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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA
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PROJETO PIBEG
Unidade III
MÉTODO DOS MÍNIMOSQUADRADOS
Problema 1
A tabela seguinte fornece a
população do Brasil (em milhões de
habitantes) desde 1872:
Ano 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Pop. [milhões] 9.9 14.3 17.4 30.6 41.2 51.9 70.9 93.1 130 150
Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano 2000
empregando o Método dos Quadrados Mínimos.
Problema 2
Durante a reação de saponificação de quantidades equimolares de
hidróxido de sódio e acetato de etila, a concentração C (mol/L) varia
com o tempo t (min) de acordo com a equação:
na qual C0 é a concentração inicial e k (L/molxmin) é a constante da
reação. Os seguintes resultados foram obtidos em ensaio de
laboratório, a temperatura de 25°C:
ktCC
0
11
t [min] 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10.0 12.0 15.0 20.0 25.0
1/C [l/mol] 24.7 32.4 38.4 45.0 52.3 65.6 87.6 102 135 154 192
Obter a estimativa da constante de reação e da concentração inicial,
empregando o método dos mínimos quadrados.
Problema 3
Seja M a massa de um material
radioativo. Num laboratório foram
feitas as seguintes medições
Determine o instante em que teremos uma massa de 1 decigrama
sabendo-se que M(t) = M0 eat onde M0 é a massa do material no
instante t = 0.
t [anos] 1 2 3 4 5 6
M [mg] 8.75 4.5 2.38 1.75 1.34 1.0
Problema 4
Mr. K. P. Lear (1609) teve a idéia de que a terra se move ao redor do
sol em órbita elíptica, com o sol em um dos focos. Depois de muitas
observações e cálculos, obteve-se a tabela seguinte, onde r é a
distância da terra ao sol (em milhões de km) e é o ângulo (em graus)
entre a linha Terra-Sol e o eixo principal da elipse.
graus] 0 45 90 135 180
r [106 km] 147 148 150 151 152
Sabendo que uma elipse pode ser escrita
pela fórmula:
)cos(1
r
Estime os valores de ρ e ε.
Problema 5
ω/c[água/cimento] 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
σ [Resistência] 7000 6125 5237 4665 4123 3810 3107 3070 2580 2287
A resistência à compressão do
concreto, σ, decresce com o
aumento da razão água/cimento, ω/c
(em galões de água por saco de
cimento). A resistência à
compressão de três amostras de
cilindros para várias razões ω/c está
mostrada na figura ao lado e na
tabela abaixo:
Usando o método dos mínimos quadrados, ajuste σ aos dados,
utilizando uma função do tipo:c
kek
2
1
Problema 6
A tabela, ao lado, relaciona a quantidade
ideal de calorias, em função da idade e
do peso, para homens que possuem
atividade física moderada e vivem a uma
temperatura ambiente de 20° C.
p
i
25 45 65
50 2500 2350 1950
60 2850 2700 2250
70 3200 3000 2550
80 3550 3350 2800
a) Usando o método dos mínimos quadrados, encontre uma
expressão da forma:
Cal = bp + ci
que ajuste os dados para homens de 45 anos.
b) Refaça o exercício anterior considerando homens de 70 quilos.
Problema 7
Após serem efetuadas medições
num gerador de corrente contínua,
foram obtidos os seguintes valores,
indicados por um voltímetro e um
amperímetro.
a) Ajuste os dados por um polinômio de grau adequado.
b) Estime o valor a ser obtido no voltímetro quando o amperímetro
estiver marcando 3.05A
I [A] 1.58 1.80 2.15 2.5 3.01 3.5 4 4.5 4.8
V [volts] 210 195 160 120 90 60 80 120 150