Relatório Final

Projeto de Pesquisa de Iniciação Científica

Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz"

Uso de recursos computacionais no aprendizado de Cálculo Diferencial e

Integral para as Ciências Agrárias

Bolsista: Ana Caroline Silva

Orientador: Cristian Marcelo Villegas Lobos

Agosto de 2013, Piracicaba (São Paulo)

Período da bolsa: 01/08/2012 a 01/08/2013

Agradecimentos à Universidade de São Paulo pela bolsa Institucional

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Sumário

Resumo .......................................................................................................................................... 3

1 Introdução .................................................................................................................................. 4

2 Objetivos ..................................................................................................................................... 5

3 Revisão de Literatura ................................................................................................................... 6

4 Material e Métodos ..................................................................................................................... 8

5 Resultados e análises................................................................................................................... 9

5.1 Noções Básicas sobre o Maple .................................................................................................. 9

5.2 Como fazer Gráficos ................................................................................................................14

5.3 Como calcular Limites de Funções ...........................................................................................23

5.4 Como calcular Derivadas de uma Função .................................................................................25

5.5 Como calcular Integrais de uma Função ...................................................................................27

5.6 Função Afim ............................................................................................................................29

5.7 Função Quadrática ..................................................................................................................30

5.8 Função Exponencial e Função Logarítmica ...............................................................................32

5.9 Limite ......................................................................................................................................34

6 Conclusão...................................................................................................................................35

Referências Bibliográficas ..............................................................................................................36

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Resumo

Este trabalho se refere à utilização de recursos computacionais para auxiliar alunos de cursos das

Ciências Agrárias com o aprendizado da matéria Cálculo Diferencial e Integral, de modo que esse

método de ensino/aprendizagem afete diretamente a média desses alunos positivamente.

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1 Introdução

Atualmente, nas universidades brasileiras de engenharias e outras ciências exatas, nota-se a

dificuldade e talvez até pouco interesse dos alunos mediante a disciplina de Cálculo Diferencial e

Integral. Fenômeno este que é acentuado aos estudantes de Ciências Agrárias da ESALQ - USP, sendo

a porcentagem de alunos aprovados na disciplina de apenas 50%. Como possíveis justificativas

podem ser aqui citadas: a falta de material bibliográfico da disciplina com enfoque em situações reais

de um profissional agrário e o método falho de estudo adotado pelos graduandos.

Como resposta a essas possíveis justificativas, o software Maple foi visto pelo professor orientador

deste trabalho como uma promissora ferramenta para auxiliar os estudos da matéria em questão.

O software Maple começou a ser desenvolvido em 1981 pelo Grupo de Computação Simbólica, na

Universidade de Waterloo, Canadá. Desde 1988 tem sido desenvolvido e comercializado pela

Maplesoft, uma companhia canadense. Atualmente possui 14 versões, sendo que existe tanto a

versão profissional quanto a versão para estudantes. Para a obtenção de mais informações sobre a

companhia e seus produtos, pode ser utilizada a referência abaixo:

<http://www.maplesoft.com/>. Acesso em: 24 jul. 2013.

Neste trabalho a versão utilizada do software é a 14ª, sendo esta licenciada pela Universidade de São

Paulo.

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2 Objetivos

Como principal objetivo deste trabalho destaca-se a utilização de ferramentas computacionais para

auxiliar no aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral aos profissionais das Ciências Agrárias.

Como objetivo secundário pode se ressaltar o levantamento bibliográfico de livros sobre o tema na

Universidade de São Paulo, com enfoque nos materiais encontrados no campus da ESALQ, o acervo

da USP com o maior número de títulos voltados às Ciências Agrárias.

A partir do cenário apresentado na Introdução, o trabalho foi desenvolvido com o intuito de

facilitar a aprendizagem aplicada de Cálculo, de maneira que seja possível, no futuro, o

aumento da média de alunos aprovados da disciplina na ESALQ.

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3 Revisão de Literatura

A Universidade do Estado de São Paulo apresenta um amplo conteúdo bibliográfico referente às

matérias Cálculo Diferencial e Integral e Estatística (que contém aplicações específicas de Cálculo). Os

alunos da ESALQ têm acesso a todo este conteúdo de informação, mesmo quando o material não se

encontra no campus de Piracicaba.

Bibliografias voltadas para as Ciências Agrárias são o foco da ESALQ, no entanto pode-se notar uma

falta de títulos que envolvam o foco do campus com as matérias citadas acima. Essa, inclusive, é uma

lacuna no mercado bibliográfico universitário.

Após um processo de levantamento bibliográfico no acervo da ESALQ e da USP em geral, foram

levantados alguns títulos que se relacionam de alguma maneira com o tema abordado neste

trabalho. Estes estão apresentados abaixo.

Livros de Cálculo

Nota-se nos títulos sobre Cálculo a especificação da matéria apenas em áreas próximas às Ciências

Agrárias, como biologia, engenharia e economia. Em AGUIAR, XAVIER e RODRIGUES (1998) o enfoque

é em Cálculo para a área biomédica, devido a uma demanda específica surgida pelos profissionais

dessa área quanto à matéria. Por isso, os exemplos de aplicações de Cálculo apresentam pouca ou

quase nenhuma similaridade com a área das Ciências Agrárias.

Em SALVADORI e SCHWARZ (1954) são trabalhadas equações diferenciais, integrais e outras com

enfoque para a Engenharia em geral. Alguns assuntos trabalhados são: mecânica, eletricidade,

termodinâmica, reações químicas reversíveis e outros. Embora não seja suficiente para fornecer o

conhecimento necessário à matéria Cálculo Diferencial e Integral, é um recurso interessante para

alunos das Ciências Agrárias. Outro inconveniente encontrado é o fato do livro ser escrito

integralmente em inglês.

Os livros de BOULOS (1973a, 1973b) são de caráter introdutório à matéria, destinados a alunos que a

estudam pela primeira vez. Por possuir linguagem simples, muitas vezes coloquial, e exemplos que

buscam proporcionar ao leitor familiaridade com o assunto.

O último livro comentado nesse item é o de THOMAS JUNIOR e FINNEY (1985), uma obra que

apresenta aplicações de Cálculo à Engenharia e às Ciências Físicas, além de conter algumas

aplicações voltadas à economia e às Ciências Biológicas.

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Livros de Estatística

Quanto aos livros de Estatística existe maior diversidade quanto a títulos de interesse ao assunto em

questão. O principal livro é o de ANDRADE e OGLIARI (2007) por ser um livro que abrange

especificamente as Ciências Agrárias e Biológicas, com exemplos e aplicações condizentes com as

respectivas áreas de enfoque.

Quanto à área experimental da Estatística existem também livros específicos como o de GOMES

(1960) e GOMES e GARCIA (2002) sendo que o segundo trata de ensaios com lavouras e florestas,

apresentando detalhes sobre a utilização de aplicativos usuais e resultados obtidos por computador

a partir de equações trabalhadas na matéria Cálculo.

Revistas da ESALQ

No acervo da ESALQ são encontrados títulos de revistas que apresentam pesquisas e experimentos

com a aplicação de métodos científicos de Cálculo e/ou Estatística (tais como regressão linear,

aplicação de diversos tipos de funções, integrais, derivadas, etc.).

Existem também as revistas produzidas pela própria Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”,

sendo que todos os volumes lançados estão disponíveis na Biblioteca Central da ESALQ, enquanto

que grande parte dos volumes já foram digitalizados e podem ser visualizados online. Essas revistas

são

Scientia Agrícola

( http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_serial&pid=0103-9016&lng=en&nrm=iso).

Scientia Florestalis (http://www.ipef.br/publicacoes/scientia/) e

Visão Agrícola (http://www.esalq.usp.br/visaoagricola/index.html).

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4 Material e Métodos

Quanto aos materiais utilizados no trabalho destacam-se o software Maple, versão 14; o programa

Word, da Microsoft; livros, revistas e manuais do acervo bibliográfico da USP, mais especificamente

no campus da ESALQ, Piracicaba; e computadores (tanto da faculdade quanto pessoais).

Os métodos utilizados foram a pesquisa bibliográfica; o debate de temas envolvidos com o objetivos

do trabalho e retirada de dúvidas quanto à Cálculo (realizadas com o professor orientador

quinzenalmente/mensalmente); e, principalmente, a utilização do Maple e durante todo o processo

de pesquisa e preparação dos arquivos.

É importante ressaltar que os materiais e métodos usufruídos são acessíveis à qualquer aluno dentro

da ESALQ.

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5 Resultados e análises

Os resultados deste trabalho se encontram em duas partes. A primeira parte é um breve manual que

explica como se utilizar o software Maple, tanto quanto a comandos básicos como quanto a

comandos específicos para Cálculo. A segunda parte se trata de alguns exemplos práticos para as

Ciências Agrárias quanto a alguns conteúdos da matéria Cálculo.

Além disso, o estudo realizado durante o desenvolver do projeto poderá auxiliar no contínuo

desenvolvimento dos objetivos dos quais ele possui.

Abaixo se encontram o respectivo arquivo produzido.

Parte 1. Breve Manual do Software Maple

5.1 Noções Básicas sobre o Maple

Abaixo se encontram algumas regras e comandos básicos do Maple úteis para a Matemática em

diversas situações. O conteúdo abaixo foi baseado no material didático disponibilizado aos alunos da

Universidade de Santa Maria no curso de Ciência da Computação, disciplina “Cálculo A”, do ano de

2009 e pode ser acessado (integralmente) pelo link:

<http://www-pet.inf.ufsm.br/topicosdeapoio/2009/apostila%20maple%2012%20pet-cc.pdf>.

Acessado em 01/04/2013.

Sintaxe

Em edições anteriores ao Maple 12 era necessário utilizar os símbolos “[>” e “;” no início e fim de

todo comando, respectivamente. A partir dessa versão do software isso não é mais necessário, no

entanto, mesmo se esses símbolos forem utilizados a instrução matemática funcionará

corretamente. Para se salvar comandos na memória do software é preciso utilizar “:” ao final do

comando.

Exemplos:

A) [ > R:

B) R:

C) R: Error, invalid >

D) R: A resposta foi salva na memória do Maple.

Para se realizar diversos comandos em uma mesma linha é preciso utilizar “;” entre os comandos.

10

E) [> R:

Operações Básicas

As operações básicas, sua respectiva ordem de prioridade de execução no software (de cima para

baixo), e os símbolos utilizados pelo programa para a realização das mesmas:

Fatorial “ ! ” Potenciação “ ^ ” Divisão “ / ” Multiplicação “ *” Adição “ + ” Subtração “ – ”

Exemplos:

A) R:

Para se mudar a ordem em que as operações são realizadas utiliza-se parênteses “( )”. Porém

colchetes “[ ]” e chaves “{ }” devem ser evitados para essa situação.

B) R:

Representação Decimal

O Maple sempre retorna os resultados em suas formas simbólicas (a menos que os tipos numéricos sejam “float”).

Exemplos:

A) R:

Em certos casos, para se obter um número na forma decimal só é preciso acrescentar um ponto “.”

após o número.

11

B) R:

Uma forma mais geral é usar o comando “evalf” para se obter uma representação decimal de um

número.

C) R:

Ajuda

O sistema de ajuda pode ser acessado pelo botão “help” presente na barra de menus ou digitando-se

“” seguida da expressão da qual se deseja informação.

Exemplos:

A)limit R: O Maple apresenta informações variadas sobre o comando “limit”.

B)plot R: O Maple apresenta informações variadas sobre o comando “plot”.

Erros mais comuns

Quando existe uma falha em um comando o software Maple mostra uma mensagem de erro. Nela há

indicado o tipo de falha e qual foi a primeira falha.

Os principais erros são: sintaxe inadequada, como equívoco na digitação, nome incorreto do

comando, uso de palavras reservadas, ou ainda erro de domínio de funções matemáticas, cálculos

que excedem a capacidade de memória ou de computação do sistema ou aplicativo, etc.

Exemplos:

A) R: Error, numeric exception: division by zero

B) R: Error, invalid product/quotient

C) R: Error, (in tan) numeric exception: division by zero

D) R: Error, numeric exception: overflow

12

Nomeação de funções

Para se nomear uma função é preciso utilizar uma estrutura específica, de modo que o resultado

obtido ao utilizá-la será a função em questão:

[> R:

em que:

“ ” é um nome qualquer escolhido para uma determinada função;

“:=” expressão fixa para realizar a nomenclatura, sempre fica antes da função em si;

“ ” é a variável utilizada na função (também pode ser y, z, etc.) acompanhada por uma seta,

que faz parte da estrutura opcional para a nomeação;

“ ” é a função que se deseja nomear;

“ ” expressão (também opcional) usada após a função considerando o nome utilizado

no início do comando.

