UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO …

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

PAULO RICARDO DA SILVA

ANÁLISE DO CONCEITO DE FUNÇÃO EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA

UNIÃO DA VITÓRIA 2016

PAULO RICARDO DA SILVA

ANÁLISE DO CONCEITO DE FUNÇÃO EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado como requisito parcial para

conclusão do Curso de Licenciatura em

Matemática da Universidade Estadual do

Paraná – UNESPAR, campus de União

da Vitória.

Orientador: Prof.ª Mestre Carolina Soares

Bueno.

UNIÃO DA VITÓRIA

2016

“A vida é uma tragédia quando vista de perto,

mas uma comédia quando vista de longe.”

Charles Chaplin

AGRADECIMENTOS

Inicialmente gostaria de agradecer a Deus por toda a força fornecida neste

momento difícil, conturbado e de grandes mudanças.

A minha família por todo o suporte que me forneceram durante o

desenvolvimento deste trabalho, além da compreensão da minha ausência.

Aos meus amigos que apoiaram e incentivaram neste momento, em especial

aos colegas de turma que ao longo destes quatro anos, tornaram-se irmãos.

Aos professores do curso de Licenciatura e Matemática da UNESPAR, os

quais de diferentes maneiras contribuíram para a minha formação profissional, em

especial a minha orientadora Professora Carolina Soares Bueno, a qual me ajudou

em inúmeros momentos, provendo ideias e incentivo até a idealização deste

trabalho.

RESUMO: Na busca pela melhoria do ensino e da aprendizagem dos alunos veio à

tona o questionamento: “De que maneira é feita a abordagem do conteúdo no que

diz respeito ao estudo de função? ”. Procuramos compreender o passado dos livros

didáticos, verificando o seu objetivo quando fora criado e o papel assumido nos dias

atuais. O livro didático tem proporcionado a milhares de alunos uma fonte de

conhecimento, visto que em muitas localidades o acesso a informação ainda é

restrito. Devido a este material estar presente na sala de aula de milhares de

escolas verificamos seu papel dentro das mesmas, evidenciando que o livro serve

como uma ponte entre as interações de professor e aluno, promovendo argumentos

para ambos, através da mediação do professor. O professor como mediador, busca

utilizar e articular as situações apontadas pelo livro, enfatizando e ponderando o que

considera pertinente a construção do conhecimento do aluno, fornecendo ao livro

um caráter de ferramenta, auxiliando no ensino. Porém isto só acontece quando o

professor assume analisar e averiguar se o material é de boa qualidade, não se

apoiando inteiramente no livro. Analisamos três livros didáticos com base nos

aspectos da teoria antropológica didática e organização praxeológica, evidenciando

os aspectos da teoria no que diz respeito a introdução do conceito de função.

PALAVRAS-CHAVE: Livro Didático, Conceito de Função, Análise.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Mapa referente a distribuição de obras didáticas de todas as disciplinas em

2016 .......................................................................................................................... 12

Figura 2: Esquema de interações entre Professor, Aluno, Livro Didático e

Matemática ................................................................................................................ 17

Figura 3: Diagrama de relação T. .............................................................................. 30

Figura 4: Capa livro 01 .............................................................................................. 33



Figura 7: Livro 01, Introdução. ................................................................................... 36

Figura 8: Livro 01, Questionamentos. ....................................................................... 37

Figura 9: Livro 01, nota sobre Euler e Leibniz. .......................................................... 38

Figura 10: Livro 01, Exemplo 01. ............................................................................... 39


Figura 12: Livro 01, Exercício 03. .............................................................................. 43


Figura 14: Livro 01, exercício 06. .............................................................................. 44


Figura 16: Livro 02, exemplo 02. ............................................................................... 47



Figura 19: Livro 02, ênfase do exemplo 04 ............................................................... 50



Figura 22: Livro 02, desafio. ...................................................................................... 53




Figura 26: Livro 03, definição de Domínio e Imagem. ............................................... 59


Figura 28: Livro 03, exemplo 04, resolução............................................................... 61



Figura 31: Livro 03, exercício 03 ............................................................................... 64



Figura 34: Livro 03, Definições de Plano cartesiano. ................................................ 67

Figura 35: Livro 03, definição de função. .................................................................. 68

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO: ........................................................................................................... 1

1 LIVRO DIDÁTICO .................................................................................................... 4

1.1 A ESCOLHA DO LIVRO DIDÁTICO ............................................................... 5

1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS DO LIVRO .......................................................... 7

1.2.1 Um pouco da história do Programa Nacional do Livro Didático - PNLD .. 8

1.3 O USO DO LIVRO DIDÁTICO ..................................................................... 12

1.4 O PAPEL DO LIVRO DIDÁTICO NAS AULAS DE MATEMÁTICA .................. 16

2 CONCEITO DE FUNÇÃO ...................................................................................... 19

2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS DAS FUNÇÕES: .................................................. 21

2.2 FUNÇÃO .......................................................................................................... 23

3 ASPÉCTOS METODOLÓGICOS ........................................................................... 26

3.1 TEORIA ANTROPOLOGICA DO DIDÁTICO - TAD ....................................... 27

3.2 ORGANIZAÇÃO PRAXEOLÓGICA ................................................................. 29

3.3 LIVROS A SEREM ANALISADOS: .................................................................. 32

4 ANÁLISE DOS LIVROS. ........................................................................................ 36

4.1 LIVRO 01: ........................................................................................................ 36

4.1.1 Considerações sobre o livro: ..................................................................... 45

4.2 LIVRO 02: ........................................................................................................ 46

4.2.2 Considerações sobre o livro: ..................................................................... 53

4.3 LIVRO 03: ........................................................................................................ 54

4.3.1. Considerações sobre o livro: .................................................................... 68

4.5 COMPARAÇÕES ENTRE OS LIVROS ........................................................... 69

4.5.1 Tabela de comparação dos tipos de tarefas. ............................................ 71

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 73

6 REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 76

1

INTRODUÇÃO:

Durante toda a trajetória escolar, somos submetidos à utilização do livro

didático como base para o desenvolvimento das atividades escolares. Este

apresenta encaminhamentos para os conteúdos que devem ser trabalhados durante

o ano letivo. No momento que desempenhamos o papel de aluno, não percebemos

que este material pode apresentar deficiências em diversos aspectos, como escrita,

especificidade e conteúdo teórico.

Nas escolas públicas, o livro didático é indispensável para o trabalho em sala

de aula. Considera-se que este uso faz dos professores e alunos, uma espécie de

“escravos” do seu uso. Ao refletir sobre esta problemática, fica difícil não nos

questionarmos: Será que os livros disponíveis atendem às necessidades do aluno e

professor? Será que apresentam propostas que possibilitem a construção do

conhecimento? Estes são apenas alguns questionamentos que podem surgir a

partir da reflexão do seu uso.

Refletindo sobre a futura profissão de professor de Matemática, nos

deparamos com questões relacionadas ao ensino da disciplina. É possível observar

a presença da Matemática nas atividades humanas das diversas culturas. Muitas

ações cotidianas requerem competências matemáticas que devem ser

desenvolvidas no contexto escolar. Porém, os resultados como PISA, ENEM e

SAEB evidenciam que as competências matemáticas de cálculo não bastam, é

preciso atender às exigências de uma sociedade cada vez mais matematizada.

Segundo Perez (2012), a maioria dos alunos encontra dificuldades para

aprender os conceitos matemáticos e pouco conseguem perceber a utilidade e

aplicação do que aprenderam. Tendências matemáticas como a Etnomatemática,

Modelagem Matemática ou Resolução de problemas, além de outras, buscam trazer

a vida real para as aulas de Matemática.

Neste momento, percebemos o papel que o livro didático pode desempenhar.

Um livro didático que não apresenta aplicações para a matemática apresentada faz

com que alunos não percebam a sua utilidade. É importante salientar que não

consideramos apenas o livro didático como agente principal no processo de ensino e

aprendizagem. Destacamos também o papel do professor para o desempenho

2

desse processo. Concordamos com Tardif (2014), quando afirma que professor é,

antes de tudo, alguém que sabe alguma coisa e cuja função consiste em transmitir

esse saber a outros. Ainda, definimos os professores como educadores e

profissionais do ensino.

Entendemos que o livro didático faz parte da cultura educacional brasileira.

Ele faz parte da memória de muitas gerações de estudantes ao longo dos tempos.

Ainda hoje, ele possui uma função relevante na sala de aula. Tanto para professores

como para alunos, atuando como mediador na construção do conhecimento.

Dessa maneira, considerando o livro didático como um material muito

utilizado em sala de aula, percebe-se que ele se transformou num manual para o

professor. Pois é muito mais fácil seguir a proposta de um livro didático e usá-lo

como um guia para o planejamento escolar. De acordo com Silva:

O livro didático tem assumido a primazia entre os recursos didáticos utilizados na grande maioria das salas de aula do Ensino Básico. Impulsionados por inúmeras situações adversas, grande parte dos professores brasileiros o transformaram no principal ou, até mesmo, o único instrumento a auxiliar o trabalho nas salas de aula (SILVA, 2012, p. 806).

A motivação para essa pesquisa que aqui é apresentada surgiu do

questionamento: De que maneira é feita a abordagem do conteúdo no livro didático

de matemática no que diz respeito ao estudo de função? Ainda, existia uma

inquietação acerca dos livros didáticos de matemática. Para nortear essa pesquisa

foi traçado como objetivo principal analisar a abordagem do conteúdo de funções em

três livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, especificamente livros do 1º

ano. Para que esse objetivo fosse alcançado, inicialmente foi realizado um

aprofundamento teórico sobre o livro didático e o seu uso pelos professores de

Matemática. Posteriormente, foram selecionados 3 livros didáticos para uma análise

de conteúdo, baseada na Teoria Antropológica do Didático e a Organização

Praxeológica de Chellavard (1999).

Os livros escolhidos são de autores distintos e apresentam o conteúdo inicial

sobre funções com diferentes abordagens, favorecendo a análise desta pesquisa. O

primeiro livro foi escolhido por trazer uma abordagem utilizando tecnologia; o

3

segundo esteve presente no período escolar do autor deste trabalho; e o terceiro,

por trazer uma abordagem de fácil compreensão para o leitor, trazendo exemplos

didáticos de relações de dependência relacionados ao cotidiano.

O trabalho está dividido em quatro capítulos. No primeiro, apresenta-se um

estudo teórico a respeito do livro didático e o seu uso, apontando o seu aspecto

histórico e descrevendo o Programa Nacional do Livro Didático. O capítulo 2 refere-

se ao conceito de função, visto que este é o conteúdo matemático que será

analisado nos livros escolhidos. Neste capítulo, apresentam-se pesquisas

relacionadas ao estudo de funções e busca-se também evidenciar a história do

estudo de funções. No capítulo 3 deste trabalho, apresentam-se os aspectos

metodológicos que delinearam esta pesquisa. E o último capítulo apresenta uma

análise dos livros baseada na Teoria Antropológica do Didático e a Organização

Praxeológica de Chevallard (199).

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1 LIVRO DIDÁTICO

Na sala de aula, encontramos dois importantes personagens que se

relacionam. Estes personagens são representados pelo professor e aluno. O foco do

professor é intermediar a construção do conhecimento do aluno, e para que isto

aconteça, o professor conhecer sobre sua matéria e saber ensiná-la. Como enfatiza

Bulgraen:

O professor além de ser educador e transmissor de conhecimento, deve atuar, ao mesmo tempo, como mediador. Ou seja, o professor deve se colocar como ponte entre o estudante e o conhecimento para que, dessa forma, o aluno aprenda a “pensar” e a questionar por si mesmo e não mais receba passivamente as informações como se fosse um depósito do educador (BULGRAEN, 2010. p.31).

Para que o professor possa auxiliar na construção do conhecimento, este

necessita de ferramentas para auxiliar o seu trabalho. Ferramentas estas que

também podem auxiliar o trabalho dos alunos. Uma destas ferramentas é o livro

didático, o qual se faz presente na maioria das escolas. Este material, segundo

Frizon (et all, 2009), possui um grande destaque justamente pela facilidade de ser

encontrado, além de que muitas escolas fornecem estas obras a seus alunos.

Destacamos que em muitos casos, ele é o primeiro livro, abrindo caminho

para o hábito da leitura e aprendizado. A última edição da pesquisa Retratos da

Leitura no Brasil, divulgada em 2012, aponta a importância do livro didático para a

formação de leitores. Este é o mais abrangente estudo sobre o perfil do leitor

brasileiro realizado pelo Instituto Pró-Livro. O livro didático é o gênero mais lido e a

mesma pesquisa revela também o papel do professor como incentivador da leitura.

O livro didático deve servir de argumentos para ambas as partes debaterem

sobre os conteúdos. Esta discussão é relevante ao processo de leitura e

compreensão dos textos e cabe ao professor explorar esses pontos a fim de

alavancar suas aulas, gerando situações intrigantes e ao mesmo tempo

interessantes, e não somente se apoiar no roteiro. Segundo Frizon et all:

5

O livro didático confere extrema importância para a aprendizagem dos alunos, mas para isso deve contar com esforços de professores e estudantes para que ele seja utilizado com a função de transmitir informações e conhecimentos que ao serem sistematizados em sala de aula possibilitem a aprendizagem e desenvolvimento dos estudantes (FRIZON et all, 2009, p.6).

Consideramos que para que o livro se torne uma ferramenta para o processo

de ensino e aprendizagem, este deve ser bem elaborado por seus autores.

Este capítulo tem como objetivo, apresentar uma breve discussão sobre o uso

do livro didático em sala de aula, apresentando a sua história, razões para seu uso e

seu papel no processo de ensino e aprendizagem.

1.1 A ESCOLHA DO LIVRO DIDÁTICO

Para Januario (2010), os livros didáticos são utilizados pelos professores com

o objetivo de promover a compreensão de conceitos. Com esse intuito os

professores podem avaliar o tratamento dado pelos autores e verificarem se

possibilitam aos alunos a construção de seus próprios conhecimentos. Pesquisas

apontam que quase todos os professores de escolas públicas no Brasil (98%), usam

livros didáticos, segundo levantamento do Qedu: Aprendizado em Foco, uma

parceria entre a Meritt e a Fundação Lemann, organização sem fins lucrativos

voltada para a educação. Do restante, 1% acredita que o livro não é necessário e

1% não usa porque a escola não tem. O levantamento é baseado nas

respostas ao questionário socioeconômico da Prova Brasil 2011, aplicado pelo

Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep).

A escolha do livro didático tem uma importância significativa, pois este é um

material de apoio utilizado por quase todas as disciplinas escolares. A equipe

pedagógica juntamente com os professores devem analisar as possibilidades das

obras disponíveis e identificar a melhor escolha. Destaca-se Januario:

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A escolha do livro didático que melhor promova situações investigativas e problematizadoras de modo a despertar a curiosidade e o interesse por parte dos alunos. A escolha do livro didático e a reflexão crítica sobre o modo que os autores desses materiais abordam os conteúdos se constituem atividades que requer rigor do professor, pois é a partir da seleção de conteúdos que o docente fará uma transposição do currículo prescrito, portanto oficial, para o currículo praticado, aquele efetivamente desenvolvido (JANUARIO, 2010, p.12).

Uma escolha errada pode acarretar em inúmeros problemas, até o desuso de

muitos livros. É preciso estar ciente que após a escolha, o mesmo livro será

utilizado pelos próximos três anos.

Para analisar se os livros didáticos disponíveis são de qualidade e atendem

as necessidades do professor e dos alunos, é importante verificar suas resenhas

que podem ser encontradas no guia do Programa Nacional do Livro Didático

(PNLD). Desta maneira, esta análise permite identificar contribuições para o

processo de ensino e aprendizagem. Segundo o Ministério da Educação (MEC,

2016), o livro didático que deve ser escolhido é o que melhor corresponde ao Projeto

Político-Pedagógico da Escola (PPP), com alunos e professores além da realidade

sociocultural das instituições.

Compreendemos que deve haver um cuidado para com a seleção dos livros

didáticos. Estes materiais irão beneficiar diretamente os alunos e deverão atender às

necessidades por três anos consecutivos. Não fazer o seu uso seria desprezar o

potencial deste instrumento, que pode abrir novos caminhos para os alunos.

Caminhos estes que podem alavancar e instigar pontos como a atenção,

compreensão e discussão. Nos dias atuais o livro é um dos instrumentos mais

presentes na rede de ensino, e em muitos casos o único instrumento de informação

com o qual os alunos têm contato. O livro deve ser utilizado, mas não como fonte

única do conhecimento, em casos que o aluno não tenha contato com outras fontes

de informação, cabe ao professor tentar trazer outros meios para que os alunos

possam ver a grandeza proporcionada pelo conhecimento, e onde podemos

encontrar outros meios de informação.

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1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS DO LIVRO

Os livros didáticos são distribuídos pelo governo através do Fundo Nacional

de Desenvolvimento da Educação, o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).

Este programa é considerado o mais antigo dos programas voltados à distribuição

de obras didáticas aos estudantes da rede pública de ensino brasileira, a qual teve

início com as obras do ensino fundamental datada em 1929.

Segundo o Decreto Lei 1006 da legislação de 1938, é evidenciada em nível

oficial o início da história do livro didático no Brasil. Nesta época, o livro didático

desempenhava outro papel, sendo considerado um instrumento de educação política

e ideológica, evidenciado pelo Estado que era o avaliador deste material. A partir do

decreto, os professores tiveram acesso à escolha de livros por meio de uma lista

pré-determinada. Também, nesta época, foi criado o artigo 208, inciso VII, da

constituição Federal do Brasil, a qual assegura que o livro didático é um Direito

Constitucional do estudante brasileiro.

Contudo, foi somente durante as reformas curriculares da década de 1990,

que surgiu a necessidade de que os livros didáticos fossem adaptados e

remodelados para que contemplassem as exigências de uma educação de

qualidade para o século XXI. Segundo Verceze (2008. p.87), “na qual o

conhecimento os valores, a capacidade de resolver problemas e aprender, como a

Alfabetização Científica e Tecnológica, são elementos essenciais”. Para que

houvesse uma regulamentação vigente sobre os livros didáticos, fora criado o

decreto n.9154/85, que iniciou o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD),

programa tem como objetivo avaliar os livros didáticos periodicamente.

A regularização do PNLD vem por meio da resolução nº 603, de 21 de

fevereiro de 2001. Buscando uma padronização, o Ministério da Educação e Cultura

(MEC) propiciou a criação de inúmeras comissões avaliadoras dos materiais a

serem produzidos e distribuídos, a fim de zelar por uma boa qualidade das obras

literárias. Porém estes inúmeros processos acarretam certa lentidão, onde se

percebe um determinado confronto editorial. Consideramos que este confronto pode

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prejudicar a qualidade do livro didático, que por sua vez acarreta em diversos

problemas na utilização do professor e de seus alunos. Assim, entende-se que uma

qualidade ruim do livro didático pode proporcionar dificuldades no processo de

ensino e aprendizagem.

1.2.1 Um pouco da história do Programa Nacional do Livro Didático - PNLD

O Programa Nacional do Livro Didático – PNLD é o responsável por prover os

livros um grande acervo de livros literários e obras didáticas, bem como dicionários e

manuais. Estes livros são destinados aos alunos do ensino fundamental e médio a

nível nacional. A seguir, apresentamos um quadro que apresenta momentos

importantes na história do PNLD:

Quadro 1: Histórico do PNLD

HISTÓRICO DO PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO - PNLD

1929

O Instituto Nacional do Livro (INL) foi criado como órgão específico para legislar sobre políticas do livro didático.

1938 Instituída a Comissão Nacional do Livro Didático – CNLD (Decreto-Lei n. 1.006, de 30 de dezembro de 1938), uma das

funções desta comissão é controlar a produção e a circulação dos livros didáticos pelo País.

1945

Decreto-Lei n. 8.460, de 26 de dezembro de 1945.

Com este decreto foi consolidado a legislação sobre a produção, importação e a utilização do livro didático.

Também restringiu a escolha ao professor.

1966 Neste ano foi sancionado um acordo entre o Ministério da Educação (MEC) e a Agência Norte Americana para o

Desenvolvimento Internacional (Usaid). Com este acordo o MEC foi capaz de distribuir 51 milhões de livros

gratuitamente (durante 3 anos). Este acordo permitiu a criação de uma nova comissão denominada: Comissão do

livro técnico e do livro didático – COLTED, o objetivo principal desta comissão era controlar a produção, edição e

distribuição dos livros didáticos.

1970 Portaria n. 35, de 11 de março de 1970, do Ministério da Educação.

Através de uma parceria com as editoras nacionais e recursos do Instituto Nacional do Livro (INL), foi possível

criar um sistema de coedição.

1971 Neste ano o Instituto Nacional do Livro, instituiu um novo

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programa, este era o Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental (PLIDEF).

Também neste período ocorreu o termino da parceria entre o MEC e a USAID, logo a INL passa a assumir funções do COLTED, passa a administrar e gerenciar os recursos

financeiros subsidiados pelas unidades federadas ao Fundo do Livro Didático.

1976 Decreto n. 77.107, de 4 de fevereiro de 1976.

Por meio deste decreto chega ao fim o INL, o governo passa a assumir uma parcela da compra e distribuição de livros as

escolas e das unidades federadas.

A responsabilidade da administração dos livros didáticos passa para a Fundação Nacional do Material Escolar

(FENAME), os recursos provêm do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) e também de uma

parcela das Unidades da Federação.

Neste ano ouve uma grande falta de recursos o que acarretou a exclusão das escolas municipais do programa.

1983 Criação da Fundação de Assistência ao Estudante (FAE), a qual passa a assumir o PLIDEF.

É proposto que os professores participem na escolha dos livros e com isso ouve a ampliação do programa, o qual

passou a incluir mais séries do ensino fundamental.

1985 Decreto n. 91.542, de 19 de agosto de 1985.

Fim do PLIDEF e fundação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Com esta mudança os professores passam

a poder indicar os livros e reutiliza-los, este fato terminou com o problema dos livros descartáveis. Deste modo

também foi possível melhorar a qualidade dos livros, uma vez que estes podem ser reutilizados necessitavam de uma

melhor estruturação, tanto técnica quanto de conteúdo. Também foi possível estabelecer o banco dos livros

didáticos e a contribuição dos estados fora extirpada. Todo o Controle e critérios ficam a cargo da FAE.

1992 Ano extremamente difícil para a distribuição dos livros didáticos, leis orçamentárias acabaram por reduzir a

abrangência de distribuição. Apenas até a 4º série do ensino fundamental pode receber livros.

1993 Resolução CD FNDE n. 6, de julho de 1993.

Vincula recursos para a aquisição dos livros didáticos destinados aos alunos das redes públicas de ensino, deste

modo foi possível consolidar um fluxo regular de verbas para a aquisição e distribuição do livro didático.

1993/1994 Implementado novos critérios para avaliação dos livros didáticos, com a publicação “Definição de Critérios para

Avaliação dos Livros Didáticos” MEC/FAE/UNESCO.

1995 A partir deste ano aos poucos o programa dos livros didáticos caminha para a normalização e universalização da

distribuição. Também neste ano entra as disciplinas de matemática e língua portuguesa.

Em 1995, são contempladas com obras didáticas as

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disciplinas de matemática e língua portuguesa.

1996 Os livros que eram inscritos para o PNLD, passam por um processo de avaliação pedagógica. Deste modo fora

publicado o primeiro Guia de Livros Didáticos. (da 1º a 4º série).

O Guia de Livros Didáticos continua passando por mudanças em seus critérios até os dias atuais. Livros que apresentam

qualquer tipo de discriminação, preconceito, erros conceituais, indução a erros ou desatualização nas

informações a serem transmitidas são automaticamente excluídos do Guia do Livro Didático.

Em 1996 é contemplada a disciplina de ciências com a produção de livro didático.

1997 1997 a disciplina de geografia e história ganham obras didáticas através do programa.

Finalização da Fundação de Assistência ao Estudante (FAE). O que passa toda e a administração do PNLD ao

Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE)

O Ministério da Educação passa a contemplar com livros didáticos:

Alfabetização, língua portuguesa, matemática, ciências, estudos sociais, história e geografia para todos os alunos de

primeira à oitava série do ensino fundamental público.

2000 O PNLD passa a distribuir Dicionários de Língua portuguesa.

2001 A partir deste ano o Programa evolui drasticamente, passando a entregar as obras didáticas no ano anterior ao

ano letivo de sua utilização.

2001 Inicia-se a distribuição e ampliação do programa para poder contemplar alunos com deficiência, fazendo a impressão de

livros em braile.

2002 Primeiras reposições e complementações para séries iniciais.

2003 Criada a Resolução CD FNDE n. 38, de 15 de outubro de 2003.

Com base nesta resolução é criado o Programa Nacional do Livro didático para o Ensino Médio - PNLEM

2004 Criado o Siscort, Sistema de Controle de Remanejamento e Reserva Técnica, o qual tem por objetivo registrar e controlar

o remanejamento de livros e a distribuição da Reserva Técnica, no âmbito do PNLD. O Siscort passa a ter uma filial em cada estado, deste modo foi possível atender às turmas

do primeiro ao quarta série.

O atendimento ao Ensino Médio foi instituído de maneira gradativa, a partir deste ano foram distribuídos livros de

matemática e português para alunos do primeiro ano nos estados do norte e nordeste.

2005 Em 2005, foram incluídas no sistema (Siscort) as turmas do quinto ao nono ano.

Em caráter de reposição e complementação, são distribuídos livros didáticos de todos os componentes curriculares para

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os alunos do ensino fundamental, sendo plena a complementação dos livros consumíveis de primeiro ano. No

âmbito do

Para o ensino médio houve distribuição de livros de português e matemática para todos os anos e regiões.

2006 Distribuição de Dicionários ilustrados Trilíngues (língua Brasileira de sinais/Língua portuguesa/língua inglesa) para Escolas de primeira à quarta série. Estes dicionários eram

direcionados para alunos com Surdez.

2007 Publicada a Resolução CD FNDE n. 18, de 24 de abril de 2007.

Programa Nacional do Livro Didático é regulamentado para a alfabetização de Jovens e Adultos (PNLA). Passa a distribuir

por meio de doações obras didáticas para entidades parceiras do Programa Brasil Alfabetizado.

2008 Distribuição de livros de física e química para o ensino médio.

2009 Publicada a Resolução CD FNDE n. 51, de 16 de setembro de 2009. A qual regulamenta o Programa Nacional do Livro Didático para a Educação de Jovens e Adultos (PNLD EJA).

Também publicada a Resolução CD FNDE n. 60, de 20 de novembro de 2009. Instituído que a partir do próximo ano (2010) todas as escolas públicas devem aderir ao PNLD

para que possam adquirir Obras didáticas. Por meio desta resolução também foi possível adicionar a língua estrangeira (inglês/espanhol) a distribuição para 6º e 9º anos. O ensino

médio também seria contemplado com livros de língua estrangeira, bem como livros de Filosofia e Sociologia (porém estes foram feitos em volume único e edições

consumíveis)

2010 Decreto n. 7.084, de 27 de janeiro de 2010.

Contempla procedimentos para execução dos programas de material didático: o Programa Nacional do Livro Didático

(PNLD) e o Programa Nacional Biblioteca da Escola (PNBE).

2011 Por meio do FNDE foi adquirido e distribuído integralmente livros para o ensino médio e Educação de jovens e adultos. A Modalidade EJA também passa a receber livros de Língua

estrangeira, Filosofia e Sociologia (caráter consumível)

Fonte: Adaptado de Brasil, 2012.

Desde 2002, o PNLD compra e distribui obras didáticas aos alunos do Ensino

Fundamental e Médio, na modalidade regular ou Educação de Jovens e Adultos

(EJA). Para garantir o atendimento a todos os alunos, são distribuídas também

versões acessíveis (áudio, Braille e Mecdaisy1) dos livros aprovados e escolhidos no

1 Mecdaisy é uma ferramenta tecnológica que permite a produção de livros em formato digital acessível. Possibilita a geração de livros digitais falados e sua reprodução em áudio, gravado ou sintetizado, possui facilidade de navegação pelo texto, permitindo a reprodução sincronizada de

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âmbito do PNLD. O Programa foi capaz de distribuir em 2016 milhares de obras

didáticas para escolas de nível fundamental e médio (figura 1), tanto para áreas

urbanas quanto para áreas rurais. Hoje é um importante meio de apoio para as

escolas em âmbito nacional.

