UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

ANA RACHEL BRITO DE PAULAMAIARA FRANCINE BOLLAUFMARIA ANGÉLICA ARAÚJOSAMUEL AUGUSTO WAINER

DOMÍNIOS EUCLIDIANOS E EQUAÇÕES DIOFANTINAS

CAMPINAS - SP2012

ANA RACHEL BRITO DE PAULAMAIARA FRANCINE BOLLAUFMARIA ANGÉLICA ARAÚJOSAMUEL AUGUSTO WAINER

DOMÍNIOS EUCLIDIANOS E EQUAÇÕES DIOFANTINAS

Trabalho apresentado à disciplina de Anéis eCorpos, da Universidade Estadual de Campinassob a orientação do professor Dr. FernandoEduardo Torres Orihuela.

CAMPINAS - SP2012

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 3

1 DOMÍNIOS EUCLIDIANOS 41.1 Domínio de integridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Domínio de fatoração única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 O algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 EQUAÇÕES DIOFANTINAS 152.1 Equações diofantinas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Ternos Pitagóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Descida de Fermat e equações sem solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 A equação de Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Equações diofantinas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

REFERÊNCIAS 29

2

INTRODUÇÃO

Em Álgebra denotamos um domínio euclidiano como sendo um anel dotado deuma estrutura específica, a dizer, uma função euclidiana. Dessa forma, é possível ageneralização do famoso Algoritmo de Euclides desenvolvido para regulamentar a divisãode dois elementos. Além disso, em um domínio euclidiano, é possível aplicar tal algoritmopara efetuar o cálculo do máximo divisor comum entre dois números.

A motivação para o estudo de uma estrutura assim caracterizada é representadapelo simples questionamento: o que acontece quando dois números inteiros a e b são taisque b | a? A resposta para essa pergunta traz consigo outras concepções decorrentes,como a de domínio de fatoração única, por exemplo.

As equações diofantinas, definidas por Courant e Robbins (2000, p. 59) como"uma equação algébrica com uma ou mais incógnitas, para a qual são buscadas soluçõesinteiras", podendo admitir ou não solução, se relacionam diretamente com os domínioseuclidianos. Esse fato se dá pois uma equação diofantina tem solução se ela for trabalhadaem tal domínio.

Em vista disso, essa monografia visa apresentar os resultados envolvendo os domínioseuclidianos e estudar as equações diofantinas neste contexto, com o propósito de comple-mentar os conhecimentos adquiridos na disciplina de Anéis e Corpos. Para isso seráutilizada uma revisão da bibliografia das obras tornadas públicas a respeito do tema.

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Capítulo 1

DOMÍNIOS EUCLIDIANOS

O algoritmo de Euclides é um método simples para encontrar o máximo divisorcomum entre dois números inteiros, já que o mdc é o maior inteiro que divide os doisvalores sem deixar resto. O algoritmo inicial foi descrito apenas para números naturaise comprimentos geométricos, mas foi generalizado posteriormente para outras classes denúmeros. E isso conduziu ao que vamos estudar a seguir: os domínios euclidianos.

1.1 Domínio de integridade

Para iniciar o estudo dos domínios euclidianos, é conveniente introduzir algumasdefinições, como a de domínio de integridade e de norma.

Definição 1.1.1. Um anel comutativo com elemento identidade R é dito domínio deintegridade quando dados a, b ∈ R se ab = 0 então a = 0 ou b = 0.

Exemplo 1.1.2. O anel Z é um domínio de integridade.

Exemplo 1.1.3. O anel Z[√n] = {a+ b

√n |a, b ∈ Z}, onde n não é um quadrado, com

as operações usuais é um domínio de integridade.

De fato, sejam a+ b√n, c+ d

√n ∈ Z[

√n] e suponha a+ b

√n 6= 0 isso implica que

a 6= 0 ou b 6= 0, podemos supor sem perda de generalidade b 6= 0. Se (a+b√n)(c+d

√n) =

0 queremos mostrar que c+ d√n = 0, segue que:

(a+ b√n)(c+ d

√n) = 0⇒ (ac+ bdn) + (ad+ cb)

√n = 0

Obtemos então o sistema: {ac+ bdn, =0;ad+ cb, =0.

Da segunda equação concluímos c = −adb. Substituindo na primeira equação obte-

mos:a−adb

+ bdn = 0⇒ d(b2n− a2) = 0

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Como Z é domínio de integridade d = 0 ou b2n− a2 = 0, mas n não é quadrado perfeito,dessa forma d = 0 e c = 0. Portanto, Z[

√n] é domínio de integridade.

Além disso, se quisermos analisar de uma forma menos detalhista, basta notar queZ[√n] = {a+ b

√n : a, b ∈ Z} ⊆ R, que por sua vez é um domínio de integridade. Então,

claramente, Z[√n] também é domínio de integridade.

Definição 1.1.4. Um elemento de R é chamado unidade se possuir inverso multiplica-tivo em R.

Exemplo 1.1.5. As unidades de Z são 1 e −1.

Definição 1.1.6. Dizemos que a, b ∈ R são associados se existe u unidade de R tal quea = ub.

Exemplo 1.1.7. Os elementos a,−a ∈ Z são associados.

Definição 1.1.8. Um elemento a em R é dito irredutível se para toda fatoração a = bc

temos b unidade ou c unidade.

Exemplo 1.1.9. Todos os números primos são irredutíveis.

Definição 1.1.10. Um função N : R −→ N é dita norma de R se satisfaz as seguintescondições:

(i) N(ab) = N(a)N(b) para todo a, b ∈ R;

(ii) N(a) = 1 se, e somente se, a é unidade em R.

Exemplo 1.1.11. Seja R = Z[√n] a função N : R −→ N dada por N(a + b

√n) =

|a2 − nb2| é uma norma.

Observe que essa norma é assim definida pois, considerando α = a + b√n, temos

que N(α) = |αα| = |a2 − nb2|.Dados a+ b

√n, c+ d

√n, então, segue que:

N((a+ b√n)(c+ d

√n)) = N((ac+ bdn) + (ad+ bc)

√n)

= |(ac+ bdn)2 − n(ad+ bc)2|

= |a2c2 + 2abcdn+ b2d2n2 − a2d2n− 2abcdn− b2c2n|

= |a2(c2 − d2n)− b2(c2 − d2n)|

= |(a2 − b2n)(c2 − d2n)|

= |a2 − b2n||c2 − d2n|

N((a+ b√n)(c+ d

√n)) = N(a+ b

√n)N(c+ d

√n)

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Temos ainda que as unidades de R são 1 e -1 e assim N(1) = N(−1) = 1. E seN(a+ b

√n) = 1 temos:

|a2 − b2n| = 1⇒ a2 − b2n = 1 ou a2 − b2n = 1.

Segue quea2 = 1 + b2n⇔ a = ±

√1 + b2n.

Como a ∈ Z então 1 + b2n é um quadrado perfeito, contudo isso só acontece seb = 0, dessa forma a = 1, unidade de R. Portanto, N é norma.

1.2 Domínio de fatoração única

Outro conceito importante é o de domínio de fatoração única, que nada mais é doque um caso particular de um domínio de integridade e define a fatoração de elementoscomo produto de irredutíveis. Tal domínio é definido formalmente como:

Definição 1.2.1. Um domínio de integridade R é dito domínio de fatoração únicaou domínio fatorial se todo elemento não-nulo e não-unidade de R poder ser escrito deforma única, a menos de ordem, como produto de elementos irredutíveis de R, isto é, demaneira precisa:

(i) Todo elemento não-nulo e não-unidade de R é produto finito de fatores irredutíveis;

(ii) Se {p}1≤i≤s e {q}1≤j≤t são famílias finitas de elementos irredutíveis de R tais quep1 · · · ps = q1 · · · qt, então

s = t;

a menos de ordenação, pi é associado a qi, ∀i = 1, ..., s.

Exemplo 1.2.2. O anel Z é um domínio de fatoração única.

De fato, pois para qualquer n ∈ Z\{0} temos uma decomposição única em fatoresprimos, que são os elementos irredutíveis deste conjunto. Claramente, n e −n diferenciam-se apenas pelo elemento unidade −1.

Exemplo 1.2.3. O domínio Z[√−7] não é de fatoração única.

Note que 8 = 2.2.2 = (1 +√−7)(1 −

√−7) e os fatores 2, 1 +

√−7, 1 −

√−7 são

irredutíveis em√Z[√−7.] Além disso, é claro que 2 não é associado a 1 +

√−7 nem a

1−√−7.

Definição 1.2.4. Seja A um domínio de integridade. Um elemento p ∈ A se diz primose

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(i) p 6= 0;

(ii) p não é inversível;

(iii) Quaisquer que sejam a, b ∈ A, se p | ab, então p | a ou p | b.

Lema 1.2.5. Seja R um domínio de fatoração única. Cada elemento irredutível de R éprimo.

Demonstração:Considerando r um elemento irredutível em R. Supondo que r | ab, mas r - a.

Então, basta mostrar que r | b.Seja a = p1 . . . pn e b = q1 . . . qm fatorações únicas de a e b. Assim, p1 . . . pnq1 . . . qm

apresenta uma fatoração de ab de irredutíveis, que é única por hipótese.Porém, tem-se ainda que ab = rc. Admitindo que c possua uma fatoração da forma

c = t1 . . . tu em irredutíveis. Dessa forma, ab=p1 . . . pnq1 . . . qm=r(t1 . . . tu).Como a fatoração é única, um elemento rk associado a r, deve aparecer entre

os p1 . . . pnq1 . . . qm. Como r - a, nenhum associado a r deve aparecer entre p1 . . . pn.Portanto, rk deve estar entre q1 . . . qm, o que significa dizer que r | b.

Note que a recíproca desse lema é válida somente em domínios de integridade, ouseja, todo elemento primo em um domínio de integridade é irredutível.

1.3 Ideais

Vamos estudar agora de que forma os ideais estão relacionados com os domíniosestudados anteriormente.

Definição 1.3.1. Um subconjunto não vazio U de um anel R é dito um ideal (bilateral)de R se:

(i) U é um subgrupo de R com relação a adição.

(ii) Para todo u ∈ U e r ∈ R, ur e ru estão em U .

Definição 1.3.2. Um domínio de integridade R com elemento identidade é um anelprincipal se todo ideal A em R é da forma A = (a), para algum a ∈ R. Em outraspalavras, um ideal é principal quando ele é gerado por um único elemento pertencente aR.

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Definição 1.3.3. Um domínio R é chamado de domínio principal se todo ideal de Rfor principal.

Exemplo 1.3.4. O anel Z é um exemplo de domínio principal, pois todos os seus ideaissão principais.

Teorema 1.3.5. Se x é um elemento irredutível em um domínio principal, então (x), queé o ideal gerado por x é maximal.

Teorema 1.3.6. Se R é um domínio principal, então R é um domínio de fatoração única.

1.4 O algoritmo de Euclides

O objetivo principal dessa seção, assim como o nome já sugere é definir um domínioeuclidiano, bem como citar as definições que dele decorrem para então iniciar o estudodas equações diofantinas.

Sabemos que se a, b ∈ Z e b 6= 0, então existem únicos q, r ∈ Z tais que a = bq+ r,

com 0 6 r 6| b |. E este é o processo de divisão conhecido com algoritmo de Euclides emZ.

Vamos definir esse algoritmo agora em um anel de polinômios. A ideia de dividirdois polinômios consiste em reduzir o grau do dividendo até que o resto seja um polinômionulo ou um polinômio com grau menor que o grau do divisor. Partindo desse pressuposto,enuncia-se o teorema que segue com o propósito de fornecer um mecanismo para essecálculo.

Teorema 1.4.1. (Algoritmo de Euclides)Sejam K um corpo, f(x), g(x) ∈ K[x] e g(x) 6= 0. Então, existem únicos q(x), r(x)

∈ K[x] tais que

f(x)= g(x)q(x) + r(x), com r(x) = 0 ou ∂r < ∂g

Demonstração:Se f(x) = 0, basta assumir q(x) = r(x) = 0. Então, é conveniente admitir f(x) 6= 0

e como g(x) 6= 0 por hipótese, escreve-se:

f(x)=a0 + a1x+ · · ·+ anxn, ∂f = n

g(x)=b0 + b1x+ · · ·+ bmxm, ∂g = m

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Considera-se então dois casos para provar a existência de q(x) e r(x):

1ocaso: ∂f < ∂g

Tomando q(x) = 0, tem-se que f(x) = r(x).

2ocaso: ∂f > ∂g

Usando indução sobre n = ∂f .(1) Se n = 0, então f(x)=a0 ∈ K.0 = n = ∂f > ∂g ⇒ ∂g = 0 ⇒ g(x) = b0 ∈ K.Sabe-se que 0 6= g(x) = b0 ∈ K, por hipótese. Assim b0

−1 ∈ K, pois K é um corpo.Considerando então q(x) = b0

−1a0 e r(x) = 0, é fácil ver que

f(x)=a0=b0(b0−1a0) + 0=g(x)q(x) + r(x), com r(x) = 0.

