Vetores Cartesianos
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Vetores e Equilíbrio de
uma Partícula
Prof. Eng. André Soares
Disciplina: Elementos de Mecânica e Resistência
dos Materiais
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Vetores Cartesianos• Componentes Retangulares de um VetorConsidere um vetor A localizado no espaço como ilustrado na
figura abaixo (no sistema x, y, z).
Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo podemos
decompô-lo em componentes, como:
z A A A ' y x A A A '
z y x A A A A
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Vetores Cartesianos• Vetor UnitárioVetor que especifica a direção do vetor A, tem esse nome porque
apresenta intensidade 1 (vetor unitário).
A
Au A (Adimensional)
Logo:
A Au A
Intensidade Direção e Sentido
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Vetores Cartesianos• Representação de um Vetor CartesianoComo as três componentes de A atuam nas direções positivas i, j,
k, podemos escrever sob a forma de vetor cartesiano como:
k A j Ai A A z y x
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Vetores Cartesianos• Intensidade de um Vetor Cartesiano
22' A A A
Através de relações
trigonométrica temos:
Onde: 22
' y x A A A
222
z y x A A A A
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Vetores Cartesianos• Direção de um Vetor CartesianoOutro modo fácil de obter os cossenos diretores de A é criar um
vetor unitário na direção de A.
Por comparação com a equação anterior vemos que as
componentes de uA (i, j, K) representam os cossenos diretores de A, isto é:
k jiAuA A A
A A
A A
A
Z y X
k jiuA coscoscos
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Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da
soma dos quadrados da intensidade de seus componentes e uA
tem intensidade 1, então se pode estabelecer uma relação
importante entre os cossenos diretores:
1coscoscos
222
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Portanto se a intensidade e os ângulos de coordenada de direção
de A são dados, A pode ser expresso sob forma vetorial cartesiana
como:
k ji
k ji
uA
z y x
A
A A A
A A A
A
coscoscos
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Vetores Cartesianos• Adição e Subtração de VetoresDados dois vetores A e B em função de suas componentes.
k ji
BARResultanteVetor
k jiB
e
k jiA
z z y y x x
z y X
z y X
B A B A B A
B B B
A A A
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Vetores Cartesianos• Adição e Subtração de VetoresDados dois vetores A e B em função de suas componentes.
k ji
BAR
SubtraçãodaResultanteVetor
k ji
BAR
AdiçãodaResultanteVetor
k jiB
e
k jiA
'
z z y y x x
z z y y x x
z y X
z y X
B A B A B A
B A B A B A
B B B
A A A
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Vetores Cartesianos• Sistemas de forças Concorrentes
k jiFF z y x R F F F
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Vetores Cartesianos• Exercício 1:Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da
força F que atua sobre a estaca.
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Prof. André Felipe Leite Soares
Engenheiro Mecânico
Vetores e Equilíbrio de uma Partícula