Exemplos:

A) R:

B) R:

C) R:

Comentários

Para se escrever comentários sem que o programa considere-os é necessário utilizar o símbolo “#”

antes do comentário.

Exemplo:

A) R: 2)

B) R:

13

Operações Simbólicas

São realizadas através dos comandos “expand” (expandir), “factor” (fatorar) e “simplify”

(simplificar).

Exemplos:

A) R:

B) R:

C) R:

D) R:

Equações e Sistemas

O comando “solve” serve para resolver equações e sistemas diversos. Sua estrutura está

representada abaixo:

[> R: Resposta da equação.

em que:

“ ” é a função que se deseja resolver;

“ ” é a variável utilizada na função (também pode ser y, z, etc.) para se resolver a equação ou

sistema.

Exemplos:

A) R:

R:

Quando se tem mais de uma variável na equação, é importante definir qual variável se deseja

calcular.

B) R:

R:

R:

14

Equações de segundo grau também podem ser resolvidas pelo comando:

C) R:

R:

Zerar a Memória

Através do comando “restart” se zera a memória do Maple. Na hora em que o comando é escrito

não aparece nada na tela, mas sabe-se que tudo o que havia sido salvo até esse momento foi

apagado.

Funções Básicas

O Maple trabalha com diversas funções elementares.

Exemplos:

A) R:

B) R:

C) R:

D) R:

E) R:

F) R:

G) R:

H) R:

I) R:

J) R:

K) R:

Quanto à função logaritmo existem duas maneiras de ser utilizada, uma é a função logaritmo com

base 10, e a outra é a função logaritmo com base “a” (número real inteiro):

L) R:

M) R:

5.2 Como fazer Gráficos O comando “plot” é o utilizado para a produção de gráficos. Ele possui a seguinte estrutura:

[> R: O gráfico da função é criado.

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em que:

“ ” função que se deseja esboçar;

“ ” O alcance da representação do gráfico no eixo das abscissas , sendo que “ ” é o limite

inferior de x, enquanto “ ” é o limite superior de ;

“ ” O alcance da representação gráfica no eixo das ordenadas, sendo que “ ” é o limite

inferior de y, enquanto “ ” é o limite superior de .

Exemplos:

A) R:

A delimitação do domínio das coordenadas de um gráfico, no Maple, é feita automaticamente pelo

software de uma maneira que o gráfico fique facilmente compreendido. A delimitação é utilizada

então apenas quando o domínio das coordenadas for específico em determinadas situações.

Assim, mesmo se as coordenadas de “x” e “y” não forem determinadas, para algumas funções o

gráfico ainda será produzido.

B) R:

16

Também é possível produzir o gráfico de uma função utilizando a sua nomeação.

Gráficos de Funções Básicas

São representados abaixo gráficos de algumas funções básicas.

C)

Quando , a reta da função ficará sobre o eixo . Quando isso ocorre, ao se utilizar o comando

“plot” no software Maple, a reta da função não aparece, mas sim somente as coordenadas do

gráfico.

D)

17

E)

18

F)

G) Quanto à função quadrática, as raízes provenientes da equação indicarão a

posição da parábola (se interceptará o eixo em nenhum, um ou dois pontos, também chamados de

raízes) enquanto que o comportamento do valor de se relaciona com a intersecção da parábola no

eixo . Se , a equação quadrática possui duas raízes reais e diferentes; se , a equação

possui duas raízes reais e iguais; e se , a equação não possui raízes reais.

19

20

G)

21

H)

Edição do Gráfico

O gráfico pode ter detalhes como título, legenda, cor e outros, editados. Essa edição pode ser feita

por meio de comandos específicos (apenas para algumas características dos gráficos) ou ao se clicar

com o botão direito do mouse sobre o gráfico e selecionar a característica de interesse.

