UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA

Diego David Silva Diniz

Anlise da difuso no meio slido por Elementos Finitos

Campina Grande 2012

DIEGO DAVID SILVA DINIZ

Anlise da difuso no meio slido por Elementos Finitos

Trabalho apresentado na Universidade Federal de Campina grande como requisito o cumprimento da disciplina de mestrado, Elementos finitos.

rea de concentrao: Elementos finitos, difuso no meio solido, ABAQUS.

Orientador: Prof. Neilor Cesar dos Santos.

Campina Grande 2012

DINIZ, D. D. S. Anlise da difuso no meio slido por Elementos Finitos. 2012. Universidade Federal de Campina Grande

A mecnica computacional, nas ultimas trs dcadas, tem provocado um impulso intenso na cincia e na tecnologia. O sucesso da mecnica computacional se deve ao caso de sua efetividade na soluo de problemas de importncia da sociedade, bem como ter proporcionado um denso conhecimento de fenmenos naturais (fatos que acontecem na natureza, tais como movimento de pontos matrias e a transferncia de calor num meio contnuo, difuso de um soluto no meio metal, etc.). Esse trabalho tem como objetivo analisar a difuso do hidrognio na fase solido-solido, utilizando a lei 2 Lei de Fick adaptada, por meio do software comercial Simulia Abaqus, cujo mtodo numrico empregado elementos finitos. Os resultados obtidos mostraram boa consistncia com observaes macroscpicas do fenmeno e com os resultados obtidos por mtodo de diferenas finitas para as mesmas condies.

Palavra-Chave: ABAQUS, Elementos Finitos, Difuso, Lei de Fick.

INTRODUO

A mecnica computacional, no passado recente, tem apresentado um desenvolvimento intenso na cincia e na tecnologia. O avano da mecnica computacional devido sua efetividade na soluo de problemas em que a sociedade vem apresentando, bem como ter proporcionado um denso conhecimento de fenmenos naturais (quantificao e qualificao dos fenmenos da natureza, tais como movimento de pontos matrias e a transferncia de calor num meio contnuo, etc.). Para utilizar a mecnica computacional e descrever o fenmeno de difusividade do soluto no ambiente metlico, preciso estabelecer um mtodo matemtico que recaia em equaes diferencias ordinrias com grande quantidade de incgnitas, que, muitas vezes, s possvel resolverem atravs de mtodos numricos interativos, da entra a modelagem computacional, pois atravs de software possvel resolver em pouco tempo e com o mnimo de erros. Neste contexto, surge a utilizao do Mtodo do Elemento Finito (MEF), que tem sido constantemente utilizado na Mecnica Computacional. Este uma forma de se obter uma aproximao numrica de um mtodo matemtico que est interligada na descrio de algum fenmeno fsico. Assim, o MEF considerado um mtodo computacional para soluo de equaes diferenciais e integrais que aparece em vrios campos da engenharia. Na simulao computacional do transporte de solutos, h necessidade da identificao das leis que regem os mecanismos de transporte, da seleo do modelo terico, da determinao dos parmetros de transporte e da resoluo das equaes que regem o problema. No deve ser desprezada a importncia das observaes de campo, para rever o modelo e fazer previses cada vez mais eficientes (QUEIROZ, 1999). O objetivo deste trabalho exatamente simular uma difuso de um determinado soluto (hidrognio) em um ambiente metlico (Ao API 5CT P110) atravs do uso software Simulia ABAQUS. Nas simulaes foi aplicada condio de contorno de Direchlet (C1=C0) e Neuman (C/x = 0), nos lados do componente de estudo. Esse estudo feito de forma transiente e unidimensional com uma malha feita por elementos quadrados e o estudo da

difuso deteve o uso da 2 Lei de Fick adaptada com apenas a utilizao do termo que corresponde ao gradiente de concentrao. Com o uso dessa metodologia foi possvel analisar o desenvolvimento das concentraes de cada elemento que compe a malha, em cada instante, permitindo descrever forma que se comportar o campo de concentrao no componente estudado durante o instante zero at o tempo de estacionalidade. Alm disso, foi possvel demostrar que existe uma ligao da forma do desenvolvimento do campo de concentrao com as condies iniciais que so impostas, apresentando resultados diferentes para cada condio estudada.

OBJETIVO GERAL

O Objetivo desse trabalho simular, na forma unidimensional e transciente, a difuso do hidrognio em meio slido-slido, por meio de solues numricas, utilizando a segunda lei de Fick. OBJETIVO ESPECFICO

Analisar o comportamento da variao da concentrao no solido, utilizando o mtodo numrico de elementos finitos para aplicao da condio de Direchlet em um dos lados dos componentes e no outro a condio de Neuman (1 simulao). diferenas finitas. Alm disso, comparar com os resultados obtidos com os resultados alcanados pelo mtodo de

Comparar o resultado da 1 simulao com a simulao, cujo possui a condio de Direchlet nos dois lados do componente. Validar os resultados obtido no software ABAQUS com os resultados da literatura.

FUNDAMENTAO TEORICA

ELEMENTOS FINITOS Solues analticas de problemas dos fenmenos fsicos sero possveis em caso que apresenta uma geometria simples e que apresenta condies de controle regulares. Entretanto existem vrias situaes em que esses dois fatores no satisfazem, transformando em solues muito complexas, de modo que possua uma aproximao dos parmetros atravs de mtodos numricos. O mtodo dos elementos finitos (MEF) um dos mtodos numricos mais utilizados na modelagem do comportamento de estruturas, principalmente devido a sua grande confiabilidade e flexibilidade. A idia bsica do MEF consiste em discretizar o domnio fsico (geometria) por meio de uma quantidade finita de elementos com forma e tamanho arbitrrios, formando assim o domnio computacional [Cabral, 2007]. Esse domnio de discretizao chamado de malha (grid), onde estes so compostos por elementos com arestas e ns.

Figura 2.3.1 Malha com elementos com arestas e ns em uma bomba Para situaes de integridade estrutural, costuma-se adicionar a malha sobre o elemento estrutural, refinando nas proximidades da trinca, utilizando elementos que possuam mais ns, como, por exemplo, elemento do tipo quarter point, tcnica proposta por Henshell e Shaw, que consiste no deslocamento do n da posio central para a posio de um quarto da aresta

do elemento. Este processo nas proximidades na ponta da trinca visa refinar os resultados sobre os fenmenos presentes naquele local. Depois da malha, emprega-se o mtodo de soluo, onde transforma a classe de problemas discretos em problemas contnuos. Ou seja, o conjunto infinito de nmeros que representam a funo ou funes desconhecidas substitudo por um conjunto finito de parmetros desconhecidos, sendo que esse processo requer alguma forma de aproximao. Os parmetros desconhecidos so encontrados atravs de soluo algbrica, ou seja, obtmse um sistema algbrico de equaes do tipo: [A].{x}={b} Onde [A] a matriz de rigidez e {b} o vetor independente. {x} o vetor de parmetros desconhecidos da soluo aproximada. Alm disso, utilizasse os conceitos de condies de contorno, onde so necessrias para o solucionamento do problema e aplicao do mtodo de elementos finitos. Existem alguns tipos de condies de contornos:

Condio de Dirichlet: Essa condio faz com que o sistema de equaes seja particionado de acordo com os ns nos quais os valores da funo so conhecidos.

Condio de Neuman: Este considerada a condio de contorno natural do problema, que satisfeita naturalmente na soluo da equao de transporte. A aplicao desta implica na satisfao da condio de gradiente nulo no contorno, que em alguns casos leva a erros na determinao da soluo. A utilizao desta condio est vinculada ao afastamento do contorno da regio de interesse.

Condio de Cauchy: a condio de contorno que representa uma fonte de concentrao cuja taxa constante. Existem outros tipos de condies, entretanto o nosso estudo ser

restrito as condies de Neuman e Dirichlet. Utilizando o MEF, para a resoluo de um determinado problema, basicamente se divide em trs etapas:

Na etapa de pr-processamento, esto leitura de dados e a descrio do problema a ser tratado pela rotina computacional. Nas solues das equaes tem-se como objetivo determinar os parmetros desconhecidos, que nesse trabalho, seria a determinao das concentraes em todo domnio de estudo. Na etapa de Ps-Processamento, esto forma de apresentao dos resultados obtidos, que so apresentados por grficos, tabelas de resultados ou por gradientes de cores na prpria malha gerada no componente.

TRANSPORTE EM MASSA

O transporte de soluto por difuso molecular, ou simplesmente chamado de difuso, ocorre devido ao gradiente de concentrao existente no meio solido, isto , o soluto dissolvido no metal desloca-se de uma rea de maior concentrao para uma rea de menor concentrao, com o objetivo de igualar a concentrao em toda a massa de fluido. De acordo com as leis de difuso de Fick, o soluto pode difundir atravs do material pela existncia de um gradiente de concentrao, propiciado por uma concentrao sub-superficial C0, que o motor que possibilita o movimento do soluto dentro do solvente. No existindo reaes qumicas entre os tomos de soluto e os do solvente, ocorrer um fluxo dos tomos do soluto da regio de maior para a de menor concentrao. O transporte de hidrognio pode ser descrita de forma unidimensional pela a utilizao da 2 lei de Fick, dado pela equao diferencial parcial: (3.5)ct h cl c = D s t Bs c t t x x x x t

Esta a equao da segunda lei de Fick e aplicado em caso onde h uma difusividade atmica em regime transitrio. Esta equao apresenta uma combinao de vrios processos, onde o primeiro termo caracterizado pela difuso do hidrognio devido ao gradiente de concentrao, tendo como sentido de fluxo do maior para a menor concentrao. O segundo termo demonstra que a difusividade atmica tambm controlada pelo gradiente de tenses hidrosttica. Devido ao gradiente de tenses, a difuso do hidrognio pode ocorrer mesmo quando a sua distribuio dentro do material uniforme. (ORIANI, 1993). E o terceiro termo caracterizado pelo potencial qumico do material no qual esta analisando o fenmeno. Este representa os aprisionadores que existem no material, no qual funciona como elemento de priso dos solutos, influenciando assim no campo de distribuio de concentrao do soluto.

ABAQUS

O Simulia Abaqus um software comercial para anlise de elementos finitos, produzida pela empresa Dassault Systemes. Essa empresa proporciona qualidade para mais de 115.000 clientes em 80 pases. A Pioneira no mercado de software 3D desde 1981, a Dassault Systmes produz e distribui software e servios de aplicao PLM, que apresentam suporte a processos industriais, adequando uma viso 3D completa do ciclo de vida dos produtos, desde a sua concepo at a sua manuteno e reciclagem. Os software que a Dassault Systemes produz so: CATIA para desenho do produto virtual, SolidWorks para desenho mecnico 3D, DELMIA para produo virtual, SIMULIA para simulao realstica, ENOVIA para o gerenciamento global e colaborativo do ciclo de vida, e o 3DVIA para experimentao 3D online O Abaqus formado em trs produtos do ncleo: Abaqus/padro, Abaqus/explcito e Abaqus/CAE. O Abaqus/padro um solver de uso geral para a esquematizao implcita da integrao para resolver por anlises de elemento finito. O Abaqus/explcito um solver explicito para anlises dinmicas e transientes quasi-static, altamente no-lineares. O Abaqus/CAE fornece um ambiente de modelar integrado (pr-processamento) e da

visualizao (ps-processamento) para os produtos da anlise. Os produtos de Abaqus usam lngua de programao scripting Python para scripting e customization. O Abaqus usado nas indstrias de produto automotriz, aeroespacial, e industrial. O produto popular para instituies acadmicos e de pesquisa devido ao material largo que modela e a potencialidade. O Abaqus fornece tambm uma coleo boa de potencialidades de multi-fisicos, tais como acstico-estrutural acoplado, piezoelctrico, termomecnico e etc., fazendo o atrativo para as simulaes de produo-nvel onde os campos mltiplos necessitam ser acoplados. O Abaqus foi projetado inicialmente para dirigir-se ao comportamento fsico no-linear; em conseqncia, o pacote tem uma escala extensiva de modelos materiais. O ABAQUS deriva-se da palavra grega, aba-kala-culus, significando o solver da memria. O Abaqus escrito originalmente em maisculo; entretanto aps mudana da companhia e da introduo do tipo de SIMULIA, Abaqus est agora em letras minsculas, com um o maisculo a letra A.

METODOLOGIAPara a realizao das simulaes, foram utilizados parmetros para a difusividade do hidrognio no material metlico API P110 5CT. Os dados utilizados so apresentados na tabela 1.

Difusividade 1,27*E^8

Solubilidade 1

A malha utilizada (figura 2) apresenta elementos quadrados de referncia no Abaqus DC2D4, cujo sua funo pra problemas de trmicos e difusivos. A mesma quantidade de n foi usado para a resoluo utilizando mtodos de diferenas finitas.

Figura 2: Malha utilizada O Abaqus permite tratar problemas de difuso de uma substncia atravs de um material (tal como difuso do hidrognio no metal), para isso se incorpora uma extenso da Lei de Fick como modelo terico onde possvel obter uma no uniformidade da solubilidade da soluto dentro do material base. Anlise de difuso de massa pelo Abaqus inicia determinando uma varivel bsica, usada como grau de liberdade nos ns a concentrao normalizada, definida como:

Onde,

c: concentrao da substancia difusiva; s: solubilidade no material base;

A equao de Fick utilizada para os problemas tradados nesse trabalho apresenta apenas a parcela da difuso por gradiente de concentrao. Portanto, a equao da lei de Fick adaptada dada por:

Onde J dado por:

D: difusividade do hidrognio no ao (m2/s).

RESULTADOS

Nas simulaes das figuras 3 e 4 foram tomadas as mesmas condies, onde foi caracterizada uma analise unidirecional com uma concentrao em um dos lados (co = 1e-20ppm), e utilizadas malhas idnticas. A diferena nas simulaes apenas no mtodo de soluo, pois na simulao do MATLAB (figura 3) foi utilizado o Mtodo de Diferenas Finitas e no ABAQUS (figura 4) utilizado o Mtodo dos Elementos Finitos. Alm disso, h uma variao no tempo de analise de resultados entre as duas simulaes, o que no constitui erro numrico e sim um desvio de anlise de resultados da forma computacional. Nas simulaes pode-se perceber que ambas apresentam as mesmas caractersticas e que nas duas se estabilizam no mesmo valor de concentrao. Na Figura 5, onde apresentada a evoluo da concentrao de forma mais clara, perceptvel como a concentrao varia no tempo elemento estudado e que o fluxo sempre da maior para a menor concentrao. Isso explicado atravs da teoria da difuso em estado no estacionrio. Ento com base nos resultados, o mtodo de elementos finitos se tornou vivel para anlise de difuso no meio solido-solido.

Figura 3: simulao do MATLAB

Figura 4: simulao do Abaqus.

Figura 5: Evoluo da concentrao do material A simulao das figuras 6 e 7 apresenta a distribuio de concentrao no meio solido cujo foram aplicadas uma concentrao de Co= 1 e-20 ppm, nos dois lados. Os resultados mostraram coerncia com o que so apresentados na literatura, onde a gradiente de concentrao varia proporcionalmente nos dois lados, tendo de inicio uma concentrao menor localizado no centro e com a evoluo do tempo os valores da concentrao do no meio da barra estudada vai aumentando ate atingir a concentrao Co, conseguindo a estabilidade dentro da barra.

Figura 6: distribuio do hidrognio

Figura 7: curva de evoluo da concentrao A figura 8 mostra a curva obtida por OLden (2008), este usou as equaes apresentada por Crank. Este curva mostra a mesmas caractersticas encontradas nas curvas obtidas por diferenas finitas e elementos finitos.

Figura 8: distribuio do hidrognio no metal de base(Olden ,2008)

CONCLUSOOs resultados mostrados foram satisfatrios, apresentando consistncia computacional e nos dados obtidos. Foi possvel perceber que o mtodo de elementos finitos pode ser aplicado para problemas de difuso de qualquer soluto no meio metlico, apresentando resultados bastante semelhantes aos resultados obtidos por outros mtodos. REFERNCIAS CABRAL, H.D. Desenvolvimento de Ferramentas Computacionais para Modelagem e Anlise Automtica de Defeitos de Corroso em Dutos. 140 f. Dissertao (Mestrado em Engenharia Mecnica) - Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2007. ORIANI, R.A. The Physical and Metallurgical Aspects of Hydrogen in Metals. in: Fourth International Conference on Cold Fusion, Palo Alto, CA, 1993.

DINIZ, D.D.S. Desenvolvimento e implementao de rotinas computacionais aplicadas na identificao de modelos de integridade estrutural. Relatorio Parcial PIBIC 2010, 2010. OLIVEIRA, S.P.; MIRANDA, P.E.V. Concentrao Crtica de Hidrognio para a Fragilizao por Hidrognio em Aos. COPPE/UFRJ - PEMM - Laboratrio de Hidrognio, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2001. DINIZ, D.D.S Simulao numrica da propagao de trincas em corpos de prova CT submetidos a carregamentos estticos e cclicos sob efeito do hidrognio. Trabalho de concluso de curso, 2011. OLDEN, V. Modelling of hydrogen diffusion and hydrogen induced cracking in supermartensitic and duplex stainless steels. 2008