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VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ E DA FONTE DE EXCITAÇÃO NA RESPOSTA

DINÂMICA DE SISTEMA COM DESBALANCEAMENTO ROTATIVO

Fabiano Gomes Madeira

Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. Bento Rodrigues de Pontes Junior

Orientador – Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

RESUMO

O presente trabalho tem o objetivo de estudar o comportamento dinâmico de três

sistemas: 1) sistema com desbalanceamento rotativo; 2) sistema não ideal linear e 3) sistema

não ideal não linear. O comportamento dinâmico do sistema não ideal vem ganhando

importância e destaque nos últimos anos, visto que traz uma maior aproximação com os

sistemas reais. O estudo de vibração não linear também tem se destacado nos últimos tempos,

pois o comportamento dos sistemas que apresentam esse tipo de vibração é complexo e

provoca fenômenos interessantes para estudo na área de Engenharia.

A metodologia do trabalho consiste na modelagem matemática do sistema dinâmico,

através da dedução da equação de movimento na forma de equação diferencial, e na

integração numérica da equação de movimento para obter a resposta dinâmica do sistema.

Com a integração numérica é possível gerar as curvas de histórico no tempo, retrato de fase e

FFT que auxiliam na análise do comportamento dinâmico do sistema. Com os resultados

obtidos percebe-se a diferença no comportamento dinâmico dos sistemas estudados. No

sistema com desbalanceamento rotativo vê-se o aumento da amplitude de vibração na região

da ressonância. No sistema não ideal linear verifica-se o salto na curva de resposta em

frequência e no sistema não ideal não linear constata-se a presença de caos.

PALAVRAS-CHAVE: Sistema não ideal, vibração não linear, desbalanceamento rotativo.

1 INTRODUÇÃO

Pesquisando-se os trabalhos publicados na área de vibrações é possível perceber que

em muitos casos a influência do movimento do sistema na sua excitação é desprezada. Tal

simplificação distancia o sistema dinâmico estudado do problema real, pois alguns

comportamentos importantes são desprezados. Quando a excitação não é influenciada pela

resposta do sistema a mesma é chamada de excitação ideal ou fonte ideal de energia. Seguindo

o mesmo raciocínio, quando a excitação sofre influência da resposta do sistema a mesma é

chamada de excitação não ideal ou fonte não ideal de energia. Assim, dependendo do tipo de

sua excitação, o sistema é chamado de ideal ou não ideal. Em termos gerais o sistema não

ideal é aquele que possui potência limitada, ou seja, o comportamento dinâmico se afasta do

ideal à medida que a potência disponível se torna limitada.

O primeiro relato do estudo da interação de um sistema vibratório e sua excitação faz

referência a Sommerfeld (1904), o qual realizou um experimento em um suporte com um

motor elétrico fixado em sua extremidade livre. Em homenagem ao primeiro homem que o

observou, atualmente a literatura chama de efeito Sommerfeld o fenômeno que apresenta as


seguintes particularidades (para um sistema não ideal): a) aumento da amplitude de vibração

do sistema na região de ressonância, fenômeno que ocorre quando a frequência da excitação

se iguala à frequência natural do sistema; b) descontinuidade (salto) na curva da amplitude de

vibração do sistema versus a frequência da excitação; c) a curva da amplitude de vibração do

sistema versus a frequência da excitação sofre uma inclinação. Comumente se diz que a curva

“deita”; d) aumento da potência necessária para que o sistema consiga ultrapassar a frequência

de ressonância. O efeito Sommerfeld aparece em sistema não ideal com potência limitada. Um

exemplo de fonte de energia não ideal com potência limitada é o motor elétrico de corrente

contínua. Assim, pensando num sistema dinâmico excitado por esse tipo de motor, à medida

que se aumenta a energia fornecida ao motor elétrico a sua rotação cresce de forma contínua,

porém, isso não ocorre infinitamente. Quando a rotação do motor se aproxima da frequência

de ressonância do sistema, uma quantidade maior de energia tem que ser fornecida para

aumentar a rotação do mesmo, pois parte dessa energia é absorvida pelo próprio sistema

(percebe-se isso devido ao aumento da amplitude de vibração do sistema). Assim, na região de

ressonância, grandes acréscimos na energia fornecida ao motor provocam pequenas mudanças

na rotação do mesmo e elevados aumentos na amplitude de vibração do sistema. Nessa

situação comumente se diz que a rotação do motor é “capturada” pela ressonância. Após o

sistema atingir determinado nível de energia, a rotação do motor consegue ultrapassar a

barreira da ressonância e, então, volta a aumentar, enquanto a amplitude de vibração do

sistema cai drasticamente. Tal fenômeno ocorre tanto no acréscimo quanto no decréscimo

gradativo da rotação do motor. Esse fenômeno não ocorre em sistema ideal.

Em Balthazar (2003) et al é feita uma revisão teórica sobre sistema não ideal. A

discussão se concentra na captura pela ressonância, efeito Sommerfeld e aumento da potência

da fonte de energia para ocorrer a passagem pela ressonância. Não são apresentados resultados

numéricos.

Cveticanin (2010) também faz uma revisão bibliográfica a respeito de sistema não

ideal, destacando o efeito Sommerfeld, a captura pela ressonância e a limitação de potência da

fonte de energia não ideal. Não são apresentados resultados numéricos. Apenas discutem-se,

teoricamente, as particularidades do comportamento do sistema não ideal.

Em Madeira et al (2013) compara-se o comportamento dinâmico de três sistemas

dinâmicos através da fonte de excitação: ideal e não ideal e da rigidez: linear e não linear.

Apresentam-se os valores de frequência de excitação a que cada parte do corpo humano pode

ser submetida sem causar enfermidade ou desconforto.

Nbendjo et al (2012) estudou um modelo dinâmico muito parecido com o

apresentado por Souza et al (2007). A principal diferença entre os dois modelos está no motor

(fonte de excitação). No caso apresentado por Nbendjo et al (2012) a tensão do motor é do

tipo alternada, enquanto que em Souza et al (2007) a mesma é contínua. Em Nbendjo et al

(2012) através do expoente de Lyapunov percebe-se a existência de regiões periódicas,

caóticas e também de hipercaos.

Souza et al (2007) propôs um método de controle de vibração para eliminar o

comportamento caótico de um sistema tipo Duffing com fonte limitada de potência. A ideia

do método de controle é aplicar um sinal de pequena amplitude na fonte de excitação e não no

oscilador, a fim de alterar a curva característica do motor. Com isso conseguiu-se estabilizar o

sistema em uma órbita periódica que era originalmente caótica.

Em Zukovic e Cveticanin (2007) estudou-se um sistema tipo Duffing com fonte não

ideal de energia, representado por um motor elétrico com rotor desbalanceado e potência

limitada, acoplado a uma rigidez não linear e a um amortecedor viscoso linear. Nesse sistema

foi verificado: o efeito Sommerfeld (fenômeno de salto), o qual ocorre próximo da frequência


de ressonância do sistema, e o comportamento caótico para determinados valores dos

parâmetros. O comportamento dinâmico em regime caótico foi confirmado através do

expoente de Lyapunov, retrato de fase e diagrama de bifurcação. Para evitar o regime caótico

foi proposto um método de controle que consiste na adição de uma força externa atuando no

sistema, a qual estabilizou a resposta do sistema em determinadas condições.

No presente trabalho estuda-se o comportamento dinâmico de três sistemas, através de

modelos matemáticos e respostas dinâmicas obtidas através de integração numérica.

2 DEFINIÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS ESTUDADOS

No presente trabalho são estudados os três sistemas mostrados na Figura 1:

Figura 1 – Sistemas dinâmicos estudados

M = massa do bloco [kg];

c = coeficiente de amortecimento [N.s/m];

m = massa desbalanceada [kg];

e = excentricidade [m];

k = rigidez linear [N/m];

kL = parcela linear da rigidez [N/m];

kNL = parcela não linear da rigidez [N/m];

= velocidade angular da massa desbalanceada [rad/s];

t = tempo [s];

J = momento de inércia de massa do eixo do motor [kg.m²];

x = deslocamento (grau de liberdade de translação) [m];

x = velocidade [m/s];

x = aceleração [m/s²];

= ângulo de rotação [rad];

= velocidade angular do eixo do motor [rad/s];

= aceleração angular do eixo do motor [rad/s²]

2.1 Metodologia adotada para análise do sistema dinâmico

A análise do sistema dinâmico é feita utilizando-se as seguintes ferramentas:

a) Modelagem matemática (para obter a equação de movimento);

(b) Sistema não ideal linear (a) Sistema com

desbalanceamento rotativo

(c) Sistema não ideal não

linear


b) Integração numérica da equação de movimento (para obter a resposta dinâmica

do sistema).

Resumidamente a metodologia consiste em obter a equação de movimento do

sistema, escrita na forma de equação diferencial, através da equação de Lagrange (modelagem

matemática). Deduzida a equação de movimento faz-se a integração numérica da mesma para

obter a resposta dinâmica do sistema (deslocamento e velocidade). Conhecida a resposta é

possível gerar curvas que auxiliam na análise do comportamento dinâmico do sistema. Essas

curvas serão detalhadas ao longo da metodologia.

a) Modelagem matemática

Nesta seção do trabalho faz-se a modelagem matemática do sistema dinâmico,

escrevendo-se a equação de movimento na forma de equação diferencial.

Para escrever a equação do movimento do sistema dinâmico utiliza-se a equação de

Lagrange, a qual emprega as energias cinética e potencial do sistema escritas em termos das

coordenadas generalizadas (coordenadas independentes que correspondem aos graus de

liberdade do sistema). A equação de Lagrange é escrita da seguinte forma:

i

iii

Qq

V

q

T

q

T

dt

d

(1)

T = energia cinética [J];

V = energia potencial [J];

qi = coordenada generalizada (i = 1, 2, 3,..., n);

iq = velocidade generalizada (i = 1, 2, 3,..., n);

Qi = forças generalizadas (forças não conservativas);

iq

T

= derivada parcial da energia cinética em relação à velocidade generalizada iq ;

iq

T

= derivada parcial da energia cinética em relação à coordenada generalizada qi ;

iq

V

= derivada parcial da energia potencial em relação à coordenada generalizada qi ;

dt

d = derivada em relação ao tempo.

Maiores detalhes a respeito da equação de Lagrange podem ser encontrados em

Meirovitch (2001).

Sistema com desbalanceamento rotativo:

A equação de Lagrange para esse sistema é:

xcx

V

x

T

x

T

dt

d

(2)


As energias cinética e potencial do sistema são:

222 sen cos2

1

2

1tetexmxMT (3)

tmgekxV sen12

1 2 (4)

A equação de movimento do sistema é:

tmM

mex

mM

kx

mM

cx

cos

2

(5)

Sistema não ideal linear:

As equações de Lagrange para esse sistema são:

xcx

V

x

T

x

T

dt

d

(6)

ba

VTT

dt

d

(7)

Esse sistema dinâmico utiliza um motor de corrente contínua como fonte de

excitação. A força não conservativa é o torque líquido do motor elétrico, o qual resulta da

diferença entre o torque gerado pelo motor e o torque das forças resistivas internas do mesmo.

Adota-se o comportamento linear para a curva de torque líquido do motor em função da

velocidade angular , através da seguinte equação:

baT (8)

T = torque líquido do motor em função da velocidade angular [N.m];

a = constante de torque do motor [N.m];

b = coeficiente angular da reta;

Graficamente a Equação (8) é conhecida como curva característica do motor.

Figura 2 – Torque x velocidade angular do motor elétrico


0

ab (9)

20

0

f (10)

f0 = constante de frequência do motor [Hz];

0 = constante de velocidade angular do motor [rad/s];


2222

2

1sen cos

2

1

2

1 JeexmxMT (11)

sen12

1 2 mgekxV (12)

Para simplificar as expressões faz-se o seguinte agrupamento de variáveis:

JmeIsist 2 (13)

As equações de movimento do sistema são:

sen cos2

mM

mex

mM

kx

mM

cx (14)

cossen gxI

me

I

b

I

a

sistsistsist

(15)

Analisando as Equações (14) e (15) percebe-se que existe um acoplamento entre as

equações de movimento do sistema e da fonte de excitação, ou seja, a resposta do grau de

liberdade de translação do sistema influencia na resposta do grau de liberdade de rotação da

fonte de excitação e vice-versa.

Sistema não ideal não linear:

As equações de Lagrange para esse sistema são:

xcx

V

x

T

x

T

dt

d

(16)

ba

VTT

dt

d

(17)


A curva característica do motor é a mesma utilizada para o sistema não ideal linear.


2222

2

1sen cos

2

1

2

1 JeexmxMT (18)

sen14

1

2

1 42 mgexkxkV NLL (19)

As equações de movimento do sistema são:

sen cos23

mM

mex

mM

kx

mM

kx

mM

cx NLL (20)

cossen gxI

me

I

b

I

a

sistsistsist

(21)

b) Integração numérica da equação de movimento

Depois de deduzida a equação de movimento é necessário resolvê-la para obter-se a

resposta dinâmica do sistema.

No presente trabalho a equação de movimento (equação diferencial) é resolvida

numericamente (integração numérica).

Através da integração numérica da equação de movimento consegue-se obter o

deslocamento e a velocidade ao longo do tempo (resposta dinâmica do sistema). Com isso é

possível gerar curvas que auxiliam a entender o comportamento do sistema.

3 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Os resultados apresentados a seguir foram obtidos através de integração numérica da

equação de movimento, usando o método de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem.

A Tabela 1 mostra o valor dos parâmetros que foram mantidos constantes para

realizar a integração numérica.

O símbolo “-“ utilizado na Tabela 1 indica que o parâmetro não existe para o

respectivo sistema.


Tabela 1 – Parâmetros que foram mantidos constantes na integração numérica

Parâmetro [unidade]

Valor do parâmetro

Sistema com

desbalanceamento

rotativo

Sistema não ideal

linear

Sistema não ideal

não linear

M [kg] 5 5 5

m.e [kg.m] 1 1 1

k [N/m] 533 533 -

kL [N/m] - - -40

kNL [N/m] - - 400

c [N.s/m] 5 5 5

J [kg.m²] - 0,1 0,1

a [N.m] - 80 80

g [m/s²] 9,81 9,81 9,81

As condições iniciais de deslocamento e velocidade são nulas.

Sistema com desbalanceamento rotativo:

Primeiramente apresenta-se a curva de resposta em frequência. Para esse sistema

varia-se a frequência de excitação, ou seja, a velocidade angular da massa desbalanceada

convertida para Hz.

2f (22)

O valor da amplitude está em módulo e representa o máximo deslocamento do

sistema em regime permanente.

Figura 3 – Resposta em frequência – sistema com desbalanceamento rotativo

Analisando a Figura 3 percebe-se que a amplitude de vibração aumenta

significativamente quando a frequência de excitação f coincide com o valor da frequência

natural do sistema, que para esse caso é de 1,5 Hz (9,4 rad/s). Para as frequências de excitação

distantes da frequência natural do sistema as amplitudes são consideravelmente menores.

Na sequência faz-se uma análise mais detalhada da resposta do sistema para alguns

valores da frequência de excitação.


Tabela 2 – Parâmetro que foi variado – sistema com desbalanceamento rotativo

f [Hz]

[rad/s]

1,0

6,3

1,5

9,4

2,0

12,6

As Figuras 4 a 6 apresentam a resposta do sistema para as frequências de excitação

especificadas na Tabela 2, onde (a) é o histórico do deslocamento e (b) é o retrato de fase.

Figura 4 – Resposta – f = 1,0 Hz (3,1 rad/s) – sistema com desbalanceamento rotativo



Observando o histórico do deslocamento percebe-se que a resposta desse sistema

apresenta período 1 (resposta periódica).

(a) (b)

(a) (b)

(a) (b)


Sistema não ideal linear:

Primeiramente apresenta-se a curva de resposta em frequência.

Utilizam-se dois parâmetros distintos para plotar a curva de amplitude de vibração

desse sistema: (a) a constante de frequência do motor f0, definida pela Equação (10) e (b) a

frequência que o motor estabiliza, que é o valor médio da frequência do motor em regime

permanente.

Figura 7 – Resposta em frequência – sistema não ideal linear

Analisando as Figuras 7 (a) e (b) é possível perceber o efeito Sommerfeld (salto) e a

captura pela ressonância para as frequências nas quais o motor estabiliza numa frequência

mais baixa do que a sua constante f0. Isso ocorre porque o motor fica capturado na frequência

natural do sistema. Esse comportamento comprova a interação que existe entre o sistema e a

fonte de excitação não ideal.

Tabela 3 – Parâmetro que foi variado – sistema não ideal linear

f0 [Hz]

0 [rad/s]

1,0

6,3

1,38

8,7

2,0

12,6

As Figuras 8 a 10 apresentam a reposta do sistema para as constantes de frequência

do motor especificadas na Tabela 3, onde (a) é o histórico do deslocamento; (b) é o histórico

da velocidade angular do motor e (c) é o retrato de fase.

(a) (b)

(a) (b)


Figura 8 – Resposta – f0 = 1,0 Hz (3,1 rad/s) – sistema não ideal linear


(c)

(a) (b)

(c)

(a) (b)



Observando o histórico do deslocamento percebe-se que a resposta desse sistema

apresenta período 1 (resposta periódica). Observando o histórico da velocidade angular do

motor percebe-se que a mesma apresenta flutuação, comprovando a interação que existe entre

o sistema e a fonte de excitação não ideal.

Sistema não ideal não linear:

A rigidez adotada nesse sistema é resultante da associação de uma parcela linear com

sinal negativo e de uma parcela não linear com sinal positivo (conhecido sistema Duffing). A

energia potencial elástica desse sistema (Equação (19) sem o termo referente à energia

potencial gravitacional da massa desbalanceada) apresenta o seguinte comportamento:

Figura 11 – Energia potencial elástica x deslocamento – sistema não ideal não linear

Através da Figura 11 percebe-se que existem três pontos de equilíbrio, sendo dois

deles estáveis (ponto do lado direito e ponto do lado esquerdo) e um instável (ponto central).

Devido a esse comportamento diz-se que o sistema apresenta energia potencial elástica com

dois poços de potencial.

Utilizam-se dois parâmetros distintos para plotar a curva de amplitude de vibração

desse sistema: (a) a constante de frequência do motor f0, definida pela Equação (10) e (b) a

frequência que o motor estabiliza, que é o valor médio da frequência do motor em regime

permanente.

(c)


Figura 12 – Resposta em frequência – sistema não ideal não linear

Tabela 4 – Parâmetro que foi variado – sistema não ideal não linear

f0 [Hz]

0 [rad/s]

1,0

6,3

1,5

9,4

2,0

12,6

As Figuras 13 a 15 apresentam a resposta do sistema para as constantes de frequência

do motor especificadas na Tabela 4, onde (a) é o histórico do deslocamento; (b) é o histórico

da velocidade angular do motor; (c) é o retrato de fase e (d) é a curva da FFT.

Figura 13 – Resposta – f0 = 1,0 Hz (3,1 rad/s) – sistema não ideal não linear

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)




Analisando as Figura 13 a 15 percebe-se que a resposta do sistema pode ser periódica

ou caótica dependendo do valor da constante de frequência do motor f0. Na Figura 13 tem-se

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(c) (d)


resposta caótica (irregular) e nas Figuras 14 e 15 a resposta é periódica (regular). A existência

de caos é comprovada pelo gráfico da FFT. Na Figura 13 (d) vê-se o espectro da FFT bastante

perturbado, indicando a existência de várias frequências na resposta do sistema e nas Figuras

14 (d) e 15 (d) tem-se apenas uma frequência predominante, caracterizando uma resposta

periódica (período 1).

4 CONCLUSÕES

Na curva de resposta em frequência do sistema com desbalanceamento rotativo

(Figura 3) observa-se que a amplitude de vibração ocorre quando a frequência de excitação

coincide com a frequência natural do sistema. A resposta é sempre periódica. No caso do

sistema não ideal linear a curva de resposta em frequência (Figura 7) apresenta um salto

(descontinuidade), conhecido como efeito Sommerfeld. Nesse sistema também é percebido o

efeito de captura pela ressonância, condição na qual a energia fornecida ao motor elétrico

provoca um pequeno aumento na sua rotação e um grande aumento na amplitude de vibração

do sistema. No caso do sistema não ideal não linear, o comportamento dinâmico se torna

bastante complexo devido à rigidez não linear com energia potencial elástica com dois poços

de potencial. Pequenas variações na constante de frequência do motor provocam grandes

mudanças na resposta do sistema. Para esse sistema a resposta é periódica ou caótica,

dependendo do valor da constante de frequência do motor.

5 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem os auxílios concedidos pela CAPES, CNPq e FAPESP.

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ZUKOVIC, M. and CVETICANIN, L. Chaotic Responses in a Stable Duffing System of Non-

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277.

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