UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciências Exatas

Colegiado de Matemática

Curso de Licenciatura em Matemática

Trabalho de Conclusão de Curso

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS FRACTAIS:

HISTÓRIA, TOPOLOGIA E SISTEMAS

DINÂMICOS COMPLEXOS

Claudemir Mota da Cruz

Feira de Santana

Setembro de 2008

Banca Examinadora

Orientadora:Profa. Msc. Fab́ıola de Oliveira Pedreira Lima

Prof. Dr. André Lúıs Godinho Mandolesi

Prof. Dr.João de Azevedo Cardeal

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciências Exatas

Colegiado de Matemática

Curso de Licenciatura em Matemática

Trabalho de Conclusão de Curso

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS FRACTAIS:

HISTÓRIA, TOPOLOGIA E SISTEMAS

DINÂMICOS COMPLEXOS

Trabalho realizado sob a orientação da Profa

Msc.Fab́ıola Pedreira como requisito parcial

para a obtenção do t́ıtulo de Licenciado em

Matemática junto ao Departamento de Ciências

Exatas da Universidade Estadual de Feira de

Santana.

Feira de Santana

Setembro 2008

Dedicatória

Dedico este trabalho a todos que amam a matemática, assim como eu, e se sentem

fascinados por essa ciência-arte que a cada dia me encanta e me faz ter certeza que o

meu destino está atrelado a ela.

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado forças para seguir em frente nos

momentos mais dif́ıceis, por ter se feito presente por meio dos meus amigos, que tiveram

papel fundamental na elaboração deste material.

Aos meus pais por terem me incentivado e apoiado na continuação dos meus estudos.

Agradeço a todos os meus amigos, mas em especial a Josué Oliveira e Pryscilla Santos,

por terem tido um papel ı́mpar no término deste trabalho.

A Cristhian Augusto Bugs, por ter me guiado nos passos iniciais desta pesquisa.

A minha orientadora, Fab́ıola Pedreira, por toda a paciência que teve comigo.

E por fim, mas não menos importante, ao professor Geraldo, por ter me influenciado,

ainda no ensino médio, no interesse pelo tema desta monografia.

i

Resumo

Neste trabalho realizamos um estudo da Geometria Fractal, um dos mais recentesramos da matemática, abordando temas como Sistemas Dinâmicos Complexos e Topolo-gia, que são necessários para o entendimento desta teoria. O objeto central a ser discutidosão os fractais gerados por composição de funções complexas quadráticas, de onde tambémse obtém o chamado conjunto de Júlia.

Palavras Chave:Fractais, Topologia, sistemas dinâmicos complexos, conjunto de

Júlia.

ii

Abstract

We do here a study of Fractal Geometry, one of the most recent branches of themathematics, approaching subjects as Complex Dynamic Systems and Topology, that arenecessary for the understanding of this theory. The central object to be argued in thiswork is the fractals generated for composition of quadratic complex functions, from whichwe will get the so called Julia sets.

KeyWords:Fractals, topology, complex dynamic systems, Júlia sets.

iii

Sumário

Introdução 1

1 Surgimento e Uso dos Fractais 3

1.1 Fato alavancador:a dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 A Aplicabilidade dos Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fractais: Um olhar Topológico 10

2.1 Conceitos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Os Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Sistemas Dinâmicos 21

3.1 Os Sistemas Dinâmicos Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Os Fractais 27

4.1 O Conjunto de Júlia da Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 O Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Considerações Finais 35

A Galeria de Fractais 36

iv

Lista de Figuras

1 Fractal Gerado por iteração de Funções Complexas . . . . . . . . . . . . . 1

2 “Floco de Neve” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Nuvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Fractal gerado aleatoriamente por meio da computação gráfica . . . . . . . 7

1.5 Raios Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Pulmão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Retângulo “Deformado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Projeção Estereográfica/Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Triângulo na esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7 Bola Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Conjunto Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10 Fronteira de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.11 Conjunto Desconexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Sistema Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Sistema Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

v

4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.7 Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.8 Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.9 Conjunto de Mandelbrot Ampliado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.10 Conjunto de Júlia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

vi

Introdução

A geometria fractal é uma das mais novas ramificações da matemática, sendo uma

parte ı́mpar da mesma, pelo fato de não se assemelhar às geometrias convencionais. As

figuras na geometria fractal possuem um certo grau de irregularidade, fato incomum nas

figuras da Geometria Euclidiana, as quais podem ser geradas por processos iterativos.

Figura 1: Fractal Gerado por iteração de Funções Complexas

1

Figura 2: “Floco de Neve”

Essas figuras atualmente são objeto de contemplação de artistas plásticos que as

tomam como artigo de decoração. Contudo a teoria dos fractais não tem como única

utilidade a criação de figuras por processos não convencionais. Os fractais são muito uti-

lizados para descrever fenômenos da natureza e do corpo humano, tendo muitas aplicações

na f́ısica, biologia, geologia e informática(SERRA,1997). O estudo de sua teoria exige co-

nhecimentos de topologia, sistemas dinâmicos complexos. Portanto, o objetivo deste texto

é propiciar uma introdução aos conceitos de topologia e de sistemas dinâmicos complexos,

necessários ao estudo da teoria dos fractais, mesclando, sempre que posśıvel, com a teoria

dos fractais.

Este trabalho está dividido da seguinte forma: No primeiro caṕıtulo falaremos sobre o

surgimento dos fractais, sobre o criador desta teoria, Bernoit Mandelbrot. Trataremos no

segundo caṕıtulo dos conceitos topológicos necessários a compreensão do funcionamento

dos sistemas dinâmicos complexos, tema abordado no terceiro caṕıtulo.

E no quarto e último caṕıtulo, tratamos do conjunto de Júlia e seu processo de

formação por meios iterativos, que discutimos no caṕıtulo anterior.

2

Caṕıtulo 1

Surgimento e Uso dos Fractais

Segundo Boyer (1996), o grande compilador de toda a base da geometria atual foi

Euclides, a mais de 2000 anos , com os ELEMENTOS, distribúıdos em 13 volumes que

traziam todo o conhecimento geométrico da época.

A geometria exposta por Euclides é também chamada de geometria da regularidade,

por não dar conta dos entes geométricos que possuem o acaso como principal meio de

formação. Ao fazer esta compilação, Euclides abriu o caminho para surgimento de outras

geometrias que compartilham idéias diferentes e comuns simultaneamente.

Mas, como utilizar a geometria para retratar fenômenos e entes da natureza?

Figura 1.1: Nuvens

Será que a geometria da regularidade daria conta de retratá-los?

Questionamentos como o acima exposto foram levantados por Bernoit Mandelbrot no

momento da criação da teoria dos fractais.

Mandelbrot é um matemático que nasceu em Varsóvia, Polônia, em 1924, de uma

3

famı́lia judia da Lituânia. Em 1936 se mudou para a França com sua famı́lia, ingressando

na Escola Normal, uma das duas instituições da elite francesa. Mas a freqüentou poucos

dias devido a influência do grupo Bourbaki sobre a matemática deste páıs, tornando-a

rigorosa, desprezando a geometria. Na época de sua entrada na Escola Normal, Bernoit

possúıa grande apelo geométrico para a resolução de problemas matemáticos, justamente

o alvo das cŕıticas dos matemáticos franceses. Sua aprovação nos exames para ingresso

na Escola Normal deu-se basicamente a sua grande capacidade geométrica de abstração,

resolvendo as questões da prova por meio de métodos geométricos. Após sair da Escola

Normal, ingressou na Escola Politécnica. Após dez anos, ainda devido ao movimento

Bourbaki, Bernoit se transferiu para os Estados Unidos, indo trabalhar no IBM1.

Ele lecionou economia em Harvard , Engenharia em Yale, Fisiologia na Faculdade de

Medicina. Certa vez, segundo Gleick(1998), observou com orgulho:Muitas vezes, quando

ouço a relação de meus cargos anteriores, fico pensando se realmente existo.

A designação “fractal”foi dada por Mandelbrot, que baseou-se na palavra originária do

latim “fractus”que significa quebrado, irregular. A denominação “fractal”é um neologismo

criado pelo próprio Mandelbrot na tentativa de encontrar uma designação correta para os

objetos geométricos que possuem dimensão não-inteira (π; 1,218;... etc.). Essa necessidade

surgiu da falta de rigor que seria empregada ao designar π, por exemplo, como um número

fracionário.

Mandelbrot notou um importante fato que alavancaria essa geometria: a dimensão.

Euclides concentrava-se exacerbadamente nas formas, deixando em segundo plano a di-

mensão. Quando Mandelbrot associou a dimensão às idéias de Euclides, deu ińıcio à

geometria fractal.

1.1 Fato alavancador:a dimensão

Segundo Serra (1997), as figuras geométricas comuns podem possuir 1,2,3,4 ou mais

dimensões, que são denominadas dimensões topológicas. Os fractais, além de possuir a

dimensão topológica, possuem a dimensão espacial, que se relaciona com o espaço que a

figura ocupa, com a quantidade de detalhes.

Como exemplo, usaremos a Curva de Koch, que é gerada por meio de um processo

1International Business Machines (IBM) é uma empresa estadunidense voltada para a área de in-formática.

4

iterativo (repetitivo), no qual se divide um segmento em 3 partes idênticas, retira-se o

terço médio, substituindo-o por dois segmentos iguais ao retirado. Esse processo é repetido

em todos os segmentos existentes na curva que está sendo gerada.

Figura 1.2: Curva de Koch

Se observarmos mais detalhadamente, essa curva ocupa mais espaço que uma curva

convencional, pois possui uma maior riqueza de detalhes, por maior que seja o ńıvel de

ampliação, ou seja, possui estrutura fina2. Dessa forma, sua dimensão é maior que 1 e

menor que dois, sendo assim uma dimensão fracionária, ou melhor, fractal. Segundo Serra

(1997), essa dimensão pode ser calculada pela relação:

D = − log plog q

(1.1)

Onde p é o fator de ampliação do número de partes de um ńıvel para outro, e q é o

2Por maior que seja o ńıvel de ampliação, a figura possui tantos detalhes quanto em sua totalidade.Uma parte de uma circunferência, por exemplo, quando ampliada, chegará um momento em que partedela se assemelhará uma reta, o que não ocorre com um fractal.

5

fator de redução, que depende do tamanho da subparte em relação ao ńıvel inicial.

No nosso exemplo, p vale 4, pois da primeira para a segunda linha, a quantidade de

partes foi quadruplicada. Da segunda para terceira também houve uma quadruplicação.

Já q, no nosso exemplo, vale 13, pois de um “ńıvel”para outro, o comprimento dos

segmentos é 13

do segmento anterior.

Assim, calculando a dimensão deste fractal, temos:

D = − log 4log 1

3

= 1, 26186 (1.2)

Esta mesma maneira de calcular a dimensão de um fractal pode ser utilizada para deter-

minar a dimensão de uma figura Euclidiana, a qual não obteremos valores fractais, e sim

naturais. Segundo Serra(1997), Para determinarmos a dimensão de um quadrado, por

exemplo, “podemos considerá-lo composto por quatro quadrados menores”. Neste caso há

auto-similaridade entre o quadrado maior e os menores gerados, onde p = 4 e q = 12(pois

cada lado do quadrado está sendo dividido ao meio).

D = − log 4log 1

2

= 2 (1.3)

Figura 1.3

Os fractais gerados por iteratividade de funções complexas são os mais intricados, pela

sua complexidade, não vista em nenhuma figura convencional. Não é à toa que este tipo

de figura é muito utilizado nas artes plásticas.

Mas, segundo Serra (1997), os fractais podem ser gerados não só por iteratividade,

mas também de forma aleatória, com o advento da computação gráfica.

6

Figura 1.4: Fractal gerado aleatoriamente por meio da computação gráfica

1.2 A Aplicabilidade dos Fractais

Os fractais criaram uma nova forma de encarar a natureza, pois deram a ela um

caráter matemático. Segundo Costa (2002), os fractais podem ser encontrados em todo o

universo, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores, relâmpagos e, de forma recente

e profunda, na medicina e biologia.

Figura 1.5: Raios Fractais

7

Segundo Serra(1997),

Os fractais aparecem recentemente como uma das mais novas e fascinantesdescobertas da matemática. A sofisticação e o exotismo de suas formas bemcomo a ampla divulgação que lhes foi concedida pela mı́dia, despertaram aatenção do grande público e o interesse de grupos de pesquisadores, reduzi-dos no ińıcio, mas que se avolumaram à medida que os fractais começarama invadir as áreas de outras ciências, como a f́ısica, a geologia e encontrandoinúmeras aplicações práticas, como a compressão de arquivos de imagens, in-tensamente utilizada em multimı́dia, ingressando ainda no domı́nio das artesplásticas e adquirindo, dessa maneira, um caráter interdisciplinar.

De acordo com Costa (2002), os fractais têm grande aplicabilidade na medicina devido

ao fato das estruturas dos órgãos possúırem uma auto-similaridade3 semelhante à dos

fractais. Segundo ele, a diferenciação está no fato de que os órgãos possuem uma estrutura

finita, ao contrário dos fractais. Nessa área, a dimensão fractal pode ser usada para

caracterizar a reatividade qúımica de superf́ıcies, bem como as trocas entre os órgãos do

corpo humano e o meio - os brônquios, por exemplo, assemelham-se a um fractal com

estrutura bem complexa, o que ajuda na troca de gases com o ar, como segue na figura

abaixo:

Figura 1.6: Pulmão

Um fato que é bastante considerável é a aplicabilidade da geometria fractal na des-

coberta precoce do câncer, segundo Vilela (1998). Essa geometria é de grande ajuda na

diferenciação das células canceŕıgenas das sadias seguindo um fato importante: as células

3 Possuir auto-similaridade é possuir semelhança com o todo por maior que seja o ńıvel de ampliaçãodado em uma porção da figura.

8

do corpo obedecem a uma “regra”fractal e as células que a não obedecem merecem um

estudo mais minucioso, pois podem ser o prenúncio de um futuro câncer.

Segundo Costa (2002), além de estar presente na descoberta precoce do câncer, a

geometria fractal pode ser utilizada para a caracterização da complexidade das células

neuronais, que geralmente possuem uma estrutura bem ramificada.

9

Caṕıtulo 2

Fractais: Um olhar Topológico

2.1 Conceitos Topológicos

Inicialmente, é interessante sabermos que, segundo Barnsley(2000), os fractais nada

mais são do que subconjuntos de um espaço. Enquanto o espaço é simples, os fractais po-

dem ser subconjuntos geometricamente complicados. Assim podemos encarar o conjunto

dos fractais como um subconjunto de um espaço que goza de determinadas propriedades,

as quais são chamadas propriedades topológicas.

Mas o que é topologia?

Segundo Borges (2005), topologia “é o ramo da matemática que se preocupa com as

propriedades de objetos geométricos que são preservadas quando aplicamos a elas trans-

formações bijetoras e cont́ınuas, denominadas homeomorfismos”.

A topologia é subdividida em: Topologia Geral, Topologia Geométrica, Topologia

Algébrica e Topologia Diferencial.

Observe as figuras abaixo e verifique uma transformação topológica feita com um

retângulo.

Figura 2.1: Retângulo

10

Figura 2.2: Retângulo “Deformado”

Observe que esta transformação preserva: a ordenação dos pontos, sendo que pontos

distintos permanecem distintos.

Veremos agora alguns tópicos1 de topologia que são necessários para entendermos

como os fractais mais complexos são produzidos. Este tópico se faz necessário,

2.1.1 Os Espaços Métricos

Os fractais possuem caracteŕısticas presentes nos espaços métricos por constitúırem

também um espaço métrico.

Definição 2.1.1 Um espaço métrico (X, d) é um conjunto X munido de uma função real

d : X ×X −→ R a qual calcula a distância entre os pares de pontos x, y em X, de modo

que sejam satisfeitas as seguintes condições, para p1, p2 e p3 ∈ X:

1. Se p1 = p2, então d(p1, p2)=0

2. Se p1 6= p2, então d(p1, p2) > 0

3. Axioma da simetria: d(p1, p2) = d(p2, p1)

4. Axioma da desigualdade triangular: d(p1, p3) ≤ d(p1, p2) + d(p2, p3)

Onde d é dita métrica em X, sendo que um mesmo espaço pode admitir métricas

distintas. Assim, o conceito de distância fica na dependência do espaço e da métrica ado-

tada. Mas vale ressaltar que, a menos do exemplo seguinte, ou quando for explicitamente

exposto, subentende-se que a métrica adotada é a métrica usual.

Exemplo 2.1.1 Seja X = S2 uma esfera centrada na origem do Plano Complexo C.

Podemos fazer corresponder de forma única cada ponto do plano complexo a esfera, como

1As definições topológicas deste caṕıtulo foram baseadas em Lima(2005), Lima (1976), Barnsley(2000),Serra(1997) e Lipchutz(1965)

11

mostra a figura abaixo. Com isso, mapeamos o plano C em uma esfera: a esfera de

Riemann S2. Para mapearmos C traçamos retas não coincidentes, mas com uma mesma

extremidade: o polo Norte (P (∞)), que fica no pólo superior da esfera. Dessa forma,

cada segmento de reta interceptará a esfera em um único ponto. Observe que o polo norte

nesta figura faz corresponder a um ponto no infinito P (∞), e o polo sul a um ponto na

origem do plano complexo.

Figura 2.3: Projeção Estereográfica/Esfera de Riemann

Observe que com o mapeamento do plano complexo na esfera de Riemann, não será

mais posśıvel utilizar a métrica euclidiana para calcular a distância entre dois pontos neste

novo espaço, pois nele a menor distância não é mais uma reta e sim uma curva.

12

Figura 2.4: Triângulo na esfera de Riemann

Distâncias:

Seja d uma métrica num conjunto X. A distância entre um ponto p ∈ X e um

subconjunto A, não vazio, de X, representa-se e define-se por

d(p,A) = inf {d(p, a); a ∈ A}. (2.1)

A distância entre dois subconjuntos A e B, não vazios, de X, representa-se e define-se

por

d(A,B) = inf {d(a, b); a ∈ A e b ∈ B}. (2.2)

O diâmetro de um subconjunto A, não vazio de X, denota-se e define-se por

d(A) = sup {d(a, a′); a, a′ ∈ A}. (2.3)

Exemplo 2.1.2 Seja X um espaço e d2 uma métrica em X tal que d(x, x) = 0 e d(x, y) =

1 se x 6= y. Dado p ∈ X e A e B subconjuntos de X, temos:

d(p,A) =

1 se p /∈ A0 se p ∈ A (2.4)2d é chamada métrica zero-um.

13

d(A,B) =

1 se A ∩B = ∅0 se A ∩B 6= ∅Bolas abertas e fechadas, Conjuntos abertos e fechados. Vizinhança.

Uma bola aberta de centro c e raio r, é definida em um espaço X pela relação: Br(c) =

{p ∈ X : d(p, c) < r}.

Exemplo 2.1.3 Um disco no plano cartesiano, com centro na origem e raio finito r > 0,

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < r2}.

Figura 2.5: Bola

Exemplo 2.1.4 Um quadrado “cheio”, mas sem as “bordas”, {(x, y) ∈ R2 : 0 < x <

1, 0 < y < 1}.

Figura 2.6: Bola

14

Com essa idéia nos desprendemos do fato intuitivo de que uma bola é sempre algo circular.

Definição 2.1.2 A bola fechada de centro c e raio r é o conjunto Br[c] = {p ∈ X :

d(p, c) ≤ r}, ou seja, o conjunto formado pelos pontos de X que estão a uma distância

menor ou igual a r do ponto c.

Exemplo 2.1.5 Um quadrado “cheio” � = {x ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Figura 2.7: Bola Fechada

Definição 2.1.3 Um conjunto U constitui uma vizinhança de um ponto m se houver

alguma bola Br(m) centrada em m e totalmente contida em U .

Exemplo 2.1.6 Um disco U = Bs(z), com s > 0, z ∈ C é uma vizinhança de z, pois é

posśıvel construir um disco Br(z), com r < s que estará contido em Bs(z).

Figura 2.8: Vizinhança

Definição 2.1.4 Se em um conjunto X sempre é posśıvel inserir uma bola aberta, com

centro em qualquer x ∈ X, diremos que esse conjunto é um conjunto aberto.

15

Figura 2.9: Conjunto Aberto

Exemplo 2.1.7 O conjunto X = [0, 1] não é aberto, pois nem sempre é posśıvel inserir

uma bola aberta com centro em algum ponto deste conjunto, que esteja totalmente contida.

Um exemplo disso é Br(1), que para ∀r > 0 não está totalmente contida em X.

Definição 2.1.5 A fronteira de um subconjunto X ⊂M , é o conjunto ∂X, formado pelos

pontos a ∈M , tais que toda bola aberta de centro a contém pelo menos um ponto de X e

um ponto do complementar M −X .

Figura 2.10: Fronteira de um Conjunto

16

Definição 2.1.6 Seja X um subconjunto de um espaço métrico M . Um ponto a ∈ X

diz-se ponto interior a X, quando é centro de uma bola aberta contida em X. A união de

todos os pontos interiores forma o interior de X e é denotado por int (X).

Exemplo 2.1.8 Seja Q o conjunto dos números racionais. O interior de Q em R é vazio,

pois qualquer bola aberta em R contém números racionais e irracionais.

Lembremos que o complementar de um conjunto de X ⊂M será dado por

CXM = M \X. (2.5)

Dáı o exterior de um conjunto X é o interior do seu complementar

ext(X) = int(M \X). (2.6)

Obs.: O conjunto vazio é o único conjunto aberto existente em qualquer espaço métrico.

Quando pensamos em conjuntos abertos é natural que cogitemos a existência de con-

juntos fechados. Mas, para entendermos o que vem a ser um Conjunto Fechado, pre-

cisamos ter conhecimento de uma definição:

Definição 2.1.7 Um ponto a diz-se aderente a um subconjunto X de um espaço métrico

M , quando d(a,X) = 0. Isto significa que existem pontos de X arbitrariamente próximos

de a, ou seja, para cada � > 0, podemos encontrar x ∈ X tal que d(a, x) < �.

Dessa forma, dizemos que um conjunto X é fechado se contém todos os pontos ader-

entes.

Exemplo 2.1.9 O intervalo fechado X = [0, 1] é um conjunto fechado, onde os pontos

aderentes pertencem ao intervalo [0, 1]. Já o intervalo Y = [0, 1) não é fechado, visto que

1 é aderente a y, mas 1 /∈ Y .

Definição 2.1.8 O conjunto que contém todos os pontos aderentes de um conjunto A,

em um espaço X, é denominado fecho e é representado por A.

17

2.1.2 Espaços Topológicos

Uma Topologia num conjunto X é uma coleção = de subconjuntos de X chamados

subconjuntos abertos (segundo a topologia =) satisfazendo as seguintes condições:

1. X e o conjunto ∅ são abertos;

2. A reunião de uma famı́lia qualquer de subconjuntos abertos é um subconjunto

aberto;

3. A intersecção de um famı́lia finita de subconjuntos abertos é um subconjunto aberto.

Definição 2.1.9 Se E é um espaço não-vazio e = uma topologia em E, dizemos que o

par (E,=) é um espaço topológico3.

Exemplos 2.1.1 Topologias em E = {a, b}

=D = {∅, {a}, {b}, {a, b}} = P (E)(Conjunto das Partes de E)-Topologia Discreta

=C = {∅, {a, b}}-Topologia Caótica

= = {∅, {a}, {a, b}}

= = {∅, {b}, {a, b}}

Definição 2.1.10 Uma aplicação f : X → Y , de um espaço topológico X num espaço

topológico Y , diz-se cont́ınua quando a imagem inversa f−1(B) de todo aberto B ⊂ Y for

um aberto em X.

Definição 2.1.11 Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x ∈ X

chama-se ponto de acumulação de S quando toda vizinhança V de x em X contém algum

ponto s ∈ S, distinto do ponto x.

Definição 2.1.12 Um ponto x de um conjunto A é um ponto isolado, se x tiver uma

vizinhança cuja a intersecção com A se reduz simplesmente ao ponto x.

Conexão

Definição 2.1.13 Diz-se que dois subconjuntos A e B de um espaço topológico X são

separados se

(i) A e B são disjuntos,

3Vale salientar que todo espaço métrico é um espaço topológico.

18

(ii) nenhum deles contém pontos de acumulação do outro. Em outras palavras, A e B

são separados se, e somente se

A ∩B = ∅ e A ∩B = ∅. (2.7)

Exemplo 2.1.10 Sejam os seguintes intervalos na reta real: A = (0, 1), B = (1, 2) e C =

[2, 3).

Ora, A e B são separados, pois A = [0, 1] e B = [1, 2] e, assim, A ∩ B e A ∩ B são

vazios. Por outro lado, B e C não são separados, pois 2 ∈ C é o ponto de acumulação de

B; assim

B ∩ C = [1, 2] ∩ [2, 3) = {2} 6= ∅. (2.8)

Definição 2.1.14 Um subconjunto A de um espaço topológico X é desconexo se existem

abertos G e H de X tais que A ∩ G e A ∩ H são conjuntos disjuntos não-vazios, cuja

união é A. Em tal caso, G ∪H é chamado um desconexão de A. Um conjunto é conexo

se não é desconexo.

Exemplo 2.1.11 O subconjunto seguinte do plano R2 é desconexo:

A = {(x, y);x2 − y2 ≥ 4} (2.9)

Figura 2.11: Conjunto Desconexo

19

Com efeito os dois semiplanos

G = {(x, y);x < −1} e H = {(x, y);x > 1} (2.10)

formam uma desconexão de A, conforme o diagrama acima, pois A∩G 6= ∅ e A∩H 6= ∅,

e (A ∩G) ∪ (A ∩H) = A.

Para que haja a compreensão de como os fractais são gerados, os conceitos topológicos

são de grande ajuda, pois os mesmos nos fornecem subśıdios para distinguir as carac-

teŕısticas presentes nos sistemas dinâmicos complexos, utilizados para a construção dos

chamados conjuntos de Júlia.

20

Caṕıtulo 3

Sistemas Dinâmicos

3.1 Os Sistemas Dinâmicos Complexos

Um processo de iteração (composição) de uma dada função f com ela mesma, aplicada

em um ponto inicial z0, constitui um sistema dinâmico. Esta função f está definida em

um conjunto X qualquer, nele mesmo.

Exemplo 3.1.1 Seja f : R −→ R definida por f(x) = x2. Tomemos x0 = 2. Então o

sistema dinâmico que será originado por f em x0 = 2 será:

x0 = 2

f(x0) = f(2) = 22 = 4 = x0

2 = x1

f(x1) = f(x02) = f(22) = 42 = 16 = x0

4 = x2

f(x2) = f(x04) = f(24) = 256 = x0

8 = x3

... (3.1)

(xn−1) = f(x02n−1) = (x0

2n−1)2 = x02n = xn

Observe que f(xk) = xk+1. Desta forma, para k < 0 tomamos xk ∈ f−1(xk+1), caso

exista, e então podemos definir f(xk), ∀k ∈ Z.

Os valores obtidos pela iteração de f em x0 = 2, é denominado órbita de x0.

Por este exemplo percebe-se que a órbita de x0 está intimamente ligada ao valor inicial

(x0 = 2). Se |x0| < 1 observe que a órbita de x0 diminuirá gradativamente. Quando tal

21

fato ocorre, diz-se que a órbita de x0 é uma órbita regressiva. Se |x0| > 1 percebe-se que

a órbita de x0 crescerá infinitamente sendo denominada órbita progressiva. A reunião das

órbitas progressivas e regressivas é dita órbita total.

Um fato interessante é que se |x0| = 1 a iteração da função permanecerá invariante.

Dáı, ∀k ∈ Z, f(xk) = 1.

Mas o que realmente nos interessa são os sistemas dinâmicos definidos em C, pois os

fractais mais interessantes são gerados pela iteração de funções complexas.

Seja então a função

f : C −→ C

z 7→ z2

Qual a órbita progressiva desta função?

Qual a órbita regressiva?

Qual a órbita invariante desta função?

Esta função f(z) = z2 obedece as mesmas propriedades descritas para os números

reais.

De fato, sabemos que o módulo de um número complexo pode ser dado por:

|zn| = |ρn(cosnθ + isen nθ)| =

= |ρ|n|(cosnθ + isen nθ)| = (3.2)

= |ρ|n.1

onde ρ = |z|.

Como, de uma maneira geral, para esta função |f(zn−1)| = |z0|2n, temos:

limn→∞

|z0|2n

=∞, se |z0| > 1. Dáı teremos uma órbita progressiva.

limn→∞

|z0|2n

= 0, se |z0| < 1. Dáı teremos uma órbita regressiva.

limn→∞

|z0|2n

= 1, se |z0| = 1. Dáı teremos uma órbita invariante.

onde |z0| é o módulo de um número complexo x+ yi.

Podemos observar na figura abaixo o comportamento destas órbitas, onde temos um

ćırculo unitário que contém os pontos da órbita invariante, sobre a circunferência.

22

Figura 3.1: Sistema Dinâmico

Exemplo 3.1.2 Seja f(z) = z2 uma função complexa de C em C. Tomando como ponto

inicial z0 =i2, temos:

z0 =i2

f(z0) = f(i2) = ( i

2)2 = i

2

4= −1

4= z0

2 = z1

f(z1) = f(z02) = f(( i

2)2) = (( i

2)2)2 = 1

16= z0

4 = z2

f(z2) = f(z04) = f(( i

2)4) = (( i

2)4)2 = ( 1

16)2 = 1

256= z0

8 = z3...

f(z02n−1) = (z0

2n−1)2 = z02n = ( i

2)2

n

Observe que ao tomarmos como ponto inicial um ponto z0 tal que |z0| < 1, a iteração

de f aplicada neste ponto obtém valores, em módulo, cada vez menores.

Se z0 = 1

z0 = 1

f(z0) = f(1) = (1)2 = 1 = z0

2 = z1

f(z1) = f(z02) = f(12) = ((1)2)2 = 14 = z0

4 = z2

f(z2) = f(z04) = f(14) = ((1)4)2 = (1)8 = z0

8 = z3...

f(12n−1

) = (12n−1

)2 = 12n

= 1

Neste caso as iteradas obtém sempre o mesmo ponto como imagem.

Se tomarmos z0 = 1 + i, teremos:

z0 = 1 + i

23

f(z0) = f(1 + i) = (1 + i)2 = 2i = z0

2 = z1

f(z1) = f(z02) = f((1 + i)2) = ((1 + i)2)2 = (2i)2 = −4 = z04 = z2

f(z2) = f(z04) = f((1 + i)4) = ((1 + i)4)2 = (−4)2 = 16 = z08 = z3

...

f((1 + i)2n−1

) = ((1 + i)2n−1

)2 = (1 + i)2n

= (1 + i)2n

Já para z0 = 1 + i as iteradas atingem módulo cada vez maior, se expandindo para o

infinito.

Quando tivermos uma órbita progressiva, ou seja, quando o módulo da n-ésima iteração

|fn(z0)| crescer infinitamente, dizemos que o infinito é um atrator e que todos os pontos do

plano C, que possuem como atrator o infinito, constituem a bacia de atração do infinito,

que é representada por B∞. Esquematicamente a bacia de atração do infinito pode ser

representada por:

B∞ = {z ∈ C : |fk(z)| −→ ∞}

Se tivermos uma órbita regressiva, ou seja, se o atrator das órbitas de um dado ponto

z0 for a origem do plano complexo, dizemos que a origem é o atrator e que os pontos que

possuem o mesmo atrator constituem a bacia de atração B0.

O conjunto de confinamento K, pode ser representado por:

K = {z ∈ C : |fk(z)| < δ,∀k ∈ Z}, onde δ > 0

Com essas propriedades que foram expostas, percebe-se que o plano complexo é di-

vidido em dois conjuntos: um conjunto que contém justamente os pontos cujas órbitas

escapam para o infinito. E um outro conjunto que está limitado, confinado em um deter-

minado espaço.

Gostaŕıamos agora de analisar quando as n-ésimas iteradas de uma função polinomial

complexa, por exemplo, f(z) = z2, retorna a sua posição inicial. Um caso particular é

achar os pontos do plano complexo que permanecem invariantes após a aplicação de uma

função polinomial.

Se tivéssemos, em algum momento, um sistema dinâmico complexo tal que f(z) = z,

teŕıamos que estes pontos ficam fixos, invariantes após a aplicação de uma função dada.

Exemplo 3.1.3 Seja f(z) = z2 uma função definida em C.Teremos que os pontos fixos

desta função serão dados pelas soluções da equação f(z) = z, o que nos dá

24

z2 − z = 0

z(z − 1) = 0 =⇒ z = 0 ou z = 1

Desta forma, a função f(z) = z2 quando aplicada ao ponto 0 ou ao ponto 1, obtém o

próprio ponto como resultante da iteração.

E se tivéssemos a n-ésima iterada de f , qual seria o ponto em que a função assumiria

como valor na imagem o valor dado no domı́nio? Ou seja,

fn(z) = z

Este fato nos remete a idéia de peŕıodo pois com isso estamos dizendo que a função

retorna a um determinado ponto z após n iteradas, após um determinado peŕıodo. Quando

isso ocorre dizemos que z é um ponto periódico de peŕıodo n. E observe que todo ponto

fixo é um ponto periódico de peŕıodo 1.

Exemplo 3.1.4 Tomemos novamente a função quadrática. Queremos analisar quais são

os pontos de peŕıodo 2 desta função. Então devemos resolver a equação na variável com-

plexa z, f 2(z) = z.

f 2(z) = z

f 2(z)− z = 0

z4 − z = 0

z(z3 − 1) = 0

donde temos, utilizando nossos conhecimentos de variáveis complexas que:

z1 = 0 ou

z2 = 1 ou

z3 =−1 +

√3i

2(3.3)

ou

z4 =−1−

√3i

2

25

Mas será que sempre é posśıvel determinar quais são os pontos periódicos de uma

função complexa por meios anaĺıticos? Observe que apesar de estarmos trabalhando com

uma função relativamente simples, que é a função quadrática, após a 2a iterada a mesma

nos gerou uma equação do quarto grau. Este exemplo nos dá uma idéia do quanto dif́ıcil

pode se tornar a descoberta de um ponto periódico de uma função .

Para tentar solucionar este problema, freqüentemente se recorre aos métodos numéricos

e computacionais para se obter o ponto periódico de uma função.

Definição 3.1.1 Seja A ⊂ C um conjunto qualquer. Dizemos que A é dinamicamente

invariante sob a função f , se a aplicação iterativa de f a qualquer ponto z ∈ A produzir

uma órbita contida em A. Ou seja,

fk : A −→ A, para todo k.

O fato de um conjunto ser dinamicamente invariante é extremamente importante para

gerarmos fractais, pois percebe-se que com o advento dos sistemas dinâmicos complexos,

podemos formar fractais cada vez mais complicados. Mas a depender da função que

tivermos e das condições, teremos simplesmente pontos espalhados pelo plano complexo,

que não obedecem a nenhuma propriedade interessante, a não ser o fato de serem atráıdos

para o infinito, ou pontos que possuem atrator, ou pontos que retornam ao ponto inicial

após uma certa quantidade de iterações. Um questionamento que emerge então é: quais as

condições para gerarmos os fractais? Mais especificamente, quais condições para gerarmos

o conjunto de Júlia da função quadrática?

26

Caṕıtulo 4

Os Fractais

4.1 O Conjunto de Júlia da Função Quadrática

No decorrer do texto do caṕıtulo anterior discorremos brevemente sobre os sistemas

dinâmicos complexos no tocante as bacias de atração do infinito e sobre o conjunto de

confinamento K. Mas o que nos interessa é justamente os pontos do plano complexo que

não tem atrator.

Estes pontos do plano complexo que não tem atrator constituem justamente os pontos

de fronteira entre as duas bacias acima citadas. Dessa forma, temos que J = ∂B∞ = ∂K,

onde K = B0 ∪ J é denominado conjunto cheio de Júlia e J o conjunto de Júlia.

Figura 4.1: Sistema Dinâmico

27

Observamos então na figura acima que o conjunto de Júlia, referente a função quadrática

f(z) = z2, será:

Figura 4.2: Fronteira

Ora, se o conjunto de Júlia é um fractal, onde ele se encontra nesta figura?

O conjunto de Júlia realmente é gerado pela função quadrática. Mas não somente a

função quadrática do tipo f(z) = z2 e sim a função quadrática f(z) = z2 + c, onde c ∈ C.

O que é necessário que percebamos é que o que determina o conjunto de Júlia não é

a função quadrática unicamente. Podemos gerar diversos conjuntos de Júlia com funções

quadráticas, cúbicas, quárticas, etc. Tudo depende exclusivamente do parâmetro c .Como

aqui o foco de estudo é o conjunto de Júlia gerado pela famı́lia da função quadrática

f(z) = z2+c, não abordaremos o conjunto de Júlia gerado por outras funções polinomiais.

O conjunto de Júlia nada mais é do que o conjunto dos pontos do plano complexo que

estão na fronteira de B∞ e B0, como já foi dito anteriormente. Dessa forma, o conjunto

de Júlia da função quadrática é gerado pelos pontos cujas iteradas não são atráıdas nem

para infinito nem para a origem do plano complexo.

A depender do valor de c, o conjunto de Júlia deixa de ser uma mera circunferência e

passa a ser extremamente complicado. Tome a função f(z) = z2 + c. Teremos então que

o conjunto dos pontos do plano complexo que pertencem ao conjunto de Júlia, para esta

28

função, para alguns valores de c:

• Se c = 0, 02 + 0, 15i

Figura 4.3

• Se c = 0, 0726 + 0, 5511i

Figura 4.4

• Se c = 0, 081095 + 0, 625501i

29

Figura 4.5

• Se c = 0, 086 + 0, 65i

Figura 4.6

O método utilizado para a obtenção dos fractais acima se deu através do programa

xaos.

30

4.2 O Conjunto de Mandelbrot

Seja fc uma famı́lia de funções que tem como parâmetro c. Segundo Serra (1997), o

conjunto dos pontos c ∈ C para os quais as órbitas da origem pela iteração da função f

são confinadas constituem a morfologia 1 daquela famı́lia de funções do parâmetro c.

Como percebemos na seção anterior, para determinados valores de c o fractal gerado

pode ser muito complexo ou muito simples. Um questionamento que nos surge então é

qual o “domı́nio”do parâmetro c para gerarmos fractais mais ou menos complexos?

Segundo Serra (1997), os valores de c para os quais o conjunto de Júlia da função

quadrática se torna mais complexo estão no conjunto de Mandelbrot, M .

Figura 4.7: Conjunto de Mandelbrot

O conjunto dos pontos c ∈ C, como os da figura acima, para os quais a órbita da

origem é confinada ao disco de raio 2. Ele foi descoberto por Mandelbrot, por meio de

recursos computacionais enquanto se encontrava no IBM2.

Ainda de acordo com Serra (1997) o conjunto de Mandelbrot é o conjunto dos pontos do

plano complexo para os quais o conjunto de Júlia é conexo. Lembremos que um conjunto

é dito conexo quando a única cisão posśıvel é a trivial. Neste conjunto de Mandelbrot

1Segundo Serra(1997)“O conjunto dos pontos c ∈ C para os quais as órbitas da origem pela iteraçãoda função f são confinadas constitui a morfologia daquela famı́lia de funções no plano C ”.

2International Business Machines (IBM) é uma empresa estadunidense voltada para a área de in-formática.

31

quanto mais afastado o ponto c estiver da origem do plano complexo, mas limitado ao

conjunto de Mandelbrot, fractais mais interessantes podem ser gerados.

O conjunto de Júlia depende intimamente do conjunto de Mandelbrot para ser for-

mado. Ele, o conjunto de Júlia, é gerado pela iteração de uma função complexa, onde o

ponto da primeira iterada é a origem do plano complexo. Assim, ao tomarmos a famı́lia

da função quadrática f(z) = z2 + c, onde c = a+ bi é um ponto pertencente ao conjunto

de Mandelbrot, teremos:

z0 = 0

z1 = f(z0) = z20 + c = c

z2 = f(z1) = f(c) = c2 + c

z3 = f(z2) = (c2 + c)2 + c

...

Os fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos, assim como os outros tipos

de fractais relacionados nos caṕıtulos anteriores, possuem a caracteŕıstica de serem auto-

similares. Possuir auto similaridade é possuir semelhança com todo o fractal por maior

que seja a ampliação de uma parte do mesmo

Este conceito de auto-similaridade é muitas vezes confundido com o conceito de es-

trutura fina. Possuir estrutura fina significa possuir riqueza de detalhes por maior que

seja o ńıvel de ampliação. Este fato não ocorre por exemplo ao tomarmos o gráfico de

uma função hiperbólica: se ampliarmos uma pequena porção do gráfico que a representa,

chegaremos ao ponto de concluir que estamos trabalhando praticamente com uma reta e

não com uma curva. Este fato nunca ocorrerá com um fractal. Observe a representação

gráfica do conjunto de mandelbrot em dois momentos de “zoom”, lembrando que o mesmo

está confinado em uma circunferência de raio 2.

32

Figura 4.8: Conjunto de Mandelbrot

Figura 4.9: Conjunto de Mandelbrot Ampliado

Para este valor de c, teremos que o conjunto de Júlia será:

33

Figura 4.10: Conjunto de Júlia

34

Considerações Finais

Os fractais atualmente são fonte de grande estudo, não só da matemática, mas em

diversas ciências que os estão utilizando a seu serviço. Mas como pudemos perceber, para

estudá-los, é necessário que se tenha certo conhecimento matemático.

Os fractais e a topologia estão intimamente ligados, pois os fractais também constituem

um espaço que goza das propriedades topológicas. Isso deve-se ao fato deles estarem

imersos no plano complexo o qual é um espaço métrico.

Pudemos perceber que processos iterativos a partir de funções relativamente simples

podem gerar figuras complexas, com caracteŕısticas nunca vistas na geometria euclidiana.

Esta caracteŕıstica presente nos fractais torna o seu estudo bastante interessante, pois

também proporciona a abertura de novos caminhos na matemática.

Com este estudo que realizamos, buscamos conhecer um pouco dos fundamentos

necessários para uma breve compreensão da teoria que permeia o estudo dessas figuras.

Este texto não teve o intento de sanar as dúvidas daqueles que desejam conhecer os fractais

com profundidade, mas dar ińıcio ao estudo dos fractais gerados por sistemas dinâmicos

complexos, convidando àqueles que não ouviram, ou ouviram resumidamente esta teoria,

para adentrarem no estudo desse tema.

.

35

Apêndice A

Galeria de Fractais

Figura A.1

36

Figura A.2

Figura A.3

37

Figura A.4

Figura A.5

38

Figura A.6

Figura A.7

39

Figura A.8

Figura A.9

40

Figura A.10

Figura A.11

41

Referências Bibliográficas

[1] BARNSLEY,Michael F..Fractals Everywhere, second edition, New York: Morgan

Kaufmann, 2000.

[2] BOYER, Carl B.História da matemática; tradução de Elza F. Gomide,2a edição, São

Paulo : Edgard Blucher, 1996.

[3] BORGES, Carloman Carlos. A Topologia: Considerações Teóricas e Implicações

para o Ensino da Matemática, Caderno de F́ısica da Uefs, 2005. Dispońıvel em

http://www2.uefs.br/depfis/caderno/

[4] COSTA, Luciano de Fontoura, et al. A Outra Dimensão da Dimensão Fractal.In:

Revista Ciência Hoje, junho de 2002, vol: 31 no 183, p. (41-47).

[5] FERNANDEZ, Cećılia F..JÚNIOR, Nilson C. Bernardes. Introdução às Funções de

Uma Variável Complexa. Rio de Janeiro:SBM,2006.

[6] GLEICK, James.Caos : a criação de uma nova ciência;tradução de Waltensir Dutra,

3a edição, Rio de Janeiro : Campus, 1990.

[7] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos,Projeto Euclides, Rio de Janeiro:IMPA,2005.

[8] LIMA, Elon Lages. Elementos de Topologia Geral, 2a edição, Rio de Janeiro:

IMPA,1976.

[9] LIPSCHUTZ, Seymour.Theory and Problems of General Topology.USA:1965

[10] MANDELBROT, Bernoit. Objectos Fractais : forma, acaso e dimensão seguido de

panorama da linguagem fractal; tradução: Carlos Fiolhais e Jose Luis Malaquias Lima,

2a edição. Lisboa : Gradiva, 1998.

42

[11] SERRA, Celso Penteado. KARAS, Elizabeth Wegner. Fractais Gerados por Sistemas

Dinâmicos Complexos, Curitiba: CHAMPAGNAT,1997.

[12] VILELA, Marcelo José.Câncer.In: Revista Ciência Hoje, agosto de 1998, vol 24, no

141,p.(17-25).

[13] http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:SierpinskiTriangle.PNG, acessado dia 1 de

julho de 2008

[14] http://www.fotoplatforma.pl/pt/fotos/1220/, acessado dia 26 de junho de 2008.

[15] http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Riemann sphere1, acessado dia 2 de julho de

2008.

[16] http://www.futuro.eng.br/images/fractais.jpg acessado dia 30 de agosto de 2008

[17] http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://fernanda.netiosi.com/relampagos

raios. acessado dia 30 de agosto de 2008.

43

IntroduçãoSurgimento e Uso dos FractaisFato alavancador:a dimensãoA Aplicabilidade dos Fractais

Fractais: Um olhar TopológicoConceitos TopológicosOs Espaços MétricosEspaços Topológicos

Sistemas DinâmicosOs Sistemas Dinâmicos Complexos

Os FractaisO Conjunto de Júlia da Função QuadráticaO Conjunto de Mandelbrot

Considerações FinaisGaleria de Fractais