Os detalhes para a edição de gráficos são feitos “dentro” do comando “plot”. Dois deles são:

[>

[>

em que:

“ ” Determina uma cor à reta do gráfico de uma função;

“ ” Se refere à transparência da reta de uma função, respeitando o

intervalo de valores (0,0 ; 1,0), sendo que 0,0 é o mínimo e 1,0 é o máximo de transparência.

I) R:

22

Mais de um Gráfico no Plano Cartesiano

Para se adicionar duas funções a um mesmo plano cartesiano você pode escrevê-las dentro do

espaço delimitado para funções no comando “plot” ou nomeá-las e após escrever somente suas

nomenclaturas no comando. O comando ficará assim:

[>

J) R:

Gráfico Tridimensional (3D)

Existe o comando de produção de gráficos em um plano tridimensional, o comando “plot3d”. Sua

estrutura é similar à do comando “plot”:

[> R: Gráfico 3D da função.

K) R:

23

L) R:

5.3 Como calcular Limites de Funções

Existem dois comandos referentes a limite; o comando “Limit” e o comando “limit”, com as

seguintes estruturas:

[> R:

[> R: Resultado do limite.

em que:

“ ” É a função que se deseja calcular o limite;

“ ” Representa a, podendo a ser +infinito ou - infinito;

“ ” (Opcional) Símbolo utilizado para representar a direção em que x se aproxima de a; pode

ser: “right” (limite tende à “ ” pela direita), “left” (limite tende à “ ” pela esquerda), “real” (limite

real bidirecional, que tende tanto à direita como à esquerda de a), e “complex” (limite complexo”,

como todas as direções complexas tendendo ao ponto a).

A diferença entre os dois comandos anteriores é que o primeiro (“Limit”) escreve a notação de limite

para uma determinada situação, enquanto que o segundo (“limit”) resolve o limite de uma

determinada situação. Se os dois comandos forem utilizados da maneira abaixo, o resultado

(também esquematizado abaixo) será a notação de um limite respectivamente com o valor do

mesmo:

[> R:

24

Exemplos:

A) R:

B) R:

C) R:

D) R:

Para se resolver limites laterais no software controla-se o aspecto “dir” do comando “limit”.

E) R:

F) R:

A partir da visualização do gráfico da função

confirmam-se os resultados de limites obtidos pelos

software:

[>

25

5.4 Como calcular Derivadas de uma Função

O comando “diff” é o comando para derivação simples e derivação parcial. A sua estrutura é:

[> R:

[> R: Resultado da derivação da função.

em que:

“ ” É a função de interesse;

“ ” É a variável de derivação;

“ ” Expressão que indica a ordem de derivação, sendo que n pode ser qualquer número

inteiro (ou seja, é possível se encontrar no software ).

O comando “Diff” escreve a fórmula da derivada, enquanto que o comando “diff” resolve a derivada,

sendo que os dois podem ser utilizados concomitantemente:

[> R: Função derivada.

Exemplos:

A) R:

B) R:

C) R:

D) R:

E) R:

F) R:

G) R:

H) R:

I) R:

26

em que:

“ ” É um número constante qualquer;

“ ” É um número real qualquer;

“ ” É um número real, positivo, diferente de 1.

Alguns exemplos que utilizam a regra da cadeia:

J)

R:

K)

R:

L)

R:

M)

R:

N)

R:

Para se resolver derivadas parciais utilizam-se os comandos “with”, “hessian” e o pacote “linalg”

(álgebra linear, em inglês), com a seguinte estrutura:

[> : R: Carrega o pacote “linalg” e salva a escolha no software.

[> R: Escreve a matriz hessiana no Maple.

27

em que: “ ” É a função de interesse;

“ ” É a variável ou variáveis de integração.

O)

R:

5.5 Como calcular Integrais de uma Função

O comando “int” é o comando para integração definida e indefinida. A sua estrutura é:

[> R:

[> R: Integral da função .

em que:

“ ” É a função de interesse;

“ ” É a variável de integração.

De maneira similar aos comandos ”limit” e “diff”, o comando “Int” escreve a fórmula da integral,

enquanto que o comando “int” resolve a integral. Também é possível utilizar fórmulas “prontas” de

integrais clicando no lado esquerdo da página principal do programa. Quando se utiliza os dois

comandos juntos, se obtêm:

[> R:

Exemplos:

A) R:

B) R:

28

C) R:

D) R:

E) R:

F) R:

G) R:

H) R:

em que:

“ ” É um número constante qualquer;

“ ” É um número real qualquer, diferente de -1;

“ ” É um número real positivo qualquer e diferente de 1.

