UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE FÍSICA GLEB WATAGHIN

OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA

Desvio de feixes ópticos: o efeito Goos-Hänchen

CAMPINAS

2019

OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA

Desvio de feixes ópticos: o efeito Goos-Hänchen

Tese apresentada ao Instituto de Física da Uni-

versidade Estadual de Campinas como parte

dos requisitos exigidos para a obtenção do tí-

tulo de Doutor em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Luís Eduardo Evangelista de Araujo

ESTE TRABALHO CORRESPONDE À

VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA

PELO ALUNO OCTAVIO JOSÉ SANTOS

DE SANTANA E ORIENTADA PELO PROF.

DR. LUIS EDUARDO EVANGELISTA DE

ARAUJO.

CAMPINAS

2019

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Física Gleb WataghinLucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Santana, Octavio José Santos de, 1990- Sa59d SanDesvio de feixes ópticos : o efeito Goos-Hänchen / Octavio José Santos de

Santana. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

SanOrientador: Luís Eduardo Evangelista de Araujo. SanTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física

Gleb Wataghin.

San1. Goos-Hänchen, Deslocamento. 2. Ótica. 3. Medida fraca. I. Araujo, Luís

Eduardo Evangelista de, 1971-. II. Universidade Estadual de Campinas.Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Deviation of optical beams : the Goos-Hänchen effectPalavras-chave em inglês:Goos-Hänchen shiftOpticsWeak measurementÁrea de concentração: FísicaTitulação: Doutor em CiênciasBanca examinadora:Luís Eduardo Evangelista de Araujo [Orientador]Lázaro Aurélio Padilha JuniorJosé Antonio RoversiJosé Roberto Rios LeiteSérgio Ricardo MunizData de defesa: 24-04-2019Programa de Pós-Graduação: Física

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-9504-9119- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/0691423946327059

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MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA TESE DE DOUTORADO DE

OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA RA: 144594 APRESENTADA E

APROVADA AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE

ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 24/04/2019.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. Luis Eduardo Evangelista de Araujo - (Orientador) - IFGW/Unicamp

- Prof. Dr. Lázaro Aurélio Padilha Júnior - IFGW/Unicamp

- Prof. Dr. José Antonio Roversi - IFGW/Unicamp

- Prof. Dr. José Roberto Rios Leite – Universidade Federal do Pernambuco

- Prof. Dr. Sérgio Ricardo Muniz – Universidade de São Paulo – Campus São Carlos

A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no

processo de vida acadêmica do aluno.

CAMPINAS2019

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer a Deus por todos os momentos maravilhosos

que tenho tido em minha vida. Por todos os momentos felizes e porque não

os tristes? Muitas coisas aprendi com eles, muitos valores guardei e muitas

vitórias conquistei.

Aos meus pais José (in memoria) e Valdira acreditando sempre em

meu potencial e nunca deixando que eu desanimasse nos momentos difíceis

em minha vida, em especial minha mãe, minha maior bênção que dos céus

eu recebi na minha vida, obrigado por tudo, e principalmente pelo seu amor

dedicado!

À minha família.

Ao meu orientador Luís Eduardo Evangelista de Araújo pela oportuni-

dade de iniciar um novo trabalho de pesquisa no grupo GLA, pela paciência

e pelo otimismo. Por ter me ensinado a ser paciente e persistente, nunca

desanimando perante os obstáculos.

A todos os professores do IFGW que de alguma forma contribuíram em

minha formação.

À minha noiva Nathalia pelo constante apoio, pelas palavras de incen-

tivo e ações. Dizer obrigado às vezes não é suciente para agradecer a tão

amável e gentil pessoa que nos momentos de nossas vidas, aqueles mais difí-

ceis, nos estende a mão amiga e nos oferece amparo. Estou agradecido a você e

não sei neste instante como retribuir tanto carinho, mas é claro que encontrarei

uma maneira de fazê-lo. Obrigado meu anjo.

Aos meus amigos de SERGIPE (minha terrinha querida) que sempre

entenderam minha ausência.

Aos amigos e colegas que conheci durante o doutorado. Citar e agra-

decer a todos eles constituiria uma lista muito longa de ser editada. Assim,

a todos os que de uma forma ou de outra zeram parte nesta jornada, muito

obrigado. Ao IFGW/DEQ e seus funcionários.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aper-

feiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Fi-

nanciamento 001.

Resumo

O efeito Goos-Hänchen (GH) refere-se ao deslocamento paralelo ao plano de

incidência do feixe reetido com relação a previsão da óptica geométrica. Este

efeito é da ordem do comprimento de onda, e pode ser tanto um deslocamento

lateral, deslocamento angular ou a composição entre eles e sua distinção de-

pende do feixe sofrer reexão parcial ou total. Nesta tese estudamos o efeito

Goos-Hänchen experimental e numérico na região crítica, ou seja, quando parte

da distribuição deste feixe sofre reexão parcial e a outra parte sofre reexão

total. Investigamos experimentalmente a distinção do comportamento do des-

locamento quando a medida é realizada pelo máximo e pelo centroide da inten-

sidade do feixe reetido, no qual mostramos que a magnitude do deslocamento

é afetada pelo comprimento de onda, a largura do feixe e o efeito de propaga-

ção do feixe reetido. Construímos o modelo que descreve o deslocamento GH

quando o feixe é reetido em uma interface não linear, discutindo a inuência

da potência do feixe incidente na magnitude do deslocamento GH. Estendemos

a técnica de medição fraca para feixes com grau de coerência espacial, utili-

zando a do modelo Gauss-Shell que descreve feixes parcialmente coerente, onde

mostramos que o grau de coerência espacial inuência a medida amplica, no

entanto ainda assim é possível utilizar este método para medir deslocamento

de feixes ópticos que sejam parcialmente coerentes.

Palavras-chave: Óptica, Medida fraca, Deslocamento Goos-Hänchen.

Abstract

The Goos-Hänchen (GH) eect refers to the shift parallel to the plane of inci-

dence of the reected beam in relation to the prediction of geometric optics.

This eect is of the order of the wavelength, and can be either a lateral shift,

an angular shift or the composition between them and their distinction de-

pends on whether the beam undergoes partial or total reection. In this thesis

we study the experimental and numerical Goos-Hänchen eect in the critical

region, that is, when part of the distribution of this beam undergoes partial

reection and the other part undergoes total reection. We investigate exper-

imentally the distinction of the behavior of the shift when the measurement is

performed by the maximum and the centroid of the intensity of the reected

beam, in which we show that the magnitude of the shift is aected by the

wavelength, the beam width and the propagation eect of the reected beam.

We construct the model that describes the GH shift when the beam is reected

in a nonlinear interface, discussing the inuence of the power of the incident

beam on the magnitude of the GH shift. We extend the weak measurement

technique to beams with a degree of spatial coherence using the Gauss-Shell

model that describes partially coherent beams, where we show that the degree

of spatial coherence inuences the measurement amplies, however it is still

possible to use this method to measure the shift of optical beams that are

partially coherent.

Keywords: Optics, Weak measurement, Goos-Hänchen shift.

Lista de Figuras

1 Ilustração do deslocamento Goos-Hänchen (GH) e Imbert-Fedorov

(IF), onde o deslocamento longitudinal e perpendicular ao plano

de incidência representa o deslocamento GH e IF, respectivamente. 19

1.1 Ilustração da onda plana incidente no limite de separação entre

dois meios ópticos diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Reectância entre os meios ar-vidro em (a) e entre meios vidro-

ar em (b). Curva em azul continuo e laranja tracejado repre-

sentam as polarização s e polarização p, respectivamente. . . . . 31

1.3 Mudança de fase para a polarização s em azul contínuo e polari-

zação p em laranja tracejado para ângulos de indicência maiores

que o ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Um feixe de radiação eletromagnética incidente é totalmente

reetido (linha preta continua) e deslocado com relação a pre-

visão da óptica geométrica (linha preta tracejada) na interface

entre dois meios com índices de refração (n1 e n2), respecti-

vamente. Há um deslocamento S ao longo da superfície que

separa os dois meios e D indica o deslocamento medido por

Goos-Hänchen [3, 6]. O ângulo de incidência é indicado por φ. . 34

1.5 Deslocamento GH com polarização s em azul e polarização p

em laranja em função do ângulo de incidência. Com λo = 633

nm, n−1 = 1,515 e φc = 41,3°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Ilustração o efeito do deslocamento GH, com relação a previ-

são da óptica geométrica (o.g.) representado pela seta preta

tracejada. Na região crítica, o deslocamento CGH (∆CGH) é a

mistura do deslocamento lateral (∆) e angular (Θ). . . . . . . . 37

1.7 Amplitude e fase (normalizado por π) dos coecientes de Fres-

nell em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico.

As curvas em vermelho e azul corresponde a amplitude e fase,

onde a polarização p (curvas continuas) e a polarização s (cur-

vas tracejadas). As distribuições gaussianas representadas pela

curva tracejada preta, ilustra o feixe incidente em três ângulos

de incidência distintos, no qual o ângulo de incidência é com

respeita ao máximo de intensidade do feixe. . . . . . . . . . . . 38

1.8 Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão

do prisma. Com ~Ein propagando no espaço livre, ~El propagando

no dielétrico, ~El propagando no dielétrico e após sofrer o des-

locamento GH, ~Eout propagando no espaço livre e após sofrer o

deslocamento GH e ~Eog corresponde a direção de propagação do

campo pela óptica geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.9 Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com z eixo de en-

trada e incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1)

zin, abaixo (vidro-ar ou 2) z* e à direita (vidro-ar ou 3) zout.

Figura reproduzida de [63]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.10 Diferença entre o deslocamento GH para a onda p e s em fun-

ção do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. A curva

numérica para wo = 150,4 µm, λ = 633 nm e n = 1,515 e z = 25

cm está representada pela curva tracejada azul e amarelo con-

tinuo, referente ao deslocamento GH do máximo e centroide da

intensidade do feixe reetido, respectivamente. A curva analí-

tica descrita por Artmann é representa pela curva tracejada e

pontilhada verde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 Arranjo experimental: L1,2,3 são as lentes, P é o polarizador

montado em um estágio de rotação. O feixe reetido pelo prisma

é monitorado por uma câmera CCD. . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Ilustração da seleção da região ROI (do inglês region of interest)

utilizada no procedimento de medição do deslocamento CGH.

Em (a) e (b) corresponde a imagem e a região de interesse (cir-

culo vermelho tracejado) para a medição da posição do máximo

de intensidade em (a) e do centroide em (b) do feixe reetido. . 52

2.3 Imagens e linhas do perl de intensidade do feixe. (a) Imagens

do perl de intensidade do feixe, com todas em mesma escala e

em (b) corresponde ao perl do feixe em 1 dimensão, sendo as

linhas vermelhas o melhor ajuste da gaussiana aos dados. . . . . 54

2.4 Comparação dos resultados experimentais. Em (a) corresponde

a medida experimental sem usar a câmera CCD como leitura do

ângulo de incidência e em (b) usando a CCD como leitura do ân-

gulo de incidência. As curvas continuas e tracejadas corresponde

a solução numérica para posição do máximo e do centroide do

feixe, respectivamente. Os círculos e triângulos corresponde ao

resultado experimental do deslocamento CGH referente a posi-

ção do máximo e do centroide do feixe, respectivamente. . . . . 55

2.5 Deslocamento CGH em função do ângulo de incidência θ rela-

tivo a θc, onde (a) z = 0, (b) z = 11 cm e (c) z = 25 cm. Sendo

θ o ângulo de incidência na face frontal do prisma. As curvas

continuas e tracejadas correspondem a solução numérica para

posição do máximo e do centroide do feixe, respectivamente.

Os círculos vermelhos e triângulos azuis corresponde ao resul-

tado experimental do deslocamento CGH referente à posição do

máximo e do centroide do feixe, respectivamente. . . . . . . . . 57

2.6 Deslocamento CGH em função do ângulo de incidência θ re-

lativa a θc, para (a) w0 = 126 µm, (b) w0 = 169 µm e (c)

w0 = 243 µm; com z = 25 cm e λ = 633 nm. Sendo θ é o

ângulo de incidência na face frontal do prisma. A curva sólida

corresponde a predição numérica e os círculos vermelhos são os

dados experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.7 Deslocamento GH em função da propagação do feixe. Em (a)

corresponde ao deslocamento GH referente ao centroide e em

(b) ao máximo de intensidade do feixe. As curvas refere-se as

previsões numéricas e os símbolos os resultados experimentais

com φ−φc igual a: (i) 0,36°, (ii) 0,07°, (iii) 0,03°, (iv) 0,00° e (v)

−0,20°. Com φ o ângulo de incidência na hipotenusa do prisma

(interface de reexão vidro-ar). Sendo que em (i) toda a distri-

buição do feixe é totalmente reetido, enquanto em (v) toda a

distribuição do feixe é parcialmente reetido. O destaque mos-

tra a previsão teórica do deslocamento GH para a polarização s

e p ao longo da propagação com φ− φc = 0,07°. . . . . . . . . . 61

3.1 Esquema do deslocamento GH em torno do ângulo crítico, com

φ sendo o ângulo de incidência. O feixe é reetido entre o meio

linear (n0) e o não linear (n1), enquanto ∆ e Θ representa o

deslocamento GH lateral e angular, respectivamente. . . . . . . 66

3.2 Amplitude e fase (normalizada por π) do coeciente de reexão

r(s,p) na representação de numero de onda ky com o ângulo de

incidência φ−φc igual a (a) +0,2°, (b) −0,2°, e (c) 0,0°, todos no

regime linear. Em (d), φ−φc = 0°, e a potência do feixe é P = 50

mW. As linhas laranja e azul correspondem a amplitude e fase,

respectivamente; linha sólida (tracejada) é para polarização p (s). 71

3.3 (a) Amplitude e (b) fase (normalizado por π) do coeciente de

reexão para a polarização p na representação de numero de

onda ky para uma incidência angular φ− φc = −0,2° mostrada

para várias potências de feixes. A curva preta tracejada repre-

senta a amplitude espectral do feixe incidente . . . . . . . . . . 72

3.4 Em (a) deslocamento GH e em (b) deslocamento GH relativo

ao deslocamento GH no regime linear em função do ângulo de

incidência relativo ao ângulo crítico, para alguns valores da po-

tência do feixe incidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5 Deslocamento GH relativo em função da potência do feixe inci-

dente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1 Arranjo experimental típico para medição fraca do deslocamento

GH; com L lente, P1 e P2 polarizadores linear, λ/2 (λ/4) placa

de meio (um quarto) de onda e a câmera CCD. . . . . . . . . . 80

4.2 Intensidade normalizada da seção transversal do feixe para ∆GH =

1 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Distribuição da intensidade normalizada da seção transversal do

feixe para quatro graus de coerência. (a) γ → ∞, (b) γ = 5,

(c) γ = 1,5 e (d) γ = 0,5. As guras na primeira linha refere-se

à ε = 0, e as da segunda linha refere-se ε = −0,01 rad (curva

vermelha continua) e ε = +0,01 rad (curva azul tracejado). . . . 88

4.4 Comportamento da medida amplica para a posição do máximo

(a) e do centroide (b) do feixe com (i) γ = 0,2, (ii) γ = 0,5, (iii)

γ = 0,7, (iv) γ = 1,0 e (v) γ →∞. . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.5 Fator de amplicação A em função do grau de coerência espacial

γ e do deslocamento GH ∆GH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6 (a) Solução analítica ∆(±)GH

em função do deslocamento GH (∆GH)

para γ = 1. Os quadrados sem preenchimento corresponde à

∆GH. Em (b) apresenta a distribuição da intensidade do feixe. . 95

4.7 (a) Simulação do deslocamento GH em função do ângulo de

incidência θ relativo ao ângulo crítico θc. Os quadrados sem

preenchimento correspondem alguns pontos da curva numérica

(curva preta tracejada). (b) Simulação da medida fraca (∆X)

realizada pelo experimentalista com base nos dados correspon-

dentes aos quadrados sem preenchimento. (c) Estimativa do

deslocamento ∆±GH

, onde substituímos os dados obtidos em (b)

na equação 4.22. Os quadrados sem preenchimento correspon-

dem a mesma solução ∆GH da gura (a). . . . . . . . . . . . . . 97

Sumário

Introdução 17

1 Deslocamento Goos-Hänchen 25

1.1 Coecientes de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2 Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de

Artmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3 Representação do deslocamento Goos-Hänchen . . . . . . . . . . 36

1.4 Deslocamento Goos-Hänchen de um feixe

gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.1 Descrição e propagação do feixe gaussiano . . . . . . . . 40

1.4.2 A fase espacial do feixe de saída . . . . . . . . . . . . . . 41

1.4.3 Coeciente de transmissão total . . . . . . . . . . . . . . 44

1.4.4 Intensidade do feixe de saída . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.5 Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Deslocamento Goos-Hänchen composto e a trajetória não-linear

do feixe reetido 49

2.1 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.1 Montagem experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.1 Deslocamento Goos-Hänchen composto . . . . . . . . . . 56

2.2.2 Trajetória linear e não linear do feixe reetido . . . . . . 60

2.3 Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Deslocamento Goos-Hänchen em meios opticamente não line-

ares 64

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3 Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Medição Fraca do deslocamento Goos-Hänchen com luz par-

cialmente coerente 78

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Medição fraca com luz coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Medição fraca com luz parcialmente coerente . . . . . . . . . . . 85

4.3.1 Densidade espectral do campo parcialmente

coerente reetido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.2 Fator de amplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3.3 Solução analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.4 Simulação do experimento de medida fraca . . . . . . . . 96

4.4 Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Conclusões e Perspectivas 100

Referências Bibliográcas 103

17

Introdução

A reexão e transmissão da luz em uma interface plana é um dos processos

ópticos mais básicos e está presente em praticamente todos os sistemas ópticos.

A interação de uma onda plana em uma interface é descrita pelas conhecidas

lei de reexão e lei de Snell que está relacionado com os vetores de onda e

os coecientes de Fresnel, que relaciona com as amplitudes de polarização das

ondas incidentes e secundarias [1]. E é com elas que é feita toda a descrição

da óptica geométrica.