(2) Considerando como verdade para n > 1, tem-se que para h(x) ∈ K[x], h(x) 6= 0

e ∂h < n, existem q1(x) e r1(x) ∈ K[x] tais que h(x) = g(x)q1(x) + r1(x), com r1(x) = 0

ou ∂r1 < ∂g. Esta é a hipótese de indução.Agora, considera-se o polinômio:

h(x) = f(x)− (anbm−1xn−m)g(x) (1.4.1)

O termo anbm−1xn−m é determinado dessa forma com o propósito de tornar o grau

de h(x) menor que n, pois ao efetuar-se f(x) - (anbm−1xn−m)g(x) tem-se que o termo de

maior grau é anulado, ou seja:

h(x)=(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) - [(anbm

−1xn−m)(b0 + b1x+ · · ·+ bmxm)]

h(x)=(a0 + a1x+ · · ·+ anxn)-[(anbm

−1b0)xn−m + (anbm

−1b1)xn−m+1 + · · ·+ anx

n]

Como a adição e consequentemente a subtração é realizada termo a termo, nota-seque o coeficiente dominante irá se anular, daí h(x) será:

h(x)=a0 + a1x+ · · ·+ (anbm−1b0)x

n−m + (anbm−1b1)x

n−m+1 + · · ·+ an−1xn−1

Se h(x) = 0 ⇒ f(x) = g(x)q(x) + r(x), com r(x) = 0 e q(x) = anbm−1xn−m.

Se h(x) 6= 0, é possível calcular seu grau e pela escolha feita acima, de fato ∂h < n.Pela hipótese de indução, existem q1(x), r1(x) ∈ K[x], com ∂r1 < ∂g ou r1(x) = 0 taisque

h(x) = q1(x)g(x) + r1(x)

Substituindo as informações na equação (1.4.1) e explicitando f(x) vem que:

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f(x)=g(x)[(q1(x) + anbm−1xn−m)] + r1(x)

Definindo então q(x) = q1(x) + anbm−1xn−m e r(x) = r1(x), obtém-se:

f(x)=g(x)q(x) + r(x), com r(x) = 0 ou ∂r < ∂g

Isto prova a existência de q(x) e r(x). Resta somente provar a unicidade. Paraisso, supõe-se q(x), q̃(x), r(x), r̃(x) ∈ K[x] tais que:

f(x)=g(x)q(x) + r(x), com r(x) = 0 ou ∂r < ∂g

f(x)=g(x)q̃(x) + r̃(x), com r̃(x) = 0 ou ∂r̃ < ∂g

Daí tem-se que:

g(x)q(x) + r(x)=g(x)q̃(x) + r̃(x)

g(x)[q(x)− q̃(x)]=r̃(x)− r(x)

Supondo que q(x) 6= q̃(x) então q(x)− q̃(x) 6= 0 e r̃(x)− r(x) 6= 0. Logo,

∂g 6 ∂(q − q̃)g=∂(r̃ − r) < ∂g

Isto é uma contradição. Portanto, q(x) = q̃(x) e consequentemente r(x) = r̃(x), oque assegura que q(x) e r(x) são únicos.

Definição 1.4.2. Seja A um domínio de integridade e definindo a aplicação

N : A− {0} → N,

tal que para todo par de elementos a, b ∈ A, b 6= 0 existem q, r ∈ A tais que

a = bq + r,

com r = 0 ou N(r) < N(b).

Então, A é dito um domínio euclidiano, também chamado de anel euclidiano,se existir tal função N definida em A. Além disso, essa função é chamada por algunsautores de norma como já¡ foi definido anteriormente.

Em alguns casos é necessário considerar uma propriedade adicional, sendo

∀a, b ∈ A \ {0}, N(ab) > N(a).

Essa condição não é necessária, pois sempre que existir uma função N estabelecendo umadivisão euclidiana, existe uma outra γ que também estabelece uma divisão euclidiana etal que γ tem a propriedade adicional que desejamos.

De forma geral, um domínio euclidiano é aquele em que o Algoritmo de Euclidespode ser aplicado.

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Exemplo 1.4.3. Se K é um corpo, então K[x] é um domínio euclidiano.

Definindo a função d = ϕ : (K[x]∗) → N como sendo a função que associa a cadapolinômio não-nulo o seu grau. Sabemos que se f(x) e g(x) são polinômios não-nulospertencentes a K[x], então ∂(fg) = ∂f + ∂g > ∂f , o que satisfaz a primeira propriedadede um domínio euclidiano.

Além disso, se f(x), g(x) ∈ K[x], com g(x) 6= 0, então o Algoritmo de Euclidesgarante que existem q(x), r(x) ∈ K[x] tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x), onde r(x) = 0 ou∂r < ∂g.

Portanto, K[x] é um domínio euclidiano.

Exemplo 1.4.4. O domínio R = Z[i] é euclidiano

Admitindo como norma a função N(a + bi) = a2 + b2 e tomando x, y ∈ R, temosque x = a+ bi e y = c+ di e queremos encontrar q, r ∈ Z tal que (a+ bi) = q(c+ di) + r,

com r = 0 ou N(r) < N(c+ di).

Trabalhando em Q[i], é possível notar que

x

y=a+ bi

c+ di= r + si, com r, s ∈ Q

Escolhendo então m,n ∈ Z tal que | r −m |6 1

2e | s− n |6 1

2. Seja q = m + ni,

então q ∈ R e x = qy + r para algum r, com

N(r) = N(x− qy) = N(x

y− q)N(y) < N(y)

Então, de fato, R é um domínio euclidiano.

Exemplo 1.4.5. O domínio R = Z[√−2] é euclidiano.

Supondo a, b ∈ R. Então, ab

=ab

bb= c+ d(

√−2). Escolhendo novamente m,n ∈ Z

tal que | m− c |6 1

2e | n− d |6 1

2.

Assumindo q = m+b(√−2) e r = a−qb, temos que N(a

b−q) = (m−c)2+2(n−d)2.

Daí, N(r) = N(b)N(a

b− q) < N(b)(1

2+ 2(1

2)) < N(b). Ou seja, R é um domínio

euclidiano.

Exemplo 1.4.6. O domínio R = Z[√

2] é euclidiano.

Vamos considerar a normaN : Z[√

2]\{0} → N comN(α) = |a2−2b2| considerandoα = a+ b

√2 6= 0. Seguindo o procedimento análogo aos exemplos 1.4.4 e 1.4.5, segue que

Z[√

2] é domínio euclidiano.

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Definição 1.4.7. Seja D um domínio de fatoração única. Um polinômio a0 +a1x+ · · ·+anx

n ∈ D[x] é chamado primitivo se não é uma unidade e se a0, a1, . . . , an não temoutros divisores comuns a não ser unidades de D. Nota-se que se f(x) é irredutível emD[x], então f(x) é primitivo.

O lema que segue contribuiu grandiosamente para o estudo de anéis de polinômiosem geral, mas sua intenção primordial é estender a anéis de polinômios propriedades quesão válidas somente nos anéis mais simples.

Teorema 1.4.8. (Lema de Gauss)Seja D um domínio de fatoração única e Q o seu corpo de quocientes. Con-

siderando f(x) um polinômio primitivo não-escalar em D[x], então f(x) é redutível emD[x] se, e somente se, f(x) é redutível em Q[x].

