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AULA 3
Vetores no Espaço (IR3): tratamento algébrico e representação
gráfica
Vetores no espaço (IR3):
Todo o estudo realizado com vetores no plano (IR2) vale de forma
análoga no espaço (IR3), considerando-se algumas adequações necessárias.
Base canônica:
Trata-se do conjunto kji ,, , cujos vetores tem coordenadas de
origem em ( 0, 0, 0 ) e extremidades em 0,0,1i , 0,1,0j ,
1,0,0k e estes vetores dão orientação ao conhecido sistema cartesiano
ortogonal Oxyz.
Os eixos do sistema cartesiano do espaço são denominados: OX: eixo
das abscissas, OY: eixo das ordenadas e OZ: eixo das cotas, conforme abaixo:
Desta maneira, um vetor no espaço é uma tripla ordenada (x , y , z) de
números reais.
x
y
z
i
j
k
Exemplo:
1) implica em escrever
P’: projeção de P no plano xOy
P’(2 , 4 , 0)
C: projeção de P no plano yOz
C(0 , 4 , 3)
E: projeção de P no plano xOz
E(2 , 0 , 3)
A: projeção de P em x
A(2 , 0 , 0)
B: projeção de P em y
B(0 , 4 , 0)
D: projeção de P em z
D(0 , 0 , 3)
O
x
y
z
i
j
k
A
D
B
2
3
4
P'
C
E
P
2
1
Para desenhar um vetor no IR3, não é necessário traçar todos os
segmentos que traçamos no exemplo acima. Veja outros exemplos:
2) ou
3) ou
O
x
y
z
i
j
k
2
3
4
2
1
v
O
x
y
z
i
j
k
2
3
4
2
1
v
Pontos particulares no espaço
Conforme o gráfico acima, podemos concluir que pontos posicionados nos
eixos cartesianos têm duas de suas coordenadas iguais a zero. A coordenada
não nula é aquela do eixo onde o ponto está fixado.
Já os pontos que estão posicionados nos planos coordenados, tem uma de
suas coordenadas nula. A coordenada nula é aquela cujo eixo não faz parte do
plano coordenado.
No Plano cartesiano XOY , o plano é dividido em 4 sub-planos, chamados
quadrantes, por meio dos eixos OX e OY. No Espaço Cartesiano OXYZ, o
espaço está dividido em 08 sub-espaços, chamados octantes, por meio dos
planos cartesianos XOY, XOZ e YOZ, conforme figura abaixo:
Além disso, abaixo segue as coordenadas dos pontos A, B, C, D, que estão
situados acima do plano XOY, e com cota igual a 2, isto é, a coordenada z é 2
e é positiva. Já os pontos A’ , B’ , C’, e D’ estão abaixo do plano XOY e tem
cota -2 (negativa). Analise a figura abaixo:
Analise a figura abaixo:
Operações com Vetores no espaço: igualdade, adição,
multiplicação por escalar, vetor definido por dois pontos
Dados os vetores 111 z,y,xu e 222 z,y,xv e IR,
definimos:
Igualdade de vetores:
u = v se e somente se x1 = x2; y1 = y2 e z1 = z2.
Operações com vetores:
i) 212121 zz,yy,xxvu
ii) 111111 z,y,xz,y,xu
iii) QuP , que são as coordenadas de um ponto
Vetor definido por dois pontos:
Sendo A(x1 , y1 , z1) a origem de um vetor e B(x2 , y2 , z2) a sua
extremidade, e se ABv , temos:
121212 zz,yy,xxABABv
Ponto médio:
Seja o segmento de extremos A(x1 , y1 , z1) e B(x2 , y2 , z2). Sendo M(x ,
y , z) o ponto médio de AB, temos:
2
zz,
2
yy,
2
xxM 212121
Exemplo: Seja o triângulo de vértices A(4 , -1 , -2); B(2 , 5 , -6) e C(1 , -1 , -2).
Calcule as coordenadas do vetor que representa a mediana relativa ao lado
AB.
Resolução:
A mediana relativa ao lado AB do triângulo pode ser representada pelo vetor
CM (ou pelo vetor MC ), onde M é o ponto médio de AB:
4,2,32
62,
2
51,
2
24
2
zz,
2
yy,
2
xxM 212121
Logo, 2,3,22,1,14,2,3CMCM
Exercícios resolvidos:
1) Dados os pontos A(3 , -4 , -2) e B(-2 , 1 , 0), determinar o ponto N
pertencente ao segmento AB tal que AB5
2AN .
Resolução:
AB5
2AN
AB5
2AN
2,5,55
22,4,3N
5
4,2,22,4,3N
5
4,2,22,4,3N
5
6,2,1N
x
y
x x
y
y
1
1
2
2 B
A
M
A B
C
M
2) Sendo A(2 , -5 , 3); B(7 , 3 , -1) e C(6 , -1 , 3) vértices consecutivos de um
paralelogramo ABCD, determine o vértice D.
Resolução:
DCAB (ou ADBC ): mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento
B – A = C – D
(7 , 3 , -1) – (2 , -5 , 3) = (6 , -1 , 3) – D
D = (6 , -1 , 3) – (7 , 3 , -1) + (2 , -5 , 3)
Logo, D(1 , -9 , 7)
3) Sendo A(-2 , 1 , 3) e B(6 , -7 , 1) extremidades de um segmento,
determinar os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB
em quatro partes de mesmo comprimento.
Resolução:
2
1,2,22,8,8
4
1AB
4
1AB
4
1EBDECDAC
2
1,2,2AC
C – A =
2
1,2,2
C =
2
1,2,2 + (-2 , 1 , 3)
C
2
5,1,0
D C
B A
A E D B C
2
1,2,2CD
D – C =
2
1,2,2
D =
2
1,2,2 +
2
5,1,0
D 2,3,2
2
1,2,2DE
E – D =
2
1,2,2
E =
2
1,2,2 + 2,3,2
E
2
3,5,4
4) Dados os pontos A(0 , 1 , -1) e B(1 , 2 , -1) e os vetores ,
e , verifique se existem números a, b e c,
tais que
Resolução:
OU AINDA,
OU AINDA,
Os dois vetores são iguais somente, quando:
Resolvendo o sistema linear acima, temos: a = 3; b = 1 ; e c = -1
Assim, o vetor é
Exercícios propostos: