UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

MARIANA ENCK DE SOUZA

DIFERENTES CONCEPÇÕES DAS TERNAS PITAGÓRICAS: ALGUMAS

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

JOINVILLE - SC

2016

MARIANA ENCK DE SOUZA

DIFERENTES CONCEPÇÕES DAS TERNAS PITAGÓRICAS: ALGUMAS

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Trabalho de Graduação apresentado ao Curso

de Licenciatura em Matemática do Centro de

Ciências Tecnológicas, da Universidade do

Estado de Santa Catarina, como requisito

parcial para a obtenção do grau de Licenciatura

em Matemática.

Orientador: Me. Adriano Luiz dos Santos Né.

JOINVILLE-SC

2016

Ao meu pai Humberto, que me deixou no meio desta

caminhada, mas que sempre priorizou meus estudos.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente gostaria de agradecer a Deus que é fonte de toda a minha inspiração,

dono do meu conhecimento e da minha fé.

Agradeço ao meu pai Humberto pelo tempo em que esteve presente durante essa

graduação, sempre me incentivando a estudar mais e a nunca desistir. E da mesma forma,

agradeço à minha mãe Itrauti que foi minha fortaleza nos momentos mais difíceis dessa

caminhada, me apoiando principalmente quando meu pai veio a faltar no meio deste percurso.

Ainda tenho que agradecer ao meu irmão Junior pelo incentivo que sempre me dá.

Em especial, gostaria de agradecer ao professor Adriano, por aceitar me orientar e

compartilhar todo o seu conhecimento. Acima de tudo, por toda a paciência, toda dedicação e

todas as contribuições para que este trabalho se tornasse o que ele é hoje.

Às professoras Silvia e Débora por aceitarem compor a banca deste trabalho e

compartilharem comigo este momento.

A todos os professores do Departamento de Matemática que contribuiram para minha

formação durante esses anos incríveis que passei dentro da UDESC.

Aos amigos do grupo “Matemáticos”, por todas as brincadeiras e todos os encontros que

fizeram com que esses 4 anos na UDESC se tornassem mais que especiais. Também gostaria

de agradecer à Bruninha que sempre me apoiou e incentivou, sendo que foi mais que uma irmã

pra mim.

Por último gostaria de agradecer a professors Regina por acreditar em mim durante esse

período no PIBID, que foi essencial para minha formação. Você foi uma mãe para nós!

“Estou certo de que nenhuma outra disciplina perde mais do que

a matemática quando dissociada de sua história”

J. W. L. Glaisher

RESUMO

Esse trabalho se caracteriza por ser uma pesquisa de caráter qualitativo com objetivo de

organizar uma trilha histórica sobre Pitágoras tentando reconhecer especificidades do seu

pensamento matemático. Para isso, fiz um estudo sobre os babilônios buscando encontrar

possíveis relações desse povo com as triplas pitagóricas, e identifiquei que poderia existir

relação entre as triplas pitagóricas com algumas placas encontradas que datavam dessa época,

especialmente a placa denominada Plimpton 322, que apresento neste trabalho sob a perspectiva

de alguns historiadores. Logo após, coletei informações sobre Pitágoras, sua escola e suas

possíveis descobertas. Nesta etapa pude perceber que os pitagóricos entendiam os números

como algo concreto, presente no dia a dia e em tudo. Outro ponto que abordo são os números

figurados e sua relação com as triplas pitagóricas, pois sabe-se que os pitagóricos

provavelmente estudavam as triplas através dos números quadrados e não de triângulos

retângulos como estamos acostumados. Por último apresento como a matemática passou a ser

tratada após as descobertas de Pitágoras e dos pitagóricos. Sendo que nessa etapa fica explícito

que não só os pitagóricos, mas os gregos em geral foram muito importantes para a evolução da

matemática, sendo que houveram vários filósofos e matemáticos que contribuíram para isso,

entre eles estava Platão. Platão não era matemático, mas dava grande importância para a

matemática sendo que venerava os números como algo presente no mundo das ideias. Euclides,

em sua obra Os Elementos formalizou muito do conhecimento matemático grego que havia até

o momento, inclusive trazendo a demonstração do Teorema de Pitágoras em seu livro.

Palavras-chave: Educação Matemática. História da Matemática. Pitágoras. Pensamento

Matemático. Ensino de Matemática.

