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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA - CAEN MESTRADO PROFISSIONAL EM ECONOMIA - MPE
MARCOS ANTONIO DE LIMA SANTOS
TAXAS DE SOBREVIVÊNCIA DE PARTICIPANTES DE FUNDOS DE PENSÃO VINCULADOS AO SETOR ELÉTRICO NACIONAL
FORTALEZA 2011
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MARCOS ANTONIO DE LIMA SANTOS
TAXAS DE SOBREVIVÊNCIA DE PARTICIPANTES DE FUNDOS DE PENSÃO VINCULADOS AO SETOR ELÉTRICO NACIONAL
Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Economia – Mestrado Profissional – da Universidade Federal do Ceará - UFC, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Economia de Empresas Orientador: Prof. Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes
FORTALEZA 2011
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MARCOS ANTONIO DE LIMA SANTOS
TAXAS DE SOBREVIVÊNCIA DE PARTICIPANTES DE FUNDOS DE PENSÃO VINCULADOS AO SETOR ELÉTRICO NACIONAL
Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Economia – Mestrado Profissional – da Universidade Federal do Ceará - UFC, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Economia de Empresas.
Data de Aprovação: 28 de fevereiro de 2011
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________ Prof. Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes
Orientador
_____________________________________ Prof. Dr. Andrei Gomes Simonassi
Membro
_____________________________________ Prof. Dr. João Mário Santos de França
Membro
3
À minha Mãe, simplesmente à minha Mãe (in
memoriam).
4
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, pelo apoio incondicional e por acreditarem que a educação é a única
herança inesgotável que podem deixar para seus filhos.
Aos meus irmãos por estarem ao meu lado nos momentos mais voláteis que passei
ao longo do período de estudo.
Aos meus filhos que mesmo sem falarem nenhuma palavra de motivação,
estimularam-me com todas as forças que tinham.
Ao professor orientador, Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes, pela paciência e
incalculável compreensão para que esse estudo fosse realizado.
Ao professor e amigo, Dr. Emílio Recamonde Capelo, pela valiosa contribuição na
indicação de textos e referências bibliográficas necessárias à execução dessa
dissertação.
Aos colegas de turma de mestrado pelo companheirismo demonstrado ao longo do
curso.
Aos colegas de trabalho, em especial ao José Tarcísio, fundamental na obtenção
dos dados para realização desse estudo, Mafalda Melo, Camurça, Átila Einstein e
Paulo Câmara, pela inestimável colaboração com palavras invisíveis de apoio.
Por fim, à Fundação Coelce de Seguridade Social - FAELCE, por acreditar que a
única forma de vencer os novos desafios é através do conhecimento e, por ter
proporcionado e custeado integralmente a realização desse trabalho.
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RESUMO
Esta dissertação tem por objetivo calcular as taxas de sobrevivência dos participantes de Fundos de Pensão do setor elétrico nacional, bem como encontrar o modelo paramétrico de sobrevivência que melhor represente os dados em estudo. Para desenvolvimento do trabalho utilizamos dados de 14 entidades com informações de participantes ativos e aposentados, com exceção dos inválidos, referentes ao período de 2001 a 2009, totalizando um número total de 100.000 vidas analisadas. Para calcular as taxas brutas de sobrevivência, utilizamos o método indireto, descrito em Ferreira (1985). Após o cálculo das taxas originais, efetuamos o processo de suavização por médias móveis, visando corrigir as flutuações indesejadas obtidas na curva bruta de sobrevivência. Mesmo após o processo de suavização, optamos por restringir o estudo às idades dentro do intervalo de 25 a 85 anos, dado o baixo número de óbitos e expostos nas idades supramencionadas. A partir da curva suavizada, aplicamos os modelos paramétricos de sobrevivência de Gompertz, Gompertz-Makeham, Thiele e Helingman-Pollard, para testar o melhor ajuste da equação. Os resultados mostraram que nenhum dos modelos paramétricos analisados se mostrou com robustez estatística suficiente para se proceder a uma análise preditiva com confiabilidade aceitável.
Palavras-Chave: Fundos de Pensão. Taxas de Sobrevivência. Modelos Paramétricos. Suavização. Parâmetros.
6
ABSTRACT
This paper aims to calculate the survival rates of the participants of the Pension Funds electricity sector as well as finding the parametric survival model that best represents the data in the study. For development work we used data from 14 organizations with information of participants and retirees, with the exception of the disabled, for the period 2001 to 2009, amounting to a total of 100,000 lives analyzed. To calculate the crude rates of survival using the indirect method described in Ferreira (1985). After calculation of the original rates, we make the process of smoothing by moving averages in order to correct the unwanted fluctuations in the curve obtained crude survival. Even after the smoothing process, we chose to restrict the study to age within the range of 25 to 85 years, given the low number of deaths at ages above and exposed. From the smooth curve we apply the parametric models of survival Gompertz, Gompertz-Makeham, Thiele and Helingman-Pollard, to test the best fit of the equation. The results showed that none of the models proved to be analyzed with parametric statistical robust enough to conduct a predictive analysis with acceptable reliability. Keywords: Pension Funds. Survival Rates. Parametric Models. Smoothing Parameters.
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LISTA DE TABELAS
TABELA 1 - Expectativa de Vida e Esperança de Vida aos 55 anos.................... 22
TABELA 2 - Tábua de Mortalidade Annuity Table 2000 – Male............................ 32
TABELA 3 - Taxas Brutas de Mortalidade............................................................. 34
TABELA 4 - Participantes e Assistidos Vinculados a Entidades do Setor Elétrico............................................................................................... 42
TABELA 5 - Movimentação de Expostos ao Risco................................................ 42
TABELA 6 - Expostos ao Risco Segregados por Sexo......................................... 44
TABELA 7 - Idade Modal à Morte.......................................................................... 44
TABELA 8 - Resumo Descritivo das Idades de Ocorrência de Óbitos.................. 46
TABELA 9 - Parâmetros - Modelo de Gompertz.................................................... 54
TABELA 10 - Parâmetros - Modelo de Gompertz - Makeham................................. 56
TABELA 11 - Parâmetros - Modelo de Thiele.......................................................... 58
TABELA 12 - Parâmetros - Modelo de Thiele Incompleto....................................... 59
TABELA 13 - Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard........................................ 61
TABELA 14 - Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard Incompleto..................... 63
TABELA 15 - Idades sem Óbitos Registrados........................................................... 74
TABELA 16 - Ajuste pelo Modelo de Gompertz....................................................... 75
TABELA 17 - Ajuste pelo Modelo de Thiele – Incompleto....................................... 77
TABELA 18 - Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard........................................... 79
TABELA 19 - Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard – Incompleto..................... 81
8
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1 - Esperanças de Vidas às Idades Exatas......................................... 23
GRÁFICO 2 - Taxas Brutas de Mortalidade.......................................................... 36
GRÁFICO 3 - Taxas Brutas de Mortalidade Suavizadas por Médias Móveis....... 37
GRÁFICO 4 - Distribuição dos Expostos ao Risco por Idade............................... 43
GRÁFICO 5 - Distribuição do Número de Óbitos por Idade.................................. 46
GRÁFICO 6 - Número de Óbitos por Idade – Considerando Todas as Entidades........................................................................................ 47
GRÁFICO 7 - Expostos ao Risco por Idade – Considerando Todas as Entidades........................................................................................ 47
GRÁFICO 8 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz..................... 54
GRÁFICO 9 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz - Makeham.. 56
GRÁFICO 10 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele........................... 57
GRÁFICO 11 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele Incompleto........ 59
GRÁFICO 12 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard......... 61
GRÁFICO 13 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard Incompleto...................................................................................... 63
9
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 - Medidas de Tendência Central e Separatrizes – Segundo (Óbitos por Ano)............................................................................................... 45
FIGURA 2 - Diagrama de Mudança de Status do Exposto ao Risco...................... 48
10
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 12
2 TÁBUAS DE MORTALIDADE....................................................................... 15
2.1 Um Breve Histórico................................................................................ 15
2.2 Classificação das Tábuas de Mortalidade........................................... 18
2.3 Tábuas Adotadas pelas Entidades Fechadas de Previdência Complementar........................................................................................ 20
3 MODELOS DE SOBREVIVÊNCIA.......................................................... 25
3.1 Análise de Sobrevivência...................................................................... 25
3.1.1 Função de Sobrevivência......................................................................... 25
3.1.2 Probabilidade de Morte e Sobrevivência.................................................. 26
3.1.3 Força de Mortalidade............................................................................... 28
3.2 Leis de Mortalidade................................................................................ 29
3.2.1 Principais Leis de Mortalidade................................................................. 29
3.3 Tábuas de Mortalidade.......................................................................... 31
3.3.1 Graduação de Tábuas de Mortalidade..................................................... 33
3.3.2 Cálculo das Probabilidades Brutas de Morte........................................... 35
3.3.3 Suavização das Taxas Brutas.................................................................. 36
3.3.4 Testes de Ajustamento............................................................................. 37
3.3.4.1 Desvios Absolutos e Relativos................................................................. 38
3.3.4.2 Teste de Kolmogorov-Smirnov (KS)......................................................... 38
3.3.4.3 Teste do Chi-Quadrado............................................................................ 39
4 FONTES DE DADOS............................................................................... 41
4.1 Análise dos Dados................................................................................. 41
4.2 Tratamento, Checagem e Validação dos Dados................................. 48
4.2.1 Problemas Encontrados nos Dados......................................................... 49
5 GRADUAÇÃO DOS DADOS DE MORTALIDADE – MODELOS PARAMÉTRICOS.................................................................................... 51
5.1 Distribuição do Número de Óbitos e Expostos ao Risco................... 51
5.2 Teste de Ajustamento............................................................................ 52
5.3 Ajuste das Taxas Brutas de Mortalidade............................................. 53
5.3.1 Modelo de Gompertz................................................................................ 53
5.3.1.1 Teste de Hipóteses.................................................................................. 54
5.3.2 Modelo de Gompertz - Makeham............................................................. 55
5.3.3 Modelo de Thiele...................................................................................... 57
5.3.3.1 Teste de Hipóteses.................................................................................. 59
11
5.3.4 Modelo de Heligman-Pollard.................................................................... 60
5.3.4.1 Teste de Hipóteses.................................................................................. 61
5.3.5 Modelo de Heligman-Pollard – Incompleto.............................................. 62
5.3.5.1 Teste de Hipóteses.................................................................................. 63
6 CONCLUSÃO.......................................................................................... 65
REFERÊNCIAS..................................................................................................... 67
APÊNDICES.......................................................................................................... 71
12
1 INTRODUÇÃO
A atividade básica de uma Entidade Fechada de Previdência
Complementar, também conhecida como Fundo de Pensão, consiste em administrar
planos de benefícios de caráter previdenciário a um público específico, como por
exemplo, empregados de uma determinada empresa. Uma característica singular
dos planos de benefícios é a natureza longínqua de suas atividades, ou seja,
normalmente um participante tem uma relação de longo prazo com a entidade, indo
do início da fase adulta até o seu fenecimento.
Em função da relação duradoura entre a entidade e seus participantes, os
planos necessitam efetuar projeções do valor das contribuições a serem aportadas
pelos filiados e pela empresa patrocinadora, bem como das obrigações do fundo
com esses indivíduos através do fluxo de pagamento de aposentadorias e
dimensionamento das reservas matemáticas do plano de benefícios.
Para suportar e dar consistência na estruturação e modelagem dos planos
de previdência, a compreensão da dinâmica biométrica do grupo, por meio do
estudo da mortalidade e sobrevivência dos indivíduos, é um dos pressupostos
fundamentais para o correto funcionamento. Caso a entidade não tenha
conhecimento do comportamento biométrico da massa de participantes, o equilíbrio
e solvência do plano serão comprometidos causando prejuízos ao Fundo, aos
patrocinadores e, principalmente, aos participantes ativos e aposentados.
O estudo ora proposto tem como objetivo investigar o comportamento das
taxas de mortalidade dos participantes de Fundos de Pensão patrocinados por
empresas que atuam no setor elétrico nacional, bem como testar e avaliar modelos
paramétricos de sobrevivência que possam representar com fidedignidade os dados
analisados. Segundo dados da Associação Brasileira das Entidades Fechadas de
Previdência Complementar – ABRAPP, o segmento é composto por 24 (vinte e
quatro) entidades, congregando um contingente superior a 200.00 vidas, distribuídas
entre participantes ativos, aposentados e pensionistas.
