wp.ufpel.edu.br£o... · 2016. 10. 31. · Title: Slide 1 Author: Pinguim Created Date: 10/30/2016...

Resistência dos Materiais IIUniversidade Federal de Pelotas

Centro de Engenharias

Universidade Federal de Pelotas


Capítulo 3Flexão


Centro de EngenhariasResistência dos Materiais II



Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado.

3.1 – Revisão





3.2 – A fórmula da flexão

O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.

I

My

σ = tensão normal no membroM = momento internoI = momento de inérciay = distância perpendicular do eixo neutro





Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que aárea da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicularao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse aolongo do eixo neutro.

Agora veremos como fica a fórmula da

flexão para uma viga com momento

interno resultante que aja em

qualquer direção.

3.3 – Flexão Reta ou Normal





3.4 – Flexão Oblíqua





Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal, em termos gerais, como:

y

y

z

z

I

zM

I

yM

σ = tensão normal no ponto

y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z

My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionados ao

longo dos eixos y e z

Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos

y e z

Momento aplicado arbitrariamente





O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos:

IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado

pela regra da mão direita.

Ângulo 𝜭 – sentido do +z para +y até encontrar o M

Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN

ou seja horário positivo, anti-horário negativo.

Orientação do eixo neutro

yz

z y

M zM y0

I I

yz

z y

M zM y

I I

y z

z y

M I zy

M I

z

y

y Msen I

z Mcos I

z

y

y tg I

z I

z

y

Itg tg

I





Exemplo 1 -

A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um momento fletor M=12kNm. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.





Vemos que os eixos y e z representam os eixos principais de inércia, uma vez que são os eixos de simetria para a seção transversal. O momento decomposto em suas componentes y e z, onde:

Os momentos de inércia em torno dos eixos y e z são:

4(12 ) 9,60

5

3(12 ) 7,20

5

y

z

M kNm kNm

M kNm kNm

3 3 4

3 3 4

10,2 0,4 1,067 10

12

10,4 0,2 0,267 10

12

z

y

I m

I m

yz

z y

M zM y

I I





Tensão de flexão:

33

3 4 3 4

9,60 10 0,17,2 10 0,2

1,067 10 0,267 10

2,25 MPa

yz

z y

B

B

M zM y

I I

Nm mNm m

m m

33

3 4 3 4

9,60 10 0,17,2 10 0,2

1,067 10 0,267 10

4,95 MPa

C

C

Nm mNm m

m m

33

3 4 3 4

9,60 10 0,17,2 10 ( 0,2)

1,067 10 0,267 10

2,25 MPa

D

D

Nm mNm m

m m





33

3 4 3 4

9,60 10 0,17,2 10 ( 0,2)

1,067 10 0,267 10

4,95 MPa

E

E

Nm mNm m

m m

2,25 4,95

(0,2 )

0,45 2,25 4,95

0,0625

MPa MPa

z m z

z z

z m

Orientação do eixo neutro: alocalização do z do eixo neutro NApode ser determinada por cálculoproporcional. Ao longo da borda BC,exige-se:





3 4

3 4

tg tg

1,067 10tg tg(-53,1°)

0,267 10

79,4

306,9

z

y

I

I

m

m





Exemplo 2 -

Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a tensão normal máxima na viga.





Ambas as componentes do momento são positivas. Temos

kNm 50,730sen15

kNm 99,1230cos15

z

y

M

M

Para propriedades da seção, temos

m 0890,02,003,004,01,0

2,003,0115,004,01,005,0

A

Azz





Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da inércia são:

4623

23

4633

m 1092,13089,0115,003,02,003,02,012

1

05,0089,004,01,01,004,012

1

m 1053,202,003,012

104,01,0

12

1

y

z

I

I

2AdII

A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorreem C.

3 3

6 6

7,5 10 0,1 12,99 10 0,041

20,53 10 13,92 10

74,8 MPa

yz

z y

B

B

M zM y

I I





6,68

60tg1092,13

1053,20tg

6

6

6 6

7,5 0,02 12,99 0,089 90,3 MPa

20,53 10 13,92 10C C

tg -300





1)O momento fletor é aplicado à viga com a seção transversal indicada nafigura. Determine o valor das tensões normais de flexão nos pontos A, B eD. Respostas:

Exercício de fixação

100,1 , 24,93 e 100,1A B DMPa MPa MPa

yz

z y

M zM y

I I





3.5 – Cargas combinadas-Flexão + carga axial

Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado, em uma estrutura sobre um rio. A viga sofre flexão normal ou reta. Se essa estrutura suporta o empuxo lateral do terreno, sofre compressão.





Exemplo de flexão oblíqua composta: mesa de quatro pés.

Analisando um dos pés, vemos que chegam duas traves (vigas) e são pregadas. Cada trave transporta ao pé da mesa um momento fletor. A soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo.





Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento. Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.

Exemplo 3-

15000 50 750000zM

Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My

é nulo.

C

B

y

z





3

3

15.000 750.00050

1100 4040 100

12

3,75 MPa 11,25 MPa= -15MPa

15.000 750.000( 50 )

1100 4040 100

12

3,75 MPa+11,25 MPa= 7,5MPa

C

C

B

B

N Nmmmm

mm mmmm mm

N Nmmmm

mm mmmm mm

Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My

é nulo.

yzx

z y

MMPy z

A I I





Elementos de material em B e C estão submetidos as tensões normais:





O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD.

