UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO...

0

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ – UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS COLEGIADO DE MATEMÁTICA

JULIANO VITOR GRUCHOWSKI

O USO DO APLICATIVO ANDROID PAD GEOMETRIA NO ENSINO DE FUNÇÃO AFIM

UNIÃO DA VITÓRIA 2015

1

JULIANO VITOR GRUCHOWSKI

O USO DO APLICATIVO ANDROID PAD GEOMETRIA NO ENSINO DE FUNÇÃO AFIM

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção de grau de licenciado na Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), Área de Matemática.

Orientadora: Profª Mestre Emanueli Pereira

UNIÃO DA VITÓRIA 2015

2

A meus pais Vitor e Ruth, e a minha irmãzinha Fabiélli.

3

AGRADECIMENTOS

A Deus, sem Ele nada é possível.

A todos os que me auxiliaram no desenvolvimento deste trabalho.

A minha Orientadora Emanueli Pereira.

Em especial a Bianca, namorada e grande companheira para todos os

momentos.

4

“Construímos muros demais e pontes de menos."

(Isaac Newton)

5

RESUMO

Este trabalho de conclusão de curso objetiva expor uma visão diferente sobre o uso do celular em sala de aula. Será exposta uma proposta de ensino que utiliza celulares que possuem acesso a aplicativos como ferramenta para que ocorra a aprendizagem num ambiente diferenciado. Utilizaremos o aplicativo android Pad Geometria para o ensino de função afim, no intuito de gerar no aluno o interesse em aprender conciliando um objeto que lhe é familiar com o ensino da Matemática. A interação do jovem com mídias tecnológicas é cada vez mais frequente, abordar o seu uso objetivando gerar um laço com o conhecimento matemático é uma proposta que visa instigar quem se propuser a utilizá-lo. O ambiente escolar pode torna-se mais produtivo quando oferecemos aos alunos inovações e confiamos neles para as utilizarem, assim este trabalho é uma proposta que busca romper certas barreiras criadas na sala de aula.

Palavras chave: Matemática; Função Afim; Mídias Tecnológicas; Aplicativo Android

Pad Geometria.

6

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Tela do aplicativo Pad Geometria, os quadrantes .................................... 18

Figura 2 – Tela do aplicativo Pad Geometria, delimitação do ponto ......................... 18

Figura 3 – Tela do aplicativo Pad Geometria, adicionando o ponto .......................... 19

Figura 4 – Tela do aplicativo Pad Geometria, adicionando o ponto .......................... 20

Figura 5 – Tela do aplicativo Pad Geometria, editando o ponto ................................ 21

Figura 6 – Tela do aplicativo Pad Geometria, editando o ponto. ............................... 21



Figura 9 – Tela do aplicativo Pad Geometria, pontos ................................................ 24

Figura 10 – Tela do aplicativo Pad Geometria, criando uma reta .............................. 25



Figura 13 – Tela do aplicativo Pad Geometria, criando um ponto na reta. ................ 27

Figura 14 – Tela do aplicativo Pad Geometria, construindo a reta a partir da função

............................................................................................................... 30

Figura 15 – Tela do aplicativo Pad Geometria, exercício 1 ....................................... 30









Figura 24 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de retas .................... 35

Figura 25 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de retas .................... 36

Figura 26 – Tela do aplicativo Pad Geometria, reta a partir dos pontos A e G.......... 38

Figura 27 – Tela do aplicativo Pad Geometria, explicação ....................................... 39

Figura 28 – Tela do aplicativo Pad Geometria, explicação ....................................... 40

Figura 29 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de reta ..................... 42

7

Figura 30 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de reta ..................... 43






Figura 36 – Tela do aplicativo Pad Geometria, exemplo ........................................... 47

Figura 37 – Tela do aplicativo Pad Geometria, exemplo ........................................... 48



Figura 40 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação da reta da função

identidade ............................................................................................... 50

Figura 41 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação da reta da função

constante ................................................................................................ 51

8

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Ferramentas básicas do aplicativo Pad Geometria ................................ 17

Quadro 2 – Obtenção dos pontos a partir da função linear ....................................... 29



Quadro 5 – Obtenção dos pontos a partir da função afim ......................................... 41

9

SUMÁRIO

RESUMO..................................................................................................................... 5

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................... 6

LISTA DE QUADROS ................................................................................................. 8

SUMÁRIO ................................................................................................................... 9

1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................................. 10

2 METODOLOGIA .................................................................................................... 12

3 MÍDIAS TECNOLÓGICAS .................................................................................... 13

3.1 MÍDIAS MÓVEIS ............................................................................................. 14

4 DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA DE ENSINO ........................................... 16

4.1 UTILIZANDO O APLICATIVO PAD GEOMETRIA ........................................... 16

4.2 CRIANDO UMA RETA NO APLICATIVO “PAD GEOMETRIA” ....................... 25

4.3 CASO PARTICULAR DA FUNÇÃO AFIM: FUNÇÃO LINEAR ........................ 28

4.4 FUNÇÃO AFIM ................................................................................................ 37

4.5 FUNÇÃO AFIM CRESCENTE E DECRESCENTE .......................................... 46

4.6 CASOS PARTICULARES ................................................................................ 50

4.6.1 Função identidade ..................................................................................... 50

4.6.2 Função constante ...................................................................................... 51

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 52

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 53

10

1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Estamos presenciando um crescente desenvolvimento tecnológico, jovens e

adolescentes são os protagonistas deste avanço que reflete em todas as camadas

sociais e consequentemente nas escolas. Tecnologias podem auxiliar positivamente

no ensino ou até mesmo na educação de um adolescente, sendo bem explicitadas e

abordadas as mídias tecnológicas, que iremos destacar neste trabalho, oferecem

amplas maneiras de ensinar com qualidade.

As gerações estão cada vez mais habituadas com esse desenvolvimento,

segundo o editor do jornal Gazeta do Povo, WALTRICK (13 de outubro de 2014)

78% dos jovens brasileiros usam smartphones. Tornar estas tecnologias móveis

participantes do ensino pode acarretar em benefícios, pois o jovem estará utilizando

o objeto que lhe é muito familiar o pode fazer com que o ensino apresente melhores

resultados levando em consideração o interesse do aluno.