Figura 1: Mapa referente a distribuição de obras didáticas de todas as disciplinas em 2016

Fonte: <http://www.fnde.gov.br/programas/livro-didático>

1.3 O USO DO LIVRO DIDÁTICO

Um ponto que merece destaque a respeito do livro didático é a distorção de

sua finalidade, a utilização desenfreada desta ferramenta a transforma como uma

fonte única de conhecimento. Muitas vezes, o professor segue cegamente os

conteúdos rotulados dentro da obra e essa utilização, pode levar a um problema

pertinente a mecanização do ensino. Desta maneira, o aluno fica fadado a decorar

conteúdos e reproduzir de maneira tradicionalista2, focando apenas em um algoritmo

trechos selecionados, o recuo e o avanço de parágrafos e a busca de seções ou capítulos. (Machado, 2009) 2 O Método tradicional de ensino, (ou pedagogia tradicional), como diz Saviani (1999), coloca o professor com uma interação vertical para com seu aluno, instigando o autoritarismo por parte do professor, não fornecendo espaço para que o aluno possa se expressar, o professor assume o papel

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desprezando o potencial do conceito a ser explorado dentro de uma situação

proposta pelo livro didático. Como enfatiza Oliveira:

Muitos professores utilizam o livro didático como seu fiel escudeiro onde nele se apoiam para estar em condições duvidosas de poder enfrentar uma sala de aula e a disciplina, tendo em vista que, chegou a tal ponto que ele (o professor) não tem mais a capacidade de inovar, dependendo única e exclusivamente do livro didático para poder compreender e repassar o conteúdo para os alunos, e ainda utilizam este recurso didático de um modo completamente equivocado sem procurar envolver o conteúdo programático com a realidade do aluno, se prendendo a um método extremamente teórico com uma leitura monótona e cansativa para ambos (professores e alunos), e de difícil compreensão (OLIVEIRA, 1997, p.04).

Vemos que nesse momento a condução do professor é de extrema

importância, pois seus apontamentos podem gerar a produção do conhecimento ou

apenas a reprodução. Corroborando com isto, apontamos Verceze & Silvino:

O livro didático se encontra longe de ser uma fonte de sabedoria, capaz de orientar os professores no desenvolvimento da personalidade integral das crianças e constituir uma responsabilidade de natureza social e política. E o professor quem deve ter uma boa preparação para desenvolver essa atividade de vital importância, pois, embora haja, por um lado, o desenvolvimento das novas tecnologias, da mídia, dos textos digitais, por outro, o livro continua sendo o mais fiel aliado do professor e um recurso imprescindível para os alunos (VERCEZE & SILVINO, 2008, p.05).

Desta maneira podemos observar que o livro didático tem seu potencial

elevado com a utilização correta do professor, o qual deve ponderar seu uso aliado

ao seu conhecimento, não dispensando novos meios de informação e novos

recursos para utilizar em suas aulas. O professor deve estar sempre em contato com

outros meios de informação além do livro, mas como esse recurso em muitos casos

é o qual seus alunos dispõem, cabe a ele administrar o uso do livro didático da

melhor maneira possível, fazendo enxertos de conteúdo ou ponderando as

de vigiar e aconselhar, corrigir e ensinar a matéria e por sua vez o aluno tinha o objetivo de entender e assimilar o conteúdo.

14

informações que o livro traz. Ainda, segundo Januario (2010), essa prática do

professor analisar e ponderar o que irá trabalhar com seus alunos, e como trabalhar,

se pauta em uma análise crítica dos conteúdos e situações-problema que muitas

vezes os livros disponibilizam, porém, o professor observa como os autores do livro

retratam os cenários que ele quer explorar, e avalia se realmente o que o livro traz

irá contemplar o aluno a construir o significado esperado.

Como ressaltado anteriormente, vimos que inicialmente os livros didáticos

brasileiros tinham um teor político e ideológico, proveniente do Estado sendo seu

censor. Essa visão inicial cria um ponto de partida, podemos indagar qual seria a

concepção dada ao livro didático nesta época? Bittencourt (2004) ressalta esta

dúvida, mostrando que é importante conhecer o passado histórico do livro didático,

analisando quem foram seus precursores (autores) e qual a finalidade dos livros em

sua criação, se os mesmos queriam que este instrumento fosse incorporado como

ferramenta de trabalho para o professor ou se fora criado para ser um substituto. A

autora evidencia também que nesta época a formação de professores e instituições

que forneciam cursos para o ensino das primeiras letras quanto para o nível

secundário eram muito precárias ou quase inexistentes.

Neste contexto, podemos perceber grande interesse por parte do governo,

que nesta época (1938), idealizou um enorme investimento na aquisição e criação

de livros didáticos; os autores incumbidos destas obras foram tidos como patriotas.

O objetivo da ação do governo nesta época foi de direcionar a maior quantidade

possível de livros a fim de abranger um atendimento escolar de qualidade a maior

quantidade possível de alunos. Mas, o termo “Educação de qualidade” tinha outra

característica, a concepção de Educação de qualidade é mutável perante o tempo.

Podemos perceber essa diferença quando olhamos para o século XIX o que se tinha

como Educação de qualidade, era adequação ao contexto sociocultural. Segundo o

decreto nº 1325 de 10 de fevereiro daquele ano, constavam no artigo 7º e parágrafo

primeiro, Sales et al (2008) cita que os delegados do distrito, por mais que não

fossem magistrados deveriam visitar estabelecimentos escolares trimestralmente

tendo a responsabilidade de averiguar as condições do mesmo:

Estabelecimentos particulares desse gênero [escolas] que tenham sido autorizados, observando se neles são guardados os preceitos da moral e as

15

regras hygienicas. Se o ensino dado não e contrario constituição, à moral e ás Leis; e se cumprem as disposições deste regulamento (SALES et al,2008, p. 77).

Com isso vemos claramente que para a época a concepção de Educação de

Qualidade era a ideia de lei e ordem, comprimento das mesmas em conformidade

com a moral. É importante conhecer esses aspectos passados, pois eles refletem

diretamente sobre a criação dos livros didáticos, são aspectos da política

educacional brasileira que residem dentro dos livros didáticos, pois estes

estabelecem segundo Apple:

Grande parte das condições materiais para o ensino e aprendizagem nas salas de aula de muitos países através do mundo e considerando que são os textos destes livros que frequentemente definem qual é a cultura legitima a ser transmitida (APPLE, 1989, p.82)

O livro didático assume um papel como um intercessor entre o currículo

proposto e a prática, ou seja, dentro dele devemos encontrar o conhecimento

específico constituídos entraves dos componentes curriculares o qual toma forma

através do professor evidenciando realidades socioculturais. Demonstrando que o

currículo que está intrínseco na criação do livro refletindo diretamente uma

redemocratização histórica do país.

Porém, o livro não deve ser inteiramente constituído somente do currículo

contendo ações separadas que norteiam pontos do ensino, mas de uma teia que

une os conhecimentos mostrando caminhos diversos.

No que se refere à redemocratização, o Programa Nacional do Livro Didático

ganhou força com o decreto nº 91542 de 19 de agosto de 1985, pós-ditadura militar,

que constituiu o PNLD com a finalidade de alavancar a presença dos magistrados

(professores) na escolha do livro didático, trazendo uma nova alvitra para o ensino.

Desta maneira ouve a constituição da política pública do livro didático, esta política

teve como objetivo nortear obstáculos como os problemas da aprendizagem, má

qualidade do ensino dentre outros.

16

Voltando o nosso olhar para o passado, podemos refletir que o livro didático

foi um dos materiais que mais sustentou as escolas públicas até os dias de hoje.

Mas mesmo com investimentos altos injetados pelo governo essa abrangência ainda

não é absoluta. Existem diversas instituições precárias em estruturas e materiais, o

que dificulta muito o processo de ensino e aprendizagem. Considerando que em

muitas regiões o único acesso à informação é por meio do livro didático, a evidência

do papel fundamental do livro didático ganha ainda maior destaque.

1.4 O PAPEL DO LIVRO DIDÁTICO NAS AULAS DE MATEMÁTICA

O papel do livro didático nas aulas de matemática é um dos pontos chave

desta pesquisa e com base nas Orientações Curriculares do Ensino Médio (OCEM,

2006), vemos que este papel está ligado diretamente com o uso do professor. É

importante ressaltar que com a utilização do livro didático acabamos trazendo mais

uma variável para dentro da sala de aula, onde não mais somente professor e aluno

estão presentes e interagindo. A utilização da obra didática traz a presença do autor

indiretamente para um diálogo, caracterizando uma nova relação entre Professor-

autor-aluno. A presença do autor intrínseco na obra didática serve como pilar para

um debate entre as partes professor-aluno, propiciando assim momentos reflexivos

e dialéticos, onde os pontos de vista das três partes podem ir ao encontro uns aos

outros ou concordarem. Ainda, destacamos que com a orientação do professor

pontos importantes dos conteúdos podem ser melhores explorados.

Com as orientações do professor, o mesmo pondera os conteúdos a serem

trabalhados e situações a serem investigadas junto aos alunos, evita-se o uso

desenfreado do livro didático, contornando um problema antigo, que é a distorção da

finalidade deste material. No entanto, ainda vemos a roteirização do livro didático em

muitas escolas, os conteúdos são trabalhados do início ao fim sem questionamentos

dentro da estrutura do livro didático, deste modo perde-se a autonomia do professor

em explorar pontos chaves e abranger atividades e discussões que o livro poderia

propiciar em auxílio da compreensão de um conteúdo. Este fato por muitas vezes se

17

dá por falta de conhecimento do professor acerca das orientações curriculares ou

acesso as mesmas.

Durante as aulas com a utilização do livro didático, podemos estabelecer um

diálogo entre professor-livro-aluno, o livro serve como um “elo” promovendo um

colóquio entre as partes, e desta maneira diversas interações são possíveis,

podemos visualizar no seguinte diagrama:

Figura 2: Esquema de interações entre Professor, Aluno, Livro Didático e Matemática

Fonte: MANDARINO, 2010.

Podemos traduzir estas interações da seguinte maneira, o livro didático deve

assumir algumas finalidades específicas dentro deste diálogo, estas são enfatizadas

por Gerard e Roegiers (1998), onde a interação livro-aluno tem como função:

Contemplar o aluno a adquirir conhecimento socialmente relevante;

Avultar competências cognitivas, tornando o aluno capaz de ser

autônomo;

Capacidade de apropriar-se, consolidar, ampliar, aprofundar e integrar

todos os conhecimentos adquiridos;

Assessorar na auto avaliação da aprendizagem;

Auxiliar na formação social e cultural, também desenvolver a

capacidade de convivência e de exercício da cidadania;

Olhando as perspectivas do autor no diálogo entre Professor-livro, os

aspectos mais relevantes são os seguintes:

Contribuir para o planejamento e preparo das aulas, permitindo o

professor uma melhor perspectiva dos assuntos, o mesmo pode

enfatizar pontos chaves que considere pertinentes para a

aprendizagem efetiva dos alunos, bem como auxiliar no preparo de

atividades, trabalhos e avaliações.

18

Contemplar a aquisição de conhecimentos, favorecendo uma

renovação ao professor, desta forma o livro traz textos que ilustram

novos cenários e referências.

Contemplar a formação didático-pedagógica;

Contribuir na avaliação da aprendizagem dos alunos;

A partir destes objetivos, podemos perceber que para que eles ocorram, o

professor deve ter plena compreensão da utilização do livro didático, bem como os

conceitos a serem ensinados, não desvalorizando a sua formação e as concepções

adquiridas sobre o ensino da matemática e da própria Matemática, a utilização feita

por ele do instrumento livro didático com seus alunos, refletirá diretamente nas

funções descritas anteriormente, podendo abrir assim novas vertentes ou acabar

não contemplando a todas. O professor deve refletir sobre o impacto que o uso da

ferramenta livro didático, pode causar sobre suas práticas pedagógicas, alunos e

sobre o planejamento escolar ou projeto político pedagógico (PPP).

O diálogo estabelecido pelo uso do livro didático jamais poderá ocupar um

espaço de concentração da conversação entre professor e aluno, deve ser tratado

como uma ferramenta de ensino a qual auxilia as aulas, porém não a única, deste

modo o professor deve abrir espaço para utilização de outras ferramentas de ensino,

sempre buscando uma melhor qualidade para suas aulas e aprendizagem de seus

alunos, não levando em conta que o livro seja fonte única de conhecimento, esta

ideia deve ser repassada a seus alunos, motivando-os a buscar novas fontes de

conhecimento.

19

2 CONCEITO DE FUNÇÃO

A Matemática está presente na vida do homem desde a antiguidade, como

ciência dos números e dos cálculos auxilia na vida e organização da sociedade. O

desenvolvimento da matemática está intrínseco nas primeiras civilizações, e tornou

possível o desenvolvimento do comércio, construções, manejo e medição de terras

dentre outras situações.

O campo da matemática é muito amplo, comportando um gigantesco volume

de informação que transcendeu o tempo, e é excepcional para a humanidade, seu

desenvolvimento e para seu futuro.

Para poder estudar matemática, ela é particionada em diversos níveis de

conhecimento e dentre eles em subníveis, é imprescindível aprender seus conceitos

através de etapas. Esta prática tem por objetivo facilitar a aprendizagem. Quando

completamos uma destas etapas e assimilamos seu conceito, podemos partir para a

próxima e assim sucessivamente, estes conhecimentos podem ser paralelos ou não,

mas sempre podemos ver algumas relações existentes entre muitos dos conteúdos.

Um conceito da matemática importante para este estudo é o ensino de

funções. No estado do Paraná, segundo as diretrizes curriculares, alunos do Ensino

Médio têm como objetivo ampliar seus conceitos sobre Funções, a fim de aprofundar

estes conhecimentos.

Conhecimentos estes que tornam o aluno capaz de identificar regularidades,

estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem matemática, para assim ser

capacitado a interpretar e raciocinar sobre fenômenos de seu cotidiano ou situações

específicas, que exigem uma interpretação matemática, como linguagem gráfica que

favorece a compreensão dos dados e grandezas envolvidas.

Contudo, existem inúmeras problemáticas que cercam o tema função e essas

problemáticas estão diretamente ligadas ao seu ensino. Com isso foram

desenvolvidas algumas pesquisas sobre o tema, as quais tiveram bases diferentes,

buscando a partir de estudos históricos, epistemológicos e de transposição didática

do conceito dessa temática. Algumas pesquisas que se destacam são as

elaboradas por Oliveira (1997), Rossini (2006) e Maia (2007), cada um desses

20

autores evidenciou fatos inerentes ao estudo de funções, que refletem diretamente

acerca do uso do livro didático.

