1-2 (C,D) - (P,O) =} (P,O) - (C,D) (propriedade simetrica). Com-

binando com a hip6tese (A,a) - (P,O), obtemcis, pela pro-

priedade transitiva, (A,a) - (C,D).

1-10 (a) V (b) V (c) V (d) F

1-11 (a) V (b) F; contra-exemplo: tome A = a = C = D.

(c) F (d) V

(e) F; contra-exemplo: tome A, a, CeO colineares.

(f) V

2-1 Nao. Observe a Figura 2-3. Sendo A, a e C nao-colineares,

vale a rela9ao Ilu + vII < lIull + IIvII, po is a medida de qual-

quer lade de um triangulo e menor que a soma das medidas

dos outros dois. Para a outra pergunta, tome w, na Figura

2-3, igual ao oposto de V. Entao

Ilu- wll = lIu + vII = IIACII > lIull-lIwlI

pois a medida de qualquer lado de um triangulo e maior que

a diferen9a das medidas dos outros dois. Hit, porem, cas os

em que valem as igualdades; tente imaginar alguns.

2-2 Substitua Be por aA + AC e aplique 0 Exercfcio Resolvido

2-5 e 0 Exercfcio 1-5 (b).

2-5 Prove que u + v + (-u - v) = 5.2-6 Nao existem. Dados A e a quaisquer na borda da folha, seja

C 0 ponto diametralmente oposto a a. Entao, CO = oa e,

portanto, OA + OB = CA.Alem disso, i5A -00 = SA.

2-8 (c) No primeiro e no terceiro tetraedros, AD. No segundo, 5.No ultimo s6lido, AC.

(b) B[

(b) HD

(c) AF + AF. Nao escrevemos 2AF, pois ainda nao demos

um significado para isso.

,2-11 (a) EA (b) Fe:-2-12 5)<,

)j~713 Ae H.

{2-14 ; = GA, y = FA.

3-2 6u/llull

3-3 Veja a Figura R-3-3.

aFigura R-3-3

3-4 x= a3-5 M

3-7 (b) Este eo Exercfcio 1-5 (b); agora, voce pode resolve-Io

de outro modo: v = -v =} 2v = 5 =} IIvlI = 0 =} v = 5Uustifique ).

3-10 x = -3u/S - 5v/4

3-11 (a) x = 5u/7 + 2v/7 Y = u/7 - v/7(b) x=2u-v y=-u-v

3-12 x = u y = u/2 + v/2 Z. = u/2 - v/2

3-14 (a) Tomando norma em ambos os membros deu = .J..v,obte-mos lIull = I.J..IIIvlI.

(b) De (a) decorre que as unicas alternativas possfveis sac.J..= lIuli/IlVII e.J..= -lluli/livlI. Se.J..> 0, ocorre a primeira, e,

se.J..< 0, a segunda.

3-15 Substituindo u por av (a ;c 0), mostre que

lIu + vll2 = (a2 + 2a + 1)llv112 e lIull2 + IIvll2 = (a2 + 1)lIv1l2

3-16 Pelo Exercfcio Resolvido 3-S,

Entao: AB + AD + CB + Cl5 = ... = 4MN.3-17 Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos medios de AC,

aD e MN. Pelo Exercfcio Resolvido 3-S,

i5A + DC = 20M 00+ 00 = 200Entao, i5A + 00+ DC + 00 = ...

4-1 (a) Fa~a Q = P em [4-2].

4·7 BA = 2u4-8 Um e 0 oposto do outro.

4-10 X= C

4-12 (a) 0 intervalo [0,1].

(c) 0 intervalo ]-0:>,1].

(e) 0 intervalo (-1,1].