O comando “int” pode ser usado para se encontrar a área sobre a curva de uma função. Para isso,

utiliza-se a estrutura abaixo:

[> R:

[> R: Área da função correspondente ao intervalo ( ).

em que:

“ ” É a função de interesse;

“ ” Os valores a e b representam o limite de integração inferior e o limite de integração

superior, respectivamente, o que ocorre quando o limite se encontra em um intervalo.

I) Calcular a área do gráfico de no intervalo (0,3) da coordenada x.

R:

29

R:

O comando é também utilizado para resolver integrais por substituição e integrais por partes. Como

exemplos, respectivamente:

J) R:

K) R:

Parte 2. Aplicações de Cálculo para às Ciências Agrárias

A seguir são apresentadas algumas aplicações de Cálculo voltado às Ciências Agrárias.

5.6 Função Afim

Para se produzir determinado insumo agrícola existe um custo fixo de produção de R$25 000,00 e um

custo variável por unidade de R$5 000,00. A partir dessa informação, podemos determinar a relação

entre o custo fixo, o custo variável e a quantidade produzida do insumo para descobrir qual será o

custo total de produção (MORETTIN, BUSSAB e HAZZAN, 1999). Assim:

significa o custo total de produção diante de unidades de insumo produzidas.

O gráfico dessa função dependerá da espécie do insumo, uma vez que, se ele for um produto

indivisível, o gráfico será um conjunto de pontos alinhados; e se ele for um produto divisível, o

gráfico será uma semi – reta.

>

30

5.7 Função Quadrática

Na Agricultura uma das maneiras de se planejar culturas se baseia na utilização de dois fatores

econômicos: custo total de produção ( e demanda do

produto ( , em que significa preço unitário e se relaciona com a quantidade demanda ). A

partir dessas duas equações é possível determinar a função receita (quanto de retorno irá produzir

uma quantidade de uma cultura com um determinado preço ) e a função lucro (a receita

produzida pela cultura menos os gastos para a sua produção) (MORETTIN, BUSSAB e HAZZAN

(1999)).

A partir dessas afirmações pode se encontrar a função receita e a função lucro para um produto

agropecuário com equação de demanda e o custo total .

Função Receita:

Sabemos que a função receita é:

em que:

quantidade de produto;

preço de cada produto (preço unitário).

Substituindo o preço unitário pela equação de demanda:

Assim, a receita é uma função quadrática representada pelo seguinte gráfico:

31

>

Podemos concluir também que a quantidade que maximiza a Receita é

Função Lucro:

A fórmula dessa função é:

em que:

função receita;

custo total de produção.

Utilizando as equações encontradas:

Conclui-se então que o lucro também é uma função quadrática, e pode ser representado pelo

gráfico:

32

>

5.8 Função Exponencial e Função Logarítmica Em ensaios de adução, por diversos motivos justificáveis (GOMES, 2000), deve se evitar sempre que

possível o uso de polinômios como a equação de regressão ( ). Ao envés dela, é dada

preferência à regressão pela Lei de Mitscherlich:

Essa lei mostra que o aumento da produção de uma cultura, proveniente da adição de quantidades

crescentes de nutrientes, não se comporta como uma regressão linear uma vez que quando tende

a aumentar, tende a diminuir.

Nessa equação temos que: é a produção máxima teórica possível quando se aumenta

indefinidamente a dose de um nutriente; é o coeficiente de eficácia (um parâmetro típico do

nutriente em questão); e é o teor do nutriente contido no solo de forma que as plantas possam

assimilá-lo.

Levemos em conta um experimento de adubação de cana de açúcar com N (nitrogênio), P (fósforo) e

K (potássio). Foram feitos 27 tratamentos, 9 para cada nutriente, e os resultados foram apresentados

em t/ha. A quantidade de nutriente aplicada no solo é divida em três níveis igualmente espaçados

para cada tipo de nutriente, sendo que no nível zero se aplica a dose zero de nutriente, no nível 1 se

aplica a dose e no nível 2 se aplica a dose . A partir disso é possível descobrir as produções

médias correspondentes a cada nível.

