Oscilações

Movimento OscilatórioCinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS)MHS e Movimento Circular UniformeForça e Energia do MHSExemplosExercícios

Universidade Federal de São PauloInstituto de Ciência e TecnologiaBacharelado em Ciência e Tecnologia

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Movimento Oscilatório

� Cordas vocais

� Diapasão

� Instrumentos de cordas

� Ondas na água

� Ondas sonoras

� Ondas em cordas

“Variações temporais” “Variações espaciais”

Vibrações Ondase

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Movimento Oscilatório

� Hélice na água

� Asas de abelha

� Elétrons em uma lâmpada

� Ondas na água

� Ondas sonoras

� Ondas de luz

“Variações temporais” “Variações espaciais”

Vibrações Ondase

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Movimento Harmônico Simples

Movimento oscilatório que se repete periodicamente.Resulta em ondas senoidais.

Exemplos:• Massa em uma mola• Pêndulo

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Uma massa vibrante conectada a uma mola é deslocada da

posição de equilíbrio, e depois solta.

O deslocamento máximo é chamado amplitude da vibração.

Um ciclo é uma vibração completa.

O período é o tempo necessário para completar um ciclo

completo.

A frequência é a conta de quantos ciclos o sistema

completa em 1 s.

Movimento Harmônico Simples

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Movimento Harmônico Simples

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Movimento Harmônico Simples

O gráfico de um Movimento Harmônico Simples (MHS)é descrito por uma curva senoidal.

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Movimento Harmônico Simples

9

Movimento Harmônico Simples

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Movimento Harmônico Simples

Quando o corpo é deslocado de uma distância x a partirde sua posição de equilíbrio, a mola exerce sobre umaforça -kx, dada pela lei de Hooke.

xF kx= −

onde k é a constante de força da mola, uma medida desua rigidez.

O sinal negativo indica que a força é uma forçarestauradora, isto é, ela tem o sentido oposto ao dodeslocamento a partir da posição de equilíbrio.

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Condições para o Movimento Harmônico Simples:

No movimento harmônico simples, a aceleração, e

portanto, também a força resultante, são ambas

proporcionais e opostas ao deslocamento a partir da

posição de equilíbrio.

Movimento Harmônico Simples

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O tempo que leva para um objeto deslocado executar um

ciclo completo de movimento oscilatório – de um extremo

ao outro e de volta ao anterior – é chamado de período T.O inverso do período é a frequência f, que é o número de

ciclos por unidade de tempo:

Movimento Harmônico Simples

1f

T=

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Movimento Harmônico Simples

Unidade de Frequência:

A unidade de frequência é o ciclo por segundo (ciclo/s),

chamado de hertz (Hz).

Exemplo:

Se o tempo para um ciclo completo de oscilações é 0,25 s,

a frequência é 4,0 Hz.

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Movimento Harmônico Simples

Posição no Movimento Harmônico Simples:

A figura abaixo mostra como podemos, experimentalmente,

obter x versus t para uma massa presa a uma mola. A

equação geral para esta curva é

cos( )x A tω δ= +

onde A, ω e δ são constantesO deslocamento máximo xmáx do equilíbrio é chamado de

amplitude A.

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Movimento Harmônico Simples

O argumento da função cosseno, ωωωωt+δδδδ, é a fase do

movimento, e a constante δδδδ é a constante de fase, que é

igual à fase em t=0.

Nota que:

cos( ) sen( 2),t tω δ ω δ π+ = + +

assim, expressar a equação como uma função cosseno ou

como uma função seno depende simplesmente da fase da

oscilação em t=0.

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Movimento Harmônico Simples

Podemos mostrar que:

2

2

x

x

kx ma

ou

k d x ka x ou x

m dt m

− =

= − = −

É solução de:

cos( )x A tω δ= +

Velocidade no Movimento Harmônico Simples

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Movimento Harmônico Simples

A primeira derivada de x dá a velocidade vx

( )senx

dxv A t

dtω ω δ= = − +

Aceleração no Movimento Harmônico Simples

Derivando a velocidade em relação ao tempo temos a

aceleração:

( )2

2

2cosx

d xa A t

dtω ω δ= = − +

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Movimento Harmônico Simples

Substituindo ( )senA tω δ+

A frequência angular:

por x fica 2

2

2x

d xa x

dtω= = −

k

mω =

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Movimento Harmônico Simples

A frequência se relaciona com a frequência angular da

forma1

2 2 fT

ω π π= =

Como ,k mω =

a frequência e o período de um corpo preso a uma mola se

relaciona com a constante de força k e a massa m da forma

1 1

2

kf

T mπ= =

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Movimento Harmônico Simples

A frequência aumenta com o aumento de k (rigidez da

mola) e diminui com o aumento da massa m.

A Equação para frequência fornece uma maneira de se

medir a massa inercial de um astronauta em um ambiente

“sem gravidade”.

A frequência (e, portanto, também o período) do

movimento harmônico simples (MHS) é independente da

amplitude.

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Movimento Harmônico Simples

Exercício 1:

Você está sentado na prancha de surfe, que sobe e desce

ao flutuar sobre algumas ondas. O deslocamento vertical

da prancha y é dado por

( )1

1,2 cos2,0 6

y m ts

π = +

a) Determine a amplitude, a frequência, a frequência

angular, a constante de fase, a frequência e o período do

movimento.

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Movimento Harmônico Simples

b) Onde está a prancha, em t=1,0 s?

c) Determine a velocidade e a aceleração, como funções

do tempo t.

d) Determine os valores iniciais da posição, da velocidade

e da aceleração da prancha.

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Movimento Harmônico Simples

Exercício 2:

Um corpo oscila com uma frequência angular w=8,0 rad/s.

Em t=0, o corpo está em x=4,0 cm com uma velocidade

inicial vx=-25 cm/s.

a) Determine a amplitude e a constante de fase do

movimento.

b) Escreva x como função do tempo.