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y' = x2y2Questão 1: (2 pts) (a) Resolva o PVI .

y(O)= 1

(b) Qual o domínio maximal da solução obtida no item (a)? Justifique!

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Questão 2: (3 pts) (a) Seja M um espaço métrico completo e seja F : M -+ M uma contração.

Dado Xl E M, mostre que a seqüência Xn = F(xn-d, n 2: 2, converge.

(b) Mostre que o limite da seqüência construída no item "a" é o único ponto fixo de F.

(c) Seja M um espaço métrico completo e seja G : M -+ M tal que G(k)= Go G o . . . o G (k vezes)

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Questão 3: (3 pts) Sejam a e f funções contínuas em l = (O,+00) e seja y uma solução qualquer

de y' + a(x)y = f(x).

(a) Mostre que, para todo XoE l, y(x) = y(xo)e-A(x) + e-A (x)lx eA(t)f(t) dt, onde A(x) = lx a(s) ds.Xo xo

(b) Suponha que a(x) > Opara todo x E l. Mostreque, dados Xoe x em l, Xo< x, existeçE (xo,x)

tal que 1~ eA(t)f(t) dt = ~~~~ [eA(x) - 1]. Dica: Use sem demonstrar que, se 9 e h são contínuas em

[a,b], então existe ç E (a, b) tal que lb g(t)h(t) dt = g(ç) lbh(t) dtot1~~(c) Suponha que a(x) ;:::c > Opara todo x E l e que lim f(x) = O. Mostre que, para todo I: > O,x-oo

existe XoE l tal que x > Xo => ly(x)1 :5 ly(xo)le-A(x) + 1:.

(d) Sob as mesmas hipóteses do item anterior, mostre que lim y(x) = O, ,

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r-- Questão 4: (4 Pts ) ( ) E t-

~ a ncon re as soluçoes constantes de y' = (y2 - 1)(y2 - 4).(b) Mostre que, se I é intervalo aberto, OE I, e se y : I --tJRé solução de

{y' = (y2 - 1)(y2 - 4) ,

então ly(x)1 < 1 para todo x E I. Dica: Use unicidade. y(O) = O

(c) Seja I = (a, b), b E JR,um intervalo aberto e seja Y : I --tJR uma 1-

d PVI.

. . . so uçao o aCIma.Mostreque o hmlte lateral hm y(x) existe e que -1 < 1. ( )x-+b- 1m y x < +1.(d) Qual o intervalo maximal da solução do PVi:~~ma?

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