Demonstração:(⇒) Sabe-se que D é um subanel de Q sob a aplicação d → d

1. Assim, D[x]

aparece naturalmente como um subanel de Q[x] pois a aplicação mantém as propriedades.Portanto, se f(x) é redutível em D[x], também é redutível em Q[x].

(⇐) Supondo que f(x) é redutível em Q[x], então existem g(x), h(x) ∈ Q[x] quesão polinômios não-escalares tais que

f = gh

A partir de agora a variável será omitida para simplificar a notação. Os coeficientesde g e h tem a forma

p

q, com p, q ∈ D, ou seja:

g(x) =b0a0

+b1a1

x+b2a2

x2 + · · ·+ bnan

xn, bi, ai ∈ D, 0 6 i 6 n

eh(x) =

d0

c0+d1

c1x+

d2

c2x2 + · · ·+ dm

cmxm, dj, cj ∈ D, 0 6 j 6 m.

É possível então substituir todos os coeficientes de g de modo que todos tenhamum denominador comum. Fatorando-se este denominador comum, escreve-se

g =1

sg1,

onde g1 ∈ D[x]. Analogamente,

h =1

th1,

com h1 ∈ D[x].A seguir, fatora-se o mdc (em D) dos coeficientes de g1, chamando-o de u e o de

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h1, chamando-o de v. Assimgh =

uv

stg2h2,

admitindo que g2, h2 ∈ D[x] e são polinômios primitivos pois nenhum primo divide cadacoeficiente de g2 e h2.

Enfim, escreve-seuv

st=y

z,

em que mdc(y, z) = 1. Logo,f = gh =

y

zg2h2,

com g2 e h2 polinômios primitivos em D[x].Resta provar que z é uma unidade e consequentemente

y

z∈ D, provando que f é

redutível em D[x].

Supondo que z não seja uma unidade, então existe um primo p que divide z. Comomdc(y, z) = 1, em particular, p - y. Assim

zf = yg2h2, com z ≡ 0(mod p) (1.4.2)

Considerando o domínio de integridade D/〈p〉 = D∗. O homomorfismo natural

D → D∗

a 7→ a = {b ∈ D/b ≡ a(mod p)}

induz um homomorfismo naturalD[x]→ D∗[x]

a0 + a1x+ · · ·+ anxn 7→ a0 + a1x+ · · ·+ anx

n

Logo, a equação (1.4.2) torna-se

zf = yg2h2 (1.4.3)

Como z ≡ 0(mod p), resulta que z = 0 ∈ D∗. Logo da equação (1.4.3), tem-se que

0 = yg2h2

mas D∗ é um domínio de integridade e 0 6= y, pois p - y, logo, g2 = 0 ou h2 = 0 em D∗[x].Supondo g2 = 0 emD∗[x]. Como g2 é um polinômio com coeficientes emD∗, tem-se

que cada coeficiente de g2 é 0 em D∗, ou seja, cada coeficinte de g2, considerado em D[x]

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é divisível por p, o que é um absurdo, pois g2 é um polinômio primitivo. Analogamentese h2 = 0.

Portanto, não existe um primo p tal que p | z, donde z é de fato unidade e f éredutível em D[x].

Teorema 1.4.9. Se D é um domínio de fatoração única, então R[x] também o é.

Retornando aos ideias, seguem abaixo alguns resultados que os relacionam com osdomínios euclidianos.

Proposição 1.4.10. Todo domínio euclidiano D é principal.

Demonstração:Considerando um ideal I 6= 0 de D, queremos verificar se este ideal é principal.

Admitindo então o conjunto

υ(I) = {υ(x) : x ∈ I − {0}} ⊂ {0, 1, 2, 3, . . . }

Seja a ∈ I tal que υ(a) =Mínimo(υ(I)), que existe pois o conjunto {0, 1, 2, 3, . . . } édiscreto e bem ordenado. Considerando agora o ideal gerado por a, a dizer, (a), que estácontido em I. Suponhamos que seja possível escolher x ∈ I − (a). Por D ser um domínioeuclidiano, sabemos que existe r, q ∈ D tal que x = ta + r, donde r = 0 ou υ(r) < υ(a).

Mas como x /∈ (a), r 6= 0. Assim, temos que r ∈ D − {0} é tal que υ(r) < υ(a). Porém,r = x− ta ∈ I, o que contradiz a minimalidade de υ(a). Logo, I = (a).

Proposição 1.4.11. Seja K um corpo. Então K[x] é um domínio principal.

Demonstração:Tomando I como sendo um ideal em K[x]. Se I = 0, não há o que fazer. É

válido supor, para tanto, I 6= 0. Seja f um polinômio não-nulo de menor grau possívelque pertence a I. Pode-se afirmar que I = (f). De fato, se g ∈ I, existem polinômiosq, r ∈ K[x] tais que g = fq + r, com r = 0 ou ∂(r) < ∂(f). Como r ∈ I, pois h, f ∈ I,admitindo h = aq, temos que ∂(r) = 0, já que f é de menor grau. Assim, h ∈ (f). Aoutra inclusão é imediata, portanto I = (f).

Teorema 1.4.12. O ideal A = (a) é um ideal maximal do anel euclidiano se, e somentese, a é um elemento primo de um domínio euclidiano R.

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Capítulo 2

EQUAÇÕES DIOFANTINAS

Do algoritmo de Euclides decorre a possibilidade de se estudar um tipo especialde equação: as equações diofantinas, assim chamada em homenagem a Diophantus deAlexandria (Século IV A.C.). Elas nada mais são do que equações com coeficientes esoluções inteiras apresentadas geralmente com mais de uma variável, lembrando que taissoluções existem quando trabalhadas em um domínio euclidiano conforme será visto aseguir. Neste capítulo veremos algumas definições e resultados que nos permitirão enten-der melhor sobre essas importantes equações.

2.1 Equações diofantinas lineares

Nesta seção vamos estudar as equações diofantinas lineares. Veremos alguns ex-emplos desse tipo de equação e quando estivermos mais familiarizados com as mesmasveremos outros exemplos menos triviais.

Definição 2.1.1. Considere a equação diofantina: a1x1 + · · ·+ anxn = c, com a1, . . . , an

inteiros. Uma solução desta equação é um par ordenado de inteiros (k1, . . . , kn) tal quea1k1 + · · ·+ ankn = c.

Se uma equação diofantina tem solução, ela é dita solúvel.

Exemplo 2.1.2. Se considerarmos a equação 3x + 2y = 7, observe que 3 − 2 = 1 emultiplicando os dois lados da equação por 7 obtemos que 3(7) + 2(−7) = 7. Assim,(7,−7) é solução da equação.

Aqui um dos problemas que tentaremos resolver é quando uma equação diofantinatem solução. No entanto, na maioria dos exemplos vamos nos deparar com situações bemmais complexas do que o exemplo acima. A proposição a seguir estabelece condições paraque uma equação diofantina seja solúvel.

