Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciencias e...

Universidade Nova de LisboaFaculdade de Ciencias e Tecnologia

Departamento de Matematica

Algebra Linear I

Reinhard Kahle

Primeiro semestre 2008/09

ConteudoPrefacio ii

Motivacao 1

1 A nocao do espaco vectorial 101.1 O Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Espacos vectoriais reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Independencia linear, dimensao e bases . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Subespacos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Aplicacoes lineares 262.1 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Aplicacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Aplicacoes lineares Rn → Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Operacoes de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 Sistemas de equacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6 Caracterıstica e nulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.7 Sistemas de equacoes lineares gerais . . . . . . . . . . . . . . . . 592.8 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.9 Mudanca de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10 Aplicacoes lineares invertıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 Construcoes de espacos vectoriais 733.1 Somas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 Exemplos de espacos vectoriais de dimensao infinita . . . . . . . 763.3 Corpos e espacos vectoriais complexos . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Determinantes 85

5 Valores proprios 100

A Topicos complementares 112A.1 Historia dos numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.2 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Bibliografia 120

Concordancias 121

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I II

PrefacioEstes apontamentos sao principalmente baseados no livro (em alemao) LineareAlgebra und Analytische Geometrie de HANS GRAUERT and HANS-CHRISTIAN

GRUNAU, [GG99]. Este livro partiu da cadeira Analytische Geometrie und Li-neare Algebra I do professor Grauert dada no Mathematische Institut da Uni-versidade de Gottingen no primeiro semestre de 1987/88 e que o autor destesapontamentos assistiu. Porque esta cadeira nao versa sobre a parte da geometriaanalıtica, so um parte da materia trada no livro [GG99] e traduzida aqui e, pon-tualmente, os topicos sao rearranjados. Os capitulos 4 e 5 sobre determinantes evalores proprios sao incorporados de outras fontes; o primeiro dos apontamentosde Algebra Linear I (2006/2007), [dC08], da JULIA VAZ DE CARVALHO, o se-gundo das sabentas Algebra Linear e Geometria Analıtica (versao de 2003) dosprofessores ANA PAULA SANTANA e JOAO FILIPE QUEIRO do Departamento deMatematica da Universidade de Coimbra [SQ03].

Adicionamos algumas notas, numerados por letras e em cor castanha, que, emgeral, nao foram dadas nas aulas teorica e que consistem de informacoes adicio-nais, em particular, de enquadramento de um topico no contexto matematico maislargo, ou de notas no “nıvel meta”, que, por exemplo, explicam uma nova formade demonstracao. Estas notas nao fazem parte da materia avaliada.

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 1

Motivacao

VectoresA Algebra Linear e, em grande parte, motivada pela Geometria.1 Mas em vez dasnocoes basicas de EUCLIDES (e HILBERT) — ponto, recta, plano, &c. — usamosa nocao de vector como elementar.

Um vector — como entidade geometrica2 — pode ser considerada como umaseta, com uma direccao e um comprimento dados, mas sem uma posicao fixada.

Figura 1: Representantes diferentes do mesmo vector.

Figura 2: Vectores diferentes (direccao; cumprimento; orientacao)

Nota-se que um vector e definido relativamente a um espaco geometrico: nasfiguras em cima consideramos vectores no plano. Podemos tambem considerarvectores no espaco (3-dimensional). Independentemente da questao, o que e queo sentido geometrico de um espaco 4-dimensional, ou n-dimensional, n > 0, oconceito de vector pode ser generalizado para dimensoes elevadas, contanto quetemos nocoes de direccao e comprimentos para estes espacos. Do mesmo modo,podemos definir a nocao de vector para o espaco 1-dimensional, a recta: Nestecaso, porque existem so duas direccoes ao longo da recta, um vector e dado peloseu comprimento e a sua orientacao. No caso do espaco 0-dimensional, um ponto

1Muitas vezes, a disciplina introdutivo e chamada Algebra Linear e Geometria Analıtica; nalicenciatura de Matematica do nosso Departamento existe uma disciplina propria de Geometria nosegundo semestre do primeiro ano, qual trata os aspectos geometricos separadamente.

2Mais tarde vamos introduzir uma nocao abstracta de vector, que, apesar de ser motivada nanocao geometrica, e independente desta e que nao deveria ser confundida com a nocao geometrica.


isolado, tambem existe uma nocao de vector, mas numa forma degenerada: Soeste mesmo ponto e o unico vector deste espaco.

Pode-se definir uma adicao de vectores: v +w e o vector que optemos quandovamos, em primeiro, a longo de v, e depois, a longo de w:

Figura 3: v + w e v − w.

Agora, e uma “observacao” geometrica, que a adicao e comutativa, i.e., v + wresulta no mesmo vector como w + v.

Uma outra operacao que podemos definir para vectores e a multiplicacao comum escalar. Este operacao corresponde uma dilatacao com um factor λ (λ umnumero real) i.e., o comprimento do vector e mudado com a proporcao λ. Aquiincluımos o caso “degenerado” em que λ e igual a zero. Neste caso, o resultado eo vector nulo, i.e., um ponto. Tambem permitimos que λ e negativo. Neste caso,a orientacao do vector e alterado, em adicao a dilatacao com o factor λ.

Figura 4: A multiplicacao por escalares.

Note-se que este conceito de vectores e independente de coordenadas. De


facto, o mundo real em que vivemos — um espaco 3-dimensional — nao temcoordenadas.

O espaco n-dimensional dos numeros reaisA introducao de coordenadas para um espaco geometrico, pelo o matematico (efilosofo) frances RENE DESCARTES, foi, sem duvida, um dois mais importantespassos na historia da matematica.

Para o plano e o espaco, os sistemas de coordenadas cartesianas sao bem co-nhecidos e dados por conjuntos de pares e triplos de numeros reais:3

R2 := {(x1, x2)|x1, x2 ∈ R},R3 := {(x1, x2, x3)|x1, x2, x3 ∈ R}

Em geral, definimos o espaco n-dimensional como o conjunto dos n-uplos denumeros reais:

Rn := {(x1, . . . , xn)|xk ∈ R com k = 1, . . . , n}

com (x1, . . . , xn) = (x′1, . . . , x′n) se e so se x1 = x′1, . . . , xn = x′n.

Nota 0.A. A indicacao da igualdade associada com o espaco parece talvez trivial e superflua.Nota-se que nao sempre a igualdade associada com um sistema de coordenadas e dadapela igualdade dos componentes. No caso de coordenadas polares para os numeros com-plexos {(r, φ) : r ∈ R+

0 , φ ∈ [0, 2π[} temos que

(r, φ) = (r′, φ′) se{

r = r′ e φ = φ′, se r > 0,r′ = 0, se r = 0.

No segundo caso, em que r = r′ = 0, φ e φ′ podem ser (arbitrariamente) diferentes.

Como os vectores, os elementos de Rn podem ser adicionados e podem sermultiplicados por um escalar λ ∈ R:

(x1, . . . , xn) + (x′1, . . . , x′n) := (x1 + x′1, . . . , xn + x′n)

λ · (x1, . . . , xn) := (λ · x1, . . . , λ · xn)

Existe uma forte correspondencia entre o Rn e os vectores geometricos, quevamos estudar em detalhe nesta disciplina. Entao esta correspondencia da a justificacaode chamar o Rn um espaco vectorial, mais concreta um espaco vectorial real n-dimensional. Aqui a palavra “vectorial” refere ao sentido abstracto de vector quevamos introduzir em baixo. Notamos tambem que a palavra “real” origina dofacto que os escalares da multiplicacao que consideramos sao numeros reais, masnao do facto que os uplos consistem de numeros reais.

3O sımbolo := significa “igual por definicao” e os dois pontos ficam no lado do objecto que epara definir.


Aplicacoes linearesNa geometria analıtica, i.e., a geometria que ja substituiu o espaco geometrico“real” pelo espaco cartesiano R3, ou no caso do plano pelo R2, podemos conside-rar aplicacoes especiais, que tem a propriedade conveniente da linearidade. Con-sideramos o caso de aplicacoes de R2 para R2, i.e., aplicacoes que mapear pontosdo plano para pontos do plano, ou, pares de numeros reais para pares de numerosreais. Uma tal aplicacao f chama-se linear, se satisfaz as seguintes condicoes(com x, y ∈ R2; λ ∈ R):

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(λ · x) = λ · f(x)

Figura 5: Dilatacao (em todas as direccoes com o mesmo factor)

Porque consideramos as aplicacoes lineares como uma classe interessante deaplicacoes? Bem, na verdade, por si propria, esta classe nao e a classe mais impor-tante da geometria. Mas tem pelo menos duas razao porque vamos estudar estaclasse em muitas detalhes. Uma vez, provou-se que as ferramentas da AlgebraLinear, em primeiro lugar, o calculo de matizes, sao as ferramentas perfeitas paraestudar estas aplicacoes. A segunda razao e que a classe das aplicacoes afinas,uma classe que e realmente muito interessante na geometria, esta intimamenteligada as aplicacoes lineares e o estudo das aplicacoes lineares e uma base impor-tante do estudo das aplicacoes afinas.

Rectas no plano realUma recta no R2 e dada como conjunto de solucao duma “equacao linear em duasincognitas”. Mais exacto definimos:


Um subconjunto L de R2 chama-se recta, se existem a, b, c ∈ R com (a, b) 6=(0, 0) tal que L = {(x, y) ∈ R2|ax + by = c}.

Nota 0.B. Chamamos a atencao para a condicao (a, b) 6= (0, 0). A primeiro, isto significaque a e b nao devem ser 0 simultaneamente. De facto, (a, 0) e (0, b) definem rectasperfeitas para a e b 6= 0 (quais?). Mas, o que acontecia no caso a = b = 0? Obtemos aequacao 0 = c. Entao, o caso de c 6= 0, L e o conjunto vazio; no caso de c = 0, qualquerpar (x, y) satisfaz a condicao, i.e., L = R2.

Para qualquer definicao matematica que tem condicoes como a de (a, b) 6= (0, 0)vale a pena pensar no sentido desta condicao. Muitas vezes uma reflexao das hipotesesde uma definicao pode ajudar a compreensao. Tambem vale a pena por atencao ondetais hipoteses sao usadas em demonstracoes. A hipotese de (a, b) 6= (0, 0) para rectas eusada, por exemplo, no Caso III das solucoes de equacoes lineares em duas incognitas noseguinte paragrafo.

Dadas duas rectas, 4x− y = 3 e x + y = 2, como pode-se calcular o ponto deinterseccao?

Temos de resolver a sistema de equacoes:

4x− y = 3,

x + y = 2

Como solucao comum das ambas equacoes obtemos x = 1 e y = 1, i.e, o pontode interseccao e (1, 1).

Equacoes lineares em duas incognitasAgora vamos considerar a questao de interseccoes de duas rectas em geral, i.e.,para quaisquer “parametros” nas equacoes.


Consideramos duas rectas em R2 com (a, b) 6= (0, 0) e (c, d) 6= (0, 0):

L1 = {(x, y) ∈ R2|ax + by = e} e L1 = {(x, y) ∈ R2|cx + dy = f}.

Como no exemplo temos de resolver o sistema de equacoes

ax + by = e (1)cx + dy = f (2)

com (a, b) 6= (0, 0) e (c, d) 6= (0, 0).Quando multiplicamos (1) com d e (2) com −b e tambem (1) com −c e (2)

com a, obtemos:

adx + bdy = de −acx− bcy = −ce

−bcx− bdy = −bf acx + ady = af

Adicoes dao:

(ad− bc)x = de− bf (ad− bc)y = af − ce

Agora consideramos a “determinante” relacionada com as sistema de equacoes(1) e (2):

D := det

(a bc d

):= ad− bc

e distinguimos os seguintes tres casos:Caso I. D 6= 0.Entao a sistema de equacoes tem exactamente uma solucao:

x =de− bf

D, y =

af − ce

D.

Caso II. D = 0 e (af − ce 6= 0 ou de− bf 6= 0).


Entao o sistema de equacoes nao tem nenhuma solucao, e as duas rectas L1 eL2 sao paralelas, com L1 6= L2.

Caso III. D = 0 e af − ce = de− bf = 0.Se a 6= 0, entao c 6= 0 (se fosse c = 0, entao porque D = ad−bc = 0, tambem

seria d = 0 em contradicao ao premisse (c, d) 6= (0, 0)). Por multiplicacao4 comca

obtemos da equacao (1)c

aax +

c

aby =

c

ae.

Porque ad − bc = 0 e af − ce = 0 temos d = bca

e f = cea

e vimos que estaequacao e de facto igual a equacao (2). Entao L1 = L2.

Se b 6= 0, entao d 6= 0 (com um argumento analogo ao anterior). Por multiplicacaoda equacao (2) com b

dobtemos a equacao (1). Entao temos tambem L1 = L2.

Planos no R3 e hiperplanosUm subconjunto E de R3 chama-se plano se existem a1, a2, a3 ∈ R com (a1, a2, a3) 6=(0, 0, 0) tais que

E = {(x1, x2, x3) ∈ R3|a1x1 + a2x2 + a3x3 = b}.

Nota 0.C. Como para as rectas, vale a pena imaginar quais sao os planos, que obtemosse dois dos tres parametros a1, a2, a3 (por exemplo a1 e a3) sao zero. E quais planos saocaracterizadas no caso em que um dos parametros (por exemplo a3) e zero?

Em geral, definem-se hiperplanos em Rn por

E = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|a1x1 + · · ·+ anxn = b}

com (a1, . . . , an) 6= (0, . . . , 0). Um hiperplano em R1 e entao um ponto e umhiperplano em R2 e uma recta.

Sistemas de equacoes linearesNa Algebra Linear consideramos, em geral, sistemas de equacoes com m equacoese n incognitas da forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

4Note que a multiplicacao de uma equacao duma recta por uma constante ( 6= 0) resulta numa“outra” equacao para a mesma recta.


Como no caso no R2, a solucao deste sistema de equacoes da a interseccao doshiperplanos ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi, i = 1, . . . ,m no Rm.

No estudo destes sistemas de equacoes vai ser interessante estudar a matrizdas coeficientes (de facto, as matrizes sao o conceito que vai ligar sistemas deequacoes com aplicacoes lineares):

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

.

Um exemplo duma matriz:16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

.

Este “quadrado magico” tem a propriedade que todas as somas das linhas ecolunas e diagonais (e outras somas) sao 34. Encontra-se no lado direito em cimada gravura Melancolia do artista Albrecht Durer de 1514.


1 A nocao do espaco vectorial

1.1 O Rn

Neste disciplina suponhamos os numeros reais como conhecidos.Podemos considerar os numeros reais como fraccoes decimais infinito, e.g.,

10, 23457 . . . .Fraccoes como 10, 22999 . . . e 10, 2300 . . . sao iguais.Existe o zero 0, 00 . . . e numeros reais negativos, e.g., −10, 2312 . . . .Numeros reais podem ser adicionados, multiplicados e divididos. As proprie-

dades dos numeros reais sao dadas pelos axiomas de corpos, os axiomas de ordeme o axioma de completude.

A conjunto dos numeros reais e designado por R:

R = {x|x e um numero real}.

Um subconjunto importante de R e o conjunto dos numeros naturais N ={1, 2, 3, . . . }.

O facto que N e contido em R e escrita na matematica simbolicamente proN ⊂ R. Isto significa que todo o elemento n de N (em sımbolos: n ∈ N) etambem um elemento de R.

O espaco dos numeros reais n-dimensional

A seguir, n ∈ N e um numero natural fixo. Consideramos n-uplos (ordenados) denumeros reais ~a = (a1, . . . ,an), onde os componentes ai, para i = 1, . . . , n, saonumeros reais. Os ~a ∈ Rn chamam-se vectores.

Definicao 1.1 (Rn).

Rn := o espaco dos numeros reais n-dimensional:= {~x = (x1, . . . ,xn)|xi ∈ R para i = 1, . . . , n}

Dois n-uplos ~a ∈ Rn e~b ∈ Rn sao iguais, se ai = bi para i = 1, . . . , n.Por exemplo, no caso n = 2, (1, 1; 2, 3) 6= (2, 3; 1, 1).5 Dois vectores de Rn

podem ser adicionados e o resultado e tambem um vector:

~a +~b := (a1 + b1, . . . ,an + bn) para ~a,~b ∈ Rn.

5Em geral, os componentes de um vector sao dividas por vırgulas; em certa maneira isto naofoi um boa escolha na presenca dos numeros reais: a vırgula ja e usada na notacao de fraccoesdecimais. Por isso, o ponto e vırgula tomar a funcao de separacao das componentes. Em geral,nao deve ser um problema distinguir a funcao de uma vırgula de contexto. De facto, no seguintevamos raramente trabalhar com numeros concretos, mas muito mais com variaveis e parametros.


O vector nulo ( 0, . . . ,0︸︷︷︸n vezes

) e designado por ~0.

Para todo o vector ~a ∈ Rn definimos um vector negativo:

−~a := (−a1, . . . ,−an).

Introduzimos uma multiplicacao por escalar. Para d ∈ R e ~a ∈ Rn definimos:

d · ~a := (d · a1, . . . ,d · an) ∈ Rn.

O Rn, em conjunto com as operacoes definidas em cima, tem os seguintespropriedades basicas (que vamos introduzir em baixo em abstracto como axiomasde grupos e de espacos de vectores respectivamente).

(1) Associatividade. Para todos os ~a,~b,~c ∈ Rn temos

~a + (~b + ~c) = (~a +~b) + ~c.

Demonstracao. Para demonstrar isto, usamos a propriedade correspondente dosnumeros reais. Sejam ~a,~b,~c ∈ Rn, entao

~a + (~b + ~c) = ~a + ((b1, . . . ,bn) + (c1, . . . ,cn))

= ~a + (b1 + c1, . . . ,bn + cn)

= (a1, . . . ,an) + (b1 + c1, . . . ,bn + cn)

= (a1 + (b1 + c1), . . . ,an + (bn + cn))

= ((a1 + b1) + c1, . . . ,(an + bn) + cn)

= (a1 + b1, . . . ,an + bn) + (c1, . . . ,cn)

= (a1 + b1, . . . ,an + bn) + ~c

= ((a1, . . . ,an) + (b1, . . . ,bn)) + ~c

= (~a +~b) + ~c

a

(2) Para todo o ~a ∈ Rn temos ~a +~0 = ~a.

Demonstracao. Exercıcio. a

(3) Para todo o ~a ∈ Rn temos ~a + (−~a) = ~0.


(4) Comutatividade. Para todos os ~a,~b ∈ Rn temos

~a +~b = ~b + ~a.



Os axiomas de grupos

Agora confrontamos este situacao concreta com a definicao abstracta de um grupo.

Definicao 1.2 (Grupo; grupo comutativo). Seja V um conjunto com uma operacaobinaria6 + : V × V → V , (a, b) 7→ a + b. Se temos:

(1) Para todos os a, b, c ∈ V :

a + (b + c) = (a + b) + c.

(2) Existe um elemento (fixo) 0 ∈ V , tal que para todo o a ∈ V :

a + 0 = a.

(3) Para todo o a ∈ V existe um elemento −a ∈ V tal que

a + (−a) = 0.

Entao V chama-se um grupo.Se se verifica adicionalmente a seguinte condicao:

(4) Para todos os a, b ∈ V :a + b = b + a,

entao V chama-se um grupo comutativo.

Mais exacta devemos falar de (V, +) ou (V, +, 0,−).Com este definicao podemos exprimir os resultados anteriores na seguinte

proposicao:

Proposicao 1.3. (Rn, +,~0,−) e um grupo comutativo.

Nota 1.A. A notacao para a operacao de grupos e para o elemento nulo pode variar. “+” e“0” sao, muitas vezes, usadas para grupos comutativos. “·” e “1” pode ser uma alternativa:e um exercıcio verifica, que (R \ {0}, ·, 1, ··) e um grupo. Para evitar confusoes com asoperacoes usuais de numeros, e tambem usado “◦” como sımbolo da operacao e “ε” parao elemento neutro. Algumas vezes usamos tambem “⊕” em vez de “+” para sublinhara natureza especial da operacao dum grupo (e para evitar a confusao com a adicao denumeros).

6Na notacao + : V × V → V , V × V designa o produto cartesiano de dois “copias” de V ,e significa so que + tem dois argumentos, ambos de V . O sentido da seta deve ser claro: no ladoesquerdo temos o domınio, i.e., o(s) conjunto(s) dos argumentos, no lado direito o contradomınio,i.e., o conjunto em que encontram-se os resultados da aplicacao da operacao.


Nota 1.4. Seja (V, +, 0,−) um grupo. Temos

1. Para todo o a ∈ V : (−a) + a = 0, i.e. o inverso direito de axioma (3) etambem um inverso esquerdo para a.

2. Para todo o a ∈ V : 0 + a = a, i.e. o nulo direito e tambem um nulo es-querdo.

3. Para todo o a ∈ V : a = −(−a).

4. Seja 0′ ∈ V . Se temos para um a ∈ V : a + 0′ = a, entao 0 = 0′.

5. Seja a ∈ V . Se temos para um b ∈ V : a + b = 0, entao b = −a.

(d) e (e) mostram que o elemento nulo e o inverso sao unicos.

Demonstracao. Ver aulas. a

Nota 1.5. E importante que temos nas axiomas (2) e (3) a existencia de um ele-mento nulo direito e simultaneamente um inverso direito.

Seja V um conjunto com pelo menos dois elementos e uma adicao definidapor a + b := b. Neste caso a e no mesmo momento um elemento nulo esquerdoe um inverso direito. A adicao e tambem associativa, mas (V, +) nao e um grupo,porque o elemento nulo nao e unico: qualquer elemento de V e um elemento nuloesquerdo.

Vamos terminar por enquanto a consideracao de grupos com a introducao deexpressoes da forma a1 + · · ·+ an para elementos ai de um grupo (V, +). Nota-se, que tais expressoes nao sao definidas a priori. E obvio, que queremos “iterar”a operacao do grupo, mas de qual lado, do lado esquerdo ou do lado direito?Por causa de axioma de associatividade, nao deve resulta em nenhuma diferenca;contudo, para um apresentacao rıgida matematica, e necessario da uma definicaoformal para este expressao. E podemos usar este oportunidade para ilustrar ometodo de “definicao indutiva”. Vamos definir a1 + · · ·+ an para n ≥ 2.

No caso n = 2, a1 + a2 ja e definido (como operacao do grupo). Para n > 2podemos supor que a1 + · · ·+ an−1 ja e definido. Entao definimos

a1 + · · ·+ an := (a1 + · · ·+ an−1) + an.

Vamos considerar agora mais uma vez o Rn e algumas propriedades da multiplicacaopor escalares. A verificacao deste propriedades e muito facil e, por isso, nao dadaaqui.


(5) Verifica-se a regra unitaria: Para todo o ~a ∈ Rn temos 1 · ~a = ~a.

(6) Verifica-se a associatividade da multiplicacao por escalares: Para todo oc, d ∈ R e ~a ∈ Rn temos

c · (d · ~a) = (c · d) · ~a.

(7) A multiplicacao por escalares e a adicao de vectores sao ligadas pelas regrasde distributividade: Para todos os c, d ∈ R e ~a,~b ∈ Rn temos

(c + d) · ~a = c · ~a + d · ~a e c · (~a +~b) = c · ~a + c ·~b.

1.2 Espacos vectoriais reaisNeste paragrafo deixamos a consideracao do espaco concreto Rn e introduzimosa definicao abstracta de um espaco vectorial real.

Definicao 1.6 (Espaco vectorial real). Seja V 6= ∅ um conjunto nao vazio, comduas operacoes binarias dadas, uma adicao:

+ : V × V → V , (x, y) 7→ x + y,

e uma multiplicacao por escalares7

· : R× V → V , (c, x) 7→ c · x.

Seja (V, +) um grupo comutativo. Temos para a multiplicacao com escalares:

(5) (Regra unitaria) Para todo o x ∈ V : 1 · x = x.

(6) (Associatividade) Para todos os c, d ∈ R e x ∈ V :

(c · d) · x = c · (d · x).

(7) (Distributividade) Para todos os c, d ∈ R e x, y ∈ V :

c · (x + y) = c · x + c · y e (c + d) · x = c · x + d · x.

Entao (V, +, ·) chama-se espaco vectorial real.

7A multiplicacao por escalares e tambem chamada multiplicacao externa.


As propriedades caracterısticas (1)–(7) das definicoes 1.2 e 1.6 chamam-seaxiomas de espaco vectorial. Os elementos x, y, . . . de V chamam-se vectores.O elemento neutro 0 ∈ V em relacao da + chama-se vector nulo. Normalmente,podemos excluir uma confusao com o numero 0 ∈ R, mas em casos de duvidaspodemos tambem escrever 0V para o vector nulo de um espaco vectorial V .

Aqui consideramos R como corpo de escalares e chamamos os seus elementosescalares; em geral, podemos considerar tambem outros conjuntos como escala-res, nomeadamente os numeros complexos C, mas vamos considerar esta pos-sibilidade so mais tarde. Em vez de (V, +, ·) escrevemos tambem so V , se asoperacoes + e · sao claras de contexto. Se e claro que o corpo de escalares deveser R, falamos tambem so de um espaco vectorial, em vez de explicitamente deum espaco vectorial real.

Agora podemos exprimir os resultados sobre o Rn da seccao 1.1 em termos danova nocao.

Proposicao 1.7. (Rn, +, ·) e um espaco vectorial real.

Nota 1.8. {0} com 0+0 = 0 e c·0 = 0, para todos os c ∈ R e um espaco vectorialreal.

Nota 1.B. O Rn e o espaco vectorial real paradigmatico (pelo menos no caso de dimensaofinita); mais tarde podemos mostrar formalmente que o Rn tem, num certo sentido, umaposicao distinta entre os espacos vectoriais. Neste momento, so dizemos que e legıtimopensar sempre no Rn quando falamos sobre um espaco vectorial (em certa maneira como“instancia modelo”).

Damos aqui um lista de outros espaco vectoriais reais; esta lista e entendida so comoilustracao. Nao precisamos destes exemplos, que em parte usam conceitos elevados damatematica, nas consideracoes que seguem imediatamente. Se sao usados mais tarde,vao ser introduzidos mais uma vez explicitamente. Neste momento, so poderia ser umexercıcio verificar, que os exemplos satisfazem os axiomas de um espaco vectorial real.

1. Sejam n ∈ N0 e Rn[X] o conjunto dos polinomios na indeterminada X , coeficien-tes em R e de grau menor ou igual a n, isto e

Rn[X] :={ n∑

i=0

ai ·Xi∣∣∣ai ∈ R, i = 0, . . . , n

}.

Sejam + a adicao usual de polinomios (adicao de componentes) e · a multiplicacaousual de um polinomio por um numero real. Entao (Rn[X],+, ·) e uma espacovectorial real.

2. Se representamos por R[X] o conjunto de todos os polinomios na indeterminadaX , com coeficientes em R (sem restricao de grau), podemos afirmar que R[X], comas operacoes usuais de adicao de polinomios e de multiplicacao de um polinomiopor um numero real, constitui um espaco vectorial real.


3. Sejam X um conjunto nao vazio e V := {f : X → R} o conjunto de todas asaplicacoes com domınio X e contradomınio R. Definimos para f, g ∈ V e a ∈ R:

f + g :=X → Rx 7→ f(x) + g(x)

a · f :=X → Rx 7→ a · f(x).

Entao (V,+, ·) e um espaco vectorial real. Nota que os vectores deste espaco saofuncoes; em particular, na definicao de + adicionamos funcoes e o resultado destaoperacao e uma nova funcao.

O elemento neutro e a funcao nula que mapea todo o elemento ao zero:

X → R, x 7→ 0.

O conjunto V chama-se espaco de funcoes com valores em R.

4. Mais geral, podemos definir V := {f : X → W}, para um conjunto nao-vazio Xe um espaco vectorial real W , como o conjunto de todas as aplicacoes de X em W .Com as operacoes definidas como em cima, optemos tambem um espaco vectorial(ver Prop. 2.38).

5. O conjunto de todas as sucessoes reais e um espaco vectorial real para as operacoeshabituais de soma de duas sucessoes e produto de um numero real por uma su-cessao. (De facto, este conjunto e conjunto de funcoes de N em R.)

6. Dado um intervalo real [a, b], o conjunto de todas as funcoes reais contınuas em[a, b] e um espaco vectorial real para as operacoes habituais com funcoes. (Anotacao comum para este espaco e C[a, b].)

7. O conjunto Ck[a, b] das funcoes reais com derivadas contınuas ate a ordem k nointervalo [a, b] e um espaco vectorial real.

8. O conjunto C∞[a, b] das funcoes reais infinitamente diferenciaveis no intervalo[a, b] e um espaco vectorial real.

9. Os exemplos anteriores podem ser tambem consideradas sem intervalos. Em parti-cular,

C(R) := {f |f : R → R e contınua} e

D(R) := {f |f : R → R e diferenciavel}

sao espacos vectoriais reais.


10. O ultimo exemplo que apresentamos e motivado pela geometria elementar. Seja Eo conjunto dos pontos do plano (ou do espaco). Dados dois pontos P e Q de E,define-se a “seta” ~PQ como sendo o segmento orientado com extremidade inicialno ponto P e extremidade final no ponto Q, representado pelo par (P,Q).

Dado um pontoO de E (a origem), definimos o conjunto VO := {(O, P )|P ∈ E},o conjunto de vectores em O. Defina-as uma adicao que aos vectores ~OP e ~OQassocia o vector ~OP + ~OQ obtido pela conhecida regra do paralelogramo. Defina-se uma multiplicacao por escalares que a cada numero real c e a cada vector ~OPassocia o vector c · ~OP cuja direccao e a do vector ~OP , o sentido e o de ~OP sec > 0 e e o sentido contrario ao de ~OP se c < 0 (se c = 0 entao c · ~OP = ~0,o vector nulo) e cujo comprimento e comprimento de ~OP multiplicado por |c| (omodulo de c).

Argumentos de natureza geometrica permitiriam concluir que VO, com estas operacoes,e um espaco vectorial real.

Vamos listar algumas propriedades de espacos vectoriais reais.

Proposicao 1.9. Seja V um espaco vectorial real. Para todo o c ∈ R e x ∈ Vverifica-se:

1. 0 · x = 0.

2. Seja 0 = 0V o vector nulo. Entao c · 0 = 0.

3. c · (−x) = (−c) · x = −(c · x).

4. De c · x = 0 segue c = 0 ou x = 0.8

Demonstracao. 1. De x = 1 · x = (1 + 0) · x = 1 · x + 0 · x = x + 0 · x segue0 = 0 · x, porque o elemento nulo e unico.

2. Obtemos do mesmo modo c · 0 = 0 de c · 0 = c · (0 + 0) = c · 0 + c · 0.3. Da distributividade segue 0 = c · 0 = c · (x + (−x)) = c · x + c · (−x).

Porque o elemento inverso e unico temos −(c · x) = c · (−x) = (−c) · x.4. Fazemos um distincao por casos: c = 0 ou c 6= 0. Se c = 0 nada mais e a

demonstrar. Se c 6= 0, existe o simetrico 1c∈ R. Com 2. segue 0 = 1

c· (c · x) =

(1c· c) · x = 1 · x = x. Entao em ambos casos, c = 0 ou x = 0. a

Nota 1.10. Em 1. usamos cores para distinguir o zero como numero natural ecomo vector nulo de V . Entao, esta distincao nao e necessario, porque podemosderivar o sentido do contexto: Se escrevemos 0 · x = 0 e suponhamos que x e um

8Nota-se que “ou” na matematica tem o sentido “inclusivo”: permitimos o caso em que ambasalternativas sao verdadeiras, x = 0 e c = 0.


vector, e claro que o 0 no lado esquerdo da equacao e um escalar, i.e., um numeroreal, e que o 0 no lado direito e um vector, i.e., o vector nulo.

Ao contrario, na equacao c · 0 = 0 de 2. nao temos a possibilidade de deriva anatureza (· pode ser a multiplicacao usual entre numeros reais, ou a multiplicacaopor escalares). Se nao usamos cores, a indicacao que 0 designa 0V e, de facto,necessario.

Apesar disso, vamos a partir daqui deixar o uso de cores, senao queremossublinhar especialmente a natureza de uma expressao.

Como e uso na matematica, escrevemos tambem cx em vez de c · x para amultiplicacao do vector x pelo escalar c.

Nas seguintes seccoes V designa sempre um espaco vectorial.

1.3 Independencia linear, dimensao e basesIndependencia linear

Definicao 1.11 (Combinacao linear). Sejam n ∈ N, x1, . . . , xn ∈ V, c1, . . . , cn ∈R. Chamamos

x = c1x1 + · · ·+ cnxn =n∑

i=1

cixi

combinacao linear de x1, . . . , xn.

Uma combinacao linear∑n

i=1 cixi chama-se trivial se todos os ci, i = 1, . . . , nsao 0; caso contrario a combinacao linear chama-se nao-trivial.

Definicao 1.12 ((In)dependencia linear). Os vectores x1, . . . , xn ∈ V chamam-selinearmente dependentes se 0 e igual a uma combinacao linear nao-trivial, i.e., seexistem numeros c1, . . . , cn ∈ R, de quais pelo menos um nao e zero, tais que

0 =n∑

i=1

cixi.

Ao contrario, x1, . . . , xn chamam-se linearmente independentes se x1, . . . , xn naosao linearmente dependentes.

Exemplo 1.13. Os vectores (1, 2), (−2, 0), (3, 1) ∈ R2 sao linearmente dependen-tes, porque

(−1) · (1, 2) +5

2· (−2, 0) + 2 · (3, 1) = ~0.

A seguinte nota segue imediatamente da definicao da independencia linear, seusamos alguns regras elementares da logica.


Nota 1.14. Os vectores x1, . . . , xn ∈ V sao linearmente independentes se e so separa c1, . . . , cn ∈ R e

n∑i=1

cixi = 0

seguec1 = · · · = cn = 0.

Proposicao 1.15. x ∈ V e linearmente dependente se e so se x = 0.

Nota 1.C. Este enunciado e da forma “se e so se” e, por isso, consiste de duas afirmacoes:“⇒”: x e linearmente dependente ⇒ x = 0,“⇐”: x = 0⇒ e linearmente dependente.Por isso, a demonstracao tem tambem duas partes.

Demonstracao. “⇒”: Seja x linear dependente. Entao existe um c ∈ R, c 6= 0tal que c · x = 0. Com 1.9 4. temos x = 0.

“⇐”: Seja x = 0. A regra unitaria da 1 · x = x = 0. Entao x e lineardependente. a

Proposicao 1.16. Os vectores x1, . . . , xn ∈ V sejam linearmente dependentes.Seja x ∈ V . Entao x, x1, . . . , xn sao tambem linearmente dependentes.

Esta proposicao diz que qualquer extensao de um sistema de vectores linear-mente dependentes e tambem linearmente dependente.Demonstracao. Sejam c1, . . . , cn ∈ R, com cj 6= 0 para um j, 1 ≤ j ≤ n, tal que0 =

∑ni=1 ci · xi. Com c := 0, temos tambem 0 = c · x + c1 · x1 + . . . cn · xn. a

Proposicao 1.17. Sejam x1, . . . , xn ∈ V linearmente independentes. Sejam dadosl (l ≤ n) numeros naturais 1 ≤ i1 < i2 < · · · < il ≤ n. Entao xi1 , . . . , xil saolinearmente independentes.

Isto significa, qualquer subsistema de um sistema de vectores linearmente in-dependentes e tambem linearmente independente.Demonstracao. Seja 0 =

∑lk=1 cik · xik com cik ∈ R. Para j = 1, . . . , n

definimos

dj :=

{0, se j 6∈ {i1, . . . , ik},cik , se j = ik para um k ∈ {1, . . . , l}.

Entao temosn∑

j=1

dj · xj =l∑

k=1

cik · xik = 0.

Porque x1, . . . , xn sao linearmente independentes, temos dj = 0, para j = 1, . . . , n.Entao temos tambem cik = 0, k = 1, . . . , l. a


Proposicao 1.18. Os vectores x1, . . . , xn ∈ V sao linearmente independentes.Seja x ∈ V , entao: x, x1, . . . , xn sao linearmente dependentes se e so se x ecombinacao linear de x1, . . . , xn.

Demonstracao. “⇒”: Sejam x, x1, . . . , xn linearmente dependentes. Entao exis-tem numeros reais c, c1, . . . , cn, que nao sao todos iguais a zero, com 0 = c · x +c1 · x1 + . . . cn · xn. Queremos mostrar c 6= 0 e suponhamos que c = 0. Entaoterıamos 0 =

∑ni=1 ci · xi, com um ci nao igual 0, o que contradiz a hipotese.

Entao c 6= 0. Temos entao

0 =1

c· 0 =

1

c·

(c · x +

n∑i=1

ci · xi

)= x +

n∑i=1

ci

c· xi,

i.e.,

x =n∑

i=1

(−ci

c· xi

).

“⇐”: Seja x combinacao linear de x1, . . . , xn. Existem entao c1, . . . , cn ∈ Rcom x =

∑ni=1 ci · xi. Tome-se c = −1, entao 0 = c · x + c1 · x1 + . . . cnxn. Logo

x, x1, . . . , xn sao linearmente dependentes. a

Proposicao 1.19 (Unicidade da representacao). Sejam x1, . . . , xn ∈ V linear-mente independentes e ci, di, (i = 1, . . . , n) numeros reais. Se temos

n∑i=1

cixi =n∑i1

dixi,

entao ci = di para i = 1, . . . , n.

Demonstracao. Da hipotese segue∑n

i=1(ci − di) = 0. Porque x1, . . . , xn saolinearmente independentes, temos (ci − di) = 0, i.e., ci = di para i = 1, . . . , n. a

Dimensao e Bases

Para a discussao de dimensao e util introduzir o sımbolo ∞ (infinito). A ideiaprincipal (que precisamos aqui) e que ∞ > c, para qualquer c ∈ R. Agoradefinimos dim V para um espaco vectorial V como um elemento de N ∪ {0,∞}.

Definicao 1.20. A dimensao de um espaco vectorial V e definida por

dim V :=

max{k ∈ N0|existem k vectores linearmente

independentes em V }, se este maximo existe∞, caso contrario

Se dim V < ∞, V e de dimensao finita, caso contrario V e de dimensao infinita.


Exemplo 1.21. No espaco vectorial Rn distinguimos os vectores ~e1 = (1,0, . . . ,0),. . . , ~en = (0, . . . ,0,1). Estes vectores sao linearmente independentes, porque parac1, . . . , cn ∈ R e

∑ni=1ci · ~ei = ~0 segue:

(0, . . . , 0) =n∑

i=1

ci · (0, . . . , 1︸︷︷︸posicao i

, . . . ,0)

=n∑

i=1

(0, . . . , ci︸︷︷︸posicao i

, . . . ,0)

= (c1, . . . , . . . ,cn)

Entao c1 = · · · = cn = 0, logo o vector nulo pode ser so escrito como combinacaolinear trivial de ~e1, . . . , ~en. Entao dim Rn ≥ n. (A igualdade podemos mostrar somais tarde.)

Nota 1.D. O espaco vectorial R[X] dos polinomios na indeterminada X dado na nota1.B.2 e um exemplo de um espaco vectorial de dimensao infinita. Um conjunto infinitode vectores linearmente independentes e {Xn|n ∈ N0}.

Para a nocao de bases, consideramos num primeiro passo so bases finitas, ecomecamos a definir a nocao finitamente gerado.

Definicao 1.22. Seja V um espaco vectorial real. Dizemos que V e finitamentegerado se existem n ∈ N e vectores x1, . . . , xn ∈ V tais que todo o x ∈ V e umacombinacao linear de x1, . . . , xn.

Para o conjunto de todos os vectores que sao combinacao linear de x1, . . . , xn

escrevemos 〈x1, . . . , xn〉.9 Entao x1, . . . , xn geram V se V = 〈x1, . . . , xn〉.

Definicao 1.23 (Base). Um conjunto finito {x1, . . . , xn} ⊂ V chama-se base doespaco vectorial real V , se

1. x1, . . . , xn sao linearmente independentes;

2. x1, . . . , xn gera V , i.e., V = 〈x1, . . . , xn〉.

Por convencao, o conjunto vazio ∅ e a base do espaco vectorial V = {0}.

Quando um conjunto e dado na forma de enumeracao dos elementos, comoem {x1, . . . , xn} suponhamos que os elementos sao diferentes, i.e., para i 6= jtemos xi 6= j.

9Na literatura encontram-se tambem as notacoes [x1, . . . , xn], Span(x1, . . . , xn) ou R ·(x1, . . . , xn) para 〈x1, . . . , xn〉.


Exemplo 1.24. Uma base de Rn e dada por ~e1, . . . , ~en, os vectores definidos emexemplo 1.21. Esta base chama-se base canonica de Rn.

Proposicao 1.25. Seja V um espaco vectorial real com dim V = n < ∞. Sejamx1, . . . , xn ∈ V vectores linearmente independentes. Entao x1, . . . , xn e uma basede V .

Demonstracao. Precisamos de mostrar, que x1, . . . , xn geram V . Seja x ∈ V

dado. Entao x, x1, . . . , xn sao linearmente dependentes, porque caso contrarioterıamos dim V > n. Com proposicao 1.18 segue que x e combinacao linear dex1, . . . , xn. a

Proposicao 1.26. Cada espaco vectorial de dimensao finita tem uma base.

Demonstracao. Seja dim V = n. Por definicao 1.20 de dimensao existem nvectores x1, . . . , xn que sao linearmente independentes. Com proposicao 1.25tem que estes vectores sao uma base. a

Nota 1.E. Podemos definir a nocao da base tambem para espacos vectoriais de dimensaoinfinita:

Definicao. Seja V um espaco vectorial. Um subconjunto {xi|i ∈ I} ⊂ V , com umconjunto de ındices I arbitrario, chama-se base de V , se

1. cada subsistema finita xi1 , . . . , xin , n ∈ N, com ındices i1, . . . , in ∈ I disjuntosdois em dois, e linearmente independente;

2. cada vector de V e um uma combinacao linear (finita!) de elementos xi1 , . . . , xin ,n ∈ N, i1, . . . , in ∈ I .

(Nota-se que a definicao 1.23 e o caso especial desta definicao, em que I e finito.)Agora, o conjunto de vectores linearmente independentes {Xn|n ∈ N0} do espaco

vectorial R[X] dado na nota 1.D e tambem uma base de R[X].Pode-se demonstrar uma proposicao correspondente a ultima para espacos vectoriais

de dimensao infinita, dizendo que todo o espaco vectorial tem uma base. Mas o seu signifi-cado desta proposicao e menos importante no caso de dimensao infinita, e a demonstracaoe mais subtil. Precisa, em particular, do lema de Zorn.

1.4 Subespacos vectoriaisMotivacao

Um subconjunto E de R3 diz-se plano que passa a origem, se existem vectoreslinearmente independentes x, y ∈ R3 tal que

E = 〈x〉+ 〈y〉 := {c · x + d · y|c, d ∈ R}.


Um subconjunto G de R3 diz-se recta que passa a origem, se existe um vectorx ∈ R3, que nao e o vector nulo, tal que

G = 〈x〉 := {c · x|c ∈ R}.

Agora, verifica-se que em R3 todo o plano que passa a origem e tambem todaa recta que passa a origem e um espaco vectorial real com as operacoes + e · deR3.

Seja E = 〈x〉+ 〈y〉. E suficiente mostrar, que E e fechado pelas operacoes+ e · de R3 e contem o vector nulo. (A existencia do elemento inverso segue de(−1) · x = −1, e os outros axiomas seguem porque R3 e um espaco vectorial.)Isto e o caso, porque temos para todo o c1, d1, c2, d2, c, d, e ∈ R e x, y ∈ R3:

(c1 · x + d1 · y) + (c2 · x + d2 · y) = (c1 + c2) · x + (d1 + d2) · ye · (c · x + d · y) = e · c · x + e · d · y

~0 = 0 · x + 0 · y

Para as rectas a demonstracao e analoga.

Subespaco vectorial

Definicao 1.27 (Subespaco vectorial). Seja V um espaco vectorial real. Um sub-conjunto V ′ ⊂ V chama-se subespaco vectorial de V se:

(1) V ′ 6= 0;

(2) de x1, x2 ∈ V ′ segue x1 + x2 ∈ V ′;

(3) de c ∈ R e x ∈ V ′ segue c · x ∈ V ′.

Nota 1.F. Um subespaco vectorial de V e um subconjunto nao vazio de V que e fechadopor a adicao + e por multiplicacao por escalares ·.

A ideia de fechar um subconjunto por operacoes dados no conjunto original e uma“tecnica” muito usada na matematica.

Ainda falta a justificacao para o nome subespaco vectorial, i.e., temos de mos-trar que tal subconjunto e, de facto, um espaco vectorial.

Corolario 1.28. Seja V um espaco vectorial real e V ′ ⊂ V um subespaco vecto-rial.

1. Entao 0 ∈ V ′. Porque V ′ 6= ∅, existe um x ∈ V ′. (3) com proposicao 1.9.1temos 0 = 0 · x ∈ V ′.


2. Se x ∈ V ′, entao tambem −x ∈ V ′. Usamos (3) com proposicao 1.9.3 paraobter:

−x = −(1 · x) = (−1) · x ∈ V ′.

Proposicao 1.29. Seja V um espaco vectorial real e V ′ ⊂ V um subespaco vec-torial. Entao V ′ e um espaco vectorial real com as mesmas operacoes que V .

Mais precisamente deverıamos dizer: “V ′ com as mesmas operacoes que Vrestritas a V ′.” Estas operacoes sao tambem chamadas operacoes induzidas.Demonstracao. Das condicoes (2) e (3) da definicao 1.27 segue

+ : V ′ × V ′ → V ′,

· : R× V ′ → V ′.

O corolario 1.28 verifica as axiomas de um espaco vectorial (axiomas de umgrupo) (2) e (3). Porque V ′ e um subconjunto de V e V e um espaco vectorial, osoutros axiomas sao claros. a

Proposicao 1.30. Cada espaco vectorial V tem {0} e V como subespacos vecto-riais triviais.

Demonstracao. Obvio! a

Proposicao 1.31. Sejam V1 e V2 subespacos vectoriais do espaco vectorial V .Entao V1 ∩ V2 e tambem um subespaco vectorial de V .

Demonstracao. Temos que 0 ∈ V1 e 0 ∈ V2, entao 0 ∈ V1 ∩V2 e este interseccaonao e vazia. Sejam x, y ∈ V1 ∩ V2 e c ∈ R dados. Temos x, y ∈ V1 e x, y ∈ V2.Porque V1 e V2 sao espaco vectoriais temos tambem x+y ∈ V1, x+y ∈ V2, c ·x ∈V1 e c · x ∈ V2. Entao x + y ∈ V1 ∩ V2 e c · x ∈ V1 ∩ V2. a

Nota 1.G. Existem mais operacoes para combinar subespacaos, em particular a soma,com o caso especial da soma directa. Vamos considerar estas operacoes mais tarde.

Exemplo 1.32. O conjunto V ′ := {~a ∈ R3|a1 = a3} e um subespaco vectorial deR3:

1. V ′ 6= ∅, porque ~0 ∈ V ′.

2. Sejam ~a,~b ∈ V ′. Entao:

a1 = a3 e b1 = b3 ⇒ (a1 + b1) = (a3 + b3) ⇒ ~a +~b ∈ V ′.


3. Sejam c ∈ R e ~a ∈ V ′. Entao:

a1 = a3 ⇒ c · a1 = c · a3 ⇒ c · ~a ∈ V ′.

Uma base de V ′ e dado por ~b1 = (1, 0, 1) e ~b2 = (1, 1, 1). Mostram primeiro que~b1 e ~b2 sao lineramente independentes elementos de V ′.

Obviamente, ~b1, ~b2 ∈ V ′; para mostra a indepedencia linear consideramos acombinacao linear do vector nulo em ~b1 e ~b2:

c1 · ~b1 + c2 · ~b2 = ~0, c1, c2 ∈ R

Entao:

(c1 + c2, c2, c1 + c2) = ~0.

Vectores sao iguais quando todos os componentes sao iguais:c1 + c2 = 0

c2 = 0c1 + c2 = 0

⇒{

c1 + c2 = 0c2 = 0

⇒ c1 = 0 e c2 = 0.

Para mostrar que ~b1 e ~b2 sao uma base de V ′ falta mostrar que ~b1 e ~b2 geram V ′:Seja ~a = (a1, a2, a3) ∈ V ′. Por definicao de V ′ temos a1 = a3 e portanto

~a = (a1, a2, a3) = (a2 + (a1 − a2), a2, a2 + (a1 − a2))

= (a1 − a2) · (1, 0, 1) + a2 · (1, 1, 1) = (a1 − a2) · ~b1 + a2 · ~b2.

Entao {b1, b2} e uma base de V ′.

Resumo de capitulo 1• Nocoes principais

1. Grupo e grupo comutativo, def. 1.2

2. Espaco vectorial real, def. 1.6

3. Independencia linear, def. 1.11

4. Base, def. 1.23

5. Subespaco vectorial, def. 1.27

• Proposicoes centrais

1. O Rn e um espaco vectorial, prop. 1.7

2. A unicidade de representacao de combinacoes lineares, prop. 1.19


2 Aplicacoes lineares

2.1 AplicacoesNo seguinte M, M1, M2, . . . sao sempre conjuntos.

Definicao 2.1 (Aplicacao). F chama-se aplicacao de M1 em M2, se F associa acada elemento P ∈ M1 exactamente um elemento Q ∈ M2 como imagem:

F : M1 → M2, P 7→ Q = F (P ).

O ponto Q = F (P ) chama-se imagem de P . O conjunto M1 chama-sedomınio e M2 chama-se conjunto de chegada.

Dado um conjunto M , denota-se por id, e chama-se aplicacao identidade emM , a aplicacao de M em M definida por id(a) = a, para todo o a ∈ M . Quandoconsideramos mais de um conjunto escrevemos tambem idM para evitar confusao.

Definicao 2.2. Seja F : M1 → M2 . Dizemos que

• F e sobrejectiva, se para todo o Q ∈ M2 existe (pelo menos) um P ∈ M1

tal que F (P ) = Q.

(Cada elemento de M2 e usado como imagem de F .)

• F e injectiva, se de P1, P2 ∈ M1, P1 6= P2 segue F (P1) 6= F (P2).

(Cada elemento de M2 e no maximo uma vez imagem de F .)

• F e bijectiva, se F e injectiva e sobrejectiva.

(Cada elemento de M2 e exactamente uma vez imagem de F .)

Para uma aplicacao sobrejectiva esrevemos tambem F : M1 � M2.Para uma aplicacao injectiva escrevemos tambem F : M1 ↪→ M2.Para uma aplicacao bijectiva escrevemos tambem F : M1 ↔ M2.

Definicao 2.3. Seja F : M1 → M2 uma aplicacao. O conjunto

im(F ) := F (M1) := {Q ∈ M2| existe um P ∈ M1 tal que Q = F (P )}

chama-se imagem de F (ou contradomınio de F ).

Nota 2.A. im(·) e um funcional, i.e., uma “funcao de tipo elevado”. Isto significa,neste caso, que o argumento e uma aplicacao (funcao) e o resultado deste funcional e umconjunto.


Assim, uma aplicacao F : M1 → M2 e sobrejectiva se e so se im(F ) = M2.

Definicao 2.4. Sejam F1 : M1 → M2 e F2 : M2 → M3 aplicacoes. A composicaode F1 e F2 e definida (para P ∈ M1) por:

F2 ◦ F1 : M1 → M3, (F2 ◦ F1)(P ) := F2(F1(P )).

Exemplo 2.5. Consideramos

F1 : R2 → R3, F1(~a) = (a1 + a2, a1,−a2) e

F2 : R3 → R2, F2(~b) = (1

2(b1 + b2 + b3),

1

2(b1 − b2 − b3)).

Entao, a composicao F2 ◦ F1 : R2 → R2 e:

F2 ◦ F1(~a) = (1

2(a1 + a2 + a1 − a2),

1

2(a1 + a2 − a1 + a2)) = ~a.

Logo, F2 ◦ F1 = idR2 .

Temos as seguintes proporiedades elementares da composicao de aplicacoes:

Proposicao 2.6. Sejam F1 : M1 → M2, F2 : M2 → M3 e F3 : M3 → M4

aplicacoes.

1. F1 ◦ idM1 = F1.

2. idM2 ◦ F1 = F1.

3. (F3 ◦ F2) ◦ F1 = F3 ◦ (F2 ◦ F1). (Associatividade)

Demonstracao. So 3. nao e completamente trivial. Para todo o P ∈ M1 verifica-se: ((F3 ◦ F2) ◦ F1)(P ) = (F3 ◦ F2)(F1(P )) = F3(F2(F1(P ))) = F3((F2 ◦F1)(P )) = (F3 ◦ (F2 ◦ F1))(P ). a

Aplicacoes inversas

Seja F : M1 → M2 uma aplicacao bijectiva, entao podemos definir a aplicacaoinversa F−1 : M2 → M1. Para todo o Q ∈ M2 existe exactamente um P ∈ M1 talque F (P ) = Q. Definimos F−1(Q) = P . Se fazemos as composicoes F−1 ◦ F :M1 → M1 e F ◦ F−1 : M2 → M2 de F e F−1, verifica-se que F−1 e o inverso deF :

Proposicao 2.7. Seja F : M1 → M2 bijectiva com aplicacao inversa F−1 : M2 →M1. Entao temos:


1. F−1 ◦ F = idM1 ,

2. F ◦ F−1 = idM2 .

Demonstracao.

1. Para qualquer P ∈ M1 e F−1(F (P )) o elemento univocamente determindoP ′ ∈ M1 tal que F (P ′) = F (P ). Porque F e injectiva, P = P ′. EntaoF−1(F (P )) = P .

2. Exercıcio.

aAgora demonstramos que as propriedades 1. e 2. da proposicao 2.7 characte-

rizam a (existencia de exactamente uma) aplicacao inversa.

Proposicao 2.8. A aplicacao F : M1 → M2 e bijectiva se e so se existe umaaplicacao G : M2 → M1 tal que G ◦ F = idM1 e F ◦ G = idM2 . Para tal Gverifica-se G = F−1.

Demonstracao. “⇒”: Ver proposicao 2.7.“⇐”: Da identidade G ◦ F = idM1 segue que F e injectiva: Sejam P1, P2 ∈

M1 tais que F (P1) = F (P2). Entao G(F (P1)) = G(F (P2)), logo P1 = P2.Da identidade F ◦ G = idM1 segue que F e sobrejectiva: Sejam Q ∈ M2 eP := G(Q). Entao F (P ) = F (G(Q)) = (F ◦G)(Q) = Q.

Seja Q ∈ M2. Para P = G(Q) temos entao F (P ) = F (G(Q)) = (F ◦G)(Q) = Q. Por definicao de F−1 temos F−1(Q) = P . Entao G = F−1. a

Corolario 2.9. Se trocamos na proposicao 2.8 o papel de G e F , segue que G =F−1 e tambem bijectiva e F = G−1. Entao para cada aplicacao bijectiva F temos:

F = (F−1)−1.

Notamos em 1.4 que em grupos o inverso direito e tambem um inverso es-querdo. Sem condicoes adicionais, nao temos este propriedade para aplicacoes,i.e., em geral, as aplicacoes com a operacao ◦ de composicao nao temos a estru-tura de um grupo. Para mostrar a existencia de uma aplicacao inversa temos demostrar ambas proporiedades da proposicao 2.8 como podemos ver do seguinteexemplo.

Exemplo 2.10. Para oas aplicacoes F1 e F2 do exemplo 2.5 mostramos que F2 ◦F1 = idR2 . Se F1 fosse bijectiva, terıamos F−1

1 : R3 → R2 e entao F−11 =


idR2 ◦ F−11 = (F2 ◦ F1) ◦ F−1

1 = F2 ◦ (F1 ◦ F−11 ) = F2 ◦ idR3 = F2. Entao

F1◦F2 = F1◦F−11 = idR3 . Mas (F1◦F2)(~b) = (b1,

12(b1+b2+b3),−1

2(b1−b2−b3)),

entao, por exemplo (F1 ◦F2)(0, 0, 1) = (0, 12, 1

2). Logo, F1 ◦F2 6= idR3 e entao F1

nao e bijectiva.

Proposicao 2.11. Sejam F1 : M1 → M2 e F2 : M2 → M3 aplicacoes. Temospara a composicao G = F2 ◦ F1:

1. Sejam F1 e F2 injectivas, entao G e injectiva.

2. Sejam F1 e F2 sobrejectivas, entao G e sobrejectiva.

3. Sejam F1 e F2 bijectivas, entao G e bijectiva.

Demonstracao.

1. Sejam P1, P2 ∈ M1 tais que G(P1) = G(P2), i.e., F2(F1(P1)) = F2(F1(P2)).Entao F1(P1) = F1(P2) porque F2 e injectiva. Porque F1 e injectiva temostambem P1 = P2.

2. Exercıcio.

3. Segue de 1. e 2.

a

Proposicao 2.12. Sejam as aplicacoes F1 : M1 → M2 e F2 : M2 → M3 bijecti-vas. Entao:

(F2 ◦ F1)−1 = F−1

1 ◦ F−12 .

Demonstracao. Seja G := F−11 ◦ F−1

2 . Porque a composicao de aplicacoes eassociativa temos:

(F2 ◦ F1) ◦G = F2 ◦ (F1 ◦ F−11 ) ◦ F−1

2

= F2 ◦ idM2 ◦ F−12 = idM3

e tambem

G ◦ (F2 ◦ F1) = F−11 ◦ (F−1

2 ◦ F2) ◦ F1 = idM1 .

Com proposicao 2.8 segue (F2 ◦ F1)−1 = G = F−1

1 ◦ F−12 . a


2.2 Aplicacoes linearesAplicacoes lineares sao aplicacoes particulares entre espacos vectoriais. Estasaplicacoes “respeitam” a adicao e a multiplicacao por escalares. Porque cadaespaco vectorial e um grupo comutativo em relacao a adicao de vectores, conside-remos num primeiro passo aplicacoes entre grupos que respeitam a operacao dogrupo.

Homomorfismos

Neste paragrafo, G1 e G2 sao sempre grupos. Usamos o mesmo sımbolo + paraa operacao em G1 e G2. Tambem usamos o mesmo sımbolo 0 para o elementoneutro de G1 e G2. Mas, em ambos casos podemos usar cores para distinguir ossımbolos.

Definicao 2.13 (Homomorfismo de grupos). Uma aplicacao F : G1 → G2 chama-se homomorfismo de grupos, se para todos os x, y ∈ G1 verifica-se:

F (x + y) = F (x) + F (y).

Dizemos que F respeita a operacao de grupos “+”. “Homomorfo” e um deri-vado do grego e significa mais ou menos “da mesma forma”.

Exemplo 2.14. 1. F : (R+, ·) → (R, +), F (x) = ln x (ln e a funcao loga-ritmo) e um homomorfismo de grupos, porque ln (x · y) = ln x + ln y.

2. G : (R, +) → (R, +), G(x) = 1 + x nao e um homomorfismo de grupos.

Nota 2.B. O primeiro exemplo foi extremamente importante na historia da matematica, eda ciencia, tecnica e economia em geral, porque permite reduzir a multiplicacao a adicao.Antes da introducao da regua de calcular, e mais tarde das maquinas de calcular, o uso detabelas de logaritmos foi para mais do que 300 anos o metodo principal para multiplicarnumeros grandes.

Proposicao 2.15. Seja F : G1 → G2 um homorfismo de grupos. Entao

1. F (0) = 0,

2. F (−x) = −F (x), para todo o x ∈ G1.

Demonstracao.

• De F (0) = F (0 + 0) = F (0) + F (0) segue F (0) = 0.


• Com 1. temos 0 = F (0) = F (x + (−x)) = F (x) + F (−x) e entao−F (x) = F (−x).

a

Definicao 2.16 (Aplicacao linear). Uma aplicacao F : V1 → V2 chama-se aplicacaolinear ou homomorfismo de espacos de vectores, se

1. para todos os x, y ∈ V1, F (x + y) = F (x) + F (y), (Aditividade)

2. para todos os a ∈ R e x ∈ V1, F (a · x) = a · F (x). (Homogeneidade)

Entao, uma aplicacao linear respeita as operacoes de um espaco vectorial.A condicao 1. significa que F e, em particular, um homomorfismo de grupos(V1, +) → (V2, +).

E obvio, que a aplicacao identidade id : V → V e sempre uma aplicacaolinear.

Corolario 2.17. Seja F : V1 → V2 uma aplicacao linear, e sejam x1, . . . , xn ∈ V1

e a1, . . . , an ∈ R. Entao

1. F (∑n

i=1 aixi) =∑n

i=1 aiF (xi),

2. sejam x1, . . . , xn linearmente dependente, entao F (x1), . . . , F (xn) sao tambemlinearmente dependente.

3. sejam F (x1), . . . , F (xn) linearmente independente, entao x1, . . . , xn saotambem linearmente independente.

A primeira propriedade pode ser exprimida por:

Uma aplicacao linear (de V1 em V2) associa a cada combinacao linear(de V1) uma combinacao linear (de V2).

Demonstracao.

• Este propriedade segue com uma demonstracao indutiva facil sobre n dasproporiedades de uma aplicacao linear.

• Sejam x1, . . . , xn linearmente dependentes, entao existem a1, . . . , an ∈ Rcom

∑ni=1 aixi = 0V1 com pelo menus um ai 6= 0. Com proposicacao 2.15

e 1. segue: 0V2 = F (0V1) = F (∑n

i=1 aixi) =∑n

i=1 aiF (xi). Entao 0V2 ecombinacao linear nao-trivial de F (x1), . . . , F (xn).

• Isto e o contrareciproco de 2.


a

Proposicao 2.18. Sejam F1 : V1 → V2 e F2 : V2 → V3 aplicacoes lineares. EntaoF2 ◦ F1 : V1 → V3 e tambem uma aplicacao linear.

Demonstracao. Precisamos de verificar as condicoes 1. e 2. da definicao 2.16.Para x, y ∈ V1 e a ∈ R temos: (F2 ◦ F1)(x + y) = F2(F1(x + y)) = F2(F1(x) +F1(y)) = F2(F1(x))+F2(F1(y)) = (F2◦F1)(x)+(F2◦F1)(y) e (F2◦F1)(a·x) =F2(F1(a · x)) = F2(a · F1(x)) = a · F2(F1(x)) = a · (F2 ◦ F1)(x). a

Proposicao 2.19. Seja F : V1 → V2 uma aplicacao linear. Entao a imagemim(F ) = {F (x) : x ∈ V1} e um subespaco de V2, e verifica-se dim(im(F )) ≤dim V1.

Demonstracao. A primeira parte e obvio (porque F e um homomorfismo); asegunda parte segue do corolario anterior 2.17.3. a

A proxima proposicao mostra que a linearidade duma aplicacao F e uma pro-priedade muito forte: As imagens de um sistema de geradores ja determinamcomplementamente F .

Proposicao 2.20. Seja V1 = 〈x1, . . . , xn〉 um espaco vectorial gerada por x1, . . . , xn.Sejam F, G : V1 → V2 aplicacoes lineares com F (xi) = G(xi) pare i = 1, . . . , n.Entao F = G.

Demonstracao. Precisamos de demostrar que F (x) = G(x) para todo o x ∈ V1.Seja x ∈ V1. Entao existem a1, . . . , an ∈ R tal que x =

∑ni=1 aixi. Do corolario

2.17.1 segue:

F (x) = F (n∑

i=1

aixi) =n∑

i=1

aiF (xi) =n∑

i=1

aiG(xi) = G(n∑

i=1

aixi) = G(x).

a

Construcao de aplicacoes lineares

A proposicao seguinte e fundamental; mostra a existencia de aplicacoes linea-res nao-triviais entre espacos vectoriais de dimensao finita. A demonstracao damesmo um metodo de construcao, a extensao linear. Lembramos a proposicao1.26 que diz que cada espacao vectorial de dimensao finita tem uma base.

Proposicao 2.21 (Teorema da extensao linear). Seja {x1, . . . , xn} ⊂ V1 uma basede V1. Sejam y1, . . . , yn ∈ V2 vectores arbitrarios. Entao existe uma e so umaaplicacao linear F : V1 → V2 tal que F (xi) = yi, para i = 1, . . . , n.


Demonstracao. A unicidade segue da proposicao 2.20. Para a demonstracao daexistencia, a unicidade da representacao de vectores x ∈ V1 na base {x1, . . . , xn}e crucial. Para x ∈ V1 existem numeros univocamente determindos a1, . . . , an ∈R tal que x =

∑ni=1 aixi. Definimos F (x) :=

∑ni=1 aiyi ∈ V2 e obtemos uma

aplicacao F : V1 → V2 com F (xi) = yi, i = 1, . . . , n. A aplicacao e bem definidapor causa da unicidade da representacao de x.

Falta mostrar a linearidade de F . Para a ∈ R, x =∑n

i=1 aixi, x′ =∑n

i=1 a′ixi

temos por definicao de F :

F (x + x′) = F (n∑

i=1

aixi +n∑

i=1

aixi) = F (n∑

i=1

(ai + a′i)xi)

=n∑

i=1

(ai + a′i)F (xi) =n∑

i=1

(ai + a′i)yi

=n∑

i=1

aiyi +n∑

i=1

a′iyi = F (n∑

i=1

aixi) + F (n∑

i=1

a′ixi)

= F (x) + F (x′)

F (a · x) = F (a · (n∑

i=1

aixi)) = F (n∑

i=1

(aai)xi) =n∑

i=1

(aai)yi

= a ·n∑

i=1

aiyi = a · F (n∑

i=1

aixi) = a · F (x)

a

Nota 2.C. Na demonstracao anterior notamos que F (x) e bem definida. Este termo emuito usado na matematica e significa, em geral, que uma definicao satisfaz realmentetodas as propriedades necessarias para a definicao, em particular, se uma ou mais de umadestas propriedades precisa de uma justificacao. No caso concreto, F (x) :=

∑ni=1 aiyi

defina so uma aplicacao porque os xis formam uma base. Seja, por exemplo {z1, . . . , zn}um sistema gerador de V1 que nao e uma base (isto signifca os zis nao sao linearmenteindependentes). Entao existe um x ∈ V1 com duas representacoes

∑ni=1 aizi e

∑ni=1 bizi

diferentes, i.e., pelo menos um ai 6= bi, i = 1, . . . , n. Agora a “definicao” F (x) :=∑ni=1 aiF (xi) nao e bem definida, porque podemos trocar os papeis dos ais e bis nas

duas representacoes de x e obtemos que F (x) e tambem∑n

i=1 biF (xi). Porque existeum ai 6= bi, pode acontecer que

∑ni=1 aiF (xi) 6=

∑ni=1 biF (xi), ou F (x) 6= F (x). Logo

F (x) nao e bem definido como aplicacao.

Nota 2.22. Quando sabemos para uma aplicacao linear “so” as imagens dos vec-tores de uma base, podemos estender linearmente esta aplicacao para todos osoutros vectores do espaco vectorial.


Isto e uma propriedade particular para aplicacoes lineares. Quando conside-ramos, por exemplo, parabolas (que passam na origem) as imagens de uma base,nao determinante uma so aplicacao. Estes parabolas sao dados como aplicacoesde R em R da forma f(x) = ax2 + bx, a, b ∈ R, a 6= 0. Um base de R e dado peloo conjunto {1}. Porque a parabola passa a origem, f(0) = 0. Seja, por exemplo,f(1) = 1. Entao, existem duas parabolas que passam os pontos (0, 0) e (1, 1):f1(x) = x2 e f2(x) = −x2 + 2x.

Isomorfismos

Definicao 2.23 (Isomorfismo). Uma aplicacao linear bijectiva F : V1 → V2

chama-se isomorfismo de espacos vectoriais, ou simplesmente isomorfismo.

No caso de isomorfismos escrevemos tambem F : V1∼→ V2.

Nota 2.D. Sejam V1 e V2 espacos vectoriais. Existem os seguintes termos tecnicos paraaplicacoes lineares:

• homomorfismo de V1 em V2: uma aplicacao linear de V1 em V2;

• monomorfismo de V1 em V2: uma aplicacao linear injectiva de V1 em V2;

• epimorfismo de V1 em V2: uma aplicacao linear sobrejectiva de V1 em V2;

• isomorfismo de V1 em V2: uma aplicacao linear bijectiva de V1 em V2;

• endomorfismo de V1: uma aplicacao linear (um homomorfismo) de V1 em V1;

• automorfismo de V1: uma aplicacao linear bijectiva (um isomorfismo) de V1 emV1.

Nota-se que estes nomes sao usadas aqui para aplicacoes lineares, i.e., para aplicacoesentre espacos vectoriais que respeitam as duas operacoes de espacos vectoriais. Podemosdefinir os nomes do mesmo modo para aplicacoes entre outros conceitos algebricos, como,por exemplo grupos.

Exemplo 2.24. A aplicacao linear F : R2 → R2, F (c1, c2) = (c1 + 2c2, c1 − c2)e um isomorfismo com aplicacao inversa F−1 : R2 → R2, F−1(d1, d2) = (1

3(d1 +

2d2),13(d1 − d2)).

Proposicao 2.25. Seja F : V1 → V2 um isomorfismo. Entao a aplicacao inversaF−1 : V2 → V1 e tambem um isomorfismo.

Demonstracao. Por causa de corolario 2.9 F−1 e tambem bijectiva; entao esuficiente verificar a linearidade de F−1.


1. Para y1, y2 ∈ V2 definimos xi := F−1(yi), e temos tambem yi = F (xi).Porque F e linear, temos F (x1 + x2) = F (x1) + F (x2). F−1 aplicada aesta equacao da F−1(y1) + F−1(y2) = x1 + x2 = F−1(F (x1 + x2)) =F−1(F (x1) + F (x2)) = F−1(y1 + y2).

2. Sejam a ∈ R e y ∈ V2. Definimos x := F−1(y). Numa maneira analoga a 1.optemos: a ·F−1(y) = a ·x = F−1(F (a ·x)) = F−1(a ·F (x)) = F−1(a ·y).

a

Corolario 2.26. Seja F : V1 → V2 um isomorfismo. Entao:

1. Sejam x1, . . . , xn ∈ V1 linearmente independentes, entao F (x1), . . . , F (xn)sao tambem linearmente indepdententes.

2. Se V1 e gerado por x1, . . . , xn ∈ V1, entao V2 e gerado por F (x1), . . . , F (xn).

3. Seja {x1, . . . , xn} uma base de V1, entao {F (x1), . . . , F (xn)} e uma basede V2.

4. dim V1 = dim V2.

Demonstracao.

1. Por hipotese temos que x1 = F−1(F (x1)), . . . , xn = F−1(F (xn)) sao line-armente independentes. Quando usamos corolario 2.17 para F−1 optemosa indepencia linear de F (x1), . . . , F (xn).

2. Seja y ∈ V2. Para x = F−1(y) existem a1, . . . , an ∈ R tais que x =∑ni=1 aixi. Daqui segue y = F (x) =

∑ni=1 aiF (xi).

3. Segue de 1. e 2.

4. Segue de 1. e da propriedade correspondente para F−1.

a

Definicao 2.27 (Isomorfo). Dois espacoes vectoriais V1 e V2 chamam-se isomor-fos se existe um isomorfismo F : V1

∼→ V2. Neste caso escrevemos tambemV1 ≈ V2.

Proposicao 2.28. Seja V um espaco vectorial com base {x1, . . . , xn}. Entao V ≈Rn.


Demonstracao. Usamos a base canonica {~e1, . . . , ~en} de Rn. Por causa daproposicao 2.21 existem aplicacoes lineares univocamente determinadas G : Rn →V e G : V → Rn tais que G(~ei) = xi e G(xi) = ~ei, para i = 1, . . . , n. De(G ◦ G)(~e1) = ~e1 e (G ◦ G)(xi) = xi (i = 1, . . . , n) segue G ◦ G = idRn eG ◦ G = idV , porque aplicacoes lineares ja sao determinadas pelos imagens deuma base. Com proposicao 2.8 temos que G e G sao isomorfismos e um e oinverso do outro. a

Por causa deste proposicao podemos associar a aplicacoes lineares entre espacosvectoriais de dimensao finita aplicacoes lineares entre Rn e Rm (n, m apropria-dos). Estas aplicacoes sao mais facil a estudar, porque permitem o uso de calculode matrizes.

Sejam V1 e V2 espaco vectoriais tais que dim V1 = n, dim V2 = m e H : V1 →V2 uma aplicacao linear. Existem bases {x1, . . . , xn} de V1 e {y1, . . . , ym} de V2.

Sejam G1 : Rn → V1 e G2 : Rm → V2 aplicacoes lineares definidas como nademonstracao anterior. Temos a seguinte situacao:

V1H−−−→ V2

G1

x yG−12

Rn −−−→F

Rm

F := G−12 ◦H ◦G1 e entao uma aplicacao linear Rn → Rm que corresponde

a H . Para vectores x ∈ V1 e y ∈ V2 podemos considerar os valores G−11 (x) ∈ Rn

e G−12 (y) ∈ Rm como coordenadas. Entao F associa a coordenadas G−1

1 (x) deum vector x ∈ V1 as coordenadas de H(x) porque (G−1

2 ◦ H ◦ G1)(G−11 (x)) =

G−12 (H(x)).

2.3 Aplicacoes lineares Rn → Rm

Agora, podemos concentrar no estudo das aplicacoes lineares de Rn em Rm.Vamos comecar com uma relacao bijectiva entre aplicacoes lineares Rn →

Rm e esquemas de numeros, as “matrizes”. Para isso, e fundamental que umaaplicacao linear Rn → Rm ja e determinado completamente pelos imagens deuma base de Rn (por exemplo, a base canonica), ver proposicao 2.21. Vamosintroduzir um calculo simples para as matrizes. Este calculo ajuda-nos tambemdemonstrar resultados teoricos importantes.

Exemplo 2.29. ~e1 = (1, 0), ~e2 = (0, 1) e a base canonica de R2. Seja f : R2 →R2 uma aplicacao linear. f e determinada univocamente pelas imagens f(~e1) e


f(~e2) da base canoncia. Sejam

f(~e1) = a11 ~e1 + a21 ~e2 = (a11, a21)

f(~e2) = a12 ~e1 + a22 ~e2 = (a12, a22),

para aij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ 2. Podemos escrever isso com vectores de “colunas” daseguinte forma:

~e1 =

(10

), ~e2 =

(01

)=⇒ f(~e1) =

(a11

a21

)e f(~e2) =

(a12

a22

).

Podemos entao caracterizar f (em relacao a base canonica) pelo quadro(

a11 a12

a12 a22

).

Este esquema chama-se matriz do tipo 2× 2.

Matrizes

Definicao 2.30 (Matriz do tipo m×n). Uma matriz do tipo m×n A e um quadro

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

= (aij)i=1,...,m;j=1,...,n

constituıdo por m · n numeros reais dispostos em m filas horizontais (linhas) e nfilas verticais (colunas).10

Os aij ∈ R chamam-se componentes ou coeficientes de A.

Nota 2.31. No calculo de matrizes consideramos elementos de Rn como vectoresde coluna, i.e., um vector ~a ∈ Rn e dado por

a1

a2...

an

.

10Na literatura encontra-se tambem a notacao de matrizes com parenteses rectas:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

.


Relacao entre aplicacoes lineares e matrizes

Seja uma aplicacao linear F : Rn → Rm dada. Queremos associar uma matriz dotipo m× n a F . Como no exemplo em cima consideramos a base canonica de Rn

~e1 =

10...0

, . . . , ~en =

0...01

e as suas imagens

~aj =

a1j

a2j...

amj

:= F (~ej) ∈ Rm.

A matriz

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

= (~a1, . . . , ~an)

e a matriz associada a F . A pode ser construida a partir da regra:

As colunas sao as imagens dos vectores da base canoncia.

Nota 2.E. Nota-se que aqui definimos a matriz associada a partir da base canonica. Po-demos, em geral, associar matriz diferentes a uma aplicacao linear, se consideramos basesdiferentes para os espacos vectoriais Rn e Rm.

Ao contrario podemos associar a cada matriz do tipo m× n A = (~a1, . . . , ~an)uma aplicacao linear F : Rn → Rm se definimos F (~ej) = ~aj . As associacoesF 7→ A e A 7→ F entre aplicacoes lineares F : Rn → Rm e matizes do tipo m×n

A sao inversos e por isso, em particular, bijectivas.A evaluacao de uma aplicacao linear corresponde ao produto da matriz asso-

ciada com um vector de coluna.

Definicao 2.32. O produto de uma matriz do tipo m×n, A = (aij)i=1,...,m;j=1,...,n,


com um vector de coluna ~c ∈ Rn e definido por11

A ◦ ~c =

∑n

j=1 a1jcj∑nj=1 a2jcj

...∑nj=1 amjcj

=

(n∑

j=1

aijcj

)i=1,...,m

∈ Rm.

Exemplo 2.33. 1. (1 −2 32 0 1

)◦

−152

2

=

(00

)= ~0.

2. Nota-se que (1 −2 32 0 1

)◦(−152

)nao e definido.

Proposicao 2.34. Sejam F : Rn → Rm uma aplicacao linear e A a matriz do tipom× n associada a F . Entao temos para todo o ~c ∈ Rn:

F (~c) = A ◦ ~c.

Seja B mais uma matriz do tipo m× n tal que F (~c) = B ◦ ~c para todo o ~c ∈ Rn,entao B = A.

Demonstracao. A associacao F 7→ A da A = (aij)i=1,...,m;j=1,...,n = (~a1, . . . , ~an)tal que

~aj =

a1j

a2j...

amj

:= F (~ej).

Por causa da linearidade de F segue:

F (~c) = F

(n∑

j=1

cj ~ej

)=

n∑j=1

cjF (~ej)

=n∑

j=1

cj

a1j

a2j...

amj

=n∑

j=1

a1jcj

a2jcj...

amjcj

=

∑n

j=1 a1jcj∑nj=1 a2jcj

...∑nj=1 amjcj

= A ◦ ~c.

11Nota-se que definimos aqui o produto so para o caso que o segundo factor e um vector decoluna; o produto geral entre dois matrizes e introduzido so mais tarde, em definicao 2.42.


Para a j-esimo coluna de B temos:

~bj =

b1j...

bmj

= B ◦ ~ej = F (~ej).

Entao todas as colunas de A e B sao iguais, logo ambas matrizes sao iguais. aDa linearidade da aplicacao a qual uma matriz do tipo m × n e associada

seguem as seguintes propriedades:

Corolario 2.35. Seja A uma matriz do tipo m× n. Entao para todos os~b,~c ∈ Rn

e d ∈ R verifica-se:

A ◦ (~b + ~c) = A ◦~b + A ◦ ~c, (Distributividade)

A ◦ (d ·~b) = d · (A ◦~b).

Exemplo 2.36. 1. Consideramos o isomorfimo F : R2 → R2 do exemplo3.23.

F (~c) =

(c1 + 2c2

c1 − c2

)=

(1 21 −1

)◦(

c1

c2

)=

(1 21 −1

)◦ ~c,

entao a matiz do tipo 2× 2 associada a F e A =

(1 21 −1

).

2. Sejam n = m e F = idRn . Porque F (~ej) = ~ej a matiz associada a F e amatriz unitaria

E := En,n = (~e1, . . . , ~en) =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . 1

.

A diagonal consiste de 1s, todos os outros componentes sao 0s.

Nota 2.F (Sımbolo de Kronecker). Para dois ındices i, j ∈ N podemos definir o sımbolode Kronecker δij por

δij :={

1, se i = j,0, se i 6= j.

A introducao deste sımbolo, que so verifica a igualdade de dois ındices, pode parecercomo um “overkill”. Mas ao longo do estudo da matematica o seu uso pode facilitarmuitas representacoes. Por exemplo, com o sımbolo de Kronecker podemos escrever amatriz unitaria da seguinte forma:

E = En,n = (δij)i=1,...,n;j=1,...,n.


2.4 Operacoes de matrizesAddicao de matizes e multiplicacao por escalares

Comecamos considerar espacos vectoriais reais V, V1, V2 arbitrarios.

Definicao 2.37. A soma de aplicacoes F : V1 → V2 e G : V1 → V2 e definida por

F + G : V1 → V2 (F + G)(x) := F (x) + G(x),

Para um numero real c a multiplicacao por escalares e dado por:

c · F : V1 → V2 (c · F )(x) := c · F (x).

O elemento neutro em relacao da adicao de aplicacoes e a aplicacao nula:

O : V1 → V2 O(x) := 0V2

e para cada aplicacao F : V1 → V2 existe um elemento inverso

−F : V1 → V2 (−F )(x) := −F (x)

Das propriedades do espaco vectorial V2 — V1 poderia ser um conjunto arbitrario— segue imediatamente:

Proposicao 2.38. O conjunto {F : F e uma aplicacao de V1 em V2} com a adicaoe multiplicacao por escalares definidas em cima e um espaco vectorial real.

Agora vamos considerar so aplicacoes lineares F, G : V1 → V2.

Proposicao 2.39. Sejam F, G : V1 → V2 aplicacoes lineares e c ∈ R. EntaoF +G : V1 → V2 e c ·F : V1 → V2 sao tambem aplicacoes lineares. Em particular,{F : F e uma aplicacao linear de V1 em V2} e um subespaco do espaco vectorialde todas as aplicacoes de V1 em V2.

Demonstracao. Para todos os a ∈ R e x, y ∈ V1 verifica-se:

(F + G)(x + y) = F (x + y) + G(x + y) = F (x) + F (y) + G(x) + G(y)

= (F + G)(x) + (F + G)(y);

(F + G)(ax) = F (ax) + G(ax) = aF (x) + aG(x) = a(F (x) + G(x))

= a(F + G)(x);

(c · F )(x + y) = cF (x + y) = c(F (x) + F (y)) = cF (x) + cF (y)

= (c · F )(x) + (c · F )(y);

(c · F )(ax) = cF (ax) = c(a(F (x))) = a(c(F (x))) = a(c · F )(x).

aNo caso de V1 = Rn e V2 = Rm podemos definir matizes associadas:


Definicao 2.40. Sejam A, B ∈ Rm×n matrizes e F, G : Rn → Rm as aplicacoeslineares associadas. Seja tambem dado um numero real c ∈ R. Entao a somaA + B e a matriz associada a aplicacao linear F + G e c · A e a matriz associadaa aplicacao linear c · F .

A adicao de matrizes e multiplicacao por escalares de matrizes podem sercalculadas da seguinte forma:

Proposicao 2.41. Para A = (aij)i=1,...,n;j=1,...,n, B = (bij)i=1,...,n;j=1,...,n e c ∈ Rtemos:

A + B =

a11 + b11 . . . a1n + b1n...

...am1 + bm1 . . . amn + bmn

= (aij + bij)i=1,...,n;j=1,...,n,

c · A =

c · a11 . . . c · a1n...

...c · am1 . . . c · amn

= (c · aij)i=1,...,n;j=1,...,n.

Demonstracao. Para todos os ~x ∈ Rn verifica-se:

(F + G)(~x) = F (~x) + G(~x) = A ◦ ~x + B ◦ ~x

=

(n∑

j=1

aijxj

)i=1,...,m

+

(n∑

j=1

bijxj

)i=1,...,m

=

(n∑

j=1

(aij + bij)xj

)i=1,...,m

= (aij + bij)i=1,...,m;j=1,...,n ◦ ~x;

(c · F )(~x) = c · F (~x) = c · (A ◦ ~x) = c ·

(n∑

j=1

aijxj

)i=1,...,m

=

(n∑

j=1

(c · aij)xj

)i=1,...,m

= (c · aij)i=1,...,m;j=1,...,n ◦ ~x.

