Violência e Cidadania: práticas sociológicas e compromissos sociais
VII SEMAT Seminário da Licenciatura em Matemática ISSN ... · A turma estava estudando as bases...
Transcript of VII SEMAT Seminário da Licenciatura em Matemática ISSN ... · A turma estava estudando as bases...
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
1
CACHOEIRO DE ITAPEMIRIM 2016
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
2
Ficha catalografica
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
3
COMISSÃO ORGANIZADORA
ANDRÉ NUNES DEZAN – IFES CARINA COSTA MACÊDO – IFES EDSON MACIEL PEIXOTO – IFES FERNANDO DA SILVA – IFES ELIZANGELA TONELLI – IFES FERNANDA SOARES DA SILVA BONATO – IFES GEOVANE CARLOS – IFES GIOVANI PRANDO – IFES JAIME PEREIRA REIS – IFES JORGE HENRIQUE GUALANDI – IFES/PUC-SP MARCELA AGUIAR BARBOSA – IFES MARIA APARECIDA SILVA DE SOUZA – IFES/PUC-SP MARIA LAUCINÉIA CARARI – IFES POLLYANA DOS SANTOS – IFES RAFAEL FARIA BOIA – IFES SHEILA SIQUEIRA DA SILVA – IFES THIARLA XAVIER DAL-CIN ZANON – IFES/UFES COMISSÃO CIENTÍFICA
ANA MARIA MARTENSEN ROLAND KALEFF – UFF ANA REBECA MIRANDA CASTILLO – FIPEN ANDRÉ FERNANDO UEBE MANSUR – IFF ANDRÉIA WEISS – UFES ÂNGELA MARIA DOS SANTOS – PUC SP CARLOS HENRIQUE MEDEIROS DE SOUZA – UENF EDSON MACIEL PEIXOTO – IFES EDSON RODRIGUES DA SILVA – PUC SP ELIANE SHEID GAZIRE – UFMG/PUC MG ELIZANGELA TONELLI – IFES FERNANDA SOARES DA SILVA BONATO – IFES GEOVANE CARLOS BARBOSA – IFES GIOVANI PRANDO – IFES IARA ZIMMER – CED/UFSC JAIME PEREIRA REIS – IFES JORGE HENRIQUE GUALANDI – IFES/PUC-SP JOSÉ CARLOS THOMPSON DA SILVA – IFES MARCELA AGUIAR BARBOSA – IFES MARIA AUXILIADORA VILELA PAIVA – UFES/IFES MARIA LAUCINÉIA CARARI – IFES NATHÁLIA COELHO SOARES – Colégio anglo-brasileiro – SP
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
4
PAULO FERREIRA DO CARMO – SEE – SO POLLYANA DOS SANTOS – IFES REGINA THAISE FERREIRA BENTO – Centro Universitário Anhanguera – SP ROSELI ALVES DE MOURA – FEI SP SIMONE DAMM ZOGAIB – UFES SIMONE DE MELLO SESSA – IFES SIMONE MACHADO DE ATHAYDE – Centro Universitário São Camilo/PMCI THAMIRES BELO DE JESUS – IFES THIARLA XAVIER DAL-CIN ZANON –IFES/UFES
REVISÃO E EDITORAÇÃO
ELIZANGELA TONELLI GEOVANE CARLOS BARBOSA POLLYANA DOS SANTOS
DESIGNERS
ANDRÉ NUNES DEZAN WILLEN BORGES COELHO
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
5
APRESENTAÇÃO
Dando continuidade às discussões das edições anteriores sobre formação de
professores de matemática, o VII SEMAT teve como tema “Matemática e Currículo:
perspectivas e desafios atuais na formação de professores”.
A percepção mais ampliada de currículo engloba desde a organização da
matriz curricular de uma escola, os conteúdos de matemática e as abordagens
metodológicas para o ensino de matemática, até as aprendizagens que acontecem no
cotidiano escolar, sistematizadas ou não, percebidas ou não, por professores e
estudantes. Desse modo, os temas desafiadores às práticas de professores de
matemática e as perspectivas em relação à formação de docentes perpassam as
reflexões acerca do currículo, entrecruzando-se a temas mais amplos relativos aos
contextos social, cultural, histórico e político em que se dão as práticas educativas
escolares.
Portanto, a escolha do tema teve sua relevância na ação formativa dos saberes
necessários ao ofício de educador, uma vez que as constantes transformações
sociais, as políticas públicas educacionais, a expansão e acesso às novas
Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC´s) têm seus reflexos diretos no
ambiente escolar.
Entende-se que a formação inicial e continuada de professores de matemática
demandam espaços para reflexão e socialização de produções científicas realizadas
sobre essas temáticas. Para tal, o evento se organizou, bem como esse caderno de
publicações, a partir de grupos de trabalho, a saber: currículos em educação
matemática; recursos didáticos e o uso das TIC’s na educação matemática; formação
de professores de matemática e políticas e experiências educativas no cenário na
educação brasileira, a fim de promover discussões envolvendo os saberes
necessários à formação e a prática docente de matemática, bem como sobre as
perspectivas e desafios diante das constantes transformações da sociedade.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
6
SUMÁRIO
Sumário A FORMAÇÃO DE PROFESSORES A PARTIR DA PESQUISA: A VOZ DE EVADIDOS
DE UMA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ...................................................................... 8
ACHADOS EM PESQUISAS DE MESTRADOS PROFISSIONAIS ACERCA DA ANÁLISE
COMBINATÓRIA: QUAIS TEMAS? QUAIS CONTRIBUIÇÕES? ....................................... 15
O ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS TENDO COMO CATALIZADOR DO
CONHECIMENTO O JOGO ...................................................................................................... 30
O USO DO GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE MOSAICO COM POLÍGONOS
REGULARES: UMA EXPERIÊNCIA NA FORMAÇÃO CONTINUADA DE
PROFESSORES .......................................................................................................................... 45
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO CONTEÚDO FACILITADOR NA
COMPREENSÃO DO TEOREMA DE TALES ...................................................................... 600
NÚMEROS COMPLEXOS NO JOGO DA MEMÓRIA: UMA NOVA PRÁTICA DOCENTE.
..................................................................................................................................................... 73
LOCALIZAÇÃO EM COORDENADAS ESFÉRICAS ............................................................ 85
FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA: ENLACES
TEÓRICO-METODOLÓGICOS ................................................................................................ 94
A INSERÇÃO DE TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS NAS AULAS DE MATEMÁTICA:
UMA PROPOSTA DIDÁTICA A PARTIR DO SOFTWARE SCRATCH............................... 109
A EDUCAÇÃO ESCOLAR MATEMÁTICA NA/DA SOCIEDADE CONTEMPORÂNEA 124
CRIANÇAS CONSTRUINDO CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS A PARTIR DO USO
QUE FAZ EM SUAS VIVÊNCIAS ....................................................................................... 1377
SOLUÇÕES GEOMÉTRICAS COM O USO DE TECNOLOGIAS ..................................... 1477
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E SOCIOLOGIA EDUCACIONAL: UM ESTUDO
SOBRE EVADIDOS DO ENSINO SUPERIOR À LUZ DA SOCIOLOGIA DE PIERRE
BOURDIEU .............................................................................................................................. 158
ANÁLISE DE CONTEÚDO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA DO ENEM E OBMEP
................................................................................................................................................... 171
O JOGO DE XADREZ COMO FERRAMENTA AUXILIAR NO PROCESSO DE ENSINO
APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA ÍTULO ................................................................... 185
PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO DE GAUSS-JORDAN EM
LINGUAGEM C PARA AUXILIAR O APRENDIZADO DE TÓPICOS DE ÁLGEBRA
LINEAR .................................................................................................................................... 194
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
7
A HISTORIOGRAFIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UMA POSSÍVEL REFLEXÃO
SOBRE SUAS POTENCIALIDADES E OBSTÁCULOS ...................................................... 204
ENSINAR A ENSINAR MATEMÁTICA NAS OFICINAS DO PIBID: FORMAÇÃO
INICIAL DE PROFESSORES.................................................................................................. 219
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ESTUDO DE ALGUNS CONCEITOS
DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ...................................................................... 231
INTERDISCIPLINARIDADE ENTRE MATEMÁTICA E FERRAMENTAS
TECNOLÓGICAS .................................................................................................................... 238
A REPERCUSSÃO DA DIFICULDADE MATEMÁTICA SOBRE O ENSINO DE CIÊNCIAS
NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ......................................................................... 248
DESAFIO DO USO DAS TIC´S NA REDE PÚBLICA NA PERCEPÇÃO DOS
PROFESSORES DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA........................................248
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
8
A FORMAÇÃO DE PROFESSORES A PARTIR DA PESQUISA: A VOZ DE
EVADIDOS DE UMA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Antonio Donizetti Sgarbi
Instituto Federal do Espírito Santo - Ifes
Erika Isabel Flores Autor n
Instituto Federal do Espírito Santo - Ifes
Fred Augusto Pulz
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Thaciane Jahring Schunk
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Andre Genuino Vianna
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Fabiano Barbosa Santos
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Resumo:
Trata-se de um breve relato de uma experiência vivenciada em uma turma de
Licenciatura em Matemática que estudava as bases sociológicas da educação. O
objetivo do trabalho é relatar e analisar a experiência da formação de professores a
partir de uma pesquisa sobre evasão escolar no curso superior. O método utilizado foi
de Pesquisa bibliográfica para preparar as primeiras reflexões e depois foi realizada uma
pesquisa qualitativa do tipo pesquisa participante. Empregou-se a técnica da observação
e do diário de bordo. A reflexão feita com o grupo de alunos da Licenciatura em
Matemática demonstra que pesquisar e educar são atividades estreitamente ligadas e que
é possível um alcançar os objetivos do ensino e da aprendizagem de ensino a partir
desta prática.
Palavras-chave: Formação de professores; Formação pela pesquisa; Relato de
experiência.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
9
1. Introdução
Este texto é um breve relato de experiência vivenciado em uma turma de
Licenciatura em Matemática, na disciplina Bases Sociofilosóficas da Educação, no
Instituto Federal de Educação – Ifes, Campus Vitória-ES. Ao estudar as bases
sociológicas da educação o professor fez a proposta de discutir as ideias do sociólogo
Pierre Bourdieu, a partir de uma pesquisa de campo. O objetivo do trabalho é relatar e
analisar tal experiência de formação de professores a partir de uma pesquisa sobre
evasão escolar no curso superior. O método utilizado foi de Pesquisa bibliográfica para
fundamentar a práxis pedagógica, num primeiro momento. E num segundo momento
utilizou-se a metodologia da pesquisa qualitativa do tipo participante. Empregou-se a
técnica da observação e do diário de bordo para a construção dos dados. A reflexão feita
com o grupo de alunos da Licenciatura em Matemática demonstra que pesquisar e
educar são atividades estreitamente ligadas e que é plenamente possível alcançar os
objetos de ensino a partir desta prática.
2. Bases teóricas da pesquisa
Partiu-se de duas premissas: a primeira é a de que ensinar exige pesquisa na esteira
de Paulo Freire que diz: Não há ensino sem pesquisa, nem pesquisa sem ensino.
Enquanto ensino continuo buscando, reprocurando. Ensino porque busco, porque
indaguei, porque indago e me indago. Educo e me educo. Pesquiso para conhecer o que
ainda não conheço para comunicar o novo (FREIRE, 2011). A segunda premissa foi
retirada de Pedro Demo que afirma: "educar pela pesquisa tem como condição essencial
primeira que o profissional da educação seja pesquisador, ou seja, maneje a pesquisa
como princípio científico e educativo e a tenha como atitude cotidiana" (DEMO. 1996,
p. 2).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
10
A experiência se apoiou também no trabalho de Costa (2016) que desenvolveu uma
reflexão sobe a evasão escolar no ensino superior. Afirma o pesquisador:
A luta pelo ensino superior: com a voz, os evadidos é um estudo sobre a
expansão do ensino superior no Brasil. Tem como objeto as falas dos alunos
não concluintes provenientes, em sua maioria, das camadas desfavorecidas.
Entre os objetivos do trabalho está a perspectiva de se refletir sobre a
problemática da desistência a partir daquele que se evade, buscando, por
meio de seus relatos e da identificação de suas percepções e expectativas,
contribuir para o desenvolvimento de políticas institucionais, ações e atitudes
passíveis de se antecipar ao fenômeno da evasão (COSTA, 2016).
A partir dos próprios instrumentos utilizados por Costa para desenvolver a sua
pesquisa realizou-se o trabalho em tela. Todas as variáveis utilizadas por Costa foram
também utilizadas na pesquisa proposta, a saber: renda, escolaridade dos pais e parentes
próximos, ethos familiar, capital social. Passado escolar, valorização da cultura escrita.
Investimento pedagógico das famílias. Informações sobre o ensino superior, ethos
familiar: atitude em relação ao futuro. Capital Cultural: exigências próprias do ensino
superior, capital social. Contextos de exclusão, insegurança, precarização.
Desvalorização do diploma. Desesperança de si, futuro estreitado (não é para mim).
Inclusão, exclusão (COSTA, 2016).
3. A experiência relatada e comentada
Os sujeitos da experiência foram os estudantes de uma Licenciatura em Matemática
que estavam cursando o terceiro período. A turma estava estudando as bases
sociológicas da educação e foi proposta, para que todos pudessem perceber a
importância do estudo da sociologia da educação, o desenvolvimento de uma pesquisa
de campo sobre evasão escolar. Por se tratar de uma turma de um curso noturno sem
muito tempo para desenvolver pesquisa de campo o trabalho foi sendo desenvolvido
durante todo o semestre.
No “contrato pedagógico” desenvolvido pelo professor no início dos trabalhos já
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
11
foi feita a proposta da pesquisa de campo. Os estudantes consideram a proposta viável
uma vez que o trabalho seria desenvolvido aos poucos e com a orientação e
acompanhamento do professor. Não havia, porém uma clareza do que se pretendia
realmente. Os estudantes deram um voto de confiança ao professor, pois não conheciam
a experiência.
Foram propostos alguns passos. Inicialmente os alunos formaram duplas e cada
dupla deveria encontrar uma pessoa evadida de um curso superior, de preferência do
próprio curso que estavam freqüentando (Licenciatura em Matemática do Ifes – Campus
Vitória) e fazer uma breve entrevista com tal evadido. A proposta foi de trabalhar com
um evadido que não voltou mais a estudar. No final da pesquisa havia uma proposta de
aprofundamento da conversa. Caso a pessoa estivesse disposta a dupla marcaria um dia
e horário para continuar a conversa.
Não foi tão fácil, como se pensou no início, encontrar os evadidos do próprio curso.
Assim sendo cada dupla fez a entrevista com evadidos de qualquer curso. O instrumento
de construção de dados foi construído pelo professor Silvio Luiz da Costa que
aprofundou a questão em seu estudo de doutoramento.
O primeiro questionário visava fazer um levantamento de dados gerais: identidade
do entrevistado; renda familiar; escolaridade dos pais; dados sobre a vida escolar antes
da entrada no ensino superior; dados sobre o ensino superior; principal razão da
desistência do ensino superior. Todas estas eram questões do tipo fechadas, onde o
entrevistado deveria apenas assinar uma das alternativas e no máximo explicitar algo
objetivo sobre a razão de sua resposta. Havia uma questão, porém que era aberta:
escreva sobre o que significou para você ter deixado a faculdade. Para encerrar a
entrevista era perguntado se a pessoa se disporia a participar de uma entrevista sobre seu
afastamento da faculdade. No caso da resposta ser positiva, a pessoa deveria deixar um
telefone para contato posterior.
Todos os estudantes da sala conseguiram alguém para entrevistar nesta fase, mas
nem todas as duplas conseguiram resposta afirmativa em relação a última questão. Em
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
12
alguns casos a pessoa entrevistada aceitou fazer uma segunda entrevista, mas havia caso
em que a pessoa se distanciava do perfil escolhido. Por exemplo: a pessoa já estava para
voltar à faculdade ou já havia começado outro curso.
Enquanto os alunos faziam a pesquisa de campo estudavam os clássicos da
sociologia da educação. Durante os estudos o professor fazia algumas referências à
pesquisa, mas não havia clareza ainda do como seriam trabalhados os dados
construídos.
Apenas três duplas conseguiram efetivamente fazer a entrevista proposta para a
segunda fase. Nesta segunda fase, sempre se valendo dos instrumentos desenvolvidos
pelo pesquisador Costa (2016), eram aprofundadas as seguintes temáticas: 1) Casa.
Família. Participação social. Os entrevistados eram convidados a discorrerem sobre:
suas famílias, local de moradia, a escolaridade dos pais e irmãos; atividades culturais
em geral, hábito da leitura na família. 2) Percurso escolar. Vida estudantil: hábito de
leitura do entrevistado, hábitos de estudo, vida escolar anterior à faculdade (tipo de
escola, como eram as aulas e os professores), relação com os colegas, dificuldades de
acompanhamento em alguma área do estudo. 3) Como foi a motivação para o ensino
superior? Motivação na escola, preparação para o ENEM, como a propaganda para o
ensino superior o incentivou, a escolha do curso e da faculdade, ano do ingresso, tipo de
ocupação. 4) Relato da experiência no ensino superior: quanto tempo permaneceu na
faculdade, como foi a acolhida, como eram as aulas, os trabalhos individuais e em
grupo, a experiência da prova, diferença da faculdade com o ensino médio, o que havia
sido mais significativo no tempo em que esteve na faculdade. 5) A desistência. Como
foi a saída da faculdade, motivos, como foi a tomada da decisão, como foi a experiência
da saída, como é para o entrevistado falar sobre este assunto, com quem conversou antes
de sair, o que poderia ter sido feito para que não saísse. 6) Pós faculdade. Se mantém
algum contato com a faculdade, se pensa em voltar, o que esperava do ensino superior.
Como se pode notar era uma entrevista bastante exigente. Uma dupla conseguiu
concluir coleta de dados no tempo proposto. Esta dupla, com a ajuda do professor,
preparou uma análise dos dados e apresentou a todos os colegas. Durante a apresentação
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
13
outras duplas foram preparando também a sua análise de dados. Quando não havia
dados construídos pela própria dupla o professor indicava um outro material de análise.
Este material poderia ser a partir de dados de outros colegas ou se isto não era possível
foi proposta a análise de filmes previamente escolhidos pelo professor.
Observou-se na sala um interesse pelo trabalho que estava sendo realizado.
Muitos dos estudantes se viam representados das respostas dos entrevistados e assim
completavam as discussões relatando experiências próprias ou de alguém de suas
famílias.
Esta atividade foi o fechamento da disciplina. Depois que as aulas terminaram
todos tiveram um tempo para entregar um texto sobre a análise que fizeram em duplas.
Foi, porém somente depois da apresentação do primeiro trabalho concluído que os
estudantes, como um todo, puderam perceber todos os passos de uma pesquisa. Ficou
ainda a dúvida se aqueles alunos que faltaram a algumas aulas conseguiram ter clareza
de todo o processo. Entre aqueles que acompanham todos os passos percebeu-se um
bom envolvimento com a pesquisa.
Os textos das duas duplas que conseguiram ir até a última etapa foram trabalhados
posteriormente gerando um trabalho que foi apresentado ao próprio autor que havia sido
o referencial teórico metodológico da experiência. O professor Silvio Luiz da Costa
completou o texto finalizando-o um trabalho de parceria com o professor da sala e com
os alunos. Este foi um ponto alto da experiência que agora acontecia já fora da
disciplina. O trabalho foi apresentado a um congresso que discutia entre outras
temáticas a formação de um professor de matemática.
4. Observações conclusivas
Esta experiência reforçou a ideia de que é possível utilizar a pesquisa como uma
forma de ensinar ou de educar. Reforçou ainda a ideia de que estas são atividades
estreitamente ligadas e que poderia fazer parte das atividades dos professores e dos
estudantes. Para que isto, porém seja possível é necessário esforço, planejamento e
acompanhamento por parte dos professores. É preciso também uma não acomodação
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
14
dos estudantes, pois eles, na pesquisa, vão construindo a aprendizagem. Quando isto
acontece o ensino pela pesquisa deixa de ser privilégio de apenas alguns, mas uma
prática de muitos.
5. Referências
COSTA, Silvio Luiz. A luta pelo ensino superior: com a voz, os evadidos. Tese
(Doutorado). Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 2016.
http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-18082016-155145/pt-br.php
DEMO, Pedro. Educar pela pesquisa. Campinas: Autores Associados, 1996.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43
ed. São Paulo: Paz e Terra, 2011.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
15
ACHADOS EM PESQUISAS DE MESTRADOS PROFISSIONAIS ACERCA DA
ANÁLISE COMBINATÓRIA: QUAIS TEMAS? QUAIS CONTRIBUIÇÕES?
Thiarla Xavier Dal-Cin Zanon
IFES, Campus Cachoeiro de Itapemirim/UFES
Simone Damm Zogaib
UFS/UFES
Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner
UFRJ/UFES
José Carlos Thompson da Silva
IFES, Campus Linhares/UFES
Resumo
Neste artigo trazemos um recorte de pesquisa em educação matemática na forma de
estado de conhecimento na qual mapeamos, descrevemos e analisamos produções
brasileiras de mestrado e doutorado de 2000 a 2015 acerca da análise combinatória.
Aqui focalizamos em estudos de mestrado profissional da região sudeste. Ao realizar
uma pesquisa documental, nosso objetivo foi evidenciar temas investigados e
contribuições à pesquisa em educação matemática. Resultados mostraram que embora o
número de pesquisas tenha crescido, a maioria delas apresenta relatórios descritivos
com pouco enfoque à sala de aula. Concluímos que é preciso ampliar temas de
investigação, experimentar e apreciar pesquisas que indiquem roteiros/sequências de
atividades e refletir acerca dos resultados que possam melhorar processos de ensino,
aprendizagem e avaliação de análise combinatória na educação básica e formação de
professores.
Palavras-chave: educação matemática; análise combinatória; estado do conhecimento;
pesquisas de mestrado profissional.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
16
1. Introdução
Os processos de ensino, aprendizagem e avaliação em análise combinatória
ainda causam estranhamento a professores e alunos de educação básica e ensino
superior. Nossa experiência profissional aliada aos estudos e pesquisas que
desenvolvemos nos permite anunciar o pouco enfoque dado a análise combinatória na
educação básica e nos cursos de formação inicial e continuada de professores. As ideias
de combinatória passam praticamente invisibilizadas pelas práticas de professores e
aparecem na segunda série do ensino médio como algo novo e repleto de fórmulas.
Santos-Wagner, Bortoloti e Ferreira (2013), em estudo relacionado à análise
combinatória realizado com 198 estudantes de quatro universidades baianas,
evidenciaram informação semelhante. Informaram que ao estudarem combinatória no
ensino médio, o fizeram de forma mecânica, utilizando-se de fórmulas ou técnicas de
resolução de problemas o que pode não garantir a elaboração/construção de conceitos
com compreensão e significado.
Para nós, o pensamento combinatório é fundamental para a vida em sociedade à
medida que implica em escolhas e tomadas de decisões pelos sujeitos. Morgado,
Carvalho, Carvalho e Fernandez (1991) apontam que a análise combinatória é a parte da
matemática que analisa estruturas e relações discretas. Para eles, os dois tipos de
problemas que ocorrem frequentemente em análise combinatória incidem sobre
subconjuntos de elementos de um conjunto finito em determinadas condições dadas,
seja para demonstrar a existência, ou, contar ou classificar. Diante deste contexto e de
nossa intensa inquietação acerca da temática, apresentamos neste artigo temas
investigados por estudos de mestrado profissional na região sudeste do Brasil, no
período de 2000 a 2015. Além disso, delineamos possíveis contribuições desses estudos
à pesquisa em educação matemática e à sala de aula.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
17
2. A metodologia do estudo
Neste estudo documental (FIORENTINI, LORENZATO, 2007) do tipo “estado
do conhecimento” (ROMANOWSKI, ENS, 2006; PAGANI, ALLEVATO, 2004)
acerca de análise combinatória mapeamos a produção acadêmica de universidades
brasileiras no período de 2000 a 2015. Esta delimitação temporal tem por base a
publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN de matemática em 1998
enquanto política pública orientadora do ensino, aprendizagem e avaliação. Tem por
base também o primeiro estudo que temos conhecimento acerca da análise combinatória
de autoria de Sturm (1999) desenvolvido na UNICAMP – Universidade Estadual de
Campinas.
Com a finalidade de garantir rigor e densidade ao estudo, nos apoiamos
principalmente em Romberg (1992), Kilpatrick (1996) e em Fiorentini e Lorenzato
(2007). Dessa forma, definimos os seguintes procedimentos: (1) descrever questões
orientadoras; (2) estabelecer descritores; (3) selecionar as instituições e programas de
pós-graduação stricto sensu; (4) ler inicialmente o resumo das produções; (5) registrar
dados e informações; (6) ler e analisar os estudos com mais profundidade,
categorizando-os; (7) sintetizar as ideias e refletir acerca delas.
2. Alguns achados de pesquisas...
Encontramos na região sudeste 43 produções. Desse total, 32 são dissertações de
mestrado profissional. É característica destes estudos apresentar um produto que pode
ser um material de apoio a professores sejam roteiros de aulas, jogos, coletâneas de
problemas, módulos de ensino e até mesmo textos teóricos abordando o formalismo e o
rigor matemático no ensino deste conteúdo. A partir de nossas análises, sintetizamos no
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
18
quadro 1 aspectos que consideramos relevantes ao leitor. Os estudos estão apresentados
em ordem alfabética por nome do programa de pós-graduação no qual foram
produzidos. As produções foram alocadas pelo ano de defesa em ordem crescente.
Quando havia mais de uma produção por ano, consideramos a inicial do sobrenome do
autor para situarmos os estudos em ordem alfabética. No entanto, identificamos estudos
produzidos no mesmo ano, em instituições distintas cujos autores possuíam o mesmo
sobrenome. Neste caso, usamos a inicial do primeiro nome do autor. No quadro
trazemos também o ano de publicação, número de páginas, instituição à qual estão
vinculados e uma pequena síntese dos temas de investigação.
Quadro 1 – Sínteses das produções de mestrado profissional Mestrado Profissional em Educação Matemática
AUTOR ANO PÁGINAS INSTITUIÇÃO TEMAS
Almeida 2010 166 UFOP Estudou o ensino e a aprendizagem de análise
combinatória com enfoque na comunicação
matemática a partir de atividades testadas com
alunos do ensino médio.
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Vargas 2009 109 PUC/MG Estudou o ensino-aprendizagem de análise
combinatória através da resolução de problemas
com atividades investigativas aplicadas para
alunos do ensino médio.
Alves 2010 160 PUC/MG Averiguou estratégias de ensino para o
desenvolvimento do pensamento combinatório de
alunos nos anos finais do ensino fundamental.
Para isto propôs e testou um módulo de ensino. Evangelista
Sobrinho 2010 135 UNICSUL Focalizou no desenvolvimento do raciocínio
combinatório e probabilístico de alunos dos anos
finais do ensino fundamental mediado por um
jogo.
Carvalho 2011 93 CEFET/RJ Testou uma das formas de jogo do Role Playing
Games, como ferramenta didática para o ensino
de análise combinatória no ensino médio.
Lima 2011 149 PUC/MG Estudou o desenvolvimento do raciocínio
combinatório de alunos do ensino médio.
Elaborou e testou uma sequência com foco na
leitura, na resolução de problemas e na construção
de enunciados.
Santos 2011 231 UNICSUL Verificou o desenvolvimento do raciocínio
combinatório de alunos do ensino médio por meio
da resolução de problemas.
Sena 2013 126 PUC/MG Analisou contribuições da metodologia de
resolução de problemas e da atividade
investigativa para o ensino e a aprendizagem de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
19
análise combinatória no ensino médio.
Silva 2014 132 IFES Evidenciou conhecimentos de licenciandos em
matemática quando elaboraram e testaram um
jogo sobre análise combinatória para ser usado na
educação básica.
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas
Vasquez 2011 90 UFSCar Enfatizou o ensino de análise combinatória sem o
uso abusivo de fórmulas. Para isto, elaborou e
aplicou atividades orientadoras no ensino médio.
Silva 2012 117 UFSCar Discutiu a funcionalidade do ensino de análise
combinatória a partir de fichas de aula elaboradas
com base em sua experiência docente. As
atividades foram testadas no ensino médio.
Gerdenits 2014 170 UFSCar Confeccionou um material manipulável para
explorar o raciocínio combinatório. Pode ser
usado por professores em sequências de
atividades nos anos finais do ensino fundamental.
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática
Pedrosa
Filho
2008 234 PUC/SP Centrou no desenvolvimento do raciocínio
combinatório de alunos dos anos iniciais do
ensino fundamental a partir do uso de materiais
manipuláveis em sequências de ensino.
Mendonça 2011 241 PUC/SP Desenvolveu uma sequência de ensino de análise
combinatória por meio da Trajetória Hipotética de
Aprendizagem (THA) com alunos do ensino
médio.
Trevizan 2015 137 USP Averiguou a funcionalidade de um planejamento
de ensino envolvendo situações adidáticas como
ferramenta para aprendizagem de alunos de
ensino médio.
Mestrado Profissional em Matemática
Assis 2008 68 UNICAMP Explorou o formalismo matemático para
fundamentar de maneira rigorosa os princípios
básicos da análise combinatória. Sua produção
destina-se aos interessados pelo assunto.
PROFMAT: Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
Amorim
2013 49 IMPA Se preocupou em oferecer ao professor do ensino
fundamental material teórico compacto para
consulta e estudo. É composto de sequências
didáticas acerca da análise combinatória.
Caldato 2013 46 UNESP Verificou a funcionalidade da geometria do táxi
com o uso de um jogo para o ensino de análise
combinatória através da metodologia de resolução
de problemas. Destina-se ao ensino médio.
Costa 2013 47 IMPA Preocupou-se em oferecer ao professor de ensino
médio material teórico compacto de sequências
didáticas para consulta e estudo acerca da análise
combinatória.
Costa 2013 108 UFLA Apresentou uma proposta de ensino de análise
combinatória para o ensino médio. Constitui-se de
uma sequência com 08 atividades comentadas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
20
acompanhadas de sugestão de avaliação.
Fusel 2013 135 UFSCar Estudou o ensino e a aprendizagem dos conceitos
básicos da análise combinatória por alunos do
ensino médio. Utilizou folhas de atividades
contendo situações-problema no contexto de
telefonia.
Santos 2013 55 UFV Propôs atividades de análise combinatória sem o
uso abusivo de fórmulas. Estas atividades são
destinadas ao ensino médio e não foram testadas
em sala de aula.
Faustino
de Paula
2014 49 UERJ Representou conceitos de análise combinatória de
modo rigoroso para precisar conceitos
apresentados de maneira informal e intuitiva.
Destina-se aos interessados pelo assunto.
Freitas 2014 42
IMPA Trouxe uma possibilidade de ensinar matemática
integradamente. Apontou pontos de contato entre
combinatória e diferentes conteúdos de
matemática do 6o do ensino fundamental.
Gonçalves 2014 111 IMPA Apresentou uma sequência para o ensino de
análise combinatória no ensino médio. Utilizou-se
do princípio multiplicativo e da resolução de
problemas como ferramenta didático-pedagógica.
Mastropau
lo Neto
2014 81 UNICAMP Estudou a combinatória associada a probabilidade
com aplicações para o ensino de geometria no
ensino médio. O objetivo é que o material possa
ser um apoio aos professores de matemática.
Oliveira 2014 43 UFSJ Elaborou um texto no qual discutiu conceitos com
rigor matemático. Trouxe atividades que junto ao
texto podem servir como fonte de estudo e
pesquisa a alunos do ensino médio e graduação.
Paiva 2014 30 UFSJ Estudou o princípio das gavetas de Dirichlet e
suas aplicações em problemas geométricos e
aritméticos. Apresentou uma coletânea de
problemas que podem ser aplicados no ensino
básico.
Pinto 2014 59 PUC/RJ Elaborou um roteiro de exercícios resolvidos a
partir dos quais discute teoricamente conceitos de
análise combinatória associados a probabilidade.
Destina-se a professores de ensino médio.
Rimsa 2014 16 UFSJ Trouxe um texto de apoio teórico para professores
da educação básica a fim de auxilia-los na
compreensão do princípio das Permutações
Caóticas sobre Sequências Finitas.
Sampaio
Junior
2014 31 IMPA Associou o princípio das gavetas a grafos na
resolução de problemas de existência por alunos
de ensino médio. Acredita que esta é uma boa
maneira para se trabalhar tópicos de análise
combinatória.
Gomes 2015 50 UFES Trouxe uma proposta de sequência didática para o
ensino de análise combinatória. Esta traz
problemas na forma de jogos combinatórios.
Destina-se aos diferentes níveis de ensino.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
21
Fonte: Elaborado pelos pesquisadores.
Quando analisamos esses estudos procurando identificar características que os
aproximavam, notamos estudos teóricos, práticos e teóricos/práticos simultaneamente.
Nomeamos de produções teóricas aquelas que transcreveram o conteúdo matemático
formal e instrumental como encontramos em livros didáticos ou em livros texto que
privilegiam o rigor matemático. Por produções práticas, nomeamos aquelas que
trouxeram roteiros/sequências de ensino testados ou não em sala de aula. Por fim,
identificamos as produções teóricas/práticas como aquelas apresentaram ambos os
aspectos. Vejamos:
Produções práticas com testagem de sequências/roteiros de ensino-
aprendizagem. Trazem roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino cujos
problemas decorrentes envolvem tópicos de análise combinatória e foram testados em
ambiente real de ensino. Aqui posicionamos os estudos de Pedrosa Filho (2008), Vargas
(2009), Alves (2010), Evangelista Sobrinho (2010), Carvalho (2011), Mendonça (2011),
Santos (2011), Sena (2013), Silva (2014) e Trevizan (2015).
Produções teóricas e práticas com testagem de sequências/roteiros de ensino-
aprendizagem. Mencionam uma discussão teórica/formal de tópicos de análise
combinatória e seguem com roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino cujos
problemas decorrentes foram testados em ambiente real de ensino. Nesta categoria estão
os estudos de Almeida (2010), Lima (2011), Vasquez (2011), Silva (2012), Caldato
(2013), Fusel (2013), Gerdenits (2014), Gonçalves (2014) e Mastropaulo Neto (2014).
Produções teóricas e práticas sem testagem de sequências/roteiros de ensino-
aprendizagem. Trazem uma discussão teórica/formal de tópicos de análise combinatória
e seguem com roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino. Entretanto, não
foram experimentados em ambiente real de ensino-aprendizagem de matemática. Fazem
parte desta categoria os estudos de Amorim (2013), Costa (2013), Costa (2013), Santos
(2013), Gomes (2015) e Oliveira (2015).
Produções teóricas e práticas com testagem de sequências/roteiros de ensino-
aprendizagem nas quais a análise combinatória aparece associada a outro conteúdo
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
22
matemático. O estudo de Sampaio Junior (2014) representa esta categoria. Trata de
maneira teórica/formal tópicos de análise combinatória associados a grafos. Descreve
uma sequência de ensino cujos problemas decorrentes foram testados em sala de aula.
Produções teóricas e práticas sem testagem de sequências/roteiros de ensino-
aprendizagem em sala de aula nas quais a análise combinatória aparece associada a
outro conteúdo matemático. Além dos conceitos de análise combinatória discutidos de
maneira teórica/formal, associam-nos aos conteúdos de matemática do sexto ano do
ensino fundamental e a problemas geométricos e aritméticos. Disponibilizam
roteiros/planos/sequências/jogos/módulos de ensino não testados em sala de aula, mas
que podem ser usados por professores de matemática. Atribuímos a esta categoria os
estudos de Freitas (2014) e Paiva (2014).
Produções teóricas em que a análise combinatória aparece associada a outro
conteúdo matemático. Tópicos de análise combinatória são desenvolvidos e
relacionados a outros conteúdos de matemática a partir da resolução de problemas de
maneira instrumental e formal. É representante desta categoria o estudo de Pinto (2014).
Produções teóricas. Abordam conceitos matemáticos de análise combinatória,
representando-os de modo instrumental e formal. Nesta categoria, situamos os estudos
de Assis (2008), Faustino de Paula (2014) e Rimsa (2014).
De maneira geral, é consenso entre os pesquisadores que suas propostas podem
auxiliar alunos e professores no ensino e na aprendizagem de análise combinatória
especialmente na educação básica. Grande parte das produções com roteiros de
atividades deriva da hipótese de que a análise combinatória deve ser estudada de forma
intuitiva. Partindo das percepções que o aluno traz do mundo e sem o uso abusivo de
fórmulas. Assim, acredita-se que alunos compreenderão com mais facilidade o tipo de
atividade/problema proposto e terão menos erros na resolução de problemas. Por isso,
os autores propõem roteiros/sequências de ensino.
Na maioria das produções do PROFMAT, é uma característica comum não
apresentar questão de pesquisa e partirem das motivações dos autores. Nem sempre há
fundamentação teórica e metodológica. Isto difere de programa para programa. As
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
23
dissertações seguem uma apresentação diversa: uma revisao sistemática e aprofundada
da literatura, um artigo, dentre outras possibilidades, o que talvez explique a disparidade
entre as produções e a variação de números de páginas. Acreditamos que isso se
relacione ao cumprimento do inciso I, Art. 3 da Portaria Normativa No 17 de
28/12/2009 do Ministério da Educação, ao mencionar que o mestrado profissional
possibilita a “incorporaçao do método científico, habilitando o profissional para atuar
em atividades técnico-científicas e de inovaçao”. Salvo algumas publicações, um
número significativo delas se constitui como um planejamento de ensino instrumental.
Decorrente desta observação, indagamos: Que impactos e retorno este tipo de produção
teve para a política nacional da educação básica e para melhoria do ensino nesta etapa
de escolarização? Sabemos que avaliações acerca deste metrado foram realizadas, mas
não observamos nos relatórios possíveis repostas a este questionamento. Os resultados
se mostraram mais genéricos e obtidos por meio de questionários eletrônicos.
Identificamos ainda que estas pesquisas de mestrado profissional mencionam,
dentre outros, que (1) há dificuldades, principalmente, com a interpretação de
enunciados de problemas que envolvem arranjo e combinação; (2) docentes afirmam
evitar o ensino de análise combinatória, pois se sentem inseguros e despreparados, uma
vez que não estudaram este conteúdo anteriormente. Ou consideram o conteúdo menos
importante dentre aqueles prescritos no currículo. Às vezes, quando ensinam, o fazem
de maneira superficial, privilegiando situações introdutórias e o uso de fórmulas; (3) há
necessidade de ensinar o conteúdo de uma forma diferente daquela tradicional.
3. Quais temas? Quais contribuições? Uma tentativa de concluir...
Em relação aos temas já investigados sobre análise combinatória, notamos
grandes temas e outros deles decorrentes. Informamos que tal classificação foi por nós
estabelecida a partir do enfoque dado a pesquisa. Ou seja, procuramos desvelar o que
aparecia em maior evidência na elaboração do instrumento e na análise dos dados. Em
alguns estudos, foi difícil delimitar, pois abordavam diversos tópicos acerca da análise
combinatória, metodologias de ensino, sujeitos de pesquisa dentre outros.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
24
Para nós, os grandes temas emergentes das pesquisas foram o raciocínio
combinatório, ensino, aprendizagem, formação de professores e currículo. Os temas
decorrentes perpassaram pela elaboração e uso de materiais manipuláveis, jogos,
resolução de problemas, planejamento de ações didáticas e adidáticas, conhecimento
docente, produção de textos teóricos para estudo e aperfeiçoamento de professores e
aproximações entre análise combinatória e diferentes conteúdos de matemática do
currículo dos anos finais do ensino fundamental.
Acerca das contribuições à pesquisa em educação matemática e à melhoria dos
processos de ensino, aprendizagem e avaliação nos diferentes níveis de ensino, essas
investigações trouxeram alguns elementos importantes e alternativos ao ensino de
análise combinatória na educação básica. Além disso, evidenciaram fragilidades ao
proporem roteiros de ensino/sequências de atividades sem uma análise cuidadosa de sua
viabilidade. Acreditamos ser necessária a aplicação deles em sala de aula para termos
clareza de que auxiliam no processo de ensino, aprendizagem e avaliação em análise
combinatória. Ou para percebemos em quais aspectos podem ser melhorados e efetivos
nesse processo. Vemos também produções isoladas, não articuladas entre si em relação
ao uso dos estudos pregressos pelos pesquisadores. Pareceu-nos ainda que as produções
nem sempre são conhecidas e/ou não atingem, de imediato, professores em exercício,
autores de livros didáticos, gestores educacionais que elaboram políticas públicas
norteadores do ensino.
Verificamos a necessidade de novas pesquisas que focalizem ensino,
aprendizagem e avaliação de análise combinatória na educação infantil, nos anos
iniciais do ensino fundamental e formação inicial e continuada de professores de
matemática. Por fim, manifestamos nossa preocupação em relação ao estabelecimento
de critérios pelos programas de pós-graduação para produção de pesquisas que
apresentam produtos apenas descritivos. Preocupamo-nos ainda quanto ao uso desses
produtos pelos próprios autores das pesquisas, como chegam à sala de aula de outros
professores, como estão sendo incorporados aos livros didáticos e como auxiliam na
melhoria da qualidade do ensino.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
25
4. Referências
ALMEIDA, A. L. de. Ensinando e aprendendo análise combinatória com ênfase na
comunicação matemática: um estudo com o 2o ano do ensino médio. 2010. 166f.
Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática) – Instituto de Ciências
Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto.
ALVES, A. C. Uma introdução ao pensamento combinatório no 9o ano do ensino
fundamental. 2010. 160f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte.
AMORIM, L. A. B. O ensino do princípio das casas dos pombos no ensino básico.
2013. 49f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede
Nacional) – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro.
ASSIS, L. M. E. de. Aplicações do princípio da inclusão e exclusão. 2008. 68f.
Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de Matemática,
Estatística e Computação Científica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
BRASIL. Portaria Normativa/MEC Nº. 17 de 28/12/2009. Disponível em:
https://www.capes.gov.br/images/stories/download/legislacao/PortariaNormativa_17MP
.pdf . Acesso em 07 Jul. de 2016.
CALDATO, P. O uso da geometria do táxi no ensino de análise combinatória. 2013.
46f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede
Nacional) – Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Universidade Estadual
Paulista, São José do Rio Preto.
CARVALHO, W. T. de. Uso de uma aventura-solo como ferramenta didática para
o ensino de análise combinatória. 2011. 93f. Dissertação (Mestrado Profissional em
Ensino de Ciências e Matemática) – Centro Federal de Educação Tecnológica Celso
Suckow da Fonseca, Rio de Janeiro.
COSTA, A. L. B. da. O ensino do princípio das casas dos pombos no ensino básico.
2013. 47f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede
Nacional) – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro.
COSTA, E. R. S. Uma proposta de ensino de análise combinatória para alunos do
ensino médio. 2013. 108f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional) – Universidade Federal de Lavras, Lavras.
EVANGELISTA SOBRINHO, F. O raciocínio combinatório e probabilístico de
alunos do 6o
ano do ensino fundamental. 2010. 135F. Dissertação (Mestrado
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
26
Profissional em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São
Paulo.
FAUSTINO DE PAULA, F. E. Combinatória – abordagem precisa. 2014. 49f.
Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) –
Instituto de Matemática e Estatística, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro.
FIORENTI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos
teóricos e metodológicos. 2a ed. ver. Campinas, SP: Autores Associados, 2007.
FREITAS, L. F. Análise combinatória vivenciada na matemática: uma nova
proposta. 2014. 42f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática
em Rede Nacional) – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro.
FUSEL. A. T. O ensino e a aprendizagem da análise combinatória dentro do
contexto da telefonia. 2013. 135f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional) – Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.
GERDENITS, G. A. M. Raciocínio combinatório: uma proposta para professores de
matemática do ensino fundamental - anos finais. 2014. 170f. Dissertação (Mestrado
Profissional em Ensino de Ciências Exatas) – Centro de Ciências Exatas e Tecnologica,
Universidade Federal de São Carlos, Sorocaba.
GOMES, Y. F. de B. Uma proposta de sequência didática para jogos
combinatórios. 2015. 50f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional) – Departamento de Matemática, Universidade Federal
do Espírito Santo, Vitória.
GONÇALVES, R. R. S. Uma abordagem alternativa para o ensino de análise
combinatória no ensino médio: a utilização do princípio multiplicativo e da resolução
de problemas como ferramenta didático-pedagógica. 2014. 111f. Dissertação
(PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro.
KILPATRICK, J. Fincando Estacas: uma tentativa de demarcar a educação matemática
como campo profissional e científico. Tradução: MISKULIN, R. G. S.; PASSOS, C. L.
B.; GRANDO, R. C.; ARAÚJO, E. A. Revisão: FIORENTI, D. Zetetiké, Campinas:
SP, v. 4, n. 5, p. 99-120, jan./jun. 1996.
LIMA, T. R. C. de. Ensinando e aprendendo análise combinatória através da
leitura e resolução de problemas e da construção de enunciados. 2011. 149f.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
27
Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática) – Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte.
MASTROPAULO NETO, V. Combinatória e probabilidade com aplicações no
ensino de geometria. 2014, 81f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional) – Instituto de Matemática, Estatística e Computação
Científica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
MEDONÇA, L. Trajetória hipotética de aprendizagem: análise combinatória. 2011.
241f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo.
MORGADO, A. C.; CARVALHO, J. B. P. de; CARVALHO, P. C. P.; FERNANDEZ,
P. Análise combinatória e probabilidade. 9ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 1991.
OLIVEIRA, J. P. D. de. Abordando as distribuições binomial e multinomial:
propriedades e um exemplo de processo estocástico. 2014. 43f. Dissertação
(PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) –
Departamento de Física e Matemática, Universidade Federal de São João del-Rei, Alto
Paraopeba.
PAGANI, E. M. L.; ALLEVATO, N. S. G. Ensino e aprendizagem, de cálculo
diferencial e integral: um mapeamento de algumas teses e dissertações produzidas no
Brasil. Vidya, Santa Maria, v. 34, n. 2, p. 61-74, jul./dez. 2014.
PAIVA. V. B. de. Sobre pombos e gavetas. 2014. 30f. Dissertação (PROFMAT -
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Departamento de Física e
Matemática, Universidade Federal de São João del-Rei, Alto Paraopeba.
PEDROSA FILHO, C. Uma experiência de introdução do raciocínio combinatório
com alunos do primeiro ciclo do ensino fundamental (7 - 8 anos). 2008. 234f.
Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo.
PINTO, R. C. Introdução à análise combinatória. 2014. 59f. Dissertação (PROFMAT
- Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Departamento de
Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro.
ROMANOWSKI, J. P.; ENS, R. T. As pesquisas denominadas do tipo “estado da Arte”
em educação. Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 6. N. 19, p. 37-50, set./dez.
2006.
ROMBERG, T. A. Perspectives on scholarship and research methods. In: GROUWS, D.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
28
A. (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning.
Copyright for National Council of teachers of Mathematics. New York: Macmillan,
1992, p. 49-64.
SAMPAIO JUNIOR, P. C. Combinatória revisitada: uma introdução à Teoria de
Ramsey. 2014. 31f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática
em Rede Nacional) – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro.
SANTOS, P. F. Uma abordagem da análise combinatória sem o uso abusivo de
formulas. 2013. 55f. Dissertação (PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática
em Rede Nacional) – Universidade Federal de Viçosa, Viçosa.
SANTOS, R. H. dos. Uma abordagem do ensino da análise combinatória sob a ótica
da resolução de problemas. 2011. 231f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino
de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo.
SANTOS-WAGNER, V. M. P. dos. BORTOLOTI, R. D. M. FERREIRA, J. R. Análise
das resoluções corretas e erradas de combinatória de futuros professores de matemática.
Educação Matemática Pesquisa. São Paulo, v. 15, n. 3, p. 692-629, 2013.
SENA, C. O. de R. A exploração das propriedades do triângulo de pascal no ensino
de análise combinatória com atividades investigativas. 2013. 126f. Dissertação
(Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte.
SILVA, J. C. T. da. Reflexões sobre conhecimentos evidenciados por licenciandos
em matemática por meio da elaboração de um jogo sobre análise combinatória.
Vitória, 2014, 132 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação em Ciências e
Matemática). Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática.
Instituto Federal do Espírito Santo, Vitória.
SILVA, R. do C. O ensino de análise combinatória com aulas expositivas e fichas de
aula em uma escola de ensino médio do interior paulista. 2012. 117f. Dissertação
(Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas) – Centro de Ciências Exatas e
Tecnologica, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.
TREVIZAN, W. A. Ensinando matemática por meio de situações potencialmente
adidáticas: estudo de casos envolvendo análise combinatória. 2015. 137f. Dissertação
(Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Instituto de Matemática e
Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo.
VARGAS, A. F. O ensino-aprendizagem de análise combinatória através da
resolução de problemas com atividades investigativas. 2009. 109f. Dissertação
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
29
(Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte.
VASQUEZ, C. M. R. O ensino de análise combinatória no ensino médio por meio
de atividades orientadoras em uma escola estadual do interior paulista. 2011. 90f.
Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas) – Centro de Ciências
Exatas e Tecnologica, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
30
O ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS TENDO COMO CATALIZADOR DO
CONHECIMENTO O JOGO
Silvana Cocco Dalvi
Mestranda em Educação/ Ensino de Ciências e Matemática – IFES Campus Vitória
Mirelly Katiene e Silva Boone
Mestranda em Educação/ Ensino de Ciências e Matemática – IFES Campus Vitória
Resumo:
O presente artigo tem por objetivo evidenciar e refletir as possibilidades do jogo como
recurso pedagógico com potencial para dinaminizar as aulas de matemática e promover
o protagonismo do aluno na construção do conceito de números inteiros. A atividade do
jogo: Sobe e desce foi aplicado com alunos do 7º ano do Ensino Fundamental na
Escola Municipal Centro Unificado Constantino José Vieira, localizada no município de
Castelo no ano de 2015. Por meio da análise qualitativa das produções textuais dos
alunos e das observações constatou-se que novos conteúdos matemáticos foram
assimilados bem como o desenvolvimento de competências democráticas via a
integração, a autonomia, a reflexão e o respeito entre os participantes. O trabalho realça
as significativas contribuições que o jogo educativo oferece a Educação Matemática que
se propõe a formar alunos críticos e reflexivos comprometidos com o desenvolvimento
humano.
Palavras-chave: Aprendizagem; Números inteiros; Jogos matemáticos
1. Introdução
A matemática faz parte das atividades humanas e influencia a vida das pessoas
assim como os avanços científicos e tecnológicos influenciam o processo educacional.
Muitos alunos encontram obstáculos na aprendizagem de matemática devido às
dificuldades de aprendizagem, mas também devido às falhas na construção do conceito
do objeto matemático. A ênfase em práticas educativas mecanicistas pode causar
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
31
desinteresse dos alunos e dificultam o desenvolvimento de uma postura investigativa
durante as aulas.
O processo educativo, complexo e dinâmico exige do educador uma nova postura
frente aos desafios impostos pela sociedade tecnológica em que vivemos. Nesse
contexto a matemática desempenha um papel importante, pois, por meio dela é possível
construir argumentos capazes de influenciar as tomadas de decisões dos indivíduos.
Embora haja estudos envolvendo uma concepção crítica da Educação Matemática ainda
encontramos muitas práticas onde a matemática estabelece regras e determina padrões
de verdade. Assim, temos o desafio de ampliar as discussões em Educação Matemática
buscando práticas educativas que contribuam com a formação emacipatória dos
estudantes.
O presente trabalho refere-se a uma experiência pedagógica envolvendo a
construção do conceito de Números Inteiros que ocorreu na Escola Municipal Centro
Unificado Constantino José Vieira, localizada no município de Castelo, com quatro
turmas, uma de cada vez, de alunos do 7º ano do ensino fundamental no ano de 2015. A
ampliação do conjunto dos Números Naturais para os Inteiros traz consigo novas
propriedades e generalizações como a ordem dos números negativos e sua relação com
quantidades exigindo metodologias adequadas e atenção do professor. Embora a ideia
de Números Inteiros esteja presente desde muito cedo no cotidiano das pessoas quando
abordado de forma incoerente provoca obstáculos na aprendizagem. Por isso temos por
objetivo evidenciar e refletir as possibilidades do jogo como recurso pedagógico com
potencial para dinaminizar as aulas de matemática e promover o protagonismo do aluno
viavilizando a construção do conceito de números inteiros.
2. Metodologia
Realizamos uma pesquisa qualitativa, conforme Bogdan & Biklen (1994), a partir dos
registros produzidos pela pesquisadora – e autora deste relato – durante a observação do
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
32
ambiente de aprendizagem e dos registros dos alunos realizados durante o
desenvolvimento da atividade. As regras foram discutidas e definidas com os alunos. O
primeiro momento da atividade aconteceu no pátio da escola com duração de duas aulas
de 50 (cinquenta) minutos cada uma e o segundo momento na sala com duração de uma
aula com o mesmo tempo anterior.
O jogo foi usado para iniciar o estudo com números inteiros. Optamos no primeiro
momento por organizar o jogo de forma que toda a turma participasse assim, todo o
diálogo produzido durante a atividade seria compartilhado. Entendemos que a questão
principal não se limita na escolha do material, mas nas intervenções pedagógicas que o
professor faz no decorrer da tarefa. Procuramos desenvolver por meio do jogo uma aula
dialógica e investigativa.
O material planejado e confeccionado pela pesquisadora/autora foi um tapete com
aproximadamente 6 (seis) metros de comprimento por 30 (trinta) centímetros de largura
dividido em 21 retângulos numerados de -10 a +10. Duas caixas encapadas com papel
nas cores vermelho e amarelo seguindo o formato e a numeração do cubo convencional
conforme ilustra a figura:
Figura 1: Material do jogo
Fonte: Acervo da pesquisadora/autora.
Após o momento de discussões, definimos as regras do jogo:
O ponto de partida é o número zero onde o jogador deve se posicionar sobre o
tapete antes da jogada;
O dado vermelho representa os números negativos indicando quantas casas o
jogador vai descer;
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
33
O dado amarelo representa os números positivos indicando quantas casas o
jogador vai subir;
Os dados são lançados simultaneamente. O jogador caminha no tapete
representando sua jogada. Quem ultrapassar a marca do -10 ou +10 volta ao
ponto de partida zero. Vence a partida quem subir mais próximo do topo ou
chegar ao topo +10.
Todas as jogadas deveriam ser registradas no caderno por todos os participantes.
E partimos para ação: vamos jogar. Apresentaremos a fundamentação teórica da
prática educativa relatada neste texto.
3. Referencial Teórico
Skovsmose (2001, p. 17-19), percussor da Educação Matemática Critica, considera
três pontos cruciais no ensino da matemática:
Relação entre professor e alunos mediada pelo diálogo onde se pretende
desenvolver uma competência democrática e a relação professora-aluno não
acontece por imposição.
O currículo crítico que se refere a aplicabilidade, interesses e pressupostos
escondidos em cada assunto. Os valores presentes no “currículo oculto” nao sao
neutros atendendo, geralmente, as classes dominantes.
As condições fora do processo educacional trata-se de questões fora da realidade
do aluno. Os assuntos de dentro da sala de aula devem ser relevantes para os
alunos aproximando de suas experiências e de questões sociais inerentes ao seu
contexto.
Para o autor a Educação Matemática com vistas à democracia passa pela
competência crítica dos estudantes, onde estes estão envolvidos no controle do processo
educacional e apresenta dois argumentos: o argumento social de democratização que
busca identificar assuntos relevantes a partir de reflexões e ações democrática
(SKOVSMOSE, 2001, p.39) e o argumento pedagógico de democratização que tem a
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
34
ver com o planejamento específico em educação matemática, ou seja, aquele
planejamento que considera o estudante, seus interesses, seus trabalhos e suas
experiências como aspectos principais da prática educativa (SKOVSMOSE, 2001,
p.47).
Skovsmose (2001) alerta para o que denominou de poder formatador da matemática
referindo-se ao papel que ela exerce na sociedade tecnológica não apenas como
construto social, mas estabelecendo regras e padrões de verdade. “[...] A matemática faz
uma intervenção real na realidade, não apenas no sentido de que um novo insight pode
mudar as interpretações, mas também no sentido de que a matemática coloniza parte da
realidade e a rearruma” (SKOVSMOSE, 2001, p.80). Assim, os resultados matemáticos
e os dados estatísticos são argumentos fortes e frequentemente fundamentam o debate
político que tem por objetivo convencer pessoas. A matemática vista como ciência
verdadeira, inquestionável e infalível dá origem à ideologia da certeza, entretanto,
desconsidera as variáveis qualitativas escondidas na construção de um modelo
matemático. O poder formatador da matemática e a ideologia da certeza são empecilhos
para a Educação Matemática Crítica e retratam a urgência em desenvolver competência
democrática nas aulas de matemática.
Uma forma de desafiar o poder formatador da matemática e a ideologia da certeza é
mergulhar em práticas pedagógicas que privilegiem a investigação, a descoberta, a
criação de estratégias acionando aspectos cognitivos que possibilite ampliar os
conhecimentos adquiridos. Ao direcionar o olhar para a alfabetização matemática nota-
se a importância da apreensão do conhecimento, mas também a necessidade de educar
criticamente para a tomada de decisões, para duvidar e questionar frente às ideias
apresentadas em debates sociais mesmo que embasados por argumentos matemáticos.
Queremos ressaltar que os ambientes das salas de aulas são espaços propícios para o
desenvolvimento de competência democráticas. Não podemos esperar uma atitude
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
35
democrática dos alunos na sociedade se as ações democráticas da escola estão renegadas
ao segundo plano.
Paulo Freire (1996) contribui com Skovsmose (2001) em várias ideias, dentre elas,
a formação crítica. Para Freire
Saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas crias as possibilidades
para a sua própria produção ou a sua construção. Quando entro em uma sala
de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às
perguntas dos alunos, a suas inibições; um ser crítico e inquiridor, inquieto
em face da tarefa que tenho – a de ensinar e não a de transmitir conhecimento
(FREIRE,1996, p. 47).
Encontramos na prática do jogo educativo uma possibilidade de romper com a
visão da transmissão de conteúdo como forma de ensinar. O jogo bem planejado é
terreno fecundo a investigações, reflexões nas tomadas de decisões sobre as jogadas,
observações, interação entre os participantes. Ele permite explorar tanto habilidades
matemáticas quanto padrões democráticos.
O jogo como prática educativa requer uma intencionalidade (STAREPRAVO,
2009, p. 48-49) sem perder de vista seu caráter atraente e prazeroso. Não se trata de
considerar o “jogo pelo jogo”, mas de criar um ambiente promissor para a aquisiçao de
conhecimentos científicos bem como desenvolver competências democráticas. A
ludicidade dos jogos ajuda a abolir os entraves do medo que ronda as aulas de
matemática. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN’s, 1998)
salientam que os jogos no ensino de matemática
Constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que
estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na
elaboração de estratégias de resolução de problemas e busca de soluções.
Propiciam a simulação de situações problema que exige soluções vivas e
imediatas, o que estimulam o planejamento das ações (BRASIL, 1998, p.47).
Os jogos como ferramenta educacional estão relacionados a aspectos importantes
do desenvolvimento do ser humano. Além de contribuir na aprendizagem de conceitos
matemáticos, algoritmos e toda representação própria da matemática apresenta-se como
viés para outros propósitos no contexto da aprendizagem. Um deles “[...] é a
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
36
possibilidade de construir-se a autoconfiança. Outro é o incremento da motivação. [...]
um método eficaz que possibilita uma prática significativa daquilo que está sendo
aprendido” (SILVEIRA, 1998, p.02). Assim, quando fazem parte da rotina das escolas,
contribuem com processo educacional encorajando e entusiasmando os alunos na busca
pela construção do conhecimento e transformações sociais, políticas e econômicas.
O ensino mecanizado baseado na repetição de exercícios descontextualizados,
padronizados, com resposta única que impossibilitam os debates e argumentações
geram ambientes de pouco ou nada dialógicos: o professor explica o conteúdo, ele é o
detentor do saber, os alunos ouvem e seguem suas instruções de forma passiva com uma
dormência intelectual. Tais atividades têm seu valor, mas não podem ser a única
estratégia de trabalho. As informações transmitidas muitas vezes não transformam em
crescimento isso quando não provocam obstáculos para a construção do conhecimento
(STAREPRAVO, 2009, p. 42-43). De maneira semelhante o jogo pelo jogo pode
sinalizar um desinteresse dos alunos à medida que não é desafiador. A autora adverte
que
[...] Muitas vezes os jogos são usados como um momento de descontração da
turma durante o qual os professores podem colocar em dia suas próprias
tarefas. [...] o jogo não deve ser escolhido ao acaso, mas fazer parte de um
projeto de ensino do professor, que possui uma intencionalidade com essa
atividade (STAREPRAVO, 2009, p. 48-49).
Ao planejar uma aula utilizando de jogo como recurso pedagógico o professor deve
se ater a alguns critérios importantes, como: considerar o nível cognitivo da turma, o
conteúdo abordado no jogo, jogar antes da sua execução com os alunos identificando as
possíveis dificuldades que precisarão de intervenções pedagógicas e como elas serão
feitas, se o material concreto está em boa condição de uso e é suficiente, e, estar atento
aos questionamentos e reflexões que podem desencadear novas situações de
aprendizagem. A mediação e orientação do professor são essenciais na prática do jogo
educativo.
Teoria e prática devem caminhar juntas na organização das práticas educativas. O
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
37
professor ao refletir sobre suas metodologias de ensino cria novas oportunidades tendo
no jogo uma ferramenta instrutiva para otimizar a aprendizagem. As relações
interpessoais e os fatores emocionais ficam evidenciados sendo canalizados para uma
convivência saudável entre os participantes. Há situações em que podemos notar um
envolvimento singular tanto do professor quanto do aluno, cada um com seus objetivos
próprios, mas ambos ativos no processo ensino-aprendizagem. Muitos são os benefícios
oferecidos pelos jogos educativos numa perspectiva de ensino que tem como suporte os
pressupostos da Educação Matemática Crítica apresentada por Skovsmose (2001). De
acordo com Fialho
A exploração do aspecto lúdico, pode se tornar uma técnica facilitadora na
elaboração de conceitos, no reforço de conteúdos, na sociabilidade entre os
alunos, na criatividade e no espírito de competição e cooperação, tornando
esse processo transparente, ao ponto que o domínio sobre os objetivos
propostos na obra seja assegurado (FIALHO, 2007, p.16)
Esta vasta gama de conexões e relações intrínsecas na prática educativa com auxílio
do jogo numa visão de educação emancipadora comprometida com a democracia
viabiliza explorar diversos conteúdos matemáticos, dentre eles os Números Inteiros,
nosso objeto de estudo neste texto.
Os números inteiros estão presentes nas mais diversas atividades cotidianas: no
extrato bancário assinalando débito ou crédito, nas situações de temperatura, nas
altitudes e/ou profundidades, e em muitos outros contextos. Estas informações são
utilizadas no dia-a-dia das pessoas como, por exemplo, estou em dívida e preciso pagar,
vou viajar e quero saber se vai esfriar, a qual temperatura asso o bolo. Matemática e
realidade definitivamente estão entrelaçadas. Os PCN’s confirmam;
É preciso levar em conta que os alunos desenvolvem, já nas séries iniciais,
uma noção intuitiva dos números negativos que emergem de situações
práticas, como perder no jogo, constatar saldos negativos, observar variações
de temperatura, comparar alturas, altitudes [...]. Essas noções intuitivas
permitem as primeiras comparações entre inteiros (BRASIL, 1998, p. 98).
É preciso reconhecer e usar os conhecimentos prévios dos alunos na apresentação
de um novo conjunto numérico. Quando o assunto é tratado na escola de forma
incoerente gera dificuldades na aprendizagem. A apresentação do conhecimento como
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
38
pronto e acabado é prejudicial ao desenvolvimento cognitivo do aluno à medida que não
lhe permite pensar, estabelecer relações, elaborar estratégias validando-as. A escola
[...] ao desenvolver um trabalho exclusivamente formal no trabalho com os
números inteiros, corre-se o risco de reduzir seu estudo a um formalismo
vazio, que geralmente leva a equívocos e facilmente é esquecido. Assim,
devem-se buscar situações que permitam aos alunos reconhecer alguns
aspectos formais dos números inteiros a partir de experiências práticas e do
conhecimento que possuem sobre os números naturais (BRASIL, 1998, p.
100).
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), “Os números inteiros
podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes
situações em que esses números estejam presentes” (BRASIL, 1998, p.66). Eles são
uma ampliação dos números naturais já que abrangem números positivos e negativos.
Essa ampliação do conjunto dos números naturais desencadeia novas propriedades e
generalizações que acompanharão os estudantes nos estudos futuros e nos contextos
diários.
Bigode (2013, p.107) trata o conjunto dos números inteiros como a reunião dos
números naturais com os números negativos e representa o novo conjunto com o
símbolo Ζ - onde Z é a inicial da palavra Zahlen, que em alemao, significa “números”.
O autor representa o conjunto da seguinte forma: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
5, ...}.
Pires, Curi e Campos apresentam algumas dificuldades que podem surgir na
aprendizagem dos números inteiros:
- quanto à ordem dos números negativos: -3 é maior que -4. Há uma
resistência por parte das crianças de aceitar essa ideia e considerar apenas o
valor absoluto do número. Mesmo quando associam a situações práticas, há
uma incongruência na linguagem: -4 representa mais pontos perdidos do que
-3 e tomam a ordem inversa dos negativos como a ordem crescente.
- a relação dos números inteiros com quantidade. Que quantidade representa -
8, +5, - (-2)? São estados, relações? Não é por acaso que pensar em
quantidades negativas foi inadmissível por muito tempo.
- a ideia de que a adição faz aumentar e a subtração diminuir. Tais ideias são
contrariadas em situações como: somar um número com 6 e obter 1. Subtrair
um número de 2 e obter 9.
- a multiplicação de dois números negativos resulta em um número positivo.
- a negação de uma negação corresponde a uma afirmação. (PIRES, CURI e
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
39
CAMPOS, 2001, p.33)
Além dessas considerações podemos citar o conceito mal entendido que os alunos
trazem em relação ao zero. Acredita-se que ele é sempre o menor número em qualquer
conjunto o que cai por terra quando a reta numérica inteira é organizada. A reta passa
agora a ter dois sentidos considerando o zero como ponto de origem: os números
positivos ficam do lado direito e os números negativos ficam do lado esquerdo da reta,
como mostra a imagem:
Figura 2: A Reta Numérica
Fonte: BIGODE, 2012, p.107
Muitos alunos aprendem cegamente que o zero não tem antecessor, mas isso dentro
do conjunto dos números naturais, pois no conjunto dos números inteiros o antecessor
de zero é -1. Operações ditas impossíveis como 3 tira 5 agora são realizadas numa
linguagem própria: +3 -5 = -2.
Conforme exposto os números negativos trazem muitas novidades, detalhes que o
professor deve estar atendo. A memorização de regras sem compreender os conceitos
conduz a uma falta de entendimento e significado do fazer matemático. Procuramos
então tratar o assunto de forma que os alunos vivenciassem uma experiência de jogo e,
de forma investigativa e reflexiva descobrissem essas especificidades do conjunto dos
números inteiros.
4. Resultados e discussões
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
40
No momento das discussões sobre as regras do jogo ficou claro que a atividade
proporcionaria à investigação de novos conceitos matemáticos que seria usado em aulas
futuras e, portanto, todos deveriam fazer suas jogadas e registrar no caderno as jogadas
dos colegas que posteriormente poderiam ser consultadas. O respeito mútuo seria
essencial para o sucesso da atividade. Na figura a aluna caminha sobre o tapete para
realizar a operação:
Figura 3: Prática do jogo usando o tapete
Fonte: Acervo da pesquisadora/autora
A figura 4 mostra os registros no caderno que uma aluna fez durante a atividade do
jogo. Os sinais de menos (-) e mais (+) estão relacionados as cores dos dados. Os alunos
Lucas, Saul e Luís fizeram uma operação com números simétricos. Nesse caso eles não
caminharam sobre o tapete
permanecendo no ponto de partida
zero.
Figura 4: Registro das jogadas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
41
Fonte: Caderno dos estudantes.
Quando terminou a primeira rodada os alunos quiseram continuar no jogo. Uma
situação inesperada aconteceu. A pesquisadora/autora sugeriu que alterassem a regra
referente ao ponto de partida. Os alunos concordaram. O jogador se posicionou sobre o
número que representava os pontos da primeira rodada fazendo o deslocamento sobre o
tapete conforme o lançamento dos dados vermelho e amarelo. Essa rodada possibilitou
explorar somas algébricas de três parcelas envolvendo números inteiros.
Figura 5: Registro no caderno da segunda rodada do jogo: Sobe e desce
Fonte: Caderno dos estudantes.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
42
Durante as jogadas realizaram-se reflexões do tipo: O que acontece se o jogador
marcar 3 pontos no dado vermelho e 3 pontos no dado amarelo? Há deslocamento?
Quais outras jogadas também não possibilitam deslocamentos? Quais jogadas terão
como resultado um número positivo? E um número negativo? Qual seria a melhor
jogada? E a pior? Se os dois dados fossem amarelos seria possível chegar ao topo?
Quem está mais próximo do topo: quem ocupa o número zero do tapete ou quem está no
-1? Qual a classificação final dos participantes? Quais situações do dia-a-dia podem ser
relacionadas com essa atividade? O que mais aprenderam nesse jogo? As discussões
foram essenciais na compreensão dos novos conhecimentos que estavam se
consolidando.
No segundo momento os alunos já tinham adquirindo conhecimentos suficientes
para jogarem em grupos menores, discutindo e tirando suas próprias conclusões. A
intervenção pedagógica limitava-se a observações e orientações e mediação de conflitos
que surgiram. Trocamos o tapete por tabuleiros com espaço para cinco crianças
jogarem e por dados menores. Nessa fase os alunos já realizavam o cálculo mental e
seus marcadores não deslizavam mais pelos tabuleiros, mas já se posicionavam no
resultado da operação. Conforme aconteceu na segunda rodada com o tapete os alunos
criaram novas regras chegando a operar somas algébricas com mais de três parcelas
considerando os resultados das rodadas anteriores.
Figura 6: Alunos jogando no tabuleiro
Fonte: Acervo as pesquisadora/autora
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
43
5. Considerações finais
O jogo trouxe alegria para a aula de matemática, foi um estímulo para os alunos se
envolverem na atividade sendo os protagonistas na construção do conhecimento e gostar
de aprender matemática. As normas e regras próprias do conteúdo de números inteiros
foram compreendidas por meio das reflexões e desenvolvendo o raciocínio lógico. Os
alunos se apropriaram do conhecimento matemático científico de forma lúdica.
O jogo tanto no grupo maior quanto em grupos menores fez com que os alunos
convivessem com pessoas diferentes com ideias, ações, reações e emoções próprias.
Observamos que os alunos aprimoram a habilidade de ouvir e respeitar a opinião de
seus pares bem como o de se posicionar, ter autonomia e decidir. A escola se torna
assim um espaço democrático. O aluno habituado a esse ambiente desenvolve também
aspectos democráticos que serão usados em suas decisões na sociedade.
Ao dinamizar as aulas de matemática por meio do jogo educativo o professor
demonstra compromisso com questões sociais. Sabe que sua mediação é indispensável
na Educação Matemática podendo contribuir para a inclusão ou exclusão dos alunos na
sociedade. O jogo no âmbito escolar é um recurso pedagógico que pode contribuir com
o desenvolvimento da Educação Matemática Crítica.
6. Referências bibliográficas
BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Fundamental. 5ª à 8ª série, Brasília, SEF, 1998.
FIALHO, N. N. Jogos no Ensino de Química e Biologia. Curitiba: IBPEX, 2007
FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários à prática educativa. São
Paulo: Paz e Terra, 1996.
BIGODE, A. J. L. Projeto Velear: Matemática. 1. Ed. – São Paulo: Scipione, 2012.
PIRES, C. M. C; CURI, E; CAMPOS, M. M. Transformando a prática das aulas de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
44
matemática/Tânia Maria Mendonça Campos, Célia Maria Carolino Pires, Edda Curi;
Tânia Maria Mendonça Campos (Coordenadora). – São Paulo: PROEM, 2001.
SILVEIRA, R. S; BARONE, D. A. C. Jogos Educativos computadorizados
utilizando a abordagem de algoritmos genéticos. Universidade Federal do Rio
Grande do Sul. Instituto de Informática. Curso de Pós-Graduação em Ciências da
Computação. 1998.
SKOVSMOSE, O. Educação Matemática Crítica: A questão da democracia.
Campinas, SP; Papirus, 2001
STAREPRAVO, A. R. Mundo das ideias: jogando com a matemática, números e
operações. Curitiba: Aymará, 2009.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
45
O USO DO GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE MOSAICO COM
POLÍGONOS REGULARES: UMA EXPERIÊNCIA NA FORMAÇÃO
CONTINUADA DE PROFESSORES
Mirelly Katiene e Silva Boone
Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Vitória
Email: [email protected]
Silvana Cocco Dalvi
Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Vitória
Email: [email protected]
Alex Jordane
Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Vitória
Email: [email protected]
Resumo:
Este artigo apresenta algumas reflexões a partir do uso do GeoGebra em um curso de
formação de continuada de professores de Matemática no município de Castelo/ES. A
formação surge a partir da necessidade de se trabalhar com as tecnologias em sala de
aula, uma vez que o livro didático escolhido pelos professores da Rede Municipal de
Educação de Castelo, no Espírito Santo, propõe o desenvolvimento de atividades
intituladas “Acessando Tecnologias”. A formaçao foi organizada em 8 (oito) encontros
e dois deles foram destinados à reflexão da teoria e prática pedagógica por meio do uso
de computadores e optou-se em trabalhar a construção de mosaicos regulares com
auxílio do GeoGebra.
Palavras-chave: Reflexões; GeoGebra; Tecnologias; Formação de Professores.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
46
1. Introdução
O século XX foi marcado por um grande avanço tecnológico que impulsionou o
desenvolvimento da Ciência especialmente no campo das comunicações. O que
acontece em qualquer ponto do globo terrestre é rapidamente informado pela mídia em
questão de segundos. Avanços fantásticos ocorrem em todas as áreas do conhecimento
transformando o modo de produção da sociedade e o jeito de viver das pessoas exigindo
novos conhecimentos e determinando outras necessidades.
O desenvolvimento da Ciência trouxe progresso e muitos benefícios, mas também
tem construído o legado de desesperança, de incerteza no futuro por consequência das
guerras, de falta de consciência sobre o desenvolvimento sustentável, de crescimento
desordenado colocando em risco a sobrevivência da humanidade. A crença que a
Ciência resolveria todos os problemas humanos não se confirmou e a situação de
emergência planetária se agrava.
A educação baseada na memorização e reprodução de conhecimentos não atende às
expectativas desse século marcado por conflitos sociais, políticos e econômicos que
precisam ser superados para que o desenvolvimento sustentável atinja seu ápice.
Diante do desenvolvimento exacerbado da Ciência e da tecnologia, dos vários
artefatos tecnológicos utilizados surge o desafio de construir uma educação reflexiva
que realmente esteja comprometida com aspectos socioculturais e socioambientais. A
matemática se constitui uma ferramenta intelectual imprescindíveis nesse processo
contínuo de transformações ocorridas ao longo da evolução humana, pois a Ciência e a
tecnologia avançam e os modelos matemáticos estão presentes neste processo.
Nessa perspectiva o conhecimento está sendo construído por meio dos artefatos
disponíveis atualmente. Quando se associa conhecimentos construídos em tempos
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
47
passados aos recursos tecnológicos tem-se o objetivo de inovar a concepção de
Educação.
Conforme Martins (2003)
Diferenciar o ensino na contemporaneidade consiste utilizar todos os
recursos disponíveis, para organizar as interações e as atividades de modo
que cada indivíduo vivencie, tão frequentemente quanto possível, situações
fecundas de aprendizagem (MARTINS, 2003, p. 91)
É pertinente ressaltar que a forma como os recursos tecnológicos são usados no
processo ensino e aprendizagem pode contribuir para aguçar a curiosidade do aluno,
desenvolver sua criticidade e autonomia. Cabe à escola orientar os jovens e adolescentes
para que sejam seletivos e utilizem as tecnologias a seu favor, ou seja, desenvolvendo
competências que contribuam seu crescimento intelectual e social, promovam
desenvolvimento humano e que sejam coerentes com as novas demandas da era da
informação.
Para Freire (1995, p.98), o uso de computadores na educaçao “[...] em lugar de
reduzir, pode expandir a capacidade crítica e criativa de nossos meninos e meninas”.
Depende de quem o usa, a favor de que e de quem e para quê. A atuação do professor
como mediador do processo educativo é fundamental nessa escolha e decisão de fazer
uso do computador como possibilidade de libertação e inserção social dos estudantes.
Dessa forma, é importante pensar na formação de professores que possam atuar como
mediadores do processo educativo.
Temos claro que a formação do professor não acaba com a conclusão da graduação,
mas acontece de forma permanente. Segundo Pimenta (2000) a formação docente
abrange a formação inicial e contínua, em redes de auto formação e em parceria com
outras instituições devendo ser valorizada como uma forma de mediar a superação do
fracasso escolar. É um processo de reelaboração permanente da própria prática.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
48
Diante do exposto, buscamos refletir o uso do GeoGebra na construção de
mosaicos1 numa abordagem construcionista a partir de uma experiência com a formação
continuada de professores de matemática no município de Castelo, Espírito Santo.
2. Metodologia
Procedemos a uma análise qualitativa descritiva a partir de Bogdan & Biklen
(1994) das reflexões e das atividades realizadas pelos professores que participaram da
formação.
Em 2013 a Rede Municipal de Educação de Castelo fez a opção por trabalhar com
o livro didático intitulado Vontade de Aprender Matemática (SOUZA e PATARO,
2012), dos autores Joamir Souza e Patrícia Moreno Pataro. O material escolhido traz, ao
final de alguns capítulos, a sessão intitulada: Acessando Tecnologias e essa sessão
mostra como explorá-las conforme o conteúdo daquela unidade.
O trabalho com material didático, a partir de 2014, motivou o início de um curso de
formação continuada, no período de 04/10/2014 a 04/11/2014, com um grupo de 23
professores com graduação em Matemática atuando no Ensino Fundamental. O curso
organizado em oito encontros de formação com duração 2h30min. Dentre outros temas,
destinou-se dois encontros para a reflexão da teoria e prática por meio do uso de
computadores e optou-se em trabalhar com GeoGebra. Relataremos a seguir como
aconteceram os encontros:
1º Encontro: a discussão teórica. Usamos os textos “Tendências Metodológicas no
Ensino de Matemática” (MENDES, 2008) de Iran Abreu Mendes e “A Educaçao na
Cidade” de Paulo Freire. Também se discutiu o ensino de geometria que segundo os
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) contribuem para compreender,
descrever e representar o mundo estimulando a observação. Trabalhamos também com
Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), que assinalam que as atividades de geometria
1 Neste texto nao apresentamos a distinçao entre mosaico e pavimentaçao. Utilizamos o termo “mosaico”
conforme apresentado na sessao “Acessando Tecnologias” do livro didático que motivou o curso de
formação de professores.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
49
viabilizam contextos de descoberta e criação possibilitando fazer formulações e testar
conjecturas a procura de demonstrações e generalizações. Após os debates deste
momento, iniciamos a atividade prática usando o GeoGebra.
2º Encontro: a construção de mosaicos com polígonos regulares. A atividade
contou com o auxílio de dois técnicos em informática que trabalhavam na Secretária de
Educação. Foram eles os responsáves por instalar o software GeoGebra nos
computadores. Contamos também com a monitoria de uma professora de matemática na
condução das atividades. Após apresentação das ferramentas a monitora deu os
comandos e foi necessário deixar um tempo livre para o grupo desenvolve-los.
3. Referencial Teórico
3.1 Instrucionismo e Construcionismo: a busca por uma abordagem adequada
Quando discutimos o uso do computador como ferramenta pedagógica podemos
tomar como referência duas abordagens: a abordagem instrucionista e a abordagem
construcionista. Essas ideias foram desenvolvidas pelo educador matemático Seymour
Papert (1985-1994) inspirado por pensadores como Dewey, Freire, Piaget e Vygotsky.
Papert (1994) propõe o trabalho com as tecnologias com base na segunda abordagem, o
construcionismo, mas não deixa de considerar a importância do instrucionismo. Vamos,
rapidamente, traçar um pouco do perfil de cada uma dessas abordagens.
Na abordagem instrucionista se fundamenta no uso da instrução programada. A
atividade é direcionada e o aluno é instruído a seguir alguns passos, caminhos, que o
conduzirá à conclusão da tarefa. A proposta é baseada em etapas, ou fases. No final de
cada módulo de ensino o aluno resolve a questão programada para passa a fase seguinte.
A novidade, nesta perspectiva, está na forma como a informação é apresentada servindo
muitas vezes como motivação, mas o processo de aprendizagem está engessado, pois a
programação está pronta para ser usada. Nesta abordagem o uso do computador vem
reforçar o currículo tradicional e sem a preocupação de promover reflexões e
aprendizagens significativas (ALMEIDA, 2000, p.15). A transmissão do conhecimento
acontece por meio de programações do tipo CAI (Instrução auxiliada por computador)
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
50
onde o aluno fica passível diante das informações que lhe são oferecidas. Para Almeida
(2000, p.16-17) “o computador funciona como uma máquina de ensinar otimizada e o
software pode ser do tipo tutorial, exercício-e-resposta, jogos educacionais ou mesmo
simulações”. A programaçao é fechada limitando-se aos pensamentos e conceitos do
programador. Segundo Almeida (2000, p.17) “os softwares do tipo CAI, quando
permitem a manipulação de diferentes situações podem ser usados de forma criativa
[...]”, mas nao podemos desconsiderar que o uso criativo depende do planejamento do
professor.
Com o tempo, os softwares do tipo CAI evoluíram buscando considerar as
necessidades dos alunos, entretanto, consideraram um aluno ideal e inexistente. As
programações do tipo ICAI (Instrução inteligente auxiliada por computadores) são
elaboradas a partir de recurso da inteligência artificial (ALMEIDA, 2000, p.18). O
instrucionismo reproduz os princípios da corrente comportamentalista de Skinner onde
o conhecimento se dá por meio da repetição e memorização das respostas esperadas.
Apesar do uso de recursos tecnológicos atuais se mantém a concepção da educação
tradicional.
A abordagem construcionista foi proposta por Seymour Papert inspirado por
pensadores como Dewey, Freire, Piaget e Vygotsky. Papert (1994) elaborou uma
proposta para o uso do computador organizada pelo ciclo descrição-execução-reflexão-
depuração conforme mostra a figura 1 construída a partir das ideias de Almeida (2000,
p.19).
Figura 1: Ciclo descrição-execução-reflexão-depuração
Fonte: Almeida (2000, p. 19)
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
51
O professor pode intervir no processo de representação do estudante, orientar
quanto aos erros, propor questionamentos, buscar outras informações para formalizar a
construção de novos conceitos. O ambiente virtual é explorado numa perspectiva
investigativa, criadora e problematizadora motivando os estudantes a vivenciarem o
ciclo descrição-execução-reflexão-depuração.
Para Papert (2001, p. 02), a “[...] tecnologia nao é a soluçao, é somente o
instrumento. Logo, a tecnologia por si não implica uma boa educação, mas a falta de
tecnologia implica em uma má educaçao”. No cenário atual, as práticas pedagógicas que
considerem a necessidade do uso dos recursos tecnológicos na perspectiva
construcionista representam um avanço no diz respeito ao uso de softwares
educacionais.
3.2 O Uso dos Computadores na Sala de Aula
Muitos são os desafios a serem superados no sentido que ocorra realmente a
implementação do uso de tecnologias, principalmente do computador, numa abordagem
construcionista nas salas de aula. Para que esta prática se concretize, não basta apenas
adquirir máquinas é preciso investir na formação continuada dos professores.
Para Borda e Penteado (2001) o conhecimento é construído historicamente por uma
dualidade entre o coletivo formado por seres humanos e tecnologias e não por apenas
um conjunto de seres humanos. Ao interagirmos com as mídias surge uma nova faceta
da linguagem e o pensamento é novamente reorganizado. A máquina não substitui a
prática docente, mas a interação da máquina com o professor e aluno pode produzir um
cenário para investigações. Os autores destacam essa relação quando afirmam que
A docência, independentemente do uso de TI, é uma profissão complexa.
Nela estão envolvidas as propostas pedagógicas, os recursos técnicos, as
peculiaridades da disciplina que se ensina, as leis que estruturam o
funcionamento da escola, os alunos, seus pais, a direção, a supervisão, os
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
52
educadores de professores, os colegas professores, os pesquisadores, entre
outros (BORBA & PENTEADO, 2001, p.54).
Vivemos um avanço tecnológico real, presente na vida cotidiana das pessoas,
estabelecendo novas tendências. A escola não pode viver no enclausuramento do
passado onde os recursos tecnológicos atuais ainda não estavam disponíveis. Os
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2000, p. 11-12) alertam sobre essa
questão
Os sistemas tecnológicos, na sociedade contemporânea, fazem parte do
mundo produtivo e da prática social de todos os cidadãos, exercendo um
poder de onipresença, uma vez que criam formas de organização e
transformação de processos e procedimentos.
D'Ambrosio (1993, p.16) afirma que “ignorar a presença de computadores e
calculadoras na educação matemática é condenar os estudantes a uma subordinação
total aos subempregos". Se o desenvolvimento tecnológico molda a sociedade, emerge,
então, algumas questões: Como conectar essa realidade com a escola? Entrelaçar teoria
e prática? Cabe ressaltar a importância do professor no processo pedagógico que vive o
desafio de integrar a prática docente aos recursos tecnológicos indispensáveis numa
visão de educação emancipadora.
Uma formação de qualidade envolve o conhecimento, as estratégias para ensiná-lo
e a experiência docente. Esta formação é alcançada quando associa-se formação inicial
à formação continuada, pois atualizar-se deve ser uma preocupação permanente. A
educação evolui e se moderniza de acordo com as incessantes transformações
socioculturais e tecnológicas. Pimenta (2000) destaca que o conhecimento é algo mais
que a simples transmissão de informações e que
[...] não basta produzir conhecimento, mas é preciso produzir as condições de
produção de conhecimento. Ou seja, conhecer significa estar consciente do
poder do conhecimento para a produção da vida material, social e existencial
da humanidade (PIMENTA, 2000, p.22).
A competência para utilizar pedagogicamente as novas tecnologias pressupõe um
trabalho colaborativo entre os professores, aliando teoria e prática com foco na reflexão
sobre o fazer docente. É necessário desmistificar a concepção de cursos de formação
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
53
continuada limitados apenas a aspectos técnicos e operacionais como suficientes para
democratizar o ensino. Freire ressalta que
Ninguém começa a ser educador numa certa terça-feira às quatro horas da
tarde. Ninguém nasce educador ou é marcado para ser educador. A gente se
faz educador, agente se forma, como educador, permanentemente, na prática
e na reflexão sobre a prática. (FREIRE, 1995, p.32)
Em consonância com essa visão a formação continuada deve tratar de temas atuais
e desafiadores aos professores, dentre eles o uso da tecnologia, provocando novas
aprendizagens, estimulando reflexões sobre a concepção de conhecimento, de homem e
de mundo bem como o papel da educação na transformação da sociedade.
Embora as novas tecnologias constituam poderosas ferramentas intelectuais o
professor desempenha papel relevante no processo ensino-aprendizagem, atuando como
mediador, atento as necessidades de aprendizagem e as demandas da atualidade.
Neste trabalho, vamos enfatizar o uso do GeoGebra na formação continuada de
professores de matemática, por ser um software que possibilita a construção do
conhecimento matemática de forma investigativa.
a. O GeoGebra
O GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de
sala de aula. O projeto foi iniciado em 2001, na Universität Salzburg, e tem prosseguido
em desenvolvimento na Florida Atlantic University e em colaboração com
pesquisadores e programadores de todo o mundo.
É um software livre, escrito em linguagem Java e disponível em múltiplas
plataformas. É um aplicativo popular de matemática dinâmica que combina ferramentas
de geometria, álgebra e cálculo. Permite construções que podem ser movimentadas e
alteradas e ainda assim retornar à posição e à forma iniciais. Permite a representação
gráfica de funções, sistemas de equações, gráficos estatísticos, tabelas, efetuar diversos
cálculos como área, perímetro e ângulos, explorar as propriedades das figuras
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
54
geométricas, os conceitos de reflexão, translação, homotetia, entre muitas outras
funções.
4. Resultados e discussões
O desenvolvimento das atividades de construção dos mosaicos com auxilio do
GeoGebra foi dividido em quatro tarefas, como segue:
1ª Tarefa: Desenhar um mosaico com triângulos e hexágonos regulares.
1º Comando: Desenhe um hexágono regular e marque os vértices do polígono.
Figura 2: Execução do 1º comando/1ª tarefa.
Fonte: Acervo dos autores
2º Comando: Desenhe um triângulo regular com vértices em C e B, nessa ordem e outro
triângulo regular, agora com vértices em D e C.
Figura 3: Execução do 2º comando/1ª tarefa.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
55
Fonte: Acervo dos autores
3º Comando: Continue desenhando hexágonos e triângulos seguindo o padrão.
Clicando sobre os polígonos uma janela abrirá com outras ferramentas e clicando em
propriedades temos novas opções como, por exemplo, mudar as cores.
Figura 4: Execução do 3º comando/1ª tarefa.
Fonte: Acervo dos autores
2ª Tarefa: Usando a ferramenta marque o ângulo interno de cada polígono:
Figura 5: Execução da 2ª tarefa.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
56
Fonte: Acervo dos autores
3ª Tarefa: Usando outra combinação de polígonos regulares, crie outro mosaico.
Figura 6: Execução da 3ª tarefa.
Fonte: Acervo dos autores
4ª Tarefa: Em todas as combinações de polígonos regulares acontece o encaixe? Tente
construir um exemplo de combinação em que os polígonos regulares não se encaixam.
Figura 7: Execução da 4ª tarefa.
Fonte: Acervo dos autores
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
57
Após algumas construções fica evidente que é possível construir mosaico com
triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Mas não é possível encaixar
pentágonos e octógonos regulares. A distribuição dos polígonos regulares ao redor de
cada vértice é sempre a mesma, isto é, é necessário que o ângulo interno desse polígono
seja um divisor exato de 360º o que acontece com o triângulo equilátero (60º), quadrado
(90º) e hexágono regular (120º).
O desenvolvimento das atividades embasou as discussões sobre os conceitos
geométricos aplicados e das dificuldades no uso do GeoGebra na construção do
mosaico com polígonos regulares. No final do encontro todos receberam uma apostila
com o passo a passo da atividade e novas sugestões de como o GeoGebra pode ser
utilizado no ensino da geometria e da álgebra.
5. Considerações Finais
Diante do desenvolvimento tecnológico na sociedade contemporânea e do mundo
globalizado em que vivemos um novo olhar recai sobre o uso dos computadores no
ambiente escolar. Essa tecnologia surge das relações sociais produzindo artefatos
tecnológicos que fazem parte do cotidiano das pessoas. É preciso adentrar-se não
somente nos benefícios, mas também nas consequências do uso indevido desses
recursos na escola.
O GeoGebra se configura como um recurso pedagógico viável no ensino da
matemática por proporcionar a criatividade, autonomia, criação e validação de
estratégias de procedimentos e reflexão dos estudantes contribuindo para a construção
do conhecimento. O aluno não é passivo diante do computador mas, interagi com ele e
com o professor. Muitos conceitos matemáticos são melhores assimilados quanto
abordados dessa forma, entretanto, dentro da perspectiva construcionista além da
aprendizagem dos conteúdos busca-se contribuir com a formação cidadã dos estudantes
desenvolvendo o senso crítico e reflexivo.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
58
Embora o GeoGebra seja um software livre, nem sempre os professores sentem-se
seguros para usá-lo na elaboração das atividades e com os alunos. A associação entre
teoria e prática contribuiu para ampliar as reflexões e promover novas aprendizagens
sobre esse assunto. O curso de formação continuada de professores possibilitou a
descoberta de recurso pedagógico que pode ser instrumento para desenvolver o aspecto
cognitivo dos alunos e sua estreita relação com a inserção social. Cabe ressaltar a
importância da formação continuada para a aquisição de novas práticas docentes, em
especial no que se refere ao uso da tecnologia como recurso pedagógico visando
acompanhar as contínuas transformações sociais que ocorrem com a evolução da
humanidade.
6. Referências
ALMEIDA, M. E. Informática e formação de professores. Brasília: Ministério da
Educação, SEED.2000.
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo
Horizonte: Autêntica Editora, 2001.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais -
Ensino Médio. Brasília: MEC/SEF, 2000
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer.
2.ed. São Paulo: Editora Ática, 1993.FREIRE, Paulo. A Educação na cidade. 2. ed.
São Paulo, Cortez, 1995.
MARTINS, M.C. Criança é Mídia, “Diversamente” em ação em contextos
educacionais. Tese (Doutorado em Multimeios) – UNICAMP, Campinas, 2003
MENDES, Iran Abreu. Tendências metodológicas no ensino de matemática /Belém:
EdUFPA, v.41, 2008.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
59
PAPERT, S. Education for the knowledge society: a Russia oriented perspective on
technology and school. IITE Newsletter. UNESCO, No. 1, janeiro-março 2001.
PAPERT, S. A máquina das crianças: repensando a escola na era da informática.
Porto Alegre-RS: Artes Médicas, 1994.
PIMENTA, Selma Garrido (Org.). Saberes pedagógicos e atividade docente. 2 ed.
SãoPaulo: Cortez, 2000.
PONTE, João P., BROCARDO, Joana, OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas
na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006
SOUZA, J.R.de ; PATARO, P.R. M. M. Vontade de saber Matemática, 7º ano, 2 ed.
São Paulo : FTD, 2012
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
60
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO CONTEÚDO FACILITADOR NA
COMPREENSÃO DO TEOREMA DE TALES
Ayandara Pozzi de Moraes Campos
IFES – Campus Cariacica
Jorge Henrique Gualandi
IFES – Campus Cachoeiro
Resumo:
Usualmente a disciplina de Matemática é aplicada sem ser aferida como ciência
decorrente da construção humana. Apesar dos profissionais da educação perceberem a
Matemática como parte da construção humana, em geral, não utilizam desse facilitador
em suas aulas. Relacionar os registros históricos ao entendimento da matemática é
forma de promover a compreensão e aprendizagem significativa. Este estudo tem intuito
de apontar a contribuição da História da Matemática como recurso metodológico para o
ensino do Teorema de Tales. Foi realizado levantamento bibliográfico e aplicação de
questionário com professores do nono ano de matemática da Rede Estadual e Municipal
de ensino da cidade de Cachoeiro de Itapemirim, sul do Estado do Espírito Santo, sobre
uso contínuo dos tópicos da História da Matemática nas aulas. O trabalho com
conteúdos da História da Matemática é percebido como metodologia facilitadora na
construção do conhecimento, bem como representação de elo nítido entre aprendizado
escolar e cotidiano.
Palavras-chave: história da matemática; orientações metodológicas; teorema de tales.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
61
1. Introdução
A definição, usualmente aplicada à disciplina Matemática remete ao estudo das
propriedades dos números, figuras e medidas, e normalmente, esses tratamentos são
desenvolvidos sem referir-se à Matemática como ciência, que tem seu desenvolvimento
correlacionado com o processo da evolução humana, sendo considerada parte desta
construção.
Apesar dos profissionais da educação perceberem a Matemática como parte da
construção humana, de modo geral, é pouco provável que não utilizam desse
pensamento no momento de planejarem suas aulas.
A História da Matemática, mesmo tendo uma relação concomitante ao
desenvolvimento do homem, a maioria dos profissionais da educação não estabelece tal
correlação de importância qualitativa e quantitativa em suas metodologias de ensino,
mesmo quando sucintas nos livros didáticos, e acabam deixando esse conteúdo por
conta dos educandos, ou seja, somente a leitura do trecho em questão em casa ou, antes
de desenvolverem os exercícios.
Nessa perspectiva, (MIGUEL; MIORIM, 2005, p.16) trazem que “o
conhecimento histórico da Matemática despertaria o interesse do aluno pelo conteúdo
matemático que lhe estaria sendo ensinado”, por ser uma forma de compreensao dos
conhecimentos matemáticos atuais com base na sua origem, ou seja a relação com os
registros históricos para o entendimento da matemática atual.
D’Ambrósio (Apud BICUDO, 1999, p. 97) cita ser “praticamente impossível
discutir a educação sem recorrer a esses registros e a interpretação dos mesmos [...]. em
especial da Matemática, cujas raízes se confundem com a história da humanidade.”
A escola, por meio dos professores, tem a função de desenvolver um processo
de ensino que efetive a aprendizagem e que possibilite o aluno a aprender a pensar, a
construir e a usar a informação e o conhecimento a favor da sua convivência com a
sociedade e com o mundo.
O ato de ministrar aulas de Matemática, pautadas na História da Matemática,
possibilita demonstração da matemática atual ser resultado de erros, dúvidas, tentativas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
62
e acertos e ainda que mesmo nos parecendo estagnada, até hoje apresenta enigmas,
teoremas e possibilidades a serem desenvolvidos.
Portanto, relacionar os registros históricos ao entendimento da matemática
atual, seria também uma forma de facilitar a compreensão dos conhecimentos
matemáticos e proporcionar uma aprendizagem significativa. Essa temática foi o que
motivou a realização deste estudo, com intuito de apontar a contribuição da História da
Matemática como recurso metodológico para o ensino do Teorema de Tales, com uma
abordagem histórica sobre a vida de Tales de Mileto em consonância com os estudos
por ele desenvolvidos, com enfoque na história do cálculo da altura das pirâmides do
Egito, objetivando fazer desse conteúdo um campo interessante de real compreensão e
visualização.
O objetivo está em investigar de que forma a História da Matemática contribui
como recurso metodológico facilitador na compreensão do Teorema de Tales
desmitificando a dificuldade do aprendizado atribuída à disciplina, apontando a
contribuição da História da Matemática como recurso metodológico para o ensino do
Teorema de Tales, com intuito de estabelecer relação entre a História da Matemática e o
desenvolvimento do homem, além de descrever a aplicação da sua história.
2. Parâmetros legais
A Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996, estabelece as diretrizes e bases da
educação nacional,
“A educaçao abrange os processos formativos que se desenvolvem na vida
familiar, na convivência humana, no trabalho, nas instituições de ensino e
pesquisa, nos movimentos sociais e organizações da sociedade civil e nas
manifestações culturais”.
A partir deste artigo da LDB, faz necessário refletir sobre a necessidade de
desenvolvimento competências e habilidades para inserção produtiva, ativa e
participativa do indivíduo na sociedade.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
63
Pautados nesta legalização temos os Parâmetros Curriculares Nacionais –
PNC’s, que sao referências e diretrizes para os Ensinos Fundamental e Médio,
relacionadas à estruturação e reestruturação dos currículos escolares de todo o Brasil,
podendo ser adaptados às peculiaridades locais que abrangem desde a organização de
conteúdo até as possibilidades de práticas, divididos em disciplinas.
Na 1ª parte do volume 3 dos Parâmetros Curriculares Nacionais– PNC’s temos a
abordagem sobre o recurso à História da Matemática, com a explicitação desta importância, em
que educandos precisam transcender a memorização de fórmulas, e estarem habilitados a
desenvolverem interpretação dos diversos problemas propostos. Utilizando-se como recurso a
História da Matemática, que “pode esclarecer ideias matemáticas que estao sendo construídas
pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a
constituiçao de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento”. (BRASIL, 1997,
p.34).
Os PCN’s apresentam também a História da Matemática como instrumento de resgate
da própria identidade cultural,
“a Matemática como uma criaçao humana, ao mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos
históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos
matemáticos do passado e do presente” (BRASIL, 1997, p.34).
Essas analogias possibilitam que os profissionais desenvolvam nos alunos
atitudes e percepção de conhecimento matemático vivo e resultante de construção
humana. No Estado do Espírito Santo, o Currículo Básico da Escola Estadual, disserta
sobre o que é a Matemática e explica a questão da construção histórica e humana desta,
“é um campo cientifico em permanente evoluçao, que se constituiu
ao longo da evolução histórica pela necessidade do homem intervir no meio
que o cercam de organizar e ampliar seus conhecimentos. Ela não é algo que
diz respeito somente aos números, mas sim à vida, que nasce do mundo em
que vivemos”. (SEDU, 2009, pg. 107).
3. Importância do conhecimento sobre a história da matemática
O ensino contemporâneo traz a concepção de ensinar como a construção de um
indivíduo pleno, crítico e formador de opinião. A credibilidade e a identidade da escola
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
64
perante a comunidade se consolidam pela qualidade do ensino que se oferece,
decorrente da consistência de seu projeto pedagógico.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1996 tem a proposta
pedagógica como documento de referência, sem, entretanto, constituir-se com rigidez
em seu processo criativo. A organização dos educadores deve possibilitar a reflexão e a
estruturação de uma prática pedagógica coerente com seu projeto educativo, de
formação para a cidadania, utilizando-se de constantes recursos pedagógicos que
efetivem e motivem a aprendizagem.
O profissional da educação fica com o comprometimento de desenvolver os
caminhos reais que levem ao aluno à compreensão do seu meio, sendo a escola, lugar de
mediação, onde ocorrem a apropriação e a sistematização do conhecimento, sendo a sala
de aula o laboratório, no qual o processo discursivo propicia o desenvolvimento de
novos conhecimentos.
O importante é levar o aluno para um campo interessante e real de
compreensão, de modo que o conteúdo apresentado, não seja esquecido. As aulas de
matemática por meio de sua história prevê que o aluno perceba a necessidade que os
povos antigos tiveram em levantar dados numéricos de seus pertences, além de levar a
clara compreensão da sua utilização prática na vida cotidiana.
Freire (1996) afirma que a realidade agregada ao ensino cria laços e desperta a
curiosidade do aluno, pois ele estará enxergando ali o seu mundo. A aprendizagem é um
caminho para a tomada de consciência. Não basta apenas ao educando ter acesso às
informações e ao conhecimento, é necessário que o educador faça com que o cidadão
tome consciência de que é pessoa com a possibilidade de conhecer e se apaixonar pelo
saber, mergulhando inteiramente no processo de aprendizagem.
4. História da matemática como recurso metodológico
A educação prevê a emancipação e, por isso, ensinar exige bom senso do
educador, para que respeite a autonomia, a dignidade e a identidade do educando; exige
amor pela profissão e aceitação de que também tem muito a aprender.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
65
É válido dizer que o processo de ensino e aprendizagem é facilitado por algumas
condições e métodos de ensino que tem como objetivo transformar o espaço escolar em
um lugar mais prazeroso e agradável, tais como, experimentações individuais e
coletivas que geram troca de experiências para aprimoramento de capacidades.
Os tópicos sobre a História da Matemática são utilizados como meio de
introdução, fixação ou avaliação de um conteúdo e ainda existem possibilidades de
projetos participativos como, debates e exercício prático referente à análise de
ilustrações, suplementos de informações históricas, vinhetas, pesquisas investigativas na
internet e bibliográficas em fontes originais e secundárias, apresentações teatrais
envolvendo o desenvolvimento de problemas históricos.
Segundo Freire (1996), a aprendizagem deve ser significativa, onde haja a
compreensão de significados, relacionando-se às experiências anteriores e vivências
pessoais dos alunos, permitindo a formulação de problemas de algum modo desafiantes
que incentivem o aprender mais, o estabelecimento de diferentes tipos de relações entre
fatos, objetos, acontecimentos, noções e conceitos, desencadeando modificações de
comportamentos e contribuindo para a utilização do que é aprendido em diferentes
situações.
“inventar permanentemente novas situações de aprendizagem, investir sua
energia na busca de demonstrações mais eficazes e de mediações que
permitam ao aluno ter acesso à cultura que o livrará de seus preconceitos
[...]”. (FREIRE, 1996, p.26).
A matemática, em especial, merece uma visão mais ampla de seus docentes
para que estes encontrem formas de quebrar o tabu e tornar a disciplina uma aliada para
a vida toda, e não uma temível matéria repleta de fórmulas e gráficos. As questões de
ordem prática devem sempre se fazer presentes, ensejando que isso já acontecera há
milhares de anos, possibilitando a disseminação da ideia dos grandes nomes ao longo da
história.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
66
5. Tales de mileto e seus estudos sobre o cálculo da altura das pirâmides do Egito
Com História da Matemática temos a possibilidade de promover o ensino e
aprendizagem dos conceitos matemáticos por meio da compreensão e vivencia histórica.
A apreensão do conceito do Teorema de Tales é um dos conteúdos
matemáticos que dispõe dessa relação histórica para explicitação da conceituação
matemática, podendo contribuir na minimização das dificuldades de aprendizagens
devido a possibilidade contextualização histórica com o conteúdo a ser desenvolvido
matematicamente. Como proposta didática, abordaremos sobre razão e proporção na
história.
O estudo dos povos antigos revela através do Papiro Ahmes (ou papiro de
Rhind) e o Papiro Golonishev (ou papiro de Moscou), que a Matemática dos Babilônios
e Egípcios era principalmente indutiva e empírica, voltada para as suas necessidades
práticas (HARUNA, 2000).
Já para os Gregos, a Matemática é descrita como Ciência, através do
desenvolvimento da geometria dedutiva e não apenas vinculado a inquietação de
atendimento as aplicações imediatistas. Como fonte de informação sobre a matemática
da Grécia, existe o Sumário Eudemiano de Proclo (sec. V d.C.) e as tradições por meio
dos doxógrafos2. As informações sobre a vida e a obra de Tales são poucas, contudo
Tales é considerado por tradiçao “... homem de rara inteligência e como o primeiro
filósofo – por acordo geral o primeiro dos Sete Sábios” (BOYER, 2010, p.31).
De ascendência fenícia, sendo natural da Jônia, na Ásia Menor, Tales teria
vivido no período entre o final do século VII e meados do século VI a.C. Tales começou
sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final de sua
vida ao estudo e a algumas viagens. Diz-se que ele viveu por algum tempo no Egito, e
2 citação literal das palavras de um autor por outro
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
67
que despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra.
(EVES, 2004, p.95)
EVES (2004) relata a existência de duas versões para o cálculo da altura da pirâmide
egípcia por Tales, primeiramente com Hierônimos, discípulo de Aristóteles. Tales teria
anotado o comprimento da sombra no momento em que esta era igual a altura da
pirâmide que a projetava; depois com Plutarco com o relato de que Tales teria fincado
verticalmente uma vara e fez uso da semelhança de triângulos para obter as medidas.
Sugere-se que Tales tenha observado que quando a sombra de certo objeto é
igual a sua altura, existe a mesma relação para todos demais objetos que projetam uma
sombra, considerando o mesmo movimento do sol e posição da sombra, assim, consta
que Tales mediu a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das
sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual á sua altura.
A descoberta de Tales de que num mesmo momento, a razão entre a altura de
um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto projetava no chão era sempre a
mesma para quaisquer objetos comparados se refere a ideia de proporção utilizada pela
Matemática atual.
6. Métodos e materiais
Para o desenvolvimento deste estudo, primeiramente foi feito o levantamento
bibliográfico acerca da História da Matemática e o Teorema de Tales.
Em seguida, foi elaborado questionário, com perguntas estruturadas e não
estruturadas relevantes à questão problema, ou seja, a forma como são desenvolvidos os
tópicos da História da Matemática nas aulas.
A pesquisa de caráter quanti-qualitativo e do tipo intencional, teve como
sujeitos 18 professores de matemática do 9º ano de 23 escolas da Rede Estadual e
Municipal de ensino da cidade de Cachoeiro de Itapemirim, sul do Estado do Espírito
Santo, que responderam os questionários no período de 02 a 21 de outubro de 2013.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
68
7. Análise dos dados e discussão
Dentre os 23 profissionais da educação abordados, efetivamos 18 aplicações de
questionários. Com relação a atuação destes como professores de Matemática, segue
dados extraídos.
No que se refere ao tempo de atuação como professor de Matemática, apurou-
se que a maioria do grupo, ou seja, 7 (aproximadamente 38,89%) dos entrevistados
possuem mais de 15 anos de docência.
TABELA 1: Atua como professor de Matemática há quanto tempo?
TEMPO DE
ATUAÇÃO
FREQUÊNCIA DE
PROFESSORES
PERCENTUAL
menos de 5 anos 3 16,67%
de 5 a 10 anos 4 22,22%
de 11 a 15 anos 4 22,22%
mais de 15 anos 7 38,89%
TOTAL 18 100,00%
Ao questionamento sobre área de graduação, os entrevistados são 50%
Licenciados em Matemática e 50% cursaram Ciências para 1º grau com
complementação na área de exatas.
Entre os entrevistados com mais de 15 anos de atuação, todos possuem curso
de Ciências para 1º grau com complementação na área de exatas. Extraímos desta
informação a transição dos cursos de Ciências para 1º grau com complementação na
área de exatas para Licenciatura plena.
Com relação a maior formação acadêmica, todos os profissionais entrevistados,
informaram ter especialização, sendo que 2 deles são mestrandos.
Sobre o estudo de tópicos sobre a História da Matemática durante a formação
acadêmica, 11%, respectivamente, responderam “nao” e nao lembro. Entre os
entrevistados, 78%, abordaram que o estudo aconteceu especificamente, na disciplina de
História de Matemática, porém a carga horária fora insuficiente para aprendizagem e
compreensão forma a possibilitar o ensino e a inserção deste tópico em suas práticas
docentes.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
69
Gráfico 1: Durante sua formação, os Tópicos sobre a História da Matemática eram
abordados?
FONTE: Autoria Própria.
Como abordado por (MIGUEL; MIORIM, 2005) a utilização da História da
Matemática é meio de promover nos alunos o interesse pela Matemática, entretanto ao
verificarmos que 78% dos entrevistados detalharam que o estudo aconteceu somente na
disciplina de História de Matemática e os demais não se lembram ou não receberam
essa formação, podemos ter o motivo o qual a História não é amplamente utilizada
como conteúdo facilitador dos conceitos matemáticos.
Analisando os livros didáticos adotados pelas escolas, Vontade de saber
Matemática - Autor: Pataro, Patricia Moreno; Souza, Joamir - Editora: Ftd; A Conquista
da Matemática - Autor: Giovanni, Jose Ruy; Castrucci, Benedito; Giovanni Jr., José
Ruy - Editora: Ftd e Matemática Bianchini 8º ano - Autor Edwaldo Bianchini - Editora
Moderna, destacamos que estes estão em conformidade com o Programa Nacional do
Livro Didático (PNLD), em consenso com a equipe pedagógica e apresentam os tópicos
da História da Matemática, porém o gráfico 2 demonstra que 28% dos profissionais não
percebem essa abordagem no livro.
78%
11% 11%
Sim
Não
Não lembro
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
70
Gráfico 2: O livro didático adotado pela escola em que você trabalha, aborda os tópicos
da História da Matemática?
FONTE: Autoria Própria.
Aos 72% que responderam que o livro faz abordagem sobre História da
Matemática. Disseram que desenvolvem as seguintes atividades a partir dos tópicos:
introdução do conteúdo com exposição dos tópicos, origem e definições, leitura e
interpretação de textos do livro, pesquisa no Laboratório de Informática, apresentação
de trabalhos em feira cultural. Comentou-se também sobre a contextualização de
exercícios, utilização do lúdico e materiais concretos.
Os entrevistados também foram questionados sobre a participação em algum
curso específico sobre História da Matemática, apenas um professor entrevistado
realizou curso específico sobre História da Matemática e assinalou que contribuiu para
um melhor ensino da matemática, mas não descreveu de que forma.
Este cenário de não participantes em cursos específicos sobre a História da
Matemática infelizmente revela que a proposta da educaçao brasileira, conforme PCN’s
de ser a História da Matemática apresentada como meio de desenvolvimento do
conhecimento matemático decorrente da construção humana fica a margem da sala de
aula. Sem uma formação específica, os tópicos históricos acabam por não estar
constantemente presentes nas aulas de Matemática.
Com relação ao questionamento sobre a aplicação do conteúdo em sala de aula
sobre o Teorema de Tales, gráfico 3, observamos que, 56% dos professores
descreveram que utilizam da História da Matemática em exposição e leitura das
descrições contidas no livro, vida e obra de Tales de Mileto, demonstração do teorema
28%
72%
Não
Sim
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
71
de Tales no quadro e no pátio e, para verificação da aprendizagem, aplicam atividades
de fixação e situações problema com acontecimentos do dia a dia
Gráfico 3: Você já trabalhou o Teorema de Tales neste ano?
FONTE: Autoria Própria.
8. CONCLUSÃO
Os professores de matemática entrevistados abordaram o entendimento sobre a
importância da História da Matemática como facilitador de conteúdos matemáticos.
Porém, o uso dessa referência é simplificado, devido ao fato de que os livros didáticos
utilizados em sala de aula trazem uma abordagem suscinta sobre o conteúdo histórico,
além disso, o estudo da História da Matemática no período de graduação é descrito
como insatisfatório para garantir o desenvolvimento de aulas permeadas por tópicos
históricos.
A ampliação da oferta de cursos específicos sobre a História da Matemática ou
até mesmo obrigatoriedade de aumento carga horária desta disciplina na graduação são
um dos meios de propiciar a inserção da História da Matemática na sala de aula.
Por meio deste estudo, percebemos que ao abordar historicamente a vida e obra
de Tales, bem como a descrição do teorema, o professor poderá propor reflexão sobre os
sucessos e insucessos do processo, posteriormente apresentando as aplicações do
teorema estudado nas ações e necessidades atuais e assim exposição de ligação entre
passado e presente.
Faz-se importante destacar que, o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos
44%
56% Não
Sim
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
72
através da História da Matemática se põe como metodologia facilitadora na construção
do conhecimento sobre o Teorema de Tales ao apontá-lo com elo nítido entre o
aprendizado na escola, a vivência da época e as aplicações no cotidiano do aluno.
9. Referências
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. Pesquisa em Educação Matemática. Concepções
e Perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.
BOYER, Carl B. A História da Matemática. Resumos Literários – Conhecimento
Específico 1. Tradução: Elza F. Gomide. 3ª edição. São Paulo, 2010.
BRASIL. Ministério da Educação. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional.
Brasília: MEC, 1996.
________. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília: Mec, 1997. Disponível em <
http://www.slideshare.net/vancrecci/pcn-matematica> Acesso em Maio/ 2013.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP. Editora da
UNICAMP, 2004.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática docente.
São Paulo: Paz e Terra, 1996.
HARUNA, Nancy Cury Andraus. Teorema de Talhes: Uma abordagem do processo
ensino aprendizagem. PUC – SP, 2000. Disponível em:
<http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/nancy_cury_haruna.pdf> Acesso em
Maio/2013.
MIGUEL, Antônio; MIORIM, Maria Ângela. História da Matemática: propostas e
desafios. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica,
2005.
SEDU. Currículo Básico da Escola Estadual do Espírito Santo. Vitória: ES, 2009.
Disponível em: <http://www.educacao.es.gov.br/> Acesso em Maio/2013.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
73
NÚMEROS COMPLEXOS NO JOGO DA MEMÓRIA: UMA NOVA PRÁTICA
DOCENTE.
COSTALONGA, Tercio Ravera.
Centro Universitário são Camilo-ES.
PEÇANHA, Alexandre Lugão.
Centro Universitário são Camilo-ES.
MOULON, Herculano Cassiano.
Centro Universitário são Camilo-ES.
MARETTO, Ana Carla.
Centro Universitário são Camilo-ES.
TORRES, Herbert.
Centro Universitário São Camilo-ES
Resumo
O artigo em questão pretende abordar a respeito de um novo método de ensino para o
conteúdo de números complexos por meio de um jogo nomeado Jogo da Memória com
Números Complexos. Visando a necessidade e a demanda de novas práticas de ensino, a
utilização do método permite que o professor trabalhe os conteúdos de forma aprazível,
deixando-a mais acessível ao aluno, sem que a mesma perca a sua complexidade. Ao
abordarmos sobre a eficácia do mecanismo apresentado, demonstraremos métodos de
resoluções e procedimentos a serem adotados a possíveis eventos do jogo.
Palavras-chave: Jogo da Memória; Números Complexos; Prática Pedagógica.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
74
1. Introdução
A educação encontra-se em constantes mudanças que põe a questionar os
métodos de processo ensino-aprendizagem, transformações que requerem aos docentes
novas táticas didáticas que atendam a atual geração de alunos. Exercer tais mudanças
através de intervenções com jogos, que trabalhe conceitos protuberantes com objetivos
didaticamente definidos, torna-se um método profícuo.
Apresentar novas idéias ou diferentes estratégias didáticas sobre o ensino da
Matemática para graduandos em Licenciatura é uma atitude qualitativa para suprir as
dificuldades deles em buscar recursos para o ensino da mesma e despertar a curiosidade
em buscar ou criar outras formas de se trabalhar conteúdos matemáticos.
É importante refletir maneiras que impulsionam os alunos a exercitarem os
conceitos matemáticos, pois é normal hoje encontrar uma grande maioria que não
consegue entender o que o professor quer passar no decorrer de sua aula,
impossibilitando para os alunos na resolução de exercícios, contudo os desanimando,
mas que podem ser dominadas a partir de jogos relacionados com o conteúdo, que bem
orientadas forçam o desenvolvimento do raciocínio do aluno, agregando bons resultados
(FERREIRA, 2007).
Segundo o autor supracitado, a didática é fundamental para o ensino. O
professor deve além de ser carismático e ter bagagem de conteúdo, ser criativo e
disposto a buscar novas formas de aplicar conteúdo.
Sendo assim, o presente artigo, além de proporcionar aos docentes a
compreensão sobre a eficácia de jogos no processo ensino-aprendizagem em
matemática, tem como objetivo abordar uma pratica didática que atende a atual geração
de discentes de forma dinâmica e atrativa.
2. Material e métodos
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
75
O projeto foi realizado no 5° período do curso de licenciatura em matemática do
Centro Universitário São Camilo, Cachoeiro de Itapemirim – ES. Este foi posto em
prática em um seminário proposto pelo professor da disciplina de Números Complexos.
A exposição do jogo foi realizada através do data-show, visando expor de
maneira rápida e direta as regras que conduz o mesmo. Logo após, para melhor fixação,
realizou – se a simulação de uma partida por meio de apresentação de PowerPoint,
demonstrando a todos os possíveis eventos e soluções que seriam típicos do jogo da
memória com números complexos.
Em seguida, foi solicitado aos futuros professores que sentassem em grupo de
quatro pessoas e em seguida, distribui – se as cartas para que os mesmos pudessem
fazer uso do jogo simultaneamente.
3. Jogos no processo ensino-aprendizagem
Com a finalidade de tornar a matemática mais dinâmica sem perder sua
complexidade, a utilização de jogos no processo ensino-aprendizagem torna-se
eficiente. Jogos como forma de ensino permite que o aluno aplique conhecimentos e
conceitos matemáticos e simultaneamente, trabalhe o seu raciocínio lógico em grupo.
Como afirma Agranionih e Smaniotto (2002) apud Selva (2009, p.2) o jogo matemático
é:
Uma atividade lúdica e educativa, intencionalmente planejada, com objetivos
claros, sujeita a regras construídas coletivamente, que oportuniza a interação
com os conhecimentos e os conceitos matemáticos, social e culturalmente
produzidos, o estabelecimento de relações lógicas e numéricas e a habilidade
de construir estratégias para a resolução de problemas.
Pode – se perceber que essa ferramenta aplicada de forma planejada e didática,
fornece ao docente inúmeras possibilidades lúdicas de transmitir conhecimentos
tradicionais da matemática de uma forma mais acessível ao aluno.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
76
4. Jogo da memória com números complexos
O jogo da memória com números complexos permite que o aluno exercite
cálculos algébricos, plano de Argand-Gauss, transformação de equações trigonométricas
para sua forma representativa em horas e entre outras variedades de identificação e
representações de números complexos.
Numa abordagem didática, o jogo oportuniza o professor a lidar, de uma só
forma, com vários conceitos e conhecimentos do conteúdo e ao mesmo tempo
proporciona ao aluno uma nova experiência: Exercitar o conceito ensinado pelo
professor sem que seja no “cuspe e giz”. A aula torna-se atualizada na interpretação do
aluno, cumprindo uns dos requisitos para uma educação de qualidade. Como afirma
Moran:
O que deve ter uma sala de aula para uma educação de qualidade? Precisa
fundamentalmente de professores bem preparados, motivados e bem
remunerados e com formação pedagógica atualizada. Isto é incontestável.
(2004, p.15)
A metodologia desta ferramenta segue o mesmo raciocínio de uso de um jogo da
memória tradicional. Ao selecionar uma carta, o êxito se obtém quando posteriormente
a próxima carta selecionada é o seu par semelhante. Tratando-se de números complexos,
a familiaridade entre as cartas são dadas em formas algébricas diferentes e para atingir o
objetivo, o jogador tem que aplicar conhecimentos específicos do conteúdo para
transformar a equação encontrada em sua recíproca complexa.
A aplicação do jogo pode ser feitas através de cartas, como ilustra a figura (1), e
por meio do Power Point, figura (2), que ao utilizar recursos oferecidos pelo software é
possível a construção do jogo.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
77
Figura (1) - do Jogo da Memória com Números Complexos com cartas.
Fonte: arquivo pessoal dos pesquisadores.
Figura (2) – Construção do Jogo da Memória com Números Complexos com software Power Point.
Fonte: Arquivo pessoal dos pesquisadores.
5. Métodos para comprovação de congruência das cartas
Nesta parte do Presente Artigo, demonstra – se situações que são convenientes
do jogo. A seguir serão expostos os métodos de resoluções que comprovam a
congruência das cartas por meio de cálculos e conceitos trigonométricos e complexos,
considerando o domínio e conhecimento do leitor sobre o conteúdo.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
78
Considerando as seguintes cartas:
𝑍 = 4𝑖 𝑒 𝑊 = −√3 − 1
(1)
(2)
Para comprovar a congruência, transformaremos a carta que contém duas formas
algébricas dos números complexos em sua representação em forma de relógio, para
verificar se as cartas são pares entre si. Nomeando respectivamente os números
complexos 𝑍 e 𝑊 em I e II.
Considerando I, transformaremos em sua forma trigonométrica
𝑍 = ⍴ ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑍 = 0 + 4𝑖
⍴ = √𝑎2 + 𝑏2
⍴ = √(0)2 + (4)2
⍴ = 4
Conhecendo o ⍴ (Rô), pode –se determinar o ângulo em questão, através das
relações trigonométricas seno e cosseno:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑏
⍴=
4
4= 1
1 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝜋
2)
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
79
𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑎
⍴=
0
4= 0
0 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜋
2)
𝒁 = 𝟒𝒊 em sua forma trigonométrica tem a seguinte expressão:
𝑍 = 4 ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜋
2+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
2)
Repetindo o mesmo procedimento na expressão II.
𝑊 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑊 = −√3 − 1
⍴ = √𝑎2 + 𝑏2
⍴ = √(−√3)2
+ (−1)2
⍴ = 2
Novamente conhecendo ⍴ (Rô), pode - se determinar o ângulo em questão,
através de seno e cosseno:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑏
⍴=
−1
2
−1
2𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑛(
7𝜋
6)
𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑎
⍴=
−√3
2
−√3
2𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑠(
7𝜋
6)
𝑊 = −√3 − 1 em sua forma trigonométrica tem a seguinte expressão:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
80
𝑊 = 2 ∗ (𝑐𝑜𝑠7𝜋
6+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
7𝜋
6)
Representando as duas expressões complexas no ciclo trigonométrico, obtém –se
:
Ao relacionar o círculo trigonométrico com um relógio tradicional, é possível
notar que 7𝜋
6 alinha-se com o ponteiro relacionado às 8h e
𝜋
2 ao ponteiro de 0 min. Em
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
81
um relógio, o ⍴ que apresenta a menor medida refere-se ao ponteiro das horas e, o
maior, dos minutos. Comprovou - se assim, a congruência das cartas.
A seguir será comprovado por outro método, se são pares as seguintes cartas:
𝑇 =3+𝑖
1+2𝑖
(3)
𝐺 = 1 − 𝑖
(4)
Para verificar as congruências das cartas (3) e (4), aplicar –se a regra de divisão
de números complexos na carta (3), como segue abaixo:
𝑻 =𝟑 + 𝒊
𝟏 + 𝟐𝒊=
(3 + 𝑖)
(1 + 2𝑖)∗
(1 − 2𝑖)
(1 − 2𝑖)=
3 − 6𝑖 + 𝑖 − 2𝑖2
1 − 2𝑖 + 2𝑖 − 4𝑖2
=3 − 5𝑖 + 2
1 + 4=
5 − 5𝑖
5=
5
5−
5𝑖
5= 𝟏 − 𝒊
Com o resultado é certo afirmar que as duas cartas são congruentes.
Supondo agora as seguintes cartas (5) e (6) para comprovação de semelhança,
utilizando outro método:
𝑃 = 2 + 3𝑖 (5)
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
82
(6)
Para todo número complexo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖, é possível relacionar a um ponto P no
plano de Argand-Gauss, sendo sua parte real representada no eixo horizontal e a
imaginária no eixo vertical.
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖
De forma análoga podemos realizar o mesmo processo de identificação no plano
a seguir.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
83
Nota-se que o eixo horizontal, real, contém duas unidades e, o vertical,
imaginário três, ou seja, 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3. Escrevendo na forma 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 conclui-se
que 𝑃 = 2 + 3𝑖, afirmando assim sua congruência gráfica com a sua forma algébrica.
É notado que em um único jogo esta disponível diversos pontos importantes do
conteúdo com diversas formas de calcular e comprovar a semelhanças de suas cartas,
possibilitando que o aluno trabalhe conceitos protuberantes de forma mista.
6. Resultados e discussão
Os resultados obtidos foram satisfatórios, podendo alcançar o resultado
almejado: Proporcionar aos futuros professores uma experiência didaticamente
atualizada e eficaz através do jogo. A ferramenta proposta foi considerada pelos
docentes de fácil manuseio para os mesmos e de seus futuros alunos, como uma forma
bem diferenciada de desenvolver uma atividade em sala de aula.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
84
7. Considerações finais
A presente estratégia de ensino possibilita que o docente aplique conhecimentos
específicos da disciplina de forma cativante para o discente, o envolvendo com mais
facilidade a prática que o conduzirá a uma melhor fixação do conteúdo proposto. O
Jogo da Memória com Números Complexos torna-se uma pratica didática inovadora
que atende as necessidades de transformações presentes no âmbito escolar.
O professor de Matemática como orientador e um dos maiores responsáveis no
processo ensino aprendizagem dela têm em suas mãos a autonomia de aplicar esse e
outros recursos para o desenvolvimento de uma aula que traga bons resultados, pois
todo processo adotado está vinculado a sua ação transformadora, o que difere é a atitude
dotada de cada um em sua prática profissional.
8. Referências
FERREIRA, S.M.M. Os recursos didácticos no processo de ensino-aprendizagem.
Cidade da Praia CV, 2007. Universidade Jean Piaget de Cabo Verde. UJPCV.
GRANDO, R. C.A. O Conhecimento Matemático e o Uso dos Jogos na Sala de
Aula. Campinas SP, 2000. Tese de Doutorado. Faculdade de Educação, UNICAMP.
MORAN, José Manuel. Os novos espaços de atuação do professor com as
tecnologias. Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 4, n. 12, p.13-21, Mai/Ago 2004.
Quadrimestral.
PUHL, C. S. NÚMEROS COMPLEXOS: RUMO A UMA APRENDIZAGEM
SIGNIFICATIVA, Canos - RS, ULBRA, 2013.
SELVA, K.R,GT 01–O jogo matemático como recurso para a construção do
conhecimento- Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática
Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS.
SERAFIM, T. Jogo da Memória. <https://rachacuca.com.br/passatempos/jogo-da-
memoria/>. Acesso em agosto de 2016.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
85
LOCALIZAÇÃO EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Rafael Silva Ribeiro
Instituto Federal do Espírito Santo
André Oliveira Souza
Instituto Federal do Espírito Santo
Resumo:
Este trabalho tem como objetivo principal, trazer uma noção mais fiel à realidade de
localização. No ensino básico, é muito comum o estudo de coordenadas geográficas em
mapas planos como conceito de localização. Nossa proposta visa trazer essa localização
em coordenadas tridimensionais, ou melhor, coordenadas esféricas, uma vez que a
forma que mais se aproxima da realidade que vivemos, como nos dados
georreferenciados. Para isso, serão necessários conceitos matemáticos como as relações
métricas e trigonométricas de um triângulo. Espera-se mostrar que cada ponto da
superfície terrestre de nosso planeta pode ser representado por coordenadas cartesianas
esféricas.
Palavras-chave: geometria analítica; plano cartesiano; coordenadas geográficas;
coordenadas esféricas.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
86
1. Introdução
A Europa, no século XVII, passou por uma grande transformação em todos os
setores da sociedade. Nas ciências em geral, há um grande avanço, que hoje é
facilmente identificado por uma pesquisa científica. E com a Matemática não foi
diferente. Nessa época, a geometria ainda era altamente influenciada por Euclides e seus
elementos. Começou a haver uma consciência de que esta geometria deveria ser
aplicada às necessidades do momento.
Um dos personagens desta transição matemática foi o francês René Descartes.
Inicialmente de forma filosófica, ele introduziu o princípio da dúvida e do
questionamento, formando uma boa base para uma pesquisa científica. Um dos grandes
desafios dele era resolver problemas encontrados na natureza, explorados de uma nova
forma, integrando conceitos de lógica, álgebra e geometria. Roque e Pitombeira (2012)
mostram que em sua mais brilhante obra, O Discurso do método, Descartes postula uma
série de estudos em que a geometria não ficava só em demonstrações consideradas
estéreis, mas que poderiam ser aplicadas e serem úteis para a sociedade, como por
exemplo, a descrição algébrica de curvas.
O desenvolvimento dessa geometria, não é bem o que temos hoje como
geometria analítica. Para se ter uma ideia, nem o plano cartesiano estava consolidado.
Outros cientistas posteriores a Descartes, como Leibniz e Newton por exemplo,
desenvolveram seus métodos e desenvolveram novas técnicas matemáticas. Hoje, a
geometria analítica está presente em praticamente todas as séries do ensino médio.
O plano cartesiano transformou-se tão útil, que hoje ele é entendido também
como sistema de localização. Devido às suas propriedades, costumeiramente a
localização de qualquer lugar de nosso planeta é dada em mapas planos, onde cada
ponto tem sua respectiva latitude e longitude. Além disso, conceitos como paralelos e
meridianos, estão altamente relacionados com a matemática.
Em meados do século XIX começaram a surgir publicações de uma nova
geometria. Boyer (1974) nos mostra que, simultaneamente, o russo Lobachevski, o
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
87
húngaro Bolyai e o alemão Gauss desenvolveram teorias sobre uma nova geometria. Em
1829, Lobachevski publicou um artigo em que ele mostrava uma negação ao quinto
postulado de Euclides, o axioma das paralelas, o que marcou oficialmente o inicio da
geometria não euclidiana. Muitas dessas descobertas desse período são até evidentes
para os dias de hoje, principalmente na geometria do nosso planeta. Entretanto,
considerando a Terra esférica, é possível representá-la de maneira plana?
Este questionamento é o objetivo principal de nossa pesquisa. Como o mundo
em que vivemos é tridimensional, entende-se que a localização de qualquer ponto de
nosso planeta deva também ser em coordenadas tridimensionais. Através de conceitos
geográficos, que na verdade são matemáticos, busca-se então transformar as
coordenadas geográficas, dadas em latitude e em longitude, em coordenadas esféricas.
Com isso, pretende-se trazer um sentido de localização mais próximo a realidade e
encaminhar uma possível atividade conjunta com a geografia.
2. Aspectos teóricos e metodológicos
Pontos, retas e planos são os elementos básicos para o estudo da geometria
analítica. Uma reta é dita orientada, quando se estabelece um sentido para ela.
Estabelecendo um ponto O numa reta orientada, ela passa a ser um eixo. Com um par de
eixos ortogonais, sendo eles OX e OY, situado em um plano, tendo o ponto O como
origem, é possível estabelecer uma correspondência entre pontos no plano e números
reais, contidas nos eixos orientados. Essa correspondência é representada por pares
ordenados (x,y). Utilizar coordenadas no plano é uma ferramenta muito útil na
Matemática. Lima (2007) afirma que “recorre-se a elas a fim de resolver problemas da
Geometria”.
Esta correspondência é vista em representações planas, que são utilizadas nos
mapas. Facilmente é possível ver, como na projeção de Mercator, que cada ponto da
superfície terrestre possui uma projeção na horizontal, que é chamada de longitude, e
outra na vertical, que é chamada de latitude. Essas grandezas são medidas em graus.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
88
Figura 1: Representação de mapa de projeção de Mercator
Fonte: http://brasilescola.uol.com.br/geografia/projecao-mercator.htm. Acesso em 12 de outubro de 2016.
Entretanto, essa representação gera dois questionamentos. O primeiro é que a
forma da Terra, apesar de indefinida, assemelha-se muito com uma esfera. Dessa forma,
como representar de forma plana, algo que é esférico? E a outra dúvida que surge é
quanto a latitude e longitude. Assim como os ângulos, a unidade de medida delas é o
grau. Fica difícil de observar esses ângulos ao localizar um ponto qualquer no mapa.
Para tentar dar uma representação mais próxima a realidade, entende-se que
seria mais eficaz se a localização de cada ponto do nosso planeta fosse dada no espaço e
não no plano, uma vez que vivemos em um espaço tridimensional.
O estudo das coordenadas no espaço se faz de modo similar às coordenadas no
plano. Conforme Lima (2007), fixando um ponto O como origem, estabelecemos os
eixos orientados OX, OY e OZ ortogonais entre si. O sistema OXYZ determina uma
correspondência que a cada ponto do espaço associa-se um terno (x; y; z) de números
reais que serão suas coordenadas. Quando um conjunto de pontos no espaço possui a
mesma distância para o centro da Terra, forma-se uma esfera, como mostra a figura 2.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
89
Percebe-se que os pontos A, B e C são equidistantes ao ponto O.
Figura 2 – Pontos no espaço e esfera de centro O
Nesta representação, fica mais fácil de definir as linhas imaginárias presente nos
mapas planos, que são denominados de paralelos e meridianos. O paralelo máximo é
conhecido como linha do Equador e divide a esfera terrestre em dois hemisférios iguais,
sendo eles norte e sul. Da mesma forma o meridiano de Greenwich também separa a
Terra em duas partes, mas em leste e oeste. A medida do arco do meridiano que passa
por um P e está entre o paralelo que contém P e a linha do Equador é chamada de
latitude. A longitude é a medida do arco do paralelo que passa pelo ponto P e está entre
o meridiano que possui o ponto P e o meridiano de Greenwich. Tomando um desses
pontos do espaço tridimensional que compõem uma esfera, como por exemplo o ponto
P, vê-se que suas coordenadas é o terno (x, y, z), como mostra a figura 3, onde também
é possível ver que a latitude é representada pelo ângulo θ e a longitude pelo ângulo φ.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
90
Figura 3 – Coordenadas tridimensionais e sua relação com a latitude e a longitude
O grande desafio é transformar as coordenadas geográficas em coordenadas
esféricas. Para isso, as coordenadas serão estipuladas em função de sua latitude e
longitude, pois estes dados são facilmente retirados de um mapa plano. Para essa
transformação, basta observar que OP é o raio da Terra, OC é a coordenada x, AC é a
coordenada y e AP é a coordenada z. No triângulo retângulo AOP, observa-se as
relações trigonométricas do ângulo θ. Retira-se que sen θ = 𝐴𝑃
𝑂𝑃 , logo AP = OP . sen θ.
E retira-se também que cos θ = 𝐴𝑂
𝑂𝑃 , que implica em AO = OP . cos θ.
Fazendo agora o mesmo exercício no triângulo retângulo AOC, chega-se na
relação sen φ = 𝐴𝐶
𝐴𝑂 , onde se conclui que AC = AO . sen φ. Mas encontrou-se no
triângulo AOP que AO = OP . cos θ. Desta forma AC = OP . cos θ . sen φ.
Analogamente ainda no triângulo AOC, tem-se que cos φ = 𝑂𝐶
𝑂𝐴 . Assim, OC = AO . cos
φ, que equivale dizer que OC = OP . cos θ . cos φ. Com tudo isso, pode-se exprimir
agora, as coordenadas cartesianas em função da latitude, sua longitude e também por
OP que é o raio R da Terra. Conclui-se que x = R . cos θ . cos φ, y = R . cos θ . sen φ e
que z = R . sen θ, ressaltando que θ é a latitude e que φ é a longitude.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
91
3. Resultados
Para um entendimento maior dessa pesquisa, escolhe-se aleatoriamente uma
cidade de um mapa plano para que possa ser aplicado as definições encontradas.
Tomando a cidade capital da Argentina, Buenos Aires, nota-se que sua latitude é de –
34º e que sua longitude é de – 58º. Além disso, o raio da Terra é estipulado em
aproximadamente 6400 km. Assim, substituindo esses valores nas fórmulas deduzidas
anteriormente, as coordenadas esféricas da cidade de Buenos Aires serão x = 6400 .
0,83 . 0,53 = 2815,36, y = 6400 . 0,83 . (- 0.85) = - 4515,20 e z = 6400 . (- 0,56) =
3584,00.
O maior resultado neste estudo são os encaminhamentos que eles indicam. Um
deles, está em um questionamento muito interessante feita por Alves (2015).
A distância entre dois pontos A e B é, essencialmente, o menor dos
comprimentos das trajetórias ligando A e B. No plano, a trajetória de menor
comprimento é o segmento de linha reta AB e o seu comprimento é a
distância entre A e B. Sobre uma superfície esférica, no entanto, não existe
um segmento de linha reta, uma vez que ela é curvada em todas as direções e
túneis através da Terra não são permitidos. Como medir a menor distância
entre dois pontos nesse caso?
Esta indagação torna-se pertinente à medida que na maioria das vezes, a
distância entre dois pontos na superfície terrestre é calculada por mapas planos e suas
respectivas escalas. Tomando qualquer outro ponto da Terra e fazendo o mesmo
procedimento que foi feito em relação a Buenos Aires, sempre é possível transformar as
coordenadas geográficas e escrevê-las como esféricas, conforme foi mostrado
anteriormente. Escolhendo New York, suas coordenadas esféricas serão (1351,36; -
4712,76; 4113,84). A figura 4 dá uma ideia de como as cidades estariam na Terra, onde
B representa Buenos Aires e N indica New York.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
92
Figura 4 – Distância entre duas cidades na esfera terrestre
Ainda na figura 4, é possível perceber o questionamento que foi descrito nesta
seção. A menor distância entre dois pontos na superfície terrestre é um arco e não um
segmento retilíneo. A partir daqui abrem-se várias opções para continuar no estudo da
geometria analítica. Esta questão pode ser calculada com o uso de vetores e suas
propriedades, assim como outras que podem surgir a partir daqui.
4. Considerações e/ou conclusões
Não é possível afirmar que os mapas estão errados, mas os cálculos de distância
através de escalas de mapas planos traz resultados bem diferentes da realidade. Mas não
há erros nos mapas e sim na sua interpretação. Por isso indica-se fortemente trabalhar
com coordenadas no espaço como modelo ideal de localização de pontos de nosso
planeta.
Um encaminhamento que este trabalho mostra é trabalhar a pesquisa como
princípio pedagógico. Isto significa buscar situações de interesse que permitam
questionamentos. A partir destes, os estudantes poderão protagonizar investigações que
levem a um entendimento mais completo da situação questionada (BRASIL/CNE,
2001).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
93
5. Referências
ALVES, S. Geometria no globo terrestre. Apostila 6 do 10º Programa de Iniciação
Científica da OBMEP. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2015.
Disponível em <http://www.obmep.org.br/docs/apostila6.pdf>. Acesso em 20 de maio
de 2016.
BOYER, Carl Benjamim. História da Matemática. São Paulo, Universidade de São
Paulo, 1974.
BRASIL/CNE. Diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da
educação básica, em nível superior, curso de licenciatura, de educação plena.
Brasília, 2001. Disponível em <portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/009.pdf>. Acesso
em 31 de agosto de 2016.
LIMA, E. L. Coordenadas no espaço. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de
Matemática, 2007.
LIMA, E. L. Coordenadas no plano. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de
Matemática, 2007.
ROQUE, T. M.; PITOMBEIRA, J. B. Tópicos de História da Matemática. Rio de
Janeiro: Coleção Profmat. Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
94
FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA:
ENLACES TEÓRICO-METODOLÓGICOS
ALTOÉ, Renan Oliveira Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória-ES
FREITAS, Rony Claudio de Oliveira Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória-ES
Resumo: O ensino de matemática deve, cada vez mais, ocorrer por meio de estímulo à reflexão
crítica dos educandos e de ações que despertem a sua criatividade e a Formulação de
Problemas tem se apresentado com um possível caminho para se alcançar tal
perspectiva. Este trabalho buscar apresentar, brevemente, discussões teórico-
metodológicas a respeito da prática de Formulação de Problemas. Trata-se de um
estudo bibliográfico de natureza qualitativa caracterizando parte de uma pesquisa de
mestrado que se encontra em andamento no Programa de Pós-graduação em Educação
em Ciências e Matemática no Instituto Federal do Espírito Santo. Dos estudos
concluímos que a Formulação de Problemas é uma prática inserida na abordagem
metodológica de Resolução de Problemas com a qual é possível despertar a criatividade,
desenvolver a escrita e a linguagem matemática, o raciocínio, o pensamento crítico-
reflexivo e contribui para a evolução da capacidade de resolver problemas.
Palavras-chave: formulação de problemas; ensino de matemática; educação básica.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
95
1. Introdução
O ensino de matemática é constantemente (re)discutido à medida em que novas
perspectivas metodológicas efluem de pesquisas acadêmicas e relatos de experiências
em sala de aula. Em vista disso, colocam-se em jogo reflexões sobre a importância da
matemática na escola e suas implicações na vida dos estudantes.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF) de
1997 apontam que a matemática é um componente importante na construção da
cidadania e, por isso, precisa estar ao alcance de todos, muitas vezes consistindo em
relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras)
com processos pautados na comunicação. Os PCNEF denotam ainda que deve-se
estimular os alunos a se comunicarem em sala de aula, levando-os a “falar” e a
“escrever” sobre matemática. A “Resoluçao de Problemas” tem sido apontada como
uma metodologia que pode ajudar os estudantes a desenvolverem tais competências,
ampliando o interesse pela matemática.
No núcleo dessa abordagem metodológica, resolver problemas se instaura como
um ponto chave. O professor propõe situações-problemas para as quais os discentes
buscam estratégias de resolução. Contudo, Pozo (1998) denota que uma mesma situação
pode representar um problema para uma pessoa e para outra não, seja porque não lhe
interessa ou já possui mecanismos evidentes para solucioná-la. Dante (2009), por sua
vez, afirma que o que é um problema para algumas pessoas pode não ser para outras, ou
o que é um problema num determinado contexto pode não ser em outro. Por
conseguinte, acreditamos ser importante que se façam novas reflexões referentes à
proposição de problemas em sala de aula, inserindo desta vez, a possibilidade dos
alunos elaborarem problemas3 o que estamos definindo por Formulação de Problemas.
3 Não referimo-nos a “problemas da vida” no seu sentido estritamente pessoal, embora esses
possam ser evidenciados nos problemas formulados pelos alunos, mas de situações-problemas elaboradas
sejam com dados reais ou fictício.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
96
Este trabalho buscar apresentar, brevemente, discussões teórico-metodológicas e
trazer algumas reflexões a respeito da prática de Formulação de Problemas. É um
estudo bibliográfico de natureza qualitativa caracterizando parte de uma pesquisa de
mestrado que se encontra em andamento no Programa de Pós-graduação em Educação
em Ciências e Matemática no Instituto Federal do Espírito Santo.
2. Formulação de Problemas no Ensino de Matemática
O National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), a partir de 1980,
contribuiu positivamente para que a Resolução de Problemas fosse hoje considerada
importante no ensino de matemática. Segundo Onuchic e Allevato (2011), muitas
publicações pelo NCTM aconteceram no final dos anos 80 e durante os anos 90 com a
finalidade de auxiliar os professores destacando alguns aspectos substanciais para o
ensino da matemática. O motivo pelo qual iniciamos as discussões pela Resolução de
Problemas pauta-se no pressuposto de entendermos ser a Formulação de Problemas
uma prática inserida nessa abordagem metodológica de ensino. Adiante,
fundamentaremos referida afirmativa.
Posteriormente, por volta da década de 90, ocorreram as publicações intituladas
“Professional Standards for School Mathematics” (NCTM, 1991) e “Assessment
Standards for School Mathematics” (NCTM, 1995) que também contribuíram
significativamente para edificação e concretização da importância da Resolução de
Problemas como metodologia de ensino. Como tal, constitui-se de um conjunto de
estratégias para o ensino e o desenvolvimento da aprendizagem de matemática (DINIZ,
2001), tendo efetivamente seu destaque a partir de 2000 com a publicação do
“Principles and Standards for School Mathematics” (NCTM, 2000), por meio do qual
foram anunciados princípios, padrões de conteúdos e procedimentos a partir da
Resolução de Problemas.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
97
Por se tratar de uma metodologia que tem por base discutir, refletir e resolver
situações-problemas, é importante afirmar que entendemos por problemas
[...] situações que não possuem solução evidente e que exigem que o
resolvedor combine seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em
busca da solução (DINIZ, 2001, p. 89)
É nítida a preocupação em delinear que um problema é uma situação para a qual
não temos imediata percepção de como resolvê-la. Similarmente, Van de Walle (2009)
denota que um problema é qualquer tarefa ou atividade para a qual o educando não
possui métodos ou regras específicas para resolvê-lo e que nem a percepção de existí-la
seja instituído. Evidentemente, outras concepções para problema podem ser
identificadas, embora algumas apresentam caráter complementar as demais. Assim
acontece com a definição dada por Vila e Callejo (2006) ao utilizarem
[...] o termo problema pra designar uma situação, proposta com a finalidade
educativa, que propõe uma questão matemática cujo método de solução não é
imediatamente acessível ao aluno/resolvedor ou ao grupo de alunos que tenta
resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e a
incógnita ou de um processo que identifique automaticamente os dados com
a conclusão e, portanto, deverá buscar, investigar, estabelecer relações e
envolver suas emoções para enfrentar uma situação nova (VILA; CALLEJO,
2006, p. 29, grifo nosso).
Para além disso, é importante ainda considerar problema como qualquer situação
capaz de envolver os educandos em investigação, na qual as estratégias de resolução
não são visíveis a primeiro momento e que propô-las é um ato criativo, curioso,
engenhoso, motivador e que desenvolve o pensamento crítico-reflexivo.
Van de Walle (2009) afirma que as experiências de resolver um problema é que
geram as ideias matemáticas e, dessa maneira, tal processo pressupõe que as crianças
estejam aprendendo matemática fazendo matemática. O autor coloca que os esforços em
se trabalhar nessa vertente são grandes, mas que benefícios são visíveis, como: a) fazer
os alunos concentrarem sua atenção nas ideias, dando sentido as mesmas; b) ajudar a
desenvolver a convicção de que os alunos são capazes de fazer matemática e de que
estudar matemática faz sentido; c) contribuir para a tomada de decisões educacionais,
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
98
por meio da geração de dados da aprendizagem dos alunos; d) mostrar que resolver
problemas é possível por todos; e) contribuir na melhoria da disciplina dos alunos,
envolvendo-os na aprendizagem; f) contribuir no desenvolvimento do potencial
matemático do aluno e g) ensinar e aprender de forma dinâmica e divertida.
Outras contribuições são apontadas por Onuchic e Allevato (2011, p. 81) ao
considerarem que quando o aluno resolve um problema ele se engaja na análise dos
próprios métodos e soluções obtidas para os problemas, sendo esse um trabalho da
consequência de seu pensar matemático, levando-o a elaborar justificativas e a dar
sentido ao que faz.
A resolução de problemas é inerente ao ensino de Matemática, mesmo que nem
sempre em uma perspectiva metodológica. Sabe-se, no entanto, que ainda há muito a
avançar nesse sentido, colocar o problema como ponto de partida das práticas
pedagógicas em sala de aula. Agir dessa maneira significa fazer uso de contextos
significativos para o estudante e para isso nada melhor do que ampliar o seu
protagonismo, permitindo-lhes uma ação efetiva também na elaboração dos problemas
que são propostos.
Inicialmente, concordamos com D’amore ao anunciar que “a Formulaçao de
Problemas é um modo de colocar-se no interior da Resolução de Problemas e que as
duas problemáticas nao sao oposta, mas muito perto” (D’AMORE, 2014, p. 29,
tradução nossa). Concordamos também com Silver (1994) quando aponta que a
Formulação de Problemas é uma prática que ocorre dentro do processo de resolução de
problemas, portanto, dentro da Resolução de Problemas. Assim, tomamos como
princípio que a Formulação de Problemas é uma prática inserida na abordagem
metodológica de Resolução de Problemas.
Vale salientar que as pesquisas nessa temática tiveram, sobretudo, início na
literatura internacional por meio de alguns autores (SILVER, 1994, 1997; SILVER et
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
99
al, 1996; ENGLISH, 1997, 1998; SILVER; CAI, 1996, 2005; SILVER; MAMONA,
1989; BROWN; WALTER, 1983; KILPATRICK, 1987) e, portanto, esse conceito
emerge como “Problem-Posing”. Formular problemas constitui prática curiosa e pode
despertar o interesse em resolver problemas em matemática e, nesse sentido, “aos
alunos deve ser dada a oportunidade para formular problemas de determinadas situações
e criar novos problemas quando modificando as condições de um determinado
problema” (NCTM, 1991, p. 95). O objetivo é dar espaço para que os discentes
formulem problemas que gostem de resolver, explicitando contextos de seus interesses,
tornando uma prática que antes era desinteressante, em momentos de inventividade e
descoberta.
A prática de formular problemas nas aulas de matemática é um possível
indicador da capacidade dos alunos em estabelecerem relações entre a matemática e
situações cotidianas reais ou imaginárias ou entre a própria matemática. English (1997)
relata que a Formulação de Problemas é um importante componente do currículo de
matemática, devendo ser considerada prática fundamental, pois a capacidade de
perceber e formular é necessária no processo de aprendizagem.
Para Silver, formular problemas “[...] refere-se tanto a produção de novos
problemas e a reformulação de determinados problemas” (SILVER, 1994, p. 19,
tradução nossa). No mais, Boavida et al (2008) reitera que é uma atividade de
importância inquestionável, pois contribui no aprofundamento dos conceitos de
matemática e na compreensão de sua resolução. Portanto, nas aulas de matemática “as
crianças podem inventar os próprios problemas. Isso as motivará a ler, compreender e
resolver os problemas, porque sao seus” (DANTE, 2009, p. 65). Formular um problema
requer, inicialmente, conhecer conceitos, refletir sobre situações-problemas e entender o
porquê do que estou pretendendo formular.
Não basta apresentar a importância da Formulação nas aulas de matemática, mas
também discutir os caminhos para sua concretização. Para Chica (2001) as primeiras
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
100
propostas de formular problemas necessitam ser cuidadosamente planejadas, uma vez
que as crianças demonstram dificuldades nessa prática decorrente do costume de
somente resolver problemas. Os estudos de Medeiros e Santiago (2013) apontam que os
educandos encaram a formulação como importante, porém difícil e, portanto, sugerem
que esteja mais presente nas aulas de matemática, potencializando assim as capacidades
críticas dos discentes.
Chica (2001, p. 153) relata que “os alunos devem ter contato primeiro com
diferentes tipos de problemas para resolver, antes de propormos que criem seus próprios
problemas”. O objetivo disso, segundo ela, é fazer com que conheçam modelos que
servirão como ponto de partida para criarem os seus. Concordamos com Boavida et al
(2008) ao considerar que esta prática de invenção sem um suporte prévio pode fazer
com que os alunos gerem problemas fantasiosos, sem aproximação com a matemática
ou tão difíceis que nem os próprios conseguem resolver.
Em vista disso, alguns autores sugerem diferentes maneiras de propor essa
prática na sala de aula (CHICA, 2001; DANTE, 2009; DINIZ, 2001; BOAVIDA et al,
2008). Nos estudos de Chica (2001), um problema pode ser elaborador a partir das
seguintes ideias:
Criar um problema a partir de um problema dado;
Criar um problema a partir de uma figura;
Criar um problema a partir de um problema iniciado;
Criar um problema parecido a partir de um problema dado;
Criar um problema a partir de uma pergunta;
Criar um problema a partir de uma palavra;
Criar um problema a partir de uma resposta dada;
Criar um problema a partir de uma operação matemática;
Criar um problema a partir de um tema;
Criar um problema com um determina tipo de texto.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
101
Dante (2009) também apresenta algumas possibilidades para essa prática, uma
das quais destacamos “formular problemas por uma série de dados números”. As
demais são similares ou idênticas àquelas apresentadas por Chica (2001).
Diniz (2001) coloca que a Formulação de Problemas pode ocorrer quando
solicitamos aos alunos que alterem alguns dados de um problema existente e resolvido.
Essa perspectiva é aquela apontada por Silver (1994) ao tratar que Formulação de
problemas não é só inventar, mas reformular outros problemas. Por isto, a) inventar um
problema com o mesmo dado; b) inventar um problema com a mesma pergunta; c)
inventar um problema com as mesmas contas e d) inventar um problema com a mesma
história, mas que seja resolvido com outra operação matemática, são algumas das
propostas apresentadas por Diniz.
No espoco das ideias de Boavida et al (2008), duas estratégias são indicadas
para trabalhar a Formulaçao de Problemas e sao assim chamadas de “E se em vez de?” e
“Aceitando os dados”. A primeira relaciona-se com a modificação de um problema,
enquanto que a segunda, com a formulação de um novo problema. Em linhas, pontua a
possibilidade de utilizar situações presenciadas em sala de aula como instrumentos
geradores de problemas, como: o aniversário de algum aluno, uma visita de estudo ou a
celebração de um Dia Mundial.
Segundo Boavida et al, “encorajar os alunos a escrever, partilhar e resolver os
seus próprios problemas, é um contexto de aprendizagem muito rico para o
desenvolvimento da sua capacidade de resoluçao de problemas” (2008, p. 27).
Complementa dizendo que “ao colocarem problemas, os alunos apercebem-se da sua
estrutura desenvolvendo, assim, pensamento crítico e capacidade de raciocínio ao
mesmo tempo que aprendem a exprimir as suas ideias de modos mais preciso” (p. 27).
Outros aspectos são apontados por Dante (2009) ao afirmar que no ensino de
matemática
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
102
As crianças podem inventar os próprios problemas. Isso as motivará a ler,
compreender e resolver os problemas, porque são seus. Saber formular um
problema é tão importante quanto resolvê-lo. Nessa formulação, precisa-se
criar não apenas um texto adequado como também números coerentes e
perguntas pertinentes (DANTE, 2009, p. 65)
O exposto por Dante caminha estreitamente ao pensamento de Diniz (2001)
quando menciona que o processo de gerar problemas leva o discente a participa de um
fazer em matemática que desenvolve para a além da linguagem, o interesse e confiança
em seu modo de pensar. Assim, “quando o aluno cria seus próprios textos de problemas,
ele precisa organizar tudo o que sabe [...], dando-lhe sentido a estrutura adequada para
que possa comunicar o que pretende” (CHICA, 2001, p. 151). É um processo que tira do
educando seu papel de resolvedor de problemas, para um “propositor de problemas,
vivenciado o controle sobre o texto e as ideias matemáticas” (CHICA, 2001, p. 151).
No processo de formulação é necessário refletir as relações estabelecidas, bem
como criá-las de modo que o problema faça sentido e seja resolvível. Com isso, o aluno
ao formular problemas “percebe o que é importante na elaboraçao e na resoluçao de
uma situação dada; que relação há entre os dados apresentados, a pergunta a ser
respondida e a resposta” (CHICA, 2001, p. 152). Essa sequência de relações é
desafiadora e, ao mesmo tempo, motivadora.
É preciso estimular a capacidade inventiva e questionadora dos alunos,
desenvolvendo na sala de aula um clima de interação e respeito, onde se
possa fazer matemática através da possibilidade de questionar, levantar
hipóteses, comunicar ideias, estabelecer relações e aplicar conceitos (CHICA,
2001, p. 153).
A manifestação da capacidade inventiva acaba por desenvolver a criatividade,
habilidade que por vezes contribui nas relações que se estabelecem, seja na formulação
de problemas, que na resoluçao. Assim, Silver (1994, p. 20) afirma que “formular
problemas tem sido visto como uma característica de atividade criativa [...]”.
Em se tratando de Formulação de Problemas, todos os alunos são capazes de
participar dessa prática, mas Pinheiro e Vale (2013) salientam que, os alunos não estão
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
103
habituados a formular problemas e, na sua pesquisa, criara enunciados com escassez de
dados, desorganizados e, por vezes, de difícil compreensão. Nesse sentido, necessitamos
propor frequentemente a formulação de problemas para que nossos alunos consigam
avançar elaborando cada vez mais, problemas de melhor qualidade e coerentes.
E busca de critérios utilizados para medir o nível de criatividade dos problemas
formulados, temos o Teste Torrance do Pensamento Criativo (TTCT) (TORRANCE,
1966, 1974) e que têm sido frequentemente utilizado para avaliar o pensamento criativo
nesse processo. São apontados três componentes para análise: fluência, flexibilidade e
originalidade. O primeiro refere-se ao número de problemas gerados em consonância
com a tarefa; o segundo, corresponde a número de diferentes tipos de problemas
apresentados pelos alunos e, o terceiro a quantidade de problemas que únicos ou raros.
Diante dessas explanações teórico-metodológicas, formulamos nossa concepção
e entendimento para o que é Formulação de Problemas. Entendemos ser uma prática
dentro da abordagem metodológica de Resolução de Problemas que oportuniza os
alunos a (re)formularem problemas a partir de determinadas condições pré-
determinadas ou problemas dados. Tal prática envolver autenticidade, criatividade,
motivação intrínsecas ou extrínsecas, significados, contextos (reais ou imaginários) e
conceitos matemáticos. Nesse processo, espera-se desenvolver no aluno o pensamento
crítico-reflexivo, o raciocínio, a capacidade de comunicar ideias, de estabelecer
relações e significados, de observação e argumentação e de reflexão sobre suas ações e
seus processos de pensamento. Por fim, formular e resolver estão estreitamente
interligadas uma vez que um dos sentidos de se formular um problema é buscar a sua
resolução. Abaixo, apresentamos um esquema que representa o exposto pelo parágrafo
acima.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
104
Figura 1: Esquema sobre Formulação de Problemas
Fonte - Os autores
Cremos ser necessário definir alguns conceitos inerentes ao esquema visto que
podem acarretar diferentes interpretações. Assim, definimos:
Criatividade: a capacidade de produzir diferentes ideias na relação
condição-contexto ou a partir da reformulação de uma situação
apresentada;
Significados: diz respeito ao estabelecimento de relações entre conceitos
matemáticos e as situações propostas no problema. Caso um educando
seja convidado a formular um problema que envolva a operação
matemática 3 x 2 e ao apresentar uma situaçao que envolve “possuir 3
camisas e 2 calças, quantas maneiras uma pessoa pode se vestir”,
mostrará uma compreensão de multiplicação como combinatória;
Autenticidade: trata-se de interesses intrínsecos. Temos assim, um
conceito de autenticidade direcionado a construção de problemas únicos
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
105
os quais diferem-se dos demais e que apresentam aspectos relacionais
unicamente pessoais;
Motivação Intrínseca ou Extrínseca: Quanto a motivação intrínseca,
trata-se de sentimentos e emoções singulares de cada indivíduo, como
por exemplo, gostar de matemática. Já a motivação extrínseca diz
respeito a uma ação externa que contribui para que o aluno se motive
intrinsecamente no processo de formulação, como por exemplo, o
professor explicar que formular problemas é interessante e divertido;
Contextos (reais ou imaginários): nos referimos a situações cotidianas
vividas (contexto real) ou não (contexto fictício) pelos educandos.
3. Considerações Finais
Com relação aos aspectos teóricos, pode-se concluir que a Formulação de
Problemas pode ser proposta nas aulas de matemática contribuindo no desenvolvimento
de capacidades tão importantes na aprendizagem. Destacamos, ainda, que é uma prática
que se encontra no interior da metodologia de Resolução de Problemas, portanto,
formular problemas é tão quanto necessário que resolver problemas. Por meio desse
prática é possível despertar a criatividade, a comunicação de ideias, o pensamento
crítico-reflexivo a partir do processo de estabelecer relações entre matemática e
situações-problemas, além de possibilitar que os educandos aprendam matemática de
forma divertida, interessante e desafiadora.
Na esfera das ações metodológicas, pode ser proposta a partir de diferentes
situações, desde a proposição de problemas para serem reformulados respeitando
determinadas condições, ou por meio de palavras, figuras, operação matemática,
pergunta, tema ou uma série de condições sequencialmente estabelecidas.
4. Referências
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
106
Parâmetros curriculares nacionais: primeiro e segundo ciclos do Ensino Fundamental.
Brasília, DF, 1997.
BROWN, S. I.; WALTER, M. I. The art of problem posing. – Hillsdale, NJ: Lawrence
Erlbaum Associates. 1983.
BOAVIDA, A. M. R. et al. A Experiência Matemática no Ensino Básico. Programa
de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino
Básico. Lisboa, 2008.
CHICA, C. H. Por que formular problemas? In: SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. (Org.)
Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. 1.
ed. reimp. São Paulo: Artmed, 2001. p. 87-97
DINIZ, M. I. Resolução de Problemas e Comunicação. In: SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.
(Org.) Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender
matemática. 1. ed. reimp. São Paulo: Artmed, 2001. p. 87-97.
DANTE, L. R. Formulação e resolução de problemas de matemática: teoria e
prática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2009.
D’AMORE, B. Il problema di matematica nella pratica didattica. 1. ed. Modena:
Digital Docet, 2014.
ENGLISH, L. Children’s problem posing within formal and informal context. Journal
for Research in Mathematics Education, 29 (1), 1998, p. 83–107.
ENGLISH, L. D. The development of fifth-grade children’s problem-posing abilities.
Educational Studies in Mathematics, 34, 1997, p. 183-217.
KILPATRICK, J. Problem formulating: where do good problems come from? In A. H.
Schoenfeld (Ed.): Cognitive science and mathematics education (pp. 123–147).
Hillsdale, NJ: Erlbaum. 1987.
MEDEIROS, K. M. de; SANTIAGO, M. S. Formulação e resolução de problemas
matemáticos na sala de aula: explicitando o intertexto. Atas do XXIV Seminário de
Investigação em Educação Matemática (XXIV SIEM). Braga: APM & CIEd da
Universidade de Minho. 2013.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
107
NCTM. An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics in the
1980’s. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1980.
NCTM. Professional Standards: for School Mathematics. Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics, 1991.
NCTM. Assessment Standards for School Mathematics. Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics, 1995.
NCTM. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics, 2000.
ONUCHIC, L. de la R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em Resolução de Problemas:
caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011.
PINHEIRO, S.; VALE, I. A criatividade na resolução e formulação de problemas:
uma experiência didática numa turma do 5º ano de escolaridade. 09/09/2013. 199 f.
Dissertação de Mestrado em Educação) – Instituto Politécnico de Viana do Castelo,
Viana do Castelo - PT, 2013.
POZO, J. I. (Org). A solução de problemas. Porto Alegre: ArtMed, 1998.
SILVER, E. A. On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematical.
14 (1), 1994, p. 19-28.
SILVER, E. Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem
solving and problem posing. ZDM, (3). 1997, p. 75-80.
SILVER, E. A. et al. Posing mathematical problems: an exploratory study.
Journal for Research in Mathematics Education. 27 (3), 1996, p. 293–309
SILVER, E. A; CAI, J. An analysis of arithmetic problem posing by middle
school students. Journal for Research in Mathematics Education, 27 (5), 1996, p.
521-539.
SILVER, E. A; CAI, J. Assessing students’ mathematical problem posing. Teaching
Children Mathematics, 12 (3), 2005, p. 129-135.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
108
SILVER, E. A; MAMONA, J. Problem posing by middle school teachers. In: C. A.
Maher, G. A. Goldin & R. B. Davis (Eds). Proceedings of the Eleventh Annual
Meeting of the North American Chapter of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education. New Brunswick, NJ: Rutgers University.
1989. p. 263-269.
TORRANCE, E. P. The Torrance tests of creative thinking: Technical-norms
manual. – Princeton, NJ: Personnel Press. 1966.
TORRANCE, E. P. The Torrance tests of creative thinking: Technical-norms
manual. Bensenville, IL: Scholastic-Testing Services. 1974.
VILA, A.; CALLEJO, M. L. Matemática para aprender a pensar: o papel das
crenças na resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 2006.
VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de
professores e aplicação em sala de aula. Tradução de Paulo Henrique Colonese. 6. ed.
Porto Alegre: Artmed, 2009.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
109
A INSERÇÃO DE TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS NAS AULAS DE
MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA DIDÁTICA A PARTIR DO SOFTWARE
SCRATCH
ALTOÉ, Renan Oliveira
Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Vitória – ES
GAIGHER, Vanessa Ribeiro
Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Vitória – ES
JORDANE, Alex
Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Vitória – ES
Resumo:
Este artigo apresenta uma sequência didática idealizada na disciplina de Tecnologias
Educacionais em Educação Matemática, ofertada no Programa de Pós-graduação em
Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes),
Campus Vitória – ES. Com ela intencionamos a utilização do software Scratch na
criação de cenários virtuais animados, com intuito de identificar que conhecimentos de
matemática podem ser despertados/construídos durante essa prática. Para melhor situar
o leitor, discorremos, brevemente, a respeito de Tecnologias na Educação e sobre o
Scratch. As atividades foram aplicadas com alunos-professores da Segunda Licenciatura
em Matemática, do Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica
(PARFOR) do Ifes, Campus Cachoeiro de Itapemirim - ES. Concluímos que a
sequência didática trouxe contribuições importantes à prática educativa e que o trabalho
com o Scratch pode tornar as aulas de matemática mais divertidas, investigativas e
proporcionar resgatar/construir conceitos de matemática, em especial os de Geometria.
Palavras-chave: ensino de matemática; geometria; Scratch; tecnologias.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
110
1. Introdução
A popularização das tecnologias contribui para que a sociedade se torne cada
vez mais informatizada. Segundo Borba, Silva e Gadanidis (2015), o desenvolvimento
acelerado das inovações tecnológicas é uma das características marcantes da nossa
sociedade atual. Nesse escopo, as informações são processadas e acessadas de forma
cada vez mais ágil e ao alcance rápido da maior parte da população. Nossos alunos,
inseridos em meio a essa sociedade, desde crianças são frutos de uma geração que busca
e necessita da tecnologia. Com isso, a escola deve acompanhar essas transformações e
inserirem efetivamente em sua estrutura curricular o uso significativo das tecnologias
afim de promover um ensino mais atrativo para os discentes.
Com a evolução tecnológica, surgiram diferentes e interessantes ferramentas que
possibilitaram transformar nossas práticas pedagógicas e, por consequência, os olhares
para a didática da matemática. Borba, Silva e Gadanidis (2015), em seus estudos,
apresentam 4 (quatro) fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, a qual
primeira teve início, segundo eles, no ano de 1985 com o surgimento do software
LOGO4. Apesar de considerarem esse ano como marco do início da primeira fase, os
mesmos retratam que em 1980 já se discutia, em educação matemática, o uso de
calculadoras simples e científicas e de computadores (BORBA; SILVA; GADANIDIS,
2015).
Mais recentemente, em 2007, foi criado pelo grupo MIT Media Lab denominado
Lifelong Kindergarten Group o Scratch que é um ambiente virtual desenvolvido para
introduzir de forma fácil e rápida, a linguagem de programação, para indivíduos que não
possuíam experiência sobre o assunto (Mélo et al, 2011). O Scratch tem
4 LOGO é um software criado, inicialmente, para fins de programação. Na ótica do seu uso pedagógico,
tem por base o construcionismo (Papert, 1985) e possibilita relacionar linguagem de programação e
pensamento matemático. Uma das primeiras atividades mais conhecidas para investigação matemática é a
construção de um quadrado. Para maiores detalhes sobre o LOGO, ver Borba, Silva e Gadanidis (2015).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
111
funcionalidades bem próximas ao do LOGO, contudo, aos olhos de quem o utiliza,
parece ser uma ferramenta mais acessível e de fácil manuseio.
Com vista a difusão das potencialidades que o Scratch pode proporcionar ao
ensino de matemática, este artigo apresenta uma sequência didática idealizada na
disciplina de Tecnologias Educacionais em Educação Matemática, ofertada no
Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática do Ifes, Campus
Vitória – ES. Com ela intencionamos a utilização do software Scratch na criação de
cenários virtuais animados, com intuito de identificar que conhecimentos de matemática
podem ser despertados/construídos durante essa prática. A sequência foi aplicada com
alunos-professores da Segunda Licenciatura em Matemática do PARFOR, do IFES,
Campus Cachoeiro de Itapemirim – ES, cuja escolha pautou-se na facilidade de acesso
por terem sido alunos do primeiro autor deste artigo no período da aplicação.
Não direcionamos este estudo para a Formação de Professores para o uso de
tecnologias nas aulas de matemática e, portanto, não discutiremos teoricamente sobre
Formação de Professores. Contudo, por se tratarem de alunos-professores, esperamos
que essa experiência possa produzir reflexões a respeito do uso do Scratch nas aulas de
matemática, trazendo benefícios para a formação dos participantes.
2. Tecnologias na sala de aula: um caminho promissor
A presença das TIC é fundamental quando se pensa em promover o direito de
acesso às inovações tecnológicas, a começar dentro da escola. Por essa e outras razões,
“o acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas
e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual
inclua, no mínimo, uma “alfabetizaçao tecnológica”” (BORBA; PENTEADO, 2012, p.
17). Logo, o que se espera é um envolvimento dos alunos com as tecnologias para que
aprendam que as inovações tecnológicas estão a favor da sociedade, beneficiando a vida
e as práticas sociais nela vivenciadas. A informática passa, portanto, “[...] a ser parte da
resposta a questões ligadas à cidadania” (BORBA; PENTEADO, 2012, p. 17).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
112
É importante salientar que a presença de tecnologias nas aulas de matemática ou
em quaisquer disciplinas, pode contribuir diretamente no processo de ensino-
aprendizagem. Apesar disso, Rolkouski (2011) afirma que dentro da disciplina de
matemática, que de certa forma possui uma afinidade natural com a informática,
percebe-se que pouco se tem feito em sala de aula para que as TIC tivessem sua
presença. Assim, a informática e a educação matemática não devem ser pensadas de
forma dicotômica, mas como uma transformação da prática educativa (BORBA;
PENTEADO, 2012). Engana-se quem crer que as tecnologias são somente meios para
tornar as aulas divertidas, dinâmicas ou interessantes. Utilizar a tecnologia informática
no ensino é um caminho que possibilita à compreensão de que ciência a ser estudada, ao
mesmo tempo que contribuiu/contribui na evolução tecnológica, pode ser estudada a
partir do fruto gerado por ela. Ou seja, a matemática, por exemplo, tem sua importância
na evolução do computador e este, por sua vez, contribui no estudo da própria ciência.
Em sala de aula, as tecnologias podem contribuir no processo de ensino aprendizagem.
Além disso, “[...] o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como
aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver
noções espaciais, etc.” (BORBA; PENTEADO, 2012, p. 17).
A afirmativa de Borba e Penteado (2012), sobre a inserção do computador na
sala de aula, é um tanto quanto interessante e ao mesmo tempo, indagável. Com outros
olhares, Rolkouski (2011, p. 18) diz que
Um dos argumentos mais comuns é acreditar que com a utilização do
computador o aluno se sentirá mais motivado para frequentar as aulas. É
possível que isso aconteça inicialmente, no entanto, passadas algumas
semanas, o computador, assim como qualquer outra novidade (recortes,
dobraduras etc.), será algo que pertencerá à rotina da escola e, dependendo do
uso que se faça, passará a pertencer ao quadro dos elementos desmotivadores
da escola (ROLKOUSKI, 2011, p. 18).
Com olhar crítico a respeito das implicações do uso de tecnologias na formação
sociocultural dos alunos, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental
(PCN), de 1997, pontuam que “é indiscutível a necessidade crescente do uso de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
113
computadores pelos alunos como instrumento de aprendizagem escolar, para que
possam estar atualizados em relação às novas tecnologias da informação e se
instrumentalizarem para as demandas sociais presentes e futuras” (BRASIL, 1997, p.
67). Vemos uma preocupação para além dos propósitos básicos da educação (ensinar e
aprender conteúdos privilegiados das ciências) que é formar indivíduos capazes de se
integrarem socialmente perante a evolução tecnológica, ou seja, aprender a conviver
com as tecnologias.
É indiscutível o quanto as tecnologias podem beneficiar o ambiente escolar. Não
precisamos romper com tudo, mas implementar mudanças e supervisioná-las com
equilíbrio e maturidade”. Assim, cada professor pode e deveria refletir suas incertezas e
acreditar que o novo, que causa medo, pode tornar-se engenhoso aos olhos de quem
julga que mudanças são possíveis e podem trazer experiências encantadoras.
3. Conhecendo o Scratch
Desenvolvido em 2007, pelo grupo MIT Media Lab denominado Lifelong
Kindergarten Group, o Scratch é um ambiente virtual direcionado para introdução de
forma fácil e rápida da linguagem de programação para indivíduos que não possuíam
experiência sobre o assunto (MÉLO et al, 2011). É um software constituído de um
ambiente em que é possível utilizar a linguagem de programação visual, permitindo
utilizar mídias como músicas e imagens para criar jogos, animações e cenários
interativos. Além disso, objetiva também facilitar a introdução de conceitos de
matemática e de computação, promovendo o pensamento criativo, o raciocínio
sistemático e o trabalho colaborativo.
Ao criar um projeto no Scratch, o usuário conta com um quadro e diversos
objetos. Esse quadro é o ambiente no qual é possível criar os cenários e animações. Ao
escolher os objetos que participarão do projeto idealizado, é possível associar a eles
recursos como sons, imagens e variáveis que podem ser controladas utilizando
comandos de programaçao, disponibilizados em blocos que precisam ser “arrastados” e
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
114
deixados no campo de comando. Os diversos blocos podem ser encaixados e
combinados de maneira que possibilite os objetos executarem as funções e objetivos
almejados pelo usuário. O diferencial do Scratch é que os encaixes dos blocos de
comando orientam o uso corretos dos mesmos, facilitando a utilização para usuários
sem muito conhecimento sobre a linguagem de programação. Abaixo, apresentamos a
interface do Scratch, retirado da própria página de acesso.
4. A proposta didática e sua aplicação
O propósito desta seção é apresentar uma sequência didática que utiliza o
software Scratch na criação de cenários virtuais animados, com intuito de identificar
que conhecimentos de matemática podem ser despertados/construídos durante essa
prática. Aplicada com alunos da Segunda Licenciatura em Matemática, do PARFOR, do
Ifes, Campus Cachoeiro de Itapemirim - ES, constou de 3 (três) aulas distintas, mas
interligadas entre si. Os instrumentos de coleta de dados foram questionários,
observações e registros fotográficos. Nas próximas linhas, descrevemos em inteiro teor,
a sequência proposta. Cada aula teve duração de 50min, o qual tempo julgamos
suficiente para a execução.
1ª AULA:
Esta primeira aula consiste na apresentação do software Scratch
(https://scratch.mit.edu). Salientamos que pode ser utilizado na modalidade Online ou
Off-line, o que garante, pela segunda, sua utilização nas escolas que não possuem acesso
à internet. Em seguida, cada aluno deverá executar o Scratch e acompanhar a explicação
sobre: a história do software, com base no aporte teórico da seçao “Conhecendo o
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
115
Scratch”; e a interface e funcionalidades5 dos principais comandos e da barra de tarefas
“Scripts, Fantasia e Sons”.
2ª AULA:
Este segundo momento é destinado à criação dos cenários virtuais. Para tanto, é
necessário definir como os alunos se organizarão (individualmente, em duplas, em trios,
etc.) para executarem a construção. Sugerimos, para melhor atender ao objetivo da aula,
que seja realizada individualmente ou em duplas. A escolha do cenário deve pautar-se
no interesse individual ou da dupla e nas imagens disponíveis no Scratch. Nele é
possível encontrar diferentes desenhos que podem ser utilizados na construção das
animações, mas é possível também desenhar o próprio plano de fundo para o cenário.
3ª AULA:
O professor deverá solicitar que os alunos registrem fotos dos seus cenários e
dos comandos utilizados na construção e os socializem durante um mini seminário na
própria escola, que acontecerá na 4ª aula. Peça-os que sintetizem os conhecimentos de
matemática despertados/construídos durante a elaboração dos movimentos.
4ª AULA:
Destinada a divulgação dos cenários construídos, é o momento de discutir e
refletir sobre as criações. As apresentações poderão acontecer por meio de exposição de
cartazes, vídeos ou apresentação oral pelos alunos. Incentive os autores de cada cenário,
durante a apresentação, a indagaram os ouvintes se eles sabem o que de matemática está
por traz de cada movimento. É um momento de discutir as construções, apontar
modificações e visualizar a presença do conhecimento de matemática na criação de
animações, jogos, etc.
5 Asseveramos ser importante um estudo aprofundado sobre o Scratch no que concerne os principais
comandos, acessos e outros recursos. Não é intenção, neste trabalho, descrevermos detalhadamente os
comandos e suas funcionalidades.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
116
5. Resultados e discussão
Por se tratar de uma proposta didática desenvolvida em sala de aula,
apresentaremos, nas próximas linhas, os cenários construídos e a análise dos
questionários respondidos pelos participantes. Vale ressaltar que no término da 4ª aula,
os participantes foram convidados a responder um questionário com 5 (cinco) questões
abertas, as quais sintetizam as discussões das 3ª e 4ª aulas. No total, participaram da
execução 5 (cinco) alunos-professores, os quais foram divididos em duas duplas e um
aluno individualmente. Para manter o sigilo, esses participantes serão identificados com
siglas fictícias, a saber: AA, MP, AM, AL e DM. As respostas aos questionários serão
analisadas, quando possível, à luz dos referenciais teóricos que fundamentaram as
seções anteriores. As falas dos participantes serão destacadas em itálico e mencionadas
entre aspas, seguidas do mês e ano de registro.
Para melhor analisarmos os questionários respondidos, iniciamos apresentando
os cenários construídos. É importante lembrar que 2 (dois) deles foram construídos em
pares, enquanto que um terceiro, individualmente. Cada cenário está associado a seus
autores, conforme suas siglas.
Figura 1. Cenário construído por AL e DM
Fonte. Arquivo dos pesquisadores
Figura 2. Cenários construído por AA e MP
Fonte. Arquivo dos pesquisadores
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
117
Figura 3. Cenário construído por AM
Fonte. Arquivo dos pesquisadores
Dos cenários acima, percebemos um toque de criatividade em suas construções.
Alguns deles, inclusive, elaborados de maneira engenhosa, com mais de um objeto
(desenho) em situações divertidas e naturais. Vemos na Figura 1, a preocupação dos
autores em associar a vida do elefante em um ambiente similar ao seu habitat natural.
Da mesma forma, o que se apresenta na Figura 2 é uma representação do seu habitat por
meio da idealização da caverna criada por AL e MP. Não diferente, as formigas
escolhidas por AM estão em um ambiente seco e arenoso, ambiente no qual a maioria
desses insetos se fazem presente. São criações, a nosso ver, com olhares preocupados
em associar objeto e ambiente. Essa análise inicial é visível aos olhos e não é necessário
muita inferência para se chegar a essa conclusão.
Essas considerações iniciais foram apresentadas para mostrar que os autores,
para além da bela associação entre objetivo e ambiente, também se empenharam na
construção dos cenários colocando em jogo autenticidade e dedicação. Quando
indagados se conheciam o Scratch, todos responderam que nunca ouviram falar e,
portanto, não o conheciam.
Apesar de não terem conhecimento sobre o software, os participantes
apresentaram, por meio de suas construções, desempenho razoável diante do manuseio.
Na primeira aula, destinada a conhecer o Scratch e algumas de suas ferramentas, foram
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
118
discutidas outras ferramentas também importantes na criação dos cenários, mas
entendemos que a ausência da prática com o software pode também ter influenciado na
escolha dos ambientes e na criaçao dos movimentos. Assim, “foi um cenário criado na
própria aula “Floresta com Morcegos”, porque achamos o morcego na pasta e
criamos um cenário para ele” (AA; MP, junho/2016). Já para AM, “escolhi a natureza
e movimentos de ir e vir porque não tinha domínio do software” (Junho/2016). É
interessante notar que a elaboração partiu da escolha do objeto para depois se pensar em
qual cenário ele poderia melhor se encaixar. Apesar dessa ótica ser apresentada pela
dupla AA e MP, das nossas observações percebemos que os outros participantes
seguiam a mesma ideia.
Vimos que AM escolheu um cenário com movimentos de ir e vir por acreditar
não possuir domínio suficiente com o Scratch. Contudo, ao analisarmos sua construção
e comparação com os demais colegas, percebemos uma estrutura de movimentos mais
complexas que dos demais. A animação contou com a utilização de comandos de
“movimento”, “controle” e “aparência”. Entendemos que foram simples e possíveis
pelos outros criadores, mas a junção e conexão entre esses comandos reflete uma
organização mais complexa e que requer maior análise sobre o que se está em busca de
alcançar. Os demais cenários também apresentaram comandos interessantes, mas se
resumiam a utilização de passos. Vale comentar a Figura 3, na qual a dupla utiliza
“aponte para...” como um comando necessários e indispensável para que os morcegos
façam movimentos direcionados. Isso nos diz que a animação do cenário não acontece
sozinha, dependendo, portanto, da ação do sujeito que a visualiza. Outro ponto
interessante é que o autor identificou que para dar sentido ao voo do morcego e, para
que todos não estivessem sobrepostos, era necessário diferenciar o temporizador de
“movimento” e de “controle”.
Das observações em sala de aula, percebemos a satisfação dos alunos-
professores em participaram dessa experiência que, por sinal, trouxe relevantes
contribuições, seja para a própria formação enquanto professores que em conhecer, pela
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
119
primeira vez, um software que pode contribuir no ensino de matemática. Entretanto,
vivenciaram experiências positivas, negativas e algumas das potencialidades do Scratch
nas aulas de matemática. É possível reforçar essa afirmativa, no posicionamento de AL
e DM quando relatam que a experiência foi “gratificante e as dificuldades foram em
encontrar os comandos necessários para a montagem do cenário” (Junho/2016). Ainda
na esfera das dificuldades, temos AL e MP denotando que acharam “difícil, devido a
inexperiência com o programa, no entanto, o mesmo apresenta recursos que com
domínio de suas potencialidades podem proporcionar uma tarefa divertida”
(Junho/2016).
Nas falas apresentadas acima, há indícios de que as dificuldades encontradas no
manuseio do Scratch podem ser superadas a medida em que se identifica
potencialidades na sua utilização. Nessa ótica, evocamos as declarações do participante
AM o qual nos relata um pouco da sua experiência diante da prática vivenciada. Assim,
diz que foi
“Prazerosa, porém tive muitas dificuldades por não conhecer as ferramentas
do programa. Quanto à facilidade, ajuda bastante o fato do aplicativo ser
numa versão português e pelo fato do programa permitir muitas
possibilidades que vão da escolha do tema à diferentes movimentos. Pode
contribuir na aprendizagem de conteúdos matemáticos e raciocínio lógico”
(AM, junho/2016).
Diante do exposto, o participante AM já começa a identificar e expor,
claramente, que o Scratch pode contribuir na aprendizagem de matemática, destacando
também a possibilidade de desenvolver o raciocínio lógico.
Por falar em conhecimentos de matemática, nos direcionamos por sua vez a
verificar que conhecimentos de puderam ser despertados/construídos durante essa
prática. Para AA e MP, foi possível vivenciar conteúdos como: ângulos de figuras
geométricas, polígonos, comprimento de segmentos, dimensionalidade de tempo e
espaço, vetores, dentre outros. Para esses autores, o comprimento dos seguimentos está
relacionado à movimentação de passos e a dimensionalidade de tempo e espaço são
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
120
importantes para gerar os movimentos. Além disso, relata que com o Scratch
“aprendemos a produzir formas geométricas, ou seja, trabalhar com a Geometria e
Geometria na inclusão digital” (AA; MP, junho/2016).
Não distante, AL e DM também ressaltam os mesmos conhecimentos de
matemática apresentados por AA e MP, mas acrescentam que é possível trabalhar
medidas no espaço e outros elementos de Geometria. Similarmente, AM pontua a
existência do trabalho com espaços planos, cálculo de ângulos, medidas de
comprimento e geometria.
Em suma, percebemos que a Geometria é o conteúdo de matemática que mais se
visualiza no trabalho com construção de cenários animados no Scratch. Evidemente,
estamos certos que as potencialidades desse software também estão relacionadas ao
trabalho com medidas de figuras espaciais, como área e volume e, para além do estudo
de Geometria, é possível desenvolver o trabalho com sistemas lineares.
Diante dessa experiência gratificante e interessante, os participantes relataram
que pretendem utilizar o Scratch em suas aulas de matemática. Como discorrido
anteriormente, não era nosso intuito direcionar essa experiência para a formação de
professores de matemática para as tecnologias, mas por se tratarem de alunos-
professores, estamos esperando produzir algo no tocante da formação e da prática
pedagógica. De fato, cremos ter conseguido, uma vez que vemos nas falas dos
participantes sua satisfação diante da prática desenvolvida.
“Irei utilizar o software nas minhas aulas, pois o achei interessante e é
sempre bom aprender ou reforçar conteúdos de forma lúcida. O programa
ajudou a reforçar conceitos antes explicados e que com a utilização do
software, ficaram mais claros. Foi mais fácil para visualizar. Eu trabalharia
com o programa, pois assim como foi prazeroso para mim essa aula e rica
de conhecimentos, acredito que assim também seria para meus alunos” (AM,
junho/2016).
Nesse direcionamento, AL e DM afirmam que a experiência desenvolvida lhes
deu segurança em propor a utilização do software nas suas aulas, pois aprenderam a
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
121
manuseá-lo e com ele, os alunos poderiam aprender matemática com a utilização dos
comandos, enquanto que para AA e MP, a aula foi excelente uma vez que os deixou à
vontade para aprender mais e incentivar a pensar em outros cenários. Assim, afirmaram
que utilizariam o Scratch nas suas aulas de matemática.
É interessante notar que, apesar das dificuldades no desenvolvimento da
atividade, os professores sentiram provocados em sua própria maneira de pensar, ou
seja, de imaginar cenários, criar movimentos, testar argumentos, hipóteses e demais
conhecimentos. Assim, cremos como Moran (2004, p. 349) que “a escola pode ser um
espaço de inovação, de experimentação saudável de novos caminhos. Não precisamos
romper com tudo, mas implementar mudanças e supervisioná-las com equilíbrio e
maturidade”. Para além do objetivo previsto do estudo, esperamos provocar mudanças
na prática pedagógica dos envolvidos, frente a experiência compartilhada. Assim,
aproveitamos para ressaltar a importância de sensibilizarmos e capacitar os professores
para que possam agir de maneira inovadora, tomando maiores iniciativas, possibilitando
explorar novos meios, técnicas e tecnologias em busca de aprimorar sua atuação
didática (MORAN, 2004). Portanto, compreendemos que o professor deve se apropriar
das tecnologias e utilizá-las no processo de ensino-aprendizagem tornando os estudantes
críticos e agentes centrais na construção do próprio conhecimento.
6. Considerações Finais
O início desta conclusão, ao nosso ver, inicia-se na ótica dos cenários
construídos. Nesse sentido, não podemos deixar de mencionar a presença da
criatividade nas produções e preocupação, mesmo de forma indireta, em associar os
objetos escolhidos ao ambienta natural a qual pertencem. Essa relação foi possível por
meio da dedicação dos participantes, que aceitaram e abraçaram a atividade como um
espaço de discussão e aprendizado.
Das observações e dos dados dos questionários foi possível inferir que a
experiência de criar cenários virtuais animados configurou-se uma prática muito
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
122
interessante, na qual os alunos-professores puderam perceber a presença de conteúdos
de matemática. Nesse sentido, apontaram que o Scratch é um software que pode
potencializar o ensino e a aprendizagem da matemática. Mesmo não ter sido objetivo
central tratar da formação de professores para o uso das tecnologias, os participantes
relataram, por meio de suas falas, a satisfação em conhecer o Scratch e apontaram que
farão uso em suas aulas de matemática. Vemos, portanto, gerar frutos na esfera da
formação docente.
A fim de identificar que conhecimentos de matemática puderam ser
despertados/construídos durante a elaboração dos cenários, pudemos perceber que a
Geometria foi a mais citada pelos participantes. No entanto, vale ressaltar que alguns
tópicos desse ramo da matemática não estavam presentes na criação dos cenários, mas
não foi possível perceber que os alunos-professores enxergavam a potencialidade do
Scratch para trabalhar outros conhecimentos. Apesar disso, apontamos que as
dificuldades na realização da atividade centram-se, prioritariamente, a falta de domínio
com o software mesmo diante da explanação e momentos iniciais da 1ª aula da
sequência didática.
Diante disso, acreditamos que a sequência didática trouxe contribuições
importantes à prática educativa e que o trabalho com o Scratch pode tornar as aulas de
matemática mais divertidas, investigativas e proporcionar resgatar/construir conceitos
de matemática, em especial os de Geometria.
7. Referências
BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 5. ed.
Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2012. 104 p. - (Coleção Tendências em Educação
Matemática).
BORBA, M. de C.; SILVA, R. S. R. da.; GADANIDIS, G. Fases das tecnologias
digitais em Educação Matemática: sala de aula e internet em movimento. 1. ed. Belo
Horizonte: Autêntica Editora. 2015. - (Coleção Tendências em Educação Matemática).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
123
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
introdução aos parâmetros curriculares nacionais / Secretaria de Educação Fundamental.
– Brasília: MEC/SEF, 1997. 126p.
LIFELONG KINDERGARTEN GROUP. Reference Guide Scratch. MIT Media Lab,
2011. Disponível em:<http://info.scratch.mit.edu/Support/>. Acesso em 20 mai. 2016.
MÉLO, F. E. N, et al. Do Scratch ao arduíno: Uma proposta para o ensino introdutório
de programação para cursos superiores de tecnologia. In: XXXIX Congresso
Brasileiro de Educação em Engenharia. 2012. Disponível em
:<http://www3.fsa.br/LocalUser/cobenge2011/sessoestec/art1886.pdf>. Acesso em: 26
jun. 2016.
MORAN, J. M. A contribuição das tecnologias para uma educação inovadora. In:
Contrapontos - volume 4 - n. 2 - p. 347-356 - Itajaí, maio/ago. 2004.
PAPERT, S. M. Logo: Computadores e Educação. São Paulo, Editora, Brasiliense,
1985.
ROLKOUSKI, E. Tecnologias no ensino de matemática. Curitiba: Ibepex, 2011. -
(Série Matemática em Sala de Aula).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
124
A EDUCAÇÃO ESCOLAR MATEMÁTICA NA/DA SOCIEDADE
CONTEMPORÂNEA
SOUZA, Gabriele Ribeiro de
Secretaria Municipal de Educação de Cachoeiro de Itapemirim
CANSI, Weberson
Centro Universitário São Camilo – Espírito Santo
PACHECO, Polyana Fim
Secretaria Municipal de Educação de Cachoeiro de Itapemirim
TEMPORIM, Patrícia Gama
Centro Universitário São Camilo – Espírito Santo
Resumo:
Este artigo traz reflexões sobre a educação matemática e a instituição escolar na
contemporaneidade. Considerando referenciais teóricos com intenção de refletir acerca
dos apontamentos pertinentes sobre a função da escola e formação de professores, suas
contribuições com a sociedade e as possíveis limitações e potencialidades no ensino de
Matemática para os alunos do Ensino Fundamental I. Baseadas em fundamentações de
uma educação libertadora de Isabel Alarcão e Paulo Freire, foram realizadas
ponderações sobre a importância do ato de planejar e o fazer pedagógico em
matemática, suas intencionalidades e objetivos, possíveis caminhos nesse processo para
que a aprendizagem da Matemática se torne mais atraente e interessante.
Palavras-chave: Formação de professores; Matemática; Sociedade; Escola.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
125
1. Introdução
Muitas inquietações devem permear as ações dos sujeitos que compõem a
comunidade escolar, Isabel Alarcao no livro “Escola Reflexiva e Nova Racionalidade”
(2001), é categórica ao afirmar que a escola precisa em caráter de urgência sofrer
mudanças drásticas em toda sua organização, em função da atual realidade que a
sociedade está vivenciando. Nossa sociedade, na lógica ocidental, vive momentos de
avanços científicos, onde a tecnologia faz farte de uma organização global e
multifacetária, pesquisas identificam caminhos potenciais para cura de doenças e busca-
se incessantemente por uma qualidade de vida e bem estar. A sociedade mudou e a
escola não consegue se organizar nas novas configurações existentes. Porém na contra
mão destes apontamentos vivemos também um medo constante pela violência social,
um expressivo e incontrolável aumento do consumo de drogas, uma exclusão dos
sujeitos em estado de vulnerabilidade social e complexabilidade ideológicas e
discriminações de gênero e racial.
A violência manifestada no conjunto da vida social alcançou proporções da qual não se
tem controle. Sua banalização em todos os âmbitos sociais, na mídia, na rua, na escola,
na família, indica uma anomia social que imprime um novo paradigma da violência.
(FERREIRA, 2003, p. 45). A violência não se limita a força física, a possibilidade ou
ameaça de utilizá-la já é uma expressão de violência, as ameaças de poder em função,
em relações empregatícias, relações hierárquicas de trabalho, de nível de conhecimento,
cor da pele, da idade, na sociedade brasileira isso tudo é muito presente, atitudes e
expressões discriminatórias. É fato que estamos imersos em uma sociedade onde os
sujeitos são desqualificados enquanto sujeito de direitos, direito à justiça, à dignidade e
ao respeito. E assim como parte da sociedade, a educação não é apenas influenciada
pela violência, mas ela é também produtora de violência, é muitas vezes difícil esse
reconhecimento, por pensarmos a escola como um espaço educativo, mas infelizmente
nesses ambientes as práticas de violência se fazem presentes, pois a escola não é o único
espaço de aprendizagem e vivências de um indivíduo, portanto essa violência pode ser
vivida por eles para além dos muros da escola, e os alunos trazem consigo marcas desta
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
126
violência para dentro da escola.
Nesse sentido, como a escola e os professores no ensino da matemática tem se
posicionado frente às inúmeras práticas de violência? É possível pensar na formação de
professores que contribui para que a escola seja um espaço promotor de solidariedade,
respeito e paz? Quais alternativas e estratégias no ensino da matemática podem ser
pensadas para o trabalho pedagógico com esses alunos? Apesar dos inúmeros problemas
encontrados na escola, a mesma não pode ser invisibilizadas como um lugar onde as
práticas de solidariedade, de diálogo e de reciprocidade estejam presentes. Para um
ensino que traga resultados qualificados na aprendizagem dos alunos, o cotidiano da
educação deve ser um lugar tensionado a paz, é necessário trazer a fraternidade, o
respeito, a justiça, a paz para os relacionamentos humanos vividos entre nós.
2. Metodologia
Este é um artigo de produção coletiva, que partiu de discussões pertinentes sobre
a sociedade contemporânea e a função escola. Buscou-se referencias teóricas sobre a
temática e pesquisas de caráter bibliográfico foram realizadas. Espera-se que a partir
desta produção os autores que atuam como professores e pedagogos na rede municipal
de ensino de Cachoeiro de Itapemirim e ensino superior, estimulem inquietações na
equipe escolar com objetivo de potencializar a qualidade do ensino da matemática no
Ensino Fundamental I.
3. Desenvolvimento
A educação e a sociedade são parceiras de um conjunto de significados em
comum, uma não se faz sem a outra, é uma construção coletiva, sujeito, educação e
sociedade. Não podemos pensar em sociedade sem pensar em educação. Temos que
compreender que a natureza do homem é viver coletivamente. Neste contexto
compreendemos ser de suma importância o ensino da matemática, o aluno perceberá em
suas práticas sociais essa necessidade, quando se deparar com problemas e perguntas
em seu cotidiano. A matemática se define como ciência, sendo assim, deve ser vista
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
127
como um processo em permanente construção tanto para alunos como para os
professores. No âmbito escolar, a educação da matemática é vista como uma linguagem
capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferenças. Na escola a criança deve
envolver-se com atividades matemáticas que a educam nas quais ao utilizá-las ele
construa a aprendizagem de forma significativa, pois o conhecimento matemático se
manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações criadas pelo
homem, entre sociedade e natureza. A construção desse conhecimento pelos alunos
ainda está muito longe porque a prática desenvolvida por muitos professores ainda é
tradicional, esta prática não leva os alunos a construírem uma aprendizagem voltada
para a realidade na qual seus alunos vivenciam. Infelizmente o ensino da Matemática,
em muitas escolas e por muitos professores, ainda está direcionado para atuar como um
instrumento disciplinador e excludente. Uma grande maioria de professores tem como
único objetivo ensinar a Matemática sem se preocuparem em repassar para o aluno um
conhecimento matemático significativo. Isto é, considerar as vivências e sua realidade.
Quando estamos educando para uma sociedade devemos ter claro que os alunos
carregarão consigo suas experiências de vida de dentro e de fora da escola, por isso
nosso compromisso em fazer com que estes alunos entendam a vida social que o cerca e
que ele faz parte deste contexto de forma ativa, dentro desta sociedade ele aprende,
constrói, se refaz, e entende tanto de educação quanto de sociedade, compreende que
vive em um espaço coletivo, de construção coletiva, ao ir para a escola o indivíduo se
insere na sociedade e aprende a viver coletivamente. O que devemos incutir no aluno é
que ele perceba que a sociedade pode influenciá-lo e ele pode se adaptar a esse meio,
porém, o mais importante é fazer com que o aluno questione os padrões já existentes de
sua sociedade, seja crítico, ao mesmo tempo criativo. É necessário ter em mente que a
prática educativa é capaz de alimentar a sociedade assim como a própria sociedade é
capaz de transformar a prática educativa. Uma boa educação, atualmente, deve ser
capaz de oferecer ao aluno condições de analisar o conhecimento pelas mais diversas
formas e estimular sua reflexão e senso crítico de modo que ele seja capaz de formular
sua própria opinião sobre diversos assuntos, para que estes se tornem pensadores e
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
128
formulem novas ideias para a sociedade, este pensamento social e a educação caminham
juntos, um não se faz sem o outro, um alimenta o outro. Neste contexto, entendemos
hoje a tecnologia integrante na sociedade, muitos avanços ocorridos neste sentido pelo
crescimento tecnológico, isso influenciou e influencia diretamente a sociedade e a
educação, uma vez que culturalmente esta tecnologia faz parte do nosso dia a dia se
torna parte da educação também.
A tecnologia e a educação caminham juntas, as crianças e os adolescentes estão
imersos nessa realidade cultural, a escola é responsável por trazer um diferencial a essas
crianças, aceitar essa nova realidade onde crianças e adolescentes carregam o mundo em
suas mãos, e o professor mediante a essas situações o que tem ensinado às crianças? O
papel do professor é ensinar, mediar e interagir professor, aluno e conhecimento, sendo
assim, quais são esses conhecimentos? Professor tem que aprender e se reinventar a
todo instante, descobrir junto com seus alunos formas criativas de utilizar a tecnologia à
favor da aprendizagem, transcendendo assim conhecimentos já sabidos pelas crianças.
Temos que nos superar enquanto professores e principalmente superar as crianças e os
adolescentes, oferecendo conhecimentos novos. Para isso, é necessário e essencial que o
professor planeje suas práticas, de forma flexível, a palavra flexível neste contexto, vem
mostrar a necessidade desse ir e vir das práticas pedagógicas, ao mesmo tempo que
adentramos um assunto, um conteúdo, temos que ouvir os nossos ensinantes, saber de
suas necessidades e interesses, por isso a importância do professor avaliar e rever suas
práticas a todo instante, dando voz aos sujeitos e assim superar práticas engessadas.
Vasconcelos (2002), argumenta que três dimensões básicas que precisam ser
consideradas no planejamento: “a realidade, a finalidade e o plano de açao”. Nao é
possível realizar um processo de ensino aprendizagem sem um planejamento prévio,
porque o planejamento é uma coisa inerente ao ser humano. Quando falamos em
processo de ensino e aprendizagem, estamos falando de algo muito sério, que precisa
ser planejado, com qualidade e intencionalidade.
Planejar é antecipar ações para atingir certos objetivos, que vêm de necessidades
criadas por uma determinada realidade, e, sobretudo, agir de acordo com essas ideias
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
129
antecipadas. Como traz o autor, é utilizar destas três dimensões, a realidade, pois nesta
envolve o contexto no qual o indivíduo vive e quais são os conhecimentos prévios que
ele traz, quando o professor age sem levar em conta essa escuta, ou esse olhar sensível
aos conhecimentos prévios desse indivíduo, ele desconsidera sua cultura e seus
princípios. Portanto a necessidade de se ver a realidade para se ter uma finalidade e
assim concluir seu plano de ação a uma situação. Conceber um aluno numa perspectiva
histórico-cultural significa romper com as formas cristalizadas de trabalho que ainda
perpassam o cotidiano das escolas, não podemos fixar os indivíduos em práticas
rotineiras e repetitivas como se fossem modelos de organização, temos que valorizar o
universo cultural do indivíduo produzido dentro e fora da escola. Como traz o autor
Pino, “A corrente histórico-cultural de psicologia, cuja figura de proa é Lev S.
Vygotsky constitui uma exceção na história do pensamento psicológico, não só porque
introduz a cultura no coraçao da análise, mas, sobretudo porque faz dela a “matéria-
prima” do desenvolvimento humano que, em razao disso, é denominado
“desenvolvimento cultural” o qual é concebido como um processo de transformaçao de
um ser biológico num ser cultural” (PINO, 2005, p.52) De acordo com essa concepçao,
significa reconhecer o indivíduo como produtor de cultura e de história, um sujeito ativo
nas relações sociais. Realizar um trabalho que leve em conta o sujeito como categoria
social com formas peculiares de agir e interagir no mundo é nos tornar capazes de
ampliar as experiências culturais dos sujeitos sem desqualificá-los como sujeitos
culturais no espaço escolar. Essa prática requer que o agir pedagógico não seja algo
instituído ao indivíduo, mas construído a partir do indivíduo e com o indivíduo.
Sabemos que os indivíduos ensinantes são diferentes, possuem culturas diferentes, a
escola deve estar preparada para trabalhar com estas pessoas, de forma que não
desconsidere suas particularidades, e leve situações de aprendizagem interessantes,
novas e instigantes. É necessário ultrapassar ações pontuais, práticas rotineiras e
repetitivas, desfazer a ideia do caráter fragmentário do conhecimento, as experiências
vividas pelos sujeitos não podem se sobrepor à capacidade inventiva e criativa dos
mesmos, caso contrário dessa ideia estaríamos reforçando o sentido da educação apenas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
130
como um espaço formador de hábitos e de atitudes.
ALARCÃO (2001), afirma que a sociedade vive uma “convulsao social”, onde
pelo contexto da globalização impera a lógica neoliberal, com ofertas explicitamente
mercadológicas, objetivos pragmáticos e descontinuidades de ações educacionais em
função da efemeridade do momento político ou econômico. E diante de todas essas
complexibilidades a escola “nao convence nem atrai” ALARCAO (2001), distanciando
os alunos do seu convívio ou trazendo a repulsa ou apatia pelo desejo pela busca do
conhecimento. Podemos dizer assim que a escola é um local onde se concentram várias
culturas, várias tradições, vários contextos e realidades, pensando dessa forma, podemos
afirmar o compromisso da educação em educar para sociedade, sabemos que o
indivíduo aprende em vários contextos, em casa com a família, na escola com aqueles
que interagem, em outros locais que também são permeados por uma cultura própria,
dessa forma então é preciso que a escola ensine o indivíduo a pensar melhor, a dialogar
melhor, a ser mais crítico e mais reflexivo. Quando educamos levamos em consideração
a escuta do outro? Sua realidade, suas vivências? Qual ponto de partida do professor no
que diz respeito a efetivação de seu currículo? É preciso considerar estas questões para
que o sujeito fique imerso nos seus conteúdos aprendidos, mas que estes também por
sua vez esteja de acordo com sua realidade.
A escola deve ser um lugar onde as crianças e adolescentes possam se sentirem
bem, se sentirem como se estivesse em casa, oferecendo um espaço acolhedor, com
estratégias inovadoras e interessantes. O ensino da matemática não deve restringir- se à
uma sala de aula, o professor deve mostrar o sentido e as aplicações da matemática no
cotidiano dos alunos, levando- os para diferentes espaços, para além dos muros da
escola, no sentido físico e intelectual ao passo que o pensar a matemática como
importante para a sociedade possam mensurar sua grandeza e É inadmissível a escola
ter uma concepção de ensino aprendizagem na posição cartesiana e arbórea sem
interações de formas rizomáticas onde todos possam se sentir sujeitos de um fazer pela
produção do conhecimento. Deve-se pensar em uma nova racionalidade na inserção
da/na contemporaneidade de com contexto profissional, pessoal e social. A escola é
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
131
também um lugar de formação e de trabalho, não apenas para os(as) alunos(as) como
também fundamentalmente os próprios professores se formam ao desenvolverem sua
função. Nesse sentido vemos que o professor no ensino da matemática pode considerar
sua formação acadêmica, como inicial para sua vida profissional, mas não estagnar- se
como se não houvesse nada de novo para aprender. Ao estar na sala de aula, pode atrelar
à prática e relacionar ao conhecimento adquirido anteriormente, ampliando com
pesquisa, especializações, formações continuadas para enxergar além de conteúdos
prescritos, considerando todo o contexto social, cultural, conhecimentos prévios dos
alunos e o que podem construir a partir das reflexões do ensino e acrescentar como
mudança no mundo a partir da aprendizagem da matemática.
Pensar na formação do professor na instituição escolar trata-se de sua
autoavaliação a todo instante, se sua prática está incluindo e considerando a pluralidade
dos sujeitos que o cerca refletir se suas ações pedagógicas abarcam conhecimentos para
além de seu conteúdo, se trazem o contexto social, os acontecimentos históricos que o
grupo vive, se lança mão de tecnologia e outros recursos que tornam as aulas criativas,
dinâmicas, se desperta curiosidade e a vontade de saber mais nos alunos, se provoca
questionamentos e discussões, se os envolvem num fazer que dê prazer. A autoavaliação
permite o professor identificar o que ainda precisa ser aprimorado para atingir a todos,
faz perceber o que não provoca interesse aos alunos. Os alunos não são meros
receptores, são produtores de cultura, possuem conhecimentos que interessam seus
pares, trazem contribuições acerca dos temas a eles apresentados na escola e que o
cercam no mundo, a partir de suas vivências sociais, culturais, conhecimentos prévio. O
professor que percebe isso utiliza todo esse acervo a seu favor, numa aula mais atraente,
que envolva o que interessa a turma, que faça com que os sujeitos pensem, discutam,
interajam, queiram participar, jogar, resolver os problemas matemáticos, formular
hipóteses, descobrir o novo, queiram aprender sempre mais. A aprendizagem não pode
ser vista simplesmente como transmissão ou reprodução de conhecimentos, conforme
Rinaldi (1994, p.13): (…) mas configura acima de tudo, como um processo de
construção da razão, dos porquês, dos significados, do sentido das coisas, dos outros, da
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
132
natureza, de realização, da realidade, da vida. É um processo de auto e socioconstrução,
um ato de verdadeira e própria construção.
Aulas em que os estudantes não são vistos como receptores, mas como
produtores são aulas significativas, que trazem uma aprendizagem com elaboração de
sentidos sobre o que aprende/vivenciam. A escola em que a equipe pedagógica trabalha
nessa vertente enxerga infinitas possibilidades de estar diretamente ligada ao aluno,
tendo este como protagonista do fazer totalmente interligado às propostas institucionais,
que passarão a ser propostas deles próprios, a medida que participam das produções,
idealizam, realizam. Um lugar onde possa ser proporcionado a interconexão,
interpessoalidade e interligação entre os sujeitos e aquisição do conhecimento.
Considerando fundamentalmente que práticas sociais é o caminho inicial para planejar
as práticas escolares e currículo deve ser pensado no cotidiano dos educandos e não
somente em listas de conteúdos prescritas de forma estáticas, prescritivas, engessadas,
limitando ações, pensamentos e articulações de professores e alunos(as). Falar de
formação de professor na escola é pensar em utilizar o tempo do planejamento com
qualidade, para estudo, pesquisa e mudança de prática. É se atualizar, compreender o
mundo e os alunos e avançar conforme eles se transformam.
A escola viva deve desnudar-se sempre para se permitir desejar o novo. Pensar
nas crianças e adolescentes que a caracterizam escola e não apenas seguir, mas romper
com o velho e reorientar o curso das coisas. A escola precisa pensar sobre a própria
escola, sua concepção, seus objetivos, sua missão e sua função. Precisa compreender
que de acordo com os novos paradigmas da sociedade a escola precisa também se
incluir na nova racionalidade para nao ficar “às margens” de maneira desconectada no
contexto social, sendo professores e alunos “alienígenas” (ALARCÃO, 2001). Preparar
seus alunos(as) para a plena interação no campo social, estabelecendo relações entre
teorias escolares, vida e sociedade. Desenvolvendo nas práticas pedagógicas ações que
considerem a prevenção no lugar da repressão, diálogos produzindo ações para a
coletividade e solidariedade, distanciando de posturas individualistas, competitivas,
extremistas e sexistas.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
133
A escola é um tempo, um lugar e um contexto como afirma ALARCÃO (2001),
desenvolver discussões sobre cidadania e principalmente viver e oportunizar a cidadania
assim também como a ética e seus princípios pela construção de uma sociedade que
busca a integridade humana e equidade nas oportunidades pela busca do saber.
O professor com seu poder de cátedra é responsável pela eticidade e necessita
pesquisar para desenvolver e aprimorar estratégias, táticas metodológicas no ato de
ensinar. Ter intencionalidade e posicionamento político com e objetivo de levar
criticidade e o espírito de autonomia aos(as) estudantes. Avaliar suas práticas a partir
dos desejos, interesses e curiosidades das crianças e adolescentes. Dentro da
comunidade escolar todos são atores sociais, porém o professor pode ser considerado
um ator em primeiro plano devido à responsabilidade que possui diante aos desafios
frente a produção do conhecimento, um grande entusiasta, um encantador pela arte de
ensinar.
FARIAS (2009), no livro “Didática e Docência: Aprendendo a Profissao”, dedicou um
subcapítulo somente abordando as dificuldades e resistências encontradas pelos(as)
professores(as) no ato de planejar, inclusive compara o planejamento a um muro de
lamentações. Historicamente o ato de planejar, pontualmente na época da ditadura
militar, foi vinculado um ato burocrático formal, onde o professor se vê, até dias atuais,
pressionado pela obrigatoriedade de cumprir protocolo e apresentar formulários para
pedagogos. O percurso entre o registro escrito do plano de aula e a ação da aula pode ter
aproximações, imbricamentos ou distanciamentos consideráveis. Além de fazer parte da
função do licenciado docente, FREIRE (2002), considera imprescindível, fundamental,
necessário e potencial a intecionalidade ética do fazer pedagógico. O professor é
responsável pelo desenvolvimento cognitivo intelectual dos(as) alunos(as) e de forma
multifacetária envolve-se em diversas atribuições dentro do contexto do ato de ensinar.
Na obra clássica de Paulo Freire “A pedagogia do Oprimido” (2002), é
evidenciado reflexões complementares e associadas de ALARCÃO (2001), quando diz
que “nao há docência sem discência”, conduzindo discussões sobre a importância do
compromisso ético, político e pedagógico do professor mediante a formação intelectual
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
134
humana.
No propósito deste pensamento, por uma educação libertadora, distanciandose
dos interesses dominantes de uma sociedade capitalista, Leonardo Boff, aponta
caminhos para buscar a ética na vida humana entre os sujeitos e meio ambiente. A
preocupação por qualidade na educação para as classes populares evidencia a urgência
da contemplação das vivências do cotidiano e dos saberes dos(as) alunos(as). Esteban
(2004, p. 27), aponta que é fundamental: [...] Olhar atentamente para as pequenas
histórias do nosso cotidiano, refletir sobre elas, contá-las aos outros, compartilhar o
espanto e admiração, as dúvidas, certezas e surpresas. Entender essas historinhas, os
acontecimentos simples, os fatos corriqueiros, os erros, como pistas significativas dos
múltiplos processos que atravessam a construção de conhecimentos, indícios que
permitem ver além do imediatamente perceptível, sinais que trazem novas
possibilidades ainda não exploradas; enxergar o cotidiano como espaço / tempo plural
onde ocorrem interações diversas, onde o eu e o outro, ou eu e os muitos outros, com
seus erros e acertos, movidos tanto pelo que ―sabem quanto pelo que ―ainda nao
sabem se encontram simplesmente para dar continuidade à teia da vida.
Contextualizar conteúdos e conceitos a partir do que as crianças já sabem, já
conhecem, isto é, potencializar e ampliar o que já viram e através deste mecanismo a
possibilidade de despertar o interesse nas aulas, em um processo dialógico entre os
sujeitos envolvidos no ensino e na aprendizagem. Em uma ação conjunta e fraterna
entre os sujeitos que compõem a comunidade escolar torna-se essencial ações
pedagógicas que levem as crianças e adolescentes a se preparar para a sociedade
contemporânea, não no sentido da competitividade capitalista, mas na dimensão
humanizadora da resiliência e enfrentar as mazelas do mundo racional e individualista.
Conceber na escola com espaço vivo entre seus alunos, professores e
funcionários pensando em um currículo com ideias de sustentabilidade e cuidado com
as pessoas. Pensar e refletir e ALARCÃO (2001), ainda repreende “nao ficar só
pensando, mas agir também”. Agir porém baseados na racionalidade da sociedade
contemporânea desenvolvendo relações na escola entre os sujeitos através da
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
135
coletividade, diálogos, cooperação, alteridade e socialização. Concretizando ações que
por vezes são extintas nas relações humanas, evidenciando a humanidade como caráter
essencial nas relações das construções sociais. Apresentando-se como um grande
desafio para a escola uma vez que é necessário desnudar-se de uma educação
pedagógica tradicional liberal onde impera a fragmentação dos conteúdos, em posturas
individualistas, exaltando a lógica matemática, pragmática, artificial, cartesiana, onde
estudantes são apenas clientes e não sujeitos de direitos. E romper com este contexto
histórico imposto pela economia neoliberal requer mudanças de concepções sobre e
com a escola. É necessário que sujeitos que integram a comunidade escolar se sintam
responsável por uma nova construção do pensamento social coletivo.
A emoçao precisa permear a vida do professor “...nao é a razao o que nos leva à
açao, mas a emoçao” (MATURANA, 2002, p. 23), mas não uma emoção superficial e
sim pela vontade de ser instrumento de potencialização de pessoas. Ter empatia, ser
gentil, conquistar as crianças e adolescentes, envolvê-los em projetos interdisciplinares,
integradores com sentido para a vida, fazendo-os pertencentes da proposta pedagógica
da escola, como sugere Ferraço (2003), “pensar com eles e nao sobre eles”. Ter os
saberes do cotidiano dos discentes como ferramenta de introdução e desenvolvimento
de práxis pedagógicas é fundamental para integrar os conteúdos trabalhados, torna-as
criativas e interessantes, não somente para os discentes, mas também para os docentes.
4. Considerações finais
Apesar da constatação que a contemporaneidade social não seja muito favorável
devido às ações políticas, pedagógicas e educacionais, precisamos lutar, trabalhar, nos
emocionar e principalmente ser feliz exercendo o papel de ser professor. Como seres
inconclusos, permaneceremos insistentemente buscando saídas, estratégias,
pensamentos, caminhos, trilhas e o que for necessário para lalcançar uma educação
pública e de qualidade. Acreditamos que cada um é responsável eticamente por sua
função na escola. Mas de maneira particular recorremos aos professores em sua
majestosa função de educar ou levar as crianças e jovens uma vontade de educar-se, que
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
136
esses docentes nunca percam a esperança e a vontade de contribuir com a formação
intelectual de muitos estudantes.
5. Referências
ALARCÃO, Isabel (org.). Escola reflexiva e nova racionalidade. Porto Alegre:
Artmed, 2001.
ARENDT, Hannah. A condição humana. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1993.
BARBOSA, Maria Carmem Silveira; HORN, Maria da Graça Souza. Projetos
Pedagógicos na educação infantil. Porto Alegra: Artmed, 2008
ESTEBAN, Maria Teresa. A avaliação no cotidiano escolar. In: ESTEBAN, Maria
Teresa (org.). Avaliação: Um prática em busca de novos sentidos. Rio de Janeiro:
DPet alii, 2004.
OLIVEIRA, I.B. Currículos praticados: entre a regulação e a emancipação. Rio de
Janeiro: DP&A, 2003.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa.
São Paulo: Paz e Terra, 2002. (coleção Leitura)
FERRAÇO, C.E. Eu, caçador de mim. In: GARCIA, R.L. (Org.). Método: pesquisa
com o cotidiano. Rio de Janeiro: DP&A, 2003.
FERREIRA, Fabiulla dos S. F. Os impactos da violência no cotidiano da educação
infantil. 2003. 135f. Dissertação (Mestrado em educação) – Programa de
Pós Graduação em Educação, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2003.
PINO, Angel. As marcas do humano: as origens da constituição cultural da criança
na perspectiva de LEV S. Vigostsky. São Paulo: Cortez, 2005.
VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Planejamento: Projeto de
EnsinoAprendizagem e Projeto Político-Pedagógico – elementos metodológicos
para a elaboração e a realização. 16ª ed. São Paulo: Libertad, 2006 (1995). (Cadernos
Pedagógicos do Libertad; v.1).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
137
CRIANÇAS CONSTRUINDO CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS A
PARTIR DO USO QUE FAZ EM SUAS VIVÊNCIAS
SILVA,Gislene Nara Dias
Centro de ensino Lauro Pinheiro
SAN’ANNA, Cynthia Schaydegger Gonçalves1
Prefeitura Municipal de Cachoeiro de Itapemirim
SILVA, Geisa Nara Dias
Prefeitura Municipal de Cachoeiro de tapemirim
Resumo:
A Matemática é uma ferramenta imprescindível para o desenvolvimento de outras
ciências, assim como para a resolução de problemas no cotidiano, o que requer do
professor ou mediador de atividades matemáticas o desafio de promover um
aprendizado voltado para o desenvolvimento da autonomia e cidadania dos discentes.
Os avanços e pesquisas sobre desenvolvimento e aprendizagem, assim como os novos
conhecimentos a respeito da didática da Matemática traz a luz que, crianças bem
pequenas já constroem seus conhecimentos sobre qualquer área a partir do uso que faz
dele em suas vivências. O objetivo deste estudo é descrever experiências realizadas com
alunos de séries iniciais da rede particular e pública, localizadas no município de
Cachoeiro de Itapemirim, ES, a partir dos estudos realizados por Hans Freudenthal
(1905-1990). As práticas que foram realizadas buscam evidenciar situações de
aprendizagem onde o ponto de vista da Matemática como um sistema fechado mudou
para a matemática como atividade humana, onde os discentes tem a oportunidade de
utilizar seus saberes do dia a dia para resolver situações matemáticas na escola. Dessa
forma utilizam os conteúdos matemáticos em situações informais antes da
aprendizagem formal. Nos momentos de brincadeiras, contação de histórias ou
realizando leitura de mapas geográficos, as crianças apresentavam saberes matemáticos
que foram construídos em suas relações com o meio que viviam. Refletir sobre o
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
138
conceito de matemática como atividade humana nos impulsiona a ter um olhar mais
amplo, não se contendo apenas aos algoritmos, fórmulas e definições implicadas no
currículo matemático mas, permitir que a criança observe, reflita, interprete, levante
hipóteses, procure e encontre explicações ou soluções, fale de suas ideias e sentimentos
e se relacione com os demais indivíduos. Adotar essa postura em sala de aula requer o
abandono na crença tradicional no que diz respeito ao aluno, ou seja, ele precisa deixar
de ser visto como um ser receptivo apenas do saber e ser compreendido como um
agente ativo e interativo no processo de construção do seu conhecimento. A mediação e
intervenção do professor continua sendo importante e necessária para avaliar possíveis
erros conceituais, assim como valorizar os acertos. A mediação é potencializada e
qualificada quando acontece o trabalho em rede do professor pedagogo que atua nas
séries iniciais com o professor de educação matemática especialista, pois criança ativa e
curiosa que é, não aprende matemática repetindo e memorizando, mas construindo,
desconstruindo, enfrentando obstáculos cognitivos e utilizando os conhecimentos que
adquiriu no espaço em que ocupa e que precisam ser valorizados.
Palavras-chave: Crianças; Vivência; Matemática.
1. Introdução
A proposta dessa atividade, surgiu enquanto discutíamos sobre a dificuldade que
alguns alunos têm de compreender conteúdos matemáticos. Reconhecendo que o
excesso de conteúdos focados em atividades repetitivas, maçantes e descontextualizadas
da realidade, são alguns dos motivos que contribuem para a visão deturpada pela qual a
Matemática é vista, descobrimos na proposta de Matemática como atividade humana, a
possibilidade de apresentar aos alunos, a matemática escondida em suas atividades
diárias. Para isso, nos reunimos com uma professora de Matemática especialista, que
atua com crianças do 6º ao 9º ano e buscamos juntos, os conhecimentos matemáticos
presentes nas atividades de rotina, nas brincadeiras, nas histórias e nas rodas de
conversa. Aprofundamos-nos na leitura sobre as ideias do autor pioneiro em defesa de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
139
uma educação matemática como atividade humana e pensamos algumas atividades que
poderíamos explorar. A aplicação dessas atividades, ocorreram em salas de aula de uma
escola particular e outra pública, ambas com crianças de cinco e seis anos de idade.
Cada atividade que a criança realizava lhe era oferecido materiais de apoio para
executar a tarefa pedida, e desta forma, incentivar a curiosidade, a exploração, o
encantamento, a indagação e favorecer seu conhecimento em relação ao mundo físico e
social. Cada descoberta era socializada com o grupo em roda de conversa onde outra
criança tinha a oportunidade de também dar sua contribuição. Nesse momento o
professor fazia suas anotações buscando articular a experiência extraescolar, com os
conhecimentos matemáticos socialmente construídos. Vimos que ao recriar contextos
significativos para as crianças, esquemas mentais são acionados possibilitando-as
resolver situações problemas, desenvolvendo dessa forma a capacidade de realizar a
dedução e também a habilidade para calcular mecanicamente. Esse artigo apresenta
exemplos de como as situações cotidianas, podem ser usadas em sala de aula a fim de
servirem de instrumento para o aprendizado da Alfabetização Matemática.
2. Matemática como atividade humana
Hans Freudenthal (1905-1990), em suas pesquisas, realizadas primeiramente na
Holanda em meados dos anos 90, mudou o ponto de vista da matemática como um
sistema fechado para a perspectiva de matemática como atividade humana, como uma
atividade natural e social cuja evolução acompanha a do indivíduo. Para ele, todos os
alunos devem ter a oportunidade de vivenciar conteúdos matemáticos em situações
informais antes mesmo de aprender formalmente, ou seja, os alunos são orientados a
utilizar procedimentos e estratégias de solução informal para chegar a um lugar ou
resultado. Através de uma sequência de atividade organizada seguida de intervenção
qualificada, a criança transforma suas estratégias intuitivas para a etapa formalizada.
Para Hans Freudenthal, a matemática deverá está conectada com a realidade, nunca
apresentada aos estudantes como um produto pronto e acabado, ela deve estar próxima
dos estudantes, permitindo-os se tornarem participantes ativos do processo, a esse
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
140
estudante deve ser dada a oportunidade de reinventar a matemática por meio do
processo de matematização da realidade. Nessa perspectiva o aluno ao ter contato com
uma situação-problema do mundo real, acaba o explorando intuitivamente, ou seja,
organizando a estrutura do problema, identificando os aspectos matemáticos e
descobrindo regularidades. Pensar matemática como uma atividade humana é não se
limitar ao ensino do algoritmo, das fórmulas e definições impostas por um currículo.
Para D’Ambrósio ( 2009), o professor numa perspectiva realística deve atuar
como professor pesquisador, tornando a pesquisa um elo entre teoria e prática. Essa
pesquisa que instrumentalizará a mediação de forma qualificada diante das dúvidas ou
descobertas dos alunos. Ao ler matematicamente o mundo que os cerca, esses alunos
atingem níveis gradativos e cada vez mais complexos de raciocínio e pensamento
matemático, envolvidos num processo intuitivo e criativo.
Freudenthal e D´Ambrósio são criadores e militantes do movimento
internacional Matemática para Todos, consideram que todos podem aprender
matemática, que todos tem direitos de se apropriarem de conhecimentos matemáticos.
3. Atividades aplicadas seguida de resultados
As atividades propostas foram propícias a matematização e os alunos tiveram
um papel fundamental, eram considerados como protagonistas da aprendizagem e assim
reinventaram ferramentas, procedimentos e conceitos matemáticos. Coube ao professor
o papel de guia, orientador e mediador do processo de aprendizagem, orientando os
alunos na construção de seus conceitos de forma que eles consigam reconstruir o que
aprendeu.
As atividades com a rotina em sala de aula foram muito importantes para
conversas matemáticas. Em posse dos objetos inerentes a cada atividade, aconteciam as
anotações dos professores das falas das crianças e de suas teorizações. No momento do
calendário para reconhecermos o dia e fazermos a marcação, trabalhávamos
automaticamente quantos dias faltam para acabar o mês, como está o tempo e a
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
141
quantidade aluno presente e ausente. Para Kamii (1987), o número é construído por
cada criança à partir de todos os tipos de relações que ela cria entre os objetos.
Foto 1. Acervo pessoal autorizado - Organizando objetos da rotina
Na literatura, a Matemática não vista somente como números, regras, definições,
propriedades e um amontoado de cálculos. Ela possui relação com a história e
acontecimentos narrados que implicam em resolução de um conflito. A História
escolhida pela professora foi Cabritos, Cabritões. Nela Três cabritos querem pastar em
um campo de capim bem verde e apetitoso que fica do outro lado do rio, no fim de uma
ponte. Porém, embaixo da ponte mora um monstro malvado. Os Cabritos param para a
elaboração de um grande plano. Será que os cabritos conseguirão passar pela ponte sem
serem comidos pelo ogro? Nesse momento a professora pediu que através de desenhos
os alunos também elaborassem um plano. Durante a execução dos desenhos vimos o
quanto eles se apropriam de conhecimentos relacionados a distância, força e espaço.
Smole et al (2007) diz que:
Muitos livros trazem a matemática relacionada ao próprio texto,
outros servirão para relacionar a matemática com ouras áreas do
currículo; há aqueles que envolvem determinadas habilidades
matemáticas que se deseja desenvolver e outros, ainda, providenciam
uma motivação para o uso de materiais didáticos. Um livro às vezes
sugere uma variedade de atividades que podem guiar os alunos para
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
142
tópicos matemáticos e habilidades além daquelas mencionadas no
texto. Isto significa que “garimpando” nas entrelinhas podemos propor
problemas utilizando as ideias aí implícitas.
Os blocos lógicos foram trabalhados na sala para que as crianças reconhecessem
as formas geométricas e criassem figuras com as mesmas. Elas observaram através de
um passeio pelas ruas ao redor da escola que tudo tem espaço e forma, tarefas como
observar propicia a criança se relacionar com tudo que está a sua volta.
Foto 2. Acervo pessoal autorizado - Explorando o espaço observando as formas geométricas.
Nos jogos e brincadeiras, as crianças tinham a oportunidade de escolher o grupo
que iria jogar, nessa hora a quantidade de alunos presentes na sala era naturalmente
dividida por eles. Geralmente escolhiam os que consideravam mais espertos, situação
que sempre necessitava da mediação do professor. Foram oferecidas brincadeiras livres
no pátio da escola e jogos de pega varetas e Sudoku. No jogo de pega vareta vimos nos
registros feitos pelas crianças, estratégias que elas utilizam para somar as varetas e
contabilizar os pontos obtidos. Como o valor de cada cor estava exposto no quadro,
algumas crianças iniciaram agrupamentos apresentando noções de multiplicação. No
Sudoku era usado a memória e a inteligência espacial, a maioria das crianças tentavam
copiar amigos que tinham bons resultados e, quando lembravam usavam a mesma
estratégia
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
143
As escolas necessitam cultivar a espontaneidade, diálogo, convivência
em grupo, pois as crianças geralmente não brincam sozinhas, sendo
que o jogo proporciona oportunidades para ela pensar e falar, saber
combinar momentos de brincadeiras livres (lazer) e atividade
orientada. (KISHIMOTO,2008,p.56)
Foto 3. Acervo pessoal autorizado – brincadeiras livres
Foto 4. Acervo pessoal autorizado – jogoscom regras
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
144
Ao cuidar da horta na escola, as crianças se organizavam responsabilizando cada
colega para uma tarefa. Neste momento eles também desfaziam o combinado quando
percebia que tinha muita gente em determinado grupo. Conversavam sobre o tempo do
plantio e o tempo marcado para a colheita, Nesse momento, usavam os dedos da própria
mão e também os dos colegas. Identificavam qual criança pegou mais folha pelo volume
dos sacos plásticos. Em determinado momento contavam as mudas que já apareciam e
faziam estimativa do tempo que já poderiam colher. Freudenthal (1994) apresenta dois
argumentos pedagógicos em favor dessa política da “reinvençao guiada” utilizada pelas
crianças na horta. Primeiro, ele considera que se aprende “mais” e “melhor” como
resultado de sua própria atividade, segundo, ele considera que a descoberta pode ser
divertida e, terceiro, nutre uma atitude de experimentação matemática como uma
atividade humana.
Foto 5: Acervo pessoal autorizado – cuidando da horta
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
145
Foto 6: Acervo pessoal autorizado – cuidando da horta
4. Conclusão
Ao realizarmos as atividades com as crianças vimos potencializada toda sua
força criativa e investigativa. Vimos a importância de um professor pesquisador que,
constantemente faça uso de novas práticas para auxiliar o processo ensino aprendizagem
de seus alunos. Quando a matemática se relaciona com a realidade dos alunos, o
ambiente escolar se torna mais prazeroso e eles interagem de uma forma mais
significativa. Não há limites para explorar Matemáticas em contextos ricos de
significados e as possibilidades de envolver as crianças e desenvolver suas
potencialidades são enormes. Oportunizar a construção/elaboração do conhecimento
matemático, por meio do fazer matemática, a todos os alunos de uma sala de aula,
certamente requer mais do que revisar, explicar, mostrar, exercitar técnicas operatórias.
É necessário pensar o ensino de outra forma, de outro ponto de vista, se faz necessário
reinventar a Matemática
5. Referências
D’ AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da Teoria à Prática. 7.ed.
Campinas. SP: Papirus, 199
FREUDENTHAL, H. Revisiting mathematics education. 2 ed. Netherlands: Kluwer
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
146
Academic, 1994.
KAMII, Constance. A criança e o número: Implicações Educacionais da teoria de
Piaget por atuação com escolares de 4 a 6 anos. Campinas: 6 ed. Papirus, 1987.
KISHIMOTO, Tizuko M. Jogo,brinquedo,brincadeira e a educação. 11ª Ed. São
Paulo: Cortez, 2008.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; ROCHA, Glauce Helena Rodrigues; CÂNDIDO,
Patrícia Terezinha; STANCANELLI, Renata. Era uma vez matemática: uma conexão
com a literatura infantil. 6. ed. São Paulo: IME-USP, 2007.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
147
SOLUÇÕES GEOMÉTRICAS COM O USO DE TECNOLOGIAS
Rafael Silva Ribeiro
Instituto Federal do Espírito Santo
André Oliveira Souza
Instituto Federal do Espírito Santo
Resumo:
Em vários tópicos no ensino da Matemática é comum ouvir-se questionamentos sobre o
porquê de estudar determinado assunto. Isso se dá devido ao sentido abstrato que a
Matemática tem. Na tentativa de responder a esse tipo de pergunta, o objetivo desse
trabalho é através de um problema, traçar diferentes estratégias de resolver o mesmo
problema. Para isso, será necessário apropriar-se de alguns conceitos matemáticos, mais
precisamente de geometria, para resolvê-lo. E para um melhor entendimento, propõe-se
o uso recursos tecnológicos, no caso o software GeoGebra, para uma maior precisão nos
resultados.
Palavras-chave: abstração; resolução de problemas; geometria; geogebra.
1. Introdução
Ao longo da história, a Matemática esteve presente nas principais civilizações
que são estudadas. Egito, Mesopotâmia, Grécia e tantas outras possuem vários registros
do desenvolvimento da Matemática. E muitas vezes era possível aplicar em resoluções
de problemas da época, que apareciam nas ciências em geral. Mas a partir do século
XIX ela começa a tomar uma forma mais abstrata, que causou uma certa separação
entre a matemática aplicada e uma matemática mais pura, carregada de abstrações.
Esse modo mais abstrato está presente até hoje em todos os níveis de ensino.
Geralmente, principalmente com alunos do ensino médio, acompanhados de
questionamentos sobre a utilidade de estudar certo assunto. Observe como Roque e
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
148
Pitombeira (2012) tratam este assunto.
Fala-se muito, hoje em dia, em inserir o ensino de um conceito matemático
em
um contexto. Justamente porque muitos alunos consideram a Matemática por
demais abstrata, ouvimos muitos pedidos para que ela se torne mais
“concreta”,
ligada ao “quotidiano”. Contudo, a Matemática é vista, ao mesmo tempo,
como
um saber abstrato por excelência. Diante disso, como seria possível torná-la
mais concreta?
A maneira sugerida para lidar com essa questão da abstração da matemática foi
através de uma atividade envolvendo a geometria. Por isso, opta-se em pesquisar e
sugerir uma atividade que possa enriquecer o aprendizado do aluno, seguindo
orientações de Brasil/Mec (2002).
A seleção das atividades a serem propostas deve garantir espaço para a
diversidade de opiniões, de ritmos de aprendizagem e outras diferenças
pessoais. O aspecto desafiador das atividades deve estar presente todo o
tempo, permitindo o engajamento e a continuidade desses alunos no processo
de aprender. Nesse sentido, a postura do professor de problematizar e
permitir que os alunos pensem por si mesmos, errando e persistindo, é
determinante para o desenvolvimento das competências juntamente com a
aprendizagem dos conteúdos específicos.
A geometria euclidiana plana não tem esse nome por acaso. Após a morte de
Alexandre, Boyer (1974) mostra que houve um esforço construtivo por parte de
Ptolomeu I e um grande centro de estudos foi levantado. Hoje, seria comparado a uma
universidade. Necessitando de professores para lecionar neste centro, que ficava na
cidade de Alexandria, Euclides acabou transferindo-se para lá, o que lhe proporcionou
escrever uma das maiores obras na área da geometria, Os Elementos.
A escrita desta obra é composta de uma série de definições e enunciados que em
algumas vezes usam elementos matemáticos não definidos previamente. Mas é em
seguida destas definições que Euclides lista cinco postulados que servem como base
para qualquer curso básico de geometria plana. Os cinco postulados são:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
149
Existe uma única reta contendo dois pontos dados;
Todo segmento de reta pode ser estendido indefinidamente em todas as direções;
Existe uma circunferência com quaisquer centro e raio dados;
Todos os ângulos retos são iguais entre si;
Se uma reta intercepta outras duas retas formando ângulos colaterais internos
cuja
soma é menor do que dois retos, então as duas retas, se estendidas indefinidamente,
interceptam-se no lado no qual estão os ângulos cuja soma é menor do que dois retos.
Esta listagem forma um conjunto de postulados ou um sistema axiomático que
consiste num conjunto de verdades sobre a geometria. A partir deles, demonstrações de
teoremas e definições são feitas, até que se chegue nos conceitos básicos da geometria
que são utilizados nas aulas, sem muitos questionamentos dos alunos. Mas um material
axiomático dá condições de um aluno de ensino médio apropriar-se de conceitos e
propriedades de uma forma que ele possa utilizar na resolução de problemas?
Nesse sentido, a proposta deste trabalho é na forma de resolução de problemas,
mas que busca explorar a descoberta de conhecimentos por parte dos alunos ao
encontrar a solução de um problema. O maior desafio é mostrar que o mesmo problema
pode apresentar mais de uma resposta. O objetivo aqui é que eles usem a criatividade
para encontrar uma solução, baseada na experimentação e na descoberta do
conhecimento. Na sequência, espera-se que sejam necessários conceitos geométricos
para aprimorar as soluções.
Além disso, um outro fator que também tem bastante peso é o fato da não
inclusão de tecnologias digitais no ensino da Matemática. Segundo Brasil/Seb (2013) o
sujeito do ensino médio de hoje em dia, nasceu em uma outra geração, já acostumada
com outro tipo de comunicação. Acredita-se até que eles não conseguiriam visualizar
uma sociedade sem a internet ou algum equipamento tecnológico. E como os
professores são, em sua grande maioria, de outra época, há uma clara disputa entre o uso
de tecnologias e o papel do professor na sala de aula.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
150
Ao invés então, da inserção da Matemática por conceitos e sua abstrações, parte-
se de uma situação real,(afinal, a Matemática desenvolveu-se assim), discute-se as
soluções e busca-se solucionar com ajuda de tecnologia, como régua, compasso e o
software de geometria GeoGebra. Após isso, espera-se que os conceitos matemáticos
sejam melhor entendidos em sua essência.
2. Aspectos teóricos e metodológicos
A primeira atividade deste trabalho é resolver o seguinte problema: Dadas três
casas, como mostra a Figura 1, pretende-se instalar um poço para uso comum das três
casas. Qual a melhor localização para este poço?
Figura 1 – Situação do problema proposto
Fonte: Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1074. Acesso em 12 de outubro de 2016.
A solução para um problema como este visa incentivar o aluno a pensar em uma
resposta e depois partir para sua execução. Uma discussão interessante que se abre aqui
é que a melhor localização depende das possibilidades que podem solucionar este
problema. Neste caso, em um levantamento feito com alunos que fizeram esta
atividade, a maioria respondeu intuitivamente que a melhor localização para o poço
seria no meio do triângulo. Outros mencionaram termos como bissetrizes, medianas,
ponto médio e termo as relacionados a triângulos. Na tabela 1, estão listadas as
respostas intuitivas dos alunos.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
151
Tabela 1 – Respostas iniciais dos alunos para o problema da localização do poço
Respostas intuitivas FA FR (%)
Meio do triângulo 22,00 57,89
Medianas 04,00 10,53
Bissetrizes 10,00 26,32
Outras/não responderam 02,00 5,26 Fonte: Os autores
Quase todas as respostas foram pertinentes, mas a partir daí lança-se a indagação
de como encontrar o meio ou os outros termos mencionados para a localização do poço.
Esse ponto que indicaria o meio da região é a mesma ideia de um ponto de equilíbrio.
Segundo Boyer (1974), o grego Arquimedes por volta de 250 a.C. desenvolveu muitos
estudos sobre alavancas e equilíbrio de corpos planos, onde ele descreve
matematicamente o centro de gravidade de um triângulo. Este ponto é denominado de
baricentro e particularmente no caso de um triângulo é o ponto de interseção entre as
suas medianas.
Considerando as três casas como os pontos A, B e C, temos um triângulo ao
traçarmos os segmentos AB, BC e AC. Com o auxílio de uma régua medimos o
segmento AB, onde localizamos o ponto D, de forma que AD = BD, ou seja, D é ponto
médio do segmento AB. De semelhante modo, encontramos os pontos médios E e F,
respectivamente localizados nos segmentos AC e BC. Os segmentos CD, BE e AF são
as medianas do triângulo ABC, que são segmentos de reta que encontramos ao ligar o
vértice de um triângulo com o ponto médio do lado aposto. Na Figura 2, o ponto de
interseção das três medianas está representado pelo ponto G. Este ponto é o baricentro
do triângulo, que neste problema seria a localização do poço.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
152
Figura 2 – Baricentro de um triângulo feito com régua
Fonte: Os autores
Nota-se a quantidade de elementos que são definimos para definir um ponto de
localização. Neste exemplo, foram determinantes a construção de um triângulo e o uso
de segmentos, como as medianas, que foram construídos com auxílio de uma régua.
Neste sentido, a utilização de tecnologia também é um tema de muito debate no
ensino de geometria. Muitas vezes as escolas não estão preparadas com a infraestrutura
adequada, mas também alunos e professores não dominam o instrumento tecnológico
que possuem para melhorar o aprendizado. Além disso, muitos alunos e professores
entendem que um instrumento tecnológico deve ser necessariamente ligado a
computação ou a aparelhos modernos como tablets e telefones celulares. Na verdade, a
tecnologia é uma técnica empregada para solucionar algum tipo de problema. Aqui o
instrumento utilizado foi a régua.
Mas nada impede que também se faça uso de tecnologias digitais. Uma delas é o
software de geometria dinâmica GeoGebra, versão 4.2, que é livre pode ser encontrado
no site www.geogebra.org. Também é possível encontrar vários tutoriais na internet,
inclusive em vídeo. Uma sugestão é o site http://www.geogebra.im-u_.mat.br/ do
Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro, que também fornece suporte técnico. O software
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
153
permite fazer construções geométricas, e no caso dos conceitos básicos que foram
pedidos, todos eles possuem o comando correspondente, bastando clicar e escolher a
opção pedida, como mostra a Figura 3.
Figura 3 – Escolha de elemento a ser construído pelo GeoGebra.
Com o auxílio do software, também é possível encontrar a mesma solução, só
que com o recurso do computador, as construções saem perfeitas e se houver algum erro
durante o processo, é mais fácil de fazer a correção. Realizando o mesmo procedimento
que foi feito com a régua, chega-se a construção mostrada na Figura 4.
Figura 4 – Baricentro de um triângulo feito com GeoGebra
Construindo geometricamente podemos perceber que as medianas se encontram
em um único ponto. Mas é possível mostrar isso matematicamente? Essa indagação
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
154
talvez seja o ponto equilíbrio entre a abstração e a prática. Para se ter esta resposta, o
professor deve estar preparado para também atuar no campo da abstração para mostrar
aos alunos o que muitas vezes somente a prática não conseguirá mostrar. Nesse caso
específico, o teorema de Cevas, pelo italiano Leonardo Cevas, mostra que realmente as
medianas de um triângulo encontram-se num único ponto interior ao triângulo.
Mas será que esta localização é a melhor possível? Mais uma vez procura-se
estimular a criatividade dos alunos na hora de sua resolução. Muitos dos que pensaram
que a melhor localização seria o meio do triângulo, deram esta resposta concluindo que
isto seria a mesma coisa que o poço estar à mesma distância de cada casa. É até uma
solução mais justa considerar que o poço deve ser equidistante às três casas. Basta que o
poço seja o centro de uma circunferência que passe pelas três casas.
Para isso, conta-se com o auxílio do compasso como outro instrumento
tecnológico que os alunos costumam não saber utilizá-lo. Com ele, serão construídas as
mediatrizes dos três segmentos do triângulo formado com as três casas do problema. A
mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a este segmento que passa pelo seu
respectivo ponto médio. Para encontrar a mediatriz relativa ao segmento AB, com um
compasso coloca-se a ponta seca no ponto A e traça-se a circunferência que passa pelo
ponto B. Analogamente e com a mesma abertura, fixando a ponta seca do compasso em
B traça-se a circunferência que passa pelo ponto A. As duas circunferências estão
tracejadas. Elas possuem dois pontos de interseção, G e H, como mostra a figura 6.
Unindo os pontos A; G; B e H forma-se um losango, pois os segmentos formados por
esses pontos tem a mesma medida. Assim, GH é a mediatriz do segmento AB, como se
vê na Figura 5.
Figura 5 – Mediatriz de um segmento
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
155
Repetindo o mesmo processo para os segmentos AC e BC, encontraremos as
outras mediatrizes deste triângulo. As três mediatrizes terrão um único ponto de
interseção, que
é denominado de circuncentro. O ponto O na Figura 6, é a localização do poço referente
ao triângulo ABC, que indicam as três casas do problema. Com a ponta seca do
compasso
no ponto O, constrói-se a circunferência que vai passar pelos pontos A;B e C.
Figura 6 – Circuncentro encontrado com compasso
Já na Figura 7, o circuncentro foi encontrado com a utilização do GeoGebra.
Como a mediatriz não é uma ceviana, não pode-se garantir que a localização do poço
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
156
será dentro do triângulo cujos vértices são as casas. Para exemplificar, a posição de
umas das casas foi alterada e colada no GeoGebra. Após a utilização dos comandos
corretamente, encontra-se o ponto D, que é a solução do problema.
Figura 7 – Circuncentro encontrado com o GeoGebra
Pela solução encontrada no Geogebra, pode se acrescentar o questionamento de
melhor localização. Embora a distância seja a mesma do poço para as três casas, é
evidente que ficará mais distante para todas as casas em relação a primeira solução. E
tantas outras situações podem ser exploradas por este problema, uma vez que os
triângulos possuem várias definições e propriedades.
3. Considerações e/ou conclusões
Estas atividades foram desenvolvidas nos anos de 2014 e 2016 com alunos do
ensino médio. Vale ressaltar que isso foi possível porque a escola possuía condições
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
157
físicas e tecnológicas adequadas para este objetivo. O laboratório de informática,
ambiente usado em grande parte de nosso trabalho, estava em boas condições de uso. A
função dele é apoiar no atendimento de aulas e outros fazeres que necessitem das
tecnologias. Infelizmente não é a realidade de todas as escolas.
As atividades propostas envolveram enriquecimento cultural, práticas
investigativas, novas metodologias, diferentes materiais de apoio e trabalho em equipe,
como indicam as diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da
educação básica. Também salientamos que as atividades que aplicamos foram uma
ótima oportunidade de fixar conteúdos que foram aprendidos ou que precisariam ser
reforçados, mas por outro lado exigiu muita determinação e paciência do professor.
Por fim espera-se que este trabalho contribua para qualificar tanto o ensinamento do
professor quanto o aprendizado do aluno, fazendo com que os aspectos qualitativos
prevaleçam sobre os aspectos quantitativos, seguindo orientações da lei de diretrizes e
bases da educação brasileira.
4. Referências
ALVES, R. S. O. A comunidade. M3 - Matemática Multimídia. Guia do professor.
Disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1074. Acesso em 14 de setembro de
2016.
BRASIL/MEC. PCN Ensino Médio: Orientações educacionais complementares aos
Parâmetros Nacionais Curriculares. Ciências da Natureza, Matemática e suas
tecnologias. Brasília, MEC/SENTEC, 2002.
BRASIL/SEB. Formação de professores do ensino médio. Etapa I. Caderno II: o
jovem como sujeito do ensino médio. Curitiba, Universidade federal do Paraná, 2013.
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo, Universidade de São Paulo, 1974.
ROQUE, T. M.; PITOMBEIRA, J. B. Tópicos de História da Matemática. Rio de
Janeiro: Coleção Profmat. Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
158
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E SOCIOLOGIA EDUCACIONAL: UM
ESTUDO SOBRE EVADIDOS DO ENSINO SUPERIOR À LUZ DA
SOCIOLOGIA DE PIERRE BOURDIEU
Yasmim Giles Santana
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Uberdan da Silva Plácido
Instituto Federal do Espírito Santo
Franciele Quaresma
Instituto Federal do Espírito Santo
Caroline da Silva Soares
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Antonio Donizetti Sgarbi
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Silvio Luiz da Costa
Universidade de Taubaté - UNITAU
Resumo:
Este texto tem como objetivo descrever e analisar, falas de evadidos de dois
cursos superiores, na cidade de Vitória – ES, à luz da Sociologia da Educação de
Bourdieu. Trata-se de uma pesquisa de cunho qualitativo, nos moldes de estudo de caso,
que utilizou como técnica a entrevista. Ao analisar os dados construídos na perspectiva
de Bourdieu percebe-se que a questão da evasão envolve a pessoa que não pode pagar,
que não consegue conciliar trabalho e estudo ou ainda que não tenha condições de um
bom acompanhamento nos estudos. Mas, envolve também outros aspectos como a
própria estrutura das instituições de ensino superior que deve acolher o novo estudante
ou políticas públicas que possibilitem, por exemplo, a adequação da vida estudantil e
vínculo empregatício. Concluí-se que o abandono dos cursos superiores não pode ser
apontado como fracasso dos indivíduos, mas sobre os mecanismos de seleção presente
ao longo do processo.
Palavras-chave: Evasão escolar; Sociologia da Educação;
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
159
1. Introdução
Nos últimos anos no Brasil houve uma expansão do ensino superior. Muitas
pessoas conseguiram entrar e permanecer na Faculdade. Muitos tiveram esta
oportunidade e se formaram sendo, em grande parte, os primeiros de suas famílias a
conseguirem um diploma universitário. Mas, também, tivemos aqueles que tentaram e
não conseguiram concluir. Este texto nasceu de um estudo introdutório do sociólogo
Pierre Bourdieu, feita por alunos da uma Licenciatura em Matemática, onde se propôs
uma pesquisa, tendo como objeto a evasão escolar analisando-a à luz da teoria do
sociólogo francês. A proposta discutir a importância da sociologia educacional na
formação de professores, a partir de uma pesquisa de campo.
Ao estudar o texto da Professora Maria da Graça Jacintho Setton Uma
introdução a Pierre Bourdieu, observamos que ela discute a questao do “gosto” na
cultura à luz da teoria do sociólogo francês. Considera a Setton (2008) que Bourdieu
construiu um referencial teórico valioso no campo das ciências Humanas. O autor
desenvolveu uma sociologia engajada, comprometida com a denúncia dos mecanismos
de dominação que existem na sociedade ocidental capitalista. Setton afirma ainda que
para Bourdieu a sociologia é uma ciência que incomoda, por interpretar os fenômenos
sociais de maneira crítica. Partindo também deste suporte teórico, pretendemos neste
texto fazer a leitura de uma realidade social, a evasão nos cursos universitários.
Explicitando o que chamou de “concepçao relacional e sistêmica do social” em
Bourdieu, afirma Setton (2008):
A estrutura social é vista como um sistema hierarquizado de poder e privilégio,
determinado tanto pelas relações materiais e/ou econômicas (salário, renda) como pelas
relações simbólicas (status) e/ou culturais (escolarização) entre os indivíduos. Segundo esse
ponto de vista, a diferente localização dos grupos nessa estrutura social deriva da desigual
distribuição de recursos e poderes de cada um de nós. Por recursos ou poderes, Bourdieu
entende mais especificamente o capital econômico (renda, salários, imóveis), o capital
cultural (saberes e conhecimentos reconhecidos por diplomas e títulos), o capital
social (relações sociais que podem ser revertidas em capital, relações que podem ser
capitalizadas) e por fim, mas não por ordem de importância, o capital simbólico (o que
vulgarmente chamamos prestígio e/ou honra). Assim, a posição de privilégio ou não-
privilégio ocupada por um grupo ou indivíduo é definida de acordo com o volume e
a composição de um ou mais capitais adquiridos e ou incorporados ao longo de suas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
160
trajetórias sociais. O conjunto desses capitais seria compreendido a partir de um sistema de
disposições de cultura (nas suas dimensões material, simbólica e cultural, entre outras),
denominado por ele habitus.
O indivíduo para Bourdieu é alguém socialmente configurado. “Os gostos mais
íntimos, as preferências, as aptidões, as posturas corporais, a entonação de voz, as
aspirações relativas ao futuro profissional, tudo seria socialmente constituído”
(NOGUEIRA; NOGUEIRA, 2002, p. 19). Porém, Bourdieu não aceita as abordagens
estruturalistas, aquelas que defendem a posição de que a experiência subjetiva estão
subordinadas às relações objetivas e nem as subjetivistas, aquelas que afirmam uma
autonomia incondicional do indivíduo ante às determinações sociais. Desse modo, o
ator da Sociologia da Educaçao do pensador “nao é nem o indivíduo isolado,
consciente, reflexivo, nem o sujeito determinado, mecanicamente submetido às
condições objetivas em que ele age” (NOGUEIRA; NOGUEIRA, 2002, p 20).
Para Bourdieu a formação inicial do indivíduo no ambiente social e familiar
fazem com que o indivíduo adquira uma certa postura que ele chamará de habitus
familiar ou de classe, que acaba influenciando o indivíduo em todas as suas ações. Além
do mais, cada qual vai acumulando um capital (cultural, social, econômico, simbólico)
que poderá significar um conjunto de vantagens ou de desvantagens no seu percurso
escolar.
Nessa direção, tendo esta sociologia educacional de Bourdieu como referencia,
este texto tem como objetivo descrever e analisar, falas de evadidos de dois cursos
superiores na cidade de Vitória – ES. Nossa hipótese é que o abandono dos cursos
superiores não pode ser apontado como fracasso dos indivíduos, mas sobre os
mecanismos de seleção presente ao longo do processo.
2. Metodologia
Trata-se de uma pesquisa, realizada por estudantes de um curso de formação de
professores de matemática, de cunho qualitativo, nos moldes de estudo de caso, que
utilizou como técnica a entrevista elaborada à luz de categorias tiradas da sociologia de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
161
Bourdieu, conforme instrumento elaborado por Costa (2016). Foram realizadas
inicialmente várias entrevistas preliminares com evadidos [...] e depois foram feitas
duas entrevistas mais longas com dois sujeitos que se dispuseram a participar da
pesquisa. As respostas destas pessoas foram analisadas à luz da teoria do sociólogo
francês.
As entrevistas eram preparadas, no sentido de marcar um horário com um
encontro com o participante. Dois pesquisadores participavam da entrevista, assim um
podia anotar as respostas enquanto o outro conversava com o participante. Buscou-se
fazer neste momento aquilo que Bourdieu denomina de “inventário de vida” do
participante.
A entrevista mais longa foi dividida em cinco partes, a primeira delas versava
sobre a “aproximaçao – casa família e participaçao social”. A segunda versava sobre
percurso escolar e vida estudantil, a terceira sobre a motivação para o ensino superior, a
quarta era um relato de experiência sobre o ensino superior e a quinta parte era sobre a
desistência.
As respostas não seguiram rigorosamente este roteiro. No entanto os
pesquisadores optaram por respeitar o ritmo de cada um dos entrevistados. Lembramos
que o nome dos mesmos aqui no texto são fictícios para que seja preservada a
identidade dos mesmos.
3. Descrição e discussão de alguns dados construídos
Participou da pesquisa uma pessoa evadida do Curso de Matemática do Instituto
Federal do Espírito Santo – Ifes, a Lígia, e outra do Curso de Comunicação da
Faculdade Estácio de Sá, o Cláudio. Os dois cursos estão situados na cidade de Vitória -
ES.
A primeira parte da entrevista versou, sobretudo sobre o capital econômico
(bens, serviços que o sujeito tem acesso), social (conjunto de relacionamentos sociais
influentes mantidos pela família) e o capital cultural institucionalizado, basicamente os
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
162
títulos escolares. Desta forma a primeira parte da entrevista privilegiou estes aspectos.
Lígia iniciou a licenciatura no ano de 2012 aos 19 anos no Ifes e deixou o curso
no 6º período. Quanto ao nível de escolaridade dos seus pais, Lígia afirma que
estudaram até a 7ª série, ou seja o 8º ano do Ensino Fundamental, e seus dois irmãos
possuem apenas o ensino fundamental completo. Seu pai trabalhou durante quase toda a
vida na mesma empresa especializada em vidros e sua mãe nunca teve emprego.
Atualmente ela trabalha com vendas numa empresa na Praia do Canto em Vitória. E a
renda familiar gira em torno de quatro salários mínimos.
Cláudio é filho de pais que completaram o ensino médio, estudou por quatro
semestres na faculdade e embora tivesse escolhido o curso de comunicação por ter
identificação com a área, foi obrigado a deixar o curso por problemas de ordem
financeira. Os pais de Cláudio completaram o ensino médio e seus irmãos chegaram a
entrar na faculdade, mas não conseguiram terminar.
Cláudio afirmou que na época da entrada na faculdade tinha 21 anos, disse que
uma das coisas que mais o incentivou fazer o ensino superior foram as propagandas da
televisão. Disse ainda que, escolheu a Faculdade que era mais próxima de sua moradia.
Perguntado sobre a escolha do curso Claudio respondeu que escolheu o curso por se
identificar com ele e que queria atuar no mercado com aquela formação.
Uma interpretação das trajetórias destes sujeitos indica primeiramente que
ambos reuniram condições vantajosas que lhes permitiram chegar ao ensino superior.
Suas falas revelam participarem de condições familiares estáveis, inclusive
financeiramente. Os pais de Cláudio concluíram o ensino médio e seus irmãos chegaram
ao ensino superior, embora não concluíssem. Já os pais de Lígia tem ensino
fundamental II incompleto, com destaque para os incentivos à leitura e
acompanhamento nos estudos por parte de sua mãe que não tinha vínculo empregatício.
Com este capital cultural acumulado Lígia relata sua gosto pela leitura e consegue ser
aprovada para cursar matemática em um Instituto Federal. Merece destacar as
informações referentes a presença da sua mãe na vida estudantil, embora esta não tenha
passado da 7ª série, este seu capital está disponível para os filhos, sobretudo em razão
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
163
desta não ter vínculo empregatício.
Estes dados além de confirmarem o papel da vida familiar no percurso escolar
dos filhos, destacado por Bourdieu, estão ainda em consonância com os estudos de
Lahire (1997), o qual revela em suas pesquisas, o fato de que uma mãe analfabeta, mas
disponível para o incentivo e acompanhamento da vida escolar de seus filhos, pode ser
muito mais significativo do que pais com escolaridade maior, mas que não conseguem
colocar este capital à disposição de seus filhos, entre outros, por ter jornadas de trabalho
que impossibilitam estar próximo da vida escolar de sua prole.
Claudio discorreu sobre as atividades culturais e de lazer. Disse que todas estas
atividades estão ligadas a programas em família ou com amigos. Gostam de freqüentar a
praias, cachoeiras, fazer trilhas e fazer algumas viagens. Quando foi perguntado sobre a
presença da leitura em casa, Cláudio respondeu: “Infelizmente nao tenho recordações
sobre leituras quando criança”. Discorrendo sobre a formaçao e a situaçao financeira
dos parentes próximos Cláudio diz que a média do salário dos parentes próximos é de 4
(quatro) salários mensais e em relação a escolaridade lembra-se que tem parentes que
fez “curso técnico”.
Quanto a trajetória do Cláudio embora com pouco apreço para a leitura,
podemos destacar sua boa relação com a escola: “tinha uma ótima relaçao com os
professores, sempre fui muito comunicativo e desinibido, sem dificuldades”. Nessa
direção Claudio revela ainda sua participação em atividades culturais e de lazer com a
família ou com amigos, os quais gostam de frequentar praias, cachoeiras, fazer trilhas e
algumas viagens. O conjunto destas relações compõe o que Bourdieu chama de capital
social com papel significativo na trajetória do sujeito, tanto na vida escolar quanto na
inserção no mercado de trabalho. Em consonância, este sujeito opta pelo curso de
comunicação social, e agora em função de suas atividades profissionais gostaria de
poder retornar aos bancos universitários para realizar o curso de administração.
Bourdieu indica que um grupo social mais popular tenderia a adotar o que chama
de “liberalismo” em relaçao à educaçao dos filhos. A vida escolar dos filhos não seria
acompanhada de modo muito sistemático e nem haveria uma cobrança intensiva em
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
164
relação ao sucesso escolar. Na família dos dois entrevistados a escolaridade é baixa. Os
pais dos de Lígia somente completaram o ensino fundamental, e os pais de Cláudio,
chegaram a completar o ensino médio. Fica subentendido que não houve muita
cobrança por parte dos pais em relação aos estudos tanto de Lígia como de Cláudio.
Especificando melhor a questão da vida estudantil, a segunda parte da entrevista
versou sobre o percurso escolar. Neste ponto tinham-se como variáveis o passado
escolar e a valorização da cultura escrita. Assim sendo foi perguntado aos entrevistados:
tem livros em casa? Existe o costume de outras leituras que não os livros escolares.
Perguntou-se ainda como é o uso de computador e internet em sua casa, ou de forma
geral como eles se mantêm informado.
Claudio afirmou que tem poucos livros em casa e que se mantêm informado
através de jornais e revistas. Quanto aos hábitos de estudo informou que no momento
nao está estudando. Sobre sua vida escolar anterior à faculdade Claúdio afirmou: “tinha
uma ótima relação com os professores, sempre fui muito comunicativo e desinibido,
sem dificuldades”.
Lígia ao responder esta questão disse que sua mãe sempre ajudou desde pequena
nos seus estudos, além de cobrar na leitura. Hoje ela é apaixonada pela leitura ate tem
um estante de livros. Não estendeu muito seus comentários.
Aprofundando um pouco mais esta questão a terceira parte da entrevista versou
sobre a motivação que o entrevistado teve para o ensino superior. A idéia era saber se
houve motivação por parte da escola, dos professores, dos colegas. Perguntou-se
também quantos, dos que terminaram o ensino médio com o entrevistado, entraram na
faculdade.
Lígia disse que entrou na faculdade influenciada por seus amigos e familiares.
Ela não teve incentiva pelos professores de estudar para o ENEM a não ser de se
inscrever, e somente com os conhecimentos adquiridos na escola onde cursou o ensino
médio conseguiu passar na prova de seleção para o Ifes.
Cláudio respondeu que a motivação para entrar na faculdade era puramente
profissional e que não teve mais contato com os colegas do ensino médio.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
165
O olhar para a vida familiar e escolar da trajetória dos sujeitos desta pesquisa
permitiu registrar condições vantajosas que possibilitaram concluir o ensino médio e
adentrar no ambiente universitário. Entretanto na direção do foco deste texto pode-se
observar as condições desvantajosas que acabaram por culminar no abandono do curso
superior. À primeira vista destaca-se por parte dos próprios sujeitos as condições
financeiras, seja na necessidade de trabalhar apontada por Lígia, seja na dificuldade de
arcar com as mensalidades apontadas por Cláudio. No entanto, seguindo a compreensão
de Bourdieu que destaca ao lado do capital econômico, a importância do capital cultural
e social e, ainda, a pesquisa de Costa (2016), que também aponta nas trajetórias de
evadidos do ensino superior uma relativização do peso do fator econômico nos
processos de desistência dos bancos escolares, podemos observar nas falas dos sujeitos
desta pesquisa outros fatores condicionantes para a evasão.
Destacamos primeiramente, as motivações relacionadas ao ingresso no ensino
superior, em especial às condições da escolha. Uma primeira questão incide sobre o
papel da escola nas motivações para o ensino superior. Lígia destaca que teve
simplesmente incentivos para a inscrição no ENEM e uma preparação para a realização
da prova não aconteceu e Cláudio não fez qualquer manifestação nesse sentido. A
escolha do curso.
Quanto à escolha do curso, as falas de Cláudio revelam os incentivos advindos
da propaganda televisiva e que a motivação para entrar na faculdade era puramente
profissional. Cláudio traz ainda como um dos condicionantes foi realizar um curso
disponível próximo de sua moradia. Já Lígia revela a influência da família e de amigos.
Sobre a vida universitária Cláudio comenta a continuidade dos bons relacionamentos
com os professores e colegas, mas não revela um maior envolvimento com o curso.
Quanto a Lígia, que apesar de ter chego ao sexto período do curso de licenciatura em
matemática, afirma de forma mais direta que não se identificou com o curso e que
estava insatisfeita com as aulas e com a faculdade. Estes elementos sugerem, que ao
lado das limitações de ordem financeira, pesam a fragilidade no processo de escolha do
curso. A ausência de um maior envolvimento com o curso, ou uma insatisfação com o
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
166
mesmo, faz com que as dificuldades não se apresentem como obstáculos a serem
superados, mas como muros intransponíveis. Ambos os sujeitos já tinham alcançado a
metade ou mais dos cursos que realizavam, se tivessem motivados, entusiasmados com
os mesmos a busca por alternativas ante os obstáculos poderiam ser mais empolgantes
do que os relatados.
A quarta parte da entrevista privilegiou questões sobre a experiência no ensino
superior. Quanto tempo cursou? Quem mais apoiou o participante da pesquisa. Como
eram pagas as mensalidades, no caso de escola privada. Claudio disse que freqüentou a
faculdade por dois anos e que ele mesmo era responsável pelo pagamento da faculdade
e que não tinha bolsa.
Lígia estudou em escola pública, mas tinha seus gastos. Ela mesmo sempre
arcou com seus gastos como passagem de ônibus e alimentação.
Outra questão era relacionada a acolhida na faculdade, relações com os colegas,
envolvimento na sala de aula, participação em outras atividades além das aulas, relações
com os professores e coordenação. Claudio disse que sempre teve bom relacionamento
com todos e que até hoje cultiva as amizades do tempo da faculdade.
Sobre os estudos: acompanhamento das aulas, registros, leituras, trabalhos
individuais e em grupo, estudo em casa, tempo e lugar de estudo. Estudo para a prova,
como acontecia. Como foram as experiências com as provas, como eram as aulas e a
diferença que via em relação ao ensino médio, Claudio respondeu que percebia que as
aulas eram mais dinâmicas que as aulas do ensino médio. Disse também que estudava
na faculdade e em casa.
Outra questão: desse tempo que esteve na faculdade, o que foi mais
significativo? Perguntou-se o que foi bom, o que não foi bom e situações difíceis.
Claudio disse que foi importante ter conhecido o mercado de trabalho e que tudo tinha
sido muito bom, menos ter que deixar o curso pela metade.
A quinta parte da entrevista versou sobre a desistência. A primeira questão era:
como foi a saída da faculdade? Qual motivo foi mais importante para a desistência...
Claudio disse que a dificuldade foi financeira. Outra questão foi sobre a tomada de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
167
decisão de deixar a faculdade: com quem conversou sobre o assunto? Disse ainda que
conversou com o irmao, mas que “nao houve decisao, pois não tinha outra opção. Era
inviável continuar”. Perguntado sobre como é falar sobre o assunto, Claudio disse que é
tranqüilo. Que já faz muito tempo que saiu e que teve oportunidade de fazer outros
cursos. Tudo indica que não foram cursos universitários. Ainda foi perguntado se antes
de sair o entrevistado falou com algum professor ou com a coordenação. Se houve
preocupação por parte de alguém da faculdade com sua saída e se a faculdade poderia
ter feito alguma coisa para evitar a sua saída. Cláudio respondeu: “foi conversado, mas
nao houve negociaçao”.
Quando perguntado sobre o que significou o abandono do curso disse: “na época
fiquei muito triste, pois adorava o curso e não queria ter desistido, mas infelizmente
não havia condições financeiras de continuar”.
Lígia disse que no momento que ela começou com curso estava trabalhando em
um shopping, então não havia sábado, domingo e feriado para estudar. Ela indica que
foi difícil conciliar os estudos com o trabalho já que saía do seu serviço direto para o
Ifes, assistia às aulas e quando chegava em casa, só queria dormir e descansar. “Nao
havia tempo pra livros, listas, cadernos, trabalhos e provas, apenas trabalho”.
Cabe destacar os relatos de Lígia sobre a relação trabalho e estudo. “Eu estava
sempre muito ocupada e os estudos foram ficando de lado, até que não foi mais possível
continuar. As provas me deixavam louca, porque raramente conseguia revisar a matéria
antes da aplicação. “Minha principal complicação foi o trabalho e a falta de tempo para
os estudos, isso me tirou do rumo totalmente (...)” “e não podia largar meu trabalho
naquele momento”. As falas revelam as prioridades do trabalho condicionando a vida
estudantil. Temos neste caso, como aponta Paula e Vargas (2011) a situação do
trabalhador estudante e não do estudante trabalhador, pois o estudo é pensado a partir
das exigências do trabalho. Sendo esta uma situação corriqueira, sobretudo para os
jovens das camadas desfavoridas que chegam aos bancos universitários, destacamos a
importância do apontado pelos autores supracitados no sentido de se desenvolver uma
legislação que crie condições favoráveis que possibilitem uma melhor adequação entre
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
168
trabalho e estudo.
A última parte de entrevista versava sobre o tempo pós-faculdade. Uma das
questões foi se o entrevistado pensa em voltar à faculdade, se há algum incentivo, se há
alguma dificuldade ou resistência. Porque voltaria e qual sua situação ocupacional no
momento. Cláudio respondeu que voltaria e que sua maior motivação é ter um diploma
de curso superior. Que é um sonho que trabalha na área da administração. Perguntado
sobre o ensino superior se era uma promessa de futuro, de emprego, de mudança de
vida. Qual sua opinião sobre este assunto e se considerava isto uma verdade e quais
eram seus sonhos. Claudio respondeu que o ensino superior era uma promessa de uma
vida profissional mais realizada que considera isto uma verdade e que pretende ainda
fazer uma faculdade.
No final da entrevista foi dito: quanto ao que conversamos, quer acrescentar
alguma coisa? Alguma pergunta. assunto que não apareceu. Claudio respondeu dizendo:
“tive que abandonar o curso apenas por motivos financeiros. Eu quem pagava as
mensalidades, mas infelizmente na época fique desempregada e não dava para
continuar. Tentei conversar e negociar esse problema com a faculdade, mas na época
não houve negociações. Ainda pretendo voltar a fazer faculdade, mas não mais o
mesmo curso. Agora pretendo cursar administração.
Lígia respondeu que são varias as razões pelas quais ela deixou de estudar: não
se identificou com o curso, teve dificuldade de conciliar a faculdade com o trabalho, e
também de acompanhar o conteúdo das aulas. Lígia ainda afirmou que se sentiu
insatisfeita com as aulas e faculdade. Falou da importância de obter um curso superior.
Indica que este daria uma qualificação e permitira melhorar sua vida e que não é uma
perda de tempo. Entre seus planos quer começar a estudar Arquitetura.
4. Considerações conclusivas
A riqueza dos dados levantados sobre as trajetórias dos sujeitos desta pesquisa
revelam a importância de uma pesquisa qualitativa, pois se pode no mergulho na
singularidade das experiências individuais realçar elementos condizentes com um
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
169
universo mais amplo. Desse modo, esta pesquisa sobre a evasão no ensino superior
destaca primeiramente as condições vantajosas do sujeito que possibilitaram superar os
degraus da vida escolar até chegar ao ensino médio, porém situações limitadoras
inviabilizaram a conclusão do ensino superior. Destas destacamos primeiramente na
análise dos dados, a fragilidade no processo de escolha, motivada pelo marketing,
influência de familiares e amigos e a inserção no mercado de trabalho. Destacou-se
também a ausência de um maior envolvimento e a insatisfação com o curso/faculdade.
Estes elementos permitem relativizar o peso das limitações financeiras, o qual ganha em
um primeiro momento maior visibilidade, até em função de ser mais fácil tanto para o
sujeito quanto para as instituições apontá-lo como o fator que causador da evasão.
Entretanto, em consonância com os estudos de Bourdieu, o desempenho na vida escolar
é acompanhado de outros fatores como o capital cultural e da forma como este é
acolhido na instituição escolar.
Desse modo, essa perspectiva permite olhar o fenômeno da evasão escolar não
apenas a partir do evadido: o que não pode pagar, que não consegue conciliar trabalho e
estudo ou ainda que não tenha condições de um bom acompanhamento nos estudos.
Mas, sugere-se um dividir as responsabilidades com as instituições escolares que
preparam ou não estes sujeitos para entrar na vida acadêmica, com as instituições de
ensino superior que os acolhe, e ainda pode-se falar de políticas públicas que
possibilitem, por exemplo, a adequação vida estudantil e vínculo empregatício.
Por fim percebeu-se que a experiência de licenciandos em matemática estudar
sociologia da educação a partir de uma pesquisa de campo envolvendo uma questão
social em que estão envolvidos foi muito significativa, embora não houvesse muito
tempo para aprofundar as questões. O que pode ser feito por ocasião da redação do texto
em tela.
5. Referências
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
170
COSTA, Silvio Luiz. A luta pelo ensino superior: com a voz, os evadidos. Tese
(Doutorado). Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 2016.
http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-18082016-155145/pt-br.php
LAHIRE, Bernard. Sucesso escolar nos meios populares: as razões do improvável.
São Paulo: Ática, 1997.
NOGUEIRA, Claudio Marques Martins; Nogueira Maria Alice. A sociologia da
educação de Pierre Bourdieu: limites e contribuições. Educação e Sociedade, ano XXIII,
nº 78, p. 15-76, abril, 2002.
PAULA, Maria F. C. e VARGAS, Hustana Maria. Novas fronteiras na
democratização da educação superior: o dilema trabalho e estudo. Texto
apresentado na34a. Reunião Anual da Associação Nacional de Pós-Graduação e
Pesquisa em Educação,Natal, 2011. Educação e Justiça Social.
http://34reuniao.anped.org.br/images/trabalhos/GT11/GT11-418%20int.pdf
SETTON, Maria da Graça Jacintho. Uma introdução a Pierre Bourdieu. Revista Cult,
ed. 128. Disponível em: http://revistacult.uol.com.br/home/2010/03/uma-introducao-a-
pierre-bourdieu/ Acesso em 29 de junho de 2016.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
171
ANÁLISE DE CONTEÚDO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA DO ENEM E
OBMEP
Luzitânia Dall’Agnol
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Diogo Chadud Milagres
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Gelson Franco dos Santos Júnior
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Marina Peregrinelli Barboza
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Resumo:
Neste trabalho foi feita uma investigação com as questões do ENEM e da OBMEP das
edições de 2011 e 2012, na área de Matemática, para que os dados obtidos –
basicamente, a que tópico(s) essas questões pertencem e em que momento elas podem
servir de instrumento de ensino, em qual ementa de qual semestre letivo – possam ser
utilizados nos conteúdos de Matemática e afins ministrados nas salas de aula do IFMS.
O objetivo é aplicar em sala de aula (o que já está sendo feito nos 6º semestres do IFMS
Aquidauana) e expandir essa análise para outras disciplinas que são abordadas no
ENEM, por meio de Grupo de Pesquisa. Para isso, lançamos mão dos seguintes
conceitos educacionais: Avaliação Formativa, Pedagogia Crítico-social dos Conteúdos,
Aprendizagem Significativa e Análise de Conteúdo.
Palavras-chave: Análise de Conteúdo; ENEM; OBMEP.
1. Introdução
O referido projeto tem como objetivo analisar as questões do Novo ENEM, no
que tange à Matemática e suas Tecnologias, para que em um futuro próximo esses
dados possam dar suporte à aplicação das questões dessa importante avaliação de
âmbito nacional nos conteúdos de Matemática e afins ministrados nas salas de aula do
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
172
IFMS, Câmpus Aquidauana, buscando reforçar alguns pilares do Exame Nacional do
Ensino Médio: democratização (do processo seletivo para o Ensino Superior),
contextualização e interdisciplinaridade. Além disso, os autores visam expandir essa
análise para outras disciplinas que são abordadas no ENEM, por meio de Grupo de
Pesquisa, e explorar o assunto de forma mais aprofundada em um Programa de
Doutorado a ser iniciado nos próximos semestres. O mesmo deve ocorrer com as provas
da OBMEP, outra avaliação de referência nacional em relação à qualidade de suas
questões. As teorias educacionais envolvidas são: Avaliação Formativa (ANTUNES),
Pedagogia Crítico-social dos Conteúdos (LIBÂNEO), Aprendizagem Significativa
(AUSUBEL) e Análise de Conteúdo (PASSOS).
O objetivo principal em curto prazo é criar um material didático, de acordo com
as TICs, que permita ao estudante do Ensino Médio estudar as questões por
competências, de acordo com as matrizes de referência de competências exigidas nas
avaliações investigadas. Outros objetivos surgem, a médio e longo prazo, como
expandir a análise para as demais áreas que abrangem o ENEM e outras Olimpíadas
importantes e agregadoras, desconstruindo-as e utilizando-as na construção de novos
paradigmas do saber, inserindo-as em seus tópicos específicos nas ementas e
estimulando o Grupo de Estudos correspondente a criar questões do mesmo tipo para
estimular a multicompetência, multidisciplinaridade e contextualização das mesmas.
A metodologia adotada teve a sequência: Análise empírica das questões
referidas para separá-las em conteúdo conforme Matriz de Referência do ENEM (INEP,
2013) ee parâmetros da OBMEP; Estudo das teorias educacionais dos autores citados ao
final da introdução, enfatizando os seguintes aspectos: ANTUNES e a pedagogia
crítico-social dos conteúdos; LIBÂNEO e a tendência pedagógica progressista crítico-
social dos conteúdos. Baseando-se nesses autores e seus respectivos conceitos, nós
fomos motivados a investigar essas avaliações a fim de criar um material sobre o
assunto e posteriormente cursos e grupos de pesquisa para analisar essas questões
elaboradas. Para tanto, lançamos mão dos seguintes conceitos: aprendizagem
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
173
significativa (AUSUBEL) e análise de conteúdo (PASSOS); Análise de conteúdo com
base na metodologia de PASSOS.
Análises dos resultados da classificação dos estudantes em relação ao orientador
apresentaram melhoras significativas, após o aprofundamento nas referências utilizadas
na metodologia de consolidação dos conceitos fragmentados. Observa-se que mais uma
vez nesse ponto foi aplicada a aprendizagem significativa com os próprios orientandos,
em relação à análise feita em investigações empíricas, demonstrando assim a eficácia
dos conceitos educacionais trabalhados pela equipe. Finalmente foi possível
desenvolver um material que inspira ao estudante buscar a metodologia proposta de
forma natural. A metodologia também gerou uma proposta de curso de extensão com
aulas voltadas para a análise de conteúdo, separadas por competência.
Acredita-se que o empenho na construção do conhecimento significativo é a
chave para inserirmos a mudança necessária nos métodos de ensino realizados
atualmente, ainda enraizados ao tecnicismo. Isso foi feito, na forma documental, em
uma metodologia que envolveu principalmente a Análise de Conteúdo, uma
metodologia já consolidada desde os anos 70 e definida por BARDIN, L. (1977) como:
“Conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por procedimentos
sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou
não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção
(variáveis inferidas) destas mensagens”.
Este trabalho será apresentado da seguinte forma: no capítulo 2 serão discutidos
os referenciais teóricos escolhidos a partir da motivação de desconstruir as avaliações de
referência na área de Matemática (no caso ENEM e OBMEP), de forma a aproveitar as
questões adequadamente, além da metodologia aplicada. No capítulo 3 estão
evidenciados os resultados obtidos e no capítulo 4 concluímos o assunto demonstrando
o potencial que esse estudo traz para o Ensino de Matemática e como utilizar o material,
além de evidenciar propostas para futuros trabalhos.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
174
2. Referencial Teórico e Metodologia
Em resumo, o trabalho foi desenvolvido atentando-se para as seguintes
características: que enfatizasse o modelo de avaliação continuada e descentralizada,
estimulando assim uma releitura constante dos exercícios, competências e habilidades
envolvidas; observando-se as tendências pedagógicas atuais, contextualizadas com o
cotidiano dos estudantes – da mesma forma que as avaliações investigadas;
considerando esses pontos de partida, os consideramos como motivação causal e, a
partir de então, buscamos que ferramentas pedagógicas nos auxiliariam a explorar essas
avaliações da melhor maneira possível; baseado nas competências e habilidade das
Matriz de Referência ENEM e nos materiais de apoio à OBMEP, buscou-se traçar
mapas conceituais que levassem a classificar as questões por conteúdo a grosso modo;
refinamos a classificação com o método da análise de conteúdo, porém utilizando como
base um trabalho de aplicação, e não de base teórica, pois estamos lidando com uma
equipe de estudantes pesquisadores de ensino médio.
A metodologia e os respectivos referenciais teóricos em que nos baseamos
consta a seguir:
- Celso Antunes – A avaliação da aprendizagem escolar: Para ANTUNES
(2002) e seus precursores (Piaget, Freire, Comênius), a avaliação da aprendizagem vai
muito além das temidas provas bimestrais, que mais parecem um teste de memorização
do que uma avaliação do aprendizado. Avaliar significa captar em sua essência o que o
educando está absorvendo como aprendizado. Isso envolve um processo de avaliação
continuada que abrange ferramentas muito mais diversificadas e dinâmicas, como
acompanhamento do desempenho nas tarefas diárias, trabalhos em grupo, investigações
em aulas diagnósticas. Somente dessa forma – através de um processo de avaliação
continuada e formativa – pode-se dizer com menos chance de erros se o educando está
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
175
apto ou não para prosseguir para a próxima etapa, podendo ser a próxima série na escola
ou o mercado de trabalho.
Paulo Freire também defendia o processo de aprendizado focado no “fazer”, nao
somente no “transcrever”. Fica claro, dessa maneira, que os processos nao só avaliativos
como também de ensino-aprendizagem envolvam conceitos e ações práticas. No
Instituto Federal esses objetivos são alcançados mais plenamente, devido ao Ensino
Médio integrado aos Cursos Técnicos de naturezas diversas.
- Libâneo – Pedagogia Crítico-social dos Conteúdos: LIBÂNEO (1982) faz
duras críticas à Pedagogia tradicional, em particular a uma tendência que ainda não foi
superada desde os tempos de ditadura militar, que é a Pedagogia Liberal Tecnicista,
altamente voltada aos métodos avaliativos e não no aprendizado em si. Por isso o autor
ressalta a importância da escola pedagógica progressista, que são defendidas nas
palavras do próprio autor:
“...partindo de uma análise crítica das realidades sociais, sustentam implicitamente as finalidades
sociopolíticas da educação. Evidentemente a pedagogia progressista não tem como
institucionalizar-se numa sociedade capitalista; daí ser ela um instrumento de luta dos
professores ao lado de outras práticas sociais”.
Em particular, o autor mostra sua preferência pela pedagogia crítico-social dos
conteúdos, onde, diferentemente de outras tendências pedagógicas progressistas
(Libertadora, de Paulo Freire, e libertária, que defende uma autogestão pedagógica –
uma pedagogia de dentro para fora), ressalta o aprendizado baseando-se na realidade
social.
Se formos fazer uma extensão desse conceito, podemos utilizar na Matemática
os elementos cotidianos dos educandos: um arado, uma construção civil, objetos do dia-
a-dia, contas para economizar no supermercado, gráficos e tabelas que inundam nossas
TVs e a Internet.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
176
Nesse contexto pedagógico, envolvendo o processo de ensino-aprendizagem e o
processo avaliativo, notou-se que as avaliações de referência no Brasil, na área de
Matemática, que envolvem o IFMS – ENEM e OBMEP – seguem essas tendências
defendidas por Celso Antunes e José Carlos Libâneo. Tudo isso motivou-nos a
investigar essas avaliações a fim de criarmos um material sobre o assunto e
posteriormente cursos e grupos de pesquisa para analisar essas questões elaboradas e
que vão além dos métodos tecnicistas de fixação, mecânicos e contrários ao aprendizado
em si, somente mecanizando os algoritmos matemáticos, ao invés de inseri-los no meio
em que os fenômenos são observados: a natureza e a sociedade local.
- David Ausubel – Aprendizagem Significativa: Esse trabalho foi investigado
com o objetivo de criarmos uma metodologia de aplicação dos cursos preparatórios para
OBMEP e ENEM. Em resumo, o foco da metodologia que queremos adquirir,
colocando em prática a consolidação de conceitos fragmentados a partir de mapas
conceituais modelados com o conhecimento prévio do educando aliado ao conteúdo
mediado pelo professor, é preparar os estudantes para essas Avaliações buscando nele
mesmo os conceitos iniciais que envolvem cada questão. Lembramos aqui que todos os
conceitos matemáticos nesse molde crítico-social são em sua grande maioria lapidados
nos estudantes durante sua vida como criança e pré-adolescente, seja na escola, seja no
seu dia-a-dia.
O psicólogo David Ausubel classifica duas correntes de aprendizagem: a
significativa e a memorística. A memorística delimita o aprendizado, pois não evoca
conexões entre o aprendizado contido no educando e o novo conceito que ele acabara de
aprender. Já a aprendizagem significativa proporciona um elo entre o novo conceito
aprendido e sua utilização no dia-a-dia do estudante.
Exemplos primários de como os novos materiais aprovados pelo PNLD
(Programa Nacional do Livro Didático) trabalham a aprendizagem significativa são os
exemplos enunciados ao longo do texto. Pelo menos é o que foi observado no livro
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
177
didático utilizado no IFMS, Câmpus Aquidauana (Dante, 2013). São exemplos
amplamente contextualizados com situações reais e cujos métodos de resolução
explorados sao mais do que somente proposições em “matematiquês”, mas que
envolvem uma linguagem mais coloquial, trazendo uma proximidade entre o enunciado
em língua pátria e a linguagem matemática.
No entanto, todo esse esforço em se gerar materiais de qualidade não vai auxiliar
sozinho na aprendizagem significativa. É preciso que os educadores tenham consciência
que devem se atualizar constantemente e devem insistir sem cessar em exercícios que
envolvam o cotidiano do educando. Em particular no IFMS, onde os cursos de ensino
médio são integrados um curso técnico, é importante que os Planos de Ensino sejam
diferenciados, mesmo que contendo a ementa aprovada pelo NDE do curso, focando a
parte significativa da aprendizagem no tema central do curso em questão.
Para se praticar um processo de ensino-aprendizagem significativo deve se
seguir três premissas básicas: entender o nível de conceitos prévios de cada aluno, ou da
turma como um todo e focando individualmente nos extremos (muito acima ou muito
abaixo da média); fazer aulas introdutórias bem estruturadas, que foquem na vinculação
dos conceitos fragmentados dos alunos, evitando assim os famosos exercícios de
fixação, repetitivos e tão voltados para a formulação matemática específica que desliga
completamente alguma possibilidade de conexão com os conceitos prévios; e por
último, e necessariamente importante para se aplicar a aprendizagem significativa,
modificar os esquemas de como o sujeito entende/media a conflito entre os conceitos
prévios, os conceitos consolidadores recentemente aprendidos e as conexões entre os
dois lados.
A metodologia citada pelo Dr. Ausubel são os mapas conceituais. Em resumo,
um mapa conceitual é formado por frases resumidas (proposições) sobre os conteúdos
que estão sendo trabalhados, fazendo-se relações entre elas (lógica ou simplesmente
estrutural), uma espécie de árvore onde os nós pais são os conceitos mais abrangentes e
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
178
gerais possíveis e as ramificações sejam cada vez mais particulares e específicas. Esse
conceito será explorado em etapas posteriores caso haja continuidade do Projeto.
Pode-se complementar o conceito de Ausubel aplicando também ferramentas
significativas, que envolvam mais utilização de softwares e ferramentas atuais que
fazem parte do dia-a-dia do estudante do século XXI, trazendo maior atratividade do
estudante em relação ao conteúdo proposto.
- Marinez Passos – Análise de Conteúdo: Marinez Passos et. al. realizaram uma
pesquisa investigando em qual(is) conteúdo(s) as questões de Matemática do ENEM
estavam inseridas, baseando-se em três pontos cruciais: As competências necessárias
para a resolução das questões; os conhecimentos necessários para a resolução das
questões; e os contextos dos enunciados das questões.
Passos et. al. (2012) seguiram a metodologia da análise de conteúdo e assim essa
etapa do projeto foi desenvolvida em três etapas: a pré-análise; a exploração do
material; e o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação. Sendo que a pré-
análise, ou análise empírica, já tinha sido feita por outro grupo de estudantes (LOPES
et. al., 2013), e foi realizada antes mesmo do estudo teórico, justamente para
verificarmos o contraste entre o estudante que recebe uma prova do ENEM,
interpretando-a de forma caótica com uma série de questões que a princípio não são
nada amigáveis a ele; e a mesma análise por outro grupo de estudantes sem nenhum
vínculo com os primeiros, mas com todo o embasamento teórico e a prática sistemática
da metodologia, prontos para explorar o seu potencial e auxiliar na passagem desse
potencial a outros estudantes a partir de cursos de extensão, grupos de estudo ou
palestras.
3. Resultados
No trabalho de LOPES et. al. (2013), uma análise empírica, sem nenhuma
instrução sobre análise de conteúdo ou outra técnica, a não ser a seguinte instrução:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
179
“baseado na Matriz de referência ENEM e nas Provas ENEM 2011 e 2012, classifique
as questões quanto à sua competência respectiva”, os resultados obtidos foram os
seguintes: paridade de cerca de 5% entre docente e discentes. Isso demonstra o quanto
os estudantes desvinculam o que se aprende em sala de aula com o que se pede em uma
avaliação importante como o ENEM.
Nesse trabalho, no entanto, houve uma significativa melhora nessa correlação.
Vejamos a seguir os resultados obtidos com a pesquisa do estudante 1:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
180
Tabela 1: resultados das análises da Prova Azul do ENEM 2011 – Matemática.
Questões Doc. Disc.
Q136 C1 C3
Q137 C5 C5
Q138 C3 C3
Q139 C6 C6
Q140 C2 C2
Q141 C4 C4
Q142 C7 C7
Q143 C3 C3
Q144 C2 C2
Q145 C4 C4
Q146 C3 C6
Q147 C2 C2
Q148 C3 C3
Q149 C5 C1
Q150 C5 C5
Questões Doc. Disc.
Q151 C2 C2
Q152 C6 C6
Q153 C4 C4
Q154 C7 C7
Q155 C2 C2
Q156 C5 C5
Q157 C1 C1
Q158 C4 C4
Q159 C5 C5
Q160 C4 C4
Q161 C4 C4
Q162 C1 C1
Q163 C7 C7
Q164 C4 C4
Q165 C2 C2
Questões Doc. Disc.
Q166 C4 C4
Q167 C2 C2
Q168 C7 C7
Q169 C6 C6
Q170 C7 C7
Q171 C7 C7
Q172 C2 C2
Q173 C6 C6
Q174 C1 C4
Q175 C4 C7
Q176 C4 C6
Q177 C1 C1
Q178 C5 C5
Q179 C6 C6
Q180 C5 C5
Q: Questão; Doc.: Docente; Disc.: Discente; C: Competência conforme Matriz de Referência
ENEM.
Tabela 2: resultados das análises da Prova Azul do ENEM 2012 – Matemática.
Questões Doc. Disc.
Q136 C3 C6
Q137 C2 C2
Q138 C4 C4
Q139 C7 C7
Q140 C1 C5
Q141 C5 C3
Q142 C1 C5
Questões Doc. Disc.
Q151 C6 C6
Q152 C2 C2
Q153 C2 C2
Q154 C1 C1
Q155 C1 C1
Q156 C6 C6
Q157 C1 C1
Questões Doc. Disc.
Q166 C5 C5
Q167 C4 C4
Q168 C5 C5
Q169 C5 C5
Q170 C6 C6
Q171 C4 C5
Q172 C1 C1
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
181
Q143 C5 C2
Q144 C1 C4
Q145 C3 C3
Q146 C7 C7
Q147 C1 C6
Q148 C6 C6
Q149 C2 C2
Q150 C1 C1
Q158 C2 C2
Q159 C2 C2
Q160 C2 C2
Q161 C1 C1
Q162 C6 C6
Q163 C6 C7
Q164 C4 C4
Q165 C2 C2
Q173 C4 C4
Q174 C7 C6
Q175 C1 C6
Q176 C7 C4
Q177 C1 C3
Q178 C7 C4
Q179 C7 C7
Q180 C4 C5
Q: Questão; Doc.: Docente; Disc.: Discente; C: Competência conforme Matriz de Referência ENEM.
O índice de correlação Docente vs. Discente nesse caso ficou em torno de 75%,
notoriamente superior ao trabalho de analise empírica realizado 3 anos antes. Isso
demonstra a importância dessa prática e de como é importante a desconstrução dessas
importantes questões meticulosamente criadas para que tenhamos um material de
qualidade para aplicar e criar mais materiais em sala de aula, mudando-se o ritmo aos
poucos de uma educação ainda tecnicista para uma prática crítico-social dos conteúdos.
Para a OBMEP criamos outros parâmetros de classificação. Baseado nos mapas
conceituais de Ausubel, os seguintes classificadores foram considerados: Aritmética
(A), Análise Combinatória e Probabilidade (B) e Geometria (C). Inserimos também uma
quarta classificação, denominada Sem Classificação (S).
Os resultados do estudante 2 estão na tabela a seguir:
Tabela 3: Resultados das análises da Prova da 1a Fase da OBMEP 2011 e 2012.
2011 2012
Q Doc. Disc.
Q1 A A
Q2 C C
Q3 S C
Q4 B A
Q5 A A
Q Doc. Disc.
Q11 A A
Q12 B B
Q13 C C
Q14 A A
Q15 B B
Q Doc. Disc.
Q1 A A
Q2 A B
Q3 A A
Q4 A B
Q5 S C
Q Doc. Disc.
Q11 A A
Q12 C C
Q13 A A
Q14 C C
Q15 S B
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
182
Q6 C A
Q7 C A
Q8 S B
Q9 B A
Q10 C C
Q16 C C
Q17 A A
Q18 A A
Q19 A S
Q20 B B
Q6 C C
Q7 A B
Q8 C C
Q9 A A
Q10 C C
Q16 S B
Q17 C C
Q18 B B
Q19 A A
Q20 B B
Q: Questão; Doc.: Docente; Disc.: Discente; A, B, C, S: classificadores explicados
no texto.
Nesse caso a correlação ficou em torno de 70%. Nada mal, considerando-se que
nesse caso não havia uma matriz de referência específica e que as questões da OBMEP
envolvem um nível maior de complexidade.
4. Conclusões e Propostas
Observando as Avaliações de Referência no Brasil na Área de Matemática, para
escolas públicas – ENEM e OBMEP – fomos motivados a desconstruí-las, afim de
extrairmos delas seus significados para que sejam inseridas adequadamente em sala de
aula e em cursos de extensão e ensino para não só preparar estudantes para o ENEM e
melhorar o desempenho em Matemática, mas criar uma cultura de evolução pedagógica
que envolve um modelo de ensino mais galgado na prática contínua, prática e
contextualizada dos conteúdos das ementas, que sabe até estimular em médio e longo
prazo uma reestruturaçao das ementas das disciplinas do “núcleo básico”.
Utilizando diversas técnicas e aprofundamento teórico, conseguimos resultados
satisfatórios e acreditamos que isso possa evoluir para práticas sistemáticas em sala de
aula, o que já vem ocorrendo parcialmente com alguns Professores de Matemática do
IFMS Câmpus Aquidauana, em módulos adaptados nos semestres finais dos ensinos
médios integrados aos técnicos.
A forma de utilização atual do material foi a seguinte:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
183
i. O professor, a cada sequência de duas ou três aulas, relembrava e fazia o passo
de aprendizagem significativa com os estudantes, referentes a 2 Competências do
ENEM;
ii. O professor colocou os estudantes a tentar classificar as questões do ENEM
2015 (Prova Azul – 1ª Aplicação), estimulando com 1,0 ponto por grupo que fizesse
esse trabalho;
iii. O professor separou as questões desse ENEM de acordo com os conteúdos da
Matriz de Referência ENEM e aplicou como tarefas, a cada período de duas ou 3 aulas;
iv. As correções também foram selecionadas por conteúdo/competência;
v. O professor finalizou essa etapa de aplicação dos estudos aqui relatados
lançando um exercício em grupo, valendo 30% da Nota do 1º Bimestre, que em resumo
pedia para que grupos de até 5 estudantes criassem uma questão de Matemática do
ENEM, multicompetências e contextualizada.
Como ainda é um Projeto-piloto, não foram colhidos dados de feedback por
parte dos discentes.
Os próximos passos incluem utilizar a metodologia já aprendida para
sistematizar a classificação das questões e fazer isso com as edições do ENEM desde
2009 (Novo ENEM) e com a OBMEP, em todas as suas edições, 1ª fase e 2ª fase. Em
seguida, o objetivo é criar um banco de dados digital onde o estudante ou o educador
possa acessar esse banco de dados e procurar uma questão do ENEM de diversas
disciplinas ou de Olimpíadas de diversas áreas, de acordo com a ementa, semestre
letivo, tópico específico ou outra linha de raciocínio pertinente.
5. Referências
ANTUNES, C. A avaliação da aprendizagem escolar. Petrópolis, RJ: Ed.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
184
Vozes, 2002.
AUSUBEL, D. P. A aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel.
São Paulo: Moraes, 1982.
BARDIN, L. Análise de Conteúdo. Lisboa: Edições 70, 1977.
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações – 2. ed. – São Paulo:
Ática, 2013. Obra em 3 v.
INEP. ENEM – INEP. Disponível em <http://inep.gov.br/web/enem/>.
Acessado em Set-2013.
LIBÂNEO, J. C. Tendências Pedagógicas na Prática Escolar. Revista da
ANDE (Associação Nacional de Educação), n.6, 1982.
LOPES T. S. et. al. Análise de Conteúdo das questões do Novo ENEM –
Matemática: Uma Abordagem Empírica. III ENIC – Encontro de Iniciação Científica –
IFMS, Câmpus Nova Andradina, 2013.
OBMEP. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.
Disponível em <http://www.obmep.org.br/>. Acessado em Abr-2015.
PASSOS, M. M. et. al. As questões de Matemática no ENEM: análise de
conteúdo. Disponível em <http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/
article/download/6113/4983>. Acessado em Out-2012.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
185
O JOGO DE XADREZ COMO FERRAMENTA AUXILIAR NO PROCESSO DE
ENSINO APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA ÍTULO
Luzitânia Dall’Agnol
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Diogo Chadud Milagres
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Jeú Chaves Lima
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Bruno Marcos Bedoia Gomes Arguelho
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Fernando Araújo de Oliveira Massa
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Resumo:
O xadrez é um jogo de tabuleiro de natureza recreativa, com ele é possível despertar no
discente um pensamento reflexivo e crítico além de ser usado como ferramenta no
ensino da matemática. O projeto visa relatar uma experiência do PIBIC do Instituto
Federal de Educação do Mato Grosso do Sul, que visa inserir o xadrez no âmbito
escolar e apresentar a matemática que está inserida neste jogo. Foi possível mostrar
através do jogo a interdisciplinaridade entre os componentes curriculares de matemática
e educação física. A metodologia usada foram oficinas das quais foi apresentada a lenda
do xadrez, aprendizagem do jogo e suas regras e, relacionando-o com a matemática. Os
docentes relataram que houve, de forma significativa, uma mudança com relação aos
interesses e produção escolar nos alunos participantes do projeto, conclui-se que é
possível trabalhar com interdisciplinaridade, para produção de conhecimentos. O
referencial teórico foi digital e bibliográfico.
Palavras-chave: Jogo de xadrez; educação matemática; Interdisciplinaridade.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
186
1. Introdução
Os jogos podem ser utilizados como ferramentas para a aprendizagem em sala
de aula, proporcionando bons resultados como recurso pedagógico, pois estimula a
participação e criatividade dos discentes. O jogo de xadrez proporciona para os
discentes um estímulo na resolução de problemas, principalmente quando o conteúdo a
ser estudado for de características abstratas. Se apresenta como um veículo de
informações e tem como proposito estimular, compreender e analisar estratégias, onde
ocorre a evolução da capacidade expressiva, muito presentes no ensino e aprendizagem
da matemática. A Matemática é um componente curricular presente não apenas no
contexto escolar, mas também no contexto extraescolar. Este projeto objetiva
demonstrar a importância dos jogos no processo de ensino e aprendizagem, no ensino
médio. Proporcionar discussões relevantes, garantindo através de dinâmicas, a
construção de conhecimento. Sabe-se que, formas lúdicas contribuem para o raciocínio
logico, estimula o pensamento, da segurança, disposição, concentração, além de
melhorar a socialização dos discentes. Segundo Rezende (2005, p.15),
Por causa de sua natureza lúdica o homem criou e desenvolveu inúmeros
jogos e desportos que o acompanha seu desenvolvimento na sociedade.
Dentre todos os jogos, o xadrez tem certo prestígio no mundo por ser um
esporte voltado para o desenvolvimento de algumas funções do cérebro tais
como o raciocínio lógico, a concentração e a atenção (REZENDE, 2005,
p.15).
Os jogos em sala de aula podem estimular os discentes a desempenhar um papel
ativo, além de promover a aceitação de regras, exigindo que os alunos interajam, tomem
decisões e criem novas regras. Os jogos podem ser utilizados para introduzir,
amadurecer conteúdos e preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados.
Devem ser escolhidos e preparados com cuidado para levar o estudante a adquirir
conceitos matemáticos de importância. Devemos utilizá-los como ferramentas e
facilitadores para uma aprendizagem significativa e relaciona-los com alguns conteúdos
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
187
matemáticos.
A ideia principal desse recurso é a participação coletiva, atingindo os objetivos
proposto dentro do planejamento de aula. Sendo assim, o discente aprende o conteúdo e
se torna apto a enfrentar desafios, uma vez que os jogos preparam o aluno motivando-o
a participar e socializar-se. Assim como qualquer material didático, o jogo de xadrez
deve ser visto como recurso importante para auxiliar o docente no ensino da
matemática. Sendo assim um auxilio nos conteúdos matemáticos, principalmente nos
estudos de plano cartesiano, área de um polígono, frações e simetria entre outros. O
jogo de xadrez é um jogo centenário, um recurso utilizado nas aulas, ele contribui para
atender aos anseios dos discentes e explorar conteúdos matemáticos. Lasker (1999,
p.32) acredita que “a história da invenção do xadrez e de suas migrações através da
terra, por si só, já é interessante” [...], “não se sabe ao certo onde o xadrez começou,
mas há muitas histórias, mitos e lendas a seu respeito”. De acordo com Giusti ( 2006,
p. 24), “o xadrez é um jogo muito antigo, e não se sabe ao certo sua origem” [...]
"conta-se que o rajá indiano Balhait, entediado com jogos em que a sorte acabava
prevalecendo sobre a perícia e a habilidade do jogador, pediu a um sábio de sua corte,
chamado Sissa, que inventasse um jogo que valorizasse qualidades nobres, como a
prudência, a diligência, a lucidez e a sabedoria” [...]. “Sissa se apresentou ao rajá com
sua invenção. Tratava-se de um tabuleiro quadriculado, sobre o qual se movimentavam
peças de diferentes formatos, correspondendo cada formato a um elemento do exército
indiano: Carros (Bispos), Cavalos, Elefantes (Torres) e Soldados (Peões), além de um
Rei e um vizir (Rainha). Sissa explicou que escolheu a guerra como tema porque é a
guerra onde mais pesa a importância da decisão, da persistência, da ponderação, da
sabedoria e da coragem. O rajá ficou encantado com o jogo e concedeu a Sissa o
direito a pedir o que quisesse como recompensa”. [...] “Sissa concordou em fazer um
pedido: - Desejo, como recompensa, um tabuleiro de Xadrez cheio de grãos de trigo,
sendo que a primeira casa deve ter um grão, a segunda deve ter dois, a terceira deve
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
188
ter quatro, a quarta deve ter oito, e assim sucessivamente, dobrando o número de grãos
na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos
correspondentes. O rajá se recusou a satisfazer um pedido tão modesto, e tentou
persuadir Sissa a escolher uma recompensa mais valiosa. No entanto, Sissa disse que
para ele bastava que lhe fosse conferida aquela recompensa, e nada mais” [...] “Foi só
então que o rajá ordenou aos seus matemáticos que calculassem a quantia exata que
deveria ser paga, e descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era
suficiente” [...] “A quantia era 264
- 1 grãos de trigo, que corresponde à soma da série:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... +
9.223.372.036.854.775.808, isto é, 18.446.744.073.709.551.615 grãos de trigo! Para
alívio do rajá, Sissa disse que já sabia que sua recompensa não poderia ser paga, pois
aquela quantidade daria para cobrir toda a superfície da Índia com uma camada de
quase uma polegada de espessura”.
A relação entre a Matemática e os jogos oportuniza explorar e descobrir a
vivência dos discentes, dando oportunidade desafiadora para desenvolver a capacidade
cognitiva, estímulos para respostas de problemas, concentração, atenção, estratégias,
paciência, autocontrole, autoconfiança, instiga a imaginação, exige responsabilidade. Na
concepção Piagetiana, os jogos geram um sentimento de domínio e prazer para os
discentes, eles consistem em auxilio para assimilação funcional e contribui para
momentos de descontração. De acordo por Borin, (1996. P.20),
Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos
estudantes que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-
la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a
motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos
falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes
mais positivas frente a seus processos de aprendizagem. (BORIN, 1996, p.
20).
Os jogos são elementos que possuem importância neles próprios, são,
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
189
geralmente atividades agradáveis em que o sujeito pode agir com espontaneidade,
liberdade e emoção. Essas atividades também podem contribuir para o desenvolvimento
físico e psicológico. Kamii (2001, p. 63), destaca que os jogos em grupo sao “situações
ideais para a troca de opiniões entre crianças. Neles as crianças são motivadas a
controlar a contagem e a adição dos outros, para serem capazes de se confrontar com
aqueles que trapaceiam ou erram”. O jogo exige que o jogador pense e tome decisões.
Os jogos são educativos e importantes sua utilização para a aprendizagem de conceitos
matemáticos e suas soluções, registros e discussões sobre possíveis caminhos que
poderão surgir. O mesmo deve ser usado em aulas de matemática, pois servirão de
aporte para os educandos desenvolverem seu pensamento lógico-matemático. Os jogos
são educativos, sendo assim, requerem um plano de ação que permita aprendizagem de
conceitos matemáticos e culturais de uma maneira geral.
De acordo com Piaget (1987, p.146), “o jogo constitui o polo extremo da
assimilação da realidade no ego, tendo relação com a imaginação criativa que será
fonte de todo o pensamento e raciocínio posterior”. O trabalho com a matemática em
sala de aula representa um desafio para o professor na medida em que exige que ele o
conduza de forma significativa e estimulante para o aluno. Geralmente as referências
que o professor tem em relação a essa disciplina vêm de sua experiência pessoal. Muitos
deles afirmam que tiveram dificuldades com aquela matemática tradicionalmente
ensinada nas escolas, que tinha como objetivo a transmissão de regras por meio de
intensiva exercitação. Pimenta (2016), aborda esse assunto e ressalta ser do
conhecimento de todos, que o xadrez vem a enriquecer não só o nível cultural dos
indivíduos, mas também várias outras capacidades apontadas, e uma outra, não menos
essencial para o convívio social. Cabe então descobrir novas metodologias de trabalhar
com a matemática, de modo que os discentes percebam que pensamos matematicamente
o tempo todo, resolvemos problemas durante vários momentos do dia e somos
convidados a pensar de forma lógica cotidianamente. A matemática, portanto, faz parte
da vida e pode ser aprendida de uma maneira dinâmica, desafiante e divertida. Para
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
190
Dinello (2004), o jogo representa:
Um âmbito de socialização, com uma grande liberdade de inventar regras e
relações, possibilitada pelo fato de situar-se à distância de determinismos
convencionais [...] o jogo apresenta situações próprias para descobrir-se
“como” o outro ou muito “diferente” dos outros: ambas as percepções sao
necessárias para ir construindo suas próprias referências. (DINELLO, 2004 p.
19).
Os jogos funcionam como recursos, processos e resultados, também é um meio
eficaz de integração social. O objetivo desse projeto é fazer com que os alunos
participantes aprendam sobre o xadrez e a matemática que envolve o jogo, e que
desenvolvam a atenção, paciência e o raciocínio lógico, propor algo interessante e
desafiador aos discentes e de permitir que os mesmos possam auto – avaliar o seu grau
de conhecimento e de dificuldades de aprendizagem, utilizando jogos confeccionados a
partir dos conteúdos estudados e aplicados para tornarem as aulas mais atrativas e
participativas. Para Julião (2009, p.25) salienta que nesta busca por melhorias, o ensino
de xadrez, incorporado como disciplina regular, de modo sistemático surge como uma
ótima opção, unindo o espírito inovador das instituições educacionais e a forte imagem
de intelectualidade que esse esporte oferece.
2. Metodologia
A metodologia do projeto foi de caráter exploratório, descritiva e longitudinal.
Inicialmente foi aplicado algumas questões envolvendo raciocínio lógico como forma
de verificar conhecimentos prévios dos alunos. Após resultados desta análise de
investigação, foi feito uma nova aplicação de atividades envolvendo atividades
matemáticas relacionadas com o xadrez, com objetivo de verificar se o discente
consegui fazer relação da matemática com o jogo propriamente dito.
O referido projeto teve como ferramenta o tabuleiro do xadrez, com 64 casas,
onde é composto por Peças - 32 peças, 16 brancas e 16 pretas, 2 Torres; 2 Cavalos; 2
Bispos; 1 Dama; 1 Rei; 8 Peões, cada peça tem seu movimento determinado pelas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
191
regras e é executado por dois participantes, com o intuito de impor o xeque-mate ao
adversário ou o seu rendimento.
Figura 1. Tabuleiro de xadrez - Posição Inicial das Peças
O projeto ofereceu oficinas, com duas horas de duração, duas vezes por semana,
para apresentar a lenda do xadrez, as regras do jogo e a forma de jogar. Sendo estas
oficinas conduzidas por discentes, com orientação da coordenadora do projeto. Dando
sequência aos encontros, os integrantes foram se familiarizando com o mesmo.
Após ensinar a regra do jogo aos participantes, foi apresentado os conteúdos
matemáticos aplicados no tabuleiro de xadrez. Os discentes trabalharam resolução de
frações e simetria, resolução de problemas, porcentagem, intersecção, geometria,
simetria, figuras geométricas planas, área, raciocínio lógico no tabuleiro de xadrez.
Após todo este processo, foram reaplicadas novas questões de matemática para que os
discentes pudessem relacionar a matemática com o xadrez, tendo êxito nesta etapa. O
projeto foi finalizado com interdisciplinaridade envolvendo os componentes curriculares
de Matemática e Educação Física, com um torneio de xadrez, envolvendo além dos
participantes das oficinas, foi aberto aos discentes do Instituto Federal do Mato Grosso
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
192
do Sul- IFMS.
Figura 2. Alunos na Oficina de Xadrez. Fonte: Arquivo pessoal (2016)
3. Conclusões
O jogo de xadrez estimula diversas característica como: raciocino lógico,
pensamento crítico, concentração, autoestima, autonomia e confiança. Ele oferece ainda,
aos discentes uma maneira simples de aprender matemática prazerosamente. Ao buscar
a melhor combinação de jogadas, o discente aprende a pensar de uma forma geral e
analisa o problema, para encontrar o melhor caminho para sua solução. Este jogo ainda
proporciona a articulação, a análise e compreensão do todo e não apenas o problema a
ser solucionado. Os jogos e as brincadeiras são de extrema importância para o
desenvolvimento cognitivo da criança. Este jogo ainda proporciona a articulação, a
análise e compreensão do todo e não apenas o problema a ser solucionado. O jogo
analisa as diversas formas de atacar, resolver, selecionar estratégias de defesas, que em
sala de aula torna-se indispensável na hora de resolver exercícios matemáticos.
Os Jogos, as atividades lúdicas podem auxiliar no desenvolvimento cognitivo da
criança, auxiliando na integração social, organização do pensamento.Com o auxílio do
xadrez o discente cria flexibilidade para aprender as diversas atividades
extracurriculares, principalmente nos conteúdos de plano cartesiano, área de um
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
193
polígono, frações e simetria, resolução de problemas, porcentagem, intersecção,
geometria, simetria, figuras geométricas planas, área, raciocínio lógico entre outras
atividades conceituadas em matemática. Foi possível promover a interdisciplinaridade
entre os componentes curriculares de Matemática e De acordo com os relatos dos
professores, o comportamento, a postura e até mesmo as notas dos discentes que
participaram do referido projeto tiveram alterações positivas.
4. Referências
BORIN,J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de
matemática. São Paulo: IME-USP;1996.
DINELLO, Raimundo Angel. Os jogos e as ludotecas. Santa Maria: Pallotti, 2004.
p.16.
GIUSTI, P. História ilustrada do xadrez. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
JULIÃO, Taís. Xadrez Escolar: Uma lição gostosa de aprender. In:
http://xadrezescolarecompeticao.blogspot.com/2008/05 (Acesso 14/08/2016)
KAMII, Constance. A criança e o número. Tradução: Regina A de Assis. 28ª edição.
Campinas, SP: Papirus, 2001.
LASKER, Edward. História do xadrez. Tradução de Aydano Arruda. 2 ed. São Paulo:
IBRASA, 1999.
PIAGET, J. Seis Estudos de Psicologia. 1. ed. Rio de Janeiro: Forense-Universitária,
1987. 146 p.
PIMENTA, Ciro José C. Xadrez: esporte, história e sua influência na sociedade. In:
www.cdof.com.br/xadrez.htm, (Acesso 21/09/2016)
REZENDE, Sylvio. Xadrez pré-escolar: uma abordagem pedagógica. Rio de Janeiro:
Editora Ciência Moderna Ltda, 2005.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
194
PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO DE GAUSS-JORDAN
EM LINGUAGEM C PARA AUXILIAR O APRENDIZADO DE TÓPICOS DE
ÁLGEBRA LINEAR
Diogo Chadud Milagres
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Luzitânia Dall’Agnol
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Resumo:
O objetivo desse trabalho é criar um ambiente de aprendizado de Álgebra Linear para
exercícios que envolvam escalonamento de Matrizes e, consequentemente, operações
lineares. Os conceitos aprendidos nessa área se estendem ao estudo da inversão de
matrizes, solução de sistemas lineares e o cálculo de determinantes. No entanto, são
cálculos que tomam bastante tempo se forem feitos à mão, tornando esse rico conteúdo
de raciocínio lógico em algo enfadonho para os estudantes e também para o professor.
Assim, propõe-se com esse trabalho demonstrar um implementação dos algoritmos
principais dessa área da Álgebra Linear em Linguagem C, para auxiliar no ensino de
Álgebra Linear sem tomar tempo do professor e chamando a atenção dos estudantes de
hoje, cada vez mais ligados às tecnologias digitais.
Palavras-chave: Álgebra Linear; Algoritmo de Gauss-Jordan; escalonamento.
1. Introdução
Matrizes bidimensionais são representações matemáticas de tabelas (DANTE, L.
R., 2000.). A partir de sua definição matemática, é possível trabalha-la de diversas
formas, envolvendo determinantes e sistemas de equações lineares (BOLDRINI, 1980),
(DANTE, L. R., 2000.), (LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004). Uma forma eficaz de se
resolver diversos problemas de Álgebra Linear é o método do escalonamento
(LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004). Porém, como a ordem de complexidade
computacional desses algoritmos é de O(n3) (CORMEN, T. H. et al., 2009), quanto
maior a quantidade n de variáveis, maior o número de operações matemáticas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
195
(BOLDRINI, 1980), e uma aula na lousa torna-se demorada e cansativa, tanto para o
docente como para o discente.
O Algoritmo de Eliminação de Gauss - AEG (BOLDRINI, 1980),
(LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004), também chamado de escalonamento, calcula os
valores das variáveis de sistemas lineares de forma parcial, porque encontra (caso o
sistema seja possível determinado) somente uma variável, em geral. As outras
dependem do método da substituição, ou de algoritmos do tipo SOLVE, no caso de
softwares computacionais (WOLFRAM, 2015). Mesmo assim, utilizaremos o AEG para
transformar uma matriz quadrada em uma matriz triangular equivalente, onde o cálculo
do determinante fica bastante simplificado (BOLDRINI, 1980), (LIPSCHUTZ, S.;
LIPSON, M., 2004).
O Algoritmo de Gauss-Jordan (AGJ), (BOLDRINI, 1980), (LIPSCHUTZ, S.;
LIPSON, M., 2004), é muito útil para se encontrar a matriz inversa de uma matriz
quadrada, se houver. Considerando a aplicação em Sistemas Lineares, é possível adaptar
o algoritmo de Gauss-Jordan para encontrar a solução de um Sistema Linear Possível
Determinado.
O objetivo deste trabalho é demonstrar aplicações possíveis dessa ferramenta
computacional, tornando-a didática para ensinar Álgebra Linear, a partir do trabalho
inicial, puramente científico (MILAGRES, D. C., 2016).
Nos capítulos a seguir descreveremos a fundamentação teórica envolvida, a
metodologia aplicada, alguns resultados em forma de exemplos e as conclusões,
opiniões e propostas para continuar o desenvolvimento dessa ferramenta.
2. Metodologia
Antes de aplicar a metodologia, deve-se conhecer bem os problemas que se
pretende resolver. Vejamos os três problemas que propusemos resolver neste trabalho:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
196
Algoritmo de Gauss-Jordan e a inversão de Matrizes
O Algoritmo de Gauss-Jordan resolve completamente o problema de encontrar
as soluções de um sistema linear SPD. Ao aplicarmos esse algoritmo em uma matriz
qualquer encontramos como resposta sua forma canônica (BOLDRINI, 1980).
Podemos primeiramente entender com detalhes como proceder para aplicar o
Algoritmo de Gauss-Jordan em uma matriz dada A (LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.,
2004).
Seja a matriz A:
Figura 1. Matriz A com m linhas e n
colunas.
i. Ida: Equivalente ao AEG, ou escalonamento de A.
Passo 1: Organizamos as linhas de forma que, quanto mais acima, o primeiro
elemento não nulo de cada linha, chamado de pivô, esteja na mesma coluna ou mais à
esquerda que o pivô da linha de baixo.
Passo 2: Seja aij o primeiro pivô. Para eliminar o próximo elemento não nulo
desta j-ésima coluna (seja a(i + k)j), fazeos uma conta denominada eliminação:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
197
O coeficiente fracionário da linha i serve para tornar o elemento a(i + k)j nulo.
Vamos chama-lo de fator.
Passo 3: Repete-se os passos 1 e 2 até que todos os elementos abaixo do pivô da
primeira coluna que contém um pivô sejam nulos.
Passo 4: Para a próxima coluna, repita os passos 1 a 3. O pivô deve estar pelo
menos uma linha abaixo do pivô anterior. Observe que, para cada nova coluna, o
algoritmo da ida será aplicado em uma submatriz de dimensões menores que a aplicação
na coluna anterior. Ao final desse processo, obteremos a matriz escalonada equivalente
à matriz dada.
ii. Volta: Consiste em encontrar a hermitiana canônica de A, a partir da matriz
A escalonada pela etapa de ida. A matriz hermitiana canônica relacionada a uma matriz
dada é uma forma especial de matriz escalonada, onde os pivôs valem um, as possíveis
linhas nulas ficam ao final da matriz, na coluna onde há pivôs os outros elementos são
nulos e o pivô da linha i está sempre à direita da linha i – 1.
Observa-se que a “volta” é bastante similar à “ida”, invertendo-se o sentido do
escalonamento. O passo 1 se simplifica, somente para transformar os pivôs no número
1. Vamos fazer “de baixo para cima”:
Passo 1: Cada pivô deve valer 1 (vide hermitiana canônica), multiplicando-se
sua linha equivalente pelo inverso do referido pivô.
Passo 2: Seja aij o primeiro pivô. Para eliminar o próximo elemento não nulo
desta j-ésima coluna (seja a(i - k)j), executamos:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
198
Passo 3: Repete-se os passos 1 e 2 até que todos os elementos acima do pivô da
última coluna à direita que contém um pivô sejam nulos.
Passo 4: Para a próxima coluna à esquerda, repita os passos 1 a 3. O pivô deve
estar pelo menos uma linha acima do pivô anterior. Observe que, para cada nova coluna,
o algoritmo da ida será aplicado em uma submatriz de dimensões menores que a
aplicação na coluna anterior. Ao final desse processo, obteremos a matriz na forma
canônica equivalente à matriz dada.
Solução de Sistemas de Equações Lineares
Lembrando que podemos representar um sistema de equações lineares de forma
matricial, é possível trabalhar um sistema linear com o Algoritmo de Gauss-Jordan.
Uma das propostas aqui é adaptar o modelo do AGJ para resolver sistemas lineares,
juntando a matriz de coeficientes das variáveis (aij) com o vetor coluna B.
Figura 2. Um sistema linear de m equações e n variáveis e sua equivalência na forma matricial.
Figura 3. Adaptação do AGJ para
sistemas lineares.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
199
Assim, após a aplicação do AGJ, teremos a matriz quadrada hermitiana, à
esquerda, e as respostas à direita, caso o sistema seja SPD. No caso de o sistema ser SPI
ou SI, o algoritmo de Gauss-Jordan não traz vantagens para a programação, então para
essa análise classificatória utilizamos a Regra de Crammer, que não é objeto do estudo
mostrado aqui.
Determinante por triangulação
Seja A é uma matriz triangular, ou seja, uma matriz quadrada cujos elementos
abaixo ou acima da diagonal principal são todos nulos, seu determinante é dado pela
multiplicação dos elementos da diagonal principal (DANTE, L. R., 2000.),
(LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2004). Observa-se, na figura 4, que uma matriz
triangular é uma matriz escalonada, que podemos obter pelo AEG.
Figura 4. Matriz triangular inferior.
3. Resultados
Vejamos alguns exemplos de aplicação:
i. Calcule a inversa de A =
3335
0011
4121
2232
:
O programa retorna a matriz inversa:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
200
[-0.818 1.090 3.000 0.909 ]
[-0.818 1.090 4.000 0.909 ]
[1.550 -1.730 -5.000 -1.270 ]
[1.000 -1.000 -4.000 -1.000 ]
ii. Resolva o sistema S =
0
3235
12
zyx
zyx
zyx
:
O programa retorna a matriz do sistema linear, no formato da matriz hermitiana
concatena adaptada para sistemas lineares conforme figura 3, mostrando que à esquerda
se formou a matriz identidade (e o sistema é SPD).
Sistema resolvido:
[1 0 0 -1 ]
[0 1 0 0 ]
[0 0 1 1 ]
x_1 = -1
x_2 = 0
x_3 = 1
iii. Calcule o determinante de D =
3432
4520
2201
3212
:
O programa retorna a matriz triangular cujo determinante é igual ao da matriz D.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
201
[2 1 2 3 ]
[0 0.5 3 -0.5 ]
[0 0 -7 6 ]
[0 0 0 -11.4 ]
Pressione qualquer tecla para continuar...
det(A) = 80
Os resultados podem facilmente ser comprovados manualmente ou executando-
se os algoritmos compilados (MILAGRES, D. C., 2016).
4. Conclusões e Propostas
A princípio, o cálculo puramente não é o objeto deste trabalho, uma vez que
existem inúmeros softwares e implementações caseiras para esses fins. O que se espera
é desenvolver ferramentas de acordo com as Tecnologias da Informação e Comunicação
(TICs), mostrando não só os resultados, mas o passo-a-passo como se o professor
estivesse escrevendo na lousa. Isso dispensaria o enorme tempo gasto e atrairia os
olhares dos estudantes da área de TI, interessados no desenvolvimento de algoritmos, e
assim estimulados a aprender não só o desenvolvimento da Álgebra Linear de forma
dinâmica como também desenvolver os algoritmos em forma de programação.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
202
Figura 5. Programa DetTriang sendo executado com uma matriz quadrada de
ordem 2.
No exemplo da figura 5, utilizamos uma matriz de ordem 2 cujo determinante é
facilmente calculado por 1.4 – 2.3 = 4 – 6 = – 2. Na primeira etapa, o usuário digita os
elementos da matriz. Em seguida, o algoritmo tenta colocar as linhas em ordem de
modo que os pivôs fiquem sempre à direita do pivô da linha acima (vejam comando L1
<-> L1). Em seguida, observa na coluna 1 que a11 = 1 e que a21 = 3. Utilizará então a L1
para eliminar a21 na L2, fazendo L2 = L2 – (a21/a11).L1, onde – (a21/a11) é o fator. Esse
fator, da matriz acima, é – (3/1) = – 3. Assim, o professor limitar-se-á a explicar o novo
valor de L2, que aparecerá a seguir ao pressionar qualquer tecla. A nova matriz é
triangula, e seu determinante é dado pela multiplicação da diagonal principal: 1.(-2) = -
2.
Dessa forma, apesar da interface gráfica simples, os softwares, com a ajuda do
docente, tornam-se ferramentas de aprendizagem nos moldes das TICs. Os softwares
desenvolvidos (InvMatr, SistLin e DetTriang), que utilizam em sua composição os
algoritmos de Álgebra Linear aqui trabalhados, estão disponíveis online (MILAGRES,
D. C., 2016) para livre utilização.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
203
Para próximas etapas, espera-se desenvolver essas ferramentas em uma
linguagem mais visual, como Java, e trabalhar o código-fonte com estudantes da área de
TI.
5. Referências
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. São Paulo: Harper & Hall do Brasil. 3ª Ed.,
1980.
CORMEN, T. H. et al. Introduction to Algorithms, 3rd ed., MIT Press, Cambridge, MA,
2009
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2000. v 3. Obra
em 3 v.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Schaum’s Outlines of Theory and Problems of
Linear Algebra. McGraw-Hill. 3th
Ed., 2004.
MILAGRES, D. C. Programas de Álgebra Linear. Disponível em < https://
drive.google.com/drive/folders/0BxtRwC5Whq5-OEJ6ZHdZRU4xNG8?usp=sharing >.
Acesso em: set-2016.
MILAGRES, D. C.; FALLEIROS, E. L. S. Proposta de Implementação do Algoritmo
de Gauss-Jordan em Linguagem C para Auxiliar o Aprendizado de Tópicos de
Álgebra Linear. II Simpósio em Computação – SIMPOCOMP 2013. UEMS, Nova
Andradina – MS.
WOLFRAM. Wolfram Alpha Computacional Knowledge Engine. Disponível em
<http://www.wolframalpha.com/>. Acesso em: mai-2015.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
204
A HISTORIOGRAFIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UMA POSSÍVEL
REFLEXÃO SOBRE SUAS POTENCIALIDADES E OBSTÁCULOS.
Roseli Alves de Moura
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Ana Rebeca Miranda Castillo
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Regina Thaise Ferreira Bento
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Ângela Maria dos Santos
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Resumo:
Este artigo trata da inserção da História na Educação Matemática e suas
decorrentes potencialidades e obstáculos. Buscamos refletir sobre as possíveis causas
desses obstáculos. Acreditamos que muitas vezes esses ocorrem no processo de
aprendizagem devido à forma como a História é apresentada nos livros didáticos e
paradidáticos, apresentando o evento de forma anacrônica e descontextualizada, fazendo
recortes na História de acordo com interesses pontuais. Acreditamos que um diálogo
com a nova historiografia possa permitir avanços nesse sentido. Assim, precisamos
articular as três esferas aqui propostas, já muito debatidas na História das Ciências,
sejam elas a epistemológica, contextual e historiográfica. Com isso, objetivamos
analisar o processo e não somente o resultado, contextualizando os acontecimentos e
buscando compreender as possíveis motivações com os olhos voltados para aquele
período, deixando assim, nosso olhar contemporâneo. Exemplificamos tal proposta em
uma pesquisa em andamento sobre Maria Gaetana Agnesi.
Palavras-chave: Educação Matemática; Historiografia; Livros didáticos; Maria
Gaetana Agnesi.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
205
1. Introdução
Analisando as pesquisas em Educação Matemática percebemos grande presença
do discurso histórico em parte das publicações brasileiras destinadas à Matemática
escolar, como por exemplo, em livros didáticos e paradidáticos e propostas produzidas
por órgãos governamentais responsáveis pela elaboração de diretrizes para o ensino
fundamental, médio e superior.
A inserção e o uso da História na Educação Matemática tem sido objeto de
muitos estudos não somente por apresentar potencialidades pedagógicas, mas também
por enfrentar obstáculos na efetivação das mesmas. Miguel (1997) e Miguel e Miorim
(2004) elencam alguns argumentos que reforçam essas potencialidades pedagógicas e
outros que evidenciam as dificuldades e obstáculos em sua implementação.
Nos argumentos que as reforçam, os autores identificaram duas categorias
diferenciadas não necessariamente excludentes: os argumentos de natureza
epistemológica e os de natureza ética. Entre os pertencentes à primeira categoria estão o
trabalho com a História da Matemática como fonte de seleção de tópicos de ensino,
métodos e objetivos para esse ensino. Para essa seleção um critério utilizado seria o
fator motivação da aprendizagem. Ainda nessa categoria a História da Matemática
proporcionaria uma compreensão e significação do ensino-aprendizagem da matemática
escolar na atualidade, também seria uma fonte para identificar os obstáculos
epistemológicos e com isso poder enfrentar as dificuldades dos estudantes no processo
educativo da Matemática escolar.
Já nos argumentos de natureza ética os autores destacam entre outros, o trabalho
com a História da Matemática como uma “fonte que possibilita a desmistificaçao da
Matemática e a desalienaçao de seu ensino”, possibilitando a “construçao de atitudes
acadêmicas valorizadas” e um pensamento crítico que viabiliza uma tomada de
consciência enquanto os usos sociais da Matemática. Os autores ainda apontam os
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
206
problemas e objeções quanto à participação da História no processo de ensino e
aprendizagem,
O primeiro argumento afirma que o uso da história da Matemática por parte
do professor torna-se problemático devido à quase ausência de literatura
adequada sobre a história da Matemática anterior aos dois últimos séculos.
[...]
O segundo argumento que se coloca em continuidade direta com o primeiro,
afirma que a natureza da literatura histórica disponível a torna
particularmente imprópria à utilização didática. Isso porque é uma
característica específica das publicações matemáticas destacar unicamente os
resultados matemáticos e ocultar a sua forma de produção. [...]
Um terceiro argumento afirma que a introdução do elemento histórico no
ensino da matemática, em vez de facilitar a aprendizagem, acabaria por
complica-la ainda mais. Isso porque o estudante, quando confrontado com os
problemas originais e com as soluções que historicamente lhes foram dadas,
dispenderia um tempo e um esforço sem precedentes, tentando reconstituir
um contexto que não lhe é familiar. (MIGUEL & MIORIM, 2004, p.63-64,
grifo nosso)
Esses obstáculos podem ser observados, por exemplo, quando o educador expõe
a História da Matemática da forma que é apresentada em muitos livros didáticos
reforçando uma concepção linear do desenvolvimento do conhecimento, representação
em voga de uma vertente historiográfica tradicional, como explicam Dias e Saito (2009,
p.5)
(...) o conhecimento matemático é visto como uma sucessão de fatos,
organizados logicamente, por sua temporalidade, omitindo debates e outras
questões ‘extra matemáticas’ que, direta ou indiretamente, estiveram ligadas
no momento de sua formulação. (DIAS e SAITO, 2009, p.5)
Esta ideia ainda é reforçada quando observamos nos Parâmetros Curriculares
Nacionais, no Quadro atual do ensino de Matemática no Brasil, uma avaliação de como
o discurso histórico é tratado em nosso país:
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
207
Apresentada em várias propostas como um dos aspectos importantes da
aprendizagem matemática, por propiciar compreensão mais ampla da
trajetória dos conceitos e métodos da ciência, a História da Matemática
também tem se transformado em assunto específico, um item a mais a ser
incorporado ao rol dos conteúdos, que muitas vezes não passa da
apresentação de fatos ou biografias de matemáticos famosos. (BRASIL,
1998, p. 23)
A análise dos obstáculos que podem surgir devido esse posicionamento histórico
linear evidencia que a inserção do enfoque histórico deve ser cauteloso e nos faz
entender que é necessário aprofundar as reflexões e discussões no que diz respeito ao
trabalho com a História da Matemática, para que a construção de interface entre história
e ensino seja viável. Questões de natureza metodológica devem ser consideradas
também, mas não somente, ou seja, além das aplicações em sala de aula segundo uma
corrente pedagógica articulada a uma linha historiográfica, deve haver uma reflexão das
condições para que essas aplicações ocorram e do fundamento teórico que as sustenta.
Buscando minimizar esses obstáculos, acreditamos ser necessário aprofundar o
diálogo entre historiadores e educadores matemáticos para desta forma propiciar a
construção de interfaces entre história e ensino embasada nas novas tendências
historiográficas e metodológicas que buscam na escrita da história não somente os
resultados e sim o processo do qual emergiram. Assim, fundamentados nessas novas
tendências historiográficas buscamos discutir e refletir a respeito das potencialidades
pedagógicas da História da Matemática por meio de uma investigação das iniciativas de
educadores e suas abordagens, na pesquisa em educação matemática e nas práticas
docentes.
É importante destacar que uma proposta de interface entre a história e a
educação matemática, já conta com a valiosa ajuda dos pressupostos metodológicos e
teóricos da História da Ciência, área complexa e com muitas faces, porém com métodos
e processos que adaptam de forma harmoniosa conhecimentos variados provenientes de
diversas áreas como a Filosofia, Sociologia, Antropologia e de várias ciências humanas.
Esses métodos e processos podem ser considerados na constituição de propostas
para o trabalho com a História da Matemática que sugerem uma forma de escreve-la
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
208
distinta da comumente utilizada hoje, que segue uma perspectiva historiográfica
tradicional, não considerando esses diversos conhecimentos de outras áreas. Segundo
Bromberg e Saito (2010) a historiografia tradicional costuma ser feita considerando três
perspectivas: internalista, externalista e whig. A primeira mostra a matemática como
uma ciência descoberta, baseada no desenvolvimento de ideias. Esta escrita, geralmente
feita por matemáticos, considera apenas a coerência interna e lógica do discurso
matemático sem considerar outros que não este. A segunda, oposta à primeira, é escrita
geralmente por historiadores e defende que a matemática foi “inventada”. Nessa
perspectiva, são considerados outros aspectos que não o fazer matemático, e a
matemática é entendida como produto destinado a atender certas necessidades de
determinadas pessoas. Finalmente a terceira forma de escrever a matemática é chamada
de whig história, termo oriundo do inglês. Nesta forma de escrever, a história busca no
passado apenas o que é familiar deixando para trás o que é incompreensível
considerando-o um erro que tem que ser eliminado. Embora esta historiografia seja a
recorrente hoje, Dias e Saito (2009) destacam que a contribuição da História da
Matemática só poderá ser mais proveitosa para o ensino se houver uma revisão
historiográfica, porém diferentemente da História da Ciência essa revisão não foi feita,
como os autores destacam,
[...] podemos dizer que a História da Ciência transformou-se nos últimos
trinta anos renovando suas propostas historiográficas. Em contrapartida, a
História da Matemática esteve à margem das novas tendências
historiográficas e foram poucas as iniciativas que procuraram contextualizar
os objetos matemáticos. (p. 4)
Ao fazermos uma revisão historiográfica pautada em tendências atuais,
deixamos de ver o passado com os olhos de hoje, e de admitir que a ciência teria se
desenvolvido progressiva e linearmente como é defendido na historiografia tradicional.
Passamos a mapear e contextualizar os conhecimentos do passado, onde avaliamos os
critérios para escolhas teóricas, metodológicas e epistemológicas para a
institucionalização desses conhecimentos, procurando reformular suas questões.
Para a realização dos trabalhos sob essa perspectiva buscamos articular três
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
209
esferas de análise, a historiográfica, a contextual e a epistemológica, pois como observa
Alfonso-Goldfarb (2008, p.7-8),
Naturalmente qualquer historiador da ciência considera que a interligação (ou
interdependência) das três esferas de análise [...] é recomendável para um
bom trabalho. Todavia essa interligação nunca foi e continua não sendo
trivial. Porque são interligadas, os excessos ou faltas em qualquer uma delas
contaminam as demais. Por outro lado, a natureza distinta de cada uma delas
obriga a operações dignas de um polímata renascentista, mas que vive,
contraditoriamente, em plena época de super especialização dos
conhecimentos e de excesso de ruído informacional.
Figura 1 - Esferas de análise
Fonte: Alfonso-Goldfarb (2008)
Acreditamos que o trabalho com o auxílio desses fundamentos teóricos e
metodológicos da História da Ciência, traz uma nova forma de relacionar a História da
Matemática e o ensino, não necessariamente corroborando com os argumentos
levantados por Miguel e Miorim (2004) e até em alguns momentos contradizendo-os, já
que nessa perspectiva historiográfica e metodológica, não necessariamente podemos
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
210
estabelecer uma relação direta entre o passado e o presente. A este respeito Bromberg e
Saito (2010) explicam:
[...] a História da matemática escrita por historiadores da ciência procura
contextualizar o conhecimento matemático, reformulando suas questões. Por
exemplo, os irracionais já eram conhecidos desde a antiguidade, porém, não
foram sempre considerados um problema ou empecilho. Por quê? Para obter
tais respostas a História da Ciência procura analisar documentos (fontes
primárias) utilizando uma abordagem epistêmica, historiográfica e
contextual. Ou seja, busca reconstituir a história da matemática no seu
contexto, levando-se em consideração não só aspectos internos, mas também
externos ao desenvolvimento do conhecimento matemático. (p. 53)
É seguindo essa abordagem que buscamos desenvolver nossas pesquisas, com o
objetivo de fornecer ao meio acadêmico uma possibilidade de trabalho com a História
da Matemática que nos leve a compreender o processo da construção do conhecimento
matemático, que deve ser analisado no contexto social da época em que ocorreu.
Entendemos que a construção desse conhecimento teve como fator preponderante para o
seu desenvolvimento a própria evolução da ciência e é por meio da História da Ciência
que podemos entender os mecanismos de desenvolvimento da Ciência Moderna, que se
iniciou no mundo europeu, como aponta Alfonso-Goldfarb (1994, p. 16),
[...] foi no mundo europeu, cercado por todos os lados, onde começou a
fermentar as sementes da Ciência Moderna. Ninguém conseguiu até hoje
provar com certeza se essas sementes da Ciência foram o que ajudou os
europeus a arrebentarem seus muros e se expandirem por todo o planeta. Ou
se, ao contrário, por terem começado a arrebentar os muros, eles puderam
trazer, de outras partes para a Europa, as idéias (...) com que regaram e
fizeram brotar essas sementes.
Seria somente entre os séculos XVIII e XIX, acrescenta a autora, que a Ciência
iria adquirir “um perfil único, cada vez mais parecido com aquele que quase todos
conhecem agora” (ALFONSO-GOLDFARB,1994).
2. As três esferas em movimento: O exemplo da pesquisa sobre Maria
Gaetana Agnesi.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
211
Um exemplo da articulação dessas esferas é a pesquisa sobre uma obra italiana
publicada em 1748, Instituzioni Analitiche ad Uso Della Gioventú Italiana, da autora
italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), buscamos investigar o enfoque dado a
alguns conteúdos matemáticos selecionados a partir da análise dessa obra e algumas
outras elencadas, de seus contemporâneos. No que diz respeito a esfera epistemológica,
analisamos a dimensão interna da obra de Agnesi, buscando verificar o diálogo que se
estabelecia entre outros tratados da época. Uma pesquisa assim norteada, requer uma
delimitação de enfoque, que pode ocorrer na esfera de seleção de conteúdos trabalhados
na obra, como também, pode haver um olhar direcionado ao modus operandi do autor a
ser analisado. Dependerá da questão de pesquisa.
No que diz respeito à esfera contextual, analisamos um conjunto de relações que
pôde ser detectado por meio de outros documentos (fontes secundárias), buscando
compreender em que medida movimentos que se imbricavam na época, sugerem
relacionar-se às escolhas de um autor, ao escrever sua obra. Sobre isso, a análise das
correspondências trocadas por Agnesi e outros estudiosos, foi necessária no sentido de
favorecer a análise do seu trabalho, e entender melhor os meandros, ao longo da
elaboração da obra Instituzione Analitiche.
Essas duas esferas foram ainda articuladas à outra, historiográfica. Apesar de
priorizarmos uma abordagem historiográfica atualizada, os estudos sobre a obra de
Maria Gaetana Agnesi, também foram submetidos a uma leitura da historiografia
tradicional. A própria seleção de documentos originais, bem como outras fontes, tanto
primária quanto secundária, levou em conta o que a própria autora afirmara na obra,
acerca dos propósitos de sua escolha.
Assim, uma análise que se sustente a partir desses aspectos, requer a utilização
de diferentes fontes de estudos. Por se tratar de um trabalho matemático, além da obra
original consultamos outros estudos a respeito da história da Análise e do Cálculo. Em
primeira instância de nossa pesquisa, recorremos à versão inglesa de Institutioni
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
212
Analitiche, publicada em 1801, que se encontra disponibilizada no site Archive6 e
somente após algum tempo pudemos consultar a obra original italiana, que atualmente
está disponibilizada no site Internet Culturale7, que foi cotejada com a obra traduzida.
Quando iniciamos uma pesquisa, não sabemos os percalços futuros e, ao final do
trabalho tivemos a satisfação de adquirir a obra original de Instituzioni Analitiche,
recentemente publicada e impressa nos Estados Unidos8, a qual também foi cotejada
com as versões anteriores.
No sentido de viabilizar a análise epistemológica, além de nossa fonte primária
de análise, consultamos também outros documentos, dentre os quais: Analyse
Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique (1708) de Charles
René Reyneau (1656-1728); Elemens D’Algebre (1746) de Alexis Claude de Clairaut
(1713-1765); Elemens D’Algebre (edição de 1756) de Nicholas Saunderson (1682-
1739); e Elements of Algebra (tradução de 1828) de Leonhard Euler (1707-1783).
Estas obras são facilmente localizadas via internet e, especificamente em relação
à obra de Euler, utilizamos uma edição inglesa de 1828, visto que a mesma apresentava,
além de uma biografia do autor no início do oitocentos, alguns adendos e comentários
de Joseph Louis-Lagrange (1736-1813). Este critério de escolha pela rede de textos é de
fundamental importância, em função dos objetivos de pesquisa.
Especificamente em nosso trabalho, esta edição nos revelou ser significativa,
tendo em vista que Lagrange, foi um dos estudiosos setecentistas que buscou um
diálogo com a autora Maria Gaetana Agnesi, após o abandono da mesma, de seus
estudos matemáticos.
Outros estudos e documentos complementaram nossa pesquisa. Duas visitas à
Biblioteca Ambrosiana de Milão, foram necessárias, objetivando uma análise das
correspondências da autora, sobretudo às que se referem à elaboração de sua obra. Na
primeira visita à biblioteca, tomamos contato com o grande volume de estudos e
documentos originais que estão disponíveis aos estudiosos da vida e trabalho de Agnesi,
6 Vide: Agnesi (1801). https://archive.org/details/analyticalinstit00agnerich 7 Vide: Agnesi (1748). https://archive.org/details/BUSA298_184 8 Vide: Agnesi (1748)
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
213
sobretudo às suas correspondências ao longo da elaboração de Instituzioni Analitiche,
como também às anotações de Agnesi ao longo de sua infância, enquanto tutorada9. Na
última visita à biblioteca, frente a um delineamento de investigação, afunilamos a
pesquisa na investigação de algumas correspondências específicas entre os estudiosos;
Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), Ramiro Rampinelli (1697-1759) e Agnesi, pois
nos conduziu a uma melhor compreensão quanto às circunstâncias de elaboração de seu
tratado matemático, além de outros materiais que não foram encontradas em bibliotecas
brasileiras.
Estudos e documentos que nos permitissem ter uma ideia do contexto, bem
como do panorama intelectual de Milão no período em que viveu Agnesi foram
necessários. A maioria dos biógrafos de Agnesi são autores italianos10
sendo que a
primeira referência biográfica que se tem notícia data de 1753, na obra de Giammaria
Mazzuchelli. Frente o grande número de estudiosos, consideramos um recorte, a partir
de um estudo aprofundado do Elogio Storico Du Dona Maria Gaetana Agnesi Milanese
dell’Accademia dell’Instituto delle Scienze, e Lettrice Onoradia di Matematiche nella
Università di Bologna, de Antonio Francesco Frisi (1734-1817), impresso em Milão de
1799 e reimpresso em 1965, então com nove anexos, apêndices e comentários de
Arnoldo e Giusepina Masotti. O autor Frisi, era um religioso, além de historiador e
irmão mais novo de Paolo Frisi, amigo e correspondente de Agnesi.
Também destacamos a obra de Luisa Anzoletti (1863-1925), Maria Gaetana
Agnesi, de 1900, com quase 600 páginas incluindo genealogia e detalhes da vida de
Agnesi, que foram de grande auxílio para compreender sua realidade, no contexto de
sua época. Em paralelo, apesar de não representar nossa fonte primária mais importante,
9 Os documentos e manuscritos de Agnesi estão hoje quase todos em custódia da Biblioteca Ambrosiana
de Milão (BAM: códices 180-204 sup.). Mais a esse respeito: ttp://www.ambrosiana.eu 10 A. F. Frisi (1799), L. Anzoletti (1900), A. Masotti (1940). Mais a este respeito porém, não
referenciados nesse artigo: M.Cantor, Vorlesunger uber Gesachichte der mathematik, Leipzig, 1901,
zweite Auflage, IIIBand, p. 822-823, L’Hoefer, Hist.des Mathem, p. 530, J.Boyet, Revue Catholique des
Revues francaises et étrangères, 1897: La Mathématicienne Agnesi apud. B.Carrara, p. 4 (1918), J.F.
Montucla (1802), A. Amati (1899), B.Carrara (1918), C.Pasini (1999), C. Benazzoli (1939), E. Krammer
(1970-90), L. Olson (1974), G.Tilche (1984), P. Sessa (1999).
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
214
a leitura do trabalho intitulado Propositiones Philosophicae11
, publicado também por
Agnesi em 1738, ajudou-nos a conhecer um pouco mais da autora, por ela mesma. Na
ocasião, era usual o surgimento desse tipo de obra, com reflexões acerca dos debates
relacionados às ciências e matemáticas daquela época.
Necessário salientar que esses documentos foram organizados e analisados à luz
de diferentes estudos historiográficos atualizados; tais como os de Clifford Truesdell,
Massimo Mazzotti, Arnaldo Masotti, Franco Minonzio, Mazzone & Roero e Paula
Findlen, cada qual abordando diferentes especificidades do percurso de Agnesi, com
algumas intersecções. Como apontamos, apesar de nosso olhar estar direcionado para as
considerações de ordem historiográfica atualizada, também nos fundamentamos em
leitura de historiadores clássicos da história da matemática, a saber: C. B. Boyer, D. J.
Struik e Eves.
Assim, todos os documentos e estudos que selecionamos foram analisados e
balizados considerando três esferas que dimensionaram nossa análise suscitando uma
gama de questões no âmbito do conhecimento matemático, no contexto dos setecentos
italianos.
3. Considerações finais
Ao analisarmos a inserção da História na Educação Matemática, nos deparamos
com suas possíveis potencialidades e também com seus obstáculos no que se refere à
aprendizagem. Porém, ao refletirmos sobre esses obstáculos, visando uma análise mais
justa, precisamos primeiramente indagar de qual forma a História está sendo aplicada na
Educação Matemática. Consideramos que a metodologia adotada por muitos autores, ao
retirarem fragmentos da história, de forma descontextualizada, tornam o ensino
anacrônico e muitas vezes sem sentido. Acreditamos que é necessária uma abordagem
mais significativa, que contribua efetivamente com o processo pedagógico e
11
Propositiones philosophicae, quas crebis disputationibus Domi habilis coram clarissimis viris
explicabat ex tempore, et ab obiectis vindicabat Maria Caietana de’Agnesis/MDCCXXXVIII. O trabalho
possui 191 teses que compôe um volume de 132 páginas, escrita em latim e versando sobre filosofia
natural e os embates do período em questão.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
215
epistemológico envolvido e, para tanto, consideramos que o uso da história deva ser
trabalhado de forma mais complexa, deixando de olhar o passado com os olhos de hoje,
contextualizando os acontecimentos e assim reformulando as questões em estudo.
Precisamos propiciar reflexão em nossos discentes, permitindo que eles percebam que
antes de um resultado ser alcançado, houve um processo e, que este normalmente
envolve muitos fatores e muitas pessoas. Tal procedimento requer o envolvimento das
esferas aqui expostas (epistemológica, contextual e historiográfica). Acreditamos que
com esta metodologia, a História quando inserida no processo de aprendizagem da
Matemática, permitirá uma compreensão mais ampla e consequentemente formará
discentes mais críticos, como bem exemplifica o caso da pesquisa realizada sobre Maria
Gaetana Agnesi.
4. Referências
AGNESI, M.G. Instituzioni Analitiche ad Uso Della Gioventú Italiana. Milano: Nella
Regia-Ducal Corte, 1748a. Disponível em https://archive.org/details/BUSA298_184
Acesso em 26 mai 2013
______. Instituzioni Analitiche ad Uso Della Gioventú Italiana. Milano: Nella Regia-
Ducal Corte, 1748b.
______. Analytical Institutions in Four Books. Tradução John Colson, London: Taylor
And Wilks, Chancery-Lane, 1801. Disponível em
https://archive.org/details/analyticalinstit00agnerich Acesso em 03 ago. 2012.
ALFONSO-GOLDFARB, A. M.; BELTRAN, M. H. R. (orgs.) Escrevendo a História
da Ciência: tendências, propostas e discussões. São Paulo: Educ/Ed. Livraria da
Física/FAPESP, 2004.
ALFONSO-GOLDFARB, A.M.;FERRAZ, M.H.M. (orgs.) “Reflexões sobre a
constituição de um corpo documental para a História da Ciência: Um estudo de caso do
Brasil Colônia e Brasil Reino”. In: Acervo, Rio de Janeiro, v. 26, nº 1, pp. 42-53,
(jan/jun. 2013)
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
216
ALFONSO-GOLDFARB A. M.. O que é História da Ciência. São Paulo: Brasiliense,
1994 (Col. Primeiros Passos, Vol. 286)
ALFONSO-GOLDFARB A. M. et al. Centenário Simão Mathias: Documentos,
métodos e identidade da História da Ciência. Circumscribere: International Journal for
the History of Science, v. 4, 2008, pp. 7-8.
ALFONSO-GOLDFARB A. M. & FERRAZ M. H. M. Enredos, nós e outras
calosidades em História da Ciência. In Centenário Simão Mathias: documentos,
métodos e identidade da História – seleção de trabalhos, org. A. M. Alfonso-Goldfarb et
al, 25-36. São Paulo: PUC; Imprensa Oficial, 2009.
ANZOLETTI, L. Maria Gaetana Agnesi, Milano: Cogliati, 1900.
BENNETT, Jim. Knowing and doing in the sixteenth century: what were instruments
for? The British Journal for the History of Science, v. 36, n. 02, p. 129-150, 2003.
BELTRAN, M. H. R. Matemática, Magia e Técnica: algumas concepções de John Dee..
In SBHC 10 anos. IV Seminário Nacional de História da Ciência e da Tecnologia.
Anais, org. J. L. Goldfarb. São Paulo: FAPEMIG; Anna Blume; Nova Stella, (1993).
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
Matemática. Brasilia: MEC/SEF, 1998.
BROMBERG C.&,SAITO F. A História da Matemática e a História da Ciência. In
História da ciência: tópicos atuais, org. Maria H. R. Beltran, Fumikazu Saito & Laís S.
P. Trindade. São Paulo: Ed. Livraria da Física; 2010
BOYER, C. R. The History of the Calculus. Nova York: Dover, 1959.
_____. História da Matemática. trad. E. F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2000.
DEBUS A. G. El hombre y la naturaleza em el renacimiento. México: Fondo de Cultura
Económica, 1996.
DIAS, M. da S. & SAITO F., Interface entre história da matemática e ensino: uma
aproximação entre historiografia e perspectiva lógico-histórica. In: IV Seminário
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2009, Brasília. Anais do IV
Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Brasília: SBEM, 2009,
p. 1-15
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
217
EVES, H. Introdução à História da Matemática. trad. H.H.Domingues, Campinas:
Editora da Universidade Estadual de Campinas, 1995.
FINDLEN, P.“Calculations of faith: mathematics, philosophy, and sanctity in 18th-
century Italy (new work on Maria Gaetana Agnesi)”. In: Historia Mathematica, 38, pp.
248–291, 2011. Disponível em: www.sciencedirect.com. Acesso em 04 abr 2013
FRISI, A.F. Elogio storico di Donna Maria Gaetana Agnesi Milanesi. Milan: Galleazzi,
1799.
HANKINS, T. L. & SILVERMAN R. J. Instruments and the Imagination. Princeton,
Princeton University Press, 1997.
MASOTTI, A.“Maria Gaetana Agnesi ”. In: Rendiconti Del seminário matemático e
fisico di Milano, pp. 1-39, 1940.
MAZZONE, S.; C.S.ROERO con la colaborazione E.LUCIANO, L’epistolario di
Jacopo, Vincenzo e Giordano Riccati com Ramiro Rampinelli e Maria Gaetana Agnesi,
1727-1748, Firenze, Museo Galileo, Biblioteca Digitale, 2010. Disponível em
http://bibdig.museogalileo.it/Teca Acesso em 01 fev 2014.
MAZZOTTI, M. "Maria Gaetana Agnesi: Mathematics and the Making of the Catholic
Enlightenment". In: Isis, v. 92, n. 4, p. 657-683, 2001. Disponível em:
http://history.berkeley.edu/sites/default/files/Maria%20Gaetana%20Agnesi.pdf. Acesso
em: 09 ago 2013.
_____. The World of Maria Gaetana Agnesi, Mathematician of God, Baltimore: The
John Hopkings University Press, 2007.
MIGUEL, A. As potencialidades pedagógicas da História da Matemática em questão:
argumentos reforçadores e questionadores. Zetetiké, Campinas, v. 5, n. 8, p. 73-105,
jul./dez.1997.
MIGUEL, A. e MIORIM, M.A. História na Educação Matemática: propostas e desafios.
Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
MINONZIO F. Chiarezza e método: l’indagine scientifica di Maria Gaetana Agnesi.
Milano: Lampi di stampa, 2006.
SAITO, F., & DIAS, M. S. Interface entre história da matemática e ensino: uma
atividade desenvolvida com base num documento do século XVI. Ciência & Educação,
19 (1), 2013, 89-111.
TAUB L. On Scientific Instruments, Studies in History and Philosophy of Science,
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
218
Cambridge, 2009, v.40, p. 337-343.
TRUESDELL, C. "Maria Gaetana Agnesi". In: Archive for History of Exact Sciences,
40, pp. 113-142, 1989.
_____. “Correction and Additions for ‘Maria Gaetana Agnesi’”. In: Archive for History
of Exact Science, 43, pp. 385-386, 1991.
VAN HELDEN, A. & HANKINS T. L.Introduction: Instruments in the History of
Science. Osiris, Chicago, 1994, v. 9, p.1-6.
WARNER, D. J. What is a scientific Instrument, When dis it become one, and why?
British Journal for the History of Science, Oxford, 1990, v. 23, p. 83-93
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
219
ENSINAR A ENSINAR MATEMÁTICA NAS OFICINAS DO PIBID:
FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES
Maria Aparecida Silva de Souza
IFES/PUC-SP
Saddo Ag Almouloud
PUC-SP
Resumo:
O presente trabalho visa apresentar o resultado de oficinas realizadas por alunos
bolsistas do Pibid do Ifes (Instituto Federal do Espirito Santo) Campus Cachoeiro de
Itapemirim para alunos não bolsistas do Curso de Licenciatura em Matemática como
contribuição para a formação inicial do professor. O Programa vem a cada dia
despertando o interesse dos alunos do Curso de Licenciatura em Matemática para o
desenvolvimento de atividades que visam facilitar a aprendizagem matemática dos
alunos das escolas parceiras do Programa. As atividades desenvolvidas têm como
objetivo principal socializar atividades realizadas pelos bolsistas Pibid ao longo do ano
de 2015; proporcionar integração dos bolsistas do Pibid e estudantes do curso de
Licenciatura em Matemática que não participam do programa e, estreitar as relações
entre o curso de formação de professores e o campo de atuação profissional do futuro
docente, realizando a articulação teoria e prática. Entendemos que se trata de uma
prática de fortalecimento da docência e da ressignificação do ensino da matemática.
Palavras-chave: docência; educação matemática; Pibid.
1. Introdução
As Oficinas realizadas no Ifes Campus Cachoeiro de Itapemirim objetivaram
socializar atividades realizadas pelos bolsistas Pibid (Programa Institucional de Bolsa
de Iniciação a Docência) ao longo do ano de 2015, proporcionar integração entre os
bolsistas do Pibid e os demais estudantes do curso de Licenciatura em Matemática que
não participam do programa, estreitando as relações entre o curso de formação de
professores e o campo de atuação profissional do futuro docente, realizando a
articulação teoria e prática.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
220
O programa proporciona o entendimento sobre as principais dificuldades
enfrentadas pelos discentes com relação à matemática, acompanhado da possibilidade
do próprio bolsista buscar metodologias para facilitar o processo de ensinagem. Incluir
o aluno do curso de licenciatura na realidade da sala de aula no início de sua formação
contribui para que a sua formação seja pautada em vivências nas quais poderá avaliar a
sua escolha.
A observância dos resultados das oficinas apresentadas pelos licenciandos em
matemáticas está não apenas no aprendizado desenvolvido durante a aplicação dessas
atividades, mas no impacto causado entre os colegas do curso, entre os coordenadores e
supervisores do programa e em mim, observadora das atividades.
Quando da realização das inscrições dos trabalhos, no preenchimento das fichas
com informações sobre os trabalhos que seriam desenvolvidos, não se tinha dimensão
da riqueza dos trabalhos que foram apresentados. Foi um momento importante, propício
para socializar a prática desenvolvida nas escolas polos trazendo o desejo e a
empolgação da partilha mostrando os desafios e as possibilidades no desenvolvimento
das atividades. A atividade buscou mostrar ações facilitadoras para o processo de ensino
da matemática por meio das oficinas, que foram pautadas em temáticas que permitiram
a problematização e a aprendizagem de conceitos básicos em situações reais.
2. O Pibid
O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à docência (Pibid) no Ifes está
vinculado à Pró-Reitoria de Ensino. Atualmente possui 12 cursos de licenciaturas
participantes e em média, 300 bolsistas passaram pelo Pibid/Ifes. O programa tem como
proposta estabelecer vínculos de solidariedade entre os espaços institucionais de
formação e os espaços institucionais de atuação do professor, na perspectiva de troca de
saberes e experiências curriculares e práticas pedagógicas bem-sucedidas e inovadoras;
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
221
além de fomentar a pesquisa e a investigação sobre os processos de ensino e
aprendizagem entre os professores que atuam nas escolas parceiras. No Curso Superior
de Licenciatura em Matemática do Ifes/Campus Cachoeiro de Itapemirim, o PIBID teve
início em 2011 com três escolas parceiras, sendo expandido para mais três em 2014.
Hoje são 6 (seis) escolas polos no município de Cachoeiro de Itapemirim, totalizando
36 (trinta e seis) bolsista atuantes.
As ações previstas no Pibid foram concebidas na perspectiva de proporcionar a
formação qualitativa do licenciando em matemática, oportunizando lhe a aquisição de
conhecimentos e preparando-o para o atendimento às novas exigências do sistema
educacional, desempenhando o papel de profissional da educação. Essas ações
contribuem para a práxis necessária à formação docente e permitem que os licenciandos
se insiram na cultura escolar por meio da apropriação de metodologias e saberes
necessários ao trabalho docente. Dessa maneira, a metodologia adotada no Pibid visa
inserir os futuros professores no cotidiano de escolas da rede pública da educação
básica, proporcionando-lhes vivências e experiências necessárias à formação docente e
úteis ao processo de ensino, de aprendizagem e de avaliação.
Nas escolas parceiras do Pibid, os alunos bolsistas (os Pibidianos) desenvolvem
atividades de docência, sempre supervisionados por um professor de matemática da
escola que tem a função de supervisionar o trabalho desses alunos no desenvolvimento
das atividades. São essas atividades desenvolvidas que trazem contribuições para a
prática dos alunos. As atividades são desenvolvidas com alunos do Ensino Fundamental
II e com alunos do Ensino Médio. No ano de 2015, na prática de sala de aula desses
alunos, foram desenvolvidas várias oficinas visando facilitar a aprendizagem
matemática dos alunos. Dentre essas oficinas, cada grupo, orientado por seu supervisor
e com o apoio da Coordenação local do Pibid no campus Cachoeiro de Itapemirim,
sistematizou com os demais alunos do Curso de Licenciatura em Matemática as
experiências vividas nas escolas parceiras, apresentando as oficinas por eles
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
222
selecionadas. Tratou-se de um momento rico de troca de experiência entre os alunos do
Curso como também dos bolsistas entre eles.
3. Docência
Quanto mais cedo for o contato do aluno licenciando com a realidade da sala de
aula mais cedo o aluno poderá vivenciar e qualificar seu processo de iniciação a
docência. Essa possibilidade de troca de experiências com realidades diferentes, com o
espaço da escola lidando com planejamento, pesquisas e novas metodologias, com os
supervisores, com os coordenadores e com os alunos é uma oportunidade para ensinar e
aprender matemática.
Levar o outro a compreender um determinado conteúdo pode não ser tarefa
simples. Exige pesquisa, estudo e conhecimento. Pimenta (2002) sustenta a importância
da teoria na formação do docente, a qual o dota de condições para uma ação
contextualizada, cujos “[...] saberes teóricos propositivos se articulam, pois, aos saberes
da prática, ao mesmo tempo ressignificando-os e sendo por eles ressignificado”.
Para Lorenzato (2003), a falta de compreensão dos alunos os conduz a
acreditarem que a matemática é difícil e que eles não são inteligentes, entre inúmeras
outras consequências maléficas. Pesquisas comprovam o que a experiência de vida já
mostrava: as causas, entre elas o professor, são esquecidas no tempo, mas as
consequências, sejam elas cognitivas ou afetivas, acompanharão os alunos para sempre.
Por razões éticas e de responsabilidade, independentemente de sua remuneração, todo
professor tem o dever de conhecer o que vai ensinar.
No Pibid, o licenciando tem a oportunidade de inovar frequentemente a sua
prática pedagógica, dinamizando o ambiente de sala de aula com conhecimento de que o
que vai ser ensinado deve ser objeto de preocupação do bolsista e o fato de estar em
formação faz com que possa assumir seu papel ativo com segurança pois, ainda pode
contar com a orientação do professor formador em sala de aula no curso de licenciatura.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
223
Segundo Arroyo (2008) Uma vez que o ensino consiste em um fenômeno social e não
apenas metodológico, é importante a reflexão do professor sobre os fins e os valores que
envolvem a docência, a fim de que possa se situar diante dessa profissão e atuar
plenamente em sua área.
4. O olhar do Professor Supervisor
Os professores supervisores foram questionados a respeito dos trabalhos
realizados com a presença dos alunos do Pibid em sala de aula e sobre os problemas que
foram superados por intermédio das ações desenvolvidas por esses alunos. A seguir,
transcreveremos alguns relatos dos supervisores que atuam nas escolas parceiras.
Supervisor A: Quando estudava era bem diferente. Meus professores nunca me
ensinaram geometria, deixavam para o fim do ano e assim era tudo muito corrido. Era
ensinado apenas no quadro e no livro. Não tive a oportunidade que meus alunos estão
tendo. A presença dos meninos na minha sala de aula contribui para o desenvolvimento
das atividades contribui para o meu crescimento e principalmente para formação deles
que sendo ainda licenciandos, já tem a oportunidade de atuar em sala de aula. Meus
alunos questionam sobre o fato desses alunos ainda estarem estudando e já serem tão
bons. Eu lamento não ter tido essa oportunidade quando cursei a licenciatura. Na minha
época a professora de matemática era o “bicho papao” da escola. Minha escola passou a
receber as ações do Pibid em 2014. Desde essa época a presença desses alunos, me
permite trabalhar melhor, mais assessorada. Foi possível a partir da presença deles,
reforço para provas internas e externas como, por exemplo, Obmep, Paebes, Provas do
Ifes. Antes essas ações eram praticamente impossíveis, pois, o tempo que o professor
dispõe é muito restrito para dar conta de tanto conteúdo. Além de trazerem benefícios
para minhas aulas com inovações que aprendem na Universidade, as novas tendências e
correntes matemáticas, a escola como um todo ganhou muito. Eu enquanto supervisora,
tento faze-los participar de absolutamente tudo que acontece no contexto escolar desde
conversa com os responsáveis dos alunos na reunião de pais, conversas informais e
formais na sala dos professores até a correção de provas externas, organização e
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
224
supervisão de alunos. O relacionamento entre o supervisor e os alunos do Pibid precisa
ser de total confiança. Muito eles me ensinam e aprendem também. Não há desconforto
nem por minha parte nem por parte deles de certos ajustes e erros que ambos
cometemos. Deixamos isso claro para os alunos e os alunos confiam e gostam dos
alunos do Pibid. Estamos a cada dia mais deixando para trás aquele estereótipo do
estagiário que não tinha domínio e não contribuía em nada. Alguns alunos confiam mais
nos alunos do Pibid do que em mim. Comigo a relação parece que fica distante, pois,
sou a professora que pontua, que chamo a atenção e o aluno do Pibid é aquele que está
para ensinar, para contribuir com a aprendizagem.
Supervisor B: A presença do Pibid em minha sala de aula serve de motivação
para os meus alunos. Por serem tão jovens, despertam nos meus alunos o desejo de
continuar os estudos. Minha turma é de alunos adolescentes, do Ensino Médio, mas
gostam de trabalhar de forma lúdica, gostam de receber “agrados” quando acerta uma
atividade, eles aprendem mais. Eu gosto de matemática e tive a oportunidade de
aprender matemática de forma lúdica graças aos professores que tive o que me
motivaram a ser professora de matemática. Eu sempre procurei incluir matemática no
dia a dia dos meus alunos e isso é uma contribuição que eu venho somando junto aos
alunos do Pibid para o desenvolvimento das atividades. Temas atuais do interesse da
turma e viências diárias realizadas em oficinas. O Pibid é uma experiência única que
esses alunos estão tendo para chegar à sala de aula preparados para os diferentes tipos
de alunos que nós encontramos na escola hoje.
Supervisor C: Considero o trabalho dos alunos do Pibid positivo. No inicio os
alunos apresentam resistência em aceitar a ajuda dos alunos do Pibid, mas quando
conhecem a dinâmica do trabalho deles ficam mais a vontade. Hoje são tratados como
amigos e aprender para os meus alunos ficou mais prazeroso. Vejo que os alunos do
Pibid tem uma grande oportunidade, pois, já no segundo semestre do curso iniciam sua
experiência em sala de aula, aprendendo assim superar obstáculos conforme os
obstáculos que vão encontrando. Por estarem estudando e se atualizando, conseguem
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
225
visualizar problemas que eu não tinha detectado em sala de aula. Se tivesse tido uma
oportunidade dessas, teria sido diferente. Minha experiência enquanto estudante de
licenciatura era ficar “sentadinha”, observando o professor, sem participaçao nas aulas.
Supervisor D: Os alunos do Pibid contribuem com as minhas aulas. Com a
presença desses alunos em sala é possível auxiliar maior número de alunos durantes as
aulas. Os alunos do Pibid estão sempre atentos aos casos de desenvolvimento individual
dos alunos prestando atendimento nesse sentido. É com a participação e envolvimento
dos alunos do Pibid, que os alunos com baixo rendimento nas aulas conseguem
assimilar melhor o conteúdo ministrado pelo professor, que em algumas situações não
consegue fazer com que esse aluno entenda o conteúdo.
Supervisor E: Os alunos do Pibid contribuem para a aprendizagem dos meus
alunos com aulas inovadoras, aplicando os artigos e projetos que desenvolvem na
graduação, atendendo os educandos em suas dificuldades de assimilação dos conteúdos
e concretização da aprendizagem. Há problemas ainda em fase de superação, visto que a
demanda aumenta a cada ano, porém, as ações até aqui tiveram efeito impactante nos
resultados do Paebes de 2015. O índice melhorou, contudo, faz-se necessário a
continuidade dessas ações para que as melhoras continuem. Os meus alunos precisam
do Pibid para terem continuidade no processo da aprendizagem significativa e
relacional.
Assim, entendemos o papel que os alunos do Pibid desempenham nas escolas
parceiras e como o trabalho desenvolvido nessas escolas tem colaborado de forma
significativa com a formação inicial dos alunos do curso de Licenciatura em Matemática
do Ifes Campus Cachoeiro de Itapemirim. Esses depoimentos nos fazem crer que o
Pibid influencia na formação inicial do professor, tornando-o mais experiente e melhor
preparado em relação a docência. Os trabalhos e os métodos de ensino que utilizam para
o desenvolvimento dessas atividades demonstram a maturidade desses alunos para
futura atuação profissional.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
226
5. As Oficinas
Os temas tratados no desenvolvimento das oficinas versaram sobre os mais
variados assuntos das aulas de matemática. Cada escola polo, em parceria com os
licenciandos procurou mostrar o melhor de cada trabalho.
Quadro 1: Relação das escolas parceiras e oficinas apresentadas.
Escola Polo Tema da Oficina Desenvolvida
EEEFM “Agostinho Simonato” Conceitos geométricos básicos utilizando massinha de
modelar
CEI “Áttila de Almeida Miranda” Descobrindo o Número de Ouro
EEEFM “Lions Sebastiao de Paiva
Vidaurre”
Atividades lúdicas
EEEFM “Liceu Muniz Freire” Logaritmos
EEEFM “Presidente Getúlio Vargas” Jujumetria
EEEFM “Professora Hosana Salles” Trigonometria, volume e área.
Algumas oficinas foram trabalhos desenvolvidos com alunos do Fundamental II
e outros com alunos do Ensino Médio. Para o desenvolvimento das oficinas, todo o
tempo a ludicidade e o uso de algum instrumento se fez presente, assim em cada
trabalho observamos que uma das formas de aprender matemática é de uma forma
lúdica com a utilização de algum instrumento nos quais os conceitos matemáticos
podem ser representados. Na oficina de Conceitos geométricos básicos utilizando
massinha de modelar, os alunos fizeram a massinha, puseram a mão na massa e com a
utilização de palitos de churrasquinho, objetivaram o ensino da geometria fora do
quadro negro e do livro didático, possibilitando, além do brincar com a geometria,
tornar possível a visualização das formas geométricas. Na oficina de Jujumetria,
aconteceu da mesma forma, porém, com o uso de balas jujuba, o que tornou a
participação na oficina bastante concorrida.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
227
Na oficina Descobrindo o Número de ouro, os alunos trabalharam o conteúdo
razão e proporção. Nessa oficina os alunos apresentaram o filme "Donald no País da
Matemática". Logo após o vídeo, foi resolvido o "Problema dos Coelhos" relacionado à
sequência de Fibonacci. Ao término da resoluçao do “Problema dos Coelhos” eles
discutiram sobre os resultados encontrados. Após a discussão, com o auxilio de régua e
fita métrica, foram realizadas medições no corpo humano e em alguns objetos
específicos que os alunos possuíam, com o objetivo de encontrar a razão áurea, que é o
número de ouro. No final foram discutidos os resultados encontrados e a importância da
atividade para o ensino da matemática. Objetivaram levar os alunos a compreenderem
os conceitos de razão e proporção por meio de uma abordagem histórica.
A Oficina de Atividades Lúdicas objetivou a demonstração de como é possível
promover conhecimentos de Matemática de forma lúdica, com atividades diferenciadas
e no contexto de nossos alunos. O grupo propôs o ensino por meio de jogos conhecidos
dos alunos como maneira de tornar o ensino de matemática mais dinâmico e prazeroso.
Na oficina sobre Logaritmos foi trabalhado o ensino de propriedade operatórias
dos logaritmos; correspondência entre progressão aritmética e progressão geométrica.
Os alunos foram convidados a se reportarem ao ensino médio e se lembrarem do que
eles sabiam sobre esse tema e em seguida foi falado sobre a história do Logaritmo, e o
seu colaborador Joost Biirgi. Durante a oficina, os alunos conversaram sobre as demais
aplicações dos Logaritmos em outras áreas do conhecimento desmistificando assim que
se trata de um conteúdo difícil e desnecessário. Essa oficina objetivou compreender a
definição de logaritmo, bem como suas propriedades e operações, perceber, a partir de
uma perspectiva histórica, que os logaritmos são objetos matemáticos utilizados para
simplificar cálculos complicados, com muitas casas decimais ou com números grandes
e estabelecer uma pequena comparação entre as calculadoras de hoje e as tabelas de
logaritmo do século XVII, no sentido de avanço tecnológico e praticidade.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
228
A Oficina de Trigonometria, volume e área também objetivou fortalecer o
aprendizado através do cotidiano e do lúdico. Para isso utilizou-se de materiais como
ladrilhos e cubos construídos por eles para trabalharem noções de área e volume.
Utilizaram também o Teodolito construído com materiais alternativos propondo o seu
manuseio por alunos de alturas diferenciadas de forma a relaciona-lo com as relações
trigonométricas.
As atividades basearam-se no seguinte referencial teórico: na abordagem
instrumental de Rabardel (1995 a) por ser, de acordo com Salazar (2009) uma teoria que
permite analisar as ações e as noções matemáticas que os estudantes mobilizam quando
resolvem uma situação problema. Ainda segundo essa autora, essa abordagem permite
analisar as ações dos estudantes quando resolvem uma situação problema. A abordagem
Instrumental de Rabardel (1995 a) descreve as relações que existem entre o sujeito, a
ferramenta denominada por Rabardel (1995 a) artefato, e os esquemas de utilização.
Nas atividades desenvolvidas nas oficinas observamos que os estudantes
utilizam os instrumentos para anteciparem os resultados, assim os alunos que
desenvolviam as atividades utilizando-se de instrumentos, chegavam primeiro ao
resultado da questão.
6. Considerações Finais
O subprojeto do Pibid em Matemática, coordenado no Ifes Campus Cachoeiro
de Itapemirim pelas professoras Maria Laucinéia Carari e Poliana dos Santos, tem por
objetivo potencializar a formação inicial de professores de Matemática por meio de
ações, experiências metodológicas e práticas inovadoras que ressignifiquem o ensino
Matemática, de modo a levar os futuros docentes a refletirem criticamente sobre a sua
prática na sala de aula e a optarem definitivamente pela carreira docente.
A realização das oficinas possibilitou troca de experiências, enriqueceu e
motivou os licenciandos, seus pares, coordenadores e supervisores do Pibid. Os
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
229
Pibidianos apresentaram metodologias diferenciadas para o ensino de conteúdos que são
considerados complexos para os alunos, utilizando-se de objetos confeccionados por
eles. Por meio das oficinas apresentadas.
Com o trabalho que desempenham nas escolas parceiras e como o trabalho
desenvolvido nessas escolas tem colaborado de forma significativa com a formação
inicial dos alunos do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes Campus Cachoeiro
de Itapemirim o Pibid influencia na formação inicial do professor, tornando-o mais
experiente e melhor preparado em relação à docência. A troca de experiência a solução
de problemas e as discussões que utilizam para o desenvolvimento das atividades
demonstram a maturidade desses alunos para futura atuação profissional. Os trabalhos e
os métodos de ensino que utilizam para o desenvolvimento dessas atividades
demonstram a maturidade desses alunos para futura atuação profissional.
7. Referências
ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed UFPR,
2007.
ALMOULOUD, S. A; SILVA, Maria José Ferreira. Engenharia Didática: evolução e
diversidade. REVEMAT: Revista Eletrônica de Educação Matemática eISSN 1981-
1322. Florianópolis. V.07, n2, p 22-52, 2012.
ARROIO, A.; HONÓRIO, K.M.; MELLO, P.H.; WEBER, K.C. e SILVA, A.B.F. A
prática docente na formação do pós-graduando em Química. Química Nova, v. 31, n. 7,
p. 1888-1891, 2008.
ARTIGUE, M. Engenharia Didáctica. In: BRUM, J (Org) Didáctica das Matemáticas.
Lisboa: PIAGET, 1996.
CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. Programa
Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência – PIBID. Disponível em:
http://www.capes.gov.br/educacaobasica/capespibid Acesso em: 17/03/2016.
LORENZATO, Sérgio. Para Aprender Matemática. In: Coleção formação de
professores. 2° Ed. Ver. Campinas SP: Autores Associados. 2008.
PIBID: programa institucional de bolsa de iniciação à docência – PIBID/ Detalhamento
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
230
de SUBPROJETO (Licenciatura em matemática). Disponível em:
http://pibid.ifes.edu.br/?post_type=matematica-cachoeiro- Acesso em 14/03/2016.
PIMENTA, S.G. Professor Reflexivo: construindo uma crítica. In:______; GHEDIN, E.
(Org.). Professor reflexivo no Brasil: gênese e crítica de um conceito. São Paulo:
Cortez, 2002.
RABARDEL, P. Les hommes et les Technologies: approche cognitive des instruments
contemporains. Paris Armand Colin, 1995 a.
SALAZAR, J.V.F.. Gênese Instrumental na Interação com o Cabri 3D: um estudo de
transformações geométricas no espaço. 2009 319f. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) PUC SP . 2009.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
231
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ESTUDO DE ALGUNS
CONCEITOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Gilson Abdala Prata Filho 1
Instituto Federal do Espírito Santo
Giovani Prando 2
Instituto Federal do Espírito Santo
RESUMO
Introdução: De acordo com MELCHIORS & SOARES (2013) “os primeiros registros
que temos sobre o cálculo diferencial e integral foi em 1800 a.C” e a partir daí as
diversas aplicações tem contribuído na evolução de outras ciências. Dentre os diversos
estudiosos que contribuíram para, o que hoje chamamos de cálculo diferencial e integral
(CDI), podemos citar Arquimedes, Barrow, Newton e Leibniz que trabalharam para
aperfeiçoar a ferramenta. Segundo Eves (2004, p.417) a diferenciação resultou de
problemas sobre tangentes e de questões de máximos e mínimos. Dentre os diversos
campos de aplicação, destaca-se neste trabalho, a utilização do cálculo na economia.
Nela tudo está em fluxo: aumento e queda de preços, inflação, demanda, custo e etc. O
ensino do cálculo diferencial e integral já esteve presente nos currículos das escolas no
ensino médio, porém nas décadas de 60 e 70, houve uma exclusão de alguns conteúdos,
dentre eles, o cálculo (SOARES, 2006). Para Ávila (1991), os conceitos de derivada
podem ser ensinados, logo na primeira série do ensino médio, ao lado do ensino de
funções. Porém, “na, maioria das vezes, nao sao ensinados, sob o pretexto de serem
difíceis e impróprias a esse segmento da educação (SOARES, 2006). Sendo assim,
porque não aplicar os conceitos de derivada, tais como o de tangente, taxa de variação e
otimização e estudar o esboço e o comportamento do gráfico por meio de softwares para
os alunos, como o intuito de facilitar a compreensão no estudo de funções? A utilização
de softwares, no contexto educativo, possibilita um aprimoramento no processo de
aprendizagem, visto que os mesmos tornam o processo dinâmico e oferecem condições
aos alunos de realizarem tarefas e resolverem problemas com o auxilio do dos
programas computacionais. Objetivos: O trabalho teve como objetivos, introduzir os
conceitos de reta tangente, de taxa de variação e de otimização de funções polinomiais,
sem rigor matemático, com o uso do software Geogebra e investigar quais contribuições
da aplicação do software no conteúdo de cálculo diferencial e integral no estudo e no
esboço de gráficos envolvendo situações voltadas para área de economia. Metodologia:
Para levantamento dos dados necessários para o estudo, foi feita uma pesquisa de campo
de caráter quali-quantitativo. A coleta de dados ocorreu com a aplicação de 2
questionários e oficinas. Além dos instrumentos de coleta, foram feitos estudos com
embasamento em artigos que abordavam esse tema. A pesquisa foi realizada com alunos
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
232
da 1ª e 2ª séries da educação profissional técnica de nível médio integrada ao ensino
médio, com intuito de investigar as contribuições do software no estudo de cálculo
diferencial e integral e de gráficos nos conteúdos de administração. Considerações e/ou
conclusões: Por meio dos questionários e oficinas aplicadas, notamos que a utilização
do software Geogebra contribuiu para a construção e compreensão do conhecimento.
Percebeu-se também que, é possível trabalhar os conceitos de CDI de uma forma
simplificada e dinâmica. Utilizar o software torna o processo de ensino-aprendizagem
menos teórico e mais prático.
PALAVRAS-CHAVE: cálculo diferencial e integral; ensino-aprendizagem; Geogebra.
1. Introdução
O trabalho teve como objetivos, introduzir os conceitos de reta tangente, de taxa
de variação e de otimização de funções polinomiais, sem rigor matemático, com o uso
do software Geogebra e investigar quais contribuições da aplicação do software no
conteúdo de cálculo diferencial e integral no estudo e no esboço de gráficos envolvendo
situações voltadas para área de economia.
Para levantamento dos dados necessários para o estudo, foi feita uma pesquisa
de campo de caráter quali-quantitativo. A coleta de dados ocorreu com a aplicação de 2
questionários e oficinas. Além dos instrumentos de coleta, foram feitos estudos com
embasamento em artigos que abordavam esse tema. A pesquisa foi realizada com alunos
da 1ª e 2ª séries da educação profissional técnica de nível médio integrada ao ensino
médio, com intuito de investigar as contribuições do software no estudo de cálculo
diferencial e integral e de gráficos nos conteúdos de administração.
2. Fundamentação teórica
A palavra cálculo é derivada da palavra calculus que significa pedrinha. O que
sabemos sobre o cálculo diferencial e integral hoje é resultado das contribuições, diretas
e indiretas, de diversos matemáticos, entre eles Arquimedes, Kepler, Barrow, Fermat,
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
233
Cavalieri. Juntamente com as ideias já conhecidas, o desenvolvimento e o
aperfeiçoamento de técnicas, Newton e Leibniz deram origem aos fundamentos mais
importantes do cálculo: o cálculo diferencial e integral. O conceito e o desenvolvimento
do cálculo diferencial e integral (CDI) estão diretamente ligados à busca das respostas
para problemas de áreas e tangentes. A diferenciação (derivada) resultou de problemas
sobre as tangentes e de questões sobre máximo e mínimo (EVES, 2004, p. 417).
Segundo Stewart (2010), a derivada de uma função é a taxa instantânea de variação de y
= f(x) em relação à x quando x = a. O conceito de derivada está associado à ideia de
limites. Representamos a taxa instantânea de variação como lim∆𝑥→𝑜∆𝑦
∆𝑥= lim
𝑥2→𝑥1
=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2− 𝑥1.
Souza (2001) afirma que as aplicações do cálculo diferencial e integral se
estendem desde a física até a economia e administração. Na física é utilizada para
calcular a velocidade (variação do deslocamento em relação ao tempo), aceleração
(variação da velocidade em relação ao tempo); na química, é importante para calcular a
taxa de reação instantânea; na biologia, a taxa de crescimento instantâneo num certo
período de tempo; nas áreas econômicas e administrativas é tida como a medida da
declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu. Por meio dela
existem vários artifícios para manipular os números de uma função, possibilitando
extrair diversas informações. Nesta área, uso da derivada auxilia o cálculo de: custos
mínimos, lucros máximos, produção entre outras funções de grande importância para
uma empresa.
Uma introdução ao cálculo diferencial e integral já fez parte do currículo das
escolas do ensino médio, porém nas décadas de 60 e 70, o ensino da matemática no
Brasil foi influenciado pelo movimento da Matemática Moderna e como consequência,
houve a exclusão de alguns conteúdos dentre eles o cálculo (BUSSE; SOARES, 2006,
apud SANTOS, 2006). Em alguns livros didáticos do ensino médio ainda são
apresentados os tópicos relativos ao cálculo diferencial e integral, porém, “na maioria
das vezes, não são ensinados sob o pretexto de serem difíceis e impróprios a esse
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
234
segmento da educaçao” (BUSSE; SOARES, 2006, apud SANTOS, 2006).
Com o avanço da tecnologia de informação muitos softwares foram
desenvolvidos e estes podem facilitar a compreensão e concretização no ensino
(introdução) ao cálculo diferencial e integral. Para Valente (1999), o computador pode
enriquecer ambientes educacionais e auxiliar o aprendiz no processo de construção do
seu conhecimento. Borba (1999) diz que “os ambientes gerados por aplicativos
informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o processo
pedagógico, promovendo o surgimento de novos conceitos e novas teorias matemáticas”
e possibilitando mudanças no sistema atual de ensino. Por meio deles (aplicativos
computacionais) os alunos criam, pensam, manipulam e interpretam os dados obtidos.
Dentre os diversos programas, um dos mais conhecidos e utilizados no âmbito da
educação matemática é o Geogebra, um software gratuito de matemática dinâmica,
desenvolvido para o ensino e aprendizagem nos vários níveis de ensino. Com a
utilização desse software a linguagem matemática tem mais sentido ao aluno, pois “cada
expressão na janela de Álgebra corresponde a um objeto na Zona de Gráficos e vice-
versa” (HOHENWARTER).
FIGURA 1. Janela de comando do Geogebra
FONTE: Google Imagens
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
235
3. Resultados alcançados
Para o levantamento dos dados necessários neste estudo, foi feita uma pesquisa
de campo de caráter qualitativo. Os dados foram coletados, com aplicação de
questionários e de oficinas. O questionário foi dividido em duas etapas (antes e depois
das oficinas). Apresenta uma linguagem clara com sete (7) perguntas, sendo seis (6)
destas com justificativa.
A pesquisa foi realizada em uma escola pública no município de Jerônimo
Monteiro, com alunos da educação profissional técnica de nível médio integrada ao
ensino médio (1ª e 2ª série), na área de administração nomeados com as letras de A a H.
As oficinas foram realizadas nos dias 10/08, 17/08, 31/08 e 14/09 de 2015. Nos dias
10/08 e 17/08 foi feito a aplicação do questionário e o estudo de funções polinomiais do
1º e 2º grau. Para ganharmos tempo, elaboramos uma nota de aula com o conteúdo de
funções e situações problemas. No dia 31/08 trabalhamos a função polinomial de grau
maior que 2 (n>2) para que pudessemos introduzir o Geogebra no auxilio da construção
e interpretação do gráfico desta função. No quarto e último dia (14/09) os alunos
apresentaram duas situações problemas e trouxeram as resoluções através do aplicativo
e por fim aplicamos o 2º questionário.
Com os questionários, percebemos que poucos alunos tinham utilizado
aplicativos no estudo da Matemática e apesar de estarmos inseridos numa era digital os
professores da disciplina da escola não utilizavam os softwares em suas aulas. Outro
ponto destacado é que os alunos conseguem aplicar os conteúdos matemáticos em
situações cotidianas à eles. No primeiro questinário perguntamos “a utilização de novos
recursos educacionais facilitariam a aprendizagem da Matemática? Porque?” os
alunos de forma unânime, destacaram que sim, utilizar esses recursos facilitam na
aprendizagem, e o uso de aplicativos despertam interesse nos alunos e tornam a
matemática mais atrativa, contribuindo não só à matemática, mas para as outras áreas do
conhecimento. O segundo questionário nos auxilou para identificar as contribuições do
uso do Geogebra.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
236
Após a realização das oficinas, constatou-se que é possível associar os conteúdos
matemáticos de modo claro e objetivo ás situações empresariais e que o Geogebra
contribuiu na compreensão desses conteúdos e situações. No terceiro encontro
trabalhou-se a função polinomial de grau maior que 2. Para os alunos, esse tipo de
função não foi visto ainda, portanto determinar as raízes da função, a classificação
(crescente e decrescente) só foi possível com a utilização do Geogebra.
Dentre as perguntas foi questionado se a ferramenta tornaria as aulas mais dinâmicas no
curso, e todos responderam que sim. Para alguns, o aplicativo contribui na
compreensão, tornando a aula menos cansativa e proporcionando uma interação
significativa entre os alunos.
4. Conclusões
Neste trabalho notamos como o software Geogebra contribuirá na construção e
na compreensão do conhecimento. Vimos também que é possível trabalhar os conceitos
de cálculo diferencial e integral de uma forma mais simplificada e dinâmica. Como dito,
o ensino de CDI já foi trazido nos livros, mas por ser considerado algo difícil foi
retirado do currículo. Utilizar o software torna o processo de ensino-aprendizagem
menos teórico e mais prático, algo prazeroso não só aos alunos, mas também ao
professor. Com o mesmo, relacionamos os conceitos matemáticos a uma representação
gráfica que dá mais sentido aquilo que está sendo trabalhado teoricamente. Este
trabalho realizado com o Geogebra contemplou no estudo de funções polinomiais
abrangendo reta tangente a um ponto, taxa de variação, pontos de máximo, de mínimo,
de inflexão e esboço dos gráficos bem como sua análise e interpretação. Portanto,
entende-se que o Geogebra tem a contribuir na aprendizagem dos alunos e pode ser
usado nas escolas, visto que é um aplicativo gratuito.
5. Referências bibliográficas
BORBA, M. C. Tecnologias da informática na educação matemática e
reorganização do pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (org). Pesquisa em educação
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
237
matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.
SANTOS, Damiana. A inclusão do Cálculo Diferencial e Integral no Currículo
doEnsino Médio. Trabalho de conclusão de curso, Universidade Severino Sombra,
2006.
SOUZA, Veriano C. A origem do Cálculo Diferencial e Integral. Monografia.
Universidade Candido Mendes Rio de Janeiro, 2001.
STEWART, James. Cálculo. V. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
VALENTE, José Armando. Informática na Educação: uma questão técnica ou
pedagógica? Revista Pátio, Ano 3, nº 9, maio/junho. Porto Alegre: Artes Médicas,
1999.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
238
INTERDISCIPLINARIDADE ENTRE MATEMÁTICA E FERRAMENTAS
TECNOLÓGICAS
Diogo Chadud Milagres
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Luzitânia Dall’Agnol
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Thiago Rodrigues Dau
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Alisson de Melo Gouveia
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Luiz Fernando Botelho Margarejo
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul
Resumo:
A disciplina de Matemática exige um nível de raciocínio maior que outras disciplinas.
Surgiu a ideia de adequar ferramentas de TI visando a interdisciplinaridade. Com o
auxílio da alfabetização tecnológica, foi gerado um compêndio contendo exercícios de
Matemática resolvidos com essas ferramentas. O objetivo deste trabalho é promover o
acesso do estudante à Matemática, utilizando ferramentas computacionais didáticas,
confeccionando um material de apoio conforme as TICs. Enquanto dois estudantes
ficaram encarregados de desenvolver o par tópico matemático vs. ferramenta
tecnológica, outro estudante foi o responsável por transformar a compilação dos
resultados “brutos” em um formato adequado, fazendo-se uma adaptação da
alfabetização tecnológica. O resultado da pesquisa foi a elaboração de um compêndio
impresso para utilização na Biblioteca do Câmpus Aquidauana do IFMS e também
disponibilizado online.
Palavras-chave: álgebra linear; cálculo diferencial e integral; interdisciplinaridade;
portugol; wolfram alpha.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
239
1. Introdução
A Matemática, por si só, é um mito para muitos estudantes. Diante disso, o uso de
Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs) podem auxiliar o processo de
ensino-aprendizagem da Matemática. Os Parâmetros Curriculares salientam a
importância de usar essa ferramenta como uma conexão entre a Matemática e a
tecnologia, ela pode contribuir para o aluno fazer simulações, experimentos e modelar
situações-problema. Mesmo diante dessa necessidade reconhecida do uso das TICs no
processo de ensino-aprendizagem da Matemática, nota-se que a efetiva utilização destes
ambientes é um grande desafio. Sendo assim para Richards (1991, p. 54),
É necessário que o professor de Matemática organize um trabalho
estruturado através de atividades que propiciem o desenvolvimento de
exploração informal e investigação reflexiva e que não privem os alunos nas
suas iniciativas e controle da situação. O professor deve projetar desafios
que estimulem o questionamento, a colocação de problemas e a busca de
solução. Os alunos não se tornam ativos aprendizes por acaso, mas por
desafios projetados e estruturados, que visem a exploração e investigação
(RICHARDS,1991, p.54).
Nesse contexto, o aparecimento de uma nova geração das TICs trouxe novas
oportunidades de introduzir as tecnologias da informação na educação e associá-la à
mudança do modo como se aprende e também à mudança das formas de interação entre
quem aprende e quem ensina Dessa forma, a importância da interdisciplinaridade entre
a Matemática e as disciplinas da área de TI se torna de grande valia, visto que nos
motivou a realização do trabalho descrito aqui, que visa resolver exercícios matemáticos
de referências utilizadas comumente na área de Matemática, utilizando ferramentas
computacionais educacionais próximas das disciplinas mais comuns dos cursos de TI.
De acordo com Fuck (2010, p.45) “existe uma gama diversificada de softwares livres
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
240
disponíveis na internet capazes de favorecer a integração desses recursos no ensino de
Matemática”. Nesse trabalho, a proposta foi criar um material específico para que o
estudante tenha contato com a Matemática, porém utilizando softwares, o que deve
motivá-lo, uma vez que tais ferramentas são muito utilizadas pelo estudante dessa área.
De acordo com Kaput (1992, p.515),
Pesquisadores de vários países tem se dedicado a pesquisa acerca do uso de
novas tecnologias no ensino de Matemática desenvolvendo investigações
valiosas de seu potencial no desenvolvimento de conceitos matemáticos da
álgebra, da geometria, do cálculo, entre outros. (KAPUT,1992, p.515).
Especificamente, duas áreas da Matemática foram elencadas para o referido trabalho:
Cálculo Diferencial e Integral; e Álgebra Linear.
No entanto, foi preciso que, para que houvesse essa interdisciplinaridade sendo
aplicada de forma eficaz, todo o objeto de estudo fosse compilado em um formato
didático e acessível aos estudantes de TI, que não sentem a necessidade da motivação
estudar Matemática para auxiliar no seu cotidiano profissional, o campo da informática,
que depende totalmente da Matemática (GAMMACK et. al., 2011).
Assim, com o auxílio de técnicas de alfabetização tecnológica, foi
confeccionado um compêndio didático e simplificado, contendo os exercícios de
Matemática resolvidos e comentados, com o objetivo de promover o acesso do
estudante de TI à Matemática, utilizando ferramentas computacionais educacionais,
como aplicativos web e programação de computadores, produzindo assim um material
de apoio de acordo com as Tecnologias da Informação e Comunicação – TICs. Para
Borba; Penteado (2012, p.104) as inovações educacionais pressupõem mudanças na
pratica pedagógica do professor, para tanto essas dependem da forma como o docente se
relaciona com esses artefatos tecnológicos. Dadas as duas áreas da Matemática que
foram escolhidas para promover a interdisciplinaridade, Cálculo e Álgebra, os
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
241
respectivos softwares foram escolhidos para consolidar o projeto: Wolfram Alpha®, um
aplicativo Web – também em versão para smartphones – e o Visualg, que é um
editor/interpretador de códigos computacionais em um texto da modalidade artigo
deverá apresentar uma ação ou conjunto de ações relacionado à temática do GT
submetido, por exemplo, uma prática de sala de aula, de formação de professores e de
desenvolvimento de produtos. O texto deve contemplar uma descrição detalhada do
desenvolvimento da experiência com observações e reflexões do autor. É importante
lembrar que no trabalho deverá conter, metodologia, referencial teórico, resultados da
experiência e relevâncias para a Educação ou Educação Matemática linguagem didática
para os estudantes em estágio inicial do curso, que são o público-alvo desse projeto.
Mais do que um projeto de pesquisa, esse projeto está relacionado ao Programa de
Acesso, Permanência e Êxito do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de
Mato Grosso do Sul – IFMS (CONTROLADORIA GERAL DA UNIÃO, 2016).
2. Metodologia
Os materiais utilizados para o desenvolvimento do projeto foram os
computadores do IFMS, computadores pessoais dos envolvidos (professores e
estudantes bolsistas), uma licença anual – versão estudante – do Wolfram Alpha Pro®,
versão Web, uma versão do Visualg, material de consumo, como resmas de papel A4 e
cartuchos para impressora, para impressão de exaustivas versões draft, e recursos para
impressão da primeira versão do material intitulado Interdisciplinaridade com as
disciplinas de Matemática e Ferramentas Tecnológicas: um compêndio sobre Cálculo
Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Aplicativos Web e Linguagens de Programação
(DAU et. al., 2016).
A metodologia do projeto foi dividida em etapas paralelas, pois cada um dos três
estudantes envolvidos trabalhou com uma parte diferente do projeto. A ideia foi,
primeiramente, pesquisar sobre os softwares aplicativos para o Cálculo, que são pagos
caso se queira uma resposta “passo-a-passo”. Em seguida, foi feita uma investigação em
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
242
que tipos de problemas essas ferramentas podem resolver diretamente ou se há alguma
forma de adaptar a linguagem Matemática ao escopo do software. Terminada essa
investigação, a resolução passo-a-passo de um conjunto de exercícios pré-selecionados
das em Leithold (1994) e Iezzi et. al. (2004), comentários adequados para se entender
como um comando foi criado a partir das necessidades do problema matemático, e
recomendações da correta utilização das ferramentas a partir de técnicas da
alfabetização tecnológica, pretende-se montar um compêndio com as práticas de
laboratório voltadas para a Matemática, pelo menos na área de Cálculo e Álgebra
Linear, e com aplicação direta aos exercícios propostos em Leithold (1994) e Iezzi et.
al. (2004).
Para cada estudante, as etapas desenvolvidas foram:
Estudante 1: responsável pelo desenvolvimento da interdisciplinaridade Cálculo
vs. software. As etapas desenvolvidas foram: desenvolvimento dos algoritmos relativos
aos exercícios propostos; adequação do texto, sintaxe, detalhes, formatação do capítulo
específico ou Ensino de Matemática ou Matemática. do compêndio; e revisão
bibliográfica, adequação ao modelo proposto pela Alfabetização Tecnológica. O
estudante 1 explorou a ferramenta Wolfram Alpha® e sua versão paga Wolfram Alpha
Pro® para resolver problemas sobre limites, derivadas e integrais. As figuras abaixo
demonstram parte das soluções encontradas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
243
Figura 1. Comandos utilizados para resolver exercícios selecionados de Leithold (1994) apud
Dau et.al. (2016), p. 5.
Figura 2. Utilizando o Wolfram Alpha Pro for students® para resolver exercícios selecionados
de Leithold (1994) apud Dau et.al. (2016), p. 19.
Estudante 2: responsável pelo desenvolvimento da interdisciplinaridade Álgebra
Linear vs. programação de computadores. As etapas desenvolvidas foram as mesmas do
estudante 1. O estudante 2 explorou a ferramenta Visualg® para resolver problemas
sobre matrizes e operações com matrizes. A ideia original era fazer um compêndio
envolvendo determinantes e sistemas lineares, mas o tempo destinado ao projeto não era
adequado ao desenvolvimento teórico da Matemática, uma vez que na época do início
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
244
da pesquisa, em 2015, a ementa da disciplina Fundamentos Teóricos ainda não
contemplava esses tópicos. As figuras abaixo demonstram parte das soluções
encontradas.
Figura 3. Parte da introdução teórica às operações com matrizes. Dau et.al. (2016), p. 22
Figura 4. Parte principal do código-fonte desenvolvido pelo estudante 2, acerca do exercício 193, de
Iezzi et. al. (2004), apud Dau et.al. (2016), p. 26.
Estudante 3: responsável pela compilação dos resultados em um compêndio,
contendo breves explanações sobre o tema abordado e uma biblioteca de comandos e
códigos-fonte necessários para obter o mesmo resultado que o exercício referido como
feito à moda tradicional, à mão, com linguagem Matemática, formal ou aproximada. As
etapas desenvolvidas foram: revisão bibliográfica; montagem do capítulo do compêndio
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
245
que versa sobre as ferramentas utilizadas e seu foco dado pelo ponto de vista de um
usuário de ferramentas computacionais Matemáticas; e proposta de um modelo para
formatar os capítulos específicos do compêndio. O estudante 3 deu vida à versão
didática e acessível aos estudantes, disponível online (DAU et. al., 2016),
desenvolvendo técnicas de acordo com a TICs e focando na técnica de alfabetização
tecnológica (ARAÚJO et. al. 2015). O resultado final – enquanto não se desenvolvem
novas versões mais completas – encontra-se disponível em Dau et. al. (2016).
O compêndio foi compilado, e sua primeira versão está disponível online (DAU
et. al., 2016).
Figura 5. QR Code do Compêndio.
3. Conclusões
Este trabalho teve como objetivo promover a interdisciplinaridade entre
Matemática e ferramentas computacionais educativas, para dar acessibilidade do
aprendizado de Matemática pelos estudantes de TI.
Esse projeto não é nada mais que a compilação de uma prática adotada em sala
de aula desde que o primeiro autor desse artigo leciona para cursos Técnicos Integrados
ao Ensino Médio, e Cursos Superiores de Tecnologia e Engenharia, em 2006. A
necessidade de se adaptar os fundamentos teóricos mais importantes da Matemática
para os referidos cursos a formas didáticas e atualizadas de trabalha-los levou o autor a
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
246
utilizar novas ferramentas destinadas ao aprendizado de Matemática em disciplinas que
não a utilizam diretamente, como é caso da maioria das disciplinas técnicas dos cursos
superiores de Engenharia e Tecnologia.
Enfim, o trabalho não foi fácil e imediato, pois no decorrer do desenvolvimento
notamos que os próprios estudante bolsistas desenvolvedores do projeto tinham
dificuldades com a Matemática envolvida, de forma que não conseguimos avançar o
desejado na área de Álgebra Linear. Está previsto, para as etapas seguintes do projeto
(temporada 2016-2017), o melhoramento ao compêndio, incluindo outras áreas da
Matemática e novas ferramentas tecnológicas educativas.
4. Referências
ARAÚJO, M. J. de A. et. al. Alfabetização Tecnológica. Disponível em
<http://www.webartigos .com/artigos/alfabetizacao-tecnologica/35398/>. Acesso em:
mai-2015
BORBA, M.C.; PENTEADO, M.G. Informática e Educação Matemática. 5. ed.Belo
Horizonte: Autêntica, 2012. 104 p
CONTROLADORIA GERAL DA UNIÃO. Plano de Desenvolvimento Institucional do
IFMS: 2014 – 2018. Disponível em
<http://www.consultaesic.cgu.gov.br/busca/dados/Lists/Pedido/Attachments/473565/RE
SPOSTA_PEDIDO_pdi_ifms_2014_2018_2edicao.pdf>. Acesso em: set-2016.
DAU, T, R. et. al. Interdisciplinaridade com as disciplinas de Matemática e Ferramentas
Tecnológicas: um compêndio sobre Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear,
Aplicativos Web e Linguagens de Programação. Disponível em
<https://drive.google.com/file/d/0BxtRwC5Whq5-
UkdkNlUxN2JHMXM/view?usp=sharing>. Acessado em: set-2016.
FUCK, R. S. A Integração das Tecnologias Informáticas no Contexto da Prática
Docente: um estudo de caso com professores de Matemática. 2010. 137f. Dissertação
(Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Faculdade de Física, Pontifícia
Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre (RS), 2010
GAMMACK, J. G.; HOBBS, V.; PIGOTT, D. The Book of Informatics. Cengage
Learning. 1st ed. Boston, 2011.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
247
KAPUT, J. J. Technology and Mathematics Education. In: GROUWS, Douglas A.
Handbook of research on Mathematics Teaching and Learning. NCTM, 1992, Cap. 21,
p.515-556.
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar: Sequências, Matrizes,
Determinantes e Sistemas. 7ª Ed. Vol. 4. Atual Editora, 2004.
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo. Harbra, 1994.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Schaum’s Outlines of Theory and Problems of Linear
Algebra. McGraw-Hill. 3th Ed., 2004.
MILAGRES, D. C.; FALLEIROS, E. L. S. Proposta de Implementação do Algoritmo de
Gauss-Jordan em Linguagem C para Auxiliar o Aprendizado de Tópicos de Álgebra
Linear. II Simpósio em Computação – SIMPOCOMP 2013. UEMS, Nova Andradina –
MS.
PATRÍCIO, P. Notas de Aula de Álgebra Linear em 2006. Disponível em:
<http://w3.math.uminho.pt/~pedro/>. Acesso em: set-2013.
PORTUGOL. Português estruturado. Disponível em
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Portugol>. Acesso em: set-2016.
RICHARDS, J. Mathematical Discussion. Dordrecht, The Nederlands: Kluwer, 1991.
VISUALG. Visualizador de Algoritmo. Disponível em
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Visualg>. Acesso em: set-2016.
WOLFRAM. Wolfram Alpha Computacional Knowledge Engine. Disponível em
<http://www.wolframalpha.com/>. Acesso em: mai-2015.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
248
A REPERCUSSÃO DA DIFICULDADE MATEMÁTICA SOBRE O ENSINO DE
CIÊNCIAS NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
RIBEIRO, Guilherme Augusto Maciel
Mestrando em Educação/ Ensino de Ciências e Matemática – IFES Campus Vitória
BOONE, Mirelly Katiene e Silva
Mestranda em Educação/ Ensino de Ciências e Matemática – IFES Campus Vitória
BRAGA, Theophilo Rosa Rodrigues
Servidor do Instituto Federal do Espírito Santo –Campus Piúma
Resumo:
O presente artigo tem por objetivo estabelecer uma discussão sobre os impactos das
dificuldades matemáticas no processo de ensino-aprendizagem de alunos do 9º ano e as
repercussões sobre o ensino de ciências naturais. Procedeu-se a uma pesquisa qualitativa
descritiva a partir da análise dos processos de construção de conhecimentos científicos
em cinemática envolvendo alunos do 9º ano de uma escola pública municipal do sul do
estado do Espírito Santo. Foram analisadas algumas atividades desenvolvidas em
Ciências Naturais que abordaram o conteúdo velocidade média, cujas respostas dos
alunos aos exercícios propostos serviram de dados à interpretação e confecção deste
artigo. Observou-se que as dificuldades dos alunos em solucionar cálculos matemáticos
de transformações nas unidades de espaço e de tempo e em proceder às operações
matemáticas elementares – sobretudo aquelas relacionadas aos números decimais –
sinalizam a necessidade de maior diálogo entre as disciplinas de ciências naturais e
matemática ao longo de toda a Educação Básica.
Palavras-chave: dificuldades matemáticas; ensino de ciências naturais;
interdisciplinaridade.
1. Introdução
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
249
O ensino de ciências naturais no 9º ano é marcado pelo déficit no rendimento
escolar, dadas as dificuldades na solução de problemas envolvendo o estudo do assunto
cinemática. A operacionalização do conhecimento em cinemática exige uma postura
reflexiva do estudante, que se inicia com a leitura e a interpretação da problematização
que a ele é apresentada até o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático
subjacente ao problema proposto. Não obstante, é perceptível, durante a prática
educativa, que os alunos apresentam dificuldades operacionais matemáticas que
confundem o desenvolvimento dos conhecimentos científicos em cinemática, o que
sugere a necessidade de nivelamento destes conhecimentos pelos professores de
ciências naturais em parceria com os professores de matemática, sob a perspectiva
interdisciplinar.
2. Metodologia
Procedeu-se à pesquisa qualitativa descritiva a partir de Bogdan & Biklen (1994),
através da observação e análise dos processos de construção de conhecimentos científicos
em cinemática por alunos do 9º ano de uma escola pública municipal do sul do estado
do Espírito Santo. Como fonte de dados para análise e discussões foram utilizadas
atividades propostas para o ensino sobre o conteúdo ‘velocidade média’, atividades
essas comumente desenvolvidas em Física, componente da disciplina de ciências
naturais no 9º ano do Ensino Fundamental.
Nesta ocasião, as referidas atividades foram planejadas pelo professor de Ciências
Naturais em consonância com as orientações da Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional (LDBEN, 1996), do Currículo Básico das Escolas Estaduais do Espírito Santo
(CBEE/ ES, 2009) e das Diretrizes Nacionais Curriculares da Educação Básica
(DCNEB, 2013). Desse modo, após as teorizações e demonstrações concernentes ao
conteúdo proposto, os alunos foram orientados a solucionar um conjunto de problemas
envolvendo o conteúdo ‘velocidade média’, sendo assistidos pelo professor de Ciências
Naturais.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
250
O produto oriundo das resoluções feitas pelos alunos foi analisado e interpretado à
luz de um diálogo interdisciplinar entre profissionais que atuam neste segmento de
ensino (um professor de ciências naturais e uma professora de matemática),
acompanhados por um pedagogo. Além disso, houve uma interlocução com os
referenciais teóricos levantados como forma de situar os (des)caminhos da construção
de conhecimentos em física por ocasião das deficiências matemáticas diagnosticadas
durante a resolução das atividades, que podem constituir obstáculos epistemológicos
para os processos de ensino-aprendizagem em ciências naturais.
3. Referencial teórico
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN, 1996), em seu
artigo 21, apresenta Educação Básica dividida em três fases: Educação Infantil, Ensino
Fundamental e Ensino Médio. As Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica
(DCNEB, 2013) é o documento oficial que estabelece orientações referentes à “[...]
organização, articulação, o desenvolvimento e avaliação das propostas pedagógicas de
todas as redes de ensino brasileiras” (DCNEB, 2013, p.04). O texto é claro e prioriza a
importância da articulação entre as etapas da Educação Básica como forma de
minimizar as dificuldades dos estudantes. Ao tratar do Ensino fundamental de nove
anos, as diretrizes anunciam que
Um desafio que se depara o Ensino Fundamental diz respeito à sua
articulação com as demais etapas da educação, especialmente com a
Educação Infantil e com o Ensino Médio. A falta de articulação entre as
diferentes etapas da Educação Básica tem criado barreiras que dificultam o
percurso dos alunos. (DCNEB, 2013, p.120).
Não obstante, este documento sinaliza que, para a superação das dificuldades
educacionais provocadas pela falta dessa articulação,
[...] é preciso que o Ensino Fundamental passe a incorporar tanto algumas
práticas que integram historicamente a Educação Infantil, assim como traga
para seu interior preocupações compartilhadas por grande parte dos
professores do Ensino Médio, como a necessidade de sistematizar
conhecimentos, de proporcionar oportunidades para a formação de conceitos
e a preocupação com o desenvolvimento do raciocínio abstrato, dentre outras.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
251
(DCN’s, 2013, 120).
E não paramos por aqui. Além da necessidade de articulação entre as etapas que
antecedem e sucedem o Ensino Fundamental, há, ainda, a necessidade de articulação no
interior do próprio Ensino Fundamental, pois temos o ciclo de alfabetização que se
conclui ao final de 3º ano, os anos iniciais que se concluem ao final do 5º ano e os anos
finais que se concluem ao final do 9º ano. São muitos os momentos com papéis distintos
a serem cumpridos no processo de escolarização. Por isso, quando as falhas acontecem
e não são superadas, o estudante poderá carregar consigo muitas dificuldades que
comprometerão a continuidade dos seus estudos.
O 9º ano do Ensino Fundamental constitui a etapa de conclusão da segunda fase
da educação básica. Neste momento o estudante conclui a etapa do ensino fundamental
II e inicia o percurso formativo do ensino médio. Neste sentido, é fundamental que
alguns conceitos já estejam formados, de maneira que sirvam de base para a construção
dos próximos conceitos, sobretudo os conceitos matemáticos, que são imprescindíveis
ao início dos estudos da física. É comum, nesta fase, vermos alunos e professores se
queixando das dificuldades referentes a números e operações, álgebra, dentre outros,
seja na própria área de conhecimento da matemática ou em outras áreas que se valem
dela para prosseguir com suas atividades educativas, como é o caso das Ciências
Naturais, quando do estudo da fsica e da química, por exemplo.
O ensino de ciências naturais no 9º ano é, portanto, marcado pela dificuldade dos
alunos em solucionar cálculos matemáticos de transformações nas unidades de espaço e
de tempo e em proceder às operações matemáticas elementares – sobretudo aquelas
relacionadas aos números decimais. Tal constatação é evidenciada nas diferentes
situações de aprendizagem a que vivenciamos e estas sinalizam para a necessidade de
maior diálogo entre as disciplinas de ciências naturais e matemática ao longo de toda a
Educação Básica. Além disso, torna-se perceptível a dificuldade que os alunos exibem
em construir relações de racionalidade entre a distância percorrida por um corpo móvel
e o tempo gasto.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
252
Se observarmos o diagnóstico das dificuldades, percebemos que elas estão
ligadas à formação do conceito de número racional. Caraça (2002) trata dos números
sempre ligados aos problemas reais da vida humana: os números naturais estão ligados
ao problema da contagem considerada pelo autor como uma “[...] operaçao elementar
da vida individual e social”. (CARAÇA, 2002, p.03). Os números racionais estão
ligados ao problema da medida e a partir da medição: o autor nos auxilia na construção
do campo racional (CARAÇA, 2002, p.29). Ainda de acordo com as ideias deste autor,
medir e contar são as operações cuja realização a vida de todos os dias exige com maior
frequência. Mas o que é medir? Em Caraça, temos que
[...] toda a gente, nas mais variadas circunstâncias, qualquer que seja a sua
profissão, tem necessidade de medir. Mas o que é medir? Todos sabem em
que consiste o comparar duas grandezas da mesma espécie – dois
comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc. (CARAÇA, 2002, p.29).
O estudo das ideias apresentadas pelo autor nos sugere que desde o início da
construção de conhecimentos e significados matemáticos (que, por conseguinte,
poderão ser aplicados a outros contextos de aprendizagens), o número racional é
apresentado pela comparação entre grandezas. Neste sentido, o ato de medir apresenta-
se em “[...] três fases e três aspectos distintos – escolha da unidade; comparação com a
unidade; expressão do resultado dessa comparaçao por um número.” (CARAÇA, 2002,
p.30).
Entendemos que a operação da medição acompanha a vida humana desde antes
no nascimento de Cristo. Em sua obra Caraça (2002) faz uma relação entre a operação
de medição, a propriedade privada e o Estado: o proprietário precisa conhecer a medida
das dimensões da terra, seja para manejá-la, para estabelecer contrato de venda ou para
definir o valor do imposto devido ao Estado. Tais dimensões são utilizadas para definir
as áreas a partir de regras ensinadas pela Geometria. O mesmo autor ilustra a relação
medição, propriedade e Estado a partir das origens da Geometria escrita por Heródoto,
“[...] historiador grego que viveu no século V antes de Cristo, ao fazer a história dos
Egípcios [...]”. (CARAÇA, 2002, p. 32). Outrossim, refere-se às origens da Geometria
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
253
da seguinte maneira:
Disseram-me que este rei (Sesostris) tinha repartido todo o Egipto entre os
egípcios e que tinha dado a cada um uma porção igual e retangular de terra,
com a obrigação de pagar por ano um certo tributo. Que se a porção de algum
fosse diminuída pelo rio Nilo, ele fosse procurar o rei e lhe expusesse o que
tinha acontecido à sua terra. Que ao mesmo tempo o rei enviava medidores
ao local e fazia medir a terra, a fim de saber de quanto ela estava diminuída e
de só fazer pagar tributo o tributo conforme o que tivesse ficado de terra. Eu
creio que foi daí que nasceu a Geometria e que depois ele passou aos gregos.
(CARAÇA, 2002, p.32).
Diante das situações já expostas, vale questionar: será que o ensino de
matemática tem priorizado as ideias que deram origem ao novo campo numérico? O
campo racional surge a partir do momento em que os números inteiros não são
suficientes para representar certas medidas. Entretanto, os números racionais podem
aparecer em situações distintas. Onuchic e Allevato (2008) definem o campo racional da
seguinte forma:
Figura 1: Definição de Número Racional por Onuchic e
Allevato (2008).
Nesta relação, observa-se que todo número é racional quando pode ser escrito na
forma 𝑎
𝑏, com a e b inteiros e b ≠ 0, embora haja, em alguns livros didáticos, a exigência
adicional da irredutibilidade de a e b. Além de definir o campo racional Onuchic e
Allevato (2008) apresentam diferentes “personalidades” que podem ser assumidas por
um número racional, enumerando-as da seguinte forma:
O ponto racional [...] um ponto bem definido na reta[...].
Quociente[...] um número de objetos precisa ser repartido igualmente
num certo número de grupos [...].
Fração[...] a relação da parte com o todo [...].
Operador [...] com significado semelhante ao de reduzir ou ampliar, [...]
define uma estrutura de números racionais.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
254
Razão é uma comparação entre duas grandezas [...].
Proporcionalidade [...] comparação multiplicativa [...]. (ONUCHIC e
ALLEVATO, 2008, p.87-99)
Onuchic e Allevato (2008) construíram as personalidades dos números racionais
a partir da metodologia de resolução de problemas. Segundo as autoras, envolvendo-se
em resolução de problemas, os alunos participam ativamente da construção desses
conceitos.
Como podemos observar, os números racionais podem aparecer de maneiras
diferentes dependendo da situação problema em que estão inseridos. Sem conhecer tais
personalidades os estudantes não serão capazes de reconhecê-las nem em problemas de
matemática e nem em problemas de física. Como podemos cobrar dos alunos que
resolvam questões de velocidade média se eles não são capazes de perceber que estamos
falando da relação de racionalidade entre distância percorrida por um corpo móvel e
tempo gasto por este em sua trajetória? Do mesmo modo, quais ações preliminares à
racionalidade são mobilizadas no intuito de possibilitar a operacionalização matemática
de conversão das medidas de espaço e de tempo que são fundamentais para o
desenvolvimento do estudo da cinemática?
Ubiratan D’Ambrósio (1994) denuncia que uma das possibilidades desta
inadequação teórico-prática no ensino de física em ciências naturais reside na repetição
mecânica dos conhecimentos adquiridos durante o processo educativo. E continua por
considerar que, por anos, a postura escolar dos alunos acerca da aprendizagem dos
conteúdos da física
[...] estavam relacionadas à resolução de problemas numéricos em que a
dificuldade não estava centrada no conceito Físico e, sim, nas relações
matemáticas exigidas, nas operações efetuadas e na criatividade em
desenvolver expressões algébricas para atingir resultados. (D’AMBRÓSIO,
1994, p.14)
Muitas podem ser as contribuições para o insucesso dos alunos durante as
atividades escolares dos conteúdos relativos à cinemática no 9º ano do ensino
fundamental. Diante destas considerações e questionamentos, torna-se evidente que as
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
255
dificuldades matemáticas relacionadas ao estudo do conteúdo ‘velocidade média’ não
constituem apenas um obstáculo epistemológico a ser transposto por professores de
matemática. É necessária uma articulação interdisciplinar entre ciências naturais e
matemática, de modo a situar o contexto científico da cinemática às possibilidades
reflexivas e resolutivas matemáticas, conforme sugerem Karam e Pietrocola (2009).
4. Resultados e discussões
Durante o acompanhamento das resoluções das atividades sobre ‘velocidade
média’ por alunos do 9º ano do ensino fundamental, foi diagnosticado que, a priori, os
alunos demonstraram dificuldades em solucionar os cálculos matemáticos associados a
transformações nas unidades de espaço e de tempo. Tais operações matemáticas estão
contidas no Currículo Básico das Escolas Estaduais do Espírito Santo (CBEE/ ES,
2009), especificamente nas orientações referentes às competências e habilidades
desejáveis para o ensino da matemática aos alunos da 5ª série do ensino fundamental
(atual 6º ano) e que se estende por diferentes contextualizações e aplicações práticas ao
longo das séries subseqüentes da educação básica.
Quadro 1: Distribuição de competências/ habilidades e conteúdos
de Matemática para a 5ª série/ 6º ano propostos pelo CBEE/ ES, 2009 (p. 92)
Em
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
256
observação aos registros feitos pelos estudantes, foram diagnosticadas dificuldades em
proceder às operações matemáticas associadas à conversão de unidades de medida de
espaço, sobretudo aquelas relacionadas aos números decimais. Essas deficiências
matemáticas repercutem decisivamente para o fracasso destes sujeitos nos cálculos
cinemáticos de física em ciências naturais.
Além disso, torna-se evidente que tais dificuldades matemáticas apresentadas
pelos alunos comprometem o desenvolvimento dos conteúdos e cálculos cinemáticos.
Isso porque, na construção das relações de racionalidade entre distância percorrida por
um corpo móvel e tempo gasto por este em sua trajetória, é necessária a
operacionalização da matemática concomitante às especificidades conceituais das
ciências naturais. Por isso, há que se valer dos conhecimentos tácitos matemáticos para
que a aprendizagem científica sobre a ‘velocidade média’ se torne efetiva.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
257
Quadro 2: Distribuição de competências/ habilidades e conteúdos de Ciências Naturais
para a 8ª série/ 9º ano propostos pelo CBEE/ ES, 2009 (p. 75)
Uma discussão necessária, paralela às (des)aprendizagens constatadas ao se
acompanhar a construção do conhecimento científico em cinemática, é o distanciamento
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
258
entre o estudo das conversões das medidas de espaço e de tempo na 5ª série/6º ano do
ensino fundamental e sua possibilidade de utilização em ciências naturais na 8ª série/9º
ano. Em entendimento, a estruturação curricular proposta para o ensino ciências naturais
merece um novo olhar.
Em Ribeiro (1987, p. 74), percebemos que tal organização curricular segue o
pensamento Comteano, já que este “nao recomendava o ensino das ciências senao após
os 14 anos. Até então a criança deveria receber uma educação de caráter estético,
baseada na poesia, na música, no desenho e nas línguas.” Isso justifica, em parte, o fato
de o aluno apenas ter acesso ao ensino de física ou de química nas séries finais do
ensino fundamental, constatação que poderá ser estudada em análises acadêmicas
posteriores.
É possível que estes dados sugiram interligações multifatoriais entre os diversos
aspectos da construção do conceito de número racional – que precisa envolver todas as
diferentes “personalidades” deste campo numérico – e de suas implicações nos
processos de ensino-aprendizagem, tanto no ensino de matemática quanto no ensino de
ciências naturais. Entendemos que estas sinalizações direcionam nossas análises para a
necessidade de um maior diálogo entre a matemática e as ciências naturais ao longo de
toda a educação básica, com vistas a minorar as possíveis lacunas que venham a
repercutir em dificuldades de aprendizagem nas diferentes áreas de conhecimento da
educação básica.
5. Considerações finais
Acreditamos que as interlocuções entre as áreas de conhecimento de ciências
naturais e matemática sejam necessárias durante todas as seriações da educação básica,
uma vez que a interdisciplinaridade fomenta o uso de novas perspectivas pedagógicas
para a contextualização de todo conhecimento, promovendo permanente processo de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
259
retroalimentação da construção de novas aprendizagens frente aos conteúdos
curriculares.
Além disso, é desejável que tais aproximações permitam a fluência da
dialogicidade entre as ciências naturais e a matemática, a fim de preencher as possíveis
lacunas existentes nas práticas pedagógicas desenvolvidas pelos profissionais dessas
diferentes áreas de conhecimento, minorando suas limitações e potencializando a
construção de significados mais complexos dos conteúdos científicos e matemáticos
trabalhado nas diversas situações de ensino-aprendizagem.
6. Referências bibliográficas
BOGDAN, Robert C. BIKLEN, Sari Knopp. Investigação Qualitativa em Educação:
uma introdução à teoria e aos métodos. Tradução: Maria João Alvarez, Sara Bahia dos
Santos e Telmo Mourinho Baptista. Portugal: Porto Editora, 1994.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa,
Gradiva, 2002.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Ciências, informática e sociedade: uma coletânea de textos.
Brasília: 1994.
MOREIRA, A Marco; OSTERMANN, Fernanda. A Física na Formação de
Professores do Ensino Fundamental. Editora da Universidade, RS, 1999.
KARAM, Ricardo; PIETROCOLA, Maurício. Discussão das relações entre matemática
e física no ensino de relatividade restrita: um estudo de caso. In: VII Encontro Nacional
de Pesquisa em Educação em Ciências, 2009, Florianópolis. Anais... Florianópolis,
Associação Brasileira de Pesquisa em Educação em Ciências, 2009, p. 1-12. Disponível
em: <http://posgrad.fae.ufmg.br/posgrad/viienpec/pdfs/1529.pdf>. Acesso em: 10 out
2016.
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. As Diferentes
"Personalidades" do Número Racional Trabalhadas através da Resolução de Problemas.
Boletim de Educação Matemática - Bolema, vol. 21, núm. 31, 2008, p. 79- 102.
PRAXEDES, Jacqueline Maria de Oliveira; KRAUSE, Jonas. O estudo da física no
Ensino Fundamental II: iniciação ao conhecimento científico e dificuldades enfrentadas
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
260
para sua inserção. In: II Congresso Nacional de Educação – CONEDU, 2015, Campina
Grande – Paraíba (PB). Anais... Editora Realize, v.2, n.1, 2015. Disponível em:
<http://www.editorarealize.com.br/revistas/conedu/trabalhos/TRABALHO_EV045_M
D1_SA18_ID5215_17082015233214.pdf>. Acesso em: 12 set. 2016.
RIBEIRO, M. L. S. História da educação: a organização escolar. São Paulo:
Cortez/Autores Associados, 1987.
SOARES, Valéria Rangel. O Ensino de Física no 9° ano de escolaridade – Um
estudo sob a perspectiva dos professores de Ciências de uma Escola Municipal de
Duque de Caxias. 2012. 76 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de
Ciências) - Programa de Pós-graduação Stricto Sensu em Ensino de Ciências, Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ), Campus
Nilópolis, Nilópolis, RJ. 2012.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
261
DESAFIO DO USO DAS TIC´S NA REDE PÚBLICA NA PERCEPÇÃO DOS
PROFESSORES DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA
CORADINI, Alef Barbosa
Graduando em Licenciatura em Matemática – Ifes
TONELLI, Elizangela
Professora do Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Resumo: Este artigo objetiva fazer um levantamento do acervo das Tic’s e suas condições de
funcionamento, disponibilizadas para o fazer docente bem como verificar de que forma os
laboratórios de informática têm sido usados para o ensino da matemática. Os resultados
preliminares obtidos por meio de uma pesquisa exploratória mostraram que alguns
equipamentos não funcionam e que a internet não atende satisfatoriamente as demandas
administrativas e pedagógicas. Esses fatores nos levam a hipótese, que os objetivos
governamentais de inclusão digital ainda se esbarram em desafios que podem comprometer o
efetivo aproveitamento das Tic’s no ambiente escolar.
Palavras-chave: Laboratório Proinfo; prática pedagógica; Ensino de Matemática.
1. Introdução
A informática educacional e os diversos recursos de mídia disponibilizados
direta ou indiretamente nas escolas visam tornar as aulas mais atrativas e
compreensivas, uma vez que nossos alunos da educação básica já nasceram integrados
nesse mundo digital.
O uso da tecnologia pode ser proveitoso no estudo interativo de conteúdo,
tornando-os mais motivador e fazendo com que o aluno adote uma postura mais
participativa. Em meio a diversas maneiras de ensinar, há de se considerar que os alunos
que hoje estão nas salas de aulas são chamados por Prensky (2001) como nativos
digitais, ou seja, nasceram em um contexto no qual o acesso à diversidade de recursos
digitais (onlines e offlines) tornou-se uma constante para a maioria deles. Por esta razão,
eles dominam esses recursos sem muitas dificuldades.
Contudo faz-se importante lembrar que de acordo com bases empíricas, alguns
professores ainda se mostram resistentes quanto ao seu uso seja pela falta de domínio de
algumas tecnologias ou porque algumas escolas ainda não conseguiram adaptar o uso
das tecnologias ao seu cotidiano educacional por falta de equipamentos que atendam ao
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
262
quantitativo de alunos ou disciplina/professor.
Partindo dessas inquietações este estudo tem buscado respostas para as seguintes
questões: Quais tecnologias de Informaçao e comunicaçao (Tic’s) as escolas públicas
disponibilizam para professores e alunos? De que forma esses recursos têm sido
utilizados no ensino de matemática? Esses questionamentos buscam fazer um
levantamento do acervo de recursos tecnológicos que o professor da rede pública de
ensino têm ao seu dispor e de que forma elas têm sido empregadas no ensino da
matemática.
Justifica-se a escolha desse tema porque as Tic’s estao cada vez mais presentes
no dia a dia dos professores e alunos, tendo em vista ainda que o uso dessas ferramentas
está de acordo com as preferências da maioria dos estudantes, e com os objetivos da
inclusão digital.
2. A inclusão digital por meio do espaço escolar
Analisando o crescimento da informatização dos serviços oferecidos à
sociedade, cada vez mais se busca a inclusão digital dos cidadãos nesse modo de vida.
Rebelo diz que (2005) a expressão Inclusão Digital surgiu a partir do termo digital
divide, que em inglês significa algo como "divisória digital", que hoje se pode
desprender do termo algo similar à democratização da informação, universalização da
tecnologia e outras variantes parecidas e politicamente corretas.
A inclusão digital significa também, antes de tudo, melhorar as condições de
vida de uma determinada região ou comunidade com ajuda da tecnologia que no espaço
escolar não é apenas "alfabetizar" alunos em informática, mas também melhorar os
quadros sociais a partir do manuseio dos computadores (REBELO, 2005).
As novas Tecnologias de Informaçao e Comunicaçao (Tic’s) surgiram na metade
da década de 1970 no contexto da Terceira Revolução Industrial e Revolução
Informacional. As Tic’s sao entendidas como um conjunto de recursos tecnológicos
integrados entre si, que proporcionam, por meio das funções de hardware, software e
telecomunicações, a automação e comunicação dos processos de negócios, da pesquisa
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
263
científica e de ensino e aprendizagem. Elas correspondem a todas as tecnologias que
interferem e medeiam os processos informacionais e comunicativos dos seres.
No contexto atual, a escola se apresenta como ambiente capaz de fazer imergir
as novas tecnologias a serviço de uma metodologia de ensino a favor da interação dos
alunos nesta sociedade da informação anulando, assim, as diferenças sociais não
pertinentes a este processo.
A esse respeito, o PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p.
20) enfatiza que um dos objetivos do ensino é "saber utilizar diferentes fontes de
informaçao e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos”.
Ao se utilizar diferentes mídias que colaboram para a apropriação de um
ambiente de comunicação e atualização do conhecimento, o computador e seus
inúmeros recursos destacam-se como a principal ferramenta de acesso. Especificamente
falando das ferramentas computacionais no ensino da matemática, os PCN’s sugerem
ainda que,
“o computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino
(banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de
aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento de
habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a
aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas, trocando
suas produções e comparando-as” (BRASIL, 1997, p.48).
Em relação ao uso das TIC´s no ensino de matemática os PCN também enfatizam que o
uso dos recursos tecnológicos para a aprendizagem é uma das possibilidades de
despertar no aluno o desejo pela conquista do saber das práticas sociais.
É esperado que nas aulas de Matemática se possa oferecer uma
educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação
especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos
recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre
sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das
diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de
aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada
nas práticas sociais (BRASIL, 1997, p. 46).
Conforme os PCN (BRASIL, 1998, p.44), o computador pode ser empregado de várias
maneiras nas aulas de matemática. Se for usado como fonte de informaçao “é um
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
264
poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem e construir o
conhecimento. Se for usado para desenvolver a autonomia o uso dos softwares
possibilita pensar, refletir e criar soluções por meio das ferramentas como planilhas
eletrônicas, processadores de texto, banco de dados, etc.
A finalidade de seu uso está associada ao objetivo a ser alcançado com o
conteúdo. Os PCN (1998), em relação aos recursos de softwares, por exemplo,
argumentam que seu sucesso depende, em grande parte, da escolha feita pelo professor,
devendo – o software – ser apropriado ao que se pretende alcançar.
Valente (1993) que o computador tem de ser visto como uma nova mídia
educacional e nao somente como uma “máquina de ensinar”: é uma ferramenta
educacional de aperfeiçoamento, de complementação e de uma plausível modificação
na qualidade do ensino. Portanto, uma das soluções para estas mudanças poderia ser a
presença do computador, dando as condições para os discentes desenvolverem a
capacidade de buscar e selecionar a informação, solucionar problemas e aprender de
forma independente. Segundo Valente (1993) o computador deve ser empregado como
um catalisador de uma alteração do paradigma educacional, sendo que os responsáveis
pelo controle do processo de aprendizagem são os discentes. Por outro lado este novo
paradigma educacional contribui para que o docente compreenda que a educação não é
somente a transferência de conhecimento, mas todo um processo de construção do
conhecimento pelo estudante, um produto do seu engajamento intelectual ou do
educando.
Como forma de incentivo e inserçao das Tic’s no espaço escolar, governo tem
desenvolvido diferentes ações. Por meio da portaria 522 de 9 de abril de 1997, o
Ministério da Educação e do Desporto criou o Programa Nacional de Informática na
Educação (Proinfo) que em 2007, com o Decreto nº 6.300, foi ampliado, tornando suas
ações e objetivos mais específicos quanto ao uso pedagógico das Tic’s nas redes
públicas de educação básica, tais como: formação de professores, disponibilização de
conteúdos educacionais, provimento de infraestrutura para os laboratórios de
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
265
informática, suporte técnico e manutenção dos equipamentos do ambiente tecnológico
do Programa quando findar o prazo de garantia da empresa fornecedora contratada.
Para a efetiva inclusao digital por meio da inserçao das Tic’s nas escolas
públicas o Proinfo tem implantado vários programas e projetos educacionais como:
Portal Domínio Público, Linux Educacional, Banda Larga nas escolas, Um
Computador por Aluno (Prouca), Tablets Educacional, Portal do Professor, Projetor
Proinfo, Laboratório Proinfo.
Tendo esse estudo como foco especial o uso das ferramentas computacionais no
ensino da matemática, aprofundaremos um pouco mais sobre os programas Banda Larga
nas Escolas, tablet Educacional e Laboratórios Proinfo.
2.1 Programa Banda Larga nas Escolas
Resultado de acordo do Governo Federal com as operadoras, lançado em 2008, o
programa visa disponibilizar conexão à internet em banda larga para todas as escolas
públicas urbanas de educação básica e polos da Universidade Aberta do Brasil (UAB).
Tem como objetivo conectar todas as escolas públicas urbanas à internet por meio de
tecnologias que propiciem qualidade, velocidade e serviços para incrementar o ensino
público no País, conforme mostra a figura 1.
Figura 1:Painel de Estratégia escolas/banda larga
Fonte: MEC/Inep/DEED/Censo Escolar
A gestão do Programa é feita em conjunto pelo Ministério da Educação (MEC) e
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
266
pela Agência Nacional de Telecomunicações (ANATEL), em parceria com o Ministério
das Comunicações (MCOM), o Ministério do Planejamento (MPOG) e com as
Secretarias de Educação Estaduais e Municipais.
2.2 Laboratório Proinfo
Para fazer parte do Pronto Urbano e/ou Rural, o município ou o estado deve
fazer a adesão, o Cadastro e a Seleção das escolas que, seguindo os critérios adotados
pelo programa, receberão dos laboratórios. O MEC compra, distribui e instala
laboratórios de informática nas escolas públicas de educação básica. Em contrapartida,
os governos locais (prefeituras e governos estaduais) devem providenciar a
infraestrutura das escolas, indispensável para que elas recebam os computadores,
conforme a icartilha do Proinfo rural e Proinfo Urbano. Os laboratórios são compostos
de:
Proinfo Rural: Solução Multiterminal – 5 terminais de acesso com CPU,
monitor LCD, impressora jato de tinta, 266wireless. Sistema operacional Linux
Educacional 3.0, Garantia de 3 anos, Mobiliário (mesas e cadeiras) – enviados
pelo MEC.
Proinfo Urbano: Soluçao multiterminal com 8 CPU’s e 17 terminais de acesso,
1 servidor multimídia, 1 impressora laser, 10 estabilizadores, 1 access Point;
Linux Educacional 3.0; Garantia de 3 anos.
Seguindo as diretrizes do governo federal, o MEC incentiva à utilização de
softwares livres e produz conteúdo específico, voltado para o uso didático-pedagógico,
associados à distribuição Linux-Educacional, que acompanha os computadores do
laboratório.
Conforme ilustrado na figura 2, em anexo, em cumprimento ao PNE, o governo
prometeu universalizar, até o quinto ano da vigência, o acesso à rede mundial de
computadores em banda larga de alta velocidade e triplicar, até o final da década, a
relação computador/aluno nas escolas da rede pública de Educação Básica, promovendo
a utilização das tecnologias da informação e da comunicação. O PNE – Plano Nacional
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
267
de Educação é uma lei ordinária com vigência de 10 anos a partir de 26 de junho de
2014 e está prevista no artigo 214 da Constituição Federal, que estabelece diretriz,
metas e estratégias de concretização no campo da Educação.
Figura 2: Numero de alunos por computador
Fonte: MEC/Inep/DEED/Censo Escolar
2.3 Tablet Educacional
No intuito de incentivar o uso didático-pedagógico das TIC´s, em 2012, foram
distribuídos tablets para os professores de ensino médio da rede pública urbana, nos
quais já trazem instalados os conteúdos do Portal do Professor / MEC; Portal Domínio
Público; Khan Academy (Física / Matemática / Biologia / Química): tradução para
português com parceria da Fundação Lemann; Projetos de Aprendizagem Educacionais
(Banco Internacional de Objetos Educacionais – MEC); Coleção Educadores.
Modelo do Tablet tipo 1- Tela: LCD de 7 polegadas tipo touch multitoque
capacitivo, resolução de 1024 x, 600 pixels, formato 16:9, Sistema operacional: Android
4.0, Português Brasil, Processador: 1GHz, Armazenamento: 16GB (com possibilidade
de expansão de até, 32GB com cartão Micro SD Card); Conectividade: Rede sem fio
IEEE 802.11 b/g/n e Bluetooth 2.1 + EDR; Câmeras: Frontal VGA e traseira de 2,0MP;
Medidas: 196 x 120 x 11,4mm (LxAxP); Peso: 398g (sem a capa emborrachada).
Modelo do tablete tipo 2 - Tela: LCD de 9,7 polegadas tipo touch multi toque
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
268
capacitivo, resolução de 1024 x, 768 pixels, formato 4:3, Sistema operacional: Android
4.0, Português Brasil, Processador: 1GHz Armazenamento: 16GB (com possibilidade
de expansão de até 32GB com cartão Micro SD Card), Conectividade: Rede sem fio
IEEE 802.11 b/g/nTM e BluetoothTM 2.1 + EDR, Câmeras: Frontal VGA e traseira de
2,0MP; Medidas: 242 x 186,1 x 10,8mm (LxAxP), Peso: 606g (sem a capa
emborrachada).
3. Metodologia
Tendo em vista que o estudo ainda se encontra em andamento, o levantamento
dos dados tem sido obtidos por meio de uma pesquisa de campo de caráter
exploratório/descritivo e abordagem qualitativa com gestores e professores de
matemática de duas escolas urbanas de ensino médio, da rede pública estadual do
Espírito Santo as quais chamaremos de escola A e B.
A delimitaçao do campo empírico deu-se em funçao das escolas possuírem
características semelhantes e receberem recursos tecnológicos do Proinfo. Como
instrumento de coleta serao utilizados formulários e questionários semiestruturados a
fim de fazer um levantamento quantitativo e qualitativo do acervo tecnológico, estado
de conservaçao e funcionamento dos laboratórios de informática e de outros
equipamentos direcionados para a prática docente como: suporte técnico, procedimentos
de uso e agendamento e outros.
Em um segundo momento, será aplicado um questionários com perguntas
semiestruturadas aos professores de matemática das escolas selecionadas, a fim de
verificar como as TIC’s tem sido usada na prática docente, e qual a avaliaçao eles
fazem da proposta de inserçao, organizaçao e usabilidade dos recursos disponibilizados
para a fazer pedagógico tendo em vista os objetivos dos programas e projetos
governamentais. Os dados serao analisados de acordo com o referencial teórico
adotado, elegendo a pesquisa qualitativa como forma de tratamento das respostas dos
entrevistados, extraindo delas elementos significativos.
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
269
4. Resultados preliminares
Apresentaremos nesta seção os resultados preliminares obtidos na primeira etapa
da pesquisa. Esta etapa consistiu em visitar as escolas A e B e fazer um levantamento
junto aos seus gestores do acervo tecnológico direcionado ao ensino e aprendizagem das
disciplinas curriculares. Descreveremos inicialmente o perfil e as características das
escolas visitadas.
A escola A atende aos níveis de ensino médio, técnico integrado, técnico e EJA
– ensino médio. A escola atende 908 alunos distribuídos nos turnos matutino (560),
vespertino (362) e noturno (286). O corpo docente é composto de 106 professores.
A escola B atende anos níveis de ensino fundamental I e II, ensino médio e EJA
– II segmento e Médio. Ao todo são 560 alunos distribuídos nos turnos matutino (240),
vespertino (220) e noturno (100), com um corpo docente de 53 professores.
Para saber se o número de equipamento atende à demanda de professor/número
foi feito um levantamento em relação ao acervo tecnológico e o estado de conservação
dos equipamentos, conforme podem ser visualizados no quadro 1.
Quadro 1: Acervo tecnológico e estado de conservação dos equipamentos das escolas
EQUIPAMENTO QUANTIDADE QUANTOS
FUNCIONAM
PERFEITAMENTE?
QUANTOS
FUNCIONAM
REGULARMENTE?
QUANTOS NÃO
FUNCIONAM?
Escola
A
Escola
B
Escola
A
Escola
B
Escola
A
Escola
B
Escola
A
Escola
B
Impressora 3 4 3 1 - - - 3
TV 3 3 2 2 1 1 - -
DVD 1 - - - 1 - - -
Data Show 3 3 2 2 1 1 - -
Projetor Multimídia 1 3 - - - - - -
Computadores 10 6 6 4 4 1 - 1
Computadores do
Laboratório Proinfo
45 17 15 45 2
Notebook 1 4 1 3 - 1 - -
Micro System 0 3 - 2 - 1 - -
Caixa de som 2 0 2 2 - - - -
Calculadora p/alunos 0 0 0 0 - - - 3
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
270
Quadro digital 1 1 1 1
Fonte: da pesquisa
Em relação à conexão de internet, perguntamos se a velocidade disponibilizada
tem atendido às demandas escolares. A escola A, que atualmente utiliza uma
velocidade de 5 megabits, respondeu que atende regularmente e a Escola B, que utiliza
1 megabits, respondeu que atende precariamente.
A esse respeito, faz-se importante lembrar que a velocidade disponibilizada,
desde o inicio do programa “Banda Larga para Todos”, em 2008, é de
aproximadamente, 2,3 megabits por segundo para cada escola. Esta velocidade está
longe de ser o ideal para os objetivos do programa que é conectar todas as escolas com
banda larga de qualidade e alta velocidade. Essa velocidade não chega a 3% do que
seria adequado, neste caso 78 megabits por segundo (FOREQUE, 2016).
De acordo com o relato dos monitores dos laboratórios, a internet, quando
funciona, não é suficiente para o uso da secretaria e tampouco para se desenvolver
alguns atividades com os alunos nos computadores do laboratório.
Quanto à frequência em relação ao uso dos laboratórios de informática para a
aplicação de atividades de aula, os monitores informaram que os professores que mais
utilizam (semanalmente) na escola A são os professores de matemática e de
informática e na escola B são os professores de Língua Portuguesa, Biologia e
Ciências, conforme mostra o quadro 2.
Quadro 3: Frequência de uso do Laboratório por disciplina. Disciplina Semanal Mensal Bimestral Trimestral Semestral Nunca
A B A B A B A B A B A B
L. Portuguesa X x
L. Estrangeira x
Historia x x
Geografia x x
Matemática x x
Física x x
Química X x
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
271
Filosofia X x
Sociologia x X
Biologia X X
E. Física x x
Arte x x
Informática x X
Outras (ciências) X
Fonte: da pesquisa
Os dados expostos no quadro 2 teve o intuito de prover uma visão mais ampla da
frequência de uso do laboratório para as atividades pedagógicas. Nosso objetivo não é
verificar o uso das TICS em todas as disciplinas, e sim, somente na matemática. O fato
do professor de matemática, que é o foco da nossa pesquisa, utilizar o laboratório de
informática semanalmente, aponta que as TIC’s têm sido usadas nos processos de
ensino e aprendizagem mais efetivamente.
As formas de uso, bem como a avaliação das ferramentas é a próxima etapa da de nossa
pesquisa. Verificaremos também a opinião dos professores em relação às
funcionalidades do tablet educacional e a capacitaçao dos mesmos para o uso das TIC’s.
5 - Breves considerações
Baseando-se nas hipóteses para este estudo, formuladas a partir de bases
empíricas, e nos resultados preliminares, observamos que a inclusão digital a partir dos
ambientes escolares ainda enfrenta alguns desafios. Fatores como falta de estrutura
física da escola, quantitativo computador/alunos, computador/professor, internet de
qualidade, suporte técnico e pedagógico ou podem comprometer o efetivo
aproveitamento dos recursos digitais no ambiente escolar.
Quanto à prática docente, é importante que o professor tenha também como sala
de aula o laboratório de informática, pois é um recurso didático necessário aos dias
atuais e está de acordo com as preferências do público estudantil e a escola não pode
ficar alheia a isso porque cabe também à educação formar cidadãos aptos a usufruir de
tal tecnologia. Porém, faz-se importante salientar também que o computador não
garantirá lugar na escola se os professores não tiverem formação adequada e não
VII SEMAT – Seminário da Licenciatura em Matemática – ISSN 2359-4195 Ifes - Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim/ES – 07 a 10 de Agosto de 2016.
272
obtiverem um ambiente de trabalho apropriado a eles e aos alunos.
Sendo assim, acreditamos que, ao final desse estudo, os resultados obtidos
possam prover informações relevantes que faça com que o computador adentrem as
salas de aula, e contribua para a aprendizagem dos alunos e façam diferença em suas
vidas.
Referências
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasilia: 1997. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf Acesso em 31 de agosto de 2016.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. 148 p. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: introdução
aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998. 174 p.
BRASIL. Observatório do PNE. Disponível em:
http://www.observatoriodopne.org.br/metas-pne/7-aprendizado-adequado-fluxo-
adequado/estrategias/7-15-acesso-a-internet-e-relacao-computadores-aluno . Acesso em
31 de agosto de 2016.
FOREQUE, F. Velocidade de internet em escolas publicas é apenas 3% adequada.
Folha de São Paulo: Brasilia, 02/01/2016. Disponível em:
http://www1.folha.uol.com.br/educacao/2016/01/1725115-velocidade-da-internet-em-
escolas-publicas-e-apenas-3-da-adequada.shtml
REBELO, P. Inclusão Digital : o que é e a quem se destina? 2005. Disponível em:
http://www.websinder.uol.com.br . Acesso em: 31 de agosto de 2011.
PRENSKY, M. Digital Natives, Digital Immigrants. 2001. Disponível em:
http://www.marcprensky.com/writing/Prensky%20%20Digital%20Natives,%20Digital
%20Immigrants%20-%20Part1.pdf Acesso em 31 de agosto de 2016.
VALENTE, J. A. O computador na sociedade do conhecimento. Campinas: Unicamp/NIED,
1999. 156 p.
Cartilha do Proinfo Urbano. Disponível em:
https://www.fnde.gov.br/sigetec/upload/manuais/cartilhaurbano_2011.pdf Acesso em 31/08/2016.