Newton em sua obra intitulada Optiks teve uma ampla contribuição sobre

os fenômenos luminosos; ele foi o primeiro a supor que o centro de um feixe

reetido deve apresentar um pequeno deslocamento no plano de incidência em

relação à sua posição descrita pela óptica geométrica [2]. Mais de dois sécu-

los depois, em 1947 Fritz Goos e Hilda Hänchen (GH) [3] foram capazes de

medir quantitativamente esse deslocamento no regime de micro-ondas. O des-

locamento GH, como cou conhecido tal efeito, ocorre quando uma onda com

seção transversal nita é totalmente reetida internamente em uma interface

de dois meios com índices de refração diferentes (n1 > n2), ou seja, de um meio

opticamente mais denso para um menos denso. Este deslocamento lateral pode

ser explicado no sentido mais simples, como o resultado da propagação de uma

onda evanescente paralela à interface, ou como um deslocamento da onda de

um intervalo de tempo que pode ser interpretado como o tempo de retardo

associado com o processo de espalhamento [4].

18

Logo depois de Goos e Hänchen terem terminado o seu primeiro trabalho,

Kurt Artmann [5] propôs um modelo do fenômeno. Sua contribuição foi de

tal relevância que atualmente na literatura se denomina regime de Artmann

regiões de ângulo de incidência onde seu modelo é valido. Ele partiu das equa-

ções de Fresnel-Maxwell, considerando apenas a expressão matemática para

o feixe incidente e totalmente reetido. A partir do termo de fase que surge

nos coecientes de reexão para o caso de reexão interna total, ele foi ca-

paz de explicar o deslocamento observado por Goos e Hänchen. Com base

em seu modelo, Artmann obteve duas expressões para o deslocamento da luz:

uma para quando a polarização da luz é paralela ao plano de incidência (onda

p) e outra para quando a polarização é perpendicular ao plano de incidência

(onda s). Com os resultados previstos por Artmann, Goos e Hänchen zeram

novas medições [6] e conrmaram o fato de que havia uma dependência do

deslocamento com a polarização da luz. Vários meses depois, Fragstein [7]

publicou outra teoria baseada nos trabalhos muito importantes de Picht [8] e

de Schaefer e Pich [9]. Fragstein fez todo o tratamento por uxo de energia e

considerando uma onda plana nita de largura arbitrária. Ao fazer as aproxi-

mações contidas na teoria de Schaefer e Pich, Fragstein encontrou as mesmas

expressões que descreve o deslocamento GH que haviam sido encontradas por

Artmann. Hora [10] aplicou o tratamento desenvolvido por Artmann em Mecâ-

nica Quântica para um feixe de partículas totalmente reetido em uma barreira

de potencial e obteve uma expressão para o deslocamento com a mesma apro-

ximação e posteriormente Renard [11] ampliou o tratamento de Hora com o

princípio de conservação de partículas e obteve a expressão geral descrita por

Artmann.

Mais tarde o deslocamento GH foi previsto para reexão parcial da luz, o que

até então acreditava-se que tal efeito acontece quando a luz é totalmente ree-

19

tido. Este efeito cou conhecido como deslocamento GH angular foi previsto

para o caso de reexão parcial e transmissão [1214], que também é conhecido

como ltragem de Fresnel [15, 16]. O primeiro experimento a detectar desvios

angulares no regime óptico foi descrito por Woerdman e colaboradores [17].

Também é possível que o deslocamento seja perpendicular ao plano de incidên-

cia, este efeito é conhecido como o deslocamento Imbert-Fedorov (IF) [18,19].

Fedorov supôs que o deslocamento do feixe reetido perpendicular ao plano de

incidência também deveria ocorrer, enquanto Imbert fez todo o tratamento teó-

rico sobre tal efeito. Deslocamento IF angular também já foi previsto [20,21],

bem como o efeito spin hall da luz (SHEL) [22]. Este último conecta-se ao

deslocamento IF devido a separação ortogonal ao plano de incidência das duas

componentes de spin para um feixe reetido ou transmitido. A distinção entre

tais deslocamentos vem da polarização do feixe incidente, enquanto o deslo-

camento GH ocorre para polarização linear, o deslocamento IF ocorre para

polarizações circulares ou elípticas. A Figura 1 ilustra o deslocamento GH

(em azul) e IF (em vermelho), onde o plano de incidência é xy. Um tuto-

Figura 1: Ilustração do deslocamento Goos-Hänchen (GH) e Imbert-Fedorov(IF), onde o deslocamento longitudinal e perpendicular ao plano de incidênciarepresenta o deslocamento GH e IF, respectivamente.

rial descrevendo os efeitos GH e IF em uma interface dielétrica é apresentado

na referência [23]. Estes efeitos também foram observados ou previstos para

20

cristais fotônicos, guias de onda e ressonadores [16, 24, 25]. Também foram

observados para feixes com um grau parcial de coerência espacial [26, 27], luz

com momento angular orbital [2830], além de terem sido observadas em ondas

de matéria [31, 32] e em ondas sonoras [33]. Dualidade entre o deslocamento

espacial e angular da luz reetida também já foi observado e surge quando uma

das interfaces apresenta perdas [34]. Aplicações do efeito GH, são encontrados

em guias de onda óptico [35], microscopia óptica [36], sensor de temperatura

de alta sensibilidade [37, 38] e detecção de vapores químicos com alta sensibi-

lidade [39].

Medir o deslocamento GH é bastante desaador, devido a magnitude do deslo-

camento lateral ser da ordem do comprimento de onda óptico e o deslocamento

angular ser menor do que a divergência natural do feixe de luz. Goos e Hänchen

conseguiram realizar tal façanha pois eles utilizaram uma fonte eletromagnética

com comprimento de onda da ordem de micrometro, onde a onda eletromag-

nética se propagava por um tubo dielétrico no qual sofria múltiplas reexões

interna total [3, 6]. O procedimento experimental mais utilizado atualmente

em medidas do deslocamento óptico, é utilizando um detector de quadrante

sensível à posição, onde é mensurada a posição do centroide do feixe. Este

procedimento tem como vantagens: medida direta, precisa e insensível a utu-

ação de intensidade. Por outro lado, apresenta como desvantagem: trabalhoso

e mede o desvio para um ponto (centroide) [17, 40]. Método interferométrico

usa a interferência entre as componentes de polarização p e s do feixe. Mede o

deslocamento GH ao longo de todo o feixe, pode ser adaptado para incluir re-

exões múltiplas para aumentar o deslocamento GH quando pequeno, simples

de montar, muito preciso [41], porém está limitado a medir o deslocamento do

centroide do feixe. Um procedimento de medida que ganhou bastante destaque

na literatura nos últimos anos, foi a técnica de medição fraca, que foi realizada

pela primeira vez para medir o deslocamento GH [42]. Esta técnica descrita

21

em [42] é uma analogia óptica [43] ao conceito de medição fraca quântica intro-

duzida em [44], e tem como propósito amplicar e detectar fenômenos muito

pequenos. Aplicações experimentais desta teoria têm atraído bastante atenção

dos físicos pelos seus resultados surpreendentes. A medida direta da função de

onda [45] e a obtenção da trajetória do fóton simples em um interferômetro de

Young [46] são exemplos em Teoria Quântica. Em óptica, o efeito de medida

fraca foi observado no deslocamento GH [42], efeito Imbert-Fedorov (IF) [47],

efeito spin hall da luz (SHEL) [22,48], desvio angular do feixe reetido [49,50].

Recentes trabalhos mostram que há uma diferença entre o deslocamento GH

referente ao máximo e o centroide do feixe reetido [51, 52]. Essa diferença

é observada quando a incidência está dentro de uma região crítica, ou seja,

quando uma parcela da distribuição do feixe incidente sofre reexão parcial,

enquanto a outra parcela sofre reexão total. Essa transição entre reexão

parcial e total, introduz uma leve deformação no perl espacial do feixe ree-

tido, ocasionando nesta distinção entre medir o deslocamento GH com relação

ao máximo e centroide da intensidade do feixe reetido. Enquanto na região

de incidência no qual toda a distribuição do feixe sofre reexão parcial ou re-

exão total, não há essa distinção entre medir o deslocamento GH referente ao

máximo ou ao centroide. Poucos trabalhos experimentais exploram esta região

de incidência crítica, e com a grande maioria desses trabalhos correspondem

a região de microondas [5355] e do infravermelho médio [56]. Existe apenas

um único trabalho na região do visível [57], mas com péssima concordância

entre teoria e experimento. Nosso trabalho abrange a investigação experimen-

tal e teórica do deslocamento GH na região crítica e o efeito de propagação do

feixe reetido. Investigamos experimentalmente a distinção do deslocamento

GH referente ao máximo e o centroide da intensidade do feixe reetido, e a

trajetória do feixe reetido. Desenvolvemos também um modelo teórico do

deslocamento GH lateral para meios não lineares e estendemos a técnica de

22

medição fraca do deslocamento GH para feixes parcialmente coerentes.

Esta tese está dividida da seguinte forma: No capítulo 1 apresentaremos uma

breve revisão do deslocamento Goos-Hänchen, descrevendo os coecientes de

Fresnel, exemplicando os casos de reexão parcial e reexão total; em seguida

ilustramos o deslocamento GH e quais condições ocorre o deslocamento lateral

e o deslocamento angular; apresentamos a teoria formulada por Artmann que

explica os resultados experimentais de Goos-Hänchen e por m um tratamento

do deslocamento GH para um feixe laser real, modelado por uma distribuição

gaussiana. O capítulo 2, refere-se o deslocamento GH na região crítica e a tra-

jetória não linear do feixe reetido. Apresentamos a montagem experimental e

o procedimento experimental para realizar tais medidas, em seguida apresen-

tamos nossas contribuições do deslocamento GH na região crítica, mostrando

que existe uma diferença entre medir o deslocamento GH do máximo e do cen-

troide da intensidade do feixe reetido, com resultados experimentais inéditos

referente a trajetórias não lineares do máximo de intensidade do feixe reetido

com relação a previsão da óptica geométrica. No capítulo 3, apresentamos o

deslocamento GH em meios não lineares, onde descrevemos o modelo do deslo-

camento GH para meios não lineares, no qual consideremos que a distribuição

do perl de intensidade do feixe introduz também uma distribuição no índice

de refração no meio não linear. Por consequência, observamos numericamente

uma dependência nos coecientes de Fresnel com a potência do feixe, e identi-

camos um novo regime de transição em que o feixe reetido passa da condição

de reexão parcial para reexão total. Em seguida analisamos numericamente

a dependência do deslocamento GH lateral em termos da potência do feixe

incidente, mostrando a possibilidade de aumentar ou diminuiu a magnitude

do deslocamento GH lateral em termos da potência do feixe. O capítulo 4

refere-se ao desenvolvimento da técnica de medição fraca para o deslocamento

GH com luz parcialmente coerente, onde revisamos a técnica de medição fraca

23

para feixes coerentes, em seguida a partir do modelo Gauss-Schell que descreve

um feixe parcialmente coerente, estendemos a técnica de medição fraca para

feixes parcialmente coerente. Mostramos que a amplicação do deslocamento

GH depende o grau de coerência espacial da luz afeta na amplicação, no en-

tanto ainda é possível realizar tal medida. Por m, o capítulo 5 aborda as

conclusões do nosso trabalho, assim como perspectivas futuras.

24

Publicações

SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Nonlinear

Goos-Hänchen shift of an optical beam near and below critical incidence.

OPTICS LETTERS (Submetido).

SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Oscillatory

trajectory of an optical beam propagating in free space. OPTICS LET-

TERS, v. 44, p. 646, 2019.

SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Weak mea-

surement of the Goos-Hänchen shift of partially coherent light beams.

Journal of the Optical Society of America B, v. 36, p. 533, 2019.

SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Direct mea-

surement of the composite Goos-Hänchen shift of an optical beam. OP-

TICS LETTERS, v. 43, p. 4037-4037, 2018.

PITA, JULIÁN L. ; ALDAYA, IVAN ; SANTANA, OCTÁVIO J. S. ; DE

ARAUJO, LUÍS E. E. ; DAINESE, PAULO ; GABRIELLI, LUCAS H.

. Side-lobe level reduction in bio-inspired optical phased-array antennas.

OPTICS EXPRESS, v. 25, p. 30105, 2017.

25

Capítulo 1

Deslocamento Goos-Hänchen

Este capítulo aborda o efeito Goos-Hänchen (GH) de forma geral. Iniciaremos

com a descrição dos coecientes de Fresnel referente a uma onda incidente

linearmente polarizada com o seu vetor de polarização perpendicular ao plano

de incidência (onda s ou polarização s) e também para o vetor de polarização

paralelo ao ao plano de incidência (onda p ou polarização p). Em seguida

ilustraremos o deslocamento GH e em quais condições ocorre o deslocamento

lateral e angular. Descreveremos o tratamento de Artmann do deslocamento

GH na condições de reexão interna total e por m faremos um tratamento

rigoroso considerando um feixe real modelado por uma distribuição gaussiana,

propagando-se por toda a extensão de um prisma,tal que a descrição do modelo

seja o mais próximo do arranjo experimental.

1.1 Coecientes de Fresnel

O comportamento das ondas eletromagnéticas é descrido pela equações de

Maxwell. Considerando um meio dielétrico, livre de cargas e correntes, as

26

equações de Maxwell na forma diferencial são escritas na seguinte forma [58],

∇ · E = 0 (1.1)

∇ ·H = 0 (1.2)

∇× E = −µ∂H∂t

(1.3)

∇×H = ε∂E

∂t(1.4)

onde o meio está caracterizado por ε e µ que são a permissividade elétrica e a

permeabilidade magnética, respectivamente.

O fenômeno de reexão e transmissão da luz da teoria eletromagnética é bas-

tante discutido nos livros textos, onde o caso mais trivial de investigar é con-

siderando uma onda plana incidente no plano de separação entre dois meios

opticamente distintos, como ilustrado na gura 1.1. Por consequência haverá

uma onda reetida e outra transmitida, em que a dependência espaço-temporal

dessas três ondas, além de fatores constantes de amplitude, é dada pela ex-

pressão complexa:

exp [i (k · r− ωt)] onda incidente (1.5a)

exp [i (k′ · r− ωt)] onda reetida (1.5b)

exp [i (k′′ · r− ωt)] onda transmitida (1.5c)

A existência da condição de contorno, condições estas que devem ser obedeci-

das em todos os pontos do plano e a qualquer instante de tempo. Sabendo-se

que a variação espacial e temporal de todos os campos devem ser a mesma no

plano de separação entre os meios, então devemos ter todos os fatores de fases

das equações 1.5 iguais a zero no plano de separação dos meios, isso implique

27

Figura 1.1: Ilustração da onda plana incidente no limite de separação entredois meios ópticos diferentes.

que,

k · r = k′ · r = k′′ · r (1.6)

Esta equação informa que todas os três vetores de onda k, k′ e k′′ são coplana-

res, e que suas projeções no plano de fronteira são todas iguais. Portanto, ao

analisar as componentes paralelo ao plano da fronteira entre os meios, obtemos

a seguinte relação,

k sinφ = k′ sinφ′ = k′′ sinφ′′ (1.7)

Uma vez que a onda incidente e a onda reetida estão no mesmo meio, ou

seja, k = k′ então os ângulos de incidência e reetido são iguais (φ = φ′), o

que corresponde a lei da reexão. Enquanto a relação entre a onda incidente

28

e a onda transmitida é dado por:

sinφ

sinφ′′=

k′′

k=n2

n1

, (1.8)

correspondendo a conhecida lei de Snell. Para obtermos as amplitudes de ree-

xão e transmissão da onda, é conveniente considerar duas situações separadas,

uma quando o vetor de polarização é perpendicular ao plano de incidência

(onda s ou polarização s) e a outra quando o vetor de polarização é paralelo

ao plano de incidência (onda p ou polarização p).

A partir da conguração ilustrada na gura 1.1, podemos representar os cam-

pos incidente, reetido e transmitido por:

A(y, z) = Ai exp (ikyy + ikz z − iωt) ˆx, incidente (1.9)

A(y, z) = Ar exp (ikyy − ikz z − iωt) ˆx, reetido

A(y, z) = At exp (iqyy + iqz z − iωt) ˆx, transmitido

onde o campo A representa o campo elétrico E quando a polarização for s,

enquanto para a polarização p o campo A representa o campo magnético H.

Sendo que as componentes dos vetores de onda em cada meio é denida por:

ky, kz = n1k0 sinφ, n1k0 cosφ , (1.10)

qy, qz = n2k0 sinφ′′, n2k0 cosφ′′ , (1.11)

com n1(2) refere-se ao índice de refração no meio 1(2) e k0 ao número de onda

no vácuo. Aplicando as condições de contorno na interface para os campos

tangentes a superfície, no qual para a polarização s o campo magnético é

29

obtido utilizando a equação de Maxwell 1.3,

H(y, z) = −(i/ω)∂E

∂zˆy, (1.12)

e para a polarização p, o campo elétrico é obtido utilizando a equação de

Maxwell 1.4,

E(y, z) = (i/ωε)∂H

∂zˆy. (1.13)

Considerando que o plano de separação entre as interfaces corresponde à z =

z0. Assim as condições no contorno referentes a polarização s são dadas por,

Ei exp (ikzz0) + Er exp (−ikzz0) = Et exp (iqzz0) , (1.14)

Ei exp (ikzz0)− Er exp (−ikzz0) = (qz/kz)Et exp (iqzz0) , (1.15)

enquanto para a polarização p,

Hi exp (ikzz0) +Hr exp (−ikzz0) = Ht exp (iqzz0) , (1.16)

Hi exp (ikzz0)−Hr exp (−ikzz0) =

(n2

1qzn2

2kz

)Ht exp (iqzz0) . (1.17)

A partir destas relações obtidas pelas condições de contorno, obtemos então

os coecientes de Fresnel na representação de vetores de onda,

rs =ErEi

=

(kz − qzkz + qz

)exp [2ikzz0] , (1.18a)

rp =Hr

Hi

=

(n2

2kz − n21qz

n22kz + n2

1qz

)exp [2ikzz0] , (1.18b)

ts =EtEi

=

(2kz

kz + qz

)exp [i(kz − qz)z0] , (1.18c)

tp =Ht

Hi

=

(2n2

2kzn2

2kz + n21qz

)exp [i(kz − qz)z0] . (1.18d)

30

Substituindo as equações 1.10 e 1.11 nos coecientes de Fresnel 1.18, re-

escrevemos os coecientes de Fresnel em termos do ângulo de incidência e

transmissão [59],

rs =

(n1 cosφ− n2 cosφ′′

n1 cosφ+ n2 cosφ′′

)exp [2in1k0z0 cosφ] , (1.19a)

rp =

(n2 cosφ− n1 cosφ′′

n2 cosφ+ n1 cosφ′′

)exp [2in1k0z0 cosφ] , (1.19b)

ts =

(2n1 cosφ

n1 cosφ+ n2 cosφ′′

)exp [ik0z0(n1 cosφ− n2 cosφ′′)] , (1.19c)

tp =

(2n2 cosφ

n2 cosφ+ n1 cosφ′′

)exp [ik0z0(n1 cosφ− n2 cosφ′′)] . (1.19d)

O termo na exponencial nos coecientes de Fresnel, corresponde a um termo

de fase geométrica. É a partir dele que se determina a posição da saída da

onda eletromagnética em meios para diversas formas geométricas.

A partir das equações 1.19, vamos analisar o comportamento dos coecien-

tes de reexão em função do ângulo de incidência, para o caso particular onde

o plano de separação entre os meios localiza em z = 0. A Figura 1.2 apre-

senta a reectância (R2) do campo elétrico para a polarização s em azul e

polarização p em laranja tracejado em função do ângulo de incidência, refe-

rente ao meios ar-vidro na Figura 1.2(a) e vidro-ar na Figura 1.2(b). Nestas

guras podemos notar que a luz pode ser parcialmente reetida (R2 < 1) ou

totalmente reetida (R2 = 1). O caso de reexão parcial ocorre para qual-

quer valor do ângulo de incidência quando n1/n2 > 1 ou para um ângulo de

incidência menor que o ângulo crítico (φc = sin−1(n2/n1)) quando n2/n1 < 1.

Nestes casos o coeciente de Fresnel é real. Quando o ângulo de incidência é

maior que o ângulo crítico, a reexão é total. Porém, os coecientes de Fresnel,

embora tenham o módulo da amplitude unitário, estes apresentam um termo

da fase diferente de zero. Essa fase difere para a polarização s e polarização

p, o que implica que pode haver uma mudança de estado de polarização do

31

campo elétrico reetido com relação ao campo elétrico incidente. A Figura 1.3

0 20 40 60 80

φ (graus)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Reflectancia

n1 = 1.0 e n2 = 1.515

s

p

(a)

0 20 40 60 80

φ (graus)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Reflectancia

← φc

n1 = 1.515 e n2 = 1.0

s

p

(b)

Figura 1.2: Reectância entre os meios ar-vidro em (a) e entre meios vidro-arem (b). Curva em azul continuo e laranja tracejado representam as polarizaçãos e polarização p, respectivamente.

mostra o gráco da mudança de fase da polarização s em azul e polarização p

em laranja tracejado em função do ângulo de incidência. Note que a fase para

ambas polarizações é nula abaixo do ângulo crítico, representando a situação

em que os coecientes de reexão de Fresnel são puramente reais.

40 50 60 70 80 90

φ (graus)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fase/π

← φc

n1 = 1.515 e n2 = 1.0

s

p

Figura 1.3: Mudança de fase para a polarização s em azul contínuo e polari-zação p em laranja tracejado para ângulos de indicência maiores que o ângulocrítico.

32

1.2 Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de

Artmann

O deslocamento GH foi discutido pela primeira vez no contexto de reexão

interna total da radiação eletromagnética. Em seu trabalho [5] Artmann ex-

plicou os resultados experimentais obtidos por Goos e Hänchen, como também

mostrou que a magnitude do deslocamento depende do comprimento de onda e

da polarização da onda eletromagnética. O deslocamento GH está relacionado

com a fase dos coecientes de reexão de Fresnel para ondas planas incidente

sobre uma interface com um ângulo de incidência igual a φ. A gura 1.4 ilustra

o que ocorre com a onda quando a condição de reexão total é satisfeita. Um

feixe laser pode ser representado por uma superposição de ondas planas, sendo

que cada onda plana tem seu próprio vetor de onda. Artmann em seu trabalho

considera apenas a contribuição de duas ondas, para explicar os resultados de

Goos-Hänchen. Sabemos que na condição de reexão total, o coeciente de

reexão de Fresnel apresenta um termo de fase diferente de zero, tal que, pode-

mos escreve-lo na seguinte forma r(s,p) = exp(iϕ(s,p)

). Então a onda reetida

corresponde à,

ei[k1y y+ϕ(s,p)], (1.20)

enquanto uma segunda onda ligeiramente diferente com ângulo de incidência

φ+∆φ equivalente a onda incidente com a componente de vetor de onda k1y +

∆k1y , contribui na fase do coeciente de reexão de Fresnel por, ϕ(s,p)+∆ϕ(s,p).

Portanto esta onda secundaria é descrita como,

ei[(k1y+∆k1y)y+ϕ(s,p)+∆ϕ(s,p)], (1.21)

33

tal que a sobreposição destas duas ondas resulta em,

ψ = ei(k1y y+ϕ(s,p)) + ei[(k1y+∆k1y)y+ϕ(s,p)+∆ϕ(s,p)],

= ei(k1y y+ϕ(s,p))[1 + ei(∆k1y y+∆ϕ(s,p))

], (1.22)

veja que considerando apenas estas duas ondas elementares nota-se que a pe-

quena diferença ∆k1y em y, produz uma leve mudança na direção de propaga-

ção da onda resultante. Assim, a posição do máximo da onda resultante pode

ser visto nos pontos que satisfaz a seguinte relação,

∆k1y y + ∆ϕ(s,p) = 2πl, (1.23)

sendo l múltiplos inteiros. Enquanto a previsão da óptica geométrica, a mu-

dança de fase ϕ é independente do ângulo de incidência φ, ou seja, ∆ϕ(s,p) = 0.

Então a posição yop máxima da onda resultante é,

∆k1y yop = 2πl, (1.24)

Portanto o deslocamento lateral é descrito a partir da diferença de fase entre

o feixe real com a previsão da óptica geométrica, dado por:

S = y − yop = −∆ϕ(s,p)

∆k1y

, (1.25)

No caso limite o deslocamento é,

S = −dϕ(s,p)

dk1y

, (1.26)

No entanto o deslocamento S corresponde ao deslocamento ao longo da su-

perfície, enquanto que D ilustrado na gura 1.4 corresponde ao deslocamento

medido por Goos-Hänchen [3, 6]. Note-se que D = S cosφ.

34

Figura 1.4: Um feixe de radiação eletromagnética incidente é totalmente re-etido (linha preta continua) e deslocado com relação a previsão da ópticageométrica (linha preta tracejada) na interface entre dois meios com índicesde refração (n1 e n2), respectivamente. Há um deslocamento S ao longo dasuperfície que separa os dois meios e D indica o deslocamento medido porGoos-Hänchen [3, 6]. O ângulo de incidência é indicado por φ.

Considerando a denição dos eixos na Figura 1.4, o número de onda no eixo

y é dado como k1y = k1 sin(φ), onde k1 = 2π/λ1 é o numero de onda total

no meio 1. Então podemos escrever o deslocamento em função do ângulo de

incidência, descrito por:

S(φ) = −dϕ(s,p)

dk1y

= − 1

k1 cos(φ)

dϕ(s,p)

dφ. (1.27)

Um tratamento simples na obtenção dos resultados de Artmann, é utilizar o

método de fase estacionária (MFS) a partir da diferença de fase do feixe real

com o previsto pela óptica geométrica. Em resumo, o MFS signica obter a

posição do máximo de alguma função descrita na forma F = feg, tal que sua

posição máxima é obtida simplesmente derivando a função g. O tratamento

rigoroso e detalhado do método de fase estacionária (MFS) pode ser encon-

trado em [60] e aplicado para o caso de um prisma com geometria retangular

no artigo [61].

De forma explicita as equações de Artmann [5] que descrevem o deslocamento

35

GH correspondente a polarização s e polarização p é dado por:

Ds(φ) = S(φ) cos(φ) = − 1

k1

dϕsdφ

=λ1

π

sin(φ)√sin2(φ)− n2

, (1.28)

Dp(φ) = S(φ) cos(φ) = − 1

k1

dϕpdφ

=n2

sin2(φ)(1 + n2)− n2Ds(φ), (1.29)

sendo φ o ângulo de incidência, n = n2/n1 a razão entre os índices de refração

do meio 2 com o meio 1 e λ1 comprimento de onda no meio 1. A relação do

comprimento de onda no meio 1 com o do vácuo é dada por λ1 = λo/n1. A Fi-

41.0 41.5 42.0 42.5 43.0 43.5 44.0

φ (graus)

0

2

4

6

8

10

Deslocamento

GH(µm)

← φc

s

p

Figura 1.5: Deslocamento GH com polarização s em azul e polarização p emlaranja em função do ângulo de incidência. Com λo = 633 nm, n−1 = 1,515 eφc = 41,3°.

gura 1.5 apresenta o comportamento do deslocamento GH para a polarização

s (equação 1.28) em azul e polarização p (equação 1.29) em laranja em função

do ângulo de incidência. A linha tracejada e pontilhada em preto demarca

o ângulo crítico para reexão interna total, considerando o comprimento de

onda λo = 633 nm e a interface vidro-ar (nvidro = 1,515 e nar = 1,0). Note

que quando φ ≈ φc as equações analíticas 1.28 e 1.29 divergem. Isto vem do

fato que quando φ ≈ φc temos que o termo sin2(φ) ≈ n2. Por muitos anos

acreditava-se que o deslocamento GH somente poderia ocorrer para ângulos

36

de incidência acima do ângulo crítico. Após algumas décadas outros autores

estudaram o mesmo problema estudado por Artmann, mas considerando um

feixe laser realístico modelado por uma distribuição gaussiana, observando que

o deslocamento GH também ocorre em torno do ângulo crítico e que além disso

existe um ângulo de incidência em que o deslocamento é máximo [62,63].

Além do deslocamento lateral da luz, existe o deslocamento angular que surge

quando a luz é parcialmente reetida. Este desvio foi observado experimental-

mente por [17] na interface ar-vidro. Em meios com perdas é possível observar

o efeito dual entre o deslocamento GH lateral e angular após a luz ser reetida

e foi observado por [34] utilizando uma interface ar-metal, como também em

regiões em torno do ângulo crítico [56, 6365].

A partir dos coecientes de Fresnel é possível determinar o deslocamento GH

lateral e angular [34].

D(s,p)(φ) =∂ ln r(s,p)

∂φ=

1

R(s,p)

∂R(s,p)

∂φ+ i

∂ϕ(s,p)

∂φ, (1.30)

onde R(s,p) e ϕ(s,p) representa o termo de amplitude e fase do coeciente de

Fresnel. O deslocamento angular e o deslocamento lateral correspondem ao

termo real e imaginário da equação 1.30, respectivamente. A demonstração

rigorosa da equação 1.30 usando o formalismo de óptica clássica e considerando

que a onda incidente é focalizada pode ser vista na referência [66].

1.3 Representação do deslocamento Goos-Hänchen

A gura 1.6 ilustra o efeito do deslocamento GH, com relação a previsão da

óptica geométrica representado pela seta preta tracejada. Nela observamos um

37

deslocamento lateral (∆) ao plano de incidência, no qual ocorre quando toda

a distribuição do feixe está sofrendo reexão total, como também observa-se

um deslocamento angular (Θ), que é manifestado quando toda a distribuição

do feixe está sofrendo reexão parcial. Na região critica, ou seja, em torno

Figura 1.6: Ilustração o efeito do deslocamento GH, com relação a previsãoda óptica geométrica (o.g.) representado pela seta preta tracejada. Na regiãocrítica, o deslocamento CGH (∆CGH) é a mistura do deslocamento lateral (∆)e angular (Θ).

do ângulo crítico, o feixe reetido é deslocado como uma combinação entre o

deslocamento lateral e o angular, conhecido como composição Goos-Hänchen

(CGH) (do inglês composite Goos-Hänchen), que está representado por ∆CGH

na gura 1.6. Esta região critica é denida como,

− λ

πnw0

< φ− φc <λ

πnw0

, (1.31)

onde φ é a ângulo de incidência na interface de reexão, φc o ângulo crítico, n

o índice de refração do meio de incidência, λ o comprimento de onda no vácuo

e w0 é o raio mínimo do feixe.

Quando consideramos um feixe laser com cintura nita, temos então que este

feixe pode ser descrito como uma combinação linear de onda planas, onde

cada onda plana tem associada a ela um vetor de onda ligeiramente diferente,

38

distribuídos em torno de um vetor de onda central com amplitude gaussiana.

Nessa situação, cada vetor de onda contido no feixe laser sente um coeciente

de Fresnel diferente. A gura 1.7 apresenta o comportamento da amplitude

e fase (normalizado por π) dos coecientes de Fresnel em função do ângulo

de incidência relativo ao ângulo crítico, e a partir dela podemos interpretar o

signicado físico do deslocamento GH. As curvas em vermelho e azul corres-

pondem a amplitude e a fase do coecientes de Fresnell, sendo que a polariza-

ção p está representado pelas curvas continuas e a polarização s pelas curvas

tracejadas. As distribuições gaussianas são representadas pela curva tracejada

preta e ilustram o feixe incidente em três ângulos de incidência distintos. Estas

0.15

0.45

1 0.75 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

Amplitu

de

- c

Phase

0.00-0.16-0.32-0.48-0.64 0.16 0.32 0.48 0.64

Fase/

0.00

0.15

0.30

0.45

0.60

Re

ectância

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a) (b) (c)

Figura 1.7: Amplitude e fase (normalizado por π) dos coecientes de Fresnellem função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. As curvas emvermelho e azul corresponde a amplitude e fase, onde a polarização p (curvascontinuas) e a polarização s (curvas tracejadas). As distribuições gaussianasrepresentadas pela curva tracejada preta, ilustra o feixe incidente em três ân-gulos de incidência distintos, no qual o ângulo de incidência é com respeita aomáximo de intensidade do feixe.

distribuições gaussiana pode ser interpretada como uma combinação linear de

varias ondas planas com ângulos de incidência distintos, mas contidos dentro

do intervalo referente a abertura angular do feixe. A distribuição gaussiana

39

com preenchimento azul (vermelho), corresponde ao caso em que a reexão é

total (parcial), no qual o feixe reetido sofre um deslocamento lateral (angu-

lar). O deslocamento lateral é devido a contribuição da fase adicional que surge

nos coecientes de Fresnel contribuindo na mudança da direção de propaga-

ção do feixe reetido com relação a descrição da óptica geométrica. Enquanto

o deslocamento angular é devido a cada onda plana reetir com amplitudes

distintas, ocasionando em uma leve deformação na distribuição de intensidade

do feixe reetido. Na região em torno do ângulo crítico ocorre uma mistura

entre o deslocamento angular e lateral, devido a uma parte do feixe sofrer

reexão parcial, enquanto a outra parte sofre reexão total. Esta região apre-

senta uma rica quantidade de fenômenos físicos inéditos, que foram observados

experimentalmente e será discutido nos próximos capítulos da tese.

1.4 Deslocamento Goos-Hänchen de um feixe

gaussiano

Nesta seção faremos todo o tratamento teórico do deslocamento GH de um

feixe modelado por uma distribuição gaussiana. Também trataremos o efeito

de propagação do feixe em toda a extensão de um prisma, considerando os

efeitos de transmissão e reexão de feixe em cada interface. A gura 1.8

ilustra a propagação do campo elétrico em toda a extensão do prisma, tal que

~Ein representa o campo elétrico de entrada ou feixe de entrada propagando no

espaço livre, ~El e ~Er representa a propagação do campo elétrico no dielétrico

antes e após o deslocamento GH, respectivamente, ~Eout representa o campo

elétrico de saída ou feixe de saída no espaço livre após sofrer o deslocamento

GH e ~Eog o feixe de saída descrito pela óptica geométrica.

40

Figura 1.8: Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão doprisma. Com ~Ein propagando no espaço livre, ~El propagando no dielétrico, ~Elpropagando no dielétrico e após sofrer o deslocamento GH, ~Eout propagandono espaço livre e após sofrer o deslocamento GH e ~Eog corresponde a direçãode propagação do campo pela óptica geométrica.

1.4.1 Descrição e propagação do feixe gaussiano

Vamos considerar inicialmente um feixe gaussiano propagando pelo espaço li-

vre. Um feixe gaussiano pode ser descrito como sendo formado pela superposi-

ção de um número innito de ondas planas, constituídas por diferentes vetores

de onda ~k. A amplitude das componentes espectrais do campo elétrico é dada

pela distribuição escalar:

G(~k) = exp

[−(k2

x + k2y)w

20

4

]δ(kz − (k2 − k2

x − k2y)

1/2), (1.32)

onde w0 é o raio da cintura do feixe, k = 2π/λ é o número de onda correspon-

dente ao vetor de onda central em torno do qual as diversas componentes ~k

estão distribuídas e λ o comprimento de onda. A amplitude do campo elétrico

é então dada por:

Ein(~r) = Eow2

0

4π

∫d~k G(~k) exp[i~k · ~r],

= Eow2

0

4π

∫dkxdky exp

[−(k2

x + k2y)w

20

4

]Ö exp

[i(kxx+ kyy + (k2 − k2

x − k2y)

1/2z)], (1.33)

41

com Eo = E(~r = 0). Estamos considerando que o campo elétrico é monocro-

mático com frequência ω, e a sua dependência temporal exp [iωt] será supri-

mida. Na aproximação paraxial, o campo elétrico descreve o feixe gaussiano

propagando na direção de z, é escrito como [63],

Ein(~r) ≈ Eow2

0

4πexp(ikz)

∫dkxdky exp

[−(k2

x + k2y)w

20

4

]Ö exp

[i(kxx+ kyy −

k2x + k2

y

2kz

)],

≈ Eow2

0

w20 + 2i(z/k)

exp(ikz) exp

[− x2 + y2

w20 + 2i(z/k)

]. (1.34)

A intensidade, I(~r) ∝ |E(~r)|2 para o campo elétrico de entrada é então dado

por:

Iin(~r) ≈ Io

[w0

w(z)

]2

exp

[−2

x2 + y2

w2(z)

], (1.35)

onde

w(z) = w0

[1 +

(λz

πw20

)2]1/2

. (1.36)

A equação 1.36 representa o raio da cintura do feixe no plano z, tal que w0 é

a cintura mínima do feixe.

1.4.2 A fase espacial do feixe de saída

A fase espacial do campo elétrico de saída é determinada pela direção de

propagação do campo elétrico (ϕout = ~k · ~r). Por conveniência são denidos

novos eixos de coordenadas, como é visto na Figura 1.9. O plano de incidência

é y − z sendo z a direção de propagação do feixe de entrada, enquanto os

novos eixos representam uma rotação do plano y−z onde os eixos zin, z* e zoutrepresentam a normal na interface (ar-vidro ou 1), normal a interface (vidro-ar

42

ou 2) e normal a interface (vidro-ar ou 3), respectivamente. Denindo θ como

Figura 1.9: Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com z eixo de entradae incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1) zin, abaixo (vidro-arou 2) z* e à direita (vidro-ar ou 3) zout. Figura reproduzida de [63].

o ângulo de incidência e usando R(θ) como a matriz rotação:

R(θ) =

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

, (1.37)

podemos relacionar as coordenadas referente ao feixe de saída com as outras

coordenadas por: yout

zout

= R

(3π

4

) y*

z*

= R(π

2

) yin

zin

= R

(π2− θ) y

z

. (1.38)

Contudo, podemos determinar a fase espacial em cada interface com relação ao

ângulo de incidência. Para o feixe de entrada a fase espacial é denida como:

ϕin = ~k · ~r = ~kin · ~rin, (1.39)

43

onde ~rin = (x, yin, zin) é obtido a partir da equação 1.38 e ~kin é dado por:

kin = kxin e

kyin

kzin

= R (−θ)

ky

kz

, (1.40)

levando em conta que a descontinuidade é ao longo do eixo zin (esta descon-

tinuidade vem do fato que o feixe esta passando de um meio para outro, tal

que k = nq onde n representa o índice de refração do vidro e q o número de

onda total no vidro), as componentes xin = x e yin do número de onda não se

alteram quando o feixe atravessa a primeira interface.

(qx, qyin) = (kx, kyin)⇒ qzin =(n2k2 − k2

x − k2yin

)1/2, (1.41)

enquanto a segunda interface (hipotenusa do prisma) antes do deslocamento

GH,

ϕl = ~qin · ~rin = ~q∗ · ~r∗, (1.42)

onde ~r∗ = (x, y∗, z∗) e ~q∗ é dado por:

qx∗ = qx e

qy∗

qz∗

= R(−π

4

) qyin

qzin

. (1.43)

A fase espacial do feixe reetido na segunda interface, ou seja, após o desloca-

mento GH, é dada pela equação 1.42, mas mudando z∗ por −z∗, temos:

ϕr = qx∗x∗ + qy∗y∗ − qz∗z∗ = ~qout · ~rout, (1.44)

onde ~rout = (x, yout, zout) e ~qout é dado por:

qxout = qx e

qyout

qzout

= R

(3π

4

) qy∗

−qz∗

=

−qyinqzin

. (1.45)

44

Em resumo, a equação 1.46 mostra a relação entre as componentes do número

de onda referente às coordenadas denida na equação 1.38

(kx, kyout) = (kx, qyout) = (kx,−qyin) = (kx,−kyin)

kzout = kzin . (1.46)

Finalmente a fase espacial do feixe de saída é dada por:

ϕout = ~kout · ~rout = kxx− kyinyout + kzinzout

= kxx+ (kz cos 2θ − ky sin 2θ) y + (ky cos 2θ − kz sin 2θ) z. (1.47)

1.4.3 Coeciente de transmissão total

Escolhendo o eixo ain = 0 (isto implica a∗ = a/21/2 e aout = b−a) e sabendo queqzout = qzin e kzout = kzin da equação 1.46, obtemos a expressão do coeciente

de transmissão total, no qual, leva em conta a contribuição dos coecientes de

Fresnel obtidos na equação 1.18 em cada interface do prisma considerando os

seus respectivos vetores de onda em cada interface. Para a polarização s, tem

que:

t(s) = t(s)inr(s)∗ t

(s)out =

4kzinqzin(kzin + qzin)2

qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗

exp [iψout] , (1.48)

e o coeciente de transmissão total para a polarização p,

t(p) = t(p)inr(p)∗ t

(p)out =

4n2kzinqzin(n2kzin + qzin)2

qz∗ − n2kz∗qz∗ + n2kz∗

exp [iψout] , (1.49)

com,

ψout = 21/2qz∗a+ (qzin − kzin)(b− a), (1.50)

sendo a fase do coeciente de transmissão total, a qual depende da geometria

do prisma e n é o índice de refração do prisma.

45

Conhecendo a fase espacial e a fase do coeciente de transmissão total, po-

demos calcular o caminho geométrico usando o método da fase estacionária

(MFS). Então, ao impor que a derivada da fase seja zero no centro da distri-

buição gaussiana do feixe de entrada, obtemos que:

∂ϕin

∂kx,∂ϕin

∂ky

(kx=0,ky=0)

= 0, 0 ⇒ xmax, ymaxin = 0, 0 . (1.51)

Enquanto para o feixe de saída, a fase do campo é dada pela fase espacial ϕout

que obtemos da equação 1.47 e pela fase ψout do coeciente de transmissão

total descrita da equação 1.50. Usando MFS encontramos:

∂(ϕout + ψout)

∂kx

(0,0)

= 0⇒ xmaxout = 0, (1.52)∂(ϕout + ψout)

∂ky

(0,0)

= 0⇒ zmaxout cos 2θ − ymaxout sin 2θ = d, (1.53)

onde

d = a (cos θ + sin θ) + b sin θ

(cos θ√

n2 − sin2 θ− 1

). (1.54)

A equação 1.53 apresenta a posição da intensidade máxima do feixe de saída

descrito pela óptica geométrica.

Na condição de reexão interna total, surge uma fase adicional não prevista

pela óptica geométrica devido ao coeciente de reexão referente a hipotenusa

do prisma, interface no qual ocorre o deslocamento GH.

φ

(s)GH, φ

(p)GH

=

Arg

[qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗

],Arg

[qz∗ − n2kz∗qz∗ + n2kz∗

],

= −2

tan−1

[ |kz∗|qz∗

], tan−1

[n2|kz∗|qz∗

]. (1.55)

46

Este termo de fase é o mesmo discutido na gura 1.3, e ao fazer sua derivada.∂φ

(s)GH

∂ky,∂φ

(p)GH

∂ky

(0,0)

=2

|kz∗ |∂qz∗∂ky

1,

n2k2

k2 + (n2 + 1)|kz∗ |2, (1.56)

obtém a expressão analítica do deslocamento GH obtido por Artmann descrito

nas equações 1.28 e 1.29.

Ds, Dp = −∂φ

(s)GH

∂ky,∂φ

(p)GH

∂ky

(0,0)

. (1.57)

1.4.4 Intensidade do feixe de saída

A partir da descrição da amplitude do campo elétrico do feixe incidente, po-

demos obter a amplitude do campo elétrico do feixe de saída ao propagar

por toda a extensão do prisma, no qual leva a contribuição do coeciente de

transmissão total.

E(s,p)out (~r) = Eo

ω2o

4π

∫dkxdkyt(s,p) exp

[−(k2

x + k2y)ω

2o

4

]× exp

[−i~kout · ~rout

]. (1.58)

Conhecendo a intensidade do feixe de saída a partir da equação 1.58, obte-

mos numericamente o deslocamento GH para a polarização p e polarização

s com relação a previsão da óptica geométrica. A gura 1.10 apresenta o

comportamento da diferença entre o deslocamento GH para a polarização p e

polarização s em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. As

curvas referentes à linha tracejada azul e continua em amarelo, representam

o deslocamento GH para a posição do máximo e centroide da intensidade do

feixe de saída, respectivamente. Os parâmetros utilizados, foram wo = 150,0

µm, λ = 633 nm, n = 1,515, z = 25 cm, onde z indica a posição na qual está

sendo feita a medida sendo que z = 0 refere-se a posição onde ocorre o deslo-

47

camento GH, ou seja, na hipotenusa do prisma. Enquanto a curva tracejada e

pontilhada em verde representa a curva analítica descrita por Artmann. Como

−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

θ − θc (graus)

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

17.5

20.0

Deslocamento

GH(µm)

Maximo

Centroide

Artmann

Figura 1.10: Diferença entre o deslocamento GH para a onda p e s em funçãodo ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. A curva numérica parawo = 150,4 µm, λ = 633 nm e n = 1,515 e z = 25 cm está representada pelacurva tracejada azul e amarelo continuo, referente ao deslocamento GH domáximo e centroide da intensidade do feixe reetido, respectivamente. A curvaanalítica descrita por Artmann é representa pela curva tracejada e pontilhadaverde.

já é conhecido na literatura [62, 63], a gura 1.10 mostra que, ao contrário da

previsão de Artmann, o deslocamento GH próximo do ângulo crítico para re-

exão interna total não divergem, além de que existe um ângulo para o qual

o deslocamento GH é máximo, tanto para o deslocamento GH referente ao

máximo e centroide da intensidade do feixe reetido. Enquanto para ângulos

sucientemente maiores que o ângulo crítico os resultados numéricos e analí-

tico convergem para o mesmo valor do deslocamento GH, sendo esta região

denominada como região de Artmann.

Em torno do ângulo crítico nota-se que a magnitude e o comportamento do

48

deslocamento GH referente ao máximo e ao centroide são distintos. Essa dife-

rença de efeitos, como também as oscilações para o máximo foram exploradas

por [51, 52] numericamente e nós fomos os primeiros a observar experimental-

mente tais efeitos [65,67]. Estes efeitos são discutidos em detalhes no próximo

capitulo.

1.5 Considerações nais

Aqui apresentamos uma breve introdução dos coecientes de Fresnel mostrando

que estes dependem da polarização e do meio de propagação. Mencionamos

em quais condições a reexão é parcial ou total, mostrando que na condição de

reexão total os coecientes de Fresnel apresentam uma fase diferente de zero.

Esta fase difere para cada estado de polarização podendo haver uma mudança

na polarização da onda reetida. Ilustramos o deslocamento GH e explicamos

em quais condições ocorre o deslocamento lateral, angular e quando ocorre a

composição entre os dois deslocamentos. Descrevemos o tratamento feito por

Artmann, que explica os resultados experimentais de Goos e Hänchen para o

caso de reexão interna total. Em seguida descrevemos o modelo usado em

nossos resultados experimentais, no qual é considerada a contribuição de cada

interface do prisma, como também a sua geometria. A partir deste modelo

analisamos o comportamento do deslocamento GH um função do ângulo de

incidência relativa ao ângulo crítico e comparamos os resultados numéricos

referentes a posição do centroide e do máximo do feixe, como também compa-

ramos com a formula analítica de Artmann, mostrando que as duas abordagens

convergem ao mesmo resultado do modelo de Artmann. No entanto na região

em torno do ângulo crítico os resultados são distintos.

49

Capítulo 2

Deslocamento Goos-Hänchen

composto e a trajetória não-linear

do feixe reetido

Neste capítulo vamos apresentar o estudo do deslocamento Goos-Hänchen na

região em torno do ângulo crítico. Está região é pouco explorada devido a

necessidade de experimentos com alta resolução e apresenta fenômenos físi-

cos não observados experimentalmente na literatura de deslocamento de feixes

ópticos. Nossa contribuição foi investigar experimentalmente o deslocamento

Goos-Hänchen composto (CGH) de um feixe laser com distribuição gaussiano

no regime do visível e no infra vermelho próximo. Utilizando um novo método

de medida para deslocamento de feixes com base em analise de imagens, mos-

tramos que este método é de fácil uso e preciso. A partir dos nossos resultados

experimentais, conrmamos que nesta região a magnitude e o comportamento

do deslocamento CGH referente a posição do máximo e do centroide da in-

tensidade do feixe reetido são distintas, vericando que a magnitude do des-

locamento é inuenciada pelo comprimento de onda, pela cintura mínima do

feixe e a posição na qual é feita a medida em função do ângulo de incidência.

50

E por m, observamos experimentalmente pela primeira vez na literatura, a

trajetória não linear e oscilação não linear do máximo de intensidade do feixe

reetido para ângulos de incidência em torno do ângulo crítico.

2.1 Experimento

2.1.1 Montagem experimental

A gura 2.1(a) ilustra o arranjo experimental. Foi utilizado nesta etapa do

experimento dois lasers, um laser de diodo (843 nm) e outro He-Ne (633 nm),

que é acoplado a uma bra óptica, que tem duas funcionalidades. Fazer uma

limpeza espacial no perl transversal do feixe, produzindo um feixe Gaussiano

e manter a estabilidade espacial do feixe. O feixe que sai da bra óptica, passa

por um telescópio formado pelas lentes L1 (f1 = 20 cm) e L2. Enquanto o feixe

é focalizado pela lente L3 (f3 = 50 cm). Algumas lentes de comprimento focal

foram utilizadas em L2, de modo que tínhamos diferentes cinturas minímas w0

do feixe no plano focal da lente L3. Um prisma 45°- 90°- 45° NBK7 é inserido

na posição focal da lente L3, com índice de refração de n = 1,5150 para 633

nm e n = 1,5101 para 843 nm. As faces laterias do prisma são revestidas

por um lme anti-reetor, de modo a minimizar as múltiplas reexões inter-

nas, com exceção da face referente a hipotenusa do prisma, no qual ocorre o

efeito do deslocamento Goos-Hänchen. O prisma é montado em um estágio

de rotação de alta precisão, equipado com um micrometro e uma escala de

vernier com resolução de 5 arcmin. Sendo que a leitura do ângulo de incidên-

cia é com relação a primeira interface do prisma e que denotamos por θ ao

descrever o deslocamento GH de um feixe gaussiano na seção 1.4, enquanto

φ denotamos o ângulo de incidência na hipotenusa do prisma, no qual onde

ocorre o deslocamento GH. A relação entre eles para a geometria do prisma é,

θ = sin−1 [n sin (φ+ π/4)], com n o índice de refração no prisma. A polariza-

51

ção do feixe é denida por um polarizador P que tem um razão de extinção

de 100.000:1 e está montado em um estágio de rotação com resolução de 1°.

O feixe reetido na hipotenusa do prisma propaga uma curta distância é ob-

servado por uma câmera CCD (COHU 4812) sem uma lente de imageamento,

com 754 × 484 pixels, onde o tamanho de cada pixel corresponde à 11,5 µm.

Figura 2.1: Arranjo experimental: L1,2,3 são as lentes, P é o polarizador mon-tado em um estágio de rotação. O feixe reetido pelo prisma é monitorado poruma câmera CCD.

2.1.2 Procedimento experimental

Inicialmente selecionamos manualmente o ângulo de incidência do feixe, com

a leitura do vernier. Em seguida é selecionado a polarização do feixe com o

polarizador que está localizado antes do prisma, com a polarização linear s ou

p. Após vericar que a incidência do feixe reetido seja normal com a câmera,

é medida a posição do feixe.

A câmera monitora a posição do máximo e do centroide do perl espacial

da intensidade do feixe com um analisador em tempo real, utilizando um soft-

ware comercial (Spiricon LBA-PC). Este software determina a posição do feixe

com uma resolução de 0,01 µm. Através dele é possível medir a posição da in-

52

(a) (b)

Figura 2.2: Ilustração da seleção da região ROI (do inglês region of interest)utilizada no procedimento de medição do deslocamento CGH. Em (a) e (b)corresponde a imagem e a região de interesse (circulo vermelho tracejado)para a medição da posição do máximo de intensidade em (a) e do centroideem (b) do feixe reetido.

tensidade máxima do feixe, como também a posição do centroide do feixe com

uma ótima resolução. No entanto, não realizamos diretamente a medida do

pixel mais intenso, devido a incertezas na medição ocasionadas por arranhões

e partículas de poeira nos componentes ópticos. Este problema é contornado,

quando selecionamos uma pequena região (ROI do inglês region of interest)

centrada no máximo de intensidade do feixe e então é feita a medida da posi-

ção do centroide referente a uma pequena porção do feixe, como pode ser visto

na gura 2.2(a). Está pequena porção do ROI corresponde a um diâmetro

de 150,0 µm (menor valor permitido pelo software), enquanto para a medição

da posição do centroide do feixe é expandido o ROI de modo a englobar toda

porção do feixe, como é ilustrado na gura 2.2(b).

Como a câmera tem uma alta taxa de aquisição na posição do feixe, o que

medimos é referente a média da posição do feixe para 100 medidas. Em se-

guida é mudado a polarização do feixe incidente com o polarizador, e então

novamente é realizado a medida da posição média do feixe. Este procedimento

de medida é repetido 5 vezes para cada polarização, tal que calcula-se a média

53

destas posições e por m é realizado a diferença da posição média para as duas

polarizações. Todo este processo de medida é realizado para cada ângulo de

incidência do feixe. As fontes de incerteza com maior contribuição no expe-

rimento são a resolução do suporte rotatório do polarizador e a estabilidade

espacial do feixe. A resolução da câmera também contribui na incerteza da

medida, dicultando o posicionamento do ROI. Por causa disso, para determi-

nar a localização do máximo de intensidade do feixe, foi necessário em alguns

casos centralizar o ROI em até seis pixels distintos da câmera e então calcular

a média dos locais para termos um resultado mais preciso. A incerteza padrão

combinada no deslocamento de CGH é tipicamente de 0,5 µm. Devido à pre-

cisão e à reprodutibilidade insucientes na medição do ângulo de incidência,

bem como à incerteza no índice de refração do prisma. A leitura do ângulo de

incidência teve que ser compensada por uma pequena quantidade (tipicamente,

≈ 0,05°) para que nossos dados tivessem um melhor concordância com a teoria.

Descobrimos que os elementos ópticos do experimento introduzem aberrações

no perl espacial do feixe, distorcendo a distribuição gaussiana para distâncias

maiores que o comprimento de rayleigh. Para minimizar os efeitos das aber-

rações e, mais apropriadamente, comparar o experimento com a teoria, que

pressupõe um feixe gaussiano unidimensional perfeito, foi modicado em algu-

mas ocasiões o ROI de circular para retangular. O ROI retangular tinha uma

dimensão denida para o menor tamanho permitido pelo software, enquanto a

outra dimensão se estendia por todo o feixe. Embora no experimento o perl

espacial do feixe seja limpo pela bra monomodo, as lentes na conguração

introduzem aberrações no feixe. As aberrações do feixe tornam-se cada vez

mais pronunciadas à medida que o feixe se propaga para longe do prisma. A

gura 2.3 mostra o perl do feixe medido a três distâncias do prisma. As ima-

gens foram adquiridas na condição de reexão interna total, então a reexão

no prisma não deve distorcer o feixe. A 10 cm, o feixe é muito redondo. Po-

54

demos quase encaixar um ajuste gaussiano perfeito no perl de intensidade do

feixe. A 25 cm, o perl da linha ainda é muito gaussiano. A 40 cm, pequenas

distorções são claras, mas o feixe permanece quase gaussiano. A medição da

localização do pico de intensidade do feixe é insensível a essas distorções de

feixe, mas elas terão um efeito não desprezível na medição do centroide do

feixe. Selecionar uma região retangular de interesse ao avaliar a localização

do centroide do feixe minimiza as discrepâncias, mas elas não são totalmente

removidas. Uma vez que o deslocamento GH são tão pequenos, a menor distor-

Intens

idade

(unid.

arb.)

x (mm) x (mm) x (mm)

z = 25 cm

Figura 2.3: Imagens e linhas do perl de intensidade do feixe. (a) Imagens doperl de intensidade do feixe, com todas em mesma escala e em (b) correspondeao perl do feixe em 1 dimensão, sendo as linhas vermelhas o melhor ajusteda gaussiana aos dados.

ção no perl do feixe irá afetar em mudanças na medida do centroide, levando

a um desacordo entre o experimento e teoria, na forma de desajuste horizontal

(ângulo de incidência) e vertical (deslocamento GH) entre os dois. Para melhor

corresponder quantitativamente os dados à teoria, aplicamos um deslocamento

global de melhor ajuste aos dados ao longo dos eixos vertical e horizontal. A

55

cada distância do prisma, o deslocamento dos dados na direção vertical precisa

ser reavaliado para levar em conta as diferentes distorções de feixe ao longo da

propagação.

Outro procedimento necessário para que pudéssemos mapear as oscilações no

deslocamento GH, foi a calibração da leitura do ângulo do estagio de rotação

na câmera e então relacionar a distância percorrida do feixe com a diferença

angular do estagio de rotação. Inicialmente selecionamos dois ângulos distintos

e conhecidos e medimos a posição do centroide do feixe a partir da câmera.

Como os dois ângulos são muito próximos, a relação entre a diferença angular é

linear com a diferença entre a posição do centroide medido na câmera para uma

distância xa. Feita esta calibração conseguimos medir ângulos intermediários

os quais não consegueriamos se a leitura do ângulo fosse realizada diretamente

no vernier. A gura 2.4 mostra os resultados experimentais antes 2.4(a) e de-

,,,,

, , , ,

Des

loca

men

to C

GH (μm)

θ θc (graus)

Figura 2.4: Comparação dos resultados experimentais. Em (a) correspondea medida experimental sem usar a câmera CCD como leitura do ângulo deincidência e em (b) usando a CCD como leitura do ângulo de incidência. Ascurvas continuas e tracejadas corresponde a solução numérica para posição domáximo e do centroide do feixe, respectivamente. Os círculos e triângulos cor-responde ao resultado experimental do deslocamento CGH referente a posiçãodo máximo e do centroide do feixe, respectivamente.

56

pois 2.4(b) de ter realizado a calibração do ângulo de incidência com a câmera

CCD. Mostrando que esse procedimento é mais ecaz ao realizar as medidas

na região que apresenta as oscilações, uma vez que estão região é muito menor

que a própria leitura do vernier do estagio de rotação.

2.2 Resultados e Discussões

Nesta seção apresentaremos e discutiremos os resultados experimentais obti-

dos. Nossas medidas são referentes ao deslocamento CGH relativo, ou seja, a

diferença da magnitude do deslocamento entre a polarização p e polarização s.

2.2.1 Deslocamento Goos-Hänchen composto

A gura 2.5 mostra o deslocamento CGH como função do ângulo de incidência

θ relativo a θc, onde as curvas pretas continuas e curvas pretas tracejadas cor-

respondem à solução numérica referente a posição do máximo e do centroide

do feixe reetido, respectivamente. Os círculos vermelhos e triângulos azuis

correspondem ao resultado experimental do deslocamento CGH referente a

posição do máximo e do centroide do feixe, respectivamente. Para estes resul-

tados foi utilizado o laser de diodo com comprimento de onda 843 nm e o raio

mínimo do feixe de 131 µm, no qual a região crítica corresponde ao intervalo

de −0,12° à 0,12°. A gura 2.5(a) apresenta o deslocamento CGH exatamente

na interface da hipotenusa do prisma, enquanto na gura 2.5(b) corresponde a

uma distância de 11 cm entre a hipotenusa e a câmera CCD. Devido a limita-

ções em nosso arranjo experimental, esta é a menor distância para realizar as

medidas do deslocamento CGH. Em ambos resultados, observa-se que, abaixo

de θc, tanto o deslocamento CGH para o máximo e o centroide da intensidade

do feixe reetido, diminuem lentamente com o decréscimo de θ, e convergem

para o mesmo valor do deslocamento CGH. Já acima de θc as duas curvas

convergem para o mesmo valor quando θ se aproxima da região de Artmann.

57Des

loca

men

to C

GH (μm)

θ-θc (graus), , , ,

, , , ,

, , , ,

Figura 2.5: Deslocamento CGH em função do ângulo de incidência θ relativoa θc, onde (a) z = 0, (b) z = 11 cm e (c) z = 25 cm. Sendo θ o ângulode incidência na face frontal do prisma. As curvas continuas e tracejadascorrespondem a solução numérica para posição do máximo e do centroide dofeixe, respectivamente. Os círculos vermelhos e triângulos azuis corresponde aoresultado experimental do deslocamento CGH referente à posição do máximoe do centroide do feixe, respectivamente.

Em torno de θc as duas curvas diferem qualitativamente, sendo que o desloca-

mento referente ao centroide da intensidade do feixe se comporta de maneira

monotônica, e o deslocamento refente ao máximo de intensidade do feixe exibe

uma pequena oscilação. Aqui o raio da cintura do feixe tem 419 µm, de modo

que o ROI preencheu 18% do feixe ao realizar a medida do deslocamento CGH

referente ao máximo de intensidade do feixe. Vale mencionar que em torno da

oscilação, o intervalo entre os dados experimentais referente ao deslocamento

58

CGH do máximo de intensidade do feixe (círculos vermelhos) é menor que a

resolução do estágio de rotação utilizado para denir o ângulo de incidência

do feixe.

A medida que o plano de observação se afasta da interface de reexão, a

diferença entre o deslocamento CGH referente ao máximo e ao centroide da

intensidade do feixe tornam-se mais evidente. Na gura 2.5(c) é ilustrado essa

diferença com z = 25 cm, onde o raio da cintura do feixe é 529 µm e o ROI

preenche cerca de 15% do feixe. De forma geral, os resultados da gura 2.5

apresentam uma excelente concordância entre a previsão numérica e os dados

experimentais, tanto para o deslocamento CGH referente ao máximo e o cen-

troide da intensidade do feixe. A previsão numérica referente ao máximo de

intensidade do feixe prevê um efeito de oscilação no deslocamento CGH, que

não são observadas no caso do centroide. Essas oscilações resultam de uma

interferência entre os componentes real e complexo da distribuição espectral

angular do feixe, que é modulada pelos coecientes de Fresnel complexos acima

de θc.

A mudança do sinal do deslocamento CGH signica que o máximo de inten-

sidade do feixe parece ter passado de um lado do caminho óptico geométrico

(deslocamento positivo) para o outro lado (deslocamento negativo) à medida

que o feixe se propagou de z = 11 cm para z = 25 cm. Nossos resultados

mostram que a propagação do feixe desempenha um papel na física do desvio

de CGH além da dependência linear axial esperada fora da região crítica [66].

Na gura 2.6 analisamos a dependência do deslocamento CGH no compri-

mento de onda e o raio da cintura do feixe, exclusivamente para a posição

do máximo de intensidade do feixe. Neste resultado, mudamos o laser para

um He-Ne, no qual foi necessário modicar as lentes L1 e L2 para ter o raio

59

mínimo da cintura w0 = 126 µm para λ = 633 nm o mais próximo possível

do raio mínimo do laser de doido (λ = 843 nm). Para esta analise, foi con-

siderado uma distância xa de 25 cm do prisma. O deslocamento CGH na

gura 2.6(a), apresenta o mesmo comportamento qualitativo com relação ao

resultado da gura 2.5(c) para λ = 843 µm. Quantitativamente, a amplitude

de oscilação acima de θc é reduzida, e há uma excelente concordância entre

teoria e experimento, no qual mostra-se que a amplitude de oscilação depende

do comprimento de onda do laser. Em seguida foi modicado a lente L2 onde

foi produzido feixes com w0 = 169 µm (gura 2.6(b)) e w0 = 243 µm (gura

2.6(c)). Com z = 25 cm, o ROI preencheu cerca 19-25% do feixe.

Des

loca

men

to C

GH (μm)

θ θc (graus), , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

Figura 2.6: Deslocamento CGH em função do ângulo de incidência θ relativaa θc, para (a) w0 = 126 µm, (b) w0 = 169 µm e (c) w0 = 243 µm; com z = 25cm e λ = 633 nm. Sendo θ é o ângulo de incidência na face frontal do prisma.A curva sólida corresponde a predição numérica e os círculos vermelhos são osdados experimentais.

60

É observado que a amplitude de oscilação também apresenta forte dependên-

cia com o raio mínimo do feixe. Para w0 = 169 µm, a oscilação é fortemente

reduzida com relação ao observado na gura 2.6(a), já em w0 = 243 µm as

oscilações quase desaparecem. Essa dependência ocorre porque os feixes mais

estreitos têm distribuições angulares mais amplas nas componentes da onda

plana e, consequentemente, são mais sensíveis à assimetria introduzida pelos

coecientes de reexão de Fresnel.

Em outras palavras, a medida que o raio mínimo do feixe aumenta, menor é a

região crítica, onde vai de 0,12° para w0 = 126 µm a 0,06° para w0 = 243 µm.

Portanto, para um tamanho grande do raio do feixe, a transição do desloca-

mento lateral para o angular ocorrerá sobre uma extensão angular estreita e

as oscilações não se desenvolverão.

2.2.2 Trajetória linear e não linear do feixe reetido

Em seguida, estudamos o efeito do deslocamento GH como função da propa-

gação do feixe para o centroide (gura 2.7(a)) e o máximo (gura 2.7(b)) da

intensidade do feixe reetido, com alguns ângulos de incidência xos. Nestes

resultados utilizamos o laser de diodo com λ = 843 nm e w0 = 131 µm, em que

exploramos cinco diferentes ângulos de incidência, mostrando uma excelente

concordância com a previsão teórica. As curvas referem-se as previsões numé-

ricas e os símbolos aos resultados experimentais com φ− φc igual a: (i) 0,36°,

(ii) 0,07°, (iii) 0,03°, (iv) 0,00° e (v) −0,20°. Em (i) toda a distribuição do feixe

é totalmente reetida, enquanto em (v) toda a distribuição do feixe é parcial-

mente reetida, tal que, o deslocamento GH referente ao centroide e máximo

de intensidade do feixe convergem para os mesmos valores. O destaque mostra

a previsão teórica do deslocamento GH para a polarização s e p ao longo da

propagação com φ − φc = 0,07°, perceba que o deslocamento para cada pola-

61

rização também é negativo, evidenciando a existência deste efeito, em vez de

ser ocasionado pela diferença entre a magnitude do deslocamento para cada

polarização. Os resultados referente à (i) nas guras 2.7(a) e 2.7(b) corres-

Des

loca

men

to C

GH (μm)

Des

loca

men

to C

GH (μm)

z (cm)

Figura 2.7: Deslocamento GH em função da propagação do feixe. Em (a)corresponde ao deslocamento GH referente ao centroide e em (b) ao máximode intensidade do feixe. As curvas refere-se as previsões numéricas e os sím-bolos os resultados experimentais com φ− φc igual a: (i) 0,36°, (ii) 0,07°, (iii)0,03°, (iv) 0,00° e (v) −0,20°. Com φ o ângulo de incidência na hipotenusa doprisma (interface de reexão vidro-ar). Sendo que em (i) toda a distribuiçãodo feixe é totalmente reetido, enquanto em (v) toda a distribuição do feixe éparcialmente reetido. O destaque mostra a previsão teórica do deslocamentoGH para a polarização s e p ao longo da propagação com φ− φc = 0,07°.

pondem a região de Artmann. Nesta região o deslocamento GH não depende

da propagação do feixe reetido, como já é conhecido na literatura. Como

62

também já é bem explorado, que o deslocamento GH referente ao centroide do

feixe reetido em torno do ângulo crítico apresenta um comportamento linear,

mostrando que os nossos resultados experimentais estão de acordo com o que

já é conhecido pela literatura. Na gura 2.7(b), observamos diferentes traje-

tórias para o máximo de intensidade do feixe que apresentam comportamento

distinto ao longo da propagação. O resultado de (ii) o ângulo de incidência esta

próximo da fronteira do ângulo crítico, no qual a parte complexa do espectro

do feixe domina a parte real, e uma clara trajetória oscilatória do máximo de

intensidade do feixe é observada. Conforme o ângulo de incidência se move em

direção ao ângulo crítico a trajetória muda para quase convexa (iii), até uma

distância de 45 cm. Está é a maior distância possível em nosso experimento,

devido a falta de espaço na mesa óptica.

Com os resultados aqui descritos, nota-se que existem dois requisitos prin-

cipais para observar a trajetória oscilatória. O primeiro é um feixe de pequeno

diâmetro, pois nesta situação, o mesmo terá um amplo espectro angular e en-

tão será mais perceptível à dependência angular dos coecientes de reexão de

Fresnel. O segundo requisito é a incidência quase crítica, ou seja, que esteja

dentro de uma faixa muito estreita de ângulos de incidência logo acima do

ângulo crítico.

2.3 Considerações nais

Em conclusão, demonstramos uma nova técnica de análise de imagens para

medir o deslocamento CGH de um feixe óptico. Mostramos que o método

de avaliação do deslocamento CGH na região crítica leva a mudanças distin-

tas. O deslocamento do feixe avaliado com base no deslocamento referente a

localização do máximo da intensidade mostra um comportamento mais rico

do que aquele baseado no deslocamento da localização do centroide. Oscila-

63

ções do deslocamento do CGH em função do ângulo de incidência, previsto

teoricamente em [52], foram observados experimentalmente por nós pela pri-

meira vez na literatura. Vericamos que estas oscilações são inuenciadas pelo

comprimento de onda, tamanho do raio do feixe e propagação do mesmo. Ob-

servamos experimentalmente trajetórias não lineares, inclusive oscilações não

lineares referente a posição do máximo da intensidade do feixe reetido. Tais

observações foram realizadas no espaço livre, destacando que estas trajetórias

não sofrem nenhuma inuencia de qualquer tipo de gradiente no índice ou

heterogeneidade do meio. Resultam apenas da delicada interferência entre as

componentes real e complexa do espectro angular do feixe ao feixe ser reetido

na interface dielétrico-ar.

64

Capítulo 3

Deslocamento Goos-Hänchen em

meios opticamente não lineares

Nesta seção descrevemos o modelo do deslocamento GH de um feixe gaussiano

reetido em uma interface linear - não linear, onde é considerado um meio

não linear é do tipo Kerr negativo. Nosso estudo é centrado em observar

o deslocamento GH na interface, de modo que apenas o deslocamento GH

lateral é manifestado. Em seguida descrevemos os resultados numéricos do

comportamento dos coecientes de Fresnel no regime linear e não linear, como

identicamos um novo regime de transição de reexão parcial para reexão

total. E por m, discutimos o resultado do deslocamento GH não linear e

analisamos seu comportamento em função do ângulo de incidência, potência

do feixe e o raio mínimo do feixe.

3.1 Introdução

Recentemente surgiu muitos trabalhos referente ao deslocamento da luz com

relação a descrição da óptica geométrica ao ser reetida ou transmitida em

uma interface plana. Nestes trabalhos o deslocamento GH já foi estudado em

algumas variações de meios, tais como, dielétrico/ar [56], ar/dielétrico [68],

65

ar/metal [34], dielétrico/metal [57], dielétrico/grafeno [69], onde aplicações do

deslocamento da luz são encontradas em guias de onda óptico [35], microscopia

óptica [36], sensor de temperatura com alta sensibilidade [37].

Muitas aplicações com grandes potenciais utilizando o deslocamento GH em

meios ópticos lineares já foi descrita, como também em meios ópticos não li-

neares. Em meios ópticos não lineares foi observado deslocamentos gigantes

no regime de reexão total entre interfaces lineares - não linear, como também

em não linear - não linear, particularmente em meios não lineares do tipo Kerr

positivo [7072]. Estes deslocamento gigante, ocorre quando o meio não linear

do tipo Kerr é positivo, devido ao fato que a distribuição espacial do feixe é de-

formado, contribuindo portanto na magnitude do deslocamento GH não linear.

Nosso trabalho tem como inspiração a referência [73], os autores observaram

experimentalmente o deslocamento GH entre meios linear - não linear com o

meio não linear do tipo Kerr negativo. Eles mostraram que o deslocamento

gigante GH no regime de reexão total não ocorre nesta conguração, como

também a magnitude do deslocamento diminuí com o aumento da potência do

feixe.

Nossa contribuição foi investigar numericamente o deslocamento GH usando

a conguração da referência [73] na região em torno do ângulo crítico, onde

mostramos modicações signicativas do deslocamento GH nesta região.

3.2 Modelo

A gura 3.1 ilustra o esquema do deslocamento GH em torno do ângulo crítico,

com φ sendo o ângulo de incidência, n0 o índice de refração do meio linear e

n1 o índice de refração do meio não linear, com o meio linear opticamente

mais denso que o meio não linear (n0 > n1). Nesta região de incidência ocorre

66

uma mistura entre o deslocamento angular e espacial, devido a uma parcela

da distribuição do feixe sofrer reexão parcial, enquanto a outra parcela sofre

reexão total. Consequentemente o feixe reetido representando pela seta

preta continua apresentará um deslocamento GH lateral (∆) que não depende

da propagação do feixe reetido e surge quando a distribuição do feixe ou parte

da mesma sofre reexão total, como também um deslocamento GH angular (Θ)

que depende da propagação do feixe reetido e surge quando a distribuição

do feixe ou parte da mesma sofre reexão parcial. Este deslocamento é com

relação a previsão da óptica geométrica, representado pela seta preta tracejada.

O plano y - z representa o plano de incidência, onde o eixo z corresponde a

direção de propagação do feixe. Restringimos nossa analise do deslocamento

Figura 3.1: Esquema do deslocamento GH em torno do ângulo crítico, comφ sendo o ângulo de incidência. O feixe é reetido entre o meio linear (n0)e o não linear (n1), enquanto ∆ e Θ representa o deslocamento GH lateral eangular, respectivamente.

GH observado na interface, localizado em z = z = 0, onde o deslocamento

GH é puramente lateral. Seja um feixe laser focalizado por uma lente com

distância focal f , sendo que o plano focal localiza-se na fronteira entre o meio

linear com o meio não linear. Devido ao deslocamento GH ocorrer apenas no

plano de incidência, reduziremos nossa descrição a um feixe unidimensional.

67

A transformada de Fourier espacial realizada pela lente de focalização dá um

espectro de Fourier no plano focal, com cada componente de onda plana do

feixe tendo uma amplitude proporcional à transformada de Fourier do campo

incidente na lente. No referencial do feixe, escrevemos a amplitude espectral

do feixe na interface como:

A(ν) ∝ exp[−π2ν2w2

0

], (3.1)

onde ν é a frequência de Fourier, em que cada onda plana tem um vetor de

onda que está associado com a frequência de Fourier ν. Esta relação entre o

vetor de onda e a frequência de Fourier é dado por:

k = [ky, kz] = 2π

[ν,

√λ−2

0 − ν2

]. (3.2)

Por conveniência é denido um novo sistema de coordenadas y - z que corres-

ponde a uma rotação φ com relação ao sistema de coordenadas y - z. Neste

novo sistema de coordenadas, o eixo z é perpendicular a interface, tal que no

sistema rotacionado o vetores de onda tornam-se:

k =[ky, kz

]= 2π

[ν,

√λ−2

0 − ν2

], (3.3)

onde ν é a frequência de Fourier no sistema rotacionado. A partir desta ro-

tação, podemos escrever as componentes de vetor de onda neste novo sistema

de coordenadas com relação as componentes de vetor de onda no sistema de

coordenada do feixe incidente, ky

kz

=

cos(φ) sin(φ)

− sin(φ) cos(φ)

ky

kz

. (3.4)

68

Considerando que o feixe focalizado seja da ordem 2πw0/λ ≈ 1500, o mesmo

obedece a aproximação paraxial, o que nos permite escrever a distribuição

espectral no domínio espacial de frequência rotacionado como [74]:

A(ν) ∝ exp[−π2ν2w2

0

](3.5)

Então a distribuição de intensidade do feixe na interface é dado por:

I(ν) =2Pw2

0

λ20f

2exp

[−2π2ν2w2

0

], (3.6)

onde P é a potência do feixe e f é a distância focal da lente. Da condição de

continuidade do campo entre os meios linear e não linear, o vetor de onda no

meio não linear é dado por:

q = [qy, qz] = 2π

[ν,

√λ−2

1 − ν2

], (3.7)

onde λ1 = λ/n1. Conhecendo os vetores de onda k e q, podemos então utilizar

os coecientes de Fresnell descritos pelas equações 1.18 em nosso modelo,

r(s,p) =kz − n2qz

kz + n2qz, (3.8)

t(s,p) =2kz

kz + n2qz, (3.9)

no qual n = 1 corresponde a polarização s e n = n0/n1 a polarização p. A

intensidade do feixe transmitido no meio não linear é obtido por,

It(ν) = I(ν)× |t(s,p)|2. (3.10)

A intensidade do feixe transmitido (It(νin)) introduz uma variação no índice

de refração do meio não linear no domínio de frequência espacial, devido ao

69

efeito Kerr óptico auto-induzido, onde sua relação é dado por:

n1(ν) = n10 + nNLIt(ν) (3.11)

com n10 e nNL representando o termo linear e não linear do o índice de re-

fração, respectivamente. Descrever o índice de refração desta forma é mais

condizente com o experimento, no entanto a referência [73], assumiu-se que a

modicação do índice de refração não linear é homogênea em todo o espectro

de frequência espacial, o que apenas é valido ao descrever o feixe por uma onda

plana. Em nosso modelo, aproximamos a modicação do índice de refração

do meio não-linear tal que seja igual ao da interface, ignorando assim os efei-

tos de propagação do feixe transmitido dentro do meio não-linear. A partir

desta modelagem, o espectro de intensidade Gaussiano do feixe irá introdu-

zir uma dependência do índice de refração com a frequência espacial e por

consequência, estas frequências νin que engloba o espectro do feixe incidente

experimentarão diferentes coecientes de reexão e transmissão de Fresnel.

3.3 Resultados e Discussões

Em nossa analise numérica consideramos a interface dos meios entre sílica fun-

dida (n0 = 1,47 com λ = 488 nm) e uma solução de Disperse Red 2 (n10 = 1,37

e nNL = −2,1× 10−6 cm2/W) [73], restringindo ao caso em que a mudança do

índice de refração do meio não linear é pequena em relação ao seu valor linear

(n10 − n1 n10) e também seja pequena em comparação à diferença entre os

índices de refração linear dos dois meios (n10− n1 n0− n10). Consideramos

que o feixe incidente é focalizado por uma lente com distância focal f = 5

cm, onde o raio mínimo da distribuição gaussiana do feixe é de w0 = 150 µm.

Para determinar o índice de refração n1 do meio não linear, fazemos o uso das

equações 3.11 e 3.10 e a resolvemos numericamente obtendo sua relação em

70

termos da potência do feixe P e da frequência espacial.

O comportamento qualitativo da reexão do feixe na interface não linear pode

ser entendido na gura 3.2, que mostra o comportamento da amplitude e da

fase (normalizada por π) dos coecientes de Fresnel na representação de vetor

de onda, com as curvas continuas referindo-se a polarização p e as tracejadas

a polarização s. Enquanto o espectro do feixe incidente é representado pela

curva preta tracejada. As guras 3.2(a), 3.2(b) e 3.2(c) corresponde ao caso

em que o regime é linear, ou seja, P ≈ 0 e n1 ≈ n01. Faremos o uso da denição

do ângulo crítico φc = arcsin(n0/n01) do regime linear e usaremos como forma

de referência para identicarmos qual a região o feixe incidente está localizado.

Na gura 3.2(a) o ângulo de incidência está acima do ângulo crítico, de modo

que toda distribuição do espectro do feixe incidente sofre reexão total (região

de Artmann), como está ilustrado com o preenchimento em azul. Já em 3.2(b)

o ângulo de incidência está abaixo do ângulo crítico, tal que todo o espectro do

feixe incidente sofre reexão parcial e está ilustrado com o preenchimento com

a cor laranja. Tanto na gura 3.2(a) e 3.2(b) toda a distribuição do feixe sofre

reexão total e reexão parcial, respectivamente. Isso corresponde então que

o feixe reetido apenas sofrerá um único tipo de deslocamento, onde em 3.2(a)

será deslocamento GH lateral e 3.2(b) deslocamento GH angular. No entanto

a gura 3.2(c) corresponde a incidência crítica (φ = φc). Observe que nesta

situação a transição entre a reexão parcial para reexão total ocorre no má-

ximo da distribuição espectral do feixe, de modo que a metade da distribuição

sofre reexão parcial, enquanto a outra metade sofre reexão total. Note que

no regime linear a transição entre reexão parcial e total depende do ângulo

de incidência, entretanto ao considerar o regime não linear com P = 50 mW

na incidência crítica, ocorre uma modicação referente a transição de reexão

parcial para total como pode ser visto na gura 3.2(d). Isso é devido a não

linearidade do meio, reduzindo o valor do índice de refração resultando em um

71

menor ângulo crítico efetivo e então maior parte da distribuição espectral do

feixe incidente sofre reexão total. Além disso, observa-se uma mudança no

comportamento da fase dos coecientes de Fresnell no regime não linear, devido

ao índice de refração do meio não linear depender da distribuição espectral do

feixe transmitido. Portanto, a combinação destes dois efeitos observados no

regime não linear contribui com a magnitude do deslocamento GH.

Figura 3.2: Amplitude e fase (normalizada por π) do coeciente de reexãor(s,p) na representação de numero de onda ky com o ângulo de incidência φ−φcigual a (a) +0,2°, (b) −0,2°, e (c) 0,0°, todos no regime linear. Em (d), φ−φc =0°, e a potência do feixe é P = 50 mW. As linhas laranja e azul correspondem aamplitude e fase, respectivamente; linha sólida (tracejada) é para polarizaçãop (s).

Como foi observado na gura 3.2, no regime não linear ocorre uma mudança na

transição entre reexão parcial e total, devido ao termo não linear do índice

de refração ser negativo no qual produz uma redução no índice de refração

no meio não linear. A partir desta observação, investigamos então o compor-

tamento da amplitude e fase do coeciente de reexão para a polarização p

(comportamento análogo ocorre para a polarização s) para o caso em que toda

72

a distribuição espectral do feixe incidente sofre reexão parcial (φ−φc = −0,2°)

para alguns valores da potência do feixe incidente. A gura 3.3 apresenta o

Figura 3.3: (a) Amplitude e (b) fase (normalizado por π) do coeciente dereexão para a polarização p na representação de numero de onda ky para umaincidência angular φ−φc = −0,2° mostrada para várias potências de feixes. Acurva preta tracejada representa a amplitude espectral do feixe incidente

comportamento da amplitude 3.3(a) e fase 3.3(b) do coeciente de reexão

para a polarização p na representação de vetor de onda ky para alguns valores

da potência de feixe incidente, enquanto a curva preta tracejada representa

a amplitude espectral do feixe incidente. A partir das equações 3.11 e 3.10

nota-se que quanto maior for o valor da potência do feixe, menor será o ín-

dice de refração do meio não linear, entretanto o mesmo não é homogêneo

em termos de ky. Por causa desta não homogeneidade no índice de refração,

73

observa-se uma modicação no coeciente de reexão em torno da distribuição

espectral do feixe incidente. Sendo que existe um valor crítico na potência do

feixe incidente no qual esta modicação é grande o suciente para produzir

uma transição entre reexão parcial e total. Na situação ilustrada na gura

3.3, a potência crítica corresponde à P ≈ 24,0 mW. A partir desta potência

crítica, observa-se uma segunda região de transição de reexão parcial para to-

tal, onde quanto maior for a potência do feixe com relação a potência crítica,

maior será a janela desta transição, chegando ao limite corresponde a largura

da distribuição espectral do feixe incidente. Mudança entre reexão total para

reexão parcial já foi observada em uma interface não linear [72, 75, 76], no

entanto estamos descrevendo um novo efeito que é justamente o contrário,

onde observamos uma mudança de reexão parcial para reexão total. Sua

origem é devido a não homogeneidade do índice de refração do meio não li-

near no espaço ky, efeito este que não seria observado caso assumíssemos uma

dependência homogênea no índice de refração do meio não linear. O compor-

tamento da fase nesta região de incidência deveria ser nulo. No entanto, para

potências maior ou igual a potência crítica, surge uma fase diferente de zero

como podemos ver na gura 3.3(b). Devido a esta fase, o feixe reetido sofrerá

um deslocamento GH lateral em uma região que apenas o deslocamento GH

angular é manifestado no regime linear.

Como foi mencionado na seção 1.4.4, o deslocamento GH é obtido a partir

da intensidade do feixe reetido no qual obtêm da equação 1.58. Em nosso

modelo, apenas estamos considerando uma única interface, mudando então

apenas a representação do coeciente de transmissão total, que corresponde

apenas o coeciente de reexão de Fresnel. Do mesmo modo que nos resulta-

dos apresentados na seção 1.4.4, iremos analisar o deslocamento GH a partir

da diferença do máximo de intensidade do feixe reetido entre a polarização p

com a polarização s.

74

A gura 3.4 mostra o comportamento do deslocamento GH em função do ân-

gulo de incidência relativo ao ângulo crítico para alguns valores da potência do

feixe em incidente. O intervalo do ângulo de incidência φ−φc = [−0,04°, 0,04°]

refere-se a região crítica e como podemos vericar na gura 3.4(a) que ao consi-

derar o meio no regime linear, o deslocamento GH para ângulos φ−φc < −0,04°

é igual a zero, pois nesta região toda a distribuição espectral do feixe incidente

sofre reexão parcial, ou seja, o deslocamento GH é puramente angular. Como

estamos analisando o deslocamento GH na interface, então o deslocamento GH

angular não se manifesta. Já nas demais curvas da gura 3.4(a), é analisado o

regime não linear, no qual há uma diminuição na magnitude do deslocamento

GH no regime não linear com relação ao regime linear na região de reexão

total, estando de acordo com o observado por [73]. Na região crítica, nota-se

uma mudança signicativa no comportamento do deslocamento GH, enquanto

na região de reexão parcial é observado que o deslocamento GH é diferente

de zero, pois a potência do feixe incidente é grande o suciente para introduzir

uma segunda região de reexão total, como foi mostrado e discutido na gura

3.3. Neste caso, observa-se um deslocamento GH lateral em uma região onde

apenas se manifestaria deslocamento GH angular. Na gura 3.4(b) analisa-

mos o comportamento do deslocamento GH relativo ao deslocamento GH no

regime linear com os mesmo valores da potência do feixe incidente ilustrados

na gura 3.4(a). Nota-se que o deslocamento GH relativo é negativo para

ângulos de incidência acima do ângulo crítico, onde a magnitude do desloca-

mento é signicativo próximo de φc e tem forte dependência com a potência

do feixe incidente, enquanto na região de reexão total, não há uma forte de-

pendência, ou seja, a inuência do meio não linear é pouco signicativa no

deslocamento GH relativo. Já para ângulos de incidência abaixo do ângulo do

crítico o deslocamento GH relativo é positivo, devido ao surgimento de uma

segunda transição de reexão parcial para total. Nesta região observa-se que

75

Figura 3.4: Em (a) deslocamento GH e em (b) deslocamento GH relativo aodeslocamento GH no regime linear em função do ângulo de incidência relativoao ângulo crítico, para alguns valores da potência do feixe incidente.

a magnitude do deslocamento é grande o suciente, chegando a ser da ordem

do comprimento de onda.

Em seguida analisamos o comportamento do deslocamento GH relativo em

função da potência do feixe incidente, para alguns ângulos de incidência, ver

gura 3.5, onde os resultados mostram uma forte dependência com o ângulo

de incidência. Para φ − φc < 0 observamos que a magnitude do desloca-

mento é positivo dentro do intervalo analisado da potência do feixe incidente,

como também apresenta um comportamento não linear na magnitude do des-

locamento em função da potência. Em destaque aos ângulos de incidência

φ− φc = −0,10° e φ− φc = −0,20° observa-se uma transição nítida no deslo-

76

Figura 3.5: Deslocamento GH relativo em função da potência do feixe inci-dente.

camento GH relativo nulo para um deslocamento diferente de zero, para valores

distintos da potência do feixe incidente. O que conrma para ângulos de inci-

dência que está dentro da região de reexão parcial, teremos então um valor

de potência crítica que corresponde a uma segunda transição entre a reexão

parcial para reexão total. No entanto, está potência crítica não é observado

para φ − φc = −0,05°, pois este ângulo de incidência se encontra dentro da

região crítica, de modo que uma pequena parcela da distribuição espectral do

feixe sofre reexão total contribuindo então no deslocamento GH não linear.

Neste ângulo de incidência, observamos a maior variação positiva do desloca-

mento GH com a potência do feixe incidente, atingindo uma diferença relativa

≈ 1,3λ com P ≈ 8 mW. Em φ − φc = 0,00° , há um pequeno pico na curva

em potências baixas, mas a maior parte da curva mostra uma diminuição na

magnitude à medida que a potência aumenta. Já acima de φc, o deslocamento

77

GH relativo apresenta uma diminuição monotônica simples na magnitude com

o aumento da potência quanto maior for φ com relação a φc, de modo que

dentro da região de Artmann, o deslocamento GH relativo se torna menos sen-

sível à potência do feixe. Este comportamento na região de Artmann está em

concordância qualitativa com os resultados experimentais relatados em [73].

3.4 Considerações nais

Estudamos numericamente o deslocamento GH de um feixe gaussiano reetido

em uma interface linear - não linear, onde é considerado o meio não linear

do tipo Kerr negativo, restringindo ao caso em que a mudança do índice de

refração do meio não linear é pequena em relação ao seu valor linear (n10 −n1 n10) e também seja pequena em comparação à diferença entre os índices

de refração linear dos dois meios (n10 − n1 n0 − n10). Identicamos um

novo regime de transição, onde o feixe incidente passa da condição de reexão

parcial para reexão total, quando a potência do feixe incidente esteja acima de

uma potência crítica. Nestas condições, observarmos deslocamento GH lateral

em uma região em que no regime linear não ocorreria, como também vimos

para ângulos de incidência abaixo do ângulo crítico, o deslocamento GH não

linear experimenta um aumento signicativo devido a transição de reexão

parcial para total com ordem de grandeza maior que o comprimento de onda.

Enquanto que na região de Artmann nosso resultado está em concordância

qualitativa com os resultados experimentais relatados em [73].

78

Capítulo 4

Medição Fraca do deslocamento

Goos-Hänchen com luz

parcialmente coerente

Neste capítulo apresentamos a extensão do procedimento de medição fraca

para feixes com grau de coerência espacial. A técnica de medição fraca surgiu

na mecânica quântica, e foi estendida para a óptica, na qual é utilizada para

amplicar efeitos que apresentam deslocamento, como é o caso do desloca-

mento Goos-Hänchen, por exemplo. Inicialmente faremos uma breve revisão

do precedimento de medição fraca do deslocamento Goos-Hänchen para feixe

totalmente coerente, em seguida estendemos para o caso de um feixe parcial-

mente coerente. Descreveremos a densidade espectral do campo parcialmente

coerente reetido sob a medição fraca, analisando o comportamento do fator

de amplicação com relação ao grau de coerência espacial e obtendo a for-

mula geral que descreve a relação entre o deslocamento GH com a medida

amplicada e por m uma simulação do experimento utilizando nosso modelo.

79

4.1 Introdução

O conceito de medida fraca surgiu na mecânica quântica e foi introduzido por

Aharonov, Albert e Vaidman [44], em seguida algumas correções desta técnica

foram feitas por Duck e seus colaboradores [77]. Duck e colaboradores também

propuseram um análogo óptico ao procedimento de medição fraca e pouco de-

pois foi realizado o primeiro experimento utilizando a técnica de medida fraca

na óptica [43]. No experimento foi utilizado uma placa de cristal de quartzo

birrefringente que separa espacialmente as duas polarizações da radiação laser

por uma distância que é muito menor que o raio do feixe, correspondendo as-

sim a uma medida fraca.

Merano e colaboradores foram os primeiros a realizar o experimento de me-

dida fraca no contexto do deslocamento Goos-Hänchen no regime de reexão

interna total [42]. Devido a magnitude do deslocamento GH ser da ordem do

comprimento de onda no meio, a utilização da técnica de medição fraca con-

tribui com a amplicação deste efeito reduzindo as incertezas na medição. A

partir deste trabalho, muitos outros experimentos [49, 50, 64, 68, 7880] foram

realizados utilizando o procedimento de medição fraca.

No entanto o modelo descrito no trabalho do Merano sobre a técnica de me-

dida fraca não funciona muito bem ao investigar o deslocamento GH na região

crítica. A partir de um trabalho teórico de Maia e colaboradores [81], no qual

o autores desenvolveram a correção da técnica considerando a dependência

axial do feixe, Santana e colaboradores [64] mostraram experimentalmente a

eciência desta correção, onde a amplicação da medida depende da cintura

do feixe no plano de observação.

80

4.2 Medição fraca com luz coerente

Nesta seção, vamos descrever o método de medição fraca para um feixe to-

talmente coerente, como é descrito [42, 64, 81]. A gura 4.1 ilustra o arranjo

experimental típico desta técnica. Um feixe de luz visível totalmente coerente

espacialmente é focalizado por uma lente L, sendo que a hipotenusa do prisma

é posicionada no plano focal da lente. A polarização do campo antes de ser

reetido pelo prisma é orientada por um ângulo α, tal que o campo elétrico é

dado por uma combinação linear das componentes de polarização de onda s e

p:

~Ei(x, z) ∝ cos(α) exp

[− x2

w2(z)

]p+ sin(α) exp

[− x2

w2(z)

]s, (4.1)

onde w(z) é o raio do feixe ao longo do eixo de propagação z, sendo que em

z = 0 localiza-se a hipotenusa do prisma, e corresponde o raio mínimo do feixe

de w0 = w(0). As componentes de polarização s e p do campo experimentam

Laser

L P1

Figura 4.1: Arranjo experimental típico para medição fraca do deslocamentoGH; com L lente, P1 e P2 polarizadores linear, λ/2 (λ/4) placa de meio (umquarto) de onda e a câmera CCD.

diferentes fases do coeciente de Fresnel, introduzindo uma diferença de fase

entre as componentes s e p do campo elétrico. As placas de um quarto de

81

onda (λ/4) e de meia onda (λ/2) são inseridas no experimento para remover

esta diferença de fase, tal que o campo elétrico transmitido é:

~Et(x, z) ∝ cos(α) exp

[−(x−Dp)

2

w2(z)

]p+ sin(α) exp

[−(x−Ds)

2

w2(z)

]s, (4.2)

ondeDs eDp correspondem ao deslocamento GH lateral do feixe ao ser reetido

na hipotenusa do prisma, para onda s e p, respectivamente. Vale mencionar

que consideramos na equação 4.2 que a reectividade é aproximadamente igual

a um, em ambas polarizações. O polarizador P2 irá pós-selecionar a polarização

do campo elétrico em um estado de polarização β = x cos(β) + y sin(β). Para

o caso em que α = π/4 e β = 3π/4 + ε, a intensidade do campo elétrico é

escrito como,

I(x, z) ∝∣∣∣∣∣(1 + ε) exp

[−(

(x− x−∆GH/2

w(z)

)2]

+

(1− ε) exp

[−(

(x− x+ ∆GH/2

w(z)

)2]∣∣∣∣∣

2

, (4.3)

onde x = (Dp + Ds)/2 e ∆GH = Dp −Ds. Considerando que o deslocamento

GH é muito menor que o raio do feixe (∆GH w(z)), a equação 4.3 simplica

para [81]:

I(x, z) ∝[

ε+∆GH

w2(z)x

]exp

[− x2

w2(z)

]2

. (4.4)

Quando os polarizadores P1 e P2 estão orientados de maneira que estejam

ortogonais, ou seja, quando ε = 0, a equação 4.4 é escrita na seguinte forma:

I(x, z) ∝ x2 exp [−2x2w2(z)] que consiste de uma distribuição de intensidade

simétrica com um mínimo em x = 0 e dois picos localizados em ±w(z)/√

2.

Porém o caso em que os polarizadores estão quase ortogonais (|ε| 1) e

∆GH/w(z) |ε| (válido em reexão interna total), a intensidade do campo é

82

aproximadamente,

I(x, z) ∝[1 +

2∆GH

εw2(z)x

]exp

[− 2x2

w2(z)

], (4.5)

correspondendo a uma distribuição quase gaussiana com o pico de intensidade

localizado em ∆GH/2ε. Em um experimento o perl de intensidade descrito

pela equação 4.3 é observado pela câmera CCD no plano de observação no

campo distante, longe da interface de reexão.

A gura 4.2 mostra o perl de intensidade obtido na equação 4.3, conside-

rando z = 10 cm, λ = 0,633 µm, w0 = 150 µm. A curva em preto continuo

−400 −200 0 200 400

x (µm)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Intensidad

eNormalizad

a

ǫ = 0

ǫ = -0.01 rad

ǫ = 0.01 rad

Figura 4.2: Intensidade normalizada da seção transversal do feixe para ∆GH =1 µm.

corresponde ao caso em que os polarizadores estão ortogonais (ε = 0), onde

o perl de intensidade corresponde a uma superposição de duas gaussianas

com os picos de intensidades separados por√

2w(z). Já as curvas em ver-

melho tracejado e azul pontilhado e tracejado corresponde à ε = −0,01 rad e

83

ε = 0,01 rad, respectivamente. Quando os polarizadores estão quase ortogo-

nais, ou seja, ε 6= 0, as duas gaussianas descritas na equação 4.3 interferem

destrutivamente, resultando em uma única gaussiana com o pico de intensi-

dade localizado em ∆X/2 = ∆GH/2ε [42]. Para determinar o deslocamento

GH é preciso encontrar a localização desse único pico gaussiano, no qual são

escolhidos dois valores de ε (ε = ± |ε|), dando dois picos de intensidade loca-

lizados em ±∆X/2. Experimentalmente é feito a medida da distância entre

estes dois picos de intensidade, correspondendo a medida amplicada (∆X).

O resultado do valor esperado do deslocamento GH é amplicado por um fa-

tor de 1/ε [42], sendo que este fator de amplicação é o mesmo para todos os

ângulos de incidência que estão dentro da região de Artmann.

Contudo, na região crítica temos que ∆X ∝√λw(z) λ e então a con-

dição ∆GH/w(z) |ε| não é mais válida. Neste caso, a partir da equação 4.3,

determinamos a posição do pico de intensidade, quando os polarizadores estão

quase ortogonais. Então, o pico de intensidade é escrito como,

x±pico =

− |ε| ±√ε2 + 2 [∆GH/w(z)]2

2∆GH

w(z)2, (4.6)

onde o ± refere-se ao sinal de ε. A partir da equação 4.6 é calculada a distância

entre os picos de intensidade (∆X = x+pico − x−pico):

∆X =

− |ε|+√ε2 + 2 [∆GH/w(z)]2

∆GH

w(z)2. (4.7)

A equação 4.7 é a relação mais geral entre a medida amplicada e o valor

esperado do deslocamento GH, que também é válido na região crítica. Do

ponto de vista experimental, é mais conveniente expressar o ∆GH em termos

84

de ∆X, assim:

∆GH =|ε|∆X

1−(∆X/

√2w(z)

)2 . (4.8)

A equação 4.8 leva a um novo fator de amplicação,

A =1−

(∆X/

√2w(z)

)2

|ε| , (4.9)

que depende do raio do feixe, da medida amplicada e do fator de ortogona-

lidade dos polarizadores ε. Este fator de amplicação na região de Artmann

reproduz o mesmo fator de amplicação 1/ |ε| de [42].

Em resumo, o procedimento experimental da medição fraca é realizado ini-

cialmente eliminando as fases obtidas dos coecientes de Fresnel com as placas

de meia e um quarto de onda, quando os polarizadores estão ortogonais. Após

a eliminação da fase, o polarizador P2 é ligeiramente deixado fora de ortogo-

nalidade com relação à P1 por um fator de +ε e então mede-se a posição do

pico da gaussiana resultante. Em seguida gira-se o polarizador P2 em 90°, ou

seja, deixa-se P2 fora de ortogonalidade com P1 por um fator -ε e mede-se

novamente a posição do pico da gaussiana. A diferença entre as duas medidas

corresponde a medição fraca ∆X, que então é utilizada na equação 4.8 para

obter o valor correspondente do deslocamento GH.

85

4.3 Medição fraca com luz parcialmente coerente

4.3.1 Densidade espectral do campo parcialmente

coerente reetido

De maneira simples, coerência é a medida de correlação entre as fases medidas

em diferentes pontos de uma onda. Quando a luz é coerente, a dependência

do campo elétrico com o tempo e a posição é perfeitamente periódica e previ-

sível. Enquanto para luz parcialmente coerente não é totalmente previsível e

não pode geralmente ser descrita sem usar métodos estatísticos. Essa aleato-

riedade da luz pode surgir das utuações da fonte ou do meio através do qual

esta se propagando. Para determinar o grau de coerência da luz, o método

mais conhecido é a interferência que surge quando dois feixes de luz originados

da mesma fonte são superpostos, tal que a correlação dos dois feixes informa

o grau de coerência espacial.

Vamos considerar o caso de um feixe monocromático e parcialmente coerente

espacialmente. Este feixe pode ser descrito como um ensemble de campos alea-

tórios E(ρ, ω) com frequência ω e posição ρ cujas as propriedades estatísticas

determinam a coerência do feixe. Feixes parcialmente coerentes são carac-

terizados pela sua função de densidade espectral S(ρ, ω) = 〈E∗(ρ, ω)E(ρ, ω)〉onde os brackets correspondem a uma média sobre todo o conjunto dos campos

possíveis, e pelo seu grau de coerência espectral µ0(ρ1,ρ2, ω) [82]. Em nosso

modelo, estamos considerando feixes parcialmente coerentes que são altamente

direcionais, como aqueles gerados pela distorção de um feixe totalmente coe-

rente usando um disco fosco girante [83, 84]. Assumindo que o campo na

hipotenusa do prisma (z = 0) é descrito pelo modelo Gauss-Schell, no qual

a densidade espectral e o grau de coerência espectral são ambos da forma

86

gaussiana [85], podemos escrever:

S(ρ, ω) = E20 exp

(−ρ2/2σ2

s

), (4.10)

µ0(ρ′, ω) = exp(−ρ′2/2σ2

µ

), (4.11)

onde E0 é a amplitude do campo, σs é a largura do feixe e σµ é o comprimento

transversal de correlação do feixe. O grau de coerência espectral µ0 é uma

função da diferença espacial ρ′ = ρ2 − ρ1.

Daqui em diante vamos omitir a notação da dependência da frequência ω,

a m de simplicar a notação. Para um feixe descrito pelo modelo Gauss-

Schell, a densidade espectral e o grau de coerência espectral permanecem com

sua distribuição gaussiana ao longo da propagação. Assim, a densidade espec-

tral S(ρ, z) do campo, que representa a intensidade do feixe na posição ρ, no

plano z = constante > 0, é dado por [85]:

S(ρ, z) =E2

0

Ω(z)2exp

(− ρ2

2σ2sΩ(z)2

), (4.12)

onde Ω(z) =√

1 + (z/kσsδ)2 é o coeciente de expansão do feixe, k = 2π/λ

é o número de onda no vácuo, sendo λ o comprimento de onda no vácuo,

1/δ2 = (1/w20)(1 + 1/γ2), w0 = 2σs é o raio mínimo do feixe em z = 0 e

γ = σµ/σs é o grau de coerência espacial do feixe. O grau de coerência pode

assumir qualquer valor no intervalo 0 ≤ γ <∞, onde γ = 0 representa o feixe

completamente incoerente e γ →∞ representa o feixe totalmente coerente.

Assim como foi abordado na seção 4.2, o campo é pre-selecionado em um

estado de polarização orientado por um ângulo α antes de incidir no prisma.

Após a reexão no prisma, o feixe passa pelo conjunto de placas de meia onda

e um quarto de onda e então é feito uma pós-seleção no estado de polarização

87

sendo β o ângulo de orientação. Em seguida o feixe se propaga até atingir o

plano de observação na câmera CCD.

Vamos considerar o caso transversalmente unidimensional, apenas para sim-

plicar a notação. Assim o campo elétrico total reetido é dado por uma

superposição das componentes de polarização s e p.

ET (x, z) = KpE(x−Dp, z) +KsE(x−Ds, z), (4.13)

onde KpE(x − Dp, z) e KsE(x − Ds, z) correspondem as componentes p e

s do campo elétrico, respectivamente; sendo Kp = cos(α) cos(β) e Ks =

sin(α) sin(β). As componentes s e p do campo elétrico são deslocadas em posi-

ção por Ds e Dp, respectivamente. Vale mencionar que não entramos no mérito

da origem física do deslocamento GH com luz parcialmente coerente [8690],

mas sim focaremos na técnica de medição do fenômeno. A densidade espectral

ST (x, z) do campo elétrico, então é igual a:

ST (x, z) = 〈E∗T (x, z)ET (x, z)〉 ,

= |Kp|2 S(x−Dp, z) + |Ks|2 S(x−Ds, z) + (4.14)

+ 2K∗pKs

√S(x−Dp, z)

√S(x−Ds, z)µ0(Dp −Ds, z),

onde S(x − Dp,s, z) é a versão unidimensional da equação 4.12. Tomando

α = π/4 e β = 3π/4 ± ε, onde ε 1 e organizando os termos, temos que a

densidade espectral do campo reetido é,

ST (x, z) ∝ (1 + ε)2 exp

[−2 (x−∆GH/2)2

w20Ω2(z)

]+ (1− ε)2 exp

[−2 (x+ ∆GH/2)2

w20Ω2(z)

]

− 2(1− ε2

)exp

[−(x−∆GH/2)2

w20Ω2(z)

− (x+ ∆GH/2)2

w20Ω2(z)

− ∆2GH

2w20γ

2

], (4.15)

88

sendo que ∆GH = Dp−Ds. No caso de um feixe totalmente coerente (γ →∞),

a equação 4.15 tende à equação 4.3, já quando o feixe é totalmente incoerente

(γ → 0), o terceiro termo da equação 4.15 vai a zero. Neste caso, a densidade

espectral resultante é a soma de duas densidade espectrais de distribuição

gaussiana, que não leva a uma amplicação na medida do deslocamento GH.

A gura 4.3 mostra a densidade espectral dada pela equação 4.15 para quatro

0.0

0.5

1.0(a)

γ → ∞

(b)

γ = 5

(c)

γ = 1.5

(d)

γ = 0.5

−500 0 5000.0

0.5

1.0

ST(unid.arb.)

−500 0 500

x (µm)−500 0 500 −500 0 500

Figura 4.3: Distribuição da intensidade normalizada da seção transversal dofeixe para quatro graus de coerência. (a) γ →∞, (b) γ = 5, (c) γ = 1,5 e (d)γ = 0,5. As guras na primeira linha refere-se à ε = 0, e as da segunda linharefere-se ε = −0,01 rad (curva vermelha continua) e ε = +0,01 rad (curva azultracejado).

valores do grau de coerência espacial: γ → ∞, γ = 5, γ = 1,5 e γ = 0,5.

Em todos os casos, assumimos um ângulo de incidência que produz um valor

tipico do deslocamento ∆GH = 1 µm. Na primeira linha da gura 4.3, os po-

larizadores estão ortogonais (ε = 0). Na gura 4.3(a) temos o caso em que

o feixe é totalmente coerente, com as componentes s e p do campo reetido

interferindo destrutivamente e resultando em uma intensidade nula em x = 0;

esta situação é a mesma mostrada na gura 4.2. A gura 4.3(b) o campo é

em grande parte coerente, mas começa-se a observar um ligeiro aumento na

intensidade em x = 0. Já na gura 4.3(c) o campo é espacialmente incoerente

o suciente para que a interferência seja signicativamente reduzida, sendo que

89

a magnitude do mínimo da distribuição em x = 0 é comparável com os máxi-

mos de intensidade. E na gura 4.3(d), onde o campo é totalmente incoerente,

a interferência entre as duas componentes é completamente eliminada.

A segunda linha da gura 4.3 mostra a densidade espectral quando os po-

larizadores estão quase ortogonais, com ε = −0,01 rad em vermelho continuo

e ε = +0,01 rad azul tracejado. Embora as duas distribuições pareçam ser as

mesmas em todos os painéis, uma inspeção cuidadosa revela que, à medida

que γ diminui, o pico das duas distribuições se aproximam um do outro. A

separação entre os dois picos corresponde ao valor fraco (medida amplica).

Mesmo no caso de um feixe muito incoerente, os picos são separados por cerca

de 80 µm, correspondendo a um fator de amplicação de ≈ 80. Estes exemplos

apresentados na gura 4.3 ilustram que, mesmo para campos muito incoeren-

tes, o procedimento de medição fraca ainda fornece fatores de amplicação

signicativos. No entanto, a etapa importante em uma implementação ex-

perimental que consiste em cancelar a fase de reexão entre as componentes

de polarização s e p pode ser prejudicada. A eliminação desta fase é feita

quando os polarizadores estão ortogonais, e quando a intensidade se minimiza

em x = 0. Já para campos incoerentes, isso não pode ser feito facilmente, pois

a interferência destrutiva entre as duas componentes de polarização é elimi-

nada. Dependendo da conguração experimental, uma solução possível seria

ajustar primeiro as placas de onda de um campo coerente e depois alternar

para o campo incoerente para realizar o procedimento de medição fraca. Uma

implementação alternativa do procedimento de medida fraca que não requer

a remoção da fase foi descrita teoricamente em [91] e poderia ser adaptada a

campos incoerentes.

90

4.3.2 Fator de amplicação

Nesta subseção descrevemos o procedimento de encontrar o fator de ampli-

cação da medida amplicada e relaciona-lo com o grau de coerência espacial

γ. Para isso, vamos obter a medida amplicada, determinando a posição do

máximo de intensidade do feixe ou a posição do centroide, quando os polari-

zadores estão quase ortogonais (ilustrado na segunda linha da gura 4.3). A

posição do centroide do feixe é determinada por:

〈x〉 =

∫ −∞+∞ xST (x, z)∫ −∞+∞ ST (x, z)

, (4.16)

enquanto a intensidade do pico é obtida como,

xmax =∂ST (x, z)

∂x= 0. (4.17)

Então o valor da medida amplicada é ∆X = 〈x〉+ε−〈x〉−ε ou ∆X = xmax,+ε−xmax,−ε. Solucionando numericamente as equações 4.16 e 4.17, a gura 4.4(a)

mostra o comportamento xmax em função do deslocamento GH (∆GH). Para

um feixe totalmente coerente (γ →∞), xmax aumenta monotonicamente com

o aumento ∆GH, sendo que para cada xmax teremos um único valor ∆GH cor-

respondente. Esta unicidade permitiu que os autores de [64, 81] encontras-

sem uma solução analítica para o fator de amplicação (equação 4.9). Porém

quanto menor for o grau de coerência espacial do feixe, a unicidade é perdida

e haverá então duas soluções distintas de ∆GH que produzirá o mesmo valor

xmax. Um comportamento análogo é observado com a posição do centroide do

feixe 〈x〉, apenas diferindo para o caso do feixe totalmente coerente, em que

existem duas soluções possíveis, ver gura 4.4(b).

Nosso objetivo é encontrar a relação entre o valor fraco (medida amplicada)

com o valor do deslocamento GH (que é desconhecido). Focaremos nossa ana-

91

0

25

50

75

100

125

x max(µm)

(a)

i

iiiii

iv

v

0 2 4 6 8 10 12 14∆

GH(µm)

0

25

50

75

100

125

〈x〉(

µm)

(b)

i

iiiii

iv

v

Figura 4.4: Comportamento da medida amplica para a posição do máximo(a) e do centroide (b) do feixe com (i) γ = 0,2, (ii) γ = 0,5, (iii) γ = 0,7, (iv)γ = 1,0 e (v) γ →∞.

lise da medida amplicada com relação a posição do centroide do feixe, uma

vez que para o caso do feixe com grau de coerência espacial é obtido facilmente

sua solução analítica. Já uma analise com relação ao máximo de intensidade

leva a uma equação transcendental para o deslocamento GH que requer uma

solução numérica e, portanto é menos interessante.

Substituindo a equação 4.15 na equação 4.16, obtemos a posição do centroide

do feixe,

〈x〉 =ε∆GH exp(ς)

ε2 − 1 + (ε2 + 1) exp(ς), (4.18)

92

onde ς = ς(z) = [γ2 + Ω2(z)] ∆GH/2w0γ2Ω2(z). No entanto, a medida ampli-

cada no experimento é obtida ao fazermos,

∆X = 〈x〉+ε − 〈x〉−ε =2ε∆GH exp(ς)

ε2 − 1 + (ε2 + 1) exp(ς). (4.19)

Da equação 4.19 temos que o fator de amplicação A = ∆X/∆GH para o feixe

com grau de coerência espacial para o procedimento de medida fraca:

A =2ε exp(ς)

ε2 − 1 + (ε2 + 1) exp(ς). (4.20)

A equação 4.20 corresponde a solução analítica do fator de amplicação da

medida amplicada do deslocamento GH de um feixe parcialmente coerente.

Note que para um feixe totalmente coerente no qual o feixe esteja com ângulo

de incidência dentro da região de Artmann, tem-se que o fator ς obedece a se-

guinte relação ς 1, tal que o fator de amplicação descrito pela equação 4.20

reduz para o fator de amplicação conhecido pela literatura, ∆X/∆GH = 1/ε.

A gura 4.5 mostra o comportamento do fator de amplicação A como função

do grau de coerência espacial γ e de deslocamento GH (∆GH). Talvez seria mais

natural parametrizar A em função do ângulo de incidência em vez do desloca-

mento GH. No entanto teríamos que especicar os coecientes de Fresnel para

um determinado sistema, bem como especicar um modelo físico para o efeito

GH. Em vez disso, parametrizamos o fator de amplicação em função apenas

da magnitude do deslocamento GH, sendo assim os resultados são gerais e po-

dem ser aplicados para o caso de reexão interna em qualquer interface. Note

que quanto mais incoerente for o feixe, menor será o fator de amplicação.

Para valores de ∆GH ≈ 1 µm tipicamente associado ao deslocamento GH na

região de Artmann, é possível obter uma amplicação signicativa (A > 60)

mesmo para feixes parcialmente coerentes (γ & 0,5). Para alto valores de

∆GH ≈ 10 µm, que corresponde a valores típicos na região crítica, o fator de

93

0 1 2 3 4 5

γ

0

2

4

6

8

10

∆GH(µm)

0

20

40

60

80

100

Fator

deAmplificacao

Figura 4.5: Fator de amplicação A em função do grau de coerência espacialγ e do deslocamento GH ∆GH.

amplicação são baixos (A ≈ 8) para feixes de baixa coerência. Já para va-

lores intermediários do fator de amplicação (20 . A . 60) podemos esperar

valores intermediários do deslocamento GH apresentados na gura 4.5.

4.3.3 Solução analítica

Aqui abordaremos a analise feita para obtermos a solução analítica de ∆GH

como função da medida amplicada ∆X. A equação 4.20 pode ser ainda mais

simplicada, aproximando: exp (ς) ≈ 1 + ς, para ς < 1. Se considerarmos dis-

tâncias de propagação z esteja da ordem com comprimento de Rayleigh, então

a aproximação será válida sempre que γ > ∆GH/2w0. Para o caso em que o

espectro esteja no visível, o deslocamento GH é da ordem de 10 µm ou menor

e para um feixe com raio mínimo w0 da ordem de centenas de micrometros,

então o grau de coerência espacial tem que ser γ > 0,05. Portanto, a aproxima-

ção deve ser válida para a maioria dos casos de feixes parcialmente coerentes,

falhando essencialmente apenas para um feixe totalmente incoerente. Então a

94

partir desta aproximação, obtemos a seguinte solução:

2ε2∆X +(ε2 + 1

)ς∆X − 2∆GHε (1 + ς) = 0. (4.21)

Substituindo ς e desprezando o termo ∆3GH

já que é muito pequeno, chegamos

a solução analítica,

∆(±)GH

=2ε∆X

Ψ

(1±√

1−Ψ), (4.22)

onde Ψ = [(1 + ε2) (γ2 + Ω2) ∆X2] / (w20γ

2Ω2). A equação 4.22 permite obter

a magnitude do deslocamento GH a partir dos parâmetros determinados ex-

perimentalmente (w0, ε, z, ∆X e γ).

Como discutido anteriormente ao analisarmos o comportamento do centroide

em função do deslocamento GH na gura 4.4, existem duas soluções possíveis

para ∆GH para um único valor de ∆X, mas apenas uma delas é correta. Para

esclarecer este ponto, estimamos ∆X a partir da equação 4.19 para um dado

valor de ∆GH e substituímos esta estimativa na equação 4.22. Então compa-

ramos os valores ∆(±)GH

com ∆GH. A gura 4.6(a) mostra as duas soluções ∆(±)GH

em função de ∆GH. Os pontos em pretos correspondem a solução correta, en-

quanto as curvas em azul tracejado e vermelho continuo correspondem à ∆(+)GH

e ∆(−)GH

, respectivamente. Note que ∆(+)GH

e ∆(−)GH

serão iguais quando Ψ = 1,

onde denotaremos o valor de ∆GH quando ocorre está igualdade por ∆(0)GH

. O

comportamento da gura 4.6(a) é análogo para qualquer valor de γ, o que

muda apenas é o valor de ∆(0)GH

, para este exemplo em particular o valor de

∆(0)GH

é 2,6 µm. A partir do gura 4.6(a) nota-se que quando a magnitude do

deslocamento GH for menor que ∆(0)GH

a solução ∆(−)GH

corresponde a solução

correta, enquanto a magnitude do deslocamento GH for maior que ∆(0)GH

a solu-

ção ∆(+)GH

corresponde a solução correta. Podemos entender a origem das duas

95

0 1 2 3 4 5 6 7 8∆

GH(µm)

0

2

4

6

8∆

(±)

GH

(µm)

∆(+)GH

∆(−)GH

−400 −200 0 200 400

x (µm)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

ST(unid.arb.)

∆(+)GH

∆(−)GH

Figura 4.6: (a) Solução analítica ∆(±)GH

em função do deslocamento GH (∆GH)para γ = 1. Os quadrados sem preenchimento corresponde à ∆GH. Em (b)apresenta a distribuição da intensidade do feixe.

soluções, observando a distribuição de intensidade ST (x, z) do feixe. Esta dis-

tribuição é mostrada na gura 4.6(b), sendo que substituímos ∆GH = ∆(±)GH

na

equação 4.15 para valores no qual cada solução de ∆(±)GH

corresponde a solução

correta. Notamos que a distribuição de intensidade é essencialmente gaussi-

ana para ∆(−)GH

(curva em vermelho continuo), enquanto ∆(+)GH

(curva em azul

tracejado) ela é distorcida. Como ∆(±)GH

são diferentes um do outro, o máximo

de intensidade das duas curvas estão em locais ligeiramente diferentes. Esta

diferença nas duas distribuições são tais que a posição do centroide em ambas

as distribuições de intensidade é avaliada como um mesmo valor de medida

amplicada ∆X.

96

4.3.4 Simulação do experimento de medida fraca

Para melhor ilustrar a abordagem do procedimento de medida fraca, nesta

subseção vamos simular um experimento. Vamos considerar nesta simulação

do experimento um feixe totalmente coerente, pois neste caso, sabemos que o

modelo físico descrito no capitulo 1 é validado experimentalmente e descreve o

efeito GH para qualquer ângulo de incidência. Uma analise semelhante poderia

ser aplicada a feixes incoerentes. A gura 4.7(a) mostra o deslocamento GH

como função do ângulo de incidência, relativo ao ângulo crítico. Como todos os

experimentos são realizados no campo distante, longe da interface de reexão,

simulamos o deslocamento GH a uma distância de z=10 cm. Considerando um

prisma BK7 com índice de refração n = 1,515 para o comprimento de onda

λ = 0,633 µm, raio mínimo do feixe w0 = 150 µm e ε = 0,01 rad. Com base

nesses parâmetros, a região crítica vai de −0,08° . θ− θc . 0,08°. Para o des-

locamento GH, simulamos a medida amplicada usando a equação 4.19, que

corresponderia aos valores medidos pelo experimentalista. Esses resultados são

apresentados na gura 4.7(b) para um conjunto de ângulos de incidência arbi-

trariamente escolhidos. Curiosamente, a dependência particular entre ∆X em

∆GH leva a um vale próximo à incidência critica para a medida amplicada,

enquanto para o deslocamento GH apresenta um máximo.

Então o experimentalista substituiria os valores medidos apresentados na -

gura 4.7(b) na equação 4.22 para estimar o deslocamento GH. As duas soluções

possíveis são mostradas na gura 4.7(c). Para a maioria dos ângulos de in-

cidências, as duas soluções são distintas, apenas são iguais para os ângulos

de incidência que produzem um deslocamento de ∆(0)GH

= 4 µm. A partir dos

resultados nota-se que para reexão parcial (θ − θ . −0,08°) e para reexão

total (θ − θ & 0,08°), a solução correta é dada por ∆(−)GH

, enquanto na região

crítica, ∆(+)GH

corresponde à solução correta.

97

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.40

2

4

6

8

10Deslocamento

GH(µm)

(a)

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

125

150

175

200

225

MedidaFraca

(µm)

(b)

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4θ − θc (graus)

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

Deslcoamento

GHCalculado(µm)

(c)∆(+)

GH

∆(−)GH

Figura 4.7: (a) Simulação do deslocamento GH em função do ângulo de in-cidência θ relativo ao ângulo crítico θc. Os quadrados sem preenchimentocorrespondem alguns pontos da curva numérica (curva preta tracejada). (b)Simulação da medida fraca (∆X) realizada pelo experimentalista com basenos dados correspondentes aos quadrados sem preenchimento. (c) Estimativado deslocamento ∆±

GH, onde substituímos os dados obtidos em (b) na equação

4.22. Os quadrados sem preenchimento correspondem a mesma solução ∆GH

da gura (a).

98

Em geral, não podemos armar que ∆(+)GH

sempre fornecerá solução correta

na região crítica. O experimentalista precisará de um modelo físico para o

deslocamento GH (no caso de feixes parcialmente coerentes [37, 8688], por

exemplo) ou alguma outra maneira de estimar as mudanças esperadas para

guiá-lo caso contrário ele será incapaz de determinar inequivocamente o des-

locamento GH de alguma medida amplicada.

4.4 Considerações nais

Fizemos uma breve discussão do procedimento de medida fraca no desloca-

mento GH para o caso de um feixe totalmente coerente, no qual destacamos

a correção necessária na técnica quando é investigado o deslocamento GH na

região crítica. Vimos com essa nova correção que o fator de amplicação,

depende do raio do feixe e da medida amplicada sendo que ao considerar me-

didas feitas nas região de Artmann, este fator retorna ao fator de amplicação

conhecido pela literatura. Contribuímos em estender esta técnica para feixe

com grau de coerência espacial, onde descrevemos o formalismo do modelo

Gauss-Shell da densidade espectral do campo parcialmente coerente reetido

sob a medição fraca. Obtivemos o fator de amplicação A para o deslocamento

GH, e mostramos que a amplicação depende do grau de coerência espacial

(ver gura 4.5). Para magnitudes do deslocamento GH baixo, tipicamente

associados quando toda a distribuição do feixe é parcialmente reetido ou to-

talmente reetido, é possível uma amplicação relativamente grande (A > 60)

para feixes com baixa coerência espacial. Enquanto na região crítica, onde a

magnitude do deslocamento GH são geralmente maiores, o fator de amplica-

ção tente a ser muito menor (A . 8) para feixes com baixa coerência espacial.

De forma geral, feixes com baixo grau de coerência espacial implicam em um

fator de amplicação baixo.

99

Encontramos uma solução analítica da medida amplicada em termos do des-

locamento GH, e mostramos que existem duas soluções possíveis para o des-

locamento GH e que esse fato é inerente à técnica. Vericamos que estas so-

luções estão relacionadas com a distribuição do feixe como discutido na gura

4.6. Para que o experimentalista possa inequivocamente distinguir as soluções

corretas, eles terão que se valer de modelos físicos do fenômeno. Dado que

os modelos existentes predizem uma dependência bem comportada do deslo-

camento GH com o ângulo de incidência, semelhante ao mostrado na gura

4.7(a), para todos os valores de grau de coerência espacial, escolher a solução

correta não deve ser uma tarefa difícil ou impossível, mesmo que os modelos

sejam apenas qualitativamente válidos.

100

Capítulo 5

Conclusões e Perspectivas

Nesta tese apresentamos nossas contribuições teórica e experimental do des-

locamento Goos-Hänchen, na região crítica. No capítulo 1 zemos uma breve

descrição do deslocamento GH, introduzindo os coecientes de Fresnel, no qual

discutimos em quais condições ocorre reexão parcial e reexão total. Descre-

vemos o modelo de Artmann que explica os resultados experimentais de Goos

e Hänche considerado para ondas planas, o qual é apenas valido quando o feixe

incidente sofre reexão total. Em seguida descrevemos o mesmo fenômeno para

um feixe laser modelado por uma distribuição gaussiana, e comparamos os re-

sultados numéricos do deslocamento GH referente ao máximo e do centroide

do feixe reetido com a previsão de Artmann. Vimos que em torno do ângulo

crítico também ocorre o deslocamento GH, no entanto há uma distinção en-

tre o comportamento e a magnitude quando a medida é feita pelo máximo e

pelo centroide do feixe reetido. No capítulo 2 apresentamos nossos resultados

experimentais do deslocamento GH em torno do ângulo crítico, mostrando a

distinção do efeito com relação ao máximo e o centroide da intensidade do

feixe reetido, no qual desenvolvemos um novo método de medida com relação

aos que vem sendo utilizados para se medir deslocamento de feixes ópticos.

Este método é baseado em analise de imagens em tempo real, onde mostramos

que é de fácil uso e preciso. A partir dos nossos resultados vericamos que

101

a magnitude do deslocamento é inuenciada pelo comprimento de onda, pela

cintura mínima do feixe e a posição na qual é feita a medida em função do ân-

gulo de incidência. E também observamos experimentalmente, pela primeira

vez na literatura, que a intensidade da posição do máximo do feixe reetido

apresenta uma trajetória não linear e oscilação não linear para ângulos de in-

cidência em torno do ângulo crítico. No capítulo 3 descrevemos o modelo do

deslocamento GH lateral em meios não lineares do tipo Kerr negativo. A par-

tir de nosso modelo, observamos que os coecientes de reexão de Fresnel são

modicados com relação a potência do feixe incidente. Esta mudança é devido

a variação do índice de refração do meio não linear depender diretamente da

distribuição de intensidade do feixe transmitido. Consequentemente mudanças

na magnitude do deslocamento são observadas com relação a potência do feixe

incidente. Em especial observamos o deslocamento GH lateral em uma região

em que no regime linear não ocorreria. Comparações com a magnitude do des-

locamento GH no regime não linear com a do regime linear, foram feitas, tal

que para ângulos de incidência abaixo do ângulo crítico, o deslocamento GH

relativo experimenta um aumento signicativo devido a transição de reexão

parcial para total com ordem de grandeza maior que o comprimento de onda.

Enquanto que na região de Artmann nosso resultado está em concordância

qualitativa com os resultados experimentais relatados em [73]. No capítulo 4

apresentamos a extensão do procedimento de medição fraca para feixes com

grau de coerência espacial, utilizando a do modelo Gauss-Shell que descreve

feixes parcialmente coerente. Sendo que nosso modelo está em total concor-

dância quando consideramos fontes que são totalmente coerentes. Mostramos

que o grau de coerência espacial inuência na amplicação do método de me-

dição fraca, no entanto ainda assim é possível utilizar este método para medir

deslocamento de feixes ópticos que sejam parcialmente coerentes. Obtemos a

solução analítica da medida amplicada em termos da magnitude do desloca-

mento GH, no qual existem duas soluções possíveis com cada uma tendo sua

102

validade em situações distintas. A partir de nossas analises numéricas mos-

tramos que a solução ∆(+)GH

refere-se a uma correção devido a deformação do

feixe. Quando não há deformação na distribuição do feixe a solução válida é

∆(−)GH

. Para exemplicar a distinção das soluções, na seção 4.3.4 simulamos o

que o experimento para o caso em fontes coerentes. Para que o experimenta-

lista possa inequivocamente distinguir as soluções corretas, eles terão que se

valer de modelos físicos do fenômeno. Dado que os modelos existentes pre-

dizem uma dependência bem comportada do deslocamento GH com o ângulo

de incidência, para todos os valores de grau de coerência espacial, escolher a

solução correta não deve ser uma tarefa difícil ou impossível, mesmo que os

modelos sejam apenas qualitativamente válidos.

O estudo do efeito GH na região crítica não se esgota com os trabalhos apresen-

tados nessa tese. Como perspectivas futuras de questões a serem investigadas,

podemos apontar:

o efeito oscilatório do deslocamento GH em meios não lineares, veri-

cando a inuência da potência do feixe incidente com a trajetória do

feixe reetido,

a investigação experimental do deslocamento GH para feixes parcial-

mente coerente, no qual se utilizaria o procedimento experimental da

medição fraca para feixes parcialmente coerentes,

analise numérica e experimental do deslocamento GH para feixe ultra-

curtos (com largura espectral com dezenas ou centenas de nm)

a investigação da inuência da carga topológica do feixe com vórtice no

deslocamento GH na região critica.

103

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