Oliveira (1997) evidenciou grande dificuldade por parte de seus alunos no

campo conceitual das funções. Para transpor este problema decidiu trabalhar com

sequências didáticas, enfatizando para seus alunos a construção de significado para

o conceito de função.

Rossini (2006) teve a colaboração de outros professores, os quais o ajudaram

a analisar as dificuldades que os docentes encontram para ensinar o conceito de

função para seus alunos. Deste modo, chegaram à conclusão de que depende de

como o professor dever elaborar uma sequência didática para tal estudo. Ainda

verificaram que conforme os professores moldavam o caminho para chegar ao

conceito, os mesmos reestruturavam seus conhecimentos sobre Função.

A pesquisa de Maia (2007) teve foco com base no ensino de funções por

meio do uso de softwares, para chegar até a aprendizagem do conceito. Em sua

pesquisa, o tema chave foi o ensino de funções quadráticas, utilizando o software

Winplot. Esta pesquisa fora aplicada com alunos do 9º ano, os mesmos trabalharam

graficamente e algebricamente com o uso do software. Segundo Maia, houve uma

melhora significativa na aprendizagem do conceito de função quadrática.

As três pesquisas citadas anteriormente, mostram pontos de vista distintos

sobre o mesmo tema, desta forma somos levados a refletir, qual é a melhor

abordagem para o tema funções, e como os livros didáticos poderiam abordar

inicialmente o tema? Com base nessas pesquisas podemos ver que é de grande

importância que pesquisas sejam elaboradas para contemplar e melhorar os livros

didáticos, agregando um potencial aos conteúdos, pois os livros devem tratar os

conteúdos de formas diferenciadas a fim de instigar os alunos a aprender e

desenvolver o conhecimento.

Esta pesquisa além de trazer uma visão sobre o ensino de funções serve

para que os professores possam refletir, também se autocriticar, para que assim se

preocupem com a escolha do livro, também com a organização dos conteúdos a

serem trabalhados, os caminhos escolhidos pelo professor, a fim de alcançar o

objetivo de que seus alunos consigam construir o conhecimento.

21

Com o auxílio do professor, o aluno pode ser capaz de construir seu

conhecimento, mas o que definirá esta construção será a conduta do professor,

segundo Januario:

A postura do docente influencia não somente sua atuação com a classe, mas, também, no momento de escolha de atividades que propiciem um ambiente favorável para que o aluno possa investigar, tentar, errar, construir, averiguar e socializar o que está trabalhando. Assim, a escolha por conteúdos que propiciem esse ambiente é um fator que promoverá a aprendizagem significativa (JANUARIO, 2010. p. 15).

Como podemos analisar até o momento, o professor é um ponto chave na

utilização do livro didático, mas no que diz respeito aos conteúdos e abordagens que

o livro pode trazer, a pesquisa e análise do livro didático podem contribuir para que o

professor possa transpor as dificuldades que os alunos apresentam a respeito do

tema de função, identificando pontos chaves a serem explorados, e como explorar

essas situações.

2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS DAS FUNÇÕES:

Nesta sessão iremos abordar um quadro referente aos aspectos históricos,

uma breve perspectiva sobre o tema, para observar o desenvolvimento do conceito

de funções durante o tempo. A história das funções pode melhorar a compreensão

de algumas de suas definições atuais. A partir do estudo histórico podemos refletir,

qual era a visão dos matemáticos do passado sobre o tema e como o conceito de

função se desenvolveu até a visão atual. Refletindo entre passado e presente.

Durante muitos anos o conceito de função sofreu diversas alterações, desde a

Antiguidade, Idade Média até o Período Moderno, o que causa grandes divergências

quanto ao verdadeiro período de surgimento do conceito, esta ideia é apresentada

por Youschkevitch (apud Maia, 2007), o qual também divide nestes mesmos três

períodos históricos, pelo qual houve discussões sobre o conceito e o

22

desenvolvimento das funções, Youschkevitch faz um apanhado geral destes três

períodos até metade do século XIX:

Antiguidade: Durante este período ouve diferentes estudos das relações de

dependência entre duas quantidades, mas ainda não eram isoladas as

noções gerais de quantidades variáveis e de funções.

Idade Média: Etapa ao longo da qual, na ciência europeia do século XIV, a

noção de dependência é expressa pela primeira vez de uma maneira precisa,

de uma forma ao mesmo tempo geométrica e mecânica, A dependência entre

duas quantidades era definida por uma descrição verbal ou por um gráfico

mais que por uma fórmula.

Período Moderno: A partir do fim do século XVI e especialmente durante o

século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer,

desta forma, passa-se a muito utilizar as funções analíticas.

Durante anos diversas Civilizações já utilizavam conceitos de funções, na

Antiguidade temos como exemplos Babilônicos e Egípcios, que utilizaram conceitos

de funcionalidade, para resolver problemas práticos, porém como Eves (2008)

aponta em seu trabalho, estes povos ainda não tinham desenvolvido métodos de

generalização, ou seja, em toda nova situação, eles deveriam partir de uma nova

análise, contudo ambos os povos criaram instrumentos como tábuas, que continham

informações de correspondência, o que facilitava.

No período da Idade Média, em meados do século XVII começaram a surgir

às primeiras ideias sobre o conceito de função. Com a necessidade de observação

dos fenômenos e das leis que buscavam explicá-las, Galileu Galilei (1564 – 1642) e

Isaac Newton (1642 – 1727), já utilizavam noções sobre a lei de dependência, como

hoje sabemos fortemente ligadas ao conceito de “função”. Este termo ainda não

havia sido formalizado nesta época.

Durante o decorrer dos anos, com a chegada do Período Moderno, houve

grandes avanços em relação à definição do termo função. Estes avanços vieram no

século XVIII com Bernoulli (1667 – 1748), matemático suíço, o qual utilizou o termo

função, assim designando valores obtidos por operações entre variáveis e

constantes. Porém neste mesmo século, outros dois matemáticos tiveram grande

influência sobre as funções, um deles foi Leonard Euler (1707 – 1783), o qual

23

utilizou as notações atuais “f(x)”, mas foi o matemático Gottfried Wilhem Leibniz

(1946 -1783) quem supostamente criou o termo função.

Durante este período somos contemplados com estudos advindos das

necessidades em aprimorar instrumentos de medidas, os quais mobilizaram

matemáticos a estudarem as noções de funções através da observação.

Acarretando em uma evolução do conceito, desenvolvendo o tratamento

quantitativo, onde x e y entram em relações de dependência.

2.2 FUNÇÃO

Para que possamos analisar os livros didáticos, primeiro devemos apresentar

o tema Função, e algumas definições formais, de modo que estes pontos, em

conjunto com as peculiaridades apresentadas na sessão anterior possam contribuir

para uma visão mais abrangente quanto ao conteúdo presente no livro didático.

O ponto a ser analisado nos livros é o conceito de função, parte inicial e

introdutória ao tema das Funções. Deste modo vamos primeiramente interpretar o

que é “conceito de função”.

Para Caraça (1951), da mesma forma que os conjuntos numéricos surgem

para cada necessidade, os naturais da necessidade de contagem, o número racional

da medida, número real para assegurar a compatibilidade lógica de aquisições

diferentes, as funções surgem naturalmente como uma ferramenta para

necessidades especificas, a necessidade aparece e a situação cria este instrumento.

Este instrumento são as funções, que são chamadas pelo autor de “ferramentas”.

Sua criação está atrelada ao desenvolvimento humano, com base nas observações

dos fenômenos naturais o ser humano buscou entende-los, e disto derivou a ciência,

que buscou acumular, sistematizar, sintetizar e modelar estes fenômenos, a ciência

por si só é um produto resultante da curiosidade humana.

Caraça (1951) também evidencia que para se analisar ou observar algum

fenômeno, é necessário observar uma parcela proveniente deste fenômeno, deste

modo cria-se uma relação de interdependência entre os fenômenos e o conjunto

24

isolado de elementos inerentes a este, desta forma estamos considerando aspectos

quantitativos. A partir disto Caraça traz esta definição:

Sejam A e B dois componentes de um isolado; entre eles existem relações de interdependência. Consideramos uma dessas relações; nelas podemos distinguir dois sentidos: um de A para B, e outro B para A; diremos do primeiro sentido, que tem antecedente A e consequente B, do segundo, que tem antecedente B e consequente A; distingui-los-emos respectivamente pelas notações: sentido de relação 𝐴 → 𝐵 e sentido de relação 𝐵 → 𝐴 (CARAÇA, 1951. p.113).

Com base nos fenômenos buscamos encontrar regularidades – Lei

quantitativa, a lei aparece como uma correspondência entre dois conjuntos com uma

relação Unívoca no sentido de A para B, esta “lei” está na correspondência entre

dois conjuntos, para estudar leis quantitativas temos que criar um instrumento

matemática cuja essência seja a correspondência entre estes dois conjuntos.

Caraça (1951) evidencia a importância de construir a definição passo a

passo, deste modo ele coloca em destaque princípios que fundamentam o conceito,

estes princípios são interdependência e a fluência, que partem da realidade do meio

em que vivemos; noção de isolado, que é uma parte observada da realidade; noção

de qualidade e quantidade provenientes do isolado; e por último a noção de variável

e com ela suas particularidades.

Deste modo é definido Função, segundo Caraça, da seguinte forma:

Sejam x e y duas varáveis representativas de conjuntos numéricos, diz-se que y é função de x e escreve-se y = f(x), se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido 𝑥 → 𝑦. A x chama-se variável independente, a y variável independente (CARAÇA, 1951. p.129).

Partindo para uma definição mais atual, segundo Oliveira podemos definir

Função por meio de cinco aspectos, estes são:

25

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se função de A em B, qualquer relação de A em B que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

Uma relação de A em B é uma função se e somente se todo elemento de A tem imagem em B, a Imagem de cada elemento A é única. Indica-se: 𝑓: 𝐴𝐵 𝑥 → 𝑌 = 𝑓(𝑥) (lê-se: F e uma função de A em B, que associa a cada x de A um único y em B, dado pela lei 𝑦 =𝑓(𝑥)

Uma relação R: A B é uma função ou aplicação de A em B se, e somente se, para todo qualquer xA existe um único yB, tal que (x,y)R

Dados dois conjuntos, A e B, não vazios dizemos que a relação de A em B é uma função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A, existe em correspondência, um único y pertencente a B, tal que o par ordenado (x,y) pertença a f. Simbolicamente: f é uma função de A em B (xA, yB / (x,y)f).

Sempre que duas grandezas, x e y estão relacionadas entre si de modo que - X pode assumir qualquer valor em um conjunto A; - A cada valor de x corresponde um único valor de y em conjunto B; Dizemos que a grandeza que assume valores y é uma função da grandeza que assume valores x, isto é, que y é uma função de x. (OLIVEIRA, 1997, p. 31-32)

26

3 ASPÉCTOS METODOLÓGICOS

Neste capítulo será evidenciado os pontos que conduzirão a análise da

introdução ao conceito de Função. Em busca de comparações entre o conceito

inicial de funções que é o objeto deste trabalho, será feita uma pesquisa qualitativa

que investigará como os livros retratam estes conteúdos, de que forma eles

abordam a temática e qual sua metodologia.

Em Goldenberg (2004), metodologia é uma definição de um possível caminho

para uma pesquisa científica. Dessa maneira, envolve uma escolha do pesquisador

a respeito de como realizar um trabalho para a investigação de um problema de

pesquisa e para comunicar os resultados encontrados. Gatti (2002) aponta para a

importância de critérios de escolhas dos procedimentos que subsidiarão a análise e

a interpretação das informações coletadas no processo da pesquisa. Ainda, segundo

Gatti (2002), os resultados encontrados passam a ser de interesse não só de quem

pesquisa, mas também de um grupo que compartilha as mesmas inquietações.

Na pesquisa que aqui é apresentada, optamos por utilizar a metodologia de

pesquisa qualitativa, pois esta é uma investigação que não se preocupa “com a

representatividade numérica do grupo pesquisado, mas com o aprofundamento da

compreensão de [...] uma trajetória” (GOLDENBERG, 2004, p. 14).

De acordo com Rosa:

Destacando o fato que metodologia de Pesquisa Qualitativa não se resume na expressão dos procedimentos adotados na coleta de dados, compreendemos que o processo investigativo possui diversos outros elementos importantes. A começar pela inquietação inicial do pesquisador, a qual possui um contexto específico que deve ser levado em consideração e que desencadeia um processo de busca; passando, no caso da Educação Matemática como região de inquérito, pelas visões de conhecimento, de aprendizagem, de Matemática, de Educação Matemática, de mundo e de ser humano; até chegar às escolhas referentes à teoria que dá embasamento ao estudo, aos procedimentos de coleta e de análise dos dados da pesquisa (ROSA, 2012, p. 242).

27

De acordo com Merriam (1988, apud Godoi e Balsini, 2006), pesquisa

qualitativa é um conceito “guarda-chuva”, que abrange várias formas de pesquisa e

nos ajuda a compreender e explicar o fenômeno social com o menor afastamento

possível do ambiente natural. Para Godoi e Balsini (2006), nas pesquisas de cunho

qualitativo, tanto a delimitação quanto a formulação do problema possuem

características próprias. Ambas exigem do pesquisador a imersão no contexto que

será analisado.

Buscando responder à pergunta que gerou este trabalho – De que maneira é

feita a abordagem do conteúdo no que diz respeito ao estudo de função? -, foram

escolhidos três livros didáticos de Matemática do 1º ano do ensino médio, aprovados

pelo PNLD. Estes três livros apresentam o conteúdo de introdução ao conceito de

funções e foram escolhidos pautados nos seguintes critérios: (i) um dos livros

apresenta uma introdução para o conteúdo baseado em novas tecnologias; (ii) um

dos livros esteve presente no período escolar do autor deste trabalho; (iii) um dos

livros apresenta exemplos didáticos de relação de dependência relacionados ao

cotidiano. A gama de livros disponíveis a nível nacional é muito grande, mensurar a

qualidade de todos os livros seria impossível para esta pesquisa, tendo em vista

esse motivo optamos por selecionar apenas três livros para esta análise.

Para a análise crítica das estratégias utilizadas pelos autores nos pautamos

na Organização Praxeológica presente na Teoria Antropológica do Didático

(CHEVALLARD, 1999), referente às Tarefas, Técnicas, Tecnologias e Teorias.

3.1 TEORIA ANTROPOLOGICA DO DIDÁTICO - TAD

Chevallard (1999) considera que não existe um mundo institucional ideal no

qual as atividades humanas sejam geridas por praxeologias bem apropriadas que

permitam realizar todas as tarefas desejadas de uma maneira eficaz, segura e

inteligente. De acordo com Barbosa e Lins:

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As praxeologias envelhecem na medida em que seus elementos (tipos de tarefas, técnicas, tecnologias ou teorias) perdem seus créditos ou tornam-se opacos, dando origem à constituição de novas praxeologias, necessárias ao melhor funcionamento de uma determinada instituição, em consequência dos novos tipos de tarefas (tipos de problemas) que se apresentam a essa instituição (BARBORA; LINS, 2013, p.30).

Segundo Chevallard (1999, p.1), a Teoria Antropológica do Didático estuda o

homem perante o saber matemático e, mais especificamente, perante situações

matemáticas. O termo antropologia foi adotado, pois se refere à área do saber que

estuda o homem no que concerne origem, evolução, desenvolvimentos físico,

material e cultural, fisiologia, psicologia, características raciais, costumes sociais,

crenças, entre outras características (JANUARIO, 2010).

Segundo a teoria de Chevallard (1999), existe um postulado básico que

admite que toda atividade humana pode ser submetida a um modelo único, ou seja,

uma praxeologia. Digitar um texto, calcular o valor de uma função em um ponto,

construir um gráfico, estas são atividades humanas, tarefas que devem ser

realizadas.

Para Rossini, há diferenças entre as atividades humanas e as atividades

matemáticas como destacaram a seguir:

o que distingue a atividade matemática das outras atividades humanas é que, diante de uma tarefa, é preciso saber como resolvê-la. O “como resolver a tarefa” é o motor gerador de uma praxeologia: é preciso ter (ou construir) uma técnica, que deve ser justificada por uma tecnologia, a qual, por sua vez, precisa ser justificada por uma teoria (ROSSINI, 2006, p.26).

Ainda, refletindo sobre essa perspectiva, Chevallard, Bosch e Gascón

ressaltam:

na atividade matemática, como em qualquer outra atividade, existem duas partes, que não podem viver uma sem a outra. De um lado estão as tarefas e as técnicas e, de outro, as tecnologias e teorias. A primeira parte é o que podemos chamar de “prática”, ou em grego, a práxis. A segunda é composta por elementos que permitem justificar e entender o que é feito, é

29

o âmbito do discurso fundamentado – implícito ou explícito – sobre a prática, que os gregos chamam de logos (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 251).

As partes interdependentes e inseparáveis, definidas como prática (práxis) e

saber (logos) integram a praxeologia, estruturada pelos conceitos de tarefa, tipos de

tarefa, técnica, tecnologia e teoria (CHEVALLARD, 1999). Tais conceitos vão

permitir modelizar as práticas sociais em geral as atividades matemáticas, como

descreveremos a seguir.

3.2 ORGANIZAÇÃO PRAXEOLÓGICA

Segundo Barbosa e Lins (2013), uma organização praxeológica é a realização

de certo tipo de tarefa t que se exprime por um verbo, pertencente a um conjunto de

tarefas do mesmo tipo T, através de uma técnica (𝜏), justificada por uma tecnologia

θ, que, por sua vez, é justificada por uma teoria Θ. Esta definição parte do postulado

que qualquer atividade humana põe em prática uma organização, denominada por

Chevallard (1999) de praxeologia, simbolizada pela notação [t, 𝜏, θ, Θ].

Para Chevallard (1999), o par [t, 𝜏] tem relação com a prática, e pode ser

compreendido com um saber-fazer, e o par [θ, 𝛩] relacionado à razão, são

compreendidos como o saber. Sendo o conteúdo de função, o objeto do nosso

trabalho, destacamos Rossini:

Nesta perspectiva, no estudo do conceito de função, não se pergunta mais o que é função, mas quais são os tipos de tarefas a serem executadas e de técnicas envolvidas e quais são as respectivas justificativas tecnológicas e teóricas. Assim, o conceito de função emerge dessas praxeologias, que existem em um dado momento histórico, em uma determinada instituição (ROSSINI, 206, p. 132).

Para compreendermos o que é tarefa, vamos considerar que tarefa é aquilo

que algum ser humano faz regularmente. Por exemplo, a resolução de exercícios

30

que envolvem a área de triângulos pode ser considerada como tarefa dos alunos, já

o ato de ensinar o conteúdo de área de triângulos, pode ser considerada como

tarefa do professor. Pensando em tarefas fora do contexto escolar, o escritor tem

como tarefa escrever um livro, levantar uma parede de tijolos pode ser tarefa do

pedreiro, etc.

No contexto matemático, podemos exemplificar a ideia de tarefa como:

“Calcular”, é um gênero de tarefa, calcular o valor de uma função num ponto, é um

tipo (T) de tarefa e calcular o valor da função f(x) = x² + 2 para 𝑥 = 3 é a tarefa (t)

propriamente dita.

A relação entre o tipo de tarefa (T) e suas respectivas tarefas (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛)

pode ser mais facilmente compreendida por meio de uma representação gráfica

(figura 6), apresentada por Zanardi, Kneubi e Pereira (2013):

Figura 3: Diagrama de relação T.

Fonte: Zanardi, Kneubi e Pereira (2013)

A técnica pode ser entendida como o método pelo qual se realizam as tarefas.

A técnica (𝜏) é a maneira de se resolver ou realizar um determinado tipo (T) de

tarefas. Pensando no contexto escolar, a resolução de uma equação de 2º grau

deve ser entendida como uma tarefa (T), que pode ser realizada por diferentes

técnicas (𝜏). O aluno pode utilizar o complemento dos quadrados ou a fórmula de

Bhaskara, além de outras maneiras. Zanardi, Kneubi e Pereira (2013) destacam que

toda técnica tem alcance limitado, pois só funciona para algumas tarefas.

Ao solicitar a tarefa de multiplicar dois números inteiros, o aluno pode

desenvolver técnicas como:

31

𝜏1: Interpretar a multiplicação como somas sucessivas e então, ao invés de

multiplicar, o aluno faz a operação da adição dos termos.

𝜏2: Multiplicar com a conta armada, utilizando o algoritmo da multiplicação e

assim, fazendo o uso da tabuada.

No caso de algumas tarefas, uma única técnica pode não ser suficiente.

Segundo Chevallard (1999), uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa t necessita,

em princípio, de uma técnica 𝜏 relativa. Porém, uma técnica 𝜏 pode funcionar para

uma parte p(𝜏) das tarefas t e fracassar para outras partes.

De acordo com Barbosa e Lins (2013), a tecnologia (θ) é definida como um

discurso racional sobre uma técnica 𝜏, cujo primeiro objetivo consiste em justificá- la

racionalmente, isto é, em assegurar que a técnica permita que se cumpra bem a

tarefa do tipo t. Segundo Zanardi, Kneubi e Pereira (2013), a tecnologia (θ) garante

que a técnica (𝜏) irá cumprir seu propósito e explica de que maneira ela consegue

fazer isto.

No campo da matemática, podemos entender as demonstrações como

justificação de alguma técnica 𝜏. Barbosa e Lins destacam um segundo objetivo para

a tecnologia:

O segundo objetivo da tecnologia consiste em explicar, tornar inteligível e esclarecer uma técnica 𝜏 , isto é, em expor por que ela funciona bem. Além disso, a tecnologia tem também a função de reproduzir novas técnicas, mais eficientes e adaptadas à realização de uma determinada tarefa (BARBOSA; LINS, 2013, p.35).

Resta-nos definir o que é teoria (Θ). Para Zanardi, Kneubi e Pereira:

A teoria justifica e explica as afirmações da tecnologia. É o discurso racional sobre a tecnologia. Ela tem, em relação à tecnologia, o mesmo papel que esta tem em relação à técnica, ou seja, a teoria é a tecnologia da tecnologia. A tecnologia é quem justifica, explica e gera técnicas e a teoria é quem justifica, explica e gera tecnologias e que possibilita interpretar técnicas e provar tecnologias (ZANARDI; KNEUBI; PEREIRA, 2013, p.9).

32

Nessa perspectiva, compreendemos que toda tecnologia deverá estar ligada

a uma explicação teórica. Portanto, não existe tecnologia sem teoria.

Para encerrar o aspecto estrutural da TAD (praxeologia), uma última

colocação terminológica se faz necessária. Para Zanardi, Kneubi e Pereira (2013),

uma organização Praxeológica é determinada pelo conjunto dos quatro “t’s ”: (t, 𝜏, θ,

Θ). Dessa maneira, um tipo (T) de tarefa pode agregar inúmeras organizações

Praxeológicas (t, 𝜏, θ, Θ), uma vez que, como visto anteriormente, podem existir

muitas tarefas únicas (t) que pertencem a um grupo maior de tipo de tarefas (T) e

que podem ser resolvidas por uma mesma técnica 𝜏.

3.3 LIVROS A SEREM ANALISADOS:

Para a análise crítica das estratégias para introduzir o conceito de função

utilizado pelos autores, o trabalho foi pautado na Organização Praxeológica presente

na Teoria Antropológica do Didático (CHEVALLARD, 1999), referente às Tarefas,

Técnicas, Tecnologias e Teorias.

Os livros foram escolhidos com base nos critérios anteriormente citados, e os

mesmos são: Novo olhar Matemática (1ª série); Matemática (volume único),

Matemática Completa (1ª série), os três livros foram aprovados e distribuídos pelo

PNLD.

Quadro 2: Livros escolhidos

Livro 01: Novo Olhar

Matemática

Livro 02: Matemática Livro 03: Matemática

Completa.

33

Figura 4: Capa livro 01



PNLEM 2012/2013/2014 PNLEM 2009/2010/2011 PNLEM 2009/2010/2011

Código: 25133C0201 Tipo: L

Código: 102400 Tipo: L

Código: 102393 Tipo: L

O livro 01, Novo olhar Matemática, foi escrito pelo autor Joamir Roberto de

Souza, Professor graduado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina

(UEL), é especialista em Estatística pela mesma universidade e atua na rede pública

de ensino. Este livro teve sua 1º edição idealizado através da editora FTD S.A. em

São Paulo no ano de 2010.

Neste livro o autor enfatiza a contextualização do conteúdo, apresentando

informações de diferentes formas dos mais diversos meios de comunicação visando

contribuir para interpretação crítica do aluno. Antes de cada capítulo há uma

introdução com textos de outras áreas de conhecimento, mostrando situações em

que a matemática pode ser encontrada e relacionada ao tema de estudo da unidade.

Também é possível perceber uma preocupação do autor quanto à consolidação do

conhecimento apresentado, para isso, o autor recorre a diversos exemplos e

atividades resolvidas em cada capítulo.

O livro 01 é composto por 4 temas, Conjuntos, Funções, Progressões e

Trigonometria, dividindo o livro em 9 capítulos. O autor também traz ao término do

livro uma sessão especial Intitulada “Ampliando seus conhecimentos”, com diversos

exercícios de vestibulares e do ENEM, além de sugestões de livros, autores e sites

para pesquisa.

O livro 02, é intitulado apenas Matemática, fora escrito por Luiz Roberto

Dante, publicado em sua 1ª edição em São Paulo, 2009 pela Editora Ática S.A., é

dividido em 8 unidades e 35 capítulos, as unidades são: Álgebra (I), Geometria

34

Plana, Trigonometria, Álgebra (II), Estatística e Matemática Financeira, Geometria

espacial: de posição e métrica, Geometria analítica e Álgebra (III). Para completar a

obra ao término do livro o autor traz questões de vestibulares de universidades do

estado de São Paulo, e do Enem de 2000 e 2004. Para o autor em seu discurso de

apresentação é evidenciado que o mesmo se preocupa com a contextualização,

para fazer com que o aluno compreenda e saiba aplicá-las na resolução de

problemas do mundo real.

Esta obra em particular é popularmente conhecida pelo sobrenome de seu

autor “Dante”. Em especial este livro foi escolhido por fazer parte do período escolar

do autor, utilizado durante dois anos do ensino médio (2ª e 3ª série) por se tratar de

um livro de Volume único. Uma das características marcantes ao abrir o livro, é a

estrutura em colunas em todas as páginas.

O autor desta obra é Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de

São Paulo (USP), Doutor em Psicologia da educação: Ensino da matemática pela

Universidade Católica de São Paulo (PSC-SP), Pesquisador em ensino e

aprendizagem da matemática (UNESP – Rio Claro, SP), foi ex-professor da rede

pública do estado de São Paulo, Dante também publicou outras obras pela mesma

editora:

Didática da resolução de problemas de matemática

Didática da matemática na pré-escola

Coleção vivencia e construção (1ª a 4ª séries)

Tudo é matemática (5ª a 8ª Séries)

Contexto & Aplicações (3 volumes)

Matemática – Contexto & Aplicações (volume único)

O terceiro livro escolhido tem como título “Matemática Completa”, livro

destinado a 1ª série do ensino médio, faz parte da coleção com o mesmo nome,

publicado em 2005 através da editora FTD S.A. de São Paulo. Este Livro didático foi

escrito por Giovanni & Bonjorno, José Ruy Giovanni é Bacharel e Licenciado em

Matemática Pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), é

professor em escolas de ensino médio e fundamental desde 1960, José Roberto

Bonjorno é Bacharel e Licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de

35

São Paulo (PUC-SP), é professor de matemática e física em escolas de ensino

médio e fundamental desde 1973.

Este livro é dividido em 11 sessões: Geometria Métrica Plana, Trigonometria

nos Triângulos, Conjuntos, Funções, Funções Polinomiais, Funções Modular,

Funções Exponenciais, Função Logarítmica, Noções de Matemática Financeira,

Trigonometria no Ciclo e Progressões. No final do livro também há uma sessão com

sugestões de sites e livros para leitura e pesquisa.

No discurso inicial dos autores para apresentar seu livro, fica evidente que os

mesmos estão buscando preparar o aluno para a prática da cidadania, tentando

torná-los críticos e éticos. Buscam em suas sessões trazer textos interdisciplinares

para instigar seus leitores a buscarem mais conhecimento.

No próximo capítulo deste trabalho, apresentaremos a análise dos três livros.

A análise, como já mencionado, será baseada na teoria antropológica do didático e

na organização praxeológica de Chevallard (1999). Nosso intuito é analisar o

conteúdo que diz respeito somente à introdução de função em livros do 1º ano do

Ensino Médio.

36

4 ANÁLISE DOS LIVROS.

Neste capítulo faremos a análise dos três livros didáticos, no que diz respeito

a abordagem inicial do Conceito de Função, buscando verificar segundo os critérios

estabelecidos no capítulo de metodologia com base no autor Chevallard (1991),

apresentaremos situações, tarefas e técnicas abordadas. Também serão

apresentados comentários no decorrer da análise. Para tal, analisaremos cada livro

individualmente, mostrando como cada um destes é estruturado, no que diz respeito

ao conteúdo inicial do conceito de função.

4.1 LIVRO 01:

O livro 01 fora escrito por Souza possui uma abordagem e um discurso

diferenciado, logo na abertura da sessão sobre funções, é exposto um infográfico

alusivo à evolução dos transistores3. Esta evolução está relacionada a quantidade

dos mesmos que a cada ano só aumenta, devido a evolução dos aparelhos

eletrônicos. Deste modo, o autor traz um texto de abertura sobre a lei de Moore4 e a

evolução da tecnologia.

Figura 7: Livro 01, Introdução.

3 O transístor é um componente eletrônico semicondutor com várias funções, nomeadamente: amplificador de sinal (tensão), comutador de circuitos e amplificador e regulador de corrente. 4 A Lei de Moore surgiu em 1965 através de um conceito estabelecido por Gordon Earl Moore. Tal lei dizia que o poder de processamento dos computadores (entenda computadores como a informática geral, não os computadores domésticos) dobraria a cada 18 meses. Vale frisar que de modo algum Gordon queria se referenciar a sua empresa (Gordon é co-fundador da Intel), pois ele não havia como ter certeza que a empresa conseguiria evoluir em tal ritmo.

37

Fonte: SOUZA, 2010, p.44.

Ao termino desta introdução é exposto ao leitor alguns questionamentos,

estes são:

Figura 8: Livro 01, Questionamentos.


Esta introdução é extremamente chamativa, o texto nela apresentado possui

uma linguagem simples e de fácil entendimento, além de ser informativo. A partir dos

dois primeiros questionamentos, o autor busca inteirar o aluno sobre o assunto,

fazendo o mesmo se questionar perante a evolução dos transitores. Por meio do

intermédio do professor é possível abranger esta introdução para uma pesquisa

mais relevante sobre o assunto. Em sequência, uma terceira pergunta apresenta

um caráter do conceito de função intrínseco, deste modo o professor pode aproveitar

o ensejo para uma tarefa exploratória. Para buscar respostas para o terceiro

questionamento, os alunos podem utilizar conhecimentos já adquiridos na trajetória

escolar. Como por exemplo, fazer uma tabela para encontrar o número de

transitores, ou então utilizar progressões e ainda, até mesmo tentar de imediato criar

38

uma fórmula para a situação. Tudo é possível desde que o professor prepare a aula

já pensando nestas possíbilidades.

Deste modo a introdução já nos permite analisá-la segundo a TAD:

Tarefa: Encontrar a quantidade de transitores, com base no texto/infográfico.

Técnica: Criar uma fórmula relacionando a quantidade de transitores com os

anos, tabelar os valores, utilização de progreção.

Discurso teórico antropológico: Definição de função a partir da dependência

de duas variáveis.

Após a introdução, o livro traz um novo subtítulo, “Estudando Funções”, neste

momento o autor traz para o leitor um breve histórico sobre a criação das funções,

citando alguns matemáticos que contribuiram para o avanço deste tema, tais como

Newton (1642 – 1727) , Leibniz (1646 – 1716), Euler (1707 – 1783) e Furrier (1768 –

1830). Há uma nota a respeito de Leonhard Euler incluindo sua foto. Nos demais

capítulos, o autor introduz novas notas a respeito de cada um dos matemáticos

citados no breve histórico, estas notas tem por objetivo enfatizar algumas das

contribuições destes matemáticos referente ao tema de funções.

Figura 9: Livro 01, nota sobre Euler e Leibniz.

39


Após este breve histórico o livro entra diretamente em três exemplos práticos.

Dois dos exemplos trazem situações reais com base em tabelamento, por serem

análogos, apresentaremos apenas o primeiro exemplo e o terceiro. Vejamos a

seguir:

Exemplo 01: Biodisel

Figura 10: Livro 01, Exemplo 01.

40


Neste primeiro exemplo, a situação faz referência a produção de biodiesel

através da mamona. Um quadro com a quantidade de mamona e respectivamente a

quantidade de biodiesel produzida a partir da mesma, é apresentado logo em

sequência. Deste modo o autor já aponta que há uma relação entre estas

grandezas, discriminando quem são estas, isto inclui atribuir letras para representá-

las. A partir deste exemplo, o autor apresenta uma equação para representar a

situação. Com a equação, é possível calcular quantos litros serão produzidos a partir

de uma determinada quantidade de mamona. Também há uma nota ao lado do

exemplo dizendo ao leitor que a “quantidade de biodiesel produzida está em função

da quantidade de mamona”

41

Analisando o exemplo, vemos que ele se caracteriza por ser direto, não

apresenta nenhuma forma de interlocução entre o autor e o leitor, apenas aponta o

que o leitor deve perceber. Contudo, o processo de construção do conceito de

função é gradativo e é necessário fazer o aluno perceber a relação. Nesta situação

cabe ao professor mediar o exemplo para poder explorar acerca da sistematização

de uma equação capaz de representar o problema. Concluem-se os seguintes

elementos a partir da TAD que:

Tarefa: perceber as relações de dependencia entre grandezas, escrever uma

fórmula a partir da tabela.

Técnica: Analisar a tabela afim de encontrar um padrão.


de duas variáveis.

Exemplo 03: Área do Quadrado.



Neste exemplo (figura 11), logo no início é apresentada a figura de um

quadrado, ao lado a fórmula para a área de qualquer quadrado e em sequência um

tabelamento atribuindo valores para o lado e encontrando uma nova área

42

correspondente. Na tabela existem três colunas: uma para o valor do lado, outra

para o cálculo (substituindo o valor de l) e a terceira com o valor da área. Em

sequência é evidenciado quem é a variável independente e dependente. Porém,

novamente assim como no primeiro e no segundo exemplo, é apresentado todas as

informações prontas, o tabelamento, a lei de formação, quem é a variável

independente e dependente, assim como mostra a substituição da letra l por um

determinado valor (situação que os alunos têm extrema dificuldade), e não há

nenhum questionamento que provoque o aluno a raciocinar. O aluno não é

provocado a encontrar uma equação, nem testar os valores, pois tudo já é

apresentado logo no início. Percebe-se que pode haver um total desperdício do

potencial do exemplo. Para melhorar a utilização destes exemplos, o professor pode

explorar as situações propostas sem solicitar que os alunos utilizem o livro em um

primeiro momento. Neste exemplo, apresentamos a seguinte análise:

Tarefa: perceber as relações de dependencia entre grandezas, escrever uma

fórmula a partir da tabela e figura.

Técnica: Analisar a tabela afim de encontrar um padrão, recordar conceitos já

adqueridos como calcúlo de área.


de duas variáveis.

A partir destes exemplos o livro já traz exercícios, estes retratam situações

reais e teóricas que podem ser analisadas. Caso o professor siga apenas os

exemplos apresentados, os alunos podem demonstrar enormes dificuldades para

compreender o tema. Conforme evidenciado anteriormente, um dos passos mais

importantes é a construção do conceito de função. Para isso o aluno deve ter o

amparo do professor, a liberdade de poder errar, explorar e construir seu

conhecimento.

Apresentaremos a seguir três exercícios propostos e analisaremos segundo

os critérios estabelecidos:

Exercício 03: Locadora de Automóveis.

43

Figura 12: Livro 01, Exercício 03.


Tarefa: Com base no texto identificar as variáveis dependente e

independente, substituir uma grandeza para encontrar a outra, com base na

fórmula pré-estabelecida.

Técnica: Substituir os valores dados na fórmula a fim de encontrar um valor

correspondente.


de duas variáveis.

Exercício 04:


44


Tarefa: Com base na representação, escrever uma fórmula para representar o

perímetro, calcular o valor de uma grandeza dada à outra.

Técnica: Substituir os valores das grandezas na fórmula encontrada.


de duas variáveis.

Exercício 06:

Figura 14: Livro 01, exercício 06.


Tarefa: Determinar a lei de formação a partir do texto.

45

Técnica: Substituir os valores de uma das grandezas, a partir desta encontrar

as demais.


de duas variáveis.

4.1.1 Considerações sobre o livro:

Esta obra didática escrita por Souza apresenta uma linguagem de fácil

interpretação, porém com pouco conteúdo escrito, o que pode levar a muitas

dúvidas referentes a certas situações apresentadas. O livro apresenta apenas três

exemplos de maneira direta, sem questionamentos. Nota-se que o foco é apenas em

uma reprodução mecânica. Para utilização deste livro é recomendável ao professor

mediar discussões, explorar o tema e cada situação para que os alunos possam

construir um novo conhecimento de maneira gradativa e eficiente. É possível trazer

outros exemplos ou até mesmo utilizar um exercício proposto pelo livro também

pode ser uma boa opção durante as explicações.

Este livro apresenta estruturação de qualidade, infográficos, notas, tabelas e

quadros bem apresentados e chamativos, com uma linguagem de fácil

compreensão. Também podemos notar a utilização de contexto histórico, fato que

pode aguçar a curiosidade dos alunos e também pode ser um ponto a ser explorado.

Com relação aos exercícios, pode-se dizer que o livro é bem balanceado

entre atividades teóricas e com contextos reais, o que ajuda o aluno a perceber que

pode escrever qualquer situação em uma linguagem matemática.

Porém, de modo geral os exemplos claramente são fracos, apenas mostram

que podemos aplicar fórmulas matemáticas. Muitos conceitos e características são

simplesmente expostos só quando o aluno parte para a resolução dos exercícios. No

momento dos exercícios é que eles verificarão se realmente compreenderam.

Considera-se então que os exemplos podem não ser suficientes para a introdução

de função. Deste modo, entende-se que falta conteúdo.

Consideramos que apenas expor as características e nomeá-las pode não ser

uma das melhores formas de se ensinar.

46

4.2 LIVRO 02:

O tema sobre Funções inicia-se no capítulo 2, página 32. Este capítulo recebe

o título de “Funções”. O autor não traz nenhum texto introdutório ao tema, apenas

faz uma ressalva de que o conceito de função é um dos mais importantes da

matemática e que está presente sempre que relacionamos duas grandezas

variáveis.

Para iniciar o estudo o autor apresenta o seguinte subtítulo “1. Explorando

intuitivamente a noção de função”. Nesta sessão é retratado 4 exemplos para que o

leitor perceba as relações de dependência e independência de variáveis. Os

exemplos são os seguintes:

EXEMPLO 01: Números de litros de gasolina e preço a pagar.


Fonte: DANTE, 2009, p.32.

Neste exemplo vemos um tabelamento do número de litros de gasolina e

preço total a pagar. O autor introduz a palavra função logo após a tabela, no

47

momento em que diz: “O preço a pagar é dado em função do número de litros...” e,

em sequência, mostra como deveria ser escrita uma lei de formação. Abre-se uma

nota dizendo “Lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da função”.

Este exemplo é extremamente direto, e já apresenta solução. O intuito principal aqui

é apenas mostrar quando estamos utilizamos “funções”. Reconhecem-se as

seguintes características da TAD:

Tarefa: Escrever uma fórmula a partir da tabela.

Técnica: Observar a relação de dependência entre o número de litros como

sendo uma variável independente e o preço a pagar, variável dependente.

Discurso teórico antropológico: Definição de Função a partir da dependência

de duas variáveis.

EXEMPLO 02: Lado do quadrado e perímetro.

Figura 16: Livro 02, exemplo 02.


48

Neste segundo exemplo, podemos notar similaridade com exemplo 03 do livro

01. O autor traz a ideia de função utilizando o perímetro de um quadrado. O intuito

deste exemplo é mostrar que o perímetro do quadrado depende do tamanho do

lado. Sendo assim, o lado é uma variável independente, enquanto que o perímetro é

uma variável dependente. O autor novamente utiliza a palavra função no contexto de

seu exemplo dizendo que “o perímetro está em Função da medida de seu lado”. Em

sequência é apresentada a lei de formação para esta situação, mostrando que o

perímetro é igual a quatro vezes a medida do lado. A generalização deste caso

pode ser expressa por: "𝑃 = 4. 𝐿" , onde P é o perímetro e L o tamanho do quadrado.

Também é possível observar a introdução da ideia de domínio e imagem sutilmente

citada pelo autor quando se refere: “A cada valor dado para a medida do lado

corresponde a um único valor para o perímetro”. A partir da análise baseada na

TAD, podemos perceber:

Tarefa: Escrever uma fórmula a partir de uma tabela.

Técnica: Observar através da tabela as relações de dependência, da situação

em que o perímetro depende exclusivamente do tamanho do lado admitido.


entre duas variáveis.

EXEMPLO 03: Máquina de dobrar.


49


A partir deste terceiro exemplo, o autor começa a introduzir notações para a criar

a lei de formação, dizendo que o número de saída é “(n)”, e que este é igual a duas

vezes o número de entrada “(x)”. Em sequência, é apresentado a lei de formação

"𝑛 = 2𝑥". Neste momento, o autor enfatiza a introdução de letras para representar

as variáveis e então, retrata novamente que podemos chamar esta fórmula de:

“regra da função ou lei da função, ou, ainda, fórmula matemática da função”.

Percebe-se as seguintes características:

Tarefa: Escrever uma fórmula a partir do esquema.

Técnica: Observar o que acontece com os valores a partir do esquema

(“máquina de dobrar”), exemplo simples com intuito de visualizar facilmente

um padrão, para assim generalizar através de uma função.


entre duas variáveis.

EXEMPLO 04: Tempo e distância.

50



Este exemplo permite o aluno identificar um padrão entre os dados tabelados,

ou seja, encontrar uma relação entre o tempo e distância. A partir deste exemplo, o

autor começa a enfatizar os termos: variável independente e variável dependente ao

generalizar uma fórmula matemática. Discrimina-se o exemplo através de um

esquema:

Figura 19: Livro 02, ênfase do exemplo 04


Nota-se as seguintes características no exemplo acima:

51

Tarefa: Escrever uma fórmula a partir de um texto e tabela.

