Xxivjft raupp
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XXIV Jornada de Física Teórica
MINI-CURSO:
Tópicos Especiais de Dinâmica da Atmosfera
Professor:
Carlos Frederico Mendonça Raupp (IFT-UNESP)
E-mail: [email protected]
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Introdução
Atmosfera: constitui um invólucro fluido em torno do planeta que está em incessante movimento devido, em última instância, ao aquecimento diferenciado pelo sol sobre a Terra;
Escoamento atmosférico: caracterizado por movimentos que estendem-se desde escalas milimétricas até às escalas comparáveis com o próprio tamanho do planeta movimentos de escala planetária;
Fluidos geofísicos: escoamento é significativamente afetado pela rotação do planeta;
Movimentos na atmosfera: devem ser descritos por um conjunto acoplado de equações que representam as leis da hidrodinâmica e da termodinâmica; Hipótese do Contínuo
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Perfil vertical idealizado de temperatura de acordo com a atmosfera padrão. Fonte: Wallace e Hobbs (1977).
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MODELO DE ÁGUA-RASA COM ROTAÇÃO
Para os movimentos de grande-escala na atmosfera tem-se que L >> H, sendo L a escala típica de comprimento horizontal dos movimentos e H a escala de altura típica da troposfera;
Para esses movimentos, em primeira aproximação, a equação da continuidade pode ser escrita como , enquanto a equação do movimento vertical pode ser aproximada pelo balanço hidrostático;
Dessa forma, vários “ingredientes dinâmicos” desses movimentos podem ser descritos por um modelo de uma camada de fluido homogêneo e hidrostático modelo de água-rasa;
0v
div
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Equações de Navier-Stokes para uma camada de fluido homogêneo (densidade constante), hidrostático e sobre a Terra em rotação:
x
pf
z
uw
y
u
x
uu
t
u
1
vv (1a)
y
pfu
zw
yxu
t
1vv
vvv (1b)
gz
p
(1c)
0v
z
w
yx
u (1d)
Onde V = (u, v, w)T vetor velocidade
p pressão hidrostática; densidade (constante)
g aceleração efetiva da gravidade e f parâmetro de Coriolis
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Fig. 1: Representação esquemática do modelo de água rasa aplicado à atmosfera. (Fonte: Matsuno, 1966)
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Se = const (fluido homogêneo, tomando a derivada em x ou em y da equação hidrostática, tem-se que:
0
x
p
z0
y
p
z(1.2)
Logo, u e v também não dependem de z.
)(v
),0,,(),,,(v
0 0
hHyx
utyxwthHzyxwdz
yx
udz
z
whH hH
(1.3)Condições de fronteira: (i) w(x,y,0,t) = 0 (sem topografia)
(ii) y
h
x
hu
t
h
dt
dhHhzw
v)(
0vv
v
yx
uh
yx
uH
y
h
x
hu
t
h(1.4)
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Integrando a equação hidrostática em uma coluna de altura h, tem-se:
gz
p
xhgp x
hg
x
p
x
hg
x
px
0lim
yhgp y
hg
y
p
y
hg
y
p y
0lim
(1.5a,b)
0vv
xf
y
u
x
uu
t
u Substituindo nas equações (1.a,b), obtém-se:
0v
vvv
yfu
yxu
t
0vv
v 2
yx
u
yx
uc
yxu
t
(1.6a)
(1.6b)
(1.6c)
= gh perturbação do geopotencial
gHc Velocidade das ondas de gravidade puras
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Simular o efeito da convecção térmica inclusão de uma fonte de massa F na equação da continuidade (1.6c) pode também representar o efeito do aquecimento associado à liberação de calor latente na atmosfera:
uy
u
x
uu
xf
t
u
vv
vv
vvv
yxu
yfu
t
Fyx
u
yxu
yx
uc
t
vv
v2
(1.7a)
(1.7b)
(1.7c)
onde é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano
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Linearizando em relação a um estado básico em repouso:
ux
ft
u
v
vv
yfu
t
Fyx
uc
t
v2
(1.8a)
(1.8b)
(1.8c)
onde é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano
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DERIVAÇÃO DO MODELO DE ÁGUA RASA VIA SOLUÇÃO DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS POR SEPARAÇÃO
DE VARIÁVEIS
Modelo de equações primitivas linearizado em relação a um estado básico em repouso usando a pressão como coordenada vertical:
0vu
xf
t
0uv
yf
t
0vu
pyx
pC
J
P
R
pt
(1.9a)
(1.9b)
(1.9c)
(1.9d)
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Onde: geopotencial
velocidade vertical em coordenada-p
J termo de aquecimento/resfriamento diabático
R constante dos gases para o ar seco
Cp calor específico a pressão constante
Parâmetro de estabilidade estática do estado básico
T = T (p) temperatura do estado básico
dp
Td
pC
TR
p
R
p
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Fazendo 1/ / p (1.9d), obtém-se:
p
J
pC
R
yx
u
ppt p
v1
(1.10)
Supor inicialmente o caso adiabático, i.e., J 0 (analisar os modos normais do sistema):
0vu
xf
t
0uv
yf
t
0v1
yx
u
ppt
(1.11a)
(1.11b)
(1.11c)
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)12.1()(
),,(ˆt)y,(x,v
),,(ˆ
v pG
tyx
tyxuu
Fazendo a seguinte separação de variáveis:
0ˆ
vu
Gx
ft
0ˆ
uv
Gy
ft
0vˆ1ˆ
Gyx
u
dp
dG
dp
d
t
(1.13a)
(1.13b)
(1.13c)
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)14.1(1vˆ
ˆ
2c
dp
dG
dp
d
G
yx
ut
De (1.13c), segue que:
c constante de separação (tem dimensão de velocidade)
Logo, a estrutura horizontal é governada por:
0ˆ
vˆ
xf
t
u
0ˆ
ˆv
yuf
t
0vˆˆ
2
yx
uc
t
(1.15a)
(1.15b)
(1.15c)
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Equação da Estrutura Vertical
De (1.14) segue que a estrutura vertical é governada pela seguinte equação:
)16.1(011
2
G
cdp
dG
dp
d
Supondo como condições de fronteira para o sistema (1.9) = 0 em p = 0 (topo)e em p = p0 (superfície), tais condições são escritas como:
dG / dp = 0 em p = 0 (1.17a)
dG / dp = 0 em p = p0 (1.17b)
A eq. (1.16) com as condições de fronteira (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville.
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Supondo ainda que é constante com a pressão, tem-se que (1.16) torna-se:
022
2
Gcdp
Gd
Equação Característica:
)18.1(02
2 c
Solução Geral:
ipc
ipc BeAepG
)( (1.20)
)19.1(ic
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Aplicando a condição de fronteira (1.17a) em p = 0, tem-se que A = B. Aplicando a condição de fronteira (1.17b) em p = p0, tem-se:
000
pc
ipc
ieei
c
mp
coup
csin
00 0 (1.21)
m = 0, 1, 2, 3, ...
Logo:
0pm
cm
(1.22) Autovalores
p
cpG
mm
cos)( (1.23) Autofunções
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m cm (ms-1)
0
1 40,02
2 20,2
3 13,5
4 10,1
Tabela .11: Autovalores cm da equação da estrutura vertical (1.16) com
as condições de fronteira (1.17a,b) para p0 = 1000hPa e = 1,6 x 10-6 m4
s2 Kg-2.
