UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CRISTINA INGRID DOS … · expressões algébricas e valor...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA

Contribuições da teoria histórico-cultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões

algébricas e valor numérico nos estudantes do 8° ano do Ensino Fundamental no Colégio de

Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR).

Boa Vista, RR

2018

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Monografia apresentada como pré-requisito para conclusão do Curso

de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de

Matemática da Universidade Federal de Roraima.

Orientador: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza

Coorientadora: Prof. Me. Adriana Regina da Rocha Chirone

Boa Vista, RR

2018

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Dados Internacionais de Catalogação na publicação (CIP)

Biblioteca Central da Universidade Federal de Roraima

Ficha Catalográfica elaborada pela: Bibliotecária/Documentalista:

Angela Maria Moreira Silva - CRB-11/381-AM

S586c Silva, Cristina Ingrid dos Santos

Contribuições da teoria histórico-cultural para aprendizagem

desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos

estudantes do 8° ano do Ensino Fundamental no Colégio de

Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR) /

Cristina Ingrid dos Santos Silva. – Boa Vista, 2018.

57 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza.

Coorientadora: Prof. Me. Adriana Regina da Rocha Chirone.

Trabalho de Conclusão de Curso (monografia) – Universidade

Federal de Roraima, Curso de Licenciatura em Matemática.

1 – Ensino de Matemática. 2 – Ensino fundamental. 3 – Álgebra. I –

Título. II – Mendoza, Héctor José García (orientador). III – Chirone,

Adriana Regina da Rocha (coorientadora).

CDU – 372:51

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FOLHA DE APROVAÇÃO





Monografia apresentada como pré-requisito para conclusão do curso

de licenciatura plena em Matemática do departamento de

Matemática da Universidade Federal de Roraima. Defendida em 13

de Julho de 2018 e avaliada pela seguinte banca examinadora:

_____________________________________

Prof. Dr. Héctor José García Mendoza

Orientador / Curso de Matemática – UFRR

_____________________________________

Prof. Dr. Alberto Martin Martínez Castañeda

Curso de Matemática – UFRR

_____________________________________

Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado

Curso de Física – UERR

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Resumo

Diante de vários recursos disponíveis, ainda é comum na maioria das escolas, professores de

Matemática ministrando aula de forma tradicional, onde a grande maioria dos estudantes, não

alcançam assimilação dos conteúdos de maneira eficiente. O processo de ensino

aprendizagem deve estar fundamentado por teorias de aprendizagem que tenha como enfoque

a cognição, desta maneira se apresentará brevemente a evolução da teoria histórico-cultural de

Vygotsky, continuado pela teoria da atividade de Leóntiev, até a teoria de formação por

etapas das ações mentais de Galperin. O objetivo deste trabalho é analisar as contribuições

da teoria histórico-cultural para uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de

expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II,

do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR). A Atividade de

Situações Problema (ASP) em Matemática, é compreendida como um sistema de conteúdos

de matemática baseado na teoria de Galperin. Como experimento fundamentado nas teorias

mencionadas, apresentam-se os resultados da prova de lápis e papel, no conteúdo de

expressões algébricas e valor numérico, com intuito de analisar a aprendizagem através da

ASP. A prova de lápis e papel foi utilizada, como instrumento para obtenção de resultados,

através de análises quantitativa e qualitativa, com enfoque principal na qualitativa. Diante dos

resultados obtidos, a grande maioria dos estudantes, mostram evidencia de uma aprendizagem

desenvolvimental no conteúdo estudado. Ao final será proposto um plano de ensino

fundamentado em uma base orientadora geral, completa e independente.

Palavras Chaves: Expressões Algébricas, Formação por etapas das ações mentais, Atividade

de Situações Problema, Ensino aprendizagem desenvolvimental.

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Resumen

Frente a varios recursos disponibles, es todavía común en la mayoría de las escuelas, maestros

que enseñanza matemáticas de forma tradicional, donde la gran mayoría de los estudiantes no

lograr eficientemente la asimilación de contenidos. La enseñanza aprendizaje debe basarse en

las teorías del aprendizaje con enfoque en la cognición, de esta manera se presentará

brevemente la evolución de la teoría histórica-cultural de Vygotsky, continuando por la teoría

de la actividad Leóntiev, hasta la teoría de formación por etapas de acciones mentales de

Galperin. El objetivo del trabajo es analizar las contribuciones de la teoría histórica-cultural

para un aprendizaje desarrollador en el contenido de expresiones algébricas y valor numérico

en los estudiantes de 8 grado de la Enseñanza Secundaria de la Escuela de Aplicación de la

Universidad Federal de Roraima (CAp-UFRR). La actividad de situaciones problema (ASP)

en matemáticas, se entiende como un sistema de de contenidos de matemáticas basada en la

teoría de Galperin. Como un experimento fundamentado en las teorías mencionadas, se

presentan los resultados de la prueba de lápiz y papel, en el contenido de ecuaciones

algebraicas y valor numérico de expresiones, con el fin de analizar el aprendizaje a través de

ASP. La prueba de lápiz y papel se utilizó como un instrumento para inferir los resultados,

través de un análisis cuantitativos y cualitativos, con enfoque principal cualitativo. Los

resultados obtenidos, la gran mayoría de estudiantes, tienen evidencia de un aprendizaje

desarrollador. Al final se propondrá un plan de estudios basado en un asesor general,

completo e independiente.

Palabras Claves: Expresiones Algebraicas. Formación por etapas de las acciones mentales.

Actividad de situaciones problema. Enseñanza aprendizaje desarrollador

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal .......................................... 15

Figura 2 - Direção da Atividade de Situações Problema ............................................... 26

Figura 3 - Frequência total ............................................................................................. 44

Figura 4 - Questão 1 da prova referente ao intervalo 16-20 .......................................... 45






Figura 10 - Questão 2 da prova referente ao intervalo 12-15 ........................................ 48









Figura 19 - Questão 1 da prova referente ao intervalo 4-7 ............................................ 53





8

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Gráfico 1 - Resultado dos estudantes na questão 1 ....................................................... 34





Gráfico 6 - Resultado das médias das ações ........................................................................... 43

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Tipos de base orientadora da ação ................................................................18

Tabela 2 - Dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa ................28

Tabela 3 - Resultado dos estudantes na questão 1 ........................................................ 34





Tabela 8 - Resultado das médias das ações .................................................................. 42

Tabela 9 - Intervalos de frequência .............................................................................. 44

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Sumário

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 11

Objetivo Geral ................................................................................................................................... 12

Objetivos Específicos ........................................................................................................................ 12

CAPÍTULO I - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................................... 14

1.1. Fundamentos Psicológicos .................................................................................................... 14

1.2. Expressões algébricas e valor numérico ................................................................................ 20

1.3. A Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico...................... 24

CAPÍTULO II - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ......................................................... 27

2.1. Caracterização da pesquisa ......................................................................................................... 27

2.2. Variáveis e categorias de análises .............................................................................................. 28

2.3. Instrumento da pesquisa ............................................................................................................. 30

CAPITULO III: RESULTADOS E ANÁLISES .............................................................................. 33

3.1. Diagnóstico da aprendizagem dos estudantes ............................................................................ 33

3.2. Relações entre as ações na Atividade de Situações Problema ................................................... 42

3.3 Proposta de um plano de ensino .................................................................................................. 56

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................. 58

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 59

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INTRODUÇÃO

Ao longo dos anos percebemos, ao nosso redor, os grandes avanços que a sociedade vem

sofrendo. Aos poucos, essas mudanças exigem adaptações para que sejamos encaixados nesse

meio. A sociedade moderna, cada vez mais, requer pessoas capacitadas e a escola tem uma

alta responsabilidade em estimular e preparar os estudantes desde cedo, porém a mesma não

tem conseguido avançar no mesmo ritmo que as necessidades sociais.

Diante desse contexto, a escola precisa assumir uma nova postura, priorizando o ensino

aprendizagem, através de uma reestruturação no ensino, fundamentado por teorias com

enfoque na aprendizagem desenvolvimental, que venham preparar os estudantes para o

mundo em que vivem.

Em muitas escolas, é comum a abordagem “tradicional” dos conteúdos, na qual o professor

apresenta aos estudantes exposições orais, em seguida os mesmos são incentivados a trabalhar

com exercícios selecionados, dessa forma as informações obtidas são para uso em curto prazo,

de modo que posteriormente elas desaparecem, o aluno dificilmente conseguirá aplicar esse

conhecimento em novas situações, limitando na maioria das vezes o conhecimento e a sua

capacidade criativa.

Em vez de concentrar-se no ensino da memorização e na aplicação de técnicas na

resolução dos problemas com base nas exposições dos professores; é necessário conferir

ênfase na abordagem dos conteúdos, colocando o estudante no centro do processo de

aprendizagem, isso quer dizer que o estudante não se limita a receber passivamente o

conhecimento, mas o elabora novamente, de modo constante e autônomo. Desse modo, os

estudantes mudam da posição de meros espectadores para a de criadores ativos, construtores

do seu conhecimento.

A função do professor no processo de aprendizagem é de grande responsabilidade,

Segundo Talízina (1984, 1988, 1994) o professor tem duas funções principais: ser uma fonte

de informação e dirigir o processo assimilação. Como fonte de informação deve selecionar os

conhecimentos da disciplina, o sistema de habilidades, explicar os conteúdos e ensinar a

lógica de execução das ações. Por outro lado deve dirigir o processo de transformação das

ações externa sobre o objeto em internas, ou seja, a direção deve estar centrada na interação

entre o objeto (conteúdo) e o estudante.

12

Atualmente é notório que o ensino tradicional, precisa ser substituído por ensino alicerçado

em teorias centradas na cognição, e que os professores conheçam essas teorias e coloquem-

nas em prática, garantido assim aos estudantes, um processo completo na assimilação dos

conteúdos ensinados.

Nesse contexto quais são as contribuições da teoria histórico-cultural, para uma

aprendizagem desenvolvimental, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos

estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II, do Colégio de Aplicação da Universidade

Federal de Roraima (CAp-UFRR)?

Objetivo Geral

Analisar as contribuições da teoria histórico-cultural para uma aprendizagem

desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º

ano do Ensino Fundamental II, do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima

(CAp-UFRR).

Objetivos Específicos

Diagnosticar o nível de aprendizagem dos estudantes em expressões algébricas e valor

numérico;

Estudar as relações do sistema de ações da Atividade de Situações Problema em

expressões algébricas e valor numérico;

Verificar a contribuição da Base Orientação da Ação da Atividade de Situações

Problema em expressões algébricas e valor numérico.

O presente trabalho se divide em três capítulos, o primeiro se caracteriza por apresentar os

fundamentos psicológicos onde se descreve a evolução da teoria histórico-cultural de

Vygotsky que organiza a base dos estudos desenvolvidos. Vygotsky desenvolveu os conceitos

de "área de desenvolvimento atual" e "zona de desenvolvimento proximal" de suma

importância para a educação como uma ciência. Em seguida, define-se a atividade de estudo

segundo Leóntiev; embasada nessas teorias surge a teoria de formação por etapas das ações

mentais de Galperin, a teoria geral de direção da atividade de estudo de Talízina e a Atividade

de Situações Problema (ASP), no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico.

O segundo capítulo apresenta os procedimentos metodológicos utilizados na pesquisa,

começa-se pela caracterização da mesma em mista, pois relaciona resultados qualitativos e

quantitativos com ênfase nos qualitativos; expõe-se as variáveis e categorias de analises que

serão utilizadas para correção do instrumento empregado, por fim apresenta-se a prova de

13

lápis e papel como instrumento usado para obter dados que possibilite realizar as análises

desejadas.

Por fim o terceiro capítulo, constituído pelas análises e discussões dos resultados da prova

de lápis e papel, como resultado das análises quantitativas os dados coletados serão

organizados e apresentados em tabelas e gráficos que serviram de base para as análises

qualitativas do desempenho obtido.

14

CAPÍTULO I - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O enfoque deste trabalho é o processo de ensino aprendizagem, no conteúdo de expressões

algébricas e valor numérico, fundamentado por teorias centradas na cognição, para isto será

apresentada brevemente a evolução da teoria histórico-cultural de Vygotsky, apoiada pela

teoria da atividade de Leóntiev, continuada pela teoria de formação das ações mentais de

Galperin e direcionada pela atividade de estudo de Talízina.

1.1. Fundamentos Psicológicos

As teorias explanadas a seguir, tem como referência os artigos de TINTORER, O.;

MENDOZA, H. J. G. Com título, evolução da teoria histórico – cultural de Vygotsky a teoria

de formação por etapas das ações mentais de Galperin; seguido da Atividade de Situações

Problema em Matemática de MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, Oscar; e por fim, a didática

da Matemática fundamentada na teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin,

de MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. Nas quais, buscam relacionar os métodos de

resolução de problemas matemáticos, para a construção da Atividade de Situações Problema

em Matemática de MENDOZA e TINTORER, fundamentados na teoria de Galperin.

Na década dos anos 20, um grupo de especialistas soviéticos liderado por Vygotsky,

indicaram uma reestruturação da psicologia como ciência, com base nos princípios da

filosofia marxista a fim de superar a psicologia do subjetivismo e fenomenalismo, acabando

com a separação da psique humana como portadora de relações sociais.

Na teoria histórica cultural de Vygotsky, o processo de assimilação do homem está dado

pela experiência social. Vygotsky, Leóntiev e Galperin entre outros reconhecem a natureza

social da atividade interna (psíquica) do homem e sua unidade com a atividade externa,

prática ou material (TALÍZINA, 1984, 1988, 1994; VYGOTSKY, 2001, 2003a, 2003b).

Para dominar sua conduta, ou seja, dirigir sua psique, o homem deve apoiar-se no inicio

em objetos externos e só depois, através da mediação, ele adquire a capacidade de fazê-lo

mentalmente utilizando suas ideias internas que são agora elementos da atividade psíquica.

Portanto a ideia central de Vygotsky (2001, 2003a, 2003b) é que a atividade psíquica,

interna, é construída pela atividade externa estabelecendo uma unidade dialética entre ambas.

“A psiques sem a conduta não existe, como a conduta sem a psiques também não”.

No ser humano, esta atividade está condicionada pelo uso de instrumentos e as formas de

utilização que a sociedade estabeleceu historicamente. Assim as funções psíquicas superiores

15

no homem foram originadas nas primeiras formas de comunicação verbal entre as pessoas e

estão mediatizadas pelos signos, especificamente os signos linguísticos.

Para Vygotsky (2001) as funções intelectuais superiores e psicológicas aparecem duas

vezes: primeiro como interpsíquicas e depois como intrapsíquica. Neste sentido, desenvolveu

os conceitos de "área de desenvolvimento atual" e "zona de desenvolvimento proximal" de

suma importância para a educação como uma ciência. Conforme considerações vigotskianas

para "zona de desenvolvimento atual" significa o conhecimento disponível pelo aluno, o real

que possui, enquanto na "zona de desenvolvimento potencial" se entende que o aluno possa

chegar ao conhecimento com uma ajuda, seja outro estudante superior ou pelo próprio

professor. Esta consideração explica o relacionamento inicial interpsicológico e assimilação

pessoal e final do conhecimento, uma condição de caráter intra-psicológica.

Portanto, Vygotsky (2003a) define que a "zona de desenvolvimento proximal" é a distância

entre o nível real de desenvolvimento que é habitual determinado por resolução de problemas

e independente do nível de desenvolvimento potencial, determinado através de resolução de

problemas na direção de um adulto ou uma colaboração de pares mais capazes. A seguir a

figura 1 apresenta a estrutura da definição dada sobre a zona de desenvolvimento proximal.

Figura 1 - Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal

Fonte: PILAR (2003).

16

Então resumir-se a teoria de Vygotsky em quatro pressupostos: i) a base para o

desenvolvimento mental do homem é uma mudança na sua vida social ou sua atividade; ii) a

forma original do desempenho da atividade é realçada por um indivíduo no externo, social,

iii) as novas estruturas mentais que são formadas no homem são derivados da internalização

da forma inicial da atividade e, iv) diferentes sistemas de signos desempenham um papel

central para o processo de interiorização (Davydov; Zinchenko, 2003).

Vygotsky contribuiu de maneira significante, para o desenvolvimento de outras teorias

com mesmo enfoque, se pode considera-la como propulsora das outras teorias, que por sua

vez buscavam resolver algumas imperfeições encontradas na teoria histórico cultural. Como

por exemplo, Vygotsky não estabeleceu uma relação direta entre a psique e a atividade prática

do sujeito, mas cria as bases do princípio da unidade da psique e a atividade.

Posteriormente os trabalhos de Rubinstein e Leóntiev superam as críticas dos trabalhos de

Vygotsky. Rubinstein propõe analisar a atividade do sujeito como o objeto da psicologia, mas

tampouco revelou a relação concreta entre a psique e a atividade, nem no plano teórico, nem

no plano experimental (Talízina, 1988).

Talízina coloca que esta insuficiência foi resolvida por Leóntiev, sendo a principal objeção

apontada por ele, a necessidade de analisar, de forma crítica e objetiva, a teoria histórico-

cultural de Vygotsky expressando que não são apenas: os conceitos, significados, signos ou

instrumentos; mas a atividade real do sujeito que une o organismo com a realidade

circundante, que determina o desenvolvimento da consciência como um conjunto, como

algumas funções mentais (1988, p. 21).

Portanto Leóntiev torna a atividade o objeto da psicologia e é precisamente através dela,

que o sujeito se relaciona com o mundo. Em seus estudos sobre a estrutura das atividades

Leóntiev considerando o propósito e razão como elementos-chave e estabelecido, que tanto

devem corresponder também separar os conceitos de ação, atividade e operação. Neste

sentido, a atividade humana é parte das ações que são executadas através de operações.

Considerando a atividade mental como um caso especial da atividade humana na sua relação

com seu mundo material externo (Talízina, 1988, p. 23).

Segundo Talízina (.1988, p 30) afirma que: "... Leóntiev não apenas expõe a tese de sobre

a psique como atividade externa transformada, mas a forma de realização discutida totalmente

no processo de ontogenia. A investigação sistemática deste problema é um crédito para

Galperin e seus associados."

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Os trabalhos de Vygotsky, Leóntiev, Rubinstein e seus partidários conduziram, aos fines

dos anos 40, aos princípios que constitui os fundamentos da psicologia soviética e da teoria de

formação por etapas das ações mentais que são: a) o enfoque do caráter ativo do objeto da

psicologia (atividade), b) o reconhecimento da natureza social psíquica do homem e c) o

reconhecimento da unidade da atividade psíquica e a atividade externa, prática. (Talízina,

1988, p. 30).

Através da atividade o sujeito se relaciona com o objeto respondendo a suas necessidades e

adotando uma atitude. A interação entre o objeto e sujeito, possibilita ao último internalizar o

objeto e dá solução as tarefas. A vida humana está formada por um sistema de atividades e

elas não existe sem o objeto, mas este último pode-se apresentar independente do sujeito ou

como reflexo de sua interação.

A atividade está formada por ações, operações e objetivos, ou seja, o sujeito se relaciona

com o mundo exterior através de uma atividade que está formada por um sistema de ações, a

sua vez cada ação, por um sistema de operações para alcançar um objetivo. A atividade é

movida pelo motivo (material ou ideal), as ações pelo objetivo e as operações se originam

pelas condições da atividade, mas o motivo pode influenciar nas ações para alcançar objetivo.

Portanto, a assimilação dos conteúdos ou aquisição de conhecimento exige que o sujeito

realize um sistema de atividades, um sistema de ações que se pode transformar em habilidades

ou hábitos em determinadas condições do processo de ensino. A atividade ou ações ou

habilidade ou hábitos atuam como objeto de assimilação.

A teoria da atividade é baseada em instrução planejada, cuja intenção essencial é aumentar

a eficiência do processo instrutivo e educativo, utilizando os processos mais modernos de

técnicas disponíveis para a ciência.

Na teoria da atividade de Leóntiev (2004) o estudante se relaciona com o mundo através

da atividade que está formada por ações com suas respectivas operações para alcançar um

objetivo. Leóntiev reconhece nos trabalhos de Vygotsky que a atividade interna ou mental é

reflexo da atividade externa ou material, mas não indica como é esta transformação.

Em seguida Galperin indica o caminho para a transformação, não resolvida por Leóntiev,

ao colocar que a atividade antes de ser mental deve passar por cinco etapas qualitativas, que

são: primeira etapa, formação da base orientadora da ação; segunda etapa, formação da ação

em forma material ou materializada; terceira etapa, formação da ação verbal externa; quarta

etapa, formação da linguagem interna para si e a quinta etapa, formação da linguagem interna.

Isto se conhece como a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin

18

(GALPERIN; TALÍZINA, 1967, TALÍZINA, 1984, 1988). A continuação será exposta as

cinco etapas de formação das ações mentais.

Se começará por uma etapa zero além dos cincos que existe entre a forma material e

interna que é a motivacional. É conhecido para o professor se não existe motivação por parte

do estudante é difícil obter sucesso na aprendizagem.

E0: Motivacional, a motivação tem que começar dos alunos que queiram aprender e que

também influencia do professor transmitir seus conhecimentos ao indivíduo para mostrar uma

direção a ser seguida. Em outras palavras é o impulso interno que leva à ação de conquista o

seu objetivo.

E1: Elaboração da Base Orientadora da Ação (BOA), a BOA distingue-se por três

caraterísticas do sistema de ações, a primeira caraterística pode ser geral ou concreta, ou seja,

quando o estudante domina ações gerais em relação ao objetivo para resolver um número

maior de tarefas. A segunda está relacionada com o êxito da atividade que depende da

plenitude das ações orientadas que devem ser suficientes (completa) para alcançar o objetivo e

nunca insuficiente (incompleta). A terceira característica é a forma de obtenção do sistema

das ações pelo estudante, a partir das orientações do professor o estudante vai incorporando o

sistema de ações para dar solução às tarefas a serem desenvolvidas de forma independente.

Quando o professor apresenta o sistema de ações pronto, sem muito esforço para o estudante,

se diz que a forma de obtenção é preparada.

A continuação será exposta na tabela 1, os tipos de Base Orientadora da Ação.

Fonte: Talizina (1988, p.89).

Tabela 1 - Tipos de Base Orientadora da Ação

Nº Caráter Generalizado Plenitude Modo de Obtenção

1 Específica Incompleta Independente

2 Específica Completa Preparada

3 Generalizada Completa Independente

4 Generalizada Completa Preparada

5 Generalizada Incompleta Preparada

6 Generalizada Incompleta Independente

7 Específica Completa Independente

8 Específica Incompleta Preparada

19

Segundo Talízina (1988) a BOA mais produtiva é a orientada de forma geral, completa e

obtida de forma independe pelos estudantes, mas é possível utilizar outra BOA sempre que

seja completa dependendo das condições de ensino, ainda com limitações na retenção e

transferência.

Para Talízina desde o ponto de vista da motivação, é muito importante que o professor

trabalhe conjuntamente com os alunos, para que eles tenham a sensação que estão elaborando

junto com o professor a base orientadora da ação. O caráter generalizado das ações nesta

etapa está relaciona com a BOA selecionada, o professor deve explicar as ações passo a passo.

O professor deve verificar se aluno está claro como deve atuar, se não compreender há que

explicar novamente, mas compreender não significa assimilar, por isso ainda faltam quatro

etapas de assimilação (1984, p. 201- 202).

E2: Formação da ação em forma material ou materializada, o estudante deve realizar as

ações passo a passo com a ajuda de portadores externos da informação. O papel do professor é

ativo, deve verificar a execução da cada ação com suas respetivas operações e o controle do

objetivo e se é necessário realizar as correções necessárias. A generalização das ações está

limitada pelos casos padrões onde são aplicadas as ações. Ainda as ações são compartilhadas

com o professor e colegas e não automatizadas (consciente), mas saber fazer as ações não

significa saber explicar.

E3: Formação da ação verbal externa, a linguagem tem rol fundamental, o estudante deve

saber explicar as ações de forma consciente sem o apoio das ações externas materializadas e o

principal objetivo é assimilar as operações; se começa a trabalhar num plano teórico. A

posição do professor muda, nesta etapa aumenta a função reguladora no controle das ações

sendo muito importante corrigi-lo quando cometem erros. No final da etapa deve aumentar a

independência dos estudantes, mas é ainda explanada, compartilhada e consciente. É

necessário aumentar a complexidades dos problemas e/ou exercícios, devem ser heterogêneos,

diferentes e aplicados a diversas situações. A generalização toma outra dimensão, o sistema

de ações deve ser explicado pelos estudantes, alcançando certo grau de compactação ante

novas tarefas não trabalhadas nas etapas anteriores.

E4: Formação da ação na linguagem externa para si, ela é transitória antes da formação da

linguagem interno. Caracterizam-se pela realização das ações pelo estudante para adentro,

como se fosse um pensamento em voz alta, onde as ações são explanadas, conscientes e

generalizadas. As ações começam a reduzir-se rapidamente e automatizar- se dando passo a

internalização. O controle das ações passa do externo para o interno.

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E5: Formação da ação na linguagem interna, a atividade adquire a forma mental, ou seja,

as ações agora passam a ser mental, generalizada, comprimida, independente e automatizada.

Pode-se resumir que a internalização do objeto de estudo (conteúdos) consiste na

transformação de ações: externas em internas, materiais em mentais, não generalizada em

generalizadas, detalhas em comprimidas, conscientes em automatizadas, compartilhadas em

abreviadas.

1.2. Expressões algébricas e valor numérico

Quando teria o homem começado a fazer Matemática? Esta é uma pergunta

interessantíssima para a qual somente se pode levantar algumas conjecturas.

As descobertas científicas realizadas nas últimas décadas demonstram que a presença do

homem na terra é muito mais antiga do que e imaginava. Os registros arqueológicos indicam

que há cerca de 50.000 anos houve uma grande revolução, digamos “intelectual”, em nossa

espécie, talvez consequência de um salto evolutivo na linguagem.

Há cerca de 20.000 anos a arte já atingira grande qualidade, como demonstram as

belíssimas pinturas de animais em cavernas na França e Espanha, numa prova de que formas e

distribuições espaciais haviam se tornado familiares ao homem. A prática da contagem, em

especial de pessoas e de animais, é muito antiga: um osso com cerca de 10.000 anos de idade,

encontrado na África, exibe marcas de contagem.

Em torno de 4.000 a.C. aparecem formas primitivas de escrita que evoluíram e

consolidaram-se definitivamente na Mesopotâmia, com os Sumérios, e, poucos séculos

depois, no Egito dos Faraós. Os mais antigos documentos escritos que se conhecem tratam de

dois temas básicos: a glorificação dos reis e a contabilidade de impostos, estoques e

transações comerciais. Alguns especialistas chegam a conjecturar que a escrita foi inventada

para fazer registros numéricos.

Durante muitos séculos após sua invenção, o uso das escritas mesopotâmica e egípcia

ainda permaneceu restrito a um pequeno número de pessoas, os chamados escribas. A eles

competia registrar a história dos reis, a contabilidade dos impostos, os estoques, e as

transações comerciais. Ao fazê-lo, precisavam realizar pequenos cálculos aritméticos e

geométricos de modo que seus conhecimentos não mais poderiam limitar-se as técnicas das

letras e dos símbolos, mas deveriam incluir rudimentos matemáticos, que eles próprios

desenvolviam e passavam a seus sucessores. Costuma-se dizer que os primeiros

21

conhecimentos matemáticos foram sendo acumulados de maneira indutiva (ou empírica) e não

dedutiva.

É oportuno ressaltar, neste ponto, que os documentos matemáticos daquela época não

empregavam a alta dose de simbologia à qual estamos atualmente acostumados. De um modo

geral, somente os números eram representados por símbolos: os desenvolvimentos eram, em

sua quase totalidade, expressos por palavras, uma forma de expressão que hoje é conhecida

por “álgebra retórica”. Dentre os raros símbolos matemáticos criados pelos egípcios,

destacam-se o da soma e o da subtração, respectivamente um par de perninhas caminhando na

direção da escrita ou contrariamente a ela.

Um dos problemas de Ahmes dizia: “uma quantidade, somada a seus 2/3, mais sua metade

e mais sua sétima parte perfaz 33. Qual é esta quantidade?” Evidentemente, os egípcios não

adotavam a simbologia algébrica moderna, coisa inventada há poucos séculos. Não sabiam,

também, resolver por nossos métodos nem mesmo as equações do 1º grau. Entretanto, usavam

um artifício muito engenhoso que lhes permitia encontrar a resposta correta e que veio a ser

chamado de “regra da falsa posição”.

De qualquer forma, foram admiráveis os feitos dos valentes escribas, astrônomos e

“engenheiros” que viveram há milênios pois, mesmo na ignorância, não tiveram medo dos

números e enfrentaram-nos com as armas de que poderiam dispor: a persistência, a confiança

e a vontade de pensar.

A matemática tem várias ramificações, como a aritmética, que estuda os números e as

operações, e a geometria, que estuda o espaço e as formas. Agora vamos iniciar o estudo de

uma parte da matemática que, em sua linguagem, faz uso de letras no lugar de números: A

Álgebra.

O primeiro a escrever equações e expressões algébricas, apenas com letras e sinais

matemáticos, foi o matemático francês, François Viéte que viveu no século XVI. Apaixonado

por álgebra, esse matemático foi responsável pela introdução da primeira notação algébrica

sistematizada, além de contribuir para a teoria das equações. Ficou conhecido como o pai da

álgebra.

Vejamos agora um experimento bem simples de ser realizado. Adivinhando o resultado:

Pense em um número inteiro de 10 à 19, mas não me diga qual é. Some os dois algarismos.

Agora, subtraia essa soma do número que você pensou. Eu vou adivinhar o resultado final que

você encontrou. É 9! Certo?

22

Se você fizer essa pequena mágica com um colega ou com uma pessoa de sua família, vai

causar surpresa. Isso porque, mesmo sem conhecer o número pensado, você acha o resultado!

Mas o que parece uma mágica é, na verdade, uma aplicação da álgebra.

Primeiro veja o que acontece no caso particular em que o número pensado é 15:

Número pensado: 15, pode ser escrito assim: 10 + 5.

Soma dos algarismos: 1 + 5;

Número pensado menos a soma dos algarismos:

(10 + 5) – (1 + 5) = 10 + 5 – 1 – 5 = 9.

Agora, analisando o caso geral, veja que o número pensado pode ser:

10 + 0, 10 + 1, ... até 10 + 9. Por isso, vamos indicá-lo por 10 + x.

Número pensado: 10 + x;

Soma dos algarismos: 1 + x;

Número pensado menos a soma dos algarismos;

(10 + x) – (1 + x) = 10 + x – 1 – x = 9

Percebeu qual é o truque? Quando calculamos “número pensado menos a soma dos

algarismos”, o x desaparece, pois x – x = 0. Aí ficamos sempre com 10 – 1 = 9.

Usando a álgebra, vimos que o resultado final não depende do número escolhido: ele é

sempre igual à 9!

Usando letras, podemos escrever generalizações, isto é, fatos que valem para todos os

números de certo conjunto. Nesses casos, as letras são chamadas de variáveis quando

representam números reais são chamadas de variáveis reais, por exemplo, a adição de

quaisquer números reais é comutativa. Podemos representa-la da seguinte forma: se a e b são

números reais, então: a+b = b+a.

Substituindo as variáveis de uma expressão algébrica por números e efetuando os cálculos

indicados, obtemos o valor numérico da expressão, por exemplo, dada a expressão a + 2, onde

a = 3, chegaremos ao valor 5, que é o valor numérico da expressão.

Com a utilização de variáveis é possível descobrir como expressar o termo geral de uma

sequência, também generalizar muitas fórmulas matemáticas, como por exemplo, o cálculo da

diagonal de um polígono convexo, a fórmula para o cálculo da área do quadrado, retângulo e

etc.

As operações como a adição, subtração, multiplicação e a divisão também podem ser

efetuadas com expressões algébricas. Para iniciar o estudo dessas operações, vamos

considerar expressões algébricas simples, chamadas de monômios.

23

Monômios – são expressões algébricas que apresentam apenas um número, apenas uma

variável ou multiplicações entre números e variáveis.

Por exemplo:

a) 5x2y3 b) 2x c) x3 d)12

Em um monômio distinguimos duas partes: um número, que é o seu coeficiente, e uma

variável ou uma multiplicação de variáveis, que é a sua parte literal.

Por exemplo:

-2xy. O coeficiente é -2, e a parte literal é xy.

Monômios Semelhantes – possuem a mesma parte literal.

Por exemplo:

-6x e x, são monômios semelhantes.

Adição e Subtração – vamos considerar uma adição de monômios semelhantes.

Por exemplo:

7x3y2+5x3y2

Para somá-los, pode – se pensar assim: temos 7 monômios x3y2 mais cinco desses monômios;

logo temos 7 + 5, ou seja, 12 monômios x3y2. Portanto:

7x3y2+5x3y2 = 12x3y2

A subtração de monômios semelhantes também é feita dessa maneira.

Quando os monômios não são semelhantes, deixamos apenas indicada a soma deles, ou a

diferença.

Multiplicação - acompanhe a multiplicação do monômio x4 pelo monômio x3:

x4 . x3 = x . x . x . x . x . x . x = x7

Aqui, temos um exemplo da propriedade das potências: na multiplicação de potências de

mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes.

x4 . x3 = x4+3 = x7

Essa propriedade será utilizada na multiplicação de monômios.

Divisão – acompanhe a divisão do monômio x5 pelo monômio x3:

x5 / x3 = 𝑥5

𝑥3 = x . x . x . x . x

x . x . x = x2

Aqui, temos um exemplo de outra propriedade: na divisão de potências de mesma base,

mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Na álgebra, para iniciar o estudo das operações, consideramos expressões algébricas

simples, chamadas de monômios. Agora, faremos o mesmo estudo com os polinômios.

24

Polinômio – é qualquer monômio ou qualquer adição algébrica (isto é, adição ou

subtração) de monômios.

Exemplo:

2x + 3y – y3

Os monômios que formam um polinômio também são chamados de termos do polinômio.

Forma reduzida de um polinômio – considere o polinômio 2x5 + 5x3y2 – 7x5 + x3y2.

Ele possui termos semelhantes, isto é, de mesma parte literal. Sabemos que esses termos

podem ser somados ou subtraídos:

2x5 + 5x3y2 – 7x5 + x3y2 = 2x5 – 7x5 + 5x3y2 + x3y2 = -5x5 + 6x3y2

Dizemos então, -5x5 + 6x3y2 é a forma reduzida do polinômio 2x5 + 5x3y2 – 7x5 + x3y2.

Um polinômio está na sua forma reduzida quando não tem monômios semelhantes.

1.3. A Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico

A Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática, está orientada pelo objetivo de

resolver situações problema, na zona de desenvolvimento proximal, num contexto de ensino

aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante e a situação problema,

utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino, a tecnologia

disponível e outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo de

assimilação. (Mendoza, Tintorer, 2017).

A ASP em Matemática está formada por um sistema invariante de quatro ações com suas

respetivas operações que permitem solucionar várias classes de problemas matemáticos. A

continuação é exposta o sistema de ações com suas respectivas operações (Mendoza, 2009,

Mendoza et al.,2009, Mendoza; Tintorer, 2010).

A ASP em expressões algébricas e valor numérico está formada por quatro ações

invariantes que são: 1ª ação, compreender o problema; 2ª ação, montar a expressão algébrica;

3ª ação, solucionar a expressão algébrica, encontrar o valor numérico; 4ª ação, interpretar a

solução encontrada. Em cada ação existe um conjunto de operações com o objetivo de realizar

cada ação (Mendoza, 2009; Tintorer; Mendoza, 2009).

A primeira ação é compreender o problema e está formada pelas operações: ler o problema

e extrair todos os elementos desconhecidos; estudar os dados e suas condições e determinar

o(s) objetivo(s) do problema.

25

A segunda ação é construir o modelo matemático, que é determinar variável a ser utilizada

na expressão algébrica; atribuir o significado que a variável deve representar na expressão;

elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema.

A terceira ação que é de solucionar o modelo matemático a qual temos que, Observar as

variáveis da expressão algébrica, de acordo com os valores atribuídos a elas, realizar a

substituição nas expressões, em seguida realizar as operações existentes, encontrar a solução

do modelo matemático.

Por último a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações: interpretar o

resultado, extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do

problema, dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema, realizar uma reflexão baseado no(s)

objetivo(s) do problema, analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação

direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema existindo a possibilidade de reformular o

problema e assim construir novamente o modelo matemático e interpretar sua solução.

Portanto Talízina (1988, p. 14) afirma que o ensino planejado inclui os seguintes aspectos:

a) a escolha da teoria psicológica de estudo que responde melhor às características específicas

do ensino do homem;

b) a formulação e realização das exigências de direção do processo de estudo apresentada pela

teoria geral de direção;

c) a criação dos recursos técnicos de ensino orientados ao modelo selecionado de ensino que

satisfaça as exigências da teoria geral de direção.

A direção da atividade de estudo deve considerar os seguintes elementos: o objetivo de

ensino; o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes; as tarefas para garantir as

etapas do processo de assimilação; o enlace de retorno ou retroalimentação e a correção do

processo de estudo (Talízina, 1984, 1988, 1994).

Os conteúdos antes de ser internalizado pelos estudantes o sistema de ações da atividade

devem passar por cinco etapas qualitativas que são: E0, Motivação; E1, formação da Base

Orientadora da Ação (BOA); E2, formação da ação em forma material ou materializada; E3,

formação da ação em verbal externa; E4, formação da ação em linguagem externa par si e E5,

formação da ação em linguagem interno.

O processo de ensino aprendizagem deve estar sob o comando do professor seguindo os

princípios da teoria geral de direção, constituída por: o objetivo de ensino (D1), o estado de

partida da atividade psíquica dos estudantes (D2), o processo de assimilação (D3), a

retroalimentação (D4) e a correção (D5). Este processo deve ser cíclico e transparente

26

visando, como elemento principal, o processo de transformação da atividade externa à

atividade interna (Talízina, 1984, 1988, 1994,2000).

Se representará a direção da atividade a partir da figura 2, onde E1, E2 até E5 significa as

cinco etapas de formação das ações mentais.

Figura 2 - Direção da Atividade de Situações Problema

Fonte: (MENDOZA, 2009).

D3

D4

D5

ASP

BOA E1

D3

D4

D5

ASP

Interna E5 . . . D1 D2

27

CAPÍTULO II - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste capítulo será exposto os procedimentos metodológicos utilizados para que sejam

realizadas as coletas de dados e interpretação dos mesmos. A caracterização da pesquisa

ocorre mediante aprendizagem no conteúdo matemático de expressões algébricas e valor

numérico, ministrado aos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental II, do Colégio de

Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp – UFRR), utilizando como instrumento

de coleta uma prova de lápis e papel, na qual os resultados obtidos serão organizados em

tabelas e gráficos, para posteriormente serem analisados de forma qualitativa e quantitativa

com enfoque principal no qualitativo que é visto como essencial, evitando uma análise

inadequada dos dados.

2.1. Caracterização da pesquisa

O Colégio de Aplicação (CAp), o estabelecimento de ensino onde ocorreu a realização da

pesquisa, atualmente encontra-se vinculado ao Centro de Educação da Universidade Federal

de Roraima (CEDUC/UFRR), acompanhado dos cursos de Pedagogia, Psicologia e Educação

do Campo. Atende as seguintes modalidades de ensino: Ensino Fundamental I, Ensino

Fundamental II e Ensino Médio.

O colégio conta com boa infraestrutura, composta por salas temáticas climatizadas e

equipadas com materiais didáticos e eletrônicos. Compõem ainda a estrutura do CAp sala de

leitura, biblioteca, laboratório de informática, auditório, sala de recursos multifuncionais para

atendimento educacional especial, refeitório, laboratório de ciências, pátio interno entre outros

espaços administrativos e pedagógicos. Os estudantes que participaram da pesquisa fazem

parte de um turma formada por alunos que ingressaram no colégio por sorteio público e do

último processo seletivo de prova. Atualmente a única forma de ingresso é mediante sorteio

público.

A pesquisa se apresenta como uma abordagem mista, relacionando as informações

qualitativas com as quantitativas, com ênfase nas análises qualitativas; pretende-se através da

mesma, diagnosticar a aprendizagem, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico,

de vinte e dois estudantes do 8º ano do ensino fundamental II, do Colégio de Aplicação -

UFRR no ano de 2018, para isto será aplicado uma prova de lápis e papel, como instrumento

para análise dos resultados, sendo está fundamentada nas ações da Atividade de Situações

problemas (ASP) em Matemática. Recordemos que as ações da ASP são compreender o

28

problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a

solução.

2.2. Variáveis e categorias de análises

Como já mencionado, a corrente pesquisa é do tipo mista pois, relaciona as análises dos

resultados obtidos de forma qualitativa e quantitativa, com enfoque qualitativo. Na análise

qualitativa, o sistema de ações da ASP, se converte em categorias e as operações realizadas

pelo estudante em indicadores. As categorias qualitativas de análises da ASP em Matemática

são: compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo

matemático e interpretar a solução. Enquanto que na análise quantitativa, o sistema de ações

se converte em variáveis, e as operações em dimensões quantificadas, em uma escala de 1 até

5 pontos, de acordo com os indicadores essenciais, que é entendido como conhecimento

mínimo, que deve saber o estudante. Na tabela 2, apresentam-se as dimensões das categorias

para análise qualitativa e quantitativa, utilizados para análise da prova de lápis e papel.

Tabela 2 - Dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa

Aprendizagem no método resolução de problema em expressões algébricas.

Definição conceitual: é a capacidade dos alunos resolver problemas e suas transferências para novas

situações problema.

Definição operacional: é a diferença de desempenho comparando um ponto inicial com outro, a fim de

resolver problemas e estabelecer transferências para novas situações problema.

Dimensão Descrição

Y1 Desempenho de compreender o problema

Y2 Desempenho de construir o modelo

Y3 Desempenho de solucionar o modelo

Y4 Desempenho de interpretar a solução

Medição: para designar o resultado quantitativo a cada dimensão (Y1, Y2, Y3, Y4) será utilizado uma

escala de 1 até 5 pontos com os critérios:

Se o aluno tem somente correto o indicador essencial obterá a qualificação de três (3);

Se todos os indicadores estão incorretos obterá a qualificação de um (1);

Se todos os indicadores estão corretos obterá a qualificação de cinco (5);

Se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto e/ou existe pelo menos outro indicador

parcialmente correto obterá a qualificação de dois (2);

Se o indicador essencial está correto, mas existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá

a qualificação de quatro (4).

Fonte: (MENDOZA, 2009).

29

Se o aluno tem somente correto o indicador essencial, obterá qualificação de três

(Regular), se todos os indicadores estão incorretos, obterá qualificação de um (Muito Ruim),

se todos os indicadores estão corretos, obterá qualificação de cinco (Muito Bom), se o

indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto, obterá qualificação de dois

(Ruim), se o indicador essencial está correto, mas existe pelo menos outro indicador

parcialmente correto obterá qualificação de quatro (Bom).

Indicadores da dimensão “Nível da ação compreender o problema (Y1)”

O aluno extrai os dados do problema? O aluno determina as condições do problema? O aluno

define o(s) objetivo(s) do problema?

Indicador essencial: O aluno define o(s) objetivo(s) do problema.

Indicadores da dimensão “Nível da ação construir o modelo matemático (Y2)”

Determinar variável a ser utilizada na expressão; atribuir o significado que a variável deve

representar na expressão; elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições

extraídas do problema.

Indicador essencial: O aluno define e constrói o modelo matemático a partir das condições e

variáveis.

Indicadores da dimensão “Nível da ação solucionar o modelo matemático (Y3)”

Observar as variáveis da expressão algébrica, de acordo com os valores numéricos atribuídos

a elas, realizar a substituição nas expressões, em seguida realizar as operações existentes, e

por fim encontrar a solução do modelo matemático, ou seja, encontrar a solução da expressão.

Indicador essencial: O aluno deve utilizar o melhor caminho de passo a passo, que contenha

recurso necessário para solucionar o modelo matemático.

Indicadores da dimensão “Nível da ação interpretar a solução (Y4)”

Interpretar o resultado; extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s)

objetivo(s) do problema; dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema; analisar a partir de novos

dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo do problema, a

possibilidade de reformular o problema, construir novamente o modelo matemático,

solucionar o modelo matemático e interpretar a solução.

30

Indicador essencial: O aluno dá resposta ao(s) objetivo(s) do problema.

Considerando o indicador essencial como parâmetro, e a escala de critérios estabelecidos,

se determinará o valor alcançado por cada estudante. Os dados serão apresentados em tabelas

e gráficos, nas análises e discursões dos resultados.

2.3. Instrumento da pesquisa

A prova de lápis e papel, foi aplicada aos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental,

como instrumento de coleta de dados. O objetivo de utilizar esse recurso é obter informações,

que possibilitem realizar analises referentes a aprendizagem desenvolvimental, no conteúdo

de expressões algébricas e valor numérico. A prova contém cinco questões, relaciona-se em

cada questão as categorias da ASP, dessa maneira possibilitará, uma análise quantitativa e

qualitativa, mais eficiente dos resultados.

Prova

Questão 1

Escreva as expressões algébricas que correspondem as sentenças matemáticas abaixo. Em

seguida, calcule o valor numérico de cada uma delas para x = 2.

a) A soma de um número com 6;

b) O quíntuplo de um número menos 3.

Observa-se que a questão envolve as ações: compreender o problema, construir o modelo

matemático e soluciona-lo. É necessário que o estudante seja capaz de extrair os dados do

problema, através das informações obtidas, determinar a variável a ser utilizada para construir

as expressões algébricas, depois de construir as expressões, o estudante precisa substituir

corretamente o valor numérico que a variável utilizada representa, em seguida realizar as

operações de multiplicação, adição e subtração com números inteiros. Dessa forma o

estudante solucionará o modelo matemático, ou seja encontrará as soluções das expressões

algébricas.

Questão 2

Calcule o valor numérico das expressões algébricas abaixo para x = -2 e y = 3.

a) x + 3y b) x2 + 5y

31

Esta questão, envolve apenas a ação solucionar o modelo matemático. Como a questão

determina o valor numérico das variáveis estabelecidas nas expressões, o estudante necessita

substitui-lo corretamente nas variáveis das expressões, realizar em seguida, as operações de

potenciação, multiplicação e adição com números inteiros. Assim, encontrará a solução das

expressões algébricas.

Questão 3

A quantidade de água (L), em litros, que uma bomba pode retirar de um poço e levar até

uma caixa-d’água, no alto de uma residência, é representada por L = 45t + 10, em que t é o

tempo em minutos (t>0). Quantos litros de água essa bomba terá colocado na caixa-d’água

após uma hora de funcionamento?

A questão relaciona as ações compreender o problema, solucionar o modelo matemático e

interpretar a solução; sendo que esta última ação não poderá ser analisada com clareza em

decorrência da formulação da questão. O estudante necessita extrair os dados do problema, o

mesmo perceberá que o modelo matemático já se encontra pronto, então terá que encontrar o

valor da variável presente na expressão, substituir corretamente o valor numérico que a

variável representa, e em seguida realizar as operações de multiplicação e adição de números

inteiros, dessa maneira será encontrada a solução da expressão algébrica. Depois de encontrar

o resultado, ou seja solucionar o modelo matemático o estudante terá condições para dar

resposta ao problema.

Questão 4

O valor de venda de certo chocolate é obtido pela soma do valor da embalagem mais o

dobro do valor de produção:

a) Escreva uma expressão algébrica que representa o valor de venda deste chocolate.

b) Qual será o preço de venda desse chocolate se o valor da embalagem for R$ 2,75 e o

valor de produção for R$ 6,00?

A questão permite relacionar todas as ações, lembrando que as ações são: compreender o

problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo e interpretar a solução. A

32

ação interpretar a solução, não pode ser analisada com clareza, em consequência da

formulação da questão.

Esta questão exige do estudante, um pensamento mais estruturado acerca do conteúdo

estudado, pois ao extrair os dados do problema, o mesmo necessita determinar as variáveis e

o significado delas no problema, a partir daí construir o modelo matemático, ou seja, a

expressão algébrica; depois de construí-la, o estudante precisa substituir corretamente, os

valores numéricos que as variáveis representam na expressão, em seguida realizar as

operações de multiplicação e adição; dessa forma será obtido a solução do modelo

matemático. Após soluciona-lo, o estudante deverá interpretar a solução e dar resposta ao

problema.

Questão 5

Na bilheteria do cinema há um cartaz com o preço dos ingressos.

Criança: R$ 8,00.

Adulto: R$ 16,00.

Se foram vendidos 120 ingressos para adulto e 215 ingressos para criança, qual o valor

arrecadado?

Nesta questão assim como na anterior, estão relacionadas as quatro ações; compreender o

problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo e interpretar a solução. Tendo

em vista que, devido a formulação da questão, a ação interpretar a solução não se verifica com

clareza.

O estudante deve extrair as informações do problema, precisa determinar as variáveis e o

significado delas no problema, a partir daí construir o modelo matemático, ou seja, a

expressão algébrica; depois de construí-la, é necessário substituir corretamente os valores

numéricos que as variáveis representam na expressão, em seguida realizar as operações de

multiplicação e adição. Assim, será obtido a solução do modelo matemático, após soluciona-

lo o estudante deverá interpretar a solução e dar resposta ao problema.

33

CAPITULO III: RESULTADOS E ANÁLISES

No decorrer deste capítulo, será apresentado e analisado o desempenho, obtido pelos vinte

e dois estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental, que realizaram a prova de lápis e papel,

no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico. Como resultado das análises

quantitativas, os dados coletados serão organizados e apresentados em tabelas e gráficos, que

serviram de base para as análises qualitativas do desempenho obtido.

Em cada questão da prova, encontra-se analises do desempenho quantitativo e qualitativo,

dos estudantes em relação às ações da ASP e suas respectivas operações. Em seguida, uma

análise geral das médias das ações da ASP, e por fim, será selecionado uma prova de cada

faixa de frequência, para uma análise mais detalhada.

3.1. Diagnóstico da aprendizagem dos estudantes

O diagnóstico da aprendizagem dos estudantes, no conteúdo de expressões algébricas e

valor numérico, obtido através do instrumento prova de lápis e papel, tem o objetivo de buscar

informações através das categorias da ASP, do nível de aprendizagem alcançado pelos

estudantes, diante da utilização da teoria histórico-cultural. As ações da ASP são convertidas

nas seguintes categorias qualitativas de análises: compreender o problema, construir o modelo

matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução. Levando em

consideração que as questões expressas na prova, não permitem avaliar com clareza a quarta

ação, que é interpretar a solução.

A prova diagnóstica foi elaborada de maneira específica, composta por cinco questões

buscou-se relacionar as categorias da ASP nas mesmas, dessa forma possibilitou uma análise

minuciosa dos resultados; os valores quantitativos empregados nas questões são atribuídos de

acordo com a tabela 2 apresentada anteriormente.

Os resultados exibidos a seguir, representa o desempenho dos estudantes no conteúdo de

expressões algébricas e valor numérico alcançados na prova diagnóstica, a continuação será

apresentada as tabelas e gráficos dos resultados obtidos em cada questão. O intuito é analisar

qualitativamente o desempenho dos estudantes, a partir dos dados quantitativos que obtiveram

na prova.

A seguir, a tabela 3 e o gráfico 1 expostos abaixo, referem-se ao desempenho dos

estudantes na questão 1.

34

Tabela 3 - Resultado dos estudantes na questão 1

E Q-1

1 – A 2 - A 3 – A

A B A B A B

E01 5 5 5 5 5 5

E02 5 2 5 2 5 1

E03 1 1 1 1 1 1

E04 5 3 5 2 5 1

E05 5 2 5 2 5 1

E06 5 5 5 5 5 5

E07 5 2 5 2 5 1

E08 5 5 5 4 5 3

E09 5 5 5 5 5 3

E10 5 5 5 5 5 5

E11 5 5 5 5 5 5

E12 5 5 5 5 5 5

E13 5 5 5 5 5 5

E14 5 5 5 5 5 5

E15 5 5 5 5 5 5

E16 5 5 5 5 5 5

E17 5 5 5 5 5 5

E18 5 5 5 5 5 5

E19 5 5 5 5 5 5

E20 5 5 5 5 5 5

E21 5 5 5 5 5 5

E22 5 5 5 5 5 5

Media 4,8 4,3 4,8 4,2 4,8 3,9

Mediana 5 5 5 5 5 5

Moda 5 5 5 5 5 5

DP 0,83 1,29 0,83 1,35 0,83 1,68

Fonte: confeccionada pela autora (2018).

Gráfico 1 - Resultado dos estudantes na questão 1


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22

Médias das Ações da P-1

1ªA 2ªA 3ªA

35

A questão relaciona as três ações da ASP: compreender o problema, construir o modelo

matemático e solucioná-lo. Dos 22 estudantes que participaram da pesquisa, 15 obtiveram

pontuação máxima em todas as ações analisadas, o que é um excelente resultado e mostra que

a maioria da turma extraiu os dados do problema, através das informações determinou a

variável a ser utilizada na expressão algébrica, depois de montar a expressão, substituiu o

valor numérico que a variável utilizada representa, e em seguida encontraram corretamente a

solução do problema.

Através do gráfico 1, observa-se um rendimento bom nas médias dos estudantes (E-08 e E-

09), ambos apresentam pontuações entre 4 e 5 nas ações analisadas; outra característica destes

estudantes é que retratam pontuações mais elevadas nas ações compreender o problema e

montar a expressão, ao solucioná-la apresentam rendimentos mais baixos, sendo que os erros

cometidos com mais frequência nestes casos são aritméticos, não estão ligados em si ao

conteúdo estudado, ou a compreensão do que se pede na questão. Já os estudantes (E-02, E-

04, E-05 e E-07), apresentam rendimento regular com pontuações entre 3 e 4. Observa-se que

conseguem pontuações mais elevadas nas primeiras ações, e que esses rendimentos são

menores na última ação, esse comportamento ao aparecer se manifesta por que os estudantes

não compreendem corretamente o problema, por seguinte não avançam corretamente para as

próximas ações; nestes casos os erros cometidos com mais frequência não são apenas

aritméticos, estão relacionados a interpretação inadequada dos dados da questão, e também ao

conteúdo estudado.

Apenas o E-03 apresenta características diferentes dos demais estudantes, não consegue

avançar em nenhuma das ações analisadas. Não compreende o que se pede na questão, não

conseguiu extrair os dados e consequentemente não avança nas outras ações; novamente

podemos perceber que as ações estão relacionadas entre si pois, se o estudante não

compreende o que se pede questão, dificilmente conseguirá avançar nas outras ações.

A seguir, será exposta a tabela 4 e o gráfico 2, que representam o desempenho dos

estudantes na questão 2.


Q-2

3ªA

E A B Média

E01 3 3 3,0

E02 5 4 4,5

E03 1 1 1,0

E04 5 4 4,5

E05 1 1 1,0

E06 4 4 4,0

36

E07 3 3 3,0

E08 2 2 2,0

E09 3 5 4,0

E10 5 4 4,5

E11 5 4 4,5

E12 5 4 4,5

E13 5 5 5,0

E14 5 5 5,0

E15 5 5 5,0

E16 5 5 5,0

E17 5 5 5,0

E18 5 5 5,0

E19 5 5 5,0

E20 5 5 5,0

E21 5 5 5,0

E22 5 5 5,0

Media 4,2 4,0 4,1

Mediana 5 4,5 4,5

Moda 5 5 5

DP 1,34 1,26 1,26




Esta questão envolve apenas a ação solucionar o modelo matemático, tendo o estudante

que determinar o valor numérico das expressões algébricas, para isto, necessita substituir

corretamente o valor das variáveis, realizar em seguida as operações de potenciação,

multiplicação e adição com números inteiros.

A média obtida pelos estudantes oscilaram de 4,0 a 4,2; então pode-se considerar que

obtiveram um bom desempenho na questão. 10 estudantes (E-13, E-14, E-15, E-16, E-17, E-

18, E-19, E-20, E-21 e E-22) obtiveram pontuação máxima, ou seja, solucionaram

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0


Média da 3ª Ação da P-2

37

corretamente a expressão algébrica; os estudantes (E-02, E-04, E-06, E-09, E-10, E-11 e E-

12) apresentaram pontuação entre 4 e 5, então conseguiram fazer corretamente o indicador

essencial, mais existe pelo menos outro parcialmente correto, ou seja, substituíram

corretamente o valor da variável e cometeram pequenos erros aritméticos. Com pontuação

entre 3 e 2 estão os estudantes (E-01, E-07 e E-08), estes substituíram parcialmente correto o

valor das variáveis nas expressões algébricas e por seguinte não chegaram a solução correta;

já os estudantes (E-03 e E-05), não conseguiram desempenho na ação, obtendo dessa forma

pontuação 1.

A tabela 5 e o gráfico 3 abaixo, expõe o desempenho dos estudantes na questão 3.


Q-3

E 1ªA 3ªA 4ªA

E01 1 1 1

E02 1 1 1

E03 1 1 1

E04 1 1 1

E05 1 2 1

E06 1 2 1

E07 2 3 1

E08 1 1 1

E09 2 1 1

E10 1 1 1

E11 5 5 5

E12 1 1 1

E13 1 1 1

E14 1 1 1

E15 5 5 5

E16 5 5 5

E17 5 5 5

E18 5 5 5

E19 5 5 5

E20 5 5 5

E21 5 5 5

E22 5 5 5

Media 2,7 2,8 2,6

Mediana 1,5 2 1

Moda 1 1 1

DP 1,91 1,87 1,97


Nesta questão é dada a expressão algébrica, o estudante necessita compreender o

problema, solucionar a expressão e interpretar a solução. Os resultados apresentados mostram

que a maioria dos estudantes obtiveram rendimento ruim, apresentam uma média que oscila

38

entre 2,6 e 2,8; outra característica é que exibem moda igual a 1, indicando que está foi a nota

que mais se repetiu, a mesma indica que os estudantes não conseguiram avançar em nenhuma

das ações analisadas.



Dos 22 estudantes que realizaram a prova, 9 (E-01, E-02, E-03, E-04, E-08, E-10, E-12, E-

13 e E-14) obtiveram nota 1 em todas as ações, ou seja, não interpretaram o problema, não

substituíram a variável na expressão algébrica e por seguinte não deram resposta ao problema.

Os estudantes (E-05, E-06, E-07 e E-09) apresentam pontuação entre 3 e 1 nas análises

quantitativas, onde 3 exprime que o estudante tem somente o indicador essencial correto e 1

não realizou corretamente nenhum dos indicadores essenciais. Os demais estudantes

alcançaram pontuação máxima em todas as ações.

A tabela 6 e gráfico 4 apresentados a seguir, representam o desempenho dos estudantes na

questão 4.


Q-4

E 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Total

E01 5 5 5 5 20

E02 5 5 5 4 19

E03 1 1 4 5 11

E04 1 1 5 4 11

E05 1 2 1 1 5

E06 1 1 1 1 4

E07 5 5 5 5 20

E08 1 1 1 1 4

E09 1 1 4 4 10

E10 5 5 5 5 20

0

1

2

3

4

5


Resultado da P-3

1ªA 3ªA 4ªA

39

E11 5 5 5 5 20

E12 5 5 5 5 20

E13 5 5 5 5 20

E14 5 5 5 5 20

E15 5 5 5 5 20

E16 5 5 5 5 20

E17 5 5 5 5 20

E18 5 5 5 5 20

E19 5 5 5 5 20

E20 5 5 5 5 20

E21 5 5 5 5 20

E22 5 5 5 5 20

Media 3,9 4,0 4,4 4,3 16,5

Mediana 5 5 5 5 20

Moda 5 5 5 5 20

DP 1,78 1,72 1,37 1,36 5,79




Na questão 4, apresenta-se uma situação-problema que relaciona as quatro ações da ASP;

dos 22 estudantes analisados, 15 obtiveram um desempenho muito bom, apresentaram

pontuação 5 nas quatro ações da ASP em matemática, ou seja, constroem a expressão

algébrica de acordo com os dados do problema, solucionam a expressão realizando

corretamente as substituições das variáveis, realizam as operações de multiplicação e soma,

em seguida interpretam a solução.

Os estudantes (E-02, E-03, E-04, E-05 e E-09) apresentam nas ações analisadas, resultados

que oscilam desde a pontuação máxima até a mínima, a maioria destes não extraíram os dados

0

1

2

3

4

5


Resultados da P-4

1ªA 2ªA 3ªA 4ªA

40

do problema, e não montaram a expressão algébrica, mais através de ensaio e erro encontram

a solução correta, ou parcialmente correta do problema. O estudante E-02 exibe característica

diferente dos demais pois, extrai os dados do problema, monta a expressão algébrica, substitui

corretamente o valor das variáveis na expressão, soluciona a expressão mais não apresenta a

interpretação da solução do problema. Já os estudantes (E-06 e E-08) apresentam pontuação 1

em todas as ações, ou seja, não conseguem avançar em nenhuma das categorias analisadas.

Geralmente os estudantes que não compreendem o problema e não extrai os dados do mesmo,

apresentam dificuldade para avançar pelas próximas ações, quando avançam as pontuações na

grande maioria das vezes são inferiores a máxima, indicando que as ações estão relacionadas

entre si; isto é, os estudantes que conseguem pontuações máxima nas primeiras ações

apresentam maiores chances de avançar pelas próximas ações com pontuações máximas.

A seguir a tabela 7 e o gráfico 5, representam o desempenho dos estudantes na questão 5

da prova diagnóstica.


Q-5


E01 5 5 5 5 20

E02 5 5 5 5 20

E03 1 1 1 2 5

E04 1 1 1 1 4

E05 2 1 1 1 5

E06 4 3 5 4 16

E07 5 4 5 5 19

E08 5 5 5 5 20

E09 5 5 5 5 20

E10 5 4 5 5 19

E11 5 5 5 5 20

E12 5 5 5 5 20

E13 5 5 5 5 20

E14 5 5 5 5 20

E15 5 5 5 5 20

E16 5 5 5 5 20

E17 5 5 5 5 20

E18 5 5 5 5 20

E19 5 5 5 5 20

E20 5 5 5 5 20

E21 5 5 5 5 20

E22 5 5 5 5 20

Media 4,5 4,3 4,5 4,5 17,6

Mediana 5 5 5 5 20

Moda 5 5 5 5 20

DP 1,27 1,39 1,37 1,27 5,23


Nesta questão assim como na anterior, apresenta-se uma situação-problema que

relacionam as quatro ações da ASP, dos 22 estudantes analisados, apenas o estudante E-04

41

apresenta pontuação 1 como resultado em todas as ações; 16 obtiveram um desempenho

muito bom, apresentando pontuação 5 nas quatro ações da ASP em matemática, estes

constroem a expressão algébrica de acordo com os dados do problema, solucionam a

expressão realizando corretamente as substituições das variáveis, e as operações de

multiplicação e soma; em seguida apresentam a solução do problema.



Os estudantes (E-03, E-05, E-06, E-07 e E-10) apresentam oscilações entre a pontuação

máxima e a mínima. Os estudantes E-03 e E-05 exibem características parecidas, apresenta

pontuação 2 como maior valor alcançado. O E-03 não apresenta desempenho nas três

primeiras ações, que são: compreender o problema, montar a expressão algébrica e soluciona-

la, obtendo assim pontuação 1, contudo expõe a interpretação da solução de maneira aleatória

mais com certa lógica, obtém 2 nesta ação; já o E-05 obteve pontuação 2 na primeira ação

pois, não compreende corretamente o problema mais extrai alguns dados corretos, por

seguinte não avança nas próximas ações analisadas, obtendo dessa maneira pontuação 1. Os

demais estudantes cometeram pequenos erros principalmente ao montar a expressão algébrica.

0

1

2

3

4

5


Resultados da P-5

1ªA 2ªA 3ªA 4ªA

42

3.2. Relações entre as ações na Atividade de Situações Problema

A seguir, a tabela 8 e o gráfico 6 expostos abaixo, representam a média que os estudantes

obtiveram nas quatro ações analisadas na prova, a partir desses dados é possível observar por

meio da Média, Mediana, Moda e Desvio Padrão, o resumo do comportamento dos dados

desse conjunto, ou seja, o desempenho dos estudantes em cada ação.

Tabela 8 - Resultado das médias das ações

Médias das Ações


E01 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1

E02 3,6 4,3 3,4 3,3 14,6

E03 1,0 1,0 1,6 2,7 6,3

E04 2,2 2,3 2,6 2,0 9,1

E05 2,2 2,5 2,0 1,0 7,7

E06 3,2 3,5 3,6 2,0 12,3

E07 3,8 4,0 3,8 3,7 15,3

E08 3,4 3,8 3,0 2,3 12,5

E09 3,6 4,0 3,6 3,3 14,5

E10 4,2 4,8 4,2 3,7 16,8

E11 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E12 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1

E13 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1

E14 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1

E15 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E16 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E17 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E18 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E19 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E20 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E21 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

E22 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0

Media 3,95 4,25 3,98 3,68 15,86

Mediana 4,20 5,00 4,20 3,67 17,07

Moda 5 5 5 5 20

DP 1,10 1,12 1,02 1,19 4,24


43

Gráfico 6 - Resultado das médias das ações


A média, moda e a mediana, servem para medir a tendência dos valores, nas ações

desenvolvidas pelos estudantes na prova. Apresenta-se como valor máximo a pontuação 5,

que ocorre quando o estudante realiza corretamente todos os indicadores, conforme descrito

na tabela 2. Observa-se que a média apresentada na primeira ação é 3,95 indicando que os

estudantes na compreensão do problema tiveram desempenho regular, na segunda ação

retratam média 4,25, ou seja, apresentam bom desempenho ao montar as expressões

algébricas; ao verificar a terceira ação que é solucionar a expressão, os estudantes apresentam

média 3,98 indicando desempenho regular assim como na primeira ação; e na última ação

analisada que é interpretar a solução, os estudantes apresentam 3,68 de média, que pode ser

considerado também como desempenho regular.

A mediana varia entre 5 e 3,67. Na compreensão e solução do problema os estudantes

apresentam mediana 4,2; na ação montar a expressão algébrica retratam 5, que é a pontuação

máxima que podem alcançar, e na interpretação do problema apresentam 3,67. A moda nas

4,23,6

1,02,2 2,2

3,23,8 3,4 3,6

4,25,0

4,2 4,2 4,25,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0

5,0

4,3

1,0

2,3 2,5

3,5

4,03,8

4,0

4,8

5,0

5,0 5,0 5,0

5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0

4,2

3,4

1,6

2,6 2,0

3,6

3,8

3,0

3,6

4,2

5,0

4,2 4,2 4,2

5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0

3,7

3,3

2,7

2,0

1,0

2,0

3,7

2,3

3,3

3,7

5,0

3,7 3,7 3,7

5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0


Média das Ações

1ªA 2ªA 3ªA 4ªA

44

quatro ações analisadas tem resultado 5, indicando que essa foi a pontuação que mais se

repetiu. Observa-se que os resultados obtidos na mediana e moda seguem comportamentos

parecidos com a média, isso acontece por que ambas medem a tendência dos resultados, então

ao parecer os estudantes de modo geral, tiveram mais facilidade para montar as expressões

algébricas, pois, nesta ação apresentam melhores resultados, e maior dificuldade em

interpretar as soluções dos problemas, pois, observa-se resultados mais baixo se comparados

com as outras ações analisadas.

De posse dessas informações é possível explicar a homogeneidade da turma, como medida

de variabilidade o desvio padrão expressa o grau de dispersão do conjunto de médias, ou seja,

indica o quanto esses dados são regulares, quanto mais próximo de zero for o desvio padrão,

mais homogênea será a turma. De acordo com os resultados expostos na tabela, os estudantes

não apresentam um comportamento homogêneo, pois, o desvio padrão em todas as ações está

entre 1 e 1,19.

A seguir, apresenta-se na tabela 9 e figura 3, os resultados das médias obtidas pelos

estudantes, nas ações analisadas na prova. De acordo com os intervalos estabelecidos na

tabela 9, foram obtidas as seguintes frequências.


Figura 3 – Frequência do total

Fonte: confeccionada pela autora, (2018).

5%10%

20%65%

Frequência do Total

"4-7"

"8-11"

"12-15"

"16-20"

Tabela 9 – Intervalos de frequência

Intervalo Frequência

"4-7" 1

"8-11" 2

"12-15" 4

"16-20" 13

45

De acordo com as informações exibidas na figura 3, infere-se que, 65% dos estudantes que

realizaram a prova, encontram-se com média entre o intervalo 16-20, expressando que a

maioria apresentaram bons resultados; 20% estão entre 12-15, 10% representa os estudantes

que obtiveram médias entre o intervalo 8-11 e 5% os que ficaram entre 4-7, este último

resultado, indica que uma pequena porcentagem de estudantes, apresentam resultados não

satisfatórios.

Com o intuito de realizar uma análise minuciosa das frequências obtidas, foi selecionada

uma prova por faixa de frequência, em cada prova foram realizadas as referidas análises. A

seguir, apresenta-se a análise da prova entre o intervalo 16-20, que representa 65% dos

estudantes.

Figura 4 – Questão 1 da prova referente ao intervalo 16-20


A figura 4 representa a primeira questão da prova, encontra-se relacionadas as ações

compreender o problema, montar e solucionar a expressão algébrica. É possivel observar que,

o estudante compreende e extrai os dados corretamente do problema, em seguida monta e

substitui os valores numéricos que a variável representa, e por fim soluciona a expreessão de

forma exata, obtendo resultado 5 que é a pontuação maxima, em todas as ações analisadas.



A segunda questão encontra-se representada na figura 5, a mesma envolve apenas a ação

solucionar a expressão algébrica; observa-se que o estudante substitui corretamente o valor

46

das variáveis nas expressões, realiza as operações de potenciação, multiplicação, soma e

diferença, e em seguida encontra a solução exata nas duas expressões. Desta forma alcança

pontuação máxima nesta ação.



Na figura 6 encontra-se a questão 3, nesta relacionam-se as ações: interpretar o problema,

solucionar a expressão algébrica e interpretar a solução encontrada. O estudante realiza a

interpretação correta do problema, extrai os dados, substitui o valor da variável na expressão,

encontra a solução exata e em seguida, interpreta a solução do problema. Consegue pontuação

5 em todas as ações analisadas.



A questão 4 representada pela figura 7, envolve as quatro ações da ASP em expressões

algébricas e valor numérico. As ações são: compreender o problema, construir e solucionar as

expressões algébricas, e por fim interpretar a solução encontrada.

47

Observa-se que, o estudante compreende e extrai corretamente os dados do problema,

constrói a expressão algébrica de acordo com o que se pede na questão, soluciona

corretamente a expressão, e na ação interpretar a solução, o estudante a exprime de maneira

simples, mais a forma de resolver e organizar os resultados, deixam claro que o mesmo

entendeu a solução do problema, dessa maneira obtém pontuação máxima em todas as ações

analisadas.



A figura 8 exibe a última questão da prova, nesta assim como na anterior relaciona as

quatro ações. O estudante do mesmo modo que nas outras questões, apresenta pontuação

máxima em todas as ações, pois, interpreta e extrai os dados do problema, constrói a

expressão algébrica de acordo com dados obtidos, em seguida soluciona a expressão e

interpreta a solução encontrada. O estudante selecionado no intervalo de 16-20, obteve

pontuação máxima na prova, pois, realizou corretamente todas as ações analisadas nas cinco

questões. Por seguinte, é selecionada a prova de um estudante entre o intervalo 12-15 para

realizar as análises.



48

A figura 9 apresenta a questão 1, nela estão relacionadas as ações interpretar o problema,

construir e solucionar a expressão algébrica. Nota-se que o estudante no item a, interpreta de

maneira correta, extrai os dados do problema; em seguida constrói a expressão, substitui o

valor da variável e encontra a solução correta, obtendo assim, pontuação 5 em todas as ações.

Já no item b, ele não compreende totalmente o problema, pois, extrai os dados e constrói a

expressão de maneira parcialmente correta, então alcança pontuação 3 nessas duas ações, e ao

solucionar a expressão encontra resultado incorreto, obtendo pontuação 1 nesta ação.



Esta questão envolve a ação solucionar a expressão algébrica, observa-se que o estudante

substituiu corretamente o valor numérico das variáveis nas expressões, em seguida realiza as

operações de potenciação, multiplicação, soma e diferença que estão presentes nas

expressões, encontrando desse modo as soluções exatas. Nesta ação alcança resultado 5, que é

a pontuação máxima.



Na questão 3 apresentada na figura 11, estão envolvidas as ações: interpretar o problema,

solucionar e interpretar a solução. Nesta questão, o estudante não compreende corretamente o

problema, observa-se que ele extrai a expressão dada no problema, no entanto, não realiza a

substituição da variável na expressão, por seguinte não conseguiu encontrar a solução,

49

consequentemente não avança em nenhuma das ações analisadas na questão, alcançando

resultado 1 em todas.



A figura 12 exibe a questão 4 da prova, nela encontram-se as quatro ações analisadas no

conteúdo de expressões algébricas e valor numérico. O estudante conseguiu pontuação 5 em

todas as ações, pois, compreende e extrai os dados do problema, constrói a expressão

algébrica, realiza a substituição das variáveis corretamente, em seguida soluciona a expressão

fazendo de maneira correta as operações de multiplicação e soma. Na interpretação, pela

forma de resolver e organizar os resultados entendeu a solução do problema.



50

Na questão 5 exibida pela figura 13, estão relacionadas as quatro ações. Nota-se que o

estudante compreende o problema, extrai os dados e constrói a expressão algébrica, em

seguida soluciona a expressão substituindo corretamente o valor das variáveis, realiza as

operações de multiplicação e soma, e por fim, interpreta a solução apresentando resposta ao

problema, dessa forma conseguiu obter pontuação 5 que é o resultado máximo, em cada ação

analisada.

A seguir é escolhida a prova de um estudante entre o intervalo 8-11, para realizar as

análises.



A questão 1 representada pela figura 14, envolve as seguintes ações: compreender o

problema, construir e solucionar a expressão algébrica. O desempenho do estudante nesta

questão é muito bom, o mesmo realiza corretamente todas as ações, obtendo dessa forma

pontuação 5. Verifica-se que estudante compreende o que se pede na questão, pois, constrói as

expressões algébricas de acordo com os dados extraídos, logo após realiza a substituição da

variável nas duas expressões, em seguida efetua as operações de multiplicação e soma,

apresentando assim resultado correto ao final da solução.



A figura 15 exibe a questão 2, nela consiste apenas a ação solucionar a expressão

algébrica, observa-se que o estudante realiza corretamente a substituição das variáveis nas

duas expressões, no entanto, não encontra a solução correta, pois, o mesmo comete erros nas

51

operações de multiplicação, soma e diferença existentes nas expressões. O resultado

alcançado pelo estudante nesta ação é 2.



Na questão 3, como segue na representação pela figura 16, o estudante não realiza

nenhuma das ações presentes nesta questão que são: compreender o problema, solucionar e

interpretar a solução. Observa-se que o mesmo não compreende o problema, extrai os dados

de forma desorganizada e equivocada, dessa maneira, não avança na solução da expressão e

por seguinte não realiza sua interpretação. Alcançando nessas condições, pontuação 1 em

todas as ações analisadas, que é o resultado mínimo possível.



52

A questão 4, expõe o desempenho do estudante, ao resolver uma situação problema,

envolvendo as quatro ações da ASP em expressões algébricas, através da figura 17, observa-

se que o estudante não compreende o que se pede na questão, extrai os dados e constrói a

expressão algébrica de maneira incorreta, em seguida realiza tentativa de resolver o problema

por meio da operação de multiplicação, encontrando dessa forma solução incorreta, e por

seguinte não interpreta a solução. Recebe resultado 1, em todas as ações analisadas nesta

questão.



A figura 18, apresenta o desempenho do estudante na questão 5 da prova diagnóstica, estão

relacionadas as quatro ações da ASP que são: compreender o problema, construir a expressão

algébrica, soluciona-la e interpretar o resultado. Verifica-se que o estudante interpreta o

problema e extrai os dados corretamente, em seguida, mesmo sem construir a expressão

algébrica é capaz de chegar a solução parcialmente correta do problema, pois, para a solução

completa, necessitava somar os resultados que obteve ao realizar as multiplicações, por

seguinte não exprime a interpretação da solução. Então apresenta nesta questão os seguintes

resultados, na ação compreender e construir consegue pontuação 5, solucionar 4 e interpretar

a solução 1.

A seguir é escolhida a prova de um estudante, que se encontra entre 4-7, o ultimo intervalo

analisado neste trabalho.

53



A figura 19, expõe o desempenho do estudante na questão 1 da prova, encontra-se

relacionada nesta questão as seguintes ações: compreender o problema, construir e solucionar

a expressão algébrica. Verifica-se que o estudante realiza no item a, todas as ações analisadas

de maneira correta, obtendo assim resultado 5; já no item b, não interpreta totalmente correto

o problema, nota-se que ao extrair os dados, o faz de maneira parcialmente incorreta, assim

como na construção da expressão. Obtém nessas duas ações resultados 3, consequentemente

apresenta solução incorreta da expressão, alcança nesta ação resultado 2.



A questão 2 da prova, apresentada por meio da figura 20, exibe o desempenho do

estudante onde se analisa apenas uma ação, que é solucionar a expressão algébrica. Observa-

se que o estudante no item a, assim como no b, não realiza corretamente a substituição das

variáveis nas expressões algébricas, apresentando dessa forma solução incorreta em ambas,

alcançando resultado 1 na ação analisada.

54



A figura 21, apresenta o desempenho do estudante na questão 3, nesta relacionam-se as

seguintes ações: compreender o problema, solucionar a expressão e interpretar o resultado.

Verifica-se que, o estudante retira o dados do problema de forma errada, não substitui

corretamente o valor numérico da variável na expressão, e consequentemente não apresenta

solução e interpretação correta. Dessa forma, o resultado que alcança em todas as ações

analisadas é 1.



A questão 4 representada pela figura 22, envolve as quatro ações da ASP em expressões

algébricas e valor numérico. As ações são: compreender o problema, construir e solucionar as

expressões algébricas, e por fim interpretar a solução encontrada.

55

O estudante não compreende o que se pede na questão, extrai os dados do problema de

maneira incorreta, consequentemente constrói a expressão algébrica de forma errada; na ação

encontrar a solução, o mesmo realiza operação de soma entre os dados do problema, e por fim

apresenta a solução, que também está incorreta; dessa maneira obtém resultado 1 em todas as

ações analisadas.



A figura 23, exibe o desempenho do estudante na questão 5 da prova diagnóstica, nela é

possível analisar as quatro ações da ASP em expressões algébricas. Verifica-se que, o

estudante compreende parcialmente correto o problema, retira os dados do mesmo mais não

constrói a expressão algébrica; nota-se que realiza operações erradas para chegar a solução do

problema, dessa forma, apresenta solução incorreta. Obtém na primeira ação pontuação 4, e

nas demais ações obtém pontuação 1.

Ao final de todo o processo de análises realizadas nas provas, destacam-se as seguintes

características, dificilmente o estudante que obteve pontuação mínima na primeira ação, que é

compreender o problema, conseguiu avançar com pontuação máxima nas outras ações. Ao

parecer, é importante que o estudante compreenda o que se pede no problema, a partir disso,

tem mais possibilidades de avançar corretamente nas próximas ações.

Houve em algumas questões comportamentos parecidos, como por exemplo na questão 3,

onde é dada a expressão algébrica, e o estudante precisa compreender o problema, solucionar

e interpretar a solução; a grande maioria dos estudantes obtiveram resultado 1 em todas as

ações analisadas, indicando que não realizaram nenhum indicador correto, a média dos

resultados observada foi menor de todas as questões. Indagados sobre esse comportamento, os

mesmos responderam que não conseguiram entender o problema, e que não enxergavam o

valor da variável a ser substituída na expressão. Nas demais questões, os erros mais comuns

não desrespeitavam em si ao conteúdo, mais as operações aritméticas envolvidas.

56

De acordo com os resultados obtidos, dos 22 estudantes que realizaram a prova, ao parecer

a grande maioria alcançaram aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões

algébricas e valor numérico, comprovando dessa forma, a eficácia do ensino embasado na

teoria histórico-cultural. A seguir, é apresentado um plano de ensino composto por cinco

aulas, elaborado de acordo com a BOA, tem como objetivo orientar o professor no processo

de ensino, de forma que os estudantes possam melhorar os resultados e consequentemente,

conseguir alcançar com êxito a assimilação dos conteúdos.

3.3 Proposta de um plano de ensino

Plano de ensino

Disciplina: Matemática

Ano: 2018 Número de aulas: 5 aulas

Nº de

aula Conteúdos Objetivo(s)

Nº da

BOA

H/A Descrição

1 Estudo da

Álgebra.

Introdução da álgebra com base na

compreensão do seu estudo e

apresentação da noção algébrica.

3 2h

Levar os alunos a compreender o

emprego da álgebra do cotidiano,

por meio de aula expositiva e

pratica, mostrar sua importância

na Matemática.

2

Definição de

expressões

algébricas e

valor numérico.

Introdução ao estudo da álgebra;

reconhecimento de expressões

algébricas e valor numérico.

3 2h

Apresentação da aula por meio de

slides, buscando trazer definições

formais e não formais de

expressões algébricas e valor

numérico, de maneira a aproximar

as definições e utilizações com o

cotidiano dos estudantes.

3

Monômios:

adição e

subtração.

Calcular expressões algébricas de

uma variável; efetuar as operações

de adição e subtração de monômios.

3 2h

Com auxílio de aula pratica trazer

o conceito de monômio e

desenvolvimento de atividades

relacionadas a adição e subtração,

dessa forma contribuir de maneira

eficaz para a construção do

conhecimento no referido assunto.

Resolver em conjunto as

atividades propostas.

4

Monômios:

multiplicação e

divisão.

Efetuar as operações de

multiplicação e divisão de

monômios.

3 2h

Apoiado no uso de slides,

desenvolver diversas atividades,

assim como suas resoluções no

quadro, em que ocorra a

participação simultânea nas

resoluções, de maneira a construir

juntos o conhecimento do assunto

estudado no decorrer da aula.

5

Polinômios:

forma reduzida

de um

polinômio.

Calcular expressões algébricas de

duas ou mais variáveis e valor

numérico.

3 2h

Através de aula pratica e mista

trazer o conceito de polinômio e

desenvolvimento de atividades

relacionadas, dessa forma

contribuir de maneira eficaz para

a construção do conhecimento no

referido assunto. Resolver em

grupo as atividades propostas.

57

Este plano de ensino é apenas um esboço básico, para se começar a trabalhar com a

atividade de situações problemas em expressões algébricas e valor numérico, foi escolhida a

base orientadora da ação de número três, pelo fato de ser uma base completa, o professor pode

assim trabalhar de forma mais efetiva os conteúdos com os estudantes, visto que, os mesmos

estarão aptos para solucionar diversos exercícios, tendo em vista que se trabalhou com os

mesmos a resolução de casos gerais, ou seja, o professor passa a construir os modelos e

métodos de resolução em conjunto com os estudantes. Com o passar de todos os processos os

estudantes se tornarão mais independentes na resolução de exercícios, assim o professor

passará a ter um papel de regulador das ações, corrigindo e esclarecendo as dúvidas caso

necessário.

58

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os resultados exibidos neste trabalho, expressa o emprego das teorias apresentadas no

decorrer do primeiro capítulo, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico, nos

levando a realizar reflexões sobre suas utilizações, como ferramentas para complementar as

metodologias de ensino. Os resultados foram coletados por meio da prova de lápis e papel.

Após realizar as análises quantitativas e qualitativas, com enfoque nas qualitativas, dos

resultados da prova de lápis e papel, se conseguiu de maneira mais eficiente uma

caracterização dos estudantes em relação a aprendizagem, no conteúdo de expressões

algébricas e valor numérico.

Verificou-se que a maioria dos estudantes que realizaram a prova, apresentaram um nível

satisfatório de aprendizagem do conteúdo estudado, pois, desenvolveram e encontraram na

maioria das questões as respostas corretas, obtiveram poucos erros em relação ao conteúdo,

sendo estes mais relacionados as operações aritméticas envolvidas nas questões.

A Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática, é uma ferramenta com um

vasto campo que pode ser utilizada, para criar habilidades nos estudantes na resolução de

problemas matemáticos, através desta, se observou o comportamento dos estudantes diante

das questões, e as ações que necessitavam ser executadas, em geral o estudante que conseguiu

realizar a primeira ação corretamente, manteve-se com bons resultados nas ações seguintes.

As orientações da base do sistema de quatro ações, para resolver modelos matemáticos que

conduzem a expressões algébricas e valor numérico, necessitam ser gerais, que permitam

resolver a maior variedade de problemas matemáticos. Também devem ser repassadas todas

as informações sobre as ações, para que os estudantes passassem a obtê-la de forma

independentemente.

As formas de análises realizadas exprimem de modo refinado, os resultados alcançados

pelos estudantes, evitando uma análise redundante e muitas vezes errônea. Ao parecer, a

grande maioria dos estudantes, alcançaram aprendizagem desenvolvimental no conteúdo

estudado, infere-se então, que as teorias abordadas proporcionam aos estudantes, um processo

de ensino aprendizagem mais eficiente.

59

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