Estatística

2ª aula – 2012

(Parte I)

Introdução

A Estatística teve origem nas relações sociais relacionadas à necessidade de se efetuar registros numéricos e eventos diversos.

Os primeiros indícios da Estatística encontram-se na ilha de Sardenha, na atual Itália, em restos pré- históricos pertencentes aos Nuragas, os primeiros habitantes da ilha.

Os monumentos onde aparecem são blocos de basalto superpostos sem argamassa, cujas paredes mostram rústicos desenhos que têm sido interpretados como sinais que aqueles homens utilizavam para comer o gado e a caça.

No século XVII, Godofredo Achenwall deu a essa ciência o nome de “Estatística”, palavra que etimologicamente deriva da palavra latina status, que significa estado ou situação.

A estatística foi utilizada para denominar levantamento de dados cujo objetivo era entre outros, orientar o Estado em suas decisões. Devido a isso dizia-se que era “feita” Estatística quando, por exemplo:

a) registrava-se o nº de habitantes, de nascimentos, óbitos, batizados, casamentos, etc;

b) determinava-se o valor dos impostos a ser cobrado dos cidadãos;c) estimava-se riquezas individuais e sociais;d) fazia-se a distribuição de terras;e) optava-se pela estratégia de uma nova batalha em guerras (era fundamental para o

comandante saber de quantos homens, armas cavalos, etc, dispunha antes da batalha). (Prof. Ailton, A.S.)

A Estatística aplicada à engenharia é um ramo da estatística que estuda as suas aplicações à engenharia, especialmente no que diz respeito ao controle de processo de produtos e serviços. Como exemplo, podemos citar as seguintes ações:

Planejamento de novas estratégias de produção, vendas; Controle de Processos e Manufatura, analisando distribuições e lotes para padrões

de qualidade nos produtos. Na Engenharia de Alimentos, por exemplo, há certa estatística na Análise Sensorial, para observar a aceitação de um produto manufaturado em relação ao público.

Acompanhamento da estabilidade dos processos que é analisada por cartas de acompanhamento conhecidas como cartas de controle estatistico de processo.

Análise de ensaios tanto destrutivos como não destrutivos, verificando a porcentagem de peças ou probabilidade de vida de equipamentos ou peças.

Calibração de equipamentos de medição e análise dos mesmos também na verificação da condição de uso dos mesios de medição, esta análise está definida no M.S.A. da norma QS9000.

(Prof. Jábio A.S.)

Fases do Método Estatístico1

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Estatística

Definição do Problema: Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar;

Planejamento: Como levantar informações?, que dados devem ser obtidos, qual levantamento a ser utilizado, e o cronograma de atividades?, os custos envolvidos,.....

Além desses a estatística tem como objetivo o estudo dos fenômenos coletivos através da:

Coleta : Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um objetivo determinado;

Organização dos dados, a partir de um conjunto de dados dos quais devemos extrair informações a respeito de uma ou mais características, consiste basicamente na definição de variáveis de interesse, na obtenção dos dados brutos que, em seguida, serão resumidos em tabelas de freqüências e gráficos e, posteriormente, na descrição do comportamento desses dados.

Descrição dos dados; essa etapa é caracterizada pela contagem dos dados e pela sua tabulação, realizando-se um ordenamento baseado em critérios de classificação.

Análise, envolve o senso crítico e requer habilidade no manuseio das informações obtidas, permitindo, assim, que as conclusões e previsões seja condizente com a realidade dos fatos.

Interpretação de dados e utilização dos mesmos na construção de modelos e tomada de decisões.

A coleta, a organização, e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva. Enquanto que a análise e interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva.

Um estudo estatístico emprega os seguintes termos:

População : conjunto formado por todos os elementos do estudo.

Indivíduo : cada um dos elementos do estudo estatístico.

Amostra : parte da população que se toma como base para análise do conjunto que se deseja estudar.

Tamanho da amostra : número de elementos de uma amostra.

2

Ir para exerc. 3

Estatística

Variáveis

Variáveis estatísticas são o conjunto de valores que podem tomar propriedades ou características que se estudam em um conjunto de elementos.

Tipos Propriedades Exemplos

QualitativasOs valores da variável não são números, mas sim qualidades

Gênero literário (novela, teatro, etc.) - Sexo (mulher, homem)

QuantitativasOs valores que toma à variável são números Idade, Altura,...

As variáveis quantitativas se dividem em discretas ou contínuas:

Tipos Propriedades Exemplos

DiscretasQuando vêm da contagem, são expressas por nº inteiros Nº de páginas de um livro.

ContínuasQuando vêm da medida, são expressas por um nº real

Altura: pode ser 1,71m, 1,715m, 1,767m, etc.

Exemplos:

Cor dos olhos, Índice de liquidez nas indústrias capixabas, produção de café no Brasil, nº de defeitos em aparelhos de TV, comprimento dos pregos produzidos por uma empresa, ponto obtido por cada jogada de um dado, ....

Organização de dados

Diante de uma determinada quantidade de dados estatísticos, efetua-se o que se chama organização de dados, expressando-os de forma ordenada:

Os valores das variáveis (quantitativas ou qualitativas) O número de vezes que aparece cada valor segundo a organização efetuada.

Numa pesquisa os dados podem ser apresentados em diversas formas:

Dados Brutos – os resultados obtidos são mostrados na forma em que foram coletados.Exemplo: 2,4,6,3,4,8,0,9,8,3,4,5,6,7,3,4,8,2,3,4,2,6,2,6,7,0,9,3,6,8,4,3,2,4,5,6,4,6,7,6,8,9,3,0,6,8,6,7,8,6,8,9,0,1,5,1,6,8,1,5,9,0,1,3,5,1,0,1,2.

3

Ir para exerc. 1,2,3 ef

Estatística

Rol – ao dados são colocados em ordem crescente ou decrescente.Exemplo: 0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9.

Tabelas de Distribuição de Freqüência

Quando apresentamos os dados ordenados numa tabela com as respectivas freqüências, temos a tabela de distribuição de freqüência do conjunto de dados observados.

Exemplos:

Variável discreta

1) Número de filhos dos alunos do 2º ano de Engenharia da USJT, 1990.

Nº de filhos Frequência

0 25

1 12

2 9

3 3

4 1

Variável contínua - Quando a quantidade de dados é muito elevada, ou a variável é contínua, esses dados são agrupados em intervalos ou classes. Todas as classes devem ter a mesma amplitude. A amplitude total é dada pela diferença entre o maior e o menor valor da variável.

2) Peso dos integrantes do grupo A. Brasil, 1943.

Pesos Frequência

40 - 50 10

50 - 60 20

60 - 70 40

70 - 80 25

80 - 90 8

4

Ir para exerc. 4,5,6,7

Ir para exerc. 8,10,12a,16

Estatística

Número de classes (K)

Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Esse número é

determinado por tentativas e aproximações e também depende muito da experiência do

pesquisador.

No caso de amostras relativamente pequenas utilizaremos o critério da raiz dado pela fórmula:

K n onde “n” é o tamanho da amostra.

Obs: Uma outra fórmula para o cálculo do número de classes é a regra de Sturges:

K = 1 + 3,3 log n

Para obter a amplitude de cada classe, usamos a fórmula:

h = AMP/ K, onde AMP é a amplitude total da amostra e K é o nº de classes.

Elementos da Tabela

1) Limite Inferior (Li): menor valor da distribuição.

2) Limite Superior (Ls): maior valor da distribuição.

3) Amplitude (AMP): diferença entre os limites da distribuição, ou seja, AMP = Ls – Li

4) Classe de valores: a˫b . Notação que indica intervalo numérico entre a e b incluindo a e excluindo b.

5) Limite inferior de classe (li) : menor valor da classe.

6) Limite superior da classe (ls): maior valor da classe.

7) Ponto Médio (Pm). É a média aritmética dos limites da classe, ou seja,

Pm = ( ls + li ) / 2

8) Intervalo de classe (I): é a diferença entre os limites da classe.

Tipos de Frequência

Dada uma tabela de distribuição de freqüência os tipos de freqüências que podem ser obtidas com o uso dessa tabela são: freqüência simples ou absoluta (f i), freqüência

relativa (f r i ) e freqüência acumulada (simples (Fi) ou relativa (

F ri )). Quando a distribuição de freqüência for sem intervalo de classe a freqüência se refere a um elemento e quando for com intervalo de classe se refere a uma classe.

5

Ir para exerc. 9,12b,13,15,17

Estatística

Para exemplificar o estudo dos tipos de freqüências vamos obter as freqüências citadas

anteriormente utilizando duas tabelas de distribuição de freqüência. Uma sem intervalo e

a outra com intervalo de classes.

Você vai completar as tabelas acima de acordo com as definições a seguir:

Frequência absoluta (fi): é a quantidade de vezes que ela aparece. A soma das

freqüências absolutas é igual a quantidade total de dados (n).

Frequência relativa (fr): expressa em porcentagem, é o quociente entre a

frequência absoluta e a quantidade de dados (n), ou seja: fr = fi / n.

Frequência acumulada (Fi): soma de cada frequência absoluta anteriores.

Frequência relativa acumulada (Fr): soma de cada freqüência relativa com as

freqüências relativas anteriores.

Lista de Exercícios

6

Sem intervalo “Seja x a variável: número de defeitos por carro numa frota de 60”.

xi fi f r i Fi Fri

0 7

1 8

2 16

3 14

4 9

5 6

∑ 60

Com intervalo“Seja x a variável: salários dos funcionários de uma firma com 400 empregados”.

xi fi f r i Fi F ri

350|---500 30

500|---650 50

650|---800 60

800|---950 120

950|---1100 70

1100|---1250 50

1250|---1400 20

∑ 400

Ir para exerc. 14,18

Estatística

(Introdução, Variáveis, Organização de dados, Tabela de Distribuição de Frequência, Classes, Elementos da Tabela)

Questionário

1) Escreva algumas situações da nossa vida moderna que podem ser estudados pela

estatística.

2) Como é que você acha que os dados estatísticos podem ser obtidos?

3) Que valor você dá para a pesquisa dos dados de um fenômeno? Explique.

4) Um Instituto de Pesquisa resolve fazer uma pesquisa de intenção de votos para a cidade

de São Paulo ele não tem como, devido a impossibilidade ou inviabilidade econômica ou

temporal, de consultar toda a população que é o conjunto de todos os eleitores habilitados.

Mesmo assim ele faz a pesquisa. Como?

5) Algumas características que podem ser estudas com a população de alunos de uma sala

de aula são sexo, cor dos olhos, idade, altura, __________________________________

(escreva neste espaço outras características)

As características citadas anteriormente são chamadas de _________________________

Variáveis

1) Ao se cadastrar em um site de comércio eletrônico, o usuário deve preencher um

questionário com oito perguntas. Cada uma das questões define uma variável. Classifique-

as como qualitativas ou quantitativas.

a) Você tem computador em casa?

b) Quantas vezes por semana você acessa a Internet?

c) Numa escala de zero a 10, qual seu índice de confiança na segurança do comércio

eletrônico?

d) Quantos cartões de crédito você possui?

e) A residência em que vive é própria ou alugada?

f) Qual é o provedor que você utiliza para acessar a rede?

g) Qual é o tempo médio de acesso à Internet?

h) Já comprou algum produto via Internet?

2) Use (Q) para variável qualitativa, (QD) para variável quantitativa discreta e (QC) para

variável quantitativa contínua para classificar as seguintes variáveis:

a) Tamanho da camisa

b) Tempo empregado para realizar um trabalho

c) Mês de nascimento

d) Quantidade de filhos

e) Rua em que se mora

7

Estatística

f) Idade

g) Massa

h) Número de calça

3) Supondo que os alunos do primeiro ano, matriculados em um cidade, perfazem um total de

136.559, então:

a) População:_______________________________

b) Indivíduo:________________________________

c) Amostra:_________________________________

d) Tamanho da amostra:_____________________________________

e) Variáveis estatísticas quantitativas:__________________________________

f) Variáveis estatísticas qualitativas:____________________________________

Organização de dados

4) De uma classe de 25 alunos, tem-se as notas da primeira avaliação: 3, 2, 1, 7, 1, 9, 5, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 8, 7, 6, 5, 4, 5, 3, 3, 5. Ordene os dados em ordem crescente (Rol).

5) Dispor os números 17, 45, 38, 27, 6, 48, 11, 57, 37, 22 em rol.

6) Consideremos as estaturas de 40 alunos de uma certa escola, conforme segue:

Estatura de 40 alunos da Escola Paraíso (cm)

164 160 162 159 150 170 166 156

169 165 155 160 171 154 164 161

172 151 159 153 167 161 160 156

158 157 163 168 162 158 166 155

152 158 155 160 164 157 159 168

Ordene em ordem crescente e após mencione cinco aspectos relevantes que você é capaz

de salientar observando a tabela anteriormente

dada.____________________________________________________________________

________________________________________________________________________

7) O professor de uma escola resolveu fazer uma pesquisa com os seus 40 alunos com o

objetivo de estudar duas características em relação a eles:

a) o número de irmãos de cada aluno;

b) a altura de cada aluno. 8

Estatística

Usando o número do aluno que consta no seu diário de classe construiu a tabela abaixo da seguinte maneira:

a) perguntou a cada aluno qual era o seu número de irmãos;

b) mediu a altura de cada aluno.

nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

nº de irmãos 3 1 5 3 2 2 4 6 1 1 0 4 2 6 4 5 3 1 4

Altura (m) 1,61 1,64 1,68 1,60 1,64 1,64 1,70 1,58 1,51 1,55 1,67 1,65 1,60 1,69 1,56 1,58 1,57 1,55 1,73

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2 2 6 5 3 1 0 3 6 3 1 5 3 4 2 3 3 1 2 4 4

1,60 1,62 1,56 1,55 1,53 1,72 1,60 1,63 1,50 1,61 1,68 1,63 1,56 1,61 1,52 1,61 1,60 1,54 1,55 1,62 1,66

Nesta pesquisa o professor está analisando duas variáveis. Quais são elas? Classifique-as em

qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa

contínua.______________________________________________________________________

Preencha a tabela a seguir com os valores da variável número de irmãos em ordem crescente.

Tabela de freqüência

8) Represente por meio de uma tabela de freqüência as seguintes situações:

a) Nº de defeitos por peça produzida em um lote de 16 peças, representadas pelos

valores: 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2.(ARA, A. B.;p.2)

9) Seja X = idade, em anos, de um grupo de pessoas com 30 anos ou mais, e sejam estes os

valores observados:

35 42 33 59 6.3 31 55 42 77

74 54 66 44 41 33 39 48 50

41 31 65 70 36 40 40 52 62

58 39 37 58 62

Construa a tabela de classes de freqüência.(ARA, A. B.;p.2,3)

9

Estatística

10) Considere os dados a seguir, obtidos na pesquisa de defeitos em peças produzidas na

industria X. Construa a tabela de distribuição de freqüência.

4 8 5 6 5 0 4 2 6 4 5 3 7 9 6 2 5 1 3 4 5

7 4 3 6 7 4 5 3 2 8 1 5 3 6 4 4 8 5 6 5 0

4 2 6 4 5 3 7 9 6 2 5 1 3 4 5 7 4 3 6 7 4

5 3 2 8 1 5 3 6 4 4 8 5 6 5 0 4 2 6 4 5 3

7 9 6 2 5 1 3 4 5 7 4 3 6 7 4 5 3 2 8 1 5

3 6 4 4 8 5 6 5 0 4 2 6 4 5 3 7 9 6 2 5 1

3 4 5 7 4 3 6 7 4 5 3 2 8 1 5 3 6 4 4 8 5

6 5 0 4 2 6 4 5 3 7 9 6 2 5 1 3 4 5 7 4 3

6 7 4 5 3 2 8 1 5 3 6 4

11) Preencha a tabela abaixo considerando a seguinte situação: De uma classe de 25 alunos,

têm-se as notas da primeira avaliação:

Nota fi fr Fi Fr

1 2      

2 1      

3 4      

4 3      

5 6      

6 3      

7 3      

8 2      

9 1      

10 0      

total        

12) Construa uma tabela de distribuição de freqüência referente ao exercício 10):

a) Considerando o nº de irmãos e sua freqüência

b) Considerando a altura e sua frequência (agrupe em classes)

