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SISTEMASNÃOAMORTECIDOS•  Formulaçãodoproblema–casogeral:

  Carregamento:

  Equaçãodeequilíbrio:  Condiçõesiniciaisemt=0:

  Solução:  Omovimentodecadamassanãoéumafunçãoharmónicasimples,e

nãosepodedefinirumafrequência

  Adeformada,emtermosdeu1/u2,variacomotempo1

Vibraçãolivre

SISTEMASNÃOAMORTECIDOS•  Formulaçãodoproblema–casoparTcular:

  Seavibração livre fôrrealizadaaparTrdeumadistribuiçãoparTculareapropriadadeui(0)eui(0)nosgdl,entãoomovimentoédescritoporumafunção harmónica e a estrutura mantém a forma do estado inicial navibraçãolivre

  Nó:pontodedeslocamentonulo

  Mododevibraçãonatural:éaformadevibraçãonaturaldaestrutura  Tn:períododevibraçãonatural  ωn:frequênciacircularnaturaldevibração

  fn:frequênciacíclicanaturaldevibração 2

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FREQUÊNCIASEMODOSDEVIBRAÇÃONATURAL•  Descriçãodoproblema:

  Descrição domovimento de um sistema não amortecido num dos seusmodosnaturaisdevibração:

  movimento:

ondeAn e Bn são constantes determinadas a parTr das condiçõesiniciaisqueiniciamessemovimento

  Equaçãodomovimento:

  Soluçãoi)  Soluçãotrivial:

Ou

ii) Soluçãonãotrivial:

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Vibraçãolivre

FREQUÊNCIASEMODOSDEVIBRAÇÃONATURAL•  Descriçãodoproblema:

  Descrição domovimento de um sistema não amortecido num dos seusmodosnaturaisdevibração:

  Problemadevalores‐vectorespróprios:

  Soluçãonãotrivial–equaçãocaracterísTca:

  Soluçãodoproblema:

•  Nfrequênciasnaturaisωn,n=1,…,N

•  Nmodosdevibraçãoassociadosφn,n=1,…,N

MATRIZESMODALEESPECTRAL:Matrizmodaloudosmodosdevibração Matrizespectral

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ORTOGONALIDADEDOSMODOSDEVIBRAÇÃO

  Os modos de vibração saTsfazem as seguintes condições deortogonalidade:

  Osmodosdevibraçãodiagonalizamasmatrizesdemassaederigidez:

Onde

  Asmatrizesm ek sãoposiTvasdefinidas, por isso todosos termosdasdiagonaisprincipaisdeMeKsãoposiTvos,etem‐seaseguinterelação:

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INTERPRETAÇÃODAORTOGONALIDADEDOSMODOSDEVIBRAÇÃO

  O trabalho realizado pelas forças de inércia associadas ao modo n nopadrãodedeslocamentosassociadoaomodorénulo:

  O trabalho realizado pelas forças estáTcas equivalentes associadas aomodonnopadrãodedeslocamentosassociadoaomodorénulo:

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NORMALIZAÇÃODOSMODOSDEVIBRAÇÃO

  Oproblemadevalores‐vectoresprópriosnãodefineanormadosvectoresprópriosφn

  Háváriaspossibilidadesdenormalizaçãodessesvectores:

•  Maiortermoiguala1

•  Normadovectoriguala1

•  Normalizaçãoemrelaçãoàmassa  NormalizaçãoemrelaçãoàmassaM:

•  Por esteprocessodenormalização forma‐seumconjuntodemodosdevibraçãoortonormaisemrelaçãoàmassa

•  Nestecaso,amatrizderigideztomaaforma:

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Vibraçãolivre

EXPANSÃOMODALDOSDESLOCAMENTOS

  Os N vectores próprios ‐ os modos de vibração – são linearmenteindependentes (ortogonais) e por isso formam uma base ortonormadacapazderepresentarqualquervectoremN

  Porisso,qualquerdeslocamentopodeserdescritonaforma:

  Coordenadas modais: são as funções de amplitude qn(t), que sãoagrupadasnovectorq 

  Tem‐searelação:

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SOLUÇÃODESISTEMASNÃOAMORTECIDOSEMVIBRAÇÃOLIVRE  Arespostaglobalédadapelacombinaçãodas respostas individuaisdos

modos:

  Condiçõesiniciais:

•  CadaexpressãorepresentaumsistemadeNequaçõesalgébricasaNincógnitasAneBn,respecTvamente

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SOLUÇÃODESISTEMASNÃOAMORTECIDOSEMVIBRAÇÃOLIVRE

  Tem‐se:

  Obtém‐se

onde

Asoluçãoéanálogaàvibraçãolivredoosciladorde1gdl

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SOLUÇÃODESISTEMASAMORTECIDOSEMVIBRAÇÃOLIVRE  Equaçãodosistema:

  Condiçõesiniciaisemt=0:

  MulTplicando‐se à esquerda e à direita a equação de equilíbrio porΦobtém‐se:

onde:

podeserounãodiagonal,dependendodadistribuiçãodoamortecimentonaestrutura

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SOLUÇÃODESISTEMASAMORTECIDOSEMVIBRAÇÃOLIVRE  Cédiagonal:

•  Amortecimentoclássico

•  O sistema de equilíbrio representa N equações desacopláveis nascoordenadasqn

•  Aanálisemodalclássicaéaplicável

•  Têmosmesmosmodosdevibraçãoqueosistemanãoamortecido

•  Ex.–amortecimentoproporcional:

  Cnãoédiagonal:•  Amortecimentonãoclássico

•  Aanálisemodalclássicanãoéaplicável

•  Osmodosde vibraçãodo sistemaamortecido sãodiferentesdosdosistemanãoamortecido

•  OsistemadeequilíbriorepresentaNequaçõesnãodesacopláveisnascoordenadas qn, e existem métodos numéricos para resolver essessistemasdeequações 12

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