UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE - … · 2012-07-05 · da calculadora HP-12C e do software...
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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS, CONTÁBEIS
E ADMINISTRATIVAS
CURSO: Ciências Contábeis
DISCIPLINA: Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade
Prof.: Egberto L. Teles
São Paulo
2000
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
2
UNIVERSIDADE MACKENZIE PLANO DE ENSINO
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS, CONTÁBEIS E ADMINISTRATIVAS
MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE
EGBERTO LUCENA TELES
CONTABILIDADE 330.2551.7 4
5a 4 h/a/s 2o / 00
Objetivos: Capacitar os alunos a desenvolver raciocínios adequados nas análises das
transações financeiras, apresentando-lhes técnicas de avaliação que levem em conta o
valor do dinheiro no tempo. Levar ao conhecimento dos alunos a relevância do uso de
métodos quantitativos para a resolução de problemas empresariais, notadamente no
campo contábil.
Ementa: Juros Simples. Juros Compostos. Desconto Composto. Anuidades e
Empréstimos. Inflação. Sistemas de Amortização. Técnicas de Análise de
Investimentos. Risco e Incerteza. Risco do Ativo Individual e da Carteira. Análise e
Substituição de Equipamentos. Efeito da Curva de Aprendizagem. Programação Linear.
Regressão Linear.
Conteúdo Programático:
1. A Decisão de Investir.
1.1 Custo de Oportunidade.
1.2 O horizonte de Planejamento.
UNIDADE
DISCIPLINA
PROFESSOR
DEPARTAMENTO CÓDIGO CRÉDITOS
ETAPA CARGA HORÁRIA SEMESTRE LETIVO
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
3
1.3 Taxa Mínima de Retorno.
2. Matemática Financeira.
2.1 Formas de Remuneração do Capital: Juros Simples e Juros Compostos.
2.2 Taxas de Juros: proporcional, nominal, efetiva e equivalente.
2.3 Relações de Equivalência de Capitais.
3. Sistema de Amortização.
3.1 Sistema Francês.
3.2 Sistema de Amortização Constante.
3.3 Comparação entre os Sistemas.
4. Técnicas de Análise de Investimentos.
4.1 Taxa Média de Retorno.
4.2 Período de Recuperação.
4.3 Índice benefício/custo.
4.4 Método do Valor Presente Líquido.
4.5 Método de Taxa Interna de Retorno.
5. Efeitos do Imposto de Renda.
6. Efeitos da Fonte de Financiamento.
7. Múltiplas Alternativas de Investimentos.
7.1 Projetos Mutualmente Excludentes.
7.2 Projetos Independentes.
7.3 Projetos Dependentes.
8. Análise de Substituição de Equipamentos.
8.1 Possibilidade de Baixa.
8.2 Vida Econômica.
8.3 Cálculo da Vida Econômica.
8.4 Substituição.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
4
8.5 Reforma ou Condicionamento.
9. Risco e Incerteza.
9.1 Teoria da Decisão.
9.2 Análise de Sensibilidade.
9.3 Risco de Ativos Individuais e de Carteiras de Investimentos (portfólio).
10. Análise da Curva de Aprendizagem.
11. Regressão Linear.
12. Programação Linear.
Metodologia: A metodologia empregada compreenderá aulas expositivas, seguidas de
resolução de exercícios de fixação e participação dos alunos em classe. Utilização de
retroprojetor e resolução de casos reais para melhor compreensão do aluno. Utilização
da calculadora HP-12C e do software Microsoft Excel.
Critério de Avaliação: O critério de avaliação consistirá na aplicação de duas provas
constituídas de partes teórico/conceituais e de exercícios práticos, sendo a primeira
com peso 1 e a segunda, englobando toda a matéria do semestre, com peso 4.
Bibliografia:
BÁSICA:
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando excel. São Paulo: Lapponi Treinamento e
Editora, 2000.
SOUZA, Alceu, CLEMENTE, Ademir. Decisões financeiras e análise de
investimentos: fundamentos, técnicas e aplicações. São Paulo: Atlas, 1997.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
5
COMPLEMENTAR:
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 4a ed. São
Paulo: Atlas, 1998.
BUSSAB, Wilton de Oliveira. Análise de variância e de regressão. 2a ed. São Paulo:
Atual, 1988.
CASAROTTO FILHO, Nelson, KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de
investimentos: matemática financeira, engenharia econômica, tomada de decisão
e estratégia empresarial. 8a ed. São Paulo: Atlas, 1998.
DAMODARAN, Aswath. Avaliação de investimentos: ferramentas e técnicas para a
determinação do valor de qualquer ativo. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1997.
IUDÍCIBUS, Sérgio de. Análise de custos. São Paulo: Atlas, 1988.
LANZER, Edgar Augusto. Programação linear: conceitos e aplicações. 2a ed. Rio de
Janeiro: IPEA, 1988.
MATHIAS, W. Franco, GOMES, José M. Matemática financeira. 2a ed. São Paulo:
Atlas, 1993.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 6a ed. São
Paulo: Saraiva, 1999.
ROSS, Stephen A., WESTERFIELD, Randolph W., JORDAN, B. D. Princípios de
administração financeira. São Paulo: Atlas, 1998.
SÁ, Geraldo Tosta de. Administração de investimentos, teoria de carteiras e
gerenciamento do risco. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1999.
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harbra, 1981.
VASCONCELLOS, Marco A. S., ALVES, Denisard. Manual de econometria. São
Paulo: Atlas, 2000.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C. 2a ed.
São Paulo: Atlas, 1996.
YOSHIDA, Luzia Kazuko. Programação linear. São Paulo: Atual, 1987.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
6
ÍNDICE 1. Matemática Financeira 7 1.1 Juros Compostos 7 1.2 Desconto Composto 8 1.3 Sistemas de Amortização 11 1.4 Séries de Pagamentos Iguais, com Termos Antecipados 14 1.5 Cálculo de seu Plano de Previdência Utilizando a Matemática Financeira
15
2. Investimento de Capital 16 2.1 Introdução 16 2.2 Conceitos 17 2.3 Quanto Vale a sua Empresa? 22 2.4 Avaliação de Investimento de Capital 30 3. Regressão Linear 34 3.1 Regressão Linear Simples 34 3.2 Equação Linear 35 3.3 Decisão por um Tipo de Relação 35 4. Programação Linear 42 5. Risco x Retorno 45 5.1 Lucratividade Real e Taxa Acumulada de Inflação 45 5.2 Análise de Risco 46 5.2.1 Risco Diversificável 47 5.2.1.1 Coeficiente de Variação 49 5.2.2 Risco Não Diversificável, ou Sistemático 50 5.3 Teoria das Carteiras 51 6. Exercícios Propostos 54
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
7
1. MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 Juros Compostos
Exercício 01. Em que prazo um empréstimo de $ 40.000,00 pode ser quitado em um
único pagamento de $53.529,02 , sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao mês?
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
53.529,02
- 53.529,02
Armazena o valor a ser pago no futuro.
40.000
40.000,00
Armazena o valor presente.
6
6,0
Armazena a taxa de juros
5,0
Prazo do empréstimo ( 5 meses).
Exercício 02. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5
meses à taxa de 4,5% ao mês.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
88.000
88.000,00
Armazena o valor presente.
4,5
4,5
Armazena a taxa de juros.
5
5,0
Armazena o prazo do empréstimo.
-109.664,01
Valor futuro a ser pago.
88.000
-21.664,01
Valor dos juros totais do empréstimo.
CHS
PV
REG f
i
n
f REG
PV
i
n
FV
+
FV
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
8
Fórmulas:
Onde: PV = valor presente
FV = valor futuro
J = juros
n = período
i = taxa unitária de juros ( i = % / 100 )
1.2 Desconto Composto
1.2.1 Desconto Composto Racional ou "por dentro"
Exercício 01. Sabe-se que um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento.
O valor nominal do título é de $82.000,00 e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.
Calcular o valor líquido liberado nesta operação sabendo-se que foi utilizado o desconto
composto "por dentro".
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
82.000
- 82.000,00
Armazena o valor futuro.
3,5
3,5
Armazena a taxa de juros.
4
4,0
Armazena o prazo.
71.458,26
Valor líquido liberado.
FV = PV (1 + i ) n
PV = FV (1 + i ) n
FV = PV + J
J = PV . [ (1 + i )n - 1 ]
i
n
PV
f REG
FV CHS
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
9
Taxa de juros da operação = ( 82.000,00 - 1 ) . 100 = 14,752%
71.458,26
ou seja, 14,752% ao quadrimestre, correspondente a 3,5% a. m.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores
4
4,00
Armazena o período.
100
100,00
Armazena o valor 100 como valor presente.
14,752
-114,752
Soma a taxa quadrimestral, chegando-se ao valor
futuro.
3,499
Taxa mensal.
Fórmulas:
Onde: N = valor nominal do título
V = valor descontado
n = período
i = taxa unitária de descontos
D = desconto
D = N ( 1 - 1 ) (1 + i ) n
V = N (1 + i ) n
f REG
PV ENTER
CHS
n
+
i
FV
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
10
1.2.2 Desconto Composto "por fora"
Exercício 02. Sabe-se que um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento.
O valor nominal do título é de $82.000,00 e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.
Calcular o valor líquido liberado nesta operação sabendo-se que foi utilizado o desconto
composto "por fora".
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Apaga registradores.
82.000
- 82.000,00
Armazena valor presente (como futuro).
3,5
-3,5
Armazena taxa de desconto.
4
4,0
Armazena o prazo.
71.108,76
Valor futuro (como valor presente).
Taxa de juros efetiva da operação = ( 82.000,00 - 1) . 100 = 15,316%
71.108,76
ou seja, 15,316% ao quadrimestre, correspondente a 3,627% a. m.
Fórmulas:
Onde: N = valor nominal do título
V = valor descontado
D = N [ 1 - ( 1 - d ) n ]
V = N ( 1 - d ) n
f REG
n
FV
PV
CHS i
CHS
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
11
n = período
d = taxa unitária de descontos
D = desconto
1.3 Sistemas de Amortização
1.3.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
Este sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações
periódicas, iguais e sucessivas, em que o valor de cada prestação, ou pagamento, é
composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital ( chamada
amortização).
Exemplo: Um empréstimo de $35.000,00 deve ser liquidado em três prestações iguais
e consecutivas, sendo que a primeira vence um mês após a data do contrato.
Sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao mês e o Sistema de Amortização
utilizado é o Sistema Price, calcular o valor das prestações, de juros de cada prestação
e o saldo devedor após cada pagamento.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
0,00
Especifica modo fim.
35.000
35.000,00
Armazena o valor presente.
3
3,00
Armazena o prazo.
12
12,00
Armazena a taxa de juros.
-14.572,21
Valor das prestações.
f REG
g END
PV
n
i
PMT
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
12
1
-4.200,00
Juros da 1ª prestação.
-10.372,21
Amortização do Principal da 1ª prestação.
24.627,79
Saldo devedor após a 1ª prestação.
1
-2.955,33
Juros da 2ª prestação.
-11.616,88
Amortização do Principal da 2ª prestação.
13.010,90
Saldo devedor após a 2ª prestação.
1
-1.561,30
Juros da 3ª prestação.
-13.010,91
Amortização do Principal da 3ª prestação.
0,00
Saldo devedor após a 3ª prestação.
N Saldo Devedor Amortização Juros Prestações
0 35.000,00 - - -
1 24.624,79 10.372,21 4.200,00 14.572,21
2 13.010,91 11.616,88 2.955,33 14.572,21
3 0,00 13.010,91 1.561,30 14.572,21
Total - 35.000,00 8.716,63 43.716,63
1.3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
Neste Sistema as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes (no Sistema
Francês, as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta).
O SAC consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas,
sucessivas e decrescentes em progressão aritimética, dentro do conceito de termos
AMORT f
X><Y
RCL
RCL PV
AMORT f
X><Y
AMORT f
X><Y
PV RCL
PV
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
13
vencidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e
outra parcela de capital (ou amortização). A parcela do capital é obtida dividindo-se o
valor do empréstimo (ou financiamento) pelo número de prestações, enquanto o valor
da parcela de juros é determinado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor
existente no período imediatamente anterior.
Exemplo: Um empréstimo de $35.000,00 deve ser liquidado em três prestações
consecutivas, sendo que a primeira vence um mês após a data do contrato. Sabendo-
se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao mês e o Sistema de Amortização utilizado
é o SAC, calcular o valor das prestações e de juros de cada prestação.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
35.000
35.000,00
Valor do empréstimo.
3
11.666,66
Valor da amortização constante.
35.000
35.000,00
Saldo devedor.
12
4.200,00
Valor do juros da 1ª prestação.
23.333,34
23.333,34
Saldo devedor.
12
2.800,00
Valor do juros da 2ª prestação.
11.666,68
11.666,68
Saldo devedor.
12
1.400,00
Valor do juros da 3ª prestação.
f REG
:
%
ENTER
ENTER
ENTER
%
ENTER
%
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
14
n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações
0 35.000,00 - - -
1 23.333,34 11.666,66 4.200,00 15.866,66
2 11.666,68 11.666,66 2.800,00 14.466,66
3 0,00 11.666,68 1.400,00 13.066,68
Total - 35.000,00 8.400,00 43.400,00
1.4 Séries de Pagamentos Iguais, Com Termos Antecipados
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início
de cada período. Assim , a primeira é sempre paga ou recebida no momento "zero", ou
seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou qualquer outra operação
que implique pagamentos ou recebimentos de prestações.
Exemplo: Qual o montante no final do 5o mês, resultante da aplicação de 5 prestações
iguais, mensais e consecutivas de $1.000,00, à taxa de 6% ao mês, sabendo-se que a
primeira aplicação é feita hoje (data do contrato).
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
0,00
Especifica o modo início.
5
5,00
Armazena o prazo.
6
6,00
Armazena a taxa de juros.
1.000
-1.000,00
Armazena as aplicações.
5.975,32
Montante no final do 5o mês.
f REG
g BEG
i
CHS PMT
n
FV
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
15
1.5 Cálculo do seu plano de previdência utilizando a matemática financeira
Exemplo: João é um jovem de 23 anos que deseja começar uma poupança para fins
de aposentadoria. João pretende começar a usufruir dos benefícios de sua
aposentadoria aos 55 anos e sua expectativa de vida é de 75 anos. O rendimento
mensal almejado é de R$ 2.000,00 e a taxa de juros obtida junto a uma instituição
financeira é de 1% ao mês.
Tempo de contribuição (55 anos - 23 anos) x 12 = 384 meses
Tempo do benefício (75 anos - 55 anos) x 12 = 240 meses
Valor do benefício R$ 2.000,00 mensais
Taxa mensal de juros 1% ao mês Primeiro precisamos saber quanto ele deverá ter depositado ao completar 55 anos.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Apaga registradores.
2.000
-2.000,00
Valor do benefício mensal
240
240,00
Períodos de benefício (meses)
1
1,00
Taxa mensal
181.638,83
Valor acumulado necessário aos 55 anos
Agora devemos calcular quanto deverá depositar mensalmente para atingir essa
quantia.
PMT
i
CHS
n
PV
REG f
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
16
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
181.638,83
-181.638,83
Valor acumulado necessário aos 55 anos
384
384,00
Períodos de contribuição (meses)
1
1,00
Taxa mensal
40,68
Valor do depósito mensal
Dessa forma, João precisa depositar R$ 40,68 mensais durante 32 anos para usufruir
de R$ 2.000,00 durante 20 anos.
2 . INVESTIMENTO DE CAPITAL
2.1 Introdução
Entre os diversos tipos de problemas de escolha de alternativas, os que envolvem o
investimento de fundos em novos ativos são ao mesmo tempo os mais importantes e os
mais difíceis. Esses problemas são importantes não só porque envolvem grandes
somas de investimento mas também porque a decisão pode influenciar os resultados
futuros da empresa. Além disso, quando se toma a decisão de investir e inicia-se a
implementação do projeto, dificilmente pode-se voltar atrás na decisão caso algo dê
errado. Qualquer investimento envolve a aplicação de fundos no presente, com a
expectativas de obter retornos positivos no futuro.
Novos projetos podem envolver a aquisição de bens de capital - ativos tangíveis de vida
útil longa como terrenos, imóveis ou máquinas e equipamentos industriais. Ao
considerarem um projeto proposto de investimento de capital, os investidores devem
avaliar os fluxos de caixa futuros esperados em relação ao montante de investimento
REG f
CHS
PMT
i
n
FV
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
17
inicial. O objetivo da análise através do método de fluxos de caixa descontados é a de
encontrar projetos que tenham um valor presente líquido (NPV) positivo.
Os principais problemas de orçamento de capital referem-se a: (1) expansão das
atividades da empresa; (2) substituição de ativos; (3) decisão sobre comprar ou alugar.
2.2 Conceitos
• Fluxo de Caixa Incremental: para efeito de análise de um projeto, o importante
será a apuração do acréscimo do valor da geração de caixa, ou seja, o fluxo de
caixa incremental.
• Fluxo de Caixa Líquido: significa o lucro líquido do exercício após a dedução do
imposto de renda adicionado dos valores de depreciação, amortização, exaustão,
provisões para perdas prováveis e outras despesas que não se concretizaram
financeiramente, mas subtraindo-se as receitas que também não se concretizaram
financeiramente, considerados na Demonstração do Resultado do Exercício - DRE.
• Fluxo de Caixa Líquido a Valor Presente: os valores dos fluxos de Caixa Líquido
deverão ser trazidos à data (0) zero, para estarem em consonância de data com
valor do desembolso inicial do investimento, permitindo a comparação homogênea
de valores no tempo.
• Fluxo de Caixa Líquido-Médio: consiste em somar as parcelas de fluxos de caixa
líquidos dividindo o resultado pelo número de anos dos fluxos.
• Valor Residual: refere-se ao valor de venda do projeto ou equipamento no final do
seu uso. O valor residual deve ser considerado como uma receita de geração de
caixa na data da venda. Não devemos confundir valor residual do bem com o seu
valor contábil. Um equipamento pode estar totalmente depreciado na contabilidade
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
18
da empresa e mesmo assim ainda tem um valor de venda ou seja, valor de
mercado.
• Taxa de Retorno Exigida ou de Atratividade: é uma taxa do mercado, exigida pelo
investidor para efetuar a aplicação de seu capital em determinado investimento, em
comparação com as diversas oportunidades de aplicação oferecidas pelo mercado.
A taxa de atratividade deve levar em consideração a correção monetária, o risco
operacional e o risco financeiro da empresa, a taxa de juros real de um investimento
sem risco, e ainda, uma recompensa, no tempo, pelo dinheiro empregado.
• Período de Retorno de investimento (Payback period): este método, com base
na geração de caixa, irá medir em quanto tempo o dinheiro investido terá seu
retorno. Quanto menos tempo, levar para se ter o retorno do investimento, menor
será o risco do empreendimento. O melhor é encontrar o período efetivo de
recuperação do investimento, visto que, entre dois projetos, aquele que tiver maior
fluxo de caixa inicial será o preferido.
• Índice de Lucratividade: o novo projeto será aceito se o índice de lucratividade for
maior ou igual a um. Esse índice mostra o quanto se tem retorno para cada $1
investidos no projeto. Se IL<0 o projeto deve ser rejeitado.
Período de Retorno = Desembolso Total
Fluxo de Caixa Líquido-Médio
IL = Valor Presente dos Fluxos de Caixa Líquidos
Investimento Total Inicial
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
19
• Método do Valor Presente Líquido (VPL ou NPV): é a soma algébrica do valor
atual dos fluxos líquidos de entrada de caixa (ingressos) e saída de caixa
(desembolsos) do investimento.
Elementos utilizados para o cálculo:
a) o valor do desembolso total com o projeto, na data 0 (zero);
b) os valores anuais obtidos da geração de caixa projetados para o projeto, durante
n anos;
c) escolha de uma taxa de desconto.
Se NPV maior ou igual a zero, o projeto deve ser aceito. Por outro lado, se NPV < 0
o projeto deve ser rejeitado.
• Método da taxa Interna de Retorno (TIR): é a taxa que fará com que o valor
presente do fluxo de caixa líquido esperado ou projetado, do empreendimento, se
iguale ao valor presente dos desembolsos de caixa aplicados no projeto.
• Custo de Oportunidade: significa o custo implícito de escolher a primeira melhor
alternativa em detrimento da segunda melhor. Mais especificamente, é representado
pelo valor do benefício que se deixa de ganhar como consequência de determinada
opção, no processo decisório, em detrimento da outra.
NPV = - Kinvestido + FCL1 + FCL2 + ... + FCLn
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)n
Kinvestido = FCL1 + FCL2 + ... + FCLn
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)n
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
20
Exemplo: Um investidor tem a oportunidade de comprar um apartamento no Morumbi
por $10.000.000,00 e gostaria de obter um retorno de 15% a. a. no mínimo. Ele espera
conservar o apartamento por 6 anos e então vendê-lo por $18.500.000,00; além disso,
ele prevê os fluxos de caixa do diagrama abaixo. Calcule o NPV (Net Present Value)
para determinar se o investimento renderá os 15% de retorno almejados.
18.500.000
950.000 950.000 950.000 950.000
-100.000
-10.000.000
Calculando o NPV
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
10.000.000
-10.000.000,00
Investimento inicial.
100.000
-100.000,00
1o fluxo de caixa.
950.000
950.000,00
2o fluxo de caixa.
4
4,00
Especifica 4 fluxos de 950.000.
18.500.000
18.500.000
6o fluxo de caixa.
g
g
REG f
CHS CFo
CHS CFj
CFj g
g Nj
g CFj
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
21
15
15
Taxa de retorno mínima.
269.564,39
Como NPV é positivo, o investimento excedeu
os 15% de retorno mínimo.
Calculando a TIR (IRR)
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
10.000.000
-10.000.000,00
Investimento inicial.
100.000
-100.000,00
1o fluxo de caixa.
950.000
950.000,00
2o fluxo de caixa.
4
4,00
Especifica 4 fluxos de 950.000.
18.500.000
18.500.000,00
6o fluxo de caixa.
3,00
Número de CFj’s.
15,565
A taxa de retorno excedeu os 15%.
i
f NPV
RCL
IRR
n
f
f REG
CHS CFo
CHS CFj
CFj
Nj
CFj
g
g
g
g
g
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
22
2.3 Quanto Vale a sua Empresa? (Revista Exame – 03/07/96)
"Sabe a padaria da esquina de sua casa? Pois bem, para calcular seu valor,
multiplique seu faturamento mensal por um número entre cinco e sete.
Pronto, esse é o preço do negócio. Depois, como manda a tradição, o antigo
e o novo dono convivem no caixa durante trinta dias. É a forma de confirmar
as informações sobre o faturamento. Simples, não? Sim, mas quando o
negócio se afasta do mundo do leite e dos pãezinhos, os cálculos tornam-se
muito mais complexos.
Tão complexos que provavelmente você não saberia responder à pergunta:
quanto vale a empresa na qual você trabalha? Você não vai padecer na
solidão. Segundo uma pesquisa da Simonsen Associados, uma consultoria de
São Paulo, quase 60% dos executivos brasileiros também não conseguem
respondê-la. Às vezes, até os donos têm dificuldades. Adelino Colombo, dono
da Lojas Colombo, uma das maiores redes de eletrodomésticos do país, não
sabe. Salim Mattar, da Localiza, também não. Roni Argalji, vice-presidente da
Du Loren, idem.
Certo, pouca gente conhece o valor. Então, vamos a outra questão. Como
calculá-lo? Isso depende de diversas variáveis. Primeira, o que ela tem que
interessa ao possível comprador, por exemplo, uma multinacional disposta a
desembarcar no Brasil? Opa, esqueça os prédios, os terrenos, os escritórios.
Os candidatos não procuram um negócio imobiliário. O importante é a sua
marca, a rede de distribuição, a carteira de clientes, a modernidade do
processo de produção, as pessoas. Agora, a pergunta definitiva: a empresa
gera caixa? Se a resposta for positiva, parabéns. Você vai conseguir um bom
dinheiro por ela. Caso contrário, é lamentável dizer, mas ela vale menos do
que você pensa.
Esse mix de variáveis foi condensado numa metodologia, batizada com o
pomposo nome de fluxo de caixa descontado. Importado dos Estados Unidos,
o discounted cash flow, DCF, analisa o futuro da empresa, num horizonte
mínimo de cinco anos. Nessa cesta, entram as suas perspectivas de
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
23
mercado, a evolução de seus custos e preços, a movimentação dos
concorrentes, entre outros itens. Depois, calcula-se seu fluxo de caixa lá na
frente, ano após ano. Ou seja, o dinheiro que sobra depois de todas as
contas pagas. Nele, o acionista pode pôr a mão sem sangrar a empresa. Por
fim, aplica-se uma taxa de desconto, para trazer para o presente os valores
futuros. O resultado é o valor da empresa.
Mesmo assim, a avaliação de uma companhia está longe de ser uma ciência
exata. Dois fundos de pensão, o Previ e o Petros, pagaram, em outubro de
1995, 96 milhões de reais por 29,17% da Riocell, fabricante de celulose. O
preço foi uma pechincha. Azar do grupo Iochpe-Maxion, o vendedor. O Banco
Patente, responsável pela intermediação, avaliou a empresa com base em
quatro diferentes metodologias. Chegou a quatro diferentes valores:
1) Cotação das ações da Riocell no mercado. Nas bolsas, 100% da Riocell
valiam 462 milhões de dólares. Nesse caso, 29,17% custariam quase 135
milhões de dólares.
2) Pelo “custo de reposição”, os compradores precisariam investir 468
milhões de dólares para montar uma empresa igualzinha à Riocell. Ou seja,
29,17% do capital atingiriam 136 milhões de dólares.
3) Pelo valor patrimonial, em outubro, a Riocell custaria 420 milhões de
dólares. A fatia do Iochpe valeria 122 milhões de dólares.
4) O último dos métodos é conhecido como múltiplos de EBTDI, sigla em
inglês para lucros antes dos impostos, da depreciação do capital e das
despesas financeiras. Nesse caso, o valor seria de 574 milhões de dólares
para a Riocell. O pedaço do Iochpe valeria 167 milhões de dólares.
A diferença entre o menor e o maior valor encontrado pelo Patente superou
os 100 milhões de dólares. Por que, então, o Iochpe concordou em vender
por 96 milhões o que valeria, pelo menos, 30% a mais? “Perdemos dinheiro
porque o mercado sabia da nossa intenção de abandonar essa atividade”, diz
um executivo do Iochpe que acompanhou as negociações. Ou seja, vender
no afogadilho é uma péssima estratégia.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
24
“O CAIXA É REI” — O caso da Riocell ilustra a evolução dos sistemas de
avaliação. Hoje, o que menos se olha numa empresa são seus ativos fixos,
como máquinas e equipamentos. Nem sua história. “O passado da empresa é
só o ponto de partida da avaliação”, diz Orfeu Trivelli, sócio da Strategía,
empresa de avaliação de São Paulo. “O que nos interessa é o seu futuro.”
Não é o caso de procurar a mãe Dinah. A bola de cristal dos avaliadores tem
sido o DCF. O objetivo do sistema é avaliar a capacidade de geração de
caixa da empresa. Ela faz dinheiro hoje e demonstra condições de continuar
fazê-lo no futuro? Então, tem produtos, marcas, custos baixos, gestão
eficiente, talentos, tecnologia. Compre-a.
“O caixa é rei”, diz o americano Thomas Copeland, sócio da McKinsey, uma
das mais conceituadas consultorias do mundo. Copeland é autor de
Valuation, a bíblia dos avaliadores nos Estados Unidos. Ainda sem tradução
para o português, o livro e seu conceito têm adeptos por aqui. “É o meu livro
de cabeceira”, diz Fábio Castanheira Ribeiro, analista de investimento do
Banco Real. Ribeiro não avalia empresas para operações de compra e
venda. Ele recomenda suas ações ao mercado. “O modelo tradicional de
avaliação embaça a visão do investidor”, diz Ribeiro. “Todo mundo sabe que
os números dos balanços podem ser manipulados ou não revelar a real
situação da empresa.” Aí está a fragilidade da avaliação apenas pelo valor
patrimonial estampado nos balanços.
É o caso da Brahma. A cervejaria tem sido a vedete das análises de Ribeiro
nos últimos meses. A empresa é a mais valorizada das bolsas brasileiras. Os
investidores compram suas ações por 3,26 vezes o seu valor patrimonial. Nos
últimos doze meses, o índice Bovespa valorizou-se 37%. As ações da
Brahma, 96%. “É uma empresa cuja gestão se preocupa em criar valor para o
acionista”, diz Ribeiro (veja reportagem Sua empresa dá dinheiro?). Por isso,
vive uma situação singular. No balanço, ela vale 705 milhões de dólares. Mas
se alguém se aventurasse num eventual takeover teria de desembolsar 3,4
bilhões de dólares por 100% de suas ações.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
25
O balanço da Brahma está errado? Não necessariamente. O balanço é um
retrato da situação da empresa em determinado momento. Para a avaliação,
interessa justamente o futuro. Entretanto, dois terços dos executivos ouvidos
pela Simonsen ainda acham que os ativos fixos são seus bens mais
preciosos. “Se você tem um empresa que não gera caixa, então você não tem
um negócio”, diz Antônio Cordeiro, da Simonsen. “Você só tem patrimônio.”
Os prédios e equipamentos da Pão Americano, dona da marca Pullmann, não
valem 85 milhões de dólares, o valor pago pela Santista Alimentos, do grupo
Bunge, para ficar com a empresa. “Nós compramos uma rede de distribuição,
uma marca forte e seu potencial para estimular nossos negócios atuais”, diz
Roberto de Azevedo, diretor da Santista para as operações de massas e
pães. Em outras palavras, a Santista não comprou a fábrica. O grupo já era
dono da Plus Vita, no Rio de Janeiro, e queria crescer nesse setor. Com a
Pullmann, tornou-se o maior fabricante de pães industriais no país.
LUVAS — Para chegar ao valor pago, a Santista utilizou o método do fluxo de
caixa descontado. Por ele, a empresa acabou pagando 1,2 vez o faturamento
da Pão Americano. Trata-se de um valor acima da média para empresas de
alimentos. A Gessy Lever pagou pela Cica o equivalente às suas vendas
anuais, que eram de 282 milhões de dólares em 1993. A Santista não se
importa com a comparação. A empresa entrou no mercado paulista com um
negócio pronto, funcionando. Mais que isso, com uma rede de distribuição
eficiente. Para um produto como o pão, altamente perecível, a distribuição
vale ouro. Se fosse criar uma empresa nova, a Santista perderia tempo e
dinheiro incalculáveis. “A aquisição é estratégica para nós”, diz Azevedo.
As aquisições estratégicas tornaram-se mais comuns a partir da abertura do
mercado brasileiro. Nelas, o comprador aceita pagar mais do que o negócio
valeria se fosse calculado pelas metodologias tradicionais — uma espécie de
luvas para ficar com a empresa. Esse tipo de investidor em geral está de olho
no mercado, não em lucros rápidos. As multinacionais dispostas a
desembarcar no Brasil são um bom exemplo de investidor estratégico. Outro
exemplo: empresas com planos de expansão rápida. A mais famosa dessas
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
26
aquisições envolveu 1,04 bilhão de dólares no começo de 1995. Foi o preço
pago pela Colgate-Palmolive para ficar com a Kolynos. O valor é 3,6 vezes o
faturamento anual da Kolynos. A Procter & Gamble, candidata à compra da
Kolynos, contestou o negócio no Cade. Uma de suas argumentações é que a
Colgate pagou mais do que a Kolynos valia. A Colgate não contesta com
números. “Kolynos é uma marca pronta, líder do mercado brasileiro e pode
virar um nome mundial”, diz Carlos Eduardo Toro, vice-presidente jurídico e
de assuntos corporativos da Colgate-Palmolive. “Pagamos pelo que podemos
fazer com a Kolynos no futuro.”
Os argumentos da Colgate são conhecidos pelos especialistas como bens
intangíveis ou goodwill, no inglês. Exemplo: marca, tecnologia, clientes,
qualidade da gestão, entre outros. Quanto vale uma equipe de gerentes
afinada com as estratégias da empresa? Vale tanto quanto a empresa
perderia se não a tivesse. “O goodwill é a diferença entre o patrimônio
líquido, registrado no balanço, e o valor efetivamente pago”, diz Alberto
Camões, diretor do Banco Pactual. “Se uma empresa gera caixa é porque
tem bens intangíveis.”
“Eu não vendo a minha empresa por menos do que 15 milhões de dólares”,
diz George Waddel, sócio da Mercosul Assistência. Na verdade, Waddel, um
inglês radicado há três anos no Brasil, acredita que pode cobrar até 20
milhões. Seus ativos (microcomputadores, sistemas de telefonia, entre
outros) valem um quarto desse valor, 5 milhões de dólares. Detalhe: Waddel
e seu sócio, Keith Westmacott, compraram a Mercosul do grupo francês
GM&F, em 1993, por 3,8 milhões de dólares. A empresa atua num setor em
expansão, o de assistência mecânica a clientes de seguradoras, cartões de
crédito e montadoras. No ano passado, o crescimento chegou a 20%. Além
disso, tem uma lucratividade alta. Para um faturamento de 23 milhões de
dólares em 1995, a Mercosul lucrou 3,4 milhões. Sua carteira de clientes
inclui General Motors e Bradesco Seguros. É por conta desses bens
intangíveis que Waddel quer no mínimo 15 milhões de dólares. “Só vendo se
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
27
pagarem isso”, diz ele. “Caso contrário, continuarei ganhando dinheiro com
ela.”
Empresas de serviços, como a Mercosul, valorizaram-se muito nestes tempos
de reinado do cliente. As de alta tecnologia, também. A Sisco, indústria
americana de softwares, vale cinqüenta vezes o seu lucro ou onze vezes
suas vendas anuais. Já as empresas de commodities, como as químicas e
alguns setores da agroindústria, estão em declínio. Seu preço no mercado
internacional é inferior a cinco vezes o lucro. “Os valores das empresas estão
cada vez menos relacionados com o que os livros dizem”, diz Hans Apostel,
da Apostel & Co, empresa de intermediação de negócios, de São Paulo.
Apostel freqüentou os bastidores de negociações como a da venda de parte
da Bombril para a Henkel e da Mallory, pela Black & Decker, a um fundo de
investidores irlandeses, em 1991. Com sua experiência, desenvolveu uma
técnica curiosa de intermediar negócios. Quando representa o vendedor,
sempre seleciona os compradores pelo que eles podem ganhar com a
empresa. “Aquele com capacidade de ganhar dinheiro, de fazer o negócio
prosperar, pagará mais por ela”, diz. O segundo colocado da lista de Apostel
certamente vai pechinchar no preço. Em 1993, a Quaker foi muito criticada
nos Estados Unidos. Na ocasião, pagou 240 milhões de dólares pela
Gatorade, cujo fauramento era de apenas 100 milhões. Hoje, a Gatorade
fatura 1 bilhão de dólares por ano. “Nas mãos da Quaker, a Gatorade pôde
crescer”, diz Apostel. “Nas da Volkswagen não valeria nada hoje.”
A Mallory, sob o comando da Black & Decker, era uma divisão que fabricava
pequenos componentes para eletrodomésticos. O negócio corria o risco de
desaparecer. A B&D decidira concentrar-se em ferramentas e
eletrodomésticos. Por isso, venderam a Mallory. Os novos donos, um grupo
de investidores irlandeses do Cent Investiments associado ao executivo
belga Marcel Vanden Bussche, transformaram-na em fabricante de
eletrodomésticos. Desde então, a empresa multiplicou por quatro seu
tamanho. O negócio de timers foi passado adiante no ano passado. Com a
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
28
empresa valorizada, os irlandeses a venderam, no final de 1995, a um novo
grupo de investidores.
POTENCIAL DE CRESCIMENTO — Não é fácil avaliar as empresas
brasileiras. A metodologia do fluxo de caixa descontado exige uma economia
estável. O amontoado de índices inflacionários e impostos, associados a uma
contabilidade capenga, distorce as estimativas de fluxo de caixa. “Essas
dificuldades afetam quase todos os mercados emergentes”, diz Copeland, da
McKinsey. Ah, por isso você faz parte dos 60% que não sabem o valor da
empresa? Valeu a tentativa, mas isso não pode servir de desculpas. “O valor
da empresa é uma informação estratégica na tomada de decisões”, diz
Cordeiro, da Simonsen. Segundo ele, o dado não é valioso apenas em
processos de venda ou fusão. “Ele é necessário na obtenção de recursos
financeiros adequados em quantidade e custos”, diz.
“Nunca me preocupei com o assunto até o momento em que sentei numa
mesa de negociação”, diz Nelson Cury, presidente da Panex. Cury esteve no
centro de duas complexas operações, concluídas em abril. Na primeira, a
Panex adquiriu 100% da Rochedo, controlada pela Alcan. Noutra, Cury
comprou uma parte da Penedo, sua maior rival no mercado de panelas. Os
antigos donos da Penedo agora são sócios da nova empresa. A Panex
dobrou de tamanho em vendas (180 milhões de reais este ano) e participação
de mercado (cerca de 30%). Somadas, as duas operações envolveram 40
milhões de dólares. O dinheiro será captado com a abertura de capital da
Panex. Cerca de 25% das ações serão colocados à venda. Durante essas
operações, a Panex passou por dois tipos de avaliação, a do fluxo de caixa e
a de múltiplos do lucro, conhecida como P/L. A primeira foi feita na tentativa
de atrair investidores institucionais, como fundos de pensão. “É a
metodologia preferida por eles porque olha o longo prazo”, diz Paulo de
Tarso, diretor da Proinvest, de São Paulo, intermediário do negócio.
Ao se decidir pela abertura do capital para obter recursos, a Panex usou o
índice P/L, mais utilizado nas bolsas brasileiras. “O investidor de bolsa está
preocupado com seus dividendos no final do ano”, diz Tarso. Não foi uma
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
29
troca lucrativa para a Panex. O método de fluxo de caixa encontrou um valor
50% maior para a empresa. É que o P/L olha só o balanço. Já o fluxo de
caixa revela o potencial de crescimento para os próximos anos. A fusão
permitirá um corte de 40% nos custos administrativos. Custos menores são
sinônimo de mais dinheiro em caixa. “O caixa é importante porque dele vem o
dinheiro para investimentos, pagamento de fornecedores e de impostos”, diz
Copeland. E mais importante: é com o tal fluxo de caixa que o acionista é
remunerado — e ninguém compra uma empresa por outro motivo."
O valor pago pode ser mais de quatro vezes o valor patrimonial
da empresa - valores em US$ milhões
Empresa
Comprador
Valor
patrimonial
Valor de mercado
p/ 100% da empresa
Valor
pago
Perdigão
Fundos de Pensão
220
234
150(1)
Artex Garantia 64 75 48
Atlantic Ipiranga 214 * 265
Cica Gessy Lever 179 107 284
Tostines Nestlé 37 * 200
Agroeliane Ceval 60 * 60
Arisco Goldman, Sachs 350 * 70(2)
Refripar Eletrolux 290 329 50(3)
Lacta Philip Morris 54 * 246(4)
Iochpe-Maxion AGCO 253 126 260
*Empresa de capital fechado (1) 73% do capital total (2) 20% do capital total (3)41% do capital Total (4) 60% das
ações ordinárias
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
30
2.4 Avaliação de Investimentos de Capital
Exercício 01.