Usando, por exemplo, as médias correspondentes aos três níveis de fósforo tem-se que:

t/ha t/ha t/ha

33

A partir desses resultados é possível descobrir os valores de A, c e b por meio das seguintes equações

(também determinadas pela Lei de Mitscherlich):

Assim, a equação de regressão para essa situação é: t/ha.

O gráfico que a expressa é:

>

>

Com essa equação um profissional da área de Ciências Agrárias poderá conferir se os resultados de

uma determinada adubação estão de acordo com o esperado, projetar a dose de fósforo, ou outro

nutriente, buscando obter a produção máxima teórica, encontrar a dose econômica de fósforo para

determinada cultura etc.

34

5.9 Limite

Na prática, um importante conceito de limite são as assíntotas. Dizemos que uma reta é uma

assíntota de uma curva quando um ponto, ao mover-se ao longo da parte extrema da curva, se

aproxima desta reta, sendo que nenhum ponto obterá os mesmos valores da reta.

Retomando a aplicação 2.3, quando a equação produzida por Mitscherlich é “ploteada” no

computador, esta é representada por uma curva. Essa curva apresenta um ápice, ou seja, um valor

máximo de produção, sendo que depois desse valor a produção/quantidade de adubo alcança um

máximo. Isso ocorre porque as plantas necessitam de uma quantidade exata de cada nutriente,

sendo tanto valores maiores quanto valores menores do que esta quantidade, prejudiciais às

mesmas.

Utilizando o conceito de limite e realizando pesquisas quanto às aplicações de adubo e as

produtividades respectivas de diferentes culturas, é possível se estimar o máximo de produção que

culturas podem alcançar mediante a adubação (limitado pela assíntota da equação).

Assim, o limite referente à é:

>

No gráfico esse valor pode ser visualizado por uma reta tracejada ilusória:

>

Assíntota Horizontal

35

6 Conclusão

O tema deste trabalho se mostrou interessante pelo fato de que a utilização de um software de

Cálculo e de aplicações da matéria referentes ao enfoque dos cursos de Ciências Agrárias realmente

facilitam a compreensão da matéria. A possibilidade de estudar sozinho tendo a certeza de que

existe uma fonte confiável de resultados disponível a qualquer momento, e exercícios voltados para

o que o aluno vê ou ainda verá no seu dia-a-dia na universidade pode ser uma motivação a mais ao

aprendizado, além de um incentivo para que os estudos ocorram no local e momento de interesse do

próprio aluno.

A realização da Revisão de Literatura mostrou poucos materiais bibliográficos voltados ao tema do

trabalho, o que afeta diretamente o desenvolvimento de alunos de Cálculo no decorrer da matéria.

Assim, conclui – se que resultados satisfatórios podem ser obtidos com a disponibilização dos

materiais e métodos deste trabalho aos alunos, o que é previsto para ocorrer no futuro.

36

Referências Bibliográficas

AGUIAR, Alberto Flávio Alves; XAVIER, Airton Fontenele Sampaio; RODRIGUES, José Euny

Moreira. Cálculo para as Ciências Médicas e Biológicas. São Paulo: Harbra, 1998.

ANDRADE, Dalton Francisco; OGLIARI, Paulo José. Estatística para as Ciências Agrárias e

Biológicas: Com noções de experimentação. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2007.

BOULOS, Paulo. Introdução ao Cálculo: Volume I, Cálculo Diferencial. São Paulo: Edgard Blucher

Ltda., 1973.

BOULOS, Paulo. Introdução ao Cálculo: Volume II, Cálculo Integral. São Paulo: Edgard Blucher Ltda.,

1973.

CHARÃO, Andrea Schwertner; NOGUTI, Marcelo Yutaca (Org.). Maple 12: Tópicos de apoio a

disciplinas de semestres iniciais. Santa Maria: Pet Informática Ufsm, 2009. Disponível em:

<http://www-pet.inf.ufsm.br/topicosdeapoio/2009/apostila%20maple%2012%20pet-cc.pdf>. Acesso

em: 01 abr. 2013.

FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e

Integração. 6. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2007.

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