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Universidade do Vale do Rio dos Sinos – UNISINOS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Modelagem matemática
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Definição inicial do sistema
Geometria e configuração do sistema
Diferentes componentes ou subsistemas que constituem o sistema
Interação entre os vários componentes
Quantidades dadas ou fixadas no sistema
Valores iniciais das variáveis de projeto
1 2 3 4
5 6 7 8
1 Processo físico, sistemas e componentes
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• Definir as características físicas dos
componentes de cada sistema e como eles se combinam, em termos de material, fluxos de calor e fluido, etc.
• O comportamento do sistema pode ser representado graficamente (qualitativa e idealizada)
• Variações de T, p e V com z e t podem indicar a natureza do processo
• Os números e detalhes quantitativos são obtidos através de cálculos analíticos e numéricos.
Sistema de refrigeração por compressão de vapor
Sistema de refrigeração por absorção
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2 Modelagem
• É o processo de simplificar um dado problema de modo que possa ser
representado em termos ou de um sistema de equações, para análise, ou de um arranjo físico, para experimentação (modelo);
• MODELO: idealização da realidade que retém suas principais característica e que é matematicamente tratável;
• Procedimentos analíticos e experimentais são empregados para modelar o sistema.
• Modelamento: entender e predizer o comportamento e características dos sistemas térmicos.
Entradas: variedade de condições operacionais
Saída: caracteriza o comportamento do sistema
• Precisão e validade do modelo
1 2
3 4
5 6 7 8
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Modelos Descritivos: descrevem e explicam vários fenômenos físicos.
Ex: modelos de um motor de combustão interna, um trocador de calor, ou uma bomba de água, construídos em plástico transparente ou com um corte, são usados para explicar como o dispositivo funciona internamente e os mecanismos básicos.
Modelos de Predição: permitem prever o desempenho de um
sistema. São de interesse para projeto.
Ex: A equação que rege o resfriamento de uma esfera de metal imersa em um banho de água fria.
T=f(r,t, Ti, propriedades, propriedades da água e do material)
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Na Modelagem de Sistemas Térmicos
Deve-se considerar variações de espaço e tempo, mecanismos não lineares, complicadas condições de contorno, processos de transferência combinados, geometrias complexas, propriedades variáveis.
e os Modelos
São governados por equações dependentes do tempo, multidimensionais, diferenciais parciais não lineares com complicados domínios e condições de contorno.
- Ter percepção física do problema:
- base para simplificação e obtenção de um modelo
- resultado da experiência com sistemas térmicos.
- Ser um processo inovador, baseado na experiência, conhecimento e originalidade.
- Usar técnicas de análise dimensional e similitude
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Importância dos experimentos e dados
- Ajudam a análise dimensional para determinar parâmetros adimensionais importantes
- Validação dos modelos matemáticos ou numéricos
- Estabelecer a precisão dos resultados obtidos
Ajuste de curvas:
- para obter correlações apropriadas para caracterizar os dados
- representar dados numéricos de forma compacta e conveniente
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Tipos de modelos de predição
a. Modelo de Analogia e Similaridade
Ex:
1. Condução através de parede multicamadas
Analogia com circuito elétrico:
Resist. elétrica Resist. Térmica
I fluxo de calor
V T
2. Similaridade: Analogia Transferência de Calor e Transferência de Massa
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b. Modelo matemático
Representa o desempenho e as características de um sistema por equações matemáticas
Modelo pode ajudar na compreensão física ou na curva de ajuste de dados experimentais ou numéricos
1. Teórico (ou Analítico): Utiliza os princípios da física e da química para obter as equações diferenciais que regem o processo a ser modelado; 2. Empírico (ou Experimental): Usa a observação direta dos dados operacionais do processo para obter as equações que o descreve.
Ex: correlações de transferência de calor na convecção
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Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico é gerado em duas etapas: 1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real. Simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída escolhidas. 2. Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações do modelo físico. Leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações (diferenciais ordinárias) para as variáveis de entrada e de saída.
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Modelo físico: assemelha-se ao sistema real em suas características mais importantes, mas é mais simples. É usado para obter dados experimentais do comportamento do sistema
Escoamento de fluido sobre um carro
Estudos em túnel de vento para verificar a força de arraste agindo no corpo ou a transferência de calor
Transferência de calor de um corpo
aquecido
A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração. • Aproximações possíveis: – Desprezar pequenos efeitos; – Assumir que o ambiente em torno do sistema não seja afetado por ele; – Substituir características distribuídas por concentradas; – Assumir relações lineares entre as variáveis físicas; – Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo; – Desprezar incertezas e ruídos.
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Ex: Tanque para aquecimento de uma dada substância (Sistema Real) Modelo Físico:
• Hipóteses:
– O tanque é termicamente isolado; – Não há armazenamento de calor no isolamento; – O líquido no tanque está perfeitamente misturado, isto é, a T é uniforme e igual a temperatura de saída.
• Variáveis utilizadas:
– Temperatura: T(t) [°C]; - Calor armazenado em um corpo: Q [kJ] – Taxa de calor: q [kW]
• Processo:
- Em um intervalo de tempo dt, entra no tanque uma massa dm à temperatura Te < Ts. - A massa m recebe calor do aquecedor e transfere calor para a massa dm. - Como dm é muito pequena quando comparada a m, a temperatura de dm varia de Te a Ts no intervalo de tempo dt.
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Então, para a substância de saída (quente), aplicando balanço:
Mas,
Logo:
• Da equação:
– Parâmetros do sistema: C (capacidade calorífica, mcp) e R resistência térmica
– Variáveis externas a serem fornecidas
em função do tempo para que a equação tenha solução: qe(t) e Te(t) – Incógnita: Ts(t) – Condição inicial: Ts em t=0 – Caso dTs(t)/dt = 0, tem-se o modelo em regime estacionário.
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Modelo numérico: baseados em modelos matemáticos onde as equações que descrevem o processo (algébricas, ordinárias, diferenciais parciais, integrais) são discretizadas
- Métodos de solução: diferenças finitas, elementos finitos, volumes finitos
- Exige validação
Os modelos podem também ser classificados como: 1. Permanente ou dinâmico Permanente ou estacionário: propriedades ou variáveis de operação não variam com o tempo Dinâmico ou transiente: aspectos dependentes do tempo Ex: desenvolvimento de sistemas de controle para processos térmicos e dispositivos, materiais, tratamento térmico
tempo
tem
pera
tura
Estado estacionário
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2. Determinístico ou probabilístico Determinístico: envolve certezas (análise de sistemas térmicos) Probabilístico: envolve incertezas, que podem ser consideradas como randômicas ou representados por distribuições de probabilidade (modelos para fornecimento e demanda)
3. Concentrado ou distribuído
Concentrado: envolve valores médios em dado volume
Ex: Temperatura considerada uniforme
- Em regime permanente equações algébricas são obtidas, invés de equações diferenciais. Equipamentos de AC e refrigeração, motores de combustão interna, plantas de potência...
- Em transiente a mudança de variáveis somente com o tempo, T(t), resulta em equações diferenciais ordinárias, invés de parciais.
- Distribuído: dá informações na variação espacial, T(x,t)
tem
pera
tura
tempo
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4. Discretos ou Contínuos Discretos: foca em itens individuais (estudo do transporte e variação de temperatura de um corpo) Contínuos: diz respeito ao fluxo de matéria no contínuo (o escoamento de gases quentes e energia térmica)
Considerações na modelagem Dimensões espaciais: número de dimensões espaciais para modelar um sistema - uni, bi e tridimensional Ex: cilindro longo unidimensional em r, parede plana de espessura L Simplificação das condições de contorno: Aproximar as fronteiras como lisas, desprezando a rugosidade, com geometria mais simples (placa plana, cilindro e esfera) e condições uniformes. Ex: corpo humano pode ser aproximado por um cilindro vertical longo
distribuição de velocidade não é importante para um canal longo, já que o
escoamento se desenvolve rapidamente.
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Efeitos que podem ser desprezados: efeito da radiação em relação à convecção a baixas temperaturas variação do volume de um material na mudança de fase
Idealizações: sistemas reais podem ser considerados em termos de seu comportamento ideal e o desempenho dado em termos de eficiência, COP ou efetividade. Ex: dispositivos termodinâmicos como turbinas, trocadores de calor, compressores, etc., idealizar quanto às perdas de energia, atrito, vazamento de fluidos processo isoentrópico trocador de calor isolado
Propriedades dos materiais: dependem de variáveis como temperatura e concentração.
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Leis de Conservação: massa, momento e energia formam a base das equações que governam sistemas e processos térmicos. Ex: considerando sistemas termodinâmicos em regime permanente e o modelo concentrado: - Balanço de energia na superfície interna da parede de um forno sob condições de regime permanente: equação não linear que requer método iterativo de solução; - Condução em uma parede unidimensional e transiente: k constante
- Equação da energia tridimensional em regime permanente:
)TT(L
k)TT(h)TT( ses is iq
4si
4q
x
Tk
xt
TC
2
2
x
T
t
T
0z
T
y
T
x
T2
2
2
2
2
2
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EXEMPLOS Planta de potência
W
W
q q
q
W
q
Sistema de refrigeração
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Suposições para cada componente: Condições de regime permanente ( dependência do tempo desprezada) Modelo de fluxo e temperatura concentrados (condições uniformes assumidas) Para o sistema de refrigeração, os balanços de energia são: No condensador: No evaporador: No compressor: Então o desempenho do sistema é dado por:
)hh(mq 32cond
)hh(mq 41evap
)hh(mW 12
12
41
evap hh
hh
q
WCOP