Lema 2.1.3. A congruênciaax+ a0 ≡ 0(modm) (2.1.1)

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é solúvel se, e somente se,(a,m)|a0.

Neste caso o número de soluções = (a,m), e a congruência é satisfeita por precisa-mente todos os números x numa certa classe residual mod( m

(a,m)).

Demonstração: Para demonstrarmos este fato precisaremos de dois resultados que nãoprovaremos aqui, mas suas demonstrações podem ser encontradas em [5].

Afirmação 1) Se (a,m) = 1 então a congruência

ax+ a0 ≡ 0(modm)

tem exatamente uma solução.

Afirmação 2) Seja c > 0. Se

a ≡ b(modm)

entãoac ≡ bc(modcm)

e reciprocamente.

Agora, se 2.1.1 é solúvel então

ax+ a0 ≡ 0(modm)

≡ 0(mod(a,m)).

Por outro lado, sea0 ≡ 0(mod(a,m)) (2.1.2)

então pela Afirmação 1 a congruência

a

(a,m)x+

a0

(a,m)≡ 0

(mod

m

(a,m)

)é solúvel. Logo pela Afirmação 2, 2.1.1 é satisfeito.

Agora se (a,m)|a0 então 2.1.2 tem exatamente uma solução mod m(a,m)

, de acordocom a Afirmação 1; como 2.1.1 e 2.1.2 tem as mesmas soluções, pela Afirmação 2, segueque 2.1.1 tem (a,m) soluções (soluções mod m como usual), uma vez que se d > 0 e d|m

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então uma classe residual modmdse divide em d classes residuais mod m.

Proposição 2.1.4. Seja n > 1 com ao menos um dos números a1, . . . , an diferente dezero; seja

(a1, . . . , an) = d.

Então a equação diofantina

a1x1 + · · ·+ anxn = c

é solúvel se, e somente sed|c.

Em particular: se (a, b) = 1, então

ax+ by = 1

é solúvel.

Demonstração: (1) Se exatamente um coeficiente não se anula, a1, digamos, então

a1x1 + 0.x2 + · · ·+ 0.xn = c

é obviamente solúvel se a1|c, isto é, se

(a1, 0, . . . , 0)|c.

(2) Se no mínimo dois dos coeficientes não se anulam então podemos assumir semperda de generalidade que nenhum coeficiente se anula; caso contrário simplesmente omi-tiríamos os termos amxm para os quais am = 0, e isto não altera o valor do máximo divisorcomum dos coeficientes; o número dos termos que permanecem é ainda ≥ 2.

Sem perda de generalidade podemos mesmo tomar todos os coeficientes > 0; poissimplesmente temos que substituir cada am negativo por −am (o que não altera o máximodivisor comum) e o xm correspondente por −xm.

Podemos portanto assumir que

n > 1, a1 > 0, . . . , an > 0.

Se nossa equação diofantina é solúvel então claramente

d|a1x1 + · · ·+ anxn,

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d|c.

Reciprocamente, suponha que d|c.Se n = 2 então temos simplesmente que mostrar que

a1x1 ≡ c(moda2)

é solúvel para x1. Isto segue do Lema 2.1.3, uma vez que

(a1, a2)| − c.

Seja n > 2 e suponha a afirmação verdadeira para 2, . . . , n− 1; se fizermos

(a1, . . . , an−1) = a

então(a, an) = d.

Pelo que mostramos no caso n = 2, segue que

ax+ anxn = c

para x, xn escolhidos apropriadamente. Pela hipótese de indução para n − 1 segue alémdisso, uma vez que

(a1, . . . , an−1)|ax,

quea1x1 + · · ·+ an−1xn−1 = ax

para x1, . . . , x−1 escolhidos apropriadamente, de modo que, finalmente,

a1x1 + · · ·+ an−1xn−1 + anxn = c

Proposição 2.1.5. Se (a, b) = d e d|c então

ax+ by = c

é solúvel, pela Proposição 2.1.4; ainda, dada uma solução (x0, y0), todas as soluções sãoda forma

x = x0 + hb

dy = y0 − h

a

d,

onde h é arbitrário.

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Demonstração:O fato que um tal par (x, y) satisfaz a equação segue da relação

a

(x0 + h

b

d

)+ b(y0 − h

a

d

)= ax0 + b0 = c.

O fato de não existirem outras soluções é visto como segue. Sem perda de general-idade, seja b 6= 0. (Senão trocaríamos a e b, observando que quando h percorre os inteiros−h também o faz). Uma vez que

ax+ by = c = ax0 + by0,

segue queax− c ≡ 0(mod|b|),

e logo pelo Lema 2.1.4 (com a0 = −c,m = |b|) temos

x ≡ x0

(mod|b|d

),

x = x0 + hb

d,

by = c− ax = c− a(x0 + h

b

d

)= (c− ax0)− b

ha

d= by0 − b

ha

d= b

(y0 − h

a

d

),

y = y0 − ha

d.

Exemplo 2.1.6. Determine todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantinalinear:

5x− 11y = 29.

Como 11 = 5.2 + 1, segue que o mdc, (5, 11) = 1. Para 5x − 11y = 1 temos asolução imediata x = −2 e y = −1.

Para 5x− 11y = 29, teremos x = −2.29 = −58 e y = −1.29 = −29.As demais soluções inteiras são da forma x = −58 + −11

1t = −58 − 11t e y =

−29− 51t = −29− 5t. Como as soluções devem ser positivas:

−58− 11t > 0⇒ −11t > 58⇒ 11t < −58⇒ t <−58

11ou t < −6(t deve ser inteiro).

−29− 5t > 0⇒ −5t > 29⇒ 5t < −29⇒ t <−29

5⇒ t < −6.

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Portanto as soluções inteiras e positivas são:

x = −58− 11t e y = −29− 5t, para t inteiro e t < −6.

2.2 Ternos Pitagóricos

Queremos estudar as soluções (x, y, z) da equação x2 +y2 = z2, com x, y, z inteirosnão nulos. Após determinar tais soluções, veremos como podemos utilizar as informaçõesobtidas para resolver outras equações em números inteiros. O resultado fundamental é oseguinte:

Teorema 2.2.1. As soluções (x, y, z) da equação x2 + y2 = z2, com x, y, z inteiros nãonulos, são dadas por

(x, y, z) = (2uvd, (u2 − v2)d, (u2 + v2)d)

ou(x, y, z) = ((u2 − v2)d, 2uvd, (u2 + v2)d)

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u 6= v,(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas.

Demonstração:Sejam x, y, z inteiros positivos quaisquer satisfazendo a equação acima (os demais

casos são análogos) e d o mdc de x e y. Então d2 divide z2, e daí d divide z. Existemportanto inteiros não nulos a, b, c, com mdc(a, b) = 1, tais que (x, y, z) = (da, db, dc).Ademais, como

x2 + y2 = z2 ⇐⇒ a2 + b2 = c2

basta determinarmos as soluções (a, b, c) da equação, sujeitas à condição (a, b) = 1 (quepor sua vez implica (a, c) = 1 e (b, c) = 1).

