Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP

Instituto de Matemática e Computação Científica – IMECC

Matemática - Licenciatura

Gabriel Zulian dos Santos – RA: 159716

Paulo Eduardo Reis de Moraes – RA: 156944

Números Complexos

Professor Fernando Eduardo Torres Orihuela

Campinas

2014

Sumário

Introdução ................................................................................................................ 3

Capítulo 1 – Números complexos ............................................................................ 4

1.1 - Definição .......................................................................................................... 4

1.2 – Igualdade de números complexos .................................................................. 5

1.3 – Potências de i .................................................................................................. 5

1.4 – Representação gráfica dos números complexos (plano Argand-Gauss) ........ 6

1.4.1 – Forma algébrica ........................................................................................... 6

1.4.2 – Forma cartesiana ......................................................................................... 7

1.4.3 – Forma trigonométrica ................................................................................... 7

1.5 – Módulo ou valor absoluto ................................................................................ 7

1.6 - Conjugado........................................................................................................ 8

Capítulo 2 – Propriedades ....................................................................................... 9

2.1 – Propriedades dos números reais .................................................................... 9

2.2 – Propriedades dos números complexos ........................................................... 9

2.2.1 – Algumas propriedades específicas dos números complexos ..................... 11

Capítulo 3 – Operações ......................................................................................... 13

3.1 – Adição e subtração ....................................................................................... 13

3.2 – Multiplicação ................................................................................................. 13

3.3 - Divisão ........................................................................................................... 13

Conclusão .............................................................................................................. 14

Referências ............................................................................................................ 15

Introdução

Os números complexos começaram a ser estudados em virtude da

contribuição dos matemáticos Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolò Fontana

(1500-1557, pseudônimo Tartaglia) e Girolamo Cardano (1501-1576), com o início

nos estudos das equações de 3º grau. Até então os matemáticos não sabiam que

era possível obter a raiz quadrada de um número negativo. A partir destes

matemáticos, outros estudaram sobre esse tema na matemática, obtendo sua última

grande contribuição com Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

O conjunto dos números complexos é o conjunto que contém todos os outros

conjuntos, e é denotado por . Desta forma, para que seja estudado, é necessário

compreender as operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo

elementos desse conjunto, bem como a representação geométrica dos números

complexos.

Assim sendo, nesse trabalho serão abordadas questões básicas pertinentes

aos números complexos, bem como operações aritméticas com eles e também o

plano de Argand-Gauss.

Capítulo 1 – Números complexos

1.1 - Definição

Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z= x + yi,

em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O número i é por

definição igual a e, portanto, . Os números x e y são denominados,

respectivamente, parte real e parte imaginária de z.

Por exemplo, a equação:

Pelo método comum, a resposta seria x = , porém este resultado é

impossível, pois números negativos não têm raiz quadrada.

Em virtude disso, para que houvesse solução para este tipo de equação de 2º

grau, foi criado um novo conjunto de números, o conjunto dos números complexos.

Em primeiro lugar, Leonhard Euler (1707-1783) definiu que i =

Consequentemente, .

Para a equação acima fazemos:

Portanto, as raízes da equação são 2i e - 2i.

1.2 – Igualdade de números complexos

Dois números complexos são iguais somente se suas partes reais e

imaginárias forem iguais. (a + bi = c + di se a = c e b = d)

Exemplo:

e

1.3 – Potências de i

As potências de i têm um caráter peculiar, a seguir demonstrado:

Note que é possível encontrar 4 valores distintos de i, de modo que eles

sempre se repetem em ciclos de 4.

Exemplo: Encontrar o valor de .

Resolução:

, com resto =

1.4 – Representação gráfica dos números complexos (plano Argand-Gauss)

1.4.1 – Forma algébrica

Como já foi falado, a forma algébrica de um número complexo é denotada

por:

z = x + yi

A parte real está representada

pelo eixo das abscissas (x) e a

parte imaginária pelo eixo das

ordenadas (y).

1.4.2 – Forma cartesiana

Note que pelo plano Argand-Gauss, a forma cartesiana de um número

complexo é escrita na forma de par ordenado, ou seja:

z = (x, y) = x + yi

1.4.3 – Forma trigonométrica

Repare que pelo plano Argand-Gauss, depreende-se que:

e

Substituindo em z = x + xi, decorre que:

1.5 – Módulo ou valor absoluto

O módulo de um número complexo z = a + bi é definido como:

1.6 - Conjugado

O conjugado de um número complexo z = x + yi é definido como:

z = x + yi = x – yi

Esta definição será importante no momento de fazer a operação da divisão, a

qual será falada posteriormente.

Capítulo 2 – Propriedades

2.1 – Propriedades dos números reais

1) comutatividade da soma: x + y = y + x;

2) associatividade da soma: x + (y + z) = (x + y) + z;

3) comutatividade da multiplicação: x.y = y.x;

4) associatividade da multiplicação: x.(y.z) = (x.y).z;

5) distributividade: x.(y + z) = x.y + x.z;

6) elemento neutro da soma: 0 x x, ∀x;

7) inverso aditivo: x + x ;

8) elemento neutro do produto: 1.x x, ∀x;

2.2 – Propriedades dos números complexos

Todas as propriedades acima são válidas também para os números

complexos, a seguir demonstradas, com x = a + bi; y = c + di; z = e + fi, onde a, b, c,

d, e, f ℝ.

Demonstração:

(1) x + y = (a + bi) + (c+di)

= (a + c) + (b + d)i

= (c + a) + (d + b)i

= (c + di) + (a + bi)

= y + x

(2) x + (y + z) = (a + bi) + [(c + di) + (e + fi)]

= (a + bi) + [(c + e) + (d + f)i]

= [a + (c + e)] + [b + (d + f)]i

= [(a + c) + e] + [(b + d) + f]i

= [(a + c)+(b + d)i] + (e + fi)

= [(a + bi) + (c + di)] + (e + fi)

= (x + y) + z

(3) xy = (a + bi)(c + di)

= (ac – bd) + (ad + cb)i

= (ca – db) + (cb + ad)i

= (c + di)(a + bi)

= yx

(4) x(yz) = (a + bi){(c + di)(e + fi)}

= (a + bi){(ce + cfi)(die + difi)

= (a + bi){c(e + fi)di(e + fi)}

= (a + bi)

(5) x(y + z) = (a + bi)[(c + di) + (e + fi)]

= (a + bi)[(c + e) + (d + f)i]

= [a b d f ] [a(d + f ) + b(c + e)]i

= (ac + ae – bd bf) + (ad + af + bc + be)i

= [(ac bd) + (ad + bc)i] + [(ae bf) + (af + be)i]

= [(a + bi)(c + di)] + [(a + bi)(e + fi)]

= xy + xz

(6) 0 = 0 + i:

x + 0 = (a + bi) + (0 + 0i)

= (a + 0) + (b + 0)i

= a + bi

= x

(7) –x a bi a – bi:

x x = a bi a bi

= a a b b i

= 0 + 0i = 0

(8) 1 = 1 + 0i:

1x = (1 + 0i)x

= (1 + 0i)(a + bi)

= (1a + 0b) + (1b + 0a)i

= a + bi = x

(9)

2.2.1 – Algumas propriedades específicas dos números complexos

Considere que: z = a + bi, w = c + di.

1) Re(z) = (z + z ) / 2:

(z + z )/2 = [(a + bi) + (a - bi)]/2

= [(a + a) + i(b - b)]/2

= (2a + 0i)/2

= 2a/2 = a = Re(z)

2) Im(z) = (z - z ) / 2i:

(z - z )/2i = [(a + bi) - (a - bi)]/2i

= [(a - a) + i(b + b)]/2i

= (0 + 2bi)/2i

= 2bi/2i = b = Im(z)

3) z + z = 2 Re(z):

z + z = (a + bi) + (a - bi)

= (a + a) + i(b - b)

= 2a + i0

= 2a = 2Re(z)

4) z + w

:

z + w = (a + bi) + (c + di)

= (a + c) + (bi + di)

= (a + c) – (b + d)i

= (a – bi) + (c – di)

=

5) zw = (a + bi) + (c + di)

= (ac - bd)(ad + bc)i

= (ac - bd) - i(ad+ bc)

= (a - bi)(c - di) = zw

Capítulo 3 – Operações

3.1 – Adição e subtração

Para se proceder a soma ou a subtração de números complexos, deve-se

somar a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária.

3.2 – Multiplicação

Para a multiplicação, deve-se aplicar a distributiva.

3.3 – Divisão

Para fazer a operação da divisão entre números complexos ( e ),

deve-se multiplicar por e dividir o resultado pela multiplicação de por

.

Conclusão

Este trabalho teve por objeto o estudo dos números complexos, um conjunto

de números que possibilitou que inúmeras questões pudessem ser resolvidas, como

por exemplo às pertinentes a equações de 2º grau com valores negativos dentro de

raízes.

Muitos matemáticos brilhantes tiveram que trabalhar nesse assunto por vários

anos para que todas as questões suscitadas pudessem ser resolvidas.

Esta monografia apenas apresentou esses números, já que as aplicações

desses números são muito extensas, como por exemplo, análise complexa, álgebra

linear complexa, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos.

Referências

Pet-Matemática. Números complexos.

Disponível em:

<http://pt.scribd.com/doc/68402756/Numeros-Complexos>

Acesso em: 02/07/2014.

InfoEscola. Números complexos.

Disponível em:

<http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/>

Acesso em: 02/07/2014.

Aprender Matemática. Números complexos.

Disponível em:

<http://aprendermmatematica.blogspot.com.br/p/numeros-complexos.html>

Acesso em: 02/07/2014.

Wikipédia. Número complexo.

Disponível em:

<http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#Defini.C3.A7.C3.B5es>

Acesso em: 02/07/2014.

UOL Educação. Números complexos (5): Igualdade e conjugado.

Disponível em:

<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/numeros-complexos-5-igualdade-e-conjugado.htm>

Acesso em: 02/07/2014.