Variveis Complexas (Integral Complexa)

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Lista de exercícios resolvidos com exemplos simples e intermediarios de integração no plano complexo. Para quem cursa a disciplina de variáveis complexas. Para visualizar este e mais exercícios de graça acesse: http://diegoalvez2015.blogspot.com.br/

Transcript of Variveis Complexas (Integral Complexa)

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    Exerccios Resolvidos: Integral Complexa

    diegoalvez@pop:com:br

    Compilado dia 17/11/2013.

    Este documento se encontra sujeito a constantes revis~oes.

    Integral de contorno

    1. Calcule

    Zc

    f(z)dz com f(z) = z2, sob a curva C = fz = rei : 0 g

    Soluc~ao:Pela denic~ao de integral complexa:

    Zc

    f(z)dz =

    Z 0

    (rei)2 rieid = ir3Z 0

    e3id =ir3e3i

    3i

    0

    =ir3e3i

    3i ir

    3e3i0

    3i

    =ir3e3i

    3i ir

    3

    3i=

    ir3

    3i(e3i 1)

    Como e3i = cos(3) + isen(3) e como sen(3) = 0 e cos(3) = 1 ent~ao:

    ir3

    3i(e3i 1) = ir

    3

    3i(1 1) = 2ir

    3

    3i

    2. Calcule

    Zc

    2x y + ix2dz com 0 t 1

    Soluc~ao:

    1

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    Seja z(t) = t+ it ent~ao:Zc

    2x y + ix2dz =Z 1c

    (t it)(1 + i)dt = 1 + 5i6

    =1

    6+

    5

    6i

    3. Seja C um contorno qualquer ligando z1 e z2, de forma que z(t), 0 t bcom z(a) = z1 e z(b) = z2 mostre que

    Zc

    1dz = z1 z2

    Soluc~ao:Zc

    1dz =

    Z ba

    1 z0(t)dt =Z ba

    z0(t)dt = z(t)

    b

    a

    = z(b) z(a) = z1 z2 C.Q.D.

    4. Calcule

    Zc

    (2x+ 3yi)dz onde c e a curva y = x2 + 1.

    Soluc~ao:A curva de integrac~ao e:

    Chamando x = t ent~ao y = t+ 1, z = t+ (t2 + 1)i, dz = 1+ 2it com 1 t 2portanto:Z

    c

    (2x+ 3yi)dz =

    Z 20

    (2t+ 3i(t2 + 1))(1 + 2it)dt = 32 + 743i

    5. Calcule

    Zc

    (x2+y2+3+(2xy+2)i)dz onde c e o segmento que liga os pontos

    (1; 1) e (0; 1) no plano complexo.

    Soluc~ao:

    2

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    A curva de integrac~ao e:

    Chamando x = t (com 0 t 1) ent~ao z = t+ i e dz = 1dt, logo:Zc

    (x2 + y2 + 3 + (2xy + 2)i)dz =

    Z 10

    (t2 + 4(2t+ 2)i)dt =13

    3+ 3i

    6. Calcule

    Zc

    dz

    z 1 onde c e o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) noplano complexo.

    Soluc~ao:A curva de integrac~ao:

    Note que sobre esse segmento a func~ao f(z) =1

    z 1 e analtica num espacoconexo, portanto pode ser integrada sem a necessidade de uma parametrizac~ao.

    Zc

    dz

    z 1 =Z 2ii

    dz

    z 1 = ln(z i)2i

    i

    3

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    = ln(2i 1) ln(i 1) = ln2i 1i 1 = ln(1:5 0:5i)

    onde ln(1:5 0:5i) = ln(2:5) + i(5:96RAD)

    7. Calcule

    Zc

    (z2 z) onde c e o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) noplano complexo.

    Soluc~ao:Pelas equac~oes de Cauchy Rieman f(z) = z2 z e analtica em todo o plano.

    Prova

    @u

    @x= 2x 1) @v

    @y= 2x 1

    @u

    @y= 2y ) @v

    @x= 2y

    onde u = x2 x y2 e v = 2xy y

    ent~ao assim como no exemplo anterior podemos resolver a integral sem a ne-cessidade de parametrizac~ao.

    Zc

    (z2 z)dz =Z 2ii

    = (z3

    3 z

    2

    2)

    2i

    i

    = 0:5 73i

    8. Calcule

    Z 2+4i1+i

    z2dz.

    a) Ao longo da parabola x = t; y = t2, com 1 t 2.

    4

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    b) Ao longo da reta ligando 1 + i e 2 + i.c) Ao longo da reta ligando 1 + i a 2 + i e em seguida 2 + 4i

    Soluc~ao:Se x = t e y = t2 ent~ao z = t+ it2 assim

    Z 2+4i1+i

    z2dz =

    Z 21

    (t+ it)2(1 + 2it)dt =(t+ it2)3

    3

    2

    1

    =863

    6i

    Soluc~ao:A reta que liga os pontos (1;1) e (2;4) no plano complexo tem equac~ao igual a

    y = 3x 2 onde para x = t e y = 3t 2 temos z = t+ (3t 2)i ent~aoZ 2+4i1+i

    z2dz =

    Z 21

    (t+ 3ti 2i)2(1 + 3i)dt = 863 6i

    O fato de (A) e (B) terem o mesmo resultado ocorre pois f(z) = z2 e analticaem todo o plano e por isso seu resultado depende apenas do ponto inicial e nal en~ao de sua trajetoria.

    Soluc~ao:O caminho de integrac~ao e:

    Dado pela integral ZAB[BC

    z2dz =

    ZAB

    z2dz +

    ZBC

    z2dz

    5

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    Porem como o integrando e uma func~ao analtica podemos considerar apenaso ponto inicial e nal.

    assim ZAB[BC

    z2dz =

    Z 21

    z2dz = 863 6i

    9. Mostre que

    Zc

    dz

    (z a)ndz =

    Soluc~ao:Seja \c" um circulo qualquer de raio R centrado em z = a, e c1 uma circun-

    fere^ncia que envolva a singularidades ent~ao f(z) = (z a)n e analtica dentro esobre a fronteira da regi~ao limitada pelo contorno \c" e \c1" de modo que podemosescrever: Z

    c

    dz

    (z a)n =Z 20

    iRei

    (Rei)nd

    chamando u = Rei ent~ao du = iReid logo se n = 1Z 20

    iRei

    (Rei)nd =

    Z 20

    du

    un= ln(u)

    2

    0

    6

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    = ln(Re2i) ln(Rei0) = lnRe2i

    Rei0

    = ln(e2i) = 2i

    Porem se n 2 ent~ao:

    =

    Z 20

    du

    un=

    un+1

    n+ 1

    2

    0

    =(Rei)n Rei

    1 n

    2

    0

    =Rei

    (Rei)n(1 n)

    2

    0

    =1

    (Rei)n1(1 n)

    2

    0

    como e2i ou e0i s~ao iguais a zero ent~ao:

    =1

    (Rn1)(1 n) 1

    (Rn1(1 n) = 0

    Finalizando a demonstrac~ao.

    10. Qual a soluc~ao se da integral do exerccio 9 para n = 0;1;2; :::?

    Soluc~ao:Para n = 0;1;2; ::: o integrando sera 1; (za); (za2); ::: que s~ao analticas

    em todo plano, logo pelo Teorema de Cauchy a integral e zero.

    11. Calcule

    Zjzj=1

    dz

    z 3.

    Soluc~ao:Como z = 3 n~ao esta no interior do circulo jzj = 1 ent~ao a integral e zero, pois

    alem de ser analtica dentro e sob o contorno de integrac~ao e uma curva fechada.

    7

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    Formula integral de Cauchy

    1. Usando a formula integral de Cauchy resolva:

    a)

    Zjzj=1

    ez

    (z 2)2dz

    b)

    Zjzj=3

    ez

    (z 1)(z 2)dz

    c)

    Zjzj=2

    z

    (z 1)2(z 4)dz

    Soluc~ao:Como a singularidade ocorre apenas para z = 2 que n~ao pertence ao circulo

    jzj = 1 ent~ao a integral e zero, pois se trata de uma integral de uma func~ao analticasob uma curva fechada.

    Soluc~ao:As singularidades do integrando ocorrem para z = i e z = 2 ambos no interior

    de jzj = 3. Portanto pela formula integral de Cauchy:Zjzj=3

    ez

    (z 1)(z 2)dz = 2i

    ei

    1 2 +e2

    (2 i)

    Soluc~ao:O contorno considerado e o circulo de raio 2 onde apenas a singularidade z = 1

    do integrando se encontra.