Por causa de proposicao 2.34 a proposicao e demonstrada. a

Nota 2.G. Podemos tambem usar a proposicao 2.41 como definicao da adiacao e multiplicacaopor escalares de matrizes. Neste caso, a nossa definicao 2.40 e uma proposicao que pre-cisa de uma demonstracao “inversa” da demonstracao dada para a proposicao 2.41 aqui.No fim, ambas as abordagens sao equivalentes. A alternativa e, em particular, usada se ocalculo de matrizes e introduzida independentemente das aplicacoes. A abordagem dadaaqui sublinha a associacao de matrizes as aplicacoes lineares. lineares.


Multiplicacao de matrizes

A proposicao 2.18 diz que a composicao de aplicacoes lineares e uma aplicacaolinear. Usamos este facto para definir a produto de matrizes.

Definicao 2.42 (Produto de matrizes). Sejam A uma matriz de tipo m×n e B umamatriz de tipo l×m. Sejam F : Rn → Rm e G : Rm → Rl as aplicacoes linearesassociadas. A matriz C do tipo l×n seja associada a composicao G◦F : Rn → Rl.O produto de matrizes de A e B e definida por B ◦ A := C.

Nota-se que podemos multiplicar so matrizes com formatos apropriados:

(l × m) ◦ (m︸︷︷︸ × n).

O produto de matrizes pode ser calculado — como a soma — a partir dascomponentes dos factores A e B:

Proposicao 2.43. Sejam A = (aij)i=1,...,m;j=1,...,n ∈ Rm×n, B = (bki)k=1,...,l;i=1,...,m ∈Rl×m e C = B ◦ A = (ckj)k=1,...,l;j=1,...,n ∈ Rl×n o produto de matrizes. Entao

ckj =m∑

i=1

bki · aij, k = 1, . . . , l, j = 1, . . . , n.

Demonstracao. Como na definicao F e G sejam as aplicacoes lineares associadasa A e B. Usamos, mais uma vez, proposicao 2.34.

Para todo o vector ~x ∈ Rn verifica-se:

~y =

y1

y2...

ym

:= F (~x) = A ◦ ~x =

(n∑

j=1

aijxj

)i=1,...,m

,

(G ◦ F )(~x) = G(~y) = B ◦ ~y =

(m∑

i=1

bkiyi

)k=1,...,l

,

=

(m∑

i=1

bki

(n∑

j=1

aijxj

))k=1,...,l

=

(m∑

i=1

n∑j=1

(bkiaijxj)

)k=1,...,l

=

(n∑

j=1

(m∑

i=1

bkiaij

)xj

)k=1,...,l

,


=

((m∑

i=1

bkiaij

))k=1,...,l;j=1,...,n

◦ ~x.

a

Nota 2.H. Mais uma vez, a definicao 2.42 e a proposicao 2.43 podem ser trocadas.

Nota 2.44. Da proposicao 2.43 segue imediatamente que o produto da uma matrizcom um vector de coluna, introduzida em 2.32, e o caso especial da multiplicacaode matrizes se n = 1. Entao podemos considerar um vector de coluna como umamatriz do tipo n× 1, e o vector chama-se tambem matriz coluna.

Proposicao 2.45. Seja A uma matriz de tipo m× n. Entao:

A ◦ En,n = A, Em,m ◦ A = A.

Demonstracao. Obvio. aPara A uma matriz do tipo m × n e B uma matriz do tipo l × m, o produto

A◦B e so definida se l = n. Mas tambem neste caso, a multiplicacao de matrizesnao e comutativo:

Exemplo 2.46. Para

A =

(1 23 4

)e B =

(1 20 1

)temos

A ◦B =

(1 2 + 23 6 + 4

)=

(1 43 10

),

mas

B ◦ A =

(1 + 6 2 + 8

3 4

)=

(7 103 4

).

Mas a multiplicacao de matrizes satisfaz a associatividade:

Proposicao 2.47. Sejam A uma matriz do tipo m×n, B uma matriz do tipo l×me C uma matriz do tipo k × l, entao

(C ◦B) ◦ A = C ◦ (B ◦ A).


Demonstracao. Sejam F : Rn → Rm, G : Rm → Rl e H : Rl → Rk asaplicacoes lineares associadas as matrizes A, B e C, respectivamente. Por causada definicao 2.42 as seguintes aplicacoes sao respectivamente associadas as ma-trizes:

H ◦G a C ◦B (H ◦G) ◦ F a (C ◦B) ◦ A,

G ◦ F a B ◦ A H ◦ (G ◦ F ) a C ◦ (B ◦ A).

Entao a proposicao segue das associatividade da composicao de aplicacoes; verproposicao 2.6. a

Multiplicacao por escalares, adicao e multiplicacao de matrizes

Proposicao 2.48 (Distributividade). Sejam A1, A2 matrizes do tipo m×l e B1, B2

matrizes do tipo l × n. Entao

1. (A1 + A2) ◦B1 = A1 ◦B1 + A2 ◦B1,

2. A1 ◦ (B1 + B2) = A1 ◦B1 + A1 ◦B2.

Demonstracao. Exercıcio. (Nota-se que 1. pode ser demonstrada so a partir dadefinicao de soma e composicao de aplicacoes; 2. usa tambem a linearidade dasaplicacoes associadas.) a

Proposicao 2.49. Sejam A uma matriz do tipo m× l e B uma matriz do tipo l×n.Entao para todo o numero real c verifica-se:

c · (A ◦B) = (c · A) ◦B = A ◦ (c ·B).


2.5 Sistemas de equacoes linearesOs conjuntos de solucoes de sistemas de equacoes lineares podem ser facilmentecalculados por matrizes. Entao, existe uma ligacao directa entre sistemas deequacoes lineares, aplicacoes lineares e matrizes, e a teoria destes tres assuntospode ser desenvolvida em paralelo.

Consideramos um sistema homogeneo de equacoes lineares com m equacoese n incognitas

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0


com matriz de coeficientes A = (aij)i=1,...,m;j=1,...n. Seja F : Rn → Rm aaplicacao linear associada a esta matriz. Por causa da definicao 2.32 e proposicao2.34 verifica-se para o conjunto de solucoes deste sistema de equacoes lineares:~x ∈ Rn

∣∣∣∣∣a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

=

{~x ∈ Rn

∣∣∣ n∑j=1

aijxj = 0, i = 1, . . . ,m

}= {~x ∈ Rn|A ◦ ~x = ~0Rm}= {~x ∈ Rn|F (~x) = ~0Rm}.

Entao, solver um sistema de equacoes lineares e equivalente com a “procurade zeros” de uma aplicacao linear. Por isso, vamos, mais uma vez, comecar con-siderar aplicacoes lineares.

Definicao 2.50. Sejam M1, M2 conjuntos e F : M1 → M2 uma aplicacao. SejaM ′

2 ⊂ M2. EntaoF−1(M ′

2) := {x ∈ M1|F (x) ∈ M ′2}

chama-se imagem inversa de M ′2 por F .

Nao e necessario que a aplicacao inversa F−1 de F existe. Nesta definicaoassociamos a cada subconjunto de M2 um subconjunto (possivelmente vazio) deM1.

A imagen inversa por uma aplicacao linear “respeita” a estrutura de um espacovectorial.

Proposicao 2.51. Sejam V1, V2 espacos vectoriais reais e F : V1 → V2 umaaplicacao linear. Se V ′

2 ⊂ V2 e um subespaco vectorial de V2, entao V ′1 :=

F−1(V ′2) e tambem um subespaco vectorial de V1.

Demonstracao.

1. V ′1 6= ∅, porque a partir de F (0) = 0 e 0 ∈ V ′

2 verifica-se 0 ∈ V ′1 .

2. Sejam x, y ∈ V ′1 . Entao F (x), F (y) ∈ V ′

2 . Logo, F (x+y) = F (x)+F (y) ∈V ′

2 . Por isso, x + y ∈ V ′1 .

3. Sejam x ∈ V ′1 e a ∈ R. Entao F (x) ∈ V ′

2 . Logo, F (a · x) = a · F (x) ∈ V ′2 .

Por isso, a · x ∈ V ′1 .


aAs imagens inversas do subespaco vectorial mais simples {0} de V2 sao de

interesse especial.

Definicao 2.52. Sejam V1, V2 espacos vectoriais e F : V1 → V2 uma aplicacaolinear. Chamamos nucleo de F ao conjunto12

nuc(F ) := F−1({0}) = {x ∈ V1 : F (x) = 0 ∈ V2}.

O nucleo de uma aplicacao linear e um subespaco vectorial.O conjunto de solucoes de um sistema homogeneo de equacoes lineares e o

nucleo da aplicacao linear Rn → Rm associada a matriz das coeficientes, e porisso, um subespaco vectorial de Rn.

Algoritmo de Gauß

Agora vamos apresentar um algoritmo para o calculo efectivo do conjunto desolucoes de sistemas (homogeneos) de equacoes lineares ou seja dos nucleos deaplicacoes lineares.

Queremos transformar a matriz de coeficientes A num forma facil tal que

• o conjunto de solucoes da sistema de equacoes A ◦ ~x = ~0 nao e alterado e

• a matriz A recebe uma forma que permite uma leitura directa de vectoresque geram nuc(F ) ou seja o conjunto de solucoes da sistema de equacoes.

As seguintes transformacoes elementares das linhas atendem estas exigencias:

1. A i-esima linha e multiplicada por um numero c ∈ R \ {0}.

Entao a linhaai1 . . . ain

passa ac · ai1 . . . c · ain

e todas as outras linhas ficam inalteradas.

Porque c 6= 0 verifica-se

ai1x1 + · · ·+ ainxn = 0

se e so sec · ai1x1 + · · ·+ c · ainxn = 0.

Entao o conjunto de solucoes nao e alterado.12O nucleo nuc(F ) e tambem denotado por ker(F ) (de ingles “kernel”).


2. Para ındices l 6= i e um numero real c, e adiconada o produto da linha i porc a linha l. Todas as outras linhas ficam inalteradas.

Entao a linhaal1 . . . aln

passa aal1 + cai1 . . . aln + cain.

As duas equacoes

ai1x1 + · · ·+ ainxn = 0 e al1x1 + · · ·+ alnxn = 0

sao equivalentes as equacoes

ai1x1+· · ·+ainxn = 0 e (al1+cai1)x1+· · ·+(aln+cain)xn = 0,

3. Duas linhas podem ser trocadas. Este transformacao nao altera, obviamente,o conjunto de solucoes.

Proposicao 2.53. Seja A uma matriz do tipo m× n. Por transformacoes elemen-tares de linhas podemos chegar a A na seguinte forma:

1

ss + 1

m

0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗0 0 . . . 0 1 ∗ ...

...... 0

...... 0 0

. . . ... 0...

......

... ∗ 00 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 0 1 ∗ ∗0 . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . 0...

...0 . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . 0

.

1 j1 j2 js n

Nas posicoes designadas por “∗” podem ser coeficientes arbitrarios.

Demonstracao. Podemos supor que pelo menos um coeficiente da matriz nao eigual a 0. Seja j1 ∈ {1, . . . , n} o ındice da coluna mınimal tal que ~aj1 6= ~0. Entaoexiste um i1 ∈ {1, . . . ,m} tal que ai1j1 6= 0. Multiplicamos a i1-esima linha com


1ai1j1

e adicionamos para todos os l 6= i1, l ∈ {1, . . . ,m} o produto da i1-esimalinha por −alj1 a l-esima liha. Logo, a j1-esima coluna tem a forma:

i1-esima linha

0...1...0

.

Repetimos este procedimento, mas com j2 > j1 mınimal e i2 ∈ {1, . . . ,m} \ {i1}tais que ai2j2 6= 0. Por isso a j1-esima coluna fica inalterada.

No passo k, escolhemos jk > jk−1 e ik ∈ {1, . . . ,m} \ {i1, . . . , ik−1}. Oprocedimento termina depois de s passos, se s = m ou se todas as linhas parai ∈ {1, . . . ,m}\{i1, . . . , is} consistem so de zeros. Para k = 1, . . . , s, as colunasjk tem a forma:

ik-esima linha

0...1...0

.

Com trocas das linhas obtemos a forma dada na proposicao: A linha i1 vai sera primeira linha, a linha i2 a segunda, etc. Em baixo da matriz temos as linhasnulas. a

Exemplo 2.54.

A =

2 2 2 4 01 1 2 3 41 1 2 3 3−1 −1 −3 −4 −5

−→

0 0 −2 −2 −81 1 2 3 40 0 0 0 −10 0 −1 −1 −1

−→

0 0 −2 −2 −81 1 2 3 40 0 0 0 −10 0 1 1 1

−→

0 0 0 0 −61 1 0 1 20 0 0 0 −10 0 1 1 1

−→

0 0 0 0 −61 1 0 1 20 0 0 0 10 0 1 1 1

−→

0 0 0 0 01 1 0 1 00 0 0 0 10 0 1 1 0


−→

1 1 0 1 00 0 1 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0

.

Falta dizer como determinamus as solucoes de A ◦ ~x = ~0 ∈ Rm se a matrizdo tipo m × n A tem a forma dada na proposicao 2.53. O caso n = s e facil:x1 = x2 = · · · = xn = 0 e a unica solucao.

Sejam s < n e 1 ≤ k1 < k2 < · · · < kn−s ≤ n os ındices das colunas em{1, . . . , n} \ {j1, . . . , js}. Entao, A e associada a seguinte sistema de equacoes:

xj1 = −a1k1xk1 − a1k2xk2 − · · · − a1kn−sxkn−s

xj2 = −a2k1xk1 − a2k2xk2 − · · · − a2kn−sxkn−s

...xjs = −ask1xk1 − ask2xk2 − · · · − askn−sxkn−s

Obtemos todas as solucoes deste sistema de equacoes, por calcular xj1 , . . . , xjs

para todos os (xk1 , . . . , xkn−s) em Rn−s. Se escolhemos para (xk1 , . . . , xkn−s) osvectores linearmente independentes ~e1, . . . , ~en−s ∈ Rn−s, obtemos (n− s) vecto-res linearmente independentes que solvem A◦~x = ~0. Entao dim(conjunto de solucoes) ≥n− s.

Mais tarde, quando consideramos sistemas inhomogeneos de equacoes linea-res, vamos mostrar que estes vectores tambem geram o conjunto de solucoes.

Corolario 2.55. Seja F : Rn → Rm uma aplicacao linear tal que m < n. Entaodim nuc(F ) > 0.

Demonstracao. Seja A a matriz associada a F . Para o numero s de linhas line-armente independentes da proposicao 2.53, s ≤ m. Entao as consideracoes dao:dim nuc(F ) ≥ n− s ≥ n−m > 0. a

Dimensao e comprimento de bases

Na base dos resultados anteriores podemos mostrar que a dimensao, como numeromaximal de vectores linearmente independentes, e igual do comprimento de qual-quer base.

Vamos considerar a primeiro o Rm:

Proposicao 2.56. Para todo o m ∈ N verifica-se dim Rm = m.


Demonstracao. Ja sabemos, por causa da base canonica, que dim Rm ≥ m.Ainda temos de demonstrar que existem no maximo m vectores linearmente in-dependentes em Rm. Entao sejam ~a1, . . . , ~an ∈ Rm vectores linearmente inde-pendentes. Escrevemos os ~ai como colunas da matriz A = (~a1, . . . , ~an) do tipom × n. Seja F : Rn → Rm a aplicacao linear associada a A. Entao F (~x) = ~0 eequivalente a

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,

i.e., a x1 ~a1 + · · ·+ xn ~an = ~0 ∈ Rm. Da independencia linear de ~a1, . . . , ~an segueque ~x = (x1, . . . , xn) = ~0. Entao nuc(F ) = {~0}. De n −m ≤ dim nuc(f) = 0segue n ≤ m. a

Proposicao 2.57. Seja V um espaco vectorial com base {x1, . . . , xn}. Entao:

1. Sejam y1, . . . , ym linearmente independente, entao m ≤ n.

2. Seja {y1, . . . , ym} uma base de V , entao m = n.

3. dim V = n.

Em particular, qualquer base e um sistema de vectores linearmente indepen-dentes com comprimento maximo.Demonstracao.

1. Consideramos o isomorfismo G : V∼→ Rn dado por G(xi) = ~ei. Por causa

do corolario 2.26, G(y1), . . . , G(ym) ∈ Rn sao linearmente independentes.Entao m ≤ n.

2. Tanto {y1, . . . , ym} como {x1, . . . , xn} sao bases de V . Entao V ≈ Rn

e V ≈ Rm, logo Rn ≈ Rm. Do corolario 2.26 segue n = dim Rn =dim Rm = m.

3. Segue de 1.

a

Nota 2.I. Na literatura esta proposicao e, muitas vezes, demonstrada mais abstracta apartir da teorema de Steinitz. Aqui usamos em vez desse o algoritmo de Gauß.


Proposicao 2.58. Seja V um espaco vectorial real e V ′ ⊂ V um subespaco vec-torial.

1. Verifica-se dim V ′ ≤ dim V .

2. Seja V ′ < ∞, entao: V ′ 6= V ⇔ dim V ′ < dim V .

Demonstracao.

1. Segue da definicao de dimensao.

2. ⇒: Seja V ′ ⊂ V, V ′ 6= V . Por causa da proposicao 1.26 existe umabase {x1, . . . , xm} de V ′ tal que m = dim V ′. Existe um x ∈ V \ V ′ epor causa da proposicao 1.18 x, x1, . . . , xm sao linearmente independentes.Entao dim V ≥ m + 1.

⇐: Fosse V ′ = V , entao dim V ′ = dim V .

a

Proposicao 2.59. Seja V um espaco vectorial real tal que dim V = m < ∞. Se,para os vectores x1, . . . , xm ∈ V , se verificam as seguintes condicoes:

1. x1, . . . , xn sao linearmente independentes,

2. x1, . . . , xn geram V ,

entao {x1, . . . , xn} e uma base de V .

Demonstracao.

1. Ver proposicao 1.25.

2. Precisamos de demonstrar que x1, . . . , xm sao linearmente independentes.Vamos demonstrar isto por contradiccao e suponhamos que nao e o caso.Seja s o numero maximo de vectores linearmente independentes de x1, . . . , xm;logo s < m. Se necessario podemos renumerar os vectores, tal que x1, . . . , xs

sao linearmente independentes e x1, . . . , xs, xs+i sao linearmente dependen-tes para i = 1, . . . ,m − s. Por causa da proposicao 1.18 qualquer xs+i,i = 1, . . . ,m − s, e combinacao linear de x1, . . . , xs. Entao x1, . . . , xs ge-ram V e formam por isso uma base. Por causa da proposicao 2.57, entaodim V = s < m, o que resulta numa contradiccao. Entao a hipotese e falsa.

aO mesmo argumento mostra:


Corolario 2.60. Seja V um espaco vectorial da dimensao m e {x1, . . . , xn} geremV . Entao n ≤ m, e n = m se e so se {x1, . . . , xn} e uma base de V .

Entao qualquer sistema de geradores de comprimento mınima e entao umabase.

2.6 Caracterıstica e nulidadeVamos mostrar um dos resultados mais importante na teoria das aplicacoes linea-res: A formula da dimensao que estabelece uma relacao facil enter as dimensoesdo domino, do nucleo e da imagem.

Caracterıstica e nulidade para aplicacoes lineares

Num primeiro passo caracterizamos a injectividade de uma aplicacao linear maisdetalhada. Para uma aplicacao arbitraria, injectividade significa que qualquerponto da imagem tem no maximo um imagem inverso. Na proxima proposicaodemonstramos que isto e equivalente, no caso de aplicacoes lineares, que estepropriedade verifica-se para o ponto particular 0. Isto mostra, mais uma vez, comoforte a propriedade de linearidade de uma aplicacao e.

V, V1, V2 sao sempre espacos vectoriais reais.

Proposicao 2.61. Uma aplicacao linear F : V1 → V2 e injectiva se e so senuc(F ) = {0}.

Isto e equivalente a dim nuc(F ) = 0.Demonstracao. ⇒: Porque F (0) = 0, nuc(F ) = {0} segue da injectividade deF .

⇐: Seja nuc(F ) = {0}. Para x, y ∈ V1 tais que F (x) = F (y) segue 0 =F (x)− F (y) = F (x− y). Entao (x− y) ∈ nuc(F ). Logo x− y = 0, i.e., x = y.

a

Nota 2.J. Note que so usamos que (Vi,+), i = 1, 2, sao grupos. Entao uma proposicaocorrespondentes verifica-se tambem para homomorfismos de grupos.

A sobrejectividade de uma aplicacao linear F : V1 → V2 e determinada pelaimagem im(F ), respectivamente a sua dimensao. Na proposicao 2.19 ja veri-ficamos que im(F ) e um subespaco de V2.

Proposicao 2.62. Sejam dim V1 = n < ∞ e F : V1 → V2 uma aplicacao linear.Entao F e sobrejectiva se e so se dim im(F ) = dim V2.


Demonstracao. ⇒: Se F for sobrejectiva, entao im(F ) = V2.⇐: E claro que dim im(F ) ≤ n < ∞, i.e., de dimensao finita. Entao im(F ) =

V2 por causa da proposicao 2.58. a

Proposicao 2.63 (Formula de dimensao). Sejam dim V1 = n < ∞ e F : V1 → V2

uma aplicacao linear. Entao:

dim V1 = dim im(F ) + dim nuc(F ).

dim im(F ) e chamada caracterıstica da aplicacao linear F ; do nome inglesrank origina a designacao r(F ) ou rk(F ) para dim im(F ). dim nuc(F ) e chamadanulidade (e, em ingles, corank).Demonstracao. Ver aulas. a

Uma aplicacao linear com o mesmo dominio e conjunto de chegada F : V →V chama-se endomorfismo. Para endomorfismos a combinacao das ultimas tresproposicoes resulta numa relacao notavel entre injectividade e sobrejectividade.Nota-se que a hipotese de dimensao finita e essencial.

Corolario 2.64. Sejam dim V < ∞ e F : V → V uma aplicacao linear. Entao,F e sobrejectiva se e so se F e injectiva.

Exemplo 2.65. Queremos calcular o caracterıstica da aplicacao linear

F : R3 → R3, F (~c) = (c1 − 2c2, c2 + c3, 2c1 + 3c2 + 7c3).

Porque F (~c) = c1(1, 0, 2) + c2(−2, 1, 3) + c3(0, 1, 7) a imagem im(F ) e geradopor ~b1 := (1, 0, 2), ~b2 = (−2, 1, 3) e ~b3 = (0, 1, 7). Mas ~b1, ~b2, ~b3 sao linearmentedependentes: 2~b1 + ~b2 − ~b3 = ~0.

Mas, ~b1 e ~b2 sao linearmente independentes:

d1~b1 + d2

~b2 = ~0 ⇒

d1 − 2d2 = 0

d2 = 02d1 + 3d2 = 0

⇒ d2 = 0 e d2 = 0.

Porque ~b3 = 2~b1 + ~b1 verifica-se F (~c) = c1~b1 + c2

~b2 + c3~b3 = (c1 + 2c3)~b1 +

(c2 + c3)~b2, entao im(F ) e gerado por ~b1, ~b2. Logo, {~b1, ~b2} e uma base de im(F )e r(F ) = 2.

Caracterıstica duma matriz

O calculo da caracterıstica de uma aplicacao linear a partir da definicao e umatarefa morosa: Precisa-se de determinar um sistema de geradores de im(F ) e de-pois e necessario verificar se isto e uma base, e se nao, obter uma. O comprimentodesta base e r(F ).


Podemos usar matrizes para resolver esta questao, a partir duma relacao entrea caracterıstica de uma aplicacao linear e dos numeros de colunas (ou linhas)linearmente independentes de A.

No seguinte, F : Rn → Rm e uma aplicacao linear e A a matriz associada dotipo m× n.

Definicao 2.66. A matriz do tipo n×m

AT =

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2...

... . . . ...a1n a2n . . . anm

= (bij)i=1,...,n;j=1,...,m

com bij = aji chama-se a transposta da matriz A = (aji)i=1,...,n;j=1,...,m do tipom× n.

Se n = m e A e AT sao iguais, i.e., aij = aji, i, j = 1, . . . , n, A chama-sesimetrica.

Obtemos a transposta de A se escrevemos as linhas de A como colunas.

Nota 2.K. A aplicacao linear F ∗ : Rm → Rn associada a matriz AT chama-se aplicacaodual a F . A teoria das aplicacoes duais e muito importante na Algebra Linear, mas fica(por causa de tempo) fora desta cadeira.

Definicao 2.67. Definimos como caracterıstica de coluna de uma matriz a ca-racterıstica da aplicacao linear F associada. A caracterıstica de linha de A e acaracterıstica de coluna da transposta AT :

caracterıstica de coluna(A) := r(F ),

caracterıstica de linha(A) := caracterıstica de coluna(AT ).

A nota seguinte e fundamental para as consideracoes que seguem.

Nota 2.68. As colunas ~a1, . . . , ~an de A geram im(F ).

Demonstracao. Segue de A ◦ ~x =∑n

j=1 xj ~aj para ~x ∈ Rn. aNota-se a dualidade dos seguintes resultados com o algoritmo de Gauß. Para

o calculo de im(F ) e r(F ) podemos usar as seguintes transformacoes elementaresde colunas da matriz A, porque estas nao alteram im(F ) (mas nuc(F ) e o proprioF ):


1. Para um j ∈ {1, . . . , n} e um numero real c 6= 0 a j-esima coluna e multi-plicada por c; as restantes colunas ficam inalteradas.

A coluna ~aj =

a1j

a2j...

amj

passa a c · ~aj =

ca1j

ca2j...

camj

.

Um vector ~y ∈ Rm e combinacao linear de ~a1, . . . , ~an se e so se ~y ecombinacao linear de ~a1, . . . , ~aj−1, c~aj, ~aj+1, . . . , ~an; porque ~y = x1 ~a1 +· · ·+ xn ~an = x1 ~a1 + · · ·+ xj

c(c~aj) + · · ·+ xn ~an. Entao a imagem de F fica

inalterada.

2. Para dois ındices k 6= j e um c ∈ R, e adiconada o produto da coluna j porc a linha k. A coluna ~ak e substituıda por ~ak + c~aj , todas as outras colunasficam inalteradas. Porque x1 ~a1 + · · ·+ xn ~an = x1 ~a1 + · · ·+ xk

(~ak + c~aj) +

· · · + (xj − cxk)~aj + · · · + xn ~an esta transformacao tambem nao alterar aimagem.

3. A troca de duas colunas tambem nao altera a imagem.

Em analogia a proposicao 2.53 verifica-se:

Proposicao 2.69. Por transformacoes elementares de colunas podemos chegar aA na seguinte forma:

1

i1

i2

...

is

m

0 . . . 0 0 . . . 0...

......

...0 . . . 0 . . .1 0 0 . . . 0 0 0∗ 0 0 . . . 0 0 0...

......

∗ 0 0 . . . 0 0 00 1 0 . . . 0 0 0∗ ∗ 0 . . . 0 0 0... . . . ...∗ . . . ∗ 0 0 00 0 0 . . . 1 0 0∗ . . . ∗ 0 0...

......

...∗ . . . ∗ 0 0

.

1 s s + 1 n


Demonstracao. Aplicamos proposicao 2.53 a matriz AT ; transformacoes de co-lunas em A correspondem a transformacoes de linhas em AT . a

Para determinar im(F ) e r(F ) podemos assumir que A tem a forma da proposicao2.69. Para as restantes ındices de linhas em {1, . . . ,m} \ {i1, . . . , is} usamos1 ≤ l1 < . . . lm−s ≤ m. Sejam ~x ∈ Rn e ~y = F (~x) = A ◦ ~x, entao ~y e dado pelasseguintes equacoes:

yi1 = x1

...yis = xs

yl1 = al11x1 + · · ·+ al1sxs

...ylm−s = alm−s1x1 + · · ·+ alm−ssxs.

Entao a imagem im(F ) e dada por um sistema de (m−s) equacoes em s incognitas:

yl1 = al11yi1 + · · ·+ al1syis

...ylm−s = alm−s1yi1 + · · ·+ alm−ssyis .

