VALIDAÇÃO DE MÉTODOS DE OBTENÇÃO DE FATORES DE …

VALIDAÇÃO DE MÉTODOS DE OBTENÇÃO DE FATORES DE CORREÇÃO

PARA LÍQUIDOS VISCOSOS EM BOMBAS CENTRÍFUGAS

Rodrigo Alfredo Oliveira Jaime

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Reinaldo de Falco

Rio de Janeiro

Dezembro 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ




PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRA MECÂNICA.

Examinada por:

______________________________________

Prof. Reinaldo de Falco, Eng.

______________________________________

Prof. Fábio Luiz Zamberlan, D.Sc.

______________________________________

Prof. Ricardo Eduardo Musafir, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

DEZEMBRO DE 2018

Jaime, Rodrigo Alfredo Oliveira

Validação de métodos de obtenção de fatores de correção para

líquidos viscosos em bombas centrífugas / Rodrigo Alfredo Oliveira

Jaime – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2018.

X, 73 p.: il.; 29,7 cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Mecânica, 2018.

Referências Bibliográficas: p. 72 – 73.

1. Introdução 2. Revisão bibliográfica 3. Desenvolvimento dos

métodos 4. Validação e comparação de resultados 5. Considerações

finais I. de Falco, Reinaldo. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III.

Validação de métodos de obtenção de fatores de correção para

líquidos viscosos em bombas centrífugas

Agradecimentos

Agradeço a meus pais, Marcia e Alfredo, e também à minha avó Célia, a quem

também dedico este trabalho, pelos ensinamentos e pelo apoio incondicional em

todos os momentos da minha vida.

Agradeço ao Prof Reinaldo de Falco pela disponibilidade, excelente orientação e

suporte imprescindíveis para a conclusão deste trabalho.

Agradeço a minha irmã Andréa, meu cunhado Chen e meu amigo Saulo pelo

apoio prestado durante a elaboração deste trabalho.

Agradeço a Gunnar Hole pelo material, apoio e sugestões.

Agradeço aos professores Fábio Zamberlan e Ricardo Musafir, por terem aceito

o convite para compor a banca.

Agradeço a familiares e amigos que sempre estiveram presentes nos momentos

bons e ruins.

i

ii

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheira Mecânica.




Dezembro/2018


Curso: Engenharia Mecânica

O objetivo deste trabalho é revisar o método proposto pelo Hydraulic Institute utilizando a

carta de correção, propor um método automatizado de determinação dos fatores utilizando

essa carta e comparar resultados obtidos de dois métodos alternativos. As curvas

características de bombas centrífugas são levantadas, usualmente, a partir de testes com

água. Para muitas aplicações, essas curvas podem ser utilizadas sem grandes problemas para

outros fluidos de diferentes viscosidades e densidades. Para altos valores de viscosidade do

fluido, no entanto, as curvas características não refletem o real comportamento de operação

da bomba. Para ajustar essas curvas, fatores de correção são aplicados para corrigir os

valores originais. O método tradicional é utilizar a carta de correção disponibilizada pelo

Hydraulic Institute para determinar os referidos fatores de correção. Outros dois métodos

alternativos foram considerados para comparação, tomando como referência os resultados

obtidos da carta de correção. Foi desenvolvido um método automatizado que reproduz o

algoritmo manual da carta de correção. Esse método foi desenvolvido para se obter um

volume grande de resultados a partir da carta de correção, que serviram como parâmetro

para a comparação com os resultados obtidos dos métodos alternativos apresentados.

Palavras-chave: bombas centrífugas, fatores de correção, fluidos viscosos, Hydraulic Institute,

carta de correção

iii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Engineer.

VALIDATION METHOD FOR OBTAINING VISCOUS LIQUIDS CORRECTION FACTORS IN CENTRIFUGAL PUMPS


December/2018

Advisor: Reinaldo de Falco

Department: Mechanical Engineering

The aim of this paper is to provide a review for Hydraulic Institute proposed correction chart

utilization, offering an automated method for determining those factors based on the chart

and compare the results of two alternative methods. The typical centrifugal pumps curves

have been usually raised based on tests with water. For most applications, those curves may

be used without any major problems for other fluids of different viscosities and densities. For

higher fluid viscosity, the curve characteristics don't accurately reflect the real effects during

pump operation, though in order to adjust those curves, correction factors are applied for

obtaining the original values. The traditional method consists in the use of the Hydraulic

Institute performance correction chart for that determination. Two other alternative methods

have been considered for comparison by taking as a reference the results obtained from the

correction chart. An automatic calculation method has been developed to be able to

reproduce the manual algorithm from the correction chart. That method has been developed

in order to obtain a substantial body of results based on the correction chart, which is held as

parameter for comparison with the results obtained from the alternative methods presented.

Keywords: centrifugal pumps, correction factors, viscous fluids, Hydraulic Institute, correction

chart

Lista de Figuras

Figura 1.1: Bancada de testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Figura 1.2: Curva característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Figura 1.3: Curvas corrigidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Figura 2.1: Carta de correção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Figura 2.2: Seleção de imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Figura 2.3: Definição da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Figura 2.4: Definição de valores na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Figura 2.5: Definição de limite do eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 2.6: Definição de limite do eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 2.7: Marcação de pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Figura 2.8: Exportação de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Figura 2.9: Gráfico com dados de validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 2.10: Aplicação no software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 3.1: Eixos auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 3.2: Correspondência entre Q e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 3.3: Marcação de pontos nas retas ascendentes . . . . . . . . . . . . . 20

iv

Figura 3.4: Marcação de pontos nas retas descendentes . . . . . . . . . . . . . 20

Figura 3.5: Marcação de pontos nas curvas superiores . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 3.6: Algoritmo de automatização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 4.1: Curva de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 4.2: Curva de correção - CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 4.3: Curva de correção - CH06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50




Figura 4.7: Erros percentuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 4.8: Curvas de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


Figura 4.10: Curvas de correção - CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 4.11: Curvas de correção - CH06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56









v














Figura 4.33: Curvas de CH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

vi

Lista de Tabelas

Tabela 2.1: Dados de validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Tabela 2.2: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Tabela 2.3: Validação dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Tabela 3.1: Relação entre x e Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Tabela 3.2: Coeficientes de interpolação linear entre x e Q . . . . . . . . . . . 23

Tabela 3.3: Coeficientes de retas ascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Tabela 3.4: Coeficientes de retas descendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Tabela 3.5: Coeficientes de interpolação linear entre B e H . . . . . . . . . . . 27

Tabela 3.6: Coeficientes de interpolação linear entre D e V . . . . . . . . . . . 28

Tabela 3.7: Coeficientes de interpolação linear de CE . . . . . . . . . . . . . . 31

Tabela 3.8: Coeficientes de interpolação linear de CQ . . . . . . . . . . . . . . 32

Tabela 3.9: Coeficientes de interpolação linear de CH12 . . . . . . . . . . . . 33




Tabela 3.13: Coeficientes dos polinômios de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

vii

Tabela 4.1: Leitura direta da carta de correção . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Tabela 4.2: Fatores calculados pelo método por pontos . . . . . . . . . . . . . 44

Tabela 4.3: Diferenças de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Tabela 4.4: Erros percentuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Tabela 4.5: Valores de dados de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Tabela 4.6: Recorte da tabela de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

viii

Sumário

Agradecimentos i

Resumo ii

Abstract iii

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas vii

1 Introdução 1

2 Revisão bibliográfica 5

2.1 Carta de correção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Software Pega Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Método do polinômio de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Método HI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Desenvolvimento dos métodos 18

3.1 Método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

ix

3.1.1 Descrição do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2 Determinação das equações das curvas . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2.1 Curvas inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2.2 Curvas superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.3 Algoritmo de automatização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Método do polinômio de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Método HI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Validação e comparação de resultados 43

4.1 Validação do método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Comparação com métodos alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Comparação com método do polinômio de Hole . . . . . . . . 48

4.2.2 Comparação com método HI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Considerações finais 69

5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Referências 72

A Scripts em VBA 74

A.1 Método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.2 Método do polinômio de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.3 Método TR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

x

Capítulo 1

Introdução

Bombas centrífugas possuem curvas características fornecidas pelos seus fabrican-

tes. As curvas características das bombas são obtidas através de testes em bancada

de ensaio que, usualmente, dispõe dos elementos indicados na Figura 1.1 [3].

1. Equipamento para variação de rotação da bomba

2. Válvula para ajustar vazão de fluido bombeado

3. Medidores de vazão, potência e rotação

Figura 1.1: Bancada de testes

2

O objetivo desse ensaio é levantar as curvas características da bomba, que re-

lacionam potência, eficiência e altura manométrica (head) com a vazão, para cada

rotação.

Dessa forma, as curvas obtidas tem o aspecto indicado na Figura 1.2 [8].

Figura 1.2: Curva característica

Todos os testes realizados para levantar essas curvas são feitos, usualmente, com

água e, em grande parte dos casos, podem ser aplicadas sem grandes alterações,

para outros fluidos. No entanto, à medida que a viscosidade do fluido utilizado

na operação da bomba aumenta, a aplicação dessas curvas começa a ficar menos

representativa.

Assim, faz-se necessário corrigir essas curvas quando se utilizam fluidos com alta

viscosidade. O procedimento padrão para levantar as curvas corrigidas é tomar

quatro pontos da curva característica da bomba e calcular os valores corrigidos para

o fluido viscoso.

3

Os quatro pontos tomados correspondem aos valores de 60%, 80%, 100% e 120%

da vazão corresponde ao BEP (best efficient point), que é o ponto de máxima efici-

ência, conforme ilustrado na Figura 1.3 [1].

Figura 1.3: Curvas corrigidas

Para calcular os valores corrigidos para o líquido viscoso, são utilizados fatores

de correção, definidos da seguinte forma:

CE =ηviscηBEP

CQ =Qvisc

QBEP

CH =Hvisc

HBEP

As grandezas ηBEP , QBEP e HBEP são os valores de eficiência, vazão e head no

BEP e ηvisc, Qvisc e Hvisc são valores corrigidos para o fluido viscoso.

4

Assim, os valores corrigidos podem ser obtidos simplesmente multiplicando os

fatores de correção pelos valores originais da curva característica:

ηvisc = CE × ηBEP

Qvisc = CQ×QBEP

Hvisc = CH ×HBEP

Esses fatores são multiplicados nos quatro pontos indicados anteriormente, cor-

respondentes a 60%, 80%, 100% e 120% da vazão do BEP.

Os fatores de correção da eficiência e vazão são os mesmos em todos os quatro

pontos, porém os do head mudam para cada ponto, ou seja:

Hvisc,0.6 = CH06× (0, 6×Hop)

Hvisc,0.8 = CH08× (0, 8×Hop)

Hvisc,1.0 = CH10× (1, 0×Hop)

Hvisc,1.2 = CH12× (1, 2×Hop)

Assim sendo, o próximo passo é determinar esses coeficientes. O objetivo deste

trabalho é apresentar, propor, revisar e validar métodos para determinação dos

fatores de correção para líquidos viscosos.

Os métodos serão apresentados a seguir nos próximos capítulos.

Capítulo 2

Revisão bibliográfica

2.1 Carta de correção

O método clássico para obtenção dos fatores de correção para líquidos viscosos

é a utilização da carta de correção disponibilizada pelo Hydraulic Institute. Essa

carta foi obtida pelo Hydraulic Institute a partir de testes com grande número de

bombas diferentes.

A carta de correção utilizada está ilustrada na Figura 2.1 [2].

2.1. CARTA DE CORREÇÃO 6

Figura 2.1: Carta de correção

2.1. CARTA DE CORREÇÃO 7

Adotemos as seguintes nomenclaturas: as seis curvas mostradas na parte superior

da carta são chamadas de curvas superiores ou curvas de correção. As demais são

chamadas curvas auxiliares ou curvas inferiores. Cada uma das curvas superiores

está associada a um fator de correção de vazão, head e rendimento.

As curvas inferiores podem ser separadas em dois grupos: retas ascendentes e

retas descendentes, conforme suas declividades.

Este método requer três dados de entrada: vazão (Q), head (H) e viscosidade

(V).

As retas ascendentes estão associadas a valores de head (ft), indicados na carta.

As retas descendentes, por sua vez, estão relacionadas a valores de viscosidade (cst),

também indicados na carta. Por fim, o eixo horizontal representa a vazão (gpm).

Todas as unidades estão no sistema USCS (United States customary system) e

possuem a seguinte correspondência com o sistema métrico:

1gpm = 0, 227m3/h

1ft = 0, 305m

1cst = 10−6m2/s

Para determinar os fatores de correção para esses dados de entrada, é feito o

seguinte procedimento:

1. Entrar com o valor da vazão (Q) no eixo horizontal

2. Subir verticalmente até a curva do head desejado (H)

3. Deslocar horizontalmente até a curva da viscosidade desejada (V)

4. Subir verticalmente e interceptar as curvas de correção

Esse processo está ilustrado na carta de correção com a linha tracejada, para os

seguintes valores:

2.2. MÉTODO POR PONTOS 8

Q=750 gpm

H=100 ft

V=220 cst

Pelo fato de esse método ser manual, existem incertezas associadas a interpo-

lações visuais de valores nas curvas e ao grau de paralelismo das retas auxiliares

traçadas.

A fim de automatizar esse método, foi desenvolvido o método por pontos, que

será abordado a seguir.

2.2 Método por pontos

O método por pontos é a automatização do método utilizado pela carta de cor-

reção. Para isso, foram determinadas as equações de todas as curvas presentes na

carta e todos os passos que envolvem desenvolvimento geométrico (traçar retas ver-

ticais e horizontais) são substituídos por um desenvolvimento algébrico, utilizando

essas equações.

Para determinar as equações das curvas, foram marcados diversos pontos sobre

elas e foram feitas interpolações lineares. A marcação dos pontos foi feita utilizando-

se o software Pega Ponto.

2.2.1 Software Pega Ponto

O software Pega Ponto, desenvolvido por Jackson Araujo de Oliveira et al no

Programa de Engenharia Química COPPE/UFRJ [7], tem como objetivo determinar

as coordenadas de pontos demarcados sobre uma imagem digitalizada.

Isso se torna especialmente útil quando se dispõe apenas da imagem de um

gráfico. Através do software, é possível definir uma origem dos eixos coordenados

e delimitar os eixos horizontal e vertical. A partir de então, marcam-se os pontos

sobre a curva desejada. Como os eixos estão definidos, o software identifica as


coordenadas dos pontos demarcados. Os resultados são exportados em formato

.txt. Neste trabalho, foi utilizada a versão 1.0, de outubro de 2005.

A fim de ilustrar o funcionamento dessa ferramenta, mostremos um exemplo,

tirado do guia de usuário oficial do Pega Ponto [6].

Ao abrir a tela inicial do software, cola-se a imagem desejada.

Figura 2.2: Seleção de imagem

Os próximos passos são definir a posição da origem dos eixos e os limites de cada

um. Ao clicar no botão “origin” no menu, habilita-se a função de localizar a origem,

bastando clicar na posição desejada:


Figura 2.3: Definição da origem

Uma vez localizada a origem, abre-se uma janela automaticamente para inserir

os valores iniciais dos eixos na origem:

Figura 2.4: Definição de valores na origem

De modo análogo, e seguindo os botões na barra de menu, clica-se em “x axis”

para definir o limite superior do eixo x:


Figura 2.5: Definição de limite do eixo x

Nesse momento, também é possível definir se o eixo é linear ou logarítmico. Para

o eixo y, o processo é o mesmo:

Figura 2.6: Definição de limite do eixo y

Uma vez definidos os eixos, todos os pontos estão mapeados, bastando marcar

aqueles sobre a curva de interesse.


Figura 2.7: Marcação de pontos

É possível adicionar mais de uma curva caso seja necessário, bastando clicar no

botão “add curve” para marcar os novos pontos.

Finalizada a etapa de marcação dos pontos, pode-se exportar os dados em “export

data”. Os pontos são exportados em formato .txt, conforme o exemplo:

Figura 2.8: Exportação de dados

Dessa forma, o software mostra-se bastante útil para determinar pontos sobre

curvas de gráficos disponíveis em imagens digitalizadas, como é o caso das curvas

na carta de correção.

A fim de validar a resolução e acurácia dos resultados, foi feito um teste com


valores conhecidos. Montou-se uma tabela com um conjunto de pontos e plotou-se

um gráfico.

Tabela 2.1: Dados de validação

x y

1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

6 11

7 17

8 19

9 23

10 25


Figura 2.9: Gráfico com dados de validação

Copiando essa imagem e seguindo os passos demonstrados anteriormente para

exportar os dados do Pega Ponto, foram feitas as seguintes marcações:

Figura 2.10: Aplicação no software


Exportando os dados, foram obtidos os seguintes valores indicados na Tabela

2.2.

Tabela 2.2: Resultados

x y

1,01 0,99

2,01 2,97

3,00 4,95

3,99 7,01

5,01 8,98

6,00 10,96

7,02 16,98

8,01 18,96

9,02 23,00

10,01 24,98

Ao colocarmos os valores reais e os obtidos lado a lado, é possível determinar o

erro percentual e absoluto de cada um, conforme a Tabela 2.3.

Tabela 2.3: Validação dos resultados

x y xobtido yobtido xerro,abs yerro,abs xerro,rel yerro,rel

1 1 1,01 0,99 0,01 -0,01 0,6% -1,0%

2 3 2,01 2,97 0,01 -0,03 0,6% -1,0%

3 5 3,00 4,95 0,00 -0,05 0,0% -1,0%

4 7 3,99 7,01 -0,01 0,01 -0,3% 0,1%

5 9 5,01 8,98 0,01 -0,02 0,2% -0,2%

6 11 6,00 10,96 0,00 -0,04 0,0% -0,3%

7 17 7,02 16,98 0,02 -0,02 0,3% -0,1%

8 19 8,01 18,96 0,01 -0,04 0,2% -0,2%

9 23 9,02 23,00 0,02 0,00 0,2% 0,0%

10 25 10,01 24,98 0,01 -0,02 0,1% -0,1%

2.3. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 16

Os erros absolutos e relativos foram calculados da seguinte maneira:

EAx = xcalculado − xreal

ERx =xcalculado − xreal

xreal

EAy = ycalculado − yreal

ERy =ycalculado − yreal

yreal

Nota-se que o erro absoluto médio de x e y são, respectivamente, 0,01 e -0,02,

correspondendo a erros percentuais máximos de até 1%.

Portanto, os resultados obtidos do software são confiáveis e podem ser utilizados

para os fins dedicados neste trabalho.

O método por pontos será validado comparando resultados obtidos manualmente

e servirá como parâmetro para a comparação dos outros dois métodos alternativos

que serão apresentados a seguir.

2.3 Método do polinômio de Hole

Este método está descrito no artigo Fluid Viscosity Effects on Centrifugal Pumps

[4] e consiste em determinar um parâmetro auxiliar, chamado de pseudocapacity, que

é utilizado como argumento em polinômios de grau 5 para o cálculo dos fatores de

correção. Os dados de entrada, assim como no método da carta de correção, são

a vazão Q, head H e viscosidade V. Esse método será referido como método do

polinômio de Hole.

2.4 Método HI

Este método foi proposto pelo Hydraulic Institute no technical report ISO/TR

17766 [5], intitulado Centrifugal pumps handling viscous liquids – performance cor-

rections.

2.4. MÉTODO HI 17

Este método propõe calcular um parâmetro auxiliar B e seguir uma série de

cálculos para cada fator de correção. Os dados de entrada para este método são a

vazão Q, head H, viscosidade V e também a rotação N. Este método será referido

como método HI (Hydraulic Institute).

Todos os métodos podem ser automatizados através de scripts e pode-se de-

senvolver uma ferramenta que calcule os fatores de correção dados os valores de

entrada.

A única ferramenta online [9] aberta ao púlbico encontrada que se propõe a esse

fim não está em funcionamento e não expõe o método utilizado para a obtenção dos

resultados.

Serão apresentados, a seguir, os desenvolvimentos de cada um dos métodos des-

critos.

Capítulo 3

Desenvolvimento dos métodos

3.1 Método por pontos

3.1.1 Descrição do método

O método por pontos é desenvolvido em duas etapas: determinar as equações

das curvas presentes na carta e, a partir dessas equações, criar um algoritmo que

reproduz os processos manuais.

Abordemos essas duas etapas nos próximos tópicos.

3.1.2 Determinação das equações das curvas

3.1.2.1 Curvas inferiores

A primeira etapa consiste em determinar as equações das curvas presentes na

carta. Iniciemos pelas curvas inferiores.

Note-se que os eixos horizontal e vertical da carta nessa região não são lineares.

Consideremos, portanto, eixos auxiliares x e y, conforme indicados na Figura 3.1.


Figura 3.1: Eixos auxiliares

Observe que, definindo o eixo x dessa forma, é possível estabelecer uma corres-

pondência com a vazão:

Figura 3.2: Correspondência entre Q e x

Com esses eixos definidos, foi utilizado o software Pega Ponto para marcar e

coletar os pontos sobre as curvas conforme as imagens seguintes.


Figura 3.3: Marcação de pontos nas retas ascendentes

Figura 3.4: Marcação de pontos nas retas descendentes

Uma vez marcados e coletados todos os pontos, foram feitas interpolações lineares

para todas as curvas. Como usaremos o eixo linear auxiliar x para definirmos as


equações das curvas, faz-se necessário estabelecer uma relação entre x e Q.

Como sabemos, a priori que os extremos correspondem, respectivamente a x=0

quando Q=100 e x=100 quando Q=10000, podemos definir esses pontos dessa forma

e estabelecer a seguinte correspondência entre x e Q:

Tabela 3.1: Relação entre x e Q

Q x

100 0,00

150 9,04

200 15,45

300 24,06

400 30,25

500 35,11

600 38,87

700 42,30

800 45,37

900 47,79

1000 50,21

1500 59,06

2000 65,30

3000 74,21

4000 80,48

5000 85,18

6000 89,25

7000 92,67

8000 95,49

9000 98,13

10000 100,00


Dessa forma, temos uma relação para esses 21 pontos de Q. Para os valores

intermediários, são feitas interpolações lineares, da seguinte forma:

x = α1 ×Q+ β1

Em que α1 e β1 variam para cada intervalo e são definidos da seguinte forma:

supondo dois pontos consecutivos (xi, Qi) e (xi+1, Qi+1), usando uma interpolação

linear simples, é possível determinar os coeficientes:

α1 =xi+1 − xi

Qi+1 −Qi

β1 = xi − α1 ×Qi

Efetuando esses cálculos, encontram-se os valores indicados na Tabela 3.2.


Tabela 3.2: Coeficientes de interpolação linear entre x e Q

Q x α1 β1

100 0,00 0,181 -18,07

150 9,04 0,128 -10,19

200 15,45 0,086 -1,79

300 24,06 0,062 5,50

400 30,25 0,049 10,8

500 35,11 0,038 16,32

600 38,87 0,034 18,28

700 42,30 0,031 20,83

800 45,37 0,024 26,03

900 47,79 0,024 26,03

1000 50,21 0,018 32,50

1500 59,06 0,012 40,34

2000 65,30 0,009 47,49

3000 74,21 0,006 55,37

4000 80,48 0,005 61,71

5000 85,18 0,004 64,82

6000 89,25 0,003 68,75

7000 92,67 0,003 72,89

8000 95,49 0,003 74,42

9000 98,13 0,002 81,28

10000 100,00

Assim, qualquer valor de x pode ser determinado dado o valor de Q. Estabelecida

a relação entre x e Q, analisemos as equações obtidas das curvas da carta.

No caso das retas ascendentes e descendentes, foi utilizado o método dos mínimos

quadrados para determinar as suas equações.


As retas ascendentes são definidas da seguinte forma:

y = Ax+B

As retas descendentes, por sua vez, da forma:

y = Cx+D

Os coeficientes angulares A e C são constantes, uma vez que tanto as retas

ascendentes como descendentes são paralelas entre si. O coeficiente linear B é função

do head H. Analogamente, o coeficiente linear D é função da viscosidade V.

Aplicando o método dos mínimos quadrados nos pontos obtidos das curvas as-

cendentes, encontram-se os seguintes coeficientes:

Tabela 3.3: Coeficientes de retas ascendentes

A B H

0,557 8,54 15

0,555 10,45 20

0,560 12,53 30

0,558 14,47 40

0,557 17,05 60

0,556 18,84 80

0,557 20,21 100

0,557 22,64 150

0,558 24,41 200

0,557 27,02 300

0,558 28,67 400

0,559 31,08 600

Fazendo o mesmo para as retas descendentes, encontram-se os resultados indi-

cados na Tabela 3.4.


Tabela 3.4: Coeficientes de retas descendentes

C D V

-2,28 78,33 4

-2,29 100,14 10

-2,28 109,72 15

-2,31 117,21 20

-2,30 128,39 32

-2,30 135,76 43

-2,30 146,19 65

-2,30 153,48 88

-2,29 162,93 132

-2,28 169,74 176

-2,29 175,49 220

-2,28 184,83 330

-2,28 192,19 440

-2,28 202,46 660

-2,28 209,58 880

-2,28 219,30 1320

-2,28 226,87 1760

-2,27 231,54 2200

-2,27 241,20 3300

Note que tanto as retas ascendentes como descendentes são visivelmente parale-

las. Portanto, os valores dos coeficientes A e C podem ser considerados constantes.

Tomando a média e desvio padrão dos resultados obtidos, encontram-se os se-

guintes valores:

A = 0, 557± 0, 001


C = −2, 29± 0, 01

Dessa forma, pode-se definir A e C como a média dos valores, obtidos, isto é:

A = 0, 557

C = −2, 29

Os outros coeficientes, B e D vão depender, respectivamente, dos valores do head

e viscosidade. No entanto, esses valores só estão disponíveis para alguns valores de

H e V.

Novamente, usaremos interpolações lineares das seguintes formas:

B = α2 ×H + β2

D = α3 × V + β3

Calculando esses coeficientes de modo análogo ao que foi feito para a relação

entre x e Q, encontram-se os resultados indicados na Tabela 3.5.


Tabela 3.5: Coeficientes de interpolação linear entre B e H

H B α2 β2

15 8,54 0,381 2,82

20 10,45 0,208 6,28

30 12,53 0,194 6,71

40 14,47 0,129 9,32

60 17,05 0,090 11,67

80 18,84 0,068 13,36

100 20,21 0,049 15,34

150 22,64 0,035 17,35

200 24,41 0,026 19,18

300 27,02 0,016 22,08

400 28,67 0,012 23,85

600 31,08


Tabela 3.6: Coeficientes de interpolação linear entre D e V

V D α3 β3

4 78,33 3,634 63,79

10 100,14 1,916 80,97

15 109,72 1,499 87,24

20 117,21 0,932 98,58

32 128,39 0,670 106,96

43 135,76 0,474 115,37

65 146,19 0,317 125,56

88 153,48 0,215 134,60

132 162,93 0,155 142,48

176 169,74 0,131 146,73

220 175,49 0,085 156,82

330 184,83 0,067 162,78

440 192,19 0,047 171,63

660 202,46 0,032 181,10

880 209,58 0,022 190,14

1320 219,3 0,017 196,61

1760 226,87 0,011 208,17

2200 231,54 0,009 212,21

3300 241,20

Assim, para quaisquer valores de H e V, é possível determinar B e D e determinar

os coeficientes das retas:

y = Ax+B

y = Cx+D


3.1.2.2 Curvas superiores

Analisemos, agora, como foram obtidas as equações das curvas de correção. Essas

curvas não são lineares, como as curvas inferiores. Portanto, em vez de fazer um

ajuste pelo método dos mínimos quadrados, foram definidas aproximações lineares

a cada dois pontos marcados nos gráficos. Isto é, foram definidos os coeficientes

das retas que unem dois pontos consecutivos, de modo análogo ao que foi feito

anteriormente.

Para isso, foram marcados pontos suficientes para que essas aproximações sejam

próximas das curvas, conforme a Figura 3.5.

Figura 3.5: Marcação de pontos nas curvas superiores

As equações das curvas foram definidas da seguinte forma:

CE = αCEx+ βCE

CQ = αCQx+ βCQ

CH06 = αCH06x+ βCH06





Os coeficientes de cada fator foram determinados e estão indicados nas tabelas

a seguir.


Tabela 3.7: Coeficientes de interpolação linear de CE

x CE αCE βCE

9,20 100,00 -0,29 102,63

11,70 99,29 -0,20 101,66

14,04 98,81 -0,30 103,09

17,63 97,63 -0,43 105,29

21,84 95,73 -0,41 104,59

26,21 93,59 -0,70 112,01

30,27 90,98 -0,82 115,77

34,01 88,13 -0,76 114,02

37,44 85,28 -0,83 116,33

40,87 82,43 -0,76 113,52

45,09 78,87 -1,06 126,88

48,21 75,55 -1,01 124,45

51,48 71,99 -1,52 150,31

54,29 67,95 -1,35 141,42

57,10 64,15 -1,69 160,70

59,91 59,64 -1,96 176,88

62,09 55,37 -2,17 190,23

64,43 50,62 -1,90 173,19

65,68 48,25 -2,17 191,03

66,77 45,88 -2,28 198,25

68,02 43,03 -2,17 190,90

69,11 40,65 -2,28 198,42

70,36 37,80 -1,96 175,43

71,45 35,67 -2,79 235,06

72,39 33,06 -2,17 190,42

73,48 30,68 -2,09 184,41

74,73 28,07 -2,39 206,75

75,82 25,46 -2,79 236,96

76,76 22,85 -2,54 217,52

78,16 19,29


Tabela 3.8: Coeficientes de interpolação linear de CQ

x CQ αCQ βCQ

39,00 99,53 0,00 99,53

40,41 99,53 -0,14 105,11

42,12 99,29 -0,17 106,43

43,53 99,05 -0,15 105,66

45,09 98,81 -0,15 105,66

46,65 98,58 -0,25 110,41

48,52 98,10 -0,30 112,87

50,08 97,63 -0,34 114,57

53,20 96,44 -0,41 118,51

54,91 95,73 -0,38 116,61

56,79 95,02 -0,68 133,44

58,19 94,07 -0,83 142,35

59,91 92,64 -0,76 138,22

63,03 90,03 -1,01 154,00

64,43 88,61 -1,18 164,83

65,84 86,94 -1,30 172,86

68,18 83,38 -1,52 187,14

69,27 81,72 -1,96 217,21

70,36 79,59 -1,52 186,67

71,45 77,92 -1,96 217,75

72,54 75,79 -1,71 199,95

73,79 73,65 -1,96 218,06

74,88 71,51 -2,17 234,31

75,98 69,14 -2,28 242,52

76,91 67,00 -2,17 234,21

78,00 64,63 -2,54 262,47

80,19 60,12 -2,39 251,92

81,28 57,51 -2,54 263,57

82,22 55,13 -2,74 280,38

83,00 53,00


Tabela 3.9: Coeficientes de interpolação linear de CH12

x CH12 αCH12 βCH12

15,76 100,00 -0,16 102,46

24,34 98,66 -0,15 102,42

30,42 97,72 -0,20 103,90

35,10 96,77 -0,23 104,99

39,16 95,82 -0,26 106,19

42,75 94,87 -0,34 109,33

45,55 93,92 -0,38 111,26

48,05 92,97 -0,30 107,55

50,39 92,26 -0,24 104,19

52,42 91,78 -0,47 116,33

54,45 90,83 -0,51 118,52

56,79 89,64 -0,47 116,49

59,28 88,46 -0,59 123,25

61,31 87,27 -0,76 133,85

63,49 85,61 -0,82 137,58

65,52 83,95 -0,83 138,55

67,24 82,52 -1,06 154,07

68,80 80,86 -1,22 164,65

70,36 78,96 -1,06 153,83

71,92 77,30 -1,18 162,33

73,32 75,64 -1,35 174,87

74,73 73,74 -1,22 164,75

76,29 71,84 -1,22 164,75

77,85 69,94 -1,37 176,73

79,41 67,80 -1,51 188,06

80,66 65,91 -1,35 175,06

82,06 64,01




24,34 99,61 -0,08 101,65

15,76 100,33 -0,13 102,37

30,42 98,43 -0,10 101,45

35,26 97,95 -0,18 104,37

39,16 97,24 -0,20 104,99

42,75 96,53 -0,34 110,99

45,55 95,58 -0,28 108,54

48,05 94,87 -0,21 104,73

50,39 94,39 -0,23 106,07

52,42 93,92 -0,36 112,53

54,45 93,20 -0,28 108,69

56,94 92,49 -0,41 115,61

59,28 91,54 -0,58 126,03

61,31 90,36 -0,67 131,36

63,81 88,69 -0,76 137,09

65,68 87,27 -0,83 141,62

67,39 85,85 -0,92 147,63

68,95 84,42 -1,06 157,80

70,52 82,76 -1,22 168,64

72,08 80,86 -1,18 166,08

73,48 79,20 -0,85 141,48

74,88 78,01 -1,35 179,35

76,29 76,11 -1,22 169,02

77,85 74,21 -1,22 169,02

79,41 72,31 -1,24 170,87

81,12 70,18 -1,39 182,69

82,84 67,80




15,91 100,00 -0,02 100,28

24,34 99,85 -0,12 102,69

30,42 99,14 -0,15 103,61

35,26 98,43 -0,12 102,77

39,16 97,95 -0,13 103,08

42,75 97,48 -0,25 108,29

45,55 96,77 -0,18 105,02

48,21 96,29 -0,22 106,66

50,39 95,82 -0,12 101,78

52,42 95,58 -0,24 107,99

54,45 95,10 -0,28 110,59

56,94 94,39 -0,41 117,51

59,28 93,44 -0,35 114,19

61,31 92,73 -0,48 121,95

63,81 91,54 -0,76 139,94

65,68 90,12 -0,76 140,29

67,55 88,69 -0,91 150,18

69,11 87,27 -0,91 150,18

70,67 85,85 -0,92 150,63

72,23 84,42 -1,18 169,82

73,64 82,76 -1,01 157,23

75,04 81,34 -1,07 161,67

76,60 79,67 -1,35 183,33

78,00 77,77 -1,18 169,00

79,41 76,11 -1,18 169,00

80,81 74,45 -1,37 185,31

82,37 72,31




15,91 100,00 0,01 99,83

24,34 100,09 -0,08 102,01

30,42 99,61 -0,05 101,06

35,26 99,38 -0,12 103,72

39,16 98,90 -0,13 104,03

42,75 98,43 -0,09 102,08

45,55 98,19 -0,19 106,77

48,05 97,72 -0,10 102,65

50,39 97,48 -0,24 109,41

52,42 97,00 -0,23 109,15

54,45 96,53 -0,19 107,00

56,94 96,05 -0,30 113,33

59,28 95,34 -0,33 114,61

61,47 94,63 -0,41 119,57

63,81 93,68 -0,64 134,24

65,68 92,49 -0,58 130,71

67,71 91,31 -0,92 153,37

69,27 89,88 -0,61 132,06

70,83 88,93 -0,91 153,40

72,39 87,51 -0,82 146,76

74,42 85,85 -1,22 176,48

75,97 83,95 -1,02 161,33

77,38 82,52 -1,11 168,20

79,09 80,62 -0,97 157,13

80,81 78,96 -1,33 186,45

82,06 77,30


Algumas observações:

1. Quando x é menor que o primeiro valor indicado em cada tabela, o fator é

igual à unidade, conforme pode se ver nos gráficos.

2. O valor máximo válido de x é x = 78, 159, que é o valor máximo disponível do

fator CE. Não faz sentido extrapolar valores não indicados na carta já que esse

fator está em torno de 0,2, que já é um valor extremamente baixo e associado

a um nível considerável de incerteza

Isto posto, todas as equações das curvas presentes na carta de correção estão defi-

nidas. Podemos passar para a segunda etapa, que é o desenvolvimento do algoritmo

de automatização.

3.1.3 Algoritmo de automatização

A automatização será feita seguindo as seguintes etapas:

1. Determinar x1 correspondente à vazão Q desejada:

x1 = α1 ×Q+ β1

2. Determinar B e D correspondentes aos valores de H e V desejados:

B = α2 ×H + β2

D = α3 × V + β3

3. Determinar y1 correspondente à reta ascendente:

y1 = Ax1 +B

4. Igualar y1 = y2, que corresponde a deslocar horizontalmente da curva de head

para a curva de viscosidade, determinando x2:


y1 = y2

y1 = Cx2 +D

x2 =y1 −D

C

5. Calcular os fatores de correção em x2:

CE = αCEx2 + βCE

CQ = αCQx2 + βCQ

CH06 = αCH06x2 + βCH06





Graficamente:

Figura 3.6: Algoritmo de automatização

Resumidamente, o algoritmo do método por pontos é o seguinte:

Dados Q,H e V, calculam-se x1, B e D:

x1 = α1 ×Q+ β1

B = α2 ×H + β2

D = α3 × V + β3

A partir desses valores calculados, calcula-se x2:

3.2. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 40

y1 = Ax1 +B

x2 =y1 −D

C

Calcular os coeficientes em x2:

CE = αCEx2 + βCE

CQ = αCQx2 + βCQ





Foi desenvolvido um script em VBA conforme indicado no Anexo A.1.

3.2 Método do polinômio de Hole

O método define o parâmetro pseudocapacity da seguinte forma:

P = 1, 95× V 0,5× (0, 04739×H0,25476

×Q0,5)−0,5

onde:

V é a viscosidade do fludo em cst

H é o head no BEP, medido em ft

Q é a vazão no BEP, medido em gpm Definido o parâmetro P, cada fator de

3.3. MÉTODO HI 41

correção é calculado através de um polinômio de grau 5:

Cx = Dx1 +Dx2P +Dx3P2 +Dx4P

3 +Dx5P4 +Dx6P

5

Os coeficientes para cada fator estão indicados na tabela

Tabela 3.13: Coeficientes dos polinômios de Hole

Fator Dx1 Dx2 Dx3 Dx4 Dx5 Dx6

CE 1,0522 -3,512E-02 -9,0394E-04 2,2218E-04 -1,1986E-05 1,9895E-07

CQ 0,9873 9,019E-03 -1,6233E-03 7,7233E-05 -2,0528E-06 2,1009E-08

CH06 1,0103 -4,6061E-03 2,4091E-04 -1,6912E-05 3,2459E-07 -1,6611E-09

CH08 1,0167 -8,3641E-03 5,1288E-04 -2,9941E-05 6,1644E-07 -4,0487E-09

CH10 1,0045 -2,664E-03 -6,8292E-04 4,9706E-05 -1,6522E-06 1,9172E-08

CH12 1,0175 -7,8654E-03 -5,6018E-04 5,4967E-05 -1,9035E-06 2,1615E-08


Dessa forma, com os mesmos dados de entrada (vazão, head e viscosidade),

encontram-se os fatores de correção de viscosidade.

3.3 Método HI

Por fim, o método indicado pelo Hydraulic Institue na ISO/TR 1776/2005, pro-

põe um novo algoritmo.

O primeiro passo consiste em determinar o parâmetro auxiliar B, definido da

seguinte maneira:

B = 26, 6×V 0,5 ×H0,0625

Q0,375 ×N0,25

onde:

3.3. MÉTODO HI 42

V é a viscosidade do fludo em cst

H é o head no BEP, medido em ft

Q é a vazão no BEP, medido em gpm

N é a rotação em rpm

Se B ≥ 40, os resultados obtidos apresentarão alto grau de incerteza e devem,

portanto, ser evitados.

Se, por outro lado, B ≤ 1, um método alternativo é apresentado. Porém, esse

método requer mais dados de cada bomba em particular e não será tratado neste

trabalho.

Portanto, para que o método possa ser aplicado, o fator B deve satisfazer a

seguinte condição:

1 < B < 40

Definido o fator B, os coeficientes de correção são calculados da seguinte forma:

CQ = 2, 71−0,165×(log10 B)3,15

CH = 1− (1− CQ)× (Q

QBEP

)0,75

CE = B−0,0547×B0,69

onde Q/QBEP são as frações da vazão no BEP: 0, 6, 0, 8, 1, 0 e 1, 2.


Capítulo 4

Validação e comparação de

resultados

Os objetivos deste capítulo são os seguintes:

1. Validar o método por pontos, comparando resultados obtidos manualmente

com os resultados obtidos pelo método

2. Comparar resultados dos métodos alternativos tomando como referência o mé-

todo por pontos

4.1 Validação do método por pontos

O método por pontos nada mais é do que a automatização do método manual

utilizando a carta de correção. Os processos utilizados são os mesmos. Porém, é

necessário validar o método para assegurar que os resultados obtidos são suficiente-

mente próximos aos resultados obtidos pela leitura direta da carta.

Para validar o método, foram tomados dez conjuntos de valores de Q,H e V,

procurando variar entre valores mais elevados e mais baixos dos fatores de entrada

e de correção.

Os resultados obtidos da leitura direta da carta foram os seguintes:

4.1. VALIDAÇÃO DO MÉTODO POR PONTOS 44

Tabela 4.1: Leitura direta da carta de correção

Q H V CE CQ CH06 CH08 CH10 CH12

800 400 10 0,97 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99

5000 400 65 0,91 1,00 1,00 0,99 0,98 0,97

2000 20 32 0,87 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96

5000 60 132 0,81 1,00 0,99 0,98 0,96 0,95

7000 80 330 0,74 0,98 0,97 0,96 0,94 0,92

500 300 220 0,66 0,95 0,97 0,95 0,93 0,90

3000 200 660 0,60 0,93 0,95 0,93 0,91 0,88

9000 300 3300 0,40 0,81 0,90 0,87 0,83 0,80

400 400 880 0,36 0,79 0,89 0,86 0,83 0,78

4000 600 3300 0,34 0,77 0,88 0,84 0,81 0,77

Os resultados obtidos dos mesmos valores pelo método por pontos são os seguin-

tes:

Tabela 4.2: Fatores calculados pelo método por pontos


800 400 10 0,97 1,00 1,00 0,00 1,00 0,99

5000 400 65 0,91 1,00 0,00 0,99 0,98 0,98

2000 20 32 0,87 1,00 0,99 0,98 0,98 0,97

5000 60 132 0,81 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95

7000 80 330 0,74 0,98 0,98 0,96 0,94 0,92

500 300 220 0,65 0,95 0,96 0,95 0,93 0,90

3000 200 660 0,60 0,93 0,95 0,93 0,91 0,88

9000 300 3300 0,39 0,81 0,90 0,87 0,84 0,80

400 400 880 0,35 0,78 0,88 0,85 0,81 0,78

4000 600 3300 0,34 0,76 0,88 0,84 0,81 0,77

4.1. VALIDAÇÃO DO MÉTODO POR PONTOS 45

A tabela seguinte mostra os resultados da diferença dos resultados obtidos pelos

dois métodos:

Cmanual − CPP

onde Cmanual é o fator obtido pela leitura direta da carta e CPP é o fator obtido

pelo método por pontos.

Tabela 4.3: Diferenças de resultados


800 400 10 0,005 0,000 0,000 0,001 0,000 -0,003

5000 400 65 0,003 0,000 0,004 -0,001 -0,004 -0,007

2000 20 32 0,001 0,000 -0,003 -0,004 -0,009 -0,006

5000 60 132 0,002 0,009 0,006 0,006 -0,004 0,002

7000 80 330 0,002 0,003 -0,005 0,001 -0,005 -0,004

500 300 220 0,008 -0,002 0,008 0,004 0,003 0,001

3000 200 660 0,000 0,002 -0,002 -0,003 -0,003 -0,002

9000 300 3300 0,006 0,000 0,004 0,002 -0,007 0,002

400 400 880 0,009 0,015 0,008 0,010 0,016 0,004

4000 600 3300 0,004 0,005 0,003 -0,005 0,003 0,000

A diferença média é de 0,001 e a maior diferença, em valor absoluto é de apenas

0,016, o que é uma margem bastante aceitável.

O erro percentual entre os resultados dos dois métodos foi definido da seguinte

forma:

e =Cmanual − CPP

Cmanual

Calculando os erros percentuais de todos os fatores, encontram-se os seguintes

resultados:

4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 46

Tabela 4.4: Erros percentuais


800 400 10 0,5% 0,0% 0,0% 0,1% 0,0% -0,3%

5000 400 65 0,3% 0,0% 0,4% -0,1% -0,4% -0,7%

2000 20 32 0,1% 0,0% -0,3% -0,4% -0,9% -0,7%

5000 60 132 0,2% 0,9% 0,6% 0,6% -0,5% 0,2%

7000 80 330 0,3% 0,3% -0,5% 0,1% -0,5% -0,4%

500 300 220 1,1% -0,2% 0,9% 0,4% 0,4% 0,1%

3000 200 660 0,1% 0,2% -0,2% -0,3% -0,3% -0,2%

9000 300 3300 1,5% 0,1% 0,4% 0,3% -0,8% 0,2%

400 400 880 2,4% 1,8% 0,9% 1,2% 1,9% 0,5%

4000 600 3300 1,1% 0,7% 0,3% -0,6% 0,3% 0,0%

O valor máximo do erro percentual é de 2,4% e isso só acontece porque os valores

dos fatores são relativamente baixos: 0,35 e 0,36.

Portanto, o método por pontos reproduz com fidelidade os resultados obtidos

pela leitura direta da carta de correção.

4.2 Comparação com métodos alternativos

Foram considerados os seguintes valores de Q,H e V para comparar os resultados

dos métodos:


Tabela 4.5: Valores de dados de entrada

Q H V

100 15 10

200 20 15

300 30 20

400 40 32

500 50 43

600 60 65

700 70 88

800 80 132

900 90 176

1000 100 220

1500 150 330

2000 200 440

3000 250 660

4000 300 880

5000 350 1079

6000 400 1320

7000 450 1760

8000 500 2200

9000 550 2589

10000 600 3300

Sendo 20 valores para cada grandeza, totalizam-se 8000 combinações possíveis.

Para cada linha foram calculados os fatores de correção pelos seguintes métodos:


1. Método por pontos

2. Método do polinômio

3. Método HI com N=1150 rpm




Foi montada uma tabela com os valores de Q,H e V e foram calculados os fatores

de correção indicados acima, além do valor de x2 para cada combinação de Q,H e

V.

Algumas combinações de Q,H e V geraram resultados inválidos no método por

pontos, quando x2 > 78, 159 e no método HI, quando B ≤ 1 ou B ≥ 40. O método

do polinômio não indicou nenhuma restrição.

Os resultados inválidos foram descartados. Com o conjunto de dados restantes,

foi possível fazer a comparação de resultados obtidos através de cada método.

A seguir, serão feitas as comparações de resultados de cada fator para cada

método.

4.2.1 Comparação com método do polinômio de Hole

Cada valor de x2, definido no método por pontos, está associado a um vetor

(Q,H, V ). Os resultados obtidos pelos dois métodos foram plotados ao longo do

eixo auxiliar x.

O erro percentual foi definido da seguinte forma:

e =CPOL − CPP

CPOL

onde CPP é o valor do fator calculado pelo método por pontos e CPOL é o valor

do fator calculado pelo método do polinômio.


Os resultados estão indicados nas figuras que seguem.

Figura 4.1: Curva de correção - CE

Figura 4.2: Curva de correção - CQ


Figura 4.3: Curva de correção - CH06



É possível perceber que todas as curvas obtidas pelo método do polinômio exceto

a de CE estão bem próximas das curvas de correção do método por pontos, apenas

se distanciando um pouco mais para valores extremos de x2.

A curva de CE, no entanto, começar a divergir antes e apresenta grandes diver-

gências. Plotando os gráficos dos erros percentuais entre os fatores calculados pelos

dois métodos, encontra-se o seguinte resultado:

Figura 4.7: Erros percentuais

Claramente, a curva de CE é a que apresenta as maiores divergências, chegando a

mais de 80%. As demais curvas apresentam erro percentual máximo de 6% em valor

absoluto. Isso indica que o método do polinômio só é aplicável até um determinado

limite de x2.

Definindo o valor absoluto limite de 6% para a curva do fator CE, encontra-se

a condição de que x2 < 65, 12, pois a partir desse valor de x2, os erros ultrapassam

6%. Portanto, o método do polinômio é aplicável até o limite de x2 = 65, 12.


4.2.2 Comparação com método HI

Seguindo o mesmo procedimento de plotar as curvas de correção contra o eixo

auxiliar x, encontra-se o seguinte resultado para as curvas de CE com N=1750 rpm:

Figura 4.8: Curvas de correção - CE

Note que, diferentemente dos outros dois métodos, o resultado obtido quando se

plota CE contra x2 não é uma curva, mas uma região. O mesmo comportamento

ocorre para os demais fatores e rotações.

Isso acontece porque pequenas variações de x2 geram grandes variações nos fa-

tores de correção calculados pelo método HI. Isso porque pequena variação de x2

pode significar um salto significativo de vazão, head ou viscosidade e, da forma que

o método está definido, isso acaba por não delimitar uma única curva bem compor-

tada.

Um exemplo disso pode ser percebido em um recorte da tabela dos dados obtidos

calculando os fatores de CE através do método por pontos, polinômio de Hole e HI

com N = 1750rpm:


Tabela 4.6: Recorte da tabela de resultados

Q H V x2 CEPP CEPOL CE1750

100 450 176 61,339 0,568 0,564 0,404

4000 400 1079 61,344 0,568 0,564 0,588

9000 80 1079 61,345 0,568 0,562 0,721

600 150 330 61,370 0,568 0,560 0,567

5000 40 660 61,373 0,568 0,566 0,741

8000 100 1079 61,388 0,567 0,562 0,704

300 50 176 61,388 0,567 0,560 0,611

4000 60 660 61,390 0,567 0,565 0,709

8000 50 880 61,412 0,567 0,567 0,747

600 500 440 61,421 0,567 0,565 0,485

Comparando as duas colunas de CE calculados pelo método por pontos e pelo

método HI para N=1750 rpm, nota-se que os valores oscilam e variam significativa-

mente para pequenas variações de x2. Essas pequenas variações de x2, no entanto,

implicam em grandes variações de Q,H e V.

Comparando a primeira e segunda linha da tabela, por exemplo, nota-se que

Q varia de 100 para 4000 gpm e V, de 176 para 1079 cst. Esses saltos são muito

grandes e esse método é sensível a isso.

Não será possível, portanto, comparar os resultados via curvas de correção plota-

das ao longo do eixo auxiliar x. Em vez disso, uma forma de avaliar o comportamento

dos fatores de correção calculados é fixar valores de Q e H e analisar a curva de Cx

versus V para todas as rotações.

Essa análise será feita para cada fator, escolhendo dois valores de Q e H e fazendo

todas as combinações possíveis entre eles.

Os valores escolhidos para Q e H são os seguintes:


1. Q = 300 gpm e H = 50ft

2. Q = 300 gpm e H = 600 ft

3. Q=10000 gpm e H = 600 ft

4. Q = 10000 gpm e H = 50 ft

Os resultados para cada escolha de valores estão indicados a seguir:

1. Q = 300 gpm e H = 50ft



Figura 4.10: Curvas de correção - CQ

Figura 4.11: Curvas de correção - CH06



2. Q = 300 gpm e H = 600 ft




3. Q=10000 gpm e H = 600 ft




4. Q = 10000 gpm e H = 50 ft




Uma observação quanto aos resultados obtidos pelo método HI: assim como

observado nos dois métodos anteriores, as curvas de correção do head seguem o

seguinte padrão:

CH06 > CH08 > CH10 > CH12

De modo análogo, se fixarmos valores de Q, H e N, as curvas de correção obtidas

através do método HI revelam o mesmo comportamento. Tomando Q = 300 gpm,

H = 600 ft e N = 1150 rpm, encontra-se o resultado indicado na Figura 4.33.


Figura 4.33: Curvas de CH

Capítulo 5

Considerações finais

5.1 Conclusões

Após analisar os resultados obtidos de todos os métodos apresentados, algumas

conclusões podem ser tiradas relativas aos seguintes tópicos:

1. Validação do método por pontos

2. Comparação de resultados com método do polinômio de Hole

3. Comparação de resultados com método HI

Antes de analisar cada caso, algumas observações relativas a todos os métodos

são válidas:

1. Para Q e H baixos, os fatores de correção são mais altos (correções menores)

2. Para Q e H altos, os fatores de correção são mais baixos (correções maiores)

3. Em todos os métodos, as maiores correções são do fator CE

4. As correções de CH são maiores quanto maior a fração da vazão do BEP, isto

é:

CH06 > CH08 > CH10 > CH12

5.1. CONCLUSÕES 70

Passemos, agora, para a análise de cada método.

O método por pontos cumpriu seu objetivo e reflete com muita acurácia os

resultados da carta de correção, sendo um uma automatização do método manual

de leitura da carta de correção. Sendo assim, esse método pode ser utilizado como

o método de referência para a comparação de resultados dos métodos alternativos.

O método do polinômio apresentou uma grande correlação com os resultados do

método por pontos, ficando todas as curvas de correção muito próximas. As maiores

divergências acontecem para valores mais elevados de viscosidade, o que é razoável,

uma vez que as incertezas aumentam à medida que o fator de correção diminui.

A correlação menos favorável foi a do fator CE, onde se verificou que, a partir

de certo ponto, a curva do polinômio não apresentava um comportamento coerente

e, portanto, não era mais válida.

Tirando esses casos, todos os demais pontos apresentaram resultados muito si-

milares com erro percentual máximo de 6%.

Para fazer as comparações de resultados, foram utilizados valores fixados de Q

e H:

1. Q = 300 gpm e H = 50ft

2. Q = 300 gpm e H = 600 ft

3. Q=10000 gpm e H = 600 ft

4. Q = 10000 gpm e H = 50 ft

Comparando as curvas do método por pontos com as curvas do método HI, os

seguintes padrões foram observados:

Quando Q = 300 gpm e H = 600 ft, as curvas do método por pontos são sempre

superiores às curvas do método HI. Isso indica que para valores altos de H e baixos

de Q, o método HI sugere correções maiores, pois os fatores são mais baixos.

5.2. TRABALHOS FUTUROS 71

Da mesma, forma, quando Q= 10000 gpm e H = 50 ft, as curvas do método por

pontos são sempre inferiores às curvas do método HI. Isso mostra que para valores

baixos de H e altos de Q, o método HI sugere correções menores.

As demais combinações não revelam um padrão definido, ficando as curvas do

método por pontos ora mais próximas a uma curva de determinado N, ora atraves-

sando essas curvas.

O padrão que se mantém dos demais métodos é que as correções de CH são

maiores quanto maior for a fração da vazão do BEP:

CH06 > CH08 > CH10 > CH12

Os resultados obtidos por esse método não refletem exatamente os da carta de

correção pois leva em consideração um fator de entrada a mais, que é a rotação da

bomba. Isso sugere que os resultados obtidos são mais precisos, sabendo-se esse fator,

enquanto que os resultados da carta são mais genéricos para quaisquer rotações.

Dessa forma, sendo conhecida a rotação da bomba, o método HI deve ser uti-

lizado. Caso contrário, o método da carta de correção deve ser aplicado, pois o

método do polinômio de Hole apresenta resultados muito próximos mas tem uma

limitação do fator CE. Para grandes volumes de dados, pode-se utilizar o método

por pontos, que é uma automatização da leitura da carta.

5.2 Trabalhos futuros

A fim de se obter uma expressão analítica mais enxuta, sugere-se que as interpo-

lações lineares obtidas pelo método por pontos sejam substituídas por interpolações

logarítmicas.

Uma vez criado o algoritmo de automatização com qualquer um dos métodos

apresentados, pode-se criar uma ferramenta em que, dada a curva característica da

bomba, determine a curva corrigida para o fluido viscoso.

Referências

[1] Dacanal, G. C. Impacto da viscosidade do fluido na curva Q x

H. <http://sistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/5817712/LOQ4015/

Fator_Viscosidade_Curva_QxH.pdf>, Acesso em Novembro de 2018.

[2] de Mattos, E. E., e de Falco, R. Bombas industriais, 2 ed. Interciência,

1998.

[3] de Moraes Franklin, E. Obtenção da curva característica de uma

bomba centrífuga. <http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM886/Exp6_

bomba_centrif.pdf>, Acesso em Novembro de 2018.

[4] Hole, G. Fluid viscosity effects on centrifugal pumps. Pumps and Systems

Magazine.

[5] Hydraulic Institute. Technical Report ISO/TR 17766:2005. In Centrifugal

pumps handling viscous liquids - Performance corrections.

[6] J.A. Oliveira, R. G., e Pinto, J. Pega ponto version 1.0. In The user’s

guide.

[7] J.A. Oliveira, R. G. e. J. P. Pega ponto versão 1.0. <https://sites.

google.com/site/lemnufabc/home/agenda>, Acesso em Novembro de 2018.

[8] [email protected]. Ingeniería mecánica: Curvas características de una

bomba centrífuga (ii). <https://areamecanica.wordpress.com/2011/06/16/

ingenieria-mecanica-curvas-caracteristicas-de-una-bomba-centrifuga-ii/>,

Acesso em Novembro de 2018.

REFERÊNCIAS 73

[9] Page, E. Viscosity corrections. <http://www.engineeringpage.com/

calculators/pumps/viscosity_correction.html>, Acesso em Novembro de

2018.

Apêndice A

Scripts em VBA

A.1 Método por pontos

1 A = 0.557

2 C = -2.29

3

4 Select Case Q

5 Case 100 To 150

6 alpha1 = 0.180708

7 beta1 = -18.0708

8 Case 150 To 200

9 alpha1 = 0.128192

10 beta1 = -10.1934

11 Case 200 To 300

12 alpha1 = 8.61900000000001E-02

13 beta1 = -1.79300000000002

14 Case 300 To 400

15 alpha1 = 6.18799999999999E-02

16 beta1 = 5.5

17 Case 400 To 500

18 alpha1 = 0.04862

19 beta1 = 10.804

20 Case 500 To 600

21 alpha1 = 0.03758

22 beta1 = 16.324

23 Case 600 To 700

24 alpha1 = 0.03432

25 beta1 = 18.28

26 Case 700 To 800

27 alpha1 = 3.06800000000001E-02

A.1. MÉTODO POR PONTOS 75

28 beta1 = 20.828

29 Case 800 To 900

30 alpha1 = 2.41799999999999E-02

31 beta1 = 26.028

32 Case 900 To 1000

33 alpha1 = 0.02418

34 beta1 = 26.028

35 Case 1000 To 1500

36 alpha1 = 0.017706

37 beta1 = 32.502

38 Case 1500 To 2000

39 alpha1 = 0.012482

40 beta1 = 40.338

41 Case 2000 To 3000

42 alpha1 = 8.90500000000002E-03

43 beta1 = 47.492

44 Case 3000 To 4000

45 alpha1 = 6.27781818181818E-03

46 beta1 = 55.3735454545455

47 Case 4000 To 5000

48 alpha1 = 4.6941818181818E-03

49 beta1 = 61.708090909091

50 Case 5000 To 6000

51 alpha1 = 4.07260000000001E-03

52 beta1 = 64.816

53 Case 6000 To 7000

54 alpha1 = 3.41640000000001E-03

55 beta1 = 68.7532

56 Case 7000 To 8000

57 alpha1 = 2.82533333333332E-03

58 beta1 = 72.8906666666668

59 Case 8000 To 9000

60 alpha1 = 2.63466666666669E-03

61 beta1 = 74.416

62 Case 9000 To 10000

63 alpha1 = 1.87199999999999E-03

64 beta1 = 81.28

65 End Select

66

67 Select Case H

68 Case 15 To 20

69 alpha2 = 0.381460872756945

70 beta2 = 2.81781605328121

71 Case 20 To 30

72 alpha2 = 0.208459582419617

73 beta2 = 6.27784186002776

74 Case 30 To 40


75 alpha2 = 0.194057768674827

76 beta2 = 6.70989627237147

77 Case 40 To 60

78 alpha2 = 0.12875411598523

79 beta2 = 9.32204237995535

80 Case 60 To 80

81 alpha2 = 0.089686295422672

82 beta2 = 11.6661116137088

83 Case 80 To 100

84 alpha2 = 6.84874158847123E-02

85 beta2 = 13.3620219767456

86 Case 100 To 150

87 alpha2 = 0.048678322636899

88 beta2 = 15.3429313015269

89 Case 150 To 200

90 alpha2 = 3.53103198155457E-02

91 beta2 = 17.3481317247299

92 Case 200 To 300

93 alpha2 = 2.61343508483731E-02

94 beta2 = 19.1833255181644

95 Case 300 To 400

96 alpha2 = 1.64829095249606E-02

97 beta2 = 22.0787579151882

98 Case 400 To 600

99 alpha2 = 1.20644174500386E-02

100 beta2 = 23.846154745157

101 End Select

102

103 Select Case V

104 Case 4 To 10

105 alpha3 = 3.63419539457546

106 beta3 = 63.7936835281681

107 Case 10 To 15

108 alpha3 = 1.91639652062703

109 beta3 = 80.9716722676524

110 Case 15 To 20

111 alpha3 = 1.49856405081207

112 beta3 = 87.2391593148768

113 Case 20 To 32

114 alpha3 = 0.931563298103309

115 beta3 = 98.579174369052

116 Case 32 To 43

117 alpha3 = 0.669693778122882

118 beta3 = 106.958999008426

119 Case 43 To 65

120 alpha3 = 0.474093903992365

121 beta3 = 115.369793596038


122 Case 65 To 88

123 alpha3 = 0.317285237852013

124 beta3 = 125.562356895161

125 Case 88 To 132

126 alpha3 = 0.214605946137101

127 beta3 = 134.598134566073

128 Case 132 To 176

129 alpha3 = 0.154915483168894

130 beta3 = 142.477275677876

131 Case 176 To 220

132 alpha3 = 0.130731199454566

133 beta3 = 146.733709611598

134 Case 220 To 330

135 alpha3 = 8.48931678332548E-02

136 beta3 = 156.818076568287

137 Case 330 To 440

138 alpha3 = 6.68401942511878E-02

139 beta3 = 162.775557850369

140 Case 440 To 660

141 alpha3 = 4.67072497754585E-02

142 beta3 = 171.63405341969

143 Case 660 To 880

144 alpha3 = 3.23697297472245E-02

145 beta3 = 181.096816638324

146 Case 880 To 1320

147 alpha3 = 2.20934680827986E-02

148 beta3 = 190.139926903019

149 Case 1320 To 1760

150 alpha3 = 1.71909761147528E-02

151 beta3 = 196.611216300839

152 Case 1760 To 2200

153 alpha3 = 1.06214492820454E-02

154 beta3 = 208.173583526404

155 Case 2200 To 3300

156 alpha3 = 8.78486504393302E-03

157 beta3 = 212.214068850251

158 End Select

159

160 x1 = alpha1 * Q + beta1

161 B = alpha2 * H + beta2

162 D = alpha3 * V + beta3

163

164 y1 = A * x1 + B

165 x2 = (y1 - D) / C

166

167 If x2 >= 0 And x2 <= 78.159 Then

168


169 Select Case x2

170 Case 0 To 9.2044

171 alpha_CE = 0

172 beta_CE = 100

173 Case 9.2044 To 11.7

174 alpha_CE = -0.285302131751885

175 beta_CE = 102.626034941497

176 Case 11.7 To 14.041

177 alpha_CE = -0.202904741563432

178 beta_CE = 101.661985476292

179 Case 14.041 To 15.601

180 alpha_CE = -0.304487179487185

181 beta_CE = 103.08830448718

182 Case 15.601 To 17.629

183 alpha_CE = -0.351084812623269

184 beta_CE = 103.815274161736

185 Case 17.629 To 19.813

186 alpha_CE = -0.434523809523809

187 beta_CE = 105.286220238095

188 Case 19.813 To 21.841

189 alpha_CE = -0.468441814595662

190 beta_CE = 105.958237672584

191 Case 21.841 To 24.181

192 alpha_CE = -0.405982905982907

193 beta_CE = 104.594072649573

194 Case 24.181 To 26.209

195 alpha_CE = -0.584812623274166

196 beta_CE = 108.918354043393

197 Case 26.209 To 28.237

198 alpha_CE = -0.70266272189349

199 beta_CE = 112.007087278106

200 Case 28.237 To 30.265

201 alpha_CE = -0.585305719921103

202 beta_CE = 108.693277613412

203 Case 30.265 To 32.293

204 alpha_CE = -0.819033530571993

205 beta_CE = 115.767049802761

206 Case 32.293 To 34.009

207 alpha_CE = -0.69172494172494

208 beta_CE = 111.655873543123

209 Case 34.009 To 35.881

210 alpha_CE = -0.761217948717947

211 beta_CE = 114.019261217949

212 Case 35.881 To 37.441

213 alpha_CE = -0.912820512820516

214 beta_CE = 119.458912820513

215 Case 37.441 To 39.158


216 alpha_CE = -0.829353523587649

217 beta_CE = 116.333825276645

218 Case 39.158 To 40.874

219 alpha_CE = -0.830419580419578

220 beta_CE = 116.37556993007

221 Case 40.874 To 43.058

222 alpha_CE = -0.760531135531137

223 beta_CE = 113.5189496337

224 Case 43.058 To 45.086

225 alpha_CE = -0.936883629191325

226 beta_CE = 121.11233530572

227 Case 45.086 To 46.646

228 alpha_CE = -1.06474358974359

229 beta_CE = 126.877029487179

230 Case 46.646 To 48.206

231 alpha_CE = -1.06538461538461

232 beta_CE = 126.90693076923

233 Case 48.206 To 50.078

234 alpha_CE = -1.01442307692308

235 beta_CE = 124.450278846154

236 Case 50.078 To 51.482

237 alpha_CE = -1.18376068376069

238 beta_CE = 132.930367521368

239 Case 51.482 To 52.886

240 alpha_CE = -1.52136752136751

241 beta_CE = 150.311042735042

242 Case 52.886 To 54.29

243 alpha_CE = -1.35256410256411

244 beta_CE = 141.383705128205

245 Case 54.29 To 55.694

246 alpha_CE = -1.35327635327635

247 beta_CE = 141.422373219373

248 Case 55.694 To 57.098

249 alpha_CE = -1.35256410256411

250 beta_CE = 141.382705128205

251 Case 57.098 To 58.502

252 alpha_CE = -1.69088319088318

253 beta_CE = 160.700048433048

254 Case 58.502 To 59.906

255 alpha_CE = -1.52136752136753

256 beta_CE = 150.783042735043

257 Case 59.906 To 60.998

258 alpha_CE = -1.95695970695971

259 beta_CE = 176.877628205128

260 Case 60.998 To 62.09

261 alpha_CE = -1.95604395604394

262 beta_CE = 176.821769230768


263 Case 62.09 To 63.183

264 alpha_CE = -2.17200365965234

265 beta_CE = 190.230707227814

266 Case 63.183 To 64.431

267 alpha_CE = -1.9022435897436

268 beta_CE = 173.18645673077

269 Case 64.431 To 65.679

270 alpha_CE = -1.90224358974358

271 beta_CE = 173.186456730769

272 Case 65.679 To 66.771

273 alpha_CE = -2.17399267399268

274 beta_CE = 191.034664835165

275 Case 66.771 To 68.019

276 alpha_CE = -2.28205128205127

277 beta_CE = 198.249846153846

278 Case 68.019 To 69.111

279 alpha_CE = -2.17399267399268

280 beta_CE = 190.899807692308

281 Case 69.111 To 70.359

282 alpha_CE = -2.28285256410258

283 beta_CE = 198.423223557693

284 Case 70.359 To 71.451

285 alpha_CE = -1.95604395604396

286 beta_CE = 175.429296703297

287 Case 71.451 To 72.387

288 alpha_CE = -2.79059829059827

289 beta_CE = 235.059038461537

290 Case 72.387 To 73.479

291 alpha_CE = -2.17399267399268

292 beta_CE = 190.424807692308

293 Case 73.479 To 74.727

294 alpha_CE = -2.09214743589743

295 beta_CE = 184.410901442307

296 Case 74.727 To 75.819

297 alpha_CE = -2.39102564102564

298 beta_CE = 206.745173076923

299 Case 75.819 To 76.755

300 alpha_CE = -2.78952991452994

301 beta_CE = 236.959368589745

302 Case 76.755 To 78.159

303 alpha_CE = -2.53632478632477

304 beta_CE = 217.524608974357

305 End Select

306

307 Select Case x2

308 Case 0 To 39.002

309 alpha_CQ = 0


310 beta_CQ = 100

311 Case 39.002 To 40.406

312 alpha_CQ = 0

313 beta_CQ = 99.525

314 Case 40.406 To 42.122

315 alpha_CQ = -0.138111888111893

316 beta_CQ = 105.105548951049

317 Case 42.122 To 43.526

318 alpha_CQ = -0.169515669515669

319 beta_CQ = 106.428339031339

320 Case 43.526 To 45.086

321 alpha_CQ = -0.151923076923074

322 beta_CQ = 105.662603846154

323 Case 45.086 To 46.646

324 alpha_CQ = -0.151923076923082

325 beta_CQ = 105.662603846154

326 Case 46.646 To 48.518

327 alpha_CQ = -0.253739316239313

328 beta_CQ = 110.411924145299

329 Case 48.518 To 50.078

330 alpha_CQ = -0.304487179487175

331 beta_CQ = 112.874108974359

332 Case 50.078 To 51.482

333 alpha_CQ = -0.338319088319095

334 beta_CQ = 114.568343304844

335 Case 51.482 To 53.198

336 alpha_CQ = -0.414918414918417

337 beta_CQ = 118.51182983683

338 Case 53.198 To 54.914

339 alpha_CQ = -0.414918414918408

340 beta_CQ = 118.511829836829

341 Case 54.914 To 56.786

342 alpha_CQ = -0.380341880341882

343 beta_CQ = 116.613094017094

344 Case 56.786 To 58.19

345 alpha_CQ = -0.67663817663818

346 beta_CQ = 133.438575498576

347 Case 58.19 To 59.906

348 alpha_CQ = -0.829836829836825

349 beta_CQ = 142.353205128205

350 Case 59.906 To 61.466

351 alpha_CQ = -0.760897435897442

352 beta_CQ = 138.223321794872

353 Case 61.466 To 63.027

354 alpha_CQ = -0.912235746316459

355 beta_CQ = 147.525482383087

356 Case 63.027 To 64.431


357 alpha_CQ = -1.01495726495727

358 beta_CQ = 153.999711538462

359 Case 64.431 To 65.835

360 alpha_CQ = -1.18304843304844

361 beta_CQ = 164.829993589744

362 Case 65.835 To 66.927

363 alpha_CQ = -1.30494505494504

364 beta_CQ = 172.855057692307

365 Case 66.927 To 68.175

366 alpha_CQ = -1.71153846153848

367 beta_CQ = 200.067134615386

368 Case 68.175 To 69.267

369 alpha_CQ = -1.52197802197802

370 beta_CQ = 187.143851648351

371 Case 69.267 To 70.359

372 alpha_CQ = -1.95604395604397

373 beta_CQ = 217.210296703297

374 Case 70.359 To 71.451

375 alpha_CQ = -1.52197802197802

376 beta_CQ = 186.669851648351

377 Case 71.451 To 72.543

378 alpha_CQ = -1.95695970695968

379 beta_CQ = 217.749728021976

380 Case 72.543 To 73.791

381 alpha_CQ = -1.71153846153847

382 beta_CQ = 199.946134615385

383 Case 73.791 To 74.883

384 alpha_CQ = -1.95695970695971

385 beta_CQ = 218.056013736264

386 Case 74.883 To 75.975

387 alpha_CQ = -2.17399267399268

388 beta_CQ = 234.308093406594

389 Case 75.975 To 76.911

390 alpha_CQ = -2.28205128205126

391 beta_CQ = 242.517846153844

392 Case 76.911 To 78.003

393 alpha_CQ = -2.17399267399267

394 beta_CQ = 234.20695054945

395 Case 78.003 To 78.939

396 alpha_CQ = -2.53632478632481

397 beta_CQ = 262.469942307694

398 Case 78.939 To 80.187

399 alpha_CQ = -1.71153846153846

400 beta_CQ = 197.362134615384

401 Case 80.187 To 81.279

402 alpha_CQ = -2.3919413919414

403 beta_CQ = 251.921604395605


404 Case 81.279 To 82.215

405 alpha_CQ = -2.53525641025639

406 beta_CQ = 263.570105769229

407 Case 82.215 To 82.995

408 alpha_CQ = -2.73974358974359

409 beta_CQ = 280.382019230769

410 End Select

411

412 Select Case x2

413 Case 0 To 15.757

414 alpha_CH12 = 0

415 beta_CH12 = 100

416 Case 15.757 To 24.337

417 alpha_CH12 = -0.156177156177157

418 beta_CH12 = 102.460883449883

419 Case 24.337 To 30.421

420 alpha_CH12 = -0.154503616042077

421 beta_CH12 = 102.420154503616

422 Case 30.421 To 35.101

423 alpha_CH12 = -0.202991452991451

424 beta_CH12 = 103.895202991453

425 Case 35.101 To 39.158

426 alpha_CH12 = -0.234163174759679

427 beta_CH12 = 104.989361597239

428 Case 39.158 To 42.746

429 alpha_CH12 = -0.264771460423631

430 beta_CH12 = 106.187920847269

431 Case 42.746 To 45.554

432 alpha_CH12 = -0.338319088319094

433 beta_CH12 = 109.331787749288

434 Case 45.554 To 48.05

435 alpha_CH12 = -0.380608974358971

436 beta_CH12 = 111.258261217949

437 Case 48.05 To 50.39

438 alpha_CH12 = -0.303418803418806

439 beta_CH12 = 107.549273504274

440 Case 50.39 To 52.418

441 alpha_CH12 = -0.236686390532539

442 beta_CH12 = 104.186627218935

443 Case 52.418 To 54.446

444 alpha_CH12 = -0.468441814595655

445 beta_CH12 = 116.334783037475

446 Case 54.446 To 56.786

447 alpha_CH12 = -0.508547008547019

448 beta_CH12 = 118.518350427351

449 Case 56.786 To 59.282

450 alpha_CH12 = -0.472756410256403


451 beta_CH12 = 116.48594551282

452 Case 59.282 To 61.31

453 alpha_CH12 = -0.58678500986193

454 beta_CH12 = 123.245788954635

455 Case 61.31 To 63.495

456 alpha_CH12 = -0.759725400457666

457 beta_CH12 = 133.84876430206

458 Case 63.495 To 65.523

459 alpha_CH12 = -0.818540433925062

460 beta_CH12 = 137.583224852072

461 Case 65.523 To 67.239

462 alpha_CH12 = -0.833333333333317

463 beta_CH12 = 138.552499999999

464 Case 67.239 To 68.799

465 alpha_CH12 = -1.06410256410256

466 beta_CH12 = 154.069192307692

467 Case 68.799 To 70.359

468 alpha_CH12 = -1.21794871794873

469 beta_CH12 = 164.653653846155

470 Case 70.359 To 71.919

471 alpha_CH12 = -1.06410256410257

472 beta_CH12 = 153.829192307693

473 Case 71.919 To 73.323

474 alpha_CH12 = -1.18233618233618

475 beta_CH12 = 162.332435897436

476 Case 73.323 To 74.727

477 alpha_CH12 = -1.35327635327635

478 beta_CH12 = 174.866282051282

479 Case 74.727 To 76.287

480 alpha_CH12 = -1.21794871794871

481 beta_CH12 = 164.753653846153

482 Case 76.287 To 77.847

483 alpha_CH12 = -1.21794871794873

484 beta_CH12 = 164.753653846155

485 Case 77.847 To 79.407

486 alpha_CH12 = -1.37179487179487

487 beta_CH12 = 176.730115384615

488 Case 79.407 To 80.655

489 alpha_CH12 = -1.51442307692307

490 beta_CH12 = 188.05579326923

491 Case 80.655 To 82.059

492 alpha_CH12 = -1.35327635327635

493 beta_CH12 = 175.058504273504

494 End Select

495

496 Select Case x2

497 Case 0 To 24.337


498 alpha_CH10 = 0

499 beta_CH10 = 100

500 Case 24.337 To 15.757

501 alpha_CH10 = -8.39160839160838E-02

502 beta_CH10 = 101.652265734266

503 Case 15.757 To 30.421

504 alpha_CH10 = -0.129569012547736

505 beta_CH10 = 102.371618930715

506 Case 30.421 To 35.257

507 alpha_CH10 = -9.92555831265547E-02

508 beta_CH10 = 101.449454094293

509 Case 35.257 To 39.158

510 alpha_CH10 = -0.182004614201481

511 beta_CH10 = 104.366936682902

512 Case 39.158 To 42.746

513 alpha_CH10 = -0.197881828316613

514 beta_CH10 = 104.988656633222

515 Case 42.746 To 45.554

516 alpha_CH10 = -0.338319088319084

517 beta_CH10 = 110.991787749288

518 Case 45.554 To 48.05

519 alpha_CH10 = -0.284455128205132

520 beta_CH10 = 108.538068910257

521 Case 48.05 To 50.39

522 alpha_CH10 = -0.205128205128213

523 beta_CH10 = 104.726410256411

524 Case 50.39 To 52.418

525 alpha_CH10 = -0.231755424063116

526 beta_CH10 = 106.06815581854

527 Case 52.418 To 54.446

528 alpha_CH10 = -0.355029585798816

529 beta_CH10 = 112.529940828402

530 Case 54.446 To 56.942

531 alpha_CH10 = -0.28445512820512

532 beta_CH10 = 108.687443910256

533 Case 56.942 To 59.282

534 alpha_CH10 = -0.405982905982914

535 beta_CH10 = 115.607478632479

536 Case 59.282 To 61.31

537 alpha_CH10 = -0.581854043392493

538 beta_CH10 = 126.033471400394

539 Case 61.31 To 63.807

540 alpha_CH10 = -0.668802563075697

541 beta_CH10 = 131.364285142171

542 Case 63.807 To 65.679

543 alpha_CH10 = -0.758547008547002

544 beta_CH10 = 137.090608974359


545 Case 65.679 To 67.395

546 alpha_CH10 = -0.82750582750584

547 beta_CH10 = 141.619755244756

548 Case 67.395 To 68.955

549 alpha_CH10 = -0.91666666666667

550 beta_CH10 = 147.62875

551 Case 68.955 To 70.515

552 alpha_CH10 = -1.06410256410256

553 beta_CH10 = 157.795192307692

554 Case 70.515 To 72.075

555 alpha_CH10 = -1.2179487179487

556 beta_CH10 = 168.643653846153

557 Case 72.075 To 73.479

558 alpha_CH10 = -1.1823361823362

559 beta_CH10 = 166.076880341882

560 Case 73.479 To 74.883

561 alpha_CH10 = -0.847578347578348

562 beta_CH10 = 141.479209401709

563 Case 74.883 To 76.287

564 alpha_CH10 = -1.35327635327634

565 beta_CH10 = 179.347393162392

566 Case 76.287 To 77.847

567 alpha_CH10 = -1.21794871794873

568 beta_CH10 = 169.023653846155

569 Case 77.847 To 79.407

570 alpha_CH10 = -1.21794871794871

571 beta_CH10 = 169.023653846153

572 Case 79.407 To 81.123

573 alpha_CH10 = -1.24125874125873

574 beta_CH10 = 170.874632867132

575 Case 81.123 To 82.839

576 alpha_CH10 = -1.3869463869464

577 beta_CH10 = 182.693251748253

578 End Select

579

580 Select Case x2

581 Case 0 To 15.913

582 alpha_CH08 = 0

583 beta_CH08 = 100

584 Case 15.913 To 24.337

585 alpha_CH08 = -1.78062678062685E-02

586 beta_CH08 = 100.283351139601

587 Case 24.337 To 30.421

588 alpha_CH08 = -0.116699539776464

589 beta_CH08 = 102.69011669954

590 Case 30.421 To 35.257

591 alpha_CH08 = -0.146815550041352


592 beta_CH08 = 103.606275847808

593 Case 35.257 To 39.158

594 alpha_CH08 = -0.123045372981291

595 beta_CH08 = 102.768210715201

596 Case 39.158 To 42.746

597 alpha_CH08 = -0.130992196209587

598 beta_CH08 = 103.079392419175

599 Case 42.746 To 45.554

600 alpha_CH08 = -0.252849002848996

601 beta_CH08 = 108.288283475783

602 Case 45.554 To 48.206

603 alpha_CH08 = -0.180995475113129

604 beta_CH08 = 105.015067873303

605 Case 48.206 To 50.39

606 alpha_CH08 = -0.215201465201465

607 beta_CH08 = 106.664001831502

608 Case 50.39 To 52.418

609 alpha_CH08 = -0.118343195266263

610 beta_CH08 = 101.783313609467

611 Case 52.418 To 54.446

612 alpha_CH08 = -0.236686390532553

613 beta_CH08 = 107.986627218935

614 Case 54.446 To 56.942

615 alpha_CH08 = -0.284455128205131

616 beta_CH08 = 110.587443910257

617 Case 56.942 To 59.282

618 alpha_CH08 = -0.405982905982902

619 beta_CH08 = 117.507478632478

620 Case 59.282 To 61.31

621 alpha_CH08 = -0.350098619329391

622 beta_CH08 = 114.194546351085

623 Case 61.31 To 63.807

624 alpha_CH08 = -0.476571886263515

625 beta_CH08 = 121.948622346816

626 Case 63.807 To 65.679

627 alpha_CH08 = -0.758547008547002

628 beta_CH08 = 139.940608974359

629 Case 65.679 To 67.551

630 alpha_CH08 = -0.763888888888893

631 beta_CH08 = 140.291458333334

632 Case 67.551 To 69.111

633 alpha_CH08 = -0.910256410256401

634 beta_CH08 = 150.17873076923

635 Case 69.111 To 70.671

636 alpha_CH08 = -0.910256410256419

637 beta_CH08 = 150.178730769231

638 Case 70.671 To 72.231


639 alpha_CH08 = -0.916666666666678

640 beta_CH08 = 150.631750000001

641 Case 72.231 To 73.635

642 alpha_CH08 = -1.18233618233617

643 beta_CH08 = 169.821324786324

644 Case 73.635 To 75.039

645 alpha_CH08 = -1.01139601139601

646 beta_CH08 = 157.234145299145

647 Case 75.039 To 76.599

648 alpha_CH08 = -1.07051282051283

649 beta_CH08 = 161.670211538462

650 Case 76.599 To 78.003

651 alpha_CH08 = -1.35327635327635

652 beta_CH08 = 183.329615384615

653 Case 78.003 To 79.407

654 alpha_CH08 = -1.18233618233618

655 beta_CH08 = 169.995769230769

656 Case 79.407 To 80.811

657 alpha_CH08 = -1.18233618233617

658 beta_CH08 = 169.995769230768

659 Case 80.811 To 82.371

660 alpha_CH08 = -1.37179487179488

661 beta_CH08 = 185.306115384616

662 End Select

663

664 Select Case x2

665 Case 0 To 15.913

666 alpha_CH06 = 0

667 beta_CH06 = 100

668 Case 15.913 To 24.337

669 alpha_CH06 = 1.06837606837611E-02

670 beta_CH06 = 99.8299893162393

671 Case 24.337 To 30.421

672 alpha_CH06 = -7.88954635108464E-02

673 beta_CH06 = 102.010078895463

674 Case 30.421 To 35.257

675 alpha_CH06 = -4.75599669148094E-02

676 beta_CH06 = 101.056821753515

677 Case 35.257 To 39.158

678 alpha_CH06 = -0.123045372981284

679 beta_CH06 = 103.718210715201

680 Case 39.158 To 42.746

681 alpha_CH06 = -0.130992196209587

682 beta_CH06 = 104.029392419175

683 Case 42.746 To 45.554

684 alpha_CH06 = -8.54700854700887E-02

685 beta_CH06 = 102.083504273504


686 Case 45.554 To 48.05

687 alpha_CH06 = -0.188301282051282

688 beta_CH06 = 106.767876602564

689 Case 48.05 To 50.39

690 alpha_CH06 = -0.102564102564106

691 beta_CH06 = 102.648205128205

692 Case 50.39 To 52.418

693 alpha_CH06 = -0.236686390532539

694 beta_CH06 = 109.406627218935

695 Case 52.418 To 54.446

696 alpha_CH06 = -0.231755424063116

697 beta_CH06 = 109.14815581854

698 Case 54.446 To 56.942

699 alpha_CH06 = -0.192307692307688

700 beta_CH06 = 107.000384615384

701 Case 56.942 To 59.282

702 alpha_CH06 = -0.303418803418807

703 beta_CH06 = 113.327273504274

704 Case 59.282 To 61.466

705 alpha_CH06 = -0.325091575091578

706 beta_CH06 = 114.612078754579

707 Case 61.466 To 63.807

708 alpha_CH06 = -0.405809483126864

709 beta_CH06 = 119.573485689876

710 Case 63.807 To 65.679

711 alpha_CH06 = -0.63568376068376

712 beta_CH06 = 134.241073717949

713 Case 65.679 To 67.707

714 alpha_CH06 = -0.581854043392511

715 beta_CH06 = 130.705591715977

716 Case 67.707 To 69.267

717 alpha_CH06 = -0.91666666666667

718 beta_CH06 = 153.37475

719 Case 69.267 To 70.827

720 alpha_CH06 = -0.608974358974351

721 beta_CH06 = 132.061826923076

722 Case 70.827 To 72.387

723 alpha_CH06 = -0.910256410256419

724 beta_CH06 = 153.400730769231

725 Case 72.387 To 74.415

726 alpha_CH06 = -0.818540433925045

727 beta_CH06 = 146.761686390532

728 Case 74.415 To 75.975

729 alpha_CH06 = -1.21794871794873

730 beta_CH06 = 176.483653846155

731 Case 75.975 To 77.379

732 alpha_CH06 = -1.0185185185185


733 beta_CH06 = 161.331944444443

734 Case 77.379 To 79.095

735 alpha_CH06 = -1.10722610722611

736 beta_CH06 = 168.19604895105

737 Case 79.095 To 80.811

738 alpha_CH06 = -0.967365967365961

739 beta_CH06 = 157.133811188811

740 Case 80.811 To 82.059

741 alpha_CH06 = -1.33012820512822

742 beta_CH06 = 186.448990384617

743 End Select

744

745 CE = (alpha_CE * x2 + beta_CE) / 100

746 CQ = (alpha_CQ * x2 + beta_CQ) / 100

747 CH06 = (alpha_CH06 * x2 + beta_CH06) / 100




751

752 End If

A.2. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 91

A.2 Método do polinômio de Hole

1 P = 1.95 * (V) ^ 0.5 * (0.04739 * (H) ^ (0.25746) * (Q) ^ (0.5)) ^ (-0.5)

2

3 DE1 = 1.0522

4 DE2 = -0.03512

5 DE3 = -0.00090394

6 DE4 = 0.00022218

7 DE5 = -0.000011986

8 DE6 = 0.00000019895

9

10 DQ1 = 0.9873

11 DQ2 = 0.009019

12 DQ3 = -0.0016233

13 DQ4 = 0.000077233

14 DQ5 = -0.0000020528

15 DQ6 = 0.000000021009

16

17 DH06_1 = 1.0103

18 DH06_2 = -0.0046061

19 DH06_3 = 0.00024091

20 DH06_4 = -0.000016912

21 DH06_5 = 0.00000032459

22 DH06_6 = -0.0000000016611

23

24 DH08_1 = 1.0167

25 DH08_2 = -0.0083641

26 DH08_3 = 0.00051288

27 DH08_4 = -0.000029941

28 DH08_5 = 0.00000061644

29 DH08_6 = -0.0000000040487

30

31 D_H10_1 = 1.0045

32 DH10_2 = -0.002664

33 DH10_3 = -0.00068292

34 DH10_4 = 0.000049706

35 DH10_5 = -0.0000016522

36 DH10_6 = 0.000000019172

37

38 DH12_1 = 1.0175

39 DH12_2 = -0.0078654

40 DH12_3 = -0.00056018

41 DH12_4 = 0.000054967

42 DH12_5 = -0.0000019035

43 DH12_6 = 0.000000021615

44

A.2. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 92

45 CE = DE1 + DE2 * P + DE3 * P ^ 2 + DE4 * P ^ 3 + DE5 * P ^ 4 + DE6 * P ^ 5

46 CQ = DQ1 + DQ2 * P + DQ3 * P ^ 2 + DQ4 * P ^ 3 + DQ5 * P ^ 4 + DQ6 * P ^ 5

47

48 CH06 = DH06_1 + DH06_2 * P + DH06_3 * P ^ 2 + DH06_4 * P ^ 3 + DH06_5 * P ^ 4 + DH06_6 * P ^ 5




A.3. MÉTODO TR 93

A.3 Método TR

1 B = 26.6 * V ^ (0.5) * H ^ (0.0625) / (Q ^ (0.375) * N ^ (0.25))

2

3 If B > 1 And B < 40 Then

4

5 CE = B ^ (-0.0547 * B ^ 0.69)

6 CQ = 2.71 ^ (-0.165 * (Log(1.0 * B1) / Log(10)) ^ 3.15)

7 CH06 = 1 - (1 - CQ) * (0.6) ^ (0.75)

8 CH08 = 1 - (1 - CQ) * (0.8) ^ (0.75)

9 CH10 = 1 - (1 - CQ) * (1.0) ^ (0.75)

10 CH12 = 1 - (1 - CQ) * (1.2) ^ (0.75)

11

12 End If

VALIDAÇÃO DE MÉTODOS DE OBTENÇÃO DE FATORES DE …

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