Variáveis Complexas (Integral Complexa)

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Integral Complexa Diego A. Oliveira Exerc´ ıcios Resolvidos: Integral Complexa diegoalvez @pop.com.br Compilado dia 17/11/2013. Este documento se encontra sujeito a constantes revis˜oes. Integral de contorno 1. Calcule c f (z )dz com f (z )= z 2 , sob a curva C = {z = re :0 θ π} Solu¸c˜ ao: Peladefini¸c˜ ao de integral complexa: c f (z )dz = π 0 (re ) 2 · rie = ir 3 π 0 e 3= ir 3 e 33i π 0 = ir 3 e 33i - ir 3 e 3i·0 3i = ir 3 e 33i - ir 3 3i = ir 3 3i (e 3- 1) Como e 3πi = cos(3π)+ isen(3π) e como sen(3π)=0e cos(3π)= -1 ent˜ ao: ir 3 3i (e 3- 1) = ir 3 3i (-1 - 1) = - 2ir 3 3i 2. Calcule c 2x - y + ix 2 dz com 0 t 1 Solu¸c˜ ao: 1

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Lista de exercícios resolvidos com exemplos simples e intermediarios de integração no plano complexo. Para quem cursa a disciplina de variáveis complexas. Para visualizar este e mais exercícios de graça acesse: http://diegoalvez2015.blogspot.com.br/

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

Exercıcios Resolvidos: Integral Complexa

[email protected]

Compilado dia 17/11/2013.

Este documento se encontra sujeito a constantes revisoes.

Integral de contorno

1. Calcule

∫c

f(z)dz com f(z) = z2, sob a curva C = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ π}

Solucao:Pela definicao de integral complexa:

∫c

f(z)dz =

∫ π

0

(reiθ)2 · rieiθdθ = ir3∫ π

0

e3iθdθ =ir3e3iθ

3i

∣∣∣∣∣π

0

=ir3e3iπ

3i− ir3e3i·0

3i

=ir3e3iπ

3i− ir3

3i=

ir3

3i(e3iπ − 1)

Como e3πi = cos(3π) + isen(3π) e como sen(3π) = 0 e cos(3π) = −1 entao:

ir3

3i(e3iπ − 1) =

ir3

3i(−1− 1) = −2ir3

3i

2. Calcule

∫c

2x− y + ix2dz com 0 ≤ t ≤ 1

Solucao:

1

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

Seja z(t) = t+ it entao:∫c

2x− y + ix2dz =

∫ 1

c

(t− it)(1 + i)dt =1 + 5i

6=

1

6+

5

6i

3. Seja C um contorno qualquer ligando z1 e z2, de forma que z(t), 0 ≤ t ≤ b

com z(a) = z1 e z(b) = z2 mostre que

∫c

1dz = z1 − z2

Solucao:∫c

1dz =

∫ b

a

1 · z′(t)dt =∫ b

a

z′(t)dt = z(t)

∣∣∣∣∣b

a

= z(b)− z(a) = z1 − z2 C.Q.D.

4. Calcule

∫c

(2x+ 3yi)dz onde c e a curva y = x2 + 1.

Solucao:A curva de integracao e:

Chamando x = t entao y = t+ 1, z = t+ (t2 + 1)i, dz = 1+ 2it com 1 ≤ t ≤ 2portanto:∫

c

(2x+ 3yi)dz =

∫ 2

0

(2t+ 3i(t2 + 1))(1 + 2it)dt = −32 +74

3i

5. Calcule

∫c

(x2+y2+3+(2xy+2)i)dz onde c e o segmento que liga os pontos

(1; 1) e (0; 1) no plano complexo.

Solucao:

2

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

A curva de integracao e:

Chamando x = t (com 0 ≤ t ≤ 1) entao z = t+ i e dz = 1dt, logo:∫c

(x2 + y2 + 3 + (2xy + 2)i)dz =

∫ 1

0

(t2 + 4(2t+ 2)i)dt =13

3+ 3i

6. Calcule

∫c

dz

z − 1onde c e o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) no

plano complexo.

Solucao:A curva de integracao:

Note que sobre esse segmento a funcao f(z) =1

z − 1e analıtica num espaco

conexo, portanto pode ser integrada sem a necessidade de uma parametrizacao.

∫c

dz

z − 1=

∫ 2i

i

dz

z − 1= ln(z − i)

∣∣∣∣∣2i

i

3

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

= ln(2i− 1)− ln(i− 1) = ln

(2i− 1

i− 1= ln(1.5− 0.5i)

)onde ln(1.5− 0.5i) = ln(2.5) + i(5.96RAD)

7. Calcule

∫c

(z2 − z) onde c e o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) no

plano complexo.

Solucao:Pelas equacoes de Cauchy Rieman f(z) = z2 − z e analıtica em todo o plano.

Prova

∂u

∂x= 2x− 1 ⇒ ∂v

∂y= 2x− 1

∂u

∂y= −2y ⇒ ∂v

∂x= 2y

onde u = x2 − x− y2 e v = 2xy − y

entao assim como no exemplo anterior podemos resolver a integral sem a ne-cessidade de parametrizacao.

∫c

(z2 − z)dz =

∫ 2i

i

= (z3

3− z2

2)

∣∣∣∣∣2i

i

= 0.5− 7

3i

8. Calcule

∫ 2+4i

1+i

z2dz.

a) Ao longo da parabola x = t, y = t2, com 1 ≤ t ≤ 2.

4

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

b) Ao longo da reta ligando 1 + i e 2 + i.c) Ao longo da reta ligando 1 + i a 2 + i e em seguida 2 + 4i

Solucao:Se x = t e y = t2 entao z = t+ it2 assim

∫ 2+4i

1+i

z2dz =

∫ 2

1

(t+ it)2(1 + 2it)dt =(t+ it2)3

3

∣∣∣∣∣2

1

=−86

3− 6i

Solucao:A reta que liga os pontos (1;1) e (2;4) no plano complexo tem equacao igual a

y = 3x− 2 onde para x = t e y = 3t− 2 temos z = t+ (3t− 2)i entao∫ 2+4i

1+i

z2dz =

∫ 2

1

(t+ 3ti− 2i)2(1 + 3i)dt = −86

3− 6i

O fato de (A) e (B) terem o mesmo resultado ocorre pois f(z) = z2 e analıticaem todo o plano e por isso seu resultado depende apenas do ponto inicial e final enao de sua trajetoria.

Solucao:O caminho de integracao e:

Dado pela integral ∫AB∪BC

z2dz =

∫AB

z2dz +

∫BC

z2dz

5

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

Porem como o integrando e uma funcao analıtica podemos considerar apenaso ponto inicial e final.

assim ∫AB∪BC

z2dz =

∫ 2

1

z2dz = −86

3− 6i

9. Mostre que

∫c

dz

(z − a)ndz =

Solucao:Seja “c” um circulo qualquer de raio R centrado em z = a, e c1 uma circun-

ferencia que envolva a singularidades entao f(z) = (z − a)−n e analıtica dentro esobre a fronteira da regiao limitada pelo contorno “c” e “c1” de modo que podemosescrever: ∫

c

dz

(z − a)n=

∫ 2π

0

iReiθ

(Reiθ)ndθ

chamando u = Reiθ entao du = iReiθdθ logo se n = 1∫ 2π

0

iReiθ

(Reiθ)ndθ =

∫ 2π

0

du

un= ln(u)

∣∣∣∣∣2π

0

6

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

= ln(Re2πi)− ln(Rei0) = ln

(Re2πi

Rei0

)= ln(e2πi) = 2πi

Porem se n ≥ 2 entao:

=

∫ 2π

0

du

un=

u−n+1

−n+ 1

∣∣∣∣∣2π

0

=(Reiθ)−n ·Reiθ

1− n

∣∣∣∣∣2π

0

=Reiθ

(Reiθ)n(1− n)

∣∣∣∣∣2π

0

=1

(Reiθ)n−1(1− n)

∣∣∣∣∣2π

0

como e2πi ou e0i sao iguais a zero entao:

=1

(Rn−1)(1− n)− 1

(Rn−1(1− n)= 0

Finalizando a demonstracao.

10. Qual a solucao se da integral do exercıcio 9 para n = 0,−1,−2, ...?

Solucao:Para n = 0,−1,−2, ... o integrando sera 1, (z−a), (z−a2), ... que sao analıticas

em todo plano, logo pelo Teorema de Cauchy a integral e zero.

11. Calcule

∫|z|=1

dz

z − 3.

Solucao:Como z = 3 nao esta no interior do circulo |z| = 1 entao a integral e zero, pois

alem de ser analıtica dentro e sob o contorno de integracao e uma curva fechada.

7

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Formula integral de Cauchy

1. Usando a formula integral de Cauchy resolva:

a)

∫|z|=1

ez

(z − 2)2dz

b)

∫|z|=3

ez

(z − 1)(z − 2)dz

c)

∫|z|=2

z

(z − 1)2(z − 4)dz

Solucao:Como a singularidade ocorre apenas para z = 2 que nao pertence ao circulo

|z| = 1 entao a integral e zero, pois se trata de uma integral de uma funcao analıticasob uma curva fechada.

Solucao:As singularidades do integrando ocorrem para z = i e z = 2 ambos no interior

de |z| = 3. Portanto pela formula integral de Cauchy:∫|z|=3

ez

(z − 1)(z − 2)dz = 2πi

(ei

1− 2+

e2

(2− i)

)Solucao:O contorno considerado e o circulo de raio 2 onde apenas a singularidade z = 1

do integrando se encontra.

8

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

Logo pela formula integral de Cauchy:∫|z|=2

z

(z − 1)2(z − 4)dz = 2πif ’(1) = 2πi

(1

1− 4

)=

2πi

3

2. Calcule

∫|z+i|=4

dz

z − 3

Solucao:Como z = 3 pertence ao interior de |z + i| = 4 usando a formula integral de

Cauchy ∫c

dz

z − 3= 2πif(3) = 2πi

onde f(z) = 1 e a funcao constante.

3. Calcule

∫c

cos(z)

z − πdz e

∫c

ez

z(z + 1)onde c e o circulo |z − 1| = 3.

Solucao: ∫c

cos(z)

z − πdz = cos(π) · 2πi = −2πi

e tambem

∫c

ez

z(z + 1)=

∫c

ez(1

z− 1

z + 1

)dz =

∫c

ez

zdz −

∫c

ez

z + 1dz = 2πi(1− e−1)

4. Calcule

∫c

5z2 − 3z + 2

(z − 1)3dz, onde c e uma curva simples qualquer envolvendo

z = 1.

Solucao:Pela formula integral de Cauchy (abaixo),

fn(a) =n!

2πi

∫c

f(z)

(z − a)n+1dz

9

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

com n = 2, f(z) = 5z2 − 3z + 2 entao f ′′(z) = 10 e portanto∫c

5z2 − 3z + 2

(z − 1)3dz = 10πi

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

Integrais Improprias e o Teorema do Resıduo

As integrais complexas mais comuns e que podem ser resolvidas pelo Teoremado Resıduo tambem podem ser agrupadas em diferentes tipos o que facilita muitoa sua resolucao uma vez que cada tipo possui um contorno especıfico de integracaoou seu integrando possui uma caracterıstica particular que facilita o processo deintegracao.

TIPO UMAs integrais do tipo um sao as integrais da forma:∫ ∞

−∞f(x)dx

Onde:1 – As singularidades da funcao nao estao no eixo real.

2 – Existe um M, R e p > 1 tal que |f(z)| ≤ M

|z|p

1. Calcule

∫ ∞

−∞

1

x4 + 1dx.

Solucao:Primeiro observamos que a condicao (1) e verdadeira pois as singularidades de

f(z) nao estao no eixo real.Para mostrar a segunda condicao lavaremos em consideracao que z = Reiθ

onde R = |z| entao

|f(z)| =

∣∣∣∣∣ 1

1 +R4e4iθ

∣∣∣∣∣≤ 1

|R4e4iθ| − 1≤ 1

R4 − 1≤ 2

R4

onde M = 2 e p = 4, logo essa e uma integral do tipo I.

Nesses casos o contorno de integracao escolhido e sempre o semi-circulo noplano superior de raio infinto.

11

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Integral Complexa Diego A. Oliveira

Como as raızes de z4 + 1 = 0 ocorrem apenas para eπi/4, e3πi/4, e5πi/4, e7πi/4.Contudo apenas os dois primeiros estao dentro da regiao limitada pelo contorno,logo apenas eles serao levados em conta pelo Teorema do Resıduo.∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πi[Res(f, eπi/4) +Res(f, e3πi/4)

onde

Res(f, eπi/4) =1

4(eπi/4)3, Res(f, e3πi/4 =

1

4(e3πi/4)3

E finalmente, ∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πi

(− i

2√2

)=

π√2

Para o calculo do resıduo usaremos a formula

Res(f, z0) = limz→z0(z − z0)1

z4 + 1

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Page 13: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

TIPO DOISSao integrais onde f(x) = P (x)

D(x)onde gr(D(x))− gr(P (x)) ≤ 2 e D(x) nao tem

raızes racionais.

1. Calcule

∫ ∞

0

x2

(x2 + 1)(x2 + 4)dx

Solucao:Como o integrando e uma funcao par entao∫ ∞

0

x2

(x2 + 1)(x2 + 4)dx =

1

2

∫ ∞

−∞

x2

(x2 + 1)(x2 + 4)dx

Seja f(z) =z2

(z2 + 1)(z2 + 4)achamos as singularidades no plano complexo

para z = ±i e z = ±2i estabelecendo o contorno de integral abaixo1 vemosque as unicas singularidades que pertence a regiao do contorno sao z = 1 e z = 2iportanto serao os unicos levados em consideracao pelo Teorema do resıduo.

Assim pelo Teorema do Resıduo

1

2

∫ ∞

−∞

x2

(x2 + 1)(x2 + 4)dx =

1

2

∫ R

−R

x2

(x2 + 1)(x2 + 4)dx+

1

2

∫Cr

z2

(z2 + 1)(z2 + 4)dx

= πi(Res(f, i) +Res(f, 2i)) = πi

(i

6− i

3

)=

π

6

onde

1No caso de uma integral tipo dois sera usado sempre esse contorno.

13

Page 14: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

Res(f, i) = limz→i(z − i)z2

(z2 + 1)(z2 + 4)= i

6

Res(f, 2i) =(z − 2i)z2

(z2 + 1)(z2 + 4)= − i

3.

2. Calcule

∫ ∞

0

dx

x4 + 1.

Solucao:Como essa tambem e uma integral do tipo II o contorno de integracao sera

tambem o semi circulo situado no plano superior.

Onde z1 = eπ4i e z2 = e

3π4i sao as singularidades dentro do contorno, portanto

as unicas que serao levadas em conta pelo Teorema do resıduo.Como o integrando e uma funcao par entao:

∫ ∞

0

dx

x4 + 1=

1

2

∫ ∞

−∞

dx

x4 + 1=

2πi

2+ (Res(f, e

π4i) +Res(f, e

3π4i) =

π√2

4

Onde

Res(f, eπ4i) = lim

z→eπ4 i

(z − eπ4i)

z4 + 1= 1

4e−

3π4

Res(f, e3π4i) = lim

z→e3π4 i

(z − e3π4i)

z4 + 1= 1

4= e−

9π4i

3. Calcule

∫ ∞

−∞

x2

(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)dx

Solucao:

14

Page 15: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

Os resıduos de f(z) existem para z = i e z = i − 1 sendo singularidades deordem 1 e 2 respectivamente.

Aplicando a formula oferecida pelo Teorema do Resıduo∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πi(Res(f, z1) + ...+Res(f, zn))

onde z1, ..., zn sao as singularidades de f(z) e Res(f, zn) e igual

Res(f, zn) =1

(n− 1)!limz→zn

[(d

dz

)n−1

· ((z − zn)f(z))

]sendo n a ordem do resıduo teremos:

Res(f, i) = limz→i =z(z − i)2

(z + i)2(z − i)2(z2 + 2z + 2)=

9i− 12

100

Res(f, i− 1) = limz→(i−1) =z(z − (i− 1))

(z + i)2(z − i)2(z2 + 2z + 2)=

3− 4i

25

assim∫ ∞

−∞

x2

(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)dx = 2πi

(9i− 12

100+

3− 4i

25

)=

50

15

Page 16: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

TIPO TRES

Sao integrais da forma

∫ 2π

0

F (senθ,cosθ)dθ onde F (senθ,cosθ) e uma funcao

racional de senθ ou cosθ.

1. Calcule

∫ 2π

0

5 + 3senθ.

Solucao:Para resolvemos as integrais do tipo III devemos transformar o integrando para

que este fique em funcao de z.

Considerando z = eiθ entao dz = ieiθdθ e como senθ = z−z−1

2ientao:∫ 2π

0

5 + 3senθ=

∫c

dzzi

5 + 3(z−z−1

2i

) =

∫c

2

3z2 + 10iz − 3dz

O fato de usarmos z = eiθ ao inves de z = |R|eiθ ocorre pois nesses casos deintegracao o contorno escolhido e sempre o circulo de raio um.

Onde agora aplicamos o Teorema do Contorno, para a singularidade z = − i3

∫ 2π

0

=

∫c

2

3z2 + 10iz − 3dz = 2πi

(limz→− i

3

(z +

i

3

)(2

3z2 + 10iz − 3

))=

π

2

16

Page 17: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

perceba que o termo entre parenteses e o Res(f,− i3).

2. Mostre que

∫ 2π

0

cos3θ

5− 4cosθdθ =

π

12

Solucao:Realizado a transformacao chegamos a:∫ 2π

0

cos3θ

5− 4cosθdθ = − 1

2i

∫c

z6 + 1

z3(2z − 1)(z − 2)dz

onde aplicando o Teorema do Resıduo , com as singularidades em z = 0 e z = 12

de ordem 3 e 1 respectivamente, dentro do circulo unitario.

− 1

2i

∫c

z6 + 1

z3(2z − 1)(z − 2)dz = 2πi(Res(f, 0) +Res(f,

1

2)) =

π

12

onde

Res(f, 0) = 1

2!limz→0

[(ddz

)2 ((z − 0)3

(z6 + 1

z3(2z − 1)(z − 2)

))]= 21

8

Res(f, 12) = limz→ 1

2

((z − 1

2)

(z6 + 1

z3(2z − 1)(z − 2)

))= −65

24

3. Mostre que

∫ 2π

0

A+Bsenθ=

2π√A2 + (−B)2

, se A > |B|.

Solucao:Tomando como contorno de integracao a circunferencia de raio unitario e real-

izando a transformacao de θ para z temos

∫ 2π

0

A+Bsenθ=

∫c

2

Bz2 + 2Aiz −Bdz = 2πi

(Res

(f,

−A+√A2 −B2

Bi

))

=2π√

A2 −B2

17

Page 18: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

cujos polos podem ser encontrados fazendo Bz2 + 2Aiz − B = 0 pelo metodode Viete para equacoes quadraticas fornecendo dois valores (z0 e z1), para assingularidades do integrando.

onde

Res

(f,

−A+√A2 −B2

Bi

)= limz→z0(z − z0)

(2

bz2 + 2Aiz −B

)=

1√A2 −B2i

Perceba que z0 =−A+

√A2 −B2

Bi pertence a circunferencia unitaria pelo

seguinte raciocınio

∣∣∣∣∣−A+√A2 −B2

Bi

∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣√A2 −B2 − A

Bi ·

√A2 −B2 + A√A2 −B2 + A

∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣ −B√

A2 −B2 + Ai

∣∣∣∣∣< 1

se A > |B|.

De modo analogo pode se verificar que Z1 (a segunda raiz), nao pertence aregiao da circunferencia unitaria.

18

Page 19: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

TIPO QUATROSao conhecidas como integrais de Fourier e sao da forma:∫ ∞

−∞f(x)cos(x)dx ou

∫ ∞

∞f(x)sen(x)dx

Toda integral de Fourier pode ser escrita na forma geral como∫ ∞

−∞f(x)e±ikx

com k > 0. Tambem nesse tipo de integral as partes imaginarias e reais do inte-grando determinam toda a integral, e isso sera usado para resolucao dos proximosexercıcios.

1. Calcule

∫ ∞

0

cos(nx)

x2 + 1dx com n > 0.

Solucao:

Como cosθ = eiθ+e−iθ

2entao a parte real de cosθ = eiθ

2assim:∫ ∞

0

cos(nx)

x2 + 1dx =

1

2

∫ ∞

−∞

cos(nx)

x2 + 1dx =

1

4

∫ ∞

−∞

eizm

z2 + 1dz

Que como ja vimos e a forma de geral de uma integral de Fourier.Aplicando a formula do resıduo sobre o semi circulo no plano superior, (usamos

sempre essa regiao de integracao para as integrais do tipo IV), a seguir

19

Page 20: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

entao

1

4

∫ ∞

−∞

eizm

z2 + 1=

2πi

4(Res(f, i)) =

π

4e−m

onde

Res(f, i) = limz→i

((z − i)

eizm

(z − i)(z + i)

)= e−m

2i

20

Page 21: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

TIPO CINCOAs integrais do tipo cinco sao da forma∫ ∞

0

cos(tx2)dx e

∫ ∞

0

sen(tx2)dx

com t ∈ Z. Sao tambem conhecidas como integral de fresnel.Assim com as integrais do tipo IV as integrais de fresnel podem ser resolvidas

apenas levando em conta a parte imaginaria ou real do integrando. Isso implicaque tanto a funcao cos(tx2)dx como sen(tx2)dx podem ser substituıdas pela funcaoeitx

2que e a parte imaginaria e real respectivamente das funcoes citadas.