Note agora que, dado um inteiro qualquer t, temos que t2 deixa resto 0 ou 1 nadivisão por 4, quando t for respectivamente par ou ímpar. Assim, se fossem a e b ímpares,teríamos a2 e b2 deixando resto 1 na divisão por 4, e daí c2 = a2 + b2 deixaria resto 2

quando dividido por 4, o que é um absurdo. Como a e b são primos entre si, não podemser ambos pares. Há então dois casos: a ímpar e b par, a par e b ímpar. Analisemos oprimeiro caso (o segundo é análogo).

Se a for ímpar e b par, então c também é ímpar. De a2 + b2 = c2 obtemosb2 = (c− a)(c+ a), e não é difícil concluir que (c− a, c+ a) = 2. Podemos então escrever(

b2

)2=(

c−a2

) (c+a2

). Note que

(c−a2

)e(

c+a2

)são primos entre si.

Mas se o produto de dois naturais primos entre si(

c−a2

)e(

c+a2

)é um quadrado

perfeito, então cada um deles deve ser um quadrado perfeito. Existem então inteiros

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positivos primos entre si u e v, tais que c − a = 2v2, c + a = 2u2, e daí (a, b, c) =

(u2 − v2, 2uv, u2 + v2).Note ainda que, como u2 +v2 = c é ímpar, u e v devem ter paridades distintas. Por

substituição na equação original, concluímos que os ternos acima são realmente soluçõesda equação, de modo que nada mais há a fazer.

Definição 2.2.2. Um terno de inteiros positivos (x, y, z) tais que x2 + y2 = z2 é denom-inado um terno Pitagórico, em alusão ao matemático grego Pitágoras e seu famosoteorema sobre triângulos retângulos. De fato, um tal terno (x, y, z) determina um triân-gulo retângulo de catetos x e y e hipotenusa z inteiros.

Exemplo 2.2.3. Consideremos a tarefa de determinar as soluções inteiras não nulas daequação x2 + y2 = 2z2, com x 6= y.

Em uma qualquer dessas soluções, devemos ter x e y com a mesma paridade, poiscaso contrário x2 + y2 seria um número ímpar. Assim, existem inteiros a e b tais que

x = a+ b e y = a− b

Basta tomarmos a = 12(x+y) e b = 1

2(x−y), notando que x+y e x−y são números

pares. Substituindo as expressões acima para x e y na equação original, concluímos que

x2 + y2 = 2z2 ⇐⇒ a2 + b2 = z2

Então, de acordo com o teorema acima, podemos escrever

(a, b, z) = (2uvd, (u2 − v2)d, (u2 + v2)d) ou (a, b, z) = ((u2 − v2)d, 2uvd, (u2 + v2)d, )

onde d, u e v são inteiros não nulos, com u 6= v, (u, v) = 1 e u e v de paridades distintas.Segue daí que as soluções (x, y, z) de nossa equação são de um dos tipos abaixo,

onde d, u e v satisfazem as mesmas condições do teorema acima.

(x, y, z) = (2uvd+ (u2 − v2)d, 2uvd− (u2 − v2)d, (u2 + v2)d)

ou(x, y, z) = ((u2 − v2)d+ 2uvd, (u2 − v2)d− 2uvd, (u2 + v2)d)

Observe que uma outra maneira de abordar os ternos pitagóricos é considerar osdomínios euclidianos. O problema pode ser reduzido ao caso que x, y, z são relativamenteprimos. Um lema importante nesse contexto é o seguinte:

Lema 2.2.4. Se x e y são relativamente primos em Z, então também serão em Z[i].

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Segue disso que os únicos divisores comuns de x+ iy e x− iy em Z[i] serão 1 e 1− i.Além disso, x+ iy e x− iy são relativamente primos em Z[i ] se, e somente se, x2 + y2 forímpar. A demonstração desse fato utiliza resultados de divisibilidade, irredutibilidade eo fato de Z[i] ser um domínio de fatoração única.

Com isso, conseguimos caracterizar as soluções do problema, com x e y relati-vamente primos em Z: dizer que a tripla (x, y, z) é solução,será equivalente a escreverx + iy = a(a + bi) , com a e b ∈ Z e a invertível em Z[i] , o que também é equivalente ax = (m2 − n2) e y = mn com m,n ∈ Z relativamente primos e de paridades distintas.

2.3 Descida de Fermat e equações sem solução

Aqui veremos alguns exemplos de equações diofantinas sem solução e um métodopara resolvê - las: o método da descida de Fermat.

Exemplo 2.3.1. A equação 3x2 + y2 = 2z2 não possui soluções inteiras não nulas.

Suponha o contrário. Então a equação possui uma solução (x, y, z) em inteirospositivos. Então, dentre todas as soluções (x, y, z), com x, y e z inteiros positivos, existeuma (x, y, z) = (a, b, c) para a qual z = c é o menor possível. Trabalhemos tal solução.

Vamos usar o seguinte fato, que pode ser provar facilmente: se um inteiro u nãofor múltiplo de 3, então deixa resto 1, quando dividido por 3. Então, se b não for múltiplode 3, teremos de 3a2 + b2 = 2c2 que c também não será múltiplo de 3. Olhando os restosde cada termo da equação por 3, teremos que 3a2 + b2 deixa resto 1 e 2c2 deixa resto2.1 = 2. Logo, não poderia ser 3a2 + b2 = 2c2.

Assim, b deve ser múltiplo de 3, digamos b = 3b1. Daí vem que 3a2 + 9b21 = 2c2,e c também é múltiplo de 3, digamos c = 3c1. Substituindo na equação, chegamos aa2 + 3b21 = 6c21.

Então, a também é múltiplo de 3. Sendo a = 3a1, a equação acima nos dá 3a21+b

21 =

2c21, e (a1, b1, c1) é uma outra solução de nossa equação original, com c1 = c3< c. Mas

isso é uma contradição, pois partimos de uma solução na qual o valor de z era c, mínimopossível. Logo, nossa equação não possui soluções não nulas.

O método utilizado na solução do exemplo acima recebe um nome especial: métododa descida (devido ao matemático francês Pierre Simon de Fermat) e consiste então noseguinte:

i Supor que uma dada equação possui uma solução em inteiros não nulos.

ii Concluir daí que ela possui uma solução em inteiros positivos que seja, em algumsentido, mínima.

iii Deduzir a existência de uma solução positiva menor que a mínima, chegando a umacontradição.

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Já que determinamos acima as soluções da equação de Pitágoras, nada mais naturalque tentar estudar a equação mais geral abaixo, denominada equação de Fermat. Aqui,n > 2 é um inteiro fixado

xn + yn = zn.

Por cerca de três séculos os matemáticos defrontaram-se com o problema de decidirsobre a existência de soluções não nulas (x, y, z) dessa equação, problema que somente foiresolvido na década de noventa, utilizando métodos muitíssimo complexos.

