Universidade Federal do Rio de Janeiro - Pós-Graduação IM · Nissenzweig estende o resultado de...

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Bases de Schauder em Espacos de Banach

Nelson Dantas Louza Junior

Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Programa de Pos-graduacao do Instituto

de Matematica, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre

em Matematica.

Orientadora: Luiza Amalia de Moraes

Rio de Janeiro

Novembro de 2008

Aos meus pais

Nelson e Deize.

Ao meu irmao

Bruno

e a minha avo

Altair.

iii

Agradecimentos

A Deus, por me dar forca todos os dias.

A minha orientadora, Professora Luiza Amalia de Moraes, por todo seu apoio, dedicacao,

paciencia e incentivo ao longo da minha formacao superior.

Aos professores da graduacao Nedir do Espırito Santo e Ivo Fernandez Lopez pelo apoio

e dedicacao durante o inıcio da minha formacao superior.

Aos meus parentes e amigos que sempre estiveram ao meu lado incentivando na minha

formacao matematica.

A CAPES e A FAPERJ pelo apoio financeiro durante a realizacao deste trabalho.

iv

Resumo

Bases de Schauder em Espacos de Banach

Nelson Dantas Louza junior

Orientadora: Luiza Amalia de Moraes

O objetivo desse trabalho e fazer um estudo dos espacos de Banach com base de

Schauder. Estudamos as propriedades basicas desses espacos, dando enfase aos espacos com

bases contrateis e aos espacos com bases incondicionais. Provamos os teoremas de Bessaga-

Pelczynski, de Johnson-Rosenthal e de Hagler-Johnson. Estes teoremas conduzem as solucoes

parciais que apresentamos para o seguinte problema proposto por A.Pelczynski:

”Todo espaco de Banach de dimensao infinita tem um quociente de dimensao

infinita com base de Schauder?”

A partir dos teoremas Johnson-Rosenthal e Hagler-Johnson provamos tambem o teorema

de B. Josefson e A. Nissenzweig que diz que: ”Se E e um espaco de Banach com dimensao

infinita, entao existe uma sequencia (ψn)∞n=1 normalizada tal que limn→∞

ψn(x) = 0 para cada

x ∈ E”.

v

Abstract

Schauder Basis in Banach Spaces

Nelson Dantas Louza Junior

Supervisor: Luiza Amalia de Moraes

The main purpuse of this work is to present a study of Schauder basis of a Banach

space. We state the elementary properties of the Banach spaces with Schauder basis, with

emphasis in the spaces with shrinking basis and in the spaces with unconditional basis. We

present the Bessaga-Pelczynski Theorem, the Johnson-Rosenthal Theorem and the Hagler-

Johnson Theorem. Theses theorems lead up to some partial solutions to the following prob-

lem proposed by A. Pelczynski:

”Does every infinite dimensional Banach space have an infinite dimensional

quotient with a Schauder basis?”

By using the Johnson-Rosenthal Theorem and the Hagler-Johnson Theorem we also prove

the following result due to B. Josefson and A. Nissenzweig: If E be an infinite dimensional

Banach space, then there is a sequence (ψn)∞n=1 in E ′ such that ||ψn|| = 1 for every n ∈ N

and limn→∞

ψn(x) = 0 for every x ∈ E”.

vi

Sumario

1 Resultados Preliminares de Analise Funcional e Espacos Metricos 4

2 Bases de Schauder 24

2.1 Nocoes preliminares sobre bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Bases contrateis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Bases incondicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 O Teorema de Josefson-Nissenzweig 61

vii

Introducao

Dizemos que uma sequencia (xn)∞n=1 e uma base de Schauder em um espaco de Banach

X se para todo x ∈ X existe uma unica sequencia (αn)∞n=1 de escalares tal que x =∞∑

n=1

αnxn.

Neste trabalho faremos um estudo das bases de Schauder de um espaco de Banach e

de algumas consequencias importantes da existencia de base de Schauder na estrutura do

espaco.

E facil mostrar que todo espaco de Banach com base de Schauder e separavel e o

problema de decidir se todo espaco de Banach separavel teria base de Schauder ficou aberto

por muitos anos e e conhecido como o problema de base. Em 1973 P. Enflo mostrou,

atraves de um exemplo, a existencia de um espaco de Banach separavel sem base de Schauder.

Por sua complexidade, decidimos nao incluir o exemplo de Enflo aqui mas remetemos o

leitor interessado a [4]. Muitos matematicos trabalharam e trabalham no problema de

determinar condicoes sob as quais um espaco de Banach tem base de

Schauder. Nesta dissertacao apresentaremos a prova de que todo espaco de Banach de

dimensao infinita tem um subespaco de dimensao infinita com base de Schauder. Alem disso,

apresentaremos resultados que mostram que, sob certas condicoes, um espaco de Banach

X tem um espaco quociente de dimensao infinita com base de Schauder, o que implica na

existencia de um espaco quociente de dimensao infinita separavel. Assim, alguns dos

resultados que apresentaremos fornecem solucoes parciais para o seguinte problema (ainda

aberto no caso geral) apresentado por A. Pelczynski em [12]:

Todo espaco de Banach de dimensao infinita tem um quociente de dimensao

infinita com base de Schauder ?

Concluımos nossa dissertacao apresentando uma demonstracao do Teorema de Josefson-

Nissenzweig. Este teorema foi obtido independente e simultaneamente por B. Josefson [6]

e A. Nissenzweig [11] e tem aplicacoes importantes em analise, sobretudo no estudo das

funcoes holomorfas em espaco de Banach de dimensao infinita. Por exemplo, S. Dineen

mostrou em [3] que se X e um espaco de Banach de dimensao infinita tal que existe uma

sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ SX′ que seja pontualmente convergente a zero, entao existe uma funcao

holomorfa definida em X que nao e limitada nos limitados de X. O Teorema de Josefson-

Nissenzweig estende o resultado de Dineen a todos os espacos de Banach X de dimensao

infinita.

Este trabalho esta dividido em tres capıtulos. No Capıtulo 1 enunciaremos os resultados

de Analise Funcional e da Teoria de Espacos Metricos que serao usados nos Capıtulos 2 e 3.

O Capıtulo 2 esta dividido em tres secoes. Na primeira secao definiremos base de Schauder

de um espaco de Banach , daremos exemplos e apresentaremos resultados estabelecendo

condicoes necessarias e suficientes para que uma sequencia (xn)∞n=1 seja base de Schauder

para o espaco span{xn : n ∈ IN}, isto e, seja uma sequencia basica. Na segunda secao

definimos e estudamos as bases contrateis e as bases limitadamente completas. Na terceira

secao introduzimos o conceito de base incondicional e apresentamos condicoes necessarias

e suficientes para que uma sequencia basica seja incondicional. Apresentamos tambem

exemplos de espacos de Banach com base de Schauder incondicional e de um espaco de

Banach cuja base de Schauder nao e incondicional. Entre os resultados mais importantes do

Capıtulo 2 estao:

• Teorema de Mazur: Seja X um espaco de Banach com dimensao infinita. Entao existe

um subespaco fechado de dimensao infinita de X com uma base de Schauder.

• Teorema de James: Seja (en)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X.

Entao X e reflexivo se e somente se (en)∞n=1 e uma base contratil e limitadamente

completa.

Como corolario do Teorema de James mostramos que se X e um espaco de Banach tal

2

que X ′ tem um subespaco reflexivo de dimensao infinita, entao X tem um espaco quociente

de dimensao infinita com base de Schauder.

No Capıtulo 3, apresentaremos resultados que estabelecem condicoes sob as quais um

espaco de Banach X tem um quociente isomorfo ao espaco c0, e condicoes sob as quais

X tem um espaco quociente isomorfo a ℓ2. Estes resultados sao solucoes parciais para o

problema da existencia de quociente de dimensao infinita com base de Schauder. O ultimo

resultado que apresentamos e o Teorema de Josefson-Nissenzweig, que diz que se X e um

espaco de Banach de dimensao infinita entao existe uma sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ X ′ tal que

||ϕn|| = 1 para cada n ∈ IN e limn→∞

ϕn(x) = 0 para cada x ∈ X. Um dos resultados chave

para a demonstracao que apresentaremos para o Teorema de Josefson-Nissenzweig e o que

diz que se X e um espaco de Banach real tal que X ′ contem uma copia de ℓ1 mas nenhuma

sequencia pontualmente convergente a zero em X ′ e equivalente a base canonica de ℓ1, entao

X contem uma copia de ℓ1 (ver Teorema 3.2).

3

Capıtulo 1

Resultados Preliminares de Analise

Funcional e Espacos Metricos

O objetivo deste capıtulo e tornar nosso trabalho mais acessıvel , apresentando uma co-

letanea das definicoes e resultados da Analise Funcional e da teoria de Espacos Metricos

que serao usados nos Capıtulos 2 e 3. Daremos sempre referencia de onde os resultados nao

demonstrados podem ser encontrados.

Estaremos interessados em espacos vetoriais reais ou complexos, e representaremos por

IK o corpo dos reais ou dos complexos. Consideraremos sempre X e Y espacos vetoriais

sobre o mesmo corpo IK.

Quando X for um espaco normado, denotaremos por BX a bola fechada de centro na

origem e raio 1 e por SX a esfera de centro na origem e raio 1, isto e, BX = {x ∈ X; ||x|| ≤ 1}

e SX = {x ∈ X; ||x|| = 1}. Dados a ∈ X e r > 0, a bola fechada de centro a e raio r e a

bola aberta de centro a e raio r serao denotadas por Br(a) e Br(a), respectivamente. Assim

Br(a) = {x ∈ X; ||x − a|| ≤ r} e Br(a) = {x ∈ X; ||x − a|| < r}.

Dado um conjunto qualquer F denotaremos por |F | a sua cardinalidade.

Lema 1.1. Seja E um espaco vetorial, e sejam ϕ1, . . . , ϕn, ϕ funcionais lineares tais que

n⋂

i=1

ϕ−1i (0) ⊂ ϕ−1(0).

Entao ϕ e combinacao linear de ϕ1, . . . , ϕn.

Demonstracao. Seja T : E −→ IK definida por

T (x) = (ϕ1(x), . . . , ϕn(x))

.

Entao T e linear, e segue da hipotese que T−1(0) ⊂ ϕ−1(0). Se definimos ψ : T (E) −→ IK

por ψ(T (x)) = ϕ(x), entao ψ esta bem definida e e linear. Seja Ψ : IKn −→ IK uma

transformacao linear tal que Ψ|T (E) = ψ. Se (e1, . . . , en) e a base canonica de IKn entao

ϕ(x) = ψ(T (x)) = Ψ(T (x)) = Ψ(ϕ1(x), . . . , ϕn(x)) = Ψ(n∑

i=1

ϕi(x)ei) =n∑

i=1

ϕi(x)Ψ(ei)

.

Como consequencia deste lema temos a seguinte proposicao.

Proposicao 1.1. Sejam E um espaco vetorial e ϕ1 . . . ϕn funcionais lineares definidos em E

tais que {ϕ1 . . . ϕn} e um conjunto linearmente independente. Entao existem x1, . . . , xn ∈ E

linearmente independentes tais que E = span{x1, . . . , xn} ⊕n⋂

i=1

ϕi−1(0) e ϕj(xi) = δi,j para

cada i, j ∈ {1, . . . , n}.

Proposicao 1.2. Sejam M espaco metrico, X um subconjunto denso de M e N um espaco

metrico completo. Se f : X −→ N e uma aplicacao uniformemente contınua, entao existe

uma unica extensao uniformemente contınua F : M −→ N .

Demonstracao. Veja [7] Proposicao 10, p. 177.

5

Proposicao 1.3. (Desigualdade de Holder) Sejam p, q > 1 tais que 1p+1

q= 1. Se (x1, . . . , xn),

(y1, . . . , yn) ∈ IKn entao

n∑

i=1

|xiyi| ≤

(n∑

i=1

|xi|p

) 1

p(

n∑

i=1

|yi|q

) 1

q

.

Demonstracao. Veja [5], Teorema 1.5, p. 3.

Proposicao 1.4. (Desigualdade de Minkowski) Seja p ≥ 1. Se (x1, . . . , xn),

(y1, . . . , yn) ∈ IKn entao

(n∑

i=1

|xi + yi|p

) 1

p

≤

(n∑

i=1

|xi|p

) 1

p

+

(n∑

i=1

|yi|p

) 1

p

.


A seguir, definiremos alguns espacos de sequencias que sao exemplos classicos de espacos

normados e que aparecerao muitas vezes neste trabalho. Todos estes espacos sao completos,

isto e, sao espacos de Banach.

Dado 1 ≤ p < ∞ um numero real fixo, definimos ℓp como sendo o conjunto de todas

as sequencias (xn)∞n=1 tais que xn ∈ IK para todo n ∈ IN e∞∑

n=1

|xn|p < ∞. Tornamos ℓp

um espaco vetorial sobre IK com as seguintes operacoes: se x = (xn)∞n=1 e y = (yn)∞n=1

estao em ℓp e λ ∈ IK entao x + y = (xn + yn)∞n=1 e λx = (λxn)∞n=1. Definindo a norma

||x||p =

(∞∑

n=1

|xn|p

) 1

p

para todo x = (xn)∞n=1 ∈ ℓp, mostra-se que (ℓp, || · ||p) e um espaco

normado. Alem disso (ℓp, || · ||p) e um espaco completo. A partir de agora denotaremos por

ℓp o espaco de Banach (ℓp, || · ||p).

Definimos ℓ∞ como sendo o conjunto de todas as sequencias (xn)∞n=1 tais que

xn ∈ IK para todo n ∈ IN e supn|xn| < ∞. Tornamos ℓ∞ um espaco vetorial com x + y

e λx definidas como em ℓp. Definindo ||x||∞ = supn|xn| para todo (xn)∞n=1 ∈ ℓ∞ obtem-se

6

uma norma em ℓ∞. E facil ver que (ℓ∞, || · ||∞) e um espaco de Banach. Denotaremos este

espaco de Banach por ℓ∞.

Definimos c0 como sendo o conjunto de todas as sequencias (xn)∞n=1 tais que xn ∈ IK para

todo n ∈ IN e limn→∞

xn = 0. Observe que c0 & ℓ∞ e e claro que c0 e um subespaco fechado

de ℓ∞. Considerando em c0 a norma induzida pela norma de ℓ∞, segue que c0 = (c0, || · ||∞)

e um espaco de Banach. Denotaremos este espaco de Banach por c0.

Definimos o espaco vetorial Lp[0, 1] para p ∈ [1,∞) como o conjunto das funcoes

mensuraveis f : [0, 1] → IK tais que∫ 1

0|f(x)|p dx e finita munido das operacoes usuais

de adicao e produto por escalar. A funcao ||f ||p = (∫ 1

0|f(x)|p dx)

1

p para toda f ∈ Lp[0, 1]

define uma seminorma em Lp[0, 1]. Dadas f, g ∈ Lp[0, 1], dizemos que f e equivalente a g se

f(x) = g(x) quase sempre. Seja Lp[0, 1] o correspondente espaco quociente , isto e, o con-

junto das classes de equivalencia munido da norma quociente |||[f ]|||p = inf{||g|| : g ∈ [f ]}

para cada [f ] ∈ Lp[0, 1] onde [f ] = {g ∈ Lp[0, 1]; f e equivalente a g}. E facil verificar que

|||[f ]|||p = ||f ||p para cada [f ] ∈ Lp[0, 1] e que este espaco vetorial e um espaco normado

completo. (veja [5], Teorema 1.14, pagina 8). Denotaremos |||.|||p = ||.||p e (Lp[0, 1], ||.||p)

por Lp.

Definicao 1.1. Sejam X um espaco vetorial e∞∑

n=1

xn uma serie em X. Dizemos que a serie

∞∑

n=1

xn e incondicionalmente convergente se∞∑

n=1

xπ(n) converge para toda permutacao π de

IN .

Proposicao 1.5. Sejam∞∑

n=1

xn uma serie em um espaco de Banach X e x ∈ X. Sao

equivalentes:

(1) Para todo ǫ > 0, existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −∑

n∈ F ′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ para

todo F ′ ⊂ IN finito com F ′ ⊃ F .

(2) Se π e uma permutacao dos naturais entao∞∑

n=1

xπ(n) = x.

7

Demonstracao. (1) ⇒ (2): Temos por hipotese que para todo ǫ > 0 existe um conjunto

finito F ⊂ IN tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −∑

n∈F ′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ para todo F ′ ⊂ IN finito com F ′ ⊃ F . Como F

e um conjunto finito, existe n0 ∈ IN tal que o conjunto A = {π(1), . . . , π(n0)} contem F .

Assim

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −n∑

i=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ para todo n ≥ n0.

(2) ⇒ (1): Por absurdo suponha que exista ǫ > 0 tal que para cada F ⊂ IN finito existe

F ′ finito tal que F ⊂ F ′ ⊂ IN e

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −∑

n∈F ′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.

Se F0 = {1} entao existe F1 ⊃ {1, 2} tal que |F1| < ∞ e

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −∑

n∈F1

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.

Se M0 = F1 \ {1} temos que |M0| ≥ 1 e podemos escrever M0 = {m1, . . . , m|M0|} onde

2 = m1 < m2 < · · · < m|Mo|. Seja π : {1, 2, . . . , 1+ |M0|} −→ F0∪M0 definida por π(1) = 1 e

π(1+ p) = mp se p ∈ {1, . . . , |M0|}. Observemos que n0 = 1 < 2 ≤ 1+ |Mo| = n1 e que F1 =

{π(1), . . . , π(1 + |M0|) = m|M0|} de modo que temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −n1∑

n=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −∑

n∈F1

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.

Consideremos agora o conjunto {1, . . . , n1}. Pela hipotese de absurdo F2 ⊃ {1, . . . , n1 + 1}

tal que |F2| < ∞ e

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −∑

n∈F2

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ. E claro que F2 ⊃ F1.

Se M1 = F2 \F1 temos que |M1| ≥ 1 e podemos escrever M1 = {m|M0|+1, . . . ,m|M0|+|M1|}

onde m|M0|+1 < m|M0|+2 < m|M0|+|M1|. Observemos que 1 < n1 = |M0| + 1 < n1 + 1 ≤

|M0|+ |M1|+1 = n2. Definindo π(1) = 1 e π(1+p) = mp para cada p ∈ {1, . . . , |M0|, |M0|+

1, . . . , |M0| + |M1|} temos: π(1) = 1, π(n1) = π(1 + |M0|) = m|M0|, π(n2) = π(1 + |M0| +

|M1|) = m|M0|+|M1| e F2 = F1 ∪ M1 = {π(1), π(2) = m1, . . . , π(1 + |M0|) = m|M0| =

π(n1), π(1+ |M0|+1) = m|M0|+1, . . . , π(1+ |M0|+ |M1|) = m|M0|+|M1| = π(n2)} de modo que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −n2∑

n=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −∑

n∈F2

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ. E claro que F2 ⊃ F1. Ou seja, existe n2 > n1 > 1

tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −n2∑

n=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ,

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −n1∑

n=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ onde n1 = 1 + |M0|, n2 = 1 + |M0| + |M1|

e π e injetiva, e π({1, . . . , n1}) = F1 ⊃ {1, 2} e π({1, . . . , n2}) = F2 ⊃ {1, . . . ,m|M0|+1}.

8

Suponhamos que existam nk > nk−1 > · · · > n1 > 1, onde np = 1 + |M0| + · · · + |Mp−1|

para cada p ∈ {2, . . . , k}, tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −

np∑

n=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ para cada p ∈ {2, . . . , k}, π e injetiva

e π({1, . . . , np}) = Fp ⊃ {π(1), . . . , π(np−1) + 1} para cada p ∈ {2, . . . , k}. Pela hipotese de

absurdo existe Fk+1 ⊃ {π(1), . . . , π(nk−1) + 1} tal que |Fk+1| < ∞ e

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣x −

∑

n∈Fk+1

xn

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣≥ ǫ. E

claro que Fk+1 ⊃ Fk. Se Mk = Fk+1 \ Fk temos que |Mk| < ∞ e podemos escrever

Mk = {m1+|M0|+···+|Mk−1| + 1, . . . ,m1+|M0|+···+|Mk|}.

Definamos π : {1, . . . , m1+|M0|+···+|Mk|} −→ Fk∪Mk definida por π({1, . . . , m1+|M0|+···+|Mk−1|}) =

Fk dado pela π da hipotese de inducao e π(1 + p) = mp para cada p ∈ {|M0| + · · · +

|Mk−1|, . . . , |M0| + · · · + |Mk|} temos que π e injetiva e π({1, . . . , m1+|M0|+···+|Mk|}) = Fk+1.

Consideremos nk+1 = 1 + |M0| + · · · + |Mk|, temos que nk+1 > nk e

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −

nk+1∑

n=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣x −

∑

n∈Fk+1

xn

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣≥ ǫ. Por inducao existe uma permutacao dos naturais π tal que para cada

m ∈ IN existe n > m onde

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −n∑

n=1

xπ(n)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ. O que contraria a hipotese.

Definicao 1.2. Dizemos que uma serie∞∑

n=1

xn em um espaco de Banach X e uma serie

incondicionalmente de Cauchy se dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈F ′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ para qualquer conjunto finito F ′ ⊂ IN com F ′ ∩ F = ∅.

Proposicao 1.6. Seja∞∑

n=1

xn uma serie em um espaco de Banach X. Entao a serie∞∑

n=1

xn

e incondicionalmente de Cauchy se somente se e incondicionalmente convergente.

Demonstracao. (⇐) Pela Proposicao 1.5 existe x ∈ X para o qual dado ǫ > 0 tem-se

um conjunto finito F ⊂ IN tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈G

xn − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ2

para todo conjunto finito G ⊂ IN

que contem F . Sejam F ′ ⊂ IN finito tal que F ′ ∩ F = ∅ e considere o conjunto finito

9

G ⊂ IN tal que G = F ∪ F ′. Podemos ver que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈F ′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈G

xn − x + x −∑

n∈F

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈G

xn − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈F

xn − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ ǫ2

+ ǫ2

= ǫ. Logo a serie∞∑

n=1

xn e incondicionalmente de

Cauchy.

(⇒) Temos por hipotese que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F1 ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈F ′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ se F ′ ⊂ IN e um conjunto finito com F ′ ∩ F 1 = ∅.

Seja ǫ > 0 fixado arbitrariamente. Consideremos n1 = 1+max |F1|. Dados m ≥ n ≥ n1 e

K ′ = {n, n + 1, . . . , m}, temos que K ′ ∩F1 = ∅ e assim

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈K′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ. Podemos

ver desta maneira que a sequencia das somas parciais da serie∞∑

n=1

xn e uma sequencia de

Cauchy em X. Portanto existem x ∈ X e n0 ∈ IN tais que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

xi − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ para todo

m ≥ n0.

Podemos supor que n0 > n1. Tomando F = {1, . . . , n0} temos que para todo F ′ ⊂ IN tal

que F ′ ⊃ F basta considerar G = F ′\F para obter G∩F = ∅ e consequentemente

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈F ′

xn − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈G

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n0∑

i=1

xi − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ 2ǫ. Daı usando a Proposicao 1.5 concluımos a convergencia in-

condicional da serie para x.

Proposicao 1.7. Seja∞∑

i=1

xi uma serie em um espaco de Banach X. Sao equivalentes:

(1) A serie∞∑

i=1

xi e incondicionalmente convergente.

(2) A serie∞∑

i=1

xnie convergente para toda sequencia crescente (ni)

∞i=1 ⊂ IN

10

(3) A serie∞∑

i=1

ǫixi e convergente para toda escolha de ǫi ∈ {1,−1}.

Demonstracao. (1) ⇒ (2): Como a serie∞∑

i=1

xi e incondicionalmente convergente, temos pela

Proposicao 1.5 que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN para o qual

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

n∈F ′

xn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ

sempre que o conjunto F ′ ⊂ IN for finito e F ′ ∩ F = ∅.

Sejam (ni)∞i=1 ⊂ IN uma sequencia crescente e k0 ∈ IN tal que nk0

> max F . Sejam

k, l ∈ IN tais que k ≥ l > k0. Considerando F ′ = {nl, . . . , nk} temos que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

l∑

i=k

xni

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈F ′

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ. A partir dai podemos concluir que a serie∞∑

i=1

xniconverge.

(2) ⇒ (1): Pela Proposicao 1.6, basta mostrar que a serie∞∑

i=1

xi e incondicionalmente de

Cauchy. Suponhamos por absurdo que a serie∞∑

i=1

xi nao seja incondicionalmente de Cauchy.

Entao existe ǫ0 > 0 tal que para cada conjunto finito F ⊂ IN existe um conjunto F ′ ⊂ IN

tal que F ′ ∩ F = ∅ e

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈F ′

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ0.

Tomando F1 = {1} vai existir um conjunto finito F ′1 ⊂ IN tal que F ′

1 ∩ F1 = ∅ e∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∑

i∈F ′

1

xi

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0. Se F2 = {1, 2, . . . , max F ′

1} entao existe um conjunto finito F ′2 ⊂ IN tal

que F ′2 ∩ F2 = ∅ e

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∑

i∈F ′

2

xi

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0. Podemos ver que max F ′

1 < min F ′2. Suponha que

existam conjuntos finitos F ′j ⊂ IN tais que max F ′

j < min F ′j+1 e

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∑

i∈F ′

j

xi

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0 para

j ∈ {1, . . . , n− 1}. Se Fn+1 = {1, 2, . . . , max F ′n} entao existe um conjunto finito F ′

n+1 ⊂ IN

11

tal que F ′n+1∩Fn+1 = ∅, max F ′

n < min F ′n+1 e

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∑

i∈F ′

n+1

xi

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0. Segue por inducao que existe

uma sequencia (F ′i )

∞i=1 ⊂ IN de conjuntos finitos tais que

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∑

i∈F ′

i

xi

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣≥ ǫ0 e max F ′

i < min F ′i+1

para i ∈ IN .

Seja pj =

j∑

k=1

|Fk|. Por construcao podemos escrever F ′1 = {n1, . . . , np1

} onde n1 <

n2 < · · · < np1e, para todo j > 1, podemos escrever F ′

j = {npj−1+ 1, . . . , npj

} onde

npj−1+1 < npj−1

+2 < · · · < npj. Alem disso, por construcao os conjuntos F ′

j sao dois a dois

disjuntos e npj−1< npj−1

+ 1 para qualquer j = 2, 3 · · · de modo que existe uma enumeracao

crescente (nj)∞j=1dos elementos de

∞⋃

j=1

F ′j na qual aparecem primeiro todos os elementos de

F1 em ordem crescente seguidos por todos elementos de F2 em ordem crescente e assim por

diante. Por hipotese existe k0 ∈ IN tal que se l ≥ j > k0 temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

l∑

i=j

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ0. Considerando

o conjunto finito F ′k ⊂ IN tal que min F ′

k > k0 obtemos

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

∑

i∈F ′

k

xi

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣< ǫ0, o que contradiz a

hipotese de absurdo.

(1) ⇒ (3): Por hipotese temos que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈F

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ se F ′ ∩ F = ∅.

Seja n0 ∈ IN tal que n0 > max F . Consideremos uma sequencia (ǫi)∞i=1 onde ǫi ∈ {1,−1}.

Dados m ≥ n ≥ n0, considere G = {i : n ≤ i ≤ m; ǫi = 1} e

K = {i : n ≤ i ≤ m ǫi = −1}. Podemos ver que, G ∩ F = ∅ e K ∩ F = ∅, e

consequentemente

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

ǫixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈G

xi +∑

i∈K

−xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈G

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈K

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ + ǫ = 2ǫ.

Donde concluımos a convergencia da serie∞∑

i=1

ǫixi.

(3) ⇒ (1): Pela Proposicao 1.6, negar (1) e negar que a serie∞∑

i=1

xi e incondicionalmente

12

de Cauchy. Suponhamos que a serie∞∑

i=1

xi nao seja incondicionalmente de Cauchy. Entao

ja vimos que existem um ǫ0 > 0 e uma sequencia (Fk)∞k=1 ⊂ IN de conjuntos finitos tais que

max Fk < min Fk+1 e

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈Fk

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ0. Definimos uma sequencia de escalares (ǫi)∞i=1 tal que

ǫi = 1 para i ∈∞⋃

k=1

Fk e ǫi = −1 caso contrario. Considerando a sequencia (nk)∞k=1 onde

nk = min Fk para cada k ∈ IN temos nk = min Fk ≤ max Fk ≤ min Fk+1 − 1 = nk+1 − 1 <

min Fk+1 = nk+1, isto e, nk ≤ min Fk+1−1 = nk+1−1 < nk+1, Fk ⊂ {nk, nk +1, . . . , nk+1−1}

e

(⋃

j 6=k

Fj

)∩ {nk, nk + 1, . . . , nk+1 − 1} = ∅ entao

nk+1−1∑

i=nk

xi +

nk+1−1∑

i=nk

ǫixi = 2∑

i∈Fk

xi. Assim

para cada k ∈ IN temos que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

nk+1−1∑

i=nk

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

nk+1−1∑

i=nk

ǫixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

nk+1−1∑

i=nk

xi +

nk+1−1∑

i=nk

ǫixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈Fk

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ 2ǫ.

Como por (3) as series∞∑

i=1

xi e∞∑

i=1

ǫixi convergem, para k suficientemente grande devemos

ter 2ǫ ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

nk+1−1∑

i=nk

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

nk+1−1∑

i=nk

ǫixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ2

+ ǫ2

= ǫ o que e um absurdo. Consequentemente, a

serie∞∑

i=1

xi e incondicionalmente convergente.

Sejam X e Y espacos normados. Dizemos que um operador linear T : X −→ Y e limitado

se sup||x||≤1

||T (x)|| < ∞. Denotamos por L(X,Y ) o conjunto de todos os operadores lineares

T : X −→ Y que sao limitados

Observacao 1.1. Definindo ||T || = inf{c > 0; ||Tu|| ≤ c||u|| para todo u ∈ X} para todo

operador linear T : X −→ Y , temos:

1) ||T || = supu6=0

||Tu||||u||

= sup||u||=1

||Tu|| = sup||u||≤1

||Tu||.

2) T e contınuo se, e somente se ||T || < ∞, isto e se e somente se T ∈ L(X, Y ).

3) || · || define uma norma em L(X, Y ).

13

Proposicao 1.8. Se X e Y sao espacos normados, entao L(X,Y ) e um espaco normado

com as operacoes usuais de funcoes e com a norma acima.

Demonstracao. Veja [7] p

A partir de agora L(X,Y ) denotara este espaco normado.

Definicao 1.3. Sejam X e Y espacos normados. Dizemos que uma aplicacao T : X −→ Y

e um isomorfismo entre X e Y se for uma aplicacao linear bijetiva contınua e com inversa

contınua.

Definicao 1.4. Sejam X e Y espacos normados. Dizemos que X e Y sao isomorfos se

existe um isomorfismo T entre X e Y . Se o isomorfismo T for uma isometria (isto e,

||Tu|| = ||u|| para todo u ∈ X) entao dizemos que X e Y sao isometricamente isomorfos.

Teorema 1.1. Suponhamos que X e um espaco normado de dimensao finita n e seja

{x1, . . . , xn} uma base de X. Entao a aplicacao que levan∑

i=1

λixi ∈ X em (λ1, . . . , λn) ∈ IKn

estabelece um isomorfismo entre X e IKn.

Demonstracao. Veja [2], Teorema 1, p. 1.

A partir do teorema anterior temos que todo espaco normado de dimensao finita e fechado.

Definicao 1.5. Seja X um espaco normado. O dual topologico de X, denotado por X ′, e o

espaco normado L(X, IK).

Observacao 1.2. Se E e um espaco normado, {ϕ1, . . . , ϕn} ⊂ E ′, {x1, . . . , xn} sao os pon-

tos de E dados pela Proposicao 1.1 e δxi(ϕ) = δij para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, entao e facil

verificar que {δx1, . . . , δxn

} e um subconjunto linearmente independente de (span{ϕ1, . . . , ϕn})′

e, consequentemente, gera (span{ϕ1, . . . , ϕn})′. Alem disso, pelo Teorema 1.1 a funcao que a

cadan∑

i=1

λixi associan∑

i=1

λiδxie um isomorfismo entre span{x1, . . . , xn} e (span{ϕ1, . . . , ϕn})

′

14

Teorema 1.2. Sejam X um espaco normado e Y um espaco de Banach. Entao L(X, Y ) e

um espaco de Banach. Em particular, X ′ e um espaco de Banach.

Demonstracao. Veja [5], Proposicao 1.19, p. 11.

Exemplo 1.1. Dado ξ = (ξn)∞n=1 ∈ ℓ1, seja Tξ : c0 −→ IK definido por Tξ(x) =∑∞

n=1 ξnxn

para todo x = (xn)∞n=1 ∈ c0. A aplicacao T : ℓ1 −→ (c0)′ definida por T (ξ) = Tξ estabelece

um isomorfismo isometrico entre (c0)′ e ℓ1, isto e, (c0)

′ = ℓ1 a menos de uma isometria.

Exemplo 1.2. Seja 1 ≤ p ≤ ∞ e tomamos p′ tal que 1p

+ 1p′

= 1 se p > 1 (ou p′ = ∞ se

p = 1). Dado ξ = (ξn)∞n=1 ∈ ℓp′ , seja Tξ : ℓp −→ IK definido por Tξ(λ) =∑∞

n=1 ξnλn para

todo λ = (λn)∞n=1 ∈ ℓp. A aplicacao T : ℓp′ −→ (ℓp)′ definida por T (ξ) = Tξ estabelece um

isomorfismo isometrico entre (ℓp)′ e ℓp′ , isto e, (ℓp)

′ = ℓp′ a menos de uma isometria.

Exemplo 1.3. Seja ℓmp = {(λn)∞n=1 ∈ ℓp : λn = 0, n > m}, para 1 ≤ p ≤ ∞. E claro que

ℓmp′ ⊂ ℓp′ e a aplicacao T do Exemplo 1.2 restrita a ℓm

p′ estabelece um isomorfismo isometrico

entre (ℓmp )′ e ℓm

p′ .

Proposicao 1.9. (Extensao de Operadores Lineares Limitados) Sejam X um espaco nor-

mado, G um subespaco de X e Y um espaco de Banach. Se T : G −→ Y e um operador

linear limitado, entao existe extensao T : G −→ Y linear e limitada tal que T x = Tx para

todo x ∈ G e ||T || = ||T ||.

Demonstracao. Seja x ∈ G. Logo, existe uma sequencia (xn) em G tal que limn→∞

xn = x.

Como T e um operador linear limitado, temos que a sequencia (Txn) e de Cauchy no espaco

de Banach Y . Portanto, existe y ∈ Y tal que limn→∞

Txn = y. Como isto vale para todo x ∈ G,

podemos definir T : G −→ Y como sendo T x = y, onde y = limn→∞

Txn para alguma sequencia

(xn) em G tal que limn→∞

xn = x. Como T e uniformemente contınua, segue que T esta bem

definida. E facil ver que T e um operador linear limitado tal que T x = Tx para todo x ∈ G

e, alem disso, ||T || = ||T ||.

15

Teorema 1.3. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaco normado e G ⊂ X um

subespaco. Se f : G −→ IK e linear e contınua, entao existe f : X −→ IK, linear e contınua

tal que f(x) = f(x) para todo x ∈ G e ||f || = ||f ||.


Como consequencias imediatas do Teorema de Hahn-Banach temos:

Corolario 1.1. Sejam X um espaco normado e x ∈ X, x 6= 0. Entao existe f ∈ X ′ tal que

||f || = 1 e f(x) = ||x||.

Corolario 1.2. Seja X um espaco normado. Se f(x) = 0 para toda f ∈ X ′, entao x = 0.

Corolario 1.3. Seja X um espaco normado. Para todo x ∈ X tem-se

||x|| = supf∈BX′

|f(x)|

Lembremos que um subconjunto A de um espaco vetorial e convexo se, dados quaisquer

x, y ∈ A, o segmento de reta que liga estes dois pontos esta contido em A, isto e, tx+(1−t)y ∈

A para todo t ∈ [0, 1].

Teorema 1.4. (Forma Geometrica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaco

normado sobre IR, A e B subconjuntos convexos nao vazios de X tais que A ∩ B = ∅.

Suponhamos que A e aberto. Entao existem α ∈ IR e f ∈ X ′ tais que f(x) < α ≤ f(y) para

todo x ∈ A e y ∈ B.

Demonstracao. Veja [5], Corolario 2.13, p. 43.

Teorema 1.5. (Teorema de Banach-Steinhaus) Sejam X um espaco de Banach e Y um

espaco normado. Seja (Tα)α∈I ⊂ L(X, Y ) tal que supα∈I

||Tαx|| e finito para cada x ∈ X. Entao

tem-se que supα∈I

||Tα|| e finito.

16


Como consequencia do Teorema de Banach-Steinhaus temos:

Corolario 1.4. Seja B um subconjunto de um espaco normado X. Entao B e um sub-

conjunto limitado de X se, e somente se f(B) e um subconjunto limitado de IK para todo

f ∈ X ′.

Demonstracao. Veja [5], Corolario 3.15, p. 69.

Teorema 1.6. (Teorema da Aplicacao Aberta) Sejam X e Y espacos de Banach. Se

T : X −→ Y e uma aplicacao linear contınua sobrejetiva entao T e uma aplicacao aberta.


Corolario 1.5. Sejam X e Y espacos normados e T : X −→ Y uma aplicacao linear

contınua. Definindo T : X/ker T −→ Y por T (x) = T (x) para cada x ∈ X/ker T temos que

T e uma aplicacao linear contınua e bijetora. Entao X/ ker T e isomorfo a Y

Definicao 1.6. Sejam X e Y espacos normados e T : X −→ Y uma aplicacao. O grafico

de T e o conjunto GT = {(x, y) ∈ X × Y ; y = Tx}.

Teorema 1.7. (Teorema do Grafico Fechado) Sejam X e Y espacos de Banach e seja

T : X −→ Y uma aplicacao linear. Entao T e contınuo se, e somente se o grafico de T e

fechado em X × Y .


Proposicao 1.10. Sejam X e Y espacos de Banach e T ∈ L(X, Y ). Se existe δ > 0 tal que

para todo x ∈ X

||T (x)|| ≥ δ ||x|| (∗)

17

entao T (X) e fechado em Y . Alem disso T e um isomorfismo entre X e T (X) ⊂ Y .

Demonstracao. Seja (T (xn))∞n=1 uma sequencia em T (X) que converge para y. Por sua con-

vergencia (T (xn))∞n=1 e uma sequencia de Cauchy.

Dado n,m ∈ IN temos ||T (xn − xm)|| ≥ δ ||xn − xm||. Donde concluimos que (xn)∞n=1 e

uma sequencia de Cauchy em X. Como X e um espaco de Banach existe x ∈ X tal que

limn→∞

xn = x. Pela continuidade de T temos que limn→∞

T (xn) = T (x) e consequentemente

T (x) = y. Donde concluimos que T (X) e um espaco fechado.

Diretamente de (∗) vemos que T e uma aplicacao injetiva com inversa contınua, con-

cluindo assim a demonstracao.

Definicao 1.7. Sejam X e Y espacos normados e seja T ∈ L(X, Y ). Definimos a transposta

de T , e denotamos por T ′, como sendo a aplicacao T ′ : Y ′ −→ X ′ definida por T ′(ϕ) = ϕ◦T

para todo ϕ ∈ Y ′.

Observacao 1.3. Observe que como T : X −→ Y e ϕ : Y −→ IK sao lineares e contınuas,

temos que ϕ◦T : X −→ IK e linear e contınua. Daı T ′ esta bem definida. A linearidade de T ′

e clara. Alem disso, pelo Teorema de Hahn-Banach (corolario 1.3) temos que sup||ϕ||≤1

|ϕ(Tx)| =

||Tx||, donde segue que ||T ′|| = sup||x||≤1

||Tx|| = ||T ||. Concluımos daı que T ′ ∈ L(Y ′, X ′) e

||T ′|| = ||T ||.

Teorema 1.8. Sejam X um espaco de Banach, Y um espaco normado e T : X −→ Y uma

aplicacao linear com grafico fechado. Se T ′ tem inversa contınua entao T (X) = Y .

Demonstracao. Veja [17] Teorema 9.4, p. 235.

18

Definicao 1.8. Seja X um espaco vetorial. Uma aplicacao linear P : X −→ X e chamada

uma projecao de X sobre o subespaco Y de X se P (X) = Y e P (y) = y para cada y ∈ P (X)

Observemos que dada uma projecao P : X −→ X e facil verificar que X = ker P ⊕P (X).

Definicao 1.9. Um subespaco Y de um espaco de Banach X e dito complementado em X

se existe uma projecao limitada de X sobre Y . Seja Y1 um subespaco fechado de um espaco

de Banach X . Dizemos que Y2 e o complemento topologico de Y1 em X se X = Y1 ⊕ Y2 e

Y2 e um subespaco fechado de X.

Proposicao 1.11. Sejam X e Y espacos de Banach e T um isomorfismo de X sobre Y . Se

X1 e complementado em X com complemento topologico X2, entao T (X1) e complementado

em Y com complemento topologico T (Y2).

Demonstracao. Veja [5], Fato 5.4, p. 138.

Lema 1.2. (Lema de Riesz) Seja X um espaco normado. Se Y e um subespaco fechado

proprio de X, entao para todo ǫ > 0 existe x ∈ SX tal que dist(x, Y ) ≥ 1 − ǫ.

Demonstracao. Veja [5], Lema 1.23, p. 13

O teorema que enunciaremos a seguir e uma consequencia do Lema de Riesz.

Teorema 1.9. (Teorema de Riesz) Seja X um espaco normado. Entao BX e compacta se,

e somente se, a dimensao de X e finita.


Seja (X, Γ) um espaco de topologico. Diremos que uma famılia B ⊂ Γ e uma base de Γ

se dado U ∈ Γ existe C ⊂ B tal que U =⋃{V : V ∈ C}

19

Um conjunto S e uma sub-base para uma topologia Γ em X se S e uma colecao de

subconjuntos de Γ tal que as intersecoes finitas de elementos de S formam uma base para Γ.

Dada qualquer colecao S de subconjuntos nao vazios de X tal que a uniao dos elementos de

S da X, existe uma topologia em X que tem S como sub-base. A seguir, definiremos uma

topologia em espacos normados que, no caso dos espacos de dimensao infinita, e estritamente

menos fina do que a topologia da norma e, no caso de espacos de dimensao finita, coincide

com a topologia da norma. Esta topologia desempenha um papel muito importante na

Analise Funcional.

Definicao 1.10. Seja X um espaco normado. A topologia fraca de X, denotada por ω, e a

topologia que tem como sub-base a colecao S = {ϕ−1(A); ϕ ∈ X∗, A ⊂ IK aberto }.

Dizemos que a topologia da norma e a topologia forte de X e indicamos por β. A partir

da definicao, e facil ver que ω ⊂ β. Pela definicao de topologia fraca, temos que a colecao

{Vϕ,ǫ(x0); x0 ∈ X; ϕ ∈ X ′; ǫ > 0}, onde Vϕ,ǫ(x0) = {x ∈ X; |ϕ(x − x0)| < ǫ} para x0 ∈ X,

ϕ ∈ X ′ e ǫ > 0, forma uma sub-base para a topologia fraca de X. E facil verificar que uma

sequencia (xn)∞n=1 converge para x ∈ X na topologia fraca se, e somente se, ϕ(xn) → ϕ(x)

para toda ϕ ∈ X ′. Neste caso, dizemos que (xn)∞n=1 converge fracamente para x e indicamos

este fato por xnω→ x. Denotaremos por (X,ω) o espaco X munido da topologia fraca ω.

Dizemos que (xn)∞n=1 e uma sequencia fraca de Cauchy se (f(xn))∞n=1e uma sequencia de

Cauchy para cada f ∈ X ′.

Seja K um subconjunto de um espaco normado X. Neste trabalho K representara o

fecho de K na topologia da norma e Kω

representara o fecho de K na topologia fraca. Em

geral, K $ Kω. O seguinte resultado e uma consequencia do Teorema de Hahn-Banach:

Teorema 1.10. Sejam X um espaco normado e K um subconjunto convexo de X. Entao

Kω

= K.

Demonstracao. Veja [1] , Teorema III.7, p. 38.

20

Teorema 1.11. Sejam X e Y espacos de Banach. Entao T ∈ L(X, Y ) se, e somente se

T ∈ L((X,ω), (Y, ω)).

Demonstracao. Veja [1], Teorema III.9, p. 39.

Sejam X um espaco normado, X ′ o dual de X com a norma usual e representaremos por

X ′′ o dual topologico de X ′. Definimos J : X −→ X ′′ por Jx = δx para todo x ∈ X, onde

δx : X ′ −→ IK e definida por δx(f) = f(x) para toda f ∈ X ′. J e chamada de aplicacao

canonica X em X ′′. E facil ver que J esta bem definida, e linear e e uma isometria entre X

e J(X). Portanto X e J(X) ⊂ X ′′ sao isometricamente isomorfos.

Definicao 1.11. Dizemos que um espaco de Banach X e reflexivo se J for sobrejetora.

Neste caso, X e X ′′ sao isometricamente isomorfos.

Teorema 1.12. Seja X um espaco de Banach. Entao X e reflexivo se, e somente se BX e

compacta na topologia fraca de X.


Proposicao 1.12. Seja X um espaco de Banach reflexivo. Se M e um subespaco vetorial

fechado de X entao M e um espaco de Banach reflexivo.

Demonstracao. Veja [1], Proposicao III.17, p. 45.

Seja X ′ o dual topologico de um espaco normado X. Podemos considerar em X ′, alem das

topologias forte e fraca, uma outra topologia importante, a chamada topologia fraca-estrela,

que definiremos a seguir.

Definicao 1.12. Seja X um espaco normado. A topologia fraca-estrela de X ′, denotada

por ω∗, e a topologia que tem como sub-base a colecao S = {ϕ−1(A); ϕ ∈ J(X) ⊂ X ′′, A ⊂

IK aberto } = {δ−1x (A); x ∈ X,A ⊂ IK aberto }.

21

E claro que a topologia fraca-estrela de X ′ e menos fina do que a topologia fraca de

X ′. Da definicao temos que a colecao S = {Wx,ǫ(ϕ0); x ∈ X, ϕ0 ∈ X ′, ǫ > 0}, onde

Wx,ǫ(ϕ0) = {ψ ∈ X ′; |(ψ − ϕ0)(x)| < ǫ} para x ∈ X, ϕ0 ∈ X ′ e ǫ > 0 e uma sub-base para

a topologia fraca-estrela. Alem disso, uma sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ X ′ converge para ϕ ∈ X ′

na topologia fraca-estrela se, e somente se, ϕn(x) → ϕ(x) para todo x ∈ X. Neste caso,

dizemos que (ϕn)∞n=1 converge fraca estrela para ϕ e indicamos este fato por ϕnω∗

→ ϕ.

Pelo Teorema de Riesz, a bola unitaria de um espaco de Banach X ′ e compacta na

topologia da norma, se e somente se, a dimensao de X ′ e finita. O teorema que enunciaremos

a seguir mostra que, quando considerarmos em X ′ a topologia fraca-estrela, a situacao muda

completamente.

Teorema 1.13. (Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki) Seja X um espaco de Banach.

Entao o conjunto BX′ e compacto na topologia fraca-estrela de X ′.


Teorema 1.14. Seja X um espaco de Banach. Entao (BX′ , ω∗) e metrizavel se e somente

se X e separavel.


Teorema 1.15. (Rosenthal) Se E um espaco de Banach que nao tem um subespaco isomorfo

a l1 entao toda sequencia limitada em E possui uma subsequencia fracamente de Cauchy.

Demonstracao. Veja [2], p. 201

Teorema 1.16. (Pelczynski) Seja X um espaco de Banach separavel que contem um

subespaco isomorfo a l1. Entao X ′ contem um subespaco isomorfo a L1[0, 1].


22

Teorema 1.17. Seja X um espaco de Banach. Se X tem um subespaco isomorfo a ℓ1 entao

X tem um espaco quociente isomorfo a ℓ2.


23

Capıtulo 2

Bases de Schauder

Neste capıtulo definimos base de Schauder de um espaco de Banach, damos exemplos e apre-

sentamos resultados estabelecendo condicoes necessarias e suficientes para que uma sequencia

(xn)∞n=1 seja base de Schauder para o espaco span{xn : n ∈ IN}, isto e, seja uma sequencia

basica. Definimos e estudamos tambem as bases contrateis, limitadamente completas e in-

condicionais.

2.1 Nocoes preliminares sobre bases de Schauder

Definicao 2.1. Uma sequencia (xn)∞n=1 em um espaco normado X e dita uma base de

Schauder de X, se para todo x ∈ X existe uma unica sequencia (αn)∞n=1 de escalares tal

que x =∞∑

n=1

αnxn (onde a serie converge em norma).

Exemplo 2.1. Consideremos os espacos de sequencia c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞). Seja (en)∞n=1

a sequencia contida em c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞), tal que para cada n ∈ IN en = (δnk)∞k=1 onde

δnn = 1 e δnk = 0 se n 6= k. E facil verificar que a sequencia (en)∞n=1 e uma base de Schauder

para os espacos c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞). Por outro lado, (en)∞n=1 nao e base de Schauder

24

para ℓ∞ pois, por exemplo, nao existe (λn)∞n=1 ⊂ IK tal que (1, 1, 1, . . .) =∞∑

n=1

λnen em ℓ∞.

Definicao 2.2. Dizemos que um conjunto A e linearmente independente se todo subconjunto

finito de A for linearmente independente.

Observacao 2.1. Toda base de Schauder de um espaco normado X e linearmente inde-

pendente. Com efeito, suponha por absurdo que exista uma base de Schauder (xn)∞n=1 que

nao seja linearmente independente, e seja B = {xi1 , . . . , xin} um subconjunto finito de

(xn)∞n=1 que nao e linearmente independente. Entao existe um ij ∈ {i1, . . . , in} e

β1, . . . , βj−1, βj+1, . . . , βn escalares tais que xnij=

j−1∑

k=1

βkxik +n∑

k=j+1

βkxik . Por outro lado,

para cada i ∈ IN temos que xi =∞∑

n=1

αnxn onde αn = δin para cada n ∈ IN . Isto contraria

o fato de existir uma unica sequencia de escalares (αn)∞n=1 tal que xij =∞∑

n=1

αnxn. Donde

concluımosque toda base de Schauder de um espaco normado e linearmente independente.

Definicao 2.3. Dizemos que uma sequencia de projecoes (Pn)∞n=1 esta associada com uma

base de Schauder (xn)∞n=1 de um espaco normado X ,se para todo n ∈ IN , Pn : X −→ X

e dada por Pn(x) =n∑

i=1

αixi para todo x =∞∑

i=1

αixi ∈ X. Cada Pn e dita uma projecao

associada a (xn)∞n=1.

Lema 2.1. Sejam (xn)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco normado X e (Pn)∞n=1 a

sequencia de projecoes associada a (xn)∞n=1. Entao temos:

(1) dim Pn(X) = n para todo n ∈ IN .

(2) PnPm = PmPn = Pmin(n,m) para todo n,m ∈ IN .

(3) limn→∞

Pn(x) = x.

Demonstracao. (1): Como para cada x ∈ Pn(X) temos que x =n∑

i=1

αixi com α1, . . . , αn ∈ IK

25

e (xn)∞n=1 e um conjunto linearmente independente, temos que o conjunto {x1, . . . , xn} e uma

base para Pn(X) e assim dim Pn(X) = n.

(2): Suponhamos que m ≤ n. Se x ∈ X entao existe uma sequencia de escalares

(an)∞n=1 tal que x =∞∑

i=1

aixi. Pela definicao de Pn e Pm temos PnPm(x) = PnPm(∞∑

i=1

aixi) =

Pn(m∑

i=1

aixi) =m∑

i=1

aixi e PmPn(x) = PmPn(∞∑

i=1

aixi) = Pm(n∑

i=1

aixi) =m∑

i=1

aixi. Assim

PnPm(x) = PmPn(x) = Pmin(n,m)(x) para cada x pertencente a X.

(3): Se x ∈ X entao existe uma sequencia de escalares (an)∞n=1 tal que x = limn→∞

n∑

i=1

aixi.

Pela definicao de Pn temos que Pn(x) =n∑

i=1

aixi para cada n ∈ IN . Desta maneira vemos

que x = limn→∞

Pn(x).

Proposicao 2.1. Seja (Pn)∞n=1 uma sequencia de projecoes limitadas definidas em um espaco

normado X. Se as projecoes satisfazem as condicoes (1), (2) e (3) do Lema 2.1 entao sao

projecoes associadas com uma base de Schauder de X.

Demonstracao. Pela condicao (1), do Lema 2.1, temos que dimP1(X) = 1. Assim existe

e1 ∈ X, e1 6= 0 tal que P1(X) = span{e1}.

Afirmamos que ker P2 ⊂ ker P1 e P1(X) ⊂ P2(X). Com efeito, seja y ∈ ker P2. Como

P1P2 = P1 temos que P1(y) = P1P2(y) = P1(0) = 0. Donde concluımosque y ∈ ker P1. Alem

disso, dado y ∈ P1(X) existe um x ∈ X tal que y = P1(x) ∈ X e, como por hipotese P1P2 =

P1 temos que y = P1(x) = P2(P1(y)) donde concluımosque y ∈ P2(X) e consequentemente

P1(X) ⊂ P2(X). E claro que P1(X) 6= P2(X).

Vamos mostrar agora que kerP1 ∩ P2(X) 6= {0}. Com efeito, como P1(X) & P2(X)

existe u ∈ P2(X) \ P1(X) tal que u 6= 0. Pela observacao feita, apos a Definicao 1.8,

podemos escrever X = kerP1 ⊕ P1(X). Desta maneira existem u1 ∈ P1(X) e z ∈ ker P1 tais

26

que u = z + u1. Como u1 ∈ P2(X) e u ∈ P2(X) temos que z ∈ P2(X). Alem disso, se z = 0

entao u = u1 ∈ P1(X), o que e um absurdo. Assim temos que z 6= 0.

Obtemos assim que existe e2 ∈ ker P1 ∩ P2(X) e e2 6= 0 e claramente {e1, e2} e uma base

para P2(X).

Suponhamos, que {e1, . . . , ej} e uma base para Pj(X) tal que, para cada j ∈ {1, · · · , n},

ej ∈ ker Pj−1 ∩ Pj(X) e ej 6= 0.

Analogamente como foi feito para P1 e P2 obtemos que ker Pn+1 ⊂ ker Pn, Pn(X) ⊂

Pn+1(X) e ker Pn ∩ Pn+1(X) 6= {0}.

Seja en+1 ∈ Pn+1(X) \ ker Pn tal que en+1 6= 0. Seja (λi)n+1i=1 ⊂ IK tal que 0 =

n+1∑

i=1

λiei =

n∑

i=1

λiei + λn+1en+1. Temos que 0 = Pn(0) = Pn(n+1∑

i=1

λiei) = Pn(n∑

i=1

λiei) + λn+1Pn(en+1) =

n∑

i=1

λiPn(ei) =n∑

i=1

λiei. Donde concluımos que λ1 =, . . . , = λn = 0. Consequentemente,

0 =n+1∑

i=1

λiei = λn+1en+1 e assim λn+1 = 0. Desta maneira {e1, · · · , en+1} e um conjunto

linearmente independente.

Como {e1, · · · , en+1} ⊂ Pn+1(X) e dim Pn+1(X) = n+1 temos que span{e1, · · · , en+1} =

Pn+1(X)

Seja x ∈ X. E claro que existe um escalar α1 tal que P1(x) = α1e1. Da mesma maneira

existem escalares α′1 e α2 tais que P2(x) = α′

1e1 + α2e2. Como P1P2 = P1 e, por construcao,

e2 ∈ ker P1, temos que α1e1 = P1(x) = P1P2(x) = α′1P1(e1) + α2P1(e2) = α′

1e1, donde con-

cluımos que α′1 = α1 e P2(x) = α1e1 +α2e2. Seja n ∈ IN . Suponhamos que existam escalares

α1, . . . , αn tais que Pn(x) =n∑

k=1

αkek. Como o conjunto {e1, . . . , en+1} gera Pn+1(X) existem

escalares α′1, . . . , α

′n, αn+1 tais que Pn+1(x) =

n∑

k=1

α′kek + αn+1en+1. Como PnPn+1 = Pn e

27

en+1 ∈ ker Pn temos quen∑

k=1

αkek = Pn(x) = PnPn+1(x) = Pn(n∑

k=1

α′kek) + αn+1Pn(en+1) =

n∑

k=1

α′kek. Usando o fato do conjunto {e1, . . . , en} ser linearmente independente temos que

α′i = αi para i ∈ {1, . . . , n}, donde concuimos que Pn+1(x) =

n+1∑

k=1

αkek. Segue por inducao

que existe uma sequencia de escalares (αn)∞n+1 tal que Pn(x) =n∑

k=1

αkek para cada n ∈ IN .

Alem disso, temos tambem por hipotese que limn→+∞

Pn(x) = x e consequentemente, x =∞∑

i=1

αiei. Suponha que exista uma outra sequencia de escalares (βn)∞n=1 s que x =∞∑

i=1

βiei.

Como para cada n ∈ IN Pn e contınua obtemos que Pn(x) =n∑

i=1

βiei, daı temos que βiei =

Pi(x) − Pi−1(x) = αiei. concluımosassim, que a sequencia (en)∞n=1 e uma base de Schauder.

Definicao 2.4. Seja (Pn)∞n=1 uma sequencia de projecoes. Dizemos que (Pn)∞n=1 e uniforme-

mente limitada se supn∈IN ||Pn|| < +∞.

Proposicao 2.2. Seja (Pn)∞n=1 uma sequencia de projecoes associada com a base de Schauder

(en)∞n=1 de um espaco normado X. Se a sequencia (Pn)∞n=1 e uniformemente limitada entao

(en)∞n=1 tambem e base de Schauder do fecho de X no completamento de X.

Demonstracao. Por X ser um espaco normado temos tambem que X e um subespaco

normado do completamento de X. Como X e denso em X, Pn e uniformemente contınua em

X e Pn(X) e completo para cada n ∈ IN , pela Proposicao 1.2 temos que Pn : X → Pn(X)

e uniformemente contınua para cada n ∈ IN .

Seja n ∈ IN . Pela continuidade de Pn vemos que Pn e uma aplicacao linear e supn∈IN

∣∣∣∣Pn

∣∣∣∣ ≤sup

n∈IN (‖Pn‖). Como Pn estende Pn, e claro que Pn(X) = Pn(X) e assim dim P n(X) = n.

Se x ∈ X entao existe (xn)∞n=1 ⊂ X tal que limn→+∞

xn = x. Para cada m,n ∈ IN temos

28

||Pm(x) − x|| = ||Pm(x) − Pm(xn) + Pm(xn) − xn + xn − x||

≤ ||Pm||||x − xn|| + ||Pm(xn) − xn|| + ||xn − x||

≤ (supn∈IN‖Pn‖ + 1)||x − xn|| + ||Pm(xn) − xn||

Dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que ‖x − xn‖ < ǫ/(supn∈IN‖Pn‖ + 1) para n ∈ IN

e n ≥ n0. Fixemos n0 ∈ IN . Temos que existe m1 ∈ IN tal que se m ≥ m1 entao

||Pm(xn0) − xno

|| < ǫ/2. Segue daı existencia de m0 ∈ IN tal que

∣∣∣∣Pm(x) − x∣∣∣∣ ≤ (sup

n∈IN‖Pn‖ + 1) ||x − xn0|| + ||Pm(xn0

) − xn0||

< (supn∈IN ||Pn|| + 1)ǫ/2(sup

n∈IN ||Pn|| + 1) + ǫ/2 = ǫ

para cada m ≥ m0. Donde concluımos que Pm(x) −→ x para cada x ∈ X.

Seja x ∈ X entao existe uma sequencia (xn)∞n=1 contida em X tal que limn→∞

xn = x.

Se i, j ∈ IN , pela continuidade de Pi, Pj, Pi e Pj temos que

Pi(Pj(x)) = Pi( limn→∞

(Pj(xn)) = limn→∞

Pi(Pj(xn))

= limn→∞

Pi(Pj(xn)) = limn→∞

(Pmin{i,j}(xn))

= Pmin{i,j}(x).

Donde concluımos que Pi ◦ Pj = Pmin{i,j}. De maneira analoga temos que Pj ◦ Pi =

Pmin{i,j}.

Como e1 ∈ P1(X) e ei ∈ Pi(X) ∩ ker Pi−1 para todo i ∈ IN temos que e1 ∈ P1(X) e

ei ∈ Pi(X)∩ ker P i−1. Segue pela demonstracao da Proposicao 2.2 que (ei)∞i=1 e uma base de

Schauder de X.

29

Lema 2.2. Seja (ei)∞i=1 uma base de Schauder do espaco de Banach (X, ‖.‖). Definimos |||.|||

em X por |||x||| = supn∈IN

||n∑

i=1

aiei|| para x =∞∑

i=1

aiei ∈ X. Entao:

(1) |||.||| e uma norma em X, (ei)∞i=1 e uma base de Schauder do espaco (X, |||.|||) e a

sequencia das projecoes de (X, |||.|||)em (X, |||.|||) associada com esta base de Schauder e

limitada por 1.

(2) |||.||| e equivalente a ||.|| em X.

Demonstracao. (1): Primeiro mostraremos que |||.||| e uma norma. Como para cada x ∈

X existe uma sequencia de escalares (αn)∞n=1 tal que x =∞∑

n=1

αnxn temos que |||x||| =

supn∈IN

||n∑

i=1

aiei|| e limitada.

E facil verificar que |||0||| = 0 e que |||λx||| = |λ| |||x||| para cada λ ∈ IK.

Pela continuidade de ||.|| segue que ||x|| = || limn→∞

n∑

i=1

aiei|| = limn→∞

||n∑

i=1

aiei||. Como

|||x||| ≥ ||∑n

i=1 aiei|| para cada n ∈ IN temos que |||x||| ≥ limn→∞

||∑n

i=1 aiei|| = ||x||. Segue

daı que se |||x||| = 0 temos x = 0.

Finalmente, existem sequencias de escalares (ai)∞i=1 e (bi)

∞i=1 tais que x =

∞∑

i=1

aiei e

y =∞∑

i=1

biei. Pela definicao de |||.||| temos que |||x + y||| = supn∈IN

||n∑

i=1

(ai + bi)ei||. Fixemos

n ∈ IN . Podemos ver que

30

||n∑

i=1

(ai + bi)ei|| ≤ ||n∑

i=1

aiei|| + ||n∑

i=1

biei||

≤ supn∈IN

||n∑

i=1

aiei|| + supn∈IN

||n∑

i=1

biei||

= |||x||| + |||y|||.

Donde concluımos que |||x + y||| = supn∈IN

||n∑

i=1

(ai + bi)en|| ≤ |||x||| + |||y||| e consequente-

mente |||.|||, e uma norma em X.

Vamos usar a Proposicao 2.1 para mostrar que (ei)∞n=1 e uma base de Schauder do espaco

(X, |||.|||). Para cada n ∈ IN considere a projecao Pn associada com a base de Schauder

(en)∞n=1 de (X, |||.|||). Sabemos que Pn(X) tem dimensao n e Pn(x) =n∑

i=1

aiei para todo

x =∞∑

i=1

aiei ∈ X. Entao a sequencia (Pn)∞n=1 satisfaz as condicoes (1) e (2) do Lema 2.1

Como∞∑

i=1

aiei converge em (X, ||.||), a sequencia (sn) = (n∑

i=1

aiei)∞n=1 e uma sequencia

de Cauchy em (X, ||.||). Desta maneira, dado ǫ > 0 existe m0 ∈ IN tal que se n ≥ m ≥ m0

entao ||n∑

i=m+1

aiei|| < ǫ. Tomando m ≥ m0 podemos ver que

|||x − Pm(x)||| = supn∈IN

||Pn(x − Pm(x))|| = supn∈IN

||Pn(x) − PnPm(x)||

= supn∈IN

||Pn(x) − Pm(x)|| = supn≥m

||n∑

i=m+1

aiei|| < ǫ,

donde concluımos que limm→+∞

Pm(x) = x em (X, |||.|||). Assim, pela Proposicao 2.1, a

sequencia (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de (X, |||.|||).

Definimos |||Pn||| = sup|||x|||≤1

|||Pn(x)||| a norma da projecao Pn : (X, |||.|||) −→ (X, |||.|||).

31

Tomando |||x||| = supn∈IN

||n∑

i=1

aiei|| ≤ 1 temos que ||n∑

i=1

aiei|| ≤ 1 para n ∈ IN e

consequentemente, pela condicao (2) do Lema 2.1, ||PnPm(x)|| = ||n∑

i=1

aiei|| ≤ 1 para

1 ≤ n ≤ m. Vemos assim que para cada n ∈ IN fixado

|||Pm||| = sup|||x|||≤1

|||Pm(x)||| = sup|||x|||≤1

supn∈IN

||PnPm(x)||

= sup|||x|||≤1

sup1≤n≤m

||PnPm(x)|| = sup|||x|||≤1

sup1≤n≤m

||n∑

i=1

aiei||

≤ sup|||x|||≤1

|||x||| = 1.

(2): Seja X o fecho do espaco (X, |||.|||) no complemento de X. Pela Proposicao 2.2, temos

que (ei)∞i=i e base de Schauder de X. Se x ∈ X, existe uma unica sequencia de escalares (αi)

∞i=1

para qual x =∞∑

i=1

αiei na norma |||.|||. Como pelo item (1), |||x||| ≥ ||x|| para x ∈ X temos

que (sn) = (n∑

i=1

αiei)∞n=1 e uma sequencia de Cauchy em (X, ||.||). Por outro lado, (X, ||.||) e

um espaco completo e por isso existe x ∈ X para qual x =∞∑

i=1

αiei na norma ||.||.

Pelo item (1) temos que, se x =∞∑

n=1

αiei = limm→∞

Pm(x) = x na norma ||.||, entao

limm→∞

Pm(x) = x na norma |||.|||. Pela unicidade dos limites temos x = x, o que implica

em (X, |||.|||) ser completo.

Como a aplicacao IX : (X, |||.|||) −→ (X, ||.||) e uma bijecao linear contınua entre espacos

de Banach, temos pelo Teorema da Aplicacao Aberta (Teorema 1.6), que as normas |||.||| e

||.|| sao equivalentes em X.

Teorema 2.1. (Banach) Se (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de um espaco normado X entao

32

a sequencia (Pn)∞n=1 das projecoes associada com (ei)∞i=1 e uniformemente limitada.

Demonstracao. Pelo Lema 2.2, temos que |||Pn||| ≤ 1 para n ∈ IN . Como as normas ||.|| e

|||.||| sao equivalentes, existe uma constante real positiva a para qual ||x|| ≤ |||x||| ≤ a||x||

para cada x ∈ X. Segue que ||Pn(x)|| ≤ |||Pn(x)||| ≤ |||Pn||| |||x||| ≤ a||x|| para todo n ∈ IN

e x ∈ X. Consequentemente supn∈IN

||Pn|| ≤ a, ou seja, a sequencia (Pn)∞n=1 e uniformemente

limitada.

Definicao 2.5. Seja (xn)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X. Para cada

k ∈ IN considere o funcional linear x′k : X −→ IK tal que x′

k(x) = ak para todo x =∞∑

n=1

anxn ∈ X. A sequencia (x′n)∞n=1 e chamada de sequencia dos funcionais coordenadas da

base de Schauder (xn)∞n=1.

E facil verificar que (x′n)∞n=1 e linearmente independente.

Observacao 2.2. Como x′n = Pn − Pn+1, pelo Teorema 2.1 temos que a sequencia dos

funcionais coordenadas de uma base de Schauder e uma sequencia de funcionais contınuos.

Definicao 2.6. Sejam X um espaco vetorial, Λ um conjunto qualquer e (xλ)λ∈Λ uma famılia

contida em X. Definimos span{xλ; λ ∈ Λ} como o espaco vetorial gerado pela famılia

(xλ)λ∈Λ, isto e, formado pelas combinacoes lineares finitas dos elementos da famılia.

Proposicao 2.3. Sejam (en)∞n=1 uma base de Schauder em um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1

a sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coor-

denadas de (en)∞n=1. Entao:

(1) Para cada n ∈ IN , se P ′n : X ′ −→ X ′ e definida por P ′

n(f) = f ◦Pn para cada f ∈ X ′

e Pn : X −→ X, temos que P ′n(f) =

n∑

i=1

f(ei)e′i =

n∑

i=1

J(ei)(f)e′i onde J : X −→ X ′′ e o

mergulho canonico.

33

(2) A sequencia (P ′n(f))∞n=1 e w*-convergente para f ∈ X ′

(3) (e′n)∞n=1 e uma base de Schauder do espaco span{e′n; n ∈ IN}. Em particular limn→∞

P ′n(f) =

f para todo f ∈ span{e′n; n ∈ IN} e ||P ′n|| = ||Pn|| para n ∈ IN .

Demonstracao. (1): Para cada n ∈ IN consideremos P ′n : X ′ −→ X ′ tal que P ′

n(f) = f ◦ Pn

para f ∈ X ′. Como Pn e uma aplicacao linear contınua temos que P ′n(f) ∈ X ′ para cada

f ∈ X ′.

Se x ∈ X, entao x =∞∑

i=1

e′i(x)ei. Assim, para cada f ∈ X ′ podemos escrever P ′n(f)(x) =

f(Pn(x)) = f(n∑

i=1

e′i(x)ei) =n∑

i=1

f(ei)e′i(x) para todo x ∈ X. Donde concluimos que P ′

n(f) =

n∑

i=1

f(ei)e′i para f ∈ X ′.

(2): Sejam f ∈ X ′ e x =∞∑

i=1

e′i(x)ei ∈ X. Como f e contınua, temos que limn→∞

P ′n(f)(x) =

limn→∞

f(Pn(x)) = f(x), donde concluımos que (P ′n(f))∞n=1 e ω∗-convergente para f ∈ X ′.

(3): Por (1), dimP ′n(X ′) = n para cada n ∈ IN . Consideremos m,n ∈ IN . A igualdade

P ′nP ′

m = P ′mP ′

n = P ′min(m,n) segue de P ′

nP ′m(f) = f ◦PnPm = f ◦Pmin(m,n) = P ′

min(m,n)(f) para

cada f ∈ X ′.

Seja Qn = P ′n|span{e′i;i∈IN} para cada n ∈ IN . Observe que ||Qn|| ≤ ||P ′

n|| e, como

||P ′n|| = ||Pn|| para cada n ∈ IN , pela Observacao 1.3, temos que (Qn)∞n=1 e uma sequencia

uniformemente limitada de projecoes contınuas definidas em span{e′i; i ∈ IN}. Dado qualquer

f ∈ span{e′i; i ∈ IN}, existem a1, . . . , an ∈ IK (com n ∈ IN) tais que f =n∑

i=1

aie′i. Tomando

qualquer m ∈ IN tal que m ≥ n temos Qm = P ′m(f) = f , de modo que lim

n→∞Qn(f) = f .

Como e′1 ∈ Q1(span{ei; i ∈ IN}) e e′i ∈ Qi(span{ei; i ∈ IN}) ∩ ker Qi−1 para todo

i ∈ IN , segue pela demonstracao da Proposicao 2.2, que (e′i)∞i=1 e uma base de Schauder do

span{ei; i ∈ IN}. Finalmente, como (Qn)∞n=1 e uma sequencia uniformemente limitada de

34

projecoes, (e′i)∞i=1 e tambem uma base de Schauder de span{ei; i ∈ IN} pela proposicao 2.2.

Segue pelo Lema 2.1 que limn→∞

P ′n(f) = f para cada f ∈ span{ei; i ∈ IN}

Definicao 2.7. Uma sequencia de elementos (xn)∞n=1 de um espaco de Banach e dita uma

sequencia basica se (xn)∞n=1 e uma base de Schauder para span{xn; n ∈ IN}.

Observacao 2.3. Todo espaco de Banach com base de Schauder e separavel.

Teorema 2.2. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia de vetores nao nulos em um espaco de Banach

X. Entao (xn)∞n=1 e uma sequencia basica se e somente se existe uma constante real K > 0

tal que ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

aixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ (∗)

para quaisquer (ai)∞i=1 ⊂ IK e m,n ∈ IN com n ≤ m. A menor constante que satisfaz (∗) e

chamada constante basica, e e denotada por bc{xn}.

Demonstracao. (⇒): Suponhamos que (xn)∞n=1 e uma sequencia basica e seja

(ai)∞i=1 ⊂ IK escolhido arbitrariamente. Seja (Pn)∞n=1 a sequencia de projecoes canonicas

associada com (xn)∞n=1. Pelo Teorema 2.1, temos que K = supn∈IN

||Pn|| < ∞. Entao para todo

x ∈ span{xn; n ∈ IN} e m,n ∈ IN com n ≤ m temos:

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ = ||Pn(x)|| = ||Pn(Pm(x))|| ≤ ||Pn|| ||Pm(x)|| ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

aixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

(⇐): Suponhamos que, (xn)∞n=1 e uma sequencia de vetores nao nulos e existe uma

constante real K > 0 tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

aixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ para toda escolha (ai)∞i=1 ⊂ IK e

m,n ∈ IN com n ≤ m.

35

Para cada n ∈ IN consideremos o operador

Pn : span{xi; i ∈ IN} −→ span{xi; i ∈ IN}

definido por

Pn(k∑

i=1

aixi) =n∑

i=1

aixi se k ≥ n

e

Pn(k∑

i=1

aixi) =k∑

i=1

aixi se k < n.

Desta maneira Pn e uma aplicacao linear e ||Pn|| ≤ K para todo n ∈ IN .

Se x ∈ span{xi; i ∈ IN}, entao existem p ∈ IN e {λ1, . . . , λp} ⊂ IK para os quais

x =

p∑

i=1

λixi. Tomando m ≥ p temos que Pm(x) = x e assim limn→∞

Pn(x) = x. E claro que para

cada m,n ∈ IN dim Pn(X) = n e PnPm = PmPn = Pmin{n,m}. Entao pela Proposicao 2.1, a

sequencia (xn)∞n=1 e uma base de Schauder do espaco span{xi; i ∈ IN}. Consequentemente,

como (Pn)∞n=1 e uniformemente limitada, temos pela Proposicao 2.2 que a sequencia (xn)∞n=1

e uma sequencia basica.

Lema 2.3. Seja F um subespaco de dimensao finita de um espaco de Banach X de dimensao

infinita. Se ǫ e um numero real positivo entao existe x ∈ X com ||x|| = 1 tal que ||y|| ≤

(1 + ǫ) ||y + λx|| para todo y ∈ F e λ ∈ IK.

Demonstracao. Suponhamos, sem perda de generalidade, que ǫ < 1. Como SF e um sub-

conjunto limitado e fechado de F e F tem dimensao finita, temos que SF e um subconjunto

compacto de F e, consequentemente, um subconjunto compacto em X. Consideremos a

famılia de abertos (B ǫ2(y))y∈SF

. Temos que esta famılia forma uma cobertura aberta de SF .

Portanto existem y1 . . . yn ∈ SF para os quais SF ⊂k⋃

i=1

B ǫ2(yi). Desta maneira se y ∈ SF

existe i ∈ {1 . . . k} tal que ||y − yi|| < ǫ2.

36

Pelo Corolario 1.1 do Teorema de Hanh-Banach existem funcionais lineares y′1, . . . , y

′n ∈

SX′ tais que y′i(yi) = ||yi|| = 1 para todo i ∈ {1, . . . , n}. Suponha que {y′

1, . . . , y′k}

seja o subconjunto linearmente independente de y′1, . . . , y

′n. Pela Proposicao 1.1, temos que

k⋂

i=1

y′i(0)

−16= ∅, e por isso existe x ∈ SX tal que y′

i(x) = 0 para i ∈ {1 . . . n}. Dados quaisquer

y ∈ SF e λ ∈ IK sabemos que existe yi ∈ {y1, . . . , yn} tal que ||y − yi|| < ǫ2. A partir dai

temos

||y + λx|| = ||y − yi + yi + λx|| ≥ ||yi + λx|| − ||y − yi||

≥ −ǫ

2+ ||yi + λx|| ≥ |y′

i(yi + λx)| −ǫ

2

= 1 −ǫ

2≥

1

1 + ǫ

para todo λ ∈ IK.

Sejam y ∈ F \ {0} e λ ∈ IK. Considere y0 = y||y||

e λ0 = λ||y||

. Segue que ||y0 + λ0x|| ≥1

1+ǫ

e consequentemente ||y|| ≤ (1 + ǫ)| ||y + λx||.

Teorema 2.3. (Mazur) Seja X um espaco de Banach com dimensao infinita. Entao existe

um subespaco fechado de dimensao infinita de X com uma base de Schauder.

Demonstracao. Dado ǫ > 0, escolhemos uma sequencia (ǫn)∞n=1 de numeros reais positivos

tais que∞∏

n=1

(1 + ǫn) ≤ 1 + ǫ.

Seja x1 ∈ SX . Consideremos F1 = span{x1}. Pelo Lema 2.3, existe x2 ∈ SX tal que cada

x ∈ F1 e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫ1) ||x + λx2||. Consideremos F2 = span{x1, x2}. Pelo

Lema 2.3, existe x3 ∈ SX tal que para cada x ∈ F2 e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1+ ǫ2) ||x + λx3||.

Assumimos que x1, . . . , xn+1 ∈ SX sao tais que para cada x ∈ Fn = span{x1, . . . , xn} e

λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫn) ||x + λxn+1||. Pelo Lema 2.3, existe xn+2 ∈ SX tal que

37

para cada x ∈ Fn+1 = span{x1, . . . , xn+1} e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫn+1) ||x + λxn+2||.

Segue por inducao a existencia uma sequencia (xn)∞n=1 contida em SX tal que se x ∈ Fi =

span{x1, . . . , xi} e λ ∈ IK temos ||x|| ≤ (1 + ǫi) ||x + λxi+1|| para todo i ∈ IN .

Seja (λn)∞n=1 ∈ IK. Para m,n ∈ IN com n ≤ m temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

λixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ (1 + ǫn+1)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n+1∑

i=1

λixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

≤ · · · ≤

(m∏

i=n+1

(1 + ǫi)

) ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

λixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

≤

(m∏

i=1

(1 + ǫi)

) ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

λixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ (1 + ǫ)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

λixi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

Desta maneira segue pelo Teorema 2.2, que (xn)∞n=1 e uma sequencia basica. Assim

span{xn; n ∈ IN} e um subespaco de X com dimensao infinita e base de Schauder.

Observemos que se a sequencia (Pn)∞n=1 e a sequencia das projecoes canonicas associadas

a base de Schauder (xn)∞n=1 entao ||Pn|| ≤∞∏

i=n

(1 + ǫi) para todo n ∈ IN . Donde concluımos

que limn→∞

||Pn|| = 1.

Definicao 2.8. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia basica em um espaco de Banach X e seja (yn)∞n=1

uma sequencia basica em um espaco de Banach Y . Dizemos que (xn)∞n=1 e equivalente a

(yn)∞n=1 se para toda sequencia de escalares (an)∞n=1 temos que∞∑

n=1

anxn converge se e

somente se∞∑

n=1

anyn converge.

Proposicao 2.4. Seja (en)∞n=1 uma sequencia basica em um espaco de Banach X e seja

(fn)∞n=1 um sequencia em um espaco de Banach Y . Sao equivalentes:

(1) (fn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a (en)∞n=1

38

(2) Existe um isomorfismo T entre os espacos span{en; n ∈ IN} e span{fn; n ∈ IN} tal

que T (en) = fn para cada n ∈ IN

(3) Existem constantes positivas C1 e C2 tais que para cada n ∈ IN e a1, . . . , an ∈ IK

temos1

C1

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aifi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ C2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

Demonstracao. (1) ⇒ (2): Definimos T : span{en; n ∈ IN} −→ span{fn; n ∈ IN} por

T (x) =∞∑

n=1

anfn para cada x =∞∑

n=1

anen ∈ span{en; n ∈ IN}. E claro, por definicao, que T

e uma aplicacao linear e T (en) = fn para cada n ∈ IN .

Dado x ∈ span{en; n ∈ IN}, existe uma sequencia de escalares (an)∞n=1 tal que x =∞∑

n=1

anen. A equivalencia entre (en)∞n=1 e (fn)∞n=1 garante que y =∞∑

n=1

anfn ∈ span{fn; n ∈ IN}

e claro que T (x) = y. Portanto T esta bem definido. Analogamente, dado y ∈ span{fn; n ∈

IN} existe uma sequencia de escalares (bn)∞n=1 tal que y =∞∑

n=1

bnfn, e a equivalencia entre

(en)∞n=1 e (fn)∞n=1 garante que x =∞∑

n=1

bnen ∈ span{en; n ∈ IN} e e claro que T (x) = y.

Assim, T e uma aplicacao sobrejetiva.

Dados x, z ∈ span{en; n ∈ IN}, existem sequencias de escalares (αn)∞n=1 e (βn)∞n=1 tais

que x =∞∑

n=1

αnen e z =∞∑

n=1

βnen. Se T (x) = T (z), pela definicao de T temos que∞∑

n=1

αnfn =

∞∑

n=1

βnfn. Como (fn)∞n=1 e uma sequencia basica temos que αn = βn para cada n ∈ IN o que

garante a injetividade de T .

Vamos mostrar a continuidade de T usando o Teorema do Grafico Fechado.

Consideremos as sequencias (xk)∞k=1 ⊂ span{en; n ∈ IN} e (T (xk))

∞k=1 ⊂ {fn; n ∈ IN} tais

que x = limk→∞

xk e y = limk→∞

T (xk) com x ∈ span{en; n ∈ IN} e y ∈ span{fn; n ∈ IN}. Como

(en)∞n=1 e (fn)∞n=1 sao sequencias basicas, x =∞∑

n=1

anen com (an)∞n=1 ⊂ IK e y =∞∑

n=1

bnfn

39

com (bn)∞n=1 ⊂ IK. Para cada k ∈ IN consideremos xk =∞∑

n=1

aknen e T (xk) =

∞∑

n=1

aknfn com

(akn)∞n=1 ⊂ IK.

Para cada s ∈ IN sejam os funcionais

e′s : span{en; n ∈ IN} −→ IK e f ′s : span{fn; n ∈ IN} −→ IK

tais que e′s(u) = λs para cada u =∞∑

i=1

λiei ∈ span{en; n ∈ IN} e f ′s(v) = αs para cada

v =∞∑

i=1

αifi ∈ span{fn; n ∈ IN}. Pela continuidade de e′s e f ′s e pelo fato de x = lim

k→∞xk

e y = limk→∞

T (xk), obtemos que as = limk→∞

aks e bs = lim

k→∞ak

s . Donde concluimos a seguinte

igualdade as = bs para cada s ∈ IN . Consequentemente, T (x) = y e T tem grafico fechado.

Como span{en; n ∈ IN} e span{fn; n ∈ IN} sao espacos de Banach, segue pelo Teorema do

Grafico Fechado (Teorema 1.7), a continuidade de T . Alem disso, como T e sobrejetiva, temos

pelo Teorema 1.6, que T−1 e contınua. Portanto T e um isomorfismo entre span{en; n ∈ IN}

e span{fn; n ∈ IN}

(2) ⇒ (3): Sejam a1, . . . , an ∈ IK com n ∈ IN . Observemos que T (n∑

i=1

aiei) =n∑

i=1

aifi e,

pela continuidade de T e sua inversa, temos

||n∑

i=1

aifi|| = ||T−1(n∑

i=1

aiei)|| ≤ ||T−1||||n∑

i=1

aifi||

e

||n∑

i=1

aifi|| = ||T (n∑

i=1

aiei)|| ≤ ||T || ||n∑

i=1

aiei||.

Daı, como ||T || 6= 0, temos

1

||T−1||||

n∑

i=1

aiei|| ≤ ||n∑

i=1

aifi|| ≤ ||T || ||n∑

i=1

aiei||.

(3) ⇒ (1): Sejam m, n ∈ IN com n ≤ m , e a1, . . . , am ∈ IK. Como (ei)∞i=1 e uma

40

sequencia basica existe uma constante positiva K tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Alem disso, por hipotese, existem constantes positivas C1 e C2 tais que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ C1

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aifi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ (1)

e ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aifi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ C2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ (2).

A partir das tres desigualdades anteriores temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aifi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ C1C2K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

aifi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Segue, pelo Teorema 2.2, que (fi)∞i=1 e uma sequencia basica.

Pelas desigualdades (1) e (2) temos que dada uma sequencia (ai)∞i=1 de escalares a

sequencia (i∑

j=1

ajej)∞i=1 e uma sequencia de Cauchy se e somente se a sequencia (

i∑

j=1

ajfj)∞i=1

e de Cauchy. Donde concluimos a equivalencia entre as sequencias (ei)∞i=1 e (fi)

∞i=1.

Teorema 2.4. Sejam (en)∞n=1 uma sequencia basica em um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1 a

sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coorde-

nadas de (en)∞n=1. Suponhamos que (fi)∞i=1 e uma sequencia em X tal que

∞∑

i=1

||ei − fi|| ||e′i|| < 1. Temos:

(1) (fi)∞i=1 e uma sequencia basica em X equivalente a (ei)

∞i=1

(2) Se span{ei; i ∈ IN} e complementado em X entao span{fi; i ∈ IN} tambem e com-

plementado em X.

41

(3) Se (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de X entao (fi)

∞i=1 tambem e uma base de Schauder

de X. Alem disso, se (f ′i)

∞i=1 e a sequencia dos funcionais coordenadas da base (fi)

∞i=1 entao

span{e′i; i ∈ IN} = span{f ′i ; i ∈ IN}.

Demonstracao. (1): Sabemos, pelo Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.3), que para cada

i ∈ IN existe gi ∈ X ′ tal que ||gi|| = ||e′i|| e gi estende e′i. Considere C =∞∑

i=1

||ei − fi|| ||e′i||.

Para cada n ∈ IN e x ∈ X fixados consideremos Sn =n∑

i=1

||ei − fi|| |gi(x)|. Podemos ver

que

Sn =n∑

i=1

||ei − fi|| |gi(x)| ≤ ||x||n∑

i=1

||ei − fi|| ||gi|| ≤

(∞∑

i=1

||ei − fi|| ||gi||

)||x|| ≤ C ||x||

para cada n ∈ IN. Como (Sn)∞n=1 e uma sequencia crescente e limitada, (Sn)∞n=1 converge e

alem disso limn→∞

Sn ≤ C ||x||, ou seja,∞∑

i=1

||ei − fi|| ||gi(x)|| ≤ C ||x||.

Consideremos S : X −→ X definida por S(x) =∞∑

i=1

gi(x)(ei − fi). Como a serie

∞∑

i=1

gi(x)(ei−fi) e absolutamente convergente para cada x ∈ X e X e um espaco de Banach,

temos que esta serie converge e S esta bem definida em X. E facil ver que S e linear. Como

||S(x)|| =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

gi(x)(ei − fi)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

i=1

|gi(x)| ||ei − fi|| ≤ C ||x|| para cada x ∈ X, S e uma

aplicacao linear e contınua com ||S|| ≤ C < 1.

Consideremos T = I − S onde I e a identidade em X. Entao T e uma aplicacao linear

contınua de X em X e

||T (x)|| = ||x − S(x)|| ≥ | ||x|| − ||S(x)|| | ≥ (1 − C) ||x|| .

Como 1 − C > 0, segue pela Proposicao 1.10 que T e um isomorfismo entre X e o

subespaco fechado T (X) de X.

42

Suponhamos que T (X) 6= X. Pelo Lema 1.2, existe x ∈ SX tal que dist(x, T (X)) > C.

Mas por outro lado temos ||T (x) − x|| = ||S(x)|| ≤ C, de modo que T (X) 6= X implica num

absurdo. Desta maneira T e um isomorfismo de X sobre X tal que T (ei) = fi para cada

i ∈ IN .

Como T e uma aplicacao contınua e T (ei) = fi para cada i ∈ IN , temos a seguinte

inclusao T (span{en; n ∈ IN}) ⊂ span{fn; n ∈ IN}.

Se y ∈ span{fn; n ∈ IN} entao existe uma sequencia (yn)∞n=1 ⊂ span{fn; n ∈ IN}

tal que limn→∞

yn = y. Como T−1 e uma aplicacao contınua, span{en; n ∈ IN} e um es-

paco fechado e (T−1(yn))∞n=1 ⊂ span{en; n ∈ IN}, temos pela definicao de T que

T−1(y) ∈ span{en; n ∈ IN}. Consequentemente, existe uma unica sequencia de escalares

(bi)∞i=1 tal que T−1(y) =

∞∑

i=1

biei, e assim y = T (T−1(y)) =∞∑

i=1

bifi. Donde concluımos que

T−1(span{fn; n ∈ IN}) ⊂ span{en; n ∈ IN} e consequentemente (fi)∞i=1 e uma sequencia

basica. Segue pela Proposicao 2.4 a equivalencia entre as sequencias (ei)∞i=1 e (fi)

∞i=1.

(2): Na demonstracao de (1) vimos que T e um isomorfismo entre X e X tal que

T (span{en; n ∈ IN}) = span{fn; n ∈ IN}. Como span{en; n ∈ IN} e complementado em X

temos, pela Proposicao 1.11, que span{fn; n ∈ IN} e complementado em T (X) = X.

(3): Seja T o isomorfismo entre X e X definido na demonstracao de (1). Se (en)∞n=1 e

uma base de Schauder de X temos que X = span{en; n ∈ IN} e, da demonstracao de (1),

temos que X = T (span{en; n ∈ IN}) = span{fn; n ∈ IN}. Assim, (fi)∞i=1 e base de Schauder

de X.

Seja (P ′n)∞n=1 a sequencia de projecoes associada com (e′n)∞n=1. Entao, pela Proposicao

2.3, temos que P ′n(f ′) =

n∑

i=1

f ′(ei)e′i para cada f ′ ∈ X ′ e (P ′

n(f ′))∞n=1 e w∗ convergente para

f ′ para cada f ′ ∈ X ′. Em particular, para cada x ∈ BX e i ∈ IN temos limn→∞

P ′n(f ′

i)(x) =

43

∞∑

j=1

f ′i(ej)e

′j(x) = f ′

i(x) e assim para x ∈ BX e k, i ∈ IN tais que k > i temos

|(f ′i − P ′

k)(x)| =

∣∣∣∣∣

∞∑

j=k+1

f ′i(ej)e

′j(x)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∞∑

j=k+1

f ′i(ej − fj)e

′j(x)

∣∣∣∣∣ ≤ ||f ′i ||

∞∑

j=k+1

||ej − fj||∣∣∣∣e′j

∣∣∣∣ .

Assim, fazendo k → ∞ temos que ||f ′i − P ′

k|| → 0, e entao f ′i ∈ span{e′n; n ∈ IN}.

Portanto, temos que span{f ′i ; n ∈ IN} ⊂ span{e′n; n ∈ IN}.

Seja (T−1)′ : X ′ −→ X ′ a transposta de T−1. Por definicao (T−1)′ e a aplicacao linear

contınua tal que (T−1)′(f)(y) = f(T−1(y)) para f ∈ X ′ e y ∈ X.

Seja y =∞∑

j=1

f ′j(y)fj ∈ X. Para cada i ∈ IN temos

(T−1)′(e′i)(y) = (T−1)′(e′i)(∞∑

j=1

f ′j(y)fj) = e′i(T

−1(∞∑

j=1

f ′j(y)fj))

= e′i(∞∑

j=1

f ′j(y)T−1(fj)) = e′i(

∞∑

j=1

f ′j(y)ej) = f ′

i(y).

Donde concluımosque (T−1)′(e′i) = f ′i para cada i ∈ IN .

Como ||f ′i || = ||(T−1)′(e′i)|| ≤ ||(T−1)′|| ||e′i||, temos que

n∑

i=1

||ei − fi|| ||f′i || ≤

∣∣∣∣(T−1)′∣∣∣∣

n∑

i=1

||ei − fi|| ||e′i||

para todo n ∈ IN . Daı e da convergencia da serie∞∑

i=1

||ei − fi|| ||e′i||, concluımos que

∞∑

i=1

||ei − fi|| ||f′i || converge.

Finalmente, consideremos a sequencia (y′k)

∞k=1 tal que y′

k =k∑

j=1

e′i(fj)f′j. Trocando (P ′

n)∞n=1

e (e′n)∞n=1 por (y′n)∞n=1 e (f ′

n)∞n=1 obtemos, usando o mesmo argumento usado acima, que

limk→∞

y′k = e′i, e consequentemente ,span{e′n; n ∈ IN} ⊂ span{f ′

n; n ∈ IN}.

44

2.2 Bases contrateis

Definicao 2.9. Seja (en)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X e (e′n)∞n=1 a

sequencia dos funcionais coordenadas de (en)∞n=1. Dizemos que (en)∞n=1 e uma base contratil

se span{e′i; i ∈ IN} = X ′.

Definicao 2.10. Uma base de Schauder (en)∞n=1 de um espaco de Banach X e

dita limitadamente completa se∞∑

j=1

ajej converge para toda sequencia de escalares (aj)∞j=1

tal que supn∈IN

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

ajej

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ∞.

Proposicao 2.5. Sejam (en)∞n=1 uma base Schauder de um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1 a

sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia de funcionais coordenadas

de (en)∞n=1. Entao sao equivalentes:

(1) (ei)∞i=1 e uma base contratil.

(2) (e′i)∞i=1 e uma base de Schauder de X ′.

(3) limn→∞

||f |Gn|| = 0 para toda f ∈ X ′ onde Gn = span{ei; i > n}.

Demonstracao. (1) ⇒ (2): Como (ei)∞i=1 e uma base contratil temos por definicao

span{e′i; i ∈ IN} = X ′. Segue, pela Proposicao 2.3, que (e′i)∞i=1 e base de Schauder do

span{e′i; i ∈ IN} = X ′.

(2) ⇒ (1): Se (e′i)∞i=1 e uma base de Schauder de X ′ entao span{e′i; i ∈ IN} = X ′ e desta

maneira temos que (ei)∞i=1 e uma base contratil.

(1) ⇔ (3): Sejam P : X −→ X uma projecao limitada e P ′ : X ′ −→ X ′ definida por

45

P ′(f) = f ◦ P para toda f ∈ X ′. Podemos ver que

||P ′(f)|| = ||f ◦ P || = sup||x||≤1

||f(P (x))|| = supy∈P (BX)

||f(y)||

para cada f ∈ X ′ e alem disso,

BP (X) ⊂ P (BX) ⊂ ||P ||BX ∩ P (X) ⊂ ||P ||BP (X).

Sejam f ∈ X ′ e n ∈ IN . Como IX − Pn e uma projecao temos:

∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)

∣∣∣∣ = sup{|f(x)| ; x ∈ B(IX−Pn)(X)} ≤ sup{|f(x)| ; x ∈ (IX − Pn)(BX)}

≤ sup{|f(x)| ; x ∈ ||IX − Pn||B(IX−Pn)(X)}

= sup{|f(||IX − Pn|| y)| ; y ∈ B(IX−Pn)(X)}

= ||IX − Pn|| sup{|f(y)| ; y ∈ B(IX−Pn)(X)}

≤ (||Pn|| + 1)∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)

∣∣∣∣ .

Donde

∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)

∣∣∣∣ ≤ sup{|f(x)| ; x ∈ (IX − Pn)(BX)} ≤ (||Pn|| + 1)∣∣∣∣f |(IX−Pn)(X)

∣∣∣∣ (i).

Alem disso, de

||f − P ′n(f)|| = sup

||x||≤1

||(f − P ′n(f))(x)|| = sup

||x||=1

||f(x − Pn(x))||

obtemos

||f − P ′n(f)|| ≤ sup{|f(x)| ; x ∈ (IX − Pn)(BX)} (ii).

Apartir de (i) e (ii) vemos que

∣∣∣∣f |IX−Pn(X)

∣∣∣∣ ≤ ||f − P ′n(f)|| ≤ (||Pn|| + 1)

∣∣∣∣f |IX−Pn(X)

∣∣∣∣ (iii).

Daı temos que limn→∞

P ′n(f) = f para cada f ∈ X ′ se e somente se lim

n→∞||f |Gn

|| = 0 para

cada f ∈ X ′ (onde Gn = span{ei; i > n}), o que mostra a equivalencia entre (1) e (3).

46

Proposicao 2.6. Sejam (en)∞n=1 uma base de Schauder em um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1

a sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coor-

denadas de (en)∞n=1. Se (ei)∞i=1 e uma base contratil entao a aplicacao T : X ′′ −→ S, onde

S = {(ai)∞i=1 ⊂ IK; |||(ai)

∞i=1||| = sup

n∈IN

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ∞} definida por T (x′′) = (x′′(e′i))∞i=1 e

um isomorfismo entre X ′′ e S.

Demonstracao. E claro que S e um espaco vetorial. Como, por definicao, |||(an)∞n=1||| e

finito sempre que (an)∞n=1 ∈ S, temos por argumento semelhante ao usado na demonstracao

do Lema 2.2, que (S, |||.|||) e um espaco normado.

Pela Proposicao 2.5, (ei)∞i=1 e uma base de Schauder de X ′. Seja (e′′i )

∞i=1 ⊂ X ′′ a sequencia

dos funcionais coordenadas de (e′i)∞i=1 e (P ′

i )∞i=1 a sequencia de projecoes associada com (e′i)

∞i=1.

Para todo n ∈ IN , seja P ′′n : X ′′ −→ X ′′ definida por P ′′

n (x′′) = x′′ ◦ Pn para todo x′′ ∈ X ′′.

Para x ∈ X, x′ ∈ X ′, x′′ ∈ X ′′ e n ∈ IN temos, pela Proposicao 2.3, que P ′n(x′) =

n∑

i=1

x′(ei)e′i,

P ′′n (x′′) =

n∑

i=1

x′′(e′i)e′′i =

n∑

i=1

x′′(e′i)J(ei) (onde J e o mergulho canonico) e ||P ′′n || = ||P ′

n|| =

||Pn||.

Se K = bc{ei}, ja vimos que ||Pn|| ≤ K para todo n ∈ IN . Seja T : X ′′ −→ S tal que

T (x′′) = (x′′(e′i))∞i=1. Entao temos que T e uma aplicacao linear tal que

|||T (x′′)||| = supn∈IN

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

x′′(eiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ = supn∈IN

||P ′′n (x′′)|| ≤ K ||x′′|| .

Donde concluımosque T esta bem definida, e contınua e ||T || ≤ K.

Se (x′′i )

∞i=1 e (y′′

i )∞i=1 pertencem a S e sao tais que T (x′′) = T (y′′), temos (x′′(e′i))

∞i=1 =

(y′′(e′i))∞i=1. Como (e′i)

∞i=1 e uma base de Schauder de X ′, obtemos daı que que x′′(x′) = y′′(x′)

para cada x′ ∈ X ′, e desta maneira x′′ = y′′. Logo a aplicacao T e injetiva.

Seja agora (ai)∞i=1 uma sequencia de escalares tal que |||(ai)

∞i=1||| < ∞. Pelo Teorema 1.13,

BX(0) e ω∗-compacta em X ′′. Alem disso, como X ′ e separavel, ja que (ei)∞i=1 e uma base

47

contratil, temos pelo Teorema 1.14 que (BX , ω∗) e metrizavel. Assim a sequencia limitada

(Sn)∞n=1 =

(n∑

i=1

aiJ(ei)

)∞

n=1

possui uma subsequencia (Snj)∞j=1 que converge na topologia

ω∗ para algum x′′ ∈ X ′′. Por essa convergencia temos que limj→∞

Snj(x′) = x′′(x′) para todo

x′ ∈ X ′. Em particular para cada i ∈ IN temos que x′′(e′i) = ai, ou seja, (x′′(ei))∞i=1 = (ai)

∞i=1.

Consequentemente T e uma aplicacao sobrejetiva.

Alem disso ||x′′|| ≤ lim supn→∞

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ |||(ai)∞i=1||| e T (x′′) = (ai)

∞i=1 de modo que

||||T (x′′)||| ≥ ||x′′||. Mostramos assim que T e um isomorfismo entre X ′′ e S.

Teorema 2.5. Sejam (en)∞n=1 uma base de Schauder de um espaco de Banach X, (Pn)∞n=1 a

sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coorde-

nadas de (en)∞n=1. Se (ei)∞i=1 e limitadamente completo, entao X e isomorfo a

span{e′i; n ∈ IN}′.

Demonstracao. Denotemos Z = span{e′i; i ∈ IN} e definamos uma aplicacao J : X −→ Z ′

por J(x)(z) = z(x) para cada x ∈ X e z ∈ Z. E claro que , para cada x ∈ X fixado,

J(x) : Z −→ IK e linear. Alem disso, e facil verificar que J(x+λ) = J(x)+λJ(y) para todo

x, y ∈ X e λ ∈ IK. Como, para cada x ∈ X e z ∈ Z temos que∣∣∣J(x)(z)

∣∣∣ = |z(x)| ≤ ||z|| ||x||,

concluımos daı que J(x) ∈ Z ′ para todo x ∈ X e J e contınua com ||J || ≤ 1.

Para cada n ∈ IN e x ∈ X temos, pelo Corolario 1.2 do Teorema de Hahn-Banach, a

existencia de x′ ∈ SX′ tal que x′(Pn(x)) = ||Pn(x)||. Como P ′n(X ′) = span{e′i; 1 ≤ i ≤ n},

temos que P ′n(x′) =

n∑

i=1

x′(ei)e′i =

n∑

i=1

J(ei)(x′)e′i ∈ Z, onde J : X −→ X ′′ e o mergulho

canonico, e ||P ′n(x′)|| ≤ K onde K = sup

n∈IN||P ′

n|| < ∞. Por definicao temos

J(Pn(x))(P ′n(x′)) = P ′

n(x′)(Pn(x)) = x′ ◦ Pn ◦ Pn(x) = x′(Pn(x)) = ||Pn(x)||

48

e consequentemente,

∣∣∣∣∣∣J(Pn(x))

∣∣∣∣∣∣ ≥ J(Pn(x))(

P ′n(x′)

||P ′n(x′)||

) =1

||P ′n(x′)||

J(Pn(x))(P ′n(x′)) =

||Pn(x)||

||P ′n(x′)||

≥1

K||Pn(x)|| .

Donde concluimos que ∣∣∣∣∣∣J(Pn(x)

∣∣∣∣∣∣ ≥ 1

K||Pn(x)|| .

Agora, usando a continuidade de J e da norma e o fato de limn→∞

Pn(x) = x, obtemos∣∣∣∣∣∣J(x)

∣∣∣∣∣∣ ≥ 1

K||x||. Assim,

1

k||x|| ≤

∣∣∣∣∣∣J(x)

∣∣∣∣∣∣ ≤ ||x|| (1)

para todo x ∈ X.

Mostraremos agora que J e uma aplicacao sobrejetora.

Observamos inicialmente que, pela Proposicao 2.3, (e′n)∞n=1 e uma base de Schauder do

espaco Z e e facil verificar que (J(en))∞n=1 e a sequencia dos funcionais coordenadas de

(e′n)∞n=1. Seja (Pn)∞n=1 a sequencia de projecoes associada a (e′n)∞n=1. Pela Proposicao 2.3

temos que Pn

′: Z ′ −→ Z ′ definida por Pn

′(z′) = z′ ◦ Pn satisfaz Pn

′(z′)

ω∗

→ z′ em Z ′ e

supn

∣∣∣∣∣∣Pn

′∣∣∣∣∣∣ = sup

n

∣∣∣∣∣∣Pn

∣∣∣∣∣∣ = sup

n||Pn|| ≤ K < ∞.

Dado qualquer w ∈ Z, temos que w =∞∑

i=1

J(ei)(w)e′i de modo que para todo n ∈ IN e

para todo z′ ∈ Z ′ temos que

Pn

′(z′)(w) = z′◦Pn(w) = z′

(n∑

i=1

J(ei)(w)e′i

)=

(n∑

i=1

z′(e′i)J(ei)

)(w) = J

(n∑

i=1

z′(e′i)ei

)(w).

Segue daı que para todo n ∈ IN e para todo z′ ∈ Z ′ temos∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣J(

n∑

i=1

z′(e′i)ei

)∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣Pn

′(z′)

∣∣∣∣∣∣ ≤ k ||z′||

e daı, usando (1) obtemos∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

z′(e′i)ei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣J(n∑

i=1

z′(e′i)ei)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

z′(e′i)ei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

49

Daı, como (ei)∞i=1 e limitadamente completa, temos que

∞∑

i=1

z′(e′i)ei converge em X para um

x ∈ X. Como J e uma aplicacao contınua temos

J(x) = limn→∞

J(n∑

i=1

z′(e′i)ei) = limn→∞

n∑

i=1

z′(e′i)J(ei) = limn→∞

Pn

′(z′).

Usando o fato de que a sequencia (P ′n(z′))∞n=1 converge w∗ para z′ obtemos que z′ = J(x),

logo J e uma aplicacao sobrejetora.

Teorema 2.6. (James) Sejam (en)∞n=1 uma base Schauder de um espaco de Banach X,

(Pn)∞n=1 a sequencia de projecoes associada com (en)∞n=1 e (e′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais

coordenadas de (en)∞n=1. Entao X e reflexivo se e somente se (ei)∞i=1 e uma base contratil e

limitadamente completa.

Demonstracao. (⇒): Suponhamos que X seja um espaco reflexivo. Como (ei)∞i=1 e uma

base de Schauder de X temos, pelo Teorema 2.1, que a sequencia (Pn)∞n=1 de projecoes

associada com (en)∞n=1 e uniformemente limitada. Pela Proposicao 2.3, temos a existencia

de uma sequencia de projecoes (P ′n)∞n=1 tal que P ′

n(f)w∗

→ f para cada f ∈ X ′, ou seja

P ′n(f)(x) → f(x) para cada f ∈ X ′ e x ∈ X. Por outro lado, como X e um espaco reflexivo,

para cada x′′ ∈ X ′′ existe x ∈ X tal que J(x) = x′′ com x′′(f) = f(x) para cada f ∈ X ′.

Assim x′′(P ′n(f)) → x′′(f) para cada x′′ ∈ X ′′. Donde concluimos que P ′

n(f)w→ f para cada

f ∈ X′

e consequentemente X ′ = span{e′i; i ∈ IN}ω. Como span{e′i; i ∈ IN} e convexo,

temos pelo Teorema 1.10, que span{e′i; i ∈ IN}ω = span{e′i; i ∈ IN}, e desta forma (ei)∞i=1 e

uma base contratil.

Como (ei)∞i=1 e uma base contratil temos, pela Proposicao 2.6, que existe um isomor-

fismo T de X ′′ sobre S = {(ai)∞i=1 ⊂ IK; |||(ai)

∞i=1||| = sup

n∈IN

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ∞} definido

por T (x′′) = (x′′(e′i))∞i=1 para cada x′′ ∈ X ′′. A todo x =

∑∞i=1 aiei ∈ X corresponde

50

T (J(x)) = (J(x)(e′i))∞i=1 = (e′i(x))∞i=1 = (ai)

∞i=1. Assim, J(X) corresponde a Y1 = {(ai)

∞i=1 ⊂

IK :∑∞

i=1 aiei converge}. Como X e reflexivo, J(X) = X ′′ e temos que T (X ′′) = Y1 ou seja,

{(ai)∞i=1 ⊂ IK :

∞∑

i=1

aieiconverge} = {(ai)∞i=1 ⊂ IK : |||(ai)

∞i=1||| = sup

n

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ∞}.

Donde concluımosque (ei)∞i=1 e uma base limitadamente completa.

(⇐): Como (ei)∞i=1 e uma base contratil, usando a mesma notacao da primeira parte

da demonstracao temos que T estabelece um isomorfismo de X ′′ sobre S. Mas se (ei)∞i=1 e

limitadamente completa, temos que∞∑

i=1

aiei converge se e somente se supn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ∞.

Segue daı que

S = {(ai)∞i=1 ⊂ IK; |||(ai)

∞i=1||| = sup

n∈IN

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ∞}

= {(ai)∞i=1 ⊂ IK :

∞∑

i=1

aiei converge}

= {(J(∞∑

j=1

ajej(e′i)))

∞i=1 :

∞∑

i=1

aiei; converge}

= {(J(x)(e′i)∞i=1 : x ∈ X}.

Como S = {(x′′(e′i)∞i=1 : x′′ ∈ X ′′} e T e injetivo, concluımos que J(X) = X ′′ e, con-

sequentemente, X e reflexivo.

Exemplo 2.2. Consideremos os espacos de sequencia ℓp, para p ∈ (1,∞). Como sabemos

esses espacos sao reflexivos , pelo teorema 2.6, suas bases canonicas sao bases contrateis e

limitadamente completas.

Exemplo 2.3. Seja ℓ1 o espaco das sequencias convergentes em IK. Como ℓ′1 = ℓ∞, temos

pelo Exemplo 1.2, que existe um isomorfismo isometrico T : ℓ∞ −→ ℓ′1 que leva a sequencia

(ei)∞i=1 onde δnn = 1 e δnk = 0 se n 6= k em (e′i)

∞i=1 a sequencia dos funcionais coordenada da

51

base canonica (ei)∞i=1 de ℓ1. Assim (ei)

∞i=1 nao pode ser uma base contratil ja que a sequencia

(ei)∞i=1 nao e base de Schauder de ℓ∞.

Exemplo 2.4. Consideremos o espaco de sequencia c0. Como c′0 = ℓ1 e pelo Exemplo 1.1,

existe um isomorfismo isometrico T : ℓ1 −→ c′0 que leva (ei)∞i=1 a base canonica de ℓ1 em

(e′i)∞i=1 a sequencia dos funcionais coordenada da base canonica (ei)

∞i=1 de c0, temos assim

que (ei)∞i=1 e uma base contratil. Pelo Teorema 2.6, (ei)

∞i=1 nao e uma base limitadamente

completa ja que c0 nao e reflexivo.

Corolario 2.1. Seja E um espaco de Banach. Se E ′ tem um subespaco reflexivo de dimensao

infinita entao E tem um espaco quociente de dimensao infinita com base de Schauder.

Demonstracao. Seja K um subespaco reflexivo de dimensao infinita de E ′. Pelo Teorema 2.3,

existe um subespaco fechado de dimensao infinita N de K com base de Schauder. Como N

e um subespaco fechado de um espaco reflexivo temos que tambem e um espaco reflexivo.

Seja δx(f) = f(x) para toda f ∈ N ′ e para todo x ∈ N . Como N e reflexivo, a aplicacao

δ : N −→ N ′′ definida por δ(x) = δx para todo x ∈ N e um isomorfismo isometrico de N

sobre N ′′.

Seja (ei)∞i=1 uma base de Schauder de N . Pelo Teorema 2.6, temos que (ei)

∞i=1 e uma base

contratil , ou seja, span{e′i; i ∈ IN} = N ′. Consequentemente, pela Proposicao 2.3, temos

que (e′i)∞i=1 e um base de Schauder de N ′.

Consideremos a inclusao S : N −→ E ′ e o mergulho canonico J : E −→ E ′′. Definamos

T : E −→ N ′ por T = S ′◦J onde S ′ e a transposta de S. Seja T ′ a transposta de T . Fixados

arbitrariamente y ∈ Ne x ∈ E temos:

T ′(δy)(x) = δy(T (x)) = δy(S′(J(x))) = S ′(J(x))(y) = J(x)(S(y)) = S(y)(x)

de modo que T ′ = S ◦ δ−1. Consequentemente, (T ′)−1 : N ′′ −→ E ′ e uma aplicacao contınua

e, pelo Teorema 1.8, temos que T (E) = N ′.

52

Seja T : E/kerT −→ N ′ definida por T (x) = T (x) para todo x ∈ E/kerT . Temos que T

e uma aplicacao linear contınua e bijetora. Como E e N ′ sao espacos de Banach e T e uma

aplicacao contınua e sobrejetiva, segue pelo Teorema 1.6, que T e uma aplicacao aberta.

O que implica em T ser uma aplicacao contınua. Pelo Teorema 1.6, vemos que T e um

isomorfismo entre E/kerT e N ′. O que completa a demonstracao.

2.3 Bases incondicionais

Definicao 2.11. Uma base de Schauder (ei)∞i=1 de um espaco de Banach e dita incondicional

se para todo x ∈ X a serie x =∞∑

i=1

aixi converge incondicionalmente. Uma sequencia (xi)∞i=1

e chamada de um sequencia basica incondicional se e uma base de Schauder incondicional

do span{xi; i ∈ IN}.

Exemplo 2.5. A base de Schauder canonica (ei)∞i=1 dos espacos c0 e ℓp, para p ∈ [1,∞), e

incondicional.

Com efeito, se x ∈ c0, existe uma sequencia (ai)∞i=1 de escalares tal que x =

∞∑

i=1

aiei.

Como a serie e convergente, dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

< ǫ para todo

m ≥ n ≥ n0.

Seja (ǫi)∞i=1 uma sequencia de escalares que assume apenas os valores 1 e -1. Para todo

m ≥ n ≥ n0 temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

ǫiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

= supn≤i≤m

|ǫiai| = supn≤i≤m

|ai| =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

< ǫ. Pela

Proposicao 1.7, temos que a serie∞∑

i=n

ǫiaiei e incondicionalmente convergente e assim (ei)∞i=1

e uma base de Schauder incondicional para c0.

Analogamente mostra-se que (ei)∞i=1 e uma base de Schauder incondicional para ℓp, p ∈

53

[1,∞).

Exemplo 2.6. Neste exemplo mostraremos uma base de Schauder que nao e incondicional.

Seja (ei)∞i=1 a base de Schauder canonica de c0. Para cada n ∈ IN consideremos xn =

n∑

i=1

ei. Primeiro vamos mostrar que se x =∞∑

i=1

αiei entao x =∞∑

i=1

βixi, onde βn = αn−αn+1.

Com efeito, podemos ver que para cada n ∈ IN temos

n+p∑

i=n

βi =

n+p∑

i=n

(αi −αi+1) = αn −αn+p+1

Como∞∑

i=1

αiei converge temos que a sequencia (|αi|)∞i=1 converge para zero e assim

∞∑

i=n

βi = αn (∗). A partir dessa igualdade temos que x =∞∑

i=1

αiei =∞∑

i=1

(∞∑

k=i

βk)ei

Podemos ver que para cada n ∈ IN temosn∑

i=1

βixi =n∑

i=1

(n∑

j=1

(βj)ei =n∑

i=1

(αi − αn+1)ei.

A partir daı temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

βixi − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

=

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ei(αi − αn+1) − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

eiαi − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

+

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

eiαn+1

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

=

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

eiαi − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

+ |αn+1|

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

=

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

eiαi − x

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

+ |αn+1| .

Assim fazendo n → ∞ temos que se x =∞∑

i=1

αiei entao x =∞∑

i=1

βixi.

Suponhamos que exista uma outra sequencia de escalares (γi)∞i=1 tal que x =

∞∑

i=1

γixi.

Para cada n ∈ IN temos quen∑

i=1

γixi =n∑

i=1

γi

(i∑

j=1

ej

)=

n∑

j=1

(n∑

i=j

γj

)ej donde concluımos

que x =∞∑

i=1

αiei =∞∑

i=1

(∞∑

k=i

γk

)ei. Como (ei)

∞i=1 e uma base de Schauder temos que

∞∑

i=n

βi =∞∑

i=n

γi para cada n ∈ IN . Temos entao que βn =∞∑

i=n

βi−∞∑

i=n+1

βi =∞∑

i=n

γi−∞∑

i=n+1

γi =

γn para cada n ∈ IN , e portanto (xi)∞i=1 e base de Schauder de c0.

54

Seja S = {(βk)∞k=1;

∞∑

k=1

βk seja convergente}. Argumento analogo ao usado na

demonstracao da Proposicao 2.2 mostra que |||(βk)∞k=1||| = sup

n∈IN

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

k=1

βk

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

e uma norma

em S.

Vamos mostrar que (xi)∞i=1 nao e uma base incondicional.

Consideremos a aplicacao T : c0 −→ S tal que T (x) = (αk−αk+1)∞k=1 para x =

∞∑

i=1

αiei ∈

c0.

Sejam x =∞∑

i=1

aiei, y =∞∑

i=1

biei ∈ c0 e λ ∈ IK. Podemos ver facilmente que T (x + λy) =

T (x) + λT (y). Portanto T e uma aplicacao linear. Vamos supor agora que T (x) = T (y) e

vamos definir as sequencias de escalares (βi)∞i=1 e (γi)

∞i=1 tais que βi = ai−ai+1 e γi = bi−bi+1.

Como foi demonstrado em (∗), para cada i ∈ IN temos ai =∞∑

n=i

βn e bi =∞∑

n=i

γn, logo T e

uma aplicacao injetiva.

Vamos mostrar que T e uma aplicacao sobrejetiva. Seja (βk)∞k=1 ∈ S. Para cada k ∈ IN

consideremos αk =∞∑

n=k

βn. Podemos ver de maneira imediata que βk =∞∑

n=k

βn −∞∑

n=k+1

βn =

αk − αk+1 e supi∈IN |αi| = sup

i∈IN

∣∣∣∣∣

∞∑

n=i

βn

∣∣∣∣∣ < ∞. Tomando x =∞∑

n=1

αnen temos que x ∈ c0

e pela definicao de T temos T (x) = (βk)∞k=1, sendo assim T e uma aplicacao sobrejetiva.

Sejam x =∞∑

n=1

αnen ∈ c0 e βn = αn − αn+1 para cada n ∈ IN . Temos entao que ||x||∞ =

supn∈IN

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

k=1

βk

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ = |||(βk)∞k=1||| e T e um isomorfismo isometrico.

Como a serie∞∑

n=1

(−1)n

ne convergente temos que

((−1)n

n

)∞

n=1∈ S e T−1

(((−1)n

n

)∞

n=1

)∈

c0, consequentemente∞∑

n=1

(−1)n

nxn ∈ c0. Suponhamos que x =

∞∑

n=1

1

nxn ∈ c0, entao existe

55

uma sequencia (αi)∞i=1 ∈ IK tal que x =

∞∑

i=1

αiei e∞∑

i=n

1

i= αn. O que implicaria na

convergencia da serie∞∑

n=1

1

n, que e um absurdo. Como a serie

∞∑

n=1

(−1)n

nxn converge e a serie

∞∑

n=1

1

nxn diverge temos, pela Proposicao 1.7, que a serie

∞∑

n=1

(−1)n

nnao e incondicionalmente

convergente e assim (xi)∞i=1 nao e base de Schauder incondicional.

Proposicao 2.7. Seja (ei)∞i=1 uma sequencia em um espaco de Banach X. Sao equivalentes:

(1) (ei)∞i=1 e uma sequencia basica incondicional.

(2) Existe uma constante K tal que para a1, a2, . . . , an ∈ IK com n ∈ IN e ǫi ∈ {1,−1}

para i ∈ {1, . . . , n} tem-se ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ǫiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

(3) Existe uma constante L tal que para a1, a2, . . . , an ∈ IK com n ∈ IN e todos os

subconjuntos σ de {1, . . . , n} tem-se

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈σ

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ L

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Demonstracao. (1) ⇒ (3): Seja Y = span{ei; i ∈ IN}. Dado σ ⊂ IN finito definimos uma

aplicacao Pσ : Y −→ Y tal que Pσ(x) =∑

i∈σ

aiei para todo x =∞∑

i=1

aiei ∈ Y . Temos que Pσ

esta bem definido. Podemos ver de maneira imediata que e uma aplicacao linear.

Vamos mostrar que Pσ tem grafico fechado. Sejam (xk)∞k=1 e (Pσ(xk))

∞k=1 sequencias

em Y tais que limk→∞

xk = x e limk→∞

Pσ(xk) = y com x, y ∈ Y . Considere x =∞∑

i=1

aiei e

y =∞∑

i=1

biei. Para cada k ∈ IN considere xk =∞∑

i=1

aki ei e Pσ(xk) =

∑

i∈σ

aki ei para (ak

i )∞i=1IK.

Pela continuidade dos funcionais coordenadas de (ei)∞i=1, temos que a sequencia (ak

i )∞k=1

converge para ai para i ∈ IN . Pela mesma razao (aki )

∞k=1 converge para bi para i ∈ IN .

56

Consequentemente temos bi = ai para cada i ∈ σ, bi = ai = 0 para cada i ∈ IN\σ e

Pσ(x) = y. Assim Pσ tem grafico fechado e, pelo Teorema do Grafico Fechado (Teorema 1.7),

e uma aplicacao contınua.

Consideremos a famılia de operadores (Pσ)σ∈IN f

onde IN f e o conjunto dos subconjun-

tos finitos de IN e x =∞∑

i=1

aiei ∈ Y . Como a serie∞∑

i=1

aiei converge incondicionalmente

temos, pela Proposicao 1.6, que dado ǫ > 0 existe um conjunto finito F ⊂ IN tal que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈A

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ para A ⊂ IN finito e A∩F = ∅. Seja K0 =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈F

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ entao para cada σ ⊂ IN

finito

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈σ

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈F c∩σ

aiei +∑

i∈F∩σ

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K0 + ǫ. Portanto (Pσ(x))σ⊂IN e uma famılia

limitada para cada x ∈ Y e, pelo Teorema de Banach-Steinhaus (Teorema 1.5), temos que

(Pσ)σ⊂IN e uma famılia uniformemente limitada, e daı existe uma contante positiva L tal

que ||Pσ(x)|| ≤ L ||x|| para todo σ ⊂ IN finito e x ∈ Y . Portanto para a1, . . . , an ∈ IK com

n ∈ IN e para cada σ ⊂ {1, . . . , n} temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈σ

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣Pσ(n∑

i=1

aiei)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ L

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

(3) ⇒ (2): Consideremos os escalares a1, . . . , an com n ∈ IN e ǫi ∈ {1,−1} para i ∈

{1, . . . , n}. Vamos definir σ = {i; ǫi = 1} e σ′ = {i; ǫi = −1}. Por hipotese temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ǫiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈σ

aiei −∑

i∈σ′

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈σ

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈σ′

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ 2L

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Tomando K = 2L segue que dados os escalares a1, . . . , an com n ∈ IN e ǫi ∈ {1,−1} para

i ∈ {1, . . . , n} temos ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ǫiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

(2) ⇒ (3): Dados os escalares a1, . . . , an com n ∈ IN e o conjunto σ ⊂ {1, . . . , n}

57

definimos ǫi = 1 se i ∈ σ e ǫi = −1 se i ∈ {1, . . . , n}\σ. Segue da hipotese que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∑

i∈σ

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =1

2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

(ǫiaiei + aiei)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤1

2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ǫiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ +1

2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Isto completa a demonstracao de (2) ⇒ (3).

(2) ⇒ (1): Como (2) e (3) sao equivalentes, existe L > 0 tal que dada qualquer sequencia

(λi)∞i=1 de escalares e qualquer m ∈ IN temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

λiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ L

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

λiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ para todo n ≤ m.

Daı, pelo Teorema 2.2, temos que (ei)∞i=1 e uma sequencia basica com bc{ei} ≤ L. Seja

agora∞∑

i=1

aiei uma serie convergente. Dado ǫ > 0, seja n0 ∈ IN tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ < ǫ

para todo m ≥ n ≥ n0. Para cada m ≥ n ≥ n0 fixado, tomando b1, . . . , bm tais que bi = 0

para 1 ≤ i ≤ n − 1 e bi = ai para n ≤ i ≤ m temos quem∑

i=1

ǫibiei =m∑

i=n

ǫiaiei para

qualquer escolha dos ǫi ∈ {1,−1}. Alem disso, por (2) temos que existe K > 0 tal que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

ǫibiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=1

biei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ para cada escolha de ǫi ∈ {1,−1} para i ∈ {1, . . . ,m}. Segue

daı que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

ǫiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

i=n

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣. Como isto vale para todo m ≥ n ≥ n0, temos que

∞∑

i=1

ǫiaiei converge para toda escolha de (ǫi)∞i=1 ⊂ {1,−1} e daı, pelo Teorema 1.7,

∞∑

i=1

ǫiaiei

converge incondicionalmente. Portanto, (ei)∞i=1 e uma sequencia basica incondicional.

Observacao 2.4. A menor constante que satisfaz a condicao (2) na proposicao anterior e

chamada constante basica incondicional da sequencia (ei)∞i=1 e e denotada por ubc{ei}

Lema 2.4. Seja (ei)∞i=1 um sequencia basica em um espaco de Banach X. Entao para todas

as sequencias de escalares (ai)∞i=1 tais que

∞∑

i=1

aiei converge e toda sequencia de escalares

(λi)∞i=1 limitada temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

λiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ ubc{ei}(sup |λi|)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

58

Demonstracao. Sejam (ai)∞i=1 uma sequencia de escalares tal que

∞∑

i=1

aiei converge e (λi)∞i=1

uma sequencia de escalares limitada. Para cada n ∈ IN consideremosn∑

i=1

λiaiei. Pelo Corolario

1.1, existe um funcional linear x′ ∈ SX tal que x′(n∑

i=1

λiaiei) =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

λiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣. Definindo uma

sequencia de escalares (ǫi)∞i=1 tal que ǫi = 1 se aix

′(ei) ≥ 0 e ǫi = −1 se aix′(ei) < 0, temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

λiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ = x′(n∑

i=1

λiaiei) =n∑

i=1

λiaix′(ei) ≤

n∑

i=1

|λi| |aix′(ei)|

≤ ( sup1≤i≤n

|λi|)n∑

i=1

ǫiaix′i(ei) = ( sup

1≤i≤n|λi|)x

′(n∑

i=1

ǫiaiei)

≤ ( sup1≤i≤n

|λi|) ||x′||

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ǫiaiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ ( sup1≤i≤n

|λi|)ubc{ei}

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Como isto vale para todo n ∈ IN e a norma e contınua, fazendo n → ∞ obtemos o resultado.

Teorema 2.7. Seja X um espaco de Banach separavel. Se X tem uma base de Schauder

incondicional que nao e limitadamente completa, entao X contem uma copia de c0.

Demonstracao. Seja (ei)∞i=1 uma base incondicional de X que nao e limitadamente completa.

Entao existe uma sequecia de escalares (ai)∞i=1 tal que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ 1 para todo n ∈ IN e a

serie∞∑

i=1

aiei seja divergente. Consequentemente, pelo criterio de Cauchy existe um ǫ > 0

tal que para cada n ∈ IN tomando q0 = 1 existem qn > pn > max{n, qn−1} tais que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

qn∑

i=pn

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ.

Segue por inducao, a existencia de sequencias de naturais (pn)∞n=1 e (qn)∞n=1 tais que

pn < qn < pn+1 < qn+1 e

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

qn∑

i=pn

aiei

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥ ǫ para cada n ∈ IN . Considere a sequencia

(un)∞n=1 tal que un =

qn∑

i=pn

aiei. Por uma escolha apropriada, obtemos (βn)∞n=1 ⊂ {0, 1}

59

tal que supn

|βn| = 1 em∑

n=1

un =∞∑

n=1

βnanen para todo m ∈ IN e, pelo Lema 2.4, temos

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

n=1

un

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

anen

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K onde K = ubc{ei}. Novamente, pelo Lema 2.4, temos que

para qualquer sequencia de escalares (λn)∞n=1 vale

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

n=1

λnun

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ K(supn

|λn|)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

n=1

un

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤

K2(supn

|λn|) = K2 ||(λn)mn=1||∞. Por outro lado como (ei)

∞i=1 e uma base incondicional temos,

pela Proposicao 2.7, que para cada i ∈ {1, . . . , m},

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

n=1

λnun

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥1

K||λiui|| ≥

ǫ

K|λi| ,

ou seja,

ǫ

K||(λn)m

n=1||∞ ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

n=1

λnun

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Consequentemente, (un)∞n=1 e equivalente a base canonica de c0.

60

Capıtulo 3

O Teorema de Josefson-Nissenzweig

Neste capıtulo apresentamos resultados que estabelecem condicoes sob as quais um espaco de

Banach X tem um quociente isomorfo ao espaco c0 e condicoes sob as quais X tem um espaco

quociente isomorfo a ℓ2. Estes resultados sao solucoes parciais para o problema da existencia

de quociente de dimensao infinita separavel. O ultimo resultado que apresentaremos e o

Teorema de Josefson-Nissenzweig, que diz que se X e um espaco de Banach de dimensao

infinita entao existe uma sequencia (ϕn)∞n=1 ⊂ X ′ tal que ||ϕn|| = 1 para cada n ∈ IN e

limn→∞

ϕn(x) = 0 para cada x ∈ X. A demonstracao para o Teorema de Josefson-Nissenzweig

usa os dois resultados acima mencionados.

Teorema 3.1. (Bessaga − Pelczynski) Seja X um espaco de Banach. Se X ′ tem um

subespaco isomorfo a c0 entao X tem um espaco quociente isomorfo a ℓ1.(De fato X tem um

subespaco complementado isomorfo a ℓ1.)

Demonstracao. Por hipotese existe um isomorfismo R : c0 −→ A onde A e um subespaco

fechado de X ′. Se (ei)∞i=1 e a base canonica de c0, entao para cada x ∈ c0 existe uma

sequencia de escalares (λi)∞i=1 tal que x =

∞∑

i=1

λiei isto e x = (λi)∞i=1 e lim

i→∞λi = 0. Como R

61

e um isomorfismo temos que

1

||R−1||supi∈IN

||λi|| ≤ ||R(x)|| =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

λiR(ei)i

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ ||R|| supi∈IN

||λi||

para todo (λn)∞n=1 ∈ c0. Considere a = 1||R−1||

e b = ||R||. Definindo ϕn = R(en)||R(en)||

para cada

n ∈ IN temos que

a

bsup

n∈IN|λn| ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

λiϕi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤b

asup

n∈IN|λn| (1)

para todo (λi)∞i=1 ∈ c0.

Seja ρ = (ξn)∞n=1 ∈ ℓ1. Usando a notacao do Exemplo 1.1 temos que Tρ(en) = ξn para

cada n ∈ IN e e claro que∞∑

i=1

|Tρ(ei)| ≤ ∞.

Para cada x ∈ X consideremos o funcional linear Jx ◦R : c0 −→ IK onde Jx ◦R ∈ X ′′ e o

funcional linear associado a x pelo mergulho canonico J : X −→ X ′′. Como Jx ◦R ∈ ℓ1 = c′0

temos que∞∑

i=1

|Jx ◦ R(ei)| < ∞ e assim

∞∑

i=1

|ϕi(x)| =∞∑

i=1

|R(ei)(x)|

||R(ei)||=

∞∑

i=1

∣∣∣∣Jx ◦R(ei)

||R(ei||

∣∣∣∣ ≤1

a

∞∑

i=1

|Jx ◦ R(ei)| < ∞. (2)

Como para cada n ∈ IN temos que {ϕ1, . . . , ϕn} e um conjunto linearmente independente,

pela Proposicao 1.1 concluımos que existem x1, . . . , xn ∈ X tais que X = span{x1, . . . , xn}⊕n⋂

k=1

ker ϕk. Comon⋂

k=1

ker ϕk e um subespaco fechado de X, temos que X/

n⋂

k=1

ker ϕk e um

espaco de Banach. Alem disso temos que X/

n⋂

k=1

ker ϕk e um espaco de dimensao finita n

que e isomorfo a {x1, . . . , xn} e sabemos que, com a notacao estabelecida na Proposicao

1.1, que existe um isomorfismo T entre span{x1, . . . , xn} e (span{ϕ1, . . . , ϕn})′ definido por

T (n∑

i=1

λixi) =n∑

i=1

λiδxi. Para simplificar a escrita, vamos denotar (span{ϕ1, . . . , ϕn})

′ por

span {ϕ1, . . . , ϕn}′. Para cada x ∈ X existe uma unica decomposicao x =

n∑

i=1

aixi + y com

62

y ∈n⋂

k=1

ker ϕk e e facil verificar que definindo Fn(x) =n∑

i=1

λiδxipara todo x =

n∑

i=1

aixi + y

com y ∈n⋂

i=1

ker ϕk obtemos um isomorfimo entre X/

n⋂

k=1

ker ϕk e span{ϕ1, . . . , ϕn}′. Para

cada n ∈ IN seja Qn : X −→ X/

n⋂

i=1

ker ϕi a aplicacao quociente canonica. Consideremos a

aplicacao Fn ◦ Qn : X −→ span{ϕ1, . . . , ϕn}′. Temos que

Fn ◦ Qn(x)(ϕ) =n∑

i=1

aiϕ′i(

n∑

j=1

bjϕj) =n∑

i=1

aibi =n∑

j=1

bjϕj(n∑

i=1

aixi + y) = ϕ(x) (3)

para cada x =n∑

i=1

aixi + y ∈ X e ϕ =n∑

i=1

biϕi ∈ span{ϕ1, . . . , ϕn}.

Seja (ǫn)∞n=1 uma sequencia de numeros reais tal que 0 < ǫn < 1 para cada n ∈ IN e∞∑

i=1

ǫn < +∞.

Para cada u ∈ span{ϕ1}′ tal que ||u|| ≤ 1, consideremos B ǫ1

3(u). Temos assim que C =

{B ǫ13(u); u ∈ Bspan{ϕ1}′} e uma cobertura aberta do conjunto compacto Bspan{ϕ1}′ . Assim

existem u11, . . . , u

1n1

∈ Bspan{ϕ1}′ tais que Bspan{ϕ1}′ ⊂n1⋃

i=1

Bǫ1/3(u1i ) e consequentemente existe

um conjunto A1 = {x11, . . . , x

1n1} ⊂ BX tal que F1 ◦ Q1(x

1i ) = u1

i para cada i ∈ {1, . . . , n1}.

Para u ∈ span{ϕ1}′ com ||u|| ≤ 1 existe x ∈ A1 tal que ||u − F1 ◦ Q1(x)|| < ǫ1

3. Assim,

usando (3) para cada ψ ∈ span{ϕ1} temos

||u(ψ) − ψ(x)|| = ||u(ψ) − F1 ◦ Q1(x)(ψ)|| ≤ ||u − F1 ◦ Q1(x)|| ||ψ|| < ||ψ||ǫ1

3.

Como A1 e um conjunto finito e por (2)∞∑

n=1

|ϕn(x)| < +∞ para cada x ∈ X, existe p2 > 1

tal que |ϕp2(x)| < ǫ1

3para todo x ∈ A1. Vamos considerar p1 = 1.

Analogamente, como Bspan{ϕ1,ϕ2}′ e um conjunto compacto, obtemos via aplicacao F2◦Q2

que existe um conjunto B2 = {x21, . . . , x

2n2} ⊂ BE tal que para cada u ∈ Bspan{ϕ1,ϕ2}′ e para

qualquer ψ ∈ span{ϕ1, ϕ2} existe x ∈ B2 tal que ||u − F2 ◦ Q2(x)|| < ǫ23

e consequentemente

||u(ψ) − ψ(x)|| = ||u(ψ) − F2 ◦ Q2(x)(ψ)|| < ||u(ψ) − ψ(x)|| ||ψ|| <ǫ2

3||ψ|| .

63

Consideremos o conjunto A2 = A1 ∪ B2. Como, por (2),∞∑

n=1

|ϕn(x|) < +∞ para qualquer

x ∈ X e A2 e um conjunto finito, existe p3 > p2 tal que |ϕp3(x)| < ǫ2

3para cada x ∈ A2.

Segue indutivamente que existe uma sequencia crescente de conjuntos finitos

(An)∞n=1 ⊂ BX tal que:

(i) para cada u ∈ span{ϕp1, . . . , ϕpn

}′ com ||u|| ≤ 1 existe x ∈ An tal que |u(ψ) − ψ(x)| ≤

ǫn

3||ψ|| para qualquer ψ ∈ span{ϕp1

, . . . , ϕpn}.

(ii)∣∣ϕpn+1

(x)∣∣ ≤ ǫn

3.

Para simplificarmos a notacao vamos considerar αn = ϕpnpara qualquer n ∈ IN .

Afirmamos que para qualquer ψ ∈ span{α1, . . . , αn}:

||ψ − λαn+1|| ≥ǫn

3||ψ|| para cada λ ∈ IK (4).

Com efeito, podemos considerar sem perda de generalidade que ||ψ|| = 1. Para

demonstrar (4) consideraremos dois casos: |λ| ≥ 2 e |λ| < 2.

Se |λ| ≥ 2, como ||αn|| = 1 para todo n ∈ IN ,

||ψ − λαn+1|| ≥ ||λαn+1|| − ||ψ|| = |λ| ||αn+1|| − ||ψ|| = |λ| − 1 ≥ 1 − ǫn.

Se |λ| ≤ 2, dado ψ ∈ span{α1, . . . , αn} com ||ψ|| = 1, temos pelo Corolario 1.1 que existe

u ∈ span{α1, . . . , αn}′ tal que ||u|| = 1 e u(ψ) = ||ψ|| = ||u|| = 1. Sabemos que existe

x ∈ An ⊂ BE tal que |u(ψ) − ψ(x)| ≤ ǫn

3e ||αn+1(x)|| ≤ ǫn

3. Consequentemente, obtemos

que

||ψ + λαn+1|| ≥ |(ψ + λαn+1)(x)| ≥ − |λαn+1(x)| + |u(ψ) − u(ψ) + ψ(x)|

≥ − |λαn+1(x)| + |u(ψ)| − |u(ψ) − ψ(x)| > 1 −ǫn

3− 2

ǫn

3= 1 − ǫn.

Seja ψ ∈ span{α1, . . . , αn} e g = ψ||ψ||

. Por (4) temos que ||g − λαn+1|| ≥ 1 − ǫn para

64

todo λ ∈ IK. Para cada λ considere λ||ψ||

. Segue que ||ψ + λαn+1|| = ||ψ||∣∣∣∣∣∣g + λ

||ψ||αn+1

∣∣∣∣∣∣ ≥

(1 − ǫn) ||ψ||.

O que conclui a demonstracao de (4).

Agora vamos usar (4) para mostrar que (αn)∞n=1 e uma sequencia basica em X ′.

Sejam m,n ∈ IN com m ≥ n e λ1, . . . , λm ∈ IK. Podemos ver que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

j=1

λjαj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ = ||λ1α1 + · · · + λmαm|| ≥ (1 − ǫm−1) ||λ1α1 + · · · + λm−1αm−1||

≥ (1 − ǫm−1)(1 − ǫm−2) ||λ1α1 + · · · + λm−2αm−2|| ≥m−1∏

j=n

(1 − ǫj)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λjαj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

≥∞∏

j=n

(1 − ǫj)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λjαj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≥∞∏

j=1

(1 − ǫj)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λjαj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ .

Pelo Teorema 2.2, temos que (αn)∞n=1 e uma sequencia basica em X ′. Considere-

mos (α′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coordenadas associada com a sequencia (αn)∞n=1

e seja (Sn)∞n=1 a sequencia de projecoes associada a (αn)∞n=1. Para cada n ∈ IN , temos que

Sn : span{αn; n ∈ IN} −→ span{αn; n ∈ IN} e definida por Sn(ψ) =n∑

j=1

α′j(ψ)αj para cada

ψ =∞∑

j=1

α′j(ψ)αj ∈ span{αn; n ∈ IN}. Temos tambem que

||Sn(ψ)|| ≤1∏∞

j=n(1 − ǫj)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

m∑

j=1

α′jαj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

para cada m ≥ n. Fazendo m → ∞ temos que

||Sn(ψ)|| ≤1∏∞

j=n(1 − ǫj)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

j=1

α′jαj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =1∏∞

j=n(1 − ǫj)||ψ|| .

Como consequencia obtemos que limn→∞

||Sn|| = 1. Como Sn =n∑

j=1

α′jαj para cada n ∈ IN

65

temos que α′(ψ)αn = (Sn−Sn−1)(ψ) para cada n ∈ IN e ψ =∞∑

i=1

α′i(ψ)αi e consequentemente

temos que ||α′n|| = ||Sn − Sn−1|| ≤

2∏∞

j=1(1−ǫj)

para cada n ∈ IN .

Seja agora, T : X −→ span{α′n; n ∈ IN} tal que T (x)(ψ) = ψ(x) =

∞∑

j=1

α′j(ψ)αj(x) para

cada x ∈ X e ψ =∞∑

i=1

α′i(ψ)αi ∈ span{αn, n ∈ IN}. Podemos ver que T e uma aplicacao

linear.

Vejamos que T (X) ⊂ span{α′n, n ∈ IN}. Para cada n ∈ IN temos que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

α′jαj(x)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤n∑

j=1

∣∣∣∣α′j

∣∣∣∣ |αj(x)| ≤n∑

j=1

2∏∞j=1(1 − ǫj)

|αj(x)| ≤2∏∞

j=n(1 − ǫj)(

n∑

j=1

|αj(x)|).

Como, por (2), a serie∞∑

j=1

|ϕj(x)| converge, temos pela Proposicao 1.7 que a serie∞∑

j=1

|αj(x)|

converge, e desta maneira obtemos que (n∑

j=1

∣∣α′jαj(x)

∣∣)∞n=1 e uma sequencia de Cauchy em

span{α′n; n ∈ IN}. Temos entao que T (x) =

∞∑

j=1

α′jαj(x) ∈ span{α′

n; n ∈ IN} e T esta

bem definida. Alem disso, como |T (x)(ψ)| = |ψ(x)| ≤ ||ψ|| ||x|| para cada x ∈ X e ψ ∈

span{αn; n ∈ IN} concluimos que ||T (x)|| ≤ ||x||, e assim T e uma aplicacao contınua.

Finalmente, vamos mostrar que span{α′n; n ∈ IN} ⊂ T (X).

Basta mostrar que dado u ∈ span{α′n, n ∈ IN} tal que ||u|| ≤ 1

2e dado ǫ > 0 existe

x ∈ BX tal que ||T (x) − u|| ≤ ǫ

Com efeito, se u ∈ span{α′n; n ∈ IN} satisfaz ||u|| ≤ 1

2, existe uma sequencia (un)∞n=1 ⊂

span{α′n; n ∈ IN} tal que lim

n→∞un = u. Assim, dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que ||un0

|| ≤ 1

e ||un0− u|| ≤ ǫ. Seja uno

=n∑

j=1

λjα′j com λ1, . . . , λk ∈ IK. Como u0 ∈ span{α′

i : i ∈ IN},

limn→∞

||Sn|| = 1 e∞∑

j=1

ǫj < +∞ existe um n ∈ IN tal que un0∈ span{α′

1, . . . , α′n}, ||Sj|| ≤ 2

66

para todo j ≥ n e∞∑

j=n

ǫj < ǫ. Segue daı que∣∣∣∣α′

j

∣∣∣∣ ≤ ||Sj − Sj−1|| ≤ 4 para cada j ≥ n.

Seja ψ =∞∑

j=1

α′j(ψ)αj ∈ span{αn; n ∈ IN} , com ||ψ|| ≤ 1 e defina Sn(ψ) =

n∑

j=1

α′j(ψ)αj

para cada n ∈ IN . E claro que ||Sn(ψ)|| ≤ 2. Como uno=

n∑

j=1

λjα′j temos que

uno(ψ) =

n∑

j=1

λjα′j(ψ) =

n∑

j=1

λjα′j(

∞∑

i=1

α′i(ψ)αi) =

n∑

j=1

λjα′j(

n∑

i=1

α′j(ψ)αi) =

n∑

j=1

λjα′j(Sn)(ψ).

Por (i) existe x ∈ An tal que |un0(ψ) − ψ(x)| ≤ ǫn

3||ψ|| para qualquer ψ ∈ span{α1, . . . , αn}.

Segue daı e de (ii) que

|(un0− T (x))(ψ)| = |un0

(ψ) − ψ(x)| =

∣∣∣∣∣un0(ψ) −

∞∑

j=1

α′j(ψ)αj(x)

∣∣∣∣∣

≤

∣∣∣∣∣un0(ψ) −

n∑

j=1

α′j(ψ)αj(x)

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣

∞∑

j=n+1

α′j(ψ)αj(x)

∣∣∣∣∣

≤ |un0(ψ) − ψ(x)| +

∞∑

j=n+1

∣∣α′j(ψ)

∣∣ |αj(x)|

≤ǫn

3||ψ|| +

∞∑

j=n+1

∣∣∣∣α′j

∣∣∣∣ ||αj|| ||ψ|| ||x||ǫj

3

≤ 2ǫn

3+

∞∑

j=n+1

4ǫj

3≤

1

3ǫ + 4

ǫ

3= 2ǫ

para cada ψ ∈ span{αn; n ∈ IN} tal que ||ψ|| ≤ 1. Donde concluımosque ||un0− T (x)|| ≤

2ǫ. Assim dado u ∈ span{α′n; n ∈ IN} com ||u|| ≤ 1

2existe x ∈ BX tal que

||u − T (x)|| = ||u − un0+ un0

− T (x)|| ≤ ||u − un0|| + ||un0

− T (x)|| ≤ 3ǫ.

Mostramos entao que B 1

2

(0) esta contida em T (BX) e segue daı que span{α′n; n ∈ IN} ⊂

T (X), e consequentemente, temos span{α′n : n ∈ IN} = T (X).

67

Mostraremos agora que span{α′n; n ∈ IN} e isomorfo a ℓ1. Por (1) temos que

a

bsup

1≤k≤n|λk| ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λjαj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤b

asup

1≤k≤n|λj| para todo (λn)∞n=1 ∈ c0

e desta maneira span{αn; n ∈ IN} e isomorfo a c0. Daı podemos ver que a aplicacao

S : c0 −→ span{αn : n ∈ IN}

(λ)∞j=1 7−→ S((λ)∞j=1) =∞∑

j=1

λjαj

estabelece um isomorfismo entre c0 e span{αn : n ∈ IN}.

Entao S ′ : span{αn : n ∈ IN}′ −→ ℓ1 e tambem um isomorfismo e temos que ||S|| = ||S ′|| <

∞ e como a transposta (S−1)′de S−1 e contınua, temos que ||(S−1)′|| < ∞.

Vamos mostrar que span{αn : n ∈ IN}′ = span{α′n : n ∈ IN}.

Ora, para todo f ∈ span{αn : n ∈ IN}′ e ψ =∞∑

k=1

α′k(ψ)αk ∈ span{αn : n ∈ IN}

temos f(ψ) = f(∞∑

k=1

α′k(ψ)αk) = (

∞∑

k=1

α′k(ψ)f(αk)) de modo que span{αn : n ∈ IN}′

⊂ span{α′n : n ∈ IN}.

Alem disso, pela Proposicao 2.3, (α′n)∞n=1 e uma sequencia basica em span{αn : n ∈ IN}′,

ou seja, span{α′n : n ∈ IN} ⊂ span{αn : n ∈ IN}′.

Dado qualquer∞∑

k=1

akα′k ∈ span{αn : n ∈ IN}′ temos que S ′(

∞∑

k=1

akα′k) ∈ ℓ1 e para todo

(λn)∞n=1 ∈ c0 temos

S ′(∞∑

k=1

akα′k)((λn)∞n=1) =

∞∑

k=1

akα′k(S((λn)∞n=1)) =

∞∑

k=1

akα′k(

∞∑

j=1

λjαj) =∞∑

k=1

akλk,

de modo que,

S ′(∞∑

k=1

akα′k) = (ak)

∞k=1.

68

Desta maneira vemos que∞∑

k=1

|ak| = ||(an)∞n=1||1 =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣S′(

∞∑

k=1

akα′k)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣1

≤ ||S||

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

k=1

akα′k

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣.

Por outro lado,

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

k=1

akα′k

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ = ||(S)′−1((an)∞n=1)|| ≤ ||(S ′)−1|| ||(an)∞n=1||1. Entao existem

constantes A = 1||S||

e B = ||((S ′)−1|| tais que

A ||(an)∞n=1||1 ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

∞∑

k=1

akα′k

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ B ||(an)∞n=1||1

para todo (an)∞n=1 ∈ ℓ1. Assim pela, Proposicao 2.4, a sequencia (αn)∞n=1 e equivalente a base

canonica de ℓ1.

Consideremos a aplicacao S ′◦T : X −→ ℓ1. Como T e S ′ sao aplicacoes lineares contınuas

e sobrejetivas temos que S ′ ◦T : X −→ ℓ1 e linear contınua e sobrejetiva e consequentemente

X/ ker(S ′ ◦ T ) e isomorfo a ℓ1.

Teorema 3.2. (Johnson−Rosenthal) Seja E um espaco de Banach. Suponha que E ′ tenha

uma sequencia basica (ψn)∞n=1 tal que:

(1) (ψn)∞n=1 e equivalente a base de Schauder canonica de ℓ1

(2) limn→∞

ψn(x) = 0 para todo x ∈ E

Entao E tem um espaco quociente isomorfo a c0.

Demonstracao. Como (ψn)∞n=1 e uma sequencia basica em E ′ equivalente a base canonica

(en)∞n=1 de ℓ1, pelo Teorema 2.4, existe um isomorfismo

S : span{ψn, n ∈ IN} −→ span{en, n ∈ IN} = ℓ1

sobrejetivo tal que S(ψn) = en para todo n ∈ IN , e temos que dados quaisquer λ1, . . . , λn ∈ IK

69

vale

a

n∑

k=1

|λk| ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

k=1

λkψk

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ b

n∑

k=1

|λk| (1)

para a = 1||S||

e b = ||S−1||.

Como limn→∞

ψn(x) = 0 para todo x ∈ E, da mesma forma como na demonstracao do

Teorema 3.1, podemos encontrar uma sequencia (pn)∞n=1 ⊂ IN e uma sequencia crescente de

conjuntos finitos (An)∞n=1 ⊂ BE tal que:

(a) para cada u ∈ span{ψp1, . . . , ψpn

}′ com ||u|| ≤ 1 existe x ∈ An tal que |u(ψ) − ψ(x)| ≤

ǫn

3||ψ|| para todo ψ ∈ span{ψp1

, . . . , ψpn}.

(b)∣∣ψpn+1

(x)∣∣ ≤ ǫn

3para cada x ∈ An.

(Observamos que na demonstracao do Teorema 3.1 foi usado apenas que

limn→∞

ψn(x) = 0 para cada x ∈ E, fato este que la foi obtido como consequencia de∞∑

n=1

|ψn(x)| < ∞ para todo x ∈ E).

Para simplificar a notacao, vamos escrever ψpn= ϕn para todo n ∈ IN . Da mesma

maneira como foi feito na demonstracao do Teorema 3.1 obtemos que (ϕn)∞n=1 e uma sequencia

basica em E ′.

E claro que a sequencia (ϕn)∞n=1 = (ψpn)∞n=1 satisfaz (1).

Seja (ϕ′n)∞n=1 uma sequencia dos funcionais coordenadas de (ϕn)∞n=1.

Usando a transposta S ′ : span{ψn; n ∈ IN}′ −→ ℓ′1 mostramos que para todo λ1, . . . , λn ∈

IK e n ∈ IN temos que

1

bsup

1≤j ≤n|λj| ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λjϕ′j

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤1

asup

1≤j ≤n|λj|

onde a = 1||S||

e b = ||S−1||.

Daı obtemos tambem, pelo Teorema 2.4, que (ϕ′n)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente

70

a base de Schauder canonica (en)∞n=1 de c0.

Finalmente, definimos a aplicacao T : E −→ span{ϕn; n ∈ IN}′ da seguinte maneira:

para todo x ∈ E, T (x) : span{ϕn; n ∈ IN} −→ IK e a aplicacao dada por T (x)(ϕ) = ϕ(x),

ou seja, para cada x ∈ E e ϕ =∞∑

n=1

ϕ′n(ϕ)ϕn ∈ span{ϕn; n ∈ IN} temos que

T (x)(ϕ) = ϕ(x) =∞∑

n=1

ϕ′n(ϕ)ϕn(x).

Como limn−→∞

ψn(x) = 0 para todo x ∈ E temos que (ϕn(x))∞n=1 ∈ c0 e, consequentemente,

T (x) =∞∑

n=1

ϕ′nϕn(x) ∈ span{ϕ′

n; n ∈ IN}, o que mostra que T (X) ⊂ span{ϕ′n; n ∈ IN}.

Por argumento analogo ao usado na demonstracao do Teorema 3.1 temos tambem que

span{ϕ′n; n ∈ IN} ⊂ T (E), e consequentemente T (E) = span{ϕ′

n; n ∈ IN}, o que com-

pleta a demonstracao.

Definicao 3.1. Seja X um conjunto nao vazio e (Xn)∞n=1 um sequencia de subconjuntos nao

vazios de X. A sequencia (Xn)∞n=1 e dita uma arvore, se para cada n ∈ IN , X2n e X2n+1 sao

subconjuntos disjuntos de Xn.

Seja ℓ∞(X) o espaco (sobre o corpo dos reais) das funcoes limitadas de X em IR, munido

da norma do supremo.

Proposicao 3.1. Seja X um conjunto nao vazio e (Xn)∞n=1 uma arvore de subconjuntos de

X. Seja (fn)∞n=0 uma sequencia limitada em ℓ∞(X). Suponha que existe δ > 0

(−1)kfn(x) ≥ δ para cada x ∈ Xk com 2n ≤ k < 2n+1 e n ∈ IN(∗).

Entao (fn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a base canonica de ℓ1.

Demonstracao. Como, por hipotese, (fn)∞n=1 e uma sequencia limitada em ℓ∞(X) temos que

supj∈IN

||fj|| < ∞.

71

Se λ0, . . . , λn ∈ IR com n ∈ IN , temos que∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=0

λjfj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

≤n∑

j=0

|λj| ||fj||∞ ≤ supj∈IN

||fj||∞

n∑

j=0

|λj| .

sem perda de generalidade vamos assumir λk 6= 0 para todo k ∈ IN . Como

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=0

λjfj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

=

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=0

(−λj)fj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

, podemos assumir que λ0 ≤ 0.

Por (∗) temos

−1f0(x) ≥ δ para cada x ∈ X1,

e de −1 = λ0

|λ0|segue que

λ0f0(x) ≥ λ0δ para cada x ∈ X1.

Tambem por (∗) vemos que f1(x) ≥ δ se x ∈ X2 e −f1(x) ≥ δ se x ∈ X3. se λ1 < 0 segue

que λ1f1(x) ≥ |λ1| δ para x ∈ X3. Por outro lado, se λ1 > 0 temos que λ1f1(x) ≥ |λ1| δ para

x ∈ X2. Obtemos entao que

λ0f0 + λ1f1 ≥ (|λ0| + |λ1|)

sobre X2 ou X3.

Repetindo esse procedimento obtemos por inducao quen∑

j=0

λjfj ≥n∑

j=0

|λj| δ

para um subconjunto Xj0 onde j0 ∈ {2n, 2n + 1, . . . , 2n+1 − 1}. Consequentemente temos∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=0

λjfj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

= supx∈X

∣∣∣∣∣

n∑

j=0

λjfj(x)

∣∣∣∣∣ ≥ supx∈Xj0

∣∣∣∣∣

n∑

j=0

λjfj(x)

∣∣∣∣∣ ≥n∑

j=0

|λj| δ

e, assim

(n∑

j=0

|λj|)δ ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=0

λjfj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞

≤ supj∈IN

||fj||∞ (n∑

j=0

|λj|).

Donde concluimos, pelo Teorema 2.4, que a sequencia (fn)∞n=1 e uma sequencia basica

equivalente a base canonica de ℓ1.

72

Definicao 3.2. Seja (ϕn)∞n=1 um sequencia limitada em E ′ onde E e um espaco de Banach.

Uma sequencia (ψn)∞n=1 em E ′ e dita um bloco se existem sequencias crescentes (pn)∞n=1 e

(sn)∞n=1de numeros naturais tais que p1 < s1 < p2 < s2 < p3 < s3 · · · e ψn =sn∑

j=pn

αjϕj com

n ∈ IN , αpn, . . . , αsn

∈ IR esn∑

j=pn

|αj| = 1.

Observacao 3.1. Seja (ϕn)∞n=1 um sequencia limitada em E ′ onde E e um espaco de Banach

e seja (ψn)∞n=1 um bloco de (ϕn)∞n=1. Definimos δ(ϕn) = sup||x||=1

lim supn→∞

|ϕn(x)|. Podemos ver

que

δ(ϕn) = sup||x||=1

lim supn→∞

|ϕn(x)| ≤ supn∈IN

||ϕn|| < ∞.

Para cada n ∈ IN consideremos ψn =sn∑

j=pn

αjϕj com αj ∈ IR para todo pn ≤ j ≤ sn. Se

x ∈ SE, temos que

|ψn(x)| =

∣∣∣∣∣

sn∑

j=pn

αjϕj(x)

∣∣∣∣∣ ≤sn∑

j=pn

|αj| |ϕj(x)| ≤sn∑

j=pn

|αj| ( supsn≤j≤pn

|ϕj(x)|) = supsn≤j≤pn

|ϕj(x)| .

