UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO … · zuryell costa dutra determinaÇÃo das perdas em...

ZURYELL COSTA DUTRA

DETERMINAÇÃO DAS PERDAS EM CONCRETO

PROTENDIDO

NATAL-RN

2017

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Zuryell Costa Dutra

Determinação das perdas em concreto protendido

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de Bacharel

em Engenharia Civil.

Orientador: Professora Dr.ª Fernanda Rodrigues

Mittelbach

Natal-RN

2017

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Dutra, Zuryell Costa.

Determinação das perdas em concreto protendido / Zuryell Costa

Dutra. - 2017.

80 f.: il.

Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do

Norte, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil.

Natal, RN, 2017.

Orientadora: Profª. Drª. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. Concreto protendido - Monografia. 2. Perdas de protensão -

Monografia. 3. Pré-tração - Monografia. 4. Pós-tração -

Monografia. 5. Código computacional - Monografia. I. Mittelbach,

Fernanda Rodrigues. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.012.46

CDU 626.21

Zuryell Costa Dutra


Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Aprovado em 01 de junho de 2017:

__________________________________________________

Professora Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach

___________________________________________________

Professor Dr. José Neres da Silva Filho

___________________________________________________

Professor Dr. Rodrigo Barros

Natal-RN

2017

DEDICATÓRIA

Dedico este sonho realizado a Deus

que me criou a sua semelhança, para toda

a minha família que sempre me apoiaram,

aos meus amigos que me acompanharam

nessa jornada, que me ajudaram nos

momentos difíceis e a mulher da minha

vida, Ana Clara Fortunato, pelo apoio

incondicional em todos os momentos de

incerteza e nos novos caminhos.

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Irene Alves e José Dutra, aos meus irmãos, Zuezyo e Zenno Costa,

aos meus avós e a todos familiares pelo amor incondicional e o carinho dedicado. Além do

esforço dedicado para garantir uma boa educação. Fez a diferença nas conquistas já

alcançadas e fará toda a diferença em meu futuro.

A mulher da minha vida, Ana Clara Fortunato, por sempre ter proporcionado

carinho, companheirismo e apoio total. Pela compreensão nos momentos dedicados

exclusivamente aos estudos e por não ter medido esforços para me auxiliar nos momentos

mais difíceis.

Aos colegas e amigos de curso, com quem vivi uma etapa inesquecível durante os

últimos 5 anos, pela amizade e troca de experiências.

A professora Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach, pela prestatividade, orientação

contínua dedicadas neste trabalho e por todo apoio nas dificuldades.

A todos que forma a família CONSTEL e INCIBRA por acreditarem em mim e

darem a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos durante a graduação e por

proporcionar conhecimentos que vão além da universidade, que exemplificam a ética e

competência profissionais, a dedicação e o aprimoramento contínuos.

Aos convidados da Banca Examinadora, pela vontade em contribuir com o trabalho.

A todos os professores que contribuíram com a minha formação, especialmente pela

base sólida de conhecimentos e pela disciplina fornecidas pelo colégio de Edna, Ideal Colégio

e Curso e, principalmente, pelo IFRN (eterno CEFET-RN) em que adquirir valores dos quais

irei levar pelo resto da minha vida.

RESUMO


Devido a necessidade de otimizar os recursos naturais, busca-se a utilização de

estruturas mais esbeltas e leves, assim o concreto protendido torna-se uma solução viável,

apesar da necessidade de cuidados especiais e uma mão de obra qualificada. O

dimensionamento de estruturas protendidas é bastante trabalhoso e demorado. No presente

trabalho, elabora-se um código computacional (software) para a determinação das perdas

inerentes ao processo de aplicação de força nas situações de pré-tração e pós-tração, provendo

agilidade nos cálculos e otimizando o tempo de projeto para análise e verificação dos

resultados obtidos. Ressaltando que as perdas em pré-tração correspondem em torno de 30 %,

enquanto na pós-tração é em torno de 40% em relação a força aplicada inicialmente. Será

feito o uso da linguagem Fortran para a elaboração dos códigos, com base na NBR

6118/2014, NBR 7482/2008 e NBR 7483/2008, sendo apresentados exemplos de validação

com resultados existentes na literatura e manualmente.

Palavras-chave: Concreto protendido, perdas de protensão, pré-tração, pós-tração, código

computacional

ABSTRACT

Determination of losses in prestressed concrete

Due to the need to optimize natural resources, the use of slimmer and lighter structures

is sought, so the prestressed concrete becomes a viable solution, despite the need for special

care and a qualified workforce. The sizing of prestressed structures is quite laborious and

time-consuming. In the present work, a computational code (software) is elaborated to

determine the inherent losses to the force application process in the pre-traction and post-

traction situations, providing agility in the calculations and optimizing the design time for

analysis and verification Of the results obtained. Note that the pre-traction losses correspond

to around 30%, while in the traction it is around 40% in relation to the applied force initially.

The Fortran language will be used for the elaboration of the codes, based on NBR 6118/2014,

NBR 7482/2008 and NBR 7483/2008, being presented examples of validation with results

existing in the literature and manually.

Keywords: Prestressed concrete, loss of pretension, pre-traction, post-traction, computational

code

ÍNDICE GERAL

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 16

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .......................................................................................... 16

1.2 OBJETIVOS ................................................................................................................. 18

Objetivo geral ...................................................................................................... 18 1.2.1

Objetivo específico .............................................................................................. 18 1.2.2

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ....................................................................................... 19

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................... 20

2.1 PROTENSÃO NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ............................................................ 20

Histórico .............................................................................................................. 20 2.1.1

Conceito .............................................................................................................. 20 2.1.2

Tipos de protensão .............................................................................................. 22 2.1.3

Tensões normais.................................................................................................. 23 2.1.4

Aços de protensão ............................................................................................... 24 2.1.5

Perdas .................................................................................................................. 24 2.1.6

2.2 FORTRAN ................................................................................................................... 25

Fortran 90 ............................................................................................................ 26 2.2.1

Ponteiros ............................................................................................................. 27 2.2.2

Arranjos ............................................................................................................... 27 2.2.3

Comparação ........................................................................................................ 28 2.2.1

3 PERDAS NA PROTENSÃO ................................................................................... 30

3.1 PRÉ-TRAÇÃO ............................................................................................................. 30

Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem – Panc .......... 30 3.1.1

Perda por deformação inicial do concreto – Pe ................................................... 31 3.1.2

Perda por relaxação da armadura – Pr ................................................................ 35 3.1.3

Perda por retração do concreto – Pcs .................................................................. 37 3.1.4

Perda por fluência do concreto – Pcc ................................................................... 42 3.1.5

3.2 PÓS-TRAÇÃO ............................................................................................................. 47

Perda por atrito ao longo da armadura – Patr ...................................................... 47 3.2.1

Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem – Panc .......... 51 3.2.2

Perda por deformação imediata do concreto pelo estiramento dos cabos 3.2.3

restantes – Pe...........................................................................................................................................................................................54

Perda por relaxação da armadura – Pr ................................................................ 56 3.2.4

Perda por retração do concreto – Pcs .................................................................. 56 3.2.5

Perda por fluência do concreto – Pcc ................................................................... 56 3.2.6

4 METODOLOGIA .................................................................................................... 57

5 DESENVOLVIMENTO DO ROTEIRO DO PROGRAMA ............................... 59

5.1 DADOS DE ENTRADA .................................................................................................. 59

5.2 PROCEDIMENTO DO CÓDIGO ...................................................................................... 62

Pré-tração ............................................................................................................ 62 5.2.1

Pós-tração............................................................................................................ 64 5.2.2

5.3 DADOS DE SAÍDA ....................................................................................................... 66

6 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA (EXEMPLOS) ................................................. 70

6.1 EXEMPLO 01 .............................................................................................................. 70

6.2 EXEMPLO 02 .............................................................................................................. 73

7 CONCLUSÃO .......................................................................................................... 77

7.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ................................................................... 77

REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 78

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ............................................................................. 80

ÍNDICE DE FIGURA

Figura 1 – Modelo de uma viga ocorrendo estiramento da armadura de protensão ................. 17

Figura 2 – Viga com armadura protendida ............................................................................... 17

Figura 3 – Ponte com armadura protendida ............................................................................. 18

Figura 4 – Protensão com armadura pré-tracionada ................................................................. 22

Figura 5 – Protensão com armadura pós-tracionada ................................................................ 23

Figura 6 – Peça pré-moldada de concreto protendido (antes da liberação dos cabos

tracionados) .............................................................................................................................. 31

Figura 7 – Peça pré-moldada de concreto protendido (após da liberação dos cabos

tracionados) .............................................................................................................................. 31

Figura 8 – Protensão excêntrica na seção de concreto ............................................................. 35

Figura 9 – Atrito nos cabos dentro da bainha ........................................................................... 47

Figura 10 – Ondulação parasitas da bainha .............................................................................. 47

Figura 11 – Forças de atrito num cabo curvo ........................................................................... 48

Figura 12 – Tensão ao longo cabo antes da ancoragem (1-4-2) e após a ancoragem (3-4-2). . 52

Figura 13 – Valores de 𝜆 e 𝑋 para perfis típicos da armadura. ................................................ 54

Figura 14 - Plato Idea ............................................................................................................... 57

Figura 15 – Modelo do arquivo de entrada para pré-tração ..................................................... 59

Figura 16 – Situação A ............................................................................................................. 65

Figura 17 – Situação B ............................................................................................................. 65

Figura 18 – Situação C ............................................................................................................. 66

Figura 19 – Modelo do arquivo de saída para pós-tração......................................................... 67

Figura 20 – Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pré-tracionada ........ 68

Figura 21 – Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pós-tracionada........ 69

Figura 22 – Esquema da viga ................................................................................................... 70

Figura 23 –Posicionamento da armadura de protensão na viga protendida ............................. 73

ÍNDICE DE TABELA

Tabela 1 – Valores de 𝜓1000 (%) ........................................................................................... 36

Tabela 2 – Resultados na Pré-tração......................................................................................... 71

Tabela 3 – Comparativos das perdas na Pré-tração .................................................................. 72

Tabela 4 – Resultados na Pós-tração ........................................................................................ 74

Tabela 5 – Comparativos das perdas na Pós-tração ................................................................. 76

ÍNDICE DE QUADRO

Quadro 1: Comparação entre linguagens numa escala de melhor (10) a pior (0) .................... 28

Quadro 2: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da consistência do

concreto .................................................................................................................................... 39

Quadro 3: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente .................................... 40

Quadro 4: Idade fictícia do concreto ........................................................................................ 41

Quadro 5: Valores ∝ de em função da velocidade de endurecimento do cimento para retração

.................................................................................................................................................. 41

Quadro 6: Coeficiente de fluência rápida 𝜑𝑎 ........................................................................... 44

Quadro 7: Coeficiente 𝑠 de correlação do tipo de concreto com o crescimento da resistência

do concreto ............................................................................................................................... 44

Quadro 8: Coeficiente de deformação lenta irreversível 𝜑𝑓∞ ................................................. 44

Quadro 9: Coeficiente 𝜑1𝑐 ....................................................................................................... 45

Quadro 10: Valores ∝ de em função da velocidade de endurecimento do cimento para

fluência ..................................................................................................................................... 47

Quadro 11: Coeficientes de perda de atrito .............................................................................. 50

Quadro 12: Dados de entrada para pré-tração .......................................................................... 59

Quadro 13: Dados de entrada para pós-tração .......................................................................... 61

Quadro 14: Valores limites de tensão na pré-tração ................................................................. 62

Quadro 15: Valores limites de tensão na pós-tração ................................................................ 64

SIMBOLOGIA

SÍMBOLO SIGNIFICADO

𝐴𝑐 Área da seção bruta de concreto

𝐴𝑐ℎ Área da seção homogeneizada

𝐴𝑝 Área do aço protendido

𝜇 Coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha

𝑘 Coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não

intencionais do cabo

휀1𝑠 Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da

consistência do concreto

휀2𝑠 Coeficiente que depende da espessura fictícia da peça

𝛾 Coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente

∝ Coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do

cimento

𝛽𝑠(𝑡; 𝑡0) Coeficiente relativo à retração ao instante de tempo 𝑡, 𝑡0

𝜑 Coeficiente de fluência

𝜑𝑎 Coeficiente de deformação rápida

𝜑𝑓∞ Coeficiente de deformação lenta irreversível

𝛽𝑓(𝑡; 𝑡0) Coeficiente relativo à fluência irreversível

𝛽𝑑 Coeficiente relativo à fluência reversível

𝜑1𝑐 Coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U e da

consistência do concreto

𝜑2𝑐 Coeficiente dependente da espessura fictícia

휀𝑎ç𝑜 Deformação do aço, por ocasião do estiramento

휀𝑐𝑠 Deformação específica de retração do concreto ao nível da

armadura, no tempo considerado

휀𝑐𝑐𝑎 Deformação rápida irreversível, primeiras 24 horas

𝑑 Deslocamento do ponto de ancoragem/acomodação

휀𝑐𝑐𝑓 Deformação lenta irreversível (umidade, consistência, espessura,

idade)

휀𝑐𝑐𝑑 Deformação lenta reversível, depende apenas da duração do

carregamento

휀𝑐𝑐,𝑡𝑜𝑡 Deformação total do concreto

𝛿 Escorregamento/acomodação na ancoragem

ℎ𝑓𝑖𝑐 Espessura fictícia

𝑒𝑝 Excentricidade da força de protensão 𝑃0 em relação ao centro de

gravidade da seção homogeneizada

𝑃𝑎 Força na armadura de protensão no imediatamente anterior à sua

liberação das ancoragens externas

𝑃𝑖 Força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento

de tração

𝑡0 Idade fictícia do concreto no instante em que o efeito de retração e

fluência começa a ser considerado

𝑡 Idade fictícia do concreto no instante considerado

𝑛 Número de cabos

𝐸𝑐 Módulo de elasticidade do concreto

𝐸𝑝 Módulo de elasticidade do aço

𝐼ℎ Momento de inércia

𝐸𝑐,28 Módulo de elasticidade tangente inicial para 28 dias

𝜇𝑎𝑟 Parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato

com o ar

Δ𝑡𝑒𝑓,𝑖 Período em dias, durante o qual a temperatura média diária do

ambiente, 𝑇𝑖 pode ser admitida constante

Δ𝜎𝑃𝑟(𝑡; 𝑡0) Perda de tensão por relaxação pura desde o instante 𝑡0 do

estiramento da armadura até o instante 𝑡 considerado

𝑋 Posição aonde a perda de tensão é nula

휀 Perda de deformação média até X

𝛼𝑝 Razão modular

∑ 𝛼 Soma dos ângulos de desvios previstos, no trecho compreendido

entre as abcissas 0 e x da peça

𝜎𝑃𝑖 Tensão na armadura de protensão aplicada pelo equipamento de

tração

𝜎𝑃𝑜 Tensão na armadura de protensão (𝑡 = 𝑡0)

𝜎𝑐𝑔 Tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à

carga permanente mobilizada pela protensão

𝜎𝑐𝑝 Tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à

protensão simultânea de todos os cabos

∆𝜎𝑃 Variação da tensão da armadura de protensão

16

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações iniciais

O concreto de cimento Portland é um material obtido a partir da mistura de areia,

pedra britada, cimento Portland e água. A mistura destes componentes varia de acordo com a

necessidade de desempenho mecânico requerido, como características, possui uma alta

resistência às tensões de compressão, todavia uma baixa resistência às tensões de tração

(variando de 8 a 15% da resistência à compressão).

Pela necessidade de estruturas viáveis economicamente solicitadas, a tração, surgiu o

concreto armado que, segundo a NBR 6118/2014, possui um comportamento estrutural

dependente da aderência entre o concreto e armadura, nos quais não se aplicam alongamentos

iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência.

Com a industrialização da construção civil houve a busca por estruturas mais

esbeltas, com um alto desempenho e um menor consumo. Desenvolveu-se então, o uso do

concreto protendido que, de acordo com a NBR 6118/2014, é assim definido:

Concreto protendido é o concreto armado em que as armaduras são previamente

alongadas por equipamentos especiais de protensão, com a finalidade de, em

condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da

estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência

no estado-limite último (ELU).

Segundo PFEIL (1984) este artifício permite utilizar o concreto com maior

eficiência, pois desloca a faixa de trabalho do concreto para o âmbito das compressões, onde o

material apresenta boa resistência.

Na Figura 1 é possível visualizar um modelo de uma viga na qual ocorre estiramento

da armadura protendida, enquanto na Figura 2 e na Figura 3 são ilustrados alguns exemplos

de estruturas protendidas.

17

Figura 1 – Modelo de uma viga ocorrendo estiramento da armadura de protensão

Fonte: Schmid, 2016.

Figura 2 – Viga com armadura protendida

Fonte: Veríssimo e Lenz, 1998.

18

Figura 3 – Ponte com armadura protendida


1.2 Objetivos

Objetivo geral 1.2.1

Elaborar um software para determinar as perdas inerentes ao processo de aplicação de

força de protensão na situação de pré-tração e pós-tração.

Objetivo específico 1.2.2

Os objetivos específicos do trabalho são:

Aplicar a NBR 6118/2014 para a determinação das perdas inerentes ao concreto

protendido;

Utilizar o FORTRAN para a criação dos códigos;

19

1.3 Estrutura do trabalho

Este trabalho será dividido em sete (07) capítulos tendo como enfoque a criação de um

software para determinar as perdas que ocorrem na protensão nas duas formas de aplicação a

força: pré-tração e pós-tração.

O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica do trabalho sendo dividido em 2

subcapítulos: a protensão nas estruturas de concreto e o Fortran. Assim, será apresentado a

história do concreto protendido, será conceituado, apresentado os tipos de protensão, as

tensões normais, os aços que existem e a introdução sobre perdas.

O Capítulo 3 abordará com mais detalhes sobre as perdas do concreto protendido na

pré-tração e pós-tração. O Capítulo 4 apresenta a metodologia empregado para ser elaborado

os softwares da determinação das perdas no concreto protendido.

O Capítulo 5 abordará o roteiro empregado para ser elaborado os softwares, sendo

dividido em 03 subcapítulos: os dados de entrada que devem ser empregados, a etapa de

cálculo e os dados de saída.

A validação dos softwares será realizada por meio de exemplos existentes na literatura

sendo apresentado uma análise de comparação dos resultados já existentes com os obtidos

naquele sendo apresentado no capítulo 6. E por fim o Capítulo 7 apresentará as conclusões do

trabalho.

20

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Protensão nas estruturas de concreto

Histórico 2.1.1

O concreto começou a se desenvolver a partir da criação do cimento Portland em

1824 na Inglaterra. Nos anos que se seguiram, a Europa começou a criar novas formas de

melhorar a capacidade do concreto (PFEIL, 1984).

O concreto acabou sendo disseminado para todo o mundo tendo diversas

empregabilidades, como lajes, vigas, pontes etc. Todavia, apenas em 1877, o americano Hyatt

reconheceu o efeito da aderência entre o concreto e a armadura, após executar vários ensaios

com construções de concreto (PFEIL, 1984).

Em 1886 foi anunciada a primeira aplicação de protensão no concreto por H.

Jackson, de São Francisco (EUA) e métodos de dimensionamento empíricos para alguns tipos

de construção pelo alemão Matthias Koenen. Em 1953, surgiu à primeira norma de concreto

protendido na Alemanha, a DIN 4227 (BASTOS, 2015).

A primeira obra em concreto protendido no Brasil foi à ponte do Galeão, no Rio de

Janeiro, construída em 1948 utilizando o sistema Freyssinet. Para essa obra foi importado da

França: o aço, as ancoragens, os equipamentos e até o projeto. Em 1952, a Companhia

Siderúrgica Belgo-Mineira iniciou a fabricação do aço de protensão. A segunda obra

brasileira, a ponte de Juazeiro, já foi construída com aço brasileiro (VERÍSSIMO E LENZ,

1998).

Conceito 2.1.2

Segundo, Pfeil (1980), a protensão aplicada ao concreto consiste em introduzir

esforços que limitem as tensões de tração no concreto, limitando a abertura de fissuras e as

deformações. Já segundo a NBR6118/2014 define-se elementos de concreto protendido como

sendo aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos

especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, limitar a fissuração e as

21

deformações da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no

estado limite último (ELU).

Apesar dos procedimentos de projeto em concreto armado e protendido serem

apresentados conjuntamente numa mesma normatização no Brasil (NBR 6118/2014), os aços

empregados em cada caso diferem-se pelo tipo de aço (CARVALHO, 2012).

A protensão permite o aproveitamento das qualidades dos dois materiais

empregados, com a elevada resistência à compressão do concreto e a elevada resistência à

tração dos cabos de aço. Dessa forma, o uso do concreto protendido é justificado pelo

acréscimo nas resistências do concreto e do aço ser superior ao acréscimo dos custos desses

materiais (PFEIL, 1984).

Quanto à execução, no caso da aplicação da protensão, pode haver maior

complexidade na montagem de formas, sendo necessária a colocação de elementos

específicos (CARVALHO, 2012), como bainhas, cabos, etc, exigindo uma mão de obra mais

qualificada.

Dentre as vantagens do concreto protendido citadas na bibliografia, pode-se listar:

a. Permite projetar seções mais esbeltas que no concreto armado convencional;

b. Permite controlar a deformação elástica e limitá-la a valores menores que os

que seriam obtidos para estruturas similares em aço ou concreto armado;

c. Proporciona melhores condições de durabilidade, pois anula totalmente, ou

quase totalmente, as tensões de tração, principais responsáveis pela

fissuração;

d. Permite que a estrutura se recomponha após a atuação de uma sobrecarga

eventual não prevista;

e. Possui maior resistência à fadiga, pois a variação de tensão no aço,

provenientes de cargas móveis, é muito pequena se comparada com o valor

da sua resistência característica;

f. A operação de protensão funciona como uma verdadeira prova de carga;

Todavia, podem ser relacionadas algumas desvantagens:

22

a. Concreto com uma maior resistência exige um maior controle de qualidade;

b. Os aços de alta resistência exigem cuidados especiais contra corrosão;

c. A colocação dos cabos de protensão deve ser feita com maior precisão de

modo a garantir as posições admitidas nos cálculos;

d. Exigência de mão de obra especializada;

Tipos de protensão 2.1.3

Nas armaduras de protensão podem ser pré-tracionadas ou pós-tracionadas. No

sistema pré-tracionado (Figura 4), a armadura é ancorada em duas extremidades, sendo

tensionada por elas, e posteriormente é realizada a concretagem nas fôrmas.

Após o endurecimento do concreto, quando atingida a resistência necessária, os fios

de aço são soltos das ancoragens e o esforço de protensão é então transferido para a peça

(LEONHARDT, 1983; PFEIL, 1984). Devido à aderência existente entre os materiais, é

transferida uma força de compressão ao concreto pela tendência do aço retornar ao seu

comprimento inicial (CARVALHO, 2012).

Figura 4 – Protensão com armadura pré-tracionada

Fonte: Rodrigues, 2008.

No sistema com armadura pós-tracionada (Figura 5), são alocadas bainhas dentro da

forma, nas quais serão alojados os cabos, e a peça é concretada antes da aplicação da

protensão. Quando o concreto atinge a resistência necessária, os cabos de aço são tracionados,

sendo submetidos a um pré- alongamento.

A tendência de encurtamento dos cabos, para retorna à sua configuração

indeformada, faz com que um esforço de compressão seja transferido ao concreto na região

das ancoragens. Quando a protensão é aplicada nas duas extremidades da peça, diz-se que

ambas as ancoragens são ativas.

23

A protensão também pode ser aplicada por apenas uma extremidade, caso em que se

tem uma ancoragem ativa e outra passiva. Para garantir uma proteção da armadura contra a

corrosão, as bainhas são, em geral, injetadas com nata de cimento, após a aplicação da

protensão.

A nata também serve para promover a aderência entre a armadura e o concreto,

dando origem ao termo “protensão com aderência posterior”. Quando não é aplicada a nata,

têm-se peças pós-tracionadas sem aderência.

Figura 5 – Protensão com armadura pós-tracionada

Fonte: Rodrigues, 2008.

Tensões normais 2.1.4

O concreto protendido visa eliminar ou reduzir as tensões de tração que possam

ocorrer no elemento estrutural. Isso é feito com a aplicação de um pré-alongamento do aço de

protensão, de modo a transferir um esforço de compressão normal em toda a seção da viga,

além de esforços de flexão devido à excentricidade das armaduras ativas.

Os esforços de flexão causam tensões de compressão na borda inferior e de tração na

borda superior quando os cabos de protensão passam abaixo do centro de gravidade (CG) da

seção reta da viga (KAESTNER, 2014).

Assim, nas regiões em que as ações externas à estrutura causam momentos fletores

positivos (que convencionalmente indicam tração na borda inferior), traçando-se os cabos

abaixo do CG da seção reta da viga, a protensão atenuará a tensão de tração na borda inferior,

não apenas pela força normal aplicada, mas também pelo momento de flexão gerado pela sua

excentricidade.

Analogamente, entende-se que, nos pontos de momentos negativos, os cabos devem

ser traçados de modo a passar acima do CG da seção reta da (KAESTNER, 2015).

24

Aços de protensão 2.1.5

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) divide os aços de protensão

em três tipos:

a. Barras: possuem comprimento limitado (entre 10 m e 12 m), com

fornecimento em trechos retos, produzidos com aço de liga de resistência

elevada, laminada a quente;

b. Fios: são especificados pela NBR 7482/2008 - Fios de aço para estruturas de

concreto protendido – Especificação, fornecidos em forma de rolos devido ao

seu pequeno diâmetro (de até 12 mm, mas entre 3 e 8 mm no Brasil) e

designados pela sua categoria, relaxação e acabamento superficial;

c. Cordoalhas: são agrupamentos de 3 ou 7 fios enrolados em hélice com um

eixo longitudinal em comum, especificadas pela NBR 7483/2008 -

Cordoalhas de aço para estruturas de concreto protendido – Especificação.

Utiliza-se a sigla CP para se referir a um aço de protensão, seguida do valor

característico da resistência à tração última (em kgf/mm²) e a indicação do tipo de relaxação.

A relaxação é um parâmetro que diz respeito à fabricação do aço. Os aços ditos de relaxação

baixa, com a sigla RB, apresentam menores perdas por relaxação em relação aos de relaxação

normal (RN), devido a um alongamento aplicado a temperatura controlada quando da sua

fabricação (CARVALHO, 2012).

A NBR 7483/2008 especifica que, para as cordoalhas atuais de 3 e de 7 fios, existem

as categorias 190 e 210 de resistência à tração, sendo o processo de fabricação sempre com a

condição de relaxação baixa. Os aços dessas cordoalhas são, portanto, designadas por CP 190

RB e CP 210 RB.

Perdas 2.1.6

A protensão introduz na peça uma força inicial que provoca um alongamento na

armadura ativa. O acionamento dos macacos, a liberação dos cabos e a transferência da força

de protensão, entre outros fatores, diminuem a força de protensão.

25

Assim, acontecem as chamadas perdas de protensão. Podemos classificá-las em

perdas iniciais e perdas diferidas, devido ao atrito entre os cabos e a bainha, a retração e

fluência do concreto, a deformação do concreto, a relaxação das armaduras e os

escorregamentos dos fios e ancoragem, no decorrer do tempo durante toda a vida útil da

estrutura (CARVALHO, 2012).

Teoricamente, essas perdas se estabilizam com o passar do tempo. Considerando,

inicialmente, um cabo representante, pode-se estimar as perdas para se fazer um pré-

dimensionamento de armadura longitudinal. Com o número de cabos determinado, é possível

calcular as perdas iniciais e as perdas diferidas (ao longo do tempo) (CARVALHO, 2012).

Como este trabalho possui enfoque na determinação das perdas de peças protendidas

solicitadas por pré-tração e pós-tração, serão apresentados adiante mais informações sobre as

perdas.

2.2 Fortran

O Fortran (Formula translation, em português: tradução de fórmulas) é uma

linguagem simples cujo vocabulário consiste de um conjunto de palavras, conhecidas como

“palavras-chave” e “comandos” é uma sentença escrita nessa linguagem, segundo Hehl

(1986).

Segundo a The Fortran Company, o Fortran surgiu em 1954 pela IBM e seu primeiro

compilador foi implementado em 1957 para um computador de 1ª geração, o IBM 704. Dessa

forma, houve evoluções significativas nos computadores e, consequentemente, a linguagem

foi evoluindo sendo conhecida como FORTRAN II, FORTRAN III E FORTRAN IV em,

respectivamente, 1956, 1958 e 1964.

Essa foi à primeira linguagem de programação computacional de alto-nível

concebida (linguagem com um nível de abstração relativamente elevado, longe do código de

máquina e mais próximo à linguagem humana). Até então, a programação de computadores

envolvia o uso de linguagens de baixo-nível, como a linguagem ASSEMBLY e/ou o uso da

linguagem de máquina.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Abstra%C3%A7%C3%A3o_(programa%C3%A7%C3%A3o)

https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_de_m%C3%A1quina

https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_de_m%C3%A1quina

https://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem_humana

26

O FORTRAN possui uma sintaxe rígida e formato algébrico para simplificar seu uso

com as fórmulas matemáticas sendo também destinado a aplicações científicas.

A primeira padronização foi feita pela ASA – American Standard Association

(1966). O segundo padrão americano surgiu em 1978, numa única norma (X3.9-1978) da

ANSI – American National Standards Institute – sucessora da ASA, que fora transformada na

United States of America Standards Institute, em 1966. Embora a norma seja de 1978, mas

por analogia com o FORTRAN 66 (dois dígitos repetidos), este padrão é conhecido por

FORTRAN 77 ou ainda FORTRAN ANSI 77.

Ao longo do tempo a linguagem teve muitas aplicabilidades, tanto para empresas

como para universidades.

Fortran 90 2.2.1

O Fortran 90 é um superconjunto do Fortran 77 – todo programa em Fortran 77

padrão, são programas em Fortran 90 padrão. Logo, Fortran 90 adere e é completamente

compatível com a já existente infraestrutura computacional do Fortran 77.

À forma ‘fixa’ do código-fonte do Fortran 77 o Fortran 90 acresce uma outra forma

fonte, chamada forma ‘livre’, no qual não existe qualquer coluna de dependências. Na forma

livre da fonte os comentários não precisam começar na coluna 1 e a coluna 6 não é reservada

para o sinal de continuação.

Em ambas as formas o sinal de exclamação ‘!’ pode ser usado para iniciar

comentários de fim-de-linha (e.g., depois de um comando naquela linha) e um ‘;’ pode ser

usado para separar dois comandos na mesma linha. Como no Fortran 77, os nomes (de

variáveis, procedimentos, etc.) do Fortran 90 começam com uma letra e contém letras e

dígitos. Adicionalmente, nomes podem conter até 31 caracteres, podem conter sublinhados

‘_’, e podem conter letras maiúsculas e minúsculas.

27

Ponteiros 2.2.2

Os ponteiros provêm duas importantes capacidades no Fortran 90 – estruturas de

dados dinâmicas e arranjos dinâmicos. O último é especialmente importante para a ciência

computacional, pois ele permite que os arranjos sejam dinamicamente alocados (e realocados)

de tamanho adequado e fornece meios de minimizar a transferência de dados.

Por conta do impacto negativo que os ponteiros têm sobre a otimização, um ponteiro

em Fortran 90 pode apontar apenas para (a) um objeto de dados explicitamente declarado

como alvo do ponteiro, (b) um objeto criado dinamicamente, ou (c) outro ponteiro. Isto torna

possível que a aplicação da tecnologia de otimização de armazenamento estático seja usada

sobre dados que não tenham atributos nem de ponteiros nem de alvo.

Arranjos 2.2.3

Arranjos são provavelmente os mais importantes objetos compostos de dados para a

ciência computacional, porém objetos mais heterogêneos são necessários, incluindo estruturas

ligadas dinamicamente. No jargão do Fortran 90, estruturas são objetos de tipos definidos

pelo usuário. Estruturas dinamicamente ligadas são implementadas essencialmente pelos tipos

recursivos definidos pelo usuário.

A ideia é finalmente remover aquelas características que se tornaram obsoletas

enquanto a linguagem evolui, mas oficialmente identificar tais candidatos como obsolescentes

bem antes da remoção efetiva. Intenta-se assim dar a comunidade Fortran (a) a chance de

rever as recomendações e prevenir que equívocos sejam feitos, (b) tempo para preparar-se

para a mudança de forma ordenada. Segundo o modelo corrente, um item listado como

obsolescente em uma versão do Fortran padrão é um candidato à remoção na próxima versão.

Os dez itens seguintes do Fortran 90 são listados como obsolescentes:

1. O IF-aritmético

2. Expressões e variáveis de precisão real (e dupla) como índices do DO

3. Finalização partilhada do DO (i.e., dois laços terminando no mesmo comando)

4. Outra finalização do laço DO que não END DO ou CONTINUE

28

5. Desviar para um comando END IF exterior àquela construção IF

6. Retornos alternados (ao invés, usar um código variável de retorno)

7. O comando PAUSE (usar READ no lugar)

8. Comandos ASSIGN e GOTO atribuído (usar procedimentos internos no lugar)

9. Especificadores atribuídos de FORMAT (usar cadeias de strings ao invés)

10. O descritor H de edição de string (i.e., nHstring é equivalente a ‘string’)

Comparação 2.2.1

Por trinta anos, desde sua criação até o Fortran 77, o Fortran tem sido a principal

linguagem da ciência computacional. Durante este tempo as capacidades numéricas do

Fortran têm sido notavelmente estáveis e superiores àquelas de outras linguagens de

computador. As maiores mudanças surgem na forma de uma diversamente crescente e

confiável biblioteca de rotinas numéricas. A união do Fortran, técnicas para seu uso, e a

extensivas bibliotecas numéricas caracterizam a predominante infraestrutura para a ciência

computacional.

Na década passada, todavia, a crescente importância de estruturas de dados

dinâmicas (particularmente arranjos dinâmicos), unix workstations, sofisticadas facilidades de

visualização interativas, e, mais recentemente, arquiteturas paralelas—nenhuma das quais

Fortran 77 adere bem—tem promovido interesse no uso de outras linguagens para

computação, mais notadamente a C.

Recentemente C++ tem também angariado considerável interesse, e Fortran tem

tentado endereçar suas deficiências para a moderna ciência computacional evoluindo para o

Fortran 90. A tabela abaixo resume uma tentativa genérica de comparar estas quatro

linguagens quanto a relativa adaptabilidade à ciência computacional.

Quadro 1: Comparação entre linguagens numa escala de melhor (10) a pior (0)

FUNCIONALIDADE FORTRAN 77 C C++ FORTRAN 90

Robustez numérica 5,0 10 7,5 2,5

Paralelismo de dados 7,5 7,5 7,5 2,5

29

Abstração de dados 10 7,5 5,0 2,5

Programação orientada a

objetos 10 7,5 2,5 5,0

Programação funcional 10 7,5 5,0 2,5

MÉDIA 8,5 8,0 5,5 3,0

Fonte: Adaptado de Cristo, 2003.

30

3 PERDAS NA PROTENSÃO

3.1 Pré-tração

Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem – Panc 3.1.1

O escorregamento dos fios e a acomodação da ancoragem nos furos proporciona um

deslocamento no ponto de ancoragem da ordem de 4 a 6 mm, dependendo do tipo de

armadura de protensão e da existência ou não de pistão de cravação de cunhas nos macacos de

protensão (BASTOS, 2015).

Esta deve ser mensurada apenas na ancoragem ativa (localização do macaco

hidráulico), enquanto na ancoragem passiva a acomodação/escorregamento vai sendo anulada

na operação de estiramento (BASTOS, 2015).

A perda de protensão por escorregamento/acomodação é determinada por:

𝑃𝑎𝑛𝑐 =

𝑑

𝐿 ∗ 휀𝑎ç𝑜∗ 𝜎𝑃𝑖

∗ 𝐴𝑝 (1)

em que:

𝑑 = deslocamento do ponto de ancoragem/acomodação;

𝐿 = comprimento da peça;

휀𝑎ç𝑜 = deformação do aço, por ocasião do estiramento, geralmente adotado 0,7%;

𝜎𝑃𝑖 = tensão na armadura de protensão aplicada pelo equipamento de tração.

𝐴𝑝 = área do aço protendido.

A perda de protensão por escorregamento/acomodação é constante para toda a viga,

ou seja, essa perda é a mesma para qualquer seção da viga.

31

Perda por deformação inicial do concreto – Pe 3.1.2

A perda de protensão por deformação imediata do concreto é decorrente do alívio de

tensão nos cabos devido ao encurtamento da armadura, provocada pela aplicação da força de

protensão que acarreta uma deformação elástica imediata do concreto. (HANAI, 1998).

Assim, a NBR 6118/2014 (item 9.6.3.3.1) define “A variação da força de protensão

em elementos estruturais com pré-tração, por ocasião da aplicação da protensão ao

concreto, e em razão do seu encurtamento, deve ser calculada em regime elástico,

considerando-se a deformação da seção homogeneizada. O módulo de elasticidade do

concreto a considerar é o correspondente à data de protensão, corrigido, se houver cura

térmica. ”.

As figuras abaixo mostram uma peça de concreto sendo submetida a uma força no

estado inicial e outra após a liberação dos cabos protendido.

Figura 6 – Peça pré-moldada de concreto protendido (antes da liberação dos cabos tracionados)


Figura 7 – Peça pré-moldada de concreto protendido (após da liberação dos cabos tracionados)


32

Com base nas Figura 6 e Figura 7, tem-se que a força 𝑃0 será absorvida pela seção do

concreto e pela seção da armadura homogeneizada. A determinação dessa perda será baseada

na posição de aplicação da força.

Existem 02 (dois) casos possíveis, sendo o primeiro quando a protensão está centrada

na seção de concreto e por último quando há uma excentricidade.

3.1.2.1 Protensão centrada

Após a transferência da protensão para a peça, a alteração da deformação da

armadura de protensão (∆휀𝑝), causada pelo encurtamento elástico do concreto, é equivalente à

deformação do concreto (휀𝑐𝑝) ao nível da armadura de protensão, sendo a equação de

compatibilidade expressa por (BASTOS, 2015):

∆휀𝑝 = 휀𝑐𝑝 (2)

Portanto, aplicando-se a Lei de Hooke, tem-se:

∆𝜎𝑃

𝐸𝑝=

𝜎𝑐𝑝

𝐸𝑐

(3)

em que:

𝐸𝑝 = módulo de elasticidade do aço;

𝐸𝑐 = módulo de elasticidade do concreto;

𝜎𝑐𝑝 = tensão no concreto;

∆𝜎𝑃 = variação da tensão da armadura de protensão.

Assim, a perda de protensão é:

∆𝜎𝑃 = 𝛼𝑝. 𝜎𝑐𝑝 (4)

em que:

𝛼𝑝 = razão modular, sendo determinado por 𝛼𝑝 =𝐸𝑝

𝐸𝑐.

33

Após as perdas imediatas, a força resistente do concreto equilibrará a força aplicada,

de onde podemos escrever que:

𝑃𝑎 − ∆𝑃𝑎 = 𝜎𝑐𝑝. (𝐴𝑐 − 𝐴𝑝) (5)

em que:

𝑃𝑎 = força na armadura de protensão no instante imediatamente anterior à sua liberação das

ancoragens externas;

𝐴𝑐 = área da seção bruta de concreto;

𝐴𝑝 = área da seção da armadura de protensão.

Todavia, tem-se que ∆𝑃𝑎 = ∆𝜎𝑝. 𝐴𝑝, portanto:

𝑃𝑎 = 𝜎𝑐𝑝. (𝐴𝑐 − 𝐴𝑝 + 𝛼𝑝. 𝐴𝑝) → 𝑃𝑎 = 𝜎𝑐𝑝. 𝐴𝑐ℎ (6)

em que:

𝐴𝑐ℎ = área da seção homogeneizada, sendo determinado por 𝐴𝑐ℎ = 𝐴𝑐 + 𝐴𝑝. (𝛼𝑝 − 1).

A parcela 𝛼𝑝. 𝐴𝑝 corresponde à deformação no aço de protensão, que implica na

diminuição da força 𝑃𝑎, ou seja, é a forma através da qual o decréscimo da força 𝑃𝑎 é

considerado (VERÍSSIMO E LENZ, 1998).

E, caso seja dispensada a parcela 𝛼𝑝. 𝐴𝑝, equivale a admitir que a força 𝑃𝑎, causadora

do encurtamento da peça, é constante durante todo o processo de deformação elástica

imediata do concreto, o que não se verifica experimentalmente (VERÍSSIMO E LENZ, 1998).

À medida que o concreto se deforma, devido ao efeito da força de protensão, ocorre

o encurtamento concomitante do cabo de protensão e consequente diminuição da força 𝑃𝑎

(VERÍSSIMO E LENZ, 1998).

Como os dois materiais, aço e concreto, possuem módulos de elasticidade diferentes,

transforma-se a área de aço numa área fictícia de concreto equivalente (𝐴𝑐ℎ), denominada de

área homogeneizada. A tensão no concreto devido à protensão é dada por:

34

𝜎𝑐𝑝 =

𝑃𝑎

𝐴𝑐ℎ=

𝑃𝑎

𝐴𝑐 + 𝐴𝑝. (𝛼𝑝 − 1) (7)

Portanto, a perda de protensão será:

𝑃𝑒 = ∆𝑃𝑎 (8)

𝑃𝑒 = 𝛼𝑝.𝑃𝑎

𝐴𝑐ℎ. 𝐴𝑝 (9)

3.1.2.2 Protensão excêntrica

No caso de protensão centrada, a peça trabalha à compressão simples de forma que a

tensão num ponto genérico da seção é dada pela equação (7). Entretanto, no caso da

protensão excêntrica, a peça trabalha em flexo-compressão.

Ou seja, além do esforço normal atuante existe uma parcela de tensão oriunda do

momento produzido pela força de protensão (𝑃0) excêntrica. Portanto, para essa situação tem-

se:

𝜎𝑐𝑝 =

𝑃𝑎

𝐴𝑐ℎ+

𝑃𝑎 . 𝑒𝑝

𝐼ℎ. 𝑦 (10)

em que:

𝑃𝑎 = força na armadura de protensão no imediatamente anterior à sua liberação das

ancoragens externas;

𝑒𝑝 = excentricidade da força de protensão 𝑃0 em relação ao centro de gravidade da seção

homogeneizada;

𝐼ℎ = momento de inércia.

Entretanto, essa expressão está a favor da segurança, pois será desconsiderado a

influência do peso próprio da estrutura.

As características da seção composta de concreto e aço são calculadas considerando

a seção homogeneizada, obtendo-se a área 𝐴𝑐ℎ, o momento de inércia 𝐼ℎ e as distâncias 𝑦1 e

𝑦2 do centro de gravidade como mostra a figura abaixo.

35

Figura 8 – Protensão excêntrica na seção de concreto


Assumindo que 𝑒𝑝 é a excentricidade da força de protensão 𝑃0 em relação ao centro

de gravidade da seção homogeneizada, a tensão no concreto devido à protensão no nível 𝑦 de

uma armadura é dada pela equação (10).

Portanto, a perda de protensão será:

𝑃𝑒 = 𝛼𝑝. (

𝑃𝑎

𝐴𝑐ℎ+

𝑃𝑎 . 𝑒𝑝

𝐼. 𝑦) . 𝐴𝑝 (91)

Assim, a perda por deformação imediata é constante para toda a viga, ou seja, essa

perda é a mesma para qualquer seção da viga.

Perda por relaxação da armadura – Pr 3.1.3

Relaxação da armadura é o alívio de tensão ao longo do tempo em um aço estirado,

sob comprimento e temperatura constantes, ocorrendo a partir do instante que o aço é estirado

(BASTOS, 2015).

A perda de protensão por relaxação inicial da armadura é aquela que ocorre no

intervalo de tempo entre o estiramento da armadura e a aplicação da protensão no concreto

(BASTOS, 2015).

36

A intensidade de relaxação do aço é determinada pelo coeficiente 𝜓(𝑡; 𝑡0), que

segundo a NBR 6118 (item 9.6.3.4.5) é definido por:

Δ𝜎𝑃𝑟(𝑡; 𝑡0) = 𝜓(𝑡; 𝑡0). 𝜎𝑃𝑖

(102)

em que:

Δ𝜎𝑃𝑟(𝑡; 𝑡0) = perda de tensão por relaxação pura desde o instante 𝑡0 do estiramento da

armadura até o instante 𝑡 considerado;


Segundo a NBR 7482 e 7483, os valores médios para o coeficiente de relaxação de

fios e cordoalhas, medidos após 1.000 horas à temperatura constante de 20ºC (𝜓1000), para

tensões variando de 0,5. 𝑓𝑝𝑡𝑘 e 0,8. 𝑓𝑝𝑡𝑘, podem ser adotados conforme tabela abaixo.

Tabela 1 – Valores de 𝜓1000 (%)

𝝈𝑷𝒊

𝑪𝒐𝒓𝒅𝒊𝒂𝒍𝒉𝒂 𝑭𝒊𝒐 𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂

RN RB RN RB

𝟎, 𝟓. 𝒇𝒑𝒕𝒌 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

𝟎, 𝟔. 𝒇𝒑𝒕𝒌 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

𝟎, 𝟕. 𝒇𝒑𝒕𝒌 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0

𝟎, 𝟖. 𝒇𝒑𝒕𝒌 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0

Fonte: Adaptado da NBR 7482/2008 e 7483/2008.

Nota: interpolar para valores intermediários. RN é relaxação normal e RB é relaxação baixa.

Para valores diferentes de 1.000 horas, sempre a 20º C, as expressões são:

𝜓(𝑡, 𝑡0) = 𝜓1000. (

𝑡 − 𝑡0

1000)

0,15

(𝑡 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) (113)

𝜓(𝑡, 𝑡0) = 𝜓1000. (

𝑡 − 𝑡0

41,67)

0,15

(𝑡 𝑒𝑚 𝑑𝑖𝑎𝑠) (14)

A seguir, tem-se a determinação das perdas de relaxação nos instantes iniciais e

posteriores.

37

3.1.3.1 Relaxação inicial

A perda por relaxação inicial será determinada pela equação (15):

𝑃𝑟1 =

𝜓(𝑡 = 𝑡0)

100. 𝜎𝑃𝑖

. 𝐴𝑝 (15)

em que:


3.1.3.2 Relaxação posterior

A perda de protensão por relaxação é constante para toda a viga apenas inicialmente,

ou seja, essa perda é a mesma para qualquer seção da viga. Entretanto, para a relaxação

posterior, como a tensão varia nas diferentes seções da viga unicamente pelo fato de as perdas

anteriores a esta se alterarem (𝜎𝑃0 no meio do vão é diferente de 𝜎𝑃0

em outra seção qualquer).

A perda por relaxação posterior será determinada pela equação (16):

𝑃𝑟2 = 2,5. 𝜎𝑃0. 𝐴𝑝 (16)

em que:

𝜎𝑃𝑜 = tensão na armadura de protensão (𝑡 = 𝑡0).

Perda por retração do concreto – Pcs 3.1.4

A retração é um fenômeno que ocorre em função do equilíbrio higrotérmico do

concreto com o meio ambiente, sendo influenciada por muitos fatores: traço do concreto, tipo

de agregado, tipo de cimento, tempo de aplicação da protensão após a cura, dimensões e

forma da peça etc. (BASTOS, 2015).

O concreto perde parte da água de amassamento nas primeiras idades,

gradativamente, até atingir uma umidade estável. Essa perda produz uma diminuição de

38

volume e um consequente encurtamento da peça que se manifesta ao longo do tempo

(VERÍSSIMO E LENZ, 1998).

A protensão é aplicada à peça depois que o concreto já possui resistência suficiente

para lidar com as tensões decorrentes da protensão e do peso próprio. Aquela deve ser adiada

tanto quanto possível, com o objetivo de diminuir as perdas de protensão, pois a retração é

mais intensa nas primeiras idades do concreto (VERÍSSIMO E LENZ, 1998).

A perda de força devida à retração do concreto pode ser aproximada por:

𝑃𝑐𝑠 = 휀𝑐𝑠. 𝐸𝑝. 𝐴𝑝 (7)

em que:

휀𝑐𝑠 = deformação específica de retração do concreto ao nível da armadura, no tempo

considerado;

𝐸𝑝 = módulo de elasticidade da armadura de protensão;

𝐴𝑝 = área da armadura de protensão.

A deformação 휀𝑐𝑠 é fornecida pela NBR 6118 (Tabela 8.2, item 8.2.11) do tempo 𝑡0

(dias) até o tempo final (𝑡∞), podendo ser utilizada quando não for necessária grande precisão.

Quando maior precisão for exigida pode-se aplicar a formulação contida no Anexo A

da NBR 6118. O Anexo A da norma trata do “Efeito do tempo no concreto estrutural”, e

informa que as prescrições “têm caráter informativo que podem, na falta de dados melhores,

ser usadas no projeto de estruturas com concretos do grupo I da ABNT NBR 8953 cobertos

por esta Norma.

Outros valores podem ser usados, desde que comprovados experimentalmente, por

meio de ensaios realizados de acordo com Normas Brasileiras específicas, levando em conta

variações nas características e propriedades dos componentes do concreto, ou ainda desde

que respaldados por Normas Internacionais ou literatura técnica. ” (BASTOS, 2015).

No instante 𝑡 a retração do concreto no intervalo de tempo 𝑡 − 𝑡0 é dado por:

휀𝑐𝑠(𝑡; 𝑡0) = 휀𝑐𝑠∞. [𝛽𝑠(𝑡) − 𝛽𝑠(𝑡0)] (18)

39

em que:

휀𝑐𝑠∞ = valor final da retração, sendo determinado por 휀𝑐𝑠∞ = 휀1𝑠. 휀2𝑠;

휀1𝑠= coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto

no Quadro 2:

휀2𝑠= coeficiente que depende da espessura fictícia da peça, sendo determinado pela equação

(19):

Quadro 2: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto

UMIDADE

(%)

ABATIMENTO

(cm) 𝜺𝟏𝒔

≤ 90

0 – 4 휀1𝑠,𝑃𝐴𝐷𝑅Ã𝑂. 0,75

5 – 9 −8,09 +𝑈15

−𝑈2

2284 +𝑈2

133765−

𝑈4

7608150104

(𝑃𝐴𝐷𝑅Ã𝑂)

10 – 15 휀1𝑠,𝑃𝐴𝐷𝑅Ã𝑂. 1,25

> 90 Qualquer

situação 1,0

Fonte: Adaptado da NBR 6118.

휀2𝑠 =0,33 + 2. ℎ𝑓𝑖𝑐

0,21 + 3. ℎ𝑓𝑖𝑐

(19)

ℎ𝑓𝑖𝑐 = espessura fictícia, expressa em m (definida posteriormente);

𝛽𝑠(𝑡; 𝑡0) = coeficiente relativo à retração ao instante de tempo 𝑡, 𝑡0;

𝛽𝑠(𝑡, 𝑡0) =[(𝑡, 𝑡0)100 ]

3

+ 𝐴. [(𝑡, 𝑡0)100 ]

2

+ 𝐵. [(𝑡, 𝑡0)100 ]

[(𝑡, 𝑡0)100 ]

3

+ 𝐶. [(𝑡, 𝑡0)100 ]

2

+ 𝐷. [(𝑡, 𝑡0)100 ] + 𝐸

(12)

em que:

𝐴 = 40

𝐵 = 116. ℎ𝑓𝑖𝑐3 − 282. ℎ𝑓𝑖𝑐

2 + 220. ℎ𝑓𝑖𝑐 − 4,8

40

𝐶 = 2,5. ℎ𝑓𝑖𝑐3 − 8,8. ℎ𝑓𝑖𝑐 + 40,7

𝐷 = −75. ℎ𝑓𝑖𝑐3 + 585. ℎ𝑓𝑖𝑐

2 + 496. ℎ𝑓𝑖𝑐 − 6,8

𝐸 = −169. ℎ𝑓𝑖𝑐4 + 88. ℎ𝑓𝑖𝑐

3 + 584. ℎ𝑓𝑖𝑐2 − 39. ℎ𝑓𝑖𝑐 + 0,8

𝑡 = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias (definido posteriormente);

𝑡0 = idade fictícia do concreto no instante em que o efeito de retração começa a ser

considerado, em dias;

Assim, a perda de protensão, no instante 𝑡, devida à retração no concreto resulta:

𝑃𝑐𝑠 = 𝐸𝑝. 휀𝑐𝑠∞. [𝛽𝑠(𝑡) − 𝛽𝑠(𝑡0)]. 𝐴𝑝 (21)

3.1.4.1 Parâmetros

3.1.4.1.1 Espessura fictícia da peça

A espessura fictícia da peça é determinada, conforme a NBR 7197, equação (22).

Todavia, a mesma é limitada para o intervalo entre 0,05 m e 1,60 m e, caso encontre-se fora

deste intervalo, deve-se adotar os extremos correspondentes.

ℎ𝑓𝑖𝑐 = 𝛾.

2. 𝐴𝑐

𝜇𝑎𝑟 (22)

onde:

𝐴𝑐 = área da seção transversal da peça;

𝜇𝑎𝑟 = parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar;

𝛾 = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente, sendo determinado conforme o

Quadro 3:

Quadro 3: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente

UMIDADE (%) 𝜸

41

≤ 90 1 + exp (−7,80 + 0,1. 𝑈)

> 90 1,0

Fonte: Adaptado de Veríssimo e Lenz, 1998.

3.1.4.1.2 Idade fictícia do concreto

A idade fictícia do concreto é determinada conforme a NBR 7197 – ítem 7.3.1,

segundo o Quadro 4:

Quadro 4: Idade fictícia do concreto

TEMPERATURA (ºC) 𝒕

20 (temperatura ambiente) 𝑡 =∝. 𝑡𝑒𝑓

Qualquer outra 𝑡 =∝. ∑𝑇𝑖 + 10

30. Δ𝑡𝑒𝑓,𝑖

Fonte: Adaptado da NBR 7197/1989.

em que:

𝑡 = idade fictícia em dias;

Δ𝑡𝑒𝑓,𝑖 = período em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente, 𝑇𝑖 pode ser

admitida constante;

∝ = coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento, sendo obtido

experimentalmente ou conforme quadro abaixo:

Quadro 5: Valores ∝ de em função da velocidade de endurecimento do cimento para retração

CIMENTO ∝

AF250, AF320, POZ250, POZ320, MRS e ARS 1

CP250, CP320 e CP400 1

ARI 1


onde:

AF = alto forno;

ARI = alta resistência inicial;

42

ARS = alta resistência a sulfatos;

CP = cimento Portland;

MRS = moderada resistência aos sulfatos;

POZ = pozolânico.

Todavia, a idade mínima é de 3 (três) dias.

Perda por fluência do concreto – Pcc 3.1.5

Fluência é a deformação permanente de materiais quando estes são sujeitos a cargas

ou tensões constantes ao longo do tempo. Assim, no decorrer da vida útil da estrutura, os

cabos vãos se encurtando, gradativamente, à medida que o concreto se deforma, devido à

tensão de protensão.

Consequentemente, ocorre uma perda da força de protensão, isto é, a deformação

lenta influencia a força de protensão, por sua vez, influencia a deformação lenta.

Admite-se a hipótese de que a tensão na armadura de protensão diminui linearmente

durante o período no qual a fluência ocorre (Veríssimo, 1998).

Segundo a NBR 6118, “A deformação por fluência do concreto (휀𝑐𝑐) é composta de

duas partes, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida (휀𝑐𝑐𝑎) é irreversível e ocorre

durante as primeiras 24 h após a aplicação da carga que a originou. A deformação lenta é,

por sua vez, composta por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversível (휀𝑐𝑐𝑓) e a

deformação lenta reversível (휀𝑐𝑐𝑑).”.

Assim, a 휀𝑐𝑐 é determinado pela expressão abaixo:

휀𝑐𝑐 = 휀𝑐𝑐𝑎 + 휀𝑐𝑐𝑓 + 휀𝑐𝑐𝑑 (23)

em que:

휀𝑐𝑐𝑎 = deformação rápida irreversível, primeiras 24 horas;

휀𝑐𝑐𝑓 = deformação lenta irreversível (umidade, consistência, espessura, idade);

43

휀𝑐𝑐𝑑 = deformação lenta reversível, depende apenas da duração do carregamento.

Todavia, deve-se ser determinada a deformação total que será:

휀𝑐𝑐,𝑡𝑜𝑡 = 휀𝑐𝑐 + 휀𝑐 = 휀𝑐. (1 + 𝜑) (24)

em que:

휀𝑐𝑐,𝑡𝑜𝑡 = deformação total do concreto;

𝜑 = coeficiente de fluência, sendo determinado pela expressão abaixo:

𝜑 = 𝜑𝑎 + 𝜑𝑓 + 𝜑𝑑 (25)

onde:

𝜑𝑎 = coeficiente de deformação rápida;

𝜑𝑓 = coeficiente de deformação lenta irreversível;

𝜑𝑑 = coeficiente de deformação lenta reversível.

Assim, o coeficiente de fluência 𝜑(𝑡; 𝑡0) é dado por:

𝜑(𝑡; 𝑡0) = 𝜑𝑎 + 𝜑𝑓∞. [𝛽𝑓(𝑡) − 𝛽𝑓(𝑡0)] + 𝜑𝑑∞. 𝛽𝑑 (26)

em que:

𝜑𝑎 = coeficiente de deformação rápida;

𝜑𝑓∞ = coeficiente de deformação lenta irreversível;

𝛽𝑓(𝑡; 𝑡0) = coeficiente relativo à fluência irreversível;

𝑡 = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias;

𝑡0 = idade fictícia do concreto ao ser feito o carregamento único, em dias;

44

𝜑𝑑∞ = coeficiente de deformação lenta reversível;

𝛽𝑑 = coeficiente relativo à fluência reversível.

O coeficiente de fluência rápida 𝜑𝑎 é dado por:

Quadro 6: Coeficiente de fluência rápida 𝜑𝑎

CLASSE DO CONCRETO 𝝋𝒂

C20 a C45 𝜑𝑎 = 0,8. [1 −𝑓𝑐(𝑡0)

𝑓𝑐(𝑡∞)]

C50 a C90 𝜑𝑎 = 1,4. [1 −𝑓𝑐(𝑡0)

𝑓𝑐(𝑡∞)]


onde:

𝑓𝑐(𝑡0)

𝑓𝑐(𝑡∞)=

𝛽1(𝑡0)

𝛽1(𝑡∞) = função do crescimento da resistência do concreto com a idade, sendo;

𝛽1(𝑡; 𝑡∞) = 𝑒𝑥𝑝. {𝑠. [1 − (28

(𝑡;𝑡∞))

12⁄

]} , com 𝑠 determinado a seguir:

Quadro 7: Coeficiente 𝑠 de correlação do tipo de concreto com o crescimento da resistência do concreto

CIMENTO 𝑠

CP I e CP II 0,25

CP III e CP IV 0,38

CP V e ARI 0,20


O coeficiente de deformação lenta irreversível 𝜑𝑓∞ é dado por:

Quadro 8: Coeficiente de deformação lenta irreversível 𝜑𝑓∞

CONCRETO 𝝋𝒇∞

C20 a C45 𝜑𝑓∞ = 𝜑1𝑐. 𝜑2𝑐

C50 a C90 𝜑𝑓∞ = 0,45. 𝜑1𝑐. 𝜑2𝑐


onde:

45

𝜑1𝑐 = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U (%) e da consistência do

concreto, sendo determinado no Quadro 9:

𝜑2𝑐 = coeficiente dependente da espessura fictícia (ℎ𝑓𝑖𝑐) da peça:

𝜑2𝑐 =0,42+ℎ𝑓𝑖𝑐

0,20+ℎ𝑓𝑖𝑐 , espessura fictícia, expressa em m (definida

anteriormente).

Quadro 9: Coeficiente 𝜑1𝑐

UMIDADE (%) ABATIMENTO (cm) 𝝋𝟏𝒄

≤ 90

0 – 4 𝜑1𝑐 = 𝜑1𝑐,𝑃𝐴𝐷𝑅Ã𝑂 . 0,75

5 – 9 𝜑1𝑐 = 4,45 − 0,035. 𝑈 (𝑃𝐴𝐷𝑅Ã𝑂)

10 – 15 𝜑1𝑐 = 𝜑1𝑐,𝑃𝐴𝐷𝑅Ã𝑂 . 1,25

> 90

0 – 4 𝜑1𝑐 = 0,60

5 – 9 𝜑1𝑐 = 0,80

10 – 15 𝜑1𝑐 = 1,00


O coeficiente relativo à fluência irreversível 𝛽𝑓(𝑡; 𝑡0), função da idade do concreto,

é determinado pela equação (27):

𝛽𝑓(𝑡; 𝑡0) =

(𝑡; 𝑡0)2 + 𝐴. (𝑡; 𝑡0) + 𝐵

(𝑡; 𝑡0)2 + 𝐶. (𝑡; 𝑡0) + 𝐷 (27)

em que:

𝐴 = 42. ℎ𝑓𝑖𝑐3 − 350. ℎ𝑓𝑖𝑐

2 + 588. ℎ𝑓𝑖𝑐 + 113

𝐵 = 768. ℎ𝑓𝑖𝑐3 − 3060. ℎ𝑓𝑖𝑐

2 + 3234. ℎ𝑓𝑖𝑐 − 23

𝐶 = −200. ℎ𝑓𝑖𝑐3 + 13. ℎ𝑓𝑖𝑐

2 + 1090. ℎ𝑓𝑖𝑐 + 183

𝐷 = 7579. ℎ𝑓𝑖𝑐3 − 31916. ℎ𝑓𝑖𝑐

2 + 35343. ℎ𝑓𝑖𝑐 + 1931

O coeficiente de deformação lenta irreversível 𝜑𝑑∞ será considerado igual a 0,4.

Enquanto que coeficiente relativo à fluência reversível 𝛽𝑑, função do tempo (𝑡 − 𝑡𝑜),

decorrido após o carregamento é dado por:

46

𝛽𝑑(𝑡) =𝑡 − 𝑡𝑜 + 20

𝑡 − 𝑡𝑜 + 70

(28)

Portanto, a perda de protensão por fluência é determinado pela equação (29):

𝑃𝑐𝑐 = 𝐸𝑝.

𝜎𝑐(𝑡𝑜)

𝐸𝑐𝑖,28. 𝜑. 𝐴𝑝 (29)

em que:

𝐸𝑐,28 = módulo de elasticidade tangente inicial para 28 dias, sendo determinado por:

𝐸𝑐,28 = 𝐸𝑐𝑖,28 = 𝛼𝐸 . 5600. √𝑓𝑐𝑘 (30)

sendo:

𝛼𝐸 = 1,2 para basalto e diabásio;

𝛼𝐸 = 1,0 para granito e gnaisse;

𝛼𝐸 = 0,9 para calcário;

𝛼𝐸 = ,7 para arenito;

3.1.5.1 Parâmetros

3.1.5.1.1 Espessura fictícia da peça

O procedimento de cálculo para se determinar a espessura fictícia é idêntico ao

apresentado anteriormente.

3.1.5.1.2 Idade fictícia do concreto

O procedimento de cálculo para determinar a idade fictícia do concreto é idêntico ao

apresentado anteriormente, todavia o valor de ∝ é distinto do apresentado anteriormente. A

seguir seguem os valores utilizados para ∝:

47

Quadro 10: Valores ∝ de em função da velocidade de endurecimento do cimento para fluência

CIMENTO ∝

AF250, AF320, POZ250, POZ320, MRS e ARS 1

CP250, CP320 e CP400 2

ARI 3

Fonte: Adaptado da NBR 7197.

3.2 Pós-tração

Perda por atrito ao longo da armadura – Patr 3.2.1

As perdas por atrito, ao longo da armadura, variam ao longo de toda a peça

protendida, provocada pelo fato dos cabos estarem em contato com as bainhas, gerando um

atrito quando submetido à força de protensão, além do atrito interno entre os fios ou

cordoalhas que constituem o cabo (VERÍSSIMO E LENZ, 1998).

Figura 9 – Atrito nos cabos dentro da bainha


A armadura que existe dentro da bainha perde tensão devido ao atrito cabo-bainha,

consequência da sinuosidade inevitável do duto em todos os planos, mesmo em trechos

retilíneos do cabo, e da curvatura própria do traçado do cabo.

Figura 10 – Ondulação parasitas da bainha


48

A sinuosidade da bainha é chamada de ondulação parasita, ocorrendo tanto em

trechos curvos como nos retilíneos, e deve-se:

i. Rigidez insuficiente;

ii. Defeitos de montagem da armadura de protensão

iii. Insuficiência de pontos de amarração do cabo

iv. Empuxo do concreto durante a concretagem

Dessa forma, a perda por atrito pode ser dividida de duas formas, sendo elas a perda

por atrito em curva e a perda por atrito parasita. A seguir demostra-se como se determina cada

uma das formas.

3.2.1.1 Perda por atrito em curva

Supondo-se um trecho curvo AB de um cabo e duas seções S e S’ infinitamente

próximos como mostra na Figura 11:

Figura 11 – Forças de atrito num cabo curvo


Na seção S atua a força 𝑃. Na seção S’ atua a força 𝑃′ que é a força P menos a força

de atrito 𝑑𝑃 entre 𝑆 e 𝑆′. Matematicamente, pode-se escrever:

𝑃′ = 𝑃 − 𝑑𝑃

𝑑𝑃 = 𝜇𝑑𝑁

onde 𝜇 é o coeficiente de atrito cabo-bainha.

49

O cabo tracionado com a força P exerce sobre a bainha a força 𝑑𝑁 que produz o

atrito. Sabe-se que para ângulos muitos pequenos, a tangente pode ser confundida com o

próprio ângulo. Como 𝑑𝛼 é um ângulo muito pequeno, do triângulo de forças vem que:

𝑑𝑁 = 𝑃. 𝑑𝛼

e da equação de equilíbrio do cabo se obtém o valor da parcela 𝑑𝑃, que é dada por:

𝑑𝑃 = −𝑃. 𝜇. 𝑑𝛼

e,

𝑑𝑃

𝑃= −𝜇. 𝑑𝛼

Integrando-se a equação acima, tem-se:

∫𝑑𝑃

𝑃= −𝜇 ∫ 𝑑𝛼

ln( 𝑃) = −𝜇. 𝛼 + ln( 𝐶)

ln( 𝑃) − ln( 𝐶) = −𝜇. 𝛼

ln(𝑃

𝐶) = −𝜇. 𝛼

Tirando o exponencial dos dois termos, obtém-se:

𝑒ln(𝑃𝐶

) = 𝑒−𝜇.𝛼

onde, 𝑃

𝐶= 𝑒−𝜇.𝛼 ∴ 𝑃 = 𝐶. 𝑒−𝜇.𝛼

Para 𝛼 = 0, 𝑃 = 𝑃𝐴. Portanto:

𝑃𝐴 = 𝐶. 𝑒0 = 𝐶

Logo, 𝑃 = 𝑃𝐴. 𝑒−𝜇.𝛼, ou seja, 𝑃𝐵 = 𝑃𝐴. 𝑒−𝜇.𝛼 é a expressão geral que dá a força na

seção B do cabo, em função da força na seção A e do ângulo de desvio do cabo entre A e B.

Assim, considerando-se para n curvas tem-se a expressão:

50

𝑃𝑁 = 𝑃𝐴. 𝑒−𝜇.∑ 𝛼

3.2.1.2 Perda por atrito parasita

A perda por atrito parasita pode ser analisando como uma sucessão de perdas em

curva, tanto nos trechos retos de um cabo como nos curvos.

Assim, tem-se:

𝑃𝑁 = 𝑃𝐴. 𝑒−𝜇.∑ 𝛾

onde, ∑ 𝛾 = 𝑘. 𝐿, sendo 𝑘 a ondulação média (em radianos) por unidade de comprimento em

reta ou em curva.

De acordo com a NBR 7197, a perda da força de protensão no cabo devido ao atrito

pode ser determinada pela equação abaixo, sendo o resultado da sobreposição dos efeitos das

duas formas de atrito.

Δ𝑃(𝑥) = 𝑃𝑖 . [1 − 𝑒−(𝜇.∑ 𝛼+𝑘.𝑥)] (31)

em que:

𝑃𝑖 = força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração;

∑ 𝛼 = soma dos ângulos de desvios previstos, no trecho compreendido entre as abcissas 0 e x

da peça;

𝜇 = coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha;

𝑘 = coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo;

Os coeficientes podem ser obtidos por experimentos ou podem ser adotados os

valores conforme o Quadro 11:

Quadro 11: Coeficientes de perda de atrito

TIPO DE MATERIAL 𝝁 𝝁 (𝒑𝒓𝒐𝑡𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒖𝒂𝒍) 𝒌

Cabo e concreto sem bainha 0,50 0,60 0,01.μ

Barra com saliência e 0,30 0,40

51

TIPO DE MATERIAL 𝝁 𝝁 (𝒑𝒓𝒐𝑡𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒖𝒂𝒍) 𝒌

bainha metálica

Fios com saliência e bainha

metálica 0,30 0,40

Fios lisos paralelos e bainha

metálica 0,20 0,30

Fios lisos trançados e

bainha metálica 0,20 0,30

Fios lisos paralelos e bainha

metálica lubrificada 0,10 0,20

Fios liso trançados e bainha

metálica lubrificada 0,10 0,20


Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem – Panc 3.2.2

A perda na ancoragem deve-se ao escorregamento dos fios, e depende do tipo de

dispositivo de ancoragem, devido à acomodação do elemento de ancoragem (BASTOS,

2015).

Em alguns elementos de ancoragem, essa perda é muito pequena, como na

ancoragem por meio da rosca e porca, sistema Leonhardt, e quando a ancoragem está apoiada

em argamassa ou calda de injeção (HANAI, 2005).

Todavia, o encunhamento é o elemento mais empregado na construção civil tendo

perdas de protensão maiores e significativas. Segundo a NBR 6118 (9.6.3.3.2.3), essas

“perdas devem ser determinadas experimentalmente ou adotados os valores indicados pelos

fabricantes dos dispositivos de ancoragem.”.

52

Figura 12 – Tensão ao longo cabo antes da ancoragem (1-4-2) e após a ancoragem (3-4-2).

Fonte: Carvalho, 2012.

Na Figura 12, tem-se o desenvolvimento das tensões em um cabo antes de ser

ancorado (1º situação: 1-4-2). Após a ancoragem, ocorrem as perdas e o desenvolvimento das

tensões fica sendo o trecho de 3-4-2 (2º situação), resultando então uma queda de tensão na

região 1-4 (CARVALHO, 2012).

A queda de tensão no início vale ∆𝜎 e vai diminuindo até que, no ponto 4 torna-se

zero. A diminuição da queda de tensão ocorre devido ao atrito cabo-bainha que impede a livre

movimentação do cabo para o “interior” da estrutura. Os pontos entre 4 e 2 não se

movimentam durante a operação de ancoragem e, portanto, neste trecho não se verifica queda

de tensão (CARVALHO, 2012).

Portanto, com base na Lei de Hooke, a perda da ancoragem é determinada pela

equação (32):

𝑃𝑎𝑛𝑐 = 2. 𝐸𝑝.

𝛿

𝑋. 𝐴𝑝 (132)

em que:

𝐸𝑝 = módulo de elasticidade do aço de protensão;

𝛿 = escorregamento/acomodação na ancoragem;

𝛿

𝑋= 휀 = perda de deformação média até X;

53

𝑋 = posição aonde a perda de tensão é nula;

𝐴𝑝 = área do aço protendido.

A posição aonde a perda de tensão é nula é determinada por:

𝑋 = √𝐸𝑝. 𝛿

𝜎𝑃𝑖. 𝜆

(33)

em que:

𝜆 = valor dependente da curvatura da armadura e do atrito (𝜇);


Todavia, a expressão 𝑋 pode variar de acordo com o tipo de perfil, sendo assim,

segue a seguir as formas possíveis de um perfil e os valores para ser determinado 𝑋,

ratificando que 𝑘 é determinado pelo Quadro 11.

54

Figura 13 – Valores de 𝜆 e 𝑋 para perfis típicos da armadura.

Fonte: Bastos, 2015.

Perda por deformação imediata do concreto pelo estiramento dos cabos restantes – Pe 3.2.3

A armadura de protensão é tracionada com uma determinada tensão e, quando

liberada, a força de protensão é transferida para o concreto, consequentemente, provocando

deformações. Essas deformações acarretam perda de tensão na armadura (HANAI, 2005).

Essa situação é intrínseca ao processo de execução, pois para que ocorra a aplicação

da força de protensão é necessário que existam deformações no concreto (HANAI, 2005).

O macaco de protensão apoia-se em parte da própria peça a ser protendida, o que

provocará as deformações na peça à medida que a armadura vai sendo estirada, de modo que

não ocorre queda de tensão por deformação imediata do concreto, quando se tem apenas um

cabo de protensão (BASTOS, 2015).

55

Todavia, quando existe mais de um cabo e a protensão é aplicada cabo por cabo

(como ocorre, geralmente, nas obras), a protensão num cabo provoca deformações no

concreto que resultam em perda de protensão nos cabos já tracionados e ancorados. Dessa

forma, deve-se calcular um valor médio (BASTOS, 2015).

Assim, o primeiro cabo sofre perda de protensão decorrente da protensão dos n-1

cabos restante, e assim sucessivamente, sendo zero a perda do último cabo estirado

(BASTOS, 2015).

Segundo a NBR 6118 (item 9.6.3.3.2.1), a perda média de protensão, por cabo, é:

𝑃𝑒 = [

∝𝑝. (𝜎𝑐𝑝 + 𝜎𝑐𝑔). (𝑛 − 1)

2. 𝑛] . 𝐴𝑝 (34)

em que:

∝𝑝=𝐸𝑝

𝐸𝑐 = coeficiente de equivalência entre os módulos de elasticidade da armadura de

protensão e do concreto;

𝜎𝑐𝑔 = −𝑀𝑐𝑔

𝐼ℎ. 𝑒𝑝 = tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à carga

permanente mobilizada pela protensão;

𝜎𝑐𝑝 = 𝑃 (1

𝐴𝑐ℎ+

𝑒𝑝

𝐼ℎ. 𝑦) = tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à

protensão simultânea de todos os cabos;

𝐴𝑝 = área do aço protendido;

𝐼𝑐 = momento de inércia da seção transversal;

𝑒𝑝 = excentricidade da resultante de protensão;

𝑛 = número de cabos.

56

Perda por relaxação da armadura – Pr 3.2.4

O procedimento dessa perda ocorre da mesma forma do processo determinado

anteriormente em pré-tração. Portanto, para se determinar a perda por relaxação da armadura

em pós-tração deve seguir o mesmo procedimento.

Perda por retração do concreto – Pcs 3.2.5


anteriormente em pré-tração. Portanto, para se determinar a perda por retração do concreto em

pós-tração deve seguir o mesmo procedimento.

Perda por fluência do concreto – Pcc 3.2.6


anteriormente em pré-tração. Portanto, para se determinar a perda por fluência do concreto em

pós-tração deve seguir o mesmo procedimento.

57

4 METODOLOGIA

O programa para se determinar as perdas em peças protendidas foi separado em duas

vertentes, sendo a primeira para se determinar a perda da força de protensão em pré-tração e a

outra para se determinar em situações de pós-tração (processo mais comum na construção

civil brasileira). Essa divisão ocorre devido a cada processo possuir suas devidas

particularidades.

Os dois programas elaborados poderão ser empregados em suas situações

específicas. É necessário que o usuário entre com todos os dados necessários para que o

programa processe as informações e retorne como resultado final todas as perdas de protensão

que ocorrem e as forças que existem no processo.

Os códigos foram elaborados com a linguagem FORTRAN, devido aos seus

benefícios em relação às outras linguagens existentes no mercado, tendo sido desenvolvidos

no 2.2 Fortran, usando a interface PLATO IDE, como mostra a figura abaixo.

Figura 14 - Plato Idea

Fonte: Autor, 2017.

58

Após a finalização dos programas, foram elaborados alguns exemplos para validar os

resultados. Todos os procedimentos estão de acordo com a NBR 6118/2014, NBR 7482/2008

e NBR 7483/2008.

59

5 DESENVOLVIMENTO DO ROTEIRO DO PROGRAMA

O roteiro dos programas será dividido em três etapas: dados de entrada,

procedimento do código e os dados de saída. Então, tem-se:

5.1 Dados de entrada

Os dados de entrada para cada programa deverão ser elaborados pelo usuário em que

deverá ser um arquivo da extensão .txt como o nome de entrada em como mostra a Figura 15.

Figura 15 – Modelo do arquivo de entrada para pré-tração

Fonte: Autor, 2017.

Com base na Figura 15, tem-se que segue uma ordem com os dados de entrada,

porém o preenchimento deverá ser específico, ou seja, a posição da sequência já é pré-

determinada para cada dado. A seguir seguem dois quadros com a sequência de

preenchimento do arquivo entrada para pré-tração e para pós-tração, respectivamente.

Quadro 12: Dados de entrada para pré-tração

CÓDIGO DADO DE ENTRADA UNIDADE

60


L Comprimento do vão m

Spi Tensão por ocasião da operação de protensão na armadura MPa

Ap Área de protensão cm²

Cri Coeficiente de correlação da relaxação inicial da armadura para

1000 h %

B Base da seção cm

H Altura da seção cm

fck Resistência característica à compressão do concreto MPa

Ep Módulo de elasticidade do aço de protensão MPa

ae Coeficiente do tipo do agregado -

tf Tempo da vida útil dia

t0 Tempo inicial de aplicação das cargas dia

U Umidade relativa do ambiente %

G1cc Correlação para umidade com fluência -

G1ccf Correlação que depende da umidade e consistência do concreto

final -

dic Correlação com a posição de aplicação da força de protensão -

Yea Distância da armadura para a borda cm

Vec Coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do

cimento -

S Coeficiente de correlação do cimento com a fluência -

Ga1 Valor de correlação para o tipo de concreto -

Temp Temperatura do local ºC

Fonte: Autor, 2017.

61

Quadro 13: Dados de entrada para pós-tração


L Comprimento do vão m

Spi Tensão por ocasião da operação de protensão na armadura MPa

Ap Área de protensão cm²

Cri Coeficiente de correlação da relaxação inicial da armadura para

1000 h %

B Base da seção cm

H Altura da seção cm

fck Resistência característica à compressão do concreto MPa

Ep Módulo de elasticidade do aço de protensão MPa

ae Coeficiente do tipo do agregado -

tf Tempo da vida útil dia

t0 Tempo inicial de aplicação das cargas dia

U Umidade relativa do ambiente %

G1cc Correlação para umidade com fluência -

G1ccf Correlação que depende da umidade e consistência do concreto

final -

n Número de cabos protendidos und

z1 Posição vertical na posição 1 do cabo cm



l1 Posição horizontal na posição 1 do cabo cm



MM Escorregamento/acomodação na ancoragem cm

Mi Coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha; -

Mo Modelo adotado da camblagem -

Yea Distância da armadura para a borda m

Vec Coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do

cimento -

S Coeficiente de correlação do cimento com a fluência -

Ga1 Valor de correlação para o tipo de concreto -

Temp Temperatura do local ºC

Fonte: Autor, 2017.

62

5.2 Procedimento do código

Anteriormente, na revisão bibliográfica, foi apresentado como se determinam as

perdas envolvendo a protensão. A seguir serão apresentados, para os dois casos de aplicação

da força, a sequência para se obter a perda final na força de protensão aplicada.

Pré-tração 5.2.1

A sequência para a determinação da força de protensão final é dado por:

i. Determinar o comprimento do vão total da peça protendida;

ii. Determinar a tensão por ocasião da operação de protensão na armadura, com

base no tipo de aço, conforme o Quadro 14:

Quadro 14: Valores limites de tensão na pré-tração

TENSÃO AÇO

RN RB

fptk ≤ 0,77 ≤ 0,77

fpyk ≤ 0,90 ≤ 0,85


iii. Determinar a área de protensão;

iv. Determinar o coeficiente de correlação da relaxação inicial da armadura para

1000 h;

v. Determinar a base e altura da seção da peça protendida;

vi. Determinar a resistência característica à compressão do concreto;

vii. Determinar o módulo de elasticidade do aço de protensão, conforme o tipo de

aço;

viii. Determinar o coeficiente com relação ao tipo de agregado que será escolhido

com base no item 3.1.5;

ix. Escolher o tempo inicial de aplicação das cargas, sendo no mínimo três (03)

dias, e o tempo total da vida útil;

x. Determinar a umidade relativa (U) do ambiente no local da peça;

63

xi. Escolher o valor para correlação para umidade, sendo usado 1 quando a

umidade for menor ou igual a 90% e 2 quando U for maior do que 90;

xii. Escolher o valor para a correlação que depende da umidade e consistência do

concreto final, sendo 1 quando o abatimento do concreto for entre 0 e 4 cm, 2

quando for entre 5 cm e 9 cm e 3 quando for entre 10 cm e 15 cm;

xiii. Escolher o valor para a correlação com a posição de aplicação da força de

protensão, sendo 1 quando a força aplicada for centrada e 2 quando for

excêntrica;

xiv. Determinar a distância da armadura até a borda;

xv. Determinar o coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do

cimento com base no Quadro 5;

xvi. Escolher o coeficiente de correlação do cimento com a fluência com base no

Quadro 7;

xvii. Escolher o valor de correlação para o tipo de concreto sendo 1 para concreto

entre C20 a C45 e 2 para C50 a C90;

xviii. Determinar a temperatura do local da peça;

xix. O software determinará a força máxima aplicada à armadura de protensão

pelo equipamento de tração – Pi;

xx. Com base nos dados fornecidos, o software determinará as Perdas por

escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem – Panc, a Perda por

relaxação da armadura inicial – Pr1; a Perda por retração do concreto inicial–

Pcs1, porém, a favor da segurança, será desprezada a influência do peso

próprio na estrutura;

xxi. Com as perdas é possível determinar a força na armadura de protensão no

tempo imediatamente anterior à sua liberação das ancoragens externas – Pa

xxii. É determinada a Perda por deformação inicial do concreto – Pe;

xxiii. Ocorre a determinação da força de protensão no tempo t=0 – Po;

xxiv. Com esses dados é possível determinar as perdas finais, sendo: Perda por

relaxação da armadura posterior – Pr2, a Perda por retração do concreto

posterior – Pcs2 e Perda por fluência do concreto posterior – Pcc2;

xxv. E, por fim, a determina-se a força de protensão no tempo t – P.

64

Pós-tração 5.2.2

A sequência para a determinação da força de protensão final é dada por:

i. Determinar o comprimento do vão total da peça protendida;

ii. Determinar a tensão por ocasião da operação de protensão na armadura, com

base no tipo de aço, em acordo com o Quadro 15:

Quadro 15: Valores limites de tensão na pós-tração

TENSÃO

AÇO CORDOALHAS

ENGRAXADAS

RB

AÇO CP –

85/105 em

BARRA RN RB

fptk ≤ 0,77 ≤ 0,77 ≤ 0,80 ≤ 0,72

fpyk ≤ 0,90 ≤ 0,85 ≤ 0,88 ≤ 0,88


iii. Determinar a área de protensão;

iv. Determinar o coeficiente de correlação da relaxação inicial da armadura para

1000 h;

v. Determinar a base e altura da seção da peça protendida;

vi. Determinar a resistência característica à compressão do concreto;

vii. Determinar o módulo de elasticidade do aço de protensão, conforme o tipo de

aço;

viii. Determinar o coeficiente com relação ao tipo de agregado, conforme o item

3.1.5;

ix. Escolher o tempo inicial de aplicação das cargas, sendo no mínimo três (03)

dias, e o tempo total da vida útil;

x. Determinar a umidade relativa (U) do ambiente no local da peça;

xi. Escolher o valor de correlação para umidade, sendo usado 1 quando a

umidade for menor ou igual a 90% e 2 quando U for maior do que 90;

xii. Escolher o valor para a correlação que depende da umidade e consistência do

concreto final, sendo 1 quando o abatimento do concreto for entre 0 e 4 cm, 2

quando for entre 5 cm e 9 cm e 3 quando for entre 10 cm e 15 cm;

xiii. Determinar a distância da armadura até a borda;

65

xiv. Determinar o coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do

cimento com base no Quadro 5;

xv. Escolher o coeficiente de correlação do cimento com a fluência com base no

Quadro 7;

xvi. Escolher o valor de correlação para o tipo de concreto sendo 1 para concreto

entre C20 a C45 e 2 para C50 a C90;

xvii. Determinar a temperatura do local da peça;

xviii. Determinar o número de cabos que serão protendidos;

xix. Adotar o valor do escorregamento/acomodação na ancoragem, sendo,

geralmente, adotado o valor de 5,1 mm;

xx. Determinar o coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha com base no

Quadro 11;

xxi. Além disso, será necessário adotar três formas possíveis da cablagem, sendo

adotado o valor 1 para a situação A (Figura 16), 2 para a situação B (Figura

17) e 3 para a situação C (Figura 18).

Figura 16 – Situação A

Fonte: Autor, 2017.

Figura 17 – Situação B

Fonte: Autor, 2017.

66

Figura 18 – Situação C

Fonte: Autor, 2017.

xxii. O software determinará a força máxima aplicada à armadura de protensão

pelo equipamento de tração – Pi;

xxiii. Com base nos dados acima, o software determinará Perda por atrito ao longo

da armadura – Patr, Perda por deformação imediata do concreto pelo

estiramento dos cabos restantes – Pe, Perda por relaxação inicial da armadura

– Pr1, Perda por retração inicial do concreto – Pcs1 e a Perda por fluência

inicial do concreto – Pcc1; a Perda por escorregamento dos fios e

acomodação da ancoragem – Panc, porém a favor da segurança, será

desprezada a influência do peso próprio na estrutura;

xxiv. Com esses dados é possível determinar força de protensão no tempo t=0 – Po;

xxv. Com essas informações é possível determinar as perdas finais, sendo: Perda

por relaxação da armadura posterior – Pr2, a Perda por retração do concreto

posterior – Pcs2 e Perda por fluência do concreto posterior – Pcc2;

xxvi. E por fim a força de protensão no tempo t – P.

5.3 Dados de saída

Os dados de saída para cada programa são gerados pelo software que através de um

arquivo da extensão .txt como o nome de saída, impresso de acordo com a Figura 19.

67

Figura 19 – Modelo do arquivo de saída para pós-tração

Fonte: Autor, 2017.

Entretanto, os resultados gerados variam de acordo com cada programa, assim, para a

pré-tração são gerados os valores das perdas, sendo: Perda por escorregamento dos fios e

acomodação da ancoragem – Panc; Perda por deformação inicial do concreto – Pe; Perda por

relaxação da armadura inicial e posterior – Pr; Perda por retração do concreto inicial e

posterior – Pcs e Perda por fluência do concreto posterior – Pcc.

Além disso, serão determinadas as forças de protensão, sendo: Força máxima

aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração – Pi; Força na armadura de

protensão no tempo imediatamente anterior à sua liberação das ancoragens externas – Pa;

Força de protensão no tempo t=0 – Po; e por fim a Força de protensão no tempo t – P.

Logo, o usuário deverá interpretar os resultados com base na Figura 20:

68

Figura 20 – Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pré-tracionada


Entretanto, para a pós-tração são geradas perdas distintas, sendo: Perda por atrito ao

longo da armadura – Patr, Perda por deformação imediata do concreto pelo estiramento dos

cabos restantes – Pe, Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem – Panc,

Perda por relaxação inicial e posterior da armadura – Pr, Perda por retração inicial e posterior

do concreto – Pcs e a Perda por fluência inicial e posterior do concreto – Pcc.

Além disso, são determinadas as forças de protensão, sendo: Força máxima aplicada

à armadura de protensão pelo equipamento de tração – Pi; Força de protensão no tempo t=0 –

Po; e pôr fim a Força de protensão no tempo t – P.

Logo, o usuário deverá interpretar os resultados com base na Figura 21:

69

Figura 21 – Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pós-tracionada


70

6 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA (EXEMPLOS)

Para analisar a validade dos programas elaborados, são apresentados a seguir

exemplos existentes na literatura com os seus respectivos resultados. Também são

apresentados os resultados obtidos pelos softwares e, caso seja necessário, adotados fatores

para que se determinem todas as perdas.

6.1 Exemplo 01

Será utilizado o exemplo do item de determinação da força Po na pré-tração que se

encontra em Bastos (2015) na página 35. Então, tem-se os dados fornecido pela questão:

Figura 22 – Esquema da viga


DADOS DA LITERATURA:

Vão: 𝑙 = 15, .20 𝑚;

Aço do tipo RB;

Tensão de operação: 𝜎𝑃𝑖= 0,75 𝑓𝑝𝑡𝑘;

𝑓𝑝𝑡𝑘 = 1900 𝑀𝑃𝑎;

Área de protensão: 𝐴𝑃 = 9.87 𝑐𝑚²;

Tipo de aço: 10 cordoalhas CP 190 RB 12,7

Altura da seção: H= 76 𝑐𝑚;

Base da seção: 𝐵 = 38 𝑐𝑚;

Concreto C30: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎;

Tipo de agregado: 𝛼𝐸 = 1,0 (brita de granito ou gnaisse);

Módulo de elasticidade do aço: 𝐸𝑃 = 196.000 𝑀𝑃𝑎;

71

Aplicação da força: força excêntrica;

Esses dados são os apresentados pelas notas de aula. Todavia, para se determinar

todas as perdas devem ser adotados alguns coeficientes. Listam-se, a seguir, os coeficientes

determinados pelo autor:

Coeficiente de correlação da relaxação inicial da armadura para 1000 h: 𝜓1000 = 3,0;

Tempo inicial de aplicação das cargas: 𝑡0 = 3 𝑑𝑖𝑎𝑠;

Tempo total da vida útil 𝑡 = 40 𝑎𝑛𝑜𝑠 (14.400 𝑑𝑖𝑎𝑠);

Umidade relativa (U) do ambiente no local da peça: 𝑈 = 80 %;

Abatimento do concreto: 8 cm;

Cimento do tipo CPII; e

Temperatura do local da peça: 𝑇 = 30°.

Portanto, com base nessas informações, é possível determinar as perdas na ocasião

de pré-tração. Assim, tem-se abaixo a tabela com os resultados fornecidos, os obtidos pelo

programa pre_tracao e manualmente:

Tabela 2 – Resultados na Pré-tração

BIBLIOGRAFIA

(kN)

OBTIDOS PELO

SOFTWARE

(kN)

OBTIDOS

MANUALMENTE

(kN)

Força aplicada (Pi) 1406,500 1406,475 1406,475

Perda por escorregamento dos fios

e acomodação da ancoragem

(Panc)

- 66,094 66,094

Perda por relaxação da armadura

inicial (Pr1) - 45,802 45,801

Perda por retração do concreto

inicial (Pcs1) - 1,217 1,217

Força na armadura de protensão

no imediatamente anterior à sua

liberação das ancoragens externas

(Pa)

- 1293,363 1293,363

Perda por deformação inicial do

concreto (Pe) 54,285 73,741 73,741

72

BIBLIOGRAFIA

(kN)

OBTIDOS PELO

SOFTWARE

(kN)

OBTIDOS

MANUALMENTE

(kN)

Força de protensão no tempo t=0

(Po) 1352,200 1219,622 1219,622

Perda por relaxação da armadura

posterior (Pr) - 30,491 30,491

Perda por retração do concreto

posterior (Pcs2) - 105,121 125,120

Perda por fluência do concreto

posterior (Pcc2) - 66,799 66,799

Força de protensão no tempo t

(P) - 1017,212 1017,212

Fonte: Autor, 2017.

Como base na Tabela 2, é possível ratificar que os resultados obtidos manualmente e

os obtidos pelo software apresentam divergências de valores devido aos arredondamentos.

Entretanto, os dados apresentados pela bibliografia apresentam grande diferença, pois

consideram apenas a perda por deformação inicial do concreto (diferença de 26,28%) e a

força aplicada.

Dessa forma, para se determinar a força de protensão no tempo t é necessário

determinar todas as perdas no concreto protendido. Na Tabela 3, segue a representação das

perdas em relação à força aplicada inicialmente.

Tabela 3 – Comparativos das perdas na Pré-tração

OBTIDOS PELO SOFTWARE

(%)

Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem

(Panc) 4,70%

Perda por relaxação da armadura inicial (Pr1) 3,26%

73

OBTIDOS PELO SOFTWARE

(%)

Perda por retração do concreto inicial (Pcs1) 0,09%

Perda por deformação inicial do concreto (Pe) 5,24%

Perda por relaxação da armadura posterior (Pr) 2,17%

Perda por retração do concreto posterior (Pcs2) 7,47%

Perda por fluência do concreto posterior (Pcc2) 4,75%

Força de protensão no tempo t (P) 72,32%

Fonte: Autor, 2017.

Logo, tem-se que a única perda não significativa na pré-tração é perda por retração do

concreto inicial (0,09%) as demais possuem perdas significativas. Assim, ocorre uma redução da

força inicial de 27,68% para a força de protensão no tempo t, o que representa uma grande

redução da força de 389,263 kN.

6.2 Exemplo 02

Será utilizado o exemplo do item perda por atrito na pós-tração que se encontra em

Bastos (2015) na página 39. Tem-se os dados fornecido pela questão:

Figura 23 –Posicionamento da armadura de protensão na viga protendida


DADOS DA LITERATURA:

Vão: 𝑙 = 64,00 𝑚;

Aço do tipo RB;

Tensão de operação: 𝜎𝑃𝑖= 0,74 𝑓𝑝𝑡𝑘;

𝑓𝑝𝑡𝑘 = 1900 𝑀𝑃𝑎;

74

Área de protensão: 𝐴𝑃 = 9.88 𝑐𝑚²;

Tipo de aço: 10 cordoalhas CP 190 RB 12,7;

Coeficiente de atrito: 0,20 (bainha metálica com cordoalha);

Módulo de elasticidade do aço: 𝐸𝑃 = 196.000 𝑀𝑃𝑎;

Esses dados são os apresentados pelas notas de aula. Todavia, para se determinar

todas as perdas devem ser adotados alguns coeficientes, listam-se, a seguir, os coeficientes

determinados pelo autor.

Coeficiente de correlação da relaxação inicial da armadura para 1000 h: 𝜓1000 = 2,9;

Tempo inicial de aplicação das cargas: 𝑡0 = 3 𝑑𝑖𝑎𝑠;

Tempo total da vida útil 𝑡 = 40 𝑎𝑛𝑜𝑠 (14.400 𝑑𝑖𝑎𝑠);

Concreto C30: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎;

Tipo de agregador: 𝛼𝐸 = 1,0 (brita de granito ou gnaisse);

Umidade relativa (U) do ambiente no local da peça: 𝑈 = 80 %;

Abatimento do concreto: 8 cm;

Número de cabos protendidos: 4;

Escorregamento/acomodação na ancoragem: 5,1 mm;

Altura da seção: H= 76 𝑐𝑚;

Distância da armadura para a borda: 10 cm;

Base da seção: 𝐵 = 38 𝑐𝑚;

Cimento do tipo CPII; e

Temperatura do local da peça: 𝑇 = 30°.

Portanto, com base nessas informações, é possível determinar as perdas na ocasião

de pós-tração. Tem-se, a Tabela 4 com os resultados fornecidos e os obtidos pelo programa

pos_tracao:

Tabela 4 – Resultados na Pós-tração

BIBLIOGRAFIA

(kN)

OBTIDOS PELO

SOFTWARE

(kN)

OBTIDOS

MANUALMENTE

(kN)

Força aplicada (Pi) 1387,7 1389,128 1377,880

Perda por atrito ao longo da

armadura (Patr) 133.38 229,236 227,380

75

BIBLIOGRAFIA

(kN)

OBTIDOS PELO

SOFTWARE

(kN)

OBTIDOS

MANUALMENTE

(kN)

Perda por deformação

imediata do concreto pelo

estiramento dos cabos

restantes (Pe)

- 31,370 30,866

Perda por relaxação inicial da

armadura (Pr1) - 43,729 43,375

Perda por retração inicial do

concreto (Pcs1) - 1,306 1,295

Perda por fluência inicial do

concreto (Pcc1) - 12,047 11,855

Perda por escorregamento

dos fios e acomodação da

ancoragem (Panc)

- 45,147 44,781

Força de protensão no tempo

t=0 (Po) 1254,383 1071,441 1063,109

Perda por relaxação da

armadura posterior (Pr2) - 26,786 26,578

Perda por retração do

concreto posterior (Pcs2) - 105,586 104,730

Perda por fluência do

concreto posterior (Pcc2) - 62,235 61,261

Força de protensão no tempo

t (P) 1254,383 876,833 870,540

Fonte: Autor, 2017.

Como base na Tabela 4, é possível ratificar que os dados obtidos manualmente e os

dados pelo software apresentam divergências de valores devido a arredondamento, tendo uma

diferença em torno de 0,72%. Entretanto, os dados apresentados pela literatura apresentam

uma grande diferença, pois esse considera apenas a perda por atrito ao longo da armadura

(diferença de 41,82%) e a força de protensão no tempo t=0 (diferença de 17,08%).

76

Dessa forma, para se determinar a força de protensão no tempo t é necessário que se

determine todas as perdas no concreto protendido. Na Tabela 5, segue a representação das

perdas em relação à força aplicada inicialmente.

Tabela 5 – Comparativos das perdas na Pós-tração

OBTIDOS PELO

SOFTWARE (%)

Perda por atrito ao longo da armadura (Patr) 16,50%

Perda por deformação imediata do concreto pelo estiramento

dos cabos restantes (Pe) 2,26%

Perda por relaxação inicial da armadura (Pr1) 3,15%

Perda por retração inicial do concreto (Pcs1) 0,09%

Perda por fluência inicial do concreto (Pcc1) 0,87%

Perda por escorregamento dos fios e acomodação da

ancoragem (Panc) 3,25%

Perda por relaxação da armadura posterior (Pr2) 1,93%

Perda por retração do concreto posterior (Pcs2) 7,60%

Perda por fluência do concreto posterior (Pcc2) 4,48%

Força de protensão no tempo t (P) 63,12%

Fonte: Autor, 2017.

Logo, tem-se que as maiores perdas existentes são: a perda por atrito ao longo da

armadura (16,50%), a perda por retração do concreto posterior (7,60%) e a perda por fluência

do concreto posterior (4,48%) e ocorrendo uma redução da força inicial de 36,88% para a

força de protensão no tempo t, o que representa uma redução da força de 512,295 kN.

77

7 CONCLUSÃO

O cálculo manual das perdas em concreto protendido são bastante trabalhoso, sendo

necessário um grande tempo. Entretanto, aquelas tem uma grande influência na força aplicada

inicialmente na estrutura, ou seja, provocam uma redução da força em torno de 40%

aproximadamente e a determinação de todas as perdas existentes em cada processo (pré-

tração e pós-tração) é imprescindível.

Com os códigos desenvolvidos neste trabalho, espera-se que esses sejam utilizados

por estudantes de engenharia e projetistas, podendo ser utilizada no ganho de sensibilidade na

interpretação das perdas por parte dos estudantes e, quanto aos projetistas, ser utilizado como

uma forma de auxílio para o dimensionamento de estruturas protendidas e/ou ratificar

resultados impressos por software que existem no mercado (como TQS e Cypecad).

7.1 Sugestões para trabalhos futuros

Sugere-se a elaboração de códigos que possam dimensionar e detalhar as estruturas

de concreto protendido em pré-tração e pós-tração, pois os mesmos apresentam

comportamento distintos, criando diversos cenários para o projeto, como por exemplo o caso

de atrasos na execução da obra, que acaba por afetar todas as idades consideradas, execução

mau realizada, que afeta linearmente da estrutura etc.

78

REFERÊNCIAS

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de concreto – Procedimento. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 238 p.

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______. NBR 7482: Fios e aço para estruturas de concreto protendido – Especificações. 2 ed.

Rio de Janeiro: ABNT, 2008.

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Rio de Janeiro, 2008.

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KAESTNER, Camile Luana. Dimensionamento de longarinas protendidas com a

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Civil, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2015.

LEONHARDT, Fritz. Bridges: aesthetics and design. London: The Architectural Press,

1982.

79

PFEIL, Walter. Concreto protendido. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A., 1985. ______. CONCRETO PROTENDIDO, 1: introdução. Rio de Janeiro:

LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1984.

RODRIGUES, Glauco José de Oliveira. Concreto Protendido. 2008. Notas de aula.

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80

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Introducão ao Fortran 90/95. 2010. Disponível em:

<http://wp.ufpel.edu.br/diehl/files/2016/10/Apostila_links.pdf>. Acesso em: 07 mar. 2017.

MENEGATTI, Marcelo. A protensão como um conjunto de cargas concentradas

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