13
O estudo analisará dados do período de 2001 a 2009, tendo como foco
principal a observação das taxas de mortalidade no grupo de participantes ativos e
aposentados que não tenham tido o benefício concedido decorrente do evento
invalidez.
Das 24 (vinte e quatro) entidades que compõem o setor, 15 (quinze)
disponibilizaram informações para execução desse trabalho, porém, somente
14 (catorze) tiveram dados considerados aptos para o estudo, gerando um número
superior a 100.000 vidas analisadas.
Para o desenvolvimento desse trabalho, organizamos a elaboração do
texto em 6 (seis) etapas, que serão descritas na forma de capítulos que compõem
esta dissertação.
O primeiro capítulo é composto por esta introdução.
O capítulo seguinte aborda um breve histórico a respeito da construção
de tábuas biométricas, tipos de tábuas existentes, a necessidade e a importância da
adoção desse instrumento na estruturação dos planos de previdência, a
regulamentação por parte do governo, bem como estudos realizados no âmbito
nacional e internacional. Neste capítulo, o leitor conhecerá um pouco a respeito de
tábuas biométricas, que, em síntese, é o resultado final do estudo de taxas de
mortalidade e sobrevivência em uma população específica. Entretanto, cabe-nos
esclarecer que não é objetivo fim desse estudo a construção desse instrumento
estatístico.
O terceiro capítulo é dedicado ao referencial teórico, onde apresentamos
os modelos de sobrevivência, leis de mortalidade, metodologia para cálculo das
taxas brutas de mortalidade, e, por fim, uma breve introdução sobre os modelos
paramétricos para a graduação das taxas brutas, com os devidos testes de
ajustamento.
O quarto capítulo apresenta as fontes de dados e a metodologia utilizada
para coleta, checagem e validação das informações. Também discorremos nesse
14
capítulo os problemas encontrados para tabulação dos dados e dos procedimentos
utilizados para a montagem do mapa de sobrevivência que garantiu a consistência
dos dados adotados.
O penúltimo capítulo traz um breve resumo a respeito das distribuições
estatísticas utilizadas para modelar o número de óbitos e expostos ao evento morte,
uma síntese dos resultados observados nos ajustamentos pelos modelos
paramétricos, os gráficos com a comparação das curvas obtidas pelas taxas brutas e
ajustadas, bem como os resultados do teste de ajustamento para cada modelo
analisado.
E, por fim, o último capítulo apresenta as conclusões extraídas desse
estudo e algumas sugestões a respeito de trabalhos que ainda podem ser
desenvolvidos com os dados utilizados, culminando na construção de uma tábua
biométrica, fato não alcançado nesse estudo.
15
2 TÁBUAS DE MORTALIDADE
2.1 Um Breve Histórico
A história nos revela que o interesse sobre a longevidade humana sempre
foi objeto de investigação desde as primeiras civilizações. Segundo Ferreira (1985) a
primeira tábua de mortalidade que se tem notícia foi organizada na época da Roma
Clássica, por Domitius Ulpianus, prefeito de Roma. Ele estudou os documentos
sobre nascimentos e mortes e, por esse fato, vem recebendo o título de “Primeiro
Atuário da História”.
Mas, foi somente no século XVII, na Inglaterra, que começaram os
primeiros estudos sobre as tábuas de mortalidade. Um trabalho pioneiro foi
desenvolvido pelo mascate inglês John Graunt e descrito no seu livro The Nature
and Political Observations Made Upon the Bills of Mortality (1662). No ano de 1693,
o matemático e astrônomo Edmund Halley, publicou o artigo intitulado An Estimate
of the Degrees of the Mortality of Mankind. A tábua foi elaborada com base nos
registros de nascimentos e mortes dos anos de 1687 a 1691, da cidade de Breslaw,
na Polônia. Halley, que era de origem britânica, escolheu Breslaw, pois ficava
geograficamente longe do mar, de modo que os fluxos migratórios eram pequenos,
gerando uma estabilidade demográfica, com a qual John Graunt não pôde contar em
Londres.
Em 1725, o matemático francês Abraham De-Moivre propôs uma
expressão analítica para representar a força de mortalidade dentro de um grupo. A
expressão foi um dos primeiros passos no sentido de encontrar uma estrutura que
fosse capaz de modelar a trajetória de um indivíduo desde a data de nascimento até
o seu fenecimento. Para representar o comportamento do número de vivos em uma
coorte1 De-Moivre utilizou uma equação linear, que tinha o valor máximo na idade
1 Segundo Capello (1986), Coorte pode ser definida como um grupo de pessoas nascidas vivas num
mesmo espaço geográfico, num mesmo intervalo de tempo, fechado a migrações e que tem a sua trajetória de vida analisada através de indicadores demográficos até que o mais longevo de seus participantes faleça.
16
zero ano e chegando ao valor zero na idade de 86 anos. A expressão utilizada por
De-Moivre está descrita a seguir:
(2.1)
onde:
representa a idade máxima atingida pelo ser humano, no caso, 86 anos;
e a idade biológica do indivíduo.
Um século depois, em 1825, o matemático e atuário judeu Benjamim
Gompertz lançou mão de outra equação para explicar a intensidade da força de
mortalidade. Sua expressão foi de grande relevância, tanto que ainda hoje é
bastante utilizada por demógrafos e atuários. Diferentemente do modelo linear de
De-Moivre, o modelo de Gompertz admitia que a capacidade de sobrevivência
diminui exponencialmente com a idade, ou seja, a força de mortalidade aumenta
também de forma exponencial com a idade. Poucos anos depois, em 1860, o
atuário Guillermo Mateo Makeham, a partir da formulação de Gompertz, publicou o
estudo “La ley de La mortalidad”. O trabalho introduziu na expressão de Gompertz
uma constante para representar o azar, ou seja, além das forças normais de
mortalidade capturadas pela expressão de Gompertz, o imponderável passou a fazer
parte do modelo de Makeham. A seguir apresentamos o modelo proposto por
Gompertz através da equação 2.2 e, em seguida, o de Makeham conforme equação
2.3.
(2.2)
(2.3)
Segundo Galé (1977), Gompertz quis expressar por meio da sua equação
o entendimento de que, caso a vida humana não fosse afetada por outras
enfermidades, senão o processo natural de envelhecimento, em todas as idades, o
17
número de sobreviventes e de mortos decrescia com a idade em progressão
geométrica, enquanto que a idade seguia uma progressão aritmética.
Os estudos de Gompertz-Makeham serviram de alicerce para vários
outros autores, que a partir do modelo analítico proposto fizeram ajustes e
melhoramentos, tornando as formulações mais complexas, tendo ainda como
objetivo encontrar uma Lei que pudesse vestir a curva da força de mortalidade da
forma mais fidedigna possível. Dentre os estudos realizados podemos destacar
Lazarus (1862); Sang (1868); Oppermann (1870); Thiele (1872); Dormoy (1878);
Laurent (1892); Moser (1939); Heligman-Pollard (1980), entre outros. Além dos
modelos que tinham como nascedouro os trabalhos de Gompertz-Makeham, outros
pesquisadores recorreram a distribuições estatísticas para explicar o arco da vida
humana, como por exemplo, a distribuição logística e de Weibull. Perks (1932) foi o
primeiro a recorrer ao modelo logístico. Mais tarde, Beard (1971) e posteriormente
Kannistö (1992) também recorreram à ideia inicial de Perks. Morlat (1975) utilizou a
distribuição de Weibull admitindo que a trajetória humana possa ser explicada como
a composição de múltiplos e complexos sistemas dinâmicos, interagindo entre si,
cada um com uma distribuição de Weibull, com um parâmetro específico.
Como podemos observar, o interesse pela duração da vida já é bastante
antigo. No entanto, somente em 1815 é que temos a construção da primeira tábua
em bases científicas. Esse marco é impultado a Milne, que apoiado em população e
óbitos classificados por idade de duas paróquias da cidade britânica de Carlisle,
para o período 1779-1787. Antes de Milne, outras tábuas já haviam sido
desenvolvidas, como por exemplo, a tábua londrina de John Smart em 1738. Em
1746 William Kersseboom e Antoine Deparcieux desenvolveram a primeira tábua
francesa. Richard Price (1783) elaborou as tábuas de Estocolmo, Northampton e da
Suécia. Nos Estados Unidos da América a primeira tábua foi elaborada por Edward
Wigglesworth, em 1789, com base em dados para os Estados de Massachusetts e
New Hampshire.
Os estudos mais recentes no âmbito internacional são captaneados por
centros de referência na construção de tábuas, como por exemplo, A Society of
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Actuaries (SOA) nos Estados Unidos e o Continuous Mortality Investigation (CMI) na
Inglaterra.
No Brasil, a primeira tábua de mortalidade representativa da população
brasileira data de 1980, ano de realização do censo demográfico, e foi construída
pelo Instituto Brasileito de Geografia e Estatística – IBGE. Após 1980, o IBGE
construiu mais duas tábuas, em 1991 e 2000. A partir dessa data, as tábuas
divulgadas são frutos de modelos de projeções populacionais.
Além das tábuas elaboradas pelo IBGE, outros trabalhos foram realizados
tendo o ramo securitário como foco específico. O atuário Gastão Quartin Pinto de
Moura construiu a tábua de mortalidade EB5-49/53, com base no levantamento da
experiência de 10 (dez) seguradoras brasileiras no período de 1949 a 1953. CONDE
(1991) construiu uma tábua com dados da Fundação Attílio F. X. Fontana, batizada
de FAF-89. Beltão et al. (1995) construíram uma tábua para os participantes da
Caixa de Previdência do Banco do Brasil – PREVI, com dados dos funcionários do
Banco do Brasil, do período de 1940 a 1990, sendo esse estudo atualizado
posteriormente por Ribeiro e Pires (2001) com dados até o ano 2000. Beltrão e
Sugahara (2002) construíram uma tábua de mortalidade com dados das entidades
abertas de previdência complementar2, fornecidos pela Superintendência de
Seguros Privados – SUSEP. Martins (2007) construiu uma tábua com dados do
periodo de 2000 a 2006 para os servidores públicos estatutários da administração
direta do município do Rio de Janeiro.
2.2 Classificação das Tábuas de Mortalidade
As tábuas de mortalidade são classificadas normalmente pelas
características da população em estudo, como por exemplo, sexo, grupo de risco,
tipo de arranjo securitário específico, dentre outras. Além dos atributos já citados, as
2 Entidades constituídas unicamente sob a forma de sociedades anônimas e têm por objetivo instituir
e operar planos de benefícios de caráter previdenciário concedidos em forma de renda continuada ou pagamento único, acessíveis a quaisquer pessoas físicas.
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tábuas também recebem classificação em virtude da metodologia adotada na sua
construção:
Tábuas Contemporâneas (transversais ou de momento): tábuas
que se baseiam em uma análise cross-section de uma geração,
observando-se a mortalidade durante um determinado período, como
por exemplo, cinco anos. Desta forma, os indivíduos analisados
estariam, apesar das diferentes idades, expostos à mesma condição de
vida.
Tábuas Geracionais (longitudinais): tábuas que correspondem ao
conceito original de tábua de vida. Elas são construídas a partir da
observação de um grupo de nascidos num mesmo período, sendo
acompanhada, a sua evolução, até que o último faleça. Neste caso, os
sobreviventes são submetidos às condições de mortalidade de cada
um dos anos pelos quais efetivamente passam. Essas tábuas não são
utilizadas atualmente, já que seria necessário acompanhar a geração
de indivíduos por muito tempo, além do que estariam retratando as
condições de vida que já ocorreram.
As tábuas de mortalidade também podem ser classificadas pela amplitude
do intervalo de idades:
Tábuas Completas: são tábuas construídas com idade ano a ano,
iniciando com o limite inferior na idade zero até o limite superior
correspondente à idade máxima adotada.
Tábuas Abreviadas: tábuas elaboradas para grupos de idades, como
por exemplo, quinquenais ou decenais.
Outra classificação para as tábuas de mortalidade é quanto a sua
dinâmica, ou seja, podendo ser classificadas em tábuas estáticas e tábuas
prospectivas:
20
Tábuas Estáticas: tábuas unidimensionais que se reportam apenas à
idade biológica.
Tábuas Prospectivas ou Dinâmicas: tábuas bidimensionais,
indexadas, onde as linhas representam a idade biológica, enquanto
que as colunas representam o ano calendário, já considerando os
ganhos de sobrevida esperados, como por exemplo, avanços na
medicina e melhorias nas condições de trabalho, qualidade de
educação, entre outros fatores que influenciam na mortalidade de uma
população.