Técnica: Construir uma tabela. Atribuir valores a x e encontrar seus

respectivos valores em y.


entre duas varáveis.

Exemplos como esse mostram aplicações reais, onde o aluno pode identificar

a utilização do conceito de função, vendo que podemos escrever em notações

matemáticas diversas situações.

Após os exemplos o livro traz apenas 4 exercícios e 1 desafio, os quais

caracterizam problemas similares aos exemplos. Devido aos 4 exercícios serem

similares entre si, apresentando tabelamento e praticamente os mesmos

questionamentos, destacaremos apenas dois deles e o desafio, além das

características da análise de cada um.

EXERCÍCIO 01:



52

Tarefa: Identificar as grandezas envolvidas, quem é a variável independente e

dependente, escrever uma fórmula matemática a partir da tabela, calcular o

valor de uma grandeza dada a outra.

Técnica: Construir uma tabela. Descobrir a fórmula e substituir os devidos

valores.



EXERCÍCIO 02:



Tarefa: Encontrar uma fórmula matemática a partir de cada situação

Técnica: Construir as representações para visualizar a situação.



DESAFIO:

53

Figura 22: Livro 02, desafio.


Tarefa: Escrever uma fórmula a partir da tabela.

Técnica: Construir uma tabela, atribuir valores a x e encontrar seus

respectivos valores em y.



4.2.2 Considerações sobre o livro:

Dentre os três livros analisados, este se destaca de modo geral. O destaque é

devido à quantidade de conteúdo e exercícios, fornecendo ao professor a

possibilidade de analisar e dar os encaminhamentos que julgar necessário, bem

como escolher o que aprofundar ou não. Esta obra mostra muitos conceitos e

características sobre as funções quando entramos mais a fundo no tema, o que os

outros não mostram, como a abordagem de sequências, equações de

circunferências dentre outros.

Mas no que diz respeito a abordagem inicial sobre o tema, é relativamente

fraca, pois não apresenta nenhuma interlocução nos poucos diálogos entre o livro e

o leitor. Apenas apresenta os conceitos que devem ser assumidos como verdade

única. As possibilidades para explorar estes conceitos importantes que irão

fundamentar o conhecimento do aluno acerca do tema de função, está nas mãos e

habilidades do professor, pois o mesmo pode ponderar a utilização e informações do

livro.

54

Os exercícios trazidos pelo autor são em sua maioria exercícios de

vestibulares de universidades importantes (a grande maioria do Estado de São

Paulo). Os níveis dos exercícios requerem um bom conhecimento, porém, é

importante ressaltar a repetição de um mesmo modelo, focando em um processo

mecânico de resolução. De modo geral em quase todas as sessões encontramos

pelo menos um desafio/problema, seja em meio aos exemplos ou nos exercícios e

desafios. Consideramos este ponto como interessante, pois estimula o pensamento

do aluno, fugindo um pouco de exercícios teóricos, mas sem deixar as

características matemáticas de lado.

O livro está dividido em duas colunas por página, o que consideramos como

uma poluição visual. Porém, este fato não afeta a compreensão. Por ter essa

característica, vemos pouco texto e mais definições e exemplos diretos, sem muita

articulação. Tratando-se de um livro de ensino médio, não deve causar muito

desconforto aos alunos, que já podem ter uma boa compreensão de texto. Porém,

não deve ser descartada por parte do professor, a possibilidade de que os alunos

possam não compreender o que o livro quer dizer em muitos momentos.

Este livro basicamente segue a trindade: “conteúdo, exemplo e exercício”.

Observamos alguns exemplos com aplicações práticas, porém o livro foca em suma

na teoria. Apenas alguns exemplos e exercícios que retratam um cenário de

realidade e a empregabilidade do conteúdo estudado. A problematização também

não é muito presente, a ideia geral do livro é capacitar o leitor a extrair a informação,

compreender e aplicá-la em um exercício teórico. É possível que a mediação do

professor possa auxiliar neste processo.

O auxílio do professor é imprescindível, já que o mesmo deve mediar o uso

do livro em conciliação com as metodologias que julgar mais adequadas. Em

resumo é um livro excepcional, sem dúvidas é uma ótima indicação para utilização.

4.3 LIVRO 03:

O tema Funções inicia-se no capítulo quatro, com o seguinte título “A ideia de

função”. Inicialmente os autores trazem em forma de texto uma breve introdução de

55

onde é empregada a “ideia” de função, apresentando relações de dependência que

ocorrem no dia a dia. Como por exemplo, a conta de luz que depende do consumo

por hora ou uma viagem que depende da velocidade média desenvolvida no trajeto.

Exemplos simples, que apesar de ser uma breve introdução escrita, pode ser

explorado pelo professor de maneira a incentivar os alunos a observar em quais

meios eles podem perceber relações de dependência no dia a dia. Este primeiro

passo é importante, pois o aluno deve adquirir a percepção de que há inúmeras

situações as quais possuem relações de dependência. Proporcionar ao aluno

reflexões sobre o que se quer estudando funções, traz benefícios conforme

aprofunda-se o conteúdo. Passa-se de um discurso extremante teórico e entra-se

em um meio de construção de um conceito.

Em sequência os autores trazem um novo título “Relação entre grandezas

variáveis”. Para este novo tópico os autores têm uma preocupação em mostrar

diversas maneiras de representar as relações entre duas grandezas, para isso

utilizam 3 exemplos, vejamos a seguir:

Exemplo 01: Correios.


Fonte: GIOVANI J. R., BONJORNO, J. R., 2005, p.104.

56

Neste exemplo, vemos as tarifas praticadas pelo correio brasileiro no envio de

carta comercial e cartão-postal. O intuito deste exemplo é fazer o aluno perceber as

relações de dependência, notando que o “peso” é uma variável independente e a

tarifa é uma variável dependente, logo que a mesma depende exclusivamente do

peso.

Para fazer o aluno perceber estas relações o livro retrata três perguntas que

podem ser mediadas pelo professor:

a. Qual o valor a ser pago por uma carta que “pesa’’ 62g?

b. Qual o “peso” máximo de uma carta para que sua tarifa não ultrapasse R$

1,00?

c. É possível que duas cartas com tarifas diferentes tenham o mesmo ”peso”?

Estas perguntas são bem direcionadas a fazer com que o aluno perceba as

relações de dependência. Na terceira questão, começa a ser introduzido o princípio

de relação unívoca, por mais que não seja comentado. Destacamos as seguintes

características deste exemplo:

Tarefa: identificar as grandezas envolvidas, descobrir o valor a ser pago a

partir da tabela.

Técnica: para esta situação é possível utilizar conteúdos já conhecidos para

solucionar os questionamentos (como por exemplo, regra de três) ou buscar a

construção de uma fórmula.



Exemplo 02: Taxa de desemprego.

57



Neste segundo exemplo, o gráfico mostra a variação da taxa de desemprego

mensal na cidade de São Paulo, no período de março de 2004 a março de 2005.

Acredita-se que o intuito principal dos autores com este exemplo é proporcionar que

o aluno verifique a relação entre o mês e a taxa de desemprego, sendo o mês a

variável independente e a taxa de desemprego a variável dependente. Também é

possível encaminhar o aluno a observar que cada mês possui uma única taxa de

desemprego correspondente. Encontram-se as características a seguir:


dependente, a partir do gráfico.

Técnica: observação da tabela.



Exemplo 03: Área do Quadrado.

58



Neste terceiro exemplo, de uma maneira direta os autores trazem para o

aluno a fórmula da área do quadrado e desta apresentam a relação para quando o

lado for igual a 5 a área será de 25cm² (exemplo também encontrado nos livros 01 e

02). Acredita-se que o intuito deste exemplo é mostrar que o lado é uma variável

independente, e a área é uma variável dependente do lado. Porém, consideramos

que se tratando de um exemplo, o professor poderia explorar a situação, caso o livro

não apontasse a fórmula da área. Neste momento, pode-se haver uma perda de

potencial no exemplo, pois por meio dele é possível rever conceitos da geometria

plana, como área e perímetro. Uma sugestão é de o professor pode fazer uma

adaptação, utilizando outros polígonos regulares, para que os alunos possam buscar

formular uma relação entre área e perímetro de outras situações provenientes da

geometria. Apontam-se as seguintes características na análise:


dependente, escrever uma fórmula matemática a partir da tabela, calcular o

valor de uma grandeza dada a outra.

Técnica: Escrever uma fórmula matemática através da representação.



Estes três exemplos são apresentados de maneira direta ao leitor, apenas

com intuito de forçar o mesmo a interpretar as relações de variável dependente e

independente. Sem a mediação do professor, além da perda de potencial a ser

explorado por meio dos mesmos junto aos alunos, estes exemplos se tornam

desnecessários, pois o aluno pode acarretar que as relações de dependência se

59

manifestem apenas em situações similares. A partir destes três exemplos o autor

enfatiza que estas situações são as mais usadas para representar a relação entre

variáveis (gráficos, tabelas e fórmulas).

Até o momento não é apresentado nenhum exercício ou exemplo para que o

aluno possa testar seu conhecimento. Os exemplos anteriores não possuem foco na

resolução, este está apenas na leitura e discussão. Porém em sequência é

apresentado um novo título “Função como uma relação especial”. Neste tópico é

evidenciado pelos autores que as situações anteriores possuíam duas únicas

características, estas eram:

A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável

dependente.

Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da

variável dependente.

A partir daí, os autores apontam que as relações que possuem estas

características são chamadas de Funções. Neste momento eles retornam as três

situações exemplos e as completam da seguinte forma:

A tarifa postal é dada em função do “peso” da carta

A taxa de desemprego é dada em função do mês

A área do quadrado é dada em função da medida do seu lado.

Logo em sequência os autores evidenciam um conceito importante referente a

funções. Os conceitos de domínio e imagem aparecem em um quadro, conforme a

figura 28:

Figura 26: Livro 03, definição de Domínio e Imagem.


Em sequência o livro apresenta novos exemplos para caracterizar o uso das

funções, porém este não sistematiza nenhuma das situações de forma a encontrar

60

uma lei de formação, a preocupação dos autores está em apenas direcionar o aluno

gradativamente a adquirir a capacidade de averiguar padrões e assim conseguir

sistematizar/generalizar a situação onde há relações de dependência, ou seja,

encontrar uma função.

Vejamos agora os novos Exemplos:

Exemplo 04: Vídeo locadora.



A figura 29 mostra um exemplo onde encontramos uma tabela com o número

de fitas de vídeo alugadas e o preço a pagar. Logo após a apresentação da tabela,

vemos afirmações prontas, como o “O número de fitas alugas é a variável

independente” e “o preço a pagar é a varial dependente”, assim como as afirmações

a respeito da imagem e domínio. Neste exemplo á três questionamentos que devem

ser calculados para se obter a resposta para os mesmos. Porém estas situações

não buscam encontrar uma fórmula para descrever situação, o foco dos autores

61

neste momento é apenas encontrar a resposta para os questionamentos. A

resolução trazida por eles pode ser vista na figura 30 a seguir:

Figura 28: Livro 03, exemplo 04, resolução.


Fazemos a seguinte análise neste exemplo:

Tarefa: Encontrar o valor a ser pago pelas fitas alugadas.

Técnica: Utilização da regra de três, multiplicação e divisão, criar uma fórmula

para a situação.



.

Exemplo 05:

62



De acordo com a figura 31, o exemplo apresenta uma fórmula que

corresponde ao valor a ser pago em função do número de fotos tiradas. Também

são feitos comentários acerca de variável independente, dependente, domínio e

imagem.

Tarefa: Encontrar o valor a ser pago a partir de determinado número de fotos,

e encontrar o número de fotos a partir do valor pago, utilizando a fórmula

apresentada.

Técnica: Substituição dos valores correspondentes a variável p na função

para encontrar o respectivo valor de n, e substituição dos valores de n para

encontrar o valor de p.



Exemplo 06:

63



O terceiro e último exemplo, apontado na figura 30, utiliza um gráfico

correspondente a estrutura familiar e suas mudanças ao longo dos anos. Com base

neste gráfico, são feitas considerações acerca de domínio, imagem, variável

independente e dependente. Também é feita a introdução de notações de maneira

subentendida, as “linhas” correspondentes as representadas através de letras

(respectivamente f e g), que futuramente serão notações utilizadas nas funções.

Evidenciam-se as seguintes características:

Tarefa: Encontrar um ponto em comum, encontrar aproximadamente o

número atual total de famílias no ano de 1999.

64

Técnica: para a primeira situação, apenas observação do gráfico, para a

segunda, pode ser utilizada regra de três.



Destes três exemplos, observa-se que apenas o segundo exemplo traz uma

função já estabelecida. Nas outras duas situações, o autor do livro preocupa-se

apenas em resolver a situação com técnicas simples. No decorrer dos exemplos faz

comentários acerca de características das funções, como domínio, imagem e tipos

de variáveis. Contudo, até o momento não há preocupação em buscar criar uma

função para as situações. Dessa maneira, destacamos que o professor pode

trabalhar neste contexto.

Após o término desta sessão do capítulo, ainda não é evidenciado uma

definição formal para função. Apenas são apresentados exercícios, que foram

propostos de maneira equilibrada. Dentre eles, vemos exercícios simalares aos

exemplos, onde basta analisar e útilizar técnicas simples para solucionar os

questionamentos e outros que buscam a útilização de uma fórmula já apresentada.

Nenhum dos exercícios propostos solicita a criação de uma fórmula para representar

a situação. Vejamos a seguir 3 exercícios selecionados:

Exercício 03: Locadora de Veículos:

Figura 31: Livro 03, exercício 03

65


Tarefa: Verificar as variáveis dependente e independente, através do texto e

tabela.

Técnica: Utilização de técnicas simples como regra de três; criação da uma

fórmula para a situação.

66



EXERCÍCIO 06: CUBO.



Tarefa: Determinar o domínio da Função; determinar a imagem de um número

conhecida a lei de formação da Função;

Técnica: Substituir o valor de “l” da lei de formação, o qual corresponde ao

domínio (medida da aresta) para encontrar um valor “v” correspondente a

imagem (volume) pelo valor.

Discurso teórico antropológico: Domínio e Imagem de uma Função.

EXERCÍCIO 08:

67



Tarefa: Utilização da fórmula já estabelecida para encontrar a solução para os

questionamentos.

Técnica: Substituir os valores correspondentes as variáveis na função;

Discurso teórico antropológico: Definição de função por meio da dependência

de duas variáveis.

