USO DA TÉCNICA DIAKOPTICS E PROCESSAMENTO ...3 Processamento Paralelo P rocessamento em paralelo...

USO DA TÉCNICA DIAKOPTICS E PROCESSAMENTO PARALELO PARA SIMULAÇÕES DE

TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS

BRUNA, L. FERRARI, PEDRO DA COSTA JR., JOSÉ E. C. CASTANHO, ANDRÉ N. DE SOUZA

Laboratório de Sistemas de Potência e Técnicas Inteligentes (LSISPOTI),

Departamento de Engenharia Elétrica, UNESP - Univ Estadual Paulista

Av. Eng. Luiz Edmundo C. Coube 14-01, CEP 17033-360 - Bauru - SP – São Paulo - Brasil

E-mails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract In this paper, the Diakoptics technique is reviewed and used to analyse electrical circuits. This technique allows par-

titioning of systems for parallel processing in the solution of electromagnetic transients. The Diakoptics technique is explained

using examples of application and the performance of parallel processing with multiple cores of a CPU is evaluated.

Keywords Simulation of Power Systems, Electromagnetic Transients, MATLAB, Multicore, Partitioning, Diakoptics, EMTP,

Algorithms, Dynamic Power System, Parallel Processing.

Resumo Nesse artigo, a técnica Diakoptics é revisada e empregada para análise de circuitos elétricos. Essa ferramenta permite

o particionamento de sistemas para o processamento paralelo na solução de transitórios eletromagnéticos. A técnica Diakoptics é

explicada através de exemplos de aplicação e o desempenho do processamento paralelo com vários núcleos de uma CPU é avali-

ado.

Palavras-chave simulação de sistemas de potência, transitórios eletromagnéticos, multiprocessamento, particionamento, dia-

koptics.

1 Introdução

É notória a importância econômica das simula-

ções de transitórios eletromagnéticos para estudar

ocorrências de falhas indesejáveis em um sistema de

potência.

A simulação de transitórios eletromagnéticos é em-

pregada para estimar o estresse que transitórios de

tensões e corrente podem provocar à instalação do

sistema elétrico de potência. Esse tipo de simulação,

entretanto, apresenta alto custo computacional e limi-

ta o número de casos que podem ser simulados ao

consumir uma quantidade excessiva de “homens-

hora” e horas de máquina. Existem vários fatores que

afetam o tempo de simulação: o tamanho do passo de

tempo da simulação, o tamanho da janela de tempo

de interesse, a ordem e a complexidade do modelo

matemático usado, limitação dos recursos computa-

cionais, eficiência de programação, e a natureza se-

quencial da solução (M. Uriate, 2013). Atualmente

requer-se simuladores tão rápidos quanto os de esta-

bilidade transitória (TS) e tão detalhados quanto um

simulador de Transitórios Eletromagnéticos (EMT)

(Fan and Ding, 2012).

A metodologia Diakoptics foi proposta e desenvolvi-

da por Gabriel Kron (Kron, 1963) para resolver pro-

blemas de sistemas com alta complexidade, e consis-

te basicamente em um conjunto de procedimentos de

particionamento do sistema original em subproble-

mas tratáveis. Entretanto, como esta ferramenta per-

mite o particionamento de sistemas lineares, vislum-

brou-se o potencial de utilizá-la para viabilizar a so-

lução das simulações de transitórios eletromagnéticos

em sistemas de processamento paralelos visando ace-

lerar o tempo de execução (M. Uriate, 2013). O uso

da metodologia Diakoptics para aceleração da obten-

ção do transitório eletromagnético apresenta grande

potencial de desenvolvimento considerando as atuais

condições de disponibilidade de sistemas multipro-

cessados de baixo custo, tanto os sistemas com pro-

cessadores multicores como unidades processamento

gráfico de propósito geral ou GPGPU (General Pur-

pose Graphics Processing Unit) (Kirk and Hwu,

2013; Stone et al., 2010) . Nesse artigo a viabilidade

do emprego desta metodologia é demonstrada e o seu

potencial de utilização é avaliado. Na próxima seção

é feita uma revisão da técnica Diakoptics.

2 Diakoptics

A metodologia conhecida como Diakoptics, cujo

prefixo Dia e sufixo koptic significam sistema e cor-

tar, respectivamente, foi inicialmente proposta por

Gabriel Kron (Kron, 1963) para resolver problemas

de sistemas de potência.

A técnica Diakoptics consiste em particionar um sis-

tema de grande porte em subsistemas mantendo a

identidade do sistema original nos subsistemas (Olo-

baniyi et al., 2012) usando e/ou revelando alguns

detalhes do sistema que teriam perdido importância

em outras simplificações (M. Uriate, 2013).