Vamos aproveitar o método da descida para analisar um caso simples dessa equação,aquele em que n é um múltiplo de 4.

Teorema 2.3.2. Se n for múltiplo de 4 então não existem inteiros não nulos x, y e z taisque

xn + yn = zn

Demonstração:Seja n = 4k, k natural. Se xn + yn = zn, então teremos (xk)4 + (yk)4 = (z2k)2 ,

ou seja, (xk, yk, z2k) será uma solução da equação a4 + b4 = c2. Assim, basta mostrarmosque essa última equação não admite soluções não nulas. Por absurdo, suponhamos queexistam inteiros positivos a, b e c tais que a4 + b4 = c2. Podemos também supor quea, b e c foram escolhidos de tal modo que não há outra solução positiva a′, b′, c′ comc′ < c (aqui vamos usar o método da descida). Então a e b são primos entre si, e oTeorema 2.2.1 garante a existência de inteiros positivos primos entre si u e v tais quea2 = u2 − v2, b2 = 2uv e c2 = u2 + v2. Como a2 + v2 = u2, segue novamente do Teorema2.2.1 a existência de inteiros positivos primos entre si p e q tais que a2 = p2− q2, v2 = 2pq

e u2 = p2 + q2. Mas aí b2 = 2uv = 4pq(p2 + q2).Como p e q são primos entre si, temos que ambos são também primos com p2 + q2.

Portanto, sendo 4pq(p2 + q2) um quadrado devemos ter p, q e p2 + q2 quadrados, digamosp = α2, q = β2, p2 + q2 = γ2, com α, β, γ positivos. Por fim, segue que α4 + β4 = γ2, comc = u2 + v2 > u = p2 + q2 = γ2 ≥ γ contrariando a minimalidade de c. Logo, não hásoluções não nulas de xn + yn = zn quando n for múltiplo de 4.

2.4 A equação de Pell

Nesta seção discutiremos um tipo particular de equação diofantina: a chamadaEquação de Pell.

Definição 2.4.1. Seja d um inteiro positivo que não seja um quadrado. Nesse caso,sabemos que

√d é irracional. Chamamos equação de Pell à equação

x2 − dy2 = m

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onde m é um inteiro qualquer.É claro que no caso m = 0 a equação não admite soluções além da trivial x = y = 0,

pois se esse fosse o caso teríamos x e y não nulos, e daí√d = x

y, um racional.

Nosso objetivo principal é mostrar que uma equação de Pell tem infinitas soluções.Para isso precisaremos de alguns lemas auxiliares.

Lema 2.4.2. Seja ξ um irracional qualquer. Existem infinitos racionais xy, com x e y

inteiros não nulos primos entre si, tais que∣∣∣∣xy − ξ∣∣∣∣ < 1

y2.

Lema 2.4.3. Seja d um inteiro positivo que não seja um quadrado. Existe um inteiro mpara o qual a equação x2 − dy2 = m admite infinitas soluções inteiras.

Teorema 2.4.4. (Soluções da Equação de Pell)Seja d um inteiro positivo que não seja um quadrado. A equação x2 − dy2 = 1

admite infinitas soluções em inteiros positivos x, y. Ademais, existe uma solução eminteiros positivos x1, y1 tal que todas as demais soluções dessa equação são da formaxn + yn

√d = (x1 + y1

√d)n, onde n é um número natural.

Demonstração:Admitamos por enquanto que nossa equação tenha uma solução em inteiros posi-

tivos x, y. Dentre todas essas soluções, escolha aquela x1, y1 tal que α = x1 + y1

√d seja

o menor possível.Dado um natural qualquer n, sabemos que existem inteiros positivos xn, yn tais

que (x1 + y1

√d)n = xn + yn

√d. Daí, sabemos que

(x1 − y1

√d)n = xn − yn

√d

e assim,1 = (x2

1 − dy21)

n = (x1 + y1

√d)n(x1 − y1

√d)n =

= (xn + yn

√d)(xn − yn

√d) = x2

n − dy2n

Então todos os pares xn, yn são soluções da equação.Seja agora (x, y) uma solução qualquer em inteiros positivos. Para terminar, basta

mostrarmos que existe um natural n tal que x+ y√d = αn. Suponha o contrário. Então

existe um natural n tal que αn < x+ y√d < αn+1. Daí, vem que 1 < α−n(x+ y

√d) < α.

Masα−n(x+ y

√d) = (x1 + y1

√d)−n(x+ y

√d) = (xn + yn

√d)−1(x+ y

√d)

(xn − yn

√d)(x+ y

√d) = (xxn − dyyn) + (xny − ynx)

√d

24

e ocorre que

(xxn − dyyn)2 − d(xny − ynx)2 = x2

n(x2 − dy2) + y2n(dy2 − x2) = x2

n − dy2n = 1

de modo que α−n(x + y√d) = (xxn − dyyn, xny − ynx) também é solução. Como 1 <

α−n(x+y√d) < α basta mostrarmos que xxn−dyyn, xny−ynx > 0 para chegarmos numa

contradição. Sejam a = xxn − dyyn e b = xny− ynx . Temos a+ b√d > 0 e a2 − db2 = 1,

donde a− b√d = (a+ b

√d)−1 > 0.

Então, 2a = (a+b√d)+(a−b

√d). Por outro lado, a+b

√d > 1 implica a−b

√d =

(a+ b√d)−1 < 1, e daí b

√d > a− 1 ≥ 0. Logo, b > 0.

Para terminar, basta mostrarmos que a equação x2−dy2 = 1 admite uma solução.Tome, de acordo com o Lema 2.4.3, um inteiro (não nulo) m tal que x2 − dy2 = m ad-mita uma infinidade de soluções. Podemos escolher duas dessas soluções, (x1, y1), (x2, y2)

digamos, tais que |x1| 6= |x2| mas x1 ≡ x2 e y1 ≡ y2, módulo m. Então

(x1 + y1

√d)(x2 − y2

√d) = (x1x2 − dy1y2) + (x2y1 − x1y2)

√d. (2.4.3)

Mas x1x2 − dy1y2 ≡ x21 − dy2

1 ≡ 0(modm) e x2y1 ≡ x1y2(modm), donde existeminteiros u e v tais que x1x2 − dy1y2 = mu, x2y1 − x1y2 = mv.

Segue de 2.4.3 que (x1 + y1

√d)(x2 − y2

√d) = m(u+ v

√d), e daí

(x1 − y1

√d)(x2 − y2

√d) = m(u− v

√d).

Multiplicando ordenadamente essas duas igualdades, chegamos a

m2 = (x21 − dy2

1)(x22 − dy2

2) = m2(u2 − dv2)

ou seja, u2 − dv2 = 1. Resta mostrarmos que u e v são não nulos. Se u = 0 teríamos−dv2 = 1, um absurdo. Se v = 0, viria u = 1 ou −1. De 2.4.3 seguiria que (x1 +

y1

√d)(x2− y2

√d) = ±m, e assim (x1 + y1

√d) = ±(x2 + y2

√d), donde por fim |x1| = |x2|,

o que é um absurdo.

Exemplo 2.4.5. Determine todas as soluções inteiras não nulas da equação

x2 − 2y2 = 1

O Teorema 2.4.4 ensina que as soluções positivas dessa equação são da forma(xn, yn), onde xn e yn são os únicos inteiros para os quais xn + yn

√2 = (x1 + y1

√2)n,

sendo (x1, y1) a solução positiva para a qual x1 + y1

√2 é o menor possível.

Como os pares (x, y) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3) não são soluções da equaçãoe (3, 2) é, é fácil nos convencermos de que (x1, y1) = (3, 2). Desse modo, temos os pares

25

xn, yn dados pela igualdade xn + yn

√2 = (3 + 2

√2)n.

2.5 Equações diofantinas não lineares

Veremos nesta seção dois exemplos de equações diofantinas não lineares.

Vimos nos Exemplos 1.4.4 e 1.4.5 que de fato, Z[i] e Z[√−2] são domínios euclid-

ianos, assim podemos resolver as equações nestes domínios.

Exemplo 2.5.1. Considere a seguinte equação diofantina:

y2 + 1 = x3 (2.5.4)

Encontre todas as soluções inteiras dessa equação, com x, y 6= 0 em Z.

Primeiramente suponha que x é par, daí podemos escrever x = 2k, para algum k

inteiro, isso implica que y é ímpar e que y2 ≡ 1(mod8). De fato,

x = 2k ⇒ y2 + 1 = 8k3 ⇒ y2 = 8k3 − 1⇒ y é ímpar

e, daí

y = 2t+ 1, para algum t inteiro ⇒ y2 = 4t2 + 4t+ 1 = 4t(t+ 1) + 1

agora temos que t ou t+ 1 é par, o que implica que y2 ≡ 1(mod8).

Por outro lado, se x é par temos que:

x = 2k ⇒ y2 = 8k3 − 1⇒ y2 ≡ 7(mod8).

Portanto, temos que ter x ímpar, o que implica que y é par.Agora vamos trabalhar em Z[i]. Escreva:

y2 + 1 = (y + i)(y − i) = x3.

Tome δ ∈ Z[i], diferente de uma unidade, tal que δ divide y+ i e y− i, então δ|2i,e podemos escrever, δz = 2i, para algum z ∈ Z[i], o que implica que δz(−i) = 2i(−i), oque segue que δ|2. Assim N(δ) é par, mas N(y + i) é ímpar, o que é um absurdo. Logotemos que ter que δ é uma unidade.

Dessa forma, y− i e y+ i não tem nenhum fator em comum diferente da unidade ecomo, (y− i)(y+ i) é um cubo perfeito temos que y+ i = u(a+ bi)3 e y− i = u1(a1 + b1i)

3,onde u e u1 são unidades. Agora, as unidades em Z[i] são ±1 e ±i, que são cubos perfeitos,logo podemos assumir que y + i = (a+ bi)3 e daí

26

y + i = a3 + 3a2bi− 3ab2 − b3i = a3 − 3ab2 + (3a2b− b3)i.

Comparando as partes imaginária, temos

1 = 3a2b− b3 = b(3a2 − b2).

Portanto segue que a equação y2 + 1 = x3 não tem solução em Z.

Exemplo 2.5.2. Considere a seguinte equação diofantina:

y2 + 2 = x3 (2.5.5)

Encontre todas as soluções inteiras dessa equação, com x, y 6= 0 em Z.

Suponha inicialmente que x é par, daí

x = 2k, para algum k inteiro ⇒ y2 + 2 = 8k3 ⇒ y2 ≡ −2(mod4).

Temos então que y é par, e podemos escrever

y = 2t, para algum t inteiro⇒ y2 = 4t2 ⇒ y2 ≡ 0(mod4).

Portanto temos que ter x ímpar, que implica que y também tem que ser ímpar.Vamos trabalhar agora em Z[

√−2]. Escreva:

y2 + 2 = (y −√−2)(y +

√−2) = x3.

Tome δ ∈ Z[√−2], diferente de uma unidade, tal que δ divide y−

√−2 e y+

√−2

então δ|2√−2, e podemos escrever δz = 2

√−2, para algum z ∈ Z[

√−2], isso implica que

N(δ) é par, o que não é possível, pois temos que existe t ∈ Z[√−2] tal que

δt = y +√−2⇒ N(δ)N(t) = y2 + 2, mas y2 + 2 é ímpar.

Portanto segue que δ é uma unidade. De maneira análoga do exemplo acima,y −√−2 e y +

√−2 não tem nenhum fator em comum diferente da unidade e como,

(y−√−2)(y+

√−2) é um cubo perfeito temos que y+

√−2 = u(a+b

√−2)3 e y−

√−2 =

u1(a1 + b1√−2)3, onde u e u1 são unidades. Agora, as unidades em Z[

√−2] são ±1, que

são cubos perfeitos, logo podemos assumir que

y +√−2 = (a+ b

√−2)3 = a3 − 6ab2 + (3a2b− 2b3)

√−2.

Comparando as partes real e imaginária temos que y = a3− 6ab2 e 1 = 3a2b− 2b3.

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Portanto, temos queb(3a2 − 2b) = 1⇒ b = ±1.

Se b = 1, então (3a2 − 2b) = 1, o que implica que a = ±1.Se b = −1, então (3a2− 2b) = −1, o que implica que 3a2 = 1. Logo, temos que ter

b = 1, como vimos isso implica que a = ±1. Suponha então b = 1 e a = 1, daí temos quey = −5. Suponha agora que b = 1 e a = −1, isso implica que y = 5. Portanto, y = ±5, oque segue que x = 3.

Assim as soluções inteiras da equação 2.5.5 são y = ±5 e x = 3.

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REFERÊNCIAS

[1] DEAN, Richard A. Elementos de álgebra abstrata; tradução de Carlos Alberto A.de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1974.

[2] DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. Álgebra moderna. 4. ed. São Paulo:Atual, 2003.

[3] HERNSTEIN, I. N. Tópicos de álgebra; tradução de Adalberto P. Burgamascoe L.H. Jacy Monteiro. São Paulo: Polígono, 1970.

[4] JANESCH, O. R. Álgebra II. 1. ed. Florianópolis: UFSC/EAD/CDE/CFM, 2008.v. 1. 216 p.

[5] LANDAU, E. Teoria elementar dos números. Rio de Janeiro: Ciência Moderna,2002.

[6] BOLLAUF, Maiara F. Contribuições de Galois para a solução dos proble-mas clássicos da Geometria. Joinville: UDESC, 2012. 82 p. Trabalho de Graduação -Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2012.

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