Entao, obtemos im(F ) por usar todas as vectores (x1, . . . , xs) de Rs e por deter-minar y1, . . . , ym a partir da sistema de equacoes em cima.

Deste modo, obtemos uma aplicacao linear

G : Rs → Rm, (x1, . . . , xs) 7→ (y1, . . . , ym)

tal que im(G) = im(F ). Este aplicacao e injectiva, porque de y1 = · · · = ym = 0segu x1 = yi1 = 0, . . . , xs = yis = 0. Entao G e um isomorfismo de Rs emim(G). Porque um isomorfismo nao altera a dimensao verifica-se:

caracterıstica de linha(A) = r(F ) = dim im(F ) = dim im(G) = dim Rs = s.

Entao a caracterıstica de coluna(A) pode ser lida directamente da matriz da proposicao2.69.

Proposicao 2.70. A caracterıstica de coluna(A) e o numero maximo de colunaslinearmente independentes da matriz A.

Demonstracao. Seja s∗ o numero maximo de colunas linearmente independen-tes de A. Logo existem colunas ~aj1 , . . . , ~ajs linearmente independentes, e toda


a outra coluna e combinacao linear de ~aj1 , . . . , ~ajs . Porque im(F ) e gerada por~a1, . . . , ~an, { ~aj1 , . . . , ~ajs} e uma base de im(F ). Entao s∗ = dim im(F ) = r(F ) =caracterıstica de coluna(A). a

Corolario 2.71. A caracterıstica de linha(A) e o numero maximo de linhas line-armente independentes de A.

Demonstracao. Segue imediatamente da proposicao 2.70 e da definicao 2.67,porque as linhas de A sao as colunas de AT . a

Proposicao 2.72. Transformacoes elementares (de linhas ou de colunas) nao mu-dam caracterıstica de linha(A) e caracterıstica de coluna(A).

Demonstracao. E suficiente mostrar a proposicao para caracterıstica de coluna(A);obtemos o resultado para caracterıstica de linha(A) se consideramos a transpostade A. Seja A o resultado de uma transformacao elementar de A e seja F aaplicacao linear associada a A. Se temos uma transformacao de colunas, entaoim(F ) = im(F ). Se temos uma transformacao de linhas, entao segue nuc(F ) =nuc(F ). Neste caso, verifica-se pela formula de dimensao: caracterıstica de linha(A) =r(F ) = dim(Rn)−dim nuc(F ) = dim(Rn)−dim nuc(F ) = r(F ) = caracterıstica de linha(A).

a

Proposicao 2.73. caracterıstica de linha(A) = caracterıstica de coluna(A).

Demonstracao. Num primeiro passo usamos transformacoes de linhas para trans-formar A na forma de proposicao 2.53, depois usamos tranformacoes para obter aseguinte forma:

A =

123

s

s + 1m

1 0 0 . . . 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0...

......

... . . .0 0 0 . . . 1 0 00 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0...

......

......

0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0

.

1 2 3 s s + 1 n

Sabemos que caracterıstica de linha(A) = caracterıstica de linha(A) e caracterıstica de coluna(A) =caracterıstica de coluna(A). Podemos ler imediatamente que s e qual o numero


maximal de colunas linearmente independente tal de linhas linearmente indepen-dentes de A:

caracterıstica de linha(A) = s = caracterıstica de coluna(A).

aEntao podemos deixar a distincao de caracterıstica de coluna e caracterıstica

de linha e falamos simplesmente da caracterıstica de uma matriz A, dado por:

r(A) := caracterıstica de linha(A) = caracterıstica de coluna(A).

Exemplo 2.74. Como em exemplo 2.65 determinamos a caracterıstica da aplicacaolinear F : R3 → R3, F (~c) := (c1 − 2c2, c2 + c3, 2c1 + 3c2 + 7c3), mas esta vezpelo calculo de matrizes. A matriz associada e

A =

1 −2 00 1 12 3 7

.

E r(F ) = r(A) Obtemos por adicionar (−2) vezes linha 1 a linha 3:

r(F ) = r

1 −2 00 1 10 7 7

Adicionar (−7) vezes linha 2 a linha 3 e 2 vezes linha 2 a linha 1

= r

1 −2 00 1 10 0 0

Subtrair 2 vezes coluna 1 da coluna 3

= r

1 0 00 1 10 0 0

Subtrair coluna 2 da coluna 3

= r

1 0 00 1 00 0 0

= 2.

2.7 Sistemas de equacoes lineares geraisNeste seccao seja tambem A sempre uma matriz m × n e F : Rn → Rm aaplicacao linear associada.


Sistemas homogeneos de equacoes lineares

Agora temos todos os ferramentos para finalizar a teorie de solucoes de sistemashomogeneos de equacoes lineares A◦~x = 0. Ja descrevemos (na pagina 50) comoencontramos n−s vectores de solucao linearmente independentes, i.e., elementosde {~x|A ◦ ~x = ~0} = nuc(F ) depois da transformacao do sistema numa formanormal pelo algoritmo de Gauß. Neste caso, s e o numero maximo de linhaslinearmente independentes de A. Os resultados da seccao anterior mostram ques = caracterıstica de linha(A) = caracterıstica de coluna(A) = r(F ). Por causada formula da dimensao temos:

dim(conjunto de solucoes) = dim nuc(F ) = n− r(F ) = n− s.

Ja mostramos na proposicao 2.59 que um sistema de vectores linearmente inde-pendentes do comprimento igual a dimensao do espaco vectorial e uma base desteespaco. Entao os (n−s) vectores construıdos na pagina 2.5 formam efectivamenteuma base do conjunto de solucoes {~x ∈ Rn|A ◦ ~x = ~0}.

Exemplo 2.75. Procuramos o conjunto de solucoes de sistema de equacoes A ◦~x = ~0 com a matriz de coeficientes do tipo 4× 5:

A =

2 2 2 4 01 1 2 3 41 1 2 3 3−1 −1 −3 −4 −5

.

Em examplo 2.54 mostramos, por transformacoes elementares de linhas, que A ◦~x = ~0 e equivalente a:

x1 = −x2 − x4

x3 = −x4

x5 = 0.

Porque n = 5 e s = 3, a dimensao do espaco de solucoes e 2. Escolhemos x2 = 1e x4 = 0, e depois x2 = 0 e x4 = 1 e calculamos x1, x3, x5; logo obtemos que

−11000

,

−10−110

e uma base do conjunto de solucoes {~x ∈ R5|A ◦ ~x =

~0R4}.


Sistemas inhomogeneos de equacoes lineares

Sistemas inhomogeneos de equacoes lineares sao sistemas da forma A◦~x = ~b, emqual ~b tambem e dado. Procuramos, novamente, as vectores de solucao ~x ∈ Rn.O exemplo

A =

(1 00 0

), ~b =

(11

)mostra, que ao contrario do caso homogeneo nao sempre existe uma solucao.Alem da matriz de coeficientes A consideramos agora tambem a matriz ampliada(A|~b)∈ Rm×(n+1). Temos o seguinte criterio para verificar se um sistema e

possıvel.

Proposicao 2.76. A sistema de equacoes A ◦ ~x = ~b tem uma solucao ~x ∈ Rn se eso se a caracterıstica das matriz de coeficientes A e igual a caracterıstica da matrizampliada: r(A) = r

(A,~b

).

Demonstracao. Ver aulas. a

Corolario 2.77. Se r(Am,n) = m, entao a sistema de equacoes A ◦ ~x = ~b epossıvel para qualquer~b ∈ Rm.

Demonstracao. Segue da proposicao anterior e m = r(A) ≤ r(A,~b

)≤ numero de linhas

(A,~b

)≤

m. aNo caso em que um sistema e possıvel podemos calcular facilmente o conjunto

de solucoes do sistema inhomogeneo a partir do conjunto de solucao do sistemahomogeno correspondente.

Proposicao 2.78. Seja ~x0 ∈ Rn uma solucao do sistema de equacoes linearesA ◦ ~x = ~b (com A = Am,n e~b ∈ Rm dados). Entao:

{~x ∈ Rn|A ◦ ~x = ~b} = {~x ∈ Rn|~x = ~x0 + ~y tal que A ◦ ~y = ~0}.

Demonstracao. A afirmacao segue directamente da distributividade em corolario2.35:

A ◦ ~x = ~b ⇔ A ◦ ~x = A ◦ ~x0 ⇔ A ◦ ~x− A ◦ ~x0 = 0 ⇔ A ◦ (~x− ~x0) = 0

aAgora, como podemos decidir se um sistema e possıvel e como podemos, em

caso afirmativo, determinar a solucao particular do sistema inhomogeneo?


Podemos user transformacoes elementares de linhas para a matriz ampliada(A|~b)

que nao mudam o conjunto de solucoes. Depois da aplicacao do algoritmode Gauß (proposicao 2.53) a sistem de equacoes tem a seguinte forma:

xj1 = b1 − a1k1xk1 − a1k2xk2 − · · · − a1kn−sxkn−s

xj2 = b1 − a2k1xk1 − a2k2xk2 − · · · − a2kn−sxkn−s

...xjs = b1 − ask1xk1 − ask2xk2 − · · · − askn−sxkn−s

0 = bs+1

...0 = bm

Aqui 1 ≤ j1 < j2 < · · · < js ≤ n sao ındices de linhas apropriados e s acharacterıstica da matriz de coeficientes. Usamos 1 ≤ k1 < · · · < kn−s ≤ n paraas restantes ındices de colunas em {1, . . . , n} \ {j1, . . . , js}.

Este sistema e possıvel se e so se bs+1 = · · · = bm = 0. Neste caso obtemosuma solucao particular se escolhemos xj1 = b1, . . . , xjs = bs e xk1 = · · · =xkn−s = 0.

Exemplo 2.79. Consideramos, mais uma vez, a matriz de coeficientes A do exem-plo 2.75.

1. Para~b =

1−207

obtemos:

A =

2 2 2 4 0 11 1 2 3 4 −21 1 2 3 3 0−1 −1 −3 −4 −5 7

→

0 0 −2 −2 −8 51 1 2 3 4 −20 0 0 0 −1 20 0 −1 −1 −1 5

→

0 0 −2 −2 −8 51 1 2 3 4 −20 0 0 0 −1 20 0 1 1 1 −5

→

0 0 0 0 −6 −51 1 0 1 2 80 0 0 0 −1 20 0 1 1 1 −5

→

0 0 0 0 −6 −51 1 0 1 2 80 0 0 0 1 −20 0 1 1 1 −5

→

0 0 0 0 0 −171 1 0 1 0 120 0 0 0 1 −20 0 1 1 0 −3


→

1 1 0 1 0 120 0 1 1 0 −30 0 0 0 1 −20 0 0 0 0 −17

.

A sistema que corresponde a esta matriz ampliada:

x1 = 12− x2 − x4

x3 = −3− x4

x5 = −2

0 = −17

nao e possıvel.

2. Para~b =

1−207

obtemos (exercıcio) a sistema:

x1 = 2− x2 − x4

x3 = −1− x4

x5 = 3.

Este sistema e possıvel e ~x0 =

20−103

e uma solucao particular. Com

a base

~b1 =

−11000

,~b2 =

−10−110

do conjunto de solucoes do sis-

tema homogeneo {~x ∈ R5|A ◦ ~x = ~0} do exemplo 2.75 obtemos:

{~x ∈ R5|A ◦ ~x = ~b} = {~x0 + a1~b1 + a2

~b2|a1, a2 ∈ R}.

2.8 Matriz inversaDe interesse especial sao as matrizes associadas a isomorfismos. Neste caso asdimensoes do domınio e do conjunto de chegada sao necessariamente iguais, epor isso e suficiente considerar so matrizes quadradas (i.e., o numero de colunas= o numero de linhas).


Definicao 2.80. Se existe para a matriz A do tipo n × n uma matriz B do tipon×n tal que A◦B = B ◦A = E = En,n, entao A chama-se regular. B chama-sea matriz inversa de A e escreve-se B = A−1.

Da caracterizacao da (existencia da) aplicacao inversa em proposicao 2.8 se-gue imediatamente:

Corolario 2.81. A matriz A do tipo n×n e regular se e so se a aplicacao associadaF : Rn → Rn e um isomorfismo, i.e., e bijectiva. Neste caso existe a matrizinversa A−1 que e a matriz associada a F−1, e por isso e unica.

Em analogia a proposicao 2.12 segue para o inverso do produto de matrizes:

Corolario 2.82. Sejam A, B matrizes regulares do tipo n× n. Entao a matriz doproduto e regular e verifica-se para a matriz inversa:

(B ◦ A)−1 = A−1 ◦B−1.

Exemplo 2.83. 1. Queremos verificar se a matriz do tipo 2× 2

A =

(1 23 4

)e regular. Por causa do corolario 2.64 e suficiente mostrar que a aplicacaolinear associada e injectiva. Para isso, verificamos pelo algoritmo de Gaußse o sistema de equacoes lineares A ◦ ~x = ~0 tem so a solucao trival ~x = ~0 ∈R2. Seguimos o procedimento da demonstracao da proposicao 2.53.(

1 23 4

)→(

1 20 −2

)→(

1 20 1

)→(

1 00 1

).

Entao A e regular, e A−1 existe. Para determinar a matriz inversa, procura-mos B =

(~b1, ~b2

)= A−1 tal que, em particular,

A ◦B = E = E2,2 ⇔ A ◦ ~b1 = ~e1 e A ◦ ~b2 = ~e2.

Resolvemos ambos sistema pelo algoritmo de Gauß.(1 2 13 4 0

)→(

1 2 10 −2 −3

)→(

1 2 10 1 3

2

)→(

1 0 −20 1 3

2

), entao~b1 =

(−23

2

);

(1 2 03 4 1

)→(

1 2 00 −2 1

)→(

1 2 00 1 −1

2

)→(

1 0 10 1 −1

2

), entao~b2 =

(1

−1

2

).


De

B =

(−2 132

−12

)segue

A ◦B =

(−2 + 3 1− 1−6 + 6 3− 2

)=

(1 00 1

)= E

e tambem

B ◦ A =

(−2 + 3 −4 + 432− 3

23− 2

)=

(1 00 1

)= E,

entao A−1 = B.

Porque ja verificamos anteriormente a existencia de A−1, foi claro que A ◦B = E implica tambem B ◦ A = E.

2. Queremos tambem verificar se

A =

1 2 34 5 67 8 9

e regular. O conjunto de solucoes {~x ∈ R3|A ◦ ~x = ~0}, i.e., o nucleo daaplicacao linear associada, e determinado por transformacoes elementares. 1 2 3

4 5 67 8 9

→

1 2 30 −3 −60 −6 −12

→

1 2 30 1 20 −6 −12

→

1 2 30 1 20 0 0

.

Entao {~x ∈ R3|A◦~x = ~0} e gerado por (1,−2, 1). Por isso e uma subespacodde R3 da dimensao 1. Logo, a aplicacao linear associada nao e injectiva e,em particular, nao bijectiva. Entao, a matriz A nao e regular. Uma matriznao regular e tambem chamada singular.

A existencia uma matriz B do tipo n×n tal que A◦B = E e equivalente como facto que as sistema de equacoes A◦~bj = ~ej , para j = 1, . . . , n tem uma solucao~bj . Neste caso, ~bj e a j-esima coluna da matriz B. Em vez de tratar n sistemasconsecutivamente, vamos considerar estes sistemas simultaneamente. Obtemosassim a seguinte variacao do algoritmo de Gauß:


Escreve no memso tempo todos os lados direitos na matriz ampliada, i.e.,comeca com a matiz (A, E) do tipo n× 2n. Por transformacoes de linhas chega-mos a matriz (A, B).

Se r(A) = n, podemos garantir que A = E, a matriz A e invertıvel e B = A−1.

Exemplo 2.84. 1. Queremos verificar se a matriz

A =

−1 1 1−3 4 3−4 6 5

e regular e tem uma matriz inversa.

Por transformacoes elementares de linhas obtemos:

(A|E) =

−1 1 1 1 0 0−3 4 3 0 1 0−4 6 5 0 0 1

→

1 −1 −1 −1 0 00 1 0 −3 1 00 2 1 −4 0 1

→

1 0 −1 −4 1 00 1 0 −3 1 00 0 1 2 −2 1

→

1 0 −1 −2 −1 10 1 0 −3 1 00 0 1 2 −2 1

= (E|B)

Entao r(A) = 3 e A e invertıvel. Temos

A−1 =

−2 −1 1−3 1 02 −2 1

.

2. Queremos tambem verificar se a matriz

A =

1 1 2−2 3 0−1 4 2

e invertıvel.

(A|E) =

1 1 2 1 0 0−2 3 0 0 1 0−1 4 2 0 0 1

→

1 1 2 1 0 00 5 4 2 1 00 5 4 1 0 1

→

1 1 2 1 0 00 5 4 2 1 00 0 0 −1 −1 1

= (A|B)

Entao r(A) = r(A) = 2 < 3, logo A nao e invertıvel.


Para matrizes quadradas A podemos definir potencias. Para p ∈ N seja

Ap := A ◦ · · · ◦ A︸︷︷︸p vezes

.

Neste caso verifica-se uma propriedade especial do produto de matrizes. Aocontrario a multiplicacao de numeros reais existem divisores de zero; um produtopode ser zero embora que ambos factores nao sao zero.

Exemplo 2.85. Para A =

(0 10 0

)verifica-se A2 =

(0 10 0

)◦(

0 10 0

)=

O2,2, i.e., a matriz nula.

Definicao 2.86. Uma matriz A de tipo n × n chama-se nilpotente se existe umnumero p ∈ N tal que Ap = On,n.

2.9 Mudanca de coordenadasLembramos as consideracoes no fim da seccao 2.2: Sejam V1, V2 espacos vec-toriais de dimensao finita, dim V1 = n, dim V2 = m, e H : V1 → V2 umaaplicacao linear. Por uma escolha de bases {x1, . . . , xn} de V1 e {y1, . . . , ym} deV2 foi possıvel associar a H uma aplicacao linear F : Rn → Rm pelos isomor-fismos G1 : Rn → V1 e G2 : Rm → V2 tais que G1(~ej) = xj e G2(~ek) = yk eF := G−1

2 ◦H ◦G1. Seja A a matriz associada a F .

V1H−−−→ V2

G1

x yG−12

Rn −−−→F

Rm

Em vez de {x1, . . . , xn} e {y1, . . . , ym} podemos, obviamente, tambem consi-derar outras bases {x1, . . . , xn} de V1 e {y1, . . . , ym} de V2. Neste caso temos porG1(~ej) = xj e G2(~ek) = yk outras isomorfismos G1 : Rn → V1 e G2 : Rm → V2

tal queF : Rn → Rm, F := G−1

2 ◦H ◦ G1

e associada a aplicacao H . Seja A a matriz associada a F .

V1H // V2

G−12}}{{

{{{{

{{

G−12

��111

1111

1111

1111

Rn

G1

``BBBBBBBBF // Rm

G−12 ◦G2 ((QQQQQQQQQQQQQQQ

Rn

G1

FF G−11 ◦G1

66mmmmmmmmmmmmmmm F // Rm


Existe, obviamente, a seguinte relacao entre F e F :

F = G−12 ◦H ◦ G1 = G−1

2 ◦G2 ◦G−12 ◦H ◦G1 ◦G−1

1 ◦ G1

= (G−12 ◦G2) ◦ F ◦ (G−1

1 ◦ G1).

Agora queremos investigar se o conhecimento de uma relacao entre as bases{x1, . . . , xn} e {x1, . . . , xn} permite o calculo da matriz associada a aplicacao demudanca de coordenadas G−1

1 ◦ G1.Os vectores xj e yl sejam dados, em termos dos vectores xi e yk respectiva-

ment, da forma:

xj =n∑

i=1

bijxi, j = 1, . . . , n,

e

yl =m∑

k=1

cklxk, l = 1, . . . ,m.

Entao B = (bij)i,j=1,...,n e C = (ckl)k,l=1,...,m sao as matrizes de transformacao.Para um vector arbitrario x ∈ V1 sejam p1

...pn

= G−11 (x) e

p1...

pn

= G−11 (x)

as coordenadas em termos de {x1, . . . , xn} e {x1, . . . , xn}, respectivamente. Entaox =

∑ni=1 pixi e tambem

x =n∑

j=1

pjxj =n∑

j=1

pj

(n∑

i=1

bijxi

)=

n∑i=1

(n∑

j=1

bij pj

)xi.

Porque a representacao do vector x na base {x1, . . . , xn} e unica, temos

(pi)i=1,...,n =

(n∑

j=1

bij pj

)= B ◦ (pi)i=1,...,n.

Porque(pi)i=1,...,n = (G−1

1 ◦ G1)(pi)i=1,...,n

segue que B e a matriz associdada a transformacao de coordenadas G−11 ◦ G1.

Do mesmo modo a matriz C e associada ao isomorfismo G−12 ◦ G2. Por-

que corolario 2.81 existe C−1 associada a transformacao de coordenadas inversa(G−1

2 ◦ G2)−1 = G−1

2 ◦ (G−12 )−1 = G−1

2 ◦G2.


Entao, obtemos para as matrizes associadas a F e F :

A = C−1 ◦ A ◦B

e, por multiplicacao de C a esquerda e B−1 a direita:

A = C ◦ A ◦B−1.

Nota 2.L. Neste momento, nao vamos estudar a mudanca de coordenadas em detalhes.Mas este tecnica e de interesse especial quando queremos representar aplicacoes linea-res numa forma tal que a matriz associada e duma forma simples. Em particular, po-demos perguntar se, para uma aplicacao linear F dada com matriz associada A existemtransformacoes de coordenadas com matrizes associadas B e C tais que a A = C−1◦A◦Be uma matriz diagonal.

2.10 Aplicacoes lineares invertıveisDefinicao 2.87. Uma aplicacao linear invertıvel de Rn e uma aplicacao linearbijectiva F : Rn → Rn, entao um isomorfismo F : Rn → Rn.

Proposicao 2.88. Sejam F : Rn → Rn uma aplicacao linear e A a matriz associ-ada do tipo n× n. Entao as seguintes assercoes sao equivalentes:

1. F e linear invertıvel.

2. A e regular.

3. Existe uma matriz B do tipo n× n tal que B ◦ A = E.

4. Existe uma matriz B do tipo n× n tal que A ◦B = E.

5. r(A) = n.

6. Todas as colunas de A sao linearmente independentes.

7. Todas as linhas de A sao linearmente independentes.

8. As colunas de A geram Rn.

9. As linhas de A geram Rn.

10. F e injectiva.

11. F e sobrejectiva.


Demonstracao. Precisamos de demonstrar so um numero suficiente de equi-valencias tais que as outras seguem pela transitividade de ⇔.

1. ⇔ 2.: ver corolario 2.81.10. ⇔ 11.: ver corolario 2.64.1. ⇔ 10.: segue agoria immediatamente.2. ⇒ 3.: obvio.3. ⇒ 10.: Seja F (~x) = ~0. Por 3. segue ~x = E ◦ ~x = (B ◦ A) ◦ ~x =

B ◦ (A ◦ ~x) = B ◦~0 = ~0.Ja sabemos 10. ⇔ 2. e obtemos entao 2. ⇔ 3. e 3. ⇔ 10.2. ⇒ 4.: obvio.4. ⇒ 11.: Seja ~y ∈ Rn. Com B de 4. definimos ~x = B ◦~y; segue ~y = E ◦~y =

(A ◦B) ◦ ~y = A ◦ (B ◦ ~y) = A ◦ ~x, entao ~y = F (~x).Como em cima segue, com 11. ⇔ 2., 2. ⇔ 4 e 4. ⇔ 11.8. ⇔ 11.: As colunas de A geram im(F ).As restantes equivalencias seguem com caracterıstica de linhas(A) = caracterıstica de colunas(A) =

r(A) e proposicao 2.59, que diz que um sistema de n vectores de Rn, que sao li-nearmente independentes ou que geram o Rn, ja e uma base. a

Definicao 2.89. O conjunto GL(n, R) := {A : A e uma matriz regular (real) do tipo n× n}chama-se grupo linear geral de caracterıstica n sobre R. Os elementos de GL(n, R)chamam-se matrizes regulares ou invertıveis.13

Proposicao 2.90. GL(n, R) e um grupo em relacao a multiplicacao de matizes.para n ≥ 2, este grupo e nao-comutativo.

Demonstracao. A matriz unitaria e regular, entao GL(n, R) 6= ∅. No corolario2.82 verificamos que o produto de matrizes regulares e tambem regular. EntaoGL(n, R) e fechado pela multiplicacao de matrizes.

1. A associatividade da multiplicacao de matrizes foi demonstrada na proposicao2.47.

2. A matriz unitaria e regular e para qualquer A ∈ GL(n, R) verifica-se A ◦E = A.

3. A existencia da inversa (direita) para qualquer matrix em GL(n, R) e ga-rantida pela definicao 2.80 de matrizes regulares.

13A designacao GL origina de ingles general linear (group).


Para mostrar a nao-comutatividade da multiplicacao de matrizes usamos o exem-plo 2.46: Encontramos matrizes A, B do tipo 2× 2 tais que A ◦B 6= B ◦A. Paran ≥ 2 definimos

A =

(A2,2 O2,n−2

On−2,2 En−2,n−2

)e B analogamente. Entao verifica-se

A ◦ B =

(A ◦B OO E

), B ◦ A =

(B ◦ A OO E

)e logo A ◦ B 6= B ◦ A. a

Nota-se que, em geral, a soma de duas matrizes invertıveis nao e invertıvel.Vamos ainda considerar uma classe de aplicacoes lineares invertıveis particu-

lares ou seja matizes particulares que e um subgrupo de GL(n, R). A nocao desubgrupo e definida analogo ao subespaco vectorial (ver definicao 1.27).

Definicao 2.91 (Subgrupo). Seja (G, ◦) um grupo. Um subconjunto H ⊂ Gchama-se subgrupo, se se verificar:

1. H 6= ∅,

2. Para todos os x, y ∈ H , tambem x ◦ y ∈ H .

3. Para todo o x ∈ H , tambem x−1 ∈ H .

Um subgrupo H de G com as mesmas operacoes com G e um grupo.

Homotetias

Definicao 2.92. Uma aplicacao linear F : Rn → Rn chama-se homotetia, seexiste um numero real a 6= 0 tal que para todo o ~x ∈ R: F (~x) = a · ~x. Porque

F (~ei) = a~ei, a matriz associada e A =

a 0 . . . 00 a . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . a

= a · E.

Proposicao 2.93. O conjunto de todas as matrizes do tipo n × n associadas ashomotetias

H := {A|A = a · En,n, a ∈ R \ {0}}

e um subgrupo de GL(n, R).


Demonstracao. Usamos as regras de calculo para a multiplicacao de escalares ea multiplicacao de matrizes.

Seja A = a·E ∈ H . Porque ( 1a·E)◦(a·E) = (a·E)◦( 1

a·E) = (a· 1

a)·(E◦E) =

E, A e regular. Entao H ⊂ GL(n, R) e para qualquer elemento, tambem o inversopertence a H . Obviamente, H 6= ∅. Finalmente, para A = a · E, B = b · E ∈ Hverifica-se: A◦B = (a ·E)◦(b ·E) = (a ·b) ·(E ◦E) = (ab) ·E, entao A◦B ∈ H .Logo, o conjunto H e fechado pela operacao de grupo ◦. a

Definicao 2.94. Um homomorfismo de grupos bijectivo chama-se isomorfismo degrupos.

Nota 2.95. O conjunto de numeros reais nao igual zero, R∗ := R \ {0}, e umgrupo comutativo com a multiplicacao usual. Por h : R∗ → H , a 7→ a · E

e obviamente definido um isomorfismo de grupos R∗ → H . Por isso, H e umsubgrupo comutativo de grupo nao-comutativo GL(n, R).


