Vasos Paredes Grossas

Resistência dos Materiais II:

Vasos de Pressão

de Paredes Grossas

Prof. Jorge A. R. Durán

Enga. Mecânica UFF – Volta Redonda

[email protected]

November 13 1

Objetivos

• Aplicação das equações para o cálculo das tensões principais em cilindros de pressão de paredes grossas ao projeto mecânico.

Bibliografia Principal• Cook, R.D., Young, W.C. (1999), “Advanced Mechanics of

Materials”. 2nd ed., Prentice-Hall, Inc. NJ, USA, 481pp.

• Ugural AC (2012), Advanced Mechanics of Materials and

Applied Elasticity (5th Edition), Pearson Education Inc.

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Cilindros de Paredes Grossas

• Aplicações: Extração e transporte de petróleo e gás natural de um poço; cilindros hidráulicos, canos, tubos, caldeiras e tanques; tubulação da indústria da guerra.

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November 13 4

Cilindros de Paredes Grossas• Em vasos de paredes grossas os deslocamentos

radiais variam através da espessura.

• Como consequencia εθ e σθ são funções de r.

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( )ii

ii

r

u

dr

drdur =−+=θ

θθεθ


• Considere, por exemplo, um vaso com t=ri.

• Ou seja, para que a constância das εθ seja

mantida (εθi=εθo) o deslocamento externo

uo=2ui, o que não faz sentido.

• De fato ui>uo e uma análise baseada na teoria

da elasticidade se faz necessária.

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i

o

o

oo

i

ii r

u

r

u

r

u

2=== θθ εε


• Solução de Lamé (1833) para as tensões e

deslocamentos radiais:

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( ) ( )( ) 222

22

22

22

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

11

11

11

rba

bapp

Eba

papb

Eu

r

b

ba

ap

r

a

ba

bp

r

b

ba

ap

r

a

ba

bp

oioi

oir

oi

−−++

−−−=

−

−−

−

−=

+

−−

+

−=

νν

σ

σθ

November 13 8

Cilindro de paredes grossas de diâmetro externo

2a e interno 2b submetido a pressão interna pi e

sistema de coordenadas polares utilizado na

solução de Lamé.

November 13 9


• Uma tensão axial σz surge em cilindros de

paredes grossas com tampas. A pressão

interna gera forças axiais atuando na área

projetada π b2 e a pressão externa gera forças

atuando em π a2.

• Estas forças serão resistidas pela tensão σz

atuando na área π (a2-b2), logo:

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22

22

ba

apbp oiz −

−=σ


• Algumas observações à Solução de Lamé:

• A tensão de Tresca surge em r=b e, para

pressão interna ou externa nulas será:

• Sendo σz constante, a deformação normal na

direção axial independe de r:

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==

=−

=0

022

2

maxio

oi

pp

ppp

ba

apτ

22

222

ba

apbp

EEoiz

z −−−= νσε


• Definindo X≡a/b o critério de Tresca fica:

• Definindo Y≡p/[τ] e τmax=[τ] onde [τ] é a tensão admissível observa-se que, para um dado material [τ]=const, a possibilidade de aumentar a pressão de trabalho Y depende principalmente do aumento das proporções do cilindro X:

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==

=−

=0

0

12

2

maxio

oi

pp

ppp

X

Xpτ

22

2 11

1

XX

XY −=−=

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• De acordo com a solução de Lamé, em

cilindros de paredes grossas o aumento

indiscriminado da seção resistente (a>>b) não

implica na queda das tensões. Em r=b, por

exemplo, tem-se:

• Para uma razão a/b=5, por exemplo, tem-se

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oi pp 2−≅θσ

( )( ) 13

0,0, =

====

o

o

par

pbr

θ

θ

σσ


• Ou seja, as tensões circunferênciais na parte exterior do cilindro são muito pequenas comparadas com as que ocorrem na borda interior.

• Observa-se também que nesta região para a/b=5σθ=26/24.pi≅pi.

• Estas análises também sugerem que as tensões na parede externa não variam muito se a forma desta não for circular.

• Como regra geral, se a distância entre furos pressurizados de um corpo plano de qualquer forma ou entre um furo e as paredes externas for >5b, σθ e τmax

podem ser aproximadas por pi.

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Exemplos

• Make an analytical and graphical comparison between Lame’s solution for σθ (at r=b, po=0) and the following approximations: 1)σθ=piR/t where R=(a+b)/2 is the mean radius and t=a-b is the wall thickness and 2)σθ=pib/t. How reliable are the elementary formulas for thin walled pressure vessel?

• Problem 8.2-3: (a) A cylinder with end caps for which a=40mm and b=22mm is made of a material that yields in tension at 400MPa. Based on the maximum shear stress failure criterion, what is the allowable internal pressure if the safety factor is to be 1.6?

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Exemplos

• Problem 8.2-3: (b) Repeat part (a) but use the von Mises failure criterion.

• Problem 8.2-4: A cylinder with end caps has the following dimensions and properties: a=20mm, b=10mm, E=200GPa and ν=0.28. Measurements show that a circumferential line on the outside changes in length from 10.0000mm to 10.0040mm when internal pressure is applied. What is pi?

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Exercícios Propostos

• Estudar exemplos resolvidos do Cook&Young

• Estudar exemplos resolvidos do Juvinall 1967.

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