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

1932

A técnica Diakoptics foi empregada em diversas

áreas onde sistemas grandes e/ou complexos devem

ser desmembrados (Aitchison, 1987).

Quando a técnica de particionamento Diakoptics foi

desenvolvida, as ferramentas computacionais eram

escassas e lentas. Com o avanço dos computadores, a

velocidade foi apenas um dentre vários benefícios

oferecidos por este tipo de particionamento. Basica-

mente, o método reduz a dimensão das matrizes que

podem ser tratadas individualmente, de forma con-

comitante.

A técnica Diakoptics é uma ferramenta muito útil que

pode ser explorada em análises de sistemas de potên-

cia modernos, porém ainda é pouco utilizada. Algu-

mas razões pelo pouco uso dessa técnica como uma

ferramenta universal de análise de sistemas de potên-

cia é devido principalmente pelo sucesso das técnicas

de esparsidade (Sato and Tinney, 1963; Tinney et

al., 1985). Mas é no contexto de simuladores em

tempo real (Marti and Linares, 1994), e particular-

mente de soluções com multiprocessamento que as

vantagens da técnica Diakoptics se destacam (Marti

et al., 2000). Embora tanto as técnicas de esparsidade

quanto a técnica Diakoptics tirem proveito da espar-

sidade do sistema, a técnica Diakoptics mantém a

identidade dos subsistemas, fato que é muito difícil

de ser conseguido com as técnicas de esparsidade

para decomposição de matrizes. A manutenção da

individualidade dos subsistemas permite, por exem-

plo, o pré-cálculo (fora do laço de simulação) da in-

versão das submatrizes para aqueles subsistemas cuja

topologia não se altera, enquanto que apenas alguns

subsistemas exigem recálculo (J. R. Marti et al.,

2002).

Para ilustrar a aplicação da técnica Diakoptics, con-

sidere o circuito da Figura 1.

Figura 1. Circuito Elétrico

A Figura 2 apresenta o circuito equivalente ao da

Figura 1, quando discretizado usando o método de

integração trapezoidal (Dommel, 1969). Observe que

o corte foi realizado entre os nós 1 e 2.

Figura 2. Circuito Elétrico Equivalente

Na Figura 2, as resistências equivalentes dos induto-

res e capacitor são obtidas através das equações (1),

(2), e (3).

2

j

j

L

LR

t

(1)

2

L

LR

t

(2)

2

C

tR

C

(3)

As correntes fictícias (LjI ,

LI , e CI ), que aparecem

devido à integração numérica no domínio do tempo,

são atualizadas através das equações (4), (5), e (6),

em função das tensões nodais 1e t , 2e t , e 3e t .

1 2( ) ( )Lj Lj

j

tI t e t e t I t t

L

(4)

1( ) ( )L L

tI t e t I t t

L

(5)

2( ) ( )C C

j

tI t e t I t t

L

(6)

A Figura 3 apresenta os ramos que foram retirados

após o seccionamento do circuito entre os nós 1 e 2.

Nesta mesma figura, 1 2Lj ke e e e .

Figura 3. Ramos de Intersecção.

A Figura 4 apresenta os dois subsistemas obtidos

com o seccionamento do sistema equivalente origi-

nal, apresentado na Figura 2.


1933

Figura 4. Subsistemas equivalentes após o seccionamento.

Na Figura 4, as condutâncias G são obtidas através

das equações de (7) a (11).

1 11S SG R (7)

1L LG R (8)

1C CG R (9)

23 231G R (10)

3 31S SG R (11)

Enquanto a equação (12) relaciona o vetor de corren-

tes fictícias com as correntes dos ramos retirados, a

equação (13) relaciona as correntes de ramos com as

quedas de tensão nos ramos retirados no secciona-

mento do circuito original.

1

2

3

' 1 1

' ' 1 1

0 0'

Lj

a ac c

k

ii

i C i ii

i

(12)

0 '

'0 '

Lj Lj Lj

cc c c

k k k

R i eR i e

R i e

(13)

Assim, a matriz acC , na equação (12) relaciona as

correntes fictícias injetadas em cada nó do sistema

em função das correntes nos ramos retirados no pro-

cesso de particionamento do circuito.

Por outro lado, podemos escrever a equação (14).

1 2

1 2

1 1

2 2

3 3

''

'

1 1 0

1 1 0

Lj

c

k

t

ca

e e ee

e e e

e e

e C e

e e

(14)

Observando a equação (14), verifica-se que a matriz t

caC relaciona as quedas de tensão nos ramos retira-

dos com o vetor de tensões nodais do sistema.

Substituindo 'ce , da equação (14) na equação (13), e

isolando ci , segue a equação (15).

1

1

2

3

t

c cc ca

e

i R C e

e

(15)

Os subsistemas são descritos pelas equações matrici-

ais (16) e (17).

1 1 1 1'S LG G e I i (16)

2 223 23 2

23 3 23 3 3 3

'

'

C

S

I iG G G e

G G G e I i

(17)

A equação (18) é obtida a partir da combinação das

equações (16) e (17).

1 111 1

22 2 2 2

'

'

J jG v

G v J j

(18)

Onde:

1 1v e (19)

2

2

3

ev

e

(20)

1 1 1 1'J j I i (21)

2 2

2 2

3 3

'

'

I iJ j

I i

(22)

11 1' S LG G G (23)

23 23

22

23 3 23

'C

S

G G GG

G G G

(24)

A equação (18) pode ser novamente reduzida à nota-

ção da equação (25), onde 'aaG é uma matriz diago-

nal por blocos.

'aa a a aG v J j (25)

Onde:

11

22

''

'aa

GG

G

(26)

1

2

a

vv

v

(27)

1

2

a

JJ

J

(28)

1

1

2

2

3

'

'

'

a ac c

ij

j i C ij

i

(29)

Isolando av na equação (25), e substituindo aj pela

equação (29), obtém-se a equação (30).


1934

1 1

' 'a aa a aa ac cv G J G C i

(30)

Substituindo a equação (15) em (30), obtemos a

equação (31).

1

' t

aa a a ac cc ca aG v J C R C v

(31)

Separando os termos em av (31), obtém-se a equação

(32).

1' t

aa ac cc ca a aG C R C v J

(32)

Usando a identidade de Sherman-Morrison-

Woodbury (Woodbury, 1950), obtém-se a equação

(33).

1 1 1 1' ' ' 't

a aa aa ac cc ca aa av G G C R C G J

(33)

Onde

t t

ca acC C (34)

1

' 't

cc cc ca aa acR R C G C

(35)

3 Processamento Paralelo

Processamento em paralelo consiste em uma téc-

nica de interligação de várias unidades de processa-

mento (computadores individuais, não necessaria-

mente homogêneos) de maneira que um processo de

grande consumo seja executado na unidade “mais

disponível”, ou mesmo subdividido por várias unida-

des. Consegue-se, portanto, ganhos nestas soluções:

uma tarefa qualquer, se divisível em várias subtarefas

pode ser realizada em paralelo. Analogamente, pode-

se pensar nessas subtarefas como os subsistemas cri-

ados na análise do Diakoptics.

Utilizando múltiplos processadores simultaneamente

para solucionar um problema existe uma expectativa

de que haja um decréscimo do tempo necessário para

resolver um problema, ou seja, uma melhora de de-

sempenho.

A tecnologia multicore que consiste em colocar mais

de um núcleo no interior de um único chip processa-

dor, possibilita que haja divisões de tarefas, sendo

assim que cada núcleo solucione as subtarefas simul-

taneamente proporcionando uma simulação mais rá-

pida.

Figura 5. Processamento em Paralelo

O processamento em paralelo, usando a tecnologia

multicore e a análise Diakoptics, torna possível o

processamento de um sistema de grandes proporções

quando dividido em subsistemas com características

similares àquelas apresentas pelo sistema original.

De acordo com a equação (18) e (35), nota-se que

11'G , 22'G e 'ccR podem ser tratadas simultanea-

mente em processadores diferentes para posterior

solução da equação (33).

4 Verificação

Como exemplo representativo, considere o pro-

blema que exija a inversão de uma matriz de condu-

tâncias 150 150G

. A técnica de Diakoptics fornece uma

metodologia eficiente para particionar o problema e

que substitui a necessidade de inversão da matriz

original pela inversão de 3 matrizes com dimensões

menores (e.g,50 50G ), que podem ser invertidas simul-

taneamente em unidades de processamento individu-

ais.

Para verificar computacionalmente a aplicabilidade

da técnica Diakoptics, implementou-se em Matlab

um algoritmo para estimar o tempo para inverter as

matrizes 11'G e

22G' e o tempo para inverter a matriz

'aaG , para diversas quantidades de núcleos. Lem-

brando que 11'G e

22'G correspondem a inversão das

matrizes em dois núcleos processadores separados.

Para usar três núcleos particiona-se a matriz 'aaG em

três submatrizes 11'G ,

22'G e 33'G , e assim por dian-

te.

A Figura 6 apresenta o tempo necessário para inver-

são de matrizes de dimensões diferentes, usando ape-

nas um núcleo e o tempo necessário para inversão de

n submatrizes obtidas com a partição Diakoptics

usando n núcleos.

Figura 6. Gráfico do Tempo Médio


1935

A Figura 6 apresenta o tempo médio, ou seja, a média

aritmética do tempo usado para o processamento com

n núcleos. Conclui-se que conforme a dimensão da

matriz de condutâncias aumenta, a redução do tempo

de simulação, usando mais de um núcleo, se acentua.

Por exemplo, quando a matriz apresenta a dimensão

3000 3000 , o tempo de simulação é aproximada-

mente 2,6 vezes menor usando dois núcleos, 4,2 ve-

zes menor usando três núcleos e 5,6 vezes menor

usando quatro núcleos, tomando como referência o

tempo necessário para o processamento feito com

apenas um núcleo.

A Tabela 1 apresenta as dimensões mínimas das ma-

trizes a partir das quais o processamento paralelo

apresenta-se mais rápido quando comparado com o

processamento feito com apenas um núcleo. Os da-

dos dessa tabela são os mesmo usados para fazer o

gráfico da Figura 6. A Tabela 1 informa, por exem-

plo, que as matrizes com dimensões inferiores a 119

são mais rapidamente processadas usando apenas um

núcleo.

Tabela 1. Dimensões para as quais o tempo de processamento é

aproximadamente igual ao tempo de processamento com 1 núcleo

Número de Núcleos Dimensão da Matriz

2 119 119

3 92 92

4 80 80

A Figura 7 apresenta um circuito elétrico que foi

usado para verificar a viabilidade da técnica Diakop-

tics.

Figura 7. Circuito usado para avaliar a técnica Diakoptics.

A Figura 8 apresenta as tensões nodais calculadas

usando a abordagem tradicional, na qual a matriz de

condutâncias nodais é usada na sua forma não parti-

cionada. Basicamente solucionou-se a equação (36).

G V I (36)

A Figura 9 apresenta a solução do circuito da Figura

1 usando a equação (33) para validar a técnica Dia-

koptics. O “corte” foi realizado entre os nós 5 e 6 de

modo a manter as dimensões das submatrizes dos

sistemas particionados com aproximadamente a

mesma dimensão. Isso é feito para balancear as tare-

fas de inversão das submatrizes entre os dois núcleos

de processamento. A importância da relação entre as

dimensões de 11'G e

22'G deve-se ao fato de que am-

bos os núcleos devem realizar tarefas de preferência

ao mesmo tempo, afinal não adianta um núcleo ter-

minar sua tarefa muito antes do outro.

Figura 8. Tensões nodais obtidas sem processamento paralelo.

Figura 9. Solução usando Diakoptics e processamento paralelo.

A Figura 10 apresenta os resultados obtidos com o

PSCAD. Esses resultados validam tanto a implemen-

tação da solução na forma tradicional quanto usando

a técnica Diakoptics.

Embora o exemplo apresentado seja simples, de-

monstrou-se que a técnica Diakoptics permite parti-

cionar um sistema complexo, possibilitando de forma

eficiente a alocação dos subsistemas em diferentes

unidades de processamento, com o consequente ga-

nho de desempenho.

Alguns aspectos do problema, tais como o desenvol-

vimento de métodos que permitam particionar os

sistemas de forma a balancear a carga dos processa-

dores devem investigados. Outro aspecto a ser explo-

rado é o estabelecimento de diferentes perfis de sis-

temas levando em conta as características dos proces-

sadores disponíveis para execução, tais como quanti-

dade e localidade de memória, latência, etc.

Figura 10. Tensões ao Longo da Linha (PSCAD)


1936

Conclusão

Esse artigo consiste em uma revisão do método

de partição de redes elétricas, conhecido como Dia-

koptics, apresentando uma aplicação na solução de

circuitos elétricos.

Inicialmente, demonstrou-se que a utilização da téc-

nica Diakoptics só é vantajosa quando a dimensão da

matriz do sistema original é tal que o tempo de pro-

cessamento numérico usando apenas um núcleo é

superior ao processamento de várias submatrizes por

vários núcleos, uma vez que existe um sobrecarga de

tempo para o gerenciamento dos processos paralelos.

Os resultados obtidos com o PSCAD validaram as

implementações em MATLAB da técnica Diakoptics,

a qual viabiliza o uso de múltiplos núcleos para solu-

ção de múltiplos subsistemas.

A presente pesquisa deverá prosseguir investigando

metodologias que permitam a partição automática de

circuitos elétricos para viabilizar o emprego da técni-

ca Diakoptics em processamentos paralelos de siste-

mas de grande porte.

5 Agradecimentos

Agradeço à FAPESP que financia esta pesquisa,

através do processo 2013/02139-6.

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1937

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