Relacionar a mídia tecnológica e o ensino pode ser um grande desafio, pois

por um lado temos alunos interessados, que saberão como trabalhar a partir de seus

conhecimentos sobre a tecnologia tendo acesso a diversos conteúdos e tendendo a

produzir com qualidade, desenvolvendo um trabalho que gere interesses e até

mesmo beneficie sua criticidade. Em contrapartida esta familiarização com a

tecnologia pode gerar uma dispersão a partir do momento que o aluno busca

distrações, como jogos, durante a utilização de tal ferramenta tecnológica.

No contexto de aprendizagem, ao cogitar o uso da tecnologia como

ferramenta no ambiente escolar, enfatizando o ensino da matemática, Bicudo

citando D’Ambrósio expõe que

[...] as ideias matemáticas compreendem em toda a evolução da humanidade, definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre fatos e fenômenos da natureza e para própria existência [...] (D’AMBRÓSIO, apud BICUDO, 1999, p. 97).

Conciliar as tecnologias, no caso deste trabalho o uso de tecnologias ou

mídias móveis, com o objetivo de buscar o interesse no aluno é, de fato, um desafio

para professores. Mas pode tornar-se um modo diversificado e atrativo de expor a

11

Matemática como um conhecimento instigante, no intuito de que o aluno busque

pelas explicações do que o cercam e permeiam o seu dia-a-dia.

Partindo do contexto do ambiente escolar com tecnologias, este trabalho irá

expor um ponto de vista diferenciado. Entendemos ser possível conciliar o uso da

tecnologia móvel, que é de grande ênfase atualmente, com o ensino da Matemática

por meio da mediação do professor junto a esta proposta de ensino. Embasando-se

em Mousquer e Rolim (2015, p.3) ao explicitarem que

ao usufruir da utilização de dispositivos móveis o educando estará aprimorando diferentes habilidades e competências como: coordenação fina e ampla, lateralidade, percepção visual (tamanho, cor, forma) e auditiva. Também estimula o desenvolvimento do raciocínio lógico, assim como noções de planejamento e organização.

Visando aprimorar o conhecimento matemático utilizando a compreensão do

funcionamento da tecnologia móvel que pertence a maioria do público jovem e

adolescente, de maneira a buscar desenvolver as habilidades citadas numa

proposta de ensino de funções afins é um desafio instigante, pois o professor

oportuniza ao aluno o desenvolvimento do conteúdo num ambiente mais familiar.

Acarretando em propiciar ao aprendiz a oportunidade de melhorar seu desempenho

em habilidades e competências para com a matemática.

12

2 METODOLOGIA

A proposta do estudo da função afim é indicada para se trabalhar em uma

turma de nono ano do Ensino Fundamental. Com relação a esse conteúdo, As

Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (DCEs, 2008)

objetiva-se que obtenhamos a desenvoltura da noção intuitiva na interpretação de

gráficos, tabelas, declividade, sinal da função e relação entre as variáveis.

Espera-se que a utilização desta proposta de ensino apresente produtividade

e resultados positivos na sala de aula, tendo foco no desenvolvimento do uso da

tecnologia móvel para aprendizagem da matemática, visando que o aluno demonstre

entusiasmo em aprender com a ferramenta tecnológica.

Trata-se de um estudo teórico em que, para Fiorentini e Lorenzato (2006, p.

69), o pesquisador “não utiliza dados e fatos empíricos para validar uma tese ou

ponto de vista, mas a construção de uma rede de conceitos e argumentos

desenvolvidos com rigor e coerência lógica”. Dessa forma, desenvolveu-se esta

proposta com o intuito de relacionar o ensino da matemática com o uso de mídias

móveis. Objetivamos que se formem interpretações sobre o conteúdo proposto de

maneira a encadear no aluno o senso crítico e intuitivo a respeito da aprendizagem

de função afim.

Este trabalho de conclusão de curso desenvolver-se-á com as mídias

tecnológicas, que é uma das Tendências Metodológicas em Educação Matemática,

descrita nas DCE’s. Por meio do uso do aplicativo Pad Geometria de dispositivos

móveis na proposta de ensinar o conteúdo de função afim, tendo em vista a

compreensão e noção intuitiva, as caraterísticas e representação gráfica da função

afim.

13

3 MÍDIAS TECNOLÓGICAS

Se observarmos o salto tecnológico que vivenciamos, torna-se nítido que as

gerações estão cada vez mais integradas às mídias tecnológicas. Surgindo então, a

necessidade de professores que visem um ambiente escolar com produtividade,

acompanhar e se inteirar sobre o que é de interesse do aluno, pois acarretará num

ensino com melhor qualidade. Roldão (2004 apud GREGIO 1999, p.3) enfatiza que

(…) essas mudanças rápidas que ocorrem na sociedade em função das tecnologias da informação e comunicação, exigem do professor sua capacitação para o uso de tecnologias cada vez mais sofisticadas. Essa capacitação está ligada à natureza de sua formação inicial e continuada.

Nesse sentido, entendemos que é necessário que o professor esteja

atualizado, para que possa dominar a tecnologia conseguindo a atenção e

consequentemente o interesse dos alunos com o conteúdo abordado. Além disso, é

essencial que o docente esteja apto a apresentar a utilidade das mídias

tecnológicas, comunicando-se de acordo com o cotidiano dos alunos.

Neste contexto ainda devemos observar que

(...) o professor não deve achar que por ficar utilizando esse ou aquele software consegue resolver boa parte dos seus problemas que estão intimamente ligados à motivação dos alunos para a Matemática e a dificuldades que estes sentem em estudá-la. É preciso que o professor admita que necessita estudar para utilizar essa ferramenta como suporte eficiente e eficaz às suas aulas. (BRANDT; MONTORFANO, 2008. p. 6).

Utilizar o software sem uma finalidade adequada numa primeira visão poderá

se tornar atraente ao alunos, é provável ao notarem que o uso de uma mídia

tecnológica não oferece utilidade para que produzam, ocorra o desinteresse por

consequência. Diante disto os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do Ensino

Médio apontam que carecemos centralizar no

(...) desenvolvimento e promoção de alunos, com diferentes motivações, interesses e capacidades, criando condições para a sua inserção num mundo em mudança e contribuindo para desenvolver as capacidades que deles serão exigidas em sua vida social e profissional. (BRASIL, 2000, p. 40).

14

Promover o que os PCNs propõem é uma tarefa árdua ao professor, a busca

pela adaptação poderá não ser o suficiente para que haja proveito em explorar as

mídias tecnológicas no ambiente escolar. Além de o docente centralizar no uso das

mídias tecnológicas de maneira produtiva, necessitamos entrelaçar outros recursos

adequados para que se faça presente e seja positiva a utilização de tecnologia no

ensino.

Esta visão sobre utilizar outras metodologias e tecnologias é um dos motivos

que são apontados para a não utilização de recursos tecnológicos, pois muitos

professores alegam não estarem atualizados e aptos para diversificar. Toledo,

Monticeli e Silva (2012 p. 11) reiteram que

nossos alunos sabem sim muito mais recursos tecnológicos do que seus professores, e esperam deles a aceitação dessa verdade, na forma de aulas e atividades com uma aparência menos tradicional do que eles já conhecem, e com toda razão, desinteressam-se facilmente.

Fato o qual devemos estar preparados para ensinar rompendo paradigmas e

mostrando aos alunos confiança em trabalhar num ambiente no qual eles “dominam”

parte do assunto. Instituir este crédito ao aluno fará com que a aula, indiferente da

mídia tecnológica utilizada, tenda a gerar produtividade e qualidade no ensino

proposto.

3.1 MÍDIAS MÓVEIS

É atual, porém, bem citada a frase: “é proibido o uso de celular em sala de

aula”, que se refere a Lei 18.118 de 24 de Junho de 2014 que “dispõe sobre a

proibição do uso de aparelhos/equipamentos eletrônicos em salas de aula para fins

não pedagógicos no Estado do Paraná”.

Esta lei defende o não uso de mídias móveis devido a ocorrerem casos nos

quais o celular somente gera nos alunos a perca do foco nos estudos, de maneira a

degradar o ensino no ambiente escolar. Na verdade possuímos em nossas mãos um

grande aliado, desde que saibamos o utilizar, as mídias móveis podem quando bem

administradas ser benéficas ao ensino.

15

As mídias móveis estão se desenvolvendo no intuito de apresentarem

aplicativos cada vez mais versáteis para os mais diversos usos, incluindo o uso no

ensino. As Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCEs) apontam que “os

recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos

da Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas”

(PARANÁ, 2008, p. 65). Em se tratando do uso dos aparelhos de tecnologia móvel,

deve-se implementar no ambiente de ensino com objetivo de proporcionar a

aprendizagem do aluno de maneira diferenciada. O conteúdo estando bem

entrelaçado com a ferramenta tecnológica tenderá a gerar eficácia na aprendizagem,

fazendo com que o aprendiz assimile e compreenda com mais facilidade, por estar

mais interessado e focado no conteúdo.

Visando uma aprendizagem mais proveitosa e buscando gerar um melhor

ambiente ao aluno, somos indagados sobre a utilização de tecnologia móvel em sala

de aula para auxílio no processo de ensino e aprendizagem. Pois, estaremos os

envolvendo em um ambiente no qual a maioria dos alunos estão familiarizados.

Contudo, esta familiarização pode gerar a perca do foco para com o conteúdo

proposto e ainda muito professores podem não estar atualizados a estes avanços, o

que ocasiona receio em trabalhar com os alunos utilizando uma ferramenta na qual

eles têm maior intimidade.

Entendemos que a familiarização dos alunos com a tecnologia móvel se torna

atraente e de certa maneira convidá-los para participar ativamente do processo de

ensino e aprendizagem. Além disso, torna-se um sujeito ativo e participante, que são

aspectos que favorecem e estimulam o desenvolvimento da criticidade, criatividade

e aprendizagem dos alunos no conteúdo proposto.

16

4 DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA DE ENSINO

A proposta de ensino se dará com a utilização do aplicativo Pad Geometria

como uma ferramenta no ensino, que irá auxiliar os alunos na compreensão das

características da função afim. Sugerir a utilização de um aplicativo de celular tem

por escopo entrelaçar a Matemática e o interesse do aluno.

Com o intuito de gerar um ambiente familiar no qual o aluno seja convidado a

buscar conhecimento, entendemos que trabalhar com o conteúdo de função afim por

meio do aplicativo Pad Geometria gerará um ambiente produtivo e instigante.

Experiência que poderá ser positiva a ambos os protagonistas do ensino, aluno e

professor.

Iniciaremos propondo uma breve revisão sobre sistema cartesiano ortogonal e

a reta no aplicativo para implementar seu uso. Tal revisão se faz necessária devido

a familiarização com o aplicativo, devemos observar que os alunos devem possuir

como base o conhecimento de funções, tanto quanto sobre domínio, contradomínio

e imagem.

4.1 UTILIZANDO O APLICATIVO PAD GEOMETRIA

O aplicativo Pad Geometria1 apresenta recursos versáteis e simples para que

possamos trabalhar tanto a geometria, quanto a representação gráfica de algumas

funções. É um aplicativo gratuito que possuí a versão pró, que é paga, com alguns

atributos a mais.

Seus comandos são diretos e o que for necessário para seu uso será descrito

neste trabalho. O aplicativo está escrito em inglês, porém, exibe uma caixa de

inserção de objetos simples e explicativa, o que torna seu uso objetivo e modesto.

Iniciaremos mostrando algumas caixas para que possamos facilitar o uso do

aplicativo, ainda que durante a exposição deste trabalho serão explicados os passos

a serem tomados durante a resolução das tarefas.