3 Construcoes de espacos vectoriais

3.1 Somas directasNa proposicao 1.31 mostramos que a interseccao V1 ∩ V2 de dois subespacosvectoriais de um espaco vectorial V e tambem um subespaco vectorial de V . Emgeral, este propriedade nao se verificar para a uniao V1 ∪ V2. A uniao so une oselementos dos subespacos, mas nao adicionar (novas) combinacoes lineares quepodem ser definidas a partir dos vectores em V1 e V2. Entao, em vez da uniaodevemos considerar a soma de dois subespacos vectorias, que e a uniao mais dascombinacoes lineares adicionais.

Definicao 3.1. Sejam V1 e V2 subespacos vectoriais do espaco vectorial V . Entaoa soma V1 + V2 e o conjunto {x1 + x2|x1 ∈ V1, x2 ∈ V2}.

Proposicao 3.2. Sejam V1 e V2 subespacos vectoriais do espaco vectorial V .Entao V1 + V2 e tambem um subespaco vectorial de V .


Nota 3.3. V1 + V2 e o menor subespaco vectorial de V que contem V1 ∪ V2.

Estamos interessados em particular em somas para o caso em que V1 ∩ V2 ={0}. Para isso, introduzimos duas variacoes da nocao soma directa:

Definicao 3.4. Sejam V1 e V2 subespacos vectoriais do espaco vectorial V , e V1 ∩V2 = {0}. Entao a soma V1 + V2 chama-se soma directa (interna) de V1 e V2 e edesignada por V1⊕V2.

Definicao 3.5. Sejam V e W espacos vectoriais. Entao a soma directa (externa)e definida por

V ⊕W := {(x1, x2)|x1 ∈ V, x2 ∈ W}

com a adicao e multiplicacao por escalares definidas por

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e c · (x1, x2) = (c · x1, c · x2).

Nota 3.6. A soma directa interna e so definida para espacos vectoriais que saosubespacos de um “superespaco” comum, e so no caso em que a interseccao destessubespaco e o zero. Os elementos desta soma sao definida a partir da operacao deadicao do superespaco.

A soma directa externa e definida para quaisquer espacos vectoriais. Os ele-mentos sao pares e os componentes destes pares nao interferem. A adicao e amultiplicacao por escalares e definida componente por componente.


A definicao pode ser estendida, na forma natural, para a soma de mais de doisespacos vectoriais, onde os pares sao substituıdos por uplos.

Nota 3.7. Rn = R⊕ . . .⊕R︸︷︷︸n vezes

e Rn+m = Rn⊕Rm.

Proposicao 3.8. Sejam {x1, . . . , xn} uma base de V e {y1, . . . , ym} uma base deW . Entao {(x1, 0), . . . , (xn, 0), (0, y1), . . . , (0, ym)} e uma base de V ⊕W . Emparticular, dim(V ⊕W ) = n + m.

Demonstracao. Exercıcio a

Nota 3.9. Podemos ilustrar a relacao entre a soma directa externa e a soma di-recta interna da seguinte forma: Se associamos a V o espaco vectorial V ′ ={(x, 0W )|x ∈ V } e a W o espaco vectrial W ′ := {(0V , y)|y ∈ W}, entao V ′

e isomorfo a V , W ′ e isomorfo a W e V ′ e W ′ sao (trivialmente) subespacos deV ⊕W (a soma directa externa de V e W ). Agora, a soma directa interna V ′⊕W ′

e obviamente igual a V ⊕W , porque tem bases iguais.

Definicao 3.10. Sejam V , W e U espacos vectoriais e F : V → U e G : W → Uaplicacoes lineares. Entao a aplicacao H : V ⊕W → U , H(x, y) = F (x)+G(y)chama-se aplicacao linear induzida ou soma directa de F e G. Escrevemos H =:F ⊕G.

Nota 3.11. H e linear.

Demonstracao. Exercıcio aUma questao de interesse e se podemos, dado um espaco vectorial W e um

subespaco V1 de W , encontrar um “complemento”, i.e., um subespaco V2 tal queW = V1⊕V2. (Ja fizemos isso na demonstracao da formula de dimensao, quandoo nucleo de uma aplicacao foi dado e construimos um complemento para que aaplicacao linear e injectiva.)

Proposicao 3.12. Sejam V1 e V2 subespacos de W tais que V1 ∩ V2 = {0}. Con-sideramos as aplicacoes de injeccao canoncias Fi : Vi → W , Fi(x) = x. EntaoF := F1 ⊕ F2 : V1⊕V2 → W, F (x1, x2) = x1 + x2 e injectiva.

Demonstracao. Porque F e linear, e suficiente mostrar: nuc(F ) = {0V1⊕V2} ={(0, 0)}. Seja entao (x1, x2) ∈ nuc(F ) ⊂ V1⊕V2. Temos que 0 = F (x1 +x2) = F1(x1) + F2(x2) = x1 + x2. Logo x1 = −x2 ∈ V1 ∩ V2 = {0}, i.e.,(x1, x2) = (0, 0). a


Nota 3.13. Sejam V1 e V2 subespaco vectoriais de W tais que V1 ∩ V2 = {0}.Seja a aplicacao canonica F da soma directa externa V1⊕V2 em W , dado porF (x1, x2) = x1 + x2, sobrejectiva. Entao W e a soma directa interna V1⊕V2.

Proposicao 3.14. Seja W = V1⊕V2 a soma directa interna de V1 e V2. Paraqualquer x ∈ W existem vectores univocamente determinadas x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2

tais que x = x1 + x2.

Demonstracao. Seja x ∈ W . Porque a aplicacao canoncia F e bijectiva, existeum e so um par (x1, x2) ∈ V1⊕V2 (a soma directa externa) tal que x = F (x1, x2) =F1(x1) + F2(x2) = x1 + x2. a

Exemplo 3.15. Sejam V1 = {~a ∈ R3|a2 = a3 = 0} uma recta e V2 = {~a|a1 +2a2 + 3a3 = 0} um plano em R3. Obviamente V1 ∩ V2 = {~0}. Para qualquer ~x ∈R3 definimos ~a1 := (x1+2x2+3x3, 0, 0) ∈ V1 e ~a2 := (−2x2,−3x3, x2, x3) ∈ V2

tais que ~x = ~a1 + ~a2 = F (~a1,~a2). Entao R3 = V1⊕V2.

Na seguinte proposicao 3.17 consideramos so espacos vectorais da dimensaofinita, mas o resultado verifica-se tambem para espacos da dimensao infinita.

Recordamos a proposicao sobre a complementacao de uma base que mostra-mos na demonstracao da formula de dimensao.

Proposicao 3.16. Seja W um espaco vectorial de dimensao finita, dim W = n esejam vectores linearmente independentes x1, . . . , xs ∈ W dados, s ≤ n. Entaoexistem vectores xs+1, . . . , xn ∈ W tais que {x1, . . . , xn} e uma base de W .

Proposicao 3.17 (existencia de um complemento). Sejam W um espaco vectorialda dimensao finita e V1 ⊂ W um subespaco de W . Entao existe um subespacoV2 ⊂ W tal que W = V1⊕V2.

Demonstracao. Porque V1 ⊂ W , V1 e da dimensao finita e existe uma base{x1, . . . , xs} de V1. Com proposicao 3.16 complementamos esta para uma base{x1, . . . , xn} de W .

Seja V2 = 〈xs+1, . . . , xn〉. Mostramos a primeiro que V1 ∩ V2 = {0}. Sejax ∈ V1 ∩ V2. Porque x ∈ V1 e x ∈ V2 existems a1, . . . , as ∈ R e as+1, . . . , an ∈ Rtais que x = a1x1 + · · ·+ asxs = as+1xs+1 + · · ·+ anxn. Entao 0 = a1x1 + · · ·+asxs − as+1xs+1 − · · · − anxn. Por causa da independencia linear de x1, . . . , xn

segue a1 = · · · = an = 0. Obviamente, temos 0 ∈ V1 ∩ V2.Seja F como na proposicao 3.12 a soma directa das aplicacoes canoncias F1⊕

F2 de V1⊕V2 em W . Demonstramos que imF = W . Seja x ∈ W , entao existema1, . . . , an ∈ R tais que x = a1x1 + · · ·+anxn. Sejam y1 := x1 + · · ·+asxs ∈ V1


e y2as+1xs+1 + · · · + anxn ∈ V2. Logo x = y1 + y2 = F (y1, y2); entao F esobrejectiva. a

O exemplo seguinte mostra que o complemento V2 de V1 (com as excepcoesde V1 = W e V1 = {0}) e, em geral, nao univocamente determinado.

Exemplo 3.18. Consideramos mais uma vez o example 3.15. Sejam W = R3

e V1 = {~a ∈ R3|a2 = a3 = 0}. Entao V2 = {~a ∈ R3|a1 + 2a2 + 3a3 = 0} etambem V2 = {~a ∈ R3|a1 = 0} sao complementos de V1 no sentido da proposicaoanterior: W = V1⊕V2 = V1⊕ V2.

3.2 Exemplos de espacos vectoriais de dimensao infinitaNeste capıtulo queremos considerar exemplos de espacos vectoriais de dimensaoinfinita. O primeiro exemplo e dado pelos polinomios na indeterminada X comcoeficientes em R.

Definicao 3.19. Um polinomio (real) na indeterminada X e uma expressao formalc0 + c1X + c2X

2 + · · · + cnXn com n ∈ N0, e ci ∈ R para i = 0, . . . , n. Por

convencao, podemos adicionar um numero arbitrario de parcelas 0 · X i, (i > n)ao polinomio sem alterar este. Por isso podemos garantir que dois polinomiospodem ter o mesmo exponente maximo. Dois polinomios c0 + c1X + · · ·+ cnX

n

e d0 + d1X + · · ·+ dnXn sao iguais se ci = di para i = 0, . . . , n.

Seja R[X] o conjunto de todos os polinomios na indeterminada X . Podemosdefinir uma adicao e multiplicacao por escalares por

(c0 + c1X + c2X2 + · · ·+ cnX

n) + (d0 + d1X + d2X2 + · · ·+ dnX

n)

= (c0 + d0) + (c1 + d1)X + (c2 + d2)X2 + · · ·+ (cn + dn)Xn

c · (c0 + c1X + c2X2 + · · ·+ cnX

n)

= (cc0) + (cc1)X + (cc2)X2 + · · ·+ (ccn)Xn

Definimos en ∈ R[X] por en = Xn (i.e., o polinomio com cn := 1, e ci = 0, parai 6= n).

Nota 3.A. A definicao de um polinomio dada aqui como uma expressao formal e adefinicao algebrica ao contrario do seu definicao analıtica: Analiticamente um polinomioe uma funcao f : R → R da forma f(x) = c0+c1x+c2x

2+ · · ·+cnxn. Dois polinomiosf(x) e g(x) sao analiticamente iguais se, para todos os x ∈ R, f(x) = g(x).

No caso de um polinomio real, i.e., um polinomio com coeficientes ci ∈ R, pode-se mostrar que estas duas definicoes sao equivalentes. No entanto, para polinomios comcoeficiente de um corpo finito, por exemplo, as definicoes ser diferentes, em particular emrelacao da igualdade. Usamos aqui a definicao algebrica, e neste caso, um polinomio ja ecompletamente determinada pelo uplo dos seu coeficientes (c0, . . . , cn).


Proposicao 3.20. 1. R[X] e um espaco vectorial real.

2. O conjunto infinito {e0, e1, . . . , en, . . . } e uma base de R[X]; em particular,R[X] e um espaco vectorial de dimensao finita.

Demonstracao. 1. Exercıcio.2. Precisamos de mostrar primeiro que, para qualquer n ∈ N0 os vectores

e0, e1, . . . , en sao linearmente independentes. Seja c0e0 + · · · + cnen = 0, o po-linomio zero, com c0, . . . , cn ∈ R, i.e., c0 + c1X + cnXn = 0. A igualdade entrepolinomios da c0 = · · · = cn = 0. Segundo, e facil observar que os ei, i ∈ N0

geram R[X], porque qualquer polinomio pode ser escrito com combinacao finitadestes vectores. a

Nota 3.21. Nota-se que os elementos ei da base de R[X] podem ser numeradospor ındices de N. Por isso, a base de R[x] e (infinito) enumeravel.

Nota 3.B. Nota-se que a definicao de base requer que o espaco e finitamente gerado, i.e.,qualquer vector e uma combinacao linear finita dos vectores da base. Na Analise Funci-onal uma outra nocao de base e considerada (base de Schauder ou base de Hilbert) quepermite tambem um representacao por sucessoes convergentes, no so por combinacoeslineares finitas. Para evitar confusoes, a nocao de base usada aqui e tambem chamadabase no sentido da algebra (linear) ou base de Hamel.

Exemplo 3.22. Sejam dois polinomios P =∑n

i=0 aiXi e Q =

∑ni=0 biX

i dados.Podemos definir uma multiplicacao, com an+1 = · · · = a2n = bn+1 = · · · =b2n = 0, por

P ·Q :=2n∑i=0

(i∑

l=0

albi−l

)X i.

Podemos verificar para este multiplicacao a distributividade: Seja Q′ =∑n

i=0 b′iXi,

entao

P · (Q + Q′) =2n∑i=0

(i∑

l=0

al(bi−l + b′i−l)

)X i

=2n∑i=0

((i∑

l=0

albi−l

)+

(i∑

l=0

alb′i−l

))X i

=2n∑i=0

(i∑

l=0

albi−l

)X i +

2n∑i=0

(i∑

l=0

alb′i−l

)X i

P ·Q + P ·Q′.


Agora consideramos um polinomio fixo P0 ∈ R[X] e definimos a aplicacao

F : R[X] → R[X], F (P ) := P0 · P.

Esta aplicacao e linear, porque para todos os a ∈ R, P, Q ∈ R[X] verifica-se:

1. F (P + Q) = P0 · (P + Q) = P0 · P + P0 ·Q = F (P ) + F (Q).

2. F (a · P ) = P0 · (a · P ) = a · (P0 · P ) = a · F (P ).

Pelo contrario, G : V → V : G(P ) = P ·P nao e linear, porque, por examplo,G(2X) = 4 ·X2 6= 2 ·X2 = 2 ·G(X).

Exemplo 3.23. Seja R[X2] := {∑n

j=0 ajX2j|n ∈ N0, a0, . . . , an ∈ R} o espaco

vectorial dos polinomios in X2. Entao os polinomios em R[X2] tem so potenciaspares de X . Por F (

∑nj=0 ajX

j) := (∑n

j=0 ajX2j) um isomorfismo canonico

R[X]toR[X2] e dado. No mesmo momento, R[X2] pode ser considerado comoum subespaco proprio de R[X].

Nota 3.24. Na proposicao 2.58.2. mostramos que, para um espaco vectorial dedimensao finita, um subespaco proprio tem uma dimensao menor. Este exemplomostra que a condicao de dimensao finita e essencial naquela proposicao: R[X2]e um subespaco proprio de R[X], mas por causa do isomorfismo canonico, dasdimensoes sao iguais.

Definicao 3.25. Para dois numeros reais a < b podemos considerar o intervaloI := [a, b] e o espaco vectorial V := {f : I → R} de todas as funcoes reais.Como em definicao 2.37 podemos definir uma adicao (f + g)(x) := f(x) + g(x)e uma multiplicacao por escalares (c · f)(x) := c · f(x), x ∈ I . Duas funcoesf, g ∈ V sao iguais se f(x) = g(x) para todos os x ∈ I . As axiomas de um espacovectorial seguem agora das propriedades correspondentes dos numeros reais. Oelemento neutro O ∈ V e a funcao zero: x 7→ 0. Para qualquer f ∈ V existe umelemento inverso (−f)(x) := −(f(x)), x ∈ I .

Da proposicao 1.26 para espaco vectoriais de dimensao infinita segue que Vtem uma base. Nao e possıvel constuir esta base explicitamente. Mas pode-sedao um conjunto muito grande de elementos linearmente independentes. Para umy ∈ I fixo, definimos fy ∈ V por

fy(x) =

{1, se x = y,0 caso contrario.

O conjunto M = {fy : y ∈ I} tem, como I , um numero nao-enumeravel deelementos, que sao linearmente independentes. Sejam fy1 , . . . , fyn ∈ M dois em


dois distintos, i.e., yi 6= yj para i 6= j, entao de

n∑i=1

aifyi= O (funcao zero), a1, . . . , an ∈ R,

segue para qualquer x ∈ I:

0 = O(x) =n∑

i=1

aifyi(x) =

{aj, se x = yij,0 se x 6∈ {y1, . . . , yn}.

Logo, a1 = · · · = an = 0.Mas M nao gera V . Seja A ⊂ [a, b] um conjunto infinito e

1A : [a, b] → R, 1A(x) :=

{1, se x ∈ A,0 se x 6∈ A.

a funcao caracterıstica do conjunto A. Este funcao nao e combinacao linear (fi-nita!) dos elementos de M . Entao por adicionar esta funcao ao M obtemos umoutro conjunto M ∪ {1A} de elementos linearemente indendentes em V .

Entao o espaco de funcoes reais tem uma “dimensao maior” do que o espacovectorial dos polinomios reais (ver nota 3.21).

3.3 Corpos e espacos vectoriais complexosDefinicao 3.26 (Corpo). Um conjunto K, com uma adicao

+ : K ×K → K

e uma multiplicacao· : K ×K → K,

chama-se corpo se se verifica:

1. (K, +) e um grupo comutativo.

2. Se 0 e o elemento neutro de (K, +), e K∗ := K \ {0}, entao (K∗, ·) etambem um grupo comutativo.

3. Verificam-se as regras de distributividade, i.e., para todos os a, b, c, d ∈ K:

(a + b) · c = a · c + b · c e a · (c + d))a · c + a · d.


O elemento neutro em relacao a multiplicacao e designada por 1, os elementosinversos em relacao da adicao por (−a) e os em relacao da multiplicacao por a−1

ou 1a. Em qualquer corpo sao particulamente validos seja para a adiacao seja para

a multiplicacao as regras derivadas para grupos (comutativos) em paragrafo 1.1.Em adicao verificam-se as seguintes regras para a combinacao de propriedadesaditivas e multiplicativas.

Proposicao 3.27. Seja K um corpo, entao verificam-se para todos os a, b ∈ K:

1. a · 0 = 0 · a = 0,

2. de a · b = 0 segue a = 0 ou b = 0, (nao-existencia de divisores de zero)

3. (−a) · b = a · (−b) = −(a · b), (−a) · (−b) = a · b.

Demonstracao. Exercıcio a

O corpo dos numeros complexos

O corpo dos numeros complexos e fundamental para muitas das consideracoesque seguem. Apesar disso vamos so esbocar algumas das propriedades e omitiralgumas demonstracoes.

Definimos C como o espaco vectorial real da dimensao 2

C := R2 = {(x, y)|x, y ∈ R}.

Com isto, C ja e um grupo comutativo aditivo. Uma multiplicacao

· : C× C → C

e introduzida por

(x, y) · (u, v) := (xu− yv, xv + yu).

Com isto, C e um corpo: o elemento neutro em relacao da adicao e 0 = (0, 0), emrelacao da multiplicacao e 1 = (1, 0). O inverso de (x, y) em relacao de adicao e(−x,−y), e para (x, y) 6= 0 temos (x, y)−1 = 1

x2+y2 (x,−y).

Nota 3.C. Na interpretacao geometrica dos numeros complexos no plano R2, a multiplicacaode dois numeros complexos corresponde a uma rotacao (combinada com uma dilatacao).Nota-se que so este operacao introduz uma diferenca entre C e R2.


Existe um homomorfismo de corpos injectivo

Φ : R → C, x 7→ (x, 0);

homorfismo de corpos significa que

Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y) e Φ(x · y) = Φ(x) · Φ(y).

Por este homomorfismo, imΦ e um subcorpo de C, i.e., e um subconjunto de C e,com as mesmas operacoes do que C, um corpo. Indentifica-se

R = imΦ = {(x, 0)|x ∈ R}.

Para x ∈ R, (x, y) ∈ C verifica-se a · (x, y) = (a, 0) · (x, y) = (a · x, a · y); amultiplicacao por escalares e entao um caso especial da multiplicacao em C.

Por introducao da unidade imaginaria i := (0, 1) com i2 = −1 obtemos arepresentacao usual dos numeros complexos:

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x · 1 + y · i = x + iy.

Porque a partir daqui i designa sempre a unidade imaginaria, nao po-demos usa-lo para ındice de somatorio. Por isso, substituımos i e j, nocontexto de numeros complexos, por ν e µ.

Seja z = x + iy ∈ C. Chamamos a x parte real de z e escrevemos x = Re z.Chamamos y parte imaginaria de z e escrevemos y = Im z.

Para qualquer numero complexo z = x + iy definimos o numero complexoconjugado z = x − iy. Porque z = z o conjugado e uma aplicacao bijectiva.Temos tambem z1 + z2 = z1 + z2 e z1 · z2 = z1 · z2, o conjugado e entao umisomorfismo de corpos. Porque numeros reais nao sao alterados pelo conjugado,este e, em particular, uma aplicacao linear bijectiva do espaco vectorial real Cem si, e uma aplicacao R-linear invertıvel. Geometricamente corresponde a umareflexao no eixo de x.

Os elementos iy, y ∈ R, do eixo de y chamam-se imaginario puro; verifica-seR = {(x, 0)|x ∈ R} = {z|z = z} e iR := {(0, y)|y ∈ R} = {z|z = −z}.

Pelo conjugado obtemos as seguintes formulas para as partes real e imaginaria:

Re (z) =1

2(z + z), Im (z) =

1

2i(z − z).


Espacos vectoriais complexos

Definicao 3.28 (Espaco vectorial complexo). Seja V 6= ∅ um conjunto nao vaziocom uma adicao

+ : V × V → V

e uma multiplicacao por escalares

· : C× V → V.

Seja (V, +) um grupo comutativo, i.e., verificam-se as propriedades (1)–(4) dadefinicao 1.2. Se, em adicao, se verifica para todos os c, d ∈ C e x, y ∈ V :

(5) 1 · x = x. (Regra unitaria)

(6) (c · d) · x = c · (d · x). (Associatividade)

(7) (c+d) ·x = c ·x+d ·x e c · (x+y) = c ·x+ ccdoty.(Distributividade)

entao (V, +, ·) chama-se espaco vectorial complexo.

Nota 3.29. Este definicao corresponde literalmente a definicao 1.6 do espaco vec-torial real com a unica diferenca que o corpo de escalares R e substituıdo por C.Todas as propriedades demonstradas ate aqui para espacos vectoriais reais podemser mostradas sem mais nada tambem para espacos vectoriais complexas.

Para evitar confusoes em relacao do corpo de escalares usado, vamos falar noseguinte explicitamente da (in)dependencia linear sobre C, dimensao complexa(escrita por dimC), etc.

Nota 3.D. Podemos considerar espacos vectoriais sobre qualquer corpo K. Neste casotemos so de substituir (os dois ocorrencias) de C como corpo de escalares na definicao3.30 (ou os ocorrencias de R na definicao 1.6) por K. Neste forma definimos um espacovectorial sobre K. Tal definicao permite demonstrar todas as propriedade de espacosvectoriais, que consideramos ate aqui, independentmente de R ou C, para qualquer corpode escalares K. Entretanto, na matematica raramente sao consideradas espacos vectoriaiscom corpos de escalares diferente de R ou C.

Como para R definimos o espaco n-dimensional dos numeros complexos por

Cn := {(z1, . . . , zn)|zν ∈ C}

e obtemos com as operacoes

~z + ~w := (z1 + w1, . . . zn + wn) e c · ~z := (c · z1, . . . , c · zn)


um espaco vectorial complexo com a C-base:

{~e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , ~en = (0, . . . , 0, 1)}.

Do mesmo modo em que R pode ser considerado como subconjunto de C, Rn

e contido em Cn; para ~z ∈ Cn escrevemos tambem ~z = ~x = i~y com ~x, ~y ∈ Rn.Temos literalmente o analogo da proposicao 2.56:

Proposicao 3.30. dimC Cn = n.

Porque R e um subcorpo de C, qualquer espaco vectorial complexa pode serconsiderada como um espaco vectorial real se restringimos a multiplicacao porescalares de C × V a R × V . As seguintes propriedades apresentam a relacaoentre V como espaco vectorial complexa e como espaco vectorial real.

Proposicao 3.31. Seja V um espaco vectorial complexo e {z1, . . . , zn} uma basede V sobre C. Entao {z1, i · z1, . . . , zn, i · zn} e uma base de V sobre R.

Demonstracao. Ver aulas. aTemos como um corolario imediato:

Proposicao 3.32. Seja V um espaco vectorial complexo com dimC V = n. EntaodimR V = 2n.

Aplicacoes lineares complexas

Definicao 3.33 (Aplicacao linear complexa). Uma aplicacao linear complexa ouaplicacao C-linear F : V → W entre espacos vectoriais complexas V e W e umaaplicacao que respeita as operacoes de espacoes vectoriais tal que para todos osx, y ∈ V e c ∈ C verifica-se:

F (x + y) = F (x) + F (y), F (c · x) = c · F (x).

Como para aplicacoes R-lineares podemos associar uma matriz (complexa) auma aplicacao C-linear F : Cn → Cn. Seja entao F dado por

C =

c11 . . . c1n...

...cn1 . . . cnn

, cµν = aµν + ibµν , aµν , bµν ∈ R.

Podemos considerar F como uma aplicacao R-linear de R2n em R2n. Arelacao entre C e a matriz A do tipo 2n × 2n associada a aplicacao R-linear e


dado na seguinte forma: As imagens da “R-base canonica” ~e1, i · ~e1, . . . , ~en, i·, ~en

sao, para ν = 1, . . . , n:

F (~eν) = (c1ν , . . . , cnν) = ((a1ν , b1ν), . . . , (anν , bnν))

F (i~eν) = i · (c1ν , . . . , cnν) = (i · c1ν , . . . , i · cnν) =

((−b1ν , a1ν), . . . , (−bnν , anν)).

Entao

A =

a11 −b11 . . . a1n −b1n

b11 a11 . . . b1n a1n...

......

...an1 −bn1 . . . ann −bnn

bn1 an1 . . . bnn ann

.

Obtemos a matriz real A da matriz complexa C por substituir cada componentecomplexo cµν = aµν + ibµν pelo quadro;

aµν −bµν

bµν aµν

Proposicao 3.34. Seja F : C → C uma aplicacao linear complexa com matrizassociada C = Cm,n. Entao as seguintes assercoes sao equivalentes:

1. F e bijectiva.

2. A matriz C e regular.

Agora, podemos definir do mesmo modo como em definicao ??:

Definicao 3.35. O conjunto das todas as matrizes complexas regulares do tipon× n,

GL(n, C) := {C : C e uma matriz complexa regular do tipo n× n},

chama-se grupo linear geral da caracterıstica n sobre C.


4 DeterminantesO determinante e uma aplicacao do conjunto das matrizes quadradas do tipo n×n, Rn×n, em R (ou, se considerarmos as matrizes complexas de Cn×n, em C).O determinante permite decidir se uma matriz e regular. Na proposicao 2.88 jaconsideramos alguns criterios para verificar a regularidade de uma matriz. Entreeles o algoritmo de Gauß permite verificar de modo (mais ou menos) eficiente aexistencia de inversa e, caso exista, permite calcula-la. O algoritmo de Gauß naoe, no entanto, apropriado para responder directamente as seguintes questoes:

• A invertibilidade de uma matriz muda com “pequenas” alteracoes dos coe-ficientes?

• A existencia da matriz A−1 depende de modo contınuo dos coeficientes deA?

• Qual e o aspecto da “variedade das matrizes singulares” no conjunto detodas as matrizes quadradas?

Estas questoes podem ser estudadas com base na nocao de determinante, que e umpolinomio nos n2 coeficientes da matriz. Para alem da importancia do determi-nante na abordagem das questoes analıticas acima mencionadas, o determinantetem tambem um significado importante na geometria (nomeadamente, no que dizrespeito a area de figuras e, em geral, ao volume, a orientacao, . . . ).

Aqui, o nosso interesse e usar o determinante para calcular valores propriosde matrizes, ver capıtulo 5.

As paginas seguintes sao um extracto dos apontamentos de Algebra LinearI (2006/2007), [dC08], da professora JULIA VAZ DE CARVALHO dado no anopassado.

