UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE …

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E CIÊNCIAS AMBIENTAIS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

GLEDSON CARLOS DE OLIVEIRA ASSIS

DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA WEB MULTIPLATAFORMA PARA ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICOS PLANOS

MOSSORÓ 2017


DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA WEB MULTIPLATAFORMA PARA ANÁLISE ESTRUTURAL DE PÓRTICOS PLANOS

Monografia apresentada à Universidade Federal Rural do Semi-Árido como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. M.Sc. Eric Mateus Fernandes Bezerra

MOSSORÓ 2017

© Todos os direitos estão reservados a Universidade Federal Rural do Semi-Árido. O conteúdo desta obra é de inteira responsabilidade do (a) autor (a), sendo o mesmo, passível de sanções administrativas ou penais, caso sejam infringidas as leis que regulamentam a Propriedade Intelectual, respectivamente, Patentes: Lei n° 9.279/1996 e Direitos Autorais: Lei n° 9.610/1998. O conteúdo desta obra tomar-se-á de domínio público após a data de defesa e homologação da sua respectiva ata. A mesma poderá servir de base literária para novas pesquisas, desde que a obra e seu (a) respectivo (a) autor (a) sejam devidamente citados e mencionados os seus créditos bibliográficos.

O serviço de Geração Automática de Ficha Catalográfica para Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC´s) foi desenvolvido pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo (USP) e gentilmente cedido para o Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal Rural do Semi-Árido (SISBI-UFERSA), sendo customizado pela Superintendência de Tecnologia da Informação e Comunicação (SUTIC) sob orientação dos bibliotecários da instituição para ser adaptado às necessidades dos alunos dos Cursos de Graduação e Programas de Pós-Graduação da Universidade.

A848d Assis, Gledson Carlos de Oliveira. Desenvolvimento de uma ferramenta web

multiplataforma para análise estrutural de pórticos planos / Gledson Carlos de Oliveira Assis. - 2017.

51 f. : il. Orientador: Eric Mateus Fernandes Bezerra. Monografia (graduação) - Universidade Federal

Rural do Semi-árido,Curso de Engenharia Civil, 2017.

1. Análise Estrutural. 2. Pórticos Planos. 3. Ambiente Web. I. Fernandes Bezerra, Eric Mateus, orient. II. Título.


DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA WEB MULTIPLATAFORMA DE ANÁLISE ESTRUTURAL

Monografia apresentada à Universidade Federal Rural do Semi-Árido como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

DEFENDIDA EM: 06 / 10 / 2017.

BANCA EXAMINADORA

_________________________________________ Eric Mateus Fernandes Bezerra, Prof. Me. (UFERSA)

Presidente

_________________________________________ Manoel Denis Costa Ferreira, Prof. Dr. (UFERSA)

Membro Examinador

_______________ __________________________ Jonathas Iohanathan Felipe de Oliveira, Prof. Me. (IFCE)

Membro Examinador

Dedico este trabalho a meus pais, Francisco Carlos de Assis Neto e Dogimeire Oliveira Assis, pela base moral, educacional e ética, bem como o apoio que me deram ao longo de toda minha caminhada até aqui. Dedico ainda a minha noiva, Ana Paula Dantas da Silva, que me apoiou em todos os momentos de dificuldades. Por fim, dedico também e todos aqueles que contribuíram de forma direta ou indireta para minha conclusão e formação profissional e pessoal durante os meus anos acadêmicos.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado o dom da vida e me dar a oportunidade e a

força para superar todos os obstáculos, pois apesar de todas as dificuldades encontradas no meu

caminho, ele nunca deixou de acreditar em mim.

Agradeço ainda a meus pais, Francisco Carlos de Assis Neto e Dogimeire Oliveira Assis, pela

excelente educação proporcionada por eles. Por terem servido e continuando me dando uma

base moral e educacional para a minha formação como pessoa e por acreditar na minha

capacidade e me fornecerem apoio.

A minha noiva Ana Paula Dantas da Silva, que me deu apoio e serviu como porto seguro nos

momentos de dificuldade e estresse. Por servir ainda de inspiração para o desenvolvimento do

trabalho.

Muito obrigado aos meus familiares, por me apoiarem e estarem sempre ao meu lado e

acreditando em mim, me dando força durante toda minha formação e em especial as minhas

avós Catarina da Silva e Maria Madalena (in memoriam) que sempre torceram por mim.

A meus irmãos Clayton Carlos e Djheyson Carlos e meus amigos Douglas Dennys, Jonatha

Marcelino e Luís Gustavo, por me ajudarem na elaboração deste trabalho e o desenvolverem

junto comigo. Muito obrigado!

Agradecimentos ainda a todos os meus amigos, irmãos de consideração e colegas de sala, por

estarem sempre ao lado e me ajudando nos momentos de necessidade.

Agradeço também ao meu orientador Eric Mateus, professor excepcional que sobrepuja as

expectativas, e a todos os professores e servidores da UFERSA, pela fundamentação teórica e

pela ajuda no processo de desenvolvimento da plataforma.

“Não me interessa ser o homem mais rico do cemitério... Ir para a cama dizendo a si próprio que fez algo de maravilhoso... é isso que me interessa.”

Steve Jobs

RESUMO

A simulação do comportamento real da estrutura é realizada na análise estrutural, fato que torna essa uma das etapas mais importantes do projeto de estruturas. Nesta, são obtidos os esforços internos e os deslocamentos necessários para identificar se a estrutura é capaz de absorver as solicitações sem comprometer a segurança, o uso e a estética. Para tanto, é necessário assumir hipóteses simplificadoras e conceber um modelo matemático realista que permita estimar, com certo grau de precisão, a resposta do sistema. O modelo de pórticos planos tem se mostrado eficiente em muitas análises estruturais, caracterizando-se como uma metodologia representativa, simples e que demanda um baixo custo computacional. O mesmo, no entanto, só se torna viável, para a maioria dos casos, se for assistido por uma ferramenta computacional. Este trabalho evidencia, portanto, o desenvolvimento de uma multiplataforma web compatível com smartphones, tablets e quaisquer dispositivo com acesso à internet com um ambiente, denominado ANA-WEB, capaz de obter a linha elástica e os diagramas de momentos fletores, esforços normais e esforços cortantes de pórticos planos sujeitos a momentos fletores pontuais e cargas verticais e horizontais (distribuídas ou concentradas). Por meio de uma interface em linguagem HTML (HyperText Markup Language), customizada com um mecanismo CSS (Cascading Style Sheets), o usuário insere parâmetros, que, a partir de um conjunto de comandos e rotinas implementados em um arquivo na linguagem JavaScript, poderão ser acompanhados de forma dinâmica, fornecendo um ambiente interativo. Após a inserção de todos os dados, a estrutura pode ser processada, enviando uma requisição aos servidores em formato PHP. Os resultados obtidos, que estão em conformidade com os fornecidos pelo Ftool®, mostram a eficiência e o potencial do módulo ANA-WEB na análise linear elástica de pórticos planos, que pode ser realizada sem consumir espaço na memória dos dispositivos.

Palavras-chave: Análise Estrutural, Pórticos Planos, Ambiente Web.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – a) estrutura real e b) modelo estrutural. ................................................................ 15

Figura 2 - a) Estrutura real, b) modelo de pórtico espacial e discretização em modelo de c)

grelha e d) pórticos planos. .................................................................................................. 18

Figura 3 - Pórtico plano típico. ............................................................................................. 19

Figura 4 – Associação de pórticos planos para análise de cargas horizontais. ....................... 20

Figura 5 - Esforços internos de um elemento pórtico plano. ................................................. 20

Figura 6 – Discretização de uma estrutura contínua em um número finito de elementos. ...... 22

Figura 7 - Elemento finito de barra. ...................................................................................... 23

Figura 8 - Interpolação linear dos deslocamentos para elementos de barra. ........................... 24

Figura 9 - Elemento finito sujeito a esforços axiais nodais.................................................... 26

Figura 10 - Esforços atuantes em um elemento de viga. ....................................................... 27

Figura 11 - Elemento finito sujeito a cargas nodais............................................................... 30

Figura 12 - Elemento sujeito a carga uniformemente distribuída. ......................................... 30

Figura 13 - Deslocamentos nas extremidades de um elemento pórtico. ................................. 31

Figura 14 - Elemento de Pórtico inclinado no plano. ............................................................ 32

Figura 15 – Elemento sujeito a um carregamento trapezoidal. .............................................. 33

Figura 16 - Página inicial da plataforma HAND. .................................................................. 36