1 Download disponível em https://play.google.com/store/apps/details?id=air.com.zsonmobiledev.GeomWorkbook&hl=pt_BR

17

Quadro 1 – Ferramentas básicas do aplicativo Pad Geometria

Configurações

Desfazer

Refazer

Compartilhar

Abre a caixa para

inserir reta, pontos, figuras

geométricas, etc.

Salvar/abrir

Fonte: O autor, 2015.

5. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Consideremos um plano de eixo 𝒙 que se situa na horizontal e de eixo 𝒚 que

se situa na vertical, perpendiculares, que se cruzam num ponto 𝟎(𝟎, 𝟎), chamado

origem. Eles determinam os quadrantes: I, II, III e IV.

18

Figura 1 – Tela do aplicativo Pad Geometria, os quadrantes


Cada ponto (P) do plano é determinado por um par ordenado de números,

onde temos a ordem de posição para a abcissa 𝒙 e para ordenada 𝒚: 𝑷(𝒙, 𝒚).

Utilizando o aplicativo “Pad Geometria”, podemos determinar o ponto selecionando o

lápis na caixa de texto ao lado direito da tela.

Figura 2 – Tela do aplicativo Pad Geometria, delimitação do ponto


19

Selecionando “Point” para efetuar a criação dos pontos.

Figura 3 – Tela do aplicativo Pad Geometria, adicionando o ponto


Após selecionada a tecla point, voltará ao plano cartesiano, observe o valor 4

para o eixo das abcissas e o valor 1 no eixo das ordenadas, então, toque onde

ocorre o encontro destes dois valores. Veja que o aplicativo indica numa caixa verde

na proximidade dos eixos os valores do par ordenado que você está criando, e em

cima um circulo que aplica zoom no local onde está sendo definido o ponto.

20

Figura 4 – Tela do aplicativo Pad Geometria, adicionando o ponto


Caso aconteça de tocar no local errado, pode-se arrastar o ponto, ou ainda

saindo da tela de criação de pontos, selecionando o simbolo 𝑉 ao lado esquerdo da

tela:

21

Figura 5 – Tela do aplicativo Pad Geometria, editando o ponto


Em seguida clicando em cima ponto, fazendo surgir a seguinte caixa:



22

Nesta caixa observamos a lixeira ao lado superior esquerdo, que exclui o

ponto, podemos alterar o nome do ponto, sua cor e expessura, e ainda selecionar

para que seja exibida as coordenadas junto ao ponto. Selecione “metrics”:



Para efetuar a edição nas medidas dos pontos em relação aos eixos 𝒙 e 𝒚

tocamos na tela em cima dos valores. Aparece a seguinte calculadora que mostra o

eixo que está sendo editado no canto superior esquerdo e ao lado direito o valor da

coordenada no eixo, que será editado pela calculadora:

23



Visando a compreensão dos alunos em criar os pontos no aplicativo.

Iniciemos uma tarefa:

Agora que já sabemos criar os pontos no aplicativo, observando a figura que

segue e o exemplo para os pontos A e B, determine as coordenadas dos pontos C,

D, E, F e O, apontando qual o valor da abcissa (x) e da ordenada (y). E os refaça no

seu tablet ou smartphone.

24

Figura 9 – Tela do aplicativo Pad Geometria, pontos


Espera-se como resposta:

Ponto 𝐴(4,1), de coordenadas 4 e 1 (a abcissa é 4 e a ordenada é 1).

Ponto 𝐵(1,4), de coordenadas 1 e 4 (a abcissa é 1 e a ordenada é 4).

Note que os pontos A e B são pontos distintos, é importante observar que se deve

preservar a ordem em que os números aparecem no par ordenado.

Espera-se como respostas:

Ponto 𝐶(−2, −3), de coordenadas −2 e −3 (a abcissa é -2 e a ordenada é -3).

Ponto 𝐷(2, −2), de coordenadas 2 e −2 (a abcissa é 2 e a ordenada é −2).

Ponto 𝐸(−1,0), de coordenadas −1 e 0 (a abcissa é −1 e a ordenada é 0).

Ponto 𝐹(0,3), de coordenadas 0 e 3 (a abcissa é 0 e a ordenada é 3).

Ponto 𝑂(0,0), de coordenadas 0 e 0 (a abcissa é 0 e a ordenada é 0).

25

4.2 CRIANDO UMA RETA NO APLICATIVO “PAD GEOMETRIA”

A reta possui um conceito primitivo, o sendo aceito como verdade sem a

necessidade de ser demonstrada. Existindo postulados que definem algumas

característica para reta.

Neste trabalho serão observadas varias retas, sendo necessário expormos os

seguintes postulados sobre reta:

P1) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas; e

P2) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Para construirmos uma reta no aplicativo construímos dois pontos, e em

seguida clicamos no lápis ao lado direito da tela e ao lado direito da caixa “point” na

seta:

Figura 10 – Tela do aplicativo Pad Geometria, criando uma reta


E selecionamos a opção “line”:

26



Para a construção da reta devemos selecionar dois pontos, inicialmente

selecione o ponto A e o ponto O.



27

Após a construção da reta, adicione o ponto 𝐺(2,1

2):

Figura 13 – Tela do aplicativo Pad Geometria, criando um ponto na reta.


Sugere-se que efetuemos algumas questões aos alunos, de maneira que

neste momento eles exponham suas ideias, mas sem que haja uma intervenção no

processo. Pode-se pedir para que eles anotem as respostas para que no decorrer da

aula façam análises sobre o que construiram com as definições e relações.

Observando esta reta e os pontos A e G, podemos determinar uma relação

que defina a retaquanto aos pontos que passam por ela, o valor de suas

coordenadas e a mudança que o acorre no valor das coordenadas dos diferentes

pontos? Qual é a relação de crescimento entre 𝒙 e 𝒚? Quantas unidades tenho para

𝒚 quando desloco quatro unidades em 𝒙? E quando desloco duas em 𝒙?