Planta Antiga (Atual)
Receitas Totais 200 milhões
Custos Totais 175 milhões
Despesas Totais 18 milhões
Taxa de Atratividade 10,5%
Valor Residual da Planta Antiga em T0 40 milhões
Valor Residual da Planta Antiga em T6 10 milhões
Inflação Anual 4,5%
Projeto A
Valor do Financiamento 130 milhões
Prazo do Financiamento 6 anos
Carência 1 ano
Juros 10% ao ano
Depreciação Econômica 56% no período de 6 anos
Receita Total Aumento real de 5,2% ao ano
Custos Totais 60% dos Custos Totais decrescem 8%
no primeiro ano
Projeto B
Valor do Financiamento 130 milhões
Prazo do Financiamento 6 anos
Carência 2 anos
Juros 9,5% ao ano
Depreciação Econômica 45% no período de 6 anos
Receita Total Aumento real de 5,0% ao ano
Custos Totais 60% dos Custos Totais decrescem 5%
no primeiro ano
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
31
Fluxo de Caixa - Planta Antiga Valores em $mil
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6
Receita 209.000 218.405 228.233 238.504 249.236 260.452
(-) Custos Totais (182.875) (191.104) (199.704) (208.690) (218.082) (227.896)
(-) Despesas Totais (18.810) (19.656) (20.541) (21.465) (22.431) (23.441)
(-) Depreciação (5.000) (5.000) (5.000) (5.000) (5.000) (5.000)
(=) Lair 2.315 2.645 2.988 3.349 3.723 4.115
(-) IR (15%) (347) (397) (448) (502) (558) (617)
(=) Lucro Líquido 1.968 2.248 2.540 2.847 3.165 3.498
(+) Depreciação 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
(+) Valor Residual - - - - - 10.000
(=) Fluxo de Caixa 6.968 7.248 7.540 7.847 8.165 18.498
VP dos Fluxos 38.211
Fluxo de Caixa - Investimento A Valores em $mil
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6
Receita 219.868 241.710 265.721 292.118 321.137 353.039
(-) Custos Totais (174.097) (181.931) (190.118) (198.674) (207.614) (216.957)
(-) Despesas Totais (18.810) (19.656) (20.541) (21.465) (22.431) (23.441)
(-) Depreciação (12.133) (12.133) (12.133) (12.133) (12.133) (12.133)
(-) Juros Passivos (13.000) (14.300) (11.958) (9.381) (6.547) (3.429)
(=) Lair 1.828 13.690 30.971 50.465 72.412 97.079
(-) IR (15%) (274) (2.054) (4.646) (7.570) (10.862) (14.562)
(=) Lucro Líquido 1.554 11.637 26.325 42.895 61.550 82.517
(+) Depreciação 12.133 12.133 12.133 12.133 12.133 12.133
(+) Juros Passivos 13.000 14.300 11.958 9.381 6.547 3.429
(-) Financiamento - (37.723) (37.723) (37.723) (37.723) (37.723)
(+) Valor Residual - - - - - 57.200
(=) Fluxo de Caixa 26.687 347 12.693 26.686 42.507 117.556
VP dos Fluxos 142.120
Valor Residual - PA 40.000
(-) VP Planta Antiga (38.211)
(=) Incremento 143.909
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
32
VP Total de A TIR de A Empréstimo
26.687 g CFj 130.000 CHS g Cfo 143.000 PV
347 g CFj 26.687 g CFj 10 i
12.693 g CFj 347 g CFj 5 n
26.686 g CFj 12.693 g CFj 0 FV
42.507 g CFj 26.686 g CFj PMT -37.723
117.556 g CFj 42.507 g CFj 1 f AMORT -14.300
10,5 i 117.556 g CFj X><Y -23.423
f NPV 142.120 f IRR 12,72 1 f AMORT -11.958
X><Y -25.765...
No
Pagto
Taxa de
juros Anual
Saldo
Devedor
Valor da
Prestação
Porção de
Juros
Porção de
Principal
1
10,00%
143.000,00
(37.723,04)
(14.300,00)
(23.423,04)
2
10,00%
119.576,96
(37.723,04)
(11.957,70)
(25.765,34)
3
10,00%
93.811,62
(37.723,04)
(9.381,16)
(28.341,88)
4
10,00%
65.469,74
(37.723,04)
(6.546,97)
(31.176,07)
5
10,00%
34.293,67
(37.723,04)
(3.429,37)
(34.293,67)
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
33
Fluxo de Caixa - Investimento B Valores em $mil
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6
Receita 219.450 240.792 264.208 289.903 318.096 349.031
(-) Custos Totais (177.389) (185.371) (193.713) (202.430) (211.539) (221.059)
(-) Despesas Totais (18.810) (19.656) (20.541) (21.465) (22.431) (23.441)
(-) Depreciação (9.750) (9.750) (9.750) (9.750) (9.750) (9.750)
(-) Juros Passivos (12.350) (13.523) (14.808) (11.594) (8.074) (4.220)
(=) Lair 1.151 12.492 25.396 44.664 66.302 90.561
(-) IR (15%) (173) (1.874) (3.809) (6.700) (9.945) (13.584)
(=) Lucro Líquido 978 10.618 21.587 37.964 56.357 76.977
(+) Depreciação 9.750 9.750 9.750 9.750 9.750 9.750
(+) Juros Passivos 12.350 13.523 14.808 11.594 8.074 4.220
(-) Financiamento - - (48.642) (48.642) (48.642) (48.642)
(+) Valor Residual - - - - - 71.500
(=) Fluxo de Caixa 23.078 33.891 (2.497) 10.666 25.539 113.805
VP dos Fluxos 131.962
Valor Residual - PA 40.000
(-) VP Planta Antiga (38.211)
(=) Incremento 133.751
VP Total de B TIR de B Empréstimo
23.078 g CFj 130.000 CHS g Cfo 155.873,25 PV
33.891 g CFj 23.078 g CFj 9,5 i
2.497 CHS g CFj 33.891 g CFj 4 n
10.666 g CFj 2.497 CHS g CFj 0 FV
25.539 g CFj 10.666 g CFj PMT -48.642
113.805 g CFj 25.539 g CFj 1 f AMORT -14.808
10,5 i 113.805 g CFj x><y -33.834
f NPV 131.962 f IRR 10,89 1 f AMORT -11.594
x><y -37.048...
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34
No
Pagto
Taxa de
juros Anual
Saldo
Devedor
Valor da
Prestação
Porção de
Juros
Porção de
Principal
1
9,50%
155.873,25
(48.642,27)
(14.807,96)
(33.834,31)
2
9,50%
122.038,93
(48.642,27)
(11.593,70)
(37.048,57)
3
9,50%
84.990,36
(48.642,27)
(8.074,08)
(40.568,19)
4
9,50%
44.422,17
(48.642,27)
(4.220,11)
(44.422,16)
3. REGRESSÃO LINEAR
A regressão linear é um método estatístico que permite estimar uma reta do tipo y = a +
b . x que melhor represente a relação entre duas variáveis.
Sempre que utilizar o método da regressão linear é conveniente obter o coeficiente de
correlação, que mede a correlação existente entre duas variáveis x e y. A análise da
correlação e regressão compreende a análise de dados amostrais para saber se duas
ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra numa população.
A análise de correlação dá um número que resume o grau de relacionamento entre
duas variáveis; a análise de regressão tem como resultado uma equação matemática
que descreve o relacionamento.
3.1 Regressão Linear Simples
A regressão linear constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática
linear (linha reta) que descreva o relacionamento entre duas variáveis. A principal
utilização das equações de regressão é explicar valores de uma variável em termos da
outra.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
35
3.2 Equação Linear
Duas importantes características da equação linear são: (1) o coeficiente angular da
reta e (2) a cota da reta em determinado ponto. Uma equação linear tem forma y = a +
b . x onde, a e b são valores que se determinam com base nos dados amostrais; a é a
cota da reta em x = 0, e b é o coeficiente angular.
A variável y é a que deve ser predita, e x é o valor preditor. A variável y é chamada
variável dependende, e a variável x variável independente.
3.3 Decisão por um Tipo de Relação
É importante ter em mente que nem todas as situações são bem aproximadas por uma
equação linear. Por isso, em geral é necessário desenvolver um trabalho preliminar
para determinar se um modelo linear é adequado. O processo mais simples consiste
em grafar os dados e verificar se uma relação linear parece razoável.
Exemplos:
EXERC. 01
Tamanho do Lote Custo de MOD
15 3600
12 2800
20 4600
17 3800
12 3200
25 6000
22 5400
9 2200
18 4800
30 6400
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36
Gráfico de Pontos - verificar se existe tendência linear
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
3.600
3.600,00
15
1,00
Primeiro par de dados.
2.800
2.800,00
12
2,00
Segundo par de dados.
. . .
Obs: inserir todos os pares de dados.
6.400
6.400,00
30
10,00
Décimo par de dados.
0,977595
Coeficiente de correlação.
f REG
ENTER
∑ +
∑ +
∑ +
ENTER
ŷ , r g
Tamanho do Lote x Custo de MOD
0
1000
2000
30004000
5000
60007000
0 5 10 15 20 25 30 35
Tamanho do Lote
Cu
sto
de
MO
D
ENTER
X Y
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37
0
488,51
Intersecção da reta com o eixo Y (a).
0
488,51
Armazena o valor de a.
0
2,31
Valor de a / b.
0
210,64
Inclinação da reta (b).
Portanto a reta estimada é representada por:
Y = a + b . X
Y = 488,51 + 210,64 . X
RESUMO DOS RESULTADOS "Microsoft Excel"
Estatística de regressão
R múltiplo 0,977594822 >> Coeficiente de Correlação
R-Quadrado 0,955691636 >> Coeficiente de Determinação
Erro padrão 310,9354452 >> Erro-Padrão da Estimativa
Observações 10
Coeficientes
Interseção 488,5106383
Variável X 1 210,6382979
Y = a + b. X
Y = 488,51 + 210,64 . X
ŷ , r g
STO
, r g CHS
RCL : X Y
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38
Coeficiente de Correlação: é utilizado para indicar se existe um relacionamento
(correlação entre as variáveis). A correlação mede a força, ou o grau de relacionamento
entre duas variáveis. O coeficiente de 0,9776 indica que existe uma forte correlação
positiva entre as variáveis. O Coeficiente de Correlação varia de -1 a +1.
Coeficiente de Determinação: é de extrema importância e varia sempre entre 0 e 1.
Quanto mais próximo de 1, tanto melhor. Significará que grande parte da variação dos
Custos de MOD (Y = variável dependente), é explicável pela variação do Tamanho do
Lote (X = variável independente). O resultado de 0,9557 significa que cerca de 95,6%
do Custo de MOD é explicado pelo Tamanho do Lote, deixando apenas 4,4% para
outras variáveis omitidas ou para flutuações ao acaso.
Erro-Padrão da Estimativa: refere-se ao erro total da estimativa. Assim, se prevermos
produzir, para o próximo mês, 12 unidades, por exemplo, nosso modelo estimará: Y =
488,51 + 210,64 * 12 = 3.016, aproximadamente. E o Erro-Padrão da Estimativa =
310,935, significa que, o verdadeiro custo real estará compreendido no intervalo (3.016
- 310,94) < 3.016 < (3.016 + 310,94), com cerca de 2/3 de probabilidade.