A definição para função vem apenas na sessão 2 do capítulo. Inicialmente é

apresentado um breve comenário, conforme figura 36 e exposto definições acerca

do plano cartesiano e suas relações:

Figura 34: Livro 03, Definições de Plano cartesiano.


68

Após estas definições e um exemplo simples sobre relações de conjuntos e

representação no plano cartesiano, o autor aponta a definição formal de função

conforme mostra a figura 37:

Figura 35: Livro 03, definição de função.


4.3.1. Considerações sobre o livro:

O livro escrito por Giovanni & Bonjorno, apresenta uma linguagem simples, de

fácil interpretação, facilitando sua utilização em turmas com dificuldade de

interpretação textual. Também apresenta muitas resoluções e comentários,

exemplos bem apresentados e chamativos para os alunos. Porém, possui um foco

um tanto quanto disperso em relação a sistematizar as situações a fim de encontrar

uma função para estas. Nas sessões subsequentes após a apresentação da

definição, o estudo sobre funções recai sobre conceitos teóricos, para só então

entrar no conceito sistematizado. As aplicações e situações problemas são deixadas

um tanto quanto de lado. Nota-se que apesar de estarem presentes, ainda são

poucas.

Em suma é um livro interessante, mas que requer muita atenção e mediação

por parte do professor, pois em termos de conteúdo o mesmo apresenta pouca

ênfase em encontrar a lei de formação nas relações de dependência. Ressalta-se

que o professor pode tirar proveito desta situação, explorando os conceitos, partindo

da simples resolução até a sistematização.

Outro ponto importante do livro foi a abordagem por meio de noções intuitivas,

pois vemos poucos livros com essa caracterização. Apontar para os alunos que

podemos resolver com conhecimentos já adquiridos fundamentam e ajudam na

69

percepção do aluno ao se deparar com padrões a fim de poder sistematizar a

situação.

4.5 COMPARAÇÕES ENTRE OS LIVROS

Analisando os três livros, expus alguns pontos fortes e fracos fazendo

comentários no decorrer da análise, mostrando na íntegra o que foi possível, desta

maneira, constatei algumas características individuais de cada livro.

Comparando os mesmos, pude evidenciar que o livro 01 e 02 possuem uma

preocupação maior em evidenciar em sua abordagem inicial, a relação de

dependência entre as variáveis, ou seja, buscam conceituar Função através desta

característica, mostrando relações entre duas grandezas em seus exemplos, já o

livro 03 possui quase a mesma característica porém, este possui a preocupação de

enfatizar a interdependência entre essas grandezas, mostrando variações da

mesma, também há uma preocupação maior por parte dos autores do livro três em

mostrar as principais formas de mostrar relações de dependência (gráficos, fórmulas

e tabelas), utilizando como base situações reais e teóricas. Dos três livros, apenas o

livro 02 traz alguns problemas em meio aos exercícios.

Dentre os três livros, o livro 01 e 02 traz logo no início do conteúdo, junto aos

seus exemplos, a forma como podemos resolvê-los. Faz-se a introdução dos

conceitos de variável dependente e independente, assim como as funções que

representam a situação-problema, gerando assim uma certa mecanização, pois

quando o aluno parte para a resolução das atividades propostas, estas são

extremamente similares aos exemplos. Tornando-o passivo no que diz respeito a

participação, pois irão apenas seguir a resolução mostrada pelos exemplos.

O livro 03 compartilha desta situação, mas não por completo, pois o mesmo

preocupa-se em questionar o aluno durante os três primeiros exemplos. Dessa

maneira, passa-se a caracterizar o uso das funções. Contudo, o mesmo não busca

sistematizar suas situações problemas, apenas resolvê-las como for possível. Neste

ponto, notamos que há uma perda de potencial do livro, visto que até mesmo seus

exemplos não têm como principal objetivo encontrar uma função. Em alguns casos,

70

ela já é apresentada e basta utilizá-la. Vale ressaltar que a partir da mediação do

professor, o mesmo pode explorar estas situações a fim de incentivar e questionar

seus alunos para que os mesmos busquem encontrar as funções para as situações

problema.

No que diz respeito ao aspecto histórico da matemática, apenas o livro 01 traz

algumas notas e menções a alguns matemáticos que desenvolveram algo sobre o

tema. Destaca-se que estas apresentações são descontextualizadas, apenas

quadros no meio do texto.

Sobre as formas de representações, tomamos como base Duval (2003) e

seus estudos sobre Registros de representações.

A representação gráfica surge apenas no livro 03. O mesmo apresenta

gráficos em seus exemplos e exercícios para análise. Porém, a análise é o único

objetivo, não há questões que envolvam a formulação de uma função na situação.

No livro 01, apresenta-se apenas um exercício para o preenchimento de

tabela. Nos demais livros, utilização de tabela pode ser considerada apenas como

técnica para alguma das tarefas propostas. Em alguns casos, já é apresentada uma

tabela contendo os dados, para a partir dela escrever uma lei de formação

representam a linguagem natural, passando pela representação da tabela para

então chagar a lei de formação.

Na abordagem inicial nenhum dos livros traz representações através de

diagramas de flechas. Todos os livros apresentam pelo menos duas representações

distintas para as Funções. Como citado anteriormente, o livro 3 utiliza três

representações e os livros 01 e 02, fazem uso maior das tabelas e leis de formação,

bem como a utilização de textos e a partir dos mesmos, escrever a lei de formação.

De acordo com Duval (2003), esta situação representa a passagem da linguagem

natural para a lei.

Fica evidente que todos os livros utilizam diferentes representações para o

objeto de estudo, fazendo a transição entre estas linguagens. Porém, estas

representações caminham apenas em um sentido. Nenhum dos livros busca a

articulação entre as representações.

As representações das variáveis por meio de letras são mais evidentes nos

livros 01 e 02. Os mesmos utilizam as letras costumeiras x e y, apontadas no

decorrer dos textos ou por flechas, indicando qual grandeza cada uma está

71

representando. Observa-se que no livro 03 aparece em alguns exercícios as

representações por letras, porém o mesmo não utiliza as letras x e y.

Consideramos que a representação por meio de letras é um ponto importante,

no qual o professor precisa tomar partido e explorar este momento, pois os alunos

em geral apresentam muitas dificuldades em compreender o que as letras

representam. Em geral, acabam por interpretar erroneamente nas tarefas.

Creio que devido ao conteúdo em questão, os livros se restringiram mais a

apenas mostrar os conceitos iniciais de forma rápida e direta, para logo passar para

o estudo de casos particulares e teóricos. Mesmo mostrando situações de

aplicabilidade, os mesmos não mostram uma preocupação em explorar a construção

do conceito de função, apenas utilizam estas situações-problemas para expor

características importantes referentes ao tema. Levando assim, o professor regente

a ter que aproveitar os momentos propícios para criar oportunidades de

aprofundamento. Fazem-se necessárias atividades diferenciadas e explicações, as

quais proporcionem ao aluno a construção do conceito de função.

4.5.1 Tabela de comparação dos tipos de tarefas.

A seguir, na tabela 3 será apresentada uma tabela com a comparação dos

tipos de tarefas encontradas nos três livros didáticos, exemplos (EX) e os exercícios

propostos (EP). Na primeira coluna é discriminado qual o tipo de tarefa em questão.

quadro 3: Tipos de Tarefas

Tipos de Tarefas Livro 01 Livro 02 Livro03

EX EP EX EP EX EP

Completar Tabela 1

Determinar a fórmula a partir de uma tabela 3 2 4 4 1

Determinar a lei de formação de uma função a 4

72

partir de um texto.

Relação entre grandezas 3 1 4 3 6

Verificar se uma grandeza é diretamente

proporcional a outra.

2 1

Identificar qual grandeza é Função da outra ou

se uma é Função da outra.

1 1

Analisar a variação das grandezas. 2 4 4 3 5

Calcular o valor de uma grandeza dada o valor

da outra.

3 6 4 3

Analise de gráficos 2 2

Análise de Figuras/Diagramas 1 1 2

Verificar se a relação dada é uma Função. 1

Determinar o Domínio da Função. 3 3

Determinar a imagem de um número conhecida

a lei de formação da Função.

3 3

Construir o gráfico de uma Função.

Representar pontos no plano cartesiano.

73

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ensinar não é uma tarefa fácil. Para tanto, o professor precisa de ferramentas

as quais o auxilie em seu trabalho de maneira eficiente. Uma destas ferramentas é o

livro didático, mas para que este seja efetivo, é necessário que o professor

estabeleça critérios para eventualmente fazer uma boa escolha do material.

Considerando que este o ajudará em seu trabalho, para elaboração de atividades,

avaliações, trabalhos, problemas, situações que possam instigar seus alunos e

promover um ambiente agradável e de construção do conhecimento, uma boa

escolha se torna fundamental.

Estabelecer critérios não é uma tarefa simples. É necessário que o professor

esteja inteirado sobre teorias que fundamentem suas escolhas, visando o

crescimento e aprimoramento do conhecimento de seus alunos. Definir critérios,

nada mais é do que estipular pontos chaves que nortearão suas escolhas,

promovendo uma visão investigativa e meticulosa sobre o material que irá utilizar em

seu dia a dia, junto de seus alunos. Pesquisar sobre os livros, suas abordagens,

seus autores, bem como conteúdos favorecem uma boa escolha, assim como levar

em consideração o cenário escolar.

A organização Praxeológica ajuda o docente a verificar de que modo os livros

são divididos, de que forma e qual o tratamento dado pelos autores sobre o assunto,

bem como perceber brechas as quais ele pode explorar com seus alunos,

transpondo de simplesmente seguir o livro como um roteiro, promovendo atividades

com caráter exploratório, problematizadas, investigativas e até mesmo modelagens.

Além de a praxeologia ajudar o docente a averiguar os livros, promove um

crescimento profissional, pois o professor pode adquirir uma visão cada vez mais

crítica, a qual leva a perceber detalhes importantes, não só nas divisões

apresentadas nos livros, como também no raciocínio de seus alunos, pois quando

analisamos tarefas buscando identificar suas possíveis técnicas, adquirimos a

habilidade de averiguar possíveis caminhos tomados pelos alunos, interpretar as

ideias dos mesmos a fim de incentivá-los por mais que em algumas situações

possam estar equivocadas, o professor pode fazer intervenções a aproveitar cada

momento para promover a construção do conhecimento de seus alunos. Também é

74

possível fazer comparações entre possíveis resoluções, abrangendo ainda mais a

visão do aluno sobre o conteúdo, analisar o livro didático, selecionar organizar e

desenvolver o currículo de um modo mais dinâmico.

Na busca de respostas para a pergunta que gerou este trabalho - De que

maneira é feita a abordagem do conteúdo do livro didático de matemática no que diz

respeito ao estudo de função? Buscamos resgatar um pouco da sua história do livro

didático, sua utilização dentro da sala de aula e, por fim, analisamos por meio da

Organização Praxeológica três livros didáticos distintos.

Ao analisar estes livros evidenciamos que de modo geral os livros nem

sempre trazem um suporte eficiente para os alunos. Mostrando assim, que a

participação do professor é imprescindível, pois o mesmo deve mediar, organizar,

selecionar e buscar o aprofundamento das situações que julgar necessárias e

pertinentes. Deste modo, favorecendo a construção do conhecimento no que diz

respeito ao Conceito de Funções, objeto de estudo deste trabalho.

O que constatamos nos livros didáticos analisados é que são abordadas

poucas situações-problemas. Muitas das situações são simplesmente expostas, não

trazendo nenhum questionamento pertinente, apenas apresentando o conteúdo.

Deste modo, o aluno não é incentivado a pensar, raciocinar ou investigar.

Na nossa concepção, os livros apresentam uma qualidade insatisfatórias das

tarefas. O livro 1 possui poucas tarefas e as apresentadas são repetitivas. No livro 2,

temos contextos distintos, porém, assim como o livro 1, suas resoluções são de

modo mecânico. Já no livro 3, existe a apresentação de um pouco mais de

exercícios, porém estes exercícios não têm como objetivo construir uma função, o

intuito principal é identificar as relações de dependência e independência.

Consideramos que o livro 02 permite que o professor possa explorar as situações

com mais facilidade.

A partir deste estudo, fica mais evidente para o futuro professor de

matemática a importância de que o professor possua domínio sobre o conteúdo.

Ainda, a postura que o mesmo pode assumir perante a utilização do livro pode ser

um fator importante para a condução da sua aula. Se o mesmo buscar apenas

seguir o roteiro por comodismo, estará sacrificando oportunidades de

aprendizagens. Buscar ponderar a prática com a teoria é deveras difícil, porém para

a construção do conhecimento sobre funções, entender o conceito e tornar o aluno

75

capaz de interpretar situações de dependência requer uma grande habilidade por

parte do professor.

Os livros analisados mostram a aplicabilidade das funções, porém é uma

mera alusão ao seu uso, tornar o aluno capaz de interpretar uma situação e

raciocinar matematicamente é o foco principal, uma das formas de se explorar este

ponto chave, é utilizar diversos caminhos, diversas representações para uma

mesma situação transitando entre as mesmas, apenas contextualizar de uma

maneira errônea apenas para mostrar uma aplicabilidade, não é conveniente e pode

gerar desinteresse.

Ao longo deste trabalho, transitamos por diversos temas, os quais proveram

reflexões importantes para a futura prática docente. Reflexões estas que

proporcionaram uma nova visão crítica sobre os materiais que dispomos. O livro

didático fornece um apoio para o professor, mas o mesmo deve ter plena

consciência de que sua utilização deve ser ponderada. Deste modo, percebemos

que a preparação prévia é tão importante quanto analisar, selecionar materiais,

conteúdos e atividades. Essa visão crítica permite avaliar o que é importante para

nossos alunos e reflete diretamente na nossa competência como educadores.

Por fim, encerrando aqui o que é exposto e refletindo sobre a questão central

desta pesquisa, entende-se que os livros didáticos podem contribuir para o ensino,

desde que estes sejam escolhidos e utilizados com sabedoria pelos professores. Os

quais devem visualizá-lo como uma ferramenta de grande potencial, a qual pode

utilizar para mediar diversos conteúdos e não se apoiando simplesmente no roteiro

trazido pelo mesmo.

Adquirimos com este trabalho a percepção da importância da mediação do

professor no processo de aprendizagem de seus alunos, como afirma Paulo Freire:

“Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a

sua própria produção ou a sua construção”. (Paulo Freire)

76

6 REFERÊNCIAS

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