4-13 0 baricentro dos n pontos A" ~ ... An e 0 ponto G tal que

£ GAi = 0 e caracteriza-se por G = 0 + dOAi)/ n. No Exercf-;=1 ;=1

cio 3-17, P= 0+ (OA + OB + OC + 00)/4; logo, Pe 0 baricen-

tro de A, B, CeO. Disso decorre que PA + PB + PC + PO= 0;como exerdcio, prove esta ultima igualdade diretamente. Se

n = 2, tomando 0 = A" obtemos G = A, + A,Az/2, ou seja, G e

o ponto medio do segmento A,~.

(b) 0 intervalo (0,+0:>(.

(d) 0 conjunto IR.

5-1 ex = CA/(1 + m) + mCB/(1 + m) P = m/(1 + m)

5-2 OX = (1 - m)08 + mOC AX = -OA + (1 - m)08 + mOC

5.3 (a) 1/(1 + r). Isso provem de MN = XC/(1 + r).

(b) Use a expressao de MN do item (a) e uma ana.loga de

Qi5 para concluir que MN = QP.

5-4 (a) Se X pertence a reta AB, entao AX = ..1.AB.Fa~a aparecer

C: AX = XC + CX, AB = XC + CB. Para a redproca, fa~a

aparecer A em ex= aeA + flCB.

(c) Para todo..1.~ 1, AX=..1.AB equivale aXA =AXB/(..1.-1), e

..1./(..1.- 1) e negativo se, e somente se, ° <..1.< 1.

5.5 Se X e interior ao triangulo, existe D interior ao lado AB tal

que X e interior a CO. Logo, AD = ..1.ABe ex = /lCO, com° <..1.< 1 eO < Jl< 1; mostre que ex= /l(1 - ..1.)eA+ /l..1.eB.

Para a redproca, tome E = C + CX!(a + fl) e mostre que X e

interior a CEo De AE = flAS/(a + fl) conclua que E e interior a

AB e, portanto, X e interior ao triangulo.

5-6 Prove inicialmente que MN = (AB + OC)/2 e deduza dessa

igualdade as duas afirma~oes do enunciado.

5.9 (b) OX= (OA + 08 + OC)/3

5.10 Dois segmentos QR e ST sac paralelos e congruentes se, e

somente se, OR = ±ST. Portanto, existindo 0 triangulo, as

possibilidades para os veto res associ ados a seus lados sac

±AN, ±BP e ±CM. Como a soma desses vetores deve ser

nula, a condi~ao procurada e AN +BP + CM = 0 ou AN +BP - CM = 0 ou AN - BP + CM = 0 ou -AN + BP + CM = 0(fizemos as oito combina~oes possfveis dos sinais + e - e

eliminamos quatro, pois elas sac duas a duas equivalentes).

5·11 (a) AN = -eA - 3eB/2

CM = CA/2 + eB/2

Como AN - BP + CM = 6, esta satisfeita a condi~ao obti-

da no Exerdcio 5-10.

(b) Exprim~.AN, BPe CM em fun~ao de 9A,CBimponha a condiyao obtida no Exercfcio 5-10;

hipotese de que a, fl e y pertencem a (0,1].

5.12 ex= (eA + aeB)/(1 + a) AY = -eA + eB/(1

BZ = yCAJ(1 + y) - eB5-13 (a) ex = -XC + 2ABj3

(b) P= A + 2AB/9 + 2AC/3

5-14 (a) Prove que (a -1)(fl -1) = 1 ¢::> AX = (a -1)BY.

5-15 -2BA + 2BC5-16 (a) ex = mCA/(m + n) + nCB/(m + n)

(b) Se m + n = 1, entao ex = mCA + neB, confirmand

enunciado do Exercfcio 5-4 (a).

5-17a=-1

5-18 (a) Os vetores eA/b e ca/a tem normas iguais (poli/

ambos unitarios). Por isso, 0 paralelogramo que se co

tr6i para obter um representante de sua soma e, na v

dade, um losango. Lembre-se de que as diagonais!

um losango estao contidas nas bissetrizes de seus 'arlgulos internos.