Espera-se que os alunos relacionem o deslocamento dos valores no eixo 𝒙 e

eixo 𝒚 , de maneira a estabelecerem que quando desloco 4 unidades para 𝒙 desloco

1 unidade para 𝒚. Quando desloco 2 unidades para 𝒙 desloco 0,5 𝑜𝑢1

2 unidade para

𝒚.

Em seguida propomos:

Podemos escrever y em relação a x?

28

Observe 𝒚 em relação a 𝒙, tal que 𝒚 = 𝟐𝒙 ela serve para a reta que vimos no

gráfico acima? Justifique.

Os alunos devem ser encaminhados para analisar a relação entre 𝒙 e 𝒚, em

que no caso da função acima proposta (𝑦 = 2𝑥) eles sejam orientados a interpretar

apenas a relação.. Sendo que nesta etapa eles devem apenas compar e perceber

que a relação proposta não é a que define a reta anteriormente citada.

Eles devem ser convidados a pensar sobre como se estabelece a relação

entre 𝒙 e 𝒚 sem compromisso em determinar qualquer tipo de função.

4.3 CASO PARTICULAR DA FUNÇÃO AFIM: FUNÇÃO LINEAR

Iniciaremos o estudo do caso particular da função afim. Os alunos devem

conhecer previamente a definição de função, o dominio, contradominio e imagem de

uma função, o que facilitará a aplicação desta proposta. Tem-se como ideia primária

que o aluno apenas observe a relação que pode ser estabelecida e que ocorra o

desenvolvimento da noção intuitiva de função.Caso contrário estamos iniciando o

momento em que eles serão convidados a efetuar tal relação.

Visando induzi-los a pensar sobre os coeficientes. Iniciando pela análise de 𝒂,

observando que quanto maior o seu valor mais a reta irá se aproximar do eixo 𝒚.

A Função linear é a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ e

𝑎 ≠ 0.

A reta que estamos estudando é definida a partir de uma função que associa

o elemento 𝑥 pertencente ao conjunto dos Reais a um elemento 𝑦 também

pertencente ao conjunto dos Reais.

Foi proposta a função 𝑦 = 2𝑥, que também pode ser expressa por 𝑓(𝑥) = 2𝑥,

onde 𝑦 = 𝑓(𝑥). Como podemos construir o gráfico desta função? Será ela

expressada pela reta anteriormente estudada?

Para construir o gráfico de uma função dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥), com 𝒙 pertencente

ao domínio (𝒙 ∈ 𝑫), no plano cartesiano, devemos:

29

- construir uma tabela com valores de 𝒙 escolhidos convenientemente e com

valores correspondentes para 𝑓(𝑥) = 𝑦.

- a cada par ordenado (𝑥, 𝑦) da tabela associar um ponto do plano cartesiano;

- marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o

gráfico da função a partir de dois pontos já delimitamos a reta.

Valor da função linear:

O valor da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 para 𝑥 = 𝑥0 é dado por 𝑓(𝑥0) = 𝑎𝑥0. Por

exemplo, na função 𝑓(𝑥) = 5𝑥, podemos determinar:

𝑓(1) = 5 ∙ 1 = 5. Logo 𝑓(1) = 5.

Vejamos para 𝑓(𝑥) = 2𝑥:

𝑓(1) = 2 ∙ 1 = 2. Logo 𝑓(1) = 2.

𝑓(0) = 5 ∙ 0 = 0. Logo 𝑓(1) = 0.

Espera-se que os alunos observem que devemos criar pelo menos dois

pontos a partir da função para construirmos a reta. Propomos o seguinte quadro:

Quadro 2 – Obtenção dos pontos a partir da função linear

X 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 y Ponto

0 𝑓(0) = 2 ∙ 0 0 O(0,0)

2 𝑓(2) = 2 ∙ 2 4 B(2,4)


Utilizando o aplicativo, determinamos os pontos e construímos a reta:

30

Figura 14 – Tela do aplicativo Pad Geometria, construindo a reta a partir da função


Vamos efetuar alguns exercícios:

Construa a reta para as seguintes funções no aplicativo Pad Geometria:

1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥

Figura 15 – Tela do aplicativo Pad Geometria, exercício 1


31

2. 𝑓(𝑥) = 6𝑥



3. 𝑓(𝑥) = 9𝑥



32

4. 𝑓(𝑥) =1

7𝑥



5. 𝑓(𝑥) =1

19𝑥



33

6. 𝑓(𝑥) = −3𝑥



7. 𝑓(𝑥) = −6𝑥



34

8. 𝑓(𝑥) = −1/7𝑥



9. 𝑓(𝑥) = −5𝑥



35

Após resolver os exercícios, o que podemos concluir sobre o coeficiente 𝒂? O

que acontece com o comportamento da reta quando mudamos o valor do coeficiente

𝒂? Qual a diferença das retas formadas pelas funções lineares 𝑦 = 4𝑥 e 𝑦 =1

4𝑥?

Se espera que os alunos observem ao menos a diferença do comportamento

das retas. Se assimilarem que o coeficiente 𝒂 determina a inclinação da reta, ou que

quanto maior o valor de 𝒂 mais a reta se aproxima do eixo 𝒚, estaremos obtendo um

grande avanço.

Em seguida vamos propor para que os alunos as construam para que

formalizem o que o valor do coeficiente 𝒂 define na representação da reta da função.

Figura 24 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de retas


Diante da construção da figura acima, temos a reta 𝑟 representada por 𝑓(𝑥) =

1

4𝑥 e a reta 𝑠 representada por 𝑓(𝑥) = 4𝑥, espera-se que os alunos percebam que

quanto maior o valor do coeficiente 𝒂, mais a reta se aproximará do eixo 𝒚.

Nos exercícios 2 (𝑓(𝑥) = 6𝑥) e 7 (𝑓(𝑥) = −6𝑥) há uma semelhança. Tem

algum fator diferencial que faz com que haja mudança no comportamento da reta

apresentada. Que fator é esse? Qual é sua influência na reta. Vamos compará-los?