2.3 Tábuas Adotadas pelas Entidades Fechadas de Previdência Complementar
Os Fundos de Pensão brasileiros adotaram e continuam adotando tábuas
construídas a partir da experiência de mortalidade de populações estrangeiras, para
o pagamento de rendas aos seus associados. Entretanto, poderíamos nos fazer a
seguinte indagação: por que não adotar a tábua elaborada e divulgada pelo IBGE? A
tábua elaborada pelo IBGE reflete decrementos não usuais em planos de
previdência, como por exemplo, mortalidade infantil, fluxos migratórios, níveis de
educação e renda, dentre outros fatores significantes no estudo da mortalidade. A
força de mortalidade sobre a população geral tende a ser superior a força que atua
sobre os participantes de Fundos de Pensão, isto é, os segurados dos planos de
previdência complementar representam um extrato da população que possuem
condições sócio-econômicas mais favoráveis do que a população como um todo,
portanto, espera-se que este grupo tenha uma expectativa de vida superior.
Segundo Capelo (1986), o uso de tábuas biométricas por parte dos atuários no ramo
securitário prescinde da seguinte observação:
Contrariamente aos demógrafos, os atuários estão interessados em grupos particulares de pessoas que são segurados de algum esquema previdenciário ao tempo em que estão também fortemente preocupados, em função dos compromissos que assumem para muitos anos no futuro, com as mudanças progressivas das taxas de mortalidade dos anos que estão por vir.
21
Dentre as várias tábuas já adotadas pelas entidades fechadas de
previdência complementar, podemos destacar:
Annuity Table for 1949 – AT1949: trata-se de uma tábua de anuidades
norte americana, desenvolvida por Jenkis e Lew, a partir de
observações coletadas no período de 1941 a 1946.
Comissioner’s 1958 Standart Ordinary – CSO58: tábua americana
construída com base na avaliação de cerca de 600 mil apólices de
seguros de vida e objetivou atualizar e substituir a tábua CSO41.
Annuity Table for 1983 – AT1983: trata-se também de uma tábua de
anuidades norte americana, desenvolvida por Roger Scott Lumsden, a
partir de observações coletadas no período de 1971 a 1976. Seu nome
original é IAM-83 (Individual Annuity Mortality) e foi construída a partir
da experiência individual de seguradoras americanas.
1983 Group Annuity Mortality Table – GAM83: tábua projetada para o
ano de 1983, decorrente do projeto da 1966 Experience Table, e foi
desenvolvida a partir de experiência de um grupo de beneficiários, com
uma escala projetada.
Uninsured Pension 1994 – UP94: tábua projetada para o ano de 1994,
baseada no número de vidas do Civil Service of Retirement Sistem –
CSRS, para as idades entre 25 – 65, e no estudo da Society of
Actuaries – SOA, para as idades entre 65-95. Para as idades de 1 a 24
e acima de 96 anos utilizou-se o censo dos Estados Unidos AS 107
para 1990.
Annuity Table for 2000 – AT2000: tábua elaborada em 1996, baseada
em projeções para a sobrevivência no ano 2000. Assim como a AT83
também utilizou dados dos anos de 1971 a 1976 e seu nome original é
1996 US Annuity 2000.
A seguir apresentamos uma tabela com expectativas de vida ao nascer e
esperança de sobrevida aos 55 anos de algumas tábuas já adotadas e que
continuam sendo utilizadas pelos Fundos de Pensão:
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Tabela 1 – Expectativas de Vida e Esperança de Vida aos 55 anos
Ano Tábua Expectativa
de Vida Esperança de Sobrevida
aos 55 anos +
1941 US CSO 62,83 18,28
1949 Annuity Table Male 73,68 22,70
1951 US GAM Male 73,51 22,00
1958 US CSO Male 68,80 20,21
1971 US GAM Male 75,36 23,21
1983 US GAM Male 76,93 24,38
1983 Annuity Table Male 79,19 27,27
1994 US UP-94, Male 78,72 25,99
2000 Annuity Table Male 80,57 28,38
2000 RP - Mortality Healthy (Annuitant Mortality) 78,86 25,77
2009 IBGE – Ambos os Sexos 73,20 25,00
2010 BR-EMSsb-v.2010-m 82,36 30,28
Fonte: Society of Actuaries, Susep e IBGE
Recentemente, a SUSEP, atendendo uma orientação do Conselho
Nacional de Seguros Privados, divulgou no início de 2010 tábuas de sobrevivência e
mortalidade, elaboradas pelo Departamento de Matemática Aplicada da
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). As tábuas elaboradas foram
batizadas de Experiência do Mercado Segurador Brasileiro (BR-EMS), e para sua
construção foram observados dados referentes aos anos de 2004, 2005 e 2006,
fornecidos por 23 seguradoras, que representam 95% do mercado brasileiro de vida
e previdência complementar aberta. No trabalho foi analisado o histórico de
32 milhões de brasileiros, sendo 19 milhões de homens e 13 milhões de mulheres.
O fato das entidades abertas estarem na iminência de utilizar uma tábua
construída a partir de dados que refletem a experiência nacional tem pressionado
fortemente o segmento de previdência complementar fechada a tomar atitude
semelhante. Convém destacar que a adoção de tábuas de mortalidade por parte dos
Fundos de Pensão passa por regulamentação do estado. No ano de 2002 o
Conselho de Gestão de Previdência Complementar – CGPC publicou a Resolução
nº 11, que dispunha sobre os parâmetros técnico-atuariais para estruturação de
plano de benefícios de entidades fechadas de previdência complementar. O item 2
do anexo da resolução supramencionada determinava que as entidades deveriam
utilizar tábua biométrica para projeção da longevidade do participante em gozo de
benefício de aposentadoria programada e continuada e do beneficiário, desde que a
23
expectativa de vida completa fosse, igual ou superior, no mínimo, àquela resultante
da aplicação da tábua AT-49 (ver tabela 1).
Dando continuidade ao acompanhamento do aumento da longevidade da
população nacional, conforme gráfico 1, e, por conseguinte, dos participantes de
Fundos de Pensão, o CGPC revogou, em 2006, a Resolução nº 11/2002 e divulgou
a Resolução nº 18/2006, que também dispõe sobre os parâmetros técnico-atuariais
dos planos de benefícios. A grande mudança nos parâmetros técnico-atuariais ficou
por conta da alteração da tábua biométrica, ou seja, a tábua mínima adotada passou
da AT-49 para AT-83 (ver tabela 1). O gráfico abaixo apresenta a evolução da
expectativa de vida, ao nascer, da população nacional ao longo das últimas duas
décadas. No ano de 1991, a expectativa de vida para ambos os sexos era de 66
anos, enquanto que em 2009 saltou para 73,2 anos, ou seja, um incremento
significativo na sobrevivência da população. Esse ganho de longevidade na
população nacional, também refletido nos participantes de Fundos de Pensão, gera
custos adicionais, seja por demandas na área de saúde ou na previdência social. Na
previdência, o aumento dos custos é expresso pela dilatação média no período de
pagamento dos benefícios de aposentadoria, daí a necessidade de
acompanhamento contínuo da mortalidade e sobrevivência do grupo coberto pelos
planos de benefícios.
Gráfico 1 – Esperanças de Vidas às Idades Exatas Fonte: IBGE
24
Os dois últimos parágrafos deixam clara a importância e preocupação por
parte do estado quanto ao conhecimento da mortalidade dentro do grupo de
participantes de um plano de benefícios. Os Fundos de Pensão brasileiros adotam
tábuas que expressam uma experiência estrangeira, sendo constantemente alvo de
críticas por não utilizar tábua com base na experiência nacional. Destaque-se que a
adoção de tábuas de origem internacional não implica que o risco de longevidade
está sendo negligenciado por parte das entidades, pois, de acordo com a legislação,
os Fundos de Pensão devem realizar estudos periódicos de aderência da tábua
adotada, em relação à massa de participantes do plano, independentemente da
tábua mínima estabelecida pelo órgão regulador.
Com o objetivo de aumentar os subsídios para maior conhecimento a
respeito da matéria, nos propomos neste trabalho a elaborar uma análise da
sobrevivência e mortalidade dos participantes de Fundos de Pensão do setor elétrico
nacional, adotando métodos de graduação paramétrica para ajuste das taxas brutas
de mortalidade.
25
3 MODELOS DE SOBREVIVÊNCIA
Os fenômenos atuariais estão sustentados em eventos aleatórios, dentre
eles à duração da vida humana. Com o desenvolvimento das ciências, vários
estudos foram realizados no sentido de encontrar uma forma de mensurar da forma
mais fidedigna possível o intervalo de tempo que vai desde o nascimento do
indivíduo até a sua completa extinção física. Para analisar o fenômeno em questão a
busca de explicações através do formalismo matemático, apoiado em bases
científicas, como por exemplo, o uso da teoria das probabilidades, foi algo quase
que inevitável. Nas linhas seguintes iremos apresentar conceitos rudimentares a
respeito da análise de sobrevivência, como forma de subsidiar o leitor para uma
compreensão básica sobre a utilização das taxas de mortalidade em planos de
previdência.
3.1 Análise de Sobrevivência
De uma forma simplificada a análise de sobrevivência tem por objetivo
estimar a probabilidade de um indivíduo permanecer em sua condição durante um
determinado intervalo de tempo. No nosso caso, a condição de interesse é a
mudança de status no binômio vida-morte, e o intervalo a ser investigado é o período
de um ano, ou seja, qual a probabilidade de um participante de um plano de
previdência patrocinado por uma empresa do setor elétrico nacional, falecer entre
duas idades consecutivas.
3.1.1 Função de Sobrevivência
Denotemos por X uma variável aleatória associada ao tempo de vida de
um determinado indivíduo. X pode assumir valores desde 0 (zero) até o limite
máximo de sobrevivência.
26
A função distribuição acumulada de X pode ser denotada por:
(3.1)
A expressão acima representa a probabilidade de um indivíduo na idade
X falecer antes de completar a idade x.
(3.2)
Para especificar a distribuição de X utiliza-se a função complementar de
, denominada função de sobrevivência e representada normalmente pela
notação . A função de sobrevivência exprime a probabilidade de um
indivíduo recém-nascido sobreviver pelo menos x anos. Sua representação é dada
por:
(3.3)
A função é decrescente, consequentemente,
. Sabendo que , facilmente chegamos à conclusão que
3.1.2 Probabilidade de Morte e Sobrevivência
Após o entendimento das distribuições de e é possível
calcularmos as probabilidades de morte e sobrevivência de um indivíduo.
Apropriando-se das leis de probabilidade podemos chegar sem muito algebrismo a
probabilidade de um indivíduo recém-nascido morrer entre as idades x e z conforme
equação (3.4), bem como a probabilidade de morrer entre as idades x e y, dado que
estava vivo na idade x de acordo com a equação (3.5).
27
(3.4)
(3.5)
Para expressar as probabilidades de morte e sobrevivência de um
indivíduo em um determinado intervalo de tempo, no contexto atuarial, vamos
atender as convenções determinadas pelo International Actuarial Association’s
Permanent Comitee on Notation. Desse modo, utilizaremos a partir desse momento
e, no restante do texto, as seguintes nomenclaturas para probabilidade de morte e
sobrevivência: representa a probabilidade de uma pessoa de idade x falecer
antes de complementar a idade x + n, enquanto que representa a probabilidade
um indivíduo de idade x sobreviver até a idade x + n.
Recorrendo-se a complementariedade dos eventos sobrevivência e morte,
chegamos à seguinte expressão:
. (3.6)
Utilizando-se o conceito de probabilidade condicional e com base e na
função de sobrevivência, podemos expressar as probabilidades de morte e
sobrevivência, da seguinte forma:
(3.7)
28
(3.8)
3.1.3 Força de Mortalidade
A força de mortalidade, também conhecida como taxa instantânea de
mortalidade, representa a variação da intensidade da morte ao longo dos anos, e
sua notação é conhecida por . Em termos atuariais, a variação instantânea da
morte pode ser entendida como a probabilidade de um indivíduo de idade x falecer
em um período relativamente pequeno, inferior a um ano. Portanto, esse indivíduo
morrerá antes de atingir a idade seguinte, no caso, a idade x + , quando tende
a 0 (zero).
Expressando através das funções e , temos:
(3.9)
Relacionando a força de mortalidade com as probabilidades de morte e
sobrevivência e , temos:
(3.10)
(3.11)
29
3.2 Leis de Mortalidade
Lei de Mortalidade é uma expressão matemática que descreve a
mortalidade em função da idade e um conjunto de parâmetros. A Lei de mortalidade
é a forma de expressar analiticamente a função sobrevivência e o comportamento da
mortalidade registrado em uma população.
Segundo Bowers et al. (1997) existem três grande motivos para se propor
uma forma analítica para a função de mortalidade ou sobrevivência. O primeiro é de
ordem filosófica, ou seja, utilizando-se de argumentos biológicos, alguns autores
sugerem que a sobrevivência humana é governada por uma Lei que pode ser
representada por uma simples equação. O segundo e terceiro motivos são de ordem
prática, isto é, através de leis de mortalidade e estimação de alguns parâmetros
chega-se a uma forma algébrica como forma de explicar o comportamento da
mortalidade.
No capítulo II foi apresentado que desde De-Moivre (1725) tenta-se
encontrar uma Lei que possa definir a trajetória da vida humana, entretanto a mais
famosa é atribuída a Gompertz (1725). Antes de citarmos as principais Leis de
mortalidade e suas principais características, gostaríamos de lembrar ao leitor que
as expressões analíticas são apenas uma tentativa de explicar o fenômeno
sobrevivência/morte com base em dados empíricos, fundamentados em modelos
estatísticos, e, em alguns casos, sustentados também em bases fisiológicas para
modelar o processo de envelhecimento, portanto não temos a pretensão de achar
que todo o arco da vida humana pode ser facilmente representado por uma única lei
de mortalidade.
3.2.1 Principais Leis de Mortalidade
A seguir apresentamos cinco leis de mortalidade dentre as mais
conhecidas na literatura.
30
a) Modelo de Gompertz
. (3.12)
O modelo de Gompertz, exceto o de De-Moivre, é o mais simples de
todos os modelos, entretanto sua contribuição é imensurável para os demais
estudos que foram desenvolvidos posteriormente.
b) Modelo de Gompertz-Makeham (1867)
. (3.13)
O modelo Gompertz-Makeham é uma expressão simples com apenas 3
parâmetros, e tem como princípio básico o crescimento da mortalidade em
progressão geométrica, adicionada de uma constante que designa o imponderável,
como por exemplo, mortes decorrentes de acidentes.
c) Modelo de Thiele (1871)
. (3.14)
A estrutura desenvolvida por Thiele possui 7 parâmetros e foi uma das
primeiras tentativas em abranger todo o ciclo de vida. O primeiro termo da expressão
reflete a mortalidade infantil com queda acentuada após o nascimento, o segundo
representa a mortalidade por causas externas. O terceiro e último termo é a lei de
Gompertz apropriada as idades mais avançadas.
d) Modelo de Perks (1932)
. (3.15)
31
Perks, atuário britânico, foi o primeiro a recorrer à curva logística para
explicar o arco da vida humana. No numerador temos a expressão proposta por
Gompertz, enquanto o denominador tem por objetivo atenuar o crescimento
exponencial decorrente do numerador, principalmente nas idades mais avançadas.
O autor reconhece que a força de mortalidade não aumenta indefinidamente com a
idade e verifica um padrão de desaceleração a partir da idade de 84 anos.
e) Modelo Heligman-Pollard (1980)
. (3.16)
O modelo proposto por Heligman-Pollard é semelhante a estrutura
preconizada pela Lei de Thiele, que as causas de morte podem ser divididas em 3
termos. Cada termo representa um componente distinto da mortalidade. O primeiro
reflete a queda na mortalidade durante os primeiros anos de infância que a criança
leva para se adaptar ao novo ambiente. O segundo termo da expressão é atribuído
às causas de mortalidade na idade juvenil, enquanto que o último termo representa
o aumento geométrico da mortalidade nas idades mais adultas.
3.3 Tábuas de Mortalidade
A tábua de mortalidade é um instrumento teórico utilizado para medir as
probabilidades de sobrevivência e morte de uma determinada população. Segundo
Ferreira (1985), uma tábua de mortalidade, na sua forma mais elementar, consiste
em uma tabela que registra um grupo inicial de pessoas na mesma idade, bem como
o número daqueles que vão atingindo as diferentes idades até a extinção completa
do referido grupo.
O uso das tábuas de mortalidade não é exclusivo nas atividades
desenvolvidas por atuários e demógrafos, pois também é comum que profissionais
da área de saúde recorram a esse instrumento.
32
No caso dos atuários, o interesse nas tábuas de mortalidade fica mais
restrito a determinado intervalo de idades, ou seja, principalmente a fase adulta e a
senescência, pois é neste período que os indivíduos fazem aportes de contribuições
e recebem os benefícios de aposentadoria. A seguir apresentamos os principais
símbolos de uma tábua de mortalidade, aprovados no I Congresso Internacional de
Atuários, conforme seção realizada em 3 de setembro de 1895. Os símbolos
principais são: e Abaixo apresentamos um resumo da tábua de
mortalidade Annuity Table 2000 - Male, contendo os símbolos supracitados, bem
como o significado das principais colunas:
Tabela 2 – Tábua de Mortalidade Annuity Table 2000 - Male
Idade 0 0,002311 2311 1000000 998845 80069109 80,2
1 0,000906 904 997689 997237 79070265 79,3
2 0,000504 502 996785 996534 78073028 78,3
3 0,000408 406 996283 996079 77076494 77,4
4 0,000357 356 995876 995698 76080414 76,4
5 0,000324 323 995521 995359 75084716 75,4
Fonte: Elaboração do autor
A letra designa taxa de mortalidade ou probabilidade matemática de
morte. A letra é a inicial da palavra inglesa living e representa o número de
pessoas vivas ou de sobrevivência de certa idade. A letra é proveniente palavra
inglesa death e representa o número de pessoas atingidas pela morte numa
determinada idade e, por último, a letra é a inicial da expressão expectation of
life. Representa a esperança de vida, ou seja, significa uma média de sobrevivência.
Normalmente uma das informações mais importante em uma tábua de
mortalidade é a expectativa de vida ao nascer e as esperanças de sobrevida nas
idades seguintes. A seguir apresentamos as principais relações obtidas a partir da
probabilidade de morte , que nos permitirá chegarmos à informação desejada.
Antes de descrevermos as relações funcionais, duas informações são necessárias.
A primeira refere-se à idade máxima contida na tábua, representada pela letra
minúscula e o número de indivíduos vivos na idade zero, conhecido como radix. O
radix é um número suficientemente grande, que será decrementado da idade zero
até a completa extinção da coorte hipotética, de acordo com as taxas de mortalidade
33
obtidas. Normalmente o radix, conhecido também por , é definido por um número
de 100.000 ou 1.000.000 de indivíduos.
a) Número de sobreviventes à idade x
. (3.17)
b) Distribuição do número de óbitos
. (3.18)
c) Probabilidade de pessoas vivas entre as idades x e x + 1
. (3.19)
d) Esperança completa de sobrevida
(3.20)
3.3.1 Graduação de Tábuas de Mortalidade
Segundo Haberman y Renshaw (1996) graduação pode ser definida como
o conjunto de princípios e métodos mediante os quais um conjunto de
probabilidades observadas (brutas) é ajustado de modo a proporcionar uma base
adequada, quer para a realização de inferência estatística, quer para realização de
cálculos aplicados, como por exemplo, o cálculo de prêmios e reservas.
Na construção de tábuas de mortalidade é comum que após a obtenção
das taxas brutas, note-se que a curva obtida não apresenta um padrão suave e a
monotonicidade crescente em relação à idade, que é inerente ao comportamento da
34
mortalidade humana. Ou seja, espera-se que um indivíduo de idade mais longeva
tenha mortalidade superior à de um mais jovem, todavia, as taxas brutas podem não
se comportar dessa forma, levando-nos a uma situação paradoxal. Na tabela 3
apresentamos um extrato das taxas brutas calculadas para a população em estudo,
sendo possível perceber facilmente que a probabilidade de um indivíduo falecer
entre as idades 18 e 19 é maior do que a probabilidade de morte entre as idades 19
e 20. Nesse caso, como justificar que um indivíduo de idade 18 anos deve pagar um
prêmio maior do que o indivíduo de idade 19 para um mesmo capital segurado?
Tabela 3 – Taxas Brutas de Mortalidade
IDADE TAXA BRUTA (QX)
18 0,0042
19 0,0035
20 0,0014
Fonte: Elaboração do autor
Para obter a representação esperada, bem como solucionar a situação
exposta acima, aplica-se modelos de suavização da curva de mortalidade original,
também conhecida por graduação. Os modelos de graduação são classificados em
paramétricos e não paramétricos, também denominados como globais e locais,
respectivamente.
Os modelos paramétricos, também denominados modelos globais,
pressupõem que a força de mortalidade que age sobre o grupo, pode ser
representada de forma analítica, por meio de uma única equação com n parâmetros.
Esses parâmetros são estimados a partir dos dados brutos disponíveis e com os
procedimentos estatísticos adequados. Nos modelos não paramétricos, também
denominados modelos locais, o ajuste não fica restrito a uma única formulação
matemática e tende a proporcionar resultados mais satisfatórios quando a
quantidade de dados é suficientemente grande.
No Brasil é mais comum o uso de modelos paramétricos, como foi o caso
do modelo aplicado para as tábuas de mortalidade e sobrevivência, construídas em
2010 para as entidades abertas de previdência complementar, que utilizaram o
modelo paramétrico de Heligman-Polard (1980). Entretanto, a última tábua de
35
sobrevivência construída pela Society of Actuaries (2001), batizada de tábua
geracional RP-2000, foi graduada de modelo não-paramétrico.
3.3.2 Cálculo das Probabilidades Brutas de Morte
Para calcularmos as probabilidades brutas de morte para as diferentes
idades, utilizamos a seguinte expressão fundamental:
(3.21)
onde:
número total de indivíduos de idade x, que morreram durante o ano de
observação;
número total de indivíduos de idade x, no começo do ano de observação que
estiveram expostos ao;
número total de indivíduos de idade x, que entraram no grupo durante o ano de
observação; e
número total de indivíduos de idade x, que se desligaram do grupo durante o ano
de observação.
Este método de cálculo de taxas brutas é conhecido como método
indireto e está descrito em Ferreira (1985). O método pressupõe que o grupo está
aberto, nos quais se admite a entrada e saída de indivíduos durante o ano.
Pressupõe-se também que distribuem-se uniformemente durante todo o ano,
de modo que, em média, cada indivíduo de idade x tenha sido observado meio ano.
36
3.3.3 Suavização das Taxas Brutas
Antes de aplicarmos um modelo paramétrico para ajustar os dados,
segundo uma lei de mortalidade específica, vamos efetuar o processo de suavização
das taxas brutas pelo método de médias móveis de 5 anos. O procedimento
supracitado visa corrigir flutuações indesejadas na curva, como por exemplo, a falta
de informação para algumas idades. A seguir apresentamos a expressão adotada
para o ajuste inicial, bem como o gráfico com as probabilidades brutas da população
em estudo, de acordo com a fórmula (3.21) e o gráfico com as taxas suavizadas
conforme equação (3.22).
, para
. (3.22)
Gráfico 2 – Taxas Brutas de Mortalidade Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados
37
Gráfico 3 – Taxas Brutas de Mortalidade Suavizadas por Médias Móveis Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados
Os gráficos acima expressam o comportamento das taxas de mortalidade
obtidas a partir dos dados brutos, bem como das taxas expressas após o processo
de médias móveis. O ajuste supramencionado proporcionou uma suavidade na
curva, entretanto nas idades mais longevas o problema da inadequabilidade para o
uso atuarial ainda é latente, ou seja, as probabilidades de falecimento após a idade
91 são inferiores a probabilidade da referida idade, o que não é condizente com o
comportamento de sobrevivência do ser humano.
Após a suavização das taxas brutas de mortalidade, iremos abordar no
capítulo V o ajuste da curva suavizada de acordo com as leis de mortalidade
descritas no item 3.2.
3.3.4 Testes de Ajustamento
Após ajustar o modelo e definir os parâmetros das equações, é
necessário avaliar a qualidade do ajustamento, ou seja, verificar se a curva
38
modelada é capaz de representar a realidade observada. A seguir descrevemos
algumas medidas adotadas para analisar a qualidade do ajustamento, conforme
descrito em Bravo (2007).