Figura 17 - Ambiente ANA-WEB. ......................................................................................... 37

Figura 18 - Botões funções de submenus. ............................................................................. 37

Figura 19 - Aba de a) manipulação de nós e b) de manipulação de barras. ............................ 38

Figura 20 - Seção de inserção de apoios ............................................................................... 39

Figura 21 - Representação gráfica de apoios. ........................................................................ 39

Figura 22 - Seção de inserção de esforços externos. ............................................................. 40

Figura 23 - Seção de propriedades geométricas. ................................................................... 41

Figura 24 - Seção de propriedades dos materiais. ................................................................. 41

Figura 25 - ANA-WEB em dispositivo mobile. ...................................................................... 42

Figura 26 – Espalhamento de matrizes de rigidez locais para a matriz de rigidez global. ...... 43

Figura 27 - Fluxograma do algoritmo. .................................................................................. 44

Figura 28 - Viga sujeita a uma carga distribuída, diagrama de esforços cortantes e diagrama de

momento fletor (Exemplo 1). ............................................................................................... 45

Figura 29 - Elemento modelado analiticamente na aplicação ANA-WEB............................... 46

Figura 30 - Diagrama de esforço cortante gerado pela plataforma ANA-WEB. ...................... 46

Figura 31 - Diagrama de momento fletor gerado pela plataforma ANA-WEB. ....................... 47

Figura 32 - Modelo de pórtico plano estudado. ..................................................................... 48

Figura 33 - Modelo proposto concebido no a) Ftool e no b) ANA-WEB. ............................... 48

Figura 34 - Diagrama de esforços normais pelo a) Ftool e b) ANA-WEB. ............................. 48

Figura 35 - Diagrama de esforços cortantes pelo a) Ftool e b) ANA-WEB. ............................ 49

Figura 36 - Diagrama de momentos fletores pelo a) Ftool e b) ANA-WEB. ........................... 49

Figura 37 - Estrutura no estado deformado pelo a) Ftool e b) ANA-WEB. ............................. 49

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 11

1.1. Considerações iniciais .......................................................................................... 11

1.2. Objetivos ............................................................................................................... 13

1.3. Escopo do trabalho ............................................................................................... 14

2. ANÁLISE ESTRUTURAL .................................................................................. 15

2.1. Elementos e modelos estruturais.......................................................................... 16

2.2. Métodos de análise Estrutural ............................................................................. 20

2.2.1. Método dos elementos finitos aplicado a pórticos planos ........................................ 21

3. ESTRUTURAÇÃO DO APLICATIVO .............................................................. 36

3.1. Interface gráfica (front-end) ................................................................................. 36

3.2. Funcionalidades (back-end) .................................................................................. 42

4. APLICAÇÕES NUMÉRICAS ............................................................................. 45

4.1. Exemplo 1 ............................................................................................................. 45

4.2. Exemplo 2 ............................................................................................................. 47

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 51

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 52

11

1. INTRODUÇÃO

1.1. Considerações iniciais

A evolução e difusão dos computadores e dos métodos numéricos mudaram a forma

como as estruturas são pensadas, haja vista que o comportamento real destas pode ser simulado

com maior fidelidade, considerando características do modelo cujo tratamento é complexo e,

até pouco tempo, inviável. Isso refletiu diretamente na atual concepção arquitetônica e tornou

as ferramentas computacionais indispensáveis, fato que estimula o desenvolvimento destas.

Além de permitir estimar de forma mais aproximada os parâmetros que descrevem o fenômeno,

as ferramentas computacionais proporcionaram maior agilidade, concedendo mais tempo ao

projetista para análise de várias possibilidades para solucionar um determinado problema.

As ferramentas computacionais são recursos comprovadamente eficientes para a

compreensão da mecânica das estruturas. Ferramentas gratuitas como o Ftool ou o DS-

Frame2D costumam ser utilizados com frequência no processo de aprendizado do

comportamento das estruturas, atuando como agente facilitador do entendimento de disciplinas

dessa área.

Uma das fases mais importantes de um projeto de estruturas é a análise estrutural, pois

é nesta etapa onde é realizada uma previsão do comportamento real das mesmas (MARTHA,

2017). Para tanto, é necessário abstrair a estrutura a partir de hipóteses sobre as cargas atuantes,

sobre a interação entre os elementos constituintes e sobre o comportamento dos materiais,

obtendo, assim, um modelo matemático capaz de simular, com certo nível de precisão, o

comportamento mecânico da estrutura. Com isso, é possível determinar a resposta do sistema

ante as solicitações externas, que pode ser expressa em termos de esforços internos e

deslocamentos, cuja determinação é necessária para verificar se a estrutura concebida é capaz

de absorver tais solicitações com segurança e adequado uso em serviço. Essa etapa, portanto,

influencia diretamente nas etapas do projeto que a sucedem.

Com o acesso a computadores com elevado poder de processamento, que podem

executar uma série de operações matemáticas em curto período de tempo, um modelo de pórtico

espacial, que considera o comportamento integrado das vigas e pilares, e que até pouco tempo

tinha um uso proibitivo, pode ser facilmente concebido e processado. Muitas vezes, no entanto,

é desnecessário onerar o processo e aumentar o tempo de processamento com a utilização de

modelos rebuscados.

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Quanto mais sofisticado e, naturalmente, realista for um modelo estrutural, maior a

complexidade do tratamento das suas equações governantes. Para tornar a análise exequível, é

conveniente adotar hipóteses simplificadoras sobre a geometria, carregamento, condições de

vínculo e comportamento do material. Contudo, quanto mais simplificado, menos

representativo é o modelo. Sendo assim, a busca tem sido por um modelo estrutural que alie um

bom nível de representatividade, fornecendo soluções aceitáveis, a um baixo custo

computacional. O modelo que melhor atende a essa demanda é o modelo de pórtico plano, fato

que o torna um dos modelos mais utilizados na análise de estruturas reticuladas.

Os pórticos planos são formados pela ligação de elementos lineares (vigas e pilares, por

exemplo) que se situam em um mesmo plano. Neste modelo, a distribuição dos esforços é

conduzida naturalmente pela interação entre os elementos, já que é levado em conta a

transmissão de esforços entre os mesmos, o que torna o modelo mais preciso do que o de vigas

contínuas na análise de cargas verticais. Nesse modelo, são levados em consideração

componentes de forças nas direções contidas no plano e momento em torno do eixo normal a

este, não sendo possível, portanto, considerar esforços de torção. Isto é, no modelo de pórtico

plano, podem ser obtidos os esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores

desenvolvidos nos elementos que o compõe.

A maioria dos softwares comerciais de análise estrutural possuem uma formulação

baseada no Método dos Elementos Finitos (MEF). Este é um dos métodos de análise estrutural

mais utilizados na atualidade, fato que torna o conhecimento das suas premissas quase

obrigatório na formação dos engenheiros com ênfase em estruturas.

A robustez dos softwares comerciais reflete no seu custo de aquisição. Além disso, estas

demandam maior capacidade de processamento das máquinas, comprometendo, assim, sua

mobilidade. Nesse cenário, é sempre bom ter acesso a ferramentas mais simples e, por

conseguinte, mais leves, para realizar tarefas que não requerem uma modelagem mais

complexa.

A World Wide Web (WWW), também conhecida simplesmente por web, consiste numa

rede de computadores distribuída por todo o globo, que comunicam uns com os outros através

de um protocolo de comunicação padrão chamado denominado Hypertext Transfer Protocol

(HTTP) (NEVES, 2004). O HTML é uma linguagem de formatação de texto que possibilita a

construção de ficheiros de texto, com a extensão htm ou html. Neste ficheiro estão contidas

marcações (tags) que indicam ao navegador (browser) como apresentar o conteúdo contido no

documento. O CSS é um mecanismo responsável pela estilização de uma página web. A partir

desde o processo para definir o layout da página se torna mais simples, onde, ao invés de

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embarcar toda a formulação de estilização dentro do arquivo HTML, cria-se um ficheiro no

formato CSS e vincula-o ao arquivo de formatação da página, resultando em ambientes mais

agradáveis e atrativos para o usuário (EIS & FERREIRA, 2012).

Atualmente, o HTML se encontra na versão 5.0. Essa versão, padronizada pela

organização internacional de padronização de elemento da internet (W3C), possibilita a criação

de marcadores personalizados com a linguagem JavaScript, que é diretamente compatível com

o HTML que funciona como ferramenta de manipulação dos elementos existentes na página.

1.2. Objetivos

Este trabalho objetiva evidenciar o desenvolvimento de uma multiplataforma online

com um ambiente, denominado ANA-WEB, capaz de obter a linha elástica e os diagramas de

momento fletor, esforço normal e esforço cortante de pórticos planos sujeitos a cargas verticais

e horizontais (distribuídas ou concentradas) e momentos fletores. Para tanto, por meio de uma

interface em linguagem HTML, customizada com um mecanismo CSS, o usuário insere

parâmetros, que, a partir de um conjunto de comandos e rotinas implementados em um arquivo

na linguagem JavaScript, poderão ser acompanhados de forma dinâmica, fornecendo um

ambiente interativo. Após a inserção de todos os dados, a estrutura pode ser processada,

enviando uma requisição aos servidores em formato PHP.

Para atingir ao objetivo geral, será necessário:

Desenvolver uma interface amigável que permita a construção, edição e análise de

elementos estruturais planos;

Elaborar um repositório com interface específica para dispositivos mobile, com

comando através do ecrã tátil ou touchscreen;

Implementar cálculo de características geométricas para perfis de uso trivial, bem

como perfis genéricos;

Introduzir o cadastro de cargas linearmente distribuídas e pontuais para os elementos

estruturais;

Elaborar e implementar uma rotina baseada no método dos elementos finitos para a

análise de estruturas;

Elaborar e implementar uma rotina para cálculo e modelagem dos diagramas de

esforços internos.

14

1.3. Escopo do trabalho

O capitulo 2 explanará sobre as premissas da análise estrutural. Serão discutidos

conceitos sobre os tipos de análise, elementos estruturais, modelos estruturais (com ênfase no

modelo de pórtico plano) e métodos de análise estrutural. Nesta última parte, a formulação de

um elemento finito de pórtico plano é desenvolvida.

O capítulo 3 traz a estruturação da aplicação, mostrando toda a lógica por trás da

plataforma. É nesse capítulo que se encontram as explicações de front-end, que trata da estética

e interatividade da plataforma, e back-end, que aborda as funcionalidades da aplicação. Nesta

etapa, são explicadas, também, as funcionalidades do sistema, o processo de inserção de dados

e a saída destes.

O capítulo 4 aplica a metodologia exposta no capítulo anterior e compara os resultados

com uma solução analítica e com a solução de um software respaldado pela comunidade

acadêmica.

O capítulo 5 traz as considerações finais do trabalho, destacando sua relevância e

sugestões para trabalhos futuros.

15

2. ANÁLISE ESTRUTURAL

No processo de concepção de uma edificação, várias etapas devem ser realizadas afim

de se garantir de que os elementos que compõem este empreendimento atendam as condições

de conforto, segurança e utilização. Martha (2004) cita cinco processos que compões a fase de

concepção de uma estrutura:

Concepção arquitetônica da obra;

Anteprojeto Estrutural;

Análise Estrutural;

Dimensionamento;

Documentação.

De acordo com Matha (2017), a análise estrutural é a fase onde é feita a idealização das

ações de do comportamento mecânico da estrutura. Para tanto, são adotadas hipóteses sobre

geometria, carregamento, condições de contorno, etc., para simular matematicamente o

comportamento real das estruturas. Seu objetivo é determinar os esforços, deslocamentos e

qualquer outro efeito que a estrutura estará sujeita, que são necessários para verificar se a

estrutura atende aos estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). A Figura 1 mostra uma

estrutura real a o seu modelo estrutural concebido computacionalmente.

Figura 1 – a) estrutura real e b) modelo estrutural.

Fonte: blogdaarquitetura.com (2017)

Basicamente, a análise estrutural é dividida em quatro níveis de abstração (MARTHA,

2017). A princípio, a estrutura real é idealizada e o modelo estrutural (modelo matemático),

com suas hipóteses simplificadoras, é definido. Em seguida, é comum discretizar a estrutura,

tendo em vista que é mais simples determinar a solução para parte de uma estrutura do que a

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solução geral. Finalmente, a resolução da estrutura é feita com o auxílio de uma ferramenta

computacional.

Para efetuar o tratamento analítico das estruturas, antes é necessário idealizar o

comportamento dos materiais constituintes. Os materiais estruturais podem ser elásticos,

plásticos, elasto-plásticos, visco-elásticos, etc. Além disso, as estruturas podem ter ou não

relações de proporcionalidade entre as cargas e os deslocamentos. Sendo assim, dependendo

do modelo para representação do comportamento estrutura, tem-se um tipo de análise estrutural.

A análise estrutural pode, assim, ser linear elástica (quando os materiais têm relação linear entre

suas tensões e deformações) e geométrica (proporcionalidade entre as cargas e deslocamentos),

análise linear com redistribuição, análise não-linear física (não-linearidade entre tensão e

deformação) e geométrica (não-linearidade entre cargas e deslocamentos), análise plástica e

análise através de modelos físicos.

Dentre os tipos de análise estrutural, a análise linear é a mais simples e cujo tratamento

está melhor consolidado. Em função disso, essa é a análise mais utilizada e vem trazendo

resultados aceitáveis para muitos problemas. O concreto, por exemplo, é um material não-

linear. Sendo assim, a rigor, não existe uma proporcionalidade entre tensão e deformação que

pode ser expressa pelo módulo de elasticidade. Entretanto, para a maioria das aplicações, a

análise de estruturas de concreto armado é linear. Para tanto, são feitas aproximações, como a

consideração de um módulo elasticidade constante para tornar a estrutura linear física e a

limitação dos deslocamentos horizontais para tornar a estrutura linear geométrica.

2.1. ELEMENTOS E MODELOS ESTRUTURAIS

Uma estrutura é composta por peças conectadas entre si que formam um conjunto

estável capaz de absorver as solicitações sem danos que inviabilizem sua utilização

(SUSSEKIND, 1981). Essas peças são denominadas elementos estruturais e sua classificação

depende da geometria e do esforço preponderante.

Quando uma das dimensões é significativamente superior às demais, o elemento é

classificado como barra. Caso duas dimensões sejam preponderantes à terceira, o elemento é

classificado como plano. Já nos casos em que as três dimensões possuem grandezas similares,

o elemento é classificado como sólido.

Um elemento de barra sujeito predominantemente ao momento fletor é classificado

como viga. Se o esforço predominante for de tração, o mesmo já é classificado como tirante.

Quando se trata de um elemento plano sujeito predominantemente à flexão, diz-se que o mesmo

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é uma laje. Já quando o esforço de tração é predominante, diz-se que se trata de uma chapa.

Sendo assim, o que difere um elemento de ser uma viga, pilar, tirante, laje, chapa, casca, bloco,

etc. é a geometria e o esforço predominante.

As estruturas podem ainda ser classificadas quanto à estabilidade dependendo da sua

vinculação. As mesmas são consideradas hipostáticas quando o número de apoios é insuficiente

para restringir os deslocamentos de corpo rígido da estrutura. Por sua vez, quando o elemento

estrutural possui vínculos em excesso, estas são denominadas como estruturas Hiperestática.

Quando o número de vínculos é apenas suficiente para restringir os deslocamentos de corpo

rígido, a estrutura é dita isostática.

Nas estruturas usuais empregadas na construção civil, os elementos que as compõem

(vigas, pilares e lajes) podem ser, normalmente, modelados como elementos de barras. As lajes,

embora sejam planas, podem ser substituídas por um conjunto de vigas que se cruzam,

formando uma grelha. As estruturas formadas por barras são chamadas de estruturas reticuladas.

As ligações entre os elementos estruturais podem ser rígidas, quando há transmissão de

todos os esforços de um elemento para o outro devido à restrição parcial dos deslocamentos, ou

flexíveis, quando um elemento não restringe o giro do outro.

De acordo com a disposição dos elementos, as estruturas reticuladas podem ser divididas

em planas ou espaciais, e a forma como esses elementos se relacionam caracterizam os modelos

estruturais. O pórtico (que é uma associação das vigas com pilares) espacial é o que representam

mais fielmente uma edificação real. Contudo, devido seu nível de representatividade, este

modelo se torna mais complexo e demanda maior número de operações matemáticas. Dessa

forma, em muitos casos é conveniente fazer a discretização da estrutura para simplificar a

análise e tratar os elementos estruturais por partes, fazendo idealizações com relação à interação

entre estes. Essas simplificações devem, no entanto, conduzir a respostas sempre a favor da

segurança.

A estrutura reticulada mais básica é a treliça, que considera as ligações entre os

elementos articuladas e as forças aplicadas apenas nas ligações, gerando apenas esforços de

tração e compressão no interior dos elementos. A primeira consideração evita que haja

transferência de momentos fletores entre os elementos, enquanto a segunda evita o

desenvolvimento de esforços cortantes e momentos fletores nos elementos.

Os elementos lineares que trabalham predominantemente à flexão podem ser tratados

pelo modelo de viga contínua. Neste, admite-se que a peça é reta e que as ações de forças ou

carregamentos atuantes nos tramos só podem ser aplicadas de forma transversal ao eixo da viga

e os momentos aplicados devem estar no mesmo plano do elemento. Esse modelo assume que

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os pilares restringem integralmente os deslocamentos verticais e que a estrutura é

contraventada. As rotações entre os elementos, no entanto, não são consideradas restritas. Sendo

assim, se a ligação entre os elementos for considerada rígida, é necessário modelar os apoios

com engastes elásticos, onde o coeficiente de mola é obtido considerando que o momento é

nulo no meio do pilar superior e no meio do pilar inferior, de tal modo que, nessas posições,

possa ser considerado um apoio simples.

O modelo de grelha é aplicado a uma estrutura reticulada plana com forças

perpendiculares a esse plano e momentos em torno dos eixos deste. Os elementos estruturais

estão sujeitos, portanto, à flexão, ao cortante e à torção. Os esforços axiais, de flexão e cortantes

no plano da estrutura são admitidos nulos por não estarem sujeitos a forças nesse plano ou

momentos nos eixos ortogonais a este.

Um modelo menos representativo do que o de pórtico espacial, mas que tem trazido

resultados satisfatórios na análise estrutural de edifícios, é o modelo de pórtico plano. Neste, as

vigas e pilares em um determinado alinhamento são consideradas de forma integrada, o que

torna desnecessário a idealização da vinculação entre esses dois elementos. Os esforços são,

assim, distribuídos nos elementos naturalmente conforme a rigidez. Esse método, no entanto,

não permite a consideração dos esforços de torção. A Figura 2-a mostra a estrutura real, a Figura

2-b mostra a mesma idealizada por um modelo de pórtico espacial e as Figuras 2-c e 2-d

mostram, respectivamente, a discretização em modelos de grelha e pórtico plano.

Figura 2 - a) Estrutura real, b) modelo de pórtico espacial e discretização em modelo de c)

grelha e d) pórticos planos.

Fonte: Martha (2017).

a) b)

d) c)

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Segundo Leet et al. (2010), os pórticos são elementos estruturais compostos por vigas e

colunas conectadas ou não em suas extremidades, como exemplificado na Figura 3. Como

possuem componentes de rigidez à flexão e axial, o mesmo pode ser utilizado para modelar

vigas e treliças. Nos pórticos planos só é possível considerar forças que atuam nestes e

momentos em torno do eixo normal, fato que inviabiliza a consideração dos esforços de torção.

Figura 3 - Pórtico plano típico.

Fonte: Autoria própria (2017).

O pórtico plano é um dos modelos mais utilizados na análise de estruturas reticuladas

devido baixo grau de complexidade de implementação e compreensão dos resultados e por não

apresentar perdas significativas de representatividade da estrutura real. Em virtude da

possibilidade de análise de esforços de compressão, cortantes e de flexão, os pórticos se tornam

elementos abrangentes com aplicação quase ilimitadas. De acordo com Fontes (2005), esse

modelo tem sido muito empregado na análise do comportamento dos edifícios frente às ações

horizontais, tendo em vista que é possível associar diferentes pórticos em uma mesma direção

por meio de barras articuladas na extremidade que simulam o comportamento de diafragma

rígido das lajes, conforme Figura 4.

20

Figura 4 – Associação de pórticos planos para análise de cargas horizontais.

Fonte: Fontes (2005).

Martha et al. (2017) afirma que as ligações entre as barras de um pórtico são

consideradas ligações perfeitamente rígidas, exceto em situações onde são determinadas

liberações dessas ligações (articulação rotulada). Logo, quando não há uma especificação

quanto à rigidez da ligação, os esforços de flexões podem ser transmitidos para os elementos a

eles ligados, resultando em momentos fletores (M), esforços normais (N) e esforços cortantes

(V), conforme ilustrados na Figura 5.

Figura 5 - Esforços internos de um elemento pórtico plano.


2.2. MÉTODOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

Os esforços internos são decorrentes da tentativa do corpo em manter sua integridade.

Sendo assim, são reações internas que devem ser suficientes para equilibrar as solicitações

externas sem que ocorra nenhum dano aos mesmos (MCCORMAC, 2009). Os diagramas de

esforços internos descrevem o comportamento da estrutura através de um mapeamento dos

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esforços desenvolvidos no interior do elemento, permitindo ao projetista a identificação da

intensidade dos esforços, o sentido e os pontos onde seus valores máximos são desenvolvidos.

São, portanto, imprescindíveis para o projeto da estrutura.

Quando as estruturas são isostáticas, as ações externas e, por conseguinte, os esforços

internos podem ser determinados simplesmente aplicando as condições de equilíbrio. Quando

a estrutura é hiperestática, o número de reações (externas ou internas) é superior ao número de

equações de equilíbrio, fato que torna a estrutura estaticamente indeterminada, sendo

necessário, para sua solução, recorrer às condições de compatibilidade dos deslocamentos para

sua resolução.

Na análise de estruturas hiperestática, comumente são utilizados dois métodos para

obtenção dos esforços nos elementos: o Método das Forças (ou Método da Flexibilidade) e o

Método dos Deslocamentos (ou Método da Rigidez). De acordo com Martha (2017), os

métodos se diferenciam pela ordem em que as condições básicas de um sistema estrutural são

atendidas (condições de equilíbrio, condições de compatibilidade dos deslocamentos e

deformações, e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais).

No Método das Forças, as redundantes hiperestáticas desconhecidas (reações de apoio

em excesso) são obtidas mediante a aplicação das condições de compatibilidade dos

deslocamentos associados a estas. Consiste na realização da soma de uma série de soluções

básicas de elementos isostáticos que, apesar de satisfazerem as condições de equilíbrio, não

oferecem uma solução que a torne compatível com a estrutural original.

No Método dos Deslocamentos, os deslocamentos em pontos da estrutura são

determinados por meio do restabelecimento das condições de equilíbrio na superposição das

soluções básicas que, isoladamente, não as satisfaziam. A abordagem matricial do Método dos

Deslocamentos é chamada de Método da Rigidez Direta. Segundo Kassimali (2012), o método

dos deslocamentos é o mais ordenado e tem por vantagem a possibilidade de implementação

computacional mais simples e fácil, sendo preferido para a análise de estruturas maiores e com

maior grau de hiperestaticidade.

2.2.1. Método dos elementos finitos aplicado a pórticos planos

Na análise linear de estruturas reticuladas, a resolução da estrutura recai em equações

diferenciais ordinárias com soluções fechadas, cujo tratamento analítico já está muito bem

consolidado. Aumentando a complexidade da estrutura com relação à geometria, ao

comportamento mecânico do material ou às condições de contorno, as soluções exatas passam

22

a ser de difícil aquisição ou, muitas vezes, nem existem. Por exemplo, o tratamento analítico de

uma placa retangular simplesmente apoiada em seu contorno recai em uma equação diferencial

parcial de quarta ordem cuja solução é complexa e restrita a poucos casos particulares. Caso

essa placa contenha um furo ou uma geometria irregular, não será possível determinar uma

solução exata para ela. Antes, a alternativa para prever o comportamento desses problemas de

natureza mais complexa era realizar um estudo empírico do fenômeno.

Com o advento e difusão dos computadores, os métodos numéricos, que possuem uma

sistemática boa para implementação computacional e fornecem resultados com uma

aproximação aceitável, ganharam espaço e têm sido aplicados com sucesso na resolução de

problemas estruturais. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é hoje em dia uma das

metodologias numéricas mais populares na resolução de problemas de análise estrutural

(CASTRO, 2009). Grande parte dessa popularidade e generalização de utilização se dá em

virtude da sua robustez e relativa simplicidade conceitual e de implementação computacional.

Embora sua principal aplicação seja na análise estrutural, o MEF é aplicado em diversas áreas

da ciência.

A incógnita primária de um problema de estruturas é o deslocamento. As demais

grandezas (deformações, tensões e esforços internos) podem ser obtidas por relações

cinemáticas exatas. No Método dos Elementos Finitos (MEF), adota-se uma função de

aproximação para os deslocamentos que seja admissível (contínua e diferenciável), assim como

é feito no Método de Rayleigh-Ritz. Entretanto, diferentemente deste último, no MEF um

sistema contínuo é transformado em discreto por meio da divisão do domínio de integração em

um número finito de elementos (Figura 6), e a resposta do sistema é determinada para cada

subdomínio.

Figura 6 – Discretização de uma estrutura contínua em um número finito de elementos.


23

A partir dos deslocamentos nodais, os deslocamentos no interior do elemento podem ser

interpolados. Dessa maneira, a convergência pode ocorrer de duas maneiras: redução do

tamanho do elemento ou aumento do grau do polinômio de interpolação. O Método de

Rayleigh-Ritz, no qual o MEF herda a premissa, garante que se a função de interpolação

contiver o campo de deslocamentos da estrutura, a solução do método convergirá para a solução

exata. O MEF é o método de análise estrutural mais empregado no mundo atualmente.

2.2.1.2. Elemento finito de Barra

A formulação para um elemento de uma barra é considerada por muitos como sendo a

mais trivial dentre as formulações dos demais elementos, uma vez que está possui apenas

componentes de rigidez axial. Assim, nesse elemento serão considerados um grau de liberdade

por nó, conforme a Figura 7.

Figura 7 - Elemento finito de barra.


De acordo com o princípio da energia potencial total estacionária (PEPTE), o equilíbrio

é garantido quando o campo de deslocamentos (u) extremiza a energia potencial (Π) (COOK et

al, 2012). Sendo assim, a estrutura estará em equilíbrio quando:

0

u

Π. (1)

A energia potencial pode ser escrita na forma:

ne

i

ne

i

VeUeΠ11

(2)

sendo:

ne = Número de elementos;

Ue = Energia de deformação interna;

Ve = Energia potencial das cargas externas.

24

Já a energia de deformação interna pode ser dada por:

V

L

e dxEAdVEU0

22

2

1

2

1 (3)

em que E é o módulo de elasticidade longitudinal, A é a área da seção transversal e é

deformação linear. Esta última, para pequenos deslocamentos, pode ser vista como a taxa de

variação do deslocamento em relação ao comprimento, que, matematicamente é expresso como:

dx

du . (4)

Conhecidos os deslocamentos nodais, pode-se obter os deslocamentos no interior do

elemento através de uma função de interpolação aproximada. Para esse problema, a função não

pode ser constante, pois levaria à energia potencial nula. Sendo assim, realizando uma

interpolação linear (Figura 8), tem-se:

211 uL

xu

L

xu

; (5)

2211 NuNuu . (6)

Escrevendo na forma matricial, tem-se:

2

1

21u

uNNu ; (7)

eu uN (8)

em que N1 e N2 são funções de interpolação, conhecidas também como funções de forma, N é

a matriz formada por estas e ue o vetor dos deslocamentos nodais do elemento.

Figura 8 - Interpolação linear dos deslocamentos para elementos de barra.


Então, a deformação linear pode ser escrita da seguinte forma:

25

2

1

,2,122

11

u

uNNu

dx

dNu

dx

dN

dx

duxx ; (9)

euB (10)

sendo N1,x a derivada da função N1 em relação a x, N2,x a derivada da função N2 em relação a x,

e B é matriz que transforma deslocamentos em deformação, dado pelas derivadas das funções

de forma. Efetuando as derivações, B pode ser expresso por:

LLNN xx

11,2,1B . (11)

Agora, a energia de deformação interna pode ser reescrita na forma:

L

te dxEAU

02

1 ; (12)

e

Ltt

ee dxEAU uBBu

02

1; (13)

ee

t

eeU uKu2

1 (14)

sendo Ke a matriz de rigidez do elemento, dada por:

dxEAL

te BBK 0

. (15)

Para EA constante, tem-se:

BBBBK tL

te EALdxEA 0 ; (16)

LL

L

LEALe

111

1

K ; (17)

11

11

L

EAeK . (18)

Para um sistema conservativo, a energia potencial das cargas externas deve ser igual ao

oposto do trabalho das forças externas. Considerando duas forças, f1 e f2, aplicada nos nós no

sentido dos graus de liberdade do elemento (Figura 9), Ve pode ser expressa por:

e

t

eef

fuufufuV fu

2

1

212211 (19)

onde fe é o vetor das forças externas aplicadas sobre os nós do elemento.

26

Figura 9 - Elemento finito sujeito a esforços axiais nodais.


Finalmente, a energia potencial pode ser dada por:

e

t

eee

t

eΠ fuuKu 2

1. (20)

Aplicando a condição de equilíbrio da Equação (1), resulta

0

eee

u

ΠfuK ; (21)

eee uKf . (22)

Dessa forma, a resolução do problema é feita determinando os deslocamentos nodais

que satisfazem o sistema de equações de equilíbrio expresso na Equação (22).

2.2.1.3. Elemento finito de viga

A formulação para o elemento de viga descrita a seguir segue a teoria clássica da viga

de Bernoulli, que assume:

As seções planas permanecerão planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da

viga após a deformação;

As tensões na direção perpendicular ao eixo da viga são desprezíveis;

Os deslocamentos e rotações são pequenas;

O efeito de Poisson pode ser desprezado;

Não se consideram os efeitos de cisalhamento.

Partindo dessas hipóteses, as rotações (θ) serão dadas pela derivada dos deslocamentos

(v) em relação a x (θ = dv/dx = v,x). Nesse caso, a equação diferencial de equilíbrio da viga de

Bernoulli pode ser dada pela relação momento (M) vs curvatura (κ) na forma:

EI

M

r

1 (23)

onde r é o raio de curvatura e I o momento de inércia à flexão.

Matematicamente, a curvatura pode ser dada por (Hibbeler, 2010):

27

2/3)²/(1

²/²

dxdv

dxvd

. (24)

Considerando pequenas rotações (θ = du/dx << 1), tem-se a curvatura linearizada dada por:

xxvdx

vd,2

2

. (25)

As vigas, em geral, estão sujeitas a momentos fletores e esforços cortantes. Sendo assim,

só serão considerados deslocamentos transversais e rotações no elemento. Dessa maneira, cada

nó possui dois graus de liberdade, conforme a Figura 10.

Figura 10 - Esforços atuantes em um elemento de viga.

Fonte: Autoria própria (2017)

Como os esforços cortantes são negligenciados na teoria de Bernoulli, a energia de

deformação interna para um elemento de viga pode ser expressa na forma:

VV

e dVyEdVEU 22 )(2

1

2

1 ; (26)

dxIEUdxdAyEUL

e

A

L

e

0

2

0 2

1

2

1 ; (27)

dxvEIUL

xxe 0

2,

2

1. (28)

Para um elemento de viga, não é possível fazer uma interpolação linear dos

deslocamentos como feito para uma barra com carga axial, tendo em vista que a energia seria

nula. Além disso, como a rotação é a derivada dos deslocamentos, a função que representa este

último deve ter a continuidade das suas derivadas também asseguradas (continuidade C1). Dessa

forma, será adotado um polinômio de grau 3 para interpolar os deslocamentos no interior do

elemento, na forma:

DCxBxAxv ²³ ; (29)

CBxAxv x 2²3, . (30)

Quando x = 0, v(0) = v1 e (0) = 1, o que leva a:

28

Dv 1 ; (31)

C1 . (32)

Já quando x = L, v(L) = v2 e (L) = 2, resultando em:

DLCLBLAv 232 ; (33)

CLBLA 2²32 . (34)

Substituindo (29) e (30) em (31) e (32), resulta:

12

1123

2

2²3

LBLA

vCLBLAv. (35)

Resolvendo o sistema para A e B, chega-se a:

32121 22

L

LLvvA

; (36)

22121 233

L

LLvvB

. (37)

Substituindo A, B, C e D na função para os deslocamentos, resulta em:

L

x

L

x

L

x

L

xv

L

x

L

xx

L

x

L

xvv

2

2

3

22

2

3

3

2

2

2

3

13

3

2

2

1

322231 ; (38)

42322111 HHvHHvv (39)

sendo, H1, H2, H3 e H4 as funções de forma, também chamadas de polinômio de Hermite. Na

forma matricial, tem-se:

evv

v

HHHHv uN

2

2

1

1

4321

. (40)

A curvatura linearizada pode, assim, ser escrita em função dos deslocamentos nodais:

2,42,31,21,1, xxxxxxxxxx HvHHvHv ; (41)

2

2

1

1

,4,3,2,1

v

v

HHHH xxxxxxxx ; (42)

euB . (43)

Nesse caso, B é a matriz que transforma os deslocamentos em curvatura, dada pela segunda

derivada das funções de forma. Sendo assim:

29

32'13

2

2'1

12666

L

x

LH

L

x

L

xH xxx ; (44)

23'223

2

'2

61266

LL

xH

L

x

L

xH xxx ; (45)

LL

xH

L

x

L

xH xxx

46432'32

2

'3 ; (46)

LL

xH

L

x

L

xH xxx

26232'42

2

'4 ; (47)

LL

x

LL

x

LL

x

L

x

L

2646

²

6

³

12

³

12

²

622

B (48)

Então, a energia de deformação interna pode ser reescrita na forma:

L L

te dxEIdxEIU

0 0

2

2

1

2

1 ; (49)

ee

t

eee

Ltt

ee UdxEIU uKuuBBu2

1

2

10

(50)

sendo Ke a matriz de rigidez do elemento, dada por:

L

te dxEI

0BBK . (51)

Para EI constante:

L

te dxEI

0BBK ; (52)

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

EIe

/4/6/2/6

/6/12/6/12

/2/6/4/6

/6/12/6/12

22

2323

22

2323

K . (53)

Para um elemento sujeito a cargas nodais externas no sentido dos graus de liberdade

(Figura 11), o trabalho das forças externas pode ser dado por:

22221111 MvVMvVwext ; (54)

2

2

1

1

2211

M

V

M

V

vvwext ; (55)

eeextw fu (56)

onde fe é o vetor das forças nodais externas.

30

Figura 11 - Elemento finito sujeito a cargas nodais.


Para um elemento sujeito a um carregamento distribuído uniformemente (Figura 12), o

trabalho das forças externas pode ser escrito por:

L

ext dxvqW0

. (57)

O sinal indica que o carregamento está no sentido contrário aos graus de liberdade. Escrevendo

o campo de deslocamentos em função dos deslocamentos nodais, tem-se:

ee

Lt

eext dxqW 0

0

fuNu

(58)

sendo f0 o vetor das cargas nodais equivalentes consistentes, dado por

L

T dxq0

0 Nf ; (59)

dx

N

N

N

N

qL

e

0

4

3

2

1

0f ; (60)

12

2

12

²2

0

qL

qL

qL

qL

ef . (61)

Figura 12 - Elemento sujeito a carga uniformemente distribuída.

Fonte: Autoria própria (2017)

31

Como Ve = -Wext, tem-se:

e

t

ee

t

eeV 0fufu . (62)

Logo:

eeeeeee 02

1fufuuKu ttt . (63)

Aplicando a condição de equilíbrio:

00 0

eeee

u

ΠffuK ; (64)

eeee 0ffuK . (65)

Portanto, para a resolução do problema de vigas basta determinar os deslocamentos

nodais que satisfazem o sistema de equações de equilíbrio expresso na Equação (65).

2.2.1.4. Elemento finito de pórtico plano

Fisicamente, o elemento de pórtico plano nada mais é do que a junção do elemento de

viga com o elemento de barra, podendo estar sujeito a deslocamentos axiais, transversais e

rotacionais (Figura 13). Assim sendo, a matriz de rigidez de um elemento de pórtico pode ser

dada apenas como a soma das matrizes de rotação dos dois elementos até aqui explanados,

conforme pode ser visto na Equação (66)

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

4

²

60

2

²

60

²

6

³

120

²

6

³

120

0000

2

²

60

4

²

60

²

6

³

120

²

6

³

120

0000

K . (66)

Figura 13 - Deslocamentos nas extremidades de um elemento pórtico.


32

Estes elementos possuem como particularidade a possibilidade de poderem assumir

qualquer direção no plano. Como um nó pode ser comum a dois elementos, é necessário que

haja uma compatibilidade dos deslocamentos destes. Sendo assim, na montagem da estrutura,

é necessário que os deslocamentos do sistema de coordenadas do elemento (sistema local)

sejam decompostos no sistema de coordenadas da estrutura (global).

Figura 14 - Elemento de Pórtico inclinado no plano.

Fonte: Assis e Bezerra (2017).

Os deslocamentos nodais no sistema local podem ser expressos em termos dos

deslocamentos no sistema global na forma:

Chamando cosα de c, senα de s e rearranjando as equações acima na forma matricial,

resulta:

eev

u

cs

sc

v

u

uTu

100

0

0

(70)

sendo T a matriz de rotação que transforma os deslocamentos no sistema global para o sistema

local.

Expandindo para um elemento com dois nós, tem-se:

sencos vuu (67)

sencos uvv (68)

(69)

33

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

100000

0000

0000

000100

0000

0000

v

u

v

u

cs

sc

cs

sc

v

u

v

u

(71)

De forma análoga ao que foi feito para os deslocamentos, o vetor das forças no sistema

local pode ser transformado para o sistema global fazendo:

fTf t (72)

A equação de equilíbrio pode ser escrita no sistema local na forma:

uKf (73)

Sendo assim:

uTKTuKTfTf ttt (74)

Kuf (75)

onde:

TKTK t (76)

De posse dos deslocamentos nodais, os deslocamentos no interior do elemento podem

ser obtidos a partir da Equação (39). Para o deslocamento total, no entanto, é necessário levar

em consideração o deslocamento decorrente do carregamento distribuído. Assim, o

deslocamento total no interior do elemento será dado pela soma do deslocamento decorrente

dos deslocamentos nodais com o deslocamento decorrente do carregamento externo. Para obter

este, é necessário definir a equação que descreve o carregamento distribuído, que, para uma

carga trapezoidal q(x) (Figura 15), é dada por:

112 )(

)( qxL

qqxq

(77)

Figura 15 – Elemento sujeito a um carregamento trapezoidal.


De acordo com Hibbeler (2010), o carregamento se relaciona com os esforços internos

na forma:

34

dx

xdVxq

)()( (78)

2

2 )()(

dx

xMdxq (79)

Dessa maneira, a equação diferencial de equilíbrio de uma viga de Bernoulli, expressa

na Equação (23), pode ser escrita:

)(4

4

xqdx

dEI

. (80)

Substituindo a Equação (77) na Equação (80) e integrando 4 vezes em relação a x,

resulta:

L

xLxLxqxLxLxLxqx

120

)23()375()(

233252

2332451

DxCxBxA 23 .

(81)

Para x = 0:

Dv 1)0( ; (82)

C 1)0(' . (83)

Para x = L:

21123)( vvLBLALL ; (84)

212 23)(' BLALL . (85)

Resolvendo o sistema para A e B, chega-se a:

32121 22

L

LLvvA

; (86)

22121 233

L

LLvvB

. (87)

Portanto, o deslocamento no interior do elemento pode ser descrito por:

)(120

)23()375()(

233252

2332451 xv

L

xLxLxqxLxLxLxqx

(88)

sendo v(x) obtida pela Equação (39) a partir das funções de forma.

A expressão que descreve o momento fletor no interior do elemento da Figura 11 pode

ser obtida de forma análoga à feita para os deslocamentos. Substituindo a Equação (77) na

Equação (79) e integrando 2 vezes em relação a x, resulta:

BAxL

xq

L

xxqxM

662)(

3

2

32

1 (89)

Em x = 0:

35

1MB (90)

Em x = L:

1VA (91)

Sendo assim:

xVML

xq

L

xxqxM 11

3

2

32

1662

)(

(92)

Como V(x) = dM(x)/dx, a expressão que descreve o esforço cortante no interior do

elemento pode ser dada por:

1

2

2

2

122

)( VL

xq

L

xxqxV

(93)

36

3. ESTRUTURAÇÃO DO APLICATIVO

Nesta etapa, serão discutidos todos os processos de desenvolvimento e estruturação da

plataforma HAND Strucure, com foco na ferramenta ANA-WEB que podem ser divididos em

duas codificações, front-end e back-end, uma responsável pela interface e interação do usuário

com a plataforma e o outro responsável pela funcionalidade e funções matemáticas.

3.1. INTERFACE GRÁFICA (FRONT-END)

Utilizando a linguagem HTML, aliado a um arquivo em CSS, foi possível desenvolver

a interface de interação do usuário com a plataforma. A primeira página desenvolvida, página

Home, tem por função apresentar um pouco a plataforma ao usuário. Nesta, está incorporada

uma tag de slide interativo, com imagens e informações do sistema e um menu de acesso a

outras páginas. A aba Hand-Library contém algumas ferramentas computacionais (planilhas do

Microsoft Excel®, aplicativos para android, etc.) que estão sendo desenvolvidas com intuito de

auxiliar alunos e engenheiros no tratamento de problemas estruturais. Já a aba ANA-WEB dá

acesso ao ambiente de análise estrutural de pórticos planos inteiramente online. A Figura 16

ilustra página inicial da plataforma HAND.

Figura 16 - Página inicial da plataforma HAND.


Na aba ANA-WEB, o usuário se depara com uma viewport gráfica de exposição da

estrutura e um menu de inserção de dados da mesma. Esta página pode ser vista na Figura 17.

Para a criação do ambiente gráfico de exposição das estruturas, foi utilizado o elemento canvas,

37

elemento gráfico nativo na linguagem de marcação HTML a partir da versão 5.0, tornando

desnecessário a implementação de um plugin para utilizar tal elemento. Todavia, este elemento

pode ser considerado como um receptáculo para a renderização dos gráficos, funcionando

apenas como uma lona de desenho manipulada via JavaScript, exigindo assim que todos os

gráficos sejam pré-configurados a partir de um script de programação no próprio arquivo

HTML ou um arquivo JavaScript previamente programado. Ainda na primeira seção visível,

foram previstos botões com funções de interação com o elemento canvas. Estes possuem as

funções de movimento da viewport, zoom e download do elemento gráfico desenhado.

Figura 17 - Ambiente ANA-WEB.


Uma segunda área foi implementada com uma barra de navegação com todas as funções

de entrada da estrutura. Nesta, seis botões possibilitam a navegação entre submenus de inserção

de dados. As opções do menu podem ser observadas na Figura 18.

Figura 18 - Botões funções de submenus.


38

A aba de manipulação de nós (1) possui um layout intuitivo. Através desta, o usuário

conta com a possibilidade de inserção dos nós da estrutura através das suas coordenadas

cartesianas. A ferramenta permite, ainda, que o nó seja editado e apagado, caso necessário.

Inseridos os nós, na sessão de manipulação de barras (2), o usuário pode definir o elemento a

partir da seleção dos nós que o define. Para tanto, os mesmos são mapeados e recebem uma

numeração automaticamente pelo sistema que pode ser acompanhada na área gráfica e na tabela

de inserção localizada na aba anterior. A Figura 19 apresenta as abas de manipulação de nó e

barra.

Figura 19 - Aba de a) manipulação de nós e b) de manipulação de barras.


A próxima aba é a de inserção de apoios (3). Nesta, o usuário se depara com uma área

de acompanhamento dos nós inseridos e, logo abaixo, uma região de características dos apoios,

que podem ser rígidos ou flexíveis. Contudo, nessa versão do software, apenas a opção de

apoios rígidos foi implementada.

A definição do apoio é feita mediante a indicação do grau de liberdade que será restrito

no nó. Feito isso, a rotina de exposição gráfica da estrutura analisa a opção selecionada pelo

usuário e retorna à representação gráfica do apoio selecionado. A aba de inserção dos apoios e

as representações gráficas dos mesmos são mostradas, respectivamente, nas Figuras 21 e 22.

a) b)

39

Figura 20 - Seção de inserção de apoios


Figura 21 - Representação gráfica de apoios.

Representação de Pino

Representação de Rolete X

Representação de Rolete Y

Representação de Rolete X c/ rotação restrita

Representação de Rolete Y c/ rotação restrita

Representação de Placa

Representação de Engaste

Representação de Rótula


Na aba (4), o usuário pode inserir as forças e momentos atuantes nos nós e o

carregamento sobre as barras. As forças e momentos concentrados nos nós são inseridos na

40

direção dos eixos globais (fx, fy, Mz), enquanto as cargas distribuídas devem ser inseridas no

sentido do eixo local do elemento, ou seja, a inserção se dá com qx paralelo ao elemento e qy

perpendicular ao mesmo. O design deste menu pode ser observado na Figura 22.

Figura 22 - Seção de inserção de esforços externos.


Na aba (5), manipulação da geometria (Figura 23), há uma lista de seções mais comuns

cadastradas. Ao selecionar uma destas, um algoritmo restringe ou libera as opções de inserção

de dados adequadas para cada seção, e, a partir desses dados, uma rotina de cálculo expõe a

área e o momento de inércia à flexão para essa geometria. Contudo, caso o usuário possua uma

seção transversal diferente das cadastradas, é permitido ainda que o mesmo selecione uma

“seção genérica” e insira a área e momento de inércia desta. Ao inserir tais dados, um botão

localizado abaixo das configurações possibilita que o usuário insira essas características a um

elemento específico ou a todos os elementos que compõem a estrutura, sendo possível

acompanhar as características de cada elemento em uma área de fácil acesso por meio do menu

de navegação localizado acima.

41

Figura 23 - Seção de propriedades geométricas.


O último elemento da barra de navegação encaminha o usuário para a seção de

configuração dos materiais que compõem os elementos da estrutura (Figura 24). Neste ambiente

o usuário deve fornecer o módulo de elasticidade longitudinal do material. Uma lista permite

que o usuário selecione um elemento específico da estrutura para atribuir a configuração ou, se

preferir, pode atribuir em todos os elementos da estrutura de uma única vez.

Figura 24 - Seção de propriedades dos materiais.


42

Visando a utilização em diversos dispositivos, repositórios (rotinas com programações

específicas para dispositivos mobile) foram implementados para a ferramenta apresentar um

layout mais adequando quando esta é iniciada em um dispositivo móvel. A interface

implementada no responsive pode ser vista na Figura 25.

Figura 25 - ANA-WEB em dispositivo mobile.


3.2. FUNCIONALIDADES (BACK-END)

Ao clicar no botão de cálculo, o usuário estará executando o código de funções

matemáticas da plataforma ANA-WEB. O algoritmo coleta todos os dados inseridos pelo usuário

e os armazena em variáveis, utilizando-as posteriormente quando necessário.

Após a aquisição dos dados é criada uma matriz com dimensões de linhas e colunas

igual a três vezes o número de nós existentes na estrutura. Essa matriz, ainda com valores

zerados, será a matriz de rigidez global da estrutura. Em seguida, a matriz de rigidez de cada

elemento no sistema local é gerada e transformada para o sistema global. Feito isso, a matriz de

rigidez de cada elemento tem seus coeficientes rastreados e alocados na matriz de rigidez da

estrutura de acordo com a identificação de cada nó (Figura 26). O algoritmo identifica os graus

de liberdade restritos na estrutura e anula a linha e coluna referente a esse grau de liberdade na

matriz de rigidez da estrutura.

43

Figura 26 – Espalhamento de matrizes de rigidez locais para a matriz de rigidez global.


A partir da matriz global da estrutura montada anteriormente, do vetor das forças

externas fornecido e dos esforços de engastamento perfeito no sistema global, foi implementado

o método de eliminação de Gauss para solucionar o sistema linear de equações de equilíbrio e

determinar os deslocamentos nodais no sistema global. De posse destes, as forças nodais no

sistema global (que incluem as reações de apoio) são determinadas. Estes, por sua vez, são

transformados para o sistema local, obtendo, dessa forma, os esforços internos nos nós do

elemento. Efetuando uma interpolação a partir dos valores nodais, os esforços internos em

qualquer ponto no interior do elemento pode ser o obtido e expostos graficamente para o

usuário. Os diagramas contam ainda com uma ferramenta para alterar a escala de visualização.

Após o cálculo e geração dos diagramas de esforços internos, a rotina de exposição da

estrutura deformada é iniciada. Todavia, em virtude da impossibilidade de plotagem de uma

equação no elemento canvas, para a exposição desta deformada, calcula-se o valor da

44

deformação em 15 pontos no interior do elemento e estes são conectados por retas, formando a

aproximação do comportamento da estrutura em seu estado deformado.

Os resultados obtidos poderão ainda ser exportados em formato txt e importados quando

a análise quiser ser retomada. Dessa maneira, o usuário poderá salvar os seus modelos e

manipulá-los quando desejar. Todo o processo descrito até aqui pode ser avaliado no

fluxograma na Figura 27 e é realizado de forma quase instantânea.

Figura 27 - Fluxograma do algoritmo.

Fonte: Autoria própria, 2017.

45

4. APLICAÇÕES NUMÉRICAS

Objetivando validar e destacar a eficiência do HAND ANA-WEB, este capítulo mostra a

aplicação do programa em exemplos que serão comparados com o Ftool e com uma solução

manual. Com o intuito de demonstrar o potencial de aplicação do software, serão analisados

dois exemplos: um elemento de viga isostática e um pórtico plano hiperestático.

4.1. EXEMPLO 1

Para o primeiro exemplo, a resolução de um problema de viga isostática presente em

Hibbeler (2010) será comparada com a fornecida pelo HAND ANA-WEB. O problema proposto

consiste em determinar as reações de apoio e os diagramas de momento fletor e esforço cortante.

As características do problema e sua solução são apresentados na Figura 28. Válido se faz

lembrar que em Hibbeler (2010) o diagrama de momento fletor é traçado no sentido invertido

ao convencionado no Brasil, que é o sentido adotado pela ferramenta. Para melhorar a

comparação, a Figura 28 traz o diagrama obtido em Hibbeler (2010) já adaptado para nossa

convenção (momento negativo para cima e positivo para baixo).

Figura 28 - Viga sujeita a uma carga distribuída, diagrama de esforços cortantes e diagrama de

momento fletor (Exemplo 1).

Fonte: Adaptado de Hibbeler (2012).

46

A Figura 29 apresenta a viga concebida no HAND, enquanto as Figuras 30 e 31

apresentam, respectivamente, o diagrama de esforço cortante o diagrama de momento fletor

obtidos pela ferramenta.

Figura 29 - Elemento modelado analiticamente na aplicação ANA-WEB.


Figura 30 - Diagrama de esforço cortante gerado pela plataforma ANA-WEB.


47

Figura 31 - Diagrama de momento fletor gerado pela plataforma ANA-WEB.


As reações de apoio em cada nó do elemento obtidas pela solução analítica e pela

ferramenta são evidenciadas na Tabela 1. Nota-se que os resultados foram exatamente iguais.

Tabela 1 - Comparação de reações obtidas com as condições de equilíbrio e o sistema ANA-WEB.

Nó Analítico ANA-WEB

Rx (kN) Ry (kN) Mz (kNm) Rx (kN) Ry (kN) Mz (kNm) 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2 0,00 15,31 0,00 0,00 15,31 0,00 3 0,00 2,19 0,00 0,00 2,19 0,00

4.2. EXEMPLO 2

Neste exemplo será realizada a análise de um pórtico proposto por Martha (2010), que

está ilustrado na Figura 32. Em todas as barras foram considerados: A = 5x10-3 m², I = 5x10-4

m4 e E = 2x105 kN/m². Os resultados obtidos pelo ANA-WEB serão comparados com os obtidos

pelo Ftool, uma ferramenta computacional consolidada e amplamente utilizada pela

comunidade acadêmica.

48

Figura 32 - Modelo de pórtico plano estudado.

Fonte: Assis e Bezerra (2017).

A Figura 33 mostra o modelo do pórtico concebido no Ftool e no ANA-WEB.

Figura 33 - Modelo proposto concebido no a) Ftool e no b) ANA-WEB.


Os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor obtidos pelo Ftool

e pelo ANA-WEB são apresentados, respectivamente, nas Figuras 34, 35 e 36.

Figura 34 - Diagrama de esforços normais pelo a) Ftool e b) ANA-WEB.


a) b)

a) b)

49

Figura 35 - Diagrama de esforços cortantes pelo a) Ftool e b) ANA-WEB.


Figura 36 - Diagrama de momentos fletores pelo a) Ftool e b) ANA-WEB.

Fonte: Autoria própria, 2017.

As deformadas da estrutura obtidas pelas duas ferramentas são expostas na Figura 37.

Figura 37 – Estrutura no estado deformado pelo a) Ftool e b) ANA-WEB.


a) b)

a) b)

a) b)

50

Os resultados para as reações de apoio e os deslocamentos nos nós da estrutura são

expostos nas Tabelas 2 e 3. Com base nas tabelas e nas figuras, é possível notar que os

resultados obtidos pelas duas ferramentas são iguais, o que mostra que o ANA-WEB foi

devidamente implementado e pode ser utilizado na análise linear elástica de pórticos planos

sujeitos a cargas externas.

Tabela 2 - Deslocamentos nodais do exemplo 2. Fonte: Autoria própria, 2017.

Nó Ftool ANA-WEB

ux (mm) uy (mm) θz (rad) ux (mm) uy (mm) θz (rad) 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2 1,97 -7,83e-2 -2,04e-4 1,97 -7,83e-2 -2,04e-4 3 1,87 1,02 2,57e-4 1,87 1,02 2,57e-4 4 0,00 0,00 -5,69e-4 0,00 0,00 -5,69e-4

Tabela 3 - Reações de apoio do exemplo 2. Fonte: Autoria própria, 2017.

Nó Ftool ANA-WEB

Rx (kN) Ry (kN) Rz (kNm) Rx (kN) Ry (kN) Rz (kNm) 1 -2,71 9,80 13,39 -2,71 9,80 13,39 2 -17,29 20,20 0,00 -17,29 20,20 0,00

51

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A plataforma online HAND Structures concatena um conjunto de ferramentas

computacionais, desenvolvidas no âmbito da Universidade Federal Rural do Semi-Árido, que

podem ser utilizadas para auxiliar na resolução de problemas estruturais. Nesse trabalho, um

ambiente destinado à obtenção de esforços e deslocamentos de pórticos planos, denominado

ANA-WEB, foi implementado utilizando as linguagens HTML, CSS e JavaScript. O mesmo foi

concebido com intuito de ampliar o número de ferramentas computacionais (e o acesso a estas)

que tratam da análise estrutural de pórticos planos, que é um dos modelos estruturais mais

utilizados na simulação do comportamento das estruturas.

Um pórtico plano foi proposto e os resultados para os deslocamentos e para os diagramas

de esforços solicitantes obtidos pelo Ftool, software comprovadamente eficiente no tratamento

de problemas dessa natureza, foram os mesmos obtidos pelo ANA-WEB, fato que valida as

respostas fornecidas por este. Dessa forma, o ANA-WEB se mostra como uma alternativa

eficiente para aplicação desse modelo estrutural, tanto no projeto como um recurso pedagógico,

tendo como diferencial a possibilidade de processar estruturas em um ambiente online por meio

de qualquer dispositivo com acesso à internet. Além disso, a ferramenta se mostra intuitiva e

com uma interface amigável, mostrando-se atrativa e com grande potencial de exploração. A

mesma estará disponível na página www.handstructure.com e pode ser acessada gratuitamente.

A plataforma não exige computadores de alta capacidade de processamento e não ocupa

espaço na memória dos dispositivos. A integração da plataforma com a internet permite ainda

maior flexibilidade e mobilidade na análise, uma vez que o usuário pode iniciar um estudo em

um dispositivo qualquer e facilmente migrar para outro sem a necessidade de tempo de

instalação ou download de softwares específicos.

No ANA-WEB ainda não é possível avaliar a resposta da estrutura sujeita a variações de

temperatura e com apoios elásticos. Ressalta-se, no entanto, que a ferramenta se encontra em

desenvolvimento e as funcionalidades supracitadas serão em breve implementadas. Objetiva-

se, futuramente, desenvolver funções para determinação de modos de flambagem, modos de

vibrações e frequências naturais, para permitir uma análise estrutural mais completa de pórticos

planos. Atualmente, funções para o dimensionamento de estruturas de aço, concreto armado e

estruturas de madeira sujeitas a diversos tipos de solicitações estão sendo implementas.

52

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CASTRO, L. M. S. S. Método dos elementos finitos: Análise de pórticos planos – notas de

aula, Aeist, Portugal, 2009.

COOK, R. D.; MALKUS, D. S.; PLESHA, M. E.; WITT, R. J. Concepts and Applications of

Finite Element Analysis. 4ª ed. John Wiley & Sons, 2012.

EIS, D.; FERREIRA, E. HTML5 e CSS3 com farinha e pimenta. 1ª ed. Tableless, 2012.

HIBBELER, R C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.

HIBBELER, R C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010

KASSIMALI, A. Matrix analysis of structures. 2. ed. Stamford: Cengage Learning, 2012.

LEET, K M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto

Alegre: Amgh, 2010.

MARTHA, L. F. Análise de estruturas: Conceitos e métodos básicos. 2. ed. Rio de Janeiro:

Elsevier, 2017. 569 p.

MCCORMAC, J. C. Analise Estrutural: Usando métodos clássicos e métodos matriciais. 4.

ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2009. 502 p. Tradução de: Amir Kurban.

NEVES, P. M. C. O guia prático da HTML. 1ª ed. Centro Atlântico, 2014.

SILVA, S.; Introdução ao método dos elementos finitos - notas de aula, Apostila,

Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Foz do Iguaçu, 2009, 108p.

VAZ, Luiz Eloy. Método dos elementos finitos em análise de estruturas. Rio de Janeiro:

Elsevier, 2011. 296 p.

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