ABSTRACT

This work is characterized by being a qualitative research aiming to organize a historical track

on Pythagoras trying to recognize specificities of his mathematical thinking. For this, I made a

study of the Babylonians seeking to find possible relations of this people with the Pythagorean

triples, and I identified that there could be a relation betwen the Pythagorean triples with some

plates found that dated from that time, especially the plate called Plimpton 322, that I present

in this work from the perspective of some historians. Soon after, I collected information about

Pythagoras, his school and his possible discoveries. At this stage I realized that the

Pythagoreans understood numbers as something concrete, present in everyday life and in

everything. Another point I approach is the figure numbers and their relation to the Pythagorean

triples, since it is known that the Pythagoreans probably studied the triples through the square

numbers and not of triangles rectangles as we are accustomed. Finally I present how

mathematics came to be treated after the discoveries of Pythagoras and the Pythagoreans. Being

that in this stage it is explicit that not only the Pythagoreans, but the Greeks in general were

very important for the evolution of mathematics, being that there were several philosophers and

mathematicians who contributed to this, among them was Plato. Plato Plato was not a

mathematician, but he attached great importance to mathematics by venerating numbers as

something present in the ideas world. Euclid, in his work The Elements formalized much of the

Greek mathematical knowledge that he had up to now, including bringing the proof of the

Pythagorean Theorem in his book.

Key words: Mathematics Education. History of Mathematics. Pythagoras. Mathematical

Thinking. Mathematics Teaching.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Sistema de Numeração Babilônica através da escrita Cuneiforme.......................... 15 Figura 2 - Plimpton 322 ............................................................................................................ 17 Figura 3 - Busto de Pitágoras ................................................................................................... 24 Figura 4 - Pentágono Estrelado, insígnia da sociedade pitagórica ........................................... 28 Figura 5 - Números triangulares ............................................................................................... 32

Figura 6 - Números Quadrados ................................................................................................ 32 Figura 7 - Números Pentagonais .............................................................................................. 33 Figura 8 - A soma de dois números triangulares seguidos forma um número quadrado ......... 34 Figura 9 - Os gnomons pitagóricos........................................................................................... 34

Figura 10 - Representação de alguns gnomons consecutivos................................................... 35 Figura 11 - Busto de Platão ...................................................................................................... 39 Figura 12 - Euclides de Alexandria - O Pai da Geometria ....................................................... 41

Figura 13 - Triângulo Retângulo para demonstração do Teorema de Pitágoras ...................... 42

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 11

2 BABILÔNIOS E SUA RELAÇÃO COM A MATEMÁTICA ..................... 14

2.1 PLIMPTON 322 ................................................................................................. 16

2.1.1 Outras Interpretações Para a Plimpton 322 ..................................... 18 2.1.1.1 Interpretação de Neugebauer .................................................. 18 2.1.1.2 Interpretação de Jöran Friberg ................................................ 19 2.1.1.3 Interpretação de Eleonor Robson ........................................... 20

3 PITÁGORAS, SUA ESCOLA E SEUS IDEAIS ........................................... 23

3.1 GRECIA ............................................................................................................. 23 3.2 PITÁGORAS ...................................................................................................... 24 3.3 ESCOLA PITAGÓRICA ................................................................................... 26

3.3.1 A Descoberta das Grandezas Irracionais .......................................... 30 3.3.2 Números Figurados e Triplas Pitagóricas......................................... 31

3.3.3 Triplas Pitagóricas e o Teorema de Pitágoras .................................. 37

4 AS TERNAS PÓS PITÁGORAS .................................................................... 39

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................... 44

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 46

11

1 INTRODUÇÃO

Ao longo da minha vida escolar sempre me interessei pela Matemática, o que me

motivou a pensar em cursar Licenciatura em Matemática. Quando olho para meu passado,

recordo-me que foi na oitava série do Ensino Fundamental que passei a me interessar pela

Matemática. De um modo especial, um dos conteúdos que mais me despertou interesse foi o

Teorema de Pitágoras, porém da maneira que o aprendi no Ensino Fundamental não tive a

oportunidade de conhecer a história relacionada a este teorema, o que me motivou a estudar

mais sobre esse assunto, até para futuramente poder utilizar da História da Matemática em

minhas aulas. Da mesma forma, sempre tive muita curiosidade em saber de onde surgiram as

fórmulas que usávamos e também de que maneira os matemáticos chegaram a elas.

Acreditava que durante a minha graduação em Licenciatura em Matemática aprenderia

isso, porém sinto que algo faltou em minha formação. Quando cursei a disciplina de História

da Matemática minhas expectativas também não foram contempladas. Desta forma, acredito

que este trabalho de graduação fez o papel de suprir minhas expectativas, além de ter sido uma

oportunidade de estudar um pouco mais sobre algum assunto de meu interesse, o que ainda

poderá ser utilizado futuramente em minha prática docente.

Desse modo, neste trabalho de graduação trago um pouco sobre a história do matemático

Pitágoras, trilhando principalmente sua forma de pensamento e o “seu” mais famoso teorema.

Procurei a ligação entre os ternos pitagóricos e o Teorema de Pitágoras, uma vez que os ternos

já eram conhecidos muito antes de Pitágoras. Por isso me questionei, como os babilônios tinham

esse conhecimento, se não temos registros de que naquele tempo existiam usos da noção de

ângulo em um triângulo?

Outro ponto importante abordado no trabalho é a primeira demonstração do Teorema

de Pitágoras que aparece no livro Os Elementos, de Euclides. O matemático Euclides descreve

a matemática em seus livros de forma mais abstrata que Pitágoras e os pitagóricos, trazendo ao

pensamento matemático características que o torne um pouco mais difícil de ser entendido

quando pesquisada por pessoas que não tem um grande conhecimento matemático.

Diante deste panorama, se antes de Pitágoras encontramos saberes que se relacionam

com o teorema que recebeu seu nome, como no caso dos babilônios, quais particularidades são

possíveis encontrar no pensamento pitagórico?

12

Para o desenvolvimento deste trabalho realizei uma pesquisa bibliográfica de caráter

qualitativo. O trabalho de investigação, seja teórico ou prático, bibliográfico ou de campo

oportuniza ao pesquisador estudar algum tema ou problema com maior profundidade, fazendo

ainda com que desenvolva sua capacidade de relatar informações, coletar dados, apresentar

conclusões, etc (LAKATOS; MARCONI, 2003).

Sobre a pesquisa bibliográfica pode-se destacar sua importância através de Gil (1987):

A principal vantagem da pesquisa bibliográfica reside no fato de permitir ao

investigador a cobertura de uma gama de fenômenos muito mais ampla do que aquela

que poderia pesquisar diretamente. Essa vantagem se torna particularmente

importante quando o problema de pesquisa requer dados muito dispersos pelo espaço.

Por exemplo, seria impossível a um pesquisador percorrer todo território brasileiro

em busca de dados sobre população ou renda per capita; todavia, se tem à sua

disposição uma bibliografia adequada não terá maiores obstáculos para contar com as

informações requeridas. A pesquisa bibliográfica também é indispensável nos estudos

históricos. Em muitas situações, não há outra maneira de conhecer os fatos passados

senão com base em dados secundários. (GIL, 1987, p. 72)

Sendo assim, utilizei em minha pesquisa artigos, livros, revistas científicas, teses,

dissertações, entre outros meios de pesquisa considerados confiáveis, que me permitiram

refletir sobre o assunto abordado.

O objetivo geral é organizar uma trilha histórica sobre Pitágoras na tentativa de

reconhecer especificidades de seu pensamento matemático, passando principalmente pelo

teorema que recebeu seu nome. Para alcançar este objetivo, faço uso de alguns objetivos

específicos, são eles:

Coletar informações sobre Pitágoras, sua concepção de matemática e a Escola

Pitagórica.

Identificar particularidades do pensamento de Pitágoras e os pitagóricos

contrapondo-o a outras concepções como, por exemplo, a platônica.

Reconhecer outras civilizações que já trabalhavam com ideias que se

aproximavam do teorema que recebeu o nome de Pitágoras, apresentando

aproximações e distanciamentos na forma de conceber tais ideias.

Identificar especificidades no desenvolvimento da linha de pensamento que está

relaciona com o Teorema de Pitágoras até alcançar seu primeiro registro

utilizando o formalismo do pensamento matemático encontrado em Os

Elementos.

Este trabalho está divido da seguinte forma: no Capítulo 2 apresento uma pesquisa

bibliográfica sobre os babilônios e sua possível relação com as triplas pitagóricas através da

13

Plimpton 322. No Capítulo 3 apresentarei a vida de Pitágoras, bem como sua escola, suas

possíveis descobertas e seus ideais. Já no Capítulo 4, veremos como a matemática passou a ser

tratada depois de Pitágoras, distinguindo aspectos das concepções de matemática de Pitágoras

e Platão, que muitas vezes são tratadas com sendo as mesmas, ou uma continuidade uma da

outra. Neste mesmo capítulo trarei uma discussão sobre a formalização do Teorema de

Pitágoras no livro Os Elementos, de Euclides, no que tange a diferença do pensamento abstrato

e o pensamento mais concreto que aparece na concepção pitagórica. Finalmente no Capítulo 5

organizo minhas considerações finais deste trabalho e arrisco-me a apresentar uma sugestão

para trabalhos futuros.

14

2 BABILÔNIOS E SUA RELAÇÃO COM A MATEMÁTICA

A Babilônia, foi uma região da Mesopotâmia localizada entre os rios Eufrates e Tigre,

local onde hoje se localiza o Iraque, no Oriente Médio. Os povos que viviam nessa região eram

os sumérios e acadianos até o segundo milênio a.C. Após esse período, Roque (2012) destaca

que a região foi dominada por um império e se centralizava da cidade da Babilônia, que era

residida pelos semitas que foram os responsáveis por criar o Primeiro Império Babilônico, e

logo após, foi comandada pelos neobabilônios, que foram responsáveis por criar o que na

História é conhecido como Segundo Império Babilônico, e por esse motivo muitos autores se

referem a esses povos denominando-os apenas de babilônios. A autora destaca ainda que a

maioria dos tabletes de argila mencionados na matemática datam do período babilônico antigo.

Segundo Galvão (2008), as principais referências do povo babilônico são datadas após

2000 a.C., quando a civilização suméria praticamente desapareceu e surgiu o povo assírio-

babilônico