Notam-se algumas diferencas na notacao, que em geral nao devem dar razoespara confusao.

• K e uma variavel para corpos; em particular, podemos escolher R ou C paraK.

• O conjunto de matrizes quadradas do tipo n×n sobre um corpo K e desig-nado por Mn(K). Um elemento de Mn(K) chama-se tambem matriz deordem n.

• Uma matriz triangular superior e uma matriz quadrada de ordem n cujoselementos abaixo do diagonal sao 0, i.e., se A = (aij), aij = 0 para todos


os i, j tais que i > j. Se aij = 0 para todos os i, j tais que i < j, a matrizchama-se triangular inferior. Uma matriz triangular e uma matriz triangularsuperior ou triangular inferior.

• Os elementos principais duma matriz quadrada A = (aij) sao os elementosno diagonal, i.e., os elemento aii.

• Chama-se matriz elementar de ordem n a qualquer matriz que se obtenha apartir da matriz unitaria En por aplicacao de uma transformacao elementarnas linhas. Nota-se que E e algumas vezes usado como uma variavel dematrizes elementar e nao para a matriz unitaria! Em vez de E, I e usadacomo designacao da matriz unitaria.

• As transformacoes elementares das linhas ou das colunas que trocam duaslinhas ou duas colunas chama-se transformacoes de tipo I ou de tipo I’,respectivamente.

As transformacoes elementares das linhas ou das colunas que multipli-cam um elemento nao nulo por uma linha ou por uma colunas chama-setransformacoes de tipo II ou de tipo II’, respectivamente.

As transformacoes elementares das linhas ou das colunas que multipli-cam um elemento nao nulo por uma linha ou por uma colunas chama-setransformacoes de tipo II ou de tipo II’, respectivamente.

As transformacoes elementares das linhas ou das colunas que substituemuma linha ou uma coluna pela sua soma com o produto de um numero poroutra chama-se transformacoes de tipo III ou de tipo III’, respectivamente.

Notacao 4.1. Seja n ∈ N, n ≥ 2 e seja A uma matriz de ordem n. Dadosi, j ∈ {1, . . . , n}, representamos por A(i|j) a matriz de ordem (n − 1) que seobtem de A suprimindo a linha i e a coluna j.

Exemplo 4.2. Seja A =

3 −1 2 −25 4 −2 1

0 1√

2 03 −2 0 1

uma matriz de ordem 4.

Temos A(2|3) =

3 −1 −2

0 1 03 −2 1

=

3 −1 −20 1 03 −2 1

, uma matriz

de ordem 3.

Vamos definir determinante de A por recorrencia na ordem da matriz.


Definicao 4.3. Seja A = (aij) uma matriz de ordem n. O determinante de Arepresenta-se por det A e e o elemento de R dado por:

• se n = 1, det A = det(a11) = a11;

• se n > 1, det A =∑n

k=1 a1k(−1)1+k det A(1|k)

(= a11(−1)1+1 det A(1|1) + · · ·+ a1n(−1)1+n det A(1|n)).

Tambem se representa o determinante de A por |A|.

Exemplo 4.4. 1. Seja A =

(a11 a12

a21 a22

)uma matriz de ordem 2. Temos

det A = a11(−1)1+1 det A(1|1) + a12(−1)1+2 det A(1|2)

= a11 det(a22) + a12(−1) det(a21)

= a11a22 − a12a21.

2. Regra de Sarrus. Seja A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

uma matriz de ordem 3.

Temos

det A = a11(−1)1+1 det A(1|1) + a12(−1)1+2 det A(1|2) + a13(−1)1+3 det A(1|3)

= a11 det

(a22 a23

a32 a33

)− a12 det

(a21 a23

a31 a33

)+ a13 det

(a21 a22

a31 a32

)= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.


-36-

JVC - Licenciatura em Matemática FCT/UNL 2006/07

2) Seja TemosE œ − ÐOÑÞ+ + ++ + ++ + +

Ô ×Õ Ø

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

$`

./>E œ + Ð "Ñ ./>EÐ"l"Ñ + Ð "Ñ ./>EÐ"l#Ñ + Ð "Ñ ./>EÐ"l$Ñ

œ + ./> + ./> + ./>+ + + + + ++ + + + + +

œ

"" "# "$"" "# "$

"" "# "$## #$ #" #$ #" ##

$# $$ $" $$ $" $#” • ” • ” •

+ Ð+ + + + Ñ + Ð+ + + + Ñ + Ð+ + + + Ñ

œ + + + + + + + + + + + + + + + + + + Þ"" ## $$ #$ $# "# #" $$ #$ $" "$ #" $# ## $"

"" ## $$ "# #$ $" "$ #" $# "" #$ $# "# #" $$ "$ ## $"

REGRA PARA CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ

DE ORDEM 3 :

E œ − ÐOÑÞ+ + ++ + ++ + +

Ô ×Õ Ø

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

$`

sinal

sinal

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

"" "# "$ "" "#

#" ## #$ #" ##

$" $# $$ $" $#

à àá àá á à

á àá àá à á

Seja IR Calculemos utilizando a regra dadaE œ − Ð ÑÞ ./>E" $ " " % "' " &

Ô ×Õ Ø `$

(repare que estamos perante uma matriz de ordem 3).

" $ " " $

" % " " %

' " & ' "

à àá àá á

á àá àá à

Temos

./>E œ " ‚ % ‚ & $ ‚ " ‚ ' Ð "Ñ ‚ Ð "Ñ ‚ " Ð "Ñ ‚ % ‚ ' " ‚ " ‚ "

$ ‚ Ð "Ñ ‚ & œ #! ") " #% " "& œ ((Þ

DEFINIÇÃO: Sejam e Chamamos 8 # E œ − ÐOÑÞ+c d34 8` complementoalgébrico do elemento , e representamos por , ao elemento + E Ð "Ñ ./>EÐ3l4Ñ − OÞs

34 3434

À matriz cuja entrada é chamamos E − ÐOÑ Ð3ß 4Ñ Es s`8 34 matriz dos complementosalgébricos de EÞ

À matriz chamamos e denotamos esta matriz por .ˆ ‰E E +.4ÐEÑs X adjunta de

Temos

det A

= 1 · 4 · 5 + 3 · 1 · 6 + (−1) · (−1) · 1− (−1) · 4 · 6− 1 · 1 · 1− 3 · (−1) · 5= 20 + 18 + 1 + 24− 1 + 15 = 77.

Definicao 4.5. Sejam n ≥ 2 e A = (aij) uma matriz de ordem n. Chamamoscomplemento algebraico do elemento aij , e representamos por Aij , ao elemento(−1)i+j det A(i|j).

A matriz A de ordem n cuja entrada (i, j) e Aij chamamos matriz dos com-plementos algebricos de A.

A matriz (A)T chamamos adjunta de A e denotamos esta matriz por adj(A).


1 2 0−1 1 12 1 1

uma matriz de ordem 3. Temos

A12 = (−1)1+2 det

(−1 12 1

)= (−1) · (−1− 2) = 3,


i.e., o complemento algebrico do elemento que ocupa a posicao (1, 2) em A eigual a 3.

Observacao 4.7. Podemos escrever a definicao de determinante para uma matrizA = (aij) de ordem n, n ≥ 2, em termos de complementos algebricos da seguinteforma:

det A = a11A11 + · · ·+ a1nA1n =n∑

k=1

a1kA1k.

Proposicao 4.8 (Teorema de Laplace). Se A = (aij) e uma matriz de ordem n,n ≥ 2 entao, para cada i = 1, . . . , n, temos

1. det A = ai1Ai1 + · · ·+ ainAin =∑n

k=1 aikAik

(desenvolvimento do determinante de A segundo a linha i);

2. det A = a1iA1i + · · ·+ aniAni =∑n

k=1 akiAki

(desenvolvimento do determinante de A segundo a coluna i).

Nota-se que a definicao do determinante e o desenvolvimento segundo a linha1.

Nao demonstramos a Proposicao 4.8. Pode-se faze-lo por inducao na ordemda matriz.

Nota 4.A. Com a definicao do determinante dada aqui, o teorema de Laplace nao deserveesta nome; e mais uma variacao da definicao. Entretanto, muitas vezes o determinante edefinido numa outra forma, tal que o teorema de Laplace nao e trivial. Este definicao emais adequada a teoria geral de determinantes e le-se da seguinte forma (as apresentacoespodem-se variar nos detalhes):

Definicao. Determinante de ordem n e uma funcao det do conjunto dos matrizes deordem n sobre R (ou C) em R (ou C, respectivamente) que a cada matriz quadrada Ade ordem n faz corresponder um numero, det A, de tal modo que as seguintes condicoessejam satisfeitas:

1. det A e multilinear.

2. det A e alternado.

3. det A e normalizado.

Multilinear significa que a funcao e linear em cada argumento (nota-se que, no caso dedeterminante, os argumentos correspondem as linhas da matriz); alternado que a funcao“alterna” de sinal por cada troca de argumentos (linhas); normalizado que det E = 1.


Esta definicao e, na primeira vista, um bocadinho problematica: e definido quandouma funcao e um determinante: se satisfaz estas tres condicoes. Mas: existira algumafuncao nestas condicoes? Caso exista, sera unica? De facto, para usar esta definicao paradefinir o determinante, e necessario demonstrar “imediatamente” que existe uma e so umafuncao com estes propriedades (o que, claro, e o caso).

Como o teorema de Laplace (e a forteriori a definicao usada aqui, que e um casoespecial deste teorema) pode ser demonstrada a partir desta definicao, em contrario, ascondicoes desta definicao podem ser demonstrada para o determinante definida da formaaqui.

Proposicao 4.9. Seja A uma matriz de ordem n. Temos det A = det(AT ).

Demonstracao. Por inducao em n, i.e., na ordem da matriz.Se A e uma matriz de ordem 1, entao A = AT e det A = det(AT ).Seja n > 1.

-37-


EXEMPLO: Seja IR Temos21

2 1E œ − Ð ÑÞ

" ! " "

"

Ô ×Õ Ø `$

,E œ Ð "Ñ ./> œ Ð "ÑÐ " #Ñ œ $s " "# ""#

"# ” •i. e., o complemento algébrico do elemento que ocupa a posição em é igual aÐ"ß #Ñ E $Þ

OBSERVAÇÃO: Atendendo às definições anteriores de determinante e decomplemento algébrico, temos que, se , , entãoE œ − ÐOÑ 8 #+c d34 8`

./>E œ + E á + E œ + E Þs s s"" "" "8 "8 "5 "5

5œ"

8!

PROPOSIÇÃO 3.1: , Se com então, para cadaE œ − ÐOÑ 8 #+c d34 8`3 − Ö"ßá ß 8×, temos

1) ./>E œ + E á + E œ + E às s s3" 3" 38 38 35 35

5œ"

8!2) ./>E œ + E á + E œ + E Þs s s

"3 "3 83 83 53 535œ"

8!À expressão 1) damos o nome de desenvolvimento do determinante de segundo aE

linha 3Þ

À expressão 2) damos o nome de desenvolvimento do determinante de segundo aEcoluna 3Þ

Não demonstramos a Proposição 3.1. Pode-se fazê-lo por indução na ordem damatriz.

PROPOSIÇÃO 3.2: . Seja Temos E − ÐOÑ ./>E œ ./>ÐE ÑÞ`8X

Dem.: Por indução em , i. e., na ordem da matriz.8

Se , então e E − ÐOÑ E œ E ./>E œ ./>ÐE ÑÞ`"X X

Seja .8 "

Hipótese de indução: O determinante de uma matriz de ordem sobre é igual8 " Oao determinante da sua transposta.

Suponhamos . TemosE œ − ÐOÑ+c d34 8`

./>E œ + Ð "Ñ ./>EÐ"l5ÑÞ!5œ"

8

"5"5

Para todo o , e, aplicando a hipótese de indução,5 − Ö"ßá ß 8× EÐ"l5Ñ − ÐOÑ`8"

temos ./>EÐ"l5Ñ œ ./>ÐEÐ"l5Ñ ÑÞX

-38-


Mas , para todo o . EntãoEÐ"l5Ñ œ E Ð5l"Ñ 5 − Ö"ßá ß 8×X X

./>E œ + Ð "Ñ ./>EÐ"l5Ñ!5œ"

8

"5"5

œ + Ð "Ñ ./>ÐEÐ"l5Ñ Ñ!5œ"

8

"5"5 X

œ ÐE Ñ Ð "Ñ ./>ÐE Ð5l"ÑÑ!5œ"

8X 5" X

5"

œ ./>ÐE ÑÞ ./>ÐE ÑX X (desenvolvendo segundo a coluna 1)

Logo ./>E œ ./>ÐE ÑÞX

PROPOSIÇÃO 3.3: Se é triangular, então o determinante deE œ − ÐOÑ+c d34 8`E é igual ao produto dos elementos principais de EÞ

Dem.: Vamos demonstrar para matrizes triangulares superiores por indução naordem da matriz.

Se , então e E − ÐOÑ E œ ./>E œ + Þ+`" """"c dSeja .8 "

Hipótese de indução: O determinante de uma matriz triangular superior de ordem8 " O sobre é igual ao produto dos seus elementos principais.

Suponhamos que é triangular superior. Desenvolvendo oE œ − ÐOÑ+c d34 8`determinante de segundo a primeira coluna de , temosE E

./>E œ + Ð "Ñ ./>EÐ"l"ÑÞ""""

Mas , então é matriz triangular superior deEÐ"l"Ñ œ EÐ"l"Ñ

+ á +ä ã

+

Ô ×Õ Ø

## #8

88!ordem sobre .8 " O

Aplicando a hipótese de indução, temos ./>EÐ"l"Ñ œ + á+ Þ## 88

Logo ./>E œ + + á+ Þ"" ## 88

A demonstração para matrizes triangulares inferiores é análoga.

OBSERVAÇÃO: Tendo já demonstrado o resultado para triangulares superiores,podemos demonstrar para triangulares inferiores do seguinte modo:

Seja triangular inferior. Pela Proposição 3.2, temos E − ÐOÑ ./>E œ ./>ÐE ÑÞ`8X

Mas é triangular superior. Aplicando o resultado já demonstrado para matrizesEX

triangulares superiores, temos

./>ÐE Ñ œ ÐE Ñ áÐE Ñ œ E áE ÞX X X"" 88 "" 88

Logo det A = det(AT ). a

Proposicao 4.10. Seja A = (aij) uma matriz triangular de ordem n, entao odeterminante de A e igual ao produto dos elementos principais de A.


Observacao 4.11. Tendo ja demonstrado o resultado para triangulares superiores,podemos demonstrar para triangulares inferiores do seguinte modo:


Seja A = (aij) uma matriz triangular inferior de ordem n. Pela Proposicao4.10, temos det A = det(AT ). Mas AT e triangular superior. Aplicando o resul-tado ja demonstrado para matrizes triangulares superiores, temos

det(AT ) = (AT )11 · · · · · (AT )nn = a11 · · · · · ann.

Proposicao 4.12. Seja A uma matriz de ordem n. Temos

1. Se A tem uma linha ou coluna nulo, entao det A = 0.

2. Se A tem duas linhas ou duas colunas iguais, entao det A = 0.

Demonstracao. Vamos demonstrar para linhas. Para colunas demonstrar-se-iaanalogamente ou por passagem a transposta.

-39-


PROPOSIÇÃO 3.4: . Seja TemosE − ÐOÑ`8

1) Se tem uma linha ou coluna nula, então E ./>E œ !Þ

2) Se tem duas linhas ou duas colunas iguais, entãoE ./>E œ !Þ

Dem.: Vamos demonstrar para linhas. Para colunas demonstrar-se-ia analogamenteou por passagem à transposta.

1) Suponhamos que tem a linha nula. Desenvolvendo oE œ − ÐOÑ 3+c d34 8`

determinante de segundo a linha , temos Como , para todo oE 3 ./>E œ + E Þ + œ !s!5œ"

8

35 35 35

5 − Ö"ßá ß 8× ./>E œ !Þ, concluímos que

2) Demonstração por indução na ordem da matriz.

Suponhamos que tem duas linhas iguais, i. e.,E œ − ÐOÑ+c d34 #`

E œ + œ + + œ + Þ+ ++ +” •"" "#

#" ##"" #" "# ## com e

Temos ./>E œ + + + + œ + + + + œ !Þ"" ## "# #" "" ## ## ""

Seja 8 #Þ

Hipótese de indução: O determinante de uma matriz de ordem sobre com8 " Oduas linhas iguais é igual a zero.

Suponhamos que tem a linha igual à linha , .E œ − ÐOÑ 3 4 3 Á 4+c d34 8`

Seja Desenvolvendo o determinante de segundo a linha ,< − Ö"ßá ß 8× Ö3ß 4×Þ E <temos

./>E œ + Ð "Ñ ./>EÐ<l"Ñ á + Ð "Ñ ./>EÐ<l8ÑÞ<" <8<" <8

Para todo o , tem ordem e duas linhas iguais. Aplicando5 − Ö"ßá ß 8× EÐ<l5Ñ 8 "a hipótese de indução, temos , para todo o ./>EÐ<l5Ñ œ ! 5 − Ö"ßá ß 8×Þ

Logo ./>E œ !Þ

Vamos, agora, relacionar com quando é obtida de efectuando uma./>F ./>E F Etransformação elementar. Este estudo vai-nos permitir apresentar um novo método de calculardeterminantes.

Começamos com a observação seguinte

OBSERVAÇÃO: Sejam e TemosEßF − ÐOÑß 8 # < − Ö"ßá ß 8×Þ`8

1) Se a linha de é igual à linha de , para todo o , então3 E 3 F 3 − Ö"ßá ß 8× Ö<×

E œ F 4 − Ö"ßá ß 8×Þs s<4 <4 , para todo o

2) Se a coluna de é igual à coluna de , para todo o ,4 E 4 F 4 − Ö"ßá ß 8× Ö<×

então , para todo o E œ F 3 − Ö"ßá ß 8×Þs s3< 3<

Logo det A = 0. aVamos, agora, relaciona det B com det A quando B e obtida de A efectuando

uma transformacao elementar. Este estudo vai-nos permitir apresentar um novometodo de calcular determinantes.

Comecamos com a observacao seguinte


Observacao 4.13. Sejam A, B matrizes de ordem n, n ≥ 2 e r ∈ {1, . . . , n}.Temos

1. Se a linha i de A e igual a linha i de B, para todo o i ∈ {1, . . . , n} \ {r},entao Arj = Brj , para todo o j = 1, . . . , n.

2. Se a coluna j de A e igual a coluna j de B, para todo o j ∈ {1, . . . , n}\{r},entao Air = Bir, para todo o i = 1, . . . , n.

Justificacao. 1. Se A = B e obvio. Se A 6= B, entao as matrizes A e B

so diferem na linha r. Seja j = 1, . . . , n. Temos A(r|j) = B(r|j), pois esta-mos a suprimir a unica linha em que as matrizes A e B diferem. Logo, Arj =

(−1)r+jA(r|j) = (−1)r+jB(r|j) = Brj .A justificacao de 2. e analoga. a

Proposicao 4.14. Sejam A, B matrizes de ordem n. Temos

1. Se B e obtida a partir de A efectuando uma transformacao elementar quemultiplicar um numero α 6= 0 por uma linha ou uma coluna de A, entaodet B = α det A.

-40-


Justificação: 1) Se é óbvio. Se então as matrizes e só diferem naE œ F E Á Fß E Flinha Seja Temos , pois estamos a suprimir a única linha<Þ 4 − Ö"ßá ß 8×Þ EÐ<l4Ñ œ FÐ<l4Ñ

em que as matrizes e diferem. Logo, E F E œ Ð "Ñ EÐ<l4Ñ œ Ð "Ñ FÐ<l4Ñ œ F Þs s<4 <4

<4 <4

A justificação de 2) é análoga.

PROPOSIÇÃO 3.5: Sejam TemosEßF − ÐOÑÞ`8

1) Se é obtida a partir de efectuando uma transformação elementar de tipo F E IIou e essa transformação elementar consiste em multiplicar por uma linhaII' ! − O Ö!×ou uma coluna de entãoE, ./>F œ ./>EÞ!

2) Se é obtida a partir de efectuando uma transformação elementar de tipo F E IIIou então III', ./>F œ ./>EÞ

3) I Se é obtida a partir de efectuando uma transformação elementar de tipo ouF EI', então ./>F œ ./>EÞ

Dem.: Vamos demonstrar para transformações elementares nas linhas.

1) Seja .E œ − ÐOÑ+c d34 8`

Se , então e, obviamente, 8 œ " E œ ßF œ ./>F œ ./>EÞ+ +c d c d"" ""! !

Seja Suponhamos que obtemos a partir de multiplicando 8 "Þ F E − O Ö!×!pela linha de . Temos< E

E œ F œ

+ á + + á +ã ã ã ã

+ á + + á +ã ã ã ã

+ á + + á +

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

"" "8 "" "8

<" <8 <" <8

8" 88 8" 88

e ! !

Desenvolvendo o determinante de segundo a linha , temosF <

./>F œ Ð + ÑF á Ð + ÑF œ Ð+ F á + F ÑÞs s s s! ! !<" <" <8 <8 <" <" <8 <8

Mas, para todo o , . Então4 − Ö"ßá ß 8× F œ Es s<4 <4

./>F œ Ð+ E á + E Ñ œ ./>EÞs s! !<" <" <8 <8

2) Seja e suponhamos que se obtém a partir de E œ − ÐOÑ F E+c d34 8`substituindo a linha pela sua soma com o produto de pela linha , < − O = < Á =Þ-

Temos , para todo o , eF œ E œ Ð+ ßá ß + Ñ 3 − Ö"ßá ß 8× Ö<×Ð3Ñ Ð3Ñ3" 38

E œ Ð+ ßá ß + Ñ F œ Ð+ + ßá ß + + ÑÐ<Ñ Ð<Ñ<" <8 <" =" <8 =8 e .- -


./>F œ Ð+ + ÑF Ð+ + ÑF á Ð+ + ÑFs s s<" =" <" <# =# <# <8 =8 <8- - -

œ + F + F á + F Ð+ F + F á + F Ñs s s s s s<" <" <# <# <8 <8 =" <" =# <# =8 <8-

œ + E + E á + E Ð+ E + E á + E ÑÆ

s s s s s s<" <" <# <# <8 <8 =" <" =# <# <8 <8-

a4 − Ö"ßá ß 8×ßF œ Es s<4 <4


-40-


Justificação: 1) Se é óbvio. Se então as matrizes e só diferem naE œ F E Á Fß E Flinha Seja Temos , pois estamos a suprimir a única linha<Þ 4 − Ö"ßá ß 8×Þ EÐ<l4Ñ œ FÐ<l4Ñ

em que as matrizes e diferem. Logo, E F E œ Ð "Ñ EÐ<l4Ñ œ Ð "Ñ FÐ<l4Ñ œ F Þs s<4 <4

<4 <4

A justificação de 2) é análoga.

PROPOSIÇÃO 3.5: Sejam TemosEßF − ÐOÑÞ`8

1) Se é obtida a partir de efectuando uma transformação elementar de tipo F E IIou e essa transformação elementar consiste em multiplicar por uma linhaII' ! − O Ö!×ou uma coluna de entãoE, ./>F œ ./>EÞ!

2) Se é obtida a partir de efectuando uma transformação elementar de tipo F E IIIou então III', ./>F œ ./>EÞ

3) I Se é obtida a partir de efectuando uma transformação elementar de tipo ouF EI', então ./>F œ ./>EÞ

Dem.: Vamos demonstrar para transformações elementares nas linhas.

1) Seja .E œ − ÐOÑ+c d34 8`

Se , então e, obviamente, 8 œ " E œ ßF œ ./>F œ ./>EÞ+ +c d c d"" ""! !

Seja Suponhamos que obtemos a partir de multiplicando 8 "Þ F E − O Ö!×!pela linha de . Temos< E

E œ F œ

+ á + + á +ã ã ã ã

+ á + + á +ã ã ã ã

+ á + + á +

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

"" "8 "" "8

<" <8 <" <8

8" 88 8" 88

e ! !


./>F œ Ð + ÑF á Ð + ÑF œ Ð+ F á + F ÑÞs s s s! ! !<" <" <8 <8 <" <" <8 <8

Mas, para todo o , . Então4 − Ö"ßá ß 8× F œ Es s<4 <4

./>F œ Ð+ E á + E Ñ œ ./>EÞs s! !<" <" <8 <8

2) Seja e suponhamos que se obtém a partir de E œ − ÐOÑ F E+c d34 8`substituindo a linha pela sua soma com o produto de pela linha , < − O = < Á =Þ-

Temos , para todo o , eF œ E œ Ð+ ßá ß + Ñ 3 − Ö"ßá ß 8× Ö<×Ð3Ñ Ð3Ñ3" 38

E œ Ð+ ßá ß + Ñ F œ Ð+ + ßá ß + + ÑÐ<Ñ Ð<Ñ<" <8 <" =" <8 =8 e .- -


./>F œ Ð+ + ÑF Ð+ + ÑF á Ð+ + ÑFs s s<" =" <" <# =# <# <8 =8 <8- - -

œ + F + F á + F Ð+ F + F á + F Ñs s s s s s<" <" <# <# <8 <8 =" <" =# <# =8 <8-

œ + E + E á + E Ð+ E + E á + E ÑÆ

s s s s s s<" <" <# <# <8 <8 =" <" =# <# <8 <8-

a4 − Ö"ßá ß 8×ßF œ Es s<4 <4

-41-


œ ./>E Ð+ E + E á + E Ñs s s- =" <" =# <# =8 <8

œ ./>E ./>G-

onde G œ

+ + á +ã ã ã

+ + á + Ã <ã ã ã

+ + á + Ã =ã ã ã

+ + á +

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" "# "8

=" =# =8

=" =# =8

8" 8# 88

ou seja, , para todo o e G œ E 3 − Ö"ßá ß 8× Ö<× G œ Ð+ ßá ß + ÑÞÐ3Ñ Ð3Ñ Ð<Ñ=" =8

Como tem duas linhas iguais, concluímos, por 2) da Proposição 3.4, queG./>G œ !Þ

Logo, ./>F œ ./>EÞ

3) Seja e suponhamos que é obtida a partir de trocando asE œ − ÐOÑ F E+c d34 8`linhas e Suponhamos, sem perda de generalidade, que Reparemos no< =ß < Á =Þ < =Þseguinte:

E œ + + á +

È + + á + Ã <l ã ã ã

Ð "Ñ + + á + Ã =

ã ã ã

ã ã ã+ + á +


"" "# "8

<" <# <8

=" =# =8

8" 8# 88

Ä

E œ + + á +

Ð"Ñ + + + + á + + Ã <l ã ã ã

ã ã ã

+ + á + Ã =ã ã ã

+ + á +

" "" "# "8

<" =" <# =# <8 =8

=" =# =8

8" 8# 88

ä


Ä

E œ + + á +

È + + + + á + + Ã <l ã ã ã

Ð "Ñ + + á + Ã =

ã ã ã

ã ã ã+ + á +

# "" "# "8

<" =" <# =# <8 =8

<" <# <8

8" 8# 88



-42-


Ä

E œ + + á +

Ð "Ñ + + á + Ã <ã ã ã

ã ã ã+ + á + Ã =ã ã ã

+ + á +

$ "" "# "8

=" =# =8

<" <# <8

8" 8# 88


Ä

F œ + + á +ã ã ã

+ + á + Ã <ã ã ã

+ + á + Ã =ã ã ã

+ + á +


"" "# "8

=" =# =8

<" <# <8

8" 8# 88

Temos

./>F œ ./>E œ ./>E œ ./>E œ ./>EÆ Æ Æ Æ$ # " .

1) 2) 2) 2)

OBSERVAÇÃO: 1) Na demonstração de 2) vimos também que, sendoE œ − ÐOÑ+c d34 8` , temos

+ E á + E œ !s s=" <" =8 <8 ,

para quaisquer com .<ß = − Ö"ßá ß 8× < Á =

2) Se é obtida de multiplicando por uma linha ou coluna de , entãoF E − O E!./>F œ ./>EÞ!

Justificação: Se , então, por 1) da Proposição anterior, temos! − O Ö!×./>F œ ./>EÞ œ !ß F! ! Se então tem uma linha ou uma coluna nula e, portanto, por 1) daProposição 3.4, ./>F œ ! œ !./>E œ ./>EÞ!

COROLÁRIO 3.6: Seja uma matriz elementar de ordem sobre . TemosI 8 O

1) ISe é de tipo , então I ./>I œ "Þ

2) II Se é de tipo e é obtida de multiplicando por uma linha, entãoI M − O Ö!×8 !./>I œ Þ!

3) III Se é de tipo , entãoI ./>I œ "Þ

Dem.: Imediato da Proposição 3.5 e do facto de ./>M œ "Þ8



-43-


COROLÁRIO 3.7: Sejam uma matriz elementar de ordem sobre eI 8 OE − ÐOÑ ./>ÐIEÑ œ ./>I ./>E`8 . .Temos

Dem.: Suponhamos que se obtém de multiplicando pela linha I M − O Ö!× 3Þ8 !Então, pelo Corolário 3.6, Pela Proposição 1.10, é a matriz que se obtém de./>I œ Þ IE!E 3ß ./>ÐIEÑ œ ./>EÞ multiplicando pela linha portanto, pela Proposição 3.5, Logo! !./>ÐIEÑ œ ./>E œ ./>I ./>E! .

Analogamente se prova para as matrizes elementares de tipos I e III.

EXERCÍCIO: Sejam IN, matrizes elementares de ordem sobre e> − I ßá ßI 8 O" >

E − ÐOÑ`8 . Mostre que

a) ./>ÐÐI áI ÑEÑ œ ./>I á./>I ./>EÞ" > " >

b) ./>ÐI áI Ñ œ ./>I á./>I Þ" > " >

COROLÁRIO 3.8: . Sejam tais que é invertível TemosEßU − ÐOÑ U`8

./>ÐUEÑ œ ./>U./>E.

Dem.: Como é invertível, pela Proposição 1.17, é produto de matrizesU Uelementares, i. e., existem IN e matrizes elementares de ordem sobre tais> − I ßá ßI 8 O" >

que . Aplicando o exercício anterior, temosU œ I áI" >

./>ÐUEÑ œ ./>ÐÐI áI ÑEÑ œ ./>ÐI áI Ñ ./>E œ ./>U./>E" > " > .

Vamos apresentar um novo método de calcular determinantes redução ao cálculo dodeterminante de uma matriz triangular.

EXEMPLO:â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â& $ % " " # " " # " " #" " # & $ % ! # ' ! " $# $ ! # $ ! ! & % ! & %

œ œ œ # œ

œ # œ #Ð" ‚ " ‚ ""Ñ œ ##Þ" " #! " $! ! ""

â ââ ââ ââ ââ ââ â Podemos, ainda, usar um método misto:â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â º º& $ % " " # " " #" " # & $ % ! # '# $ ! # $ ! ! & %

œ œ œ Ð "Ñ œÆ

# '& %

desenv. segundo

a coluna 1

œ Ð ) $!Ñ œ ##Þ

Corolario 4.19. Sejam A, B matrizes tais que B e invertıvel. Temos det(B◦A) =det B · det A.

Demonstracao. Exercıcio. A demonstracao usa o facto:

Proposicao ([dC08, 1.17]). Se A e uma matriz invertıvel, entao A eproduto de (varias) matrizes elementares. a

Vamos apresentar um novo metodo de calcular determinantes — reducao aocalculo do determinante de uma matriz triangular.

Exemplo 4.20.

-43-


COROLÁRIO 3.7: Sejam uma matriz elementar de ordem sobre eI 8 OE − ÐOÑ ./>ÐIEÑ œ ./>I ./>E`8 . .Temos

Dem.: Suponhamos que se obtém de multiplicando pela linha I M − O Ö!× 3Þ8 !Então, pelo Corolário 3.6, Pela Proposição 1.10, é a matriz que se obtém de./>I œ Þ IE!E 3ß ./>ÐIEÑ œ ./>EÞ multiplicando pela linha portanto, pela Proposição 3.5, Logo! !./>ÐIEÑ œ ./>E œ ./>I ./>E! .

Analogamente se prova para as matrizes elementares de tipos I e III.

EXERCÍCIO: Sejam IN, matrizes elementares de ordem sobre e> − I ßá ßI 8 O" >

E − ÐOÑ`8 . Mostre que

a) ./>ÐÐI áI ÑEÑ œ ./>I á./>I ./>EÞ" > " >

b) ./>ÐI áI Ñ œ ./>I á./>I Þ" > " >

COROLÁRIO 3.8: . Sejam tais que é invertível TemosEßU − ÐOÑ U`8

./>ÐUEÑ œ ./>U./>E.

Dem.: Como é invertível, pela Proposição 1.17, é produto de matrizesU Uelementares, i. e., existem IN e matrizes elementares de ordem sobre tais> − I ßá ßI 8 O" >

que . Aplicando o exercício anterior, temosU œ I áI" >

./>ÐUEÑ œ ./>ÐÐI áI ÑEÑ œ ./>ÐI áI Ñ ./>E œ ./>U./>E" > " > .

Vamos apresentar um novo método de calcular determinantes redução ao cálculo dodeterminante de uma matriz triangular.

EXEMPLO:â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â& $ % " " # " " # " " #" " # & $ % ! # ' ! " $# $ ! # $ ! ! & % ! & %

œ œ œ # œ

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â ââ ââ ââ ââ ââ â Podemos, ainda, usar um método misto:â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â º º& $ % " " # " " #" " # & $ % ! # '# $ ! # $ ! ! & %

œ œ œ Ð "Ñ œÆ

# '& %

desenv. segundo

a coluna 1

œ Ð ) $!Ñ œ ##Þ


Proposicao 4.21. Seja A uma matriz de ordem n. Temos

A e invertıvel se e so se det A 6= 0.

-44-


PROPOSIÇÃO 3.9: . Seja TemosE − ÐOÑ`8

E é invertível se e só se ./>E Á !Þ

Dem.: Suponhamos que é invertível. Pela Proposição 1.17, existem IN eE > −I ßá ßI 8 O E œ I áI" > " > matrizes elementares de ordem sobre tais que . Então

./>E œ ./>ÐI áI Ñ œ ./>I á./>I Þ" > " >

Como, para todo o , , temos 3 − Ö"ßá ß >× ./>I Á ! ./>E Á !Þ3

Reciprocamente, suponhamos que ./>E Á !Þ

É possível obter a partir de , efectuando um número finito de transformaçõesEelementares nas linhas, uma matriz em forma de escada. Pelo Corolário 1.15, existe umaFmatriz invertível tal que Pelo Corolário 3.8,U − ÐOÑ F œ UEÞ`8

./>F œ ./>ÐUEÑ œ ./>U./>EÞ

Como é invertível, temos (provado na primeira parte da demonstração). PorU ./>U Á !hipótese Logo Pela Proposição 3.4, não tem linhas nulas e, portanto,ß ./>E Á !Þ ./>F Á !Þ F<ÐEÑ œ 8Þ EPela Proposição 1.17, concluímos que é invertível.

OBSERVAÇÃO: Sejam . Se não é invertível, então não éEßF − ÐOÑ F EF`8

invertível.

Justificação: Suponhamos que não é invertível. Pela Proposição 2. , o sistemaF %F\ œ ! G − ÐOÑ G Á ! FG œ !Þ é indeterminado, i. e., existe , , tal que Então`8‚"

ÐEFÑG œ ! ÐEFÑ\ œ ! % e o sistema é indeterminado. Novamente pela Proposição 2. ,temos que não é invertível.EF

PROPOSIÇÃO 3.10: . Sejam TemosEßF − ÐOÑ`8

./>ÐEFÑ œ ./>E ./>FÞ

Dem.: Se é invertível, o resultado é imediato pelo Corolário 3.8.E

Se não é invertível, então, pela Proposição 3.9, e temos dois casos aE ./>E œ !considerar:

Caso 1. é invertível. Pelo exercício 32 - d), não é invertível e temos, pelaF EFProposição anterior, Como , concluímos que./>ÐEFÑ œ !Þ ./>E ./>F œ ! ‚ ./>F œ !./>ÐEFÑ œ ./>E ./>FÞ

Caso 2. não é invertível. Pela Observação anterior, não é invertível e oF EFraciocínio é análogo ao anterior.

Vamos apresentar um novo método para o cálculo da inversa de uma matriz invertívelde ordem 8 #Þ

Observacao 4.22. Sejam A, B matrizes de ordem n. Se A nao e invertıvel ou Bnao e invertıvel, entao A ◦B nao e invertıvel.

Justificacao. Se A nao e invertıvel, entao por reducao ao absurdo demonstra-mos que A ◦ B nao e invertıvel. Suponha-se que (A ◦ B) e invertıvel; pelaproposicao 2.88, existe uma matriz C tal que (A ◦ B) ◦ C = E. A associati-vidade de multiplicacao de matriz da A ◦ (B ◦ C) = E. Entao A e invertıvel —Contradicao.

O argumento para uma matriz B nao-invertıvel e analogo. a

Proposicao 4.23. Sejam A, B matrizes de ordem n. Temos

det(A ◦B) = det A · det B.

Demonstracao. Se A e invertıvel, o resultado e imediato pelo Corolario 4.19.Se A nao e invertıvel, o resultado segue da observacao anterior com Propsicao

4.21. aVamos apresentar um novo metodo para o calculo da inversa de uma matriz

invertıvel de ordem n ≥ 2.

Proposicao 4.24. Sejam n ≥ 2 e A uma matriz invertıvel de ordem n. Temos

A−1 =1

det Aadj(A).


Demonstracao. Seja A = (aij) uma matriz de ordem n. Temos

A(1

det Aadj(A)) =

1

det A(A adj(A)).

Para cada i = 1, . . . , n, temos

-45-


PROPOSIÇÃO 3.11: e . Sejam uma matriz invertível Temos8 # E − ÐOÑ`8

E œ +.4ÐEÑ Þ"

./>E"

Dem.: Seja . TemosE œ − ÐOÑ+c d34 8`

E +.4ÐEÑ œ ÐE+.4ÐEÑÑÞ" "

./>E ./>EŠ ‹

Para cada , temos3 − Ö"ßá ß 8×

ÐE +.4ÐEÑÑ œ ÐE ÐEÑ Ñ œ + ÐEÑ œ + E œ ./>EÞs s sÆ33 33 35 35

X X

5œ" 5œ"

8 8

53 35! !ˆ ‰

desenv. segundo a linha 3

Sejam . Temos3ß 4 − Ö"ßá ß 8×ß 3 Á 4

ÐE +.4ÐEÑÑ œ ÐEÐEÑ Ñ œ + ÐEÑ œ + E œ !Þs s sÆ34 34 35 35 45

X X

5œ" 5œ"

8 8

54! !ˆ ‰

Observ. 1) da pág. 42

Logo,

E+.4ÐEÑ œ Ð./>EÑM E +.4ÐEÑ œ M Þ"

./>E8 8 e Š ‹

EXEMPLO: Seja IR . TemosE œ − Ð Ñ" ! "" # !" ! #

Ô ×Õ Ø `$

./>E œ #Ð "Ñ œ # Á !Þ" "" #

##º º Logo, é invertível.E

Vamos determinar :Es

E œ Ð "Ñ œ % E œ Ð "Ñ œ #s s# ! " !! # " #"" "#

"" "#º º º º

E œ œ # E œ œ !s s" # ! "" ! ! #"$ #"º º º º

E œ œ " E œ œ !s s" " " !" # " !## #$º º º º

E œ œ # E œ œ "s s! " " "# ! " !$" $#º º º º

Logo,

A adj(A) = (det A)En e A(1

det Aadj(A)) = En.

a


1 0 11 2 01 0 2

uma matriz de ordem 3. Temos

det A = 2(−1)2+2

∣∣∣∣ 1 11 2

∣∣∣∣ = 2 6= 0.

Logo, A e invertıvel.Vamos determinar A:

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 00 2

∣∣∣∣ = 4, A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ 1 01 2

∣∣∣∣ = −2,

A13 =

∣∣∣∣ 1 21 0

∣∣∣∣ = −2, A21 = −∣∣∣∣ 0 1

0 2

∣∣∣∣ = 0,

A22 =

∣∣∣∣ 1 11 2

∣∣∣∣ = 1, A23 = −∣∣∣∣ 1 0

1 0

∣∣∣∣ = 0,

A31 =

∣∣∣∣ 0 12 0

∣∣∣∣ = −2, A32 = −∣∣∣∣ 1 1

1 0

∣∣∣∣ = 1,

A33 =

∣∣∣∣ 1 01 2

∣∣∣∣ = 2.

Logo,


A =

4 −2 −20 1 0−2 1 2

e adj(A) =

4 0 −2−2 1 1−2 0 2

.

Temos

A−1 =1

det Aadj(A) =

1

2

4 0 −2−2 1 1−2 0 2

=

2 0 −1−1 1

212

−1 0 1

.

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 100

5 Valores propriosAs paginas seguintes sao um extracto das sabentas Algebra Linear e Geome-

tria Analıtica (versao de 2003) dos professores ANA PAULA SANTANA e JOAO

FILIPE QUEIRO do Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra[SQ03]. E so o inıcio da teoria de valores proprios que deve ser estuda em maisdetalhes na cadeira Algebra Linear II no segunde semestre.

Notam-se algumas diferencas na notacao, que em geral nao devem dar razoespara confusao.

• Aplicacoes lineares chamam-se tambem transformacoes lineare.

• K e uma variavel para corpos; em particular, podemos escolher R ou C paraK.

• N(T ) e uma notacao alternativa para o nucleo, nuc(T ), de uma aplicacaolinear T .

• Em vez de E, I e usada como designacao da matriz unitaria.

• A∗ designa AT

, a transposta da matriz conjugada de A. Nota-se que v∗, paraum vector coluna, e o vector linha dos elementos conjugados de v.

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 101� � � �� 5� �� <.\� � �� a� �� YV� � BC��D��C� S BC� �[� � �� B� �I� NE��AR��

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0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 102

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0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 103

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0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 104

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0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 112

A Topicos complementares

A.1 Historia dos numeros complexosAs paginas seguintes sao um extracto das sabentas Algebra Linear e GeometriaAnalıtica I (versao de 2008) dos professores ANA PAULA SANTANA e JOAO

FILIPE QUEIRO do Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra[SQ08].

APENDICES

Historia dos numeros complexos

Como se disse, foi no seculo XVI, a proposito da descoberta da formula resolventedas equacoes do 3o grau, que se “descobriram”os numeros complexos. Recorda-seaqui essa historia.

A equacao a resolver e a seguinte:10

x3 + bx + c = 0.

Os matematicos italianos do seculo XVI que trataram deste assunto tiveram aideia de escrever a incognita x na forma x = u+v, com u e v numeros a determinar.Ora, como

(u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3,

tem-se, passando tudo para o primeiro membro,

(u + v)3 − 3uv(u + v)− (u3 + v3) = 0.

Comparando com a equacao proposta, ve-se que, se se encontrarem numeros u e vsatisfazendo as condicoes

−3uv = b e − (u3 + v3) = c ,

entao x = u + v sera uma solucao da equacao.

Da primeira condicao tira-se v = − b

3u. Substituindo v por este valor na segunda

condicao obtem-se

−u3 +b3

27u3= c ,

o que e o mesmo que

u6 + cu3 − b3

27= 0 .

Ora isto, que e uma equacao do 6o grau em u, e de facto uma equacao do 2o grauem u3, que se sabe resolver:

u3 =−c±

√c2 + 4

b3

272

= − c

2±√

c2

4+

b3

27.

10 Se se conseguir resolver uma equacao desta forma consegue-se resolver qualquer equacao do3o grau: primeiro, se o coeficiente de x3 nao for 1, podemos dividir ambos os membros por essecoeficiente o que nao altera as solucoes da equacao; segundo, se o coeficiente de x2, chamemos-lhea, nao for 0, procede-se a uma mudanca de incognita substituindo x por y− a

3 . Nao e difıcil ver quena nova equacao assim obtida, em que a incognita e y, e que continua a ser de grau 3, o coeficientede y3 e 1 e o coeficiente de y2 e 0. As solucoes da primeira equacao podem obter-se das da segundasimplesmente subtraindo-lhes a

3 .

134

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 113

Escolhendo para u3 por exemplo o valor

u3 = − c

2+

√c2

4+

b3

27,

de −(u3 + v3) = c tira-se

v3 = − c

2−√

c2

4+

b3

27.

E vem, finalmente,

x =3

√− c

2+

√c2

4+

b3

27+

3

√− c

2−√

c2

4+

b3

27

o que e o mesmo que

x =3

√√√√− c

2+

√( c

2

)2

+

(b

3

)3

+3

√√√√− c

2−√( c

2

)2

+

(b

3

)3

.

Esta e a formula resolvente encontrada no seculo XVI por del Ferro, Cardano eTartaglia.

Algum tempo depois da descoberta da formula, outro italiano, Bombelli, aplicou-a a equacao

x3 − 15x− 4 = 0.

Note-se que esta equacao tem a solucao x = 4, como se ve imediatamente. Mas aformula resolvente da

x =3

√2 +

√−121 +3

√2−√−121 .

Aparece aqui a raiz quadrada de um numero negativo, o que torna a expressaosem sentido. Mas Bombelli teve um “pensamento louco”(nas suas proprias palavras)e fez contas com essas raızes como se elas existissem, e usando as propriedadeshabituais das operacoes com numeros.

Como 121 = 112, devera ser√−121 = 11

√−1, pelo que

3

√2 +

√−121 =3

√2 + 11

√−1 e3

√2−√−121 =

3

√2− 11

√−1 .

Como entre os radicandos das raızes cubicas 3√

2 + 11√−1 e 3

√2− 11

√−1 soha uma diferenca de sinal, ocorreu a Bombelli que essas raızes cubicas se possamtambem escrever na forma

3

√2 + 11

√−1 = a + b√−1 e

3

√2− 11

√−1 = a− b√−1

com a e b numeros reais. E, de facto, das condicoes

(a + b

√−1)3

= 2 + 11√−1 e

(a− b

√−1)3

= 2− 11√−1

135

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 114

tira-se, fazendo os calculos usando as propriedades habituais das operacoes comnumeros (e tambem (

√−1)2 = −1), que a = 2 e b = 1 sao solucoes possıveis, isto e,

(2 +

√−1)3

= 2 + 11√−1 e

(2−√−1

)3= 2− 11

√−1 .

(Exercıcio: faca os calculos que comprovam isto.)Entao

3

√2 + 11

√−1 = 2 +√−1 e

3

√2− 11

√−1 = 2−√−1

e vem, para a solucao da equacao,

x = 2 +√−1 + 2−√−1 = 4 .

Portanto, trabalhando com estas quantidades imaginarias — as raızes quadradasde numeros negativos — Bombelli chegou a um resultado real correcto.

A partir deste episodio, os numeros da forma a + b√−1, com a e b reais —

designados por numeros imaginarios, nome que continuou ate hoje, embora seja maisvulgar chamar--lhes numeros complexos — passaram a ser usados nas mais variadasquestoes e aplicacoes da Matematica, e foram-se impondo pela sua utilidade.

Durante mais de dois seculos, a questao da natureza dos numeros complexos —que numeros sao estes ao certo? — permaneceu um pouco misteriosa. (A partir doseculo XVIII, com Euler, tornou-se habitual usar a letra i para designar

√−1.) Sodurante o seculo XIX foram apresentadas respostas satisfatorias para essa questaoe foram justificadas as propriedades destes numeros. Como? Definindo os numeroscomplexos a custa de entidades conhecidas — por exemplo, como pontos num planoou, o que e quase a mesma coisa, como pares ordenados de numeros reais — sendoas operacoes definidas da maneira conveniente. Depois mostra-se que as operacoesgozam das propriedades desejadas e que no conjunto ha um subconjunto que e uma“copia”dos numeros reais.

136

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 115

0.02–20/12/2008 ALGEBRA LINEAR I 116

A.2 Regra de CramerAs paginas seguintes sao um extracto dos apontamentos de Algebra Linear I(2006/2007), [dC08], da professora JULIA VAZ DE CARVALHO dado no ano pas-sado.

A regra de Cramer faz parte da teoria de determinantes.

-47-


APÊNDICE

DEFINIÇÃO: Dizemos que um sistema de equações lineares sobre é umÐWÑ OSistema de Cramer se o número de equações de é igual ao número de incógnitas de eÐWÑ ÐWÑo determinante da matriz simples de é diferente de zero.ÐWÑ

OBSERVAÇÃO:

Suponhamos que o sistema de equações lineares é de Cramer. Temos que aE\ œ Fmatriz é quadrada (nº de equações é igual ao nº de incógnitas) e que PelaE ./>E Á !ÞProposição 3.9, é invertível. Aplicando o facto da afirmação f) do exercício 44 serEverdadeira, concluímos que é possível determinado. Sendo a suaE\ œ F Ð ßá ß Ñ! !" 8

solução, temos

Ô ×Õ Ø!

!

"

8

"ã œ E FÞ

PROPOSIÇÃO (REGRA DE CRAMER):

Sejam tais que é sistema de CramerE − ÐOÑßF œ − ÐOÑ E\ œ F,ã,

` `8 8‚"

"

8

Ô ×Õ Ø

e seja a sua solução.Ð ßá ß Ñ! !" 8

Para cada , seja a matriz que se obtém de substituindo a coluna 3 − Ö"ßá ß 8× E E 33

por TemosÐ, ßá ß , ÑÞ" 8

!3 3œ ./>E Þ"

./>E

Dem.: Se , o resultado é imediato.8 œ "

Suponhamos que Pela Observação anterior e pela Proposição 3.11,8 #Þ

Ô ×Õ Ø Š ‹ ˆ ‰!

!

"

8

"ã œ E F œ +.4ÐEÑ F œ +.4ÐEÑF Þ" "

./>E ./>E

Basta, então, provar que, para cada 3 − Ö"ßá ß 8×ß +.4ÐEÑF œ ./>E Þˆ ‰3" 3

Temos

./>E œ Þ+ á + , + á +ã ã ã ã ã

+ á + , + á +3

"" " 3" " " 3" "8

8" 8 3" 8 8 3" 88

â ââ ââ ââ ââ ââ âDesenvolvendo segundo a coluna , obtemos3

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-48-


./>E œ , ÐE Ñ á , ÐE Ñs s

œ , E á , E a5 − Ö"ßá ß 8×ß ÐE Ñ œ Es s s s

œ , ÐEÑ á , ÐEÑ a5 − Ö"ßá ß 8×ß ÐEÑ œ Es s s s

œ Ð EÑ ,s

3 " 3 "3 8 3 83

" "3 8 83 3 53 53

" 8 53X X X

3" 38 35X

3"

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ " 8

X38

X3"

3"

á ÐEÑ , Os

œ ÐEÑ Fs

œ +.4ÐEÑF Þ

ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰

comutatividade da mult. em

Logo, para cada 3 − Ö"ßá ß 8×ß +.4ÐEÑF œ ./>E Þˆ ‰3" 3

EXEMPLOS: 1) Consideremos o sistema de equações lineares nas incógnitasB ß B ß B" # $ sobre IR:

ÐWÑB B B œ " B B B œ !B B B œ "

ÚÛÜ

" # $

" # $

" # $

Temos três equações e três incógnitas. A matriz simples de é ÐWÑ Þ" " " " " "" " "

Ô ×Õ Ø

Temos

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â º º" " " " " " " " " ! # !" " " " " "

œ œ # œ # ‚ # œ %Þ" "" "

Logo, é sistema de Cramer.ÐWÑ

Seja IR a sua solução. TemosÐ ß ß Ñ −! ! !" # $$

!" œ œ ‚ Ð #Ñ œ à" " "

% % #

" " "! " " " " "

â ââ ââ ââ ââ ââ â

!# œ œ ‚ # œ à" " "

% % #

" " " " ! "" " "

â ââ ââ ââ ââ ââ â

!$ œ œ ‚ Ð %Ñ œ "Þ" "

% %

" " " " " !" " "

â ââ ââ ââ ââ ââ â A solução de é .ÐWÑ Ð "Î#ß "Î#ß "Ñ

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-49-


2) Sejam IR. Consideremos o sistema de equações lineares nas incógnitas)ß +ß , −Bß C sobre IR:

ÐWÑ ÞÐ-9= ÑB Ð=/8 ÑC œ +Ð=/8 ÑB Ð-9= ÑC œ ,œ ) )

) )

Temos duas equações e duas incógnitas. A matriz simples de é ÐWÑ

” •-9= =/8=/8 -9=

Þ) )) )

Temos

º º-9= =/8=/8 -9=

œ -9= =/8 œ "Þ) )) )

) )# #

Logo, é sistema de Cramer.ÐWÑ

Seja IR a sua solução. TemosÐ ß Ñ −! " #

! ) ))

)œ œ +-9= ,=/8 à

"

"

+ =/8, -9=

º º

" ) )))

œ œ ,-9= +=/8 Þ"

"

-9= +=/8 ,

º º A solução de é ÐWÑ Ð+-9= ,=/8 ß ,-9= +=/8 ÑÞ) ) ) )

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Referencias[CPS09] Isabel Cabral, Cecılia Perdigao, and Carlos Saiago. Algebra Linear.

Escolar Editora, 2009.

[dC08] Julia Vaz de Carvalho. Apontamentos de Algebra Linear I. Licenciaturade Matematica, DM-FCT-UNL, 2007/08. Em grande parte igual aosapontamentos do ano 2006/07.

[GG99] Hand Grauert and Hans-Christoph Grunau. Lineare Algebra und Analy-tische Geometrie. Oldenbourg, 1999.

[SQ03] Ana Paula Santana and Joao Filipe Queiro. Algebra Linear e Geome-tria Analıtica. Departamento de Matematica, Universidade de Coimbra,2003.

[SQ08] Ana Paula Santana and Joao Filipe Queiro. Algebra Linear e GeometriaAnalıtica I. Departamento de Matematica, Universidade de Coimbra,2008.

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ConcordanciasTopico/Nocao [dC08] [CPS09]Espacos vectoriais Cap. 1 Cap. 4 Cap. 4Espaco vectorial Def. 1.6 Def. pag. 50 Def. 4.1Combinacao linear Def. 1.11 Def. pag. 57 Def. 4.21(In)dependencia linear Def. 1.12 Def. pag. 62 Prop. 4.33Unicidade da representacao Prop. 1.19 Prop. 4.9 Prop. 4.35Base Def. 1.23 Def. pag. 66 Def. 4.37Subespaco vectorial Def. 1.27 Def. pag. 54 Def. 4.6Aplicacoes lineares Cap. 2 Cap. 5 Cap. 5Aplicacao linear Def. 2.16 Def. pag. 85 Def. 5.1

[dC08] e [CPS09] usam, em geral, E como letra principal de uma variavelpara espacos vectoriais; nos usamos V para espacos vectoriais.

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VersoesAqui tentamos listar as alteracoes principais entre versoes publicadas na pagina de rededa cadeira. Em geral, o numero de versao e so alterado se tem alteracoes significante naparte ja publicada. Se adicionamos so novo material, mantemos o numero da versao masdamos a nova data; neste caso nao deveria ser necessario imprimir a parte anterior maisuma vez.

• 0.02–20/12/08: Alteracoes feitas nos capıtulos 4 e 5.

• 0.02–19/12/08: Versao completa.

Os capıtulos sobre determinantes e valores proprios ainda precisam de ser adapta-dos a notacao (e pontualmente aos conceitos) usada(os) anteriormente. Em parti-cular, a nocao de “matriz elementar” usada em algumas demonstracoes sobre de-terminantes nao foi definida aqui.

• 0.01 (11/12/08, 5/12/08, 20/11/08, 14/11/08, 5/11/08, 30/10/08, 23/10/08, 16/10/08,11/12/08, 5/12/08)

Versoes parciais.

Problemas conhecidas: Algumas incoerencias nas notacoes (por exemplo: letrasgregas para elementos do corpo escalar na motivacao; c e d em capıtulo 1).

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