3.3.4.1 Desvios Absolutos e Relativos
Este teste baseia-se no cálculo dos desvios entre o número de óbitos
observados e esperados. De posse dos valores ajustados, e com base nos
indicadores de mortalidade é possível calcularmos o número de óbitos
esperados, , bastando multiplicar pelo número de expostos. A seguir
descrevemos as equações para cálculo dos desvios absoluto e relativo, nas
equações (3.2.3) e (3.2.4).
(3.23)
(3.24)
onde:
representa os desvios relativos; e
denota a variância do número de óbitos, calculada segundo as hipóteses
assumidas para a distribuição de probabilidades da variável aleatória.
3.3.4.2 Teste de Kolmogorov-Smirnov (KS)
O teste KS considera a distribuição do desvio máximo absoluto entre duas
distribuições acumuladas. As distribuições acumuladas são descritas a seguir:
39
(3.25)
(3.26)
onde:
corresponde ao número de óbitos observados e
representa o número de óbitos esperados.
A diferença máxima entre as duas distribuições é dada por:
(3.27)
A estatística do teste de Kolmogorov-Smirnov, é definida por:
(3.28)
A estatística tem distribuição conhecida, de modo que a probabilidade
P( pode ser calculada e tabulada. Assim uma vez determinado o nível de
significância do teste, é possível comparar com o respectivo valor crítico e
concluir sobre a rejeição ou não da hipótese nula de que as distribuições são iguais.
3.3.4.3 Teste do Chi-Quadrado
É um dos testes não-paramétricos mais usados para avaliar a qualidade
do ajustamento. A estatística do teste é dada por:
40
(3.29)
e tem distribuição com graus de liberdade, onde representa o número
de idades graduadas e denota o número de parâmetros da função paramétrica
usada. A probabilidade de obter um valor de superior a um valor observado
, pode ser calculada de forma exata recorrendo a algoritmos matemáticos. Por
outro lado, se o número de graus de liberdade for grande , a
probabilidade pode ser estimada com o recurso à estatística:
(3.30)
Uma vez definido o nível de significância , a decisão sobre a rejeição da
hipótese nula é feita com base na comparação entre o valor da estatística do teste e
o valor crítico
41
4 FONTES DE DADOS
4.1 Análise dos Dados
Este trabalho é desenvolvido com dados de participantes e aposentados
vinculados a Fundos de Pensão patrocinados por empresas do setor elétrico
nacional, referentes ao período de 2001 a 2009. Foram analisados os indivíduos que
estiveram em atividade laboral no período supracitado, os que se desligaram da
empresa, mas continuam vinculados ao plano de benefícios, conhecidos na
legislação como auto patrocinados e participantes em Benefício Proporcional
Diferido (BPD), participantes em auxílio-doença, bem como aqueles que estavam
aposentados e que se aposentaram no período, por qualquer motivo, com exceção
do evento invalidez. Excluímos desse estudo os participantes inválidos, tendo em
vista que a mortalidade decorrente desse infortúnio tende a comportar-se de maneira
distinta da mortalidade geral, conforme Ribeiro (2006), portanto não será objeto de
investigação neste estudo.
As informações para a execução deste estudo foram obtidas conforme
solicitação efetuada através de carta encaminhada a cada entidade. O modelo da
correspondência encontra-se no Apêndice A, contendo a descrição dos dados
solicitados.
De acordo com a ABRAPP - Associação Brasileira das Entidades
Fechadas de Previdência Complementar, em dez/2009 existiam 24 entidades
patrocinadas por empresas do setor elétrico nacional. O contingente total de
indivíduos associados a essas entidades era de 201.557, distribuídos da seguinte
forma: 94.690 participantes ativos, 106.867 aposentados e pensionistas. A seguir
apresentamos tabela com a distribuição por entidade:
42
Tabela 4 – Participantes e Assistidos Vinculados a Entidades do Setor Elétrico
N ENTIDADES ATIVOS ASSISTIDOS TOTAL
1 BRASILETROS 1.413 2.909 4.322
2 BRASLIGHT 3.825 6.345 10.170
3 CELOS 4.465 4.042 8.507
4 CELPOS 1.824 3.300 5.124
5 FUNCESP 17.408 31.360 48.768
6 COPEL 9.090 6.183 15.273
7 ELETRA 2.388 1.224 3.612
8 ELETROCEEE 6.475 7.112 13.587
9 ELETROS 2.459 1.703 4.162
10 ELOS 1.393 5.937 7.330
11 ENERSUL 733 353 1.086
12 FACEAL 1.155 21 1.176
13 FACEB 1.005 1.001 2.006
14 FACEPI 971 700 1.671
15 FACHESF 5.703 7.428 13.131
16 FAELBA 2.906 1.423 4.329
17 FAELCE 1.311 2.263 3.574
18 FASERN 737 354 1.091
19 FIBRA 1.476 1.106 2.582
20 FORLUZ 10.668 12.072 22.740
21 INERGUS 1.053 460 1.513
22 PREVINORTE 4.741 1.126 5.867
23 REAL GRANDEZA 5.648 6.858 12.506
24 REDEPREV 5.843 1.587 7.430
TOTAL 94.690 106.867 201.557
Fonte: Consolidado estatístico dez/2009 da ABRAPP
Das 24 entidades, 15 encaminharam as informações solicitadas e
14 tiveram os dados aptos para o estudo proposto. A seguir apresentamos tabela
com total de expostos ao risco no início e fim do ano, novos entrados, desligados do
plano e óbitos no período, considerando ambos os sexos.
Tabela 5 – Movimentação de Expostos ao Risco
Ano Expostos Início do
Ano Filiados no Ano Desligados no Ano
Total de Expostos
Óbitos
2001 107.291 838 271 107.575 476
2002 106.202 1.382 371 106.708 484
2003 107.364 1.110 404 107.717 569
2004 109.683 1.324 359 110.166 626
2005 111.309 2.271 352 112.269 582
2006 113.526 3.223 635 114.820 559
2007 115.254 1.684 824 115.684 563
2008 115.421 1.555 746 115.826 555
2009 105.260 1.648 546 105.811 444
Fonte: Elaboração do autor
43
Analisando a tabela 5 verifica-se um crescimento significativo no número
de filiados nos anos de 2005 e 2006. Em sua grande maioria, o aumento é explicado
pelo número de filiações ocorridos na Fundação COPEL, ou seja, 36,04% das 5.494
filiações são atribuídas à entidade supramencionada, devido a concurso realizado no
ano de 2005. Outro fato que merece destaque é a forte redução verificada no
número de expostos entre os anos de 2008 e 2009. No final do ano de 2008 o total
de expostos era de 115.684 vidas, enquanto que em 2009 foi reduzido para 105.811.
A discrepância observada pode ser explicada pela ausência de informação da
Fundação CHESF referente ao ano de 2009, ou seja, no final de 2008 a entidade
contava com 10.827 vidas que não tiveram suas trajetórias expressas no exercício
de 2009.
A seguir apresentamos gráficos com a distribuição dos expostos ao risco
e do número de óbitos por idade:
Gráfico 4 – Distribuição dos Expostos ao Risco por Idade Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados
Verificando o gráfico acima nota-se o mesmo comportamento observado
na tabela 5, ou seja, uma tendência de crescimento do número de expostos, com
exceção do ano de 2009, e um descolamento à direita na direção das idades mais
longevas à medida que os anos passam.
44
Para determinar a quantidade de expostos ao risco no final de cada ano
utilizamos a expressão 3.21, e a seguir apresentamos a distribuição de participantes
e aposentados, segregados por sexo:
Tabela 6 – Expostos ao Risco Segregados por Sexo
Ano Masculino Feminino Total % Masculino % Feminino
2001 91.514 15.497 107.011 85,52% 14,48%
2002 91.090 15.564 106.654 85,12% 14,54%
2003 91.680 15.926 107.606 85,67% 14,88%
2004 93.850 16.340 110.189 87,70% 15,27%
2005 95.473 16.992 112.465 89,22% 15,88%
2006 97.208 17.689 114.897 90,84% 16,53%
2007 97.654 18.018 115.672 91,26% 16,84%
2008 97.678 18.296 115.974 91,28% 17,10%
2009 89.467 16.539 106.006 83,61% 15,46%
Fonte: Elaboração do autor
Observando a tabela 6, nota-se que existe uma predominância do sexo
masculino, isto é, em torno de 90% da população é composta por homens. Essa
constatação nos conduziu a optar pelo desenvolvimento de uma análise unissex. O
estudo segregado por sexo, especificamente para o feminino, poderia ficar
comprometido pelo número reduzido de expostos ao risco e óbitos observados.
A tabela abaixo apresenta as idades modais à morte, segundo Kannisto
(2001):
(4.1)
onde:
idade com maior número de mortes; e
intervalo entre as idade, no nosso caso, igual a 1.
Tabela 7 – Idade Modal à Morte Ano X Óbitos em X Óbitos em X -1 Óbitos em X + 1 Idade Modal
2001 64 28 15 16 64,23
2002 65 29 21 11 65,17
2003 60 28 16 23 60,19
45
Ano X Óbitos em X Óbitos em X -1 Óbitos em X + 1 Idade Modal
2004 65 36 28 27 65,11
2005 58 32 20 22 58,18
2006 58 26 19 23 58,13
2007 65 34 23 21 65,17
2008 66 34 23 27 66,15
2009 74 26 13 15 74,24
Fonte: Elaboração do autor
A idade modal é um indicador de compressão de mortalidade, entretanto
pelos valores observados não podemos supor que tal evento esteja ocorrendo na
população em estudo.
A figura a seguir apresenta 9 box-plots, onde as idades de ocorrência de
óbitos são representadas no eixo horizontal, enquanto que no eixo vertical temos os
respectivos anos de ocorrência, ou seja, o box-plot 1 corresponde ao ano de 2001, o
de número 2 corresponde ao ano de 2002 e assim sucessivamente.
Figura 1 – Medidas de Tendência Central e Separatrizes – Segundo (Óbitos por Ano) Fonte: Elaboração do autor
46
Gráfico 5 – Distribuição do Número de Óbitos por Idade Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados
Tabela 8 – Resumo Descritivo das Idades de Ocorrência de Óbitos
Medidas 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Mínimo 20 19 19 19 18 19 18 18 18
1 Quartil 53 55 55 57 57 58 58 61 60
Moda 64 65 60 65 58 58 65 66 74
Mediana 62 63 63 65 65 66 65 67 67
Média 61 63 63 64 65 65 66 67 67
3 Quartil 70 71 71 72 74 74 74 74 74
Máximo 94 97 94 93 95 94 94 93 98
IQR 17 16 16 15 17 16 16 13 14
Fonte: Elaboração do autor
A tabela acima resume as distribuições de óbitos apresentadas no
gráfico 5, bem como os resultados observados na figura 1, ou seja, dentre as várias
medidas apresentadas, podemos destacar o IQR médio de 16 anos, expressando
que em torno de 50% (cinquenta por cento) dos óbitos estão entre as idades de 57 e
73 anos.
Os gráficos a seguir apresentam a distribuição de óbitos por idade e o
número de expostos ao risco, considerando todas as entidades participantes do
estudo. O maior número de óbitos foi registrado nas idades 64 e 65, ou seja, 218
47
mortes. Enquanto, que a idade 50 representa o ponto de maior número de exposto
ao evento morte.
Gráfico 6 – Número de Óbitos por Idade – Considerando Todas as Entidades Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados
Gráfico 7 – Expostos ao Risco por Idade – Considerando Todas as Entidades Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados
De acordo com o gráfico 6 podemos observar uma baixa frequência de
óbitos nas idades mais jovens e nas idades mais longevas. Em função do fato
supramencionado o ajuste nesses intervalos pode ficar comprometido, forçando-nos
48
a impor uma restrição na análise das taxas de sobrevivência. O Apêndice B contém
as idades em que não foram observadas óbitos.
4.2 Tratamento, Checagem e Validação dos Dados
Todas as entidades encaminharam os dados através de meio eletrônico.
Não foi estabelecido um “lay out” padrão, ou seja, os arquivos foram encaminhados
em diversos formatos. Após o recebimento das informações foi necessário
efetuarmos checagem e validação dos dados, como por exemplo, a verificação de
continuidade da população.
