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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA BRUNO NUNES MELO DA SILVA APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS MAGNETOHIDRODINÂMICOS NATAL - RN 02 de Maio de 2014
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
BRUNO NUNES MELO DA SILVA
APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENER ALIZADA
EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS
MAGNETOHIDRODINÂMICOS
NATAL - RN
02 de Maio de 2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
BRUNO NUNES MELO DA SILVA
APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENER ALIZADA
EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS
MAGNETOHIDRODINÂMICOS
Dissertação submetida à Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. João Alves de lima Área de concentração: Mecânica Computacional
NATAL - RN
02 de Maio de 2014
UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede. Catalogação da Publicação na Fonte.
Silva, Bruno Nunes Melo da. Aplicação da técnica da transformada integral generalizada em escoamento em canais considerando efeitos magnetohidrodinâmicos. / Bruno Nunes Melo da Silva. – Natal, RN, 2014. 142 f.; il.
Orientador: Prof. Dr. João Alves de Lima.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.
1. Magnetohidrodinâmica – Dissertação. 2. Efeito hall - Dissertação. 3. Deslizamento de íons - Dissertação.
4. Tranformada integral - Dissertação. 5. Propriedades variáveis – Dissertação. I. Lima, João Alves de. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 537.84
5
A minha noiva Aline Kelle, pelo tempo que deixamos de estar juntos...
Aos meus familiares e amigos, a eles todos os créditos...
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AGRADECIMENTOS
A Jesus Cristo, por me ajudar nos momentos difíceis.
Aos meus pais.
A minha família.
Ao professor João Alves de Lima, meu orientador, por acreditar em mim, seus
ensinamentos, humildade e grandiosa inteligência que me servem de exemplo.
À UFRN pela oportunidade de realização desse mestrado.
7
“... a simplicidade e a humildade são grandes virtudes do ser humano.” Clovis R. Maliska.
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SUMÁRIO
RESUMO ...........................................................................................................................10
ABSTRACT .......................................................................................................................11
LISTA DE FIGURAS .......................................................................................................12
LISTA DE TABELAS .......................................................................................................15
LISTA DE SÍMBOLOS ....................................................................................................17
LETRAS GREGAS ...........................................................................................................22
LISTA DE ANEXOS .........................................................................................................24
CAPÍTULO I
1 INTRODUÇÃO
1.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 26 1.2 OBJETIVOS ................................................................................................ 29 CAPÍTULO II
2 REVISÃO DE LITERATURA
2.1 MAGNETOHIDRODINÂMICA EM CANAIS PARALELOS ................. 31 2.2 A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA ... 34 CAPÍTULO III
3 MHD: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................... 40 3.2 CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................. 44 3.3 EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA ..................................................... 47 3.3.1 CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ ............................ 47 3.3.2 LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA ......... 48 3.3.3 LEI DE AMPÈRE ............................................................................ 49 3.3.4 LEI DE FARADAY ........................................................................ 51 3.3.5 CONSERVAÇÃO DE CARGA-DIVERGÊNCIA .......................... 52 3.3.6 INCLUSÃO DO EFEITO HALL E DESLIZAMENTO DE ÍONS 55 3.4 EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES E A FORÇA DE LORENTZ ............ 57
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CAPÍTULO IV
4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
4.1 PROBLEMA FÍSICO .................................................................................. 59 4.2 HIPÓTESES ADOTADAS ......................................................................... 60 4.3 MODELO MATEMÁTICO ....................................................................... 67 4.4 ADIMENSIONALIZAÇÃO ........................................................................ 70
CAPÍTULO V
5 METODOLOGIA E SOLUÇÃO
5.1 PROCESSO DE FILTRAGEM DOS POTENCIAIS .................................. 74 5.2 EXPRESSÃO DOS FILTROS .................................................................... 75 5.2.1 FILTRO PARA OS CAMPOS DE VELOCIDADE ....................... 75 5.2.2 FILTRO PARA OS CAMPOS DE TEMPERATURA .................... 76 5.3 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO SISTEMA .................................... 78 5.3.1 PROBLEMA DE AUTOVALOR AUXILIAR ............................... 78 5.3.2 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES ................. 81
CAPÍTULO VI
6 RESULTADOS
6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................... 86 6.2 VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ......................... 87 6.2.1 ATTIA & KOTB (1996) .................................................................. 87 6.2.2 ATTIA (2006a) ................................................................................ 91 6.2.3 ATTIA (1999) .................................................................................. 96 6.2.4 ATTIA (2002) ................................................................................ 100 6.2.5 ATTIA & ABOUL-HASSAN (2003) - ATTIA (2005b) ............... 109 6.2.6 ATTIA (2005c) - ATTIA (2006b) ................................................. 116
CAPÍTULO VII
7 CONCLUSÕES ............................................................................................. 124
REFERÊNCIAS ..............................................................................................................128
ANEXOS ..........................................................................................................................132
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RESUMO
APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO
EFEITOS MAGNETOHIDRODINÂMICOS
Propõe-se, no presente trabalho, a obtenção de soluções híbridas, através da
aplicação da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), para o problema do
escoamento com transferência de calor transiente, para fluidos newtonianos condutores
elétricos submetidos a campos magnéticos constantes, em um canal de placas planas e
paralelas com ou sem rotação do canal. No escoamento, o qual é mantido por um gradiente
de pressão constante ou com decaimento exponencial, as influências de efeitos Hall,
deslizamento de íons e a presença de partículas sólidas são consideradas. Considera-se
ainda que a placa superior do canal pode se movimentar longitudinalmente e que ambas as
placas podem ser porosas. O campo magnético é aplicado na direção normal ao
escoamento. Assume-se que tal campo magnético é constante e não é afetado pelo
escoamento, de maneira que apenas a interação de uma via entre o escoamento do fluido
condutor elétrico e o campo magnético é estudada. Admite-se, ainda, a variação com a
temperatura das propriedades físicas transportadas, isto é, a viscosidade e as
condutividades térmica e elétrica. Resultados híbridos são obtidos e comparados com
outros resultados numéricos para os campos de velocidade e temperatura do fluido e das
partículas sólidas em função dos parâmetros governantes, a saber, número de Reynolds,
Hartmann, parâmetros Hall, deslizamento de íons, concentração das partículas sólidas e
parâmetros termofísicos. São realizadas análises de convergência para os principais
potenciais com o objetivo de se ilustrar a consistência da técnica (GITT) e a sua utilização
com finalidades de validação (benchmark) nessa área da dinâmica dos fluidos e
transferência de calor.
Palavras-chaves: Magnetohidrodinâmica (MHD), Transformação Integral (GITT), Efeito
Hall, Deslizamento de íons, Transferência de calor, Partículas sólidas.
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ABSTRACT
APPLICATION OF THE GENERALIZED INTEGRAL TRANSFORM
TECHNIQUE TO CHANNEL FLOWS BY CONSIDERING
MAGNETOHYDRODYNAMIC EFFECTS
The present study proposes the development of hybrid solutions to the transient
Hartmann flow problem with heat transfer of an electrically conducting and newtonian
fluid subjected to a constant magnetic field. The Generalized Integral Transform
Technique is employed to analyze the influence of Hall and ion-slip effects, as well as the
presence of solid particles on flow behavior, which is maintained by a constant or
exponential-decaying gradient pressure. A transverse flow normal to the walls can also
occurs, so that plates can be both porous. Additionally, a movement of the upper plate in
the longitudinal direction can be considered. Here, it is assumed that the magnetic field is
constant, being not affected by the flow, so that only an one-way interaction between the
flow and the magnetic field is studied. Temperature-dependent transport properties, such as
viscosity, thermal and electrical conductivity, can be considered too. Hybrid results are
obtained and compared to other numerical results for the velocity and temperature fields of
flow and solid particles as function of the main dimensionless governing parameters,
namely, Reynolds number, Hartmann number, Hall, Ion-slip and concentration of solid
particles. Convergence analyses are carried out for the main potentials in order to illustrate
the consistency of the technique (GITT) and its use for purposes of benchmarking in the
area of heat and fluid flow.
Keywords: Magnetohydrodynamics (MHD), Magnetoconvection, Integral Transforms
(GITT), Hall Effect, Ion-slip Effect, Dusty Fluid
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LISTA DE FIGURAS
CAPÍTULO 3
Figura 3.1 – Esquema (a) de uma bomba eletromagnética (adpatado de Shercliff, 1965) e
(b) do confinamento magnético de plasma (adaptado de Davidson, 2001).
Figura 3.2 – Esquema (a) de agitação magnética de um lingote, (b) do amortecimento
magnético de movimento durante fundição e (c) de uma válvula
eletromagnética. Adaptados de Davidson (2001).
Figura 3.3 – Instabilidade em uma célula de redução de alumínio. Adaptado de Davidson
(2001).
Figura 3.4 – Interação entre o campo magnético, e um fio circular em movimento.
Adaptado de Davidson (2001).
Figura 3.5 – Lei de Ohm em um condutor (a) estacionário e (b) em movimento. Adaptado
de Davidson (2001).
Figura 3.6 – Lei de Ampère aplicada a um fio. Adaptado de Davidson (2001).
Figura 3.7 – Lei de Faraday (a) fem gerada pelo movimento de condutor, (b) fem gerada
por um campo magnético dependente do tempo. Adaptado de Davidson
(2001).
CAPÍTULO 4
Figura 4.1 – Esquema de geometria e das características elétricas e magnéticas do canal.
Adaptado de Setayesh e Sahai (1990) e Sutton e Sherman (2006).
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CAPÍTULO 6
Figura 6.1 - Influência da sucção/ejeção nas paredes sobre a distribuição em regime
permanente de velocidade. Ha = 0, Ru = 1, G0 = - 5, a = 0, Pr = 1 e Ec = 0.
Figura 6.2 - Influência do campo magnético e da viscosidade sobre a distribuição em
regime permanente de velocidade. Ru = 1, Rv = 0, G0 = - 5, Pr = 1 e Ec = 1.
Figura 6.3 - Influência do campo magnético e da condutividade elétrica sobre a
distribuição de velocidade em regime permanente, para diferentes números de
Hartmann e
a = - 0,5.
Figura 6.4 - Influência do campo magnético e da condutividade elétrica sobre a
distribuição de velocidade em regime permanente, para diferentes números de
Hartmann e a = 0.
Figura 6.5 - Influência do campo magnético e da condutividade elétrica sobre a
distribuição de velocidade em regime permanente, para diferentes números de
Hartmann e
a = 0,5.
Figura 6.6 - Influência da viscosidade sobre a distribuição em regime permanente da
temperatura. Ha = 1, G0 = 40, Pr = 1, Ec = 0,050875.
Figura 6.7 - Evolução temporal da velocidade no centro do canal em função do parâmetro
de viscosidade. Ha = 2; G0 = 40; Pr = 1 e Ec = 0,050875.
Figura 6.8 - Evolução temporal da temperatura no centro do canal em função do
parâmetro de viscosidade. Ha = 2; G0 = 40; Pr = 1 e Ec = 0,050875.
Figura 6.9 - Efeito do parâmetro a sobre a evolução temporal da velocidade no centro do
canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e c = 0.
14
Figura 6.10 - Efeito do parâmetro a sobre a evolução temporal da temperatura no centro do
canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e c = 0.
Figura 6.11 - Efeito do parâmetro c sobre a evolução temporal da velocidade no centro do
canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e a = 0.
Figura 6.12 - Efeito do parâmetro c sobre a evolução temporal da temperatura no centro do
canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e a = 0.
Figura 6.13 - Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componente
longitudinal de velocidade no centro do canal. Ha = 6 e a = 0, b = 0.
Figura 6.14 - Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componente
transversal de velocidade no centro do canal. Ha = 6 e a = 0, b = 0.
Figura 6.15 - Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da temperatura no
centro do canal. Ha = 6 e a = 0, b = 0.
Figura 6.16 - Perfil da componente longitudinal de velocidade em três instantes de tempo
selecionados, para Ha = 6, β = 3, βi = 3 e Rv = 2.
Figura 6.17 - Perfil da componente transversal de velocidade em três instantes de tempo
selecionados, para Ha = 6, β = 3, βi = 3 e Rv = 2.
Figura 6.18 - Perfil de temperatura em três instantes de tempo selecionados, para Ha = 6,
β = 3, βi = 3 e Rv = 2.
Figura 6.19 - Efeito dos parâmetros Hall e de deslizamento de íons sobre a componente
longitudinal de velocidade, em y = 0, para Ha = 6 e Rv = 2.
Figura 6.20 - Efeito dos parâmetros Hall e de deslizamento de íons sobre a componente
transversal de velocidade, em y = 0, para Ha = 6 e Rv = 2.
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LISTA DE TABELAS
CAPÍTULO 6 Tabela 6.1 - Convergência da velocidade na linha de centro, em regime permanente, para
diferentes valores de a, Ha e Rv e considerando Ru = 1, G0 = - 5, Pr = 1 e Ec
= 1.
Tabela 6.2 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para
condutividade térmica constante (b = 0) e diferentes valores de a, c e Ha.
Tabela 6.3 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para
condutividade elétrica constante (c = 0) e diferentes valores de a, b e Ha.
Tabela 6.4 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para
viscosidade constante (a = 0) e diferentes valores de b, c e Ha.
Tabela 6.5 - Evolução temporal da velocidade na linha de centro, para diferentes valores
de a e Ha, considerando G0 = 40, Pr = 1 e Ec = 0,050875.
Tabela 6.6 - Evolução temporal da temperatura na linha de centro, para diferentes valores
de a e Ha, considerando G0 = 40, Pr = 1 e Ec = 0,050875.
Tabela 6.7 - Análise de convergência e comparação da velocidade do fluido na linha de
centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a
e c.
Tabela 6.8 - Análise de convergência e comparação da velocidade das partículas na linha
de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores
de a e c.
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Tabela 6.9 - Análise de convergência e comparação da temperatura do fluido na linha de
centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a
e c.
Tabela 6.10 - Análise de convergência e comparação da temperatura das partículas na
linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes
valores de a e c.
Tabela 6.11 - Comparação para a evolução, no centro do canal, da componente w de
velocidade e para a temperatura, em função do efeito Hall. Ha = 6 e a = 0, b
= 0.
Tabela 6.12 - Efeito do parâmetro Hall e da condutividade térmica sobre a temperatura no
centro do canal, em regime permanente, para Ha = 6 e a = 0.
Tabela 6.13 - Comparação da influência do parâmetro de viscosidade e do efeito Hall sobre
o coeficiente de atrito para regime permanente. Ha = 6 e b = 0.
Tabela 6.14 - Comparação da influência do parâmetro de viscosidade e do efeito Hall sobre
o número de Nusselt para regime permanente. Ha = 6 e b = 0.
Tabela 6.15 - Convergência e comparação para a temperatura no centro do canal, em
função do efeito Hall e do deslizamento de íons em instantes de tempo
discretos. Ha = 6, Rv = 0 e β = 1.
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LISTA DE SÍMBOLOS
A
Vetor potencial
*/a a Parâmetro de viscosidade adimensional / dimensional
*/B B
Vetor campo magnético / dimensional
0B
Vetor campo magnético externo
*/b b Parâmetro de condutividade térmica adimensional / dimensional
C Unidade de comprimento de uma dada curva fechada
*/c c Parâmetro de condutividade elétrica adimensional / dimensional
pc Calor específico a pressão constante
Psc Calor específico das partículas;
Vc Calor especifico do fluido a volume constante;
ℓ
d Elemento diferencial de comprimento
S É qualquer superfície limitada por uma curva.
Sd
Elemento diferencial de área – superfície
E
Vetor campo elétrico
iE
Campo elétrico induzido
eE
Campo elétrico secundário
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0E Campo elétrico externo
sE
Campo eletrostático
zE
Parâmetro elétrico adimensional
cE Número de Eckert
F
Vetor força eletromagnético
f Força eletromagnética resultante
F Parâmetro massa das partículas
*MHD
F
Força de Lorentz dimensional
* */D Dx
F F
Força de arraste dimensional, modelada em função do movimento relativo
fluido/partícula / avaliada na componente x
0/G G Gradiente de pressão constante adimensional / dimensional
h Distância entre as placas
Ha Número Hartmann
*/J J
Vetor densidade de corrente elétrica / dimensional
eJ
Corrente de condução associada aos elétrons
*/k k Condutividade térmica do fluido adimensional / dimensional
K Constante de Stokes
ℓ Escala característica de comprimento
0L Parâmetro tempo de relaxação para temperatura
19
pm Massa média das partículas
im Massa média dos íons
en Número de elétrons
mN Parâmetro de interação magnética
iN Norma da autofunção associada ao campo de velocidade e temperatura
uN Número de termos empregado nas expansões do campo de velocidade
tN Número de termos empregado nas expansões do campo de temperatura
*P , P Campo de pressão, dimensional e adimensional, respectivamente
rP Número de Prandtl
q Carga do elétron
*viscq Geração de energia por dissipação viscosa dimensional
*jouleq Geração de energia por dissipação Joule
R Parâmetro concentração de partículas
pR Raio médio das partículas
mRe Número de Reynolds magnético
Ru Número de Reynolds relacionado a placa superior
Rv Parâmetro de sucção/ejeção nas paredes porosas do canal
*t , t Tempo, dimensional e adimensional, respectivamente
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et Tempo de colisão dos elétrons
*T , T Campo de temperatura, dimensional e adimensional, respectivamente
pT * , pT Campo de temperatura das partículas sólidas, dimensional e adimensional,
respectivamente
0T Temperatura inicial
1T Temperatura da placa inferior
2T Temperatura da placa superior
FT Campo de temperatura filtrado do fluido
V Potencial eletrostático
V
Campo vetorial de velocidade do fluido
pV
Campo vetorial da velocidade das partículas sólidas
eV
Velocidade transversal de difusão dos elétrons
av Velocidade de Alfvén
* ,u u Campo de velocidade, dimensional e adimensional, respectivamente
),( tyu Componente longitudinal da velocidade do fluido
)(tuhi Campo filtrado e transformado da velocidade do fluido
hu Campo filtrado da velocidade
),( tyup Componente longitudinal da velocidade das partículas sólidas
)(tui Potencial transformado para o campo de velocidade
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)(tupi Potencial filtrado e transformado da velocidade das partículas sólidas
phu Campo filtrado da velocidade das partículas sólidas
),( tyw Componente transversal da velocidade do fluido
)(twi Potencial transformado da velocidade transversal do fluido
)(twpi Potencial transformado da velocidade transversal das partículas sólidas
),( tywi Componente transversal da velocidade do fluido
),( tywp Componente transversal da velocidade das partículas
wv Componente transversal da velocidade do fluido
*x , x Coordenada longitudinal, dimensional e adimensional, respectivamente
*y , y Coordenada transversal, dimensional e adimensional, respectivamente
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LETRAS GREGAS
*/G Gα α Constante de amortecimento do gradiente de pressão adimensional /
dimensional
*coriolisα Aceleração de Coriolis dimensional para o fluido
*_pcoriolisα Aceleração de Coriolis dimensional para as partículas
iλ Autovalor associado aos campos de velocidade e temperatura
sλ Tempo de relaxação para temperatura
sγ Tempo de relaxação para a velocidade
eβ Constante Hall para os elétrons
iβ Constante Hall para os íons
0ε Constante de permissividade no vácuo
θ Campo de temperatura filtrado do fluido
pθ Campo de temperatura filtrado das partículas sólidas
)(tiθ Campo de temperatura normalizado e transformado do fluido
)(tpiθ Campo de temperatura normalizado e transformado das partículas sólidas
0µ , 0v Viscosidade dinâmica e cinemática respectivamente
1µ Viscosidade dinâmica avaliada na placa inferior, 1T
23
2µ Viscosidade dinâmica avaliada na placa superior, 2T
ρ Densidade do fluido
eρ Densidade de elétrons
pρ Massa das partículas por unidade de volume de fluido;
sρ Massa específica das partículas;
*/σ σ Condutividade elétrica do fluido adimensional / dimensional
eτ Tempo de relaxação da carga
mτ Tempo de amortecimento magnético
)(yiτ Autofunção dos campos de velocidade e temperatura
)(~ yiτ Autofunção autonormalizada dos campos de velocidade e temperatura
*0 /Ω Ω
Velocidade angular / vetorial, dimensional
ω Unidade de frequência
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LISTA DE ANEXOS
Anexo A.1 - Trabalhos de Interesse sobre Magnetohidrodinâmica em Canais de Placas
Paralelas.
Anexo A.2 - Propriedades Físicas de Metais Líquidos.
Anexo A.3 - Símbolos/Variáveis, Grandezas e Unidades encontradas no eletromagnetismo.
Anexo A.4 - Equações de Maxwell e da Magnetohidrodinâmica.
Anexo A.5 - Avaliação dos Vetores Densidade de Corrente e Força de Lorentz.
Anexo A.6 - Equação de Transporte do campo Magnético.
25
CAPÍTULO I
1. INTRODUÇÃO
26
1.1 INTRODUÇÃO
A magnetohidrodinâmica, ou simplesmente MHD, é a combinação da mecânica
dos fluidos e com a eletrodinâmica, ou seja, é um ramo da ciência que estuda o fenômeno
da interação do escoamento de fluidos condutores sob a presença de campos magnético.
MHD é a área do conhecimento que ganhou espaço na comunidade científica devido a sua
aplicabilidade em várias áreas do conhecimento. Dentre essas áreas, é possível citar a
geofísica, que estuda o núcleo do planeta, o qual se comporta como um grande sistema
magnético; a física nuclear, com a análise de gases ionizados para manter as reações de
fusão nuclear e a engenharia, com motores de propulsão magnéticos. Desde os primeiros
estudos sobre eletricidade e magnetismo, sabe-se que os campos magnéticos interagem
com muitos líquidos naturais e artificiais. Eles são utilizados em indústrias para o
aquecimento, produções de novos materiais supercondutores, bombeamento e levitação de
metais líquidos, geradores magnetohidrodinâmicos, no resfriamento de reatores nucleares,
e mais fortemente nas indústrias de alumínio (células de redução de alumínio) e
siderúrgicas (Shercliff, 1965; Davidson, 2001; Sutton, 2006).
Segundo Shercliff (1965), um condutor (fluido ou sólido) na presença de um
campo magnético variável (obtido por meio do movimento de um ímã permanente ou de
um solenoide alimentado por uma fonte de corrente externa que varia com o tempo) cria
uma densidade de corrente elétrica induzida neste condutor, o qual interage mutuamente
com o campo magnético original. Resultam desse processo, basicamente, forças
eletromagnéticas que alteram o gradiente de pressão do fluido ou o estado de movimento
do sólido, os quais são frutos do produto vetorial entre o vetor densidade de corrente
elétrica e o vetor densidade de campo magnético aplicado.
Adicionalmente, devido a deflexão das partículas portadoras de carga (elétrons)
pelo campo magnético perpendicular ao escoamento, surge uma densidade de corrente
elétrica induzida transversal ao escoamento (efeito Hall), para balancear tal efeito de
deflexão. Normalmente, a velocidade de difusão dos elétrons é maior do que a de íons e,
como uma primeira aproximação, a densidade da corrente elétrica é determinada
principalmente pela difusão dos elétrons. Por outro lado, quando a força eletromagnética é
muito grande (no caso de forte campo magnético), a velocidade de difusão dos íons não
pode ser omitida, principalmente devido a sua massa em relação aos portadores de carga
27
(elétrons). Diz-se, nesse caso, de se considerar o efeito de deslizamento de íons. Em
líquidos condutores, tais efeitos podem ser desprezados.
Adicionalmente, a presença de partículas sólidas ou de poeira em um escoamento
tem significante importância na indústria de petróleo, purificação de óleo bruto, tecnologia
de polímeros, separação em centrífuga da matéria e fluido e várias outras aplicações. Em
bombas, geradores, aceleradores e medidores de fluxo, as partículas sólidas em forma de
cinzas ou fuligem são suspensas no fluido condutor, sendo resultado de processos de
corrosão.
Em outras aplicações da engenharia (processamento de alimentos, indústria de
processos químicos, processos de filtração centrifugação e máquinas rotativas), o
escoamento dos fluidos é submetido à rotação. A inserção de tal efeito requer o estudo
mais refinado de sua dinâmica (Chand, 2013).
Finalmente, em algumas situações, a consideração de propriedades termofísicas
constantes não pode ser atendida. Por exemplo, reatores nucleares operam à temperaturas
elevadas e as propriedades termofísicas variam, geralmente de maneira exponencial, com a
temperatura. Assim, expressões para a massa específica, condutividade térmica e
condutividade elétrica que dependam da temperatura devem ser adotadas.
Para simular os processos físicos supracitados, uma extensa cadeia de pesquisa e
análise deve ser percorrida, destacando-se estudos e refinamentos das leis governantes, dos
modelos matemáticos associados, das não-linearidades das relações constitutivas, do
acoplamento das equações de conservação, além do desenvolvimento de novas técnicas
computacionais para os seus tratamentos analítico e numérico. Assim, uma importante
linha de pesquisa do meio cientifico é a obtenção de técnicas e procedimentos que
possibilitem uma interpretação mais eficiente da natureza física, com resultados mais
confiáveis. Mais recentemente, com a evolução dos equipamentos e ferramentas
computacionais, diversas técnicas numéricas foram e continuam sendo desenvolvidas,
permitindo, assim, a construção de algoritmos mais robustos e a obtenção de soluções mais
precisas para problemas que apresentem estruturas bastante complexas.
28
O desenvolvimento de métodos numéricos, empregados na solução das equações
que governam o escoamento e a transferência de calor, tem ganhado cada vez mais espaço
na comunidade científica e tecnológica, principalmente no que diz respeito ao seu uso e
aplicação. Atualmente, os métodos conhecidos como volumes finitos e elementos finitos
formam a base das metodologias numéricas, que são empregadas nos núcleos de cálculo
dos “softwares” atuais, encontrados nos campos de dinâmica dos fluidos computacional e
de análise estrutural computacional.
Por outro lado há necessidade do desenvolvimento e aplicação de metodologias
matemáticas que mantenham um caráter analítico na obtenção da solução das equações dos
mais variados campos da ciência se mantém como meta científica. Dentre as metodologias
que satisfazem tal requerimento, pelo menos parcialmente, está o método conhecido como
Técnica da Transformada Integral Generalizada GITT (Cotta,1993; Cotta, 1998; Santos et
al., 2001). A GITT é uma técnica híbrida, numérico-analítica, que vem sendo desenvolvida
de forma paralela aos métodos puramente numéricos, e que mantêm, na sua aplicação,
todas as características de uma solução analítica, como o método de separação de
variáveis, associada, por outro lado, a robustez dos métodos puramente numéricos para
soluções de sistemas das equações diferenciais ordinárias.
Sob esse panorama, o presente trabalho está dividido em várias etapas, as quais
descrevem detalhadamente cada fase do seu desenvolvimento. O Capítulo 2 trata da
revisão bibliográfica dos principais trabalhos que servem de referência para o
desenvolvimento do presente trabalho. O Capítulo 3 apresenta a fundamentação teórica que
se faz necessária para a compreensão dos fenômenos físicos envolvidos na
magnetohidrodinâmica em canais. O Capítulo 4 apresenta a formulação matemática dos
problemas a serem analisados em uma forma única (que leva em conta todos os efeitos
físicos considerados para análise). O Capítulo 5 ilustra a metodologia de solução adotada e
suas características de implementação. O Capítulo 6 disponibiliza os resultados obtidos
com a presente metodologia e ilustra diversas comparações com outros resultados
numéricos. O Capítulo 7 apresenta as conclusões e as sugestões para trabalhos futuros. O
restante do trabalho traz as referências bibliográficas utilizadas e anexos.
29
1.2 OBJETIVOS
O objetivo geral do presente trabalho é a obtenção de soluções híbridas,
numérico-analíticas, através da aplicação da Técnica da Transformada Integral
Generalizada (GITT), do problema do escoamento e da transferência de calor de fluidos
newtonianos, condutores elétricos submetidos a campos magnéticos constantes em um
canal de placas planas e paralelas, com ou sem rotação. No caso da rotação do canal, todo
o sistema roda em torno de um eixo perpendicular aos planos das placas com velocidade
angular uniforme. A avaliação da influência de Efeitos Hall, partículas sólidas,
deslizamento de íons no escoamento do fluido e a avaliação dos parâmetros termofísicos,
são considerados, de maneira a alcançar uma maior proximidade de problemas comumente
encontrados. Por outro lado, tal geometria se apresenta como uma boa simplificação para
muitos escoamentos encontrados na prática e facilita o procedimento de análise e geração
de resultados de referência (“benchmark”).
Especificamente, busca-se com o desenvolvimento do trabalho:
1. Obter os campos de velocidades e temperatura e seus parâmetros correlatos em
função de diversos fatores físicos que caracterizam o tipo de escoamento
analisado, utilizando a técnica da transformada integral generalizada (GITT);
2. Analisar as taxas de convergência dos resultados, com a finalidade de
demonstrar o comportamento numérico da técnica da transformada integral
para esse tipo de fenômeno físico;
3. Analisar a convergência e comparar os resultados obtidos, para validação do
método, com outros resultados numéricos previamente reportados na literatura;
4. Servir de referência para futuras análises híbridas que tenham por objetivo o
desenvolvimento de estudos voltados para a magnetohidrodinâmica em sua
forma mais complexa (acoplamento de duas vias, i.e., a solução acoplada das
equações de Navier-Stokes e de Maxwell).
30
CAPÍTULO II
2. REVISÃO DE LITERATURA
31
2.1 MAGNETOHIDRODINÂMICA EM CANAIS PARALELOS
Grandes contribuições no intuito de compreender o problema que governa o
escoamento MHD em canais foram desenvolvidas sob o ponto de vista do enriquecimento
de modelos e métodos apropriados para estudá-lo. Sabe-se, por exemplo, que no interior de
canais, dificilmente o escoamento é completamente desenvolvido sobre toda sua extensão,
além disso, para manter o escoamento, podem ser aplicados gradientes de pressão
constantes ou variáveis. Normalmente, tem-se considerado que o campo magnético atua
perpendicularmente ao escoamento e que efeitos de propriedades termofísicas variáveis,
efeito Hall, efeito de deslizamento de íons e presença de partículas sólidas ou impurezas
podem ser incluídos na análise. Uma revisão bibliográfica dos trabalhos mais
representativos que levam em conta tais efeitos é a seguir efetuada.
Attia e Kotb (1996) analisaram a magnetohidrodinâmica com transferência de
calor em regime permanente de um fluido condutor elétrico em um canal de placas
paralelas (porosas) onde a placa superior se movia à velocidade constante. Empregando o
esquema implícito de diferenças finitas de Crank-Nicolson, avaliou o efeito da
dependência da viscosidade dinâmica do fluido com a temperatura sobre o campo de
escoamento.
Dez anos depois, Attia (2006a) avaliou a dependência de todas as propriedades de
transporte (viscosidade, condutividades térmica e elétrica) sobre o escoamento em regime
permanente em um canal não poroso.
Attia (1999) estendeu o trabalho desenvolvido por Attia e Kotb (1996) para a
situação de regime transiente, desprezando, no entanto, o efeito de porosidade das placas.
A partir desse trabalho, todos os demais envolvendo fluidos newtonianos foram realizados
considerando-se que ambas as placas eram fixas.
Chamkha (2001) estudou, através do método das diferenças finitas, o problema do
escoamento laminar transiente completamente desenvolvido com transferência de calor em
um canal poroso, considerando assim possibilidade de geração ou absorção volumétrica de
calor no fluido e propriedades térmicas variáveis.
32
Attia (2002) estudou o escoamento e a transferência de calor de um fluido
condutor elétrico com impurezas ou partículas sólidas, submetido a um gradiente de
pressão constante e um campo magnético uniforme externo perpendicular às placas. As
propriedades viscosidade e condutividade elétrica foram considerados dependentes da
temperatura e as equações foram resolvidas numericamente usando o método de diferenças
finitas para os campos de velocidade e temperaturas do fluido e das partículas.
Attia e Aboul-Hassan (2003) estudaram o efeito da dependência com a
temperatura da viscosidade e da condutividade térmica sobre o escoamento MHD
transiente com transferência de calor. O efeito Hall é levado em consideração sob a
hipótese de gradiente de pressão constante. As equações diferenciais acopladas da
quantidade de movimento e de energia foram obtidas usando o método de diferenças
finitas.
Attia (2003) pesquisou sobre o desenvolvimento do escoamento permanente
MHD de um fluido viscoso, incompressível, eletricamente condutor com transferência de
calor entre as placas, considerando os efeito Hall e de deslizamento de íons. Novamente, o
gradiente de pressão e o campo magnético eram constantes e resultados para os dois
campos foram obtidos com o método das diferenças finitas.
Attia e Sayed-Ahmed (2004) analisaram o escoamento e a transferência de calor
transientes de um fluido não-newtoniano (Bingham), considerando ainda injeção/sucção
uniforme através das placas. A placa inferior é estacionária e a placa superior se move com
uma velocidade constante e as duas placas são mantidas a temperaturas diferentes mas
constantes. Os efeitos do parâmetro Hall e da velocidade de injeção sobre os campos de
velocidade e temperatura do fluido foram analisados via método de diferenças finitas.
Attia (2005a), assumindo a viscosidade dependente da tempratura, estudou o
escoamento e a transferência de calor transientes de um fluido viscoso e condutor elétrico
em um canal com placas fixas, na presença de partículas de poeira e sob um gradiente de
pressão constante. Assumiram que as placas eram porosas e submetidas a injeção/sucção
uniformes, enquanto o campo magnético era constante e transversal ao escoamento.
33
Attia (2005b) analisou a influência do efeito Hall sobre o escoamento e a
transferência de calor transientes, desconsiderando a porosidade das placas do canal e as
partículas de poeira no escoamento.
Finalmente, Attia (2005c) generalizou o modelo e analisou, numericamente, os
efeitos da porosidade das placas sobre o escoamento e a transferência de calor transientes,
na presença de partículas sólidas, incluindo ainda os efeito Hall e de deslizamento de íons e
um gradiente de pressão com decaimento exponencial no tempo. Não obstante, considerou
constantes as propriedades de transporte. Apesar da descrição completa da metodologia de
solução adotada, ele não informa os valores de todos os parâmetros usados em cada
análise, de maneira que seus resultados não puderam ser reproduzidos.
Posteriormente, empregando uma metodologia em que a equação da quantidade
de movimento (fluido e partículas) eram resolvidas analiticamente através da
Transformada de Laplace, enquanto que a da energia (fluido e partículas) foi resolvida
numericamente usando o método de diferenças finitas, Attia (2006b) desconsiderou a
presença de partículas sólidas no escoamento e refez as análises desenvolvidas por Attia
(2005c).
Recentemente, Chand et al. (2013) estudaram o efeito da rotação do frame de
referência sobre o escoamento MHD com efeito Hall e transferência de calor de um fluido
condutor elétrico empoeirado, viscoso, incompressível sob a influência, ainda, de um
gradiente de pressão variável. Assumem que as placas do canal são porosas, sujeitas a um
sistema de injeção e ejeção uniformes, de baixo par cima. Um campo magnético uniforme
é aplicado na direção normal ao plano das placas. As placas são mantidas à diferentes
temperaturas que variam periodicamente. Todo o sistema roda em torno do eixo
perpendicular aos planos das placas com velocidade angular uniforme. As equações são
resolvidas para se obter as distribuições de velocidade e temperatura para o fluido e as
partículas de poeira, para os diversos parâmetros governantes.
Os resultados obtidos a partir dos trabalhos anteriormente citados são, na maioria
das vezes, de caráter puramente numérico ou, quando analíticos, sujeitos a severas
hipóteses simplificadores que restringem grande parte dos fenômenos presentes em
situações mais gerais.
34
Como um contraponto a essa situação, atualmente estão sendo desenvolvidos
métodos híbridos, numérico-analíticos, que se utilizam da robustez dos métodos
numéricos, na etapa final do procedimento de solução, mas conservam a natureza analítica
em etapas de manipulação analítica anteriores. Sob esse panorama, Lima et al. (2007)
obtiveram uma solução híbrida dos problemas do escoamento MHD permanente e
transiente, completamente desenvolvidos, de um fluido condutor elétrico em um canal de
placas paralelas, anteriormente estudados por Attia e Kotb (1996) e Attia (1999),
empregando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT)
Posteriormente, Rêgo (2010) e Lima e Rêgo (2013) empregaram a mesma técnica
para analisar o problema do desenvolvimento simultâneo do escoamento MHD com
transferência de calor em um canal de placas paralelas mantidas a temperatura constante,
iguais ou diferentes. Naquele estudo, o escoamento podia entrar no canal sob um perfil
uniforme ou parabólico de velocidade.
A Tabela A.1 do apêndice mostra um resumo geral, em ordem cronológica, dos
trabalhos de interesse que guiaram a presente revisão bibliográfica, caracterizando a ênfase
física analisada por cada um de seus autores.
2.2 A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA
Nos últimos anos, devido ao avanço tecnológico, têm surgido problemas cada vez
mais complexos na área de engenharia, os quais necessitam de soluções mais acuradas e
tempos de processamento mais reduzidos, visando o maior aproveitamento dos recursos
empregados. Esses problemas, que na sua maioria não apresentam soluções analíticas,
podem ser tratados por técnicas de aproximação numéricas, graças ao desenvolvimento de
computadores de alta velocidade de processamento e de grande capacidade de
armazenamento de dados.
Por outro lado, os métodos híbridos consistem de uma combinação de técnicas
analíticas associadas a aproximações numéricas e surgiram como alternativa aos métodos
puramente numéricos para a solução de problemas complicados de engenharia, antes
tratados apenas numericamente. As origens da denominada Técnica da Transformada
35
Integral Generalizada (GITT) estão associadas ao trabalho de Ozisik e Murray (1974),
sobre a solução de problemas difusivos com coeficientes variáveis nas condições de
contorno, onde vislumbrou-se a capacidade de se fornecer soluções analíticas aproximadas
a uma faixa muito maior de problemas. A GITT proporciona soluções de natureza híbridas,
numérico-analíticas, para problemas de convecção-difusão cuja transformação integral
resulte em sistemas de equações diferenciais ordinárias acopladas, ou cujos problemas
auxiliares são complexos do ponto de vista computacional.
Desde, então a GITT avançou na direção de estender as ideias do procedimento de
transformação integral para classes gerais de problemas, tanto lineares, quanto não-
lineares. Um trabalho completo e sistemático sobre GITT é apresentado em Cota (1993) e
revisões e atualizações posteriores do progresso da técnica encontram-se em Cotta (1998) e
Santos et al. (2001).
Além de ser um método computacional alternativo, a abordagem proporcionada
pela GITT é particularmente adequada para a obtenção de soluções para validação de
códigos numéricos, devido a característica de controle automático de erro, semelhante a
uma solução analítica pura. Outro aspecto destacável do método é a extensão direta a
situações multidimensionais com um aumento não muito grande no esforço computacional,
comparativamente ao caso unidimensional. A característica híbrida é a responsável por
esse comportamento, uma vez que a solução analítica é empregada em todas as variáveis
independentes, com exceção de uma, fazendo com que a tarefa numérica seja sempre
reduzida à integração de um sistema diferencial ordinário em apenas uma direção.
De maneira geral, a GITT é uma técnica que possui como característica, a garantia
de convergência das soluções, para ordem crescente de truncamento das séries-soluções.
Esta característica indica que é possível obter soluções com um número de algarismos
significativos “exatos” (convergidos) para um determinado número de termos nas
expansões. Com isso, o método da transformada integral é um método de precisão
controlada, estabelecida na ordem de truncamento das expansões, que pode ser
automaticamente determinado durante o processo de solução, assemelhando-se bastante ao
de uma solução puramente analítica.
36
Segundo Cotta (1998), as aplicações do método podem ser divididas em:
• Problemas que apresentem coeficientes variáveis em suas condições de
contorno (Özisik, 1974; Cotta, 1998; Santos et al., 2001);
• Problemas que apresentem coeficientes variáveis nas equações governantes
(Özisik, 1974);
• Problemas que apresentem contornos variáveis;
• Problemas com fronteiras móveis. (Cotta, 1992);
• Problemas que envolvem dificuldades na solução do problema auxiliar (Özisik,
1974; Cotta, 1992);
• Problemas não lineares caracterizados pela presença de equações cujos termos
fonte e / ou condições de contorno dependem do potencial a ser obtido;
Na última categoria, se encontra a maioria dos problemas na engenharia,
particularmente na mecânica dos fluidos e transferência de calor, que podem ser citados:
condução de calor com condutividade térmica variável, solução das equações da camada
limite e solução das equações de Navier-Stokes (Cotta, 1992; Lima, 1995; Lima, 2000).
Para se utilização da GITT alguns passos devem ser aplicados, sequencialmente,
os quais podem ser assim resumidos:
1. Escolha de um problema auxiliar apropriado. Este tem por base um problema
de autovalor que satisfaz, simultaneamente, dois requisitos:
a) Possuir a maior quantidade de informações possíveis do problema original, a
ser resolvido nas direções coordenadas, escolhidas para a transformação;
b) Ser de solução relativamente simples, de preferência analítica.
2. Solução do problema auxiliar e obtenção das autofunções, autovalores, normas
e das propriedades de ortogonalidade.
37
3. Descrição do potencial original como uma expansão das autofunções oriundas
do problema auxiliar: determinação do par de transformada/inversa.
4. Transformação integral do sistema de equações diferenciais parciais originais,
aplicando-se a fórmula da transformada em todos os termos das equações
originais, seguida da fórmula de inversão nos termos não transformáveis.
Obtém-se, assim, um sistema diferencial ordinário acoplado na variável
independente restante.
5. Truncamento do sistema diferencial ordinário infinito e solução do sistema
restante, por procedimentos numéricos bem estabelecidos disponíveis em
pacotes de sub-rotinas, para obtenção dos campos transformados com precisão
prescrita. Neste ponto, utiliza-se o controle automático de erro global para se
ajustar as ordens de truncamento do sistema transformado e oferecer
estimativas de erro relativo.
6. Obtenção do potencial original, fazendo-se uso da fórmula analítica de
inversão.
Basicamente, a aplicação da GITT em sistemas de equações diferenciais parciais,
por meio de operadores integrais apropriados, leva à eliminação de variáveis independentes
do problema, e como consequência à obtenção de um sistema infinito de equações
diferenciais ordinárias (EDOs) acopladas. Tal sistema, denominado simplesmente de
sistema transformado, deve ser truncado em uma ordem finita para que se possa resolvê-lo.
A ordem de truncamento é selecionada de acordo com a precisão prescrita desejada. Se o
sistema transformado apresentar solução analítica, esta pode ser obtida automaticamente
através de sistemas de computação simbólica, caso contrário, uma solução numérica deve
ser obtida através de algoritmos computacionais disponíveis em diversas bibliotecas de
sub-rotinas especificas.
38
Do ponto de vista das aplicações práticas de engenharia, pode-se citar o sucesso
da utilização da GITT na análise de equipamentos termo hidráulicos, migração de rejeitos
radioativos em solos, aerotermodinâmica de veículos espaciais, poluição ambiental,
processo de secagem, problemas térmicos em siderurgia, enriquecimento isotópico,
combustão, resfriamento de equipamentos eletrônicos, reservatórios de petróleo, entre
outros (Pereira, 2000).
Dependendo da dificuldade do problema, alguns procedimentos preliminares
poderão ser utilizados com o objetivo de melhorar a performance e otimização da técnica.
Como exemplos: a aplicação de "filtros analíticos" para acelerar a convergência da
solução; o reordenamento de autovalores e potenciais, aplicação do balanço integral.
39
CAPÍTULO III
3. MHD: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
40
3.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A interação do movimento de fluidos condutores elétricos com campos elétricos e
magnéticos prevê uma rica variedade de fenômenos associados com mecânica dos fluidos e
conversão elétrica de energia. Efeitos de tais interações podem ser observados em líquidos,
gases, misturas de fases e plasmas. Existem inúmeras aplicações científicas e técnicas, tais
como aquecimento e controle de fluxo de processamento de metais, geração de energia a
partir de misturas de duas fases ou permeadas com gases a temperaturas elevadas,
confinamento magnético de plasmas a alta temperatura (mesmo processo que cria campos
magnéticos em corpos planetários). Vários termos têm sido aplicados para o amplo campo
de efeitos eletromagnéticos sobre o escoamento de fluidos, tais como magneto-fluido-
dinâmica, a magneto-gás-dinâmica, a magnetohidrodinâmica, ou simplesmente "MHD".
Os fluidos em questão devem ser eletricamente condutores e não-magnéticos, os quais se
limitam a metais líquidos, gases quentes ionizados (plasmas) e eletrólitos fortes.
As leis do magnetismo e do escoamento de fluidos foram desenvolvidas por volta
do século XIX, no entanto, a magnetohidrodinâmica se tornou um assunto completamente
desenvolvido apenas no fim da década de 1930 e início da década de 1940. A razão era,
provavelmente, que não se vislumbravam as possibilidades científicas que poderiam ser
oferecidas pela magnetohidrodinâmica. Assim, enquanto poucos experimentos isolados
eram realizados por físicos, como Faraday, o assunto permaneceu inexplorado até a virada
daquele século. O panorama começou a mudar quando os astrofísicos perceberam os quão
onipresentes são campos magnéticos e plasmas por todo o universo. Isto culminou, em
1942, com a descoberta das ondas de Alfvén, um fenômeno peculiar à
magnetohidrodinâmica e importante em astrofísica (uma linha de campo magnético pode
transmitir ondas inerciais transversais). Ao mesmo tempo, geofísicos começaram a
suspeitar que o campo magnético da terra era gerado pela ação de dínamo do metal liquido
do seu núcleo, uma hipótese fomentada por Larmor em 1919 no contexto do campo
magnético do sol. Os físicos de plasmas, por outro lado, despertaram interesse em MHD na
década de 1950 com a busca pela fusão termonuclear controlada. Estavam particularmente
interessados na perda de estabilidade de plasmas confinados por campos magnéticos.
Como resultado, grandes avanços foram obtidos.
41
Apesar de alguns trabalhos pioneiros terem sido realizados pelo engenheiro
Hartmann que, em 1918, inventou a bomba eletromagnética (ilustrada na Figura 3.1 a) e
também, em 1937, empreendeu uma sistemática investigação, teórica e experimental do
escoamento de mercúrio, sob um campo magnético homogêneo. (Hartmann é considerado
o pai da magnetohidrodinâmica de metal líquido, sendo o termo de “escoamento de
Hartmann” usado para descrever escoamentos em dutos na presença de um campo
magnético). O desenvolvimento da magnetohidrodinâmica na engenharia só aconteceu
efetivamente a partir da década de 1960. Esse lento progresso, se deve especialmente à
baixa condutividade elétrica dos fluidos comumente empregados na engenharia, a saber, o
mercúrio e alguns eletrólitos. O ímpeto à mudança veio, principalmente, a partir de três
inovações tecnológicas:
a) Reatores de alimentação/produção rápida, que usam sódio liquido como fluido
refrigerante e necessita ser bombeado (bomba eletromagnética – Figura 3.1 a);
b) Fusão termonuclear controlada, que requer que um plasma quente seja mantido
distante das superfícies do reator por forças eletromagnéticas (Figura 3.1 b),
c) Geração de potência magnetohidrodinâmica, na qual um gás ionizado é
propelido através de um campo magnético. Tal inovação mostrou-se posteriormente,
tecnicamente inviável.
Figura 3.1 – Esquema (a) de uma bomba eletromagnética (adpatado de Shercliff, 1965) e
(b) do confinamento magnético de plasma (adaptado de Davidson, 2001).
42
Posteriormente, enquanto a pesquisa por geração de potência
magnetohidrodinâmica começava a declinar, a indústria metalúrgica começava a
demonstrar interesse por MHD. Duas décadas mais tarde, campos magnéticos eram
rotineiramente empregados para aquecer, bombear, agitar (Figura 3.2 a), amortecer o
movimento (Figura 3.2 b) e levitar (Figura 3.2 c) metais líquidos em indústrias
metalúrgicas de todo o mundo.
Figura 3.2 – Esquema (a) de agitação magnética de um lingote, (b) do amortecimento
magnético de movimento durante fundição e (c) de uma válvula eletromagnética.
Adaptados de Davidson (2001).
O ponto chave destas aplicações é que a força de Lorentz fornece um meio não
intrusivo de se controlar o escoamento de metais. Assim, com a constante pressão
comercial em se produzir materiais mais baratos, melhores e mais consistentes, a
magnetohidrodinâmica aparece com ferramenta única de exercício de maior controle na
fundição e nos processos de refinamentos de metais.
43
Atualmente, a magnetohidrodinâmica tem-se mostrado importante no processo de
eletrólise, particularmente em células de eletrólise usadas para reduzir óxido de alumínio
em alumínio. Essas células consistem de camadas largas, mas rasas, de eletrólito/criolita e
alumínio líquido, com o eletrólito permanecendo no topo. Uma corrente elétrica extrema
(aproximadamente 200 kA) passa verticalmente para baixo através das duas camadas,
reduzindo continuamente o óxido de metal. Esse processo é energeticamente intensivo,
principalmente por causa da elevada resistência elétrica do eletrólito. Sabe-se que campos
magnéticos dispersos podem desestabilizar a interface entre o eletrólito e o alumínio,
através de ondas de gravidade interfaciais, as quais absorvem energia do campo magnético
convertendo-a em energia cinética (Figura 3.3). De maneira a evitar estas instabilidades, a
camada de criolita deve ser mantida em uma espessura acima de algum valor crítico, às
custas de uma severa penalidade energética (Davidson, 2001; Gerbeau et al., 2004).
Figura 3.3 – Instabilidade em uma célula de redução de alumínio.
Adaptado de Davidson (2001).
Entre outras aplicações da magnetohidrodinâmica na engenharia e na metalurgia,
podem-se citar ainda a reformulação de super ligas baseadas em titânio e níquel, a remoção
eletromagnética de inclusões não-metálica de metal fundido, propelidores/lançadores
eletromagnéticos e o chamado processo de fundição a frio por indução em cadinhos
(vitrificação de lixo nuclear altamente ativo).
Verifica-se que a magnetohidrodinâmica tem encontrado um lugar permanente e
substancial na engenharia, mais especificamente na vasta área de processamento de
materiais.
44
3.2 CONCEITOS BÁSICOS
A interação mútua de um campo magnético, B
, e um campo de velocidade, u
surge parcialmente como resultado das leis de Faraday e Ampère, e parcialmente por causa
da força de Lorentz experimentada por um corpo condutor de corrente elétrica. De maneira
conveniente, embora artificial, divide-se essa interação em três ações:
i) O movimento relativo de um fluido condutor e um campo magnético gera uma
força eletromotriz, fem (da ordem de u B×
), de acordo com a lei de Faraday da indução.
Em geral, correntes elétricas são geradas/induzidas, a densidade de corrente, J
, sendo da
ordem de, )(u Bσ ×
, e σ sendo a condutividade elétrica.
ii) As correntes induzidas devem também, de acordo com a lei de Ampère,
gerar/induzir um segundo campo magnético. Esse campo magnético se “soma” ao campo
magnético original e a mudança é geralmente tal que o fluido parece “arrastar” as linhas de
campo magnéticos.
iii) O campo magnético combinado interage com a densidade da corrente
induzida, J
gerando/induzindo uma força por unidade de volume, a força de Lorentz,
J B×
. Essa força age sobre o condutor e, geralmente, é dirigida de maneira a inibir o
movimento relativo entre o campo magnético e o fluido.
As duas últimas ações têm consequência similares. Em ambos os casos, o
movimento relativo entre o fluido e o campo magnético tende a ser reduzido. Fluidos
podem “arrastar” linhas de campos magnéticos (efeitos ii) e campos magnéticos podem
“segurar” fluidos condutores (efeitos iii). É este “congelamento” parcial do meio e do
campo magnético que é o ponto principal da magnetohidrodinâmica.
Esses efeitos são, talvez, mais familiares no contexto da eletrodinâmica
convencional. Considere um fio circular o qual é puxado através de um campo magnético
(Figura 3.4). Logo que o fio é deslocado para a direita, uma força eletromotriz, fem, da
ordem deu B×
é gerada, fazendo com que uma corrente elétrica circule no fio como
mostrado (efeito i).
45
Figura 3.4 – Interação entre um campo magnético e um fio circular em movimento.
Adaptado de Davidson (2001).
O campo magnético associado com a corrente induzida perturba o campo
magnético original, e o resultado líquido é que as linhas de campo magnético parecem ser
“arrastadas” pelo fio (efeito ii). A corrente induzida também faz surgir a força de Lorentz
J B×
, a qual age no fio na direção oposta ao do movimento (efeito iii). Assim, é
necessário fornecer uma força para o movimento do fio.
Para um melhor entendimento do efeito (ii), inicia-se pela percepção de que o
campo magnético imposto deverá ser influenciado (a) pela velocidade típica do fluido, (b)
pela condutividade elétrica do fluido e, de maneira não tão explícita, (c) por uma escala
característica de comprimento, ℓ , do movimento. Se o fluido não é condutor ou a sua
velocidade é desprezível, não existirá campo magnético induzido significante. Por outro
lado, se σ ou u
são grandes, então o campo magnético induzido pode alterar o campo
magnético imposto (Figura 3.4). Conforme citado, a fem gerada pelo movimento relativo
entre o campo magnético imposto e o meio fluido é da ordem de u B×
, de maneira que,
pela lei de Ohm, a densidade da corrente induzida é da ordem de )(u B×
. No entanto, uma
densidade de corrente modesta espalhada sobre uma área pode produzir um campo
magnético elevado, enquanto que a mesma densidade de corrente espalhada sobre uma
área pequena induz apenas um campo magnético fraco.
Logo, é o produto uσ ℓ que determina a razão entre o campo magnético induzido
e o campo magnético aplicado. No limite em que uσ →∞ℓ (condutores ideais), os campos
magnéticos, induzido e imposto, são de mesma ordem de grandeza. Em tais circunstâncias,
o campo magnético combinado se comporta como se estivesse “preso” ao fluido. Por outro
lado, quando 0uσ →ℓ , o campo magnético imposto permanece relativamente inalterado.
46
A astrofísica se situa mais próxima do primeiro caso, não apenas pela alta
condutividade dos plasmas, mas devido à grande escala de comprimento envolvida. A
MHD de metal líquido, por outro lado, se situa no segundo limite, de maneira que o campo
de velocidade não perturba significativamente o campo magnético imposto. Apesar desse
fato, o efeito (iii) ainda é forte em metais líquidos, de maneira que um campo magnético
imposto altera substancialmente o campo de velocidade (interação de uma via).
Considerando-se a permeabilidade do espaço livre, mµ , a condutividade elétrica,
, a massa específica do meio, , e uma escala de comprimento característica, ℓ pode-se
construir os três seguintes parâmetros chaves da magnetohidrodinâmica.
Rem m uµ σ= ℓ Número de Reynolds Magnético (3.1)
a
m
Bv
ρµ= Velocidade de Alfvèn (3.2)
12
m
Bστρ
−
=
Tempo de Amortecimento Magnético (3.3)
O número de Reynolds magnético é uma medida adimensional da condutividade
elétrica, de maneira que é Rem , e não apenas ,o fator importante em MHD. Quando Rem
é grande, as linhas de campo magnético agem como cordas elásticas “agarradas” ao meio,
implicando em duas consequências. Primeiro, o fluxo magnético através de uma curva
material fechada tende a ser conservado durante o movimento do fluido (as linhas de fluxo
tendem a acompanhar a curva, Figura 3.4). Segundo, pequenos distúrbios no meio resultam
em oscilações quasi-elásticas, o campo magnético fornecendo a força de restauração para
as oscilações. Isso resulta nas ondas de Alfvèn, de frequência /avω ≈ ℓ . Quando Rem é
pequeno u
tem pouca influência sobre B
, pois o campo induzido é desprezível
comparado ao imposto. O campo magnético se comporta de maneira dissipativa, não
elástica, amortecendo o movimento pela conversão de energia cinética em calor, via efeito
Joule. A escala de tempo relevante é agora o tempo de amortecimento, mτ , e não / aνℓ .
47
3.3 EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA
As leis básicas do eletromagnetismo são as leis de Lorentz, de Ohm, de Faraday e
de Ampère, e serão discutidas em maiores detalhes nesta seção.
3.3.1 CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ
Uma partícula se movendo com velocidade u
e transportando uma carga q está,
em geral, submetida a três forças eletromagnéticas:
s if qE qE qu B= + + ×
(3.4)
- O primeiro termo é a força eletrostática, ou força de Coulomb, a qual surge da
repulsão ou atração mútua de cargas elétricas (sE
, é o campo eletrostático),
- O segundo termo é a força que a carga experimenta na presença de um campo
magnético dependendo do tempo (iE
, é o campo elétrico induzido pelo campo),
- O terceiro termo é a força de Lorentz, a qual surge com o movimento da carga
em um campo magnético.
A lei de Coulomb afirma que sE
é irrotacional, e a lei de Gauss estabelece a sua
divergência (Eq.3.5.a). Assim:
( )0
eVρε
∇ ⋅ −∇ = ; 0sE∇ × =
(3.5a,b)
onde eρ é a densidade de carga total (cargas livres e de ligação) e 0ε é a permissividade
do espaço livre. Em função da Eq. (3.5b), pode-se introduzir o potencial eletrostático V ,
definido por sE V= −∇
, de maneira que, da Eq. (3.5.a), tem-se 20/eV ρ ε∇ = − . Por outro
lado, o campo elétrico induzido tem divergência nula, enquanto o seu rotacional é finito e
governado pela lei de Faraday (ver Eq. 3.6.b):
0iE∇ × =
; i
BE
t
∂∇× = −∂
(3.6a,b)
48
Assim, é conveniente definir o campo elétrico total como s iE E E= +
, de tal
maneira que se pode escrever de maneira generalizada:
0
eEρε
∇ ⋅ =
; B
Et
∂∇× = −∂
(3.7a,b)
(Lei de Gauss) (Lei de Faraday)
( )f q E u B= + ×
(Força Eletrostática + Força de Lorentz) (3.8)
Se, diferentemente de u
, E
e B
, for medido um campo elétrico em um sistema
de coordenadas fixo na carga em movimento, define-se o campo elétrico relativo/efetivo:
rf qE=
; rE E u B= + ×
(3.9, 3.10)
3.3.2 LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA
Em MHD, o interesse é na força global agindo sobre o meio, não nas forças sobre
partículas individuais. Assim, um somatório sobre um volume unitário do condutor produz:
eq ρ∑ = ; qu J∑ =
(3.11, 3.12)
(Densidade de Carga) (Densidade de corrente)
Logo, a versão volumétrica da Eq. (3.8), isto é, da força de Lorentz é:
eF E J Bρ= + ×
(Força p/ Unidade de Volume) (3.13)
Por outro lado, as velocidades comumente encontradas em aplicações de
engenharia são muito menores do que a velocidade da luz e a densidade de carga é muito
pequena, de maneira que o primeiro termo da Eq. (3.13) pode ser desprezado. Assim, na
magnetohidrodinâmica de metais líquidos, a força de Lorentz é escrita na forma:
F J B= ×
(Força de Lorentz volumétrica - MHD) (3.14)
49
Sabe-se, por outro lado, que a densidade de corrente, J
, em um condutor
estacionário é proporcional à força gerada pelas cargas livres, qE
, sendo descrita pela lei
de Ohm convencional como J Eσ=
(Figura 3.5 a).
Figura 3.5 – lei de Ohm em um condutor (a) estacionário e (b) em movimento.
Adaptado de Davidson (2001).
Se, em adição, o condutor se move com velocidade u
sob um campo magnético,
as cargas livres experimentarão uma força adicional qu B×
, e a lei de Ohm é agora escrita
de maneira generalizada como a (Figura 3.5 b):
( )rJ E E u Bσ σ= = + ×
(Lei de Ohm para MHD/Não-MHD) (3.15)
Se o condutor é um meio fluido, o campo de velocidade u
variará, em geral, com
a posição, tornando a interação entre u
e B
mais sutil e mais difícil de se mensurar.
3.3.3 LEI DE AMPÈRE
Simplificadamente, a lei de Ampère trata do campo magnético gerado por uma
distribuição de corrente (Figura 3.6). Se é uma curva fechada, composta de elementos de
linha, dℓ e é qualquer superfície limitada por essa curva, a lei de Ampère estabelece:
mc sB d J dSµ⋅ = ⋅∫ ∫ ℓ (Lei de Ampère - forma integral) (3.16)
50
Figura 3.6 – Lei de Ampère aplicada a um fio. Adaptado de Davidson (2001).
Essa lei pode ser entendida como a circulação do campo magnético em torno da
curva é igual ao fluxo (densidade) de corrente através da superfície (área, ) delimitada
pela curva sobre a qual a circulação está sendo calculada. Na forma diferencial, aplicado o
teorema de Gauss, a lei de Ampère é descrita como:
mB Jµ∇ × =
(Lei de Ampère) (3.17)
Posteriormente, Maxwell verificou que a lei necessitaria levar em conta a antes
desconhecida corrente de deslocamento (a qual se fazia necessária para satisfazer o
princípio de conservação da carga, Eq. 3.30), de maneira que a lei passou a ser
denominada lei de Ampère-Maxwell. Na forma diferencial ela é escrita como:
0m
EB J
tµ ε ∂∇× = + ∂
(Lei de Ampère-Maxwell) (3.18)
Entretanto, a correção de Maxwell não é necessária em MHD de metal líquido, de
maneira que é empregada na sua forma pré-Maxwelliana, dada pela Eq. (3.17).
51
3.3.4 LEI DE FARADAY
A lei de Faraday trata da força eletromotriz (fem) a qual é gerada em um condutor
como resultado de (i) um campo magnético variável (depende do tempo), ou (ii) do
movimento de condutor no interior de um campo magnético (Figura 3.7). A lei de Faraday
pode ser escrita como:
c s
dfem E d B dS
dt= ⋅ = − ⋅∫ ∫
ℓ (Lei de Faraday/Lenz) (3.19)
Figura 3.7 – Lei de Faraday (a) fem gerada pelo movimento de condutor, (b) fem gerada
por um campo magnético dependente do tempo. Adaptado de Davidson (2001).
Onde é uma curva fechada, composta de elementos de linha dℓ e é qualquer
superfície limitada por essa curva. Novamente, como na Eq. (3.10), rE
é o campo elétrico
efetivo, medido em uma referência fixa na carga/elemento dℓ em movimento.
Similarmente à lei de Ampère, a lei de Faraday pode ser entendida como a
circulação do campo elétrico em torno da curva (fem gerada) sendo igual ao decréscimo
da taxa de variação com o tempo do fluxo (densidade) magnético através da superfície
(área, ) delimitada pela curva sobre a qual a circulação está sendo calculada.
Na forma diferencial, aplicando o teorema de Gauss e supondo que a curva é
rígida e está em repouso (a carga de cada elemento dℓ ), a lei de Faraday é descrita por:
B
Et
∂∇× = −∂
(Lei de Faraday para MHD/Não-MHD) (3.20)
52
A Eq. (3.20) é um caso especial da Eq. (3.19), sendo uma definição menos geral
do que a sua versão original. Na Eq. (3.19), a fem pode ser gerada pela variação do fluxo
de B
com o tempo, pelo movimento uniforme da curva em ukm campo não-homogêneo,
ou pela mudança da forma da curva. Por outro lado, a Eq. (3.20) estabelece apenas o
campo elétrico induzido por um campo magnético variante com o tempo.
3.3.5 CONSERVAÇÃO DE CARGA-DIVERGÊNCIA
Conforme já citado, o requerimento de conservação da carga requer que a taxa na
qual a carga decresce em um volume de controle deve ser igual ao fluxo de carga para fora
através de sua superfície (densidade de corrente, Eq.3.12).
eJt
ρ∂∇ ⋅ = −∂
(Eq. Conservação da Carga) (3.21)
Tomando o divergente em ambos os lados da equação anterior, e usando a lei de
Gauss, obtém-se:
( ) 0e e
e
u Bt
ρ ρ στ
∂ + + ∇⋅ × =∂
; o
e
ετσ
= (3.22 a,b)
A quantidade eτ é o tempo de relaxação da carga, e para um condutor típico é
aproximadamente 1810− s, um valor extremamente pequeno. Para apreciar a origem do seu
nome, considere a situação onde 0u = . Nesse caso a Eq. (3.22b) e sua solução são:
0e e
et
ρ ρτ
∂ + =∂
; ( ) ( )0 expe ee
ttρ ρ
τ
= −
(3.23 a,b)
Qualquer densidade de carga líquida que, no tempo 0=t , estiver no interior de
um condutor se moverá rapidamente para a superfície sob a ação de forças de repulsão
eletrostáticas. Assim, eρ é sempre zero em condutores estacionários, exceto durante algum
minúsculo período, como, por exemplo, quando uma bateria é ligada.
53
Agora, considere a situação em que 0≠u
. Desde que se está interessado em
eventos que ocorrem em uma escala de tempo muito maior do que eτ , pode-se desprezar
te
∂∂ρ
em comparação com ee τρ / , de maneira que a Eq. (3.23) é escrita como:
( )Bue
×⋅∇−= 0ερ (3.24)
Logo, quando existe movimento, pode-se sustentar uma densidade de carga finita
no interior de um condutor. Entretanto, como se verá, eρ é muito pequena, incapaz de
produzir qualquer força elétrica significante, Ee
ρ , de maneira que se justifica o uso da
Eq. (3.14).
Em termos de escalas características, a equação anterior pode ser aproximada por
ℓ/~ 0uBe ερ , enquanto da lei de Ohm por σ/~ JE
, de maneira que
( )( ) JBu
JuBE ee
ℓℓ
τσερ ~//~ 0 . Por argumentos dimensionais, 1810~/ −ℓeuτ , assim, a
força de Lorentz domina completamente a Eq. (3.13), a qual passou a ser escrita como a
Eq. (3.14):
BJF
×= (Força de Lorentz Volumétrica - MHD)
Observa-se também que para 0≠u
, uma hipótese básica é desprezar te
∂∂ρ
de
maneira que a equação de conservação da carga, Eq. (3.21), passa a ser escrita como:
0=⋅∇ J
(Eq. Conservação da Carga - MHD) (3.25)
Com relação à lei de Ampère-Maxwell, explicitando a densidade de corrente J
,
aplicando o divergente sobre a equação obtida e fazendo uso da lei de Gauss, obtém-se:
( )t
Et
J e
∂∂−=⋅∇
∂∂−=⋅∇ ρε
0 (3.26)
54
Esta é exatamente a equação da conservação da carga, a qual demonstra que se a
lei de Ampère for empregada sem a corrente de deslocamento (correção de Maxwell), a
conservação da carga seria violada. Entretanto, como já citado, em condutores, o termo
te
∂∂ρ
é desprezível, ou, por argumentos dimensionais, a corrente de deslocamento é muito
menor do que J
. Assim a Eq. (3.17) é suficiente para análises de MHD:
JB m
µ=×∇ (Lei de Ampère - MHD)
Em adição, essa equação é consistente com a Eq.(3.25), a equação da conservação
da carga simplificada, uma vez que, tomando-se o divergente da Eq. (3.17), obtém-se a Eq.
(3.25). Finalmente, com relação a lei de Faraday, Eq. (3.20), tomando-se o divergente em
ambos os lados, obtém-se:
( ) 0B
Et
∂∇ ⋅ ∇ × = −∇ ⋅ =∂
(3.27)
Tal resultado mostra que t
B
∂∂
(e o próprio B
) são solenoidais. Isto é:
0=⋅∇ B
(Pra MHD e Não-MHD) (3.28)
Isto permite a introdução de um outro campo, A
, denominado vetor potencial, o
qual é definido tal que:
BA
=×∇ ; 0=⋅∇ A
(3.29, 3.30)
Essa definição assegura, automaticamente, que B
é solenoidal, uma vez que
( ) 0A∇ ⋅ ∇ × =
. Agora a substituição de A
na lei de Faraday, Eq.(3.20), produz:
( ) AE A E
t t
∂ ∂∇ × = − ∇ × = −∇ ×∂ ∂
⇒ AE V
t
∂∇ × = − − ∇∂
(3.31)
55
Onde é uma função escalar arbitrária (potencial eletrostático), necessária no
resultado, tendo em vista que is EEE
+= , e as restrições impostas pela Eq. (3.5b),
0=×∇ sE
, e Eq. (3.6a), 0=×∇ iE
:
VEs −∇=
; t
AEi ∂
∂−=
(3.32a,b)
3.3.6 INCLUSÃO DOS EFEITOS HALL E DESLIZAMENTO DE Í ONS
No regime entre partículas colisionais e não-colisionais, as partículas portadoras
de carga (elétrons e íons) sofrem deflexão de sua trajetória ao interagir com um campo
magnético transversal. Para balancear esse efeito de deflexão, surge uma densidade de
corrente elétrica induzida. Tal corrente induzida é a denominada corrente Hall e o
fenômeno associado de geração de uma componente transversal de velocidade é conhecido
como efeito Hall (Sutton e Sherman, 2006).
Em sólidos e líquidos condutores e em gases totalmente ionizados, a velocidade
de difusão dos elétrons é muito maior do que a de íons e, como aproximação, a densidade
da corrente elétrica induzida é determinada principalmente pela difusão dos elétrons, a qual
depende da razão entre a frequência cíclotron dos elétrons e a frequência de colisões.
De maneira geral, a intensidade do efeito Hall para elétrons (corrente de condução
associada aos elétrons) é proporcional à velocidade transversal de difusão dos elétrons:
e e eJ n eV= −
(3.33)
Onde, en é o número de elétrons, e é a carga elétrica e eV
é a velocidade
transversal de difusão dos elétrons. A corrente elétrica induzida provoca, assim, um campo
elétrico secundário, o qual é descrito por:
( )e e eE J Bβ= − ×
(3.34)
1
een e
β = (constante de Hall p/ elétrons) (3.35)
56
Agora, em gases parcialmente ionizados com elevada mobilidade de íons (elevado
parâmetro Hall para elétrons), a corrente induzida por elétrons é reduzida, de maneira que a
corrente induzida por íons não pode mais ser desprezada (reduzido parâmetro Hall para
íons). Em função da complexidade do desenvolvimento matemático, apenas o resultado
final para o campo elétrico induzido por íons será apresentado. Assim, de acordo com
Sutton e Sherman (2006):
( )e ii iE B J B
B
β β= − × ×
(3.36)
2 *
ini
i e
f
m n
τβ = (constante de Hall p/íons) (3.37)
Na equação acima, im é a massa média de íons, en é o número de elétrons, *inτ é o
tempo médio de colisão de íons com partículas neutras e f representa a fração mássica de
átomos não ionizados (partículas neutras).
Logo, a descrição da corrente total de condução na sua forma mais completa (Lei
de Ohm generalizada, Eq. 3.15), a qual leva em conta o efeito Hall adicional para elétrons
e íons, é dada por:
( ) ( )e ieJ E V B J B B J B
B
β βσ β = + × − × − × ×
(3.38)
Assim, se o gás é totalmente ionizado, não haverá partículas neutras, de maneira
que 0if β= = , e assim não haverá efeito Hall devido à íons, mas apenas à elétrons. Se o
gás é parcialmente ionizado, 1f = , então o efeito Hall devido à íons pode ou não ser
desprezado, dependendo de algumas situações específicas (Sutton e Sherman, 2006).
57
3.4 EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E A FORÇA DE LORENTZ
Campos magnéticos, como qualquer outra força de campo/corpo, atuam em todo
ponto do escoamento, de maneira que seu efeito é diretamente incluído através de um
termo adicional de força por unidade de volume, a força de Lorentz por unidade de volume
(Eq. 3.14). Assim, levando em conta tal força de corpo, as equações de Navier-Stokes para
um fluido incompressível com propriedades físicas constantes são escritas como:
21Du Fp u
Dtν
ρ ρ= − ∇ + ∇ +
⇒ ( )21 J BDu
p uDt
νρ ρ
×= − ∇ + ∇ +
(3.39a,b)
Três grupos adimensionais aparecem quando a equação é escrita na forma
adimensional. O primeiro é o número de Reynolds, νℓu=Re , o qual, como na mecânica
dos fluidos convencional, indica a razão das forças inerciais, ( )uu ∇⋅ , pelas forças
viscosas, 2uν ∇ . O segundo grupo é denominado parâmetro de interação magnética:
2
m
BN
u u
σρ τ
∇= =ℓ ℓ (3.40)
onde mτ é o tempo de amortecimento magnético, Eq. (3.3). O parâmetro de interação
magnética é importante em situações onde a densidade de corrente J
se deve
principalmente à Bu × na lei de Ohm. Em tal situação, representa a razão das forças de
Lorentz, ( ) ρ/BJ
× , pelas forças de inércia, ( )uu ∇⋅ .
Finalmente, o terceiro parâmetro adimensional, denominado de número de
Hartmann, é um híbrido de Re e N representando (a sua potência quadrática) a razão das
forças de Lorentz, ( ) ρ/BJ
× , pelas forças viscosas, 2uν ∇ :
( )1 2
1 2ReHa N B
σρν
= = ℓ (3.41)
58
CAPÍTULO IV
4. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
59
4.1 PROBLEMA FÍSICO
No presente trabalho, o interesse é voltado à avaliação das características
dinâmicas do escoamento e da transferência de calor na região do plano central do canal
retangular representado na Figura 4.1.
O canal retangular é composto por duas placas verticais eletricamente condutoras
(os eletrodos), separadas uma da outra por uma distância w, e por duas placas horizontais
não condutoras, separadas por uma distância h. Uma carga resistiva, ou uma fonte de
tensão, pode ser conectada aos eletrodos para retirar, ou inserir, corrente elétrica no
escoamento, a depender se a configuração é de bomba ou gerador magnetohidrodinâmico.
Figura 4.1 - Esquema de geometria e das características elétricas e magnéticas do
canal. Adaptado de Setayesh e Sahai (1990) e Sutton e Sherman (2006).
60
4.2 HIPÓTESES ADOTADAS
O termo adicional que deve ser incluído nas equações de Navier-Stokes na forma
bidimensional é a força de Lorentz, * * *MHD
F J B= ×
(o asterisco denota variável
dimensional). A descrição das componentes dessa força irá depender das hipóteses
adotadas para se definir os campos de velocidade, elétrico e magnético.
As seguintes hipóteses são adotadas para a elaboração do modelo matemático que
descreve o fenômeno a ser analisado.
a) Efeitos secundários geométricos de borda são desprezíveis (h w<< , as placas
verticais não interferem no escoamento bidimensional na porção central do canal);
b) As placas horizontais do canal podem ser simuladas como sendo porosas ou não.
Quando porosas, o fluido pode ser simultaneamente aspirado na placa de baixo e
ejetado da placa superior, ou vice-versa.
c) O escoamento é incompressível, laminar e transiente. Em função de efeitos
magnéticos secundários, uma componente transversal de velocidade pode se
desenvolver (devido aos efeitos Hall);
d) O escoamento MHD é mantido por um gradiente de pressão constante ou com
decaimento exponencial no tempo;
e) O fluido e as partículas são eletricamente condutores e não-magnéticos;
f) Campos magnéticos induzidos são desprezíveis (número de Reynolds magnético
baixo, apenas as equações do escoamento e da energia necessitam ser resolvidos);
g) O campo magnético externo é unidirecional, uniforme e constante, (0B );
h) Qualquer campo elétrico externo imposto é uniforme e constante, (0E );
i) Efeito Hall é considerado (corrente transversal adicional devido ao efeito da
curvatura de trajetórias de elétrons em um campo magnético);
61
j) Deslizamento de íons é considerado (corrente transversal adicional, importante
apenas em gases parcialmente ionizados em um campo magnético elevado, em
gases completamente ionizados são nulas);
k) Partículas sólidas (esféricas) associadas a desgastes naturais ou provenientes de
processos industriais são consideradas;
l) O efeito de geração de energia por dissipação viscosa ( * * *viscq µ= Φ ) pode ser
incluído na análise;
m) O efeito de geração de energiar por efeito Joule (2* *
*
1Jouleq J
σ=
) pode ser
incluído na análise;
n) O canal pode rotacionar em torno do eixo vertical com velocidade angular
constante ( *0 jΩ = Ω
);
o) As propriedades físicas como a massa específica e os calores específicos do fluido
e das partículas são constantes, mas as propriedades de transporte podem variar
com a temperatura;
Em relação ao campo hidrodinâmico, a hipótese (b) impõe uma componente
transversal, vertical, de velocidade, 0v j
, enquanto as hipóteses (i) e (j) requerem que outra
componente transversal de velocidade, * ( , )w y t k
, seja levada em conta. Dessa maneira,
observando-se ainda a hipótese (c), o vetor velocidade do campo do escoamento deve ser
escrito como (Attia, 2002; Chand et al., 2013):
* * * * * * *0( , ) ( , )V u y t i v j w y t k= + +
(4.1)
A hipótese (d) permite que o gradiente de pressão possa ser escrito como:
* *
*
0*GtP
G ex
α−∂ =∂
(4.2)
62
onde, *Gα é a constante de amortecimento do gradiente de pressão, sendo nula, quando se
assumir um valor constante para o gradiente de pressão, 0G .
Por sua vez, as partículas presentes no escoamento (hipótese k) têm o seu campo
de velocidade atrelado ao campo do fluido. Assim, ele é simplesmente escrito como:
* * * * * * *( , ) ( , )p p pV u y t i w y t k= +
(4.3)
Considera-se ainda na análise, a possibilidade de rotação do canal em torno do
eixo perpendicular aos plano das placas. Uma vez que o sistema de coordenadas adotado
para descrever o movimento do fluido é fixo no canal, estando este em rotação (o sistema
passa a ser não inercial), o efeito adicional da aceleração de Coriolis, deve ser levado em
conta na equações de Navier-Stokes. Essa aceleração é descrita, para o fluido e para as
partículas, como:
* * *2( )Coriolisa V= ×Ω
(4.4)
* * *_ 2( )Coriolis p pa V= ×Ω
(4.5)
Os campos de temperatura do fluido e das partículas são funções de y* e t* apenas:
* * * *( , )T T y t= ; * * * *( , )p pT T y t= (4.6, 4.7)
As hipótese (g) e (h) requerem que os campos magnético e elétrico sejam:
*0E E k=
; *0B B j=
(4.8, 4.9)
63
Agora, uma vez que os efeitos Hall e de deslizamento de íons podem levados em
conta (e daí a componente transversal de velocidade, * * *( , )w y t k
), a lei de Ohm deverá ser
escrita na sua forma mais geral.
Assim, a densidade total de corrente é, do Capítulo 3:
( ) ( )* * * * * * * * * *
* e i
eJ E V B J B B J BB
β βσ β = + × − × − × ×
(4.10)
Substituindo-se as definições dos campos de velocidade, elétrico e magnético na
expressão da densidade total de corrente, obtém-se após alguma manipulação matemática
(ver Apêndice A):
* * * x zJ J i J k= +
(4.11)
( )
( )*
* * *0 02 2
0
11
x i
i
B EJ u w
B
σ β ββββ β
= + − +
+ + (4.11a)
( )
( )*
* * *0 02 2
0
11
z i
i
B EJ u w
B
σ ββ βββ β
= + + +
+ + (4.11b)
De maneira que a força de Lorentz, * * *MHD
F J B= ×
é, na sua forma final, escrita
como (ver Apêndice A):
_ _
* * * MHD MHD MHD zxF F i F k= +
(4.12)
( )
( )_
* 2* * *0 0
2 20
11
MHD x i
i
B EF u w
B
σ ββ βββ β
= − + + +
+ + (4.12a)
( )
( )_
* 2* * *0 0
2 20
11
MHD z i
i
B EF w u
B
σ ββ βββ β
= − + − +
+ + (4.12b)
64
onde,
*0 eBβ σ β= (parâmetro Hall p/ elétrons) (4.13)
Tais equações demonstram que, para a configuração do problema estudado, o
resultado do efeito Hall (para elétrons, β ) é o desenvolvimento de uma componente de
corrente induzida na direção do escoamento principal, i, a qual, por sua vez, produz uma
componente de velocidade, w*, na direção dos eletrodos, k
(perpendicular à direção do
escoamento principal e à direção do campo magnético). O efeito de deslizamento de íons
se dá no sentido de amplificar ou reduzir a corrente e a componente de velocidade
induzidas, a depender do parâmetro Hall para deslizamento de íons, iβ .
Adicionalmente, as partículas sólidas presentes no escoamento interagem com o
fluido através de uma força de arraste, modelada em função do movimento relativo
fluido/partícula. Uma vez que são consideradas partículas esféricas e o número de
Reynolds baseado na velocidade relativa é pequeno, esse efeito de arraste é proporcional à
velocidade relativa (Saffman, 1962; White, 1991; Panton, 1996):
( )* * *D pF K N V V= −
(4.14)
( )* * *Dx pF K N u u= − ; ( )* * *
Dz pF K N w w= − (4.14a, b)
onde N é o número de partículas por unidade de volume e K é a constante de Stokes,
6 pK Rπ µ= ( µ é a viscosidade do fluido e pR é o raio médio das partículas).
Em relação à equação da energia para o escoamento, o presente trabalho considera
dissipação de energia por efeito viscoso (hipótese l) e por efeito Joule (hipótese m). Tais
efeitos são facilmente descritos a partir de suas definições:
2 2* *
* * * ** *visc
u wq
y yµ µ
∂ ∂ = Φ = + ∂ ∂
ɺ (4.15)
65
( ) ( )22* * *2 *2 *2 *2
* * *
1 1 1Joule x z x zq J J J J J
σ σ σ= = + = +
ɺ (4.16)
( )
2* 2* * * 20 0
2 201
Joule
i
B Eq u w
B
σββ β
= + +
+ +
ɺ (4.17)
Deve-se observar ainda que, devido à diferença de temperatura entre as partículas
e o fluido, deve ocorrer transferência de calor entre ambos. Admite-se que o processo de
ganho de energia pelas partículas ocorre através da condução de calor entre elas e o fluido
(Attia, 2002; Chand et al., 2013):
( )* * *p pspartic p
s
cq T T
ρλ
= −ɺ (4.18)
Onde:
3Pr
2s ps
sp
c
c
γλ = ;
*1
*1
Pr pc
k
µ= (4.19a, b)
2
*1
2
9s p
s
Rργ
µ= ; 3
3
4p
spR N
ρρ
π= (4.19c, d)
Nessas equações, pρ , sρ , psc , sλ , sγ , pR , N e *pT são todas referentes às
partículas sólidas e representam, respectivamente, a massa das partículas sólidas por
unidade de volume do fluido, a massa específica, o calor específico médio à pressão
constante, o tempo de relaxação da temperatura, o tempo de relaxação da velocidade, o
raio médio das partículas, o número de partículas e a temperatura das partículas. Por sua
vez, *1µ , pc , *
1k e *T , representam a viscosidade dinâmica, o calor específico a pressão
constante, a condutividade térmica e a temperatura do fluido, respectivamente.
66
Finalmente, com relação à dependência das propriedades de transporte com a
temperatura, na faixa de temperatura em que geradores magnéticos, por exemplo, operam,
a viscosidade dinâmica e as condutividades térmica e elétrica do fluido podem ser descritas
pelas seguintes relações (Heywood, 1965; Thompson e Bopp, 1970; Rosa, 1971) :
( ) ( )* *1 *
1 a T T
T eµ µ − −∗ ∗ = (4.20)
( ) ( )* * * * * *1 1 1 k T k b T T = + − ; * 0b ≥ (4.21)
( ) ( )* * * * * *1 1 1 T c T Tσ σ = + − ; * 0c ≥ (4.22)
Os coeficientes a*, b* e c* caracterizam o comportamento do tipo de fluido
analisado. Por exemplo, na expressão da viscosidade dinâmica, * 0a < define o
comportamento para gases e * 0a > define o comportamento para líquidos. As
condutividades térmica e elétricas só admitem coeficientes positivos, de maneira que elas
crescem com a temperatura.
Em todas as equações, o índice 1 refere-se ao valor da propriedade (* * *, ,kµ σ )
avaliada na temperatura da placa inferior, T1.
A partir dessas considerações das hipóteses adotadas para o problema do
escoamento MHD, a seção seguinte apresenta a formulação completa do modelo
matemático que descreve os fenômenos físicos estudados: as equações do movimento e as
equações da energia para o escoamento não-isotérmico do fluido e das partículas sólidas.
67
4.3 MODELO MATEMÁTICO
Para um fluido newtoniano, as equações de Navier-Stokes descrevem
completamente a dinâmica do seu escoamento, enquanto que para as partículas, a segunda
Lei de Newton é aplicada diretamente sob um ponto de vista Lagrangeano. No presente
trabalho, considera-se que apenas o fluido é condutor elétrico, de maneira que a interação
campo magnético e escoamento deve ser considerada apenas para o fluido.
Em relação à transferência de calor, a equação da energia para o fluido deve levar
em conta a transferência transiente de energia por condução através do fluido, a dissipação
viscosa, o efeito Joule e a condução de calor entre o fluido e as partículas. Para as
partículas apenas a condução de calor transiente entre o fluido e as partículas é
considerada.
Tais equações, já inseridos os termos referentes à aceleração de Coriolis, são
escritas na forma vetorial dimensional (asterisco) como (Attia, 2002; Chand et al., 2013):
Equação do movimento:
( )*
* * * * * * **
2 ( )MHD D
DVV P V F F
Dtρ ρ µ+ × Ω = −∇ + ∇ ∇ + −
i (4.23)
Equação da energia:
*
* * * * * * **
( ) p visc Joule part
Tc V T k T q q q
tρ ∂ + ∇ = ∇ ∇ + + + ∂
ɺ ɺ ɺi i (4.24)
Equação do movimento das partículas:
*
* * **
2( )pp p D
Vm V F
t
∂+ ×Ω = ∂
(4.25)
Equação da energia das partículas:
*
**
pp ps part
Tc q
tρ
∂= −
∂ɺ (4.26)
68
Nessas equações, pm é a massa média das partículas e ρ é a massa específica do
fluido. As demais variáveis já foram definidas na seção anterior.
Agora, empregando-se as definições correspondentes para cada
termo/componente, as seguintes equações para o fluido e para as partículas são obtidas:
* * * ** *
0 0* * * * *
* 2* * * *0 0
2 20
2
( ) (1 )(1 )p i
i
u u P uv w
t y x y y
B EKN u u u w
B
ρ ρ ρ µ
σ ββ βββ β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − Ω = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − − + + + + +
(4.27)
* * ** *
0 0* * * *
* 2* * * *0 0
2 20
2
( ) (1 )(1 )p i
i
w w wv u
t y y y
B EKN w w w u
B
ρ ρ ρ µ
σ ββ βββ β
∂ ∂ ∂ ∂+ + Ω = ∂ ∂ ∂ ∂
− − − + − + + +
(4.28)
( )( )
2 2** * * ** *
0* * * * * *
2* 2* * 2 * *0 0
2 20
1
p
p psp
si
T T T u wc v k
t y y y y y
cB Eu w T T
B
ρ µ
ρσλββ β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + −
+ +
(4.29)
( )*
* * *02 ) p
p p p
um w K N u u
t
∂− Ω = − ∂
(4.30)
( )*
* * *02 ) p
p p p
wm u K N w w
t
∂+ Ω = − ∂
(4.31)
( )*
* **
1 p
ps
TT T
t λ∂
= − −∂
(4.32)
69
O sistema de equações anterior satisfaz as seguintes condições iniciais,
* *
* *
* * **1
* **
* *
* * *1
( ,0) 0
( ,0) 0
( ,0)0 :
( ,0) 00
( ,0) 0
( ,0)
p
p
p
u y
w y
T y Ttu yy h
w y
T y T
=
= == =≤ ≤ = =
(4.33-38)
e condições de contorno:
* *
* *
* * **1
* **
* *
* * *1
(0, ) 0
(0, ) 0
(0, )0 :
(0, ) 00
(0, ) 0
(0, )
p
p
p
u t
w t
T t Tyu tt
w t
T t T
=
= == => = =
(4.39-44)
* * *2
* *
* * **2
* * **2
* *
* * *2
( , )
( , ) 0
( , ) :
( , )0
( , ) 0
( , )
p
p
p
u h t u
w h t
T h t Ty hu h t ut
w h t
T h t T
=
= == => = =
(4.45-50)
Onde *1T é a temperatura dimensional na placa inferior, *
2u é a velocidade
dimensional da placa superior e *2T é a temperatura dimensional da placa superior.
70
4.4 ADIMENSIONALIZAÇÃO
Com o objeto de simplificar o processo de solução das equações governantes,
além de outros anteriormente, foram empregados ainda os seguintes grupos adimensionais:
*x
xh
= ; *y
yh
= ; *
*1
u hu
ν= ;
*
*1
w hw
ν= ;
*
*1
pp
u hu
ν= ;
*
*1
pp
w hw
ν= ;
* *1
2
tt
h
ν= ; *2*1
u hRu
ν= ;
*0*1
v hRv
ν= ;
*
*1
µµµ
= ; *
*1
kk
k= ;
*
*1
σσσ
= ;
(4.51)
2
*1
K NhR
µ= ;
*21
2
pmF
K h
ν= ;
2
0 *1 s
hL
ν λ= ;
2
0 0*1
hων
= Ω ;
*1
0 *1
Ha B hσµ
= ; * *
1* *
2 1
T TT
T T
−=−
; * *
1
* *2 1
pp
T TT
T T
−=
− ;
2*
*21
hP P
ρν= ;
( )*21
2 * *2 1p
Ech c T T
ν=−
R, F , 0L , Ec, Ha , Ru e Rv denotam, respectivamente, o parâmetro de
concentração de partículas, o parâmetro massa das partículas, o parâmetro de relaxação
para a temperatura, o número de Eckert, o número de Hartmann, a velocidade da parede
superior e o parâmetro de sucção/ejeção nas paredes porosas do canal.
Empregando-se os grupos adimensionais anteriores, as equações governantes são
escritas adimensionalmente como:
71
[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
0
2
2 2
2 G
11
p
i z
i
u u uRv w T R u u
t y y y
Ha TE u w
ω µ
σββ β
ββ β
∂ ∂ ∂ ∂+ − = + − − ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + + +
(4.52)
[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
0
2
2 2
2
11
p
i z
i
w w wRv u T R w w
t y y y
Ha Tw E u
ω µ
σββ β
ββ β
∂ ∂ ∂ ∂+ + = − − ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + + +
(4.53)
[ ] [ ]
[ ]( )
( ) ( )
2 2
22 2
2 2
1
Pr
2
3Pr1z p
i
T T T u wRv k T Ec T
t y y y y y
Ec Ha T RE u w T T
µ
σββ β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + − + +
(4.54)
( ) 0
12p
p p
uu u w
t Fω
∂= − +
∂ (4.55)
( ) 0
12p
p p
ww w u
t Fω
∂= − −
∂ (4.56)
( )0p
p
TL T T
t
∂= − −
∂ (4.57)
O gradiente de pressão na forma adimensional, G, é dado por:
0GtP
G G ex
α−∂= − =∂
; 2
**1
G G
hα αν
= (4.58, 59)
72
As equações são submetidas às condições de entrada e de contorno adimensionais:
( ,0) 0
( ,0) 0
( ,0) 00 : ( ,0) 00 1
( ,0) 0
( ,0) 0
p
p
p
u y
w y
T ytu yy
w y
T y
= = == =≤ ≤ =
=
(4.60-61)
(0, ) 0
(0, ) 0
(0, ) 00 : (0, ) 00
(0, ) 0
(0, ) 0
p
p
p
u t
w t
T tyu tt
w t
T t
= = == => =
=
(4.62-69)
(1, )
(1, ) 0
(1, ) 11 : (1, )0
(1, ) 0
(1, ) 1
p
p
p
u t Ru
w t
T tyu t Rut
w t
T t
= = == => =
=
(4.70-75)
Agora, a dependência funcional das propriedades com a temperatura passa a ser
descrita por:
( ) a TT eµ −= ; ( )* * *2 1a a T T= − (4.76, 77)
( ) 1 k T bT= + ; ( )* * *2 1b b T T= − (4.78, 79)
( ) 1 T cTσ = + ; ( )* * *2 1c c T T= − (4.80, 81)
73
CAPÍTULO V
5. METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
74
5.1 PROCESSO DE FILTRAGEM DOS POTENCIAIS
Na modelagem do problema abordado, a condições de contorno relativas à parede
superior são não homogêneas. Para a aplicação da técnica da transformada integral na sua
forma mais otimizada, as não-homogeneidades presentes nas condições de contorno devem
ser eliminadas. Trabalhos anteriores propuseram a aplicação de um procedimento analítico
denominado de filtragem dos campos, o qual consiste na separação dos campos originais
em duas partes: um campo filtrado, que possuirá condições de contorno homogêneas e um
filtro que carrega a não homogeneidade original (Perez-Guerrero& Cotta, 1996; Lima et
al., 2007; Lima e Rêgo, 2013).
A eficiência desse procedimento é ditada pelo filtro que se apresenta como
solução analítica, a mais representativa possível, porém simples, do comportamento
característico da solução original. Uma vantagem adicional verificada nos trabalhos
anteriores citados é o enfraquecimento dos termos fontes das equações, responsáveis pelo
atraso no processo de convergência dos métodos numéricos e em particular, das expansões
empregadas na técnica transformada integral(Rêgo, 2010).
Assim, em função da presente formulação, propõe-se a seguinte separação:
( , ) ( , ) ( )h Fu y t u y t u y= + (5.1)
( , ) ( , ) ( )FT y t y t T yθ= + (5.2)
( , ) ( , ) ( )p ph Fu y t u y t u y= + (5.3)
( , ) ( , ) ( )p p FT y t y t T yθ= + (5.4)
Onde:
( , )hu y t : Campo de velocidade do problema homogêneo
( , )phu y t : Campo de velocidade das partículas sólidas do problema homogêneo
( )Fu y : Campo de velocidade do filtro para os campos de velocidade
( , )y tθ : Campo de temperatura do problema homogêneo
( )FT y : Campo de velocidade do filtro para os campos de temperatura
75
Note-se que o filtro empregado para os campos de velocidade é o mesmo para o
fluido e para a partícula. A mesma filosofia é empregada para os campos de temperatura do
fluido e da partícula.
5.2 EXPRESSÕES DOS FILTROS
5.2.1 Filtro para os Campos de Velocidade
O filtro para os campos de velocidade (fluido e partícula) é obtido a partir da
solução do escoamento do fluido na região completamente desenvolvida, assumindo-se
que as propriedades de transporte são constantes e que não ocorre interação
fluido/partículas (arrasto). Com o objetivo de se alcançar melhores taxas de convergência
quando o efeito Hall de elétrons e partículas é considerado na análise, parte desse efeito é
levada em conta através da definição de um número de Hartamann equivalente, *Ha . O
efeito de campo elétrico foi desconsiderado, a favor da simplicidade da solução.
Assim, carregando a não-homogeneidade do modelo original, a expressão do filtro
para os campos de velocidade é a solução da seguinte EDO:
2
*202
( )( ) , 0 1F
F
d u yG Ha u y y
dy= − + < < (5.5a)
(0) 0Fu = ; (1)Fu Ru= (5.5b, c)
onde, do problema original,
( )
( )*
2 2
1
1i
i
Ha Haββ
ββ β+
=+ +
(5.6)
A solução desse problema é facilmente obtida empregando-se o Software
Mathematica (Wolfram, 2009), sendo escrita como:
76
( ) ( )
( )
*
* * *2
*
**2
*
0 0
20
sinh1 cosh cosh 1
sinh, 0
,
(
2
)
0
F
HaHa Ha H
yG y G u
G
a RHa
Hau y Ha
R Hay y u y
− + − +
=
≠
− + =
(5.7)
Onde G0 é o gradiente constante de pressão.
5.2.2 Filtro para os Campos de Temperatura
Novamente, por simplicidade, se considerou um filtro que corresponde à solução
da equação da energia para condução pura com propriedades termofísicas constantes.
Certamente, esta não é a melhor opção para uma situação de escoamento, no entanto, o
objetivo principal nesse momento é apenas a homogeneização do contorno. Assim,
2
2
( )0 , 0 1Fd T y
ydy
= < < (5.8a)
(0) 0FT = ; (1) 1FT = (5.8b, c)
A solução é analiticamente dada por:
( )FT y y= (5.9)
Para facilitar o processo posterior de transformação integral, o processo de
filtragem será aplicado explicitamente apenas nos termos transientes das equações e nos
termos de interação fluido e partícula. Assim, obtém-se:
77
[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
0
2
2 2
G 2
11
hh ph
i z
i
u u uRv T R u u w
t y y y
Ha TE u w
µ ω
σββ β
ββ β
∂ ∂ ∂ ∂= − + − − + ∂ ∂ ∂ ∂
− + + + + +
(5.10)
[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
0
2
2 2
2
11
p
i z
i
w w wRv T R w w u
t y y y
Ha Tw E u
µ ω
σββ β
ββ β
∂ ∂ ∂ ∂= − + − − − ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + + +
(5.11)
[ ] [ ]
[ ]( )
( ) ( )
2 2
22 2
2 2
1
Pr
2
3Pr1z p
i
T T u wRv k T Ec T
t y y y y y
Ec Ha T RE u w
θ µ
σθ θ
ββ β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + − + +
(5.12)
( ) 0
12ph
h ph p
uu u w
t Fω
∂= − +
∂ (5.13)
( ) 0
12p
p p
ww w u
t Fω
∂= − −
∂ (5.14)
( )0p
pLt
θθ θ
∂= − −
∂ (5.15)
As condições iniciais e de contorno são igualmente filtradas, obtendo-se:
Condições Iniciais:
78
( ,0) ( )
( ,0) 0
( ,0) ( )0 :
( ,0) ( )0 1
( ,0) 0
( ,0) ( )
h F
F
ph F
p
p F
u y u y
w y
y T ytu y u yy
w y
y T y
θ
θ
= − = = −= = −≤ ≤ =
= −
(5.16-21)
Condições de Contorno:
(0, ) 0
(0, ) 0
(0, ) 00 :
(0, ) 00
(0, ) 0
(0, ) 0
h
ph
p
p
u t
w t
tyu tt
w t
t
θ
θ
= = == => =
=
(5.22-27)
(1, ) 0
(1, ) 0
(1, ) 01 :
(1, ) 00
(1, ) 0
(1, ) 0
h
ph
p
p
u t
w t
tyu tt
w t
t
θ
θ
= = == => =
=
(5.28-33)
5.3 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO SISTEMA
5.3.1 Problema de Autovalor Auxiliar
O primeiro passo para a aplicação da técnica da transformada integral
generalizada é a escolha dos problemas de autovalor auxiliares que servirão de base para as
expansões dos campos originais (Cotta, 1993; Lima et al., 2001).
79
Uma vez que as condições de contorno para os campos de velocidade e
temperatura são todas do mesmo tipo(1o tipo), e, assumindo o mesmo número de termos
para todas as expansões envolvidas nas séries, optou-se por escolher um único problema de
autovalor auxiliar para a transformação integral do sistema de equações que governa o
problema em estudo.
Uma vez que os termos de difusão das equações de governo são de segunda
ordem, a escolha mais simples e natural do problema auxiliar é o seguinte problema de
autovalor de Sturm-Liouville (Cotta, 1993; Lima et al., 2001):
2
22
( )( ) 0 , 0 1i
i i
d yy y
dy
τ λ τ+ = < < (5.34a)
(0) 0iτ = ; (1) 0iτ = (5.34b, c)
A solução (autofunção normalizada) desse problema auxiliar e os seus autovalores
são dados por:
1/2
( )( ) 2 sin( )i
i ii
yy y
N
ττ λ= =ɶ (5.35)
, 1,2,3,...i i iλ π= = (5.36)
As autofunções apresentam a seguinte propriedade de ortogonalidade:
1
0
0 , ( ) ( ) 1 , 2
i ji
i jy y dy
N i jτ τ
≠= = =∫ (5.37)
ou
1
0
0 , ( ) ( )
1 , i j
i jy y dy
i jτ τ
≠= =∫ ɶ ɶ (5.38)
80
Agora, uma vez que é empregado um mesmo problema de autovalor para todos os
potenciais, os seguintes pares transformada, integral/inversa são escritos:
( )
( )
1
0
1
( ) ( , )
( , ) ( )
hi i h
h i hi
i
u t y u y t dy
u y t y u t
τ
τ∞
=
= =
∫
∑
ɶ
ɶ
(5.39a, b)
( )
( )
1
0
1
( ) ( , )
( , ) ( )
i i
i i
i
w t y w y t dy
w y t y w t
τ
τ∞
=
= =
∫
∑
ɶ
ɶ
(5.40a, b)
( )
( )
1
0
1
( ) ( , )
( , ) ( )
i i
i i
i
t y y t dy
y t y t
θ τ θ
θ τ θ∞
=
= =
∫
∑
ɶ
ɶ
(5.41a, b)
( )
( )
1
0
1
( ) ( , )
( , ) ( )
phi i ph
ph i phi
i
u t y u y t dy
u y t y u t
τ
τ∞
=
= =
∫
∑
ɶ
ɶ
(5.42a, b)
( )
( )
1
0
1
( ) ( , )
( , ) ( )
pi i p
p i pi
i
w t y w y t dy
w y t y w t
τ
τ∞
=
= =
∫
∑
ɶ
ɶ
(5.43a, b)
( )
( )
1
0
1
( ) ( , )
( , ) ( )
pi i p
p i pi
i
t y y t dy
y t y t
θ τ θ
θ τ θ∞
=
= =
∫
∑
ɶ
ɶ
(5.44a, b)
81
5.3.2 Transformação Integral das Equações
O processo inicial de transformação integral do sistema de equações diferenciais
consiste na multiplicação das equações pelas autofunções, seguida de posterior integração
na direção do problema de autovalor, sobre todo o domínio. Assim, realizando esse
processo em todas as equações que modelam o fenômeno estudado, (Eqs. 5.5 a 5.10), tem-
se:
( )
[ ]
( )[ ] ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 1 1
00 0 0
2 1
2 20
( ) ( )G ( )
2 ( ) ( ) ( )
( ) 11
hi i i h ph
i i i
i i z
i
uy dy y dy R y u u dy
t
u uy wdy Rv y dy y T dy
y y y
Hay T E u w dy
τ τ τ
ω τ τ τ µ
τ σ ββ βββ β
∂ = − −∂
∂ ∂ ∂+ − + ∂ ∂ ∂
− + + + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
(5.45)
( )
[ ]
( )[ ] ( ) ( )
1 1 1
00 0 0
1 1
0 0
2 1
2 20
( ) ( ) 2 ( )
( ) ( )
( ) 11
i i p i
i i
i i z
i
wy dy R y w w dy y u dy
t
w wRv y dy y T dy
y y y
Hay T w E u dy
τ τ ω τ
τ τ µ
τ σ ββ βββ β
∂ = − − −∂
∂ ∂ ∂− + ∂ ∂ ∂
− + − + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ
(5.46)
( )
[ ] [ ]
( )[ ] ( )
1 1 1
0 0 0
2 21 1
0 0
2 12 2
2 20
2( ) ( ) ( )
3Pr
1 ( ) ( )Pr
( )1
i i p i
i i
i z
i
R Ty dy y dy Rv y dy
t y
T u wy k T dy Ec y T dy
y y y y
Ec Hay T E u w dy
θτ τ θ θ τ
τ τ µ
τ σββ β
∂ ∂= − −∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ
(5.47)
82
( )1 1 1
00 0 0
1( ) ( ) 2 ( )ph
i i h ph i p
uy dy y u u dy y w dy
t Fτ τ ω τ
∂= − +
∂∫ ∫ ∫ɶ ɶ ɶ (5.48)
( )1 1 1
00 0 0
1( ) ( ) 2 ( )p
i i p i p
wy dy y w w dy y u dy
t Fτ τ ω τ
∂= − −
∂∫ ∫ ∫ɶ ɶ ɶ (5.49)
( )1 1
00 0
( ) ( )pi i py dy L y dy
t
θτ τ θ θ
∂= − −
∂∫ ∫ɶ ɶ (5.50)
Agora, após a aplicação da fórmula da inversa, das propriedades de
ortogonalidade das autofunções e das condições de contorno, obtém-se o seguinte sistema
de EDO acopladas para os potenciais transformados, com as respectivas condições iniciais:
0
( ) ( ) ( ) 2 hi
i hi phi i ui
du tG f R u t u t w B
dtω = − − + + (5.51)
(0) hi iu h= − (5.51b)
0
( ) ( ) ( ) 2 ( ) i
i pi hi i wi
dw tR w t w t u h B
dtω = − − − + + (5.52a)
(0) 0iw = (5.52b)
( ) 2
( ) ( ) 3Pr
ipi i i
d t Rt t B
dt θθ θ θ = − + (5.53a)
(0) i igθ = − (5.53b)
83
0
( ) 1 ( ) ( ) 2 ( )phi
hi phi pi
du tu t u t w t
dt Fω = − + (5.54a)
(0) phi iu h= − (5.54b)
0
( ) 1 ( ) ( ) 2 ( )pi
i pi phi i
d w tw t w t u h
dt Fω = − − + (5.55a)
(0) 0piw = (5.55b)
0
( ) ( ) ( )pi
i pi
d tL t t
dt
θθ θ = − (5.56a)
(0) pi igθ = − (5.56b)
Os coeficientes que são obtidos analiticamente e, segundo as expressões dos
filtros empregados, são dados por:
1
0
2 ( ) ( 1) 1i
i ii
f y dyτλ
= = − − − ∫ ɶ (5.57)
( )
( )2
10 0
*2 20
2 ( 1) ( ) ( )
ii
i i F
i i
G G Ruh y u y dy
Ha
λτ
λ λ
− − + = = −+∫ ɶ (5.58)
1
0
2( ) ( ) ( 1)i
i i Fi
g y T y dyτλ
= = − −∫ ɶ (5.59)
84
Por outro lado, os coeficientes transformados que levam em conta todas as não
linearidades do problema original são dados por:
( )( )
( ) ( )21
2 20
11
ui i i i i z
i
u HaB Rv E u w dy
y
στ τ µ τ ββ βββ β
∂ ′= − + + + + + ∂ + + ∫ ɶ ɶ ɶ (5.60)
( ) ( )21
2 20
(1 )(1 )wi i i i i e e z
i e e
w HaB Rv w E u dy
y
στ τ µ τ β β ββ β β
∂′= − + + + − + ∂ + + ∫ ɶ ɶ ɶ (5.61)
( )
1
0
2 2 212 2
2 20
Pr
(1 )
i i i
i zi e e
k TB Rv dy
y
u w HaEc E u w dy
y y
θ τ τ
στ µβ β β
∂ ′= − + ∂
∂ ∂ + + + + + ∂ ∂ + +
∫
∫
ɶ ɶ
ɶ
(5.62)
Como se apresenta, o sistema de equações diferenciais acopladas (Eqs. 5.51-5.56)
é de tamanho infinito, pois as séries não foram limitadas. Para fins de avaliação numérica,
as expansões em série devem ser truncadas, em N termos cada uma, de maneira que o
sistema, antes infinito, passe a ser composto por 6N equações diferenciais ordinárias
acopladas. O sistema transformado resultante é resolvido numericamente através da
subrotina IVPAG, do pacote de bibliotecas científicas IMSL (1991), a qual é indicada para
solução de problemas de valor inicial rígidos, sendo especificado um controle relativo de
erro mínimo de 10-8 para a solução convergida dos potenciais transformados.
85
CAPÍTULO VI
6. RESULTADOS
86
6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A convergência dos potenciais originais está diretamente relacionada ao número
de termos associado a cada série, pois para se atingir uma determinada tolerância para
esses potenciais (nesse trabalho, 10-4), o número de termos das séries deve ser
incrementado sucessivamente.
Por sua vez, os coeficientes que aparecem no sistema transformado de equações
são não-lineares, eles necessitam ser avaliados em cada ciclo iterativo do processo de
solução do sistema de equações diferenciais ordinárias. Essa avaliação é feita através da
sub-rotina FQRUL, do IMSL (1991), a qual adota as quadraturas de Fejer para a integração
numérica. No presente trabalho, os resultados foram obtidos empregando-se 1500 pontos
de quadratura para o intervalo [0-0,5] e 1500 pontos para o intervalo [0,5-1], totalizando
NQR=3000 pontos no domínio de integração [0,1].
O código computacional foi desenvolvido em linguagem Fortran 90 e executado
em um micro-computador Dell Intel@ I7 3.6GHz. Resultados para os campos de
velocidade, temperatura e parâmetros correlatos (coeficiente de atrito, número de Nusselt,
entre outros) são graficamente ilustrados e criticamente comparados em tabelas com
resultados numéricos reportados anteriormente, para várias combinações dos 17parâmetros
adimensionais (G, Ha, Ez, Ec, Pr, β, βi, L0, F, Rv, R, αG, a, b, c, Ru, ω0). Onde não estiver
explícito, os resultados são apresentados para N = 700 termos nas expansões, pois mostrou
ser suficiente para convergência completa dos algarismos significativos.
Conforme se pode concluir da revisão bibliográfica e da modelagem matemática,
o presente trabalho apresenta uma metodologia hibrida de solução para um modelo
matemático generalizado que leva em conta as diversas contribuições de modelos
oferecidos em trabalhos anteriores sobre a magnetohidrodinâmica em canais de placas
paralelas. Assim, como forma de se mostrar o desempenho da presente técnica nas mais
diversas situações, os resultados oferecidos por cada um dos trabalhos anteriores serão
comparados e discutidos com os obtidos no presente trabalho em seções separadas. Em
adição, uma vez que cada trabalho emprega diferentes variáveis para definir seus
parâmetros adimensionais, as relações entre os parâmetros de cada trabalho e os do
presente são também mostradas.
87
O trabalho desenvolvido por Lima et al. (2007), que já havia empregado a técnica
da transformada integral para situações que não levavam em conta efeitos Hall nem
rotação do sistema de coordenadas, marca o início da utilização dessa técnica em
problemas relacionados a magnetohidrodinâmica, de maneira que será utilizado
inicialmente no processo de comparação.
Finalmente, análises de convergência (o processo de incremento gradual da ordem
de truncamento das series/expansões, até que um determinado critério de erro numérico
nos valores dos campos analisados seja atingido para cada valor das variáveis
independentes) são mostradas em tabelas para certas situações.
6.2 VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DE RESULTADOS
6.2.1. Attia & Kotb (1996) - Escoamento MHD entre placas paralelas com
transferência de calor (MHD flow between two parallel plates with heat transfer)
Attia e Kotb (1996) estudaram o escoamento e a transferência de calor em regime
permanente no interior de um canal de paredes porosas, onde a placa superior se
movimentava com velocidade constante. Assumindo que a viscosidade dinâmica variava
com a temperatura e considerando dissipação viscosa, analisaram o efeito dos parâmetros
G (gradiente de pressão), Ha (número de Hartmann), Rv (parâmetro de sucção/ejeção) e a
(parâmetro da viscosidade, Eq. 4.75) sobre a física do escoamento.
Os parâmetros adimensionais empregados por eles são os mesmos do presente
trabalho. Em todas as simulações ilustradas, os parâmetros não necessários na análise
receberam os seguintes valores para execução do código computacional desenvolvido:
Ez = 0; β = 0; βi = 0; L0 = 2,8; F = 0,2; R = 0; αG = 0; b = 0; c = 0; ω0 = 0). Qualquer valor
para L0 e F (não nulo) podem ser usados, uma vez que R = 0 (o fluido não interage com as
partículas). Os valores adotados evitam rigidez numérica para a maioria dos casos
analisados. Os demais parâmetros (Ha, Ru, Rv, G0, a, Pr e Ec) assumem valores
específicos para cada situação estudada.
Comparações com os
são ilustradas nas Figuras 6.1 e 6.2e na Tabela 6.1 para algumas situações. A Figura 6.1
mostra a influência da velocidade de sucção/ejeção nas paredes sobre a distribuição de
velocidades para Ru = 1,G0
vez que a viscosidade é constante, não existe acoplamento entre os potenciais, de maneira
que fez-se, simplesmente, Pr
Figura 6.1. Influência da sucção/ejeção nas paredespermanente de velocidade.
Dessa figura, nota
positivo (G0 = - 5, desfavorável) e do movimento da placa superio
direção longitudinal do canal. A intensidade da velocidade da placa superior não é
suficiente para vencer o gradiente de pressão adverso em regiões próximas à parede
inferior. Nessa região, o escoamento é reverso.
Por outro lado, o efeito da sucção de fluido (
consequência, da ejeção na placa superior) é de afastar esse escoamento reverso da região
próxima à parede inferior para região próxima à placa superior.
Comparações com os resultados de Attia e Kotb (1996) e de Lima
são ilustradas nas Figuras 6.1 e 6.2e na Tabela 6.1 para algumas situações. A Figura 6.1
mostra a influência da velocidade de sucção/ejeção nas paredes sobre a distribuição de
0 = - 5, Ha = 0, viscosidade constante (a = 0) e
vez que a viscosidade é constante, não existe acoplamento entre os potenciais, de maneira
Pr = 1 e Ec = 0.
Figura 6.1. Influência da sucção/ejeção nas paredes sobre a distribuição em regimepermanente de velocidade. Ha = 0, Ru = 1, G0 = - 5, a = 0, Pr = 1 e
Dessa figura, nota-se facilmente os efeitos contrários do gradiente de pressão
5, desfavorável) e do movimento da placa superior (Ru
direção longitudinal do canal. A intensidade da velocidade da placa superior não é
suficiente para vencer o gradiente de pressão adverso em regiões próximas à parede
inferior. Nessa região, o escoamento é reverso.
o efeito da sucção de fluido (Rv # 0) na placa inferior (e, por
consequência, da ejeção na placa superior) é de afastar esse escoamento reverso da região
próxima à parede inferior para região próxima à placa superior.
88
resultados de Attia e Kotb (1996) e de Lima et al. (2007)
são ilustradas nas Figuras 6.1 e 6.2e na Tabela 6.1 para algumas situações. A Figura 6.1
mostra a influência da velocidade de sucção/ejeção nas paredes sobre a distribuição de
= 0) e Rv variável. Uma
vez que a viscosidade é constante, não existe acoplamento entre os potenciais, de maneira
sobre a distribuição em regime = 1 e Ec = 0.
se facilmente os efeitos contrários do gradiente de pressão
Ru = 1, favorável) na
direção longitudinal do canal. A intensidade da velocidade da placa superior não é
suficiente para vencer o gradiente de pressão adverso em regiões próximas à parede
# 0) na placa inferior (e, por
consequência, da ejeção na placa superior) é de afastar esse escoamento reverso da região
A Figura 6.2 ilustra, por sua vez, a influência do campo magnético sobre a
distribuição de velocidade para a situação de viscosidade dependente de temperatura. Os
resultados são obtidos para
viscosidade, a = 0 e 0,5, considerando
Figura 6.2. Influência do campo magnético e da viscosidade sobre a distribuição velocidade em regime permanente.
Vê-se, dessa figura, que o efeito da redução da viscosidade com a temperatura
(a > 0), para um mesmo campo magnético, é um maior escoamento reverso. Isso é
facilmente observável das curvas para (
como esperado, devido à
intensidade do campo magnético resulta em menor reversão do escoamento, tornando
mais uniforme.
Finalmente, para concluir esta seção, a Tabela 6.1 ilustra o comportamento de
convergência da velocidade na linha de centro do canal para diferentes valores do
parâmetro de viscosidade, número de Hartmann, parâmetro de sucção/ejeção, assumindo
se Ru = 1, G0 = -5, Pr = 1 e
al. (2007), ao oferecer uma análise com maior número de termos nas
confirmando as excelentes taxas
A Figura 6.2 ilustra, por sua vez, a influência do campo magnético sobre a
distribuição de velocidade para a situação de viscosidade dependente de temperatura. Os
resultados são obtidos para Ha = 0, 2 e 10, com valores cruzados do coeficiente de
= 0 e 0,5, considerando-se Ru = 1; Rv = 0; G0 = - 5, Pr = 1 e
Figura 6.2. Influência do campo magnético e da viscosidade sobre a distribuição em regime permanente. Ru = 1, Rv = 0, G0 = - 5, Pr = 1 e
igura, que o efeito da redução da viscosidade com a temperatura
> 0), para um mesmo campo magnético, é um maior escoamento reverso. Isso é
facilmente observável das curvas para (a = 0; Ha = 0) e (a = 0,5; Ha = 0).
como esperado, devido à força de Lorentz (contrária ao movimento), uma elevação na
intensidade do campo magnético resulta em menor reversão do escoamento, tornando
Finalmente, para concluir esta seção, a Tabela 6.1 ilustra o comportamento de
locidade na linha de centro do canal para diferentes valores do
parâmetro de viscosidade, número de Hartmann, parâmetro de sucção/ejeção, assumindo
5, Pr = 1 e Ec = 1. Essa tabela extende a análise desenvolvida por Lima
. (2007), ao oferecer uma análise com maior número de termos nas
s taxas de convergência.
89
A Figura 6.2 ilustra, por sua vez, a influência do campo magnético sobre a
distribuição de velocidade para a situação de viscosidade dependente de temperatura. Os
= 0, 2 e 10, com valores cruzados do coeficiente de
= 1 e Ec = 1.
Figura 6.2. Influência do campo magnético e da viscosidade sobre a distribuição da = 1 e Ec = 1.0
igura, que o efeito da redução da viscosidade com a temperatura
> 0), para um mesmo campo magnético, é um maior escoamento reverso. Isso é
= 0).Por outro lado,
força de Lorentz (contrária ao movimento), uma elevação na
intensidade do campo magnético resulta em menor reversão do escoamento, tornando-o
Finalmente, para concluir esta seção, a Tabela 6.1 ilustra o comportamento de
locidade na linha de centro do canal para diferentes valores do
parâmetro de viscosidade, número de Hartmann, parâmetro de sucção/ejeção, assumindo-
= 1. Essa tabela extende a análise desenvolvida por Lima et
. (2007), ao oferecer uma análise com maior número de termos nas expansões,
90
Tabela 6.1 - Convergência da velocidade na linha de centro, em regime permanente, para diferentes valores de a, Ha e Rv e considerando Ru = 1,G0 = -5, Pr = 1 e Ec = 1.
u (0,5; ∞)
N
a = 0 a = 0,5
Ha = 0 Ha = 2 Ha = 10 Ha = 0 Ha = 2 Ha = 10
Rv = 0 Rv = 5 Rv = 10 Rv = 0
10 - 0,1250 - 0,3496 - 0,2430 - 0,1159 - 0,04259 - 0,4341 - 0,3071 - 0,04941
50 - 0,1250 - 0,3483 - 0,2400 - 0,1159 - 0,04259 - 0,4343 - 0,3072 - 0,04804
300* - 0,1250 - 0,3483 - 0,2400 - 0,1159 - 0,04259 - 0,4343 - 0,3072 - 0,04803
* - Número máximo de termos apresentado por Lima et al. (2007)
Os resultados obtidos no presente trabalho são os mesmos obtidos por Lima et al.
(2007). Conforme reportado por aqueles autores, o procedimento analítico de filtragem dos
potenciais mostra um excelente desempenho computacional, uma vez que recuperam
potencial original para grandes valores do tempo e Rv = 0, com poucos termos nas séries.
Note-se também que mesmo para Rv # 0, as taxas de convergência são ainda excelentes,
pois menos de 50 termos nas expansões é suficiente para a completa convergência em
quatro algarismos significativos.
Uma discussão detalhada dos resultados e das características de convergência para
as situações estudadas são encontradas nos trabalhos citados como referência.
91
6.2.2. Attia (2006a) - Escoamento MHD permanente com propriedades
dependentes da temperatura (Steady MHD Couette flow with temperature-
dependent properties)
Attia (2006a) avaliou a dependência de todas as propriedades de transporte
(viscosidade, condutividades térmica e elétrica) sobre o escoamento em regime permanente
de um fluido condutor elétrico no interior de um canal de placas não porosas. Além do
movimento da placa superior à velocidade constante, o escoamento era mantido por um
gradiente de pressão favorável, também constante.
Para fins de comparação de resultados, as seguintes relações devem ser
observadas entre os grupos adimensionais (o índice A refere-se às variáveis adimensionais
definidas por Attia):
2Ax
x = ; ( )11
2 Ay y= + (6.1a, b)
Au Ru u= ; 2 ARu Ru= (6.1c, d)
2AP Ru P= ;
2 22 2AA
A
PPRu G Ru G
x x
∂∂ = ∴ =∂ ∂
(6.1e-g)
2 AHa Ha= ; 2AEc
EcRu
= (6.1h,i)
Em todas as simulações ilustradas, os seguintes valores para os parâmetros foram
usados: Ru = 2 (RuA = 1), G0 = 40 (G0A = 5), Pr = 1 e Ec = 0,05 (EcA = 0,2). Ha, a, b e c
recebem valores que dependem da situação analisada. Os demais parâmetros (que não são
necessários na análise) receberam os seguintes valores: Rv = 0; Ez = 0; β = 0; βi = 0;
L0 = 2,8; F = 0,2; R = 0; αG = 0; ω0 = 0). Qualquer valor não nulo para F pode ser usado,
uma vez que R = 0 (não existem partículas).
Comparações entre os resultados obtidos com o presente método de solução e
aqueles de Attia (2006a) são efetuadas nas tabelas a seguir para a temperatura no centro do
canal, considerando-se diversos valores dos coeficientes que definem a dependência das
propriedades termofísicas com a temperatura e Ha = 2 e 6.
92
A Tabela 6.2 apresenta a comparação, considerando a viscosidade e a
condutividade elétrica variáveis, enquanto a condutividade térmica é mantida constante
(b= 0). A Tabela 6.3 mostra a comparação considerando a viscosidade e a condutividade
térmica variáveis, enquanto a condutividade elétrica é mantida constante (c = 0).
Tabela 6.2 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para condutividade térmica constante (b = 0) e diferentes valores de a, c e Ha.
TA(yA = 0; ∞)
b = 0 a = - 0,5
a = 0
a = 0,5
Presente Attia
(2006a) Presente
Attia (2006a)
Presente Attia
(2006a)
Ha = 2
c = - 0,5 0,8779 0,8794
1,0150 1,0134
1,2965 1,2165
c = 0 0,9061 0,9069
1,0320 1,0333
1,2350 1,2176
c = 0,5 0,9215 0,9217
1,0265 1,0285
1,1655 1,1637
Ha = 6
c = - 0,5 0,8802 0,8758
0,8883 0,8859
0,9022 0,8963
c = 0 0,8183 0,8155
0,7920 0,7925
0,7754 0,7752
c = 0,5 0,7769 0,7750
0,7427 0,7442
0,7218 0,7227
Tabela 6.3 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para condutividade elétrica constante (c = 0) e diferentes valores de a, b e Ha.
TA(yA = 0; ∞)
c = 0 a = - 0,5
a = 0
a = 0,5
Presente Attia
(2006a) Presente
Attia (2006a)
Presente Attia
(2006a)
Ha = 2
b = - 0,5 1,0441 1,0334
1,3902 1,2951
1,2965 1,6810
b = 0 0,9061 0,9069
1,0320 1,0333
1,2350 1,2176
b = 0,5 0,8526 0,8511
0,9374 0,9377
1,0600 1,0555
Ha = 6
b = - 0,5 0,9000 0,8833
0,8458 0,8393
0,8154 0,8099
b = 0 0,8183 0,8155
0,7920 0,7925
0,7754 0,7752
b = 0,5 0,7871 0,7827
0,7691 0,7670
0,7575 0,7548
93
Na Tabela 6.4, a viscosidade é mantida constante (a = 0), enquanto que as
condutividades térmica e elétrica variam com a temperatura.
Tabela 6.4 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para viscosidade constante (a = 0) e diferentes valores de b, c e Ha.
TA(yA = 0; ∞)
a = 0 b = - 0,5
b = 0
b = 0,5
Presente Attia
(2006a) Presente
Attia (2006a)
Presente Attia
(2006a)
Ha = 2
c = - 0,5 1,3007 1,2117
1,0158 1,0134
0,9286 0,9282
c = 0 1,3904 1,2951
1,0326 1,0333
0,9381 0,9377
c = 0,5 1,3609 1,2982
1,0269 1,0285
0,9347 0,9339
Ha = 6
c = - 0,5 1,0864 1,0138
0,8883 0,8859
0,8331 0,8305
c = 0 0,8458 0,8393
0,7920 0,7925
0,7691 0,7670
c = 0,5 0,7607 0,7606
0,7427 0,7442
0,7337 0,7322
Um exame nessas tabelas revela que, embora pequenas, discrepâncias estão
presentes entre os resultados apresentados por Attia (2006a) e os resultados obtidos com o
presente método, até mesmo para as situações de propriedades de transporte constantes.
Estas discrepâncias certamente estão associadas à não convergência numérica dos
resultados de Attia (2006a).
As Figuras 6.3, 6.4 e 6.5 ilustram comparações e características dos perfis de
velocidade nas situações de condutividade elétrica dependente da temperatura, para
diferentes parâmetros de viscosidade (a = - 0,5; a = 0 e a = 0,5; respectivamente) e
números de Hartmann. A condutividade térmica é constante (b = 0).
A concordância entre os resultados numéricos e os resultados híbridos é excelente,
a não ser pelas pequenas diferenças verificadas na Figura 6.5, na situação em que a = 0,5 e
c = - 0,5, para o menor número de Hartmann. Uma vez que todos os outros casos foram
validados, essa diferença se deve a inconsistência na convergência ou no método usado
para obtenção dos resultados de Attia (2006a).
Figura 6.3. Influência do campo magnético e da condutividade elétricasobre a distribuição
para diferentes números de Hartmann e
Figura 6.4. Influência dosobre a distribuição
para diferentes números de Hartmann e
Figura 6.3. Influência do campo magnético e da condutividade elétricasobre a distribuição de velocidade em regime permanente,
para diferentes números de Hartmann e a = - 0,5.
Figura 6.4. Influência do campo magnético e da condutividade elétricasobre a distribuição de velocidade em regime permanente,
para diferentes números de Hartmann e a = 0.
94
Figura 6.3. Influência do campo magnético e da condutividade elétrica de velocidade em regime permanente,
campo magnético e da condutividade elétrica de velocidade em regime permanente,
Figura 6.5. Influência do campo magnético e da condutividade elétricasobre a distribuição
para diferentes números de Hartmann e
Essas figuram mostram que o aumento no parâmetro da condutividade elétrica,
leva à redução do perfil de velocidade, para todos os valores do parâmetro de viscosidade,
a, uma vez que o aumento da condutividade térmica implica diretamente no aumento da
força magnética amortecedora.
Por outro lado, o aumento do parâmetro
por sua vez, leva ao acréscimo das velocidades. Comparando
a influência do parâmetro a
enquanto que a influência do parâmetro
magnéticos maiores.
Figura 6.5. Influência do campo magnético e da condutividade elétricasobre a distribuição de velocidade em regime permanente,
para diferentes números de Hartmann e a = 0,5.
mostram que o aumento no parâmetro da condutividade elétrica,
leva à redução do perfil de velocidade, para todos os valores do parâmetro de viscosidade,
aumento da condutividade térmica implica diretamente no aumento da
força magnética amortecedora.
Por outro lado, o aumento do parâmetro a leva à redução da viscosidade, a qual,
por sua vez, leva ao acréscimo das velocidades. Comparando-se as três figuras, nota
a é mais pronunciada para campos magnéticos menos intensos,
enquanto que a influência do parâmetro c é aparentemente mais intensa para campos
95
Figura 6.5. Influência do campo magnético e da condutividade elétrica regime permanente,
mostram que o aumento no parâmetro da condutividade elétrica, c,
leva à redução do perfil de velocidade, para todos os valores do parâmetro de viscosidade,
aumento da condutividade térmica implica diretamente no aumento da
leva à redução da viscosidade, a qual,
se as três figuras, nota-se que
é mais pronunciada para campos magnéticos menos intensos,
é aparentemente mais intensa para campos
96
6.2.3. Attia (1999) - Escoamento MHD transiente e transferência de calor entre
placas paralelas com viscosidade dependente da temperatura (Transient MHD
flow and heat transfer between two parallel plates with temperature dependent
viscosity)
Attia (1999) estendeu o trabalho anteriormente desenvolvido por Attia e Kotb
(1996) considerando o escoamento em regime transiente, mas desprezando o fluxo através
das paredes do canal e mantendo as duas placas fixas.Apesar da consideração de regime
transiente, o escoamento era ainda considerado completamente desenvolvido.
Para fins de comparação de resultados, as seguintes relações devem ser
observadas entre os grupos adimensionais (o índice A refere-se às variáveis adimensionais
definidas por Attia):
2Ax
x = ; ( )11
2 Ay y= + (6.2a, b)
2 Au u= ; 4Att = (6.2c, d)
4 AP P= ; 8 8AA
A
PPG G
x x
∂∂ = ∴ =∂ ∂
(6.2e-g)
2 AHa Ha= ; 4
AEcEc= (6.2h,i)
Em todas as simulações ilustradas, os parâmetros não necessários na análise
receberam os seguintes valores: Ru = 0; Rv = 0; Ez = 0;β = 0;βi = 0; L0 = 2,8; F = 0,2;
R = 0; αG = 0; b = 0; c = 0; ω0 = 0). Novamente, qualquer valor não nulo para F pode ser
usado, uma vez R = 0 (não existem partículas).
Os resultados de Attia (1999) são comparados com os apresentados no presente
trabalho e com os resultados de Lima et al. (2007), para situações onde o gradiente de
pressão é negativo (favorável) G0 = 40 (G0A = 5), Pr = 1, Ec = 0,050875 (EcA = 0,2035), e
Ha e a variáveis.
A Figura 6.6 ilustra a influência da viscosidade (parâmetro
regime permanente da temperatura para
Figura 6.6. Influência da viscosidade sobre a distribuição em regimepermanente da temperatura.
Nota-se que, com relação à situação de viscosidade constante, o efeito da redução
da viscosidade com a temperatura (
em temperatura mais elevadas na seção do canal na região completamente desenvolvida.
Esse efeito certamente se deve ao aumento da dissipação viscosa causado pelos maiores
gradientes de velocidade quando a viscosidade e reduzida. O oposto é verificado quando a
viscosidade aumenta com a temperatura.
As Tabelas 6.5 e 6.6 mostram a evolução, com o tempo, da velocidade e da
temperatura no centro do canal, respectivamente, para diferent
Figuras 6.7 e 6.8, por sua vez, ilustram graficamente parte
Tanto nas tabelas quanto nas figuras os resultados são comparados ao de Attia (1999).
Observa-se que quanto maior for o número de Hartmann,
magnético sobre os perfis de velocidade e
dissipação viscosa. Os resultados obtidos por Lima
reproduzidos nas figuras e na tabela.
A Figura 6.6 ilustra a influência da viscosidade (parâmetro a
regime permanente da temperatura para Ha = 1 (HaA = 0.5).
Figura 6.6. Influência da viscosidade sobre a distribuição em regimepermanente da temperatura. Ha = 1, G0 = 40, Pr = 1, Ec = 0,050875.
que, com relação à situação de viscosidade constante, o efeito da redução
com a temperatura (a> 0) é uma maior transferência de calor, a qual resulta
em temperatura mais elevadas na seção do canal na região completamente desenvolvida.
Esse efeito certamente se deve ao aumento da dissipação viscosa causado pelos maiores
es de velocidade quando a viscosidade e reduzida. O oposto é verificado quando a
viscosidade aumenta com a temperatura.
As Tabelas 6.5 e 6.6 mostram a evolução, com o tempo, da velocidade e da
temperatura no centro do canal, respectivamente, para diferentes valores de
Figuras 6.7 e 6.8, por sua vez, ilustram graficamente parte desses resultados
Tanto nas tabelas quanto nas figuras os resultados são comparados ao de Attia (1999).
se que quanto maior for o número de Hartmann, maior é o
os perfis de velocidade e maior é a elevação de temperatura devido a
Os resultados obtidos por Lima et al. (2007) são exatamente
reproduzidos nas figuras e na tabela.
97
a) sobre o perfil em
Figura 6.6. Influência da viscosidade sobre a distribuição em regime = 0,050875.
que, com relação à situação de viscosidade constante, o efeito da redução
> 0) é uma maior transferência de calor, a qual resulta
em temperatura mais elevadas na seção do canal na região completamente desenvolvida.
Esse efeito certamente se deve ao aumento da dissipação viscosa causado pelos maiores
es de velocidade quando a viscosidade e reduzida. O oposto é verificado quando a
As Tabelas 6.5 e 6.6 mostram a evolução, com o tempo, da velocidade e da
es valores de a e Ha. As
resultados para Ha = 2.
Tanto nas tabelas quanto nas figuras os resultados são comparados ao de Attia (1999).
é o amortecimento
emperatura devido a
. (2007) são exatamente
Tabela 6.5 - Evolução tempora e Ha, considerando G0 = 40,
t a = - 0,5
Presente Attia
(1999)
Ha = 0
0,125 1,566 1,593
0,25 1,792 1,797
0,5 1,762 1,765
0,75 1,755 1,758
1,00 1,754 1,758
∞ 1,754 -
Ha = 2
0,125 1,297 1,313
0,25 1,393 1,397
0,5 1,366 1,369
0,75 1,362 1,366
1,00 1,362 1,366
∞ 1,362 -
Figura 6.7. Evolução temporal da velocidade no centro do canal em função do parâmetro de viscosidade.
Evolução temporal da velocidade na linha de centro, para diferentes valores de = 40, Pr = 1 e Ec = 0,050875.
uA(yA = 0; t)
a = 0 a = 0,5
Attia (1999)
Presente Attia
(1999) Presente
593 1,749 1,789 1,898
797 2,281 2,294 2,769
765 2,481 2,483 3,528
758 2,498 2,498 3,832
758 2,500 2,499 3,968
- 2,500 - 4,086
313 1,435 1,461 1,549
397 1,702 1,709 2,007
369 1,758 1,760 2,255
366 1,760 1,762 2,304
366 1,760 1,762 2,325
- 1,760 - 2,318
Figura 6.7. Evolução temporal da velocidade no centro do canal em função do parâmetro de viscosidade. Ha = 2; G0 = 40; Pr = 1 e Ec = 0,050875.
98
al da velocidade na linha de centro, para diferentes valores de
= 0,5 a = 1,0
Presente Presente
2,012
3,205
4,801
6,022
7,112
2,012
1,634
2,278
2,827
3,041
3,130
3,199
Figura 6.7. Evolução temporal da velocidade no centro do canal em função do parâmetro = 0,050875.
Tabela 6.6 - Evolução temporal da temperatura na linha de centro, para diferentes valores de a e Ha, considerando G0
t a = - 0,5
Presente Attia
(1999)
Ha = 0
0,125 0,3798 0,395
0,25 0,6566 0,665
0,5 0,7907 0,793
0,75 0,7978 0,799
1,125 0,7979 0,799
∞ 0,7979 -
Ha = 2
0,125 0,4208 0,436
0,25 0,6983 0,704
0,5 0,8098 0,809
0,75 0,8160 0,815
1,125 0,8163 0,815
∞ 0,8163 -
Figura 6.8. Evolução temporal da temperatura no centro do canal em função do parâmetro de viscosidade.
Evolução temporal da temperatura na linha de centro, para diferentes valores
0 = 40, Pr = 1 e Ec = 0,050875.
T(yA = 0; t)
a = 0 a = 0,5
Presente
Attia (1999)
Presente Attia
(1999)
0,3713 0,386 0,3646 0,379
0,6635 0,675 0,6633 0,676
0,8834 0,887 0,9880 0,993
0,9189 0,920 1,122 1,122
0,9239 0,925 1,208 1,203
0,9240 - 1,232 -
0,4236 0,439 0,4271 0,443
0,7400 0,756 0,7831 0,789
0,9171 0,914 1,062 1,053
0,9362 0,931 1,124 1,110
0,9381 0,933 1,140 1,125
0,9381 - 1,141 -
Figura 6.8. Evolução temporal da temperatura no centro do canal em função do parâmetro de viscosidade. Ha = 2; G0 = 40; Pr = 1 e Ec = 0,050875.
99
Evolução temporal da temperatura na linha de centro, para diferentes valores
a = 1,0
Presente Attia
(1999)
0,3596 0,374
0,6559 0,669
1,055 1,060
1,329 1,333
1,743 1,738
∞ -
0,4305 0,477
0,8231 0,829
1,1231 1,215
1,391 1,363
1,486 1,447
1,508 -
Figura 6.8. Evolução temporal da temperatura no centro do canal em função do parâmetro = 0,050875.
100
6.2.4. Attia (2002) - Escoamento MHD transiente e transferência de calor entre
placas paralelas com fluido empoeirado com propriedades físicas variáveis
(Unsteady MHD flow and heat transfer of dusty fluid between parallel plates with
variable physical properties)
Uma extensão natural ao seu trabalho anterior foi efetuada por Attia (2002), que
inseriu, além da viscosidade, mais uma dependência com a temperatura de outra
propriedade termofísica (a condutividade elétrica, cuja dependência com a temperatura é
mensurada pelo parâmetro c), e considerou, pela primeira vez, que o escoamento era
permeado por partículas sólidas.
As relações entre os grupos adimensionais são as mesmas do trabalho de Attia
(1999), dada pelas Eqs. 6.2. Além delas, as seguintes relações adicionais são necessárias:
4 AR R= ; 4AF
F = ; 0 04 AL L= (6.3a-c)
Em todas as simulações ilustradas, os parâmetros não necessários na análise
receberam os seguintes valores: Ru = 0, Rv = 0, Ez = 0, β = 0, βi = 0, αG = 0, b = 0, ω0 = 0),
enquanto que os demais parâmetros G0 = 40 (G0A = 5), Pr = 1, Ec = 0,05 (EcA = 0,2), R = 2
(RA = 0,5); F = 0,2 (FA = 0,8); L0 = 2,8 (L0A = 0,7) e variando-se os parâmetros Ha, a e c.
Nas tabelas a seguir, são efetuadas análises de convergência para os campos de
velocidade e temperatura (para o fluido e para as partículas) para a situação em regime
permanente, quando Ha = 2, avaliando-se ao mesmo tempo a influência da viscosidade e
da condutividade elétrica variáveis sobre esses potenciais. Comparações entre os resultados
convergidos e os obtidos por Attia (2002) são ainda efetuadas nessas tabelas para fins de
validação da metodologia empregada e do algoritmo desenvolvido.
As Tabelas 6.7 e 6.8 mostram esse procedimento para a velocidade do fluido e das
partículas, respectivamente, no centro do canal, variando-se o parâmetro de viscosidade
(a = -0,5; 0; 0,5) e o parâmetro de condutividade elétrica (c = -0,5; 0; e 0,5). As Tabelas
6.9 e 6.10 refazem as análises de convergência e as comparações para os campos de
temperatura do fluido e das partículas, respectivamente.
101
Tabela 6.7 - Análise de convergência e comparação da velocidade do fluido na linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2e diferentes valores de a e c.
uA(yA = 0; ∞)
N
a = - 0.5 a = 0 a = 0,5
Presente
Attia (2002)
Presente Attia
(2002) Presente
Attia (2002)
c= - 0,5
10 1,4931 - 2,0338 - 3,0837 -
50 1,4928 - 2,0338 - 3,0863 -
300 1,4928 1,4954 2,0338 2,0149 3,0863 2,8576
c= 0
10 1,3639 - 1,7597 - 2,3122 -
50 1,3636 - 1,7597 - 2,3130 -
300 1,3636 1,3686 1,7597 1,7566 2,3130 2,2732
c= 0,5
10 1,2557 - 1,5560 - 1,9008 -
50 1,2556 - 1,5560 - 1,9012 -
300 1,2556 1,2619 1,5560 1,5596 1,9012 1,8975
Tabela 6.8 - Análise de convergência e comparação da velocidade das partículas na linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a e c.
upA(yA = 0; ∞)
N
a = - 0.5 a = 0 a = 0,5
Presente
Attia (2002)
Presente Attia
(2002) Presente
Attia (2002)
c= - 0,5
10 1,4931 - 2,0338 - 3,0836 -
50 1,4928 - 2,0338 - 3,0862 -
300 1,4928 1,4800 2,0338 1,9717 3,0862 2,7169
c= 0
10 1,3639 - 1,7597 - 2,3122 -
50 1,3636 - 1,7597 - 2,3130 -
300 1,3636 1,3582 1,7597 1,7316 2,3130 2,2125
c= 0,5
10 1,2557 - 1,5560 - 1,9008 -
50 1,2556 - 1,5560 - 1,9012 -
300 1,2556 1,2549 1,5560 1,5447 1,9012 1,6893
102
Tabela 6.9 - Análise de convergência e comparação da temperatura do fluido na linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a e c.
T(yA = 0; ∞)
N
a = - 0.5 a = 0 a = 0,5
Presente
Attia (2002)
Presente Attia
(2002) Presente
Attia (2002)
c= - 0,5
10 0,8100 - 0,9384 - 1,2038 -
50 0,8092 - 0,9376 - 1,2033 -
300 0,8092 0,7973 0,9376 0,9129 1,2033 1,1007
c= 0
10 0,8120 - 0,9313 - 1,1287 -
50 0,8114 - 0,9306 - 1,1282 -
300 0,8114 0,7996 0,9306 0,9101 1,1282 1,0781
c= 0,5
10 0,8098 - 0,9163 - 1,0656 -
50 0,8092 - 0,9158 - 1,0651 -
300 0,8092 0,7977 0,9158 0,8982 1,0651 1,0349
Tabela 6.10 - Análise de convergência e comparação da temperatura das partículas na linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a e c.
Tp(yA = 0; ∞)
N
a = - 0.5 a = 0 a = 0,5
Presente
Attia (2002)
Presente Attia
(2002) Presente
Attia (2002)
c= - 0,5
10 0,8100 - 0,9384 - 1,2036 -
50 0,8092 - 0,9376 - 1,2031 -
300 0,8092 0,7108 0,9376 0,7995 1,2031 0,9295
c= 0
10 0,8120 - 0,9313 - 1,1286 -
50 0,8113 - 0,9306 - 1,1281 -
300 0,8113 0,7143 0,9306 0,8019 1,1281 0,9267
c= 0,5
10 0,8098 - 0,9163 - 1,0656 -
50 0,8092 - 0,9158 - 1,0651 -
300 0,8092 0,7142 0,9157 0,7960 1,0651 0,9035
103
Em termos de convergência, as tabelas revelam a grande versatilidade do método
de fornecer resultados "benchmark" a custo relativamente baixo, visto que, com apenas 10
termos nas expansões, os resultados já apresentam convergência no terceiro dígito
significativo, para todos os casos estudados, independente dos parâmetros que caracterizam
o comportamento da viscosidade e da condutividade elétrica com a temperatura. Como já
foi comentado anteriormente, essas elevadas taxas de convergência se devem ao
procedimento de filtragem dos campos.
As tabelas também mostram que o parâmetro de viscosidade do fluido, a,
influencia fortemente o comportamento dos campos de velocidade e temperatura, tanto
para o fluido quanto para as partículas sólidas, diferentemente do parâmetro da
condutividade elétrica, cuja influência sobre tais campos, embora ainda relevante, é bem
menor, principalmente para os campos de temperatura.
Em relação às comparações, todas as tabelas apontam para diferenças, embora
pequenas, entre os resultados do presente trabalho e os resultados de Attia (2002). Com
relação a isso, deve-se observar os seguintes pontos: (a) os resultados produzidos no
presente trabalho são resultados convergidos para os dígitos mostrados, (b) os resultados
de Attia (2002) foram apresentados sem nenhuma comprovação da convergência numérica,
e o mais importante, (c) uma comprovação da não convergência dos resultados de Attia
(2002) está na diferença entre os seus resultados para os campos do fluido e das partículas
no regime permanente. Essas diferenças não existem nos resultados apresentados no
presente trabalho, uma vez que nesse regime, os campos para as partículas são idênticos
aos do fluido, i.e. os resultados da Tabela 6.7 devem ser iguais aos da Tabela 6.8, e os
resultados da Tabela 6.9 devem ser iguais aos da Tabela 6.10.
A Figura 6.9 ilustra graficamente a influência do parâmetro da viscosidade, a,
sobre a evolução temporal da velocidade do fluido e das partículas no centro do canal, para
Ha = 2 e c = 0, enquanto a Figura 6.10 o faz para os campos de temperatura. Para os dois
potenciais analisados, o aumento no parâmetro da viscosidade (aumento em a) leva aos
campos de velocidade e temperatura mais elevados, além de maiores tempos necessários
para se atingir o estado de regime permanente.
Figura 6.9. Efeito do parâmetro canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas.
(a)
(b)
Figura 6.9. Efeito do parâmetro a sobre a evolução temporal da velocidade no centro do canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e c
104
sobre a evolução temporal da velocidade no centro do c = 0.
Figura 6.10. Efeito do parâmetro canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas.
(a)
(b)
Figura 6.10. Efeito do parâmetro a sobre a evolução temporal da temperatura no centro do canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e c
105
sobre a evolução temporal da temperatura no centro do c = 0.
106
Adicionalmente, nota-se também que, como esperado, os campos de velocidade e
temperatura do fluido levam menos tempo para alcançar o estado permanente que os
campos das partículas, uma vez que a "força motora" do escoamento das partículas é o
escoamento do fluido.
A Figura 6.11 mostra, por sua vez, a influência do parâmetro da condutividade
elétrica, c, sobre a evolução temporal da velocidade do fluido e das partículas no centro do
canal, para Ha = 2 e a = 0, enquanto a Figura 6.12 o faz para os campos de temperatura.
Conforme mostram essas figuras, o parâmetro da condutividade elétrica, c, tem
uma relação direta, multiplicadora, com o número de Hartmann. Assim, quanto maior a
condutividade elétrica (c> 0), maior será a força de Lorentz sobre o escoamento, e menor
serão seus campos de velocidade. O tempo necessário para o escoamento atingir o regime
permanente será também reduzido.
Em relação à temperatura, o efeito da variação de c sobre a evolução temporal
deste campo é claramente desprezível. Isso se deve, certamente, ao efeito cruzado entre o
campo de velocidades e o aquecimento por efeito Joule, durante a evolução do tempo. Para
instantes de tempo pequenos, um aumento no parâmetro c resulta em um aumento no
campo de temperatura (do fluido e das partículas), devido ao aumento da condutividade
elétrica e, assim, do efeito Joule enquanto as velocidades forem pequenas. Com o passar do
tempo, um aumento em c resulta em uma redução do campo de temperatura, uma vez que
agora o campo de velocidade não é pequeno, mas os efeitos Joule e de dissipação viscosa
são reduzidos.
Figura 6.11. Efeito do parâmetro canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas.
(a)
(b)
Figura 6.11. Efeito do parâmetro c sobre a evolução temporal da velocidade no centro do canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e a
107
a evolução temporal da velocidade no centro do a = 0.
Figura 6.12. Efeito do parâmetro canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas.
(a)
(b)
Figura 6.12. Efeito do parâmetro c sobre a evolução temporal da temperatura no centro do canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e a
108
sobre a evolução temporal da temperatura no centro do a = 0.
109
6.2.5. Attia & Aboul-Hassan (2003) - Efeito de propriedades variáveis sobre o
escoamento transiente com transferência de calor e efeito Hall (The effect of
variable properties on the unsteady Hartmann flow with heat transfer considering
the Hall effect)
Attia (2005b) - Escoamento MHD e transferência de calor em um canal
retangular com viscosidade variável (Magnetic flow and heat transfer in a
rectangular channel with variable viscosity)
No atual desenvolvimento da ciência e da tecnologia em MHD, a tendência se dá
no sentido de aplicação de campos magnéticos cada vez mais intensos. Sob estas
condições, correntes transversais (correntes Hall) se desenvolvem no escoamento,
apresentando um efeito significativo sobre a magnitude e a direção da densidade de
corrente e, consequentemente, na intensidade e direção da força magnética. Isso tem como
consequência direta o surgimento de componentes de velocidade adicionais ao
escoamento, no presente caso, uma componente transversal, w.
Assumindo que apenas a viscosidade variava com a temperatura, Attia (2005b) e,
considerando que ambas a viscosidade e a condutividade térmica do fluido eram
dependentes da temperatura, Attia e Aboul-Hassan (2003) empregaram o método das
diferenças finitas e resolveram as equações não-lineares do movimento e da energia para
analisar a influência do efeito Hall (de elétrons, β) sobre o comportamento do escoamento.
A formulação matemática apresentada pelos autores é baseada nos mesmos
parâmetros adimensionais definidos por Attia (1999), Eqs. 6.2, e em todas as simulações
ilustradas, os parâmetros que não são necessários na análise receberam os seguintes
valores: Ru = 0, Rv = 0, Ez = 0, R = 0, F = 1, L0 = 0, βi = 0, αG = 0, c = 0, ω0 = 0), enquanto
que os demais parâmetrosforam tomados como G0 = 40 (G0A = 5), Pr = 1,Ec = 0,05
(EcA = 0,2). Os efeitos da variação dos parâmetros a, b, Ha e β sobre o escoamento serão a
seguir analisados.
As Figuras 6.13, 6.14 e 6.15 mostram, respectivamente, a evolução no tempo das
componentes de velocidade axial e transversal e da temperatura, no centro do canal, em
função do parâmetro Hall, β, para Ha = 6 e propriedades físicas constantes (a = 0, b = 0).
As Figuras 6.13 e 6.14 revelam o aumento da velocidade para parâmetros Hall
crescentes. Esse comportamento é facilmente explicado, tendo em vista que o parâmetro
Hall reduz a condutividade elétrica
força magnética retardadora sobre o escoamento. O tempo necessário para atingir o regime
permanente também cresce com a elevação do parâmetro Hall.
Figura 6.13. Efeito do parâmetro Hall, longitudinal de velocidade no centro do canal.
A Figura 6.13 mostra ainda um fenômeno de "
componente longitudinal de velocidade, para parâmetros Hall diferentes de z
intervalo de tempo, a componente de velocidade na direção do escoamento excede o valor
do regime permanente e a partir desse intervalo ela evolui para tal valor. Quanto maior o
parâmetro Hall, maior o tempo necessário para ocorrer o fenômeno.
Esse comportamento não
componentes longitudinal e transversal da velocidade, estabelecida nos termos fontes das
suas respectivas equações de quantidade de movimento. Com o passar do tempo, as duas
componentes da velocidade crescem até um instante em que a componente
componente w. O termo fonte da equação de
de crescimento de ambas as componentes.
As Figuras 6.13 e 6.14 revelam o aumento da velocidade para parâmetros Hall
crescentes. Esse comportamento é facilmente explicado, tendo em vista que o parâmetro
Hall reduz a condutividade elétrica do fluido pelo fator (1 + β)2 e, por consequência, a
força magnética retardadora sobre o escoamento. O tempo necessário para atingir o regime
permanente também cresce com a elevação do parâmetro Hall.
Figura 6.13. Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componentelongitudinal de velocidade no centro do canal. Ha = 6 e a = 0,
A Figura 6.13 mostra ainda um fenômeno de "overshooting", principalmente, da
componente longitudinal de velocidade, para parâmetros Hall diferentes de z
intervalo de tempo, a componente de velocidade na direção do escoamento excede o valor
do regime permanente e a partir desse intervalo ela evolui para tal valor. Quanto maior o
parâmetro Hall, maior o tempo necessário para ocorrer o fenômeno.
Esse comportamento não-assintótico é explicado pela relação entre as
componentes longitudinal e transversal da velocidade, estabelecida nos termos fontes das
suas respectivas equações de quantidade de movimento. Com o passar do tempo, as duas
da velocidade crescem até um instante em que a componente
. O termo fonte da equação de w muda então de sinal, revertendo o processo
de crescimento de ambas as componentes.
110
As Figuras 6.13 e 6.14 revelam o aumento da velocidade para parâmetros Hall
crescentes. Esse comportamento é facilmente explicado, tendo em vista que o parâmetro
e, por consequência, a
força magnética retardadora sobre o escoamento. O tempo necessário para atingir o regime
volução temporal da componente = 0, b = 0.
", principalmente, da
componente longitudinal de velocidade, para parâmetros Hall diferentes de zero: em algum
intervalo de tempo, a componente de velocidade na direção do escoamento excede o valor
do regime permanente e a partir desse intervalo ela evolui para tal valor. Quanto maior o
assintótico é explicado pela relação entre as
componentes longitudinal e transversal da velocidade, estabelecida nos termos fontes das
suas respectivas equações de quantidade de movimento. Com o passar do tempo, as duas
da velocidade crescem até um instante em que a componente u excede a
muda então de sinal, revertendo o processo
Figura 6.14. Efeito do parâmetro Hall, transversal de velocidade no centro do canal.
Figura 6.15. Efeito do parâmetro Hall, da temperatura no centro do canal.
Figura 6.14. Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componentetransversal de velocidade no centro do canal. Ha = 6 e a = 0,
Figura 6.15. Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporalda temperatura no centro do canal. Ha = 6 e a = 0, b = 0.
111
o temporal da componente = 0, b = 0.
sobre a evolução temporal = 0.
112
A Figura 6.14 demonstra, por sua vez, que embora a "força motora" da
componente w da velocidade seja o efeito Hall, para instantes de tempos pequenos, o
aumento no parâmetro Hall leva a uma redução da velocidade w. O mesmo efeito é notado
para o campo de temperatura, Figura 6.15. Novamente, um estudo do termo fonte da
equação de w explica esse fenômeno.
A Tabela 6.11 ilustra uma comparação entre os resultados do presente trabalho e
os resultados de Attia (2005b), para a variação temporal da componente transversal de
velocidade e da temperatura, ambos no centro do canal, como função do parâmetro Hall,
assumindo propriedades constantes e Ha = 6.
Tabela 6.11 - Comparação para a evolução, no centro do canal, da componente w de velocidade e para a temperatura, em função do efeito Hall. Ha = 6 e a = 0, b = 0.
tA= 0,1 tA= 0,2 tA= 1 tA = 5
Presente
Attia (2005b)
Presente Attia
(2005b) Presente
Attia (2005b)
Presente Attia
(2005b)
wA(yA = 0, tA)
β = 0,5 0,0551 0,0569 0,1290 0,1307 0,2075 0,2081 0,2075 0,2081
β = 1 0,0811 0,0840 0,2152 0,2185 0,4052 0,4062 0,4045 0,4056
β = 5 0,0414 0,0430 0,1451 0,1482 0,9155 0,9159 1,0031 1,0020
T(yA = 0, tA)
β = 0,5 0,0324 0,0334 0,1462 0,1496 0,6217 0,6240 0,7000 0,7013
β = 1 0,0306 0,0315 0,1417 0,1451 0,6297 0,6323 0,7079 0,7095
β = 5 0,0260 0,0266 0,1201 0,1230 0,6736 0,6798 0,8163 0,8218
Em geral, a concordância entre os resultados numéricos e híbridos é boa, mas
pequenas diferenças ainda são verificadas.
A Tabela 6.12 mostra a variação da temperatura no centro do canal em regime
permanente, para vários valores do parâmetro Hall, β, e do coeficiente de condutividade
térmica, b, comparando os resultados de Attia (2003) com os obtidos pelo presente
trabalho.
113
Tabela 6.12 - Efeito do parâmetro Hall e da condutividade térmica sobre a temperatura no centro do canal, em regime permanente, para Ha = 6 e a = 0.
T(yA = 0, ∞)
β= 0 β= 0,5 β= 1 β = 10
Presente
Attia (2003)
Presente Attia
(2003) Presente
Attia (2003)
Presente Attia
(2003)
b = -0,5 0,6918 0,6930 0,6962 0,6976 0,7083 0,7102 1,0065 1,0015
b = -0,1 0,6964 0,6975 0,6995 0,7007 0,7080 0,7096 0,8932 0,9005
b = 0 0,6971 0,6982 0,7000 0,7012 0,7079 0,7095 0,8783 0,8856
b = 0,1 0,6978 0,6989 0,7005 0,7017 0,7079 0,7094 0,8658 0,8729
b = 0,5 0,6997 0,7008 0,7019 0,7030 0,7077 0,7091 0,8307 0,8373
Pequenas discrepâncias ainda se verificam entre os resultados apresentados por
Attia (2003) e os obtidos no presente trabalho. Uma vez mais, acredita-se que os resultados
apresentados por Attia (2003) não representam completamente o campo de temperatura em
regime permanente para os dígitos mostrados, isto é, eles não estão completamente
convergidos.
Fisicamente, a tabela também mostra que um aumento no parâmetro Hall eleva a
temperatura no centro do canal, para todos os valores do parâmetro da condutividade
térmica, sendo essa influência mais intensa para valores negativos desse parâmetro.
Observa-se também que, para pequenos valores do parâmetro Hall, 0 < β < 1, o aumento
no parâmetro da condutividade térmica implica na elevação do campo de temperatura,
entretanto, para valores β > 1, o aumento no parâmetro da condutividade térmica leva à
redução da temperatura no centro do canal.
Para concluir a seção, as Tabelas 6.13 e 6.14 ilustram o efeito do parâmetro Hall,
para diferentes condições de viscosidade, sobre os coeficientes de atrito e números de
Nusselt, respectivamente, nas placas inferior e superior, no regime permanente.
Novamente, os resultados foram comparados com os resultados de Attia (2005b) para a
condição em que Ha = 6 eb = 0.
Esses parâmetros são escritos, a partir de suas definições e dos grupos
adimensionais empregados no presente trabalho, como:
114
1
0
X
y
u
yτ
=
∂=∂
; 1 14X X Aτ τ= (6.4a,b)
2
1
X
y
u
yτ
=
∂=∂
; 2 24X X Aτ τ= (6.5a,b)
1
0
Z
y
w
yτ
=
∂=∂
; 1 14Z Z Aτ τ= (6.6a,b)
2
1
Z
y
w
yτ
=
∂=∂
; 2 24Z Z Aτ τ= (6.7a.b)
1
0y
TNu
y =
∂=∂
; 1 12 ANu Nu= (6.8a,b)
2
1y
TNu
y =
∂=∂
; 2 22 ANu Nu= (6.9a,b)
Tabela 6.13 - Comparação da influência do parâmetro de viscosidade e do efeito Hall sobre o coeficiente de atrito para regime permanente. Ha = 6 e b = 0.
β= 0 β= 1 β= 5 β = 10
Presente
Attia (2005b)
Presente Attia
(2005b) Presente
Attia (2005b)
Presente Attia
(2005b)
τX1 a = - 0,5 1,6965 1,7043 1,9223 1,9230 3,5872 3,6162 4,2171 4,2539
a = 0 1,6584 1,6588 1,8566 1,8570 3,5147 3,5179 4,4321 4,4361
a = 0,5 1,6146 1,6079 1,7909 1,7829 3,2403 3,2142 4,3548 4,3377
τX2 a = - 0,5 -1,2854 -1,2674 -1,4527 -1,4354 -2,6400 -2,6323 -3,0858 -3,0823
a = 0 -1,6584 -1,6588 -1,8566 -1,8570 -3,5147 -3,5179 -4,4321 -4,4364
a = 0,5 -2,1195 -2,1479 -2,3522 -2,3798 -4,4075 -4,4170 -6,0628 -6,0892
τZ1 a = - 0,5 0,0000 0,0000 0,7391 0,7432 1,3229 1,3315 0,8807 0,8866
a = 0 0,0000 0,0000 0,7308 0,7317 1,6266 1,6271 1,2370 1,2349
a = 0,5 0,0000 0,0000 0,7013 0,6989 1,8170 1,8102 1,6770 1,6303
τZ2 a = - 0,5 0,0000 0,0000 -0,5288 -0,5297 -0,9320 -0,9351 -0,6201 -0,6224
a = 0 0,0000 0,0000 -0,7308 -0,7317 -1,6266 -1,6271 -1,2370 -1,2350
a = 0,5 0,0000 0,0000 -0,9734 -0,9740 -2,6216 -2,6197 -2,4510 -2,3877
115
A tabela 6.13 demonstra o efeito de amplificação do fator de atrito na direção x
(τX1 e τX2) para parâmetros Hall crescentes, para todos os valores do parâmetro de
viscosidade. Por sua vez, um acréscimo no parâmetro da viscosidade implica em redução
desse fator de atrito na placa inferior e aumento na placa superior, para todos os valores de
β.
Em relação ao fator de atrito relacionado à componente transversal de velocidade
(τZ1 e τZ2), a tabela mostra que, em todos os valores do parâmetro da viscosidade, para
pequenos valores do parâmetro Hall, um aumento desse parâmetro eleva o fator de atrito
em ambas as placas. Para valores maiores do parâmetro Hall, o efeito inverso é observado.
Um acréscimo no parâmetro da viscosidade implica em aumento desse fator de
atrito na placa superior, para todos os valores do parâmetro Hall. Para a placa inferior, um
acréscimo no parâmetro viscoso leva a uma redução no fator de atrito para pequenos
valores do parâmetro Hall, mas a um aumento para valores maiores do parâmetro Hall.
Tabela 6.14 - Comparação da influência do parâmetro de viscosidade e do efeito Hall sobre o número de Nusselt para regime permanente. Ha = 6 e b = 0.
β= 0 β= 1 β= 5 β = 10
Presente
Attia (2005b)
Presente Attia
(2005b) Presente
Attia (2005b)
Presente Attia
(2005b)
Nu1 a = - 0,5 0,8443 0,8529 0,9014 0,9132 1,3724 1,4077 1,5474 1,5916
a = 0 0,8668 0,8746 0,9240 0,9343 1,5444 1,5766 1,9032 1,9451
a = 0,5 0,8839 0,8907 0,9381 0,9470 1,6567 1,6892 2,3360 2,3645
Nu2 a = - 0,5 0,1637 0,1569 0,1017 0,0922 -0,4060 -0,4345 -0,5953 -0,6309
a = 0 0,1332 0,1255 0,0760 0,0657 -0,5444 -0,5766 -0,9032 -0,9451
a = 0,5 0,1049 0,0962 0,0547 0,0435 -0,6345 -0,6731 -1,2997 -1,3358
Em relação à transferência de calor, conclui-se que o aumento do parâmetro Hall,
ou do parâmetro da viscosidade, elevam valor do número de Nusselt na placa inferior e
reduz na placa superior. Observa-se ainda uma reversão de sinal do número de Nusselt na
placa superior quando o valor do parâmetro Hall é suficientemente grande.
116
6.2.6. Attia (2005c) - Efeito de deslizamento de íons no escoamento MHD com
partículas de poeira, transferência de calor e gradiente de pressão com decaimento
exponencial (Effect of the ion slip on the MHD flow of a dusty fluid with heat
transfer under exponential decaying pressure gradient)
Attia (2006b) - Efeito de deslizamento de íons no escoamento transiente de
Hartmann com transferência de calor sob gradiente de pressão com decaimento
exponencial (Ion slip effect on unsteady Hartmann flow with heat transfer under
exponential decaying pressure gradient)
Os primeiros trabalhos a considerar o efeito de deslizamento de íons em um
escoamento submetido a um gradiente de pressão com decaimento exponencial no tempo
foram desenvolvidos por Attia (2005c) e Attia (2006b). Diferentemente dos trabalhos
anteriores, eles assumiram que as propriedades de transporte eram constantes, mas que as
placas do canal eram porosas. A equação do movimento foi resolvida por Transformada de
Laplace e a equação da energia por diferenças finitas. O primeiro trabalho assumiu
partículas sólidas presentes no escoamento, estendendo os resultados do segundo.
A formulação matemática apresentada em ambos os trabalhos usa os mesmos
parâmetros adimensionais definidos por Attia (1999), Eqs. 6.2, e por Attia (2002), Eqs. 6.3.
Uma vez que o gradiente de pressão não é constante, a seguinte relação deve ser
observada:
4G GAα α= (6.10)
Para os escoamentos que não envolvam partículas sólidas (Attia, 2006b), os
parâmetros não necessários na análise receberam os valores: Ru = 0, Ez = 0, a = 0, b = 0,
c = 0, L0 = 0, F = 1, R = 0, αG = 4 (αGA = 1), ω0 = 0, enquanto os demais parâmetros
receberam Ha = 6 (HaA = 3), G0 = 40 (G0A = 5), Pr = 1,Ec = 0,05(EcA = 0,2). Quando
partículas sólidas estão presentes no escoamento (Attia, 2005c), os seguintes valores foram
usados L0 = 2,8; F = 0,2; R = 2. Estes valores foram obtidos do trabalho de Attia (2005a),
uma vez que Attia (2005c) não os informa no seu artigo. Os efeitos da variação dos
parâmetros β, βi e Rv sobre o escoamento serão a seguir estudados.
As Figuras 6.16, 6.17 e 6.18 ilustram, respectivamente, os perfis das componentes
de velocidade u e w e da temperatura
figuras foram obtidas para β
Figura 6.16. Perfil da componente longitudinal de velocidade em três instantesde tempo selecionados, para
Figura 6.17. Perfil da componente transversal de velocidade em três instantesde tempo selecionados, para
As Figuras 6.16, 6.17 e 6.18 ilustram, respectivamente, os perfis das componentes
e da temperatura T para alguns instantes de tempo selecionados. Essas
β = 3, βi = 3 e Rv = 2 (RvA = 1).
da componente longitudinal de velocidade em três instantesde tempo selecionados, para Ha = 6, β = 3, βi = 3 e Rv = 2.
Figura 6.17. Perfil da componente transversal de velocidade em três instantesde tempo selecionados, para Ha = 6, β = 3, βi = 3 e Rv = 2.
117
As Figuras 6.16, 6.17 e 6.18 ilustram, respectivamente, os perfis das componentes
para alguns instantes de tempo selecionados. Essas
da componente longitudinal de velocidade em três instantes = 2.
Figura 6.17. Perfil da componente transversal de velocidade em três instantes = 2.
Figura 6.18. Perfil de temperatura em três instantes de tempo selecionados,
Grandes diferenças entre os resultados obtidos por Attia (2006b) e os do presente
trabalho são observadas nas figuras
diferenças são verificadas para os instantes de tempo menores. Por outro lado, o perfil de
temperatura da figura 6.18
utilizados dos parâmetros adimensionais,
fortemente, o campo de temperatura. Apesar das diferenças,
problemas na convergência do
campos de velocidade, a esperada assimetria dos perfis
devida à sucção/ejeção nas paredes do canal, é reproduzida no presente trabalho.
Para se entender melhor a dinâmica do escoamento, e por, consequência, para se
buscar uma melhor base para discussão dos resultados, as Figura
influência do efeito Hall e de deslizamento de íons sobre o desenvolvimento das
componentes de velocidade, no centro do canal, fornecendo ainda uma comparação com os
resultados de Attia (2006b), para
Figura 6.18. Perfil de temperatura em três instantes de tempo selecionados,para Ha = 6, β = 3, βi = 3 e Rv = 2.
Grandes diferenças entre os resultados obtidos por Attia (2006b) e os do presente
trabalho são observadas nas figuras 6.16 e 6.17, para os perfis de velocidade. As maiores
diferenças são verificadas para os instantes de tempo menores. Por outro lado, o perfil de
6.18 não mostra tais diferenças, indicando que, para os valores
utilizados dos parâmetros adimensionais, o campo do escoamento não influencia,
fortemente, o campo de temperatura. Apesar das diferenças, devido possivelmente a
problemas na convergência do método da referência usada para comparação, para os
campos de velocidade, a esperada assimetria dos perfis dos componentes da velocidade,
devida à sucção/ejeção nas paredes do canal, é reproduzida no presente trabalho.
Para se entender melhor a dinâmica do escoamento, e por, consequência, para se
buscar uma melhor base para discussão dos resultados, as Figuras 6.19 e 6.20 ilustram a
influência do efeito Hall e de deslizamento de íons sobre o desenvolvimento das
componentes de velocidade, no centro do canal, fornecendo ainda uma comparação com os
resultados de Attia (2006b), para Ha = 6 e Rv = 0.
118
Figura 6.18. Perfil de temperatura em três instantes de tempo selecionados,
Grandes diferenças entre os resultados obtidos por Attia (2006b) e os do presente
ra os perfis de velocidade. As maiores
diferenças são verificadas para os instantes de tempo menores. Por outro lado, o perfil de
não mostra tais diferenças, indicando que, para os valores
o campo do escoamento não influencia,
devido possivelmente a
método da referência usada para comparação, para os
dos componentes da velocidade,
devida à sucção/ejeção nas paredes do canal, é reproduzida no presente trabalho.
Para se entender melhor a dinâmica do escoamento, e por, consequência, para se
s 6.19 e 6.20 ilustram a
influência do efeito Hall e de deslizamento de íons sobre o desenvolvimento das
componentes de velocidade, no centro do canal, fornecendo ainda uma comparação com os
A influência cruzada do campo magnético e do parâmetro de deslizamento de íons
sobre tais componentes de velocidade na posição central do canal é mostrada (e
comparada) nas Figuras 6.21 e 6.22 para
Figura 6.19. Efeito dos parâmetros Halla componente longitudinal de velocidade, em
Figura 6.20. Efeito dos parâmetros Hall e de deslizamento de íons sobrea componente transversal de velocidade, em
A influência cruzada do campo magnético e do parâmetro de deslizamento de íons
sobre tais componentes de velocidade na posição central do canal é mostrada (e
comparada) nas Figuras 6.21 e 6.22 para β = 3 e Rv = 0.
Figura 6.19. Efeito dos parâmetros Hall e de deslizamento de íons sobrea componente longitudinal de velocidade, em y = 0, para Ha = 6 e
Figura 6.20. Efeito dos parâmetros Hall e de deslizamento de íons sobrea componente transversal de velocidade, em y = 0, para Ha = 6 e
119
A influência cruzada do campo magnético e do parâmetro de deslizamento de íons
sobre tais componentes de velocidade na posição central do canal é mostrada (e
e de deslizamento de íons sobre = 6 e Rv = 2.
Figura 6.20. Efeito dos parâmetros Hall e de deslizamento de íons sobre = 6 e Rv = 2.
A Figura 6.19 mostra que o aumento no parâmetro Hall de elétrons ou de íons
acarreta na elevação das magnitudes das componentes de velocidade. Esse efeito se deve a
uma redução da condutividade elétrica efetiva, a qual é multiplicada pelo número de
Hartmann no termo fonte da força de Lorentz. Logicamente, ocorre redução da força
eletromagnética, e por consequência no amortecimento magnético do escoamento
principal.
A Figura 6.20, por outro lado, mostra que o aumento no parâmetro Hall de
elétrons aumenta a magnitude da componente transversal, uma vez que tal velocidade é
resultante desse efeito, mas o parâmetro de deslizamento de íons reduz essa componente de
velocidade. Esse comportamento é explicado pela redução do termo fonte "motor" e do
aumento do termo fonte "redutor" dessa componente (ver equação do momentum em
Figura 6.21. Efeito do número de Hartmann e do deslizamento de íons sobrea componente longitudinal de velocidade, em
A Figura 6.21 demonstra que o efeito
longitudinal de velocidade depende da intensidade do campo magnético. Para campos
magnéticos pequenos, a influência de
magnéticos de maior intensidade a influência é
A Figura 6.19 mostra que o aumento no parâmetro Hall de elétrons ou de íons
acarreta na elevação das magnitudes das componentes de velocidade. Esse efeito se deve a
uma redução da condutividade elétrica efetiva, a qual é multiplicada pelo número de
n no termo fonte da força de Lorentz. Logicamente, ocorre redução da força
eletromagnética, e por consequência no amortecimento magnético do escoamento
A Figura 6.20, por outro lado, mostra que o aumento no parâmetro Hall de
magnitude da componente transversal, uma vez que tal velocidade é
resultante desse efeito, mas o parâmetro de deslizamento de íons reduz essa componente de
velocidade. Esse comportamento é explicado pela redução do termo fonte "motor" e do
o fonte "redutor" dessa componente (ver equação do momentum em
Figura 6.21. Efeito do número de Hartmann e do deslizamento de íons sobrea componente longitudinal de velocidade, em y = 0, para β = 3 e
A Figura 6.21 demonstra que o efeito do parâmetro de íons sobre a componente
longitudinal de velocidade depende da intensidade do campo magnético. Para campos
magnéticos pequenos, a influência de βi sobre a velocidade é pequena, mas para campos
magnéticos de maior intensidade a influência é visível.
120
A Figura 6.19 mostra que o aumento no parâmetro Hall de elétrons ou de íons
acarreta na elevação das magnitudes das componentes de velocidade. Esse efeito se deve a
uma redução da condutividade elétrica efetiva, a qual é multiplicada pelo número de
n no termo fonte da força de Lorentz. Logicamente, ocorre redução da força
eletromagnética, e por consequência no amortecimento magnético do escoamento
A Figura 6.20, por outro lado, mostra que o aumento no parâmetro Hall de
magnitude da componente transversal, uma vez que tal velocidade é
resultante desse efeito, mas o parâmetro de deslizamento de íons reduz essa componente de
velocidade. Esse comportamento é explicado pela redução do termo fonte "motor" e do
o fonte "redutor" dessa componente (ver equação do momentum em z).
Figura 6.21. Efeito do número de Hartmann e do deslizamento de íons sobre = 3 e Rv = 0.
do parâmetro de íons sobre a componente
longitudinal de velocidade depende da intensidade do campo magnético. Para campos
sobre a velocidade é pequena, mas para campos
Figura 6.22. Efeito do número de Hartmann e do deslizamento de íons sobre
a componente transversal de velocidade, em
A Figura 6.22 corrobora com a Figura 6.20 sobre a tendência da redução da
componente transversal de velocidade com o aumento do parâmetro de deslizamento de
íons, para qualquer valor do campo magnético.
A influência da sucção/ejeção nas paredes do canal e do parâmetro de
deslizamento de íons sobre os campos de velocidade é ilustrada nas Figuras 6.23
quais oferecem ainda uma comparação com os dados de Attia (2006b).
Claramente, percebe
escoamento principal age no sentido de reduzir ambas as componentes de velocidade. O
efeito da sucção/ejeção sobre
diferentemente da componente
Nota-se que, em todos os resultados apresentados, discrepâncias com os
resultados obtidos por Attia (2006b
comportamento global dos campos analisados ser reproduzido. Os intervalos de tempo em
que ocorrem os picos e os seus valores não são corretamente preditos. Uma análise mais
profunda de tais diferenças deve ser re
Figura 6.22. Efeito do número de Hartmann e do deslizamento de íons sobre
a componente transversal de velocidade, em y = 0, para β = 3 e
A Figura 6.22 corrobora com a Figura 6.20 sobre a tendência da redução da
de velocidade com o aumento do parâmetro de deslizamento de
íons, para qualquer valor do campo magnético.
A influência da sucção/ejeção nas paredes do canal e do parâmetro de
deslizamento de íons sobre os campos de velocidade é ilustrada nas Figuras 6.23
quais oferecem ainda uma comparação com os dados de Attia (2006b).
Claramente, percebe-se que o efeito da sucção/ejeção transversalmente ao
escoamento principal age no sentido de reduzir ambas as componentes de velocidade. O
eção sobre u é mais pronunciado quando se eleva o parâmetro de íons,
diferentemente da componente w, quando esse efeito diminui com o aumento de
se que, em todos os resultados apresentados, discrepâncias com os
resultados obtidos por Attia (2006b) estão presentes nessas figuras, apesar do
comportamento global dos campos analisados ser reproduzido. Os intervalos de tempo em
que ocorrem os picos e os seus valores não são corretamente preditos. Uma análise mais
profunda de tais diferenças deve ser realizada.
121
Figura 6.22. Efeito do número de Hartmann e do deslizamento de íons sobre
= 3 e Rv = 0.
A Figura 6.22 corrobora com a Figura 6.20 sobre a tendência da redução da
de velocidade com o aumento do parâmetro de deslizamento de
A influência da sucção/ejeção nas paredes do canal e do parâmetro de
deslizamento de íons sobre os campos de velocidade é ilustrada nas Figuras 6.23 e 6.24, as
se que o efeito da sucção/ejeção transversalmente ao
escoamento principal age no sentido de reduzir ambas as componentes de velocidade. O
é mais pronunciado quando se eleva o parâmetro de íons,
, quando esse efeito diminui com o aumento de βi.
se que, em todos os resultados apresentados, discrepâncias com os
) estão presentes nessas figuras, apesar do
comportamento global dos campos analisados ser reproduzido. Os intervalos de tempo em
que ocorrem os picos e os seus valores não são corretamente preditos. Uma análise mais
Figura 6.23. Efeito da sucção/ejeção nas placas e do deslizamento de íons sobrea componente longitudinal de velocidade, em
Figura 6.24. Efeito da sucção/ejeção nas placas e do deslizamento de íons sobrea componente transversal de velocidade, em
Figura 6.23. Efeito da sucção/ejeção nas placas e do deslizamento de íons sobrea componente longitudinal de velocidade, em y = 0, para Ha = 6 e
Figura 6.24. Efeito da sucção/ejeção nas placas e do deslizamento de íons sobrea componente transversal de velocidade, em y = 0, para Ha = 6 e
122
Figura 6.23. Efeito da sucção/ejeção nas placas e do deslizamento de íons sobre = 6 e Rv = 2.
Figura 6.24. Efeito da sucção/ejeção nas placas e do deslizamento de íons sobre = 6 e Rv = 2.
123
Em função das diferenças apresentadas, buscou-se mostrar que, possivelmente, os
erros estivessem associados ao procedimento de solução, ou uso de valores diferentes dos
parâmetros adimensionais empregados por Attia (2006b). Assim, na Tabelas 6.15 são
realizadas análises de convergência para a temperatura no centro do canal em diversos
instantes de tempo e diferentes parâmetros de governo (parâmetro Hall de elétrons e de
íons, instantes de tempo (tA = 0,2; 0,6; 1,0 e 2,0) e Ha = 6, Rv = 0 e β = 1).
Tabela 6.15 - Convergência e comparação para a temperatura no centro do canal, em função do efeito Hall e do deslizamento de íons em instantes de tempo discretos. Ha = 6, Rv = 0 e β = 1.
T(yA = 0; tA)
tA= 0,2 tA= 0,6 tA= 1 tA = 2
N Presente
Attia (2006b)
Presente Attia
(2006b) Presente
Attia (2006b)
Presente Attia
(2006b)
β i = 0
50 0,1376 - 0,4342 - 0,5082 - 0,5102 -
80 0,1376 - 0,4342 - 0,5082 - 0,5102 -
300 0,1376 - 0,4342 - 0,5082 - 0,5102 -
600 0,1376 0,1439 0,4342 0,4545 0,5082 0,5237 0,5102 0,5137
β i = 1
50 0,1360 - 0,4521 - 0,5337 - 0,5183 -
80 0,1360 - 0,4521 - 0,5337 - 0,5183 -
300 0,1360 - 0,4521 - 0,5337 - 0,5183 -
600 0,1360 0,1420 0,4521 0,4765 0,5337 0,5550 0,5183 0,5236
β i = 3
50 0,1306 - 0,4566 - 0,5535 0,5277
80 0,1306 - 0,4566 - 0,5535
0,5277
300 0,1306 - 0,4566 - 0,5535 0,5277
600 0,1306 0,1354 0,4566 0,4823 0,5535 0,5797 0,5277 0,5351
A tabela acima mostra que todos os resultados mostrados graficamente estão
convergidos e que a metodologia empregada requer baixos números de termos nas
expansões dos potenciais para completa convergência. Os resultados apresentados por
Attia (2006b) não podem ser tomados como "benchmark".
124
CAPÍTULO VII
CONCLUSÕES
125
7 CONCLUSÕES
No presente trabalho foram desenvolvidas soluções híbrida, numérico-analítica,
através da aplicação da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), para
diversos problemas relacionados ao escoamento e à transferência de calor de fluidos
newtonianos condutores elétricos submetidos a campos magnéticos constantes transversais.
Apesar de se adotar uma geometria simplificada (canais de placas paralelas), o objetivo
principal é concentrado na avaliação do comportamento numérico da técnica em um
problema com fenômeno inerentemente multifísico.
Vários efeitos físicos adicionais à magnetohidrodinâmica foram considerados, a
saber: movimento de uma das placas, gradiente de pressão constante ou com decaimento
exponencial, porosidade das placas, efeitos Hall, deslizamento de íons, interação
fluido/partículas, dissipação viscosa, dissipação por efeito Joule e, finalmente,
propriedades de transporte (viscosidade, condutividade térmica e condutividade elétrica)
dependentes da temperatura. Tais efeitos foram tomados com o objetivo de, primeiro, se
alcançar, possivelmente, uma maior proximidade de problemas comumente encontrados na
indústria; segundo, conhecer suas possíveis consequências na dinâmica do escoamento
MHD e finalmente, verificar o comportamento de convergência da técnica da transformada
integral generalizada nesse campo.
Resultados para os principais potenciais foram apresentados e comparados com
outros disponíveis na literatura e análises de convergência foram efetuadas para
demonstrar a eficácia e eficiência do método em resolver problemas, e oferecer resultados
"benchmark" relacionados a esse campo de pesquisa. Através da verificação dos resultados
das tabelas, claramente o procedimento de filtragem aplicado as equações originais
mostrou-se como uma ferramenta versátil no processo de aceleração de convergência,
tendo em vista que, dependendo do quanto de informação se queira transferir para o filtro,
as soluções dos campos na região completamente desenvolvida são automaticamente
recuperadas. Essa é uma característica/vantagem adicional da metodologia empregada, a
qual se mostrou muito eficaz para situações onde o problema era fortemente acoplado.
126
Em relação à física dos problemas estudados, foi observado que a variação do
parâmetro de viscosidade do fluido tem um efeito aparente sobre os campos de velocidade
e temperatura tanto para o fluido quanto as partículas sólidas. Por outro lado, foi visto
também que a variação do parâmetro da condutividade elétrica do fluido mostrou ter um
efeito mais pronunciado sobre o campo de velocidade e temperatura, tanto para o fluido
quanto as partículas sólidas. Um dos resultados interessantes é que a variação da
condutividade elétrica do fluido não tem nenhum efeito significativo sobre as distribuições
de temperatura para o fluido e as partículas sólidas, próximo ao centro do canal.
Além disso, verificou-se que, diferentemente da condutividade elétrica, uma
variação do parâmetro da viscosidade e do parâmetro Hall conduz a perfis de velocidade
assimétricos em relação ao centro do canal. Esse comportamento está diretamente
relacionado ao campo de temperatura que se obtém no escoamento, o qual influencia
diretamente os coeficientes associados à intensidade do campo magnético efetivo no
interior do canal. De um modo geral, o parâmetro Hall tem um efeito marcante sobre as
componentes de velocidade “u” e “w” para todos os valores do parâmetro Hall.
Por sua vez, o efeito de deslizamento de íons sobre a componente da velocidade
“u” depende principalmente da intensidade do campo magnético. Para grandes valores de
intensidade do campo magnético, o aumento do parâmetro de deslizamento de íons
contribui para o incremento na componente “u”. Para valores menores da intensidade do
campo magnético, aumentando o parâmetro de deslizamento de íons diminui ligeiramente
a componente “u” . A influência da corrente Hall na componente “w” diminui
consideravelmente com o aumento de deslizamento de íons.
Em relação ao escoamento bifásico fluido/partículas, uma vez que a força motora
do escoamento das partículas é o escoamento principal, a sua dinâmica é fortemente
acoplada à dinâmica do escoamento através do parâmetro de força de arraste, R. Um
entendimento desse escoamento leva à uma melhor eficiência de projeto de equipamentos
que envolvam, por exemplo, cinzas ou partículas resultantes de atividades de corrosão e
desgaste em processos de combustão.
127
Normalmente, nos problemas comumente relacionados na literatura, os gradientes
de pressão são considerados constantes ou, quando o fluido se encontra em
desenvolvimento, espacialmente variáveis. A consideração de gradientes de pressão com
decaimento exponencial encontra apoio na aplicação de técnicas analíticas, como a
transformada de Laplace, para solução de problemas transientes de escoamento, e foi
facilmente incluído na presente metodologia de solução.
Resultados e aplicações considerando a rotação do canal são deixados como
proposta para trabalhos futuros, apesar de que, na presente formulação matemática,
envolvendo esse fenômeno, foi completamente resolvida com a aplicação da GITT.
Finalmente, nos problemas tratados, considerou-se ainda que o campo magnético
aplicado não era perturbado pelas correntes induzidas no/pelo escoamento (baixos números
de Reynolds magnéticos), de maneira que deixa-se como proposta para trabalhos futuros, a
aplicação da técnica da transformada integral generalizada em problemas que envolvam a
solução acoplada do campo do escoamento e do campo magnético, no qual será preciso a
solução apropriada das equações simplificadas de Maxwell. Este desenvolvimento é
esperado em aplicações com campos magnéticos intensos, uma condição básica para a
inclusão do efeito Hall e deslizamento de íons aqui analisados.
128
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132
ANEXOS
133
Anexo A.1 - Trabalhos de Interesse sobre Magnetohidrodinâmica em Canais de Placas Paralelas
Autor(es) Regime Placas Placa Superior
Gradiente de
Pressão Viscosidade Condut.
Térmica Condut. Elétrica
Partíc. Sólidas
Efeito Hall
Desliz.
de Íons Rotação Método
Solução
Attia e Kotb (1996) Permanente Porosas Móvel Constante Variável Constante Constante Não Não Não Não MDF
Attia (1999) Transiente Não-
Porosas Fixa Constante Variável Constante Constante Não Não Não Não MDF
Chamkha (2001) Permanente Porosas Fixa Constante Variável Constante Variável Não Não Não Não MDF
Attia (2002) Transiente Não-
Porosas Fixa Constante Variável Constante Variável Sim Não Não Não MDF
Attia e Aboul-Hassan (2003)
Transiente Não-
Porosas Fixa Constante Variável Variável Constante Não Sim Não Não MDF
Attia (2003) Permanente Não-
Porosas Fixa Constante Variável Constante Constante Não Sim Sim Não MDF
Attia e Sayed-Ahmed (2004)
Transiente Porosas Móvel Constante Constante Constante Constante Não Sim Não Não MDF
Attia (2005a) Transiente Porosas Fixa Constante Variável Constante Constante Sim Não Não Não MDF
Attia (2005b) Transiente Não-
Porosas Fixa Constante Variável Constante Constante Não Sim Não Não MDF
Attia (2005c) Transiente Porosas Fixa Decaimento Exponencial
Constante Constante Constante Sim Sim Sim Não TL & MDF
Attia (2006a) Permanente Não-
Porosas Móvel Constante Variável Variável Variável Não Não Não Não MDF
Attia (2006b) Transiente Porosas Fixa Decaimento Exponencial
Constante Constante Constante Não Sim Sim Não TL & MDF
Lima et al. (2007) Transiente Porosas Móvel Constante Variável Constante Constante Não Não Não Não GITT
Rêgo (2010)* Permanente Não-
Porosas Fixa Constante Variável Variável Variável Não Não Não Não GITT
Chand et al. (2013) Transiente Porosas Fixa Oscilatório Constante Constante Constante Sim Sim Não Sim Analítico
Lima e Rêgo (2013)*
Permanente Não-
Porosas Fixa Constante Variável Variável Variável Não Não Não Não GITT
* Desenvolvimento Simultâneo
134
Anexo A. 2 - Propriedades Físicas de Metais Líquidos
135
Anexo A.3 - Símbolos/Variáveis, Grandezas e Unidades encontradas no eletromagnetismo.
136
Anexo A.4 - Equações de Maxwell e da Magnetohidrodinâmica
Para concluir, é mostrado um resumo das equações que descrevem todos os
fenômenos da eletrodinâmica: as Equações de Maxwell e as equações adicionais da força
eletromagnética e da conservação da carga (materiais não magnéticos e dielétricos).
0ε
ρeE =⋅∇
Lei de Gauss (A4.1)
B
Et
∂∇× = −∂
Lei de Faraday diferencial (A4.2)
( )BuEqf
×+= Força Eletromagnética (A4.3)
0m
EB J
tµ ε
∂∇× = + ∂
Lei de Ampère-Maxwell (A4.4)
t
J e
∂∂−=⋅∇ ρ
Conservação da carga (A4.5)
0=⋅∇ B
Natureza solenoidal de B
(A4.6)
Por outro lado, quando são consideradas as simplificações de MHD, as equações
da eletricidade se reduzem à forma pré-maxwelliana:
B
Et
∂∇ × = −∂
Lei de Faraday diferencial (A4.7)
( )BJF
×= Força eletromagnética (A4.8)
( )BuEJ ×+= σ Lei de Ohm (A4.9)
JB m
µ=⋅∇ Lei de Ampère (A4.10)
0=⋅∇ J
Conservação da carga (A4.11)
0=⋅∇ B
Natureza solenoidal de B
(A4.12)
137
Anexo A.5 - Avaliação dos Vetores Densidade de Corrente e Força de Lorentz.
1) Avaliação da força de Lorentz
( )| |
e ieJ E V B J B B J B
B
β βσ β = + × − × − × ×
, x y zJ J i J j J k= + +
(A5.1,2)
kEE
0= (A5.3)
0V ui v j wk= + +
(A5.4)
0B B j=
, 0B B=
(A5.5,6)
a) 0 0( )V B ui v j wk B j× = + + ×
(A5.7)
0 0V B B uk B wi× = −
(A5.8)
b) 0( )x y zJ B J i J j J k B j× = + + ×
(A5.9)
0 0x zV B B J k B J i× = −
(A5.10)
c) ( ) ( )0 0 0x zB J B B j B J k B J i× × = × −
(A5.11)
( ) 2 20 0x zB J B B J i B J k× × = +
(A5.12)
Assim:
20 0 0 0
0
( ) ( ) ( )e ie x z x zJ E k B uk wi B J k J i B J i J k
B
β βσ β
= + − − − − +
(A5.13)
Rearranjando,
0 0 0( ) ( )e z e i x e x e i zJ B w J J i E k B u J J kσ β β β β β β = − + − + + − −
(A5.14)
00
0
( )e z e i x e x e i z
EJ B w J J i u J J k
Bσ β β β β β β
= − + − + + − −
(A5.15)
138
Assim:
i) 0( )x e z e i xJ B w J Jσ β β β= − + − (A5.16)
ii) 0yJ = (A5.17)
iii) 00
0z e x e i z
EJ B u J J
Bσ β β β
= + − −
(A5.18)
Resolvendo para xJ de (i):
0 0( )x e i x e zJ B J B w Jσ β β σ β+ = − + (A5.19)
Fazendo: 0 eBβ σ β= (A5.20)
Obtém-se:
0x i x zJ J B w Jββ σ β+ = − + (A5.21)
0(1 )i x zJ B w Jββ σ β+ = − + (A5.22)
[ ]0
1
1x zi
J B w Jσ βββ
= − ++
(A5.23)
Substituindo-se em (iii),
00 0
0
( )1
ez z e i z
i
EJ B u B w J J
B
βσ σ β β βββ
= + − − + − +
(A5.24)
0 0 00 0
01 1e e e
z z e i zi i
B E BJ J B J B u w
B
σ β β σ β βσ β β σββ ββ
+ + = + + + +
(A5.25)
2
00
01 1z z i zi i
EJ J J B u w
B
β βββ σββ ββ
+ + = + + + +
(A5.26)
2 2
00
0
(1 )
1 1i
zi i
EJ B u w
B
ββ β βσββ ββ
+ + = + + + + (A5.27)
139
De maneira que:
0 02 2
0
(1 )(1 )z i
i
B EJ u w
B
σ ββ βββ β
= + + + + +
(A5.28)
Agora, substituindo esse resultado para xJ :
0 00 2 2
0
1(1 )
1 (1 )x ii i
B EJ B w u w
B
σ βσ ββ βββ ββ β
= − + + + + + + + (A5.29)
2
2 20 02 2
0
(1 )(1 ) ) (1 ) 1x i
i i i
B Ew wJ u
B
σ βββ β βββ β ββ ββ
− = + + + + + + + + +
(A5.30)
0 02 2
0
(1 )(1 )x i
i
B EJ u w
B
σ β ββββ β
= + − + + +
(A5.31)
Agora, uma vez que:
F J B= ×
0( )x zJ i J k B j= + ×
(A5.32)
0 0( )x z x zF J B B J k B j i F i F k= × = − ≡ +
(A5.33)
e, substituindo-se as expressões encontradas para Jx e Jz, tem-se:
0x zF B J= − (A5.34)
2
0 02 2
0
(1 )(1 )x i
i
B EF u w
B
σ ββ βββ β
= + + + + +
(A5.35)
0z xF B J= (A5.36)
2
0 02 2
0
(1 )(1 )z i
i
B EF u w
B
σ β ββββ β
= + − + + +
(A5.37)
140
2) Avaliação do Efeito Joule
21
jouleq Jσ
=
ɺ (A5.38)
2 2x zJ J J= +
(A5.39)
2 2 2
x zJ J J= +
(A5.40)
( )2 21joule x zq J J
σ= +ɺ (A5.41)
Assim, substituindo-se as expressões para as densidades de corrente:
22 2
0 022 2
0
22 2
0 022 2
0
1(1 )
(1 )
(1 )(1 )
joule i
i
i
i
B Eq u w
B
B Eu w
B
σ β ββσ ββ β
σ ββ βββ β
= + − + + + +
+ + + + +
ɺ
(A5.42)
2220 0 0
22 20 0
2
2 2 2 2 20 0
0 0
2 (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) 2(1 )
joule i
i
i i i
B E Eq u u w
B B
E Ew u u w w
B B
σ β β ββββ β
ββ ββ ββ β β
= + − + + + + +
+ + + + + + + +
ɺ
(A5.43)
22
2 2 20 022 2
0
(1 )(1 )
joule i
i
B Eq u w
B
σ ββ βββ β
= + + + +
+ +
ɺ (A5.44)
22
20 02 2
0(1 )joulei
B Eq u w
B
σββ β
= + + + +
ɺ (A5.45)
141
Assim, resumindo-se:
* * * *0 0 02 2
0 0
(1 ) (1 )(1 ) i i
i
B E EJ u w i u w k
B B
σ β ββ ββ βββ β
∗ = + − + + + + + + +
(A5.46)
2* * * * *0 0 0
2 20 0
(1 ) (1 )(1 ) i i
i
B E EF u w i u w k
B B
σ ββ β β ββββ β
= − + + + + + + − + + +
(A5.47)
22
* *20 02 2
0(1 )joulei
B Eq u w
B
σββ β
= + + + +
ɺ (A5.48)
142
Anexo A.6 - Equação de Transporte do Campo Magnético
Conforme já comentado, em situações em que o número de Reynolds magnético é
de moderado a elevado, o campo magnético é influenciado pelo campo de escoamento.
Para se obter a equação de transporte (advecção/difusão) do campo magnético, algumas
vezes denominada de equação da indução, para esta situação, basta combinar as leis de
Ohm, Faraday e Ampère:
( ) ( )σµσ mBBuBuJEt
B//
×∇−××∇=×−×−∇=⋅−∇=∂∂ (A6.1)
Notando que BB
2−∇=×∇×∇ uma vez que B
é solenoidal, a equação da
advecção/difusão do campo magnético é:
( ) BBut
Bm
2∇=××∇=∂∂ λ (A6.2)
onde ( ) 1−= σµλ mm é denominada de difusividade magnética. Observa-se o forte
acoplamento entre o campo do escoamento e o campo magnético, caracterizando a
interação de duas vias entre os dois campos. Condições de contorno e condições iniciais
devem ser especificadas para o campo magnético, de maneira a se estabelecer a solução de
cada problema (Shercliff, 1965).
Quando essa equação é escrita na forma adimensional, aparece um parâmetro
(adimensional) o qual indica a intensidade relativa entre a advecção e a difusão do campo
magnético. Por sua analogia com a equação de transporte de quantidade de movimento, tal
parâmetro recebeu o nome de Reynolds magnético, já introduzido na Eq.(3.1):
m
mm
uu
λσµ ℓℓ ==Re Número de Reynolds Magnético (A6.3)
Assim quando mRe é alto, a difusão do campo magnético é baixa, e o campo
magnético é “arrastado/advectado” pelo escoamento. Caso contrário, o campo magnético é
difundido no campo de escoamento.