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Soluções de Ondas Lineares das Equações da Água Rasa
Vamos considerar caso do plano -equatorial:
f = y (2.1)
Onde = 2/a Parâmetro de Rossby
0v
xy
t
u
0v
yyu
t
0v2
yx
uc
t
(2.2a)
(2.2b)
(2.2c)
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É conveniente transformar as equações para a forma adimensional, utilizando as escalas:
2
1
c
L 2
1
1
cT (2.3)
Fig. 2.1: Número de unidades de tempo adimensionais por dia (escala da esquerda) ou escala de tempo [T] em dias (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)
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Fig. 2.2: Número de unidades de comprimento adimensionais por 1000Km (escala da esquerda) ou escala de comprimento [L] em quilômetros (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)
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Usando c como escala para u e v e c2 = gH como escala de , tem-se:
0v
xy
t
u
0v
yyu
t
0v
yx
u
t
(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
Condições de fronteira: ),,(v),,(v tyLx
u
tyx
u
x
(2.5a)
0),,(vlim
tyx
u
y
(2.5b)
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Buscando soluções na forma de ondas planas (Ansatz de ondas planas):
tiikx
k
k
ke
uu
kvv (2.6)
0vk kkk ikyui
0vk dy
dyui k
kk
0dy
vk d
ikui kkk
(2.7a)
(2.7b)
(2.7c)
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Na forma vetorial:
(ikI + k)k = 0 (2.8)
k número de onda zonal
k = [uk, vk, k]T autovetor
k freqüência temporal (autovalor)
0
0
0
dy
dik
dy
dy
iky
k(2.9)
Operador linear (anti-hermitiano)
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É possível reduzir o sistema (2.7) a uma única equação diferencial ordinária em vk, dada por
0v--v 222
2
2
k
kk
k yk
kdy
d
vk 0 quando |y|
Solução:
)()(v 2k
2
yHey n
y
Desde que seja satisfeita a relação de dispersão abaixo:
12- 22 nk
kk
k , n = 0, 1, 2, .... (2.10)
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Fig. 2.3: Diagrama de dispersão de algumas ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).
![Page 29: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/29.jpg)
Fig. 2.4: Diagrama da velocidade de grupo das ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).
![Page 30: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/30.jpg)
As autofunções são dadas por:
2
y
1nrn,k,1nrn,k,
n22
rn,k,
1nrn,k,1nrn,k,
rn,k,
2
e
(y)k)Hin(ω(y)k)H(ω2
i(y)Hkω
(y)k)Hin(ω(y)k)H(ω2
i
(y)ξ
(2.11)
Para n > 0
2
y
0
0
1,3k,
2
e
(y)H
0
(y)H
(y)ξ
(2.12)
Para n = -1 (Kelvin)
Estas autofunções formam um conjunto ortogonal e completo no espaço das funções de quadrado integrável em (-, + ).
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Fig. 2.5: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de Rossby para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)
![Page 32: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/32.jpg)
Fig. 2.6: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de gravidade-inerciais para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)
![Page 33: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/33.jpg)
Fig. 2.7: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas mistas de Rossby-gravidade (n = 0). (Adaptado de Raupp, 2002.)
![Page 34: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/34.jpg)
Fig. 2.8: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada à onda de Kelvin (n = -1). (Adaptado de Raupp, 2002.)
![Page 35: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/35.jpg)
Solução Geral das Equações da Água Rasa Através do Método Espectral
Modelo de equações primitivas forçado por um perfil de aquecimento diabático dado por J(x,y,p,t).
ux
yt
vu
vuv
yy
t
ppp
J
pcyx
u
ppt p
1v1
(3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
coeficiente de dissipação de momento e de resfriamento Newtoniano.