(b) ex = aCAJ(a + b) + beB/(a + b) AX = bAS/(a + b)

5-19 (a) Veja a resposta do Exerdcio 5-18 (a).

(b) CY = aCA/(a - b) - bCB/(a - b)

(d) Nao existiria Y (AB seria paralelo a bissetriz do

externo de vMice C).

5-20 No triangulo ABC, sejam X 0 ponto de interse~ao do lado AB't1!

com a bissetriz de ACB, Yo ponto de interse~o de BC co",~

a bissetriz de BA C e Z 0 ponto de interse~ao de AC com~j

bissetriz de ABC. Sejam a= lIeBlI, b= lleAlI, c= IIASII e pdlperf metro do triangulo (p = a + b + c). Conforme 0 Exercfci~i~1~._ _ _.:r~

CX =aCA/(a + b) + bCB/(a + b)1t,<

AY = bAS/(b + c) + cAC/(b + c) 1Prove que existem a e fl tais que R = A + aAY = c'+ flex a)que, portanto, 0 ponto R pertence as retas CX e A Y (para)

isso, substitua as expressoes de ex e AY nesta ultima igual-.

dade e obtenha um sistema de equa~oes nas incognitas a e .

fl, que tem, por solu~ao, a = (b + clip, fl = (a + blIp). COflclua

que R = C + (a + b)CX!p. De modo analogo, prove que as)

retas CX e BZtem um ponto comum, cuja expressao e igual

a de R. Finalmente, para mostrar que R e interior ao triangu-;

10, observe que esse ponto e interior ao segmento CX,pois

CR= (a+ b)CX!pe ° < (a+ b)/p< 1. .;

5-21 (a) Os angulos A e B podem ser ambos agudos ou, entao,

um deles obtuso. No primeiro caso (Figura R-5-21' (a»

obtem-se, no triangulo AXC, h = IIAXIItgA = allAXlle;no

triangulo CXB, h = IIXBlltgB = blIXBII; 10go,allAXII =

bllXBIi. Levando em conta que a e b sao positivos e que.

X e interior ao segmento AB, conclua que aAX = bXB·,-." • c.;;,

Se 0 angulo A e obtuso (Figura R-5-21 (b», obtem-se, no

triangulo AXC, h = IIAXlltg(xAC) = IIAXII(-tgA) = "':all¥1I

e, no triangulo CXB, h = IIXBlltgB = bllXBII. portanto,

-aliAXIi = bllXBIi. Lembrando que a <0, b> ° e queX8

(b)

Figura R·5-Z1

exterior ao segmento AB, conclua que aAX = bXB. Se 0

Angulo B e obtuso, 0 procedimento e analogo. A expres-

sac de CX, valida para todos os casos, e

ex = aCAl(a + b) + bCBI(a + b).

(b) AY= -CA + bCB/(b + c) BZ = aCAJ(a + c) - CB(d) Seja s = a + b + c. Combinando os resultados dos itens

(a) e (c), obtenha CP = aCAls + bCBls e conclua que,

devido ao Exercfcio 5-5, P e interior ao tri{mgulo se, e

somente se, a/s> 0, bls> ° e (a + b)/s < 1. Isso equivale

a a > 0, b > 0, c> 0, que, por sua vez, equivale a serem

agudos os angulos internos do triangulo.

5·22 X = A + 3ABI5 + AC/1 °5·23 (13-1)/2e13+1.

5-24 (a) BC = BA + XC = aBP + f3QC. Fa<;:aaparecer R para obter

(1 - a)BC = (13- a)RC.

(b). Mostre, por semelhan<;:a de triangulos, que AB = (r/r2)PB,XC = (r/r3)QC e PR = (r~r3)QR. Utilize a parte (a).