    8

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    Logo pela formula integral de Cauchy:Zjzj=2

    z

    (z 1)2(z 4)dz = 2if '(1) = 2i

    1

    1 4=

    2i

    3

    2. Calcule

    Zjz+ij=4

    dz

    z 3

    Soluc~ao:Como z = 3 pertence ao interior de jz + ij = 4 usando a formula integral de

    Cauchy Zc

    dz

    z 3 = 2if(3) = 2i

    onde f(z) = 1 e a func~ao constante.

    3. Calcule

    Zc

    cos(z)

    z dz eZc

    ez

    z(z + 1)onde c e o circulo jz 1j = 3.

    Soluc~ao: Zc

    cos(z)

    z dz = cos() 2i = 2i

    e tambem

    Zc

    ez

    z(z + 1)=

    Zc

    ez1

    z 1

    z + 1

    dz =

    Zc

    ez

    zdz

    Zc

    ez

    z + 1dz = 2i(1 e1)

    4. Calcule

    Zc

    5z2 3z + 2(z 1)3 dz, onde c e uma curva simples qualquer envolvendo

    z = 1.

    Soluc~ao:Pela formula integral de Cauchy (abaixo),

    fn(a) =n!

    2i

    Zc

    f(z)

    (z a)n+1dz

    9

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    com n = 2, f(z) = 5z2 3z + 2 ent~ao f 00(z) = 10 e portantoZc

    5z2 3z + 2(z 1)3 dz = 10i

    10

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    Integrais Improprias e o Teorema do Resduo

    As integrais complexas mais comuns e que podem ser resolvidas pelo Teoremado Resduo tambem podem ser agrupadas em diferentes tipos o que facilita muitoa sua resoluc~ao uma vez que cada tipo possui um contorno especco de integrac~aoou seu integrando possui uma caracterstica particular que facilita o processo deintegrac~ao.

    TIPO UMAs integrais do tipo um s~ao as integrais da forma:Z 1

    1f(x)dx

    Onde:1 { As singularidades da func~ao n~ao est~ao no eixo real.

    2 { Existe um M, R e p > 1 tal que jf(z)j Mjzjp

    1. Calcule

    Z 11

    1

    x4 + 1dx.

    Soluc~ao:Primeiro observamos que a condic~ao (1) e verdadeira pois as singularidades de

    f(z) n~ao est~ao no eixo real.Para mostrar a segunda condic~ao lavaremos em considerac~ao que z = Rei

    onde R = jzj ent~ao

    jf(z)j = 11 +R4e4i

    1jR4e4ij 1 1R4 1 2R4onde M = 2 e p = 4, logo essa e uma integral do tipo I.

    Nesses casos o contorno de integrac~ao escolhido e sempre o semi-circulo noplano superior de raio innto.

    11

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    Como as razes de z4 + 1 = 0 ocorrem apenas para ei=4; e3i=4; e5i=4; e7i=4.Contudo apenas os dois primeiros est~ao dentro da regi~ao limitada pelo contorno,logo apenas eles ser~ao levados em conta pelo Teorema do Resduo.Z 1

    1f(x)dx = 2i[Res(f; ei=4) +Res(f; e3i=4)

    onde

    Res(f; ei=4) =1

    4(ei=4)3; Res(f; e3i=4 =

    1

    4(e3i=4)3

    E nalmente, Z 11

    f(x)dx = 2i

    i2p2

    =

    p2

    Para o calculo do resduo usaremos a formula

    Res(f; z0) = limz!z0(z z0)1

    z4 + 1

    12

  • Integral Complexa Diego A. Oliveira

    TIPO DOISS~ao integrais onde f(x) = P (x)

    D(x)onde gr(D(x)) gr(P (x)) 2 e D(x) n~ao tem

    razes racionais.

    1. Calcule

    Z 10

    x2

    (x2 + 1)(x2 + 4)dx

    Soluc~ao:Como o integrando e uma func~ao par ent~aoZ 1

    0

    x2

    (x2 + 1)(x2 + 4)dx =

    1

    2

    Z 11

    x2

    (x2 + 1)(x2 + 4)dx

    Seja f(