Para garantir a fidedignidade das informações, tivemos que acompanhar
a trajetória de cada indivíduo durante o período de análise. Uma forma de seguir o
caminho de cada vida foi verificar a situação do participante em cada ano analisado,
e confrontar com atributos de controle, como por exemplo, data de ingresso ou de
saída no plano de benefícios. A seguir apresentamos diagrama que expressa o
acompanhamento da trajetória do participante ou aposentado, isto é, os possíveis
caminhos que ele pode percorrer dentro do mapa de sobrevivência.
Figura 2 – Diagrama de Mudança de Status do Exposto ao Risco Fonte: Elaboração do autor
49
O diagrama acima sintetiza as possíveis mudanças de status que o
indivíduo está sujeito, isto é, uma vez vivo e válido no instante “t”, poderá continuar
dentro do grupo de expostos ao risco em “t + 1”, seja porque continua no período
laboral ou entrou em gozo de aposentadoria não decorrente de invalidez, ou então, o
associado pode sair do grupo porque foi atingido por um dos três decrementos, que
se seguem: desligar-se do plano, entrar em invalidez ou falecer.
4.2.1 Problemas Encontrados nos Dados
O primeiro problema localizado foi decorrente da não continuidade no
balanço anual de informações, ou seja, se aplicarmos a equação 4.2, descrita
abaixo, a população final do ano t - 1, não coincide com o contingente inicial no
ano t.
(4.2.)
onde:
população no ano t + 1;
população no instante t;
entrada de novas participantes no ano t;
participantes desligados do plano no ano t;
falecidos no ano t.
Diversos são os motivos para explicar o problema da não continuidade,
entretanto dois concorreram de maneira significativa, sendo eles: ausência
informacional de novos entrantes e desligados durante o ano t, ou seja, algumas
entidades não encaminharam os arquivos com os dados supramencionados.
Antes de descrevermos os outros problemas localizados nos arquivos,
gostaríamos de destacar que a trajetória de cada participante ou aposentado foi
50
mapeada de acordo com sua matrícula no plano de benefícios. Entendemos que a
maneira mais segura de controlarmos a trajetória do indivíduo seria através do CPF
(cadastro de pessoa física), entretanto por questão de sigilo essa informação foi
omitida pelas entidades.
Além do problema de continuidade, também nos deparamos com
problemas relacionados às datas de nascimento, filiação ao plano, admissão na
empresa, concessão do benefício de aposentadoria, entre outras. Para garantir a
viabilidade da informação efetuamos testes de consistência, como por exemplo,
verificar se a data de filiação é anterior à data de nascimento. Efetuando testes
dessa natureza, encontramos algumas divergências e, para retificar,
reencaminhamos os dados à entidade específica para que fosse providenciada a
correção. Outro problema que tivemos, especificamente com uma entidade, foi em
relação a datas inferiores ao ano de 1900. Nesse caso entramos em contato com a
Fundação e nos foi confirmado o equívoco, ou seja, problemas relacionados no
momento de conversão/exportação de arquivos. Para retificar providenciamos o
ajuste acrescentando 100 anos à data incorreta.
Também diagnosticamos participantes que estavam apenas em
determinados períodos, como por exemplo, constavam na base de dados do ano
t + 1; t + 2, porém não eram localizados nos anos t; t – 1 ou t + 3. Nesses casos os
registros foram excluídos da base de dados.
51
5 GRADUAÇÃO DOS DADOS DE MORTALIDADE – MODELOS PARAMÉTRICOS
5.1 Distribuição do Número de Óbitos e Expostos ao Risco
Segundo Beltrão e Sugahara (2007), é possível a utilização de uma
distribuição de probabilidade para modelar os óbitos ou o número de expostos ao
risco em uma determinada população. As distribuições mais frequentes para esse
tipo de modelagem são a Binomial e a Poisson. Quando se considera uma
modelagem em tempo discreto, que é o caso aplicado nesse estudo, e supondo-se
os óbitos como variáveis independentes entre si, o número de mortes para uma
dada idade x pode ser considerada uma variável aleatória binomial, , e o
que se estima é . A variável aleatória representa o número de mortes à idade
e a exposição ao risco de morte à idade . Quando se considera uma modelagem
em tempo contínuo, o número de mortes será uma variável aleatória Poisson e o que
se estima é . É importante enfatizar que estas duas distribuições
são equivalentes para combinação de valores altos de . Em populações finitas,
isso não costuma ocorrer, principalmente nas altas idades, para as quais as
populações são rarefeitas. Os estimadores pontuais de máxima verossimilhança
destas duas distribuições seriam equivalentes, mas à distribuição de Poisson
apresenta uma maior variância do que a encontrada para uma
Binomial A seguir apresentamos o estimador de
Máxima Verossimilhança (EMV) para a distribuição binomial.
A função de verossimilhança para a Binomial, dado o número de expostos
ao risco - , e o número de óbitos , e como taxa correspondente é:
52
(5.1)
O estimador de máxima verossimilhança de é dado quando se
encontra o zero da função primeira derivada, maximizando a função de
verossimilhança, sendo definido então por .
Após a estimação das taxas brutas de mortalidade, pode-se aplicar um
método de graduação para essas curvas de mortalidade, uma vez que a estimação
do pelo ou por métodos numéricos não garantem a monotonicidade
da função.
5.2 Teste de Ajustamento
Para auferirmos a qualidade do ajustamento utilizaremos o teste
estatístico qui-quadrado de Pearson, que tem por princípio verificar, nesse estudo, a
discrepância entre o número de óbitos observados e o número de óbitos esperados
segundo a equação paramétrica adotada. A hipótese nula do teste será de que os
números de óbitos observados e esperados são iguais para todas as idades,
enquanto que a hipótese alternativa é de que os óbitos observados e esperados não
são iguais para todas as idades.
A seguir apresentamos a expressão que representa a estatística do teste.
(5.2)
onde:
e representam as idades mínimas e máximas;
53
representa o número de óbitos observados; e
equivale ao número de óbitos esperados de acordo com a equação proposta. O
número de grau de liberdade será dado pela expressão , onde representa o
número de idades graduadas e o número de parâmetros da equação.
Apresentaremos nos Apêndices D, E e F tabelas contendo as taxas brutas
de mortalidade, taxas ajustadas com o respectivo modelo paramétrico adotado,
número de óbitos ocorridos e número de óbitos esperados.
5.3 Ajuste das Taxas Brutas de Mortalidade
Os tópicos seguintes apresentarão o ajuste das taxas brutas com base
em quatro leis de mortalidade específicas, Gompertz, Gompertz-Makeham, Thiele e
Heligman-Pollard.
Dada a baixa freqüência de óbitos e o pequeno número de expostos ao
risco nas idades extremas, limitamos o ajuste ao intervalo de 25 a 85 anos. Para
efetuar o ajustamento utilizamos como ferramenta computacional o software Matlab
versão 7.0. de propriedade da empresa The MathWorks, Inc.
5.3.1 Modelo de Gompertz
Este modelo paramétrico pressupõe que a taxa de mortalidade obedece a
uma função de sobrevivência de acordo com uma lei de mortalidade. Esta lei
estabelece que a força de mortalidade que atua sobre a população cresce em
progressão geométrica.
. (5.3)
54
em que b e , sendo a idade em anos.
O gráfico abaixo apresenta a curva referente às taxas brutas de
mortalidade, bem como a curva ajustada pelo modelo de Gompertz.
Gráfico 8 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz
Fonte: elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados
Tabela 9 – Parâmetros - Modelo de Gompertz
Parâmetros Valor Limites de Predição de 95%
Inferior Superior
B 0.006588 0.006222 0.006955
K -1.519 -1.558 -1.480
Fonte: Elaboração do autor
5.3.1.1 Teste de Hipóteses
H0: óbitos observados e esperados são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Gompertz.
20 30 40 50 60 70 80 90
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Idades
qx
Modelo de Gompertz
Taxas Brutas Gompertz
55
H1: óbitos observados e esperados não são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Gompertz.
Conclusão: Rejeita-se H0 a um nível de significância de 5,0%.
Analisando as duas curvas, conforme o gráfico 8, verifica-se uma
aparente aderência, ou seja, a curva ajustada “veste” de uma forma fidedigna as
taxas brutas. Todavia, o resultado do teste qui-quadrado indica que o modelo de
Gompertz não é adequado para representar a curva de mortalidade obtida a partir
dos dados brutos.
5.3.2 Modelo de Gompertz - Makeham
O modelo Gompertz-Makeham, em tese, é um melhoramento do
modelo de Gompertz, pois acrescenta uma constante para representar as
mortes decorrentes de eventos alheios às causas naturais da morte.
. (5.4)
em que b e , sendo a idade em anos.
O gráfico a seguir apresenta a curva referente às taxas brutas de
mortalidade, bem como a curva ajustada pelo modelo de Gompertz-Makeham.
56
Gráfico 9 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz - Makeham Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados
Tabela 10 – Parâmetros - Modelo de Gompertz - Makeham
Parâmetros Valor Limites de Predição de 95%
Inferior Superior
A 10.79 -2197 2218
B -10.77 -2218 2197
K 0.001768 -0.3606 0.3642
Fonte: Elaboração do autor
O ajuste pelo modelo de Gompertz-Makeham apresentou resultados fora
do esperado para uma curva de mortalidade, ou seja, “probabilidades negativas”. Do
ponto de vista matemática a curva é aceitável, entretanto, o ajuste deve ser
desprezado para fins desse estudo.
2 3 40 50 60 70 80 90 -0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Idades
qx
Modelo Gompertz-Makeham
Taxas Brutas Gompertz-Makeham
57
5.3.3 Modelo de Thiele
O modelo de Thiele é uma das primeiras tentativas em modelar todo arco
da vida humana. Para isso a extensão da vida foi decomposta em 3 componentes,
conforme equação descrita a seguir:
. (5.5)
O gráfico abaixo apresenta a curva referente às taxas brutas de
mortalidade, bem como a curva ajustada pelo modelo de Thiele.
Gráfico 10 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados
2 3 40 50 60 70 80 90
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Idades
qx
Modelo de Thiele
Taxas Brutas Thiele
58
Tabela 11 – Parâmetros - Modelo de Thiele
Parâmetros Valor Limites de Predição de 95%
Inferior Superior
A 0.6973 -1.514e+007 1.514e+007
B 0.2527 -3.102e+004 3.102e+004
C 0.0001176 -5.758 5.758
D 1.969 -4.898e+007 4.898e+007
F 1.141 -1.514e+007 1.514e+007
G 0.7789 -1.359e+004 1.36e+004
e 25.26 15.39 35.12
Fonte: Elaboração do autor
Após efetuar o ajustamento o software emitiu as seguintes mensagens:
a) O ajuste computacional não convergiu;
b) Excedeu o número máximo de funções disponíveis;
c) Outras funções podem permitir um melhor ajuste;
d) A equação proposta pode não ser um bom modelo para os dados.
Diante da falta de ajustamento e das observações apresentadas pelo
software, optamos por excluir o primeiro termo da equação de Thiele, tendo em vista
que os dados representam uma população com idade entre 25 e 85 anos, portanto
não contendo informações sobre mortalidade infantil.
Após a exclusão do primeiro termo da equação, no qual batizamos o
modelo de Thiele Incompleto, obtivemos o gráfico com o ajuste a seguir:
. (5.6)
59
Gráfico 11 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele Incompleto
Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados
Tabela 12 – Parâmetros - Modelo de Thiele Incompleto
Parâmetros Valor Limites de Predição de 95%
Inferior Superior
C 4.859e-005
D 0.2838
E 41.27 39.23 43.31
F 0.1443
G 0.347
Fonte: Elaboração do autor
5.3.3.1 Teste de Hipóteses
H0: óbitos observados e esperados são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Thiele Incompleto.
H1: óbitos observados e esperados não são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Thiele Incompleto.
30 40 50 60 70 80
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Idades
qx
Modelo de Thiele Incompleto
Taxas Brutas Thiele Incompleto
60
9.815,33
Conclusão: Rejeita-se H0 a um nível de significância de 5,0%.
O resultado do teste estatístico expressa de forma latente uma
discrepância significativa, ou seja, a não aderência entre as curvas já é notória
através do gráfico. Fica evidente a falta de ajustamento nas idades iniciais,
principalmente no intervalo entre 55 e 70 anos.
5.3.4 Modelo de Heligman-Pollard
O modelo de Heligman-Pollard é um dos estudos paramétricos mais
recentes, tendo sido adotado pelo Departamento de Matemática Aplicada da
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), no ano de 2010, para construção
das tábuas de sobrevivência e mortalidade, das entidades abertas de
previdência complementar do setor nacional.
A seguir apresentamos equação de Heligman-Pollard, bem como o
gráfico com a curva de ajustamento.
. (5.7)
61
Gráfico 12 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard
Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados
Tabela 13 – Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard
Parâmetros Valor Limites de Predição de 95%
Inferior Superior
A 3.148
B -0.01681
C -1.612
D 0.1107
E 0.1954
F 38.26
G 0.3731
H 0.3904
Fonte: Elaboração do autor
5.3.4.1 Teste de Hipóteses
H0: óbitos observados e esperados são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Heligman-Pollard.
2 3 40 50 60 70 80 90
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Idades
qx
Modelo de Heligman-Pollard
Taxas Brutas Heligman-Pollard
62
H1: óbitos observados e esperados não são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Heligman-Pollard.
3.975,83
Conclusão: Rejeita-se H0 a um nível de significância de 5,0%.
O resultado do teste estatístico também expressou uma discrepância
relevante. Mesmo a estatística qui-quadrado sendo inferior ao valor obtido pelo
modelo de Thiele, a não representatividade da curva é evidente em quase todas as
idades, portanto não indicado para representar a população em estudo.
5.3.5 Modelo de Heligman-Pollard Incompleto
Aplicando-se a mesma analogia que utilizamos para o modelo de Thiele,
ou seja, retirando-se a primeira componente do modelo, fizemos também para a
expressão de Heligman-Pollard.
. (5.8)
63
Gráfico 13 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard Incompleto Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados
Tabela 14 – Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard Incompleto
Parâmetros Valor Limites de Predição de 95%
Inferior Superior
D 0.112 -2.057e+006 2.057e+006
E 0.2028 -1.837e+007 1.837e+007
F 38.32 35.1 41.54
G 0.3731 -4.5e+008, 4.5e+008
H 0.3904 -6.894e+007 6.894e+007
Fonte: Elaboração do autor
5.3.5.1 Teste de Hipóteses
H0: óbitos observados e esperados são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Heligman-Pollard Incompleto.
H1: óbitos observados e esperados não são iguais para todas as idades
segundo o modelo de Heligman-Pollard Incompleto.
2 3 40 50 60 70 80 90
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Idades
qx
Helingman-Pollard - Incompleto
Taxas Brutas Heligman-Pollard - Incompleto
64
3.715,52
Conclusão: Rejeita-se H0 a um nível de significância de 5,0%.
Mesmo após a retirada da primeira da expressão de Heligman-Pollard, o
resultado do teste estatístico também expressou uma discrepância relevante. A
estatística qui-quadrado foi inferior ao modelo completo, entretanto a curva ajustada
é bem similar à obtida com a equação original.
65
6 CONCLUSÃO
Este trabalho permitiu analisar os dados de mortalidade referentes ao
período de 2001 a 2009, de 14 Fundos de Pensão patrocinados por empresas do
setor elétrico nacional. Inicialmente o trabalho tinha por objetivo a construção de
uma tábua de mortalidade unissex, entretanto o estudo ficou limitado à análise das
taxas de mortalidade, bem como ajuste de modelos paramétricos de sobrevivência
aos dados supracitados.
Dos modelos paramétricos apresentados no capítulo III utilizamos quatro
para efetuar ajustamento dos dados, sendo eles: Gompertz, Gompertz-Makeham,
Thiele e Helingman-Pollard. Dado o baixo número de óbitos e expostos ao risco nas
idades extremas, optamos por impor uma restrição no ajustamento, ou seja, o ajuste
ficou limitado às idades de 25 a 85 anos.
O primeiro modelo utilizado foi o de Gompertz, que dentre os abordados
nesse estudo, é o mais elementar. Mesmo sendo o mais simples, foi o que
apresentou a menor discrepância entre as curvas, entretanto foi rejeitado pelo
critério do teste estatístico qui-quadrado. O segundo modelo analisado foi o de
Gompertz-Makeham, que é tido na literatura como um melhoramento do modelo de
Gompertz. Todavia, o ajustamento foi de pouquíssima qualidade, apresentando
“probabilidades negativas”. Sendo totalmente inaplicável ao estudo proposto.
O terceiro modelo proposto foi o de Thiele, quem tem como pressuposto
básico a decomposição do arco da vida em 3 componentes. O software adotado não
conseguiu produzir o ajuste, ou seja, não houve convergência até que fosse possível
encontrar os parâmetros da equação. Diante dessa limitação optamos por excluir a
primeira componente da expressão de Thiele, tendo em vista que a mesma
representa a mortalidade na infância, e os dados utilizados tinham idades no
intervalo entre 25 e 85 anos. Após a exclusão do referido termo o ajuste foi efetuado,
porém o resultado também não foi satisfatório, ou seja, a estatística qui-quadrado foi
muito significante ao ponto de superar em mais de 70 vezes o valor crítico do teste.
66
O quarto e último modelo testado foi o de Helingman-Pollard, que também
tem como essência a decomposição da trajetória humana em 3 fases, não foi capaz
de representar de forma fidedigna as taxas brutas de mortalidade. Os resultados,
tanto usando a equação completa quanto somente os dois últimos termos da
equação, foram rejeitados pelo teste de aderência, revelando-se inapropriado para
os dados em estudo.
Nenhum dos modelos paramétricos analisados foi capaz de representar
as taxas brutas de mortalidade observadas. Até poderíamos encontrar uma equação
que vestisse de forma plena os dados analisados, como por exemplo, uma equação
polinomial do sexto grau que foi testada, entretanto, perderíamos o sentido e
essência do estudo, vez que não estamos buscando a melhor equação, mas sim, o
modelo de sobrevivência que melhor represente as taxas de mortalidade da
população em estudo.
Este trabalho não investigou todos os modelos paramétricos disponíveis
na literatura, nem tampouco os modelos não paramétricos, portanto fica como
sugestão o incremento de dados de entidades que não puderam participar desse
estudo, bem como a aplicação de outros modelos paramétricos, como, por exemplo,
o de Perks, Weibull, modelos lineares generalizados ou, até mesmo, uma
abordagem não paramétrica utilizando os modelos de Whittaker-Henderson ou
Graduação por Polinômios Locais, dentre outros.
Tendo em vista a escassez de publicações no âmbito nacional, fica aqui
evidenciado que o assunto requer prosseguimentos de análise com abordagens
alternativas no sentido de investigar os reais motivos que contribuíram para a
rejeição de todos os modelos analisados no âmbito da base de dados utilizada. Não
obstante, acredita-se que o texto aqui desenvolvido tenha contribuído com a
literatura se mostre como motivação para o desenvolvimento de novos trabalhos na
área.
67
REFERÊNCIAS
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68
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70
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71
APÊNDICES
APÊNDICE A – Carta Padrão Encaminhada aos Fundos de Pensão
Fortaleza, 12 de maio de 2010.
À Fundação Ampla de Seguridade Social - BRASILETROS Diretoria de Benefícios Av. Visconde de Rio Branco, nº 429 - 5º andar Bairro: Centro Niterói - RJ Cep: 24020 - 003
Prezado Diretor,
Com intuito de desenvolver estudo acadêmico para elaboração de nossa
dissertação de mestrado, visando à obtenção do título de Mestre no Curso de Pós-
Graduação em Economia (CAEN) da Universidade Federal do Ceará (UFC), vimos
solicitar, através deste instrumento, dados para investigar o comportamento da
sobrevivência/mortalidade dos participantes e assistidos de Fundos de Pensão
patrocinados por empresas do setor elétrico. Os dados serão utilizados para
construção de tábua biométrica específica do setor, aplicação e verificação da sua
adequabilidade nos planos de benefícios das entidades que irão fornecer os dados
supracitados.
Especificamente, estamos solicitando a esta entidade os seguintes dados,
do período 2000 a 2009:
1. Arquivo dos participantes ativos contendo os seguintes campos:
a) Matrícula ou número identificador para seguirmos a trajetória do
participante;
b) Data de Nascimento;
c) Sexo;
d) Data de Admissão no Patrocinador;
72
e) Data de Filiação ao Plano;
f) Situação no Plano (ativo patrocinado, autopatrocinado ou BPD); e
g) Participante exposto ao risco? [recebe periculosidade? Sim (S) ou Não
(N)].
2. Arquivo dos participantes assistidos contendo os seguintes campos:
a) Matrícula ou número identificador para seguirmos a trajetória do
assistido;
b) Data de Nascimento;
c) Sexo;
d) Data de Inscrição no Patrocinador;
e) Data de Filiação ao Plano;
f) Data de Concessão do Benefício;
g) Tipo de Benefício (aposentadoria programada, invalidez ou pensão); e
h) Data de Falecimento (para o caso do participante não possuir
beneficiário).
3. Arquivo contendo dados de ex-participantes que se desligaram do
Plano seja por motivo de resgate de contribuições, portabilidade ou falecimento sem
beneficiário habilitado ao benefício de pensão.
a) Matrícula ou número identificador para seguirmos a trajetória do
participante;
b) Data de Nascimento;
c) Sexo;
d) Data de Admissão no Patrocinador;
e) Data de Filiação ao Plano; e
f) Data do Desligamento.
Após conclusão do estudo, divulgaremos os resultados a todas as
entidades que contribuíram para execução do trabalho. E como se trata de uma
dissertação de mestrado em uma universidade pública, a mesma estará disponível
ao público em geral.
73
Na expectativa de sermos atendidos a este pedido, agradecemos
antecipadamente a vossa atenção. O investigador deste estudo será o mestrando
Marcos Antonio de Lima Santos, conjuntamente com Ronaldo de Albuquerque e
Arraes, professor do CAEN e associado da Universidade Federal do Ceará,
orientador da dissertação de mestrado.
Estamos à disposição para maiores esclarecimento através do telefone
(85) 3452 6556 ou através do e-mail: [email protected].
Atenciosamente,
Marcos Antonio de Lima Santos Ronaldo de Albuquerque e Arraes Aluno do CAEN/UFC
Membro da Comissão Nacional de Atuária da Abrapp
Professor do CAEN/UFC
74
APÊNDICE B – TABELA 15
Tabela 15 – Idades sem Óbitos Registrados
Período Analisado
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Idades sem Óbitos
18 18 18 18 19 18 19 20 19
19 20 20 21 20 22 20 21 20
21 21 21 22 21 23 21 23 21
22 22 22 23 22 24 22 24 22
23 23 24 24 23 25 23 25 23
24 24 25 25 24 26 24 26 24
26 25 26 26 25 27 25 27 25
27 26 27 27 26 28 26 28 26
28 28 34 29 28 29 27 29 27
29 32 36 31 29 30 29 30 28
87 33 37 32 32 32 31 31 29
90 35 39 34 34 34 32 32 30
93 88 93 36 39 38 33 33 33
95 90 95 38 93 39 36 34 34
96 93 96 90 96 41 39 35 35
97 94 97 91 97 93 93 36 37
98 95 98 94 98 95 95 37 38
99 96 99 95 99 96 96 38 40
100 98 100 96 100 97 97 39 41
99 97 98 98 42 42
100 98 99 99 90 43
99 100 100 92 91
100 94 92
95 94
96 95
97 96
98 97
99 98
100 100
Fonte: Elaboração do autor.
75
APÊNDICE C – TABELA 16
Tabela 16 – Ajuste pelo Modelo de Gompertz
Idade Total Expostos Tx Suavizada Gompertz Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
25 8470 0,00010485 0,00050621 1 4
26 9682 0,00016016 0,00055141 0 5
27 10462 0,00024159 0,00060066 2 6
28 11075 0,00037320 0,00065430 3 7
29 11578 0,00060616 0,00071273 3 8
30 12182 0,00066346 0,00077637 7 9
31 12535 0,00063808 0,00084570 12 11
32 12965 0,00048590 0,00092123 6 12
33 13681 0,00055239 0,00100349 7 14
34 14516 0,00056616 0,00109311 7 16
35 15252 0,00061485 0,00119072 10 18
36 16157 0,00053695 0,00129706 9 21
37 17385 0,00055650 0,00141289 11 25
38 18606 0,00057199 0,00153906 8 29
39 19715 0,00075740 0,00167650 12 33
40 21121 0,00075297 0,00182621 14 39
41 22539 0,00084157 0,00198930 22 45
42 24072 0,00102134 0,00216694 15 52
43 25874 0,00130168 0,00236045 24 61
44 27404 0,00142407 0,00257125 40 70
45 28924 0,00137999 0,00280086 43 81
46 30044 0,00158672 0,00305098 40 92
47 30888 0,00209948 0,00332344 41 103
48 31712 0,00248347 0,00362023 66 115
49 32186 0,00282495 0,00394352 92 127
50 32339 0,00312268 0,00429569 81 139
51 32115 0,00344086 0,00467930 100 150
52 31298 0,00376480 0,00509717 118 160
53 30460 0,00425350 0,00555235 105 169
54 29350 0,00498161 0,00604818 120 178
55 28118 0,00585783 0,00658830 149 185
56 27244 0,00655830 0,00717664 153 196
57 26068 0,00702687 0,00781753 175 204
58 24758 0,00754787 0,00851565 184 211
59 23319 0,00799532 0,00927611 162 216
60 21877 0,00898639 0,01010450 182 221
61 20593 0,00987404 0,01100680 182 227
62 19068 0,01143325 0,01198970 189 229
63 17459 0,01317181 0,01306050 193 228
64 15952 0,01457001 0,01422680 218 227
65 14343 0,01545707 0,01549720 218 222
66 12945 0,01626675 0,01688120 194 219
67 11465 0,01721199 0,01838870 187 211
68 10140 0,01899311 0,02003080 181 203
69 8898 0,02142978 0,02181960 157 194
70 7867 0,02526397 0,02376810 173 187
76
Idade Total Expostos Tx Suavizada Gompertz Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
71 6847 0,02693882 0,02589070 176 177
72 6027 0,02959388 0,02820270 175 170
73 5204 0,03155456 0,03072130 136 160
74 4516 0,03681816 0,03346470 155 151
75 3876 0,03869253 0,03645320 138 141
76 3369 0,04281972 0,03970850 140 134
77 2912 0,04468679 0,04325460 115 126
78 2500 0,04841481 0,04711730 121 118
79 2107 0,05044843 0,05132490 100 108
80 1796 0,05371248 0,05590830 89 100
81 1449 0,06203060 0,06090100 81 88
82 1186 0,06684950 0,06633960 68 79
83 960 0,07543935 0,07226380 74 69
84 771 0,07451404 0,07871700 53 61
85 602 0,08333333 0,08574660 49 52
Fonte: Elaboração do autor.
77
APÊNDICE D – TABELA 17
Tabela 17 – Ajuste pelo Modelo de Thiele – Incompleto
Idade Total Expostos Tx Suavizada Thiele Incomp Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
25 8470 0,00010485 0,00969173 1 82
26 9682 0,00016016 0,00853722 0 83
27 10462 0,00024159 0,00745590 2 78
28 11075 0,00037320 0,00644778 3 71
29 11578 0,00060616 0,00551285 3 64
30 12182 0,00066346 0,00465111 7 57
31 12535 0,00063808 0,00386257 12 48
32 12965 0,00048590 0,00314722 6 41
33 13681 0,00055239 0,00250506 7 34
34 14516 0,00056616 0,00193609 7 28
35 15252 0,00061485 0,00144032 10 22
36 16157 0,00053695 0,00101774 9 16
37 17385 0,00055650 0,00066836 11 12
38 18606 0,00057199 0,00039216 8 7
39 19715 0,00075740 0,00018916 12 4
40 21121 0,00075297 0,00005935 14 1
41 22539 0,00084157 0,00000274 22 0
42 24072 0,00102134 0,00001932 15 0
43 25874 0,00130168 0,00010909 24 3
44 27404 0,00142407 0,00027205 40 7
45 28924 0,00137999 0,00050821 43 15
46 30044 0,00158672 0,00081756 40 25
47 30888 0,00209948 0,00120010 41 37
48 31712 0,00248347 0,00165584 66 53
49 32186 0,00282495 0,00218477 92 70
50 32339 0,00312268 0,00278689 81 90
51 32115 0,00344086 0,00346220 100 111
52 31298 0,00376480 0,00421071 118 132
53 30460 0,00425350 0,00503241 105 153
54 29350 0,00498161 0,00592730 120 174
55 28118 0,00585783 0,00689539 149 194
56 27244 0,00655830 0,00793667 153 216
57 26068 0,00702687 0,00905114 175 236
58 24758 0,00754787 0,01023880 184 253
59 23319 0,00799532 0,01149970 162 268
60 21877 0,00898639 0,01283370 182 281
61 20593 0,00987404 0,01424100 182 293
62 19068 0,01143325 0,01572140 189 300
63 17459 0,01317181 0,01727500 193 302
64 15952 0,01457001 0,01890190 218 302
65 14343 0,01545707 0,02060190 218 295
66 12945 0,01626675 0,02237510 194 290
67 11465 0,01721199 0,02422150 187 278
68 10140 0,01899311 0,02614110 181 265
69 8898 0,02142978 0,02813390 157 250
70 7867 0,02526397 0,03019980 173 238
78
Idade Total Expostos Tx Suavizada Thiele Incomp Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
71 6847 0,02693882 0,03233900 176 221
72 6027 0,02959388 0,03455140 175 208
73 5204 0,03155456 0,03683690 136 192
74 4516 0,03681816 0,03919570 155 177
75 3876 0,03869253 0,04162760 138 161
76 3369 0,04281972 0,04413280 140 149
77 2912 0,04468679 0,04671110 115 136
78 2500 0,04841481 0,04936260 121 123
79 2107 0,05044843 0,05208740 100 110
80 1796 0,05371248 0,05488530 89 99
81 1449 0,06203060 0,05775640 81 84
82 1186 0,06684950 0,06070070 68 72
83 960 0,07543935 0,06371820 74 61
84 771 0,07451404 0,06680880 53 52
85 602 0,08333333 0,06997270 49 42
Fonte: Elaboração do autor.
79
APÊNDICE E – TABELA 18
Tabela 18 – Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard
Idade Total Expostos Tx Suavizada Heligman Pollard Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
25 8470 0,00010485 0,01647870 1 140
26 9682 0,00016016 0,01358050 0 131
27 10462 0,00024159 0,01105610 2 116
28 11075 0,00037320 0,00886884 3 98
29 11578 0,00060616 0,00698669 3 81
30 12182 0,00066346 0,00538129 7 66
31 12535 0,00063808 0,00402762 12 50
32 12965 0,00048590 0,00290349 6 38
33 13681 0,00055239 0,00198909 7 27
34 14516 0,00056616 0,00126677 7 18
35 15252 0,00061485 0,00072067 10 11
36 16157 0,00053695 0,00033655 9 5
37 17385 0,00055650 0,00010157 11 2
38 18606 0,00057199 0,00000413 8 0
39 19715 0,00075740 0,00003371 12 1
40 21121 0,00075297 0,00018078 14 4
41 22539 0,00084157 0,00043663 22 10
42 24072 0,00102134 0,00079337 15 19
43 25874 0,00130168 0,00124374 24 32
44 27404 0,00142407 0,00178112 40 49
45 28924 0,00137999 0,00239944 43 69
46 30044 0,00158672 0,00309311 40 93
47 30888 0,00209948 0,00385701 41 119
48 31712 0,00248347 0,00468640 66 149
49 32186 0,00282495 0,00557692 92 179
50 32339 0,00312268 0,00652453 81 211
51 32115 0,00344086 0,00752550 100 242
52 31298 0,00376480 0,00857636 118 268
53 30460 0,00425350 0,00967392 105 295
54 29350 0,00498161 0,01081520 120 317
55 28118 0,00585783 0,01199740 149 337
56 27244 0,00655830 0,01321790 153 360
57 26068 0,00702687 0,01447450 175 377
58 24758 0,00754787 0,01576470 184 390
59 23319 0,00799532 0,01708650 162 398
60 21877 0,00898639 0,01843800 182 403
61 20593 0,00987404 0,01981730 182 408
62 19068 0,01143325 0,02122270 189 405
63 17459 0,01317181 0,02265270 193 395
64 15952 0,01457001 0,02410560 218 385
65 14343 0,01545707 0,02558010 218 367
66 12945 0,01626675 0,02707490 194 350
67 11465 0,01721199 0,02858870 187 328
68 10140 0,01899311 0,03012030 181 305
69 8898 0,02142978 0,03166870 157 282
70 7867 0,02526397 0,03323280 173 261
80
Idade Total Expostos Tx Suavizada Heligman Pollard Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
71 6847 0,02693882 0,03481150 176 238
72 6027 0,02959388 0,03640410 175 219
73 5204 0,03155456 0,03800960 136 198
74 4516 0,03681816 0,03962720 155 179
75 3876 0,03869253 0,04125610 138 160
76 3369 0,04281972 0,04289550 140 145
77 2912 0,04468679 0,04454490 115 130
78 2500 0,04841481 0,04620350 121 116
79 2107 0,05044843 0,04787070 100 101
80 1796 0,05371248 0,04954590 89 89
81 1449 0,06203060 0,05122860 81 74
82 1186 0,06684950 0,05291820 68 63
83 960 0,07543935 0,05461430 74 52
84 771 0,07451404 0,05631630 53 43
85 602 0,08333333 0,05802390 49 35
Fonte: Elaboração do autor.
81
APÊNDICE F – TABELA 19
Tabela 19 – Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard – Incompleto
Idade Total Expostos Tx Suavizada HP Incomp Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
25 8470 0,00010485 0,01667640 1 141
26 9682 0,00016016 0,01375360 0 133
27 10462 0,00024159 0,01120690 2 117
28 11075 0,00037320 0,00899922 3 100
29 11578 0,00060616 0,00709839 3 82
30 12182 0,00066346 0,00547592 7 67
31 12535 0,00063808 0,00410666 12 51
32 12965 0,00048590 0,00296827 6 38
33 13681 0,00055239 0,00204086 7 28
34 14516 0,00056616 0,00130666 7 19
35 15252 0,00061485 0,00074974 10 11
36 16157 0,00053695 0,00035577 9 6
37 17385 0,00055650 0,00011185 11 2
38 18606 0,00057199 0,00000631 8 0
39 19715 0,00075740 0,00002856 12 1
40 21121 0,00075297 0,00016903 14 4
41 22539 0,00084157 0,00041896 22 9
42 24072 0,00102134 0,00077040 15 19
43 25874 0,00130168 0,00121607 24 31
44 27404 0,00142407 0,00174930 40 48
45 28924 0,00137999 0,00236399 43 68
46 30044 0,00158672 0,00305452 40 92
47 30888 0,00209948 0,00381573 41 118
48 31712 0,00248347 0,00464286 66 147
49 32186 0,00282495 0,00553152 92 178
50 32339 0,00312268 0,00647766 81 209
51 32115 0,00344086 0,00747751 100 240
52 31298 0,00376480 0,00852759 118 267
53 30460 0,00425350 0,00962469 105 293
54 29350 0,00498161 0,01076580 120 316
55 28118 0,00585783 0,01194810 149 336
56 27244 0,00655830 0,01316910 153 359
57 26068 0,00702687 0,01442620 175 376
58 24758 0,00754787 0,01571740 184 389
59 23319 0,00799532 0,01704030 162 397
60 21877 0,00898639 0,01839320 182 402
61 20593 0,00987404 0,01977400 182 407
62 19068 0,01143325 0,02118120 189 404
63 17459 0,01317181 0,02261310 193 395
64 15952 0,01457001 0,02406810 218 384
65 14343 0,01545707 0,02554490 218 366
66 12945 0,01626675 0,02704220 194 350
67 11465 0,01721199 0,02855850 187 327
68 10140 0,01899311 0,03009290 181 305
69 8898 0,02142978 0,03164420 157 282
70 7867 0,02526397 0,03321120 173 261
82
Idade Total Expostos Tx Suavizada HP Incomp Óbitos
Ocorridos Óbitos
Esperados
71 6847 0,02693882 0,03479310 176 238
72 6027 0,02959388 0,03638890 175 219
73 5204 0,03155456 0,03799780 136 198
74 4516 0,03681816 0,03961880 155 179
75 3876 0,03869253 0,04125130 138 160
76 3369 0,04281972 0,04289450 140 145
77 2912 0,04468679 0,04454760 115 130
78 2500 0,04841481 0,04621010 121 116
79 2107 0,05044843 0,04788120 100 101
80 1796 0,05371248 0,04956050 89 89
81 1449 0,06203060 0,05124730 81 74
82 1186 0,06684950 0,05294110 68 63
83 960 0,07543935 0,05464150 74 52
84 771 0,07451404 0,05634780 53 43
85 602 0,08333333 0,05805980 49 35
Fonte: Elaboração do autor.