- Matemática - Logaritmo
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Para aproveitar 100% dessa aula você precisa
saber:• Potenciação e Radiciação
• Introdução às Funções
• Função Afim
• Função quadrática• Inequações do 1º e do 2º graus
• Função Exponencial
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O que você sabe sobre logaritmos?
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Para que serve o
Logaritmo?
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Logaritmo
Logaritmo de a na base b é o número real x, tal que bx = a, com a e b positivos e b diferente de 1.
Exemplos:
abxa xb =⇔=log
3828log)
2939log)
2
3
=⇔=⇔=
=⇔=⇔=
xxb
xxa
x
x
![Page 6: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/6.jpg)
Logaritmo
abxa xb =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
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Tente fazer sozinho!
125log)
6log)
:
2,0
36
b
a
Calcule
![Page 8: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/8.jpg)
Solução
( ) ( )( )
4
12
12
66
66
636
6log)
212
212
36
=
=
=
=
=
=
x
x
xa
x
x
x
3
55
55
1
510
2
1252,0
125log)
3
3
3
2,0
−==
=
=
=
=
−
x
xb
x
x
x
x
![Page 9: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/9.jpg)
Voltando a definição de logaritmo, temos que x é o logaritmo, b é base e a é o
logaritmando.
xab =log
logaritmo
base
logaritmando
Dizemos que x é o logaritmo de a na base b
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elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa xb =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
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Exercício
Calcule:
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
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Exercício
Calcule:
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
![Page 13: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/13.jpg)
Soluçãoa) O logaritmo de 4 na base 1/8.
( )
32
23
22
28
481
4log
3
2
81
−=
=−=
=
=
=
−
−
x
x
x
x
x
x
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b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
91
3
2log2
3
=
=
−=−
x
x
x
441
1log1
41
=
=
−=−
x
x
x
![Page 15: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/15.jpg)
2) Determine o domínio da função:
)65(log)( 21 +−= + xxxf x
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SoluçãoRestrições para a base
x + 1 > 0 e x + 1 ≠ 1
x > -1 x ≠ 0
Restrições para o logaritmando
x2 – 5x + 6 > 0
x2 – 5x + 6 = 0
x1 = 2 e x2 = 3
S = ] -1, 0 [ U ] 0 , 2 [ U ] 3 , +∞ [
2 3
++
-
-1+
-0
-1 0 2 3
![Page 17: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/17.jpg)
Consequências da definição
1ª) , pois a0 = 1.
2ª) , pois a1 = a.
3ª) , pois an = an.
4ª)
5ª)
01log =a
1log =aa
nana =log
na na =log
yxyx aa =⇔= loglog
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consequências
na na =log
01log =a
yxyx aa =⇔= loglog
nana =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa xb =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
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Exercício
Classifique as sentenças como verdadeiras
ou falsas:
01log)
01log)
55log)
11log)
5
5
1
5
====
d
c
b
a
52)
52)
73log)
33log)
2log
5log
73
77
5
2
=
=
=
=
h
g
f
e
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Solução
01log)
15log)
55log)
11log)
5
5
1
5
====
d
c
b
a
falsa, pois 15 = 1
verdadeira, pois 51 = 5
falsa, pois 51 = 5
verdadeira, pois 50 = 1
falsa, pois 73 ≠ 37
verdadeira
falsa52)
52)
73log)
33log)
2log
5log
73
77
5
2
=
=
=
=
h
g
f
e
verdadeira
![Page 21: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/21.jpg)
Sistemas de Logaritmos
Logaritmo decimal: apresenta base 10.
Logaritmo neperiano: apresenta base e.
xx loglog10 =
xxe lnlog =
![Page 22: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/22.jpg)
sistemasdecimal
neperianobase e
ln
consequências
na na =log
01log =a
yxyx aa =⇔= loglog
nana =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa xb =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
![Page 23: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/23.jpg)
Qual é o valor de cada uma das seguintes
expressões?
Exercícios
1ln2ln3ln)
10log1log5log)32
35
+−
−+
eeb
a
![Page 24: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/24.jpg)
Solução
10120.23
1.32
1log2log3log
1ln2ln3ln)
0101
10log1log5log)
312
32
35
=+−=+−
=+−
=+−
=−+=−+
eee ee
eeb
a
![Page 25: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/25.jpg)
Propriedades do logaritmo
1ª) Logaritmo do produto
Exemplo:
( ) cbcb aaa loglog.log +=
( )( ) 32125.5log
25log5log25.5log
5
555
=+=+=
![Page 26: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/26.jpg)
Propriedades do logaritmo
2ª) Logaritmo do quociente
Exemplo:
cbc
baaa logloglog −=
( )
( ) 12log2,0log
10log2log10
2log2,0log
5 −=
−=
=
![Page 27: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/27.jpg)
Propriedades do logaritmo
3ª) Logaritmo da potência
Exemplo:
( ) bcb ac
a loglog =
aa 710
7 log10log =
![Page 28: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/28.jpg)
sistemasdecimal
neperianobase e
ln
consequências
na na =log
01log =a
yxyx aa =⇔= loglog
nana =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa xb =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
potência
quociente
produto cbbc aaa loglog)(log +=
bcb ac
a loglog =
( ) cbcb aaa logloglog −=propriedades
![Page 29: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/29.jpg)
Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,
em função de a e b:
=
=
==
==
3 8,1log)
41log)
30log)
5log)
5,1log)
6log)
f
e
d
c
b
a
![Page 30: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/30.jpg)
Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,
em função de a e b:
=
=
==
==
3 8,1log)
41log)
30log)
5log)
5,1log)
6log)
f
e
d
c
b
a
![Page 31: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/31.jpg)
Solução( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )123
110log3log2log
3
1
10
3.2log
3
1
10
18log
3
18,1log
3
18,1log8,1log)
222log1log22
1log2
2
1log4
1log)
110log3log10.3log30log)
12log10log2
10log5log)
2log3log2
3log
10
15log5,1log)
3log2log3.2log6log)
2
23
2
31
−+=−+=
=
===
−=−=−=
=
=
+=+==
−=−=
=
−=−=
=
=
+=+==
ba
f
aae
bd
ac
abb
baa
![Page 32: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/32.jpg)
Para mudar para base c, usaremos a fórmula:
Exemplo: Mudando para base 10.
Mudança de base
a
bb
c
ca log
loglog =
balog
12log2
2log
12log12log2 =
![Page 33: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/33.jpg)
01log =a
01log =a
sistemasdecimal
neperianobase e
ln
consequências
na na =log
01log =a
yxyx aa =⇔= loglog
nana =log
0log =aa
elementos
logaritmo
base
logaritmando
Logaritmo
abxa xb =⇔=logdefinição
a > 0 e b > 0
b ≠ 1
potência
quociente
produto cbbc aaa loglog)(log +=
bcb ac
a loglog =
( ) cbcb aaa logloglog −=propriedades
b
aa
c
cb log
loglog =Mudança
de base
![Page 34: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/34.jpg)
Exercício 1
Calcule o valor de:
5log.4log.3log 354
![Page 35: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/35.jpg)
Solução
13log
5log.
5log
4log.
4log
3log
5log.4log.3log 354
=
=
![Page 36: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/36.jpg)
Exercício 2
34 2 e)
32 4 d)
32 2 c)
3- 4 b)
32 - 4 a)
:é x de valor o então ,1log)2(log
e 2 xreal, número um é x Se SP) -(Fuvest
42
+
+
+
=−−>
xx
![Page 37: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/37.jpg)
Solução( )( )
( )( )
( )( )
244
log
2log44log
2log2log
2log2log2
12
log2log
14log
log2log
1log2log
2
2
22
2
22
2
22
22
2
22
42
=
+−
=−+−
=−−
=−−
=−−
=−−
=−−
x
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
324
048
444
444
442
2
2
2
22
±=
=+−+−=
+−=
+−=
x
xx
xxx
x
xx
x
xx
Como x > 0, então resposta letra D.
![Page 38: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/38.jpg)
O que vimos nessa aula:
• Definição de logaritmo
• Consequências da definição
• Propriedades do logaritmo
• Mudança de base
• Como resolver equações e inequações logarítmicas
![Page 39: - Matemática - Logaritmo](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081720/559c6e4a1a28ab5d358b46d8/html5/thumbnails/39.jpg)
Bibliografia• Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 224 a 255.
• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 103 a 131.
• Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 133 a 154.