6·2 Os veto res u e ii sao paralelos, de acordo com [3-1) (a). Por-

tanto, se a sequencia e 0 par ordenado (u,v), ela e LD e, se e

uma tripla ordenada (ii, ii,w), seus veto res sac paralelos a um

mesmo plano; logo, ela e LD. Se 0 numero de veto res da

sequencia e maior que 3, a sequencia e LD por delini<;:ao.

6·3 (a) F (b) F (c) F (d) V

6-4 (a) Sejam u = PA, ii= PB, w= PC. Se (u,v) e LD, entao P, Ae B sao colineares. Logo, P, A, B e C sac coplan ares e,

portanto, (ii,v,w) e LD.

(b) Raciocine por redu<;:ao aoabsurdo e utilize a parte (a).

6-5 (a) F (b) F (c) F (d) F

(e) V (I) V

Contra·exemplo para (a) e (b): tome (u,ii) LI e w = 0; Contra-

exemplo para (c): tome (u,v) LI e w = 2u. Justificativa para

(d): Exercici06-4 (b). Para (e), tome v= 2ii, w = 3u e, depois,

o mesmo exemplo da resposta (a). Para (f), tome w = 0 e,

depois, escolha A, B, C nao-colineares, U= AB, v= XC e w =AD, com 0 nao pertencente ao plano ABC.

6-6 (a) a=-2b+5c (b) c=2a-b (c) c= 2b-3a6-7 (a) Porque (u,ii,w) e L1. (b) Porque (u,v) e L1.

(c) Porque (u,v) e L1. (d) Porque (u,v,w) e L1.

6-8 Como treinamento, tente duas resolu<;:oes: uma semelhante

a do Exercfcio Resolvido 6-11, outra por redu<;:aoao absurdo.

6·10 Na equa<;:ao a,ii; + a2v2 + ... + anvn = 0, substitua 0 segundo

membra por oii;+ o~ + ... + OVn e use a hip6tese.

6-11 a= 2/3, b=-1/3.

6-13 (a) Se a = 0, nao; se a ;c 0, slm.

(b) Sim; veja 0 Exercfcio 6-9 (a).

(c) Nem sempre; veja 0 Exercicio 6-14.

(d) Nem sempre; por exemplo, se a = ii, b = ve c = W, sim, e

se a = -u, b = ve c = W, nao.

6·15 (a) Sendo (x,y,z) e (r,s,t) as sequencias do enunciado, ex-

prima ii, iie wem lun<;:aode X, y, Z, depois em lun<;:ao der. s, t. Compare, para obter X, Yo z em lun<;:ao de r. s, t.Proceda enta~ como no Exercfcio Resolvido 6-11.

(b) Essa alirma<;:ao e equivalente a leita em (a); se aquela e

verdadeira, esta tambem e.

6-16 (a) BG = BAJ6 + BC/3 + BO/3

(b) Da expressao de X obtem-se ax= mOO. Use (a) e impo-

nha que (AX,AC,AO) seja LD para obter m = 6/5.

6·17 AX = 2AD/3 + AB/36-18 Esta e uma versao geometrica da Proposi<;:ao 6-4 (existen-

cia) e do Corolario 6-12 (unicidade).

7-1 °Use (a,,~,Bs)E = (b

"b2,b3)E ~ a, = b

"~ = b2, a3 = b3•

7·3 (a) (3,0,6) (b) (-3,-3,-3) (c) (8,4,-3)

7-4 Nao.

7-5 t= U + 2v + w

7·6 Nao.

7-7 (a) LI (b) LD (c) LI (d) LD

7-8 m = 2, n = 4.

7·9 (a) LI (b)LD (c) LD (d) LI

7-10 ii nao e combina<;:ao linear de v, W, qualquer que seja m. A

tripla (ii,v,w) e LD se, e somente se, m = ° ou m = 3. Isso

reitera 0 que foi dito na Observa<;:ao 6-6.

7-11 (a) -1 e 1. (b) °e 1. (c) Nao existe. (d) °e 2.

7-120e1.

7-13 Nao.