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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CURSO DE PõS-GRADUAÇXO EM ENGENHARIA MECÂNICA UM ELEMENTO FINITO DE CASCA FINA PARA ANALISE ELÀSTOPLÃSTT CA DE ESTRUTURAS DISSERTACXO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇXO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA FLÃVIO TAKANE IMAEDA FLORIANÓPOLIS, NOVEMBRO DÉ 1992
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CURSO DE PõS-GRADUAÇXO EM ENGENHARIA MECÂNICA
UM ELEMENTO FINITO DE CASCA FINA PARA ANALISE ELÀSTOPLÃSTT CA DE ESTRUTURAS
DISSERTACXO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇXO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
FLÃVIO TAKANE IMAEDA
FLORIANÓPOLIS, NOVEMBRO DÉ 1992
UM ELEMENTO FINITO DE CASCA FINA PARA ANÁLISE ELASTOPLÃSTICA DE ESTRUTURAS
FLÃVIO TAKANE IMAEDA
ESTA DISSERTAÇXO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇXO DO TITULO DE
MESTRE EM ENGENHARIA
ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇXO PROJETO, APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE PÕS-GRADUAÇXO EM ENGENHARIA MECÂNICA
BANCA EXAMINADORA:
CLÕVIS SPERB üLLOS - Ph.D.
JUN SÉRGIO ONO FONSECA - M. Eng.Mec.
AGRADECIMENTOS
À COSIPA, pelo incentivo e apoio ao desenvolvimento de novas lecnol oçfi as;aos professores Carlos Alberto de Campos Selke e Arno Blass, pela orientação deste trabalho.
ÍNDICE
1 INTRODUÇXO E REVISSO BIBLIOGRÁFICA 11.1 Introdução 1
1.1.1 DescriçSo do processo de desempenamento 11.2 Levaniamenio bibliográfico 4
1.2.1 Modelos exper i mentai s 41.2.2 Análise utilizando métodos numéricos 8
1.3 Escopo do trabalho 11
2 SOLUÇXO NUMÉRICA DOS PROBLEMAS DA ELASTOPLASTCClDADE 132.1 Introdução 132.2 EquaçSes de equilíbrio 132.3 Formulação por elementos finitos 182.4 Atualização das tensSes 202.5 Integração da matriz rigidez 212.6 Solução numérica do sistema não linear 22
2.6.1 Método de Newton-Raphson 232.6.2 Método de Newton-Raphson modificado 242.6.3 Método BFGS 252.6.4 Comentários sobre os métodos iterativos 29
2.7 Critério de convergência 30
3 RELAÇÃO CONSTITUTIVA 323.1 Introdução 323.2 Relação constitutiva infinitesimal 32
3.2.1 Critério de escoamento de von Mises 333.2.2 EquaçSes de Prandtl -Reuss 343.2.3 Relação constitutiva elastoplástica 343.2.4 Critério de carregamento plástico 373.2.5 Relação constitutiva para o estado plano de
tensSes 383.2.6 Generalização da relação constitutiva 40
3.3 I ntagraçSo da rolaçaío constitutiva 41
4 ELEMENTO DE CASCA 434.1 IntroduçSo 454.2 Descr-içSo dos graus de liberdade do elemento 454.3 Matriz da relação deformação/graus de liberdade
nodai s 494.4 Descrição da geometria 514.5 Determinação das bases locais 5£4.6 Campo de deslocamentos 554.7 DeformaçSes devidas aos efeitos de membrana 56
4.7.1 Determinação de £ e e . 56O ss o t t
4.7.2 Determinação do cisalhamento v 57‘ Oat
4.8 Efei tos de f1exão 584.8.1 Cálculo das rotaçSes segundo as direç5es t e
n CG, e e D 59 t n4.8.2 Eliminação dos graus de liberdade do
centróide 634.8.3 Determinação das variaçQes de curvatura
, & 63s s tt st
5 RESULTADOS NUMÉRICOS 655.1 Introdução 655.2 Casos lineares 65
5.2.1 "Patch test" 655.2.2 Placa quadrada 695.2.3 Telhado cilindrico 735.2.4 Cilindro puncionado 735.2.5 Semi-esfera 765.2.6 Viga retilínea 81
5.3 Casos não lineares 815.3.1 Placa tracionada 835.3.2 Placa quadrada engastada com deformação
plástica 855.3.3 Casca esférica puncionada - "snap through” 895.3.4 Casca cilíndrica com grandes deslocamentos e
deformação plástica 91
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES
REFERÊNCIA BIBLIOGRÄFICA
APÊNDICES
1 Transformação do princípio variacional 072 Relação entre deformaçSes e graus de liberdade nodais ÍOO3 Matriz C fcO relativa à. relação dof or mação/graus de
liberdade nodais 105A Implementação da matriz rigidez 121
SIMBOLOGIA
MMMw
CC J
:k j
ü K ]s
C N D
CB ]
J
S
ST
V
s1-J
f ()
k
- tensor taxa de deformação
- tensor de Cauchu
- tensor de Kirchhoff
- tensor taxa de variação de Jaumann do tensor tensão
de Kirchhoff
- tensor tensão nominal ou 1- Piola-Kirchhoff
- rnatriz coluna das veiocidades
- matriz coluna do tensor taxa de deformação
- matriz coluna da taxa de variação das forcas externas
- matriz coluna da taxa de variação dos graus de
liberdade nodais
- matriz da relação constitutiva
- matriz rigidez linear
- matriz rigidez da tensão inicial
- matriz das funções interpolação
- matriz da relação velocidade/taxa de variação dos
graus de liberdade nodais
- relação entre o volume no estado de referência e o
volume na configuracão em consideração
- área
- superfície onde foram especificadas as condições de
contorno de Neumann
- volume
- tensor deviatórico do tensor de Cauchy
- funcão escoamento
- parâmetro de encruamento
- tensão de escoamento
•funções interpolação
vetor posição em coordenadas global
RESUMO
Um elemento finito de casca fina com nove nós, em cuja formulação se utilizam as hipóteses de Kirchhoff discretizadas, ó desenvolvido para a solução de problemas elastoplásticos em estruturas. Utiliza—se uma f ormuiaçao lagrangiana atualizada, baseada no princípio dos trabalhos virtuais.
Para representar o comportamento do material, ó adotada a lei de escoamento de Prandtl-Reuss» associada ao critério de escoamento de von Mises e à lei de encruamento isotrópico.
 validade e o bom desempenho do elemento de casca implementado foram constatados através da análise de diversos problemas envolvendo placas e cascas.
ABSTRACT
A thin shell finite **1 emont wi t-h nine nodes» whose formulation uses the discrete Kirchhoff hypothesis, is developed to solution structural elasto-plastic problems. An updated lagrangian formulation, based on the virtual work principle, is utilized.
The Prandtl-Reuss flow rule, associated with the Von Mises yield criterion and with the isotropic hardening, is used to model the behavior of the material.
The validity and good performance of the developed shell finite element was verified through the analysis of several plates and shells problems.
CAPÍTULO.1
INTRODUCSO E REVIS20 BIBLIOGRôFICA
1.1. Int r oducão.
A compreensão dos fenômenos envolvidos nos processos de
conformação mecânica é de grande interesse para a indústria devido
à constante necessidade de aperfeiçoar a qualidade dos seus
P rodut os .
Um modelamento matemático, que reflita a realidade
física, ajuda a melhor controlar os parâmetros intervenientes no
processo.
Até recentemente, a elaboração dos modelos matemáticos
era feita, predominantemente, através da montagem de experimentos
adequados para cada processo de fabricacão em estudo. Ultimamente,
a redução dos custos computacionais tornou possível a abordagem
através dos métodos numéricos.
0 presente trabalho apresenta o desenvolvimento de uma
ferramenta a ser usada na modelação dos p,rocessos de
desempenamento de chapas finas a frio usando-se o método dos
elementos finitos.
1.1.1. Descrição do processo de desempenamento.
No processo de laminacão podem ocorrer deformações
plásticas não-uniformes dando origem a tensões residuais nas
tiras.
Dependendo das condições ditadas pela espessura, módulo
de elasticidade e níveis de tensão, podem surgir fenômenos de
2
instabilidade locais, os quais são visualizados através
defeitos de planicidade das chapas. A Figura i ilustra este
de imperfeição.
Distribuição de tensões ao longo da largara♦ tração - compressão
O
oo
de
tipo
Figura i Defeito de planicidade em chapas
3
Os defeitos dessa natureza são posteriormente corrigidos
pelas desempenadeiras, cujo funcionamento está esquematizado na
Figura 2. Esta ilustração mostra que a distância vertical entre os
rolos superiores e inferiores varia linearmente ao longo da
máquina, caracterizando a técnica da regulagem em cunha.
chapa
Figura £ - Desenho esquemático de uma desempenadeira.
Neste processo, o material sofre uma série de flexões
alternadas, à medida que passa sob os rolos, fazendo com que uma
parte da camada se plastifique e se distenda.
0 formato ondulado dos defeitos favorece a ocorrência de
instabi1 idades locais; pois a força de contato aplicada pelos
rolos provoca grandes deslocamentos, porém com pequenas
deformações Isto faz com que as deformações aconteçam de maneira
seletiva. São bem maiores nas regiões sem defeito do que em locais
com empenamento. Estes efeitos tendem a anular as deformações
irregulares iniciais que provocam o problema do empenamento.
4
0 controle do processo se faz regulando a distância
entre os rolos superiores e inferiores que é dada pela cota K
mostrada na Figura 2.
Adicionalmente, as tiras podem ser submetidas a tensões
de tração na direção longitudinal á chapa. Os equipamentos que
assim funcionam são denominados desempenadeiras sob tensão.
Os artigos que tratam desta categoria de máquina (C3 71 a
Í 3 9 1 , C42], C44D a C49Ü, C51D e C523) usam modelos matemáticos
simples. Os resultados são satisfatórios apesar de tais modelos
não considerarem a história do carregamento
0 interesse deste trabalho, contudo, se concentra nos
processos sem tensão. Nessa área encontram-se poucos trabalhos de
modelamento matemática (C40D, C41D, C43D). Segundo Pankin C 4 0 1 , os
erros que estes apresentam podem ser significativos se no
modelamento não for considerada a história do carregamento.
1.2. Levantamento bib1íográfico
0 levantamento bibliográfico foi dividido em diversos
itens, de acordo com as etapas envolvidas na implementação do
método dos elementos finitos. As referências bib1iográficas a
respeito dos modelo':. obtidos experimentalmente forneceram
'.ubsídios importantes para a determinação das hipóteses
simp1i ficadoras
1.2.1. Modelos experimentais.
Grande parte da literatura a respeito do desempenamento
procura obter expressões relativamente simples para o cálculo de
deformações a partir dos dados geométricos e das propriedades dos
5
materiais.
Observa-se que em comum apresentam algumas hipóteses: a)
estado plano de tensões, b) material isotrópico, c) desprezam o
efeito Bauschinger, d) desprezam o efeito do atrito entre o rolo e
a chapa, e) admitem pequenas deformações, f) supõem que a seção
permanece plana e perpendicular à linha média, g) não levam em
conta a velocidade de deformação, h) a geometria da chapa é
conhecida a priori, não levando em consideração o problema de
contato, i) desprezam as tensões de tração na direção transversal
ao sentido de movimento da chapa.
Admitem, basicamente, que a chapa apresenta a mesma curvatura que
os rolos, como ilustra a Figura 3.
Figura 3 - A curvatura da chapa é suposta coincidente com a da c h a p a .
Os autores abaixo estudam as desempenadeiras sob tensão.
chapa
Roberts e Sheppard C5iD mostram que o resultado do
modelo matemático é tanto melhor, quanto maior for o valor da
6
forca de tração f mostrada na Figura 3. A explicação para isso
está associada ao fato de que o aumento de f ajuda a forçar a
chapa contra o rolo, agindo em favor da hipótese mencionada no
parágrafo anterior.
Yoshizaki ÍA 71 e Kawaguchi C48D apresentam um tipo de
desempenadeira para chapas muito finas (espessura menor que 0,3
mm). Estabelecem um critério de medida do defeito de planicidade,
dado pela expressão
E hvgrau de empeno = ---- --- . 100 (JO ,
com os h medidos segundo a Figura 4
Figura 4 - Critério para a medida do e m p e n a m e n t o .
Os autores mostram que existe uma correlação estatística
entre o defeito, medido segundo o critério mostrado na expressão
acima, a localização dos empenamentos e o grau de alongamento
necessário para eliminar o problema. Estes dados são úteis para o
7
estabelecimento dos valores orientativos de regulagem do
e quipamento.
Thompson [383 obtém ama expressão analítica para
calcular o encurvamento da tira sem precisar levar em consideração
a hipótese de que a chapa adquira a mesma curvatura que o rolo.
Kinnavy C42D, finalmente, determina a forca mínima de tracão f,
mostrada na Figura 3, para que essa hipótese, da concordância
entre as curvatura do rolo e da chapa, seja válida.
Hanaki e Kato C4ÓD fazem um trabalho experimental
medindo a distribuição de pressão no arco de contato entre a chapa
e o rolo para vários tipos de materiais da tira.
Patula C37Ü mostra que o modelamento adequado requer a
subdivisão da análise em cinco casos diferentes, os quais dependem
basicamente de como é a distribuição das tensões ao longo da
espessura.
Stark Í 3 9 3 faz uma análise comparativa entre os modelos
propostos por K m n a v y C423, Sheppard & Roberts C503 e Patula C373.
A seguir consideram-se os modelos para desempenadeiras
sem tensíonamento.
A principal diferença em relação aos anteriores reside
no fato de que a chapa não consegue atingir a mesma curvatura dos
rolos. A conseqüência de tal fato é que, agora, os pontos de
contato entre a chapa e o rolo não são conhecidos a priori. Surge,
então, a necessidade de resolver o problema de contato.
Stenudd C41D supõe que a chapa adquira uma curvatura
cilíndrica, cujo raio depende da distância vertical e do
espaçamento horizontal entre os rolos, da tensão de escoamento e
do módulo de elasticidade do material. 0 autor não leva em
consideração os efeitos de membrana, apesar da existência do
a
acoplamento com os efeitos de flexão, uma vez que os deslocamentos
verticais impostos á chapa são duas a seis vezes maiores que a
espessura da mesma.
P ankin, Thiele e Ziegler C403 fazem uma análise
mostrando que a principal fonte de erros dos modelos analíticos
está na dificuldade em . conseguir expressões que considerem a
história do carregament o . Segundo os autores, as forcas1 de contato
entre o rolo e à chapa, calculadas por modelos analíticos, levam a
erros de até 200%.
1.2.2. Análise utilizando métodos numéricos.
A seguir comentam-se as diversas abordagens de análise
de conformação mecânica com o uso do método de elementos finitos.
0 levantamento bibliográfico restringiu-se aos artigos
que optaram pelas hipóteses si m p 1i ficadoras que desprezam os
efeitos térmicos e dinâmicos. Essas hipóteses são comuns aos
trabalhos experimentais mencionados anteriormente (item 1.2.1. ).
Nagtegaal & Rebelo C1D e Nagtegaal £ Jong C2H descrevem
os pontos importantes para a simulação do processo de conformação
mecânica, que são a escolha dos tensores, da relação constitutiva
e seu método de integração, do algoritmo para a automação do
problema de contato e modelamento do atrito. Recomendam a
formulação lagrangiana atualizada para a plasticidade, pois a
relação constitutitiva, que vem na forma incremental, melhor
descreve a realidade física, se referida à configuracão
atualizada. Segundo os autores, os grandes deslocamentos produzem
o efeito adicional da distorção excessiva das malhas dos elementos
finitos, prejudicando a precisão das respostas, tais conseqüências
9
podem ser minoradas sobrepondo-se uma nova malha sobre a geometria
deformada (resoning) ou introduzindo alguma técnica de refino de
malha (remeshing).
McMeeking & Rice E 5□ elaboraram uma formulação
fundamentada no principio variacional incremental de Hill C34H.
Esta formulação é desenvolvida de tal forma a permitir sua
implementação por meio de uma adaptação simples de um programa de
elementos finitos da e 1astop1astic 1 dade infinitesimal. Os autores
generalizam uma relação const itutítva elastoplást íca
in&fin 1 1esima 1 , de maneira a possibilitar o uso desta em casos com
não-linearidade geométrica. Para isso, admitem que a matriz C da
relação entre o incremento do tensor de Cauchy e o incremento de
deformação, é apropriada para estabelecer, agora, a relação entre
o tensor tensão de Jaumann e o tensor taxa de deformação. Essa
formulação foi utilizada posteriormente por Kikuchi & Cheng Z 2 Í 3 e
por Chandra C14D, respectivamente, nas análises dos processos de
extrusão e estampagem.
Kikuchi & Cheng [2iD propõem uma formulação geral para
casos com grandes deformações e contato com atrito. 0 problema de
contato é considerado em duas direções locais: na direção normal à
interface impõe-se a condição usual de que o material em
processamento não pode penetrar na matriz. Já na direção
tangencial, as forcas de atrito são formuladas através do critério
de deslizamento isotrópico de Coulomb, que tem a mesma forma
usualmente adotada na plasticidade
Um processo de conformação, com análises já efetuadas
por elementos finitos, e que tem aspectos semelhantes com o
desempenamento, é a estampagem de chapas. 0 artigos abaixo abordam
este tipo de trabalho.
10
UJang e EtiCLarisky CóH modelam o processo de estampagem em
formatos arbitrários de pecas, considerando apenas o efeito de
membrana para um material e 1astop1á s t i c c . Germain, Chung e Wagoner
í 27 1, incluem a influência da velocidade de deformação, utilizando
um modelo rígido-viscop1á s t i c o .
Os efeitos de flexão, para os casos axissimétricos, são
incluídos no trabalho de UJang e Tang Cl 7 2 . . Chandra C14D também
considera a flexão e emprega a formulação proposta por McMeeking e
Rice C5H para a construção da matriz rigidez.
A partir deste ponto, a revisão bibliográfica será
dirigida para artigos que tratem especificamente de elementos de
casca aplicados a problemas da elastop1asticidade.
Abayakoon C29D desenvolveu o método de tiras finitas
(finite strip method) para o uso em grandes deslocamentos com
deformação plástica. A vantagem deste método consiste basicamente
em fazer analogia com o comportamento de uma viga, diminuindo a
quantidade de graus de liberdade do elemento. No entanto, as
funções de interpolação do elemento contêm séries de F o u n e r que
precisam ser escolhidas, adequadamente, para cada tipo de condição
de cont o r n o .
Dinis & Owen C15U implementam o uso do elemento de casca
fina conhecido como Semiloof C22D para uma descrição lagrangiana
atualizada. Eles utilizam o modelo da rótula plástica, admitindo
que a plastificação ocorra instantaneamente em toda a seção, e
para isso adotam o critério de escoamento de Ilyushin C2óD,
expresso em função de momentos fletores e tensões resultantes. Os
incrementos de rotação são supostos pequenos e os termos não
lineares das relações deformações-deslocamentos foram desprezados.
Parish C333 estende o uso do elemento de casca de 4 nós,
li
desenvolvido por MacNeal C23D, para os problemas de plasticidade
com não linearidade geométrica. Tanto a integração da matriz
rigidez, como o cálculo das forças nodais são feitos dividindo-se
a casca em diversas camadas de mesma espessura, e calculando-se as
variáveis no ponto médio de cada uma destas A divisão por
camadas, quando se tem deformação plástica, visa permitir a
adequada descrição do seu complexo perfil de distribuição das
tensões. 0 mesmo método de integração por camadas é visto no
trabalho de Yang & Saigal C363.
Nagtegaal e Slater C19D desenvolveram um elemento de
casca fina semelhante ao Semiloof C22D porém com menor número de
nós, simplificando a formulação. A geometria e os efeitos de
membrana são descritos por funções de interpolação lineares, e
isto causa problemas de excessiva rigidez para o cisalhamento de
membrana CóiH Para suplantar esta deficiência, os autores
calculam a matriz rigidez supondo que este cisalhamento seja
constante e igual ao valor calculado no centróide do elemento.
Idêntico procedimento foi implantado por MacNeal C233.
Podem-se encontrar trabalhos com elementos híbridos (C8 D
e [ i1 D), ou mistos C18D, para a área de plasticidade. Atualmente,
no entanto, a sua aplicação se restringe a casos simples. No
levantamento bibliográfico efetuado não se encontram exemplos
utilizados em processsos de conformação.
1.3. Escopo do trabalho.
0 presente trabalho pretende desenvolver ferramentas
computacionais para a análise do processo de desempenamento pelo
método de elementos finitos; abrange, especificamente, a
12
implementação de um elemento de casca fina com não linearidades de
material e de geometria, sem considerar os efeitos dinâmicos. Não
está incluído o estudo do problema de contato.
0 comportamento físico foi descrito através da
formulação lagrangiana atualizada, conforme proposto por McMeeking
& Rice C5D e Kikuchi & Cheng C213. Foi escolhido o elemento de
casca proposto por Nagtegaal & Slater C19D. Na relação
constitutiva foi utilizado o critério de escoamento de Uon Mises,
a teoria incremental de Prandt1-Reuss e encruamento isotrópi ç o .
São apresentados diversos exemplos comparativos para
verificar a validade dos procedimentos adotados.
CAPÍTULO £
S0LUC20 NUMÉRICA DOS PROBLEMAS DA ELASTOPLASTICIDADE
2 . í . Int r oducão.
Apresenta-se, neste capítulo, a -Formulação por elementos
finitos para a solução de problemas envolvendo grandes deformações
plásticas e não linearidade geométrica. 0 trabalho baseia-se nas
formulações apresentadas por McMeeking & Rice C 5 3 .
0 motivo dessa escolha foi fundamentada em dois fatos. 0
primeiro, deve-se aos bons resultados obtidos por Chandra C 143 e
Kikuchi & Cheng C213, quando utilizaram esta formulação na
análise, respectivamente, dos processos de estampagem e ex t r u s ã o ..
0 segundo, porque a formulação permite aproveitar um determinado
programa, existente, de elementos finitos da elastop1asticidade
para pequenas-deformações, deslocamentos e rotacoes. Para ta.
necessitam-se pequenas adaptações que serão mostradas no decorrer
do capítulo.
0 método utiliza 0 princípio v a n a c i o n a l , incremental,
dos trabalhos virtuais apresentado por Hill C34 3. Na secão 2.2 é
visto que este princípio é convertido em termos dos tensores
escolhidos para exprimir a relação constitutiva.
As equações de equilíbrio são obtidas através da
descricão lagrangiana atualizada.
2.2. Equações de equilíbrio.
0 deslocamento de um corpo sujeito a esforços externos
pode ser representado por
i 4
x = x (X , t ) ,
onde t representa o tempo, e X a posição de uma partícula X em
relação a um sistema de referência fixo e ortonormal.
conf iguração
Figura 5 - Definição das configurações para à descrição lagrangiana atualizada
A trajetória do carregamento é obtida acrescentado-se
sucessivos incrementos de carga ao corpo sólido, os quais originam
a seqüência
correspondente às conf 1 guracoes de equilíbrio, após cada acréscimo
no carregamento.
Supondo-se que sejam conhecidas as soluções até o
instante t, o problema consistirá em determinar todas as variáveis
de estado em t+At, dado ü valor do incremento de carga entre estes
instantes. Chega-se à equação final de equilíbrio procedendo-se da
mesma forma para os instantes seguintes.
As configurações de interesse zerão C , no instanteo ■
inicial t , L't no instante t e em t+At, as quais podem ser
observadas na Figura 5 acima.
Devido à natureza referencial da d e s c n c ã o lagrangiana o
vetor posição X de cada ponto do sólido fica constante durante o
intervalo de tempo Ct,t+Atl!.
No fim de cada intervalo a configuração geométrica, bem
como as tensõès, são atualizadas.
0 princípio variacional incremental, apresentado por
Hill l 3 4 3 , que originalmente é referido à configuração inicial Cotem a seguinte fo r m a :'
(2.1)
em queO( ) representa a derivada da variável em relação ao tempo,
e S° são, respectivamente, o volume e a superfície de
contorno iniciais,, - » , ot e o tensor tensão nominal, nao simétrico, ou 1 tensor de
íe
Piola-Kirchhoff, definido de ta.1 maneira que uma força f porunidade de área da configuração de referência com o vetor
1 ° . o.normal n se expressa por f - n t ;t 1 Cj
b é a força de corpo por unidade de volume inicial; óv representa uma variação virtual arbitrária da velocidade com valor nulo, onde v está especificado, ou seja, em S0 - S° ;T
denomina a superfície de referência onde os vetores tração são especificados.
O próximo passo será definir o tensor taxa de variação de tensão adequado para descrever as propriedades do material» quando sujeito a grandes deslocamentos, sendo desejável que o mesmo seja independente das rotaçSes e deslocamentos de corpo
O
rígido. Como o tensor t não preenche esta condição C34], McMeeking& Rice E53, sugerem o tensor incremento co-rotacional do tensor
Hftensão de Kirchhoff t Cou tensor de JaumannD para a descrição da relação constitutiva. Aqui deve—se ressalvar que o tensor de Jaumann, segundo Simo & Pister C67] è Moss C68], não produz bons resultados em deformaçSes de cisalhamento simples.
A relação entre ambos os tensores é CS]
t . . = t * . - t D . - r., D, . + t v., C 2 . 2 Dtj ij kj ku tk kj tk j,k
em quet = tensor de Kirchhoff,
ávv - Jj.,k dxD = tensor taxa de deformação com,
17
D.<-j [ v . + V 1 , ( 2 . 3 )L >-J J A J
A relação entre o tensor de Kirchhoff e de Cauchy é dada por:
t = J <r . , (2.4)Vj LJ
onde J é a razão entre os volumes do corpo no estado de referência
(isto é no instante t) e no instante intermediário pertencente ao
intervalo C t , t + A t ] .
Verifica-se. que no instante inicial t,
t = <r ;
pois J tem valor unitário no início do incremento. Assim a equação
2.2 transforma-se em:
* *t. ■ = t . . - ■ D. . - D, . + <r , v . . (2.5)ij VJ kj ki ik kj vk j,k
Substituindo-se a expressão 2.5 na equação 2.1, tem-se,
para a configuração no instante t (vide Apêndice 1):
dVt \ ÔD. . --- D, D,. - v, v, .]>• J '-J 2 Y v <-k k j k A
f<5v dS + b ,<5v dV, (2.6)l l. i Vs J V
onde :
*J = volume no instante t,o e
f, b = taxa de variação das intensidades de forca,
respectivamente por unidade de área e de volume
da configurácão em t
A transformação da equação 2.1 para 2.6 foi efetuada
visando o uso direto da relação constitutiva em termos da taxa de
18
variação de tensão. A outra forma possível, e tratada por Hibbitt,
Marcai e Rice Í A 1 ou Gadala C7 1 , seria a conversão daquela relação
deformação que aparecem na formulação variacional da equação 2.1.
2.3. Formulação por elementos finitos
A partir do princípio variacional exposto na equação
2.6, obtém-se a expressão matricial dos elementos finitos.
Inicialmente definem-se as equações de interpolação das
ve 1o c idades
constitutiva (2.10) em termos das medidas de tensão e de
(2.7)
na qual
■{ v = vetor da velocidade,
w - taxa de variação dos graus de liberdade nodais,
[ N ] = matriz das funções interpolação,
e
(2.8)
sendo ■{ D }■ o vetor que representa o tensor taxa de deformação.
As matrizes CBD e C N 1 têm a relação
(2.9)
sendo CN ] e [ B. . ] as linhas das matrizes N e B
< 2 . 9 . a )
19
Dij = [ ] W (2 . 9 . b . )
As equações 2.7 e 2.8 seguem diretamente da extensão das
equações matriciais existentes para as formulações de pequenas
deformações. A matriz C N ] expressa ■{ v em termos da taxa de
variação dos graus de liberdade nodais, e C B U, a matriz da relaçãoo
entre Cv3 e 3 (taxa de variação das deformações).
As matrizes N g B elemento de casca escolhido para d
presente trabalho estão apresentadas, em detalhes, no Capítulo 4.
Tendo em consideração as equações 2.7 e 2.8, e a relação
constitutiva expressa por (í 3 U ,[53)
Cr*3 = [ C ] CD} , (2.10)
a parcela J r ^ ^ D d V do primeiro membro da equação 2.6 será dada
por
{4 }T [ k, ] { r } - [ J v M T [c] [b] dv ] { r } , (2.11)
em que
Í \ 1 = I [B]T [C] [b] dY (2 .12)v
é a matriz rigidez das pequenas deformações e deslocamentos.
Qs demais componentes de 2.6 são dados por
o T o p
\ 6 V \ [ k J M = J [ 4 vtl ^ - s *Dki Btj ]dV
(2.13)
onde [ Ko] é a matriz rigidez da tensão inicial.
20
A utilização das equações 2.7 e 2.8 na expressão acima
resu1 ta em:
[ K j = { ([ N j A ^ [ Nk] 3 - 5 [ B j % [Bkj]] dVV
(2.14)
Os termos correspondent es ao trabalho incremental
externo (segundo membro da equação 2.6.) são expressos por:
O p T o p T o= J [ N ] M dU + J [ N ] dS (E. 16)
v sT
2.4. Atualização das tensões.
No procedimento incremental, objetiva-se obter os
valores das tensões no instante t+At conhecendo-se de antemão os
tensores tensão de Cauchy no instante t. -
0 valor dos componentes da taxa de incremento de tensão * ~(T ) é conseguido valendo-se da relação constitutiva representada
pel a equação 2.10:
T * = C kl D k f vj vjkl kl
* ^Os componentes de t são relacionados com os incrementos
de tensão de Cauchy, referidos ao sistema fixo de coordenadas
cartesianas,- da seguinte forma:
*T = <J". . - W <r . + <r u . .+ <r. . D, , (2.16)
>. j vj \.k kj vk kj <-j k k
com W.. = — £v - v 1 <-j 2 L <- j j a j
conforme mostra Kikuchi C213./w oA partir da equacao 2.17 determina-se . que é o tensor
21
taxa de variação do tensor de Cauchy. A atualização do tensor de
Cauchy é feita da forma C 5 4 D
<t+Al> <t><r = <r + A<r (2 17)
em que A<r = Ái
2.5. Integração da' matriz rigidez.
A integração da matriz rigidez é feita 'por meio de dois
métodos diferentes
Para as direções s , ~0, ou seja na supefície média da
casca, emprega-se a técnica de integração da quadratura de Gauss
com 2 x 2 pontos C19D.
Já na direção normal, divide-se a casca em camadas
paralelas C 19 D,C2 0 U,C3 2 2 ,C 333; com o Jacobiano admitido como
constante ao longo da espessura.
A motivação para o tratamento diferenciado vem da
necessidade de modelar adequadamente a complexa distribuição das
tensões, causadas pela deformação plástica ao longo da espessura.
Em corpos sujeitos à flexão, os pontos de integração de Gauss
ficariam relativamente distantes das fibras mais externas, nas
quais se iniciam as deformações plásticas, e levariam a uma
imprecisão muito grande na integração.
Para os procedimentos de integração, a casca é dividida
em um número par de camadas iguais, conforme mòstra a Figura 6 . As
propriedades físicas no interior de cada uma delas são supostas
constantes e determinadas pelos seus pontos médios.
ü Apêndice 4 detalha a implementação da matriz rigidez.
22
i=n •
i=n-V
z.
superfície média
i = 2 •
i=1 •
Z' 2.n2«i - n - 1
■<
super f íc ie média
exemplo de uma d istribuição de tensões ao longo da camada
Figura 6 - Divisão da casca em camadas.
2.6 Solução numérica do sistema não linear.
A equação matricial que se forma a partir da
2.6 deve ser resolvida por um método iterativo para se
solução aproximada e dentro de uma faixa de
expressão
obter uma
tolerância
23
pr <é-®s t abei©cida. No presente trabalho, foram implementados os métodos de Newton-Raphson modificado e BFGS.
2.6.1. Método de Newton-Raphson.
No método de Newton-Raphson, as «quaçSes de equilíbrio
f ( 2u ) = O, C2. 183
ou seja,
f(2u) = R(2u) - F(2u) , C2.19D
ondeR£2uQ = vetor das forças nodais externas, no final do
Incremento;F = vetor nas forças nodais internas;2u = vetor dos deslocamentos nodais para a
configuração de equilíbrio no final doi ncremento;
sSo expandidos em séries de Taylor, obtendo-se [35]
K L 1 Auv = 2R - F '■~1 , CS.aOD
ondeAu^ = uL - uV 4 , C2. 21 D
K v 1 = matriz rigidez; os índices v. & i.-± denotam o número da iteração, os índices i e z indicam, respectivamente, as configuraçSes no início e no fim do incremento.
As condiçSes iniciais da equaçSo acima sSo dadas por
24
F° = *F , C2.22Du° = ‘u , C2.23DK° = KC4uD. C2. 24DA apl i caçSo da expressão 2.20 está, graficamente,
ilustrada pela Figura 7.
Figura 7 - Método iterativo de Newton-Raphson.
2.6.2. Método de Newton-Raphson modificado.
O método de Newton-Raphson modificado diferencia—se do anterior pelo fato da matriz rigidez ser atualizada apenas no início de cada. incremento. Neste caso, a expressão 2.20 deverá, ser alterada para
25
K ° Au = ZR - F V_1 (S. 25)
A Figura 8 mostra a representação gráfica deste método.
Figura 8 - Método de Newton-Raphson modificado.
2.6.3 Método B F G S .
0 método BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) é
semelhante ao Newton-Raphson e por isso considerado, por Bathe
C353, como um método quas i - N e w t o n i a n o . A principal diferença entre
ambos consiste na forma de atualização da matriz rigidez, como
pode ser verificada pela equação 2.28 abaixo.
Os procedimentos iterativos do método BFGS foi
implementado segundo o algoritmo apresentado por Matthies & Strang
26
[Í0H que tem os seguintes passos:
A) São dados os valores iniciais para a iteração v ;2 >.-1u = vetor dos deslocamentos nodais,2 Í . - 1K = matriz rigidez,2 _ L - á .F = vetor das -Forcas nodais ■ internas,2R = vetor das forcas nodais externas;
com o índice 2 denotando o valor de uma variável no final do
in cremento.
Calcula-se, neste passo, a direção de procura
v-if 2_ 2_L-1 (2.26)f2*-1] í 2r - 2f
M °sendo K o inverso da matriz rigidez no início do incremento
B) Determina-se, aqui, o vetor dos deslocamentos nodais
u" = u1'1 + s d (2.. 27)
0 parâmetro s é calculado iterativamente segundo o
método conhecido como "line search" C10H e será explicado a
se g u i r .
C) Calcula-se, por ultimo, a matriz rigidez ( K-) para a
próxima iteração, para isso, a matriz deve ser atualizada de forma
que
2. vi. i.K 6 = y , (2.28)
com
= u - u v_1 , . ( 2 , 2 9 )
r = F' - FV" \ <2.30)
e retorna-se ao passo inicial para uma nova iteração.
A interpretação geométrica da equação 2.29 corresponde a
uma aproximação da solução por secante A Figura 9 ilustra a
aplicação em problemas com um grau de liberdade, adotando-se o
valor unitário para o parâmetro s.
□ método "line search" tem como finalidade acelerar o
processo iterativo Consiste em procurar, ao longo da linha
u = u + s .d , variando-se o parametro s, por uma solucao tal
que
dT. (‘R - F") S 0 (2.31)
27
Isto equivale a satisfazer à desiguladade
,T 2 _ 2 — i. , T 2 2 — v - ld . ( R - F ) < st o 1 • d . ( R - F ), (2.32)
para uma tolerância (stol) pré-estabelecida.
A atualização da matriz rigidez é efetuada da seguinte
maneira
em que
( )l - l
£ I + w. vT J ZK-1 [ I + v. wT } ,
(2.33)
TX 1- vó y
1 / 2
& ZK ~i ô '
K ô - y
(2.34)
28
<5V
<5V<2.35)
Figura 9 - Método B F G S .
Para se evitar cálculos com matrizes mal condicionadas,
a mat riz atualizada só é utilizada na iteração seguinte quando o2 , - inumero de condicionamento c da matriz K , dado por
i /2<SV
<5C z K i ~ i 6 Í
( E .36)
seja menor que um determinado valor (10J por exemplo)
A convergência da solução depende do valor da tolerância
STÜL, que deve ser suficientemente baixa, e da possibilidade de
utilizar a matriz rigidez atualizada em todas as iterações C10H.
Mas isto nem sempre é possível, visto que o valor da tolerância
STOL não pode ser muito baixa, sob pena de exigir um número
proibitivo de iterações; além disso, como foi visto acima, a
utilização da matriz rigidez atualizada depende do número de
condicionamento da mesma.
2.6.4. Comentários sobre os métodos iterativos.
A presença da deformação plástica requer algumas
consideracões sobre os métodos de resolução, conforme mostra Bathe
C35U .
ü método de Newton-Raphson, por exemplo, será
problemático em materiais perfeitamente plásticos, pois a matriz
rigidez poderá tornar-se ou singular ou mal condicionada.
0 método de Newton-Raphson modificado, onde se atualiza
a matriz rigidez apenas no início de cada incremento, poderá
suplantar o problema anterior. No entanto, a velocidade de
convergência poderá ser muito lenta.
0 problema, comum aos métodos Newton-Raphson modificado
e BFGS, caracterizado pelas respostas tendendo a divergir, surge
quando ocorre um aumento súbito da matriz rigidez que é mostrada
pela trajetória B-C da Figura 10 C 35 H . Fisicamente, a passagem do
ponto B para o ponto C, corresponde à mudança do estado plástico
para o elástic.
Segundo Chen C563, o método BFGS não apresenta as
29
3
dificuldades relatadas acima, embora Matthies & Strang C10D mostrem
que existem limitações que podem levar a soluções não
con v e r g e n t e s . Estas limitações são comentadas no final do item
2.6.3.
30
fo r ç a
Figura 10 - Gráfico de um ensaio de tracão simples paraexemplificar um caso que pode apresentar problemas de convergência.
2.7. Critério de convergência.
A convergência da solução, para um dado incremento, é
controlado pelas expressões C36D
N
.2 o nV = 1
N
1/2
- Tolerância, (2.37)
31
utilizada para controlar as forcas nodais, s
N
v = 1
1 K í '
1/S
- Tolerância, ( S . 3 8 )
utilizada para controlar os deslocamentos nodais. Nestas
expressõesr .= forca residual no no , representa a diferença
entre a forca externa e a forca aplicada pelo
elemento ao nó (forca interna),
= forca externa que está sendo aplicada no
increment o ,_ rVQ = incremento de deslocamentos da iteração r,
= incremento acumulado de deslocamentos até a
iteração r .
CAPÍTULO 3
RELAC20 CONSTITUTIVA
3.1. Int roducão .
Neste capítulo, apresenta-se uma relação constitutiva
para materiais que atuam no regime e 1astop1ástico, acompanhado de
não linearidade geométrica.
Tem-se, na parte inicial do capitulo, a escolha da
relação constitutiva infinitesimal, particularizada para o estado
plano de tensões. Sao, também, efetuadas hipóteses sobre as
características de p 1astificacão do material.
A seguir, é feita uma generalização da relação
constitutiva infinitesimal, co*nforme a proposição de Hutchinson
C 3 3 e McMeeking & Rice C 6 3. A finalidade é de adequá-la aos casos
com não linearidade geométrica.
Finaliza-se o capítulo com um método de integração da
relação constitutiva, proposto por Hinton e Üwen Í573.
3.2. Relação constitutiva infinitesimal.
A relação constitutiva escolhida, conforme mencionado no
Capítulo 2, é uma extensão dos casos da plasticidade
infinitesimal, em que os deslocamentos, as deformações e as
rotações devem ser pequenos.
0 modelo, aqui adotado para o caso infinitesimal, segue
a teoria clássica da plasticidade, que é apresentada por inúmeros
autores como Cook CólD, Bathe C553, Chen C563 e Malvern [593.
As hipóteses admitidas s ã o :
33
a) relação constitutiva independente da velocidade de
deformação,
b) critério de escoamento de von Mises,
c) lei de escoamento de Prandt1-Reuss,
d) exclusão do efeito Bauschinger,
e) encruamento ísotropico.
Essas hipóteses são geralmente utilizadas no modelamento
de materiais metálicos. Sheppard e Roberts C51U, por exemplo, as
aplicam na análise de flexão alternada de chapas metálicas.
3.2.1. Critério de escoamento de von Mises
é a hipótese comumente aceita para determinar o início
de escoamento de metais C57H. Nesta admite-se a passagem para fase
plástica quando uma combinação de tensões, expressa pelo segundo
invariante do tensor desviador, atingir um determinado valor K:
f (<r = V3 - V 3 K ( M = 0 (3.1)
onde
f = função escoamento,1
S. . . S. .= segundo invariante do tensor deviatórico2 d >-J <-J
de tensões de Cauchy,
S. = <r. . - <5 = tensor deviatórico, (3.2)v J t j m m I J
K = parâmetro do material, que expressa o valor a partir
do qual este passa para a fase plástica,
k - parâmetro de encruamento.
0 valor de K é associado ao da tensão de escoamento ( O ,
pela expressão
r = V 3 K (3.3)
34
onde o valor de é obtido experiuientalinente através de ensaio de
tração simples e corresponde ao limite de escoamento.
3.2.2. Equacoes de Prandt1- R e u s s .
0 comportamento durante o escoamento plástico é definido
por
p % & fdí\j = dX - * r ( 3 -4 >
0 gradiente de f define a direcio do incremento da
deformação plástica e d*- a sua intensidade.
Durante o processo de deformação plástica , a condição
mostrada pela equação 3.1 deve ser obedecida.
Admite-se que o material apresente encruaménto
ísotrópico, isto é, que a superfície de escoamento definida por
f = 0 mantém seu formato, e que sua expansão depende do grau da
deformação plástica, definido pelo pari ~ ~ encruamento k.
3.2.3. Relação constitutiva elastop1ásti c a .
A determinação da relação constitutiva elastop1ástica
advém da hipótese adicional de que a deformação total
infinitesimal pode ser representada pela soma da parte elástica
com a p 1ást i c a :
<p > <«>tis = tis + tis ( 3 . 5 )
ou seja;
-i_ < e > , a f
tis = c . d«- + d*- . -- , (3 .6 )
em que
35
-í<e> _<e>= C . d<r , (3 . 6 . a )
ou ainda:
_<©> <©>d«" = C ( 3 . ó . b )
/-e ~ com o tensor representando a relacao constitutiva na fase
elástica._ , ~ _<s>t-azendo-se a p r e-mu 11 i p 1 i c ac ao de (3.6.) por C
chega-se à equacao:
roXAl-
s<e> <m _(©> , c r fd <r = C d^ - C —jfc-- . (3.7)
A funcão escalar d*- é determinada pela condicão de
consistência, definida por df = 0. Aplicando-se esta condicão na
equação 3.1 tem-se
df df, + -se- d* = 0, (3.5'
ou seja
d /r v j d h
- z — der- - A d ^ = 0 , ( 3 . 9 )ao- lji-J
com
« = - ~dX- - U r "*■ <3 -1® ’
□ valor de A pode ser obtido a partir do ensaio de tracão
simples C57D, C58U:
d^* - (3.11)d £ P
No presente trabalho modelou-se a curva tensão-deforma-
ção na forma simplificada, conforme mostra a Figura 11. 0 parâme-
36
tro A para a curva da Figura il será determinado como segue:
EA = ------^ --- (3.12)
T1 --- F--
Com as equações 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 e 3.12 chega-se à
relação constitutiva el ast op 1 ást ica (C<op>):_<«p>
d<r = C K . és ( 3 . 1 3 )
com .
T
<»>_<ep> _<®>C F = C --------------------------------------------------------------- ( 3 . 1 4 )
Figura 11 Curva tensão deformação (ensaio de tracão simples)
37
3.2.4. Critério de carregamento plástico C5óH.
0 material estando no regime plástico pode, com o
próximo incremento de carga, prosseguir escoando plasticamente ou
passar para o descarregamento elástico.
carregamento neut ro
Figura i£ - Critério de carregamento plástico.
0 escoamento plástico só ocorre (valendo a relaçao 3.14)
quando:
38
1 ) a tensão, no ponto em questão, estiver na superfície
de escoamento; ou seja, quando estiver na condição
estabelecida pela equação 3.1,
2 ) o incremento de tensão estiver apontando para o lado
externo da superfície de escoamento:
com
«•j d«-. > 0 , (3.15)
d fd<r
<?f â fló)
der d<rm n mn
A Figura 12 acima mostra a interpretação geométrica do
critério de carregamento plástico, ü vetor ( dado pela equação
3.16, é normal à superfície de escoamento f = 0.
A condição (3.15) pode ser implementada numericamente da
seguinte forma C56D:
d fà i< r } [ c'"] {i-} (3.17)
Nas demais condicões, a resposta do material é elástica,<©>prevalecendo a relação estabelecida pelo tensor C
3 . 6 . b .
da equação
3.2.5. Relação constitutiva para o estado plano de tensões.
As equações 3.13 e 3.14 são particularizadas para o
estado plano de tensões, adicionalmente são desprezados os
cisa 1 hamentos transversais, pois constitue uma hipótese admissível
para cascas finas:
39
(3. 1 B)
d* 13 £ O, (3.18.a)
Designa-se o tensor C , daqui em diante, como sendo a
relação constitutiva tanto da fase elástica ou aa elastoplástica.
Então a hipótese levantada em (3.18) e aplicada em (3.13) ou
(3.14) se traduz por.
d r0 21
C 1 12 Ic
22
d£\d f ( 3 . 1 9 )
com
d<r
f “N * «VdCr\, Ó£11 ii
CL d^. = d^22 22d£12 1 12 J
( 3 . E 0 )
t i ' C , C , 12 ' 21 ' 22
c c 11 12
c c 21 22
são, respectivamente, as matrizes
dimensões 3 x 3, 3 x 1, 1 x 3 , l x l , obtidas a partir de C
de
ou
e p
com
A condensação da equação 3.19 resultará em, [303
d<ri = C d ^ , ( 3 . E l )
= C - C c -1 C , ( 3 ES)11 12 22 21 '
e : d^33 -C C d£: 22 21 l (3.E3)
3.2.6. Generalização da relação constitutiva
A extensão do uso da relação constitutiva, dada pelas
equações 3.13 e 3.14, para os casos com deformação finita
fundamenta-se na escolha adequada do tensor incremento de
deformação e do tensor incremento de tensão, em substituição aos
utilizados no caso infinitesimal
Antes de se proceder às consideracões sobre a escolha
destes tensores convém observar a hipótese da decomposição linear
utilizada na equação 3.5, Segundo Gadala [71, a sua validade para
os casos geometricamente não lineares, fica delimitada para os
casos onde ocorram
a) deformações quase estáticas e,
b) a componente elástica da deformação seja pequena.
Isto pode ser observado na. deformcão da maioria dos
metais como, por exemplo, o aco-carbono que é o
material de interesse do presente trabalho.
A generalização, aqui escolhida, é feita com o par dual* r*tensor de Jaumann (t ) e tensor taxa de deformação (D), que ja
foram citados no Capítulo 2.
Estes tensores têm a propriedade de ser independentes
das rotações de corpo rígido, e a matriz rigidez que resulta dessa
escolha é simétrica.
A relação constitutiva fica, então, definida por:
* <®P>t . . = C. ... D.. , (3.24)
V J v j k l k l
quando ocorrer carregamento plástico e:
41
quando houver carregamento ou descarregamento elástico.
3.3. Integração da relação constitutiva.
A verificação das equações de equilíbrio que aparecem
nos processos de resolução numérica requer o conhecimento do
tensor de Cauchy no final do incremento.
0 procedimento é relativamente simples quando o material
está em carregamento ou descarregamento elástico; para isto
utiliza-se a equação 3.25 na sua forma incremental:
. * < e > .Ar = C. ... An , ( 3 . 26)\.J v j kl kl
*
com A t vj pode-se atualizar o tensor de Cauchy conforme foi visto
no Cap ít ulo 2.
No regime plásfico, no entanto, exige-se a integração da
relação constitutiva para ter-se em conta a história do
carregamento C353
*Ar1Cd }+CAd 3
lCi>:[ C <SP>] | d D | (3 . 27)
Durante a integração, deve-se obedecer a condição de escoamento da
equação 3.1.
Existem diversas maneiras para fazer a integração de
(3.27); alguns exemplos são os trabalhos de Ortiz e Simo C16D e de
Chen [56D.
Aqui, escolheu-se o método apresentado por Hinton e Owen
11573.
0 procedimento está fundamentado na equação 3.7 na sua
*forma generalizada; isto é, usando-se A t e D.
Como pode ser visto na Figura 13, a forma mais simples
de integração, seria a aplicação direta do valor total D. 0
problema deste processo é que o tensor de Cauchy no final do
incremento ficaria muito afastado da superfície de escoamento,
desobedecendo a condição de escoamento imposta por (3.1).
A2
Figura 13 - Integração da relação constitutiva usando-se um sub increment o .
Uma melhor aproximação é conseguida dividindo-se a
deformação AD em m subincrementos iguais. Este procedimento é
43
ilustrado pela Figura 14.
s u p e r f í c i e de e s c o a m e n t o ( f = 0)
Figura 14 - Método de integração em sub increment o s .
0 número dè sub increment os m para o processo depende
do valor total de tensão efetiva C 5 71.
44
LJ »•j (3.58)
A expressão para o seu cálculo é assim sugerido por
Hinton e Owen C57 1 :
m = 8 £ -------— -- j + 1 , (3.29)y
o ~onde <*" e o valor da tensão de escoamento inicial, y
<r e o valor da tensão de escoamento no início do yincremento.
0 valor final do tensor de Cauchy ( O ainda estará
ligeiramente deslocado da superfície de escoamento, dada por
F = 0.
Corrige-se este afastamento com o uso do fator de
escalonamento R
t+At<r = R . <r , (3.30)
o i+Ai —<r + A Dcom R = --------— --------------- . (3. 31)
<r
t-0 valor de A e definido em (3. 12). 0 índice t, em
(3.28) indica que valor se. refere ao início do incremento. D
corresponde á deformação plástica efetiva:
-, T. d X a <ri+At— i—D = D + ------------------- (3.32)
CAPÍTULO 4
ELEMENTO DE CASCA
4.1. Int roducão
Neste capítulo é apresentado o elemento de casca fina a
ser implementado no presente trabalho Desenvolveu-se o elemento
"Slick" de casca -Fina baseado no elemento de Nagtegaal & Slater
C 19 H . Este faz parte da família dos elementos de casca fina
conhecidos como "Semiloof" C22D.
0 elemento "Slick" distingue-se do "Semiloof" por
utilizar funções interpolação de baixa ordem. Tem, por isto, a
vantagem da maior facilidade de uso e de impeiementa ç ã o ; em
contrapartida, admite apenas pequenos incrementos de rotações.
0 fenômeno da rigidez excessiva para cascas finas
(locking) é contornado com o uso das hipóteses de Kirchhoff
d i sc retizado .
Um problema, à semelhança com o observado por Cook C613
para o elemento "Semiloof", recai na dificuldade para a formulação
dos elementos de interligação.
4.2. Descrição dos graus de liberdade do elemento.
0 presente elemento de casca possui 9 nós, cujos graus
de liberdade, inicialmente nas direções globais, são.mostrados na
Figura 15. Os vértices têm apenas deslocamentos; os demais nós,
localizados nos pontos médios das laterais e no centróide, possuem
graus de liberdade de rotação.
A seguir, por conveniência da formulação, são feitas as
mudanças de bases das rotações para as direções locais <s,t,n),
46
mostradas na Figura 16 Em vista disto, tem-se a configuração
intermediária, ilustrada pela Figura 17, em que se notam as
rotações <£ , ©, , © ), orientadas segundo as direções locais, s t n
w
Figura 15 - Graus de liberdade segundo as direções globais, antes das mudanças de base.
Nas etapas subseqüentes dos cálculos, as rotações © en
47
9 dos nós laterais assim como as rotações 9 , 9 ^ 9 <jo t s t ncentróide são eliminadas em funcão dos demais graus de liberdade.
Disto resulta, finalmente, na configuração dos graus de
liberdade, independentes, do elemento Slick conforme mostra a
Figura 18; deve-se ressaltar que foi adotada uma convenção de
sinais para as rotações 9^ segundo a qual o sentido positivo é
apontado para o nó do vértice adjacente de maior numeração
As explicações e justificativas para os procedimentos
acima serão apresentadas no decorrer do capítulo.
Figura ió - Bases do elemento
48
iw
^ _ nos com graus de liberdade de deslocamentos segundo as
direções globais
Q — *dem, de rotações segundo as direções locais
Graus de liberdade independentesa) deslocamentos u,v,w dos nós i, 2, 3 e 4;b) rotações © s dos nós 5, 6, 7 e 8.
Graus de liberdade dependentes;a) rotações &. e © dos nós 5, 6, 7 e 8 ;t. T*>b) rotações & , ©. e e do nó 9 .8 t n
Figura 17 - Graus de liberdade, dependentes e independentes, do element o .
49
Figura 18 - Graus de liberdade do elemento.
4.3. Matriz da relação deformação/graus de liberdade n o d a i s .
0 objetivo desta secão é expor os principais passos que
serão necessários para a obtenção da matriz B da relação
deformação/ graus de liberdade nodais
50
A deformação que se expressa por l ô í D
(4.1)
onde
w
[ B ]
{ -
vetor deformação,
matriz da relação deformação/graus de liberdade n o d a i s ,
vetor dos graus de liberdade do elemento,
é calculada nos pontos de integração, segundo as respectivas bases
locais mostradas na Figura 16. Os componentes de £ serão denotados
por
{ * }
£ e£
rttat
(4.2)
Qs efeitos de membrana e de flexão são analisados
separadamente, admit indo-se que
£Oss — S 9Cs s
£Ott - 3 s*cttY' Osl - ? 9Cai
(4.3)
onde :
£ n e t são as deformações devidas aos efeitosOss Otl Oelde membrana,
, 9Ktl e são as variações de curvatura causadas
pela flexão da casca;
9 é a cota medida segundo a direção local perpendicular
à superfície média.
51
Assim, a matriz B poderá ser decomposta em
W -[ ■ ]{-} -(4.4)
c om1Oss
Otl
l OSl J
[ B „ ] { d } ■ ‘ 4 5 >
r ss
I I = [ 3-- j {d} <4 6)3Cst
Em resumo, os pontos essenciais para se chegar à matriz
B são a obtenção de s , , £ n . , 9C , e S*C qye serão088 Otl OSl 98 tt Simostrados nas seções seguintes. Os apêndices 3 e 4 apresentam a
implementação dessa matriz.
4.4. Descrição da geometria.
Trata-se de um elemento í.soparamétrico, cuja geometria é
estabelecida através dos quatro nós dos vértices, como mostra a
figura 18.
Os pontos pertencentes à superfície média da casca são
localizados através da expressão
x = E <A xv , (4.7)L= 1
onde as funções de interpolação <t> são expressas por:
<t>± = — 2j— < 1 - Ç > < 1 - T7 ) ,
4>z = — J- ( 1 + Ç ) <1 - 7?) , (4.8)
<1 + ? > <1 + V) ,
52
4> - — :— (1 ~ Ç ) (1 + Tf) .4 ±A.
As coordenadas naturais í e T) estão contidas no intervalo C-1,+13.
4.5. Determinação das bases locais.
Nos modelos de placas e cascas prevalece o estado plano
de tensões, onde a tensão de tração na direção normal à superfície
media é considerada desprezável. Tal fato está embutido na relação
constitutiva, que foi vista na secão 3,2.5 do Capitulo 3.
As bases locais para o cálculo das tensões e deformações
sao determinadas em funcão das considerações acima, ou seja, um
dos seus vetores deve ser perpendicular à casca.
Particularmente, este tipo de elemento, que apresenta um
campo de deslocamentos descritos por funções bilineares, requer um
cuidado adicional quanto à escolha das direções tangenciais
referentes às bases locais C22H, C233. Devido ao tratamento a ser
dado para as deformações de membrana y , considerando-asxyconstantes ao longo do elemento, as bases serão definidas de forma
tal a serem aproximadamente paralelas às suas laterais.
0 primeiro passo para a definição dessas bases locais
será a obtenção da base localizada no centróide. Uma escolha
natural dos vetores unitários, aproximadamente paralelos às
laterais, poderia ser
d x~â~ F« = --------------- (4,9)
~ã“ ç
e
53
â T) â x
~à~!T
õ x(4.10)
onde
d x4-[ X 4- X - X2 3 * - x <] (4.11)
d xa r)
1 r"T~ L
x + x - x - x "! 3 •* 1 2 i (4.12)
são obtidos a partir da equação (4.7).
No entanto, estes vetores geralmente não formam bases
ortogonais, pois os elementos podem ter um formato não retangular.
0 método utilizado para contornar este problema é o de construir
uma base ortonormal que forme ângulos iguais em relação aos
vetores a e b , conforme ilustra a Figura 19.
0 objetivo exige uma etapa intermeaiária de cálculo da
bissetriz « e sua perpendicular 6 :
a - a + b (4.13)
fi = a - b (4.14)
Finalmente obtém-se os vetores da base local
V e a. p ]■ (4.15)
54
tVÊ
cx
ot(4.16)
n =a k b|a x b (4.17)
Os vetores acima determinam a base local no centróide.
Se o elemento for plano, as bases locais nos pontos de integração
serão coincidentes com a do centróide; caso contrário, a
determinação do sistema local se faz na seqüência descrita abaixo.
Figura 19 - Base local (s,t) do centróide
55
□ vetor normal n ' , no ponto de integração, é calculado
segundo a equação (4.i7).
Os demais vetores (s , t, ' > requerem uma mudança de base
através do tensor T, aplicados, respectivamente, e m s o t :
s ' = T . s, (4.18)
t ' = T . t (4.18a)
com
T ’= e ® e + e ' ® e + n ® ni i 2 a
n * ne = ---------------- , (4.20)
I n x n ' I
= n H e i , (4.21)
' = n ' k , (4.22)
em que o símbolo ® indica um produto tensorial.
Pode ser verificado que o tensor T rotaciona os vetores
s e t , da mesma forma que rotaciona o vetor n, de maneira a ter
n ' = T n (4.23)
4 . 6 . Campo de deslocamentos
0 campo de deslocamentos no interior de um elemento é
determinado através de seus deslocamentos nodais u. e das funçõesiinterpolação apresentadas na equação (4.8), ou seja
4.7. Deformações devidas aos efeitos de membrana
As deformações são determinadas em relação às bases
1 ocais
Determinação de eOss oit
As deformações & s ^ têm as seguintes definiçõesoss ott
com
Oss < 4 .
Olt (4.26)d t
u = <p u ° s 3 1 1 (4.27)
<p u o t, 1 1 (4.28)
As derivadas em relação a s e t são dadas por C223.
d 4>
d <p d t
d Ç
* ? d t
d 7?
à T7 d t
d 0 “ T
v
(4.29)
onde
57
à Ç d 77
à V à t
(4 . 29.a )
inverso do jacobiano, que é expresso por
à Ç
d sà -0
d <- d - k
d td 77
(4.30)
c om
à Ç = s •d x
~à~T d 77(4.31)
d xd t d n
d xà Ti (4.32)
En t ão
055d 4>.
d sU O si (4 . 33)
ottd <p
à t
u o t (4.34 )
4.7.2. Determinação do cisalhamento YOst
Conforme relatado por Nagtegaal E221 e MacNea1 í 2 3 1 , o
elemento torna-se excessivamente rígido se Y , for calculado nosO s t
pontos de integração. A recomendação para contornar o problema
consiste em determinar esta deformação no centróide e considerá-lo
58
como sendo constante em todo o elemento.
Assim:
r a 4>c d 1C t = e-*oet = [ - r r - s° + ~ã~ir~ x ° J - v ( 4 - 3 5 )
onde o índice c denota que a deformação é calculada no centróide,
e cujo valor é utilizado em todos os pontos de integração n.
4.8. Efeitos de flexão.
Os efeitos de flexão são calculados a partir das
rotações dos nós 5,6,7,8 e 9 que, por sua vez, estão acoplados aos
efeitos de membrana manifestados através dos nós i a 4.
As rotações dentro do elemento, segundo as direções
globais, são dadas por
p
® = E V. e. , (4.36)i = Of
onde os são funções interpolação quadráticas completas da
forma:
V <Ç,t?) = a. + b Ç + c. 7? + d. Ç 2 + e. Ç 7? + f. r ? ,j J J J «J J( J
Os coeficientes a^, f , das equações acima,
foram determinados por Nagtegaal de tal forma que o elemento possa
representar, exatamente, os estados de curvatura constante que,
por sua vez, se originam do campo de rotações variando
1inearment e .
0 autor considerou ainda uma condição adicional para as
rotações em cada nó lateral j :
59
J
p i
-© ■ = — | 2 (X ' r } ) e ± d lj - ( 4 -37)
L k= 5 J
com L. sendo o comprimento do lado j .J
Então, os correspondem aos valores médios das
rotações calculadas ao longo dos L Isto assegura uma
continuidade C1, generalizada, entre os elementos vizinhos.
Assim as funções interpolação serão as seguintes:
, r>) = - - f - V - - J f - Ç2 - -n + i5 ç v , (4.38)
= - ± - ç - Ç 2 - -yf- T72 + ^ Ç 77 , ( 4.39 )
<?,*>> = T ) ----Ç2 + ~y|- >?2 - êg Ç ^ , (4.40)
V Ç . T 7 ) = - Ç + - l l " Ç 2 " ~ I d T ^ ~ i < * Ç 7 1 ■ ' < 4 4 1 >
V' (Í,t?) = 1 - Ç2 - - 7- V2 . (4.42)
Os coeficientes, e^ e e^, dependem da geometria de cada
elemento e procedimentos para seu cálculo estão na referência
C 19 3 .
4 8.1. Cálculo das rotações segundo as direções t e n <0 e & ) .t n
Os elementos Slick e Semiloof utilizam, entre outros, o
conceito do sólido degenerado em casca de Ahmad et alli C3Í.3.
A "casca degenerada", quando fina, tem o problema de
travamento, causado pelo aparecimento da energia espúria de
cisalhamento C553.
60
Este problema pode ser contornado, utilizando-se o
artificio de ignorar a matriz rigidez relativa à energia de
cisalhamento transversal. Contudo, torna-se necessário o uso das
hipóteses de Kirchhoff discretízadas para substituir as equações
que são perdidas com a eliminação daquela matriz rigidez C553.
No presente caso, as hipóteses de Kirchhoff
d i scretizadas estabelecem que a variações de curvatura, calculadas
a partir do campo de deslocamentos da equação (4.24), sejam iguais
as rotações dadas pela equação (4.36).
Entretanto, a baixa ordem das füncões interpolação do
campo de deslocamentos, não permite considerar que as igualdades,
mencionadas acima, sejam válidas em qualquer ponto da casca
Em vista disso, Nagtegaal & Slater C19Ü, selecionaram os
pontos do elemento, onde se pode impor as hipóteses de Kirchhoff
discretizadas, conforme as seguintes ponderações:
a) um elemento plano, ou seja uma placa, deve ser capaz
de representar um campo de variação de curvatura constante.
Salienta-se que os autores justificam o uso do elemento plano,
devido ao fato que as cascas vão se tornando planas, à medida que
se refina a malha.
b) uma placa, estando sujeita ao campo de variação de
curvatura constante, terá rotações variando linearmente e, por
conseguinte, deslocamentos variando quadratícamente,
c) supondo-se, então, que os deslocamentos nodais dos
vértices do elemento coincidam com um campo, existente, de
deslocamentos variando quadraticamente, pode-se afirmar que as
rotações, nos pontos médios das laterais, segundo as direções t
mostradas na Figura 20, serão coincidentes com a variação de
curvatura calculada a partir da equação (4.24).
A afirmação acima resume-se na equação
61
j* d tp
©, = - E ----:— — u ° n J , (4.43)l = i d 5 1
onde os índices j indicam que os valores são calculados nos
locais <Ç.,7?.) onde estão os nós laterais.j j
As rotações segundo as direções normais n , mostradas na
Figura 20, precisam ser consideradas, quando se modelam
superfícies curvas C55D. Segundo Nagtegaal & Slater C19D, estas
rotações podem ser obtidas, com precisão quadrática, utilizando-se
a seguinte equação:j
■i à 4>e = £ ------— u o tJ (4.44)n . _ i
Figura 20 - Base local para um nó lateral j.
Formalmente, as equações (4.43) e (4.44) representam
equações de restrição, permitindo que os e 6 sejam eliminados
62
em função dos graus de liberdade de deslocamentos uV
a) Convenção de sinais à nível de estrutura: o sentido posit ivo é apontado para o nó do vértice vizinho com maior numeração global.
b) Convenção de sinais para o elemento: sentido positivo apontando para o nó do vértice vizinho de maior numeraç ão
Figura 21 - Convenção de sinais
As rotações nas direções locais s são os únicos graus
de liberdade independentes. Na implementação do elemento é
introduzida uma convenção de sinais, estabelecendo o sentido
positivo de rotação. Tanto a nível de elemento, quanto a nível de
estrutura, se convenciona que o sentido positivo aponta para o nó
do vértice adjacente com a maior numeração, conforme mostra a
Figura 21.
4.8.2. Eliminação dos graus de liberdade do centróide.
Os graus de liberdade existentes no centróide poderiam
ser mantidos independentes. No entanto, os autores preferem
considerá-los dependentes em relação aos demais graus de liberdade
dr? rotação.
As relações de dependência são determinadas,
projetando-se as rotações segundo as direções da base local do
centróide. Cada um dos componentes t e m o seguinte equac 1 onamento:
63
p S = - L - (3 + 3 eB - e5 - 07 ) = s , (4.45)
© ° t = -4— ( 3 0 4 - 3 0 - 0 - 0 o t , (4.46)S» 4 5 7 «S O
10 o n = --- ( 0 + 0 + 0 + 0 ) o n (4 4 7 )P 4 5 <5 7 0
Segundo Nagtegaal & Slater, este tipo de condensação
permite ao elemento, que possua o formato retangular, representar
corretamente a campo de variação linear da flexão nas direções
nat urais s e i ?
4.8.3. Determinação das variações de curvatura SK , 9*C e 3K .s s t i s i
As variações de curvaturas 2£ , 9*C s 9C 5ão expressass s t t s t
em funcão das rotações nodais, globais, ^ conforme as e quações:
64
^ n â iu9C = y - ------------- i— t n o e. , ( 4 . 4 8 )
** A . ^ JJ = s C' 5
s> - n<3 fX . = ) ----- --- s" ° 0 (4.49)í 1
f?Cs t
■ i d t-
a ^<7 y j a y /
- 1J = 5
j n J . T — S - ---- z:-------— t
à t e , (4.50)J
cujas deduções são mostradas no Apêndice 2.
As expressões acima não podem ser utilizadas diretamente
na equação (4.3), que é o objetive -final. Para isso é preciso:
a) mudar as rotações para as respectivas direçõesJ J J c c clocais (s , t , n ) e (s , t , n ) mostradas na Figura 16;
b) utilizar, em seguida, as equações (4.43) a (4.47),
para eliminar os graus de liberdade dependentes.
0 Apêndice 3 mostra, detalhadamente, a implementação dos
procedimentos acima.
CAPÍTULO 5
5.1. Introdução.
Os exemplos resolvidos -Foram escolhidos para testar as
características dos elementos, tanto em aplicações lineares como
nos c a 5 o s com não 1inearidades Procurou-se os problemas com
soluções, analíticas ou numéricas, fornecidas por outros autores.
5.E. Casos lineares.
5.5.1. "Patch test".
A finalidade destes testes é verificar a capacidade de o
elemento descrever, exatamente, os estados de deformação
constante, mesmo quando os elementos estão arranjados de forma
distorcida. Estes indicam se os resultados numéricos convergem
para a solução exata, à medida que se refina a malha.
0 teste foi montado como sugerido por MacNeal & Harder
Í 6 2 3 . A Figura EE mostra a geometria e as propriedades elásticas
do mat erial .
Os estados de deformação, tanto para os efeitos de
membrana quanto para os de flexão, são impostos através das
condições de contorno de deslocamento aos nós externos.
Para os efeitos de membrana, impõem-se os deslocamentos
dados pelas expressões-3u = 10 °(x + y / £ ) , (5.1)-3v = 1 0 ° (y + x/2 ),
cujos valores são mostrados na Figura 23.
RESULTADOS NUMÉRICOS
66
Coordenadas dos nós
Nó X Y
1 0, 04 0 , 022 0 , 18 0, 033 0 , 16 0 , 084 0 , 08 0 , 08
Dimensões :a = 0 , 1 2b = 0,24
espessura = 0 , 0 0 1
Dados do material.Módulo de elasticidade (E) = 2,1x10° Coeficiente de Poisson ( v ) = 0 , 3
Figura 22 - "Patch test": geometria e dados do material.
Figura 23 f- "Patch. test": condições de contorno paratestar efeitos de membrana»
G.
= 7,2x10cS
w =0,0
w = 5,04 x 10,-5
ô = © = 2,7 x10___y ____
-4
X
w = 2,88 x 10'5
Figura 24 - "Patch test": condições de contorno paratestar efeitos de flexão.
por
68
A solução exata , para esta condicão de contorno, é dada
<r = 1333,0X X
= 1333,0 (5.2)
<r = 400,0x y
Para os efeitos de flexão, impõem-se os deslocamentos e
rotações calculados segundo as expressões
— 3 2 2 w = 10 “ ° íh + x y + y ) / 2 ,
& w — 3© = .^ = 1 0 °(x + y/2 ) , (5.3)x <7 ^
Sy = ‘ T T = 1 0 ~3 ° (-x - y/2 ) ,
cujos valores nodais são mostrados na Figura 24.
Os valores exatos das tensões nas fibras externas da
placa, devido as condições de contorno acima, são dados por
o- = - 0.667 ,X X
<r = - 0 . 667 , (5.4)yy
= - 0.200 .x y
Os resultados obtidos são resumidos na Tabela 1 em que,
para cada tipo de carregamento, é mostrado o nümero de dígitos
concordantes com a solução exata.
As soluções dos problemas acima foram efetuadas, com
precisão dupla, no computador IBM 3090 instalado na COMPANHIA
SIDERÚRGICA PAULISTA.
Levando-se em conta a situação desfavorável representada
69
pela grande quantidade de operações matemát 1 cas necessárias à
obtenção da matriz rigidez dos elementos, pode-se considerar que
a precisão obtida foi satisfatória.
Tipo de carregamento precisão (número de dígitos)
tracão 8
cisalhamento de membrana 8
fl.exão pura 7
t orcio 8
Tabela 1 - Resultados do "Patch test".
5.2.2. Placa quadrada.
Ü 5 testes foram efetuados para uma placa quadrada com
carga distribuída ou concentrada, e condições de contorno do tipo
apoio simples ou engastado. Foram utilizadas malhas regulares.
As figuras 25 e 2ó mostram a caracterização do problema.
Dada a simetria do exemplo, modelou-se apenas um
quadrante da placa, aplicando-se um quarto do valor da carga
concentrada ( P / A ) .
□s resultados obtidos foram confrontados com as soluções
analiticas apresentadas por Timoshenko CÓ5H, que são mostradas na
Tabe1 a 2.
Gs gráficos da Figura 27 mostram as comparações dos
resultados numéricos obtidos com os dados da tabela acima,
usando-se deslocamentos normalizados. Por meio destes gráficos,
pode-se avaliar a convergência das respostas, a meaida que se faz
o refino da malha de elementos finitos.
70
Carregament o Condições de cont orno
deslocamento vertical no ponto central (w )
A
cargaconcent rada (P)
apoio simplesP
0,0116°- -gL = 2,07872 x 10- 3
engastado 0,0056°-'-p.-1" = 1,00352 x i0 ^
cargadistribuída ( q )
apoio simples q l 4 -5 0,004065--- õ-- = 1-319776 x 10
engast ado q -L - 60,00126°-- --- = 5,6448 x 10D
Observação: D = ------------ P-- (rigidez à flexão de placas)1 2 . ( 1 - v )
h = espessura da placa
Tabela S - Resultados analíticos de Timoshenko C653.
Todos os exemplos da placa quadrada apresentaram uma boa
taxa de convergência; podendo-se considerar que, a partir da malha
de 8x8 elementos, as respostas já são muito próximas das soluções
analíticas.
71
Tipos de carregamento
comprimento lateral (L) = 200,0
espessura (h ) = 0 , 0 1
s>modulo de elasticidade (E) = 3,9x10
coeficiente de Poisson (v) = 0,3
carga distribuida (q) = 160,0
Figura 25 - Placa quadrada: geometria e dados do problema
desl
ocam
ento
ve
rtic
al
norm
aliz
ado
72
Y |w:UbVí: O 6 = O
O oIl II d ©
e n g a s t a d o
oo
E
sime'tncoV as 0
e = o APlaca engastada
oh
X
Placa com apoio simples
Figura 26 - Placa quadrada: condições de contorno
num ero de e le men to s por num ero de e lementos por•ado u Ha
Pigura 27 - Placa quadrada: resultados oVtidosc
73
d .E.3. Telhado c i l i n a r i c o .
D tipo de problema, conhecido como telhado de
Scordel 1 5 - L o , foi utilizado por diversos autores (MacNeal & Harder
C62H, Huang & Hinton CÓ33, Bathe C283, Belytschko C301), para
verificar o comportamento de elementos de casca em superfícies com
curvatura simples.
□ exemplo consiste em um setor de cilindro, apoiado em
diafragma rígido nas bordas curvas, livre nas demais bordas e
submetido ao peso p r o p n o . As figuras 28 e 29 mostram,
respectivamente, a configuração e as condições de contorno.
Os resultados obtidos para o deslocamento no ponto médio
do lado livre (borda reta) são mostrados na Figura 30. Os dados do
gráfico foram normalizados em relação ao valor:
w = -0,3024 , (5.5)A
apresentado por MacNeal & Harder 1 6 3 1
ü gráfico da Figura 30 mostra a rapida convergência dos
resultados obtidos, a medida que se progride no refino da malha de
elementos finitos. Com um arranjo de 4 >< 4 elementos, a resposta
já é bem próxima do valor exato.
5.2.4. Cilindro puncionado.
Este exemplo foi modelado por malhas regulares, conforme
mostrado na Figura 3i.
0 cilindro, apoiado nas suas extremidades com diafragma
rígido, é submetido a forcas concentradas diametralmente opostas
que são aplicadas na parte ce n t r a l . As condições de contorno estão
representadas na Figura 32 onde se nota a imposição das condições
de simetria, o que permite considerar apenas um oitavo do
74
c i 1 i n d r o .
Comprimento (L) = 50,0Espessura (h) = 0,25Raio (R) = 25,0
OSngulo <0) = 4 0 , 0Módulo de elasticidade (E) = 4,32xi0BCoeficiente de Poisson ( v ) = 0,0 Carga distribuida (q) = 90,0
Figura 28 - Telhado cilíndrico: geometria e dados do problema
75
Figura
a)
h)
Figura
29 — Telhado cilíndrico: condições de contorno.
Malha2 x 24 x 48 x 8
deslocamento (w )- 0,434314- 0,314738
‘ - 0,304386
30 -Núm ero de elementos por lado
Telhado cilíndrico: a) resultados ohtidosb) gráficos da taxa de
convergência.
76
Segundo Huang e Hinton Có3D, este exemplo e o anterior,
do teto de Scordelis-Lc, servem para testar a existência dos
travamentos (locking) de membrana.
0 resultado do deslocamento vertical, no ponto de
aplicação das tortas foi normalizado em relação ao do Belytschko
CóóH,
w = - 1.8245 x 10 3 . (5.6)A
D gráfico da Figura 33 mostra uma boa taxa de
convergência do presente elemento de casca, emDora seja mais lenta
do que a apresentada no exemplo anterior.
5.2.5. Semi-esfera.
* 0 comportamento em cascas com dupla curvatura foi
testado com o exemplo proposto na Figura 34 que consiste em
aplicar forcas radiais, com sentidos alternados, em cada quadrante
do circulo equatorial de uma semi-esfera.
As condições de contorno estão mostradas na figura 35. Aí
houve a possibilidade de modelar apenas um quarto da semi-esfera
por causa das características de simetria da configuração.
Segundo Belytschko Eóó3, o exemplo presta-se para testar
a habilidade do elemento em descrever rotacoes de corpo rígido.
Além disso £283, todos os elementos são oblíquos. Isto acentua a
eventual presença dos travamentos de membrana, que é a inaptidão
do elemento curvo, em apresentar deformações de membrana nulas,
quando submetido à flexão pura.
Ds deslocamentos radiais obtidos nos pontos de aplicacão
das cargas foram normalizados em relação à solução
w a = 0,0940 , (5.7)
de MacNeal & Harder C62H
77
Comprimento (L) = 600,0
Raio (R ) = 300,0
Módulo de elasticidade (E) = 3,0xi0<S
Coeficiente de Poisson ( v ) = 0,3
Carga concentrada (P) = i,0
Condições de contorno: diafragma rígido nas extremidades
Figura 31 - Cilindro puncionado: geometria e dados do problema
78
Figura 32 - Cilindro puncionado: condições de contorno.
Malha desloc. vertical2 x 2 ‘>-1,718 xlO'64 x 4 -1,189xIO'56 x 6 -1,610 x IO-58 x 8 -1,813 x IO-5
N iím e ro de e lem en tos por lado
Figura 33 - Cilindro puncionado: a) resultados obtidos,b) gráfico da taxa de
convergência.
79
R a i o ( R ) = 1 0 , 0
Espessura (h) = 0,04
Módulo de elasticidade (E) = 6,825x10'
Coeficiente de Poisson ( v ) = 0 , 3
Forca concentrada (F) = 2,0
Figura 34 - Semi-esfera: geometria e dados do problema
nnloc. rn
d;rtl
normaliz
80
\!u = O
L
Y
Figura 35 - Semi-esfera: condições de contorno,
. 1.3
lo2
1.1
1.0
c.s
0.8
^ C 1 2 4 6 8 10 12
líúmero de elementos por ladoFigura 36- Seni-esíera: deslocamentos radiais normaliza
dos no ponto A.
Si
Os resultados estão resumidos no gratico da Figura 36
onde se verifica uma boa aproximação, em relação à solução
indicada acima, a partir da malha 8 x 8 que possui um total de 387
graus de liberdade. Isto fornece uma boa indicação de que não
houve travamento, nem problemas para descrever os movimentos de
rotação de corpo rígido.
5.2.6. Viga retilínea
Apresenta-se aqui um exemplo em que o elemento manifesta
problemas de excessiva rigidez para o cisalhamento de membrana.
0 elemento QUAD4, formulado por MacNeal & Harder C 23 3 , e
o presente elemento têm procedimentos semelhantes no que tange ao
cálculo do cisalhamento de membrana 0 trabalho posterior daquele
autor CÓ2H mostrou que o elemento pode falhar quando a estrutura,
submetida ao cisalhamento de membrana, for modelado por malhas
dist orc idas .
Tal fato motivou a reproduzir os mesmos exemplos,
mostrados na Figura 37, onde MacNeal & Harder constataram os
problemas de travamento.
Os testes com o presente elemento mostraram resultados
semelhantes aos de MacNeal & Harder, ou seja, um erro menor que
10% para a análise com malhas retangulares e erros maiores que 9 2 ‘Á
com o uso de malhas distorcidas.
5.3. Casos não lineares.
Os problemas não lineares foram resolvidos tanto com o
método de Newton Raphson modificado, quanto com o B F G S . Dadas as
características de simetria das configurações propostas,
modelou-se apenas um quadrante das estruturas envolvidas
IV
Comprimento total = 6,0Largura = 0,2Espessura = 0 , 1Módulo de elasticidade (E) = 1,0x10Coeficiente de Poisson (v) = 0,3Forca <P> = 1,0Número de elementos = 6Número de camadas = 8
Figura 37 - Viga reta.
5.3.1. Placa tracionada
Inicialmente, procurou-se montar um problema simples
para verificar o comentário, contido no Capítulo 2, de que o
método BFGS, ao contrário do método Newton-Raphson, não apresenta
problemas de convergência, quando ocorre a mudança da fase
plástica para a elástica, caracterizada pela trajetória C-D da
Figura 38.
Figura 38 - Curva tensão-deformacão
A verificação foi feita através de um exemplo que simula
o estado de tracão simples, e consistiu em aplicar forcas
concentradas de intensidades F e F2 em uma placa quadrada,
conforme mostrado na Figura 39.
Na fase do carregamento e 1astop1ás t i c o , que corresponde
ao percurso A-B-C da Figura 38, utilizou-se incrementos de forcas
com intensidades 0,001#Fi e 0,001*F2 . Neste trecho observou-se que
ambos os métodos funcionaram bem, sem problemas de convergência.
84
Adicionalmente constatou-se que o método BFGS exigiu um número bem
menor de íterções em relação ao método Newton-Raphson.
A seguir foi imposto o descarregamento elástico,
representado pelo percurso C-D da Figura 38, por meio de
incrementos negativos de forças com intensidades -Ô.ÔOi^F^ e
-0,00i*F2 . Neste trecho, o uso do método de Newton-Raphson
modificado apresentou respostas oscilantes, não conseguindo
convergir para nenhum valor. Por outro lado, o uso do método BFGS
permitiu a obtenção da convergência em poucas iterações.
Largura (L) =Espessura (h) =
Parâmetro de encruamento (A) =
Módulo de elasticidade (E) =Coeficiente de Poisson (v>) =Tensão de escoamento (<f* ) =OForcas concentradas: F, =
20 , 0 1,0d *
d21000,0 0,3
15,080, 0
160, 0
= 2333,3
Número de camadas em cada elemento = 8 Malha 2 x 2
Figura 39 Placa quadrada tracionada. Configuração e dados do problema para teste do descarregamento elástico.
85
5.3.2. Placa quadrada engastada com deformação plástica.
Este exemplo verifica a flexão de uma placa sujeita a
deformação plástica com pequenos deslocamentos.
A caracterização do problema está ilustrada na Figura
40. Um quadrante da estrutura foi dividido com malha 6 x ó e cada
elemento em Í2 camadas.
Considerou-se que o material apresenta encruamento
isotropico com o parâmetro de encruamento
c ia -A = ----- = 300,0;o
definido pela expressão 3.11 do Capitulo 3.
Gwen & Figueiras (C24D, C253) abordam o problema por
dois caminhos:
a) através do elemento Semiloof ([223, C24H) conjugado
ao critério de escoamento de Ilyushin ,11261!, definido em termos de
tensões resultantes adimensiona 1izadas:
Q + Q = 1 (superfície de escoamento de Ilyushin) (5.8)l m
onde
Ql = + n22 " nil n22 ' + 3 n!2 ' <5 9)
Qm = "íi + ">22 " mii m22 + 3 ' (5.10)
commN <r. . «f,1 Jn ■ = — r--- = — ---- r-- . (5.11)i-J N ° ho o
m»■J ' . 2
^o°h
h/2
- h / 2
sendo h a espessura, a tensão de escoamento e <r a tensão de
membrana;
86
Módulo de elasticidade (E) Coeficiente de Poisson (.v)
Parâmetro de encruamento (A)d £
Tensão de escoamento< q )Carga distribuída uniforme
Largura (L)Número de elementos por quadrante Número de camadas em cada elemento
30000,0 0,3
300, 0
30, 0-0,4 6, 036 (malha 6x6) 12
Figura 40 - Placa quadrada engastada: dados do problema
b) através do elemento conhecido como Heterosis e
integração por camadas.
Os resultados para o deslocamento do ponto central da
87
placa estão na Figura 41.
Foram adotados os seguintes incrementos de carga e
tolerâncias de c o n v e r g ê n c i a :
incrementos tolerâncias (equações 2.37 e 2.38)0,4 0,0010,1 0,001
0 , 001 0,005
0,001 0,005
Q
desloc. x 100— ^ OWEN 1243 — TRABALHO PRESENTE OWEN £5]
Figura 41 - Placa engastada: resultados
Os resultados dos gráficos da Figura 41 mostram que a
integração da relação constitutiva por momentos resultantes e
associada ao critério de escoamento de Ilsushin C263 faz prever
88
uma maior rigidez da estrutura, se comparacía com a integração por
camadas. Isto pode se explicado pelo que ocorre na integração por
momentos resultantes da equação 5.8, pois nela admite-se que a
deformação plástica só começa quando toda a espessura atingir o
limite de escoamento, enquanto que a integração oor camadas
permite um percurso progressivo da deformação plástica ao longo da
espessura.
A Tabela 3 mostra a comparação entre os resultados do
presente trabalho e os da integração por camadas de 0wen d
Figueiras C25j. Na referida tabela observa-se que o modelamento do
trabalho apresenta uma maior rigidez, quando se tem valores
elevados da carga distribuída (q).
carga distribuída
( q )
Deslocamento vertical no centro da placaTrab a lho Present e
< w>
Owen &F igueirasC 25 U
< w )
Des 1ocament o normalízado
( w/w >
0,16 -0,0123Ó -0,0123 1 , 0050, 20 -0,01596 -0,0159 1 , 0030 , 22 -0,01818 -0,0179 1, 0150, 24 -0,02061 -0,0200 1 , 0300 , 26 -0,02367 -0,0223 1 , 0610, 28 -0,02748 -0,0254 1, 0820,30 -0,03240 -0,0279 1, 1610, 32 -0,03883 -0,0318 1 , 2210,34 -0,04839 -0,0370 1, 3080, 36 -0,06430 -0,0439 1, 465
Tabela 3 - Placa engastada: comparações entre os resultados.
Finalmente, foi observado que o método de resolução BFGS
requer menor número de iterações em relação ao Newton-Raphson.
89
5.3.3. Casca esférica puncionada - "snap through".
0 objetivo deste exemplo consiste em verificar a
formulação para os casos com grandes deslocamentos, mas sem
deformação plástica.
A geometria e as condições de contorno estão mostradas
na Figura 42. Um quadrante da estrutura foi dividida por uma malha
6 k 6, e cada elemento em 12 camadas.
apoio s imp les fixo
Raio (R)Largura (a)Espessura (h)Módulo de elasticidade (E) Coeficiente de Poisson (v)Número de elementos em um quadrante Número de camadas por elemento
2540,0 mm 784,9 mm 99,45 mm 68,95 N/mm 0,3
36 (malha 6x6) 12
Figura 42 - Casca esférica puncionada: dados do problema
90
Este problema foi analisado impondo-se incrementos de
deslocamentos verticais no ponto central da casca. Devido à
configuração, notam-se, inicialmente, aumentos da forca nodal em
resposta aos incrementos nos deslocamentos. A partir de um
determinado instante, o valor da força apresenta uma tendência
contrária, de queda. Esse tipo de comportamento é chamado "snap
through" ou instabilidade de ponto limite.
0 gráfico da Figura 43 mostra os valores da força P,
obtidos em resposta aos incrementos sucessivos de deslocamentos
verticais, com valores iguais a 8,91 mm, aplicados no centro da
casca. Os resultados foram obtidos através do método de
Newton-Raphson modificado, fixando-se uma tolerância de 0,005 para
os critérios de convergência estabelecidos pelas equações 2.37 e
2 . 38 .
p (/1000) - carga concentrada
deslocamento no centro (ponto C) BerganJ^J-^-Parish [33] -o- Suranaf64!-*- Trabalho presente
Figura 43 Casca esférica puncionada: resultados
91
0 método B F G 3 , implementado neste trabalho, apresentou
falha na convergência quando a estrutura passou pelo "snap
t h roug h " .
Apresentam-se na Tabela 4, as comparações com os
trabalhos de F a n s h t 33 3 e Surana C 64 3 , podendo se verificar
que os resultados obtidos são bem proximos.
Deslocamento
(w >C
Carga concentrada De s 1oc amen t o norma 1isado
lrabalho prssente
(P/1000)
Surana C 64 3( P® /' 1000 )
Parísh Ü333
(pp/1000). (P/Pp ) (P / P * )
-8,91 - 6 , 9 6 9 -6,693 -7,144 1 , 04 0, 98-53,46 -33,050 -29,921 -29,821 1,10 1 , 10
-106,92 -48,384 -45,275 -44,642 1 , 06 1 , 08-142,56 -50,914 -49,603 - -48,214 1 , 03 1 , 05-151,47 -50,654 -49,803 -47,857 1 , 02 1 , 06-178,20 -47,684 -48,897 -46,428 0 , 97 1 , 03-213,84 -38,956 -43,779 -40,714 0, 89 0, 96-231,66 -33,935 -39,173 -38,035 0 , 87 0 , 89-240,57 -31,998 -36,614 -3 6,607 0 , 87 0 , 87-249 , 79 -30,839 -34,252 - 3 6 ,250 0 , 9 0 0 , 8 5-267,3 0 -31,720 -29,527 — 3'8 , 0 3 6 1 , 0 7 0 , 8 3-285,12 - 3 7 ,3 4 4 - 3 0 , 3 1 4 -45,714 1 , 2 3 0 , 8 2
Tabela 4 - Casca esférica com "snap through": comparações entre os result ados
5.3 4. Casca cilíndrica com grandes deslocamentos e deformação
plá s t í c a .
A combinação dos efeitos das não linearidade geométrica
e de material é testada neste exemplo, representado na Figura 44.
Um quadrante da casca cilíndrica foi dividida com malha
8 x 8 e cada elemento possuindo 12 camadas. Foi considerado um
material perfeitamente plástico.
92
Raio (R >Espessura (h)Comprimento (L)Módulo de elasticidade (E) Coeficiente de Poisson (v)
= 7 600,0 76,0
= 15200,0 = 2 , 1 x 104 = 0,0
Carga distribuida uniforme (q) = -0,003 (na direcio vertical) Tensão de escoamento («" ) 4,2OMaterial perfeitamente plástico
Figura 44 - Casca cilíndrica sob carga uniforme.
Dividiu-se a carga distribuida de valor q = 3000,0 em
incrementos de 0,i5.q, para o primeiro, e 0,005.q para os demais.
93
A tolerância para os critérios de convergência, dados pelas
equações £.37 e 2.38, foi de 0,005.
Tanto o metodo BFGS quanto o Newton-Raphson modificado
não apresentaram problemas de convergência.
A Figura 46 ilustra graficamente as resultados dos
deslocamentos verticais no centro da casca. A Tabela 5 mostra a
comparação numérica em relação aos resultados de Parish C 33 3 .
Nota-se, por esta tabela, que o deslocamento vertical normalizado
decresce gradativamente, à medida que se aumenta a carga aplicada
na estrutura, no entanto, as diferenças são muito pequenas e
permitem afirmar que existe uma excelente aproximação entre os
resu 1 1 ados .
cargadistribuída< q x 1 03 )
deslocamento verticaldeslocamento norma 1 i zad o
( w / w )
t rabalho presente
i w )
Parish C 33 J
( w )0, 735 -15,133 -14,07 1 , 0760 , 885 -18,100 -16,9? 1 , 0651 , 030 -21,027 -19,90 1 , 0571 , 180 -23,916 -22,33 1,0711,330 -26,787 -25,24 1 , 0611 , 480 -29,804 -28,64 1 , 0411 , 630 -33,006 -32,04 1 , 0321 , 780 -36,374 -34,95 1 , 0411 , 930 -40,018 -39,32 1 , 0182 , 080 -44,097 -43,23 1 , 0202, 230 -48,574 -48,06 1 , 0 1 12, 385 -53,641 - 5 3 , 88 0 , 9962, 530 -59,714 -60,63 0 , 9842 , Ó80 -6 6 ,955 -67,96 0, 9852, 830 -75,563 -76,21 0 , 9922, 980 -80,496 -86,89 0 , 995
Tabela 5 - Comparação entre os resultados do exemplo da casca cilíndrica com grandes deslocamentos e deformação P 1 ást i c a .
94
deslocamento no centro (ponto C)— TRABALHO PRESENTE PARISH Ü33]
Figura 45 - Casca cilíndrica: resultados.
CAPÍTULO ò
CONCLUSÕES E SUGESTÕES.
O trabalho escolhido visou implementar ferramentas para
análise de processo de desempenamento de chapas finas através de
método de elementos finitos. As escolhas da formulação, do
elemento e da relação constitutiva foram orientadas pelos
resultados apresentados em trabalhos experimentais, principalmente
no que se refere as hipóteses simplificadoras.
A relação constitutiva, nos casos da elastoplasticidade,
envolve um grande número de possibilidades, e a adequação depende
do tipo de material e do processo de conformacão que o mesmo
sofre. Aqui foi admitido o modelo clássico de Uon Mises associado
ao encruamento isotrópico. 0 efeito Bauschinger, portanto,não foi
considerado, apesar do carregamento ser cíclico. Sugere-se para os
próximos trabalhos a combinação do encruamento cinemático e
isotrópico para abranger tal efeito.
0 elemento de casca, aqui implementado, foi submetido aos
vários tipos de testes: "patch t est“ , placas, casca cilíndrica e
casca esférica submetidos ás diversas condições de contorno. Estes
reproduziram os bons resultados relatados por Nagtegaal C19D no
que se refere aos efeitos de flexão em casos lineares.
No entanto, o exemplo da Figura 37 mostra um caso em que o
elemento apresenta prob 1 emas de rigidez excessiva para os efeitos
de cisalhamento de membrana com a geometria descrita por uma malha
distorcida. Uma possibilidade interessante seria a implementação
de uma metodologia de refino de malha (rezoning ou remesh) para
redefinir a geometria das malhas entre os incrementos, e assim
96
minimizar essa limitação. Uma outra recomenaacão oportuna seria a
utilização de o u t r o s elementos de casca que tivessem apresentado
bons resultados em problemas não lineares. Cita-se, por exem,plc, o
elemento lagrangiano de 9 nós desenvolvido por Mourão (Ci23,[733)
0 mesmo poderá ser incorporado a presente implementação, baseada
na formulação de M c M e e k m g & Rice C53, tenao-se apenas o cuidado
de modificar a integração da matriz rigidez para o método de
m t e g r a c a o por camadas.
A analise d o s problemas com integração da matriz rigidez por
momentos resultantes m o s t r a uma maior rigidez quando o material
e n t r a na fase plástica, se comparada com a integração por carnadas.
A vantagem deste último método consiste na possibilidade de
acompanhar melhor o perfil dos estados de tensões e deformações ao
longo da espessura. Em contrapartida, a integração por momentos
resultantes requer menor esforço computacional, conforme indica o
artigo de Parish C 33 3.
0 rnetodo de Newton-Raphson modificado não apresentou problemas com
o "snap through", ao contrário do método conhecido como BFGS, que
falhou quanto a convergência. 0 dois métodos tiveram comportamento
oposto para se lidar com o aumento súbito da matriz rigidez,
causado pelo retorno da fase plástica para a elástica do material,
pois somente o método BFGS apresentou convergência. Uma
alternativa, para superar estas limitações, poderá ser a
implementação do método iterativo desenvolvido por Riks e
Crisfield (C693 a [723).
Sugere-se como o próximo passo, para a continuação do
trabalho, a implementação de uma formulação para problemas de
contato, o que permitirá completar o modelamento do processo de
desempenamento.
APe NDICE 0 i
TRANSFORMACSO DO PRINCÍPIO VARIACIONAL
Neste apêndice, objetiva-se mostrar a obtenção da
equação c.ó, partindo-se da equação 2 .1 .
Tem-se do primeiro membro da equação 2.Í que
( A . 1 . í )
e, considerando a equacao 2.5,
t = T ' - c r n, - <r n + <r wVJ t J k j k v \.k k j i k j , k '
í A .1.2)
tem-se o desenvolvimento da segunda e da terceira parcela do
segundo membro acima, dado por
D <r + <r D ,
pois D é simétrico
<?vJá na configuração em t = t torna-se
â v
’ x . l= T t = T
Assim
[ dk. * \ k okj) * 'v 3 ( r s * p í] : ô í
Considerando-se a igualdade
A : B = [ A4, B] : I = [ A . Bl] : J ,
com A e B sendo tensores genéricos de segunda ordem e I tensor
identidade, a ‘expressão anterior eqüivale a
|V P + Pfj : L.1 = ? P ■ j ; J + - J ~
~ f'P : J + f ? ' V : I = T - 5 +f:D.<5Ll = f : D ■ (l + Ll) =
= £:P.<S<2P),
mas, por ser
^ : <5 ( D . D ) = ■ ^ < P ) ■ D + D . <5 ( D ) ] = f 1 : [<5 ( D ) . D] *” +f : [D . <$ ( D > ] =
f : [p . Ó ( D ) ] + <T : [p . £<P>] ,
tem-se, -finalmente,
[í- P + P f ] ' : ó y = r - 6 < p , p ) (A. 1.3)
A última parcela será assim desenvolvida:
" V ^ k . vj,k> = = ^ 6 Í l - l = í<ó Ll .L):I =
= <? :<5(L.fc ) - l ,
mas
98
99
à ( L" . L ) = <r ; [ó =Ll . + .1 ÔL] = cr ■ (ÔLl . L ) ^ : [ l .1 =
= ^ + <r : (ó .1 . I ) = 2 • Ql : L )] ,
1 ogo
<r « r k Vj k ) = <L . I :LÍ = <L 6 <Lt > L = Z 6 ■ L ) • (A . 1 . 4 )
i o n s i d e r a n d c - s e , a g o r a , a m u 1 1 i p 1 ic acãc
* * tT V = T !_ = Tx. j j.l = = U * lr*l - 4 - Li - í l ]
* *I B - I .w
i r tn *com y = — g-■ l_L ~ L-J Mas y é antissimétrico, logo I y = 0,
a s s i m ;
* t *: 1 = I D ■ ( A . 1 . 5 )
Levando-se em consideracão as equações A . 1.2 a A . 1.5
conclui-se que
>i áC“ãF“]dVo * J [tTj á % - - r k s DlkDkj - v^v^jjdv
<A.1 ó)
APÊNDICE 2
RELACSO ENTRE DEFORMAÇÕES E GRAUS DE LIBERDADE NODAIS
A . 2 . 1 . Obj et ivo .
0 detalhamento das equações 4.33, 4.34, 4.35, 4.48, 4.49
e 4.50 do Capítulo 4 será apresentado com base na figura abaixo.
O i d e m , t>ara 0s g ra us d e l iberdade
g lo ba is de r o t a ç o é s
0 campo de deslocamentos de uma casca "degenerada" é
governado pela restrição de que os vetores unitários n,
101
perpendiculares à superfície média, permaneça reto na sua
configuração deformada. A expressão deste campo de deslocamentos é
dada por C 28 D
u = <£. u . + ( 0 . x P . ) v / . ; (A.2 .1 )i o i j j j
onde:
i = 1 a A ,
j = 5 a 9,
41 = funções interpolação para o campo de deslocamentos da
superfície média de referência,
u = graus de liberdade de deslocamento dos nós i = 1 a 4, o 1ô . = graus de liberdade globais de deslocamentos dos nós J
j = 5 a 9,
¥> = funções interpolações para o campo de rotações, h .j
P . = C -- 5- n ,J 2 .1
C = coordenada natural na direção da espessura,
h = esp e s s u r a . j
Para a análise divide-se o campo em parcelas
de membrana: u = 0 u (A.2.2)o i o i ,
d e f l e x ã o : u = (© . * P . ) y/ . , (A.2 . 3 )f ~ J J J
em que
u = u + u (A.2.4)o f
102
A.£.2. Cálculo dos deslocamentos na direções locais s e t .
0 vetor fornece os deslocamentos da superfície de
referência nas direções globais x, a, z; enquanto que as
componentes locais são expressas por:
U = 0 u .O S 1 O i
u ot - tp u1 o 1
(A .2.5)
Para o cálculo dos deslocamentos u utiliza-se. por
conveniência, a base local definida por s , t, n
e . x P ~ je e <A .2.ó)
com isso a expressão A.2.3 fica como
(A .2.7)
Assim os componentes dos deslocamentos serão, na direção
U f* = U f ° S C V - w. e..2 j t j
logo:
(A .2.8)
e, na direção t,
ft - C V. e .2 j sj
103
logo
H . t - . J Relação dsformacãü/graus de liberdade nodais
T em-se q u e :
â u.
com u = u + u . (A.2. 10)S QS f9
Usando-se (A.2.5) e (A.2.8) obtém-se:
h£T = <p . U . . S + C V . . t » & (A, 2.11)
5 S 1 , 5 1 2 J , S . ~ J
ou seja,h
= C ~ é -- K. . (A. 2. 12)S S o s s £ s e
com :
■ £ = <p u °s , (A.2. 13)o s s 1 , 5 I
K = ¥> . . t o 0 (A.2. 14)a s J , S ~ J
os quais correspondem às equações 4,33 e 4.48 do Capítulo 4.
Analogamente:
h«,♦ = e ,, - C -TT- K.. , (A.2.15)t i o i t 2
com
£ ,, = 4> . . u o t , (A . 2 . 16)O i l 1 , 1 X
K = . s o © (A.2. 17)u J , 1 ~ j
104
e
com
si = rost - c <A .2.18)
Yosta <p
CS +a <p°
o u ( A .E .19)
sid y'____ jà t e < A .2.20)
APÊNDICE 3
MATRIZ (B) RELATIUA ô RELACSO DEFORMACSO/GRAUS DE LIBERDADE NODAIS
Aqui serio -Focalizados os procedimentos adotados para a
implementação da matriz da relação deformacão/graus de liberdade
nodais, cujas equações estio no Capítulo 4.
A . 3 . i . S i m b o l o g i a .
indica os pontos de integração de Gauss,
->• indica o ponto no centróide do elemento,
i = i, . . ,4 ---► indica o número dos nós pertencentes aos
vértices do elemento (Fig. 15, Capítulo 4),
j = 5, 6 , . . ,9 -- ► indica o número dos nós das laterais e do
centróide, segundo a Fig. 15
A.3.2. Representação matricial dos graus de liberdade nodais.
Os graus de liberdade, independentes, do elemento são
dados por
í du ( A . 3 . 1 )l < 3 X l
106
c om K }w
(graus de liberdade de deslocament o )
12x1
(A
(graus de liberdade de rotação)
8 4 x 1
( A . 3
A.3.3. Efeitos de membrana.
0 objetivo é obter a matriz B m
OsaOit
YOs t3 x 1
3 x 1 2
(A
valendo-se das expressões 4.33, 4.34 e 4.35
A primeira linha da matriz acima corresponde à expressão 4
d <p
0 8 3à s
u « sï (A
. n nd> s ® u + d> s « u l.s 1 2, a 2
, n n. . . n nd> s o u + <p s o u a,a 3 -*,s ■*
o que se expressa mat rieialmente como
Oss
2.2)
. 3)
3.4)
33 :
3.5)
. 6 )
^1,3 (-5i S2 33^ ^2,3 32 “3-í ' -4,0 -Sl ^2 3a3
107
Assim tem-se, por exemplo, que
B ( 1 , 5 ) = ■ s, ■ ■m 2 , 5 2
Os 4> são ca lcu lad os confor me a expressão 4.29i , slembrando que
i,Ç 0.25 * (r? - 1 ) , (A.3.7)
4>2,Ç 0 . 25 * (1 - T?> , (A .3.8)
3,Ç 0.25 * (77 + 1 ) , ( A .3.9)
4,Ç 0.25 * (r? + 1 ) (A .3.10)
<P1 ,17 0 . 25 * (Ç - 1) , <A .3 . 11 )
<P2,7? 0 . 25 * <Ç +1 ) , (A .3.12)
3 , 7J0 . 25 * + 1 ) , ( A . 3 13 )
4>4 , 7 7= 0.25 * (1 - Ç ). (A.3.14)
An al og amente tem-se a segunda linha de B a partir damexpressão 4.34,
108
ottd <p
à tu » t
ou seja n
s =Oll
d> (1 l t ) (p il t t V^ 1 , 1 V. 1 2 3 ^ 2 , 1 1 2 3 - '
í l t t 1 -*,t 1 2 3->
<A .3.15)
(A.3.16)
L 4 )
Os cálculos dos componentes da terceira linha de B m(?-' ') são efetuados no centróide e considerados constantes aoostlongo do elemento, conforme visto no Capítulo 4. Utiliza-se a
expressão 4.35:
d (p~
Ost d t
d 4>s + ( A .3.17)
A forma matricial da equação acima torna-se
Y Osl -
0C , fs i,t 1
0C fl 1,S 1
*2 Sb)
t t 32 S-'
<*>c r 5 2,t
0° ft 2/S 1
S2 53
t t ") 2 3
<A .3.18)
5- S.)0 fs _ _4, t 2 3+
0C ft ■ t t ]■4,5 1 2 3' u4V
A.3.4 Efeitos de flexão.
A matris objetivada é a seguinte
109
í St )sscx 119Cst
( A .3.19)
3x163 X 1
Cada i inha da matriz B_p origina-se, respectivamente, de (equações
4.48, 4.49 e 4 50, Capítulo 4):
d y/
- 1 - ± - t r (A .3.20)J = 5 d S
9Cttd yj
d tI s o 9 (A .3.21)
si- l [
s -d yj
Jà t ] ' e, <A .3.22)
Para se chegar aos seus componentes, divide-se o' procedimento
em várias etapas:
1) cálculo dos dados preliminares r e y .J . s j , t2) obtenção das rotações nas direções locais n, e t dos nós j = 5,
. . . ,8;
3) transformação das rotações nodais para as direções globais;
4) obtenção das rotações 9 , 9 e 9 no centróide (nó j = 9) en t sposterior transformação para as direções globais;
5) cálculo dos componentes de B ,
1) As derivadas das funções interpolação y , representadas
pelas expressões 4.38 a 4.42, são calculadas em cada ponto de
integração através das expressões abaixo:
<A .3.23)
110
^ 5(7? = “ 0 '5 + 1 * 1 2 5 7? + e5 Ç , (A.3.24)
V ó ç = 0,5 + 1,125 Ç + e 6 r? , (A.3.25)
V* 6>7j = ~ 0,375 t? + e6 ? , (A.3.26)
V 7<ç = ~ 0,375 Ç - e g Y) , (A. 3.27)
^ 7 r/ = 0-5 + 1,125 77 - e 5 Ç , (A.3.28)
^ 8 , ? = ~ 0,5 + i'125 * ~ e6 r> , (A.3.29)
V* 8 = - 0,375 7? - e 6 Ç , (A.3.30)
V 9 ^ = - 1 , 5 7? . (A . 3 . 3 2)
2) A matriz relativa às rotações ô , ô ,e 0 é originada vian t sequações 4.43 e 4.48.
Da equação 4.43: j
4, d 4>Q - - £ -------------u o n j = - [ <£J u o n J + + <*J u ° n J 11 v=i a s 1 1- i,s i......... * ,s ^ J
( A .3.33)
Daí gera-se a seguinte expressão matricial:
111
1 x 1 6 l ã x l
E , de 4 . 4 4 ,
( A .3.34)
4, d <pt ---- — u . o tJ = r á.J u otJa 1 1 - 1 3 11 = 1 £ s
<>J U = t J "1•* , s 4 -I
Assim
0 <£J ft t t 3J... 0 J [t t f Vl,s 1 2 3-> *,a 1 2 aJ
(A .3.35)
0 0 0l x i < S 1 <Sx 1
(A.3.36)
As rotações nodais são graus de liberdade
considerados independentes dos campos de deslocamentos.
[ 0 0 0 ...... 0 0 0 .. 1c o l u n a 1 2
c o l u n a 8 + j < j = 3 , 8 >
( A .3.37 )
l ã x l
3) Os graus de liberdade acima (para pequenos incrementos de
rotação) são determinados como segue:
J f eXt1 ni 5i ' í © t11 e y
- = "2 S 2■ e
n
e^ z L n
3 l e3
<A .3.38)
cujos componentes (da matriz 3x3) originam-se dos cossenos
diretores das bases locais em cada nó j:
112
J <A .3.3?)
Das equações A.3.34 a A .3.38 chega-se a
9 J d
1 <SX 1com
1 _
[ - ]
" nz "aJ'- • • ~K,a (ni n 2 na3J 0 ...®...®
< s C t ± t2 t3)J--
0 0 0 . .
f'2 "3
0 0 0 T
c o l u r ic k i 2
0
c o l u n a B + j < J = 5 , 8 >
0
0
í A .3.40)
(A .3.41 )
(A.3.42)
Então a cada nó j = 5, . . ,8 tem-se as correspondentes matrizes
55, 96, 67 e 98.
4) As rotações no centróide (nó 9) são calculadas com o
auxílio das expressões 4.45, 4.46 e 4.47 do Capítulo 4.
De 4.45:
9 s = — =— <3 e + 3 © - e - e > . s ,4 ~<s ~ 8 ~ S ~ 7 ’
113
e da equação A.3.42, acima, chega-se a
(A .3.43)
c om
[©s9]‘ = C V z J ' 3C 06 ] + 3C 08 ] - C ]J( 1 x 1 <5> ( 1 X 3 ) < a x i <s >
( A .3.44)
De 4.46
6 — (3 ®9 3 e - 9 - e" 7 ~ <3 " 0
e da equação A . 3 . 42 :
e‘ (A .3.45)
c om
[et9l = -T" t ti t2 U ° [ 3 [ ] + 3[ ©7 ] - [ ©ó ] - [ ©8 ]]<1x3 ) ( 3 x 1 6 )
Da equação 4 39
(A .3.46)
9 o n = ~ p ( 0 + © + 0 + © ) o n*~ s ~<5 ~ 7 ~ a '
e da equação A.3.42, tem-se
© [ ©n9 ] | d j (A.3.47)
c om
114
[0n9l = “1 “ C ni n2 ^ ° [[ 65 ] + í 66 1 + C 67 1 + E08 l]< 1 x í tíi <3 X 1 <S >
(A .3.48)
A matriz de ©p nas direções globais (para pequenas rotações)
será dada por :
e' [ T ] 2
2 3 J
( A . 3 . 4 9 )
Ou seja,
<c> *
r t n i 5i [ . © t ? . . . ]
~ 9 =t
2 n 2 32 [ . . S n 9 .1
tí- 3 n 3 53 - [ . . 0 s 9 . . .]< 3x3) < 3 x 1<5 )
(A .3.51 )
Cada linha da matriz 3x16, acima, é montada com os
elementos das matrizes obtidas em A.3.44, A .3.46 e A .3.48 .
5) D cálculo da matriz B_p (equação A.3.19) se -Faz a seguir.
A primeira linha desta matriz se determina a partir da equação
A . 3 . 20 (aqui em forma matricial):
115
9C V (t f- t 5 , s 1 2 3
. . + V ( t t tP , s i 2 3 > w
(A .3.52)
Usando as equacoes A .3.42 e A.3.50, tem-se
5«C 9Css ] W (A .3.53)
llxló)
em que
9Css - yt (t t t- )3,s 1 2 3 H Vn <t t t )9,3 1 2 3( 1 x 9 ) l l x i l
M<ixa> < ax i >
(A.3.52)
Seguindo os mesmos passos determinam-se 9C e 5 , , queit s tcorrespondem as segunda e terceira linhas de B -f '
VCtt S2 V
• • + W ( s S 5 ) 9 , t 1 2 3w
ou seja,
(A .3.55)
9Ctt [ * « ] { - } ■< 1 Xl<S> { l t í x i )
(A .3.56)
em que
116
9Ct t = V*,m (5x 52 V
( 1 X 3 )
05<3 X 1<5
V' ( 5 S 5 ) & 9S> , 9 1 2 3 1
( 1 X 3 ) C 3 X 1 ( S )[ - ]'(A .3.57)
9Cs t [ < < 5 3 3 ) - V ( t *■ *•3,1 1 2 "38 1 2 3
r n s 5L p's 1
>]■ {*5} *
. S3>] {S?} ’( A .3.58)
ou m e l h o r ,
SKst. st< 1 x 1 <3>
(A .3.59)
com
5tst 3,1 1 ‘2 '3(1x3)
©5O x 1<S>
W (5 s 3 ) - W ( V V V \&,» 1 2 3 r£», l "l v2 " 3< 1 x 3 >
99
< 3 x l t í >
(A .3.60)
A.3.5. Efeito combinado de membrana e flexão
A interação entre ambos 05 efeitos é representada na expressão
a b a i x o
117
com z = C
h ■ 9C086 2 ssg • c h ■ %Olt 2 tlv- - Ç h • SK* Ost d st
yjVI < 1
{ í o - ? }
(A .3.61 )
2 '
(a cota z é medida segundo a direção local perpendicular à
superfície média).
De (A.3.4) e (A.3. 19) a equação (A.3.61) transforma-se em:
{ í } - [ B m ] { d u } - 2 [ ] { d } '
.' ’ 5™] ( d } " * K ] M ■ [ ‘B- ’ 2 "*] { d } ' { * } - [ » ] { < * } •
(A .3.62)
(A .3.63)
em que
B i 0m 1 ~ J
( 3 x 1 2 ) O x « >
B - z B, m f
( A .3.64 )
(A .3.65)
A.3.6. Obtenção da matriz rigidez linear.
A seguir mostra-se a manipulação de B para a obtenção da
matriz rigidez linear
Partindo-se da equação 2.12 do Capítulo 2 e com a aplicacão da
expressão A.3.65, tem-se:
[ K ] = l L B ]T [ C ] [ B ]V
dV
B - z BI
] [ c ] [ Bm " z Bf] dU ■ou melhor,
[ K ] - { [c 5 J T [ c ] [ ÍJ - z[ B f] T [ c ] [ 5 J
118
Z [ BJ [ C ][ E r] + 22 C B j [ c ][ tí„] j dV. (A.3.Ò6)
Analisando-se cada parcela separadamente, tem-se
+1 »1 +1-I/2a ) [ B j [ c ] [ B j du = { | { [ 5 J T [ c ] [ B j d* dí m det J
-1 -1 -h/2
Como foi visto no Capítulo 4, faz-se a integração por camadas
na direção perpendicular à superfície média da casca
+ h/2
[ B J [ O [ B j dz = [ Í J [ C J [ i J , (A. 3 .67)•h/2
com
-t-h/2[ C ] dz
-K/2(A .3.68)
Assim.
[ BJ [ C ] [ Í J dV t B j [ < > ] [ Í J d? dr? det J
(A .3.6 9 )
119
Como a matriz 3 tem muitos componentes nuios, convém retomar-se a ~ me quação A . 3 . 64 :
[ i J [ c™] [ U 12x3[ o ] [ [ 3 j ; [ 0 ] _
3x3 0x12) 0x4)
r[ B J [ c - ] [ i J
[[ B J T [ C-] [ 3 j12xl
[ ®]4x12
[ ® 1 12x4
[ ® ]4x4
(A .3.70)
b ) '[- *[ e f]T [ c ][ i„] - ,[ a j T [ c ][ í j ] dV =
[ b..]T [ C ][ ij * [[ b .]T [ c ].[ Sj]T
dv
[ B t]T [ C j [ im ] ♦ [[ B f] T [ Cf„ ] [ i j ]
- 1 - i
dÇ d77 d et J ,
(A . 3.71)
com
+h s z
C Cfm ] = z . [ C ] dz- -
(A .3.7 E )- h / 2
Mais uma vez pode-se explorar a presença de muitos componentes
nulos em B (equação A.3.64) nas operações matriciais presentes emm(A .3.70):
120
[ Bf ] [ Cfm ] [ i j . = [ 0 f ] [ Cfn, ] [ S j j [ 0 ]l< S x a 3 x 3 3 x 1 2 3x4
t m1 6x3 3k i<5
assim
[ E Cr. ][ ij f m, 1'm j
1 <5x 1 2 l<Sx -4
C )
<1 <5x 1 <3
(A . 3
+i +i
[ B f] [ cr 1 [ Br ] d^ dT7 det
( A . 3
com :
73)
J,
74 )
+ h / 2
" z2 . [ C ] dz-h/Z
(A .3.75)
APÊNDICE 4
IMPLEMENTAÇSO DA MATRIZ RIGIDEZ.
A matriz rigidez do elemento é dividida em seus
componentes K e K , conforme visto no Capítulo 2. Aqui serio
consideradas as particularidades para o uso do presente elemento
de casca com integração em camadas.
A. 4.1. Matriz rigidez linear K.
A matriz rigidez linear K da equação 2.12 é dada por
[ K ] = J [ B ]T[ C ] [ B ] dV. (A.4.1)v
A matriz engloba a soma dos efeitos de membrana e de
flexão. As grandezas são, segundo as bases locais (com direções
s,t,n) vistas no Capítulo 4:
f * 1r ■>
£m
f *es 88 88
6 f = £ • - 9 . 9Ctt 1 tt t l
Y 1 Y S K
1 ^ J , . et■ [ B - 9 Bm ] { - } •
(A .4.S)
onde: o indice m representa o efeito de membrana e f, o de
f1e x ã o ,
9 é a distância do ponto à superfície média da casca.
As linhas da matriz B 5ão obtidas através das equaçõesm4.33, 4.34 e 4.35; as da B pelas expressões 4.48. 4.49 e 4.50.
A substituição de (A.4.E) em (A.4.1) resulta na matriz
rig xdez
K = í I TbT C B - 3 (b\ C B + [BTr C B 1 1 + / BT„ C B j j l _ m m ( t m L f m-1 J tA 3
<A .4.3)
A integração segundo a direção normal p s efetuada em
: amad a s .
Somente a relação constitutiva C depende da cota z ,
e nd o - s e :+ 0/2 m
r ^J Cd^r = j £• {£ ) Úã = ^ ^ ^ = m ; A . 4 . ); -e/2 \ =1
J>.C d^ = J 9 C ( 2 ) àZ = ^ 3 C(^) Ap = C , (A. 4 5)
J / . C d<? = J«?2 C(^) d.? = ^ <?Z C ( ) L ã = C f , (A .4 .6)-e/2 \.=1
c om
= e- , e = espessura, m = número de camadas, m
A integração na superfície A se faz por quadratura de
Gauss (2 x 2) .
A.4.2 Matriz rigidez da tensão inicial (K^).
Para efeito de apresentação subdivide-se a expressão
2.14 dada por
[ K j * I [ N j (i - S [ B j «v. [Bk . ] j dV, ( f l .4 7)V
em duas partes, K e K de sorte quesi s2
123
[ K , J * { ( [ NJ ,i [ NJ ,j ] IV. Í A . 4 . B )
[ * j - | ( - * d u t D y ] ^( A . 4 . 9 )
A p a r t i c u l a n z a c ã o para o elemento do presente trabalho
leva em consideracão que as tensões cr , cr e cr 5 = o13 23 33
aproximadamente nulas. Ou seja, faz-se necessário conseguir apenas
as matrizes
[ N k ] t, com k = 1,2,3 (A.4.10)v = 1 , 2 ;
para sua aplicação na equação A.4.8 (as demais matrizes são
anuladas por um dos ) .k a
Estas são geradas à medida que se implementa a matriz B
(Apêndice 3), pois foi definido em (2.9) que
[BJ = “4 “ [NJ T + ~ j r Oj] , 1 = 1 , 2 ( A . 4 . 1 1 )0 = 1,2
Contudo, duas matrizes precisam ser calculados à parte,
F N 1 e f N 1L 3-I , 1 L 3-1 ,2pois estas não são utilizadas no cálculo de B (corresponderiam
aos cisa1hamentos transversais nulos). Elas representam,
respectivamente,as rotações (- 9 ^ ) e (© ) :
" = ' C N3] ,1 { d } ’ (A.4.12)
e L = [ n3] 2 { d } , (A.4.13)
d = graus de liberdade nodais.
Ainda,
124
e '} i ie
2
e 3{ ' } ■
(A .4.14)
com 05, 06, . .,09, calculados segundo o Apêndice 3
Uma vez conseguidos os C N. 1. , agrupa-se estas
matrizes-1inha em BNLl
■ ■ ■ C NJ ..
■ ■ • t NJ
[ NJ . ,
■ ■ ■ [ " J■ • • { NJ , .. . . [ N ]
d x 1<5
de tal forma que o integrando de (A.4.8) seja
(A .4.15)
si [ eNLl ]cr2x2 0 0o <r o0
2x20 <r2x2
[ Bnli ] ( A 4 . 16 )
c om 2x2<r <r
11 12
2 1 cr( A .4.17)
Na implementação da matriz K , equação A.4.9, usam-sea 2
diretamente as linhas da matriz B,
Bii B22
1^2. B lZ< " } ■
com exceção da terceira linha, na qual se toma 1/2.B ao invés de
125
B , pois na parcela linear (equações A .4.1 12 A.4.2) aa matriz
rigidez se utiliza o cisalhamento Yí2, que e o dobro de £
Apresenta-se, a seguir, a matriz BNL2
Bi1 / 2 B11/2 B1
B
li12
12
22
(A .4.18)
de tal forma que o integrando da equação A . 4 o seja equivalente a
S22 x 2
L°
Ocr [ 3nL2 ] < A . 4 . 1 ? )
De maneira similar a equação (A.4.3), B e B 5ãc>NLl NL2considerados como a soma dos efeitos de membrana e de flexão
A integração na direção normal 2 , feita em camadas, dá
origem às matrizes , <r e :m f m f
J' <T d* I e/2<A .4.20)
jy<r à? 2
- I+«/ 22 ^ ( 2 ) 02
-<3/7.
2 ,<r (2 ) Aí = <rf m < A . 4 . 21 )
j / <r d2 = I+e/2
3 * r { 2 ) ú3- e / 2
2 ,<r (.2■ ) A2 = <rj. =i
(A .4.22 >
com <r fornecido pela equação A.4.17.
REFERe NCIAS DIBLIOGRAFICAS
[1] NAGTEGAAL, J.C. & REBELO, N. On the development of a general
purpose finite element program for analysis of forming process.
International journal for numerical methods in engineering. 25:
113-131, 1988.
[ 2 1 NAGTEGAAL, J.C. & JONG, J.E. Some computational aspects of
elastic-plastic large strain analysis. International journal for
numerical metnods in engineering. 17» 15-41, 1981.
[31 HUTCHINSON, J. W. Finite strain analysis of elastic-plastic
solids and structures. ASME . Numerical solution of nonlinear
structural problems 1973. v. 17, p. 17-29.
[4] HIBBIT, H. D. et alii. A finite element formulation for
problems of large strain and large displacement. International
journal of solids and structures. 6» 1069-1086, 1970.
[51 McMEEKING, R. M. & RICE, J . R. Finite element formulations for
problems of large elastic-plastic deformation. International
journal of solids and structures. H i 601-616, 1975.
[6] WANG, N.M. & BUDIANSKY, B. Analysis of sheet metal stamping
by a finite element method. Journal of applied mechanics. 45t
73-83, 1978.
171 GADALA, M.S. et alii. Formulation methods of geometric and
material non linearity problems. International journal for
numerical methods in engineering. 2 0 t 887-914, 1987. v
[81 SPILCKER, R. L. & MUNIR, N.I. Elastic-plastic analysis of
plates by the hybrld-stress model and initial stress a p rpoach.
International journal for numerical methods in engineering. 17»
1791-1810, 1981.
[9] HRABOK, M. M. & H R U D E Y , T.M. A review and catalogue of plate
127
bending finite elements. Computer & structures. 19» 479-495,
1984.
[10] MATTHIES, H. & STRANG, G. The solution of nonlinear finite
element equations. International journal for numerical methods in
engineering. 1 4í 1613-1626, 1979.
Ill] SPILKER, R. L. & PIANS, T.H.H. Hy b r l d-s t r ess models for
elastic-plastic analysis by the ín 1 1 ía 1-stress approach.
International journal for numerical methods in engineering 14*
3 5 0 - 3 7 9 , Í979
[12] MOURXO, R. P & SELKE, C. A. C. Um elemento finito de casca
para a análise de problemas com não linearidade geométrica. VII
SIMPÓSIO BRASILEIRO SOBRE TUBULACoES E VASOS DE PRESSSO. 1992.
v . 1, p . 137-149.
[131 KIM, H. O. A Finite element formulation based on nadai's
deformation theory for elasto plastic analysis. International
journal for numerical methods in engineering. 17* 1861-1876,
1981.
[14] CHANDRA, A. A generalized finite element analysis of sheet
metal forming with an e 1 astic-vlscop 1 ast i c material model.
Journal of engineering for industry. 108* 9-15, 1986.
[15] DINIS, L. M. S. & OWEN, D. R. Elasto-viscoplastic and
e 1asto-p1astlc large deformation analysis of thin plates and
shells. International journal for numerical methods in
engineering. 18: 591-607, 1982
[16] ORTIZ, M. & SI MO, J.C. An analysis of a new class of
integration algorithms for e 1astop 1astic constitutive relations.
International journal for numerical methods in engineering. 23*
353-366, 1986.
[17] WANG, N.M. et alii. Analysis of bending effects in sheet
128
■forming operations. International journal for numerical methods
in engineering. 25 J 253-267, 1988.
[18] SIMO, J.C. et alii. Mixed finite element approximations
for non linear plates. ASHE. AMD 54. 1983. p. 227-236.
[191 NAGTEGAAL, J.C. & SLATER, J.G. A simple noncompatible thin
she'll element based on discret Kirchhoff theory. A S M E . AMD 48.
1981. p . 167-192.
120] PARISH, H. Nonlinear analysis of shells using isoparametric
elements. ASME. AMD 48. 1981. p. 47-63.
[21] KIKUCHI, N. & CHENG, J . H. Finite element analysis of large
deformation problems including unilateral contact and friction.
ASME. AMD 54. 1983. p. 121-132.
[223 IRONS, B. M. The Semiloof shell element. In: Finite
elements for thin shells and curved member London. R. H.
Gallagher and D.G. Ashwell, Willey. 1976.
[23] MacNEAL, R.H. A simple quadrilateral shell element
Computer & structures. 8: 175-183, 1978.
[24] OWEN, D. R. J. & FIGUEIRAS J. A. El ast o-p i ast ic analysis of
anisotropic plates • and shells by the Semiloof element.
International journal for numerical methods in engineering. 19* 521-539, 1983.
[251 OWEN, D. R. J. & FIGUEIRAS, J. A. Anisotropic e 1 ast o-p 1 ast i cfinite element analysis of thick and thin plates and shells.
International journal for numerical methods in engineering. 19» 541-546, 1983.
[26] ROBINSON, M. A comparison of yield surfaces for thin shells
International journal of mechanical science. 13; 345-354, 1971.
1271 GERMAIN Y. et alii. A rigid-visc 1 op 1astic finite element program -For sheet metal forming analysis, International journal
tor mechanical science. 31* 1-24, 1989.
[281 BELYTSCHKO, T. & WONG, B. Assumed strain stabilization
procedure for the ?-node lagrange shell element. International
journal tor numerical methods in engineering. 28« 385-414, 1989.
[291 ABAYAKOON, S.B.S. Large deflection elastlc-plastic analysis
of plate structures by the finite strip method. International
journal for numerical methods in engineering. 28i 331-358, 1989.
130] WING, K. L. et alii. Resultant-stress deqenerated-shell
element. Computer methods in applied mechanis and engineering.
55: 259-300, 1985.
[31] AHMAD, S. et alii. Analysis of thick and thin shell
structures by curved finite elements. International journal for
numerical methods in engineering. 2» 419-451, 1970.
[32] BALMER, H. A. & DOLTSINIS, J. St.. Extensions to the
elastoplastic analysis with the Aska program system. Computer
methods in applied mechanics and engineering. 13: 363-401,
1978 .
[33] PARISH, H. . Large displacements of shells including
material nonl m e a n t les Computer methods in applied mechanics
and engineering. 27i 183-214, 1981.
[34] HILL, R. Some basic principles in the mechanics of solids
without a natural time. Journal of the mechanics and physics of
solids. 7 t 209-225, 1959.
[35] BATHE, K. J . & CIMENTO, A.P. Some prat ical procedures for
the solution of nonlinear finite element equations. Computer
methods in applied mechanics and engineering. £2s 59-85, 1980.
[36] YANG, T.Y. & SAIGAL, S. A curved quadrilateral element for
static analysis of shells with geometric and material
non 1inearities. International journal for numerical methods in
12?
130
engineering. 211 617-635, 1984.
[371 PATULA, E. J. The tension-ro]1er-!eveling process elongation
and power loss. Journal of engineering for industry. 101»
269-277, 1979.
[383 THOMPSON, N. E. New results in t he theory of tension
levelling Proceedings of the first international conferency on
technology of plasticity. Tokyo. v. 1, p . 587-592, 1984
(Advanced Technology of Plasticity).
[39] STARK, G. K. A comparison of tension leveling theories.
Journal of engineering for industry. 108t 154-155, 1986.
[401 PANKNIN, W. et a ill. Research into the levelling,
straightening and flexing of coiled strip material and its effect
on surface finish. Sheet metal industries. p. 578-585, oct .
1973.
[41] KURT STENUDD, M. E. Calculating the setting of a press feed
straightner/leveller Sheet metal industries. p.946-951, oct.
1 979 .
[421 KINNAVY, M.G. Recent developments in tension leveling.
Iron and steel engineer. p. 67-72, nov. 1972.
[43] PFEILSTICKER, G. K. & BURETA, A. C. Regulagem da desempena-
deira leve da Tesoura a Frio 2 na C o s i p a . Metalurgia - ABM.
42(388): 15-18, 1986.
[44] BELLO, P. et alii. Theory and operation of the tension
levelling process on a pickling line and on a coating line.
Deauville, France. v. 2, p. E44.1-E44.2, 1987 (The science and
technology of flat rolling).
[45] SENDZIMIR, M. G. & CI VIDI NO, H. Tension leveller for
multi-roll mills. 4th International steel rolling conference.
Deauville, France. v. 2, p. E42.1-E42.6, 1987 (The science and
131
technology of -Flat rolling).
[461 HANAKI, K. , KATO, K. Pressure peak in bending and unbending
process Proceedings of the first international conference on
technology of plasticity. Tokyo. p. 581-586 1984
(Advanced Technology of Plasticity).
[47] YOSHIZAKI, K et alii High speed hydrotension leveler for
shape correction of strip. Iron and steel engineer. p. 35-40,
m a r . 1983.
[481 KAWAGUCHI, K. High speed hidro-tension for a thin hard
metal strip. International conference on steel rolling,
proceedings. Tokyo. v . 2 , p . 784-7°5, i 9 8 0. '
[49] ISHIKAWA, T. et alii. Analytical
approach to ocurrence and supression of flatness defect on strip
rolling. 4th Internatlona 1 steel rolling conference. Deauvile,
France v 2, p. E .7. 1 - E .7. 10, 1987 (The science
and technology of flat rolling)
[50] SHEPARD, T. & ROBERTS, J.M. Stress/strain relationships for
strip shape correction processes. Journal of the institute of
metals. 99* 223-528, 1971.
[51] ROBERTS, J.M. & SHEPPARD, T. On the mechanics of
tension-level 1ing process. Journal of the institute of metals.
19t 293-301, 1971
[521 SHEPPARD, T. & ROBERTS, J.M.conformity in the tension levelling process
metals. 100« 130-135, 1972.
[53] KLEIBER, M. Incremental finite element modelling in
non-linear solid mechanics. Ellis Horwood Limited, 1989.
[541 WASHIZU, K. 'Variational methods in elasticity and
plasticity. Ed. Pergamon Press, 1974.
On the strlp-to-ro11
The institute of
132
[55] BATHE, K. J. Finite element procedures m engineering
analysis. Prentice-Hall,I982.
[56] CHEN, W. F. & HAN, D. J. Plasticity for structural engineers
Springer Verlag, 1988.
[57] OWEN, D. R. J . & HINTON, E. Finite elements in plasticity.
Pineridge Press Limited, 1980.
[581 ZIENKIEWICZ, O. C. The finite element method. McGraw-Hill,
1 977 .
[591 MALVERN, L.E. Introauction to the mechanics of a continuous
medium. Prent ice-Hai 1 , 1969.
[60] BUDIANSKY, B. A reassessment of deformation theories of
Plasticity. Journal of Applied Mechanics (Tansactions of A S M E )
26» 259-264, 1959.
[611 COOK, R. D. Concepts and applications of finite element
analysis. John Wiley & Sons, 1974
[623 MacNEAL, R. H. & HARDER, R. L. A proposed standart set of
problems to test finite element accuracy* Finite elements in
analysis and design. Is 3-20, 1985.
[631 HUANG, H. C. & HINTON E. A new nine node degenerated shell
element with enhanced membrane and shear interpolation.
International journal for numerical methods in engineering. 22»
73-92, 1986.
[64] SURANA, K. S. Geometrically nonlinear formulation for the
curved shell elements. International journal for numerical
methods in engineering. 19* 581-615, 1983.
[65] TIMOSHENKO, S. & KRIEGER, S. W. Theory of plates and shells.
McGraw-Hill Book Company Inc, 1959.
[661 BELYTSCHKO, T. Stress projection for membrane and shear
locking in shell finite elements. Computer methods in applied
133
mechanics and engineering. 51t 221-258, 1985.
[671 SIMO, J.C. & PISTER K. S. Remarks on rate constitutive
equations for finite deformation problems: computationa 1
implications. Computer methods in apllied mechanics and
engineering. -46s 201-215, 1984.
[683 MOSS, W.C. On instabilities in large deformation simple
shear loading. Computer methods m apllied mechanics and
engineering. 46: 329-338, 1984
[69] CRISFIELD, M. A. A faster modified Newton-Raphson iteration.
Computer methods in applied mechanis and engineering. 20:
267-278 , 197?.
[701 RIKS, E. Some computational aspects of the stability
analysis of nonlinear structures. Computer methods in applied and
engineering. 47s 219-259, 1984.
[71] RIKS, E. An incremental approach to the solution of
snapping and buckling problems. International Journal of Solids
and Structures 15: 529-551, 1979.
[721 CRISFIELD, M. A. A fast incremental iterative solution
procedure that handes "snap-through". Computers & Structures 13»
55-62, 1982.
1731 M0UR20, R. P. Um elemento finito de casca para a análise de
problemas com não-1inearídade geométrica. Dissertação de mestrado,
UFSC 1991.
