 1

B A A+B

0 0 0

0 1 0

1 0 X

1 1 1C = 0

C = 0 C = 1

B

A

C = Comprar uma casa

A = Conseguir o emprego

B = Começar a trabalhar

11209/08/2017

9 CASOS GERAIS

CASOS GERAIS

11309/08/2017

9 CASOS GERAIS

E = A escolha

A = Carne

B = Massa

C = Gelatina

D = Pudim

Para o almoço, você escolhe carne ou massa, e,

para sobremesa, você escolhe gelatina ou pudim.

E = (A + B) * (C + D)

Exemplo 1

11409/08/2017

20

9 CASOS GERAIS

A = /A

0 = 1

Redução ao absurdo

Serve para encontrar:

• Absurdo

• Mentira

• Contradição

• Incoerência

• Inconsistência

• Conflito

Reductio ad absurdum

11509/08/2017

9 CASOS GERAIS

Usado em situações como:

• Pais diante dos filhos

• Patrão diante do empregado

• Delegado diante do suspeito

• Etc

Reductio ad absurdum

11609/08/2017

9 CASOS GERAIS

• Queijo suíço: Este queijo tem o maior número de buracos.

1. Quanto mais queijo, mais buracos.

2. Se levarmos em consideração que os buracos ocupam o

lugar onde deveria ter queijo, quanto mais buracos, menos

queijo.

3. Se quanto mais queijo mais buracos e quanto mais buracos

menos queijo, logo quanto mais queijo, menos queijo.

1. A = B

2. B = /A

3. A = /A

A = Mais queijo

/A = Menos queijo

B = Mais buracos

O sistema é contraditório.

Exemplo 2

11709/08/2017

9 CASOS GERAISExemplo 2

• A frase 1, ao afirmar que, quanto mais queijo, mais

buracos, usa a palavra “queijo” para representar um

todo que inclui os buracos.

• A fase dois, ao afirmar que os buracos ocupam o lugar

onde deveria ter queijo, usa a palavra “queijo” para

representar o não-buraco, e, neste caso, não seria o

todo da frase um, mas, sim, a exclusão dos buracos.

• As frases 1 e 2 empregam um significado diferente

para a mesma palavra, queijo, e, por isso, não podem

ser usadas no mesmo argumento.

11809/08/2017

9 CASOS GERAIS

Indiana Jones, numa expedição na selva africana, foi

capturado por índios hostis. Horas depois, amarrado,

recebe a notícia de que seria morto, e que teria direito a

dizer uma última frase. Se a frase fosse verdadeira, ele

morreria de forma rápida e indolor. Se a frase fosse falsa,

ele morreria de forma lenta e dolorosa. Após muito pensar,

Indiana Jones decidiu qual seria sua frase. Após dizê-la, os

índios não souberam o que fazer e decidiram libertá-lo.

O que Indiana Jones disse?

Exemplo 3

11909/08/2017

9 CASOS GERAIS

Resposta: Indiana Jones disse:

Eu vou morrer de forma lenta e dolorosa.

A = Dizer verdade

B = Morrer de forma rápida e indolor

/A = Dizer mentira

/B = Morrer de forma lenta e dolorosa

A = B

/A = /B

Exemplo 3

12009/08/2017

21

9 CASOS GERAIS

Indiana Jones disse: Eu vou morrer de forma lenta

e dolorosa, e morre de forma lenta e dolorosa.

A = Dizer verdade

/B = Morrer de forma lenta e dolorosa

A = /B

/A = /B

Então A = /A

Exemplo 3 – Hipótese 1

12109/08/2017

9 CASOS GERAIS

Indiana Jones disse: Eu vou morrer de forma lenta

e dolorosa, e morre de forma rápida e indolor.

/A = Dizer mentira

B = Morrer de forma rápida e indolor

/A = B

A = B

Então /A = A

Exemplo 3 – Hipótese 2

12209/08/2017

9 CASOS GERAIS

O sistema não tem solução válida.

Indiana Jones usou a redução ao

absurdo para deixar os índios sem

alternativa, senão por libertá-lo.

Exemplo 3

12309/08/2017

9 CASOS GERAIS

• Um caminho leva à cidade.

• Uma pessoa diz a verdade, outra diz mentira.

• Eles sabem quem é quem, e qual o caminho certo.

• Você não sabe nem qual o caminho nem quem diz a verdade.

• Como descobrir qual caminho leva à cidade?

E D

Exemplo 4

12409/08/2017

9 CASOS GERAIS

Perguntar para uma das pessoas,

apontando para um dos caminhos:

Aquele caminho leva à cidade?

E D

Exemplo 4 – Opção 1

12509/08/2017

9 CASOS GERAIS

A opção 1 leva a uma resposta cuja veracidade

é indeterminada, ou seja, não tem valor.

“Aquele caminho leva à cidade?”

Exemplo 5 – Opção 1

12609/08/2017

22

9 CASOS GERAIS

E D

Exemplo 5 – Opção 2

Opção 2: Perguntar para uma das pessoas, apontando para um

dos caminhos, sobre qual seria a resposta da outra pessoa sobre

se aquele caminho leva à cidade.

12709/08/2017

9 CASOS GERAIS

V*F = F

1*0 = 0

A opção 2 sempre fornece uma resposta falsa, o

que, invertendo, vira uma resposta verdadeira.

“Se eu perguntar para aquela pessoa se aquele

caminho leva à cidade, o que ele vai responder?”

Exemplo 5 – Opção 2

12809/08/2017

9 CASOS GERAIS

E D

Perguntar para uma das pessoas, apontando para

um dos caminhos, sobre qual seria sua resposta.

Exemplo 5 – Opção 3

12909/08/2017

9 CASOS GERAIS

A = A

//A = A

A opção 3 sempre fornece uma resposta verdadeira.

“Se eu perguntar para você se aquele caminho

leva à cidade, qual será a sua resposta?”

Exemplo 5 – Opção 3

13009/08/2017

9 CASOS GERAIS

OpçãoCaminho

apontado

Caminho vai

pra cidade

Pessoa

indagada

0 Esquerdo Não Mentiroso

1 Esquerdo Não Honesto

2 Esquerdo Sim Mentiroso

3 Esquerdo Sim Honesto

4 Direito Não Mentiroso

5 Direito Não Honesto

6 Direito Sim Mentiroso

7 Direito Sim Honesto

Exemplo 5 – Hipóteses para testar em cada opção

13109/08/2017