13) Um comerciante de calçados masculinos pretendendo renomear seu estoque, fez um

levantamento dos pares vendidos no mês anterior e levando em conta apenas o número

do sapato, chegou à seguinte relação:

10

Estatística

40 36 38 41 41 40 38 41 39 34

42 40 39 39 41 41 39 42 40 34

36 40 40 38 40 39 42 39 38 35

38 41 39 39 41 38 43 40 36 37

36 42 34 40 39 38 37 38 35 36

36 40 38 39 36 37 40 40 41 40

37 37 36 37 37 36 36 37 38 36

36 38 39 38 39 40 38 40 39 40

38 40 40 41 40 40 39 41 41 40

39 41 40 41 41 40 38 41 40 40

Construa a tabela de classes de freqüência com cinco intervalos.

14) A tabela apresenta uma distribuição de freqüências da duração de 400 válvulas de rádio,

ensaiadas na L&M Tube Company:

Duração (hs)

Nº de válvulas

300 - 399 14

400 - 499 46

500 - 599 58

600 - 699 76

700 - 799 68

800 - 899 62

900 - 999 48

1000 - 1199 2211

Determine:a) o limite superior da quinta classeb) o limite inferior da oitava classec) o ponto médio da sétima classed) amplitude da intervalo de classee) frequência da quarta classef) frequência relativa da sexta classeg) percentagem das válvulas cuja duração não excede a 600 hsh) percentagem das válvulas de duração maior ou igual a 900 hsi)percentagem das válvulas, cuja duração é de 500 hs, no mínimo, mas inferior a 1000 horas.

Estatística

1100 - 1199 6

(SPIEGEL,M.R.;p.63)

15) Os dados apresentam os valores ( em Kg) das massa de 77 alunos de um curso de

engenharia.

70 82 65 85 70 77 59 96

129 90 100 70 70 85 70 70

71 64 58 74 65 60 70 50

58 68 103 54 90 85 64 72

74 66 74 67 57 74 55 67

58 90 79 70 60 65 80 96

111 85 105 63 61 90 88 72

80 67 79 63 90 70 92 81

70 90 75 72 72 68 70 75

55 57 80 75 80

Adotando k = 8 classes de freqüências, construa a tabela de classes de freqüências.(ARA, A. B.;p.11)

16) Lendo uma monografia preparada por um aluno, um professor selecionou ao acaso 30

páginas da mesma e anotou o número de erros de digitação encontrados por página:

1 2 2 3 4 0 0 0 4 0

2 1 1 1 0 0 1 2 3 1

0 0 0 0 1 1 2 2 3 2

Faça a tabela de distribuição de freqüência do número de erros por página.

(ARA, A. B.;p.11)

17) Um cientista anotou temperaturas aleatórias de certa quantidade de água ao ser aquecida,

até chegar ao ponto de ebulição. Os valores obtidos, em graus Celsius, são:

0 4,2 7,5 11,5 17,5 24,9 33,9

45,9 61,9 86,7 2,3 5,1 8,9 13,8

19,1 27,2 37,8 50,3 68,4 95,4 3,7

6,4 10,1 15,6 22,5 30,3 42,1 56,5

79,9 100

12

Estatística

Determine:

a) Amplitude total;

b) Amplitude do Intervalo;

c) Tabela de freqüência;

A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência dos salários mensais, em reais, de 65

empregados da Companhia P&R. Determine:

a) O limite inferior da sexta classe______________

b) O limite superior da quarta classe_______________

c) O ponto médio da terceira classe_______________

d) A amplitude do quinto intervalo da classe_____________

e) A freqüência da 3º classe_______________

f) A freqüência relativa da 3ª classe_______________

g) O intervalo de classe que tem maior freqüência_______________

h) A porcentagem de empregados que ganham menos de R$ 8.000 por mês___________

i) A porcentagem de empregados que ganham menos de R$ 10.000 e pelo menos R&

6.000 por mês.

Salários (R$)Nº de

empregados

5000 Ⱶ 6000 8

6000 Ⱶ 7000 10

7000 Ⱶ 8000 16

8000 Ⱶ 9000 14

9000 Ⱶ 10000 10

10000 Ⱶ 11000 5

11000 Ⱶ 12000 2

total 65

13