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MPD-42 4
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Solução da equação de equilíbrio:
PROBLEMA DE VIBRAÇÃO LIVRE
solução da equação homogênea associada
PROBLEMA DE VIBRAÇÃO FORÇADA
solução particular
SOLUÇÃO GERAL
solução homogênea + solução particular
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
VIBRAÇÃO FORÇADA: f(t) ≠ 0
movimento é devido às condições iniciais e excitação do sistema
+
=
particular
solução
homogênea
solução
geral
solução
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADESolução da equação de equilíbrio:
0)()(2)( 2 =++ tytyty hnhnh ωζω &&&
a) solução da equação homogênea associada
b) solução particular
)()()(2)( 22 tftytyty npnpnp ωωζω =++ &&&
c) solução geral
)()()( tytyty hp +=condições
iniciais
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MPD-42 7
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEClassificação quanto ao tipo de excitação:
)()()(2)( 22 tftytyty nnn ωωζω =++ &&&
0)( =tf
0)( ≠tf
vibração livre
• amortecida
• não amortecida
vibração forçada
• periódica
• transiente
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MPD-42 8
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS
(quanto ao tipo de excitação)
excitação determinística
• transiente
• periódica
excitação aleatória
• harmônica
• periódica
• periódica complexa
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Solução da equação de equilíbrio: exemplo sistema amortecido com excitação constante
0)()()()( FtFtkytyctym ==++ &&&
k
FAtytyty nnnn
0222 )()(2)( ωωωζω ==++ &&&
equação de equilíbrio
solução homogênea( ) ( )[ ]tCtCety dd
th
n ωωζω sincos)( 21 += −
solução particularAtyp =)(
condições iniciais0)0( ;0)0( == yy &
c
k
mF0
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MPD-42 10
Solução da equação de equilíbrio: exemplo sistema amortecido com excitação constante
solução geral:
condições iniciais 0)0( ;0)0( == yy &
aplicando as condições iniciais:
0 )0( 1 =+= CAy
0)0( 21 =+−= CCy dn ωζω&
( ) ( )
−−+= − ttAeAty dd
tn ωζ
ζωζω sin1
cos )(2
( ) ( )[ ]tCtCeAty ddtn ωωζω sincos)( 21 ++= −
AC −=1
ACCd
n
2121 ζ
ζωωζ
−−==
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0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
2.5
0.00.20.6
exemplo: sistema amortecido com excitação constante
valores de ζ
ωnt
y(t)A
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SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE:
EXCITAÇÃO HARMÔNICA
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
VIBRAÇÃO FORÇADA: f(t) harmônica
excitação determinística
periódica harmônica
c
k
mF(t)
)cos()( tAtf ω=
)cos()()( tkAtkftF ω==
)()()(2)( 22 tftytyty nnn ωωζω =++ &&&
)()()()( tFtkytyctym =++ &&&
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
VIBRAÇÃO FORÇADA: f(t) harmônica
Solução homogênea: vibração livre• solução amortecida (desaparece com o tempo)• parte transiente da solução
Solução particular: excitação harmônica• persiste com o tempo• solução de estado estacionário
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
a resposta de estado estacionário de um sistema linear a uma excitação harmônica de freq üência ω é tamb ém harmônica e de mesma freq üência ω
SISTEMA)cos()( tAtf ω= )cos()( φω −= tCtyp
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
)cos()()()(2)( 222 tAtftytyty nnnn ωωωωζω ==++ &&&
)sin()cos()(
)cos()sin( )(
)sin()cos()(
22
12
21
21
tCtCty
tCtCty
tCtCty
p
p
p
ωωωω
ωωωωω
−−=
+−=
+=
&&
&
assumir resposta particular da forma:
substituir para obter C1 e C2
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular( )
( )( ) )cos()(sin)cos(
)cos()(sin2
)(sin)cos(
221
2
21
212
tAtCtC
tCtC
tCtC
nn
n
ωωωωωωωωζω
ωωω
=++
++−+++−
( )( )( ) )cos()cos()(sin2
)(sin)cos( 2
21
2122
tAtCtC
tCtC
nn
n
ωωωωωζωωωωω
=+−+
++−
agrupar termos em cos(ωt) e sin(ωt)
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular( )( )
( ) )cos()cos()(sin2
)(sin)cos( 2
21
2122
tAtCtC
tCtC
nn
n
ωωωωωζωωωωω
=+−+
++−
( )[ ]( )[ ] )cos()(sin 2
)cos( 2 2
222
1
2122
tAtCC
tCC
nnn
nn
ωωωωωωζωωωζωωω
=−+−+
++−
( )( ) 0 2
2
222
1
221
22
=−+−
=+−
CC
ACC
nn
nnn
ωωωζωωωζωωω
igualando termos em cos(ωt) e sin(ωt)
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
=
−−−
02
2 2
2
1
22
22 A
C
Cn
nn
nn ωωωωζωωζωωω
resolvendo
( )( ) ( )
( )( ) ( )2222
2
2
2222
222
1
2
2
2
ωζωωωωζωω
ωζωωωωωω
nn
nn
nn
nn
AC
AC
+−=
+−−=
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AC
nn
n22
2
2
2
2
1
21
1
+
−
−
=
ωωζ
ωω
ωω
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
AC
nn
n22
2
22
21
2
+
−
=
ωωζ
ωω
ωωζ
adimensionalizando os parâmetros:
seja:22
2
2
2
2
21
1
)cos(
+
−
−
=
nn
n
ωωζ
ωω
ωω
φ 22
2
2
21
2
)(sin
+
−
=
nn
n
ωωζ
ωω
ωωζ
φ
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
usando as definições de sin(φ) e cos(φ):
22
2
21
21
)cos(
+
−
=
nn
AC
ωωζ
ωω
φ22
2
22
21
)(sin
+
−
=
nn
AC
ωωζ
ωω
φ
solução: )sin()cos()( 21 tCtCty p ωω +=
22
2
2
21
)(sin)(sin)cos()cos()(
+
−
+=
nn
p
tAtAty
ωωζ
ωω
ωφωφsubstituindo:
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MPD-42 22
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
usando: )cos()sin()sin()cos()cos( φωωφωφ −=+ ttt
)cos(
21
)(22
2
2
φω
ωωζ
ωω
−
+
−
= tA
ty
nn
p
onde a fase φ é dada por:
solução:
−=
2
2
1
2
atan
n
n
ωωωωζ
φ
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MPD-42 23
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
22
2
2
21
)(
+
−
=
nn
AY
ωωζ
ωω
ω
magnitude : fase :
−=
2
2
1
2
atan)(
n
n
ωωωωζ
ωφ
solução : )cos()()( φωω −= tYtyp
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação forçada harmônica – solu ção particular
análise via vetores complexos
lembrando que: )sin()cos( tjte tj ωωω +=
então:{ }{ }tj
tj
emIt
eRetω
ω
ωω
)sin(
)cos(
==
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
SISTEMA)cos()( ttf ω= )(tyc
SISTEMA)sin()( ttf ω= )(tys
SISTEMA)sin()cos()( tjttf ωω += )()( tjyty sc +
linearidade
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
)cos()()(2)( 22 ttytyty ncncnc ωωωζω =++ &&&
seja yc(t) a solução particular para f(t) = cos(ωt)
)(sin)()(2)( 22 ttytyty nsnsns ωωωζω =++ &&&
seja ys(t) a solução particular para f(t) = sin(ωt)
como o sistema é linear, a solução particular para f(t) = cos (ωt) + j sin(ωt) é dada por yc(t)+ j ys(t)
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
como o sistema é linear, a solução particular para f(t) = cos(ωt) + j sin(ωt) é dada por yc(t)+ j ys(t)
a solução particular para f(t) = cos(ωt) é dada pela parte real da solução para f(t) = e jωt
a solução particular para f(t) = sin(ωt) é dada pela parte imaginária da solução para f(t) = e jωt
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
1) obter a solução particular para f(t) = Ae jωt
tjnpnpnp Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&
2) reter a parte real da solução
deve-se notar que, como a excitação é um número complexo, a resposta do sistema também é um número complexo; assim, yp(t) é um número complexo
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MPD-42 29
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
1) obter a solução particular para f(t) = Ae jωt
tjnpnpnp Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&
assumindo yp(t) da forma:
tjp
tjp
tjp
ejYty
ejYjty
ejYty
ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
)( )(
)( )(
)()(
2−=
=
=
&&
&
substituir para obter Y(jω)
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MPD-42 30
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
tjnpnpnp Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&
tjn
tjn
tjn
tj AeejYejYjejY ωωωω ωωωωωζωωω 222 )()(2)( =++−
tjn
tjnn AeejYj ωω ωωωωζωω 222 )( ]2[ =++−
AjYj nnn222 )( ]2[ ωωωωζωω =++−
agrupar termos em e jωt
substituir yp(t) = Y(jω) e jωt
equação para Y(jω)
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MPD-42 31
ωζωωωωω
nn
n
j
AjY
2)(
22
2
+−=
+
−
=
nn
j
AjY
ωωζ
ωω
ω21
)(
2
2
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
AjYj nnn222 )( ]2[ ωωωζωωω =+−
resolver para Y(jω)
adimensionalizar
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MPD-42 32
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
Função resposta em freqüência
A
jYjG
)()(
ωω = )()( ωω jAGjY =
SISTEMA)( ωjF )( )()( ωωω jFjGjY =
)( ωjG
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – vetores complexos
tjp ejYty ωω )()( =
onde: Y(jω) é um número complexo de módulo |Y(jω)| e fase −φ, isto é : Y(jω) = |Y(jω)| e−jφ
( )φωω −= tjp ejYty )()(
{ } )cos()()(Re φωω −= tjYtypa parte real de yp(t) é:
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MPD-42 34
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Função resposta em freqüência
Excitação harmônica – vetores complexos
tjtjp ejAGejYty ωω ωω )()()( ==
φωω jejGjG −= )()( ( )φωω −= tjp ejGAty )()(
+
−
=
nn
j
jG
ωωζ
ωω
ω21
1)(
2
2função resposta em freqüência:
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MPD-42 35
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Função resposta em freqüência
magnitude da função resposta em freqüência
22
2
2
21
1)(
+
−
=
nn
jG
ωωζ
ωω
ω
fase da função resposta em freqüência
−=
2
2
1
2
atan
n
n
ωωωωζ
φ* nota:
( ))(
)()(
ωφ jGfase
bfaseafaseb
afase
−=
−=
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MPD-42 36
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos
• os resultados obtidos para a solução particular usando o método clássico e os vetores complexos são idênticos
• o trabalho algébrico envolvido na análise via vetores complexos é bem mais simples
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MPD-42 37
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.501.00
|G(jω)|
ω /ωn
valores de ζ
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
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MPD-42 38
0 1 2 3
0.000.100.150.250.501.00
G(jω)
ω /ωn
valores de ζ
FASE DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIAπ
3π / 2
π / 2
π / 4
ζ = 0
ζ = 0
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MPD-42 39
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
• para valores muito baixos de ω, a magnitude é igual a um e a fase nula (solução quase-estática –termos inerciais desprezíveis)
• para valores muito altos de ω, a magnitude tende a zero e a fase a 180o (o sistema não responde à excitação)
• para valores de ω próximos a ωn, a fase é próxima de 90o e, para amortecimento baixo, a magnitude apresenta um pico
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MPD-42 40
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – exemplo
c
k
mF(t)=Acos(ωt)
condições iniciais nulas:
0)0(
0)0(
==
y
y
&
8.0/
2.0
==
nωωζ
considere:
Determine a resposta do sistema para as condições dadas
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MPD-42 41
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – exemplo
1) solução homogênea:
( ))()cos()( 21 tsinCtCety ddt
hn ωωζω += −1<ζ
2) solução particular:
8.0/ =nωωo 6.41 7266.0
0761.2)(
==
=
rad
jG
φ
ω
)7266.0cos(0761.2)cos()()( −=−= tAtjGAtyp ωφωω
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MPD-42 42
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – exemplo
3) solução geral:( ) )7266.0cos(0761.2)(sin)cos()( 21 −++= − tAtCtCety dd
tn ωωωζω
0)7266.0cos(0761.2)0( 1 =+= ACy
aplicando as condições de contorno:
0)7266.0sin(0761.2)0( 21 =++−= ωωζω ACCy dn&
AC 5518.11 −=
d
n
ndd
n A.CACCωω
ωωζ
ωω
ωωζ
−=−= 37921)7266.0(sin0761.2 112
( )( )212
1
18.0379212.0
ζ−−= A.CC AC 4429.12 −=
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MPD-42 43
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – exemplo
ttttttt nnn
nnnn
dd ωω
ωωωωωζω
ωωω 8.0 e 9798.01 2 ===−==
• a solução homogênea é não nula apesar das condições iniciais serem nulas
• pode-se plotar y(t) em função de ωnt
( )( )
)7266.08.0cos(0761.2
)9798.0(sin4429.1)9798.0cos(5518.1
)7266.0cos(0761.2)(sin)cos()(2.0
21
−++−−=
−++=−
−
tA
ttAe
tAtCtCety
n
nnt
ddt
n
n
ωωω
ωωωω
ζω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 44
-2
-1
0
1
2
3
2010 30
Excitação harmônica – exemplo
y(t)/A
ωnt
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 45
-2
-1
0
1
2
3 geralhomogeneaparticular
2010 30
Excitação harmônica – exemplo
y(t)/A
ωnt
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MPD-42 46
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Determinação do valor máximo de | G(jω)|
22
2
2
21
1
+
−
nn ωωζ
ωωmaximizar
22
2
2
21
+
−
nn ωωζ
ωωminimizar
( ) ( )[ ] 021 222 =+− ppdp
d ζpn
=ωω
( )( ) ( )( ) 0222212 2 =+−− ζζppp
( ) 021 22 =+−− ζp 221 ζ−=p 221 ζωω −=
n
r
seja:
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MPD-42 47
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Determinação do valor máximo de | G(jω)|
221 ζωω −=
n
r
22
2
2max
21
1)()(
+
−
==
n
r
n
r
rjGjG
ωωζ
ωω
ωω
valor máximo
• o máximo do módulo da função resposta em freqüência ocorre para uma freqüência ωr menor que a freqüência natural do sistema, ωn
substituir o valor de ωr
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MPD-42 48
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Determinação do valor máximo de | G(jω)|
• para valores pequenos de ζ, |G(jω)|max=1/2ζ; por exemplo, se ζ = 0.02, |G(jω)|max= 25
• para valores de ζ > 1/ 2 o módulo da função resposta em freqüência não apresenta picos (valor máximo ocorre para ω /ωn = 0)
Substituindo o valor de ωr: 2max
212
1)(
ζζω
−=jG
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MPD-42 49
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.501.00
|G(jω)|
ω /ωn
valores de ζ
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
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MPD-42 50
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Pontos de meia potência
para valores baixos de ζ: ζζζω
2
1
212
1)(
2max≅
−== QjG
• a potência de um sinal é proporcional ao quadrado de sua amplitude
• portanto, os pontos de meia potência, ω2 e ω1, são definidos de modo que:
2)(
QjG i =ω
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MPD-42 51
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Pontos de meia potência
2)(
QjG i =ω ζ
ωωζ
ωω
ω22
1
221
1)(
22
2
2
==
+
−
= QjG
n
i
n
i
i
in
i p=ωω ( ) ( ) 2222 821 ζζ =+− ii pp ( ) 08142 2224 =−+−− ζζ ii pp
( ) ( ) ζζζζ 41681442 222221
22 =≅−−−=− pp
( ) ( ) ( ) ( ) ζ42
2 12121212
21
22 =+−=+−=− pp
pppppppp
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MPD-42 52
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Pontos de meia potência
( ) ( ) ξ42
2 1212 ≅+− pp
pp
para ζ baixo: ( )nr ωωωω ≅≅+
212
( ) ( )1
221212 ≅+=+ pp
nωωω
substituindo: ( ) ζ4 2 12 ≅− pp
portanto: ζ212 ≅− pp ou: ζω
ωω212 ≅−
n
aplicação: estimativa de amortecimento a partir de resposta em freqüência
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MPD-42 53
0.5 0.75 1 1.25 1.50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pontos de meia potência - exemploQ
2/Q
nωω /nω
ω1
nωω2
|G(jω)|
nωω∆
ζ2
110≅=Q
do gráfico:
ζω
ω21.0 ≅=∆
n
05.0=ζ
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MPD-42 54
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – ressonância
Hipóteses:
• sistema não amortecido
• freqüência de excitação igual à freqüência natural
• a solução obtida anteriormente não se aplica ao problema acima porque a magnitude seria infinita
• o problema requer um tratamento especial
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MPD-42 55
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – ressonância
)cos()()(2)( 22 tAtytyty nnn ωωωζω =++ &&&
nωωζ
== 0
)cos()()( 22 tAtyty nnn ωωω =+&&
a solução particular da equação do movimento é:
)sin(2
)( ttA
ty nnp ωω=
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 56
0 5 10 15 20-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – ressonância
y(t)/A
ωnt
ωnt/2)sin(
2)( tt
Aty nnp ωω=
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 57
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – ressonância• a amplitude do movimento cresce linearmente com o tempo
• como a excitação é cossenoidal e a resposta senoidal, há uma defasagem de 90o entre excitação e resposta (força externa em fase com a velocidade)
• um sistema pode passar por uma ressonância desde que a excitação nessa freqüência não perdure muito tempo
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 58
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
k c
y(t)M−m
ωtl
m HIPÓTESES
• o movimento da massa M−m só é possível na vertical
• a massa desbalanceada mgira com velocidade angular ω (braço é l)
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 59
ωtl
m
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
y(t)
y(t)+lsin(ωt)Fx
Fy
y(t)M−m
Fx Fy
Fx
força aplicada pelo apoio
ky yc&
( ))()()()(
)sin()(2
2
tymMtkytycF
Ftltydt
dm
y
y
&&& −=−−−
=+ ω
Equilíbrio de forças na direção vertical
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 60
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
( ))()()()(
)sin()(2
2
tymMtkytcyF
Ftltydt
dm
y
y
&&−=−−−
=+ ω ( )y
y
FtkytyctymM
tltymF
−=++−
−=
)()()()(
)sin()( 2
&&&&
&& ωω
( ))sin()()()()()( 2 tltymtkytyctymM ωω−−=++− &&&&&
)sin()()()( 2 tmltkytyctyM ωω=++ &&&
Equilíbrio de forças na direção vertical
• problema de excitação harmônica com amplitude da força dependendo de ω2
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 61
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
( )tjemltmltkytyctyM ωωωω 22 Im)sin()()()( ==++ &&&
tjelM
mty
M
kty
M
cty ωω 2)()()( =++ &&&
tjnn el
M
mtytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&
adimensionalizar
tjp ejYty ωω )()( =assumir solução particular:
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 62
tjp
tjp
tjp
ejYty
ejYjty
ejYty
ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
)( )(
)( )(
)()(
2−=
=
=
&&
&
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
tjnn el
M
mtytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&
substituir
( ) tjtjnn el
M
mejYj ωω ωωωωζωω 222 )( 2 =++−
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 63
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
( ) tjtjnn el
M
mejYj ωω ωωωωζωω 222 )( 2 =++−
ωζωωωωω
nn jM
mljY
2)(
22
2
+−=
adimensionalizando
+
−
=
nn
n
jM
mljY
ωωζ
ωω
ωω
ω21
)(
2
2
2
2
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 64
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
22
2
2
2
2
21
)(
+
−
=
nn
n
ml
jYM
ωωζ
ωω
ωω
ω
amplitude adimensional do movimento:
−=
2
2
1
2
atan
n
n
ωωωωζ
φ
fase:
resposta do sistema:
)sin()()( φωω −= tjYty
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 65
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.501.00
amplitude adimensional do movimento:
ω /ωn
valores de ζ
Μ |Y(jω)|
ml
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 66
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE
Excitação harmônica – massa desbalanceada
• amplitude nula quando ω tende a zero
• amplitude adimensional tende a 1 quando ωtende a infinito (centro de massa do sistema não se move)
• os picos de amplitude ocorrem para freqüências maiores que ωn
• a equação da fase é idêntica a do sistema sujeito a excitação harmônica
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 67
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
k c
y(t)m
HIPÓTESES
• o movimento da massa msó é possível na vertical
• a base se desloca com movimento harmônico x(t) de freqüência angular ω
x(t)
movimento da base: )Re()cos()( tjAetAtx ωω ==
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 68
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
m
y(t)
)( xyk − )( xyc && −
equação de equilíbrio:
( ) ( ))()()()()( txtyktxtyctym −−−−= &&&&
)()()()()( tkxtxctkytyctym +=++ &&&&
adimensionalizando : )()()()()( txm
ktx
m
cty
m
kty
m
cty +=++ &&&&
)()(2)()(2)( 22 txtxtytyty nnnn ωζωωζω +=++ &&&&
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 69
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
)()(2)()(2)( 22 txtxtytyty nnnn ωζωωζω +=++ &&&&
tj
tj
Aejtx
Aetxω
ω
ω==
)(
)(
&
assumir solução particular:
tjp
tjp
tjp
ejYty
ejYjty
ejYty
ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
)( )(
)( )(
)()(
2−=
=
=
&&
&
substituir
( ) ( ) tjnn
tjnn AejejYj ωω ωωζωωωωζωω 2)( 2 222 +=++−
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 70
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
( ) ( ) tjnn
tjnn AejejYj ωω ωωζωωωωζωω 2)( 2 222 +=++−
Aj
jjY
nn
nn 2
2)(
22
2
ωζωωωωζωωω
+−+=
+
−
+
=
nn
n
j
j
A
jY
ωωζ
ωω
ωωζ
ω
21
21)(
2
2
adimensionalizar
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 71
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
forma adequada para determinação da fase:
22
2
2
2
2
2
2
21
21 21
21
21)(
+
−
−−
+
=
+
−
+
=
nn
nnn
nn
n
jj
j
j
A
jY
ωωζ
ωω
ωωζ
ωω
ωωζ
ωωζ
ωω
ωωζ
ω
22
2
2
2
22
2
2
21
2 21)(
+
−
−
+−
=
nn
nnnn
j
A
jY
ωωζ
ωω
ωωζ
ωω
ωωζ
ωω
ω
+
−
= 2
2
2
3
21
2
atan
nn
n
ωωζ
ωω
ωωζ
φ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 72
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
22
2
2
2
21
21)(
+
−
+
=
nn
n
A
jY
ωωζ
ωω
ωωζ
ω
+
−
= 2
2
2
3
21
2
atan
nn
n
ωωζ
ωω
ωωζ
φ
resposta do sistema:
)cos()()( φωω −= tjYty
magnitude: fase:
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 73
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.501.00
magnitude (transmissibilidade)
ω /ωn
valores de ζ
|Y(jω)|A
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 74
0 1 2 3
0.000.100.150.250.501.00
fase
ω /ωn
valores de ζ
Y(jω)
π
3π / 2
π / 2
π / 4
ζ = 0
ζ = 0
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 75
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
• amplitude igual a 1 quando ω tende a zero
• amplitude tende a 0 quando ω tende a infinito (base se move mas a massa não)
• os picos de amplitude ocorrem para freqüências menores que ωn
• redução da amplitude ocorre para ω/ωn> 2 (a redução da amplitude para ω/ωn> 2 é mais rápida se o amortecimento é menor)
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 76
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
Isolamento de vibrações -aplicações
• isolamento de instrumentação sensível à vibração
• isolamento de máquinas de usinagem de alta precisão
• isolamento de sistemas de medição
k c
y(t)m
x(t)
Base sujeita a vibração
Sistema isolado
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 77
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte
Isolamento de vibrações - conceito
• a freqüência de excitação deve estar bem acima da freqüência natural do sistema de isolamento; o isolamento deve ser projetado de modo que ω/ωnseja alto
• o amortecimento deve ser baixo
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 78
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
k c
y(t)m
F(t)=kAejωt Problema:
• deseja-se calcular a força transmitida para a base para uma excitação harmônica
• as forças da mola e amortecedor não podem ser somadas algebricamente pois não estão em fase
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 79
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
tjkAetFtkytyctym ω==++ )()()()( &&&Equação de equilíbrio:
Adimensionalizando: tjnnn Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&
Resolvendo:
( ) )( )( )(
)( )( )(
)( )()(
2)(2
)(
)(
tyejGAjty
tyjejGAjty
ejGAejYty
tj
tj
tjtj
ωωω
ωωω
ωω
φω
φω
φωω
−==
==
==
−
−
−
&&
&
• as funções G(jω) e φ foram obtidas anteriormente
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 80
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
NOTA:( ) ( ) 1sincos
2sin
2cos2
−=+=
=
+
=
ππ
ππ
π
π
je
jje
j
j
π
π
ωωωω
j
j
etytyty
etytyjty
)( )( )(
)( )( )(22
2
=−===
&&
&
• a velocidade está defasada de π / 2 em relação ao deslocamento
• a aceleração está defasada de π em relação ao deslocamento
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 81
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
Equilíbrio:
Re
Im
Ftr /m2ζωn y(t)
y(t)
ωn y(t)2
ωn y(t)2
ωn Aejωt2
Representação gráfica do equilíbrio:
tjnnn Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 82
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
Amplitude da força transmitida:
soma vetorial da força da mola e do amortecedor
2)( )(π
ωj
etyty =&)( )( tyty ω=&
222 )()2( yym
Fnn
tr ωζω += &
2
2222 21)() 2(
+=+=
nnnn
tr yyym
F
ωζωωωωζω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 83
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
Amplitude da força transmitida:
)()( ωjGAty =
22
2
2
2
21
21
+
−
+
=
nn
ntr
Ak
F
ωωζ
ωω
ωωζ
2
2 21
+=
nn
tr ym
F
ωζωω
22
1)(
+=
ntr m
kjGmAF
ωζωω
22
1)(
+=
n
tr jGAk
F
ωζωω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 84
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
• F0=Ak é a amplitude da força aplicada F(t) = Akejωt
• a força aplicada pode ser amplificada ou reduzida
• a equação da amplitude da força transmitida em função da freqüência é a mesma obtida para o problema de vibração harmônica do suporte
Função de transmissibilidade22
2
2
2
0
21
21
+
−
+
=
nn
ntr
F
F
ωωζ
ωω
ωωζ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 85
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.501.00
magnitude (transmissibilidade)
ω /ωn
valores de ζ
Ftr
F0
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 86
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
Isolamento de vibrações - aplicações
• isolamento de forças geradas por motores, massas desbalanceadas, etc.
• exemplo: motores automotivos e aeronáuticos
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 87
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade
Isolamento de vibrações - conceito
• a freqüência de excitação deve estar bem acima da freqüência natural do sistema de isolamento; o isolamento deve ser projetado de modo que ω/ωnseja alto
• o amortecimento deve ser baixo
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 88
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração
Acelerômetro sísmico
• m é a massa de prova
• x é o movimento da base (referencial inercial)
• y é o movimento da massa de prova (referencial inercial)
• z é o movimento relativo da massa
k
c
m
x(t)
y(t)
z(t)
)()()( txtytz −=
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 89
m
y(t)
)( xyk −
)( xyc && −
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração
Equilíbrio de forças:
)()()( txtytz −=
onde y(t) é medido em relação a um referencial inercial; usando z(t):
( ) 0)()()()( =+++ tkztzctxtzm &&&&&
)()()()( txmtkztzctzm &&&&& −=++
( ) ( ))()()()()( txtyktxtyctym −−−−= &&&&
)()()(2)( 2 txtztztz nn &&&&& −=++ ωζω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 90
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração
assumindo vibração harmônica da base:tjeXtx ω
0)( =
assumindo: tjejZtz ωω )()( =
substituindo:
resolvendo:
)()()(2)( 2 txtztztz nn &&&&& −=++ ωζω
tjnn eXtztztz ωωωζω 2
02 )()(2)( =++ &&&
( ) tjtjnn eXejZj ωω ωωωωζωω 2
022 )(2 =++−
ωζωωωωω
nn jX
jZ
2
)(22
2
0 +−=
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 91
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração
amplitude de z(t): fase de z(t):
ωζωωωωω
nn jX
jZ
2
)(22
2
0 +−=
nn
n
jX
jZ
ωωζ
ωω
ωω
ω
21
)(
2
2
2
2
0 +−=
=
+
−
=2
2
22
2
2
2
2
0
|)(|
21
|)(|
n
nn
n jGX
jZ
ωωω
ωωζ
ωω
ωω
ω
−=
2
2
1
2
atan
n
n
ωωωωζ
φ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 92
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.500.70
Amplitude do deslocamento da massa de prova
|Z(jω)|
ω /ωn
valores de ζ
X0
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 93
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração – deslocamento: vibrômetro
• num instrumento deseja-se sensibilidade constante, portanto a medida da amplitude do deslocamento exige que ω/ωn >> 1
• nessa condição, a massa de prova não se move em relação ao referencial inercial
• a freqüência natural do instrumento deve ser muito mais baixa que a do sinal que se quer medir
• o amortecimento alto favorece a medição
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 94
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração
amplitude da aceleração:tjeXtx ω
0)( =tjeXtx ωω 0
2)( −=&&
02)( Xtx ω=&&
)(1
21
1)(
222
2
2
2
02
ωω
ωωζ
ωω
ωω
ωjG
X
jZ
n
nn
n =
+
−
=
• a sensibilidade à aceleração depende do inverso do quadrado da freqüência natural do instrumento
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 95
10-2 10-1 1000
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.500.70|Z(jω)|
ω /ωn
valores de ζ
ω2X0
Amplitude da aceleração da massa de prova
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 96
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração – aceleração: acelerômetro
• a medida da amplitude da aceleração exige que ω/ωn << 1; a freqüência natural do instrumento deve ser muito mais alta que a do sinal que se quer medir
• o amortecimento alto favorece a medição
• o sinal z(t) num acelerômetro é tipicamente medido por um cristal piezelétrico
• o sinal de aceleração pode ser eletricamente integrado para se obter velocidade e deslocamento
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 97
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
Amortecimento estrutural:
• dissipação de energia devido à histerese do material
• válido para oscilação harmônica apenas
• proporcional ao deslocamento e em fase com a velocidade
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 98
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
loop de histerese
área = energia dissipada por ciclo
x(t)
F(t) histerese:
• a energia armazenada durante o carregamento não é completamente restituída durante o descarregamento
• perda por ciclo proporcional ao quadrado da amplitude
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
X
2 XEciclo α=∆
−X
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 99
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
fator de amortecimento equivalente:
c
k
mF(t)=Akcos(ωt)
x(t)• sistema sujeito a excitação harmônica
• resolvendo:
)(cos
)cos( )( )(
φωφωω
−=−=
tX
tjGAtx
)( ωjGAX =
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 100
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo (duração do ciclo = 2π/ω)
∫∫ ==∆ωπ /2
0
dtdt
dxFFdxE
ciclo
ciclo
)cos( )( )( φωω −= tjGAtx )sin( )( )( φωωω −−= tjGAtx&
)cos( )( tkAtF ω=
[ ][ ]∫ −−=∆ωπ
φωωωω/2
0
)sin()( )cos( dttjGAtAkEciclosubstituindo:
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 101
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo
[ ][ ]
∫
∫
−−=
−−=∆
ωπ
ωπ
φωωωω
φωωωω
/2
0
2
/2
0
)sin( )cos()(
)sin()( )cos(
dtttjGkA
dttjGAtAkEciclo
[ ]
ωφπφω
φωφωωφωω
ωπ
ωπωπ
)sin( )sin( )(cos
)sin()cos()cos()sin( )cos( )sin( )cos(
/2
0
2
/2
0
/2
0
−=−=
−=−
∫
∫∫
dtt
dttttdttt
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 102
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo
−−=−−=∆ ∫ ωφπωωφωωωω
ωπ )sin()( )sin( )cos()( 2
/2
0
2 jGkAdtttjGkAEciclo
πωωωζφπω 222 )(2)(sin)( jGkAjGkAE
nciclo ==∆
)(2
21
2
)(sin22
2
2
ωωωζ
ωωζ
ωω
ωωζ
φ jGn
nn
n =
+
−
=
substituindo:
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 103
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo
πωωωζωπω
ωωζ 22
2
22 )(2)(2 jGkAjGkAEn
nn
ciclo ==∆222
2
)(
/
/2
XjGA
mk
mc
n
n
=
=
=
ω
ωζω
πω 2kX
m
km
cEciclo =∆ 2 XcEciclo πω=∆
dissipação em um ciclo de histerese: 2 XEciclo α=∆
igualando: πωα c=πωα=eqc
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 104
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
fator de amortecimento equivalente:
πωα=eqc (válido para carregamento
harmônico)
equação do movimento com fator de amortecimento equivalente:
tjAketkxtxctxm )()()( ω=++ &&&
tjAketkxtxtxm )()()( ω
πωα =++ &&&resulta:
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 105
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
tjAketkxtxtxm )()()( ω
πωα =++ &&&
assumindo solução de estado estacionário harmônica:
tjejXtx )()( ωω= )( )( )( txjejXjtx tj ωωω ω ==&
( )
tj
tj
Aketkxtxjtxm
Aketkxtxjtxm
)()()(
)()( )(
ω
ω
πα
ωπωα
=++
=++
&&
&&
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 106
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural
tjAketkxtxjtxm )()()( ω
πα =++&&
DEFINIÇÃO:kπ
αγ = Fator de amortecimento estrutural: fator de perda
( ) tjAketxjktxm )(1)( ωγ =++&&substituindo:
DEFINIÇÃO: ( )γjk +1 Rigidez complexa ou amortecimento complexo
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 107
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural – fator de perda
Definição amortecimento estrutural: k
c
k
c
k
ωππω
παγ ===
Definição fator de perda:
U
Eciclo
πη
2
∆=energia dissipada por ciclo
U é a energia potencial máxima
η é a razão entre a energia dissipada por radiano pela energia potencial máxima
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural – fator de perda
da definição fator de perda:
k
c
kX
Xc
U
Eciclo ω
π
πωπ
η =
=∆=
2
2
21
22 k
cωγη ==
γ é o fator de perda para amortecimento estrutural, isto é, a razão entre a energia dissipada por radiano pela energia potencial máxima
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SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural - Solução
( ) tjAketxjktxm )(1)( ωγ =++&&
assumindo solução de estado estacionário harmônica:
tjejXtx )()( ωω= tjejXtx 2 )( )( ωωω−=&&
substituindo:
adimensionalizando
( ) tjnn eAtxjtx 22 )(1)( ωωγω =++&&
( )( ) tjn
tjn eAejXj 2 22 )( 1 ωω ωωγωω =++−
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MPD-42 110
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural - Solução
( )( ) tjn
tjn eAejXj 2 22 )( 1 ωω ωωγωω =++−
( ) Aj
jXn
n
γωωωω
++−=
1)(
22
2
( ) Aj
jXn γωω
ω+−
= 2/1
1)(
2
2
2
2
1
1)(
γωω
ω
+
−
=
n
jX
−=
2
2
1atan))((
n
jXFase
ωω
γω
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MPD-42 111
tj
n
Aej
tx ω
γωω +−
=
2
2
1
1)(
SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural - Solução
• o pico ocorre sempre para ω = ωn, com Q=1/γ
•a magnitude não tende a um quando ω tende a zero
• a analogia entre amortecimento viscoso e amortecimento estrutural só é válida para excitação harmônica
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MPD-42 112
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
0.000.100.150.250.501.00
MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
|X(jω)|
ω /ωn
valores de γ
A
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0 1 2 3
0.000.100.150.250.501.00
X(jω)
ω /ωn
valores de γ
FASE DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIAπ
3π / 2
π / 2
π / 4
γ = 0
γ = 0
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EXERCÍCIOSO sistema da figura representa uma primeira aproxim ação de uma construção onde as colunas não têm massa e o telhado é rígido. Obtenha a equação diferencial do movimento horizontal de vibração.
M
EI EIH
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EXERCÍCIOSUm cilindro de massa m e com momento de inércia J rola sem deslizar mas é refreado pela mola k como indica a figura. Determine a freqüência natural de vibração.
k
R
m, J θ
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EXERCÍCIOSEstabelecer a equação diferencial de movimento para o sistema da figura onde a barra rígida não tem massa . Determine: (a) o coeficiente de amortecimento críti co e (b) a freqüência natural de vibração amortecida.
a
L
kc
m