XXX Olimpíada de Matemática - Colégio Líder.pdf
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XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br
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Professor: Leandro Brandão
XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase – Nível 1
6o ou 7o anos (antigas 5ª e 6ª séries) Prova realizada em 2008
01) Com segmentos de 1 cm de comprimento podemos formar triângulos. Por exemplo, com nove
desses segmentos podemos formar um triângulo eqüilátero de lado 3 cm. Com qual número de
segmentos a seguir é impossível formar um triângulo?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
(A) Com 4 segmentos é impossível formar um triângulo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e
2, o que impossibilita tal formação.
02) Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco latas de
leite em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa
ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinqüenta reais e quer saber
quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa a solução para
este problema?
A) 80,018)12,370,4(550 B) 5080,06312,3570,45
C) 5080,063)12,370,4(5 D) 80,063)12,370,4(550
E) 80,06)12,370,4(550
1. (C) Ela compra 5 latas de azeite a R$ 4,70 a lata, 5 latas de leite a R$ 3,12 cada e 3 caixas de
iogurte com 6 iogurtes em cada caixa a R$ 0,80 por iogurte. O total gasto com esses itens é
80,06312,3570,45 80,063)12,370,4(5 . Como ela paga com uma
nota de R$ 50,00, ela irá receber de troco
5080,063)12,370,4(580,063)12,370,4(550 .
03) Uma pesquisa foi feita entre pessoas de ambos os sexos, em igual número, com a seguinte
pergunta: Entre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor que você prefere?
Cada pessoa apresentou a sua preferência por uma, e só uma, dessas cores. E o resultado da
pesquisa aparece nos gráficos abaixo:
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Podemos concluir que, em relação ao total de pessoas pesquisadas, a ordem de preferência das
cores é:
A) I, II, III B) I, III, II C) II, I, III D) II, III, I E) III, II, I
(B) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.
Seja 2n o número de pessoas entrevistadas. A quantidade de pessoas cuja preferência
é pela cor I é de 19% das mulheres e 50% dos homens, ou seja,
0,19 0,50 0,69n n n ; pela cor II é de 0,33 0,32 0,65n n n e pela cor III é
0,48 0,18 0,66n n n . Nesse caso, a ordem de preferência das cores é II, III, I.
Observação: nessas situações, quando se fala em ordem, é usual colocarmos em
ordem crescente. Porém, serão consideradas corretas as duas maneiras: crescente ou
decrescente.
04) O quociente e o resto na divisão de 26097 por 25 são, respectivamente:
A) 1043 e 22 B) 1044 e 3 C) 143 e 22 D) 1044 e 22 E) 144 e 3
05) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um
número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das
pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um
projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista.
Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista?
A) 2 B) 6 C) 20 D) 41 E) 62
C) Apareceram duas vezes na lista o nome das pessoas que tinham um número par e múltiplo
de 3, que no intervalo dado é o conjunto 6,12,18, ...,120 . Como
1 6 6, 2 6 12, 3 6 18, ..., 20 6 120 , há 20 números nesse conjunto.
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06) Sobre uma mesa retangular de uma sala foram
colocados quatro sólidos, mostrados no desenho. Uma
câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou
o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa
melhor essa fotografia?
(E) Olhando de cima, o cubo maior está em frente ao cubo menor. O esboço que
representa melhor essa fotografia é o apresentado na alternativa E.
07) Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe
foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
(B) De todos os alunos dessa classe, 60% (22 18) 0,60 40 24 foram prestar trabalho
comunitário. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando
número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolveram, restando
assim o mínimo de 24 22 2 vagas para as meninas.
08) Uma urna contém 2008 cartões. Cada cartão recebeu um número diferente, a partir do número
1 até o 2008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam-se os números dos cartões. Quantos
números ímpares diferentes podem ser obtidos dessa maneira?
A) 1004 B) 1005 C) 2007 D) 2008 E) 4016
(C) A soma de dois inteiros é ímpar quando um é par e o outro é ímpar (caso contrário, a
soma é par). O menor resultado que satisfaz as condições dadas é 321 e o maior,
401520082007 , e pode-se obter qualquer ímpar entre 3 e 4015 com os números
disponíveis nos cartões, ou seja, os números ímpares que podem ser obtidos estão no
conjunto 4015...,,7,5,3 .
No conjunto 4016,4015...,,7,6,5,4,3,2,1 há 4016 números, dentre os quais não nos
interessa os 200824016 pares e o número 1. Logo a quantidade de números ímpares
diferentes que pode ser obtida dessa maneira é 2007120084016 .
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09) Juntando quatro trapézios iguais de bases 30 cm e 50 cm,
como o da figura ao lado, podemos formar um quadrado de área
2500 cm2, com um “buraco” quadrado no meio. Qual é a área
de cada trapézio, em cm2?
50 cm
45o
45o
30cm
A) 200 B) 250 C) 300 D) 350 E) 400
(E) Juntando os quatro trapézios, formamos um quadrado de área 2500 cm2. Como o “buraco”
quadrado no meio tem área 9003030 cm2, a área de cada um dos 4 trapézios, em cm2, é
400416004)9002500( .
10) Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares?
A) 20 B) 48 C) 100 D) 125 E) 225
(D) Seja ABC um número par de três algarismos. Nesse caso, há exatamente 5 possibilidades
para o algarismo C : 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter dois algarismos ímpares, os
algarismos A e B deverão preenchidos com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para
cada um. Logo 125555 números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares.
11) Sabe-se que 9
2 do conteúdo de uma garrafa enchem
6
5 de um copo. Para encher 15 copos
iguais a esse, quantas garrafas deverão ser usadas?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
(C) Serão necessárias 4garrafas5
6
9
215
copos
garrafascopos15
65
92
garrafas.
12) Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
(E) Podem ser construídos 10316 quadrados com vértices nos
pontos do reticulado, conforme mostra a seqüência de desenhos a seguir.
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13) A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008.
Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
(C) É verdade que 14 de junho de 2008 é um sábado. Logo 14 de junho de 2009 será um
domingo, de 2010 será uma segunda-feira, de 2011 será uma terça-feira, de 2012 (que é bissexto)
será uma quinta-feira, de 2013 será uma sexta-feira e, finalmente, de 2014 será um sábado.
Portanto a próxima vez que o dia 14 de junho será num sábado acontecerá daqui a 6 anos.
14) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, e
são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão
?
A) 5
3 B)
5
4 C) 1 D)
4
5
E) 3
5
(D) Como CE CD , ( ) (180 20 ) 2 80m CÊD . Logo ( ) 180 80 100m CÊB e,
como BE CE , (180 100 ) 2 40 . Além disso, ( ) ( ) 80m BÊA m CÊD e, como
AE BE , (180 80 ) 2 50 . Portanto o valor da razão
é
50 5
440 .
15) Na multiplicação ao lado, alguns algarismos, não necessariamente
iguais, foram substituídos pelo sinal *. Qual é a soma dos valores
desses algarismos?
A) 17 B) 27 C) 37 D) 47 E) 57
(C) Vemos a multiplicação de um número de três algarismos por um outro de dois algarismos
terminado em 7, que pode ser, portanto, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 ou 97. Desses 9 números, o
único divisor de 6157 é 47, o que nos dá 131476157 . Assim, a multiplicação é:
6157
524
917
47
131
E a soma dos números substituídos pelo sinal * é 374257194131 .
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16) Três amigos moram na mesma rua: um médico, um engenheiro e um professor. Seus nomes
são: Arnaldo (A), Bernaldo (B) e Cernaldo (C). O médico é filho único e o mais novo dos três
amigos. Cernaldo é mais velho que o engenheiro e é casado com a irmã de Arnaldo. Os nomes do
médico, do engenheiro e do professor, nessa ordem, são:
A) A, B, C B) C, A, B C) B, A, C D) B, C, A E) A, C, B
(C) Como Cernaldo é casado com a irmã de Arnaldo e não é o mais novo, e o médico é filho
único, Bernaldo é o médico. O médico é o mais novo dos três amigos e como Cernaldo é mais
velho que o engenheiro, Arnaldo é o engenheiro e Cernaldo é o professor.
17) Dois cartões iguais têm a forma de um triângulo
retângulo de lados 5 cm, 12 cm e 13 cm. Esmeralda
juntou os dois cartões sobre uma folha de papel e,
contornando as beiradas com um lápis, obteve uma
figura como a ao lado, que está fora de escala. Qual é o
perímetro dessa figura?
A) 28 cm B) 35 cm C) 42 cm D) 43 cm E) 60 cm
(C) Os triângulos retângulos utilizados têm catetos 5 cm e 12 cm e hipotenusa 13 cm. Desse
modo, temos:
5
12
12
A
B
C
D
Como os ângulos e são iguais, pois os lados de 12 cm são paralelos, o triângulo ABC é
isósceles e, portanto, AB BC e BD AB . Conseqüentemente, BD BC e, assim,
13BD BC AD cm . Finalmente, o perímetro procurado é 12 5 12 13 42 cm .
18) Qual é o maior número de algarismos que devem ser apagados do número de 1000 algarismos
20082008…2008, de modo que a soma dos algarismos restantes seja 2008?
A) 130 B) 260 C) 510 D) 746 E) 1020
. (D) A estratégia para apagar o maior número de algarismos é eliminar a maior quantidade
possível de algarismos de menor valor. Vamos começar pelos 50021000 zeros que
aparecem no número. Restam agora 250 algarismos 2 e 250 algarismos 8, cuja soma é
2500200050082502250 . Apagamos agora a maior quantidade de algarismos 2 e
como 49220082500 , podemos atingir nossa meta apagando 2462492 algarismos 2.
Portanto o maior número de algarismos que devem ser apagados é 746246500 .
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19) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar
cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco
partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados
da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser
girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?
A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120
C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.
(C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4
cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte
com uma cor diferente, e isso pode ser feito de 64
1234
maneiras de modo que
não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras
iguais de se pintar os cartões, pois girando-se cada uma delas, obtém-se as outras três.
Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá
produzir 3065 cartões diferentes.
(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então
só precisamos dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.
20) Três carros com velocidades constantes cada um, na mesma estrada, passam no mesmo
momento por Brasilópolis. Ao viajar 100 quilômetros, o carro A passa por Americanópolis, 20
quilômetros à frente do carro B e 50 quilômetros à frente do carro C. Quando o carro B passar por
Americanópolis, quantos quilômetros estará à frente do carro C?
A) 20 B) 25,5 C) 30 D) 35 E) 37,5
(E) No trajeto de 100 km, como o carro A passa por Americanópolis 20 quilômetros à frente do
carro B, o carro B já percorreu 8020100 km do trajeto e, de forma análoga, o carro C já
percorreu 5050100 km do mesmo trajeto. Perceba que, enquanto o carro B percorre 80 km,
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o carro C percorre 50 km, ou seja, enquanto o carro C percorre 1 km, o carro B percorre
6,15080 km. Assim, quando o carro B passar por Americanópolis, tendo percorrido os 20
km que lhe faltam, o carro C terá percorrido 5,126,120 km e estará
5,37)5,1250(100 km atrás do carro B.