Assim, podemos ver que lim supn→∞

|ψn(x)| ≤ lim supn→∞

suppn≤j≤sn

|ϕj(x)| ≤ lim supn→∞

|ϕn(x)|. Con-

sequentemente, temos que δ(ψn) ≤ δ(ϕn). Vemos assim que

δ(ψn) ≤ δ(ϕn),

sempre que (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1.

Lema 3.1. Seja E um espaco normado. Se (ϕn)∞n=1 e uma sequencia limitada em E ′, entao

existe um bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ψn) = δ(ρn) para todo bloco (ρn)∞n=1 de (ψn)∞n=1.

Demonstracao. Primeiro mostraremos que a relacao bloco e transitiva. Seja (gn)∞n=1 um

bloco de (ϕn)∞n=1. Desta forma existem sequencias crescentes (pn)∞n=1 e (sn)∞n=1, de numeros

naturais tais que p1 < s1 < p2 < s2 < p3 < s3 · · · , com gn =sn∑

j=pn

αjϕj para n ∈ IN , onde

73

αpn, . . . , αsn

∈ IR esn∑

j=pn

|αj| = 1. Seja agora (fn)∞n=1 um bloco de (gn)∞n=1. Da mesma maneira

existem sequencias crescentes (rn)∞n=1 e (tn)∞n=1, de numeros naturais tais que r1 < t1 < r2 <

t2 < r3 < t3 · · · , com fn =tn∑

j=rn

βjgj para n ∈ IN , onde βrn, . . . , βtn ∈ IR e

tn∑

j=rn

|βj| = 1.

Consideremos γprn, γprn+1, . . . , γstn

∈ IK tais que γk = βjαi para k ∈ {prj, . . . , stj} com

j ∈ {rn, rn+1, . . . , tn} e i ∈ {pj, pj+1, . . . , sj} e γk = 0 caso contrario. Podemos ver que fn =tn∑

j=rn

βjgj =tn∑

j=rn

βj(

sj∑

i=pj

αiϕi) =

stn∑

i=prn

γiϕi. Alem disso temos que

stn∑

i=prn

|γi| =tn∑

j=rn

(

sj∑

i=pj

|βjαi|) =

tn∑

j=rn

|βj| (

sj∑

i=pj

|αi|) =tn∑

j=rn

|βj| = 1. Desta maneira vemos que (fn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1.

A cada sequencia limitada (ϕn)∞n=1 em E ′ associamos

ǫ(ϕn) = inf{δ(ψn); (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1}.

Pela Observacao 3.1, para cada bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 temos que δ(ψn) ≤ δ(ϕn) e

consequentemente temos a seguinte desigualdade ǫ(ψn) ≤ δ(ϕn) ja que todo bloco e um

bloco dele mesmo. Pela transitividade da relacao “ser bloco de”para todo bloco (ψn)∞n=1

de (ϕn)∞n=1, temos que o conjunto dos blocos de (ψn)∞n=1 esta contido no conjunto dos blocos

de (ϕn)∞n=1, e desta maneira ǫ(ϕn) ≤ ǫ(ψn).

Mostraremos que existe um bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ψn) = ǫ(ψn).

A partir da definicao de ǫ(ϕn) obtemos um bloco (ψ1n)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ψ1

n) ≤

ǫ(ϕn) + 1. Suponha que existam blocos (ψ1n)∞n=1, . . . , (ψ

mn )∞n=1 tais que (ψk

n)∞n=1 e um bloco

de (ψk−1n )∞n=1 e δ(ψk

n) ≤ ǫ(ψk−1n ) + 1

kpara k ∈ {2, . . . ,m}. Pela definicao de ǫ(ψm

n ) existe

um bloco (ψm+1n )∞n=1 de (ψm

n )∞n=1 tal que δ(ψm+1n ) ≤ ǫ(ψm

n ) + 1m+1

. Segue por inducao que

existe uma sequencia de blocos ((ψkn)∞n=1)

∞k=1 tais que (ψk

n)∞n=1 e um bloco de (ψk−1n )∞n=1 e

δ(ψkn) ≤ ǫ(ψk−1

n ) + 1k

para k ≥ 2. Para cada n ∈ IN considere ψn = ψnn temos assim

que (ψn)∞n=1 e a sequencia diagonal de ((ψkn)∞n=1)

∞k=1. Como (ψj

n)∞n=1 e bloco de (ψj−1n )∞n=1

para todo j ∈ IN , temos, por construcao, que (ψjn)∞n=1 e um bloco de (ψk

n)∞n=1 para j ≥ k.

74

Consequentemente, (ψn)∞n=1 e um bloco de (ψkn)∞n=k para todo k ∈ IN . Como (ψk

n)∞n=k e um

bloco de (ϕn)∞n=1 para cada k ∈ IN segue que (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1. Desta maneira

vemos que

δ(ψn) ≤ δ(ψkn)

e

ǫ(ψkn) ≤ ǫ(ψn)

para cada k ∈ IN . Por outro lado temos por construcao que

δ(ψkn) ≤ ǫ(ψk−1

n ) +1

k≤ ǫ(ψk

n) +1

k

para cada k ∈ IN , consequentemente lim supk→∞

δ(ψkn) ≤ lim sup

k→∞ǫ(ψk

n). Segue assim que

δ(ψn) ≤ lim supk→∞

δ(ψkn) ≤ lim sup

k→∞ǫ(ψk

n) ≤ ǫ(ψn) ≤ δ(ψn),

donde concluimos que δ(ψn) = ǫ(ψn).

A partir dessa igualdade temos que dado um bloco (ρn)∞n=1 de (ψn)∞n=1 temos

δ(ψn) = ǫ(ψn) ≤ δ(ρn) ≤ δ(ψn),

o que conclui a demonstracao.

Teorema 3.3. (Hagler − Johnson) Seja E um espaco de Banach real tal que:

(1) E ′ tem um subespaco isomorfo a ℓ1.

(2) (ϕn(x))∞n=1 nao converge a zero para algum x ∈ E sempre que (ϕn)∞n=1 e uma sequencia

basica em E ′ equivalente a base canonica de ℓ1.

Entao:

(a) E tem um subespaco isomorfo a ℓ1.

(b) E tem um espaco quociente isomorfo a ℓ2.

75

Demonstracao. Pelo Teorema 1.17, basta mostrar (a). Como E ′ tem um subespaco isomorfo

a ℓ1, existe uma sequencia basica (ϕn)∞n=1 ⊂ E ′ equivalente a base canonica de ℓ1. Sendo

assim, existem constantes reais estritamente positivas a e b tais que

a

(n∑

j=1

|λj|

)≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λjϕn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ ≤ b

(n∑

j=1

|λj|

)(∗)

para λ1, . . . , λn ∈ IR e n ∈ IN . Vamos assumir sem perda de generalidade que b = 1.

Pelo Lema 3.1, existe um bloco (ψn)∞n=1 de (ϕn)∞n=1 tal que δ(ρn) = δ(ψn) para todo bloco

(ρn)∞n=1 de (ψn)∞n=1. E claro que todo bloco de (ϕn)∞n=1 satisfaz (*). Se (fn)∞n=1 e um bloco

de (ϕn)∞n=1, entao existem sequencias crescentes de numeros positivos (pn)∞n=1 e (sn)∞n=1 tais

que p1 < s1 < p2 < s2 · · · , e fn =sn∑

j=pn

αjϕj com αpn, . . . , αsn

∈ IR esn∑

j=pn

|αj| = 1. Para

λ1, . . . , λn ∈ IR temos que

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λjfj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

n∑

j=1

λj(

sj∑

i=pj

αiϕi)

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣. Segue por (∗) que

a(n∑

i=1

|λi|) ≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

λifi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

s1∑

j=p1

λ1αjϕj + · · · +sn∑

j=pn

λnαjϕj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

≤

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

s1∑

j=p1

λ1αjϕj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ + · · · +

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

sn∑

j=pn

λnαjϕj

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

≤ b(

s1∑

j=p1

|λ1αj| + · · · +sn∑

j=pn

|λnαj|)

= b(n∑

i=1

|λi|si∑

j=pi

|αj|) = b

n∑

i=1

|λi| .

Assim, mostramos que (fn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a base canonica de ℓ1.

Como (ψn)∞n=1 e um bloco de (ϕn)∞n=1 temos que e equivalente a base canonica de l1 e

por hipotese, existe um x ∈ E tal que a sequencia (ψn(x))∞n=1 nao converge para zero. Assim

existe um ǫ0 positivo tal que para cada n ∈ IN existe m ≥ n de maneira que |ψm(x)| ≥ ǫ0.

Como consequencia, lim supn→∞

∣∣∣∣ψm(x

||x||)

∣∣∣∣ ≥ǫ0

||x||, e assim temos δ(ψn) ≥ 0. Consideremos

76

δ = δ(ψn) e ǫ ∈ IR tal que 0 < ǫ < δ. Pela definicao de δ temos que lim supn→∞

|ψn(x)| ≤ δ

para todo x ∈ SE. Desta maneira existe x0 ∈ SE e um conjunto N1 ⊂ IN infinito tal

que |ψn(x0)| ≤ δ − ǫ para cada n ∈ N1. Sem perda de generalidade, vamos assumir que

ψn(x0) ≤ −δ + ǫ para cada n ∈ N1. Seja ǫ′ ∈ IR tal que 0 ≤ ǫ′ ≤ ǫ3. Consideremos as

sequencias N2 = (pn)∞n=1 e N3 = (sn)∞n=1 tais que N ′1 = N2 ∪ N3 e p1 < s1 < p2 < s2 · · · .

Como a sequencia (νn)∞n=1 = (ψpn−ψsn

2)∞n=1, e um bloco de (ψn)∞n=1, pelo Lema 3.1 temos

δ(νn) = δ(ψn) = δ. Da mesma maneira como foi feito anteriormente existe x1 ∈ SE e um

conjunto J ⊂ IN infinito tal que∣∣12(ψsj

− ψpj)(x1)

∣∣ ≥ δ− ǫ′ para cada j ∈ J . Daı temos que

12(ψpj − ψsj

)(x1) ≥ δ − ǫ′ para cada j ∈ J . Como (ψpj)∞j=1 e (ψsj

)∞j=1 sao blocos de (ψn)∞n=1

temos que

δ(ψpn) = δ(ψsn

) = δ(ψn) = δ.

Segue que lim supn→∞

|ψpn(x1)| ≤ δ e lim sup

n→∞|ψpn

(x1)| ≤ δ. Entao existe um j0 ∈ IN tal que

∣∣ψpj(x1)

∣∣ ≤ δ + ǫ′ e∣∣ψsj

(x1)∣∣ ≤ δ + ǫ′ para j ≥ j0.

A partir dessas desigualdades temos que para cada j ∈ J tal que j ≥ j0

ψpj(x1) = ψpj

(x1) − ψsj(x1) + ψsj

(x1)

≥ ψpj(x1) − ψsj

(x1) −∣∣ψsj

(x1)∣∣

≥ 2(δ − ǫ′) − (δ + ǫ′) = δ − 3ǫ′

e

ψsj(x1) = ψsj

(x1) − ψpj(x1) + ψpj

(x1)

≤∣∣ψsj

(x1) − ψpj(x1)

∣∣ +∣∣ψpj

(x1)∣∣

≤ 2ǫ′ − 2δ + δ + ǫ′ = 3ǫ′ − δ.

Assim, existem subconjuntos infinitos disjuntos N ′2 e N ′

3 de N1 tais que,

ψn(x1) ≥ δ − ǫ para todo n ∈ N ′2

77

e

ψn(x1) ≤ ǫ − δ para todo n ∈ N ′3.

Da mesma maneira como fizemos para N1 obtemos sequencias N4 = (rn)∞n=1 N5 =

(tn)∞n=1, N6 = (un)∞n=1 e N7 = (vn)∞n=1 tais que r1 ≤ t1 ≤ r2 ≤ t2 · · · , e u1 ≤ v1 ≤ u2 ≤

v2 · · · com N ′2 = N4 ∪ N5 e N ′

3 = N6 ∪ N7. Consideremos a sequencia (yn)∞n=1 tal que

yn = 14(ψrn

− ψtn + ψun− ψvn

). Vemos que (yn)∞n=1 e um bloco de (ψn)∞n=1 e pelo Lema 3.1

temos que δ(yn) = δ(ψn). Desta maneira, dado 0 < ǫ′ < ǫ7

existe um x2 ∈ SE e um conjunto

infinito K ⊂ IN tais que

yk =1

4(ψrk

− ψtk + ψuk− ψvk

)(x2) ≥ δ − ǫ′

para cada k ∈ K. A partir dessa desigualdade obtemos um k0 ∈ IN tal que

ψrk(x2) ≥ δ − 7ǫ′ para cada k ≥ k0,

ψtk(x2) ≤ −δ + 7ǫ′ para cada k ≥ k0,

ψuk(x2) ≥ δ − 7ǫ′ para cada k ≥ k0,

ψrk(x2) ≤ −δ + 7ǫ′ para cada k ≥ k0.

Consequentemente encontramos subconjuntos infinitos disjuntos N ′4 e N ′

5 de N ′2 e subcon-

juntos infinitos disjuntos N ′6 e N ′

7 de N ′3 tais que

ψn(x2) ≥ δ − ǫ para cada n ∈ N ′4 ∪ N ′

6

e

ψn(x2) ≤ −δ + ǫ para cada n ∈ N ′5 ∪ N ′

7

78

Procedendo indutivamente encontramos uma arvore (N ′p)

∞p=1 de subconjuntos de IN tal que

(−1)pψn(xm) ≥ δ − ǫ para cada n ∈ N ′p e 2m ≤ p ≤ 2m+1 com xm ∈ SE e m ≥ 0.

Seja o conjunto Ψp = {ψn : n ∈ N ′p} para todo p ∈ IN . Podemos ver que (Ψn)∞n=1

e uma arvore de subconjuntos de BE′ tal que (−1)pψn(xm) ≥ δ − ǫ para cada ψ ∈ Ψp,

2m ≤ p ≤ 2m+1e m ≥ 0. Pela imersao canonica J : E −→ E ′′ temos que xm(ψ) = ψ(xm)

para cada m ∈ IN e ψ ∈ Ψp. Como consequencia, temos

(−1)pxm(ψ) ≥ δ − ǫ para cada ψ ∈ Ψp, 2m ≤ p ≤ 2m+1e m ≥ 0.

Segue pela Proposicao 3.1, que (xn)∞n=1 e uma sequencia basica equivalente a base canonica

de ℓ1.

Definicao 3.3. Seja (xn)∞n=1 uma sequencia em um espaco normado X. Dizemos que (xn)∞n=1

e normalizada se ||xn|| = 1 para cada n ∈ IN .

Teorema 3.4. Seja E um espaco de Banach real separavel. Se E ′ tem um subespaco iso-

morfo a ℓ1 entao E tem espaco quociente de dimensao infinita com base de Schauder.

Demonstracao. Como E ′ tem um subespaco isomorfo a ℓ1 existe uma sequencia basica con-

tida em E ′ equivalente a base canonica de ℓ1. Se existe uma sequencia basica (ψn)∞n=1 contida

em E ′ equivalente a base canonica de ℓ1 tal que limn→∞

ψn(x) = 0 para todo x ∈ E temos pelo

Teorema 3.2 que E tem um espaco quociente isomorfo a c0. Suponhamos que para toda

sequencia basica (ψn)∞n=1 de E ′ isomorfa a base canonica de ℓ1 exista um x ∈ E tal que

(ψn(x))∞n=1 nao converge a zero . Entao, pelo Teorema 3.3, existe um espaco quociente de

E isomorfo a ℓ2.

Teorema 3.5. (Josefson-Nissenzweig) Seja E um espaco de Banach com dimensao infinita.

Entao existe uma sequencia (ψn)∞n=1 normalizada tal que limn→∞

ψn(x) = 0 para cada x ∈ E.

79

Demonstracao. Em primeiro lugar, consideremos E e um espaco de Banach real. Se E ′ tem

um subespaco isomorfo a ℓ1, entao, pelo Teorema 3.4, existe um espaco quociente E/M

de dimensao infinita com base de Schauder. Sejam (fn)∞n=1 uma base de Schauder nor-

malizada do espaco E/M , (f ′n)∞n=1 a sequencia dos funcionais coordenadas de (fn)∞n=1 e

Q : E −→ E/M a aplicacao quociente. Como (fn)∞n=1 e base de Schauder de E/M temos

que Q(x) =∞∑

n=1

f ′n(Q(x))fn para cada x ∈ E. Como a aplicacao Q e sobrejetora, para cada

fn existe yn ∈ E tal que fn = yn = yn + M . Como 1 = ||fn|| = ||yn|| = infx∈yn

||x|| entao existe

en pertencente a classe yn tal que ||en|| ≤ 2, ou seja, para cada n ∈ IN existe en ∈ E tal

que Q(en) = fn e || en|| ≤ 2. Entao temos que f ′n ◦Q(en) = f ′

n(fn) = 1 e como consequencia

temos 1 = ||f ′n ◦ Q(en)|| ≤ ||f ′

n ◦ Q|| ||en|| ≤ 2 ||f ′n ◦ Q||. Assim, ||f ′

n ◦ Q|| ≥ 12

para cada

n ∈ IN .

Consideremos ψn = f ′

n◦Q||f ′

n◦Q||para cada n ∈ IN . Vemos que a sequencia (ψn)∞n=1 esta contida

em E ′ e e normalizada. Alem disso, como ||fn|| = 1 para todo n ∈ IN e Q(x) =∞∑

n=1

f ′n(Q(x))fn

para cada x ∈ E, temos que limn−→∞

ψ(x) = limn−→∞

f ′n ◦ Q(x)

||f ′n ◦ Q||

= 0.

Suponhamos agora, que E ′ nao tenha um subespaco isomorfo a l1. Seja x′1 ∈ E ′ \ {0}, e

considere Y1 = span{x′1}. Segue, pelo Lema de Riesz (Lema 1.2), que existe x′

2 ∈ SE′ tal

que ||x′1 − x′

2|| ≥12. Indutivamente, usando o Lema de Riesz , existe uma sequencia (x′

n)∞n=1

contida em SE tal que ||x′n − x′

m|| ≥ 12

para cada m,n ∈ INcom m 6= n. Pelo Teorema

de Rosenthal (Teorema 1.15) temos que existe uma subsequencia (y′n)∞n=1 de (x′

n)∞n=1 que e

fracamente de Cauchy. Em particular, limn→∞

x′′(y′n+1 − y′

n) = 0 para todo x′′ ∈ E ′′. Ou seja,

para cada x′′ ∈ E ′′ temos que dado ǫ > 0 existe n0 ∈ IN tal que∣∣∣∣x′′(y′

n+1 − y′n)

∣∣∣∣ < ǫ para

n ≥ no. Considerando z′n = y′n+1 − y′

n para cada n ∈ IN , temos que ||z′n|| =∣∣∣∣y′

n+1 − y′n

∣∣∣∣ ≥ 12

e limn−→∞

x′′(z′n) = 0 para cada x′′ ∈ E ′′. Definindo ψn = z′n||z′n||

para cada n ∈ IN , temos que

||ψn|| = 1 para cada n ∈ IN e limn−→∞

Jx(ψn) = limn−→∞

ψn(x) = 0 para todo x ∈ E.

Finalmente, seja E um espaco de Banach complexo. Considerando E como espaco de

80

Banach real, temos pela primeira parte da demonstracao que existe uma sequencia (fn)∞n=1

de funcionais lineares sobre E em IR tais que ||fn|| = 1 para cada n ∈ IN e limn→∞

fn(x) = 0

para todo x pertencente a E. Definindo a sequencia (ψn)∞n=1 por ψn(x) = fn(x) − ifn(ix)

para cada x ∈ E vemos que ||ψn|| ≥ 1 para todo n ∈ IN e limn→∞

ψn(x) = 0 para todo x ∈ E.

Passando a sequencia (ϕn)∞n=1 tal que ϕn = ψn

||ϕn||para cada n ∈ IN , segue que ||ϕn|| = 1 para

todo n ∈ IN e limn→∞

ϕn(x) = 0 para todo x pertencente a E. Isto completa a demonstracao

do teorema.

O Teorema de Josefson-Nissenzweig foi provado independentemente por B. Josefson [6] e

A. Nissenzweig [11] em 1975. Josefson estava interessado em problemas na area de Holomorfia

em dimensao infinita. Antes de mencionar mais explicitamente aplicacoes deste teorema

nesta area, apresentaremos algumas definicoes.

Definicao 3.4. Sejam E e F espacos de Banach. Dizemos que A : Em −→ F e uma

aplicacao m-linear se e uma aplicacao linear em cada variavel.

Definicao 3.5. Sejam E e F espacos de Banach. Dizemos que P : E −→ F e um polinomio

m-homogeneo se existe uma aplicacao m-linear A tal que P (x) = A(x, ..., x) para cada x ∈ E.

A seguinte definicao estende aos espacos de Banach complexos o conceito de funcao

holomorfa definida em IC com valores em IC.

Definicao 3.6. Sejam E e F espacos de Banach dizemos que f : E −→ F e uma aplicacao

holomorfa se para cada a ∈ E existe uma bola aberta Br(a) ⊂ E e uma sequencia (Pn)∞n=1

onde cada Pn e um polinomio n-homogeneo contınuo tal que f(x) =∞∑

n=0

Pn(x − a) converge

uniformemente para cada y ∈ Br(a).

Sabemos que toda funcao holomorfa f : IC −→ IC e limitada nos subconjuntos limitados

de IC. Dineen mostrou em [3] que se E e um espaco de Banach de dimensao infinita onde

existe uma sequencia (Φn) ⊂ E ′ normalizada tal que limn→∞

Φn(x) = 0 para cada x ∈ E,

81

entao existe uma funcao holomorfa de E em IC que nao e limitada na bola unitaria de E.

O Teorema de Josefson-Nissenzweig mostra que na verdade o resultado de Dineen e valido

para qualquer espaco de Banach de dimensao infinita. Alem disso, Josefson mostrou, como

consequencia de seu teorema, que se E e um espaco de Banach de dimensao infinita e B e

um subconjunto de E onde toda funcao holomorfa de E em IC e limitada, entao B e denso

em parte alguma.

82

Referencias Bibliograficas

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[17] A. Taylor, Introduction to Fuctional Analysis, 2nd ed., John Wiley, New York, 1980

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