1. Mostre que as integrais

∫ ∞

0

cos(x2)dx e S =

∫ ∞

0

sen(x2)dx convergem para

12

√π2.

Solucao:

Seja C =

∫ ∞

0

cos(x2)dx e S =

∫ ∞

0

sen(x2)dx como suas partes imaginarias ou

suas parte reais do integrando definem toda a integral entao podemos substituirambos os integrandos por eix

2que e a parte real e imaginaria de cos(x2) e sen(x2)

respectivamente logo

I =

∫ ∞

0

eix2

dx ≡ Re

∫ ∞

0

cos(x2)dx ≡ Im

∫ ∞

0

sen(x2)dx

Para o calculo da integral I vamos considerar o seguinte contorno de integracao

21

Page 22: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

Como a funcao f(z) = eiz2e analıtica dentro e fora da regiao de contorno de

acordo com o Teorema de Cauchy podemos escrever∫c

eizdz =

(∫Cx

+

∫Cr

+

∫Cl

)eiz

2

dz = 0 (1)

Calculando a integral ao longo do caminho Cr chegamos a conclusao que seuresultado e zero. ∣∣∣∣∣

∫Cr

eiz2

dz

∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∫ π

4

0

eiR2(cos2θ+isen2θ)iReiθdθ

∣∣∣∣∣onde nessa passagem usamos z2 = R2(cos2θ + isen2θ).

∣∣∣∣∣∫ π

4

0

eiR2(cos2θ+isen2θ)iReiθdθ

∣∣∣∣∣≤∫ π

4

0

Re−R2sen2θdθ ≤∫ π

4

0

Re−R2 4θπ dθ =

π

4R

(1− e−R2

)

ou seja quando R → ∞ entao

∫Cr

ez2

dz → 0

Para Calcular as integrais ao longo do caminho Cx e Cl devemos levar emconte que o segmento Cx = [0;R] existe apenas sobre o eixo real portanto temparte imaginaria nula (z = x).∫

Cx

eiz2

dz =

∫ R

0

eix2

dx (2)

Ja o segmento Cl tem componentes tanto no eixo real como no imaginario epode ser escrito como z = re

π4i entao:∫

Cl

eitz2

dz =

∫ 0

R

ei(r2eiπ/2) · e

π4idr = e

π4i

∫ 0

R

ei(r2eiπ/2)dr (3)

como eπ2i = i entao:

eπ4i

∫ 0

R

e−r2dr = −1

2

√π

2− i

√π

2(4)

22

Page 23: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

Como a integral ao longo de Cr tende a zero quando R tende ao infinito darelacao (1) e (4) implica que:∫ R

0

eix2

dx = −eπ4i

∫ 0

R

e−r2dr = eπ4i

√π

2=

1

2

√π

2+ i

√π

2(5)

∫ R

0

eix2

dx =1

2

√π

2+ i

√π

2

Como no nosso contorno de integracao (figura) R → ∞ e lembrando que aintegral ao longo de Cx tem parte imaginaria nula entao conclui-se que na verdade:∫ R

0

eix2

dx =1

2

√π

2

23

Page 24: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

TIPO SEISNesse grupo estao as integrais que possuem pelo menos uma singularidade no

eixo real.

1. Calcule

∫ ∞

0

sen(x)

xdx.

Solucao:Assim como nos outros casos onde o integrando e funcao trigonometrica o valor

dessa integral pode ser obtido apenas considerando sua parte imaginaria ou realassim: ∫ ∞

0

sen(x)

xdx =

∫ ∞

0

eix

xidx

Note que sen(x) = Im = (eix).Como o integrando e uma funcao par entao:∫ ∞

0

eix

xidx =

1

2

∫ infty

−∞

eix

xidx

passando a funcao para o plano complexo e integrando ao longo do contorno(abaixo).

Entao

1

2

∫ ∞

−∞

eix

xidx =

1

2

∫ ∞

−∞

eiz

zidz =

1

2

(∫CR

+

∫[−R;−r]

+

∫Cr

+

∫[r;R]

)=

πi

2iRes((f, z0))

24

Page 25: Variáveis Complexas (Integral Complexa)

Integral Complexa Diego A. Oliveira

Onde z0 e a singularidade da funcao f(z) = eiz

z.

Como Res(f, z0) = limz→z0 = 1 entao∫ ∞

−∞

eiz

zdz =

π

2

25