Exemplo 4-

40 0,2 8

40 0,4 16

z y

y z

M Pe kN m kNm

M Pe kN m kNm





Para a distribuição uniforme da tensão normal temos

3 3

40 8 160,2 0,4

0,8 0,4 0,8 0,4 0,4 0,8

12 12

125 kPa+375kPa+375kPa=625kPa

125 kPa-375kPa+375kPa=-125kPa

125 kPa-375kPa-375kPa=-875kPa

125 kPa+375kPa-375k

yzx

z y

A

A

B

C

D

MMPy z

A I I

kN kNm kNmm m

m m m m m m

Pa=-125kPa

0,2 z= 0,4

0,2 z= 0,4

0,2 z=+0,4

0,2 z=+0,4

A y m m

B y m m

C y m m

D y m m





2) O bloco está sujeito às duas cargas mostradas abaixo. Calcule astensões normais que agem na seção transversal no corte a-a nos pontos Ae B. Respostas:


25 75A Bpsi e psi





Exercício de fixação - extraUma edificação é composta por três pavimentos, cada um formado por

uma laje de concreto de 4x6m, com 15cm de espessura, suportanto umacarga uniformemente distribuída de 1,5kN/m2. Cada laje está apoiada emvigas de contorno com seção de 12x28cm, as quais se apoiam em quatropilares de 20x30cm nas extreminades da edificação. Calcule as máximastensões normais no pilar.

γ=25kN/m3





Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadasvigas compostas.

A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo.Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seçãofeita de um único material e utilizar a fórmula.

3.6- Vigas Compostas





Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um materialhomogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após aflexão, e por consequência, as deformações normais variarão linearmentede zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo.

O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICOmaterial.

Método da seção transformada

1

2

E

E





A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuiçãode deformações.

1

2

En

E

1 + rígido 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído!

O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentesmateriais que compõem a viga.

2

1

'E

nE





Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve sermultiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na vigaverdadeira.





Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de açolocalizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostradana figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determinea tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.

Exemplo 5 -





Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço, substituindo a madeira.

aço mad 0,06 150 9 mmb nb mm

A localização do centroide (eixo neutro) é

m 03638,015,0009,015,002,0

15,0009,0095,0150,002,001,0

A

Ayy

A seção transformada é mostrada na figura ao lado.

mad

aço

120,06

200

En

E





Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é

3 2

3 2

6 4

10,15 0,02 0,15 0,02 0,03638 0,01

12

1 0,009 0,15 0,009 0,15 0,095 0,03638

12

9,358 10 m

LNI

Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C é

' 6

6

2 0,17 0,0363828,6 MPa

9,358 10

2 0,036387,78 MPa

9,358 10

B

C C

My

I

A tensão normal na madeira em B é . ' 0,06 28,56 1,71 MPaB B Bn





3) Uma barra constituída de aço e latão tem seção indicada abaixo.Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeitaà flexão pura com o momento M=2kNm. Respostas em módulo:


200 , 100aço latE GPa E GPa

aço máx500MPa

lat máx250MPa





4) A fim de reforçar a viga de aço, colocou-se entre seus flanges umatábua de carvalho como mostra a figura abaixo. Se a tensão normaladmissível do aço é e da madeira , qualmomento fletor máximo que a viga pode suportar, com e sem o reforço?Omomento de inércia da viga de aço é , e sua área da seçãotransversal é .

Respostas: sem reforço M=116kip.in

com reforço M=172kip.in


24adm açoksi 3adm mad

ksi

3 329 10 , 1,6 10aço madE ksi E ksi

420,3zI in28,79A in





5) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio,formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar omaior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de umeixo horizontal.

Respostas: M=3,08kNm


160adm latMPa 100adm alum

MPa

70alumE GPa

105latE GPa





Vigas de concreto armado





A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN∙m, determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere Eaço = 200 GPa e Econc = 25 GPa.

Exemplo 6 -





A área total de aço é

22

aço mm 9825,122 A

Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro.

2

3

3

aço mm 856.79821025

10200' nAA

2

0

'300 ' 7.856 400 ' 0

2

' 52,37 ' 20.949,33 0 ' 120,9 mm

' 173,3mm

yA

hh h

h h h

h

3

aço

3conc

200 10En 8

E 25 10





O momento de inércia da seção transformada, calculado em torno do eixo neutro, é

3 22

z

6 4z

300 120,9 120,9I 300 120,9 7.856 400 120,9

12 2

I 788,67 10 mm

Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal máxima no concreto é

6

conc 6 4máx

conc máx

60 10 120,9

788,67 10

9,20 MPa

z

z

Nmm mmM y

I mm





aço conc

aço

' 8 21,23

169,84 MPa

n

A tensão normal em cada uma das duas hastes é, portanto,

6

conc 6 4

60 10 400 120,9' 21,23 MPa

788,67 10

Nmm mm

mm





6) Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada150mm, colocadas a 20mm acima da face inferior da laje. Os módulos deelasticidade são 21GPa para o concreto e de 210GPa para o aço. Sabendo-se que um momento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largurada laje, determinar: (a) a máxima tensão no concreto; (b) a tensão no aço.

Respostas:


conc máx( ) 7,7a MPa

aço( ) 114,8b MPa





7) A viga de concreto armado está reforçada por duas barras de aço. Se oesforço de tração admissível para o aço for e o esforçode compressão admissível para o concreto , qual momentomáximo M poderá ser aplicado à seção? Supor que o concreto não suportaesforço de tração.

Resposta: M=1168,8kip.in


40adm açoksi

3adm concksi

3 329 10 , 3,8 10aço concE ksi E ksi

wp.ufpel.edu.br£o... · 2016. 10. 31. · Title: Slide 1 Author: Pinguim Created Date: 10/30/2016...

Documents

Transcript of wp.ufpel.edu.br£o... · 2016. 10. 31. · Title: Slide 1 Author: Pinguim Created Date: 10/30/2016...