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Prova 635.V1/1. F. Pgina 1/ 14
EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDRIO
Prova Escrita de Matemtica A
12. Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n. 139/2012, de 5 de julho
Prova 635/1. Fase 14 Pginas
Durao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos.
2016
VERSO 1
Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliao externa so obras protegidas pelo Cdigo do Direito de Autor e dos Direitos Conexos. A sua divulgao no suprime os direitos previstos na lei. Assim, proibida a utilizao destas provas, alm do determinado na lei ou do permitido pelo IAVE, I.P., sendo expressamente vedada a sua explorao comercial.

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Indique de forma legvel a verso da prova.
Utilize apenas caneta ou esferogrfica de tinta azul ou preta.
permitido o uso de rgua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora grfica.
No permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que no seja classificado.
Para cada resposta, identifique o grupo e o item.
Apresente as suas respostas de forma legvel.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
A prova inclui um formulrio.
As cotaes dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.

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Formulrio
Geometria
Comprimento de um arco de circunferncia:
, , ;amplitude em radianos do ngulo ao centro raior ra a- -^ h
rea de um polgono regular: Semiper metro Ap tema#
rea de um sector circular:
, , ;amplitude em radianos do ngulo ao centro raior r2
2a a- -^ h
rea lateral de um cone: ;raio da base geratrizr g r gr - -^ h
rea de uma superfcie esfrica: raior4 2 -rr ^ h
Volume de uma pirmide: rea da base Altura31 # #
Volume de um cone: rea da base Altura31 # #
Volume de uma esfera: raior r34 3r -^ h
Progresses
Soma dos n primeiros termos de uma progresso un_ i:
Progresso aritmtica: u u n2n1 #
+
Progresso geomtrica: urr
11 n
1 # --
Trigonometria
a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] ga b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] ga b
a ba b
1tg tg tg
tg tg+ =
-+] g
Complexos
cis cis nnt i t= n i^ ^h h
, ,cis cisnk k n n2 0 1 e Nn n f! !t i t i r= + -b ]l g! +
Probabilidades
, ,,
,
,
p x p x
p x p x
X N
P X
P X
P X
0 6827
2 2 0 9545
3 3 0 9973
:Se ent o
n n
n n
1 1
1 12 2
f
f
1 1
1 1
1 1
.
.
.
n
v n n
n v
n v n v
n v n v
n v n v
= + +
= - + + -
- +
- +
- +
] ^
]]]]
g h
gggg
Regras de derivao
u
u
u
u
u
u
sen cos
cos sen
tgcos
ln
ln
logln
u v u v
u v u v u v
vu
vu v u v
u n u u n
u u u
u u
uu
e e
a a a a
uu
uu a
a
1
1
R
R
R
n n
u u
u u
a
2
1
2
!
!
!
+ = +
= +
= -
=
=
=-
=
=
=
=
=
-
+
+
l l l
l l l
l l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
^^`^ ^^^^
^^ ^^
^ ^
hhjh hhhh
hh hh
h h
"
"
,
,
Limites notveis
3
lim
lim sen
lim
limln
lim ln
lim
ne n
xx
xe
xx
xx
xe p
1 1
1
1 1
11
0
N
R
n
x
x
x
x
x
x p
x
0
0
0
!
!
+ =
=
- =
+=
=
=+
"
"
"
"
"
3
3
+
+
b ^
^
^
l h
h
h

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GRUPO I
Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opo correta. Escreva, na folha de respostas, o nmero do item e a letra que identifica a opo escolhida.
1. Seja W , conjunto finito, o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.
Sejam A e B dois acontecimentos (A W e B W).
Sabe-se que:
P A 52=^ h
P B 103=^ h
P A B 61=` j
Qual o valor de P A B,` j ?
(A) 54 (B) 10
7 (C) 2013 (D) 30
19
2. Seja X uma varivel aleatria com distribuio normal de valor mdio 10
Sabe-se que ,P X7 10 0 31 1 =^ h
Qual o valor de P X 132^ h ?
(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4
3. Seja a um nmero real diferente de 0
Qual o valor de limx aae a
x a
x a2 2
"
?
(A) 41 (B) 2
1 (C) 1 (D) 2

4. Seja f uma funo de domnio R
Sabe-se que:
lim xf x e x 1
x
x+ =" 3
^ h
o grfico de f tem uma assntota oblqua.
Qual o declive dessa assntota?
(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2
5. Na Figura 1, esto representados o crculo trigonomtrico e um trapzio retngulo OPQR6 @
Sabe-se que:
o ponto P tem coordenadas ,0 1^ h o ponto R pertence ao quarto quadrante e
circunferncia.
Seja a a amplitude de um ngulo orientado cujo
lado origem o semieixo positivo Ox e cujo ladoextremidade a semirreta ORo
Qual das expresses seguintes d a rea do
trapzio OPQR6 @, em funo de a ?
(A) cos cossen2a a a+ (B) cos cossen2
a a a
(C) cos cossen 2aa a+ (D) cos cossen 2a
a a
6. Seja i um nmero real pertencente ao intervalo , 23r r :D
Considere o nmero complexo cisz 3 i=
A que quadrante pertence a imagem geomtrica do complexo z ?
(A) Primeiro (B) Segundo (C) Terceiro (D) Quarto
Figura 1
y
x
a
R
QP

7. Na Figura 2, est representado um tringulo issceles ABC6 @
Sabe-se que:
AB BC 2= =
BAC 75o=t
Qual o valor do produto escalar .BA BC ?
(A) 2
(B) 2 2
(C) 3
(D) 2 3
8. Considere as sucesses un_ i e vn^ h de termos gerais
u nkn23
n = + (k um nmero real) e lnv n11
nn
= +b l; E
Sabe-se que lim limu vn n=^ ^h hQual o valor de k ?
(A) 1 (B) 2 (C) e (D) 2e
Figura 2A C
75
B
2 2

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GRUPO II
Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efetuar e todas as justificaes necessrias.
Quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exato.
1. Em C, conjunto dos nmeros complexos, considere
ciszi1 3
81
i= +
e cisz 22 i= _ i
Determine o valor de i pertencente ao intervalo ,0 r 6@ , de modo que z z1 2# seja um nmero real.
2. Considere nove bolas, quatro numeradas com o nmero 1, quatro com o nmero 2 e uma com o nmero 4.
2.1. Colocam-se as nove bolas, que so indistinguveis ao tato, num saco vazio. Em seguida, retiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolas desse saco.
Seja X a varivel aleatria: produto dos nmeros das duas bolas retiradas.
Construa a tabela de distribuio de probabilidades da varivel X
Apresente as probabilidades na forma de frao irredutvel.
2.2. Considere agora que se colocam as nove bolas lado a lado, de modo a formar um nmero com nove algarismos.
Quantos nmeros mpares diferentes se podem obter?

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3. Na Figura 3, est representada, num referencial o.n. Oxyz , uma pirmide quadrangular regular ABCDV6 @
Sabe-se que:
a base ABCD6 @ da pirmide paralela aoplano xOy
o ponto A tem coordenadas , ,1 1 1^ h o ponto C tem coordenadas , ,3 3 1^ h o plano BCV definido pela equao
y z3 10 0+ =
3.1. Escreva uma condio que defina a superfcie esfrica de centro no ponto A e que tangente ao plano xOy
3.2. Determine as coordenadas do ponto V
3.3. Seja a o plano perpendicular reta AC e que passa no ponto , ,P 1 2 1 ^ hA interseco dos planos a e BCV uma reta.
Escreva uma equao vetorial dessa reta.
4. Num dia de vento, so observadas oscilaes no tabuleiro de uma ponte suspensa, construda sobre um vale.
Mediu-se a oscilao do tabuleiro da ponte durante um minuto.
Admita que, durante esse minuto, a distncia de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale dada, emmetros, por
cos senh t t t t20 21 2 2r
r r= + +^ ^ ^h h h (t medido em minutos e pertence a ,0 16 @)
4.1. Sejam M e m, respetivamente, o mximo e o mnimo absolutos da funo h no intervalo ,0 16 @A amplitude A da oscilao do tabuleiro da ponte, neste intervalo, dada por A M m=
Determine o valor de A, recorrendo a mtodos analticos e utilizando a calculadora apenas para efetuar eventuais clculos numricos.
Apresente o resultado em metros.
Figura 3
z
x
yO
V
A
D C
B

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4.2. Em ,0 16 @, o conjunto soluo da inequao ,h t 19 51^ h um intervalo da forma ,a b6@Determine o valor d

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