UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROINSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplinas: Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período

EDinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 5: Flambagem de Colunas

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

• 5.1 Carga Crítica em Coluna Ideal com Apoios de Pino• 5.2 Colunas com Vários Tipos de Apoio• 5.3 Fórmula da Secante• 5.4 Flambagem inelástica , Projetos concêntricos e excêntricos (Curiosidade)

OBJETIVOS:

• Determinar carga axial crítica para flambagem de colunas ideais e reais.• Discutir métodos para projetar colunas com cargas concêntricas e excêntricas.

“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”THOMAS FULLER, M.D.

5.1 Carga Crítica em Coluna Ideal com Apoios de PinoElementos compridos e esbeltos, submetidos à uma carga axial crítica de compressão Pcr ,

estarão em equilíbrio instável, sujeitos à Flambar, e podem falhar subitamente;Definição de Pcr para uma coluna apoiada em pino;Em uma coluna ideal (homogênea, carga no centróide,linear elástica,fletindo em plano único), P aumentaria até escoar longitudinalmente,Se atingido um Pcr ; com qq pequena F lateral ela fletirá, retirando F ela ficará fletida, se ela retornar é pq P<Pcr;A estabilidade depende de M e da deflexão v na seção;Sabemos que (se elástica com pequeno v) e aqui logo (E.D. homog. 2º ordem coef. ctes)Sol. Geral: C.C:Se -> (sol. trivial, coluna reta) Se , ou

Pcr será primeira e menor carga (quando n=1);Neste estado teremos;Conclusões;-Pcr aumenta se L diminui ou I aumenta (seção transv. longe do eixo centroidal)-Flambagem ocorre no eixo da seção transversal de menor I. Ex: -Logo sessões circulares e quadradas são ótimos .

(Carga de Euler)(p/ elástica com pequeno v)

(veja que; vmáx = C1 em x=L/2 )

è conveniente expressar (A= área da seção, r = raio de giração da área) então: ,Logo:

Resumindo:

O denominador (L/r) é denominado índice de esbeltez (mede flexibilidade e classifica como comprida, curta ou média) (veremos melhor à frente).

Gráfico tensão crítica x índice de esbeltez;

Ex: (Substituindo (σE)aço =36ksi em σcr na fórmula, obtemos o menor índice de esbeltez admíssivel > 89.

Para L/r > 89, estamos na região elástica, e podemosusar a fórmula de Euler para obter Pcr de flambagem.

Exemplo: Uma coluna construída com perfil W8 X 31 de aço A-36, deve ser usado como representado. Determinar a maior carga axial que ela suportará antes que a flambagem se inicie ou o aço escoe saben-do que seu comprimento é de 12 pés.Sol:Observando a tabela do Apêndice B temos:Logo a flambagem ocorre em y-y (menor I).Aplicando a fórmula de Euller vemos qual deveria ser a carga crítica para as dimensões dadas;

Esta carga daria uma tensão média de; Tensão está acima do do aço (tabela), Então limitamos a carga pelo escoamento na compressão e não pela flambagem na fórmula de Euller (que valeria apenas na região elástica ultrapassada);

Obs: Poderíamos obter σcr por com o raio de giração r=2,02pol(tabela), confira!

Fazer: A alavanca de Aço A-36 é usada para operar uma prensa simples que comprime latas. Determinar o menor diâmetro d da haste BC, com aproximação de 1/8 pol, que pode ser usado se a força máxima P aplicada à alavanca é P = 60 lb. A haste está presa por pino nas extremidades.

5.2 Colunas com Vários Tipos de ApoioVimos, na fórmula de Euler para 2 apoios de pino, que o comprimento total da viga (L) representava a distância entre os pinos (pts onde o Momento fletor é nulo).Para usar Euler em outros tipos de apoio, basta determinar o comprimento efetivo (Le) entre os pts de Momento fletor nulo (vimos no tema4 que eles ocorrem nos pts de inflexão).Veja;Logo;

Mas usa-se um fator de comprimento efetivo (k);Veja;

Então;

e

Aqui é o índice de esbeltez efetivo.

Exemplo: A coluna de tubo de aço A-36 com 12 pés de altura tem diâmetro externo de 3 pol e espessura de 0,25 pol. Determinar a carga crítica supondo que a extremidade inferior esteja engastada e a superior seja presa por pino.Sol:As propriedades da seção são;

A fórmula de Euler para apoio pino/engaste será;

onde k=0.7.Obtemos a tensão:

que não extrapola a tensão de escoamento 36kip do aço A-36.

Portanto a análise por Euler é valida e Pcr=58kip.

Fazer: O piso é suportado pelas duas colunas quadradas de 40 mm de lado. A coluna AB está presa por pino em A e engastada em B, enquanto CD está presa por pino em C e D. Supondo que o piso esteja impedido de se movimentar para os lados, determinar a carga mais pesada que pode ser aplicada sobre ele sem provocar flambagem das colunas. O centro de gravidade da carga está localizado em d = 2 m. Ambas as colunas são feitas de abeto Douglas.

5.3 Fórmula da SecanteEuler pressupôs P aplicada no centróide, e coluna mantendo-se reta até flambar em Pcr.

Considerando; A e B em pinos, elástica e deflexões pequenas. Analisaremos como em 5.1;Temos;(Eq. Dif. ñ Homogênea)Sol. Geral; as C.C fornecem as ctes;

;

Fazemos as subst. trig.; , e -> ;Assim escrevemos a equação da deflexão;vmáx ocorre no centro, , então reescrevemos;

FÓRMULA DA SECANTE:È sabido que σmáx na seção (fig. (b)) é dada por;Vemos na fig. (b) que

Mas na realidade flambagem inicia ao aplicar P (como se P fosse aplicada ‘e’ excêntrica).

Portanto;

Atenção: quando não há excentricidade(e=0), e sec. tende para infinito, obtemos a carga axial no centróide P=Pcr;

(novamente Euler se e=0)

Lançando M e vmáx (com I=r2A), na fórmula da tensão normal máx. acima, temos a FÓRMULA DA SECANTE;

RESUMINDO;

Graficamente relacionamos

(esbeltez relativa) X (tensão média)Para diferentes razões de excentricidade; Note que;• Se ‘e’=0 , temos a curva de Euler (P/A=Pcr/A)• Estamos na reg. Elástica->gráfico não ultrapassa σE=36ksi.• ‘e’ tem efeito mais marcante para esbeltez menor.• Mais esbeltos falham próximo à Euler, qq que seja ‘e’.

Concluindo para projetar;1º determinamos , e a σmáx admissível (σE) da coluna.2º estimamos PE através de P/A por tentativas na fórmula ou no gráfico Atenção; PE=Pcr apenas se e=0 (Euler), caso contrário (carga excêntrica)teremos PE<Pcr.

Exemplo para aço A-36

Exemplo: O elemento de aço A-36, perfil W14 X 30, usado como uma colunade 20 pés engastada na base e no topo. Determine a carga excêntricamáxima P de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar essevalor com uma carga axial crítica P‘ aplicada através do centroide da coluna.Sol:As propriedades da seção são tabeladas;

A fórmula de Euler estima a carga crítica quando e=0; (flambagem neste caso ocorre em y-y (menor I obtido)) (engaste/engaste)

Euler só vale na região elástica, vamos ver se P’ atinge a tensão de escoamento; (Limite extrapolado (> 36ksi))

Então limitamos P’ pela tensão de escoamento;Considerando a carga excêntrica como mostrada, flamba em x-x, vamos buscar P que admita σmáx= σE=36ksi através da fórmula da secante, ;

Resolvendo por tentativa e erro;

(limitamos por estacarga excêntrica )

Fazer: O elemento de aço A-36, perfil W14 X 30, usado como uma colunade 20 pés livre em cima e engastada na base. Determinar a carga excêntricamáxima P de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar essevalor com uma carga axial crítica P‘ aplicada através do centroide da coluna.

5.4 Flambagem inelástica , Projetos concêntricos e excêntricos (Curiosidade)Flambagem inelástica:Vimos que colunas longas (esbeltez > (KL/r)lp ) flambam com tensão elástica abaixo de σE (=σlp)(usamos Euler)Colunas intermediárias ou curtas (esbeltez<(KL/r)lp) escoam plasticamente com tensão σD acima de σE (=σlp) (usamos algum Euler “modificado”);EX: Engessener (ou módulo da tangente) -> -> -> Supõe que Et é inclinação no pt D do diag. σ-ε;

Projetos concêntricos:Usam normas de associações com fórmulas e fatoresde segurança de acordocom o índice de esbeltez,Ex: Col. Alumínio (2014T6)(Aluminum Association), Projetos excêntricos: (existem vários modelos)

O + simples é conservadoramente supor toda a seção submetida à σmax ,

e analisar se (σadm do projeto concêntrico anterior). Aumentar ‘A’ até satisfazer desigualdade.

Engessener

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.