36

Neste momento construamos as duas retas dos exercícios 2 e 7 que tem

como funções 𝑓(𝑥) = 6𝑥 e 𝑓(𝑥) = −6𝑥, e resultam nas reta 𝑟 e 𝑠 respectivamente:


X 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 y Ponto

0 𝑓(0) = 6 ∙ 0 0 (0,0)

1 𝑓(1) = 6 ∙ 1 6 (1,6)



X 𝒇(𝒙) = −𝟔𝒙 y Ponto

0 𝑓(0) = (−6) ∙ 0 0 (0,0)

1 𝑓(1) = (−6) ∙ 1 -6 (1,-6)


Figura 25 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de retas


Espera-se que os alunos sintetizem que o sinal do coeficiente 𝒂 descreve se a

função, neste caso linear, comparta-se de maneira crescente ou decrescente.

Para formalizarmos tal conceito vamos expor a definição, observando ainda

que estamos trabalhando com funções lineares.

37

O número 𝒂 chama-se coeficiente angular ou inclinação da reta em relação ao

eixo horizontal 𝒙. Quanto maior o valor de 𝒂 mais a reta se afasta da posição

horizontal. O sinal de 𝒂 irá determinar se a resta cresce ou decresce, sendo que

para 𝒂 > 𝟎 a reta será crescente e se 𝒂 < 𝟎 a reta será decrescente.

4.4 FUNÇÃO AFIM

Em seguida pode ser exposta a definição de função afim, porém ainda

continuaremos a observar a função linear, para dar ênfase no valor 𝒃. Tendo em

vista que a função linear é um caso particular da função afim em que o valor de 𝒃 é

igual a zero, no intuito de fazer com que o aluno compreenda o coeficiente 𝒃 e ele

observe o que diferencia a função afim do seu caso particular, a função linear.

Uma função 𝑓: ℝ → ℝ chama-se função afim quando existem dois números

reais 𝒂 e 𝒃 tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, para todo 𝑥 ∈ ℝ.

Determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores em dois

pontos distintos:

Uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 fica inteiramente determinada quando

conhecemos dois de seus valores 𝑓(𝑥1) e 𝑓(𝑥2) (𝑜𝑢 𝑦1 e 𝑦2) para quaisquer 𝑥1 e 𝑥2,

reais, com 𝑥1 ≠ 𝑥2.

De modo geral, conhecendo 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) e 𝑦1 = 𝑓(𝑥2) para 𝑥1 e 𝑥2 reais

quaisquer, com 𝑥1 ≠ 𝑥2, podemos explicitar os valores a e b da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

, determinando-a:

Assim:

𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑎𝑥1 + 𝑏

𝑦2 = 𝑓(𝑥2) = 𝑎𝑥2 + 𝑏

𝑦2 − 𝑦1 = (𝑎𝑥2 + 𝑏) − (𝑎𝑥1 + 𝑏) = 𝑎𝑥2 − 𝑎𝑥1 = 𝑎(𝑥2 − 𝑥1)

𝑦2 − 𝑦1 = 𝑎(𝑥2 − 𝑥1)

𝑎 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1, 𝑐𝑜𝑚 𝑥1 ≠ 𝑥2

Substituindo o valor de a em 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑎𝑥1 + 𝑏, obtemos o valor de b:

𝑦1 = (𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 ) 𝑥1 + 𝑏

38

𝑦1(𝑥2 − 𝑥1) = 𝑦2𝑥1 − 𝑦1𝑥1 + 𝑏(𝑥2 − 𝑥1)

𝑦1𝑥2 − 𝑦1𝑥1 − 𝑦2𝑥1 + 𝑦1𝑥1 = 𝑏(𝑥2 − 𝑥1)

𝑦1𝑥2 − 𝑦2𝑥1 + (𝑦1𝑥1 − 𝑦1𝑥1) = 𝑏(𝑥2 − 𝑥1)

𝑏 =(𝑦1𝑥2 − 𝑦2𝑥1)

(𝑥2 − 𝑥1) , 𝑥1 ≠ 𝑥2

Vamos utilizar esta generalização para determinar a função a partir do ponto

A e G que anteriormente citamos.

Figura 26 – Tela do aplicativo Pad Geometria, reta a partir dos pontos A e G


Temos 𝐴(4,1) e 𝐺(2,1

2), aplicando na generalização para o valor de a,

observando que 𝑥1 = 4, 𝑥2 = 2, 𝑦1 = 1 e 𝑦2 =1

2, temos:

𝑎 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

12 − 1

2 − 4= −

1

2

(−21)

= (−1

2) ∙ (−

1

2) =

1

4

𝑏 =(𝑦1𝑥2 − 𝑦2𝑥1)

(𝑥2 − 𝑥1)=

(1 ∙ 2 −12 ∙ 4)

2 − 4=

(2 − 2)

2 − 4= 0

Como definimos a função? O que acontece com o b?

Espera-se que os alunos entendam a função linear como um caso particular

da função afim e estabeleçam a seguinte relação:

39

𝑦 = 𝑓(𝑥) =1

4𝑥 + 0 ou 𝑓(𝑥) = 0,25𝑥 + 0

Após conclusão sobre a lei da função afim voltamos ao aplicativo, onde se

clicarmos na tela em cima da reta aparecerá a seguinte caixa a direita:

Figura 27 – Tela do aplicativo Pad Geometria, explicação


Na seção “style” temos edições relacionadas as características da reta, agora

vamos na seção “metrics”, selecionando-a:

40

Figura 28 – Tela do aplicativo Pad Geometria, explicação


Observe que na seção “metrics” temos o ângulo em graus formado pela reta e

pelo eixo x, o “Slope” que é o declínio do eixo y em relação a x e dentre os outros

parâmetros a “equation” que nos auxiliará, pois podemos ver a equação da função

da reta em que estamos trabalhando.

Visualizando a figura, relacionando a função apresentada no aplicativo,

obtemos a mesma função? E quanto ao valor de a? e de b? e se utilizássemos

somente o ponto A e a origem (ponto O), poderíamos determinar a função e obter os

valores para a e b? vamos calcular?

