Resolução da Ficha de trabalho de Matemática A – 11º ano

Trigonometria

31/ 01 / 2012

1. O António está no ponto A e pretende conhecer a largura do rio e a altura do prédio que está na outra margem. Para isso, efectuou as seguintes medições:

Qual a largura x do rio e a altura y do prédio?

{ tg38 ˚= yx

tg25 ˚= y20+x

⇔ { y=xtg 38 ˚

tg 25˚= xtg38 ˚20+x

⇔ { y=xtg38 ˚20 tg 25˚+x tg25 ˚=x tg38 ˚

⇔ { y=xtg38 ˚x ( tg25 ˚−tg 38 ˚ )=−20 tg 25˚

⇔ { y=xtg 38 ˚

x= −20tg25 ˚−tg38 ˚

⇔ {y=23,13x=29,61

2. A cidade A dista da cidade B 32km e da cidade C 12km.O ângulo BAC é de 40º.Qual a distância da cidade B à cidade C?

sen40 ˚= x12 x=12 sen 40 ˚ x=7,7

cos 40 ˚= AD12 AD=12cos40 ˚ AD=9,1

y=BD=32−AD=32−12cos40 ˚=22,8

BC=√x2+ y2=√7,72+22,82=24,1

3. A grande pirâmide do Egipto tem uma base quadrada de 230,4 m e 124m de altura.

a) Determina o ângulo VEF. ∆(VEF) é rectângulo em F

FE=230,42 = 115,2 e VF=142

tg α= 142115,2

⇔ α=50˚

b) Determina a área lateral da pirâmide.

senα=142VE ⇔ VE= 142

senα⇔VE=182,8

Al=4× A∆ (BVC )=4×230,4×182,4

2=84258m2

4. Um pentágono regular está inscrito num círculo de raio 40 cm.Determina o perímetro e a área do pentágono.

360˚5

=72 ˚

72˚2

=36 ˚

sen36 ˚= x40 x=40×sen36 ˚

cos36 ˚= y40 y=40×cos36 ˚

PerímetroP=5×2x=10×40 sen36 ˚=235,1cm

Área

A=5× 2 xy2

=5׿

5. Resolva em R cada um adas seguintes equaçõesa) √2+2 sen x=0

√2+senx=0senx=−√22

senx=sen(−π4 )

x=−π4

+2kπ ˅x=π+ π4+2kπ , k∈Z

x=−π4

+2kπ ˅x=5 π4

+2kπ ,k∈Z

b) sen (2x )=−sen (3 x)

sen (2x )=−sen (3 x) sen (2x )=sen (−3 x)

2 x=−3 x+2kπ ˅2x=π−(−3 x )+2kπ ,k∈Z

5 x=2kπ ˅−x=−π+2kπ ,k∈Z

x=2π5 +2kπ ˅x=−π+2k π , k∈Z

c) 2cos2 x+cosx=0

2cos2 x+cosx=0 cosx (2 cosx+1 )=0 cosx=0˅2cosx+1=0

cosx=0˅cosx=−12

cosx=cos( π2 )˅cosx=−12

cosx=cos( π2 )˅cosx=cos ( 2π3 )

x=π2+kπ˅ x=2π

3+2kπ˅ x=−2π

3+2kπ , k∈Z

6. Na figura está representado um quadrado [ABCD] de lado 2.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D.

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em

radianos, do ângulo BAP(x ∊ ¿∏4 , ∏2

¿

a) Mostre que a área da região sombreada é dada por 4− 2tgx

A□=22=4

D P A=D A B=x

tgx= ADDP tgx= 2

DP DP= 2tgx

A∆=AD+DP2

=

2∗2tgx2

= 2tgx

A sombreada=A□−A∆= 4- 2tgx

b) Determine o valor de x para o qual a área da região

sombreada é 12−2√33

4− 2tgx

=12−2√33

4− 2tgx

=4−2√33

2tgx

=−2√33

tgx= 3√3 tgx=√3

Como x∈ ¿ π4, π2

¿ , x=π3

c) Para um certo valor de x, sabe-se que cos (x+∏2 )=−15

17

Para esse valor de x determine a área da região sombreada.

cos (x+ π3 )=−15

17 −senx=−1517 senx=15

17

sen2x+cos2x=1( 1517 )2

+cos2 x=1cos2 x=1−225289 cos2x= 64

289

Como x∈ ¿ π4, π2

¿ , x= 812

tgx= senxcosx

=

1517817

=158

A sombreada=4−2tgx

=4− 2158

=4−1615

=4415