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Dado que a equação da estrutura vertical (1.16), com C.F. (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville:
J
jjj pGtyxutpyxu
1
)(),,(),,,(
J
jjj pGtyxtpyx
1
)(),,(v),,,(v
J
jjj pGtyxtpyx
1
)(),,(),,,(
J
jjj pGtyx
p
J
p 1
)(),,(q
(3.2)
Onde os coeficientes de expansão são dados por:
0
0
)(),,,(),,(p
j dppGtpyxutyxu 0
0
)(),,,(v),,(vp
j dppGtpyxtyx
0
0
)(),,,(),,(p
j dppGtpyxtyx
0
0
)(),,(p
j dppGp
J
ptyxq
(3.3)
![Page 37: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/37.jpg)
Substituindo (3.2) em (3.1), multiplicando as equações resultantes por Gm(p), usando a equação da estrutura vertical (1.16) para cada um dos modos verticais, integrando as equações resultantes no intervalo [0,p0] e
usando a ortogonalidade das autofunções Gj(p) obtém-se:
jjj u
xy
t
u
jv
jj v
v
yyu
tj
j
jjjj
jj qc
yx
uc
t
2j2
v
(3.4a)
(3.4b)
(3.4c)
![Page 38: Xxivjft raupp](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062420/55b2cd9cbb61ebee4b8b465f/html5/thumbnails/38.jpg)
Ft
Escrevendo na forma adimensional, usando as mesmas escalas usadas anteriormente:
(3.5)
Onde = [u(x,y,t), v(x,y,t), (x,y,t)]T
0
0
0
yx
yy
xy
(3.6)
F = [0, 0, F]T com F = q (c5)-1/2 (3.7)
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Dado que as autofunções k,n,r(y) formam um conjunto ortogonal e
completo em (-<y<)e que as funções trigonométricas complexas eikx
formam um conjunto ortogonal e completo no intervalo [-Lx,Lx]:
k n r
ikxrnkrnk eytgtyxG
1
3
1,,,, )()(),,( (3.8)
gk,n,r(t) = < Gk(y,t) k,n,r(y)> (3.9) , onde
dyytygyutygytygyutygytyG rnkkrnkkrnkkrnkkrnkk
)(),()(),()(v),()(),()(),( *,,3
*,,1,,2
*,,1,,
(3.10)
x
x
L
L
ikx
xk dxetyxG
LtyG ),,(
1),( (3.11)
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(x,y,t) = ck,n,r(t) k,n,r(y)eikx
k n r1
3
1
F(x,y,t) = fk,n,r(t) k,n,r(y)eikx
k n r1
3
1
Dessa forma, as variáveis de estado e a forçante podem ser expressas por suas respectivas expansões em série:
(3.12)
Substituindo a equação (3.12) em (3.5), multiplicando escalarmente por *
s,m,l(y)e-isx , integrando a expressão obtida no domínio todo e usando a
relação (2.8) e a ortogonalidade das autofunções k,n,r(y)eikx no domínio
[-Lx,Lx] X (-<y<):
)()()()(
,,,,,,,,,, tctftci
dt
tdcrnkrnkrnkrnk
rnk (3.13)
para cada k, n, r.
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A solução geral é dada por:
dsesfectc tsit
rnkti
rnkrnkrnkrnk ))((
0
,,)(
,,,,,,,, )()0()(
Previsão de tempo Previsão climática
1][
)0()( )(
,,
,,,,,,
,,,,
ti
rnk
rnkrnkrnk
rnktrnki
ei
fectc
No caso de uma forçante estacionária, a solução é dada por:
(3.14)
(3.15)
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Para = 0, ocorre ressonância com os modos geostróficos zonalmente simétricos (k = 0 e = 0):
1,,0n,1k,
tiωn,1k,
01,,0 iω
)e(1flim)(
n,1k,
1,,nn tftc
nk
(3.16a)
3,1,0k,-1,3
tiωk,-1,3
03,1,0 iω
)e(1flim)(
k,-1,3
3,1,
tftck
(3.16b)
Um dos mecanismos que mantém a circulação média zonal da atmosfera
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trnkrnk etftf 23
,,,,ˆ)(
No caso de uma forçante explosiva, i.e., cresce inicialmente, atinge um máximo e passa a decrescer com o tempo
(3.17)
A solução é dada, na ausência de dissipação (=0), por:
ti
rnkrnki
rnkrnk
rnkrnkrnk etitief
itc ,,,, 22
,,,,,,,,
3
,, 2
111ˆ)(
(3.18)
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Referências
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LEMES, M. A. M.; A. D. MOURA. Fundamentos de dinâmica aplicados à Meteorologia e Oceanografia. 2ª Edição. Holos Editora Ltda-ME, 2002. ISBN: 85-86699-33-0.
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