𝐴(4,1) e 𝑂(0,0), aplicando na generalização para o valor de a, observando

que 𝑥1 = 4 𝑥2 = 0, 𝑦1 = 1 e 𝑦2 = 0, temos:

𝑎 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

0 − 1

0 − 4=

−1

−4=

1

4

𝑏 =(𝑦1𝑥2 − 𝑦2𝑥1)

(𝑥2 − 𝑥1)=

(1 ∙ 0 − 0 ∙ 4)

0 − 4=

(0 − 0)

0 − 4= 0

Resultando na mesma função, 𝑓(𝑥) = 0,25𝑥 + 0.

E quanto ao b, por que ele é zero?

No intuito de despertar o interesse dos alunos, vamos propor a seguinte

função afim:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

41

Primeiramente: o que a função dada difere do que trabalhamos até o

momento?

Espera-se que os alunos percebam que o coeficiente 𝒃 tem um valor diferente

de 0.

Em seguida questionaremos

Vamos construir o gráfico desta função?

Induziremos os alunos ao mesmo raciocínio já trabalhado para a construção

da reta da função linear, observando a obtenção do valor da função afim:

O valor da função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 para 𝑥 = 𝑥0 é dado por 𝑓(𝑥0) = 𝑎𝑥0 + 𝑏.

Por exemplo, na função afim 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1, podemos determinar:

𝑓(1) = 5 ∙ 1 + 1 = 5 + 1 = 6. Logo 𝑓(1) = 6.

𝑓(−3) = 5 ∙ (−3) + 1 = −15 + 1 = −14. Logo 𝑓(−3) = −14.

𝑓 (1

5) = 5 ∙ (

1

5) + 1 = 1 + 1 = 2. Logo 𝑓 (

1

5) = 2.

E neste momento os conduziremos a construção da reta da função proposta

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

Quadro 5 – Obtenção dos pontos a partir da função afim

𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑦 Ponto

0 𝑓(0) = 2 ∙ 0 + 1 1 𝑨(𝟎, 𝟏)

2 𝑓(2) = 2 ∙ 2 + 1 5 𝑩(𝟐, 𝟓)


Efetuando a reta no aplicativo, espera-se que os alunos obtenham:

42

Figura 29 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de reta


O que podemos observar que difere das outras retas estudadas até o

momento? Qual o valor do coeficiente 𝒃?

Vamos expressar mais uma função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 e solicitar que os alunos

construam a reta no aplicativo:

43

Figura 30 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação de reta


A partir deste momento espera-se que os alunos percebam que o coeficiente

𝒃 é responsável pelo valor de interseção da reta como eixo 𝒚.

Idealizando reforçar o que foi trabalhado, propomos alguns exercícios para

serem efetuados no aplicativo:

Construa as seguintes retas no aplicativo:

1. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 4

44



2. (𝑥) = −2𝑥 +1

2



3. (𝑥) = 3𝑥 − 1

45



4. (𝑥) =1

2𝑥 + 4



46

5. (𝑥) = 5𝑥 − 3



4.5 FUNÇÃO AFIM CRESCENTE E DECRESCENTE

Já vimos que:

Uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 tem como gráfico uma reta, que indicamos

por 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 não vertical, ou seja, não paralela ao eixo y.

O número 𝒂 chama-se coeficiente angular ou inclinação da reta em relação ao

eixo horizontal 𝒙. Quanto maior o valor de 𝒂, mais a reta se afasta da posição

horizontal.

Neste momento visemos sintetizar o conteúdo abordado no estudo da função

afim.

A ordenada do ponto onde a reta intersecta o eixo y é sempre b. O ângulo 𝛼

que a reta faz com o eixo 𝑥 (quando 𝑎 ≠ 0) é chamado de ângulo de declividade da

reta.

47

Exemplo: Construa no aplicativo as seguintes funções: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 e 𝑓(𝑥) =

−3𝑥 + 1.

As restas podem ser construídas na mesma tela, pois podemos adicionar

várias retas na mesma tela. Aqui as retas serão apresentadas em telas

diferenciadas.

Figura 36 – Tela do aplicativo Pad Geometria, exemplo


48

Figura 37 – Tela do aplicativo Pad Geometria, exemplo


Diante do que foi proposto indagaremos os alunos quanto ao comportamento

da função, esperamos que eles interpretem que determinamos se a função afim

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é crescente ou decrescente pelo o sinal de 𝒂. Se 𝒂 é

positivo, ela é crescente; se 𝒂 é negativo, ela é decrescente.

Efetuemos alguns exercícios de construção de retas no aplicativo Pad

Geometria:

1. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 e 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

49



2. 𝑓(𝑐) = 3𝑐 − 2 e 𝑓(𝑐) = −3𝑐 − 2



50

4.6 CASOS PARTICULARES

Começamos trabalhando com um caso particular da função afim, que é a

função linear, agora iremos trabalhar com mais dois casos, a função constante e a

função identidade. Seria interessante mostrar aos alunos os casos particulares da

função construindo as retas no aplicativo, indagando-os sobre os comportamentos

dos coeficientes:

4.6.1 Função identidade

Definimos a função identidade, como sendo 𝑓: ℝ → ℝ, onde 𝑓(𝑥) = 𝑥 para

todo 𝑥 ∈ ℝ. Neste caso, 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0.

Construamos a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 no aplicativo.

Figura 40 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação da reta da função identidade


51

Na função identidade observamos que o valor atribuído a 𝒙 resulta no mesmo

valor para 𝒚 ou 𝒇(𝒙), por isso o nome de identidade.

4.6.2 Função constante

Definimos a função constante sendo 𝑓: ℝ → ℝ , com 𝑓(𝑥) = 𝑏 para todo 𝑥 ∈ ℝ.

Nesse caso, 𝑎 = 0.

Construamos a função 𝑓(𝑥) = 1,5 no aplicativo.

Figura 41 – Tela do aplicativo Pad Geometria, representação da reta da função constante


Na função constante observamos que a reta é paralela ao eixo 𝒙, ou seja,

não haverá intercepção da reta da função constante com o eixo 𝒙, de maneira a

termos o valor do coeficiente angular igual a zero (𝒂 = 𝟎).

52

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho foi exposta uma proposta de ensino com o objetivo de

contribuir para que o professor tenha mais confiança em trabalhar com o conteúdo

de função afim utilizando como ferramenta de ensino o aplicativo de smartphone

Pad Geometria. Concluímos que será uma superação para todos os participantes do

ensino, o professor e o aluno que trabalharão em um ambiente diferenciado e

tenderão a romper certos paradigmas.

Fazer uso de um aplicativo de smartphone para ensinar funções constitui-se

numa maneira diferenciada de apresentar o conteúdo matemático. Tal utilização

pode despertar maior interesse nos alunos e, assim, proporcionar a construção do

conhecimento matemático de forma mais significativa. Nesse sentido, como

professores atuantes e motivados a focar num ensino com qualidade para

desenvolvermos futuros profissionais e cidadãos críticos e atuantes na sociedade,

devemos estar convictos de que é essencial acompanhar o desenvolvimento

tecnológico.

Além de acompanhar esse avanço tecnológico, o levar para sala de aula é um

desafio, como mencionado neste trabalho, que se torna instigante. O que só tem a

acrescentar na experiência de professores que buscam em suas aulas o melhor

para desenvolver o ensino e a aprendizagem de maneira construtiva.

Contudo, ao propor o uso desta tecnologia no ambiente escolar o professor

poderá se deparar com a perca de foco do aluno, momento em que ele venha a se

distrair com outras funções do uso do smartphone. Assim, faz-se necessário que o

docente esteja atento e perceptivo a esta ação, buscando novamente a atenção do

estudante de maneira a convidá-lo a trabalhar com o aplicativo dentro da tarefa

proposta, demonstrando que confiou e como resposta espera responsabilidade e

comprometimento dele.

É imprescindível ao docente um olhar para a realidade e tomar como meta

mudanças que acarretem em transformações positivas no ambiente de ensino. Por

conseguinte o trabalho de conclusão de curso que foi proposto é uma sugestão para

quem pretende romper barreiras que cada dia se fazem mais presentes nas escolas

e instituições de ensino.

53

REFERÊNCIAS

BICUDO, M.A.V. Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo: Editora da UNESP, 1999. 218 p.

BRANDT, S. T. J.; MONTORFANO, C. O software GeoGebra como alternativa no ensino da geometria em um mini curso para professores. 2008. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/ pde/arquivos/329-4.pdf>. Acesso em: 13 set. 2015.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Parte III - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: 2000. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/ pdf/ciencian.pdf>. Acesso em: 12 jul. 2015.

D’AMBROSIO, U. A história da matemática: questões historiográficas e políticas e reflexos na Educação Matemática. Revista For the Learning of Mathematics. 1997. Disponível em: <http://cattai.mat.br/site/files/ensino/uneb/pfreire/docs/HistoriaDaMatematica/Ubiratan_DAmbrosio_doisTextos.pdf>. Acesso em: 12/07/20015

DANTE, L. R. Matemática: Contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Editora Ática, 2001. 1 v. 368 p.

FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.

GREGIO, B. M. A. A informática na educação: as representações sociais e o grande desafio do professor frente ao novo paradigma educacional. Campo Grande: Revista Digital da CVA – Ricesu. V. 2, 06 mar. 2004. Disponível em: <http://pead.ucpel.tche.br/revistas/index.php/colabora/article /viewFile/43/39>. Acesso em: 17 set. 2015.

MERCADO, L. P. L. Novas tecnologias na educação: reflexões sobre a prática. 1. ed. Maceió: Edufal, 2002. 216 p.

MOUSQUER, T.; ROLIM, C. O. A utilização de dispositivos móveis como ferramenta pedagógica colaborativa na educação infantil. Santo Ângelo, RS: Universidade Regional Integrada das Missões e do Alto Uruguai - URI, s.d. Disponível em: <http://www.santoangelo.uri.br/stin/Stin/trabalhos/11. pdf>. Acesso em: 11 out. 2015. OLIVEIRA, G. A. de. Determinando uma função afim pelo valor de dois pontos. Brasil Escola: Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/

54

determinando-uma-funcao-afim-pelo-valor-dois-pontos.htm>. Acesso em 10 out. 2015.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: 2008. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr. gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf>. Acesso em: 03 jul. 2015.

PARANÁ. Assembleia Legislativa do Estado do Paraná. Lei N° 18118 de 24 de junho de 2014. Dispõe sobre a proibição do uso de aparelhos/equipamentos eletrônicos em salas de aula para fins não pedagógicos no Estado do Paraná. Paraná: Diário Oficial do Estado do Paraná, Disponível em: <https://www.documentos.dioe.pr.gov.br/dioe/ consultaPublicaPDF.do;jsessionid=8F435315F8A72ECE28F29DF881CE2F91?action=pgLocalizar&enviado=true&numero=9233&dataInicialEntrada=&dataFinalEntrada=&search=18.118&diarioCodigo=3&submit=Localizar&loca>. Acesso em: 05 out. 2015.

TOLEDO, E. G. F. de; MONTICELI, A. R.; SILVA, L. L. C. O uso de Recursos Tecnológicos como Metodologia de Ensino em Língua Portuguesa e Matemática nas escolas públicas de ensino médio em Varginha. Minas Gerais: CEFET, 2012. Disponível em: http://www.senept.cefetmg.br/galerias/ Anais_2012/GT-02/GT02-005.pdf. Acesso em: 15 set. 2015.

WALTRICK, R. 78% dos jovens brasileiros usam smartphones. Paraná: Gazeta do Povo, 2014. Disponível em: <http://www.gazetadopovo.com. br/economia/78-dos-jovens-brasileiros-usam-smartphones-eew9271z2m1s ayb10pveuxlxq>. Acesso em: 15/10/2015.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO...

Documents

Transcript of UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO...