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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

EFEITO ZEEMAN QUADRATICO EM ÄTOMOS HIDROGENÖIDES

TESE SUBMETIDA Ã UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE

"MESTRE EM CIÊNCIAS"

PAULO CESAR RECH

FLORIANÓPOLIS SANTA CATARINA - BRASIL

NOVEMBRO 1986 .

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EFEITO ZEEMAN QUADRÁTICO EM ÄTOMOS HIDROGENÖIDES

Paulo Cesar Rech

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE"MESTRE EM CIÊNCIAS"

ESPECIALIZAÇÃO FISICO-QUIMICA E APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELOCURSO DE PÕS-GRADUAÇÃO.

Prof . Dr. JASONj ALF!ORIENTA

ALFmD©^ C. AD0R

GALLAS

Prof . Dr. HÉÜTO JO^E IMÖLEERCOORDENADOR

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. JASON C. GALLAS

Prof. Dr. FERNANDO CABRAL

Prof . Dr . HUMBERTO SIQUEIRA BRANDI

Ill

RESDMO

Utilizando o método variacional, investigamos o e£ pectro não relativístico de energias do estado fundamental do áto mo de hidrogênio nà presença de campos magnéticos de intensidades arbitrárias. Nossos resultados representam o "estado da arte" no cálculo do efeito Zeeman quadrático. A função tentativa utilizada dá uma indicação da simetria do estado fundamental do átomo de hi drogênio em campos magnéticos intensos. Todos os cálculos algébri cos necessários para o presente trabalho foram efetuados em um com putador IBM 4341, sendo para tal utilizadas rotinas REDUCE por nós desenvolvidas.

IV

ABSTRACT

The non-relativistic energy spectrum of the ground state of the hydrogen atom in a magnetic field of arbitrary strength is investigated using the variational method. Our results .repre sent "the state of the art" in calculation of the quadratic Zeeman effect. The trial function utilized gives us an indication of the symmetry of the ground state of the hydrogen atom in high magnetic fields. All necessary algebraic calculations were performed on an IBM 4 341 computer with REDUCE routines that we developed.

V

ÍNDICE

INTRODUÇÃO........... .......................................... 1

CAPÍTULO I - Revisão do Efeito Zeeman em Ãtomos................ 4I-O - Introdução........... -................................... ^I-l - Átomos Livres.................................. . ......... 4I-2 - Átomos em Campos Magnéticos............................ . . 5

CAPÍTOLO II - Um Estudo Variacional.................. .......... 9II-O - Introdução................... ............... ......... 9II-l - 0 Método Variacional.................. .................. 9II-2 - A Função de Onda............... ......................... 10II-3 - A Energia Total........ ................................. 14II-4 - Um Exemplo Resolvido.................................... 16

CAPÍTULO III - Resultados Mais Elaborados...................... 21III-O - Introdução....................................... ...... 21III-l - Resultados..... ........................... ............. 21III-2 - Análise Comparativa.................................... 32

CONCLUSÕES......................... ........................ . 39

APÊNDICE A - As Coordenadas Parabólicas.................... . 41APÊNDICE B - Outro Exemplo..................................... 42APÊNDICE C - Rotina Fortran Para os Elementos de Matriz......... 51APÊNDICE D - Rotina Fortran Para os Elementos de Matriz (c=0)... 76

BIBLIOGRAFIA................................................... 80

INTRODUÇÃO

0 aspecto fundamental do problema de átomos em cam pos magnéticos está relacionado com o que acontece ao elétron quan do submetido â ação conjunta de forças dos tipos Coulombiana e dia magnética. O interesse em tal problema surge, antes de tudo, pelo fato de ser um dos problemas mais básicos da física teórica, mais precisamente da Mecânica Quântica não-relativística, bem como o ca so mais simples de uma equação de Schrödinger com potencial veto rial. Ê um problema não separável em qualquer dos sistemas de coor denadas conhecido, com duas forças de diferentes simetrias e de in tensidades comparáveis atuando sobre o elétron. Ê, até o presente momento, um problema aberto uma vez que nao existe procedimento pa ra quantização de problemas-não-separâveis .-Em termos - conceituais, a importância' do problema estâ no fato que os dois casos limites são duas das poucas situações separáveis ( e consequentemente solu cionáveis analiticamente ) conhecidas em Mecânica Quântica. Estas situações limites são os conhecidos problemas de Coulomb ( para o qual B 0 ) e de Landau ( para o qual Z 0 ) . 0 de Coulomb trata exatamente do átomo de hidrogênio livre ( isto é, não sujeito . a campo magnético ), sendo um problema que apresenta simetria esféri ca. 0 de Landau, por sua vez, trata do elétron sujeito à ação de um campo magnético, o que faz com que a simetria apresentada seja cilíndrica, com o eixo do cilindro sendo definido pela direção do campo. Outro fato que desperta o interesse para o problema é o de que todas as questões ligadas ao diamagnetismo atômico tem larga aplicação em vários domínios dá Física. Por exemplo, em Física do Estado Solido de Sistemas de excitons e em Astrofísica, apesar de que no caso deste último não ser ainda possível gerar em laboratõ rio campos magnéticos típicos de pulsârs ( 10^^ G ) e anãs brancas

g(10 G ). Tais campos, no entanto, podem ser simulados pelo estu

1

do de estados altamente excitados ( chamados estados de Rydberg ) que jã podem ser criados com relativa facilidade em laboratório.

Nosso objetivo com este^ trabalho foi basicamente es tudar a função de onda do estado fundamental de um átomo hidroge nóide colocado num campo magnético uniforme. Explorando um certo tipo especifico de função tentativa ( a ser discutida em detalhes no capitulo II ), pretendemos responder duas questões fundamentais:a) Qual a eficiência da função de onda estudada em gerar autovalores para campos magnéticos arbitrários?b) Qual a expansão em sêrie da função de onda exata ( ; certamente não separável ), ou seja, qual o tipo de simetria que sobrevive á aplicação do campo magnético?

Não nos propomos a fazer apenas "mais um cálculo do espectro Zeeman em hidrogênio", mas sim, utilizando uma função ten tativa simples e escolhida de modo a conter o maior número poss^ vel de características do problema, determinar " the state of the art" no cálculo do espectro, obtendo como consequência uma excelen te função de onda que sirva para indicar possíveis soluções não se paráveis para o problema.

No capítulo I, apresentamos uma pequena revisão dó problema de átomos hidrogenóides ( isto ê, átomos que contêm um elétron orbitando em torno de um núcleo com carga igual a Ze ) em campos magnéticos uniformes. No capitulo II, discorremos sobre a técnica a ser por nós utilizada, qual seja a do Método Variaciona], bem como introduzimos também a função de onda tentativa, realçando as suas virtudes. Ã partir dai, procuramos mostrar em detalhes to dos os procedimentos necessários á obtenção da expressão para a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio no campo mag nético uniforme. No último capítulo, o que fazemos ê comparar nos sos resultados, bem como o método, com vários outros resultados ( obtidos pelos mais diversos métodos e mesmo pelo variacional )

dos mais precisos encontrados na literatura. Finalizamos, então , justificando as aproximações realizadas ( problema do modelo utili zado ser não relativístico e da massa infinita do próton ), bem co mo deixando clara nossa intenção de, tendo jã conseguido este bom resultado, partir agora para o estudo dos estados excitados, ou se ja, testar a base aqui utilizada para o estado fundamental também para os estados excitados do ãtomo de hidrogênio no campo magnêt_i C O uniforme.

CAPÍTULO I

REVISÃO DO EFEITO ZEEMAN EM ÃTOMOS

I-O - Introdução

Neste capítulo, vamos rever o problema de átomos h_i drogenôides em campos magnéticos uniformes. Começaremos relembrando o caso do átomo hidrogenõide livre.

I—1 - Ãtomos Livres

0 hamiltoniano não relativístico para um átomo h_i drogenóide livre de carga nuclear Zeé dado por

H = -i! - is! • i-i2m r

A equação, de Schrödinger corrspondente ê

(-- -— = E , 1-22m r

onde V é o operador laplaciano e E e são, respectivamente, a auto-ehergia e autofunção atômicas.Como sabido, a equação 1-2 pode ser separada em quatro diferentes sistemas de coordenadas^ . Dentre estes, os mais conhecidos são o sistema de coordenadas esféricas ,( r, Q, ) e o de coordenadas pa rabõlicas ( Ç, n, ()> ) (ver apêndice A).

No caso de coordenadas esféricas, fatorando-se a função de onda como

rlj( r, e, (j, ) = R(r) 0 (0) $(( ) 1-3

pode-se facilmente separar a equação de Schrödinger do problema , bem como resolvê-la analiticamente. Nestas coordenadas, as j autofunções são produtos de polinómios associados de Laguerre por har- - 2 monicos esfericos, com o espectro de energia dado por

„ 4F - - 1-4

onde n ê o chamado número quântico principal. No caso parabólico , a separação, com consequente solução analítica, é conseguida com a hipótese seguinte para as auto funções

ij;(Ç,Ti,u) = H(Ç) U ( ti)$((Í)). 1-5

0 resultado para o problema, neste sistema de coordenadas, será o produto de funções exponenciais por polinómios associados de La guerre nas variáveis Ç e n . Nessas coordenadas, o número quânticoprincipal ê n = nj + n2 + m + l , onde n e rÏ2 são chamados números

2quânticos parabólicosColoquemos agora o átomo descrito por 1-2 num campo

magnético uniforme e estudemos a modificação no seu espectro de energia.

1-2 - Atiomos em Campos Magnéticos

Se o átomo descrito pela eq. I-l for colocado numa região de campo magnético S, então I-l transforma-se em

2m

onde o campo magnético está representado pelo potencial vetor A . Para um campo magnético caracterizado pelo vetor indução magnética

ê orientado ao longo da direção z ê = (0,0,B) , e com a escolha do gauge simétrico Â = ^ B x r, teremos, em unidades atômicas( ^ = m = e = l)

onde

é o hamiltoniano do átomo livre, L„ é a componente z do Momentiim Angular e y = eB/(mc), Daqui para a frente, estaremos usando exclu sivamente unidades atômicas, a menos que outro sistema seja citado.

Neste sistema de unidades, y é igual â frequência de clclotron, ' que é a frequência com que um elétron livre oscila ria se colocado no campo magnético ê. A constante y pode ser pensa da como uma medida da intensidade do campo magnético em unidades de 2,3 5 X 10 Gauss. Em coordenadas parabólicas, 1-7 transforma-se em

H = - | v^ - | + Í yL2 + ^ sen^e

Tomando y = 0 em 1-9, obtemos 1-8 que é o hamiltoniano para o pro blema de Coulomb ( átomo livre). Por outro lado, se fizermos Z=0, obteremos o seguinte hamiltoniano:

H - ~ \ \

Este último ê o hamiltoniano para o problema de Landau ( partícula carregada livre num campo magnético B ). Devido a presença do cam

po magnético, a equação 1-9 corresponde àquela do átomo livre I-l, adicionada de dois termos. Um deles, chamado paramagnitico, propor cional à y ( isto ê, a B ), enquanto que o outro, chamado diamagné tico, quadrático em y ( isto ê, em B ). Desprezado o termo quadra tico, os estados estacionários do átomo colocado no campo magnét^ C O B são basicamente os mesmos que para o c^so do átomo livre. So mente as correspondentes energias serão modificadas. Neste caso, o espectro de energias será dado por^

2, ,onde = -Z/(2n )- Este e o Efeito Zeeman usualmente tratado emlivros textos. Contribuições quadráticas no campo magnético são emgeral desprezadas, uma vez que sua influência somente aparece para

9campos muito intensos ( no estado fundamental, campos da.ordan, delO Gauss, quando y = 1 ) ou para estados excitados, para valores me nos intensos do campo e que passam a depender do estado. Porém ,hoje em dia, sabe-se da existência de campos fortes em estrelas anãs

8 15brancas (10 G ), bem como em pulsars (10 G ). Além disso, épossível, usando lasers, fazer-se uma série dé experimentos com estados excitados. Mantido o termo quadrático em y na 1-9, a situação apesar de aparentemente simples, deixa de ser de fácil solução.Na verdade, nos deparamos então com um problema muito difícil eaté o presente momento ainda não resolvido. . 0 já citado termodiamagnético é responsável pela quebra da simetria esférica do problema do átomo livre. Isto faz com que o hamiltoniano da equação1-9 seja não separável em qualquer dos sistemas de coordenadas existentes.

vários fatos experimentais e teóricos sugerem que o diamagnetismo em átomos hidrogenõides, apesar de não separável , possa ser integrável ( veja detalhes na série de artigos de revi

são (4), (5)e(6).. Isto, aliado ao fato deste ser o principal problema ainda sem solução em Mecânica Quântica de ãtomos de um elétron , faz com que o problema seja muito interessante de se estudar. Com vistas a obter uma solução analítica não separável (se ela existir 1), estudaremos a energia de tais átomos para campos magnéticos de in tensidad.es arbitrárias.

CAPÍTULO II

UM ESTUDO VARIACIONAL

II-O - Intxodução

Aqui, procuramos em primeiro lugar relembrar, de ma neira rápida, a técnica de aproximação a ser utilizada, qual seja a do método variacional. Na sequência, apresentamos a forma geral da função de onda tentativa procurando realçar suas principais ca racterísticas. Finalmente encerramos o presente capitulo com um exemplo totalmente resolvido, onde mostramos com clareza todas as passagens envolvidas desde a montagem do funcional até o resultado final para a energia do estado fundamental do átomo de hidrogénio no campo magnético uniforme.

II-1 - O Método Variacional

Uma das técnicas de aproximação da Mecânica Quánti ca, o método variacional é usado principalmente para a determina ção de aproximações da energia e da função de onda do estado funda mental de um sistema, cuja solução analítica da equação de Schrô dinger é desconhecida, ou cujo. cálculo exato seja complicado . A idéia basica por trás do método, repousa no fato de o valor espera do do hamiltoniano dar a energia média do sistema, num estado cor respondente a função utilizada na avaliação deste. Esta energia mé dia será sempre maior ou igual á energia E^ do estado fundamental do sistema. Assim,

< H > = < "Y I H \ NT > > E o .

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0 método consiste praticamente no calculo dos vários elementos de matriz ( isto ê, das integrais ) que aparecem em II-l, com uma fun ção tentativa \p que depende de um certo número de parâmetros. Ca], culadas estas integrais, os parâmetros são variados até que o va lar esperado da energia seja um mínimo. 0 resultado assim obtido serã um limite superior para a energia do estado fundamental do sistema.

II-2 - A Função de Onda

Muitas funções tentativas tem sido usadas para investigar variacionalmente o diamagnetismo do hidrogênio. Embora algumas dessas funções tentativas contenham características de ambosos limites, ou seja, limites de Coulomb e de Landau, a grandemaioria contém ou um fator exp ( -a r ) ( que caracteriza uma bac

2se tipo Coulomb de simetria esferica ) ou um fator exp ( -a^ p )(que caracteriza uma base tipo Landau de simetria cilíndrica). Osparâmetros e a., que aparecem em ambos os fatores são parâmetros

C Jj

variacionais apropriados. Como a simetria muda â medida que a intensidade do campo magnético varia, acabamos por ter que incluirmais e mais funções na base. Como consequência, os cálculos eventualmente podem tornar-se impraticáveis. A necessidade de um granctenúmero de termos na base se prende ao fato de precisamps simular adiferente simetria (^diferente carçortairento exponencial) apresentada â me

dida que a intensidade do campo magnético varia. Incluindo de formaexplícita ambos os fatores exponenciais na função tentativa, é dese esperar que seja possível reduzir este número cte termos necessáriona base. É bom. lembrar que funções contendo ambos os fatores exponencia

8 9is já foram utilizadas antes (por exenplo, por Rau et al e Rau e Spruch ) , porém não com parâmetros variacionais flexíveis o suficiente para explorar-se com facilidade ambos os limites (B=0 e Z=0). A forma

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genérica da função de onda tentativa aqui investigada é aquela pro posta recentemente por Gallas^^ , a saber

-1 c. y.') ± A, >r]<pII-2

com sendo um fator de normalização. A função f(Ç,n) é um polinô mio que pode ser colocado na forma compacta abaixo:

• •

,Í-o

onde os d^^ são parâmetros variacionais. A função g(ç,Ti), por sua vez, é escrita na forma

com a e c sendo também parâmetros variacionais, obrigatoriamente nao negativos devido ao comportamento assintotico que a funçao de onda tentativa deve apresentar, enquanto (Ç,n/4>) são as jã citadas coordenadas parabólicas. Como já mencionado, muitos pesquisadores tem estudado as propriedades espectrais de átomos hidrogenóides em campos magnéticos usando a base de Coulomb g = a r ( com f correspondendo à auto funções de Coulomb, Slater ou Sturmian ) ou a base

2 - de Landau = “l P ( com f correspondendo a auto funções de Landau ). Resultados específicos, bem como referências, são encontrados nos trabalhos já citados. Ainda que para limitados intervalos

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de intensidade do campo magnético, esses cálculos produzem excelen tes resultados. O que acaba por acontecer, é que eventualmente ati^ ge-se uma região de campo onde a inclusão de termos adicionais na expansão das auto funções torna o cálculo impraticável. Ê necessã rio, então, encontrar uma maneira de trocar de forma adiabática g^ e g,. . Uma das maneiras possíveis de atingir este objetivo, a

C J_i

qual iremos investigar em detalhes no presente trabalho, é util^ zar a função

Característica importante da função de onda tentati va, II-2, e''o fato de a mesma conter as soluções exatas dos proble mas de Coulomb e Landau nos limites apropriados, ou seja B -»-0 para o limite de Coulomb e Z ->■ 0 para o de Landau, além de ser unifor memente válida em todo o intervalo 0 B<«> . Permite ainda, como veremos na sequência, que todos os elementos de matriz necessários para o cálculo variacional possam ser convenientemente representa dos em termos de uma única integral.

Em termos práticos, é necessário que a série II-3 para f (Ç,n) seja truncada em algum ponto. Supondo ocorrido o trun camento citado, resta determinar a energia E do sistema através de II-l com a utilização de II-2 e do hamiltoniano 1-9. Como estamos interessados no estado fundamental do átomo de hidrogênio no campo magnético uniforme, 1-9 se reduz â

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jã que, neste caso, L = 0 e Z = 1.zUma vez que as integrais que aparecem em II-l são

de volume, temos que efetuar uma série de integrais triplas nas va riãveis Ç, n e (f). A primeira integração é feita em (}>. Ê imediata, uma vez que o integrando independe desta coordenada, e dã como re sultado 2ir . Restam então integrações em Ç e n / as quais são tra balhosas, porém triviais. Como não sabíamos ã principio o tamanho das expansões eventualmente necessárias, decidimos efetuar todos os cálculos algébricos utilizando rotinas, escritas em REDUCE, pa ra o Computador IBM 4341 desta Universidade. Como a manipulação al gébrica em computadores não é ainda de uso comum, descrevemos nas duas próximas seções, com detalhes, os cálculos efetuados. Os resul tados analíticos explícitos, que aparecem na seção II-4, são extre mamente úteis para testar cõdigos algébricos, como veremos mais adiante.

As integrais bidimensionais em Ç e n , acima mencio nadas, podem ser facilmente reduzidas a integrais da forma gèral dada abaixo:

Y c c ) ='-/Y\

-tt e ____ i-t

o

Em II-6, m e n são números inteiros satisfazendo ainda m ^ 0 en ^0, c é o parâmetro variacional já citado e t representa a va riável Ç ( ou n )• A família de integrais representada por II-6 não admite solução analítica em termos de funções elementares, po rém pode ser trivialmente calculada numericamente (ver apéncice B).

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II-3 - A Energia Total

Escolhendo-se convenientemente a constante de norma lização/v em II-2 como sendo igual a oJ.IÍ' N , a energia total pode ser colocada na forma

= <x \K + <x ^ .6 CL

II-7

onde

II-8

II- 9

11-10

Os elementos de matriz l| / ( C e 2 que aparecem em II-7 in dependem do parâmetro a. São função apenas dos parâmetros c, d j e ■das integrais , com os vários valores presentes de m e n dependendo da maior potência de Ç e n presente na expansão da função de onda tentativa, ou seja, de onde ocorreu o truncamento na sérieII-3. Acabam aparecendo então, na expressão II-7 para a energia to tal várias integrais Y^, por exenplo, Y^ , Y^ , etc. Há duas opções

15

na sequência: A primeira delas ê resolver numericamente todas es sas integrais; A segunda, é procurar por eventuais relações de recorrência que tornem possível reduzir a avaliação das integraisn 1*1 , para todo m, n ao cálculo de apenas uma, para algum par

arbitrário m', n', resolvendo então numericamente apenas esta. Asegunda opção nos parece ser mais conveniente, já que envolve ocálculo numérico de apenas uma integral da família. Este objetivoé alcançado quando se faz uso das relações de recorrência^^

-V) •V1-1. -ny C c ) ^ 1 1 - 1 1

o oyy)c y - 1 - y U)VVI + J. J- /yv, 11-12

as quais podem ser demonstradas ; sem muita dificuldade.Com isto, a energia total pode finalmente ser escri

ta como função dos parâmetros variacionais e de apenas uma inte gral ( Y = Y^, ). Os elementos de matriz, li-8/II-lO, podemser convenientemente escritos como:

I K = : N ( U i - i - U 5 y ) 1 1 - 1 4

16

11-16

com

n '^ = + ■Ui y II-l’

sendo calculado â partir da condição de normalização < H'I N'> = 1 . O que faz com que o parâmetro a não apareça de forma explícita nos elementos de matriz II-14/II-17, mas somente na forma mostrada na expressão da energia II-7, é a presença do fator multiplicativo

na constante ^ de normalização.Todo o algebrismo envolvido na determinação dos ele

mentos de matriz finais que aparecem em 11-14, 11-15, 11-16 e 11-17 foi efetuado no computador IBM 4 341 da Universidade Federal de San ta Catarina. Isto s5 foi possível graças â utilização cte m software que permite manipulação algébrica em computadores, chamado REDUCE.

II-4 - üm Exemplo Resolvido

Nesta seção apresentaremos um exemplo totalmente re solvido com o objetivo de tornar mais claro o exposto nas duas se ções anteriores. 0 mesmo exemplo servirá também para testar codi gos algébricos de integração No caso, utilizamos a função f (Ç, n) cotpleta até índice igual a zero, índice sendo definido como a soma dos expoentes de Ç e ti em II-3, A função da onda será dada por

3 -i ti-rricp*Y( - oj- T N € e j 11-18

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uma vez que, neste caso, f (,Ç,n) =1, Os elementos de matriz ,II-14/II-17, necessários â montagem do funcional II-7, sao entaocalculados como segue: Da condição de normalização, < I'H' = 1 , podemos escrever

-'o

,co

dl dlT + V, -_j___L ^ - 1

Resolvendo para N e integrando na variável <p, teremos

00 00

N-z CL

_a2

.C O yOO

à1o

Se, agora, integrarmos a primeira integral da expressão acima para-zN na variável n e a segunda na variável Ç, resultará em

-2N C L

00

( CL ^ C u C V

00 -a,ri

( o. + a. c ^ )J1

Com o objetivo de identificar as integrais acima com aquela II-6, devemos efetuar as seguintes mudanças de variáveis:

I

Na primeira, Ç = a Ç ,

de

18

Na segunda, n' = a n . Dal, podemos escrever

-2M a

2

OO

0 (i + c^’)+

I -n!_ i e ----- J,'

a

00

í• CD

' - f i Jrj;(i + c n ' )

)

o que, de acordo com H-6, pode ser escrita como:

N-z

2.V/c) +-

>; (c, 11-19

Procedendo de maneira análoga, encontramos

- 1 ^ r > / a

= - 11-20

y , V ) 11-21

e, por fim.

\K = - < ^ \ > /

19

N 7 / 9 -h c y,cc) _ i Y,

“ c X<o — c Xcc) 11-22

Resta utilizarmos as relações de recorrência 11-11 ã 11-13, e ree^ crever todas as integrais que aparecem , em 11^19 / 11-22em função de uma única integral, que escolheretrDS como sendo

,00

o

11-23

Os elementos de matriz de 11-14 / 11-17 serão, dados por

^o 0

^o = 1

^ 1= 1 / 2

^ 1= Q

^ 2= - 1

^ 2= c

U 3 = -l/c

^3 = ( 1 +Consequentemente, o funcional II-7

20

C t y ) + CL V )

)

para o caso, será dado por

io.^ + ( - i + c y ) o . -i-v^[-i + ("it-zc')'/]/12-

( 8 a ^ c " ) 1 / y II-2.4

A expressão acima colocada nos dá a energia do esta do fundamental do átomo de hidrogênio no campo magnético uniforme, em função dos parâmetros variacionais a e c, e da frequência de cí clotron Y- Resta fixar o valor de y ® minimizá-la. Resultados pa

4 8ra 0,2 Y ^ 5,0 x 10 ( o que corresponde a 4,7 x 10 G ^11,75 X lO^^G ) são apresentados em Gallas (1985), onde são também compa rados com alguns dos mais precisos' valores encontrados na litera tura. Ê usual comparar-se, em vez da energia E, a energia de liga ção Eg em presença do campo magnético, a qual é definida como

- E 11-25

Para outro exemplo resolvido, ver apêndice B.

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CAPÍTULO III

RESULTADOS MAIS ELABORADOS

III-O - Introdução

0 objetivo do presente capitulo ê apresentar os me Ihores resultados por nos obtidos neste problema específico, qual seja o da determinação da energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio, quando colocado numa região de campo magnético uni forme ê. Daremos então, na seqüência, os vários resultados (relat_i vãmente às várias funções f ( Ç, n ) utilizadas para compor a fun ção de onda ), bem como faremos, ao final, comparação do nossomelhor resultado com aqueles encontrados na literatura.

III-l - Resultados

várias funções de onda tentativa foram por nós utilizadas. A tebela 1 apresenta algumas destas possibilidades. No topo da tabela, na horizontal, aparecem termos característicos da série de potências f ( Ç, n ) = ? -i_n c^^^ d. . . A esquerda,1,j—u 1jna vertical, aparecem as várias funções f ( Ç, n ) efetivamente es tudadas. 0 asterisco na intersecção das linhas horizontal e vert_i cal significa que o termo característico está presente naquela fun ção. Assim, por exemplo, podemos ler da tabela 1

entendendo-se então que a função de onda correspondente é dada por

Q)■P

OTl(0OGQ)WQ)UCk(0

(du•HTlC

•H

OUco•HUQ)+>tn(Ö

i

ui(0T3(0en•H■Pcod)>n

•H

d)+>C

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•H+>Q)

d)C

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'TiM J -

OO -fl>D

22

23

A metodologia na investigação da série de potências f ( Ç, n ) que compõe a função de onda tentativa foi, para um Indi ce k dado, obter os autovalores ( valores de energia para os vários valores de y) para aquele número de parâmetros variacionais. Isto feito, verificávamos a possibilidade de reduzir este número de pa râmetros sem que houvesse muita alteração nas energias. Assim, ini ciamos esta investigação com a função de onda tentativa correspon dente a f ( Ç, n ) = f ( C f n ) / ou seja, completa até índice igual a dois ( portanto, com cinco parâmetros variacionais ). Ob tidos os resultados para as energias ( jã citados no apêndice B ), conseguimos reduzir para quatro o número de^parâmetcos sem muita al teração nas energias. A função de onda tentativa utilizada para tal foi aquela correspondente a f ( Ç , T ) ) = f 2 (Çfri) - Para des cobrir quais os próximos termos a serem incluídos na expansão f(Ç, n )/ consideramos primeiramente o limite de campo baixo (isto é, c = 0 ). Tomar c = 0 tem como consequência a simplificação dos cálculos. Esperamos ainda que este procedimento venha a nos dar uma indicação de quais os termos mais relevantes em f ( Ç, n ) .

Para c = 0, a função de onda tentativa será

Com esta função de onda tentativa simplificada é fácil ver que as integrais tornam-se muito mais simples:

24

' yv\

00 OD-r<\ nr\

ã x \ ^ e0 Jq

wi! -ia ! III-4

CL

Ã titulo de exemplo, façamos I .„r, d. = 11 / J“'- IJna equação III-3. Teremos, em conseqüência.

III-5

III-6

III-7

N = 1

e, finalmente, a energia poderá ser escrita como

e = L az

III-8

A rotina Fortran colocada no apêndice D, fornece a expressão da energia a ser minimizada, para índice igual a cinco ,

25

como função dos parâmetros a e , i = 1,11. A função f (Ç,n) cor respondente ao caso é

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III-9

0 resultado III-8 pode ser obtido ã partir desta rotina. Basta quefaçamos os , i =1,11 iguais a zero ( isto correspondeà função de onda definida para índice igual a zero, ou seja, âf ( Ç, n ) = 1 ). A utilidade de tal rotina pode ser comprovadaatravés de uma análise da tabela 2, a qual basicamente mostra a importância relativa dos vários parâmetros presentes na expansão. Para construção da mesma, y teve seu valor fixado em 1,0 ( o que cor

9responde â B = 2,35 x 10 Gauss ). Este valor de y corresponde fi sicamente â situação em que o campo coulombiano e o campo magnéti^ C O tem'a mesma intensidade, ou seja, nenhum é "perturbação" frente ao outro. Observamos da tabela 2 que: ,a) para valor do índice igual a dois (2), o termo relativamente me

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nos importante ê aquele correspondente ao parâmetro , ou seja,

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4 4te é ( Ç + n ) com o parâmetro correspondente sendo Xg;d) Finalmente, para índice igual a cinco (5), o termo relativamente menos importante ê ( )/ que corresponde â Xg.

Destas observações, ê possível concluir que o mitodo variacional ( pelo menos para o caso c = 0 ) tende a privilegi-

2 2 2 2 ar termos do tipo Çn (5 + n )/ ç n (C + n )/ Çn (ç + n ) , etc ,2 2 3 3em detrimento de termos como (Ç + n ) , ( Ç + n ), etc. Note

que C + n ê proporcional â distância radial entre as partículas r T 2 2_ r = ( Ç + n ) / 2 J , enquanto que Çn = x + y . Estes dois ter mos aparecem no hamiltoniano. 0 fato do método variacional favore cer termos que aparecem no hamiltoniano, nos levou aos estudo da função tentativa correspondente â

onde, conforme a tabela 1,

Conforme discussão mais detalhada apresentada no apêndice B, os resultados obtidos com a função de onda tentativa montada à partir desta expansão são melhores que aqueles anteriormente obtidos com

28

o mesmo número de parâmetros variacionais. Em outras palavras, nafunção tentativa com cinco parâmetros, o termo Çn ( Ç + n ) produz

2 2resultados melhores que o termo Ç + n • Outras expansões foram in vestigadas levando em consideração este favorecimento, a saber

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29

Assim, dois critérios foram utilizados para nortear o crescimento no número de parâmetros da função de onda tentativa mais geral ( caso c 0 ) , quais sejam:a) o critério do privilégio ( ou favorecimento ) dado a algum tipo de termo na expansão em detrimento de outro tipo, conforme já ex plicado, e,b) o de trabalhar com a expansão f ( Ç, n ) completa até Índice i gual a k, k sendo um inteiro positivo ou zero.Em relação ao critério b e, conforme a tabela 1, utilizamos neste trabalho os valores do Índice k dados abaixo;

Nossos resultados para a energia de ligação do áto4mo de hidrogênio num campô magnético uniforme, para 0,2 ^ y^2,0 xlO

8 13( o que corresponde â 4 , 7 x l 0 G ^ B ^ 4 , 7 x l O G) relativos àutilização de cada uma das funções f ( C/ n ) constantes da tabela1, são dados na tabela 3. Devemos, antes de mais nada, salientarque â partir da função tentativa jp ( Ç, n , if. ) correspondenjbe â

f ( Ç/ n ) = fg ( Ç/ n )/ a sistemática utilizada para a minimiza-ção da energia foi modificada. Ao invés da minimização multiparamétrica ( procedimento até então utilizado ), preferimos partir parauma formulação matricial do problema. Gom isto, independéntementeda ordem da matriz, a qual é fixada pelo número de parâmetros variacionais, a minimização passa a ser feita sempre em apenas dois

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parâmetros variacionais, a saber a e c. Este novo procedimento foi adotado, devido ao fato que a medida que o número de parâmetros cresce, fica mais e mais diffcil a inicialização dos vários parâme tros no processo de minimização. Parece que existe uma série de m^ nimos. Qual deles estamos encontrando (absoluto ou relativos) é uma questão difícil de responder. Além disso, há uma dependência muito grande do resultado final para a energia com a inicialização utilizada para os vários parâmetros. Com a adoçao de uma formula ção matricial, o que fazemos, na prática, ê diagonalizar a matriz do hamiltoniano determinando seus autovalores, com posterior min^ mização nos parâmetros já citados, A diagonalização matricial fixa automaticamente os vários parâmetros variacionais d^^ e converge sempre para o mínimo absoluto,

0 problema de autovalores a ser resolvido ê do tipo

sendo, portanto, um problema, de autovalores generalizado. Isto se deve ao fato de a base aqui utilizada ser uma base nao. ortogonal,

Ainda com relação â equação IlI-lOy os que lá aparecem são os autovalores, com os respectivos Kets | > sendo os autovetores do sistema. Para determinação dos autovalores (iSto é, para diago nalizar a matriz ) dos quais ê de interesse somente o menor, uma vez que estamos investigando o estado fundamental, utilizamos uma rotina da Biblioteca Harwell, a saber EAllAD. No apêndice C, apre sentamos a subrotina Fortran que fornece os elementos da matriz a ser diagonalizada. Esta diz respeito à função de onda tentativa ip

{ç,n,(j)) correspondente â f { ç , n ) = fg { ç , ti) , ou seja, dependente de dezessete parâmetros variacionais, Ê importante observar que

qualquer matriz de ordem menor, correspondente ã qualquer das funções f (Ç,n) constantes da tabela 1, pode ser obtida à partir destaatravés da simples omissão de termos não pertinentes.

III-2 - Análise Comparativa

A análise que pretendemos fazer aqui diz respeito a comparação do nosso melhor resultado, o qual consta da tabela 3 , com os mais precisos encontrados na literatura. Como pode ^e obser ■var, nosso melhor resultado foi conseguido com utilização da fun ção de onda tentativa \p ( , n , <í> ) dada por

32

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33

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ou seja, ã função dependente dos dezesseis parâmetros variacionais4a, c e X^, i = 1,14. Este resultado, para 0,2^y^ 2,0 x 10 ( isto

8 13 -é, 4,7 X 10 G ^ B ^ 4,7 x 10 G ), é apresentado na tabela 4 comalguns dos mais precisos valores tomados da literatura. Observeque o que estamos comparando são as energias de ligação Eg=y/2-E,e não as do estado fundamental-. Estes valores tomados da literatura são,em geral, resultado de cálculos bem mais elaborados que o nosso.Aquele de Surmelian e O'Connell (SO) (1974, 1976), por exemplo ,foi obtido de um cálculo variacional como o nosso, s5 que utilizando em torno de cento e oitenta parâmetros variacionais (os númerosconstantes da tabela 4 são dados na tabela 2, página 34, de Surmelian (1974)). Simola e Virtamo (SV) (1978) utilizaram o método daaproximação adiabática juntamente com uma determinação numéricaiterativa auto consistente de autovalores.Wunner & Ruder (WR)(1982) (veja também Rflsner et al (1984), Porster et al (1984)) adaptaram um código de computadores devido a Froese Fischer (veja Wunner & Ruder (1982)) para resolver um sistema de equações tipo Hartree-Fock. Utilizaram uma base de Coulomb para campos fracos e estados de Landau para campos fortes. Le Guillou & Zinn Justin (LZ) (1983) obtiveram seus resultados de um método apro priado de soma de Teoria de Perturbação. Usaram como entrada em seus cálculos, coeficientes de Teoria de Perturbação de ordem ses senta e dois. Além disso, seus cálculos foram feitos com precisão

34

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numérica bastante alta ( usaram cerca de vinte e sete algarisitos ) Silverman (S) (.1983) usou uma transformação de Euler generalizada como um método alternativo de somar séries de perturbação fortemen te divergentes. Baye & Vincke (BV)(1984) obtiveram seus resultados também de um calculo variacional. Utilizaram pelo menos dezoito pa râmetros variacionais.. Trabalharam com uma base de simetria cilín drica, tipo Landau, o que, fez com que conseguissem bons resultados para campos fortes, mas resultados ruins para campos fracos. É in teressante observar que. nossa função de onda tentativa, dependente na forma, mais geral até aqui estudada de dezesseis parâmetros va riacionais, fornece os melhores resultados sobre quase todo o in tervalo de variação do campo magnético, seja ele fraco ou forte.

Na tabela 4, pode-se observar ainda que apenas LZ e WR apresentam resultados bons sobre todo o intervalo de variação do campo magnético. Nossos resultados são melhores que os de LZ. São também melhores que os de WR se considerarmos que os mesmos não utilizaram uma ünica base. Como já dito, usaram uma base de Coulonb para campos fracos e estados de Landau para campos fortes, enquan to que nós utilizamos uma única base nesta investigação, indepen dentemente da intensidade do campo. Estritamente temos resultados melhores para y ^ 1 Q , Q , enquanto que para y < 1 0 , 0 nossos valores coincide.m em pelo menos cinco casas decimais.

Constam ainda da tabela 4 resultados parciais da in vestigação da função de onda ip (Ç,n,<í)) correspondente â f (Ç,n) = fg ( ç , n ) . Este é o caso em que a função está completa até índice igual ã seis, o que eqüivale a um total de dezessete parâmetros va riacionais. Apresentamos apenas os valores da energia de ligação para y ^ 10,0, Isto porque para y < 10,0, a minimização começa a ficar instável, chegando ao ponto de a energia depender, para guns valores de y menores que dez, da fixação do infinito na inte gral Y. Este comportamento é^quase certamente, devido a termos

36

atingido o limite de precisão do computador IBM 4341 (16 dígitos significativos em precisão dupla ; a redução da precisão dos resu] tados apresentados deve-se âs numerosas iterações envolvidas).

Com relação aos parâmetros variacionais, e para que se possa observar a importância relativa dos mesmos, veja as tabe las 5 e 5A.

Todos os resultados por nós obtidos estão baseados num modelo não relativístico. Esta aproximação é de uso frequente na literatura. É bom observar, no entanto, que existe um limite de intensidade do campo magnético para o qual o modelo permanece válido. Este limite ê obtido fazendo-se uma estimativa do campo magnético necessário para produzir uma diferença de energia dem c^ entre níveis de Landau vizinhos. Isto define o valor de | ê â partrr "do qual a correção relativística-passa a ter -i-mportâíicia significativa, qual seja

Al.éjni di sso, ê ^om ofesexvar tairibém que todos os resultados aqui ob tidos utilizaram a. hipótese de que o próton ê infinitamente pesado, Para o estado fundamental, esta hipótese é sempre boa ( conforme discutido em detalhes por Wunner e Ruder (1982)) .

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38

39

CONCLUSOES

Como visto no decorrer do trabalho, dos vários re sultados obtidos vale a pena ressaltar os seguintes:

a) Em geral obtivemos os melhores autovalores de energia para o es tado fundamental de um átomo de hidrogênio num campo magnético uni forme de intensidade .arbitrária;

b) Nosso resultado ( obtido com dezesseis parâmetros variacionais) é melhor que resultados variacionais anteriores contendo cento e oitenta parâmetros, sendo também melhor que resultados de certas so mas de teoria de perturbação de ordem 62;

c) Obtivemos uma expansão em série de potências de Ç e n , para a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio, que privilegia parcelas envolvendo os termos que aparecem no potencial:

d) A menos de normalização e da dependência em (P, esta expansão é dada por

= e-lo,( +.XC

+ X ,

40

+ X3 /

onde os parâmetros variacionais a, c, , X2 , • . ., X ^ são dados na ta bela 5 como função do campo magnético.

Importante também foi o desenvolvimento de um soft ware ,; REDUCE para efetuar todos os cálculos algébricos necessários com auxilio de computadores.

É nossa intenção, na sequência do trabalho apresentado nesta dissertação, passar ao estudo dos estados excitados, ou seja, pretendemos verificar as propriedades de convergência da ba se, aqui utilizada para o estudo do estado fundamental, também pa ra os estados excitados. Um passo posterior, é a tentativa de uti lização destas autofunçoes para a investigação de propriedades mo leculares.

41

APÊNDICE A

AS COORDENM)AS PARABÓLICAS

As coordenadas parabólicas , n , são dadas em termos das coordenadas cartesianas x, y, z pelas relações

r -V-

Y ~r

A-l

<f - a r c )

2 2 2 1/2onde r = ( x + y + z ) ^ . Analogamente ao caso de coordenadas esféricas, a coordenada (j) é definida no intervalo compreendido en tre zero e 2 ir , enquanto Ç e n são definidas no intervalo entre zero e infinito. Para nosso propósito neste trabalho, necessitamos áinda do operador V nestas coordenadas, o qual é dado por

T.A-2

e do elemento infinitesimal de volume

A-3

42

APÊNDICE B

OUTRO EXEMPLO

Na função de onda tentativa do exemplo colocado naseção II-4, a dependência estâ em dois parâmetros, a saber a e c .Neste apêndice, apresentamos outro exemplo. Este visa mostrar explicitamente a grande simplificação que se pode obter através douso das relações de recorrência para os, (c), além de fornecersubsídios para ò teste de rotinas de integração algébrica. Para ocaso, utilizamos a função f ( Ç, n ) completa até índice igual adois (2) inclusive. Assim, agora, a função de onda tentativa é de

20pendente de cinco (5) parâmetros e e dada por

= a ir N e . e

B-1

com g ( Ç , n ) sendo dada por II-4. Mostraremos agora detalhes do cálculo dos resultados apresentados na referência (2 0 ).

A utilização de B-1 como função de onda tentativa , permite que possamos escrever os elementos de matriz \K r (£ de II-7 , explicitamente como

IK = Ji.2

X^ c^(-8 Y^ + SY^ - Y^ + 2 Y^ c + BY^ - SY^ +

I4 Y2 C - 4 Y2 C - Y^c^ - 8 Y3 C - ÔYgC^) + Xj X2 C^(

-4Y^c - 8 Y2 C + 2 OY2 C - 2 Y2 C + SY^c^ - 4 Y3 C +

43

24Y3C^ - lôY^c^ - 4Y3C^ 1 2 Y4 C ) + Xj X3 C^ (-24Y^c

1 4 4 2+ 20Y^c - 2Y^ c + 4Yjc I6 Y2 C + 2 OY2 C - 4 Y2 C +

24Y2C^ - 8 Y2 C^ - 2y^c - + 24Y3C^ - IGY^c^-

,4_3 .3 38y !:c - - 12y ;:c ) + x, (-4Y tC + 12Y7c - 2YTc +

4y^c^ - 2 Y2 C + SY^c^ - 8 Y2 C^ - 2 Y2 C^ - 4Y3C^) +

X^c^^-AY^c^ + 12Y^c - 2yIc + 1 2 Y3 C^ - 1 2 Y^c^ -

6Y^c^) + X2X^c^ i-4Yfc^ - 2 0 Y2 C^ + 24yIc - 2 Y2 C^

4"í 'i'i 4"í R 4 4 4+ 8 Y2 C - 4 Y3 C + 3 2 Y3 C - I6 Y3 C - 4 Y3 C - I2 Y4 C )

+ X ^ C ^ { - A Y ^ + 8 Y 2 - 2 Y 2 + 8 Y 2 C - 8 Y 3 C - 4 Y 3 C ^ ) +

^2 2 , c r3 2 to /4 2 ^5 2 ^ „^5 3 , ^2 2 „4 2 X3C (-leYj^c + 12Yj c - Yj c + 2Yj c - 16 2' “ 2

+ lOY^c^ - 4Y2C^ - Y c" + 24Y3C^ - 4Y3C^ + 24Y3C^ -

2 Y3 C^ - 24Y4C^ - 1 2 Y4 C ) + X3C^(-16y]; + 16yJ -

2 y| + 4Y^c - 2 Y2 + I2 Y2 C - 8 Y2 C 2 Y^c2 4y 3c2)

+ 2Y° - y\ + 2y];c - 2 Y2 C 2 2Y2 C B-2

xJc(-2 Y^c - 2 Y2 C) + Xj X2 (-4Y2C^) +

X^X3C(-4Y^c - 4Y2C^) + Xjc (-4y];) + X^c (

-2 Y3 C ) + X2X3c(-4Y2C^) + X^c {-2y\c ) +

X^ÍY^c^ + 6 ^ 3 0 ) + X^X2(4Y3C^ + 1 2 Y4 C ) + X^X3 {

2 Y2 C^ + SY^c^ + 1 2 Y^c^) + X^(2 Y2 C + 4 Y3 C) + X^(

4 4 ‘Í 4 4 4 ~K 06 Y4 C ) + X2X3Í4Y3C + 1 2 Y^c^) + X^(4y:^c ) +2 3

com

N- 2 0 0 2 ? ? "í"? 0 'KX^(yJc + 3 Y2 C ) + X^X2(2Y2C + 4 Y3 C ) + X-,X,{

44

X3 C^-2 yJc^ - 4Y3C^) + X3C(-4Y^c) - Y° B-3

X CY c'* + 2 Y3 C^ + 1 2 Y c' ) + X3 (2 Y2 C^ + ^Y^c^) + Y^ B-4

2 yJc^ + 4Y2C^ + 4Y3C^) + X^(2 Y^c + 2 Y2 C) + X2 (2 Y3 c') +

4 4 A 9 ? 9 R 4^2 ^ 3 (2 ^2 * + 4Y3C ) + X^ilY^c ) + X^CY^c +

Y^c^ + 4Y3c" ) + X3 (2 yJc^ + 2 Y2 C^) + y] . B-5

A substituição de B-2, B-3, B-4 e B-5 em II-7 nosdá como resultado uma expressão para a energia em termos dos parâ metros a, c, d^j (Xj , X2, X3 ) e de algumas das integrais Y^ defini das em II-6 , particularmente daquelas que aparecem na tabela 6 .

45

Tabela 6 - Colocação de algiimas das integrais (particularmente daquelas que aparecem neste exemplo) como função da integral Y = y | (c ). Para tal, utilizamos as relações de recorrência 11-11 â 11-13.

= 1 - c y ;

c v ; = 1 - y;

= (2 c - i^ v ;

- 4- V/

c v ; 1 - c c + 1 ) y /

- -1 + c 2 c +1) y ^

- (í íC^-MC^+àC+ú.) - C s c + l )

V / = (*M 12 - í - - W C-1 ) -H CéC + l )Y^^

- ( z C + d . ) - iZc}-hHC+±)y^r - (Mc + 1) -h i c -i- € c -i

ZcVs ~ ( 2 + í c + i ) - ( ' i ^ c ^ -e á "c + ±)Y,^

= ( M C - G c ^ - 8 c - l ) -h C2 0 C^+^0 C + l )

6 Y " r ( Ê C + T-C + 1 ) - C 6C -Í- + 9C v ;

4 Y; _ - C U ■t"'OC -1-1 ) + (^4 + i2c+t) y /

46

Analogamente ao procedimento adotado na seção II-4, devemos agora expressar a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio no campo magnético uniforme como função de a, c, X^, X2 , e da integral Y = (c ) definida em 11-2 3. Isto é conseguido: através da utilização das relações constantes da tabela 6 , para construção da qual foram utilizadas as relações de recorrência 1 1 -1 1 , 1 1 - 1 2 e 11-13. Assim, os elementos de matriz que aparecem em 11-14, 11-15, 11-16 e 11-17 podem ser bastante simplificados e escritos finalmen te como

u^ = -2 xJ(2 -c) + 2 Xj X2 Í2 +3 c) + 4 X^X3 (2 +c

+ 3c^) + - X2(1+4c) - 4 X2 X3 (1 + 3 0 - c )

-2 X2 - 4 X3 (1 + 2 0 + c^ - 6 c ) - 4 X3 (1-c) B - 6

v^ = 2xJ(2+3c) - 2 Xj X2 (2 +7 c + 2c^) - 4 X^X3 ( 2 + 5c + c )

2 Xj (2 +c) + X2 (1 +6 c + 6 c ) + 4 X2 X3 (1 + 5 0 + 3c )

+ 2 X2 (1 +2 0 ) + 4 X3 (1 + 4 0 + 3c^) + 4 X3 ( 1 + c) +1. B-7

= X^c^ + 2 X^X2 C^ + 6 X^X3 C^ + X^c - - 2 X2 X3 0 ^

+ 4 X3 0 ^(1 +3 0 ) + 2 X3 0 +1/2 B- 8

Vi = X^c^ - 2 X^X2 C^(1 +c) + 2 X^X3 C^ + X^c^ {l+2c)

+ 2 X2 X3 0 ^(1 +2 0 ) - 4 X3 0 - 2 X3 0 B-9

^ 2 8 Xj X3 C(1 -c) - X2 c(1 +2 c) -

47

4 X2 X3 0 (1 +0 ) - 2 X2 C - 4 X3 0 (1 +3 0 ) - 4 X3 C - 1 B-10

V2 = 2X^c(2+c) - 4 X3 X2 0 (1 +2 0 ) - 8 Xj X3 0 (1 +c) -

4X^0 + X20(1+4c + 2 o ) + 4 X2 X3 0 (1 +3 0 ) + 2 X2 C(l+o)

+ 4 X3 0 (1 + 2 0 + O ) + 4 X3 C + o B-11

u. -2X^(2+7c - o ) + 2 X^X2 (2+130 ^

X^X3 (2 +1 1 o + 3o^ + 3o^) + 2X^(2+3o) - X^ (l+lOo + 18o^) -

4 X2 X3 (1 + 9 0 + 1 2 o^ - 2 o ) - 2 X2 (1 +4 0 ) - 4 X3 (1 + 8 0 + 9o^ +

2 c^ - 6 0 ") - 4 X3 (1 + 3 0 - c ) - 1 /c B-12

2X^(2+llo + 9c^) - 2 X^X2 (2+17c ^

- 4 X3 X3 (2 + 1 5 0 + 2 1 o^ + 3o^) - 2Xj^(2+7o + 2 o )

+ X2 (1 +1 2 o + 36o^ + 24o^) + 4 X2 X3 (1 + 1 1 0 + 28o^+ 12o^)

+ 2 X2 (1 + 6 0 + 6 0 ) + 4 X3 (1 + 1 0 0 + 230^ + 1 2 o )

+ 4 X3 (1 + 5 0 + 3o ) + (l+2o) /c^ B-13

48

Neste ponto, já oontamos então oom a expressão para a energia E em termos de Y/ a, o, X2 e X^, a saber

E = a + VjY) + a (U2 + '2^

8 a/ ( U „ + V „ Y ) B-14

A dependênoia explioita nos parâmetros X , X2 X^ e o está nos coe fioientes e v^, i = 0,3, oonforme se observa nas expressões B- 6

â B-13. Dispomos então da energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio no oampo magnêtioo uniforme em função dos oinoo parâ metros variaoionais e da frequênoia de oíolotron y (isto ê, do oam po magnêtioo). Resta oomo já dito na seção II-4, fixar o valor de Y e minimizar esta energia. Para isto, utilizamos uma rotina da Bi bliografia IMSL, ohamada ZXMIN, oom a integral y sendo resolvida numerioamente através do método de Simpson. A rotina para tal inte gração enoontra-se no livrc^^ethods of Numerioal Integration. de P. J. Davis e P. Rabinowitz, e sua espeoifioação é dada abaixo:

CCCCCCCCC

FUNCTION DSIMP(A1,B,EP,FUN) IMPLICIT REAL* 8 (A-H,0-Z)

PURPOSETO INTEGRATE BY SIMPSON'S RULE

BINTEGRAL FUN(X) DX Al

TO WITHIN TOLERANCE EP. REFERENCE

J.

49

C P.J.DAVIS & P. RABINOWITZC METHODS OF NUMERICAL INTEGRATIONC COMPUTER SCIENCE AND APPLIED MATHEMATICS,C ACADEMIC PRESS, NY, 1975, PAGES 373-4.

Para este caso específico, utilizamos EP = 1,0 x 10 FUN(X) necessária, por sua vez, é dada por

-6 A função

FUNCTION YNTC(X)IMPLICIT REAL* 8 (A-H,0-Z)

C FORJSIECE O INTEGRANDO PARA DSIMP COMMON/VARC/CVALUE

YNTC = X*DEXP(-X)/(1.+ CVALUE*X)RETURNEND

Importante na resolução numérica da integral Y é a fixação do infi nito. A tabela abaixo mostra a "pesquisa" de infinito realizada pa ra alguns valores de c :

Y V y V Vc CO - OO - 3,0 OO a 31,0 00 - 3 5 , 0 00 - 35yO

0 , 0 9,9gee3333í-o A,00000000: '1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 '1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 '1 , 0 0 0 0 0 0 0 0

0. 1 c-9 e, ièé651-èC~l) e,( 3666Sfé(-0

õ,5 C-1) S,S 6ÍS63Z(-i) 5,5Véf5532C-0 5|5^GSSS3^l-0 5jS érS53Z&f)

1.0 tA,O3éSZ6òí(-0 q 03 65'263i?('-0 H/OòéSZèiSC-O

10,0 ^,9?63^éC-z) ^ tí5351- é(-Z)

4O0,0 3,5321 (-3) ‘3/?32fí<Í’i’éC-3) 3,5921

50

Com base nesta tabela utilizamos para infinito ( limite superior da integral Y ), neste t r a b a l h o 35,0. No que diz respeito a mini mização, esta sistemática foi também usada para o caso colocado na seção II-4 ( dois parâmetros variacionais).

Resultados para a energia de ligação Eg, no interva lo de variação de y jâ definido, podem ser encontrados na tabela 2

da referência(20) • Após a conclusão do trabalho citado, descobri mos que a função

que também contém cinco parâmetros, produz resultados melhores que

= í’ a )

51

APÊNDICE C: ROTINA FORTRAN P/ OS ELEMENTOS DE MATRIZ

SUBROUTINE MATR2(N,X.F)I M P L I C I T H F A í_=!‘ 3 ( A - H , C - 2 )Dl MENSICN UOdó , 1 6 ) , Ul í I 6 . 1 6 ) tU2í 1 6 » 1 fc> . U3 C 1 6 . 1 ó ) ül M E N S I UN VOtl ó» lò) » V H 1 6 , 1 fc) ,V2Í 1 6 . 1 6 ) . V 1 6 . lõ) DIMENSION Hilb.l6 )t S ( 1 6 . 1 6 ) »Wí1 0 0 ) . A V Í 1 6 . I Ó ) . 0 Í I 6 Í D I M E N S I O N X ( 1 ) » A U T V T ( 1 6 )CCMMDN/ DI A G / A Ü T V T C ü M N i Ü N / Y N F / Y N F N T Y C ü M M G N / K T R O L / G A M A . M A T D I M COMMON/VA«C/CVALUE E X T E H N A L Y N T CNN = M A T D I MA = X ( 1 )C = X ( 2 )C V A L U E = CA2 = A « AC2 = C ^ CC3 = C 2 * CC4 C 2 * C 2C5 ■ = C 3 * C 2Cu = C 3 # C 3G7 C 3 * C 4C 3 = C 4 * C 4C ? = C 4 ^ C 5C I O C 5 * C 5C l 1 Cò«=C5C l 2 = C ó * C 6C A L C U L O QA I N T E G R A L YY N F N I Y = 3 5 . 0 ( O E F I N I D CY Y Y = D S I MP( 0 . 0 , Y N F N T Y

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52

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53

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1 + 1 2 0 . * C 5 - 6 0 0 . * C 4 - 7 6 2 . * C 3 - 2 4 2 . 4 C 2 - 3 1 . 4 ^ 0 - 2 . )UO í 10 , 1 1 ) = 2.=â= ( 2 0 1 6 C . * C 8 - 43 2 0 . « C 7+ 7 2 0 . * C 6 - 7 2 . ü = C 5 - 3 6 0 . * C 4

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54

2UO ( 1 1 » 1 I)

UO ( 11.12)

UO ( 1 1 . 1 3)

UOtll . 14)UO ( 11 . 1 5)

UO ( 1 1 , 16)

U0< 12, 12) U0< 12t 12)

UOÍ12,14)=

U 0 < 1 2 , 1 5 ) = UO ( 1 2 , 1 6 ) =

UO ( 1 3 , 1 3 ) =

UO(13,14)U O ( 1 3 , 1 5 )

U O ( 1 3 , i c )

UO ( 1 4 , 1 4 )

ÜO í 1 4 , 15)

UO ( 1 4 , 16)

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55

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56

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1

1

57

V O ( 1 1 . 1 5 ) = V O Í 11 , 1 6 J =

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V O ( 1 2 , 1 4 J = VO ( 1 2 , 1 5 ) =

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VO ( 1 3 , 1 4 ) =

V O Í 1 3 , 1 5 ) =

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V O ( 1 4 , 1 6 ) =I

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VO ( 1 5 , 1 6 ) = V O ( 1 Ó , 1 6 J =

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1

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58

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60

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61

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62

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63

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64

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65

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67

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68

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U 3 ( 1 5 , 1 5 ) = - ( 3 5 2 3 0 . * C 6 + 7 1 8 5 6 . * C 5 + 4 1 1 1 2 . *C4- í - 9 7 2 0 . * C 3 + 1 0 7 0 . * C 2 + 5 4 . * C + 1 . )

U 3 < 1 5 . 1 6 ) = 2 . * ( 8 6 4 0 . * C 9 - 5 7 6 Û . + C 8 4 - 2 1 6 0 . * C 7 - 1 6 8 0 . * C 5 - 9 0 7 2 . * C 4 - 4 2 7 3 . * C 3 - 6 9 2 . * C 2 - 4 5 . * C - 1 . )

U 3 < Í 6 , 1 6 ) = 4 . * ( 1 1 9 7 5 0 4 0 0 . * C 1 2 - 1 8 1 4 4 0 0 0 . * C 1 1 + 2 1 7 7 2 â ú . » C l 0 - 2 4 1 9 2 0 . * C 9 + 2 5 2 0 0 . * C 8 - 2 1 6 0 . * C 7 - 1 7 6 4 0 . * C 6 -

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72

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7 0 3 5 - « C 3 + 927.>»=€2+ 6 7 . # C + 2 . )V 3 Í 1 I . 1 1) = 2 . * ( 5040.=4^C6+ 1 5 1 2 0 . * C 5 + 1 4 1 1 2 . * C 4 + 5 5 6 8 . ^ C 3 +

9 8 1 . 4 = 0 2 + 7 5 . * C + 2 . )

V3 ( 1 1 • 1 2 ) = 2 . * ( 2 5 2 0 . * C 6 + 1 4 2 8 0 . 4 : 0 5 + 1 6 2 1 2 . » C 4 + 6 4 6 8 . 4 = 0 3 +1 0 9 1 . * C 2 + 7 9 . ^ C + 2 . )

V 3 C 1 1 . 1 3 Î = - 2 . * ( 2 5 2 0 . 4 = 0 7 + 2 7 7 2 0 . * 0 6 + 5 4 1 8 0 . 4 = 0 5 + 3 7 3 8 0 . 4 = 0 4 +

1 0 9 9 5 . 4 = 0 3 + 1 4 9 1 . 4 = 0 2 + 9 1 . 4 = 0 + 2 . >

V 3 ( 1 1 . 1 4 ) = - 2 . 4 = ( 2 5 2 0 . ^ 0 7 + 2 7 7 2 0 . 4 = 0 0 + 4 ó ó 2 0 . * C 5 + 2 9 8 2 0 . 4 = 0 4 +

8 9 7 0 . ^ 0 3 + 1 2 9 6 . 4 = 0 2 + 8 5 . 4 = 0 + 2 . )

V 3 ( 1 1 . 1 5 ) = - ( 2 0 1 6 0 . 4 = 0 6 + 5 5 4 4 0 . 4 = 0 5 + 4 0 3 2 0 . 4 = 0 4 + 1 1 7 6 0 . 4 = 0 3 +

1 5 6 0 . 4 = 0 2 + 9 3 . 4 = 0 + 2 . )

V 3 { 1 1 , 1 6 ) = - 2 . * í 1 0 0 8 0 . 4 = 0 6 + 2 7 7 2 0 . 4 = 0 5 + 2 0 1 6 0 . 4 = 0 4 + 6 3 7 5 . 4 = 0 3 +

1 0 1 1 . 4 = 0 2 + 7 5 . * 0 + 2 . )

V 3 Í 1 2 . 1 2 ) = 2 . * ( 7 5 6 0 . 4 = 0 6 + 2 6 0 4 0 . 4 = 0 5 + - 2 3 1 0 0 . 4 = 0 4 + 7 9 8 0 . ^ 0 3 + 1 2 2 5 . * 0 2

+ 8 3 . 4 = 0 + 2 . )

V 3 í 1 2 . 1 3 ) = - 2 . 4 = ( 2 5 2 0 . 4=07+ 3 7 8 0 0 . 4 = 0 6 + 7 4 3 4 0 . 4 = 0 5 + 4 7 4 6 0 . 4 = 0 4 + 1 2 9 1 5 . 4 = 0 3 + 1 6 4 1 . 4 = 0 2 + 9 5. 4=0+ 2 . }

V3 ( 1 2 . 1 4 ) = ^ 2 . * ( 1 0 0 8 0 . 4 = 0 6 + 3 5 2 8 0 . 4 = 0 5 + 3 0 2 4 0 . * 0 4 + 9 8 4 0 . 4 = 0 3 +1 4 1 0 . 4 = 0 2 + 8 9 . 4 = 0 + 2 . )

V3 ( 1 2 . 1 5 ) = - ( 5 0 4 0 . 4 = 0 7 + 5 5 4 4 0 ^ 4 = 0 6 + 9 3 2 4 0 . 4 = 0 5 + 5 4 6 0 0 . ^ 0 4 + 1 4 0 7 0 . * 0 3 + 1 7 2 2 . 4 = 0 2 + 9 7 . 4 = 0 + 2 . )

V 3 ( 1 2 . 1 6 ) = - 2 . 4 = ( 7 5 6 0 . 4 = 0 5 + 1 2 6 0 0 . 4 = 0 4 + 5 8 9 5 . 4 = 0 3 + 1 0 6 5 . 4 = 0 2 + 7 9 . 4 0 + 2 . J

V 3 Í 1 3 . 1 3 ) = 4 . 4={ 2 0 1 6 0 . 4 = 0 7 + 8 5 6 8 0 . 4 = 0 6 + 1 0 0 8 0 0 . * 0 5 + 4 7 0 4 0 . ^ 0 4 +

1 0 2 0 0 . 4 = 0 3 + 1 0 8 3 . * 0 2 + 5 4 . * 0 + l . )

V3C 1 3 . 1 4 ) = 4 . 4( 1 0 0 8 0 . 4 = 0 7 + 5 0 4 0 0 . * 0 6 + 6 5 5 2 0 . 4 = 0 5 + 3 4 3 2 0 . 4 = 0 4 +8 2 5 0 .4=03+ 9 5 4 . * 0 2 + 51. 4= 0+ l . J

V 3 ( 1 3 . 1 5 ) = 2 . * ( 2 0 1 6 0 . * 0 7 + 1 0 0 8 0 0 . * 0 6 + 1 1 5 9 2 0 . * 0 5 + 5 2 0 3 Ú . * C 4 + 1 0 9 2 0 . 4 = 0 3 + 1 1 2 8 . 4 = 0 2 + 5 5 . * 0 + l . J

V3 ( 1 3 . 1 6 ) = 4 . * ( 1 5 1 2 0 . 4 = 0 6 + 3 0 2 4 C i 4 t O 5 + 1 9 6 2 0 . 4 = 0 4 + 5 64 0 * 4 = 0 3 + 7 5 9 . 4 = 0 2 + 4 6 . * 0 + 1 . )

V 3 ( 1 4 . 1 4 ) =4. 4=( 2 0 1 Ó 0 . * C 7 + 7 0 5 6 0 . * C Ó + 7 0 5 ó 0 . * 0 5 + 3 1 3 8 0 . # C 4 +7 2 0 0 . * 0 3 + 8 5 2 . 4 = 0 2 + 4 8 . í ' C + l . J

75

V3 í 14 , 1 5 ) = : 2 . ^ ( 3 0 2 4 0 •# C 6 + 6 0 4 8 0 , * C 5 + 3 5 2 3 0 . * C 4 + 8 6 4 0 . * C 3 + Ç 9 C « * C 2 + l 5 2 . « C + 1 . )

V 3 Í 1 4 , 1 6 ) = 4 . « ( 1 0 0 3 0 . t C 7 + £ 0 4 0 0 . ♦ C 6 + 5 7 9 6 0 . * € 5 + 2 6 0 4 0 . * 0 4 +1 5 7 9 0 . * C 3 + 7 ü 2 . ’f ' C2+ 4 3 . * C + l . J

V 3 ( 1 5 , 1 5 ) = 4 0 3 2 0 . * C 7 + 1 4 1 1 2 0 . * C 6 + 1 4 1 1 2 0 . * C 5 * - £ S a 0 0 . * C 4 +I 1 1 7 6 0 . <=C3+ 1 1 7 6 . * C 2 + 5 b . * C + l .

V3 < 1 5 . 1 6 ) = 2 . í = í 1 5 1 2 0 . * c 5+ 1 6 5 6 C . * C 4 + 5 5 a o . # C 3 + 7 3 0 . * C 2 + 4 7 . ^ C + l • ) V 3 ( l õ . l t > ) = 4 . * { 2 0 1 6 0 . « 0 7 + 7 0 5 6 0 . * C t » + 7 0 5 ü 0 . * C 5 + 2 9 4 0 0 . * C 4 +

1 5 8 8 0 . * 0 3 + 6 2 7 . * C 2 + 3 8 . * C 4 - ! • )

0 0 3 0 1 1= 2 . N NI I = I - lOO 3 0 1 J= l . I I UO í l . J ) = U 0 ( J . I )U l ( I , J ) = U l í J . I )U 2 Í I . J ) = U 2 ( J . I )Ü3 ( 1 . J ) = U 3 í J . I J VO t l . J ) = V 0 ( J . I )V I í I , J ) =V1 { J . I )V 2 Í I , J ) = V 2 t J . I >V3 ( I . J ) = V 3 Í J . I >

301 C O N T I N U E

DO 10 I = l . N N 0 0 10 J = l . N NSC l . J ) = U O I I . J ) + V O { I . J ) * Y Y YH ( I . J ) = C U l ( I . J ) + V l < I . J ) * Y Y Y ) * A 2 # C 2 +

1 Í U 2 ( I , J j + V 2 ( I . J ) * Y Y Y ) * A * C *■2 C G A M A * G A M A * Í U 3 ( l . J ) + V 3 ( I . J 3 * Y Y Y ) / 8 . C ) / í A 2 * C 2 )

10 C O N T I N U E í0 0 20' I = l . N N

20 W R I T E C 6 . 5 0 ) ( S ( I . J ) . J = 1 , N ) , l H ( I . L ) , L = 1 . N j50 F 0 R M A T Í 2 X , 2 ( 2 X . F 8 . 4 ) , 5 X . 2 { 2 X . F 8 * 4 ) Í

A=í:X - L A M 8 0 A * 8 * X = 0C A L L E A l i A O ( A . B . C . I D . D . N . » )C Í N . N ) = A U T O V E T Q R E S ( S A I O A )O Í N ) = A U T ü V A L O R E S Í S A I D A J 10 = D I M E N S Ã O O E C L A R A O A C A S M A T R I Z E SNN = D I M E N S Ã O R E A L M E N T E U T I L I Z A D AW C 5 * N ) = WO R K I N G A R R A Y

I D = 1 6C A L L E A 1 1 A D ( H , S . A V , I 0 . D . N N . I K } " M I N U S = 1 DG 51 I = 2 . N NI F ( 0 ( I ) . L T . D i M I N U S ) ) M I N U S = I

51 C O N T I N U EF = D ( M I N U S )DO 31 I = I - . NN A U T V T ( I ) = A V i l . M I N U S )

31 C O N T I N U E R E T U R N

END I ■ ■

76

APÊNDICE D: ROTINA PARA OS ELEMENTOS DE MATRIZ (CASO C = ZERO)

S U B R O U T I N E L C 0 U L 2 ( N , X , F ) I M P L I C I T R E A L * 8 { A - H , 0 - Z ) C O M M O N / C í M P O / E P SC O M M O N / ENER/ BI GK , B IGC, B IGZ , A N O R M AD I M E N S I O N X( 1)C O M M O N / E N E R / B I G K , B I G C , B I g Z

H I D R O G Ê N I O P E S Q U I S A DA R E L E V A N C I A DOS T E R M O S COM INü E X . L E . 5D R I V E PA R A M I N I M I Z A C A O . 1 0 . 0 1 . 1 9 8 6

F = CO + C l’i'X + C2*Y + D 3 * X Y + C4=<=X2 + C5>*Y2 + C 6 « X 2’í'Y + C 7 * > « \ 2+ C 8 « X 3 + C 9 # Y 3 + C 1 0 « X 2 * Y 2 + C 1 1 * X 3 * Y + C12«X=«'Y3+ C 1 3 « X 4 + C 1 4 * y 4 + C 1 5 * X 5 + C 1 6 * Y 5 + C17«'XA«Y ++ C 1 9 « X 3 ^ Y 2 + C20*X2=í=Y3

Cl 0 . 0C2 = 0 . 0C3 = 0 . 0C4 = 0 . 0C5 = 0 . 0C6 = 0 . 0C7 = 0 . 0CB = D . OC9 = 0 . 0CIO = 0 . 0Cll 0 . 0C12 = 0 . 0C13 = 0 . 0C14 = 0 . 0C15 = 0 . 0

C16 = 0 . 0 .C17 = 0 . 0C18 = O . ÜC19 '= 0 . 0C20 = O . GG O •TO (5, 20,30, 50, 70, 90, 100, 12C, 140,

« 160, 180, 2 0 0 ) , N200 C20 = X U 2 )

C19 = X( 12)180 C17 = X(ll)

C18 = X d l )160 C15 = X { 10 )

C16 = x n o )140 CIO = X ( 7 )120 C12 = X (8 )

Cll = X { 8 )100 C13 X { 9 )

C14 - XÍ.9 )

9 0 C9 = X { ó )C7 = X( 5)

7 0 ca = X(ó)

C6 = X 1 5)5 0 C4 = X(4)

C5 = X(4)3 0 C3 = X ( 3)

20 Cl X (Z)

77

C2 = X ( 2 ) A = X { 1 )

A N O R M A = 1. + 3 . «Cl + 3 . * C 2 + A . * C 3 + 8 . ^ C a + 8 . * C 5 + 1 Ü . * C 6 + 1 0 . * C 71 + 3 0 . * C 8 + 3 3 . * C 9 + 2 4 . * C 1 0 +36.>f‘Cll + 3 6 . * C 1 2 +1 44 .* ( C 13 + C 14 )2 - t - B 4 0 . * ( C 1 5 + C 1 6 ) + 1 6 8 . = » ( C 1 7 - ^ C 1 8 ) 84 . » ( C 1 9-i-C 20 ) __________________________3 +C1*( 4 . * ( C 1 + C2) + 1 0 . ^ 0 3 +3ü.=i'C4 + 1 0 . * C 5 + 3 6 . « C 6 + 2 4 . « C 7 4 + 1 4 4 . «C8 + 3 S . « C 9 + 8 4 . « C l 0 + 1 6 8 . « C l l + 8 4 . * C 1 2 + 8 4 0 . «C 1 3 +168.>!^C145 + 5 7 6 0 . * C 1 5 + 9 6 0 . «C16 + 9 6 0 . * C 1 7 +384. ( Cl 8 + C 1 9) + 2 8 8 . * C 2 0 )6 +C2>1'{ 4 . « C 2 +10. =í ‘ ( C 3 + C 4 ) + 3 0 . » C 5 + 2 4 . * C 6 + 3 6 . * ( C 7 + C 8 J + 1 4 4 . ^ C 9 7 + 8 4 . « ( C l Ü + C l 1) + 1 6 8 . « ( C 1 2 + C 1 3 ) + 8 4 0 . * C 1 4 + 9 6 ü . * C 1 5 + 5 7 6 C . * C 1 6 8 4 - 3 8 4 . * C 1 7 + 9 S 0 . * C 1 8 + 2 8 8 . * C 1 9 - t 3 8 4 . < ^ C 2 0 ) + C 3 * ( 1 2 . * C 3 4-36 . » ( C4->-C 5 ) 9 + 8 4 . * ( C 6 + C 7 ) + 1 6 8 . « ( C 8 + C 9 ) + 2 8 8 . ^ C 10 + 3 8 4 . « ( C l 1 + C l 2 ) + 9 6 C . * I C 1 3 +♦ C 1 4 ) + 6 4 8 0 . = ^ ( C 1 5 + C 1 6 ) + 21 60 . * ( C 17 + C l 8 ) + 1 2 9 6 . * ( C l 9 + C 2 0 ) ) + C 4 * I 1 7 2 . « C 4 + 2 4 . * C 5 + 1 6 8 . ^ C 6 + 8 4 . * C 7 + 8 4 0 . * C 8 + 8 4 . « C 9 + 3 8 4 . « C I O +2 9 6 0 . *C1 1 + 2 8 8 . «C 1 2 + 5 7 6 0 . * C 1 3 + 3 8 4 . - C 14 + 4 5 3 6 0 . « C 15 + 2 1 6 0 . *C16 3 + 6 4 8 0 . «C 1 7 + 1 2 9 6 . * C 1 8 + 2 1 6 0 . *C 1 9 + 1 2 9 6 . *C20) + C 5 « { 7 2 . « C 5 + 6 4 . *4 C6 + 1 6 8 . «C7 + 8 4 . «C8 + 8 4 0 . « C 9 + 3 8 4 . * C 1 0 + 2 8 8 . * C l l + 9 6 0 . « C 1 2 +5 3 8 4 . * C 1 3 + 5 7 6 0 . *C14 + 2 1 6 0 . *C15 + 4 5 3 6 0 . * C 1 6 + 1 2 9 6 . ^C 1 7 + 6 4 8 0 . * C 1 86 + 1 2 9 6 . «C19 + 2 1 6 0 . «C20) + C6X'-( 19 2 . * C 6 + 2 8 8 . * C 7 +960.=í=C8 + 3 3 4 . «C97 + 1 2 9 6 . *C10 + 2 1 6 0 . «Cll + 1 2 9 6 . « C 1 2 + 6 4 8 0 . « C 1 3 + 2 1 6 0 . «C14 +8 5 0 4 0 0 . «Cl5 + 1 4 4 0 0 . * ( C 1 6 + C 1 7 ) + 7 2 0 0 . « ( C 1 8 + C 1 9 ) + 5 7 6 G . * C 2 G J +C7«t9 1 9 2 . « C 7 + 3 8 4 . « C 8 + 9 6 0 . * C 9 + 1 2 9 6 . « í C 1 0 + C 11 ) + 2 1 6 0 . « ( C 12 + C l 3 ) >

ANQRMa = ANORMA + C 7 « ( 6 4 8 0 . « C 1 4 + 1 4 4 0 0 . « C 1 5 + 5 0 4 0 0 . « C 1 6 +1 7 2 0 0 . « C 1 7 + 1 4 4 0 0 . «C18 + 5 7 6 0 . « C 1 9 + 7 2 0 0 . « C20) + C8«( 2 8 8 0 . «C6 2 + 2 8 8 . *C9 + 2 1 6 D . * C 1 0 + 6 4 8 0 . «Cll + 1 2 9 6 . « C 1 2 + 4 5 3 6 C * « C 1 3 + 1 2 9 6 . ^"C14 3 + 4 0 3 2 0 3 . «C15 + 7 2 0 0 . *C 1 6 + 5 0 4 0 0 . « C 1 7 + 5 7 6 0 . « C 1 8 + 1 4 4 n C . « C 1 9 +4 7 2 0 0 . «C20) +C9«( 2 8 8 0 . «C9 + 2 1 6 0 . « C 10 + 1 2 9 6 . « C 11 +64€0.«C12 +5 1 2 9 6 . « C 1 3 + 4 5 3 6 0 . « C 1 4 + 7 2 0 0 . « C 1 5 + 4 0 3 2 0 0 . « C l 6 + 5 7 6 0 . - C 1 7 + 5 0 4 0 0 . ^ ^ 6 C 1 8 + 7 2 0 0 . « C 1 9 + 1 4 4 0 0 . « C 2 0 ) + C 1 0 * ( 2 8 8 0 . « C 10 + 7 2 0 0 . ( C 1 1 + C 1 2 ) + 7 1 4 4 0 0 . « { C 1 3 + C 1 4 ) + 1 1 0 8 8 0 . « ( C 1 5 + C 1 6 ) + 4 7 5 2 0 « { C 1 7 + C 1 8 ) + 3 1 6 8 C . « ( C 1 9 8 + C 2 0 ) ) + C 1 1 « ( 7 2 0 0 . « C 1 1 + 5 7 6 0 . « C 1 2 + 5 0 4 0 0 . « C 1 3 + 7 2 0 C . « C 1 4 +9 4 4 3 5 2 0 . -C15 + 4 7 5 2 0 . «C 1 6 + 1 1 0 8 8 0 . « C 1 7 + 3 1 6 8 0 . « C l S + 4 7 5 2 0 . « C l 9 +« 3 1 6 8 0 . «C20) + C 1 2 « { 7 2 0 0 . « ( C 1 2 + C 1 3 ) + 5 0 4 0 0 . « C 1 4 + 4 7 5 2 0 . « C 1 5 +1 4 4 3 5 2 0 . «C16 + 3 1 6 8 0 . «C17 + 1 1 0 8 8 0 . « C 1 8 + 3 1 6 8 0 . « C 1 9 + 4 7 5 2 C . « C 2 0 ) +2 C13*( 2 0 1 6 0 0 . « C 1 3 + 5 7 6 0 . « C 1 4 + 3 9 9 1 6 8 0 . « C 15 + 3 1 6 8 0 . « C 1 6 +3 4 4 3 5 2 0 . - C 1 7 + 3 1 6 8 0 . « C 1 8 + 1 1 0 8 8 0 . « C 1 9 + 4 7 5 2 0 . « C 2 C ) + C 1 4 « ( 2 0 1 6 0 0 . =4 C 1 4 + 3 1 6 8 Q . « C 1 5 + 3 9 9 1 680 . « C 16 + 3 1 6 8 0 . « C 1 7 + 4 4 3 5 2 0 . --í C 1 8 + 4 7 5 2 0 . «5 C 1 9 + 1 1 0 8 B 0 . « C 2 0 ) + C 1 5 « ( 2 1 7 7 2 8 0 0 . « C 15 + 1 7 2 8 0 0 . « C l ò + 4 3 5 4 5 6 0 . «6 C 1 7 + 2 0 7 3 6 3 . « C 1 8 + 9 6 7 6 8 0 . « C 1 9 + 3 6 2 8 8 0 . « C 2 0 ) + C 1 6 « ( 2 1 7 7 2 8 0 0 . « C 1 6 7 + 2 0 7 3 6 0 . =í ^ l 7 + 4 3 5 4 5 6 0 . « C 1 8 + 3 6 2 8 8 0 . « C 1 9 + 9 6 7 6 8 C . « C 2 C ) + C 1 7 « {8 4 8 3 8 4 0 . » C 1 7 + 1 7 2 8 0 0 . « C 1 8 + 3 6 2 8 8 0 . « C 1 9 + 2 0 7 3 6 0 . « C 2 0 )

ANORMA = ANORMA + C 1 8 « ( 4 8 3 8 4 0 . « C 1 8 + 2 0 7 3 6 C . « C 1 9 + 3 6 2 8 8 0 . « C 2 0 ) +1 C 1 9 « ( 1 0 3 6 8 D . « C l 9 + 1 7 2 8 0 0 . « C 2 0 ) + 1 0 3 6 8 0 . « C 2 0 « C 2 C

B I G K = 0 . 5 + ( C l + C 2 ) / 2 . 0 - ( C 6 + C 7 + 3 . « C 8 + 3 . « C 9 + 4 . ^ C 1 0 + 6 . « ( C 1 1 +1 C 1 2 ) + 2 4 . « ( C 1 3 + C 1 4 ) + 1 8 0 . « ( C 1 5 +C l 6 ) + 3 6 . « ( C 1 7 + C l 8 ) + 1 8 . « ( C 1 9 +2 C 2 0 ) ) + C l « { C l +C3 + 5 . « C 4 - C 5 + 2 . « C 6 + 1 2 . « C 8 - ( 6 . « C 9 + 2 . « C I O3 + 6 . « C 1 2 ) + 1 2 . « C 1 3 - ( 3 6 . « C 1 4 + 2 4 0 . « C 1 5 + 2 4 0 . - C 1 6 + 4 8 . C l 7 + C 1 8 )4 + 2 4 . « { C 1 9 + C 2 0 ) ) ) + C 2 « ( C2 + C 3 - C 4 + 5 . « C 5 + 2 . « C 7 - 6 . « C 8 + 1 2 . « C 95 - ( 2 . « C I O + S . « C 1 1 + 3 6 . * C 1 3 ) + 1 2 . « C 1 4 - ( 2 4 0 . « ( C 1 5 + C 1 6 ) + 4 8 . * ( L 1 7 +6 C 1 8 ) + 2 4 . « ( C 1 9 + C 2 0 ) ) ) + C 3 « ( 2 . « ( C 3 + C 4 + C 5 ) + 1 0 . « ( C 6 + C 7 ) + 2 4 . « (7 C 1 0 + C 1 1 + C 1 2 ) - { 4 8 . « ( C 1 3 + C 1 4 ) + 6 0 0 . « ( C 1 5+C 16 ) ) + 2 4 . 4- (C 1 7+C 18 ) +8 4 8 . « ( C 1 9 + C 2 0 ) ) + C 4 « ( 1 2 . « C 4 - 4 . « C 5 + 1 2 . « 0 6 - 2 . « C 7 + 1 0 8 . « C 8 -9 1 8 . « C 9 + 4 8 . « C 1 1 - 2 4 . « C 1 2 + 4 8 0 . « C l 3 - 9 6 . « C 1 4 + 1 8 o O . " - C 1 5 - 6 0 0 . « C 1 6

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79

9 2 0 1 6 0 . *C19 + 8 6 4 0 . * C 2 0 ) - C1 4 « ( 4 0 3 2 ü - * C 14 + 5 7 6 Õ . * ( C l 5 + C 1 7 ) “ +* 725760.^015 + 80 640 .’S'C 18 +8640.*019 +20160.*C2C) -C 15* ( 3 62 8800 . *1 0 1 5 + 2 3 8 0 D . * c 1 6 + 7 2 5 7 6 0 . * C l 7 + 3 4 5 6 0 » * C Í 8 + 1 6 1 2 8 0 . ^ ^ 0 1 9 + 6 0 4 8 0 . *2 0 2 0 ) - 0 1 6 * { 3 6 2 8 8 0 0 . * 0 1 6 + 3 4 5 6 0 . * 0 1 7 + 7 2 5 7 6 0 . * 0 1 0 + 6 0 4 8 0 . * 0 1 9 +3 1 6 1 2 8 o . * 0 2 D ) - 0 1 7 * ( 8 0 6 4 0 . * 0 1 7 + 2 8 8 0 0 . * 0 1 8 + 6 0 4 8 C . * C 1 9 + 3 4 5 6 0 . *4 0 2 0 ) - 0 1 8 * ( 8 0 6 4 0 . * 0 1 8 + 3 4 5 6 0 . * 0 1 9 + 6 0 4 8 0 . * 0 2 0 ) ~ 0 1 9 * U 7 2 8 Q . * C 195 + 2 8 8 0 0 . ^ 0 2 3 ) - 1 7 2 8 0 . * 0 2 0 * 0 2 0

BIGZ = 2 . + 1 3 . * ( 0 1 + 0 2 ) + 2 4 . * 0 3 + 3 6 . * ( 0 4 + 0 5 ) + 8 4 . * ( C 6 + 0 71 ) + 1 6 8 . * ( C 8 + 0 9 ) + 2 8 8 . * 0 1 0 + 3 8 4 . * ( 0 1 1 + C 1 2 ) + 9 6 0 . * ( 0 1 3 +2 0 1 ^ ) + 6 4 8 3 . * ( C l 5 + 0 l 6 ) + 2 1 6 0 . 0 17 + 0 1 8 ) + 1 2 9 6 . * { 0 1 9 + 0 2 0 )+3 C l * ( l 8 - * 0 1 + 2 4 . * 0 2 + 8 4 . * ( 0 3 + 0 5 ) + 1 6 8 . * 0 4 + 3 8 4 . * ( 0 6 + 0 9 ) +4 288.*C7 + 9 5 0 . * 0 8 + 1296.*(0 1 0 + 0 12)+ 2 1 6 0 . *(Cll+Cl4 )+ 6 4 8 0 . *£135 + 5 0 4 0 0 . * 0 1 5 + 1 4 4 0 0 . * ( C 1 6 + C 1 7 ) + 7 2 0 0 . * ( 0 1 8 + 0 1 9 ) + 5 7 6 0 . * C 2 0 )6 + 0 2 * 1 1 8 . * 0 2 + 8 4 . * 1 0 3 + 0 4 ) + 1 6 8 . * 0 5 + 2 8 8 . * 0 6 + 3 8 4 . * ( 0 7 + 0 8 ) +7 9 6 0 . * 0 9 + 1 2 9 6 . *(0 1 0 + 0 1 1 ) + 2 1 6 0 . *(0 1 2 + 0 1 3 ) + 6 4 8 0 . * 0 1 4 +8 1 4 4 0 0 . * { 0 1 5 + 0 1 8 ) + 5 0 4 0 0 . * 0 1 6 + 7 2 0 0 . * (C1 7 + 0 2 O + 5 7 6 0 . *9 0 1 9 ) + 0 3 * ( 1 4 4 . * 0 3 + 3 8 4 . * ( 0 4 + 0 5 ) + 1 2 g 6 . * ( 0 6 + 0 7 ) + 2 1 6 C .* * ( 0 8 + 0 9 ) + 5 7 6 0 . * 0 1 0 + 7 2 0 0 . * ( 0 1 1 + 0 1 2 ) + 1 4 4 0 G. * ( 0 1 3 + 0 1 4 )1 + 1 1 0 8 8 0 . * ( 0 1 5 + 0 1 6 ) + 4 7 5 2 0 . * { 0 1 7 + 0 1 8 ) + 3 1 6 8 0 . * ( 0 i 9 + 0 2 C) )2 + 0 4 * ( 4 3 0 . * 0 4 + 2 8 8 . ^ 0 5 + 2 1 6 0 . * 0 6 + I 2 9 6 . * ( 0 l + C 9 ) + 6 4 8 0 .3 * 0 8 + 7 2 0 0 . *(0 1 0 + 0 1 4 ) + 1 4 4 0 0 . * 0 1 1 + 5 7 6 0 . * 0 1 2 + 5 0 4 0 0 . -4 0 1 3 + 4 4 3 5 2 0 . * 0 1 5 + 4 7 5 2 0 . * ( 0 1 6 + 0 1 9 ) + 1 1 0 8 8 0 . ^ 0 1 7 +5 3 1 6 8 0 . * { 0 1 8 + 0 2 0 ) ) + 0 5 * ( 4 8 0 . * 0 5 + 1 2 9 6 . * ( 0 6 + C 8) + 2 1 6 0 . *6 07 + 6 4 8 0 . * 0 9 + 7 2 0 0 .*(0 1 0 + 0 13) + 5 7 6 0 . * 0 1 1 + 1 4 4 0 0 . * 0 1 27 + 5 0 4 0 0 . * 0 1 4 + 4 7 5 2 0 . * ( 0 1 5 + 0 2 0 ) + 4 4 3 5 2 0 . * 0 1 6 + 3 1 6 8 0 . * (8 OI7 + OI 9 ) + 1 1 0 8 8 0 . * 0 1 8 ) + 0 6 * { 3 6 0 0 . * 0 6 + 5 7 6 0 . « 0 7 +9 1 4 4 0 0 . * 0 8 + 7 2 0 0 . * 0 9 + 3 1 6 8 0 . * ( 0 1 0 + 0 1 2 ) + 4 7 5 2 0 . * ( 0 1 1 + 0 1 4 ) )

BIGZ = BIGZ + C6 * ( 1 1 0 8 8 0 . * 0 1 3 + 9 6 7 6 8 0 . * 0 1 5 + 3 6 2 8 8 0 . * Í O 16+1 0 1 7 ) + 2 0 7 3 6 3 . * ( 0 1 8 + 0 1 9 ) + 1 7 2 8 0 0 . * 0 2 0 ) + 0 7 » ( 3 6 0 0 . * 0 7 +____________2 7 2 o O . * 0 8 + 1 4 4 0 0 . * 0 9 + 3 1 6 8 0 . * ( 0 1 0 + 0 1 1 ) + 4 7 5 2 0 . * ( 0 1 2 + 0 1 3 ) +3 1 1 0 8 8 0 . * 0 1 4 + 3 6 2 8 8 0 . « ( 0 1 5 + 0 1 8 ) + 9 6 7 6 8 0 . * 0 1 6 + 2 0 ? 3 6 0 . * í4 0 1 7 + 0 2 0 ) + 1 7 2 B 0 0 . * 0 l 9 ) + 0 8 * ( 2 5 2 0 0 . * 0 8 + 5 7 6 0 . * 0 9 +__________________5 4 7 5 2 0 . * 0 1 0 + 1 1 0 8 8 0 . * 0 1 1 + 3 1 6 8 0 . * ( 0 1 2 + 0 1 4 ) + 4 4 3 5 2 0 . * 0 1 36 + 4354560.*015 + 207360.*{016+020) + 967680.*0l7 + 1728C0.7 * 0 1 8 + 3 6 2 8 8 0 . * 0 1 9 ) + 0 9 * { 2 5 2 0 0 . * 0 9 + 4 7 5 2 0 . * 0 1 0 + 3 1 6 8 G . * _________8 ( 0 1 1 + 0 1 3 ) + 1 1 3 8 8 0 . * 0 1 2 + 4 4 3 5 2 0 . * 0 1 4 + 2 0 7 3 6 0 . * ( 0 1 5 + 0 1 9 )9 + 4 3 5 4 5 6 0 . * 0 1 6 + 1 7 2 8 0 0 . * 0 1 7 + 9 6 7 6 8 0 . * 0 1 8 + 3 6 2 8 8 C . * 0 2 0 )* + 0 1 0 * ( 8 6 4 0 3 . * 0 1 0 + 2 0 7 3 6 0 . * ( 0 1 1 + 0 1 2 ) + 3 6 2 8 8 0 . * ( 0 1 3 + 0 1 4 ) +_________1 3144960.*(015+016) + 1572480.*(017+018 ) + 1123200.*(019 +2 0 2 0 ) ) + C 1 1 * ( 1 8 1 4 4 0 . * 0 1 1 + 1 7 2 8 0 0 . * 0 1 2 + 9 6 7 6 8 0 . * 0 1 3 +3 2 0 7 3 6 0 . * 0 1 4 + 9 4 3 4 8 8 0 . * 0 1 5 + 1 5 7 2 4 8 0 . * ( 0 1 6 + 0 1 9 ) + 3 1 4 4 9 6 0 . _________4 * 0 1 7 + 1 1 2 3 2 0 0 . * ( 0 1 8 + 0 2 0 ) ) + 0 1 2 * ( 1 8 1 4 4 0 . * 0 12 + 2 0 7 3 6 0 . * 0 1 35 + 9 6 7 6 8 0 . * 0 1 4 + 1 5 7 2 4 8 0 . * 0 1 5 + 9 4 3 4 8 8 0 . * 0 1 6 + 1 1 2 3 2 0 0 . * ( 0 1 76 + 0 1 9 ) + 3 1 4 4 9 6 p . * 0 1 8 + 1 5 7 2 4 8 0 . * 0 2 0 ) + 0 1 3 * ( 2 1 7 7 2 8 0 . * 0 1 3 +7 1 7 2 8 0 0 . * 0 1 4 + 4 7 1 7 4 4 0 0 . * 0 1 5 + 1 1 2 3 2 0 0 . * ( 0 1 6 + 0 1 8 ) + 9 4 3 4 8 8 0 .8 * 0 1 7 + 3 1 4 4 9 6 0 . * 0 1 9 + 1 5 7 2 4 8 0 . * 0 2 0 ) + 0 1 4 * ( 2 1 7 7 2 8 0 . * 0 1 4 +9 1123200.*(015 + 017) + 471744qO.*016 + 9434880.*018 + 1572480.*019) BIGZ = BIGZ + 014*3144963.*020 + 015*(279417600.*01b + 7257600.*

1 0 1 6 + 1 0 1 6 0 6 4 0 0 . * 0 1 7 + 8 4 6 7 2 0 0 . * 0 1 8 + 3 0 4 8 1 9 2 0 . * 0 1 9 + 1 3 5 4 7 5 2 0 .2 * 0 2 0 ) + C 1 6 * { 2 7 9 4 1 7 6 0 0 . * 0 1 6 + 8 4 6 7 2 0 0 . * 0 1 7 + 1 0 1 6 0 6 4 0 0 . * C 1 8 +3 1 3 5 4 7 5 2 0 . * 0 1 9 + 3 0 4 8 1 9 2 0 . * 0 2 0 ) + 0 1 7 * ( 1 5 2 4 0 9 6 0 . * 0 1 7 + 7 2 5 7 6 0 0 .4 * 0 1 8 + 1 3 5 4 7 5 2 0 . « ' 0 1 9 + 8 4 6 7 2 0 0 . * 0 2 0 ) + C 1 8 »= ( 1 5 2 4 0 9 6 0 . * 0 18 +5 8 4 6 7 2 0 0 . » 0 1 9 + 1 3 5 4 7 5 2 0 . * 0 2 0 ) + 0 1 9 * ( 4 2 3 3 6 C Q . * 0 1 9 + 7 2 5 7 6 0 0 . *6 0 2 0 ) + 4 2 3 3 6 0 0 . * 0 2 0 * 0 2 0 __ _ _ _ _ _

BIGZ = BI GZ*t PSF = j A*A*BIGK + A*BIGO + B I G 2 / ( A*A) ) /ANORMARETURN _________________________ ____ ______________________________________________END

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