EXERC. 02
Observação Quilometragem (em Mil) Preço de Venda 1 40 1.000,00 2 30 1.500,00 3 30 1.200,00 4 25 1.800,00 5 50 800,00 6 60 1.000,00 7 65 500,00 8 10 3.000,00 9 15 2.500,00
10 20 2.000,00 11 55 800,00 12 40 1.500,00 13 35 2.000,00 14 30 2.000,00
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39
RESUMO DOS RESULTADOS "Microsoft Excel"
Estatística de regressão R múltiplo 0,89923808 >> Coeficiente de Correlação R-Quadrado 0,80862912 >> Coeficiente de Determinação R-quadrado ajustado 0,79268155 Erro padrão 325,270286 >> Erro-Padrão da Estimativa Observações 14
Obs: - 0,899 >> o coeficiente de correlação tem o mesmo sinal do coeficiente angular
ANOVA F = 50,70 = (Stat t de b )^2
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 1 5364676,61 5364677 50,7055 1,21227E-05 Resíduo 12 1269609,104 105800,8 Total 13 6634285,714
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção 2933,59723 213,7806317 13,72246 1,1E-08 2467,809254 3399,385204 Variável X 1 -38,555171 5,414461223 -7,12078 1,2E-05 -50,35226808 -26,75807333
Quilometragem (em Mil) X Preço de Venda
-
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
3.000,00
3.500,00
0 10 20 30 40 50 60 70
Quilometragem (em Mil)
Pre
ço d
e V
end
a
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
40
a = intercepto = 2.933,6 Y = a + b. X b = coeficiente angular = - 38,6 Y = 2.933,6 - 38,6 * X
OBS: Stat t de a = Coeficiente a / Erro-Padrão de a Stat t de b = Coeficiente b / Erro-Padrão de b
Coeficiente de Correlação: é utilizado para indicar se existe um relacionamento
(correlação entre as variáveis). A correlação mede a força, ou o grau de relacionamento
entre duas variáveis. O coeficiente de - 0,899 indica que existe uma forte correlação
negativa entre as variáveis. O Coeficiente de Correlação varia de -1 a +1.
Coeficiente de Determinação: é de extrema importância e varia sempre entre 0 e 1.
Quanto mais próximo de 1, tanto melhor. Significará que grande parte da variação do
Preço de Venda (Y = variável dependente), é explicável pela variação da
Quilometragem do veículo (X = variável independente). O resultado de 0,808 significa
que cerca de 80,8% do Preço de Venda é explicado pela quilometragem do veículo,
deixando apenas 19,2% para outras variáveis omitidas ou para flutuações ao acaso.
Erro-Padrão da Estimativa: refere-se ao erro total da estimativa. Assim, se prevermos
vender, um veículo com 45.000 quilômetros rodados, por exemplo, nosso modelo
estimará: Y = 2.933,6 - 38,6 * 45 = 1.196,60, aproximadamente. E o Erro-Padrão da
Estimativa = 325,27, significa que, o verdadeiro preço real estará compreendido no
intervalo (1.196,60 - 325,27) < 1.196,60 < (1.196,60 + 325,27), com cerca de 2/3 de
probabilidade.
Intervalo de Confiança para o Coeficiente b: para isso devemos: (1) escolher um
nível de significância ou de probabilidade (o mais utilizado é de 95%); (2) determinar os
graus de liberdade (12 = n-2); e (3) consultar uma tabela de valore de t.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
41
Na tabela de Distribuições t >>> utilizar linha = 12 e coluna = 0,025 >>> valor encontrado = 2,179
Intervalo de Confiança de b = b +/- (Valor t * Erro de b)
Intervalo de Confiança de b = - 38,6 +/- (2,179 * 5,41)
Intervalo de Confiança de b = - 38,6 +/- 11,8
Intervalo de Confiança de b = - 50,4 <----> - 26,8
O verdadeiro valor de b estará compreendido entre os valores de - 50,4 e - 26,8 com
95% de probabilidade.
OBS: Mesmo quando há pouco ou nenhum relacionamento entre as variáveis numa
população, é ainda possível obter valores amostrais que façam as variáveis parecerem
relacionadas. Fatores aleatórios na amostragem podem produzir um "relacionamento"
onde, na realidade, não existe. Por isso, é importante testar os resultados dos cálculos
a fim de decidir se são significativos (isto é, se os verdadeiros parâmetros não são
nulos). Se não há relacionamento, é de se esperar um coeficiente angular zero.
Devemos então testar a hipótese nula: H0: B = 0 ; H1: B ≠ 0. A significância do
coeficiente de regressão pode ser testada comparando-o com seu desvio-padrão. Se a
razão é relativamente pequena, isto tende a implicar que o verdadeiro valor possa
efetivamente ser zero, enquanto que se a razão é relativamente grande, a implicação é
a contrária. De acordo com o exercício -7,12 (t teste) é significante ao nível de 0,05.
Logo, há alguma relação; o coeficiente angular não é zero.
Teste F >>> A significância da reta de regressão pode ser testada usando-se as
técnicas da análise de regressão. O teste F é válido desde que se possa supor que as k
amostras independentes foram extraídas de populações normais com variâncias iguais
(homoscedasticidade). A análise da variância utiliza a razão das duas estimativas,
dividindo a estimativa "entre"pela estimativa "dentro". O valor resultante da estatística
deve ser comparado com uma tabela de valores de F, que indica o valor máximo da
estatística no caso de H0 ser verdadeira, a um nível de significância.Os valores
constantes da tabela F são valores críticos: representam a linha divisória entre a
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
42
variação aleatória e a não-aleatória. Ao fazer a análise da variância, utilizam-se as duas
estimativas amostrais da variância para calcular uma razão F. Compara-se então o
número resultante com um valor F da tabela. Se o valor calculado é maior que o valor
tabulado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor do que o tabulado, a
hipótese nula não pode ser rejeitada. Neste exercício, ao nível de significância de 0,05,
para 1 e 12 graus de liberdade, o valor crítico de F é de 4,75. Portanto, rejeita-se HO;
há um relacionamento. O teste F com um grau de liberdade no numerador é igual a um
teste t. Neste exercício: 4,75 = 2,179 ^2
1. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Os administradores se vêem frequentemente em situações em que é necessária uma
distribuição de recursos limitados, como o capital, mão-de-obra, tempo de
funcionamento de máquinas e matérias-primas entre diversas atividades alternativas
(produção, P&D, etc.) para cumprir, os objetivos da empresa (lucro, participação de
mercado, satisfação dos empregados etc.).
A maioria dos administradores procura resolver o problema mediante análises do tipo "o
que aconteceria se...", nas quais se analisa o impacto de diversos tipos de atuação.
Mas, em decisões de distribuição de recursos, convém colocar questões do tipo"o que é
melhor?", "qual o melhor mix de produção?" ou "quanto deveria gastar em marketing?"
O termo otimização descreve um conjunto de técnicas que permite abordar questões
desse tipo. De uma forma mais concreta, a programação matemática ajuda a resolver
problemas de otimização sempre que é possível expressar as relações entre os
diversos fatores limitados na forma de equações matemáticas.
Quando as relações matemáticas são lineares, a técnica de resolução é chamada de
programação linear. Deve-se frisar, nesse contexto, que o conceito de programação
não se refere à programação de computador, mas sim ao planejamento, ou seja, a
determinação da atividade a executar e em que nível. Eis alguns exemplos de
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
43
problemas empresariais que podem ser abordados através da utilização de técnicas de
otimização:
• Uma empresa industrial com uma ampla gama de produtos, mas instalações de
produção limitadas deve tomar decisões sobre o mix de produtos;
• Uma empresa que opera uma refinaria de petróleo tem de decidir quais tipos de
petróleo bruto deve comprar e quais derivados do petróleo deve produzir;
• Um administrador de fundos que tem de distribuir determinado montante de capital
entre diferentes oportunidades de investimento;
• Um varejista que deseja administrar os seus pontos-de-venda a partir de um
armazém central, com o objetivo de minimizar os custos;
• Uma companhia aérea que tem de distribuir tripulações por diversos vôos.
Todos esses problemas apresentam a mesma estrutura: como distribuir recursos
escassos entre diversas atividades para otimizar um objetivo definido. Portanto, a
programação linear pode ser utilizada para resolver problemas que envolvam situações
pertinentes a operações agrícolas e industriais, transportes, investimentos, política e
planejamento econômico, saúde pública e outras.
Um problema de programação linear tem três características fundamentais: (1)
existência de um escalar que se busca otimizar e que é uma função linear das
incógnitas do problema; (2) existência de um sistema de equações lineares que define -
ou amarra - a viabilidade de qualquer plano potencial às condições específicas
estabelecidas no problema e (c) condicionamento de não-negatividade sobre todas as
incógnitas do problema (incluindo as variáveis auxiliares).
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44
Exemplo:
Exerc. 01. Um agricultor pode produzir bois para abate e ovelhas para lã. A produção
de um boi por ano requer a existência de um rebanho bovino que ocupa onze hectares
de pastagens e que exige uma hora de trabalho por dia. A produção de uma tonelada
de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa sessenta hectares de
pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros de 800 e
de 2.100 reais por boi e por tonelada de lã produzidos, respectivamente. Seus recursos
produtivos são limitados a quinhentos hectares de pastagens e, dado que seus dois
filhos o auxiliam no trabalho, dispõe de vinte e quatro horas de trabalho diárias. O
produtor desejaria seguir um plano que maximizasse seus lucros totais.
Função Objetivo: L = 800 X1 + 2.100 X2
Restrições:
a) 11 X1 + 60 X2 ≤ 500
b) 1 X1 + 2 X2 ≤ 24
c) X1 ≥ 0
d) X2 ≥ 0
Onde: L = lucro total (em reais por ano)
X1 = produção de bois (em cabeças por ano)
X2 = produção de lã (em toneladas por ano)
Obs: X1 e X2 são chamadas de "variáveis de decisão".
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45
5. RISCO X RETORNO
5.1 Lucratividade Real e Taxa Acumulada de Inflação
Lucratividade Real
A lucratividade nominal não nos permite verificar se o investimento em possibilitou um
aumento real do patrimônio do investidor, pois, esse cálculo não leva em consideração
os efeitos da inflação. Essa dificuldade pode ser facilmente superada se utilizarmos a
seguinte fórmula:
Lr = ( 1+ L) - 1 ( 1+ I )
Onde: Lr = Lucratividade real
L = Lucratividade nominal acumulada
I = Inflação acumulada
Exemplo: Consideremos a lucratividade nominal acumulada de L = 23,58%, e uma
inflação acumulada de I = 10,52%, no mesmo período do investimento.
Lr = ( 1+ 0,2358 ) - 1 ( 1+ 0,1052 )
Lr = (1,2358/1,1052) -1
Lr = 1,1182 - 1
Lr = 0,1182 = 11,82% (ganho real)
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
46
A importância desse indicador reside na sua capacidade de medir os aumentos reais do
capital investido, já que reduz os efeitos da inflação acumulada e, consequentemente,
permite ao investidor avaliar de forma mais exata o desempenho de seus investimentos.
Taxa Acumulada de Inflação
A inflação ocorre sob o regime de capitalização composta. Assim, em períodos de altas
taxas inflacionárias, a inflação passa a ser o principal componente da taxa de juros.
Exemplo:
TAI = IGP-M junho/90 - 1 = 194,38 - 1 = 0,9438 ou 94,38%
IGP-M março/90 100
TAI = (1+t1) . (1+t2) . (1+t3) . ... (1+tn) - 1
TAI = (1+0,1927) . (1+0,2235) . (1+0,3321) - 1 = 0,9438 ou 94,38%
Obs:
19,27 + 22,35% + 22,35 = 45,926845
45,92 + 33,21% + 33,21 = 94,389150
5.2 Análise de Risco
No sentido mais simples, risco pode ser definido como possibilidade de perda. Os ativos
de maiores possibilidades de perda são encarados como mais arriscados do que
aqueles de menores possibilidades de perda.
Nos mercados bursáteis, o risco pode ser analisado através do desempenho histórico
da lucratividade nominal de uma ação. Mais especificamente, o risco de uma ação
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
47
consiste de dois componentes a saber: risco diversificável , ou não sistemático, ou
sistemático.
5.2.1 Risco Diversificável
O risco diversificável, ou não sistemático, consiste na parcela de risco de uma ação que
pode ser eliminada pela diversificação dentro da carteira de ações. Ele resulta
basicamente de fenômenos não controláveis, tais como greves, processos, perdas de
clientes etc. Os eventos que levam as empresas a enfrentarem riscos diversificáveis
variam de empresa para empresa, sendo, portanto, específicos a uma dada empresa.
A fórmula geralmente empregada para determinar o desvio padrão da lucratividade
média de uma ação d, numa situação onde todos os resultados é:
N 2
∑ ( Li - L) d = L - 1 N
Onde: Li = Lucratividade nominal no período i, onde i vai de 1 a n.
L = Lucratividade nominal média do período.
N = Número de intervalos considerados no período i.
Exemplo: Consideremos os seguintes dados sobre o desempenho histórico de uma
ação.
L1 = 0,10 = 10,0%
L2 = 0,05 = 5,0%
L3 = 0,07 = 7,0%
L = 7,33%
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
48
d = ((0,10 - 0,0733)2 + (0,05 - 0,0733)2 + (0,07 - 0,0733)2) / 3
d = (0,00071289 + 0,00054289 + 0,00001089) / 3
d = 0,02 ou 2,0%
Diz-se que uma ação apresenta menor risco diversificável quando o desvio padrão da
sua lucratividade nominal média tende a 0 (zero). Nossa principal preocupação com os
desvios padrão reside em seu uso para comparar os riscos de ações que tenham
apresentado lucratividades nominais médias diferentes, já que eles são apenas uma
medida absoluta de dispersão e não consideram a dispersão de valores em relação ao
valor médio.
Exercício 01. Calcule o desvio-padrão dos retornos da ação Y a seguir. Calcule o
desvio-padrão como se os dados fossem amostrais e depois calcule novamente como
se os dados representassem a população de retornos da ação Y.
Períodos Retornos da Ação Y (%)
1 8,25
2 4,52
3 5,10
4 3,25
5 7,15
6 2,85
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49
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
clear
0,00
Limpa registradores.
8,25
1,00
1o retorno.
4,52
2,00
2o retorno.
5,10
3,00
3o retorno.
3,25
4,00
4o retorno.
7,15
5,00
5o retorno.
2,85
6,00
6o retorno.
5,18
Média dos retornos.
2,14
Desvio-padrão (da amostra).
5,18
Média dos retornos.
7,00
No de retornos + 1.
1,95
Desvio-padrão (da população).
5.2.1.1 Coeficiente de Variação
Nas comparações de ações com diferentes lucratividades nominais médias, o uso do
desvio padrão poderá ser facilmente aperfeiçoado, convertendo-o num coeficiente de
variação. O coeficiente de variação, C.V., é calculado simplesmente dividindo-se o
desvio padrão, d, de uma ação pela sua lucratividade nominal média, L:
f REG
∑ +
∑ +
S g
g
g
∑ +
∑ +
∑ +
∑ +
g
∑ +
S
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
50
C . V. = d / L
Exemplo: Consideremos os seguintes dados sobre o desempenho histórico de uma
ação.
L = 0,0733 = 7,33% a.p.
d = 0,02
C.V. = 0,02 / 0,0733
C.V. = 0,27
Diz-se que uma ação apresenta menor risco diversificável quando o seu coeficiente de
variação, C.V., tende a 0 (zero)
5.2.2 Risco não Diversificável, ou Sistemático
O risco não diversificável, ou sistemático, é atribuído às forças que afetam todas as
empresas, tais como guerras, inflação, incidentes internacionais etc... Este risco pode
ser avaliado em relação ao risco de uma carteira diversificada de ações, tais como
carteiras que compõem os índices das bolsas de valores.
A fim de avaliar o risco não diversificável de uma ação, deve ser determinado o seu
coeficiente beta, b, e sua fórmula de cálculo pode ser expressa pela seguinte equação:
B = Cov (Lj, Lm) / dm2
Onde: Cov (Lj, Lm) = Covariância da lucratividade da ação j, com a carteira do
mercado Lm.
dm2 = Variância da lucratividade da carteira de mercado.
Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade Prof. Egberto L.Teles
51
Os betas de ações podem assumir valores que sejam positivos ou negativos, e os seus
valores mais comuns estão distribuídos no seguinte intervalo: - 2 < = b < = + 2.
Exemplo: Uma ação de beta igual a +2 em relação ao mercado experimentará uma
mudança de 2% em sua lucratividade para cada mudança de 1% na lucratividade da
carteira do mercado, enquanto uma ação de beta -2 em relação ao mercado mudará -
2% para cada mudança de 1% na lucratividade da carteira do mercado.
5.3 Teoria das Carteiras
Harry Markowitz publicou em 1952 um artigo intitulado Portfolio Selection, no Journal of
Finance, onde tratava o risco com base no retorno esperado e sua variância. Markowitz
mostrou como um investidor poderia reduzir o desvio padrão dos retornos de uma
carteira de investimento em ações através da escolha de ações cujas oscilações não
fossem paralelas. A teoria da carteira de Markowitz foi um trabalho pioneiro sobre a
diminuição do risco em uma carteira diversificada.
Em seu artigo, Markowitz propôs a expectativa (média) de retorno e a variância de
retornos dos títulos como critério para a seleção do portfólio, ambos como uma possível
hipótese sobre comportamento atual e uma máxima para como os investidores devem
agir. Ele assumiu que convicções ou projeções sobre retorno de títulos seguem as
mesmas regras de probabilidade a que as variáveis ao acaso obedecem. Desta
suposição, segue que (1) o retorno esperado do portfólio é uma média ponderada dos
retornos dos títulos individuais e (2) a variância dos retornos do portfólio é uma função
particular das variâncias, e entre as covariâncias dos títulos e seus pesos no portfólio.
Vamos ao seguinte exemplo de como a diversificação pode reduzir o risco da
carteira: Um investidor está considerando combinar dois ativos numa carteira e
deseja avaliar os benefícios da diversificação. O ativo A tem um retorno
esperado de 18% e um desvio padrão do retorno de 23%. O ativo B tem um
retorno esperado de 24% e um desvio padrão do retorno de 45%. O coeficiente
de correlação dos retornos dos ativos é de -0,65. Os retornos esperados e o
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desvio padrão de um portfólio composto pelos dois ativos A e B, com metade da
carteira investida em cada um, são como segue:
1) Retorno Esperado do portfólio.
µµµµp = Wa . µµµµa + Wb . µµµµb
Onde: µµµµp = Retorno Esperado do Portfólio
µµµµa = Retorno Esperado do Ativo A
Wa = Proporção do Portfólio Aplicado no Ativo A
µµµµb = Retorno Esperado do Ativo B
Wb = Proporção do Portfólio Aplicado no Ativo B
Então: µµµµp = ( 0,50 . 0,18 ) + ( 0,50 . 0,24 )
µµµµp = 0,09 + 0,12
µµµµp = 0,21 ou 21%
2) Desvio-Padrão dos Retornos do Portfólio.
σp = Wa
2 . σa2 + 2 . Wa . Wb . ρab . σa . σb + Wb
2 . σb2
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Onde: σσσσp = Desvio Padrão dos Retornos do Portfólio
σσσσa = Desvio Padrão dos Retornos do Ativo A
σσσσb = Desvio Padrão dos Retornos do Ativo B
ρρρρab = Coeficiente de Correlação entre os Retornos Ativos A e B
σσσσa2 = Variância do Ativo A = Desvio Padrão do Ativo A elevado ao
Quadrado
Assim:
σp = (0,50)2 . (23)2 + 2 . 0,50 . 0,50 . –0,65 . 23 . 45 + (0,50)2. (45)2
σσσσp = 17,4%
Observamos que o desvio-padrão do portfólio é menor do que os desvios-
padrão dos ativos individuais da carteira. A variância em um portfólio de
investimentos é determinada pelas variâncias dos ativos individuais e as
covariâncias entre pares de ativos no portfólio. Portanto, a variância da carteira
de dois ativos é uma função da correlação dos retornos entre esses mesmos
ativos e, quanto mais alta a correlação de retornos entre os dois ativos, menores
serão os benefícios decorrentes da diversificação. O coeficiente de correlação é
um número entre -1 e +1 que mede a força da relação (linear) entre duas
variáveis. Um coeficiente igual a zero indica que não há relação linear. Um
coeficiente positivo indica que valores altos de uma variável estão associados
com valores altos da outra variável. Quanto mais próximo de 1, mais forte é
essa relação. Um coeficiente negativo indica que valores altos de uma variável
estão associados a valores baixos da outra variável. Se usássemos para o
mesmo exemplo um coeficiente de correlação de -0,25, teríamos o seguinte
resultado para o desvio padrão do portfólio:
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σp = (0,50)2 . (23)2 + 2 . 0,50 . 0,50 . -0,25 . 23 . 45 + (0,50)2. (45)2
σσσσp = 22,6%
A teoria sobre diversificação de carteiras e a relação entre risco e retorno dos
investimentos – normalmente ativos com maior retorno trazem maior risco (desvio
padrão dos retornos) - são fundamentos importantes na administração de portfólios.
6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6.1 Matemática Financeira, TIR e NPV 6.1.1 Qual é a Taxa Interna de Retorno dos Projetos de Investimentos cujos fluxos de caixa são a seguir apresentados?
PROJETO A
PROJETO B
ANO FLUXO DE CAIXA ANO FLUXO DE CAIXA
0 R$ (51.000,00) 0 R$ (51.000,00)
1 R$ 12.500,00 1 R$ -
2 R$ 15.000,00 2 R$ 16.500,00
3 R$ 16.000,00 3 R$ 18.800,00
4 R$ 16.000,00 4 R$ 18.800,00
5 R$ 18.000,00 5 R$ 18.800,00
6 R$ 18.000,00 6 R$ 18.800,00
7 R$ 28.000,00 7 R$ 29.000,00
8 R$ 29.000,00 8 R$ 26.000,00
TIR DO PROJETO A
TIR DO PROJETO B
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6.1.2 Consideremos que uma empresa contratou um empréstimo no valor de R$
57.000,00 liquidando-o através de desembolsos mensais de caixa discriminados
abaixo. Calculemos a taxa mensal de juros contratada. Primeira parcela vencendo em
1 mês após o contrato.
TAXA CONTRATADA
MÊS FLUXO DE CAIXA
0 R$ 57.000,00
1 R$ ( 8.500,00)
2 R$ ( 8.500,00)
3 R$ ( 8.500,00)
4 R$ ( 8.500,00)
5 R$ ( 8.500,00)
6 R$ ( 8.500,00)
7 R$ ( 8.500,00)
8 R$ ( 8.500,00)
6.1.3 Encontre a Taxa Interna de Retorno do seguinte fluxo de caixa:
Períodos Fluxo de Caixa
0 $ (42.000) 1 8.000 2 12.000 3 15.000 4 16.000 5 19.000
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6.1.4 Admitamos que uma empresa investiu R$ 50.000,00, obtendo ingressos de
caixa, durante os 8 meses subsequentes, conforme discriminados na planilha abaixo.
Considerando-se que o desembolso ocorre na data zero e os ingressos de caixa
ocorrem em datas futuras, avaliemos a atratividade do investimento confrontando as
entradas e a saída de caixa em valores de uma mesma data.
TAXA MENSAL DE JUROS 2,25%
VALOR INICIAL DO FINANCIAMENTO R$ 50.000,00
MÊS
FLUXO DE CAIXA
VALOR ATUAL EM VALORES
DO MÊS 0
VALOR PRESENTE
LÍQUIDO 0 R$ (50.000,00)
1 R$ 14.000,00
2 R$ 9.500,00
3 R$ 5.000,00
4 R$ 5.200,00
5 R$ 6.000,00
6 R$ 20.000,00
7 R$ 7.000,00
8 R$ 2.000,00
6.1.5 O seguinte anúncio é visto em uma loja de informática:
Pergunta-se: Qual a taxa de juros cobrada pela empresa na compra a prazo?
COMPUTADOR MDX III
A VISTA - $ 1.999,00
OU 1 + 4 de $ 578,67 (c/ entrada)
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6.1.6 Um perito contábil necessita corrigir o valor do salário de um certo trabalhador
para a data atual. O salário em 31.12.x0 era de $ 250,00. Quanto valeria hoje (31.12.x6)
se a inflação no período é mostrada pelo quadro a seguir:
ANO Taxa Anual Taxa Acumulada
X1 4,25%
X2 3,75%
X3 1,72%
X4 2,55%
X5 2,01%
X6 5,19%
6.1.7 Calcule o Valor Presente Líquido do seguinte fluxo de caixa. Responda se
o administrador financeiro da empresa deve efetuar o investimento.
Período Fluxos de Caixa
0 (12.000)
1 7.000
2 2.500
3 5.000
4 0
5 10.000
6 2.000
Observação: utilize uma taxa de desconto de 17%.
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6.1.8 De acordo com os fluxos de caixa a seguir, calcule o NPV e a TIR.
Discorra sobre a decisão a ser tomada pelo investidor. (Taxa de atratividade é
de 16%)
Período Fluxos de Caixa
0 (10.000)
1 1.000
2 1.000
3 3.000
4 3.000
5 3.000
6 9.000
6.1.9 De acordo com os fluxos de caixa a seguir, calcule o NPV e a TIR.
Discorra sobre a decisão a ser tomada pelo investidor. (Taxa de atratividade é
de 13%)
Período Fluxos de Caixa
0 (8.000.000)
1 (50.000)
2 450.000
3 550.000
4 450.000
5 12.400.000
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6.2 Regressão Linear
6.2.1 De acordo com a planilha abaixo, encontre a equação da reta que melhor
represente o relacionamento entre as duas variáveis dadas, esboce o gráfico e
encontre a previsão de vendas para gastos de propaganda de $ 7,0 milhões –
utilize a regressão linear simples:
Períodos Gastos com Propaganda
($ milhões) - X Volume de Vendas
($ milhões) - Y
01 9,3 310,3
02 7,8 258,5
03 12,5 436,7
04 9,5 356,2
05 6,4 257,5
06 4,7 221,2
07 6,1 245,6
08 5,7 260,0
6.3 Programação Linear
6.3.1 As restrições são as seguintes: MP-1 – 180, MP-2 – 240 e MP-3 – 120.
Formule o problema de programação linear para planejar a produção diária a fim
de que a margem de contribuição seja maximizada.
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PRODUTO A PRODUTO B UNIDADES MC R$ 200,00 R$ 300,00 MC TOTAL - - - MATÉRIAS-PRIMAS MP-1 2 1 MP-2 4 1 MP-3 0 1 RESTRIÇÕES MP-1 - - - MP-2 - - - MP-3 - - -
6.3.2 Uma empresa fabrica 5 produtos: A, B, C, D e E. Cada um deles requer 3 tipos de
matérias-primas: MP-1, MP-2 e MP-3. As disponibilidades das matérias-primas são:
MP-1 = 100unid., MP-2 = 80 unid. e MP-3 = 150 unid. Formule o problema de
programação linear para determinar a quantidadede que cada produto deve ser
fabricada para que o lucro seja o máximo possível.
PROD A PROD B PROD C PROD D PROD E UNIDADES MC R$ 200,00 R$ 100,00 R$ 60,00 R$ 50,00 R$ 150,00 MC TOTAL - - - - - -
MATÉRIAS- PRIMAS MP-1 2 5 3 2 1 MP-2 3 1 4 4 2 MP-3 6 2 3 1 4
RESTRIÇÕES MP-1 - - - - - - MP-2 - - - - - - MP-3 - - - - - -
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6.3.3 As disponibilidades diárias são: M-1 = 20h, M-2 = 12h e M-3 = 18h.
Formule o problema de programação linear para planejar a produção diária a fim
de que a margem de contribuição seja maximizada.
PRODUTO A PRODUTO B UNIDADES MC R$ 200,00 R$ 50,00 MC TOTAL - - -
MÁQUINAS M-1 3 2 M-2 4 0 M-3 2 5
RESTRIÇÕES M-1 - - - M-2 - - - M-3 - - -
6.3.4 A mistura deve conter pelo menos 20 unidades de P-1, 18 unid. de P-2 e
30 unid. de P-3. Formule o problema de programação linear para que o custo do
produto seja o menor possível.
ingrediente a ingrediente b kilos custo R$ 100,00 R$ 150,00 custo total -
-
-
Produtos p1 5 3 p2 4 5 p3 2 10
Restrições p1 - Total - - - p2 - Total - - - p3 - Total - - -
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6.3.5 Um depósito de 20.000 m2 deve ser alocado para armazenar três tipos de
produtos, P-1, P-2 e P-3. Sabe-se que P-2 não deve ocupar mais espaço do que
P-1, que o espaço ocupado por P-1 não deve ser maior que 3.000 m2 a mais
que a soma das áreas de P-2 e P-3 e que os espaços ocupados por P-2 e P-3
devem ter pelo menos 5.000 m2. Formule o problema de tal forma que a
margem seja a máxima possível.
Produto 1 Produto 2 Produto 3 Metros Quadrados Margem Unitária R$10.000,00 R$8.000,00 R$5.000,00 Margem Total
Metros Quadrados - - - -
6.3.6 Restrições: chassis = 450, cinescópio = 250, colunas de auto-falantes =
800, unidades de eletricidade = 450, componentes eletrônicos = 600. Ainda,
devemos produzir no mínimo 50 unidades de cada produto. Formule o problema
de tal forma que a margem seja a máxima possível.
tv som auto-falante
unidades margem unitaria R$ 75,00 R$ 50,00 R$ 35,00 margem total R$ - R$ - R$ - R$ -
Componentes chassi 1 1 0 cinescópio 1 0 0 coluna de auto-falante 2 2 1 cabo de alimentação 1 1 0 componentes eletronicos 2 1 1
Restrições chassi - - - - cinescópio - - - - coluna de auto-falante - - - - cabo de alimentação - - - - componentes eletronicos - - - -
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6.4 Risco X Retorno 6.4.1 Levando-se em consideração que um determinado investidor é avesso ao
risco. Qual seria a melhor escolha de aplicação para esse investidor entre as
três seguintes:
Períodos Ativo A Ativo B Ativo C
1 12% 30% 4%
2 8% 2% 1%
3 6% 14% 10%
4 18% 9% 20%
5 2% 23% 17%
Retorno Médio
Desvio-Padrão
Observação: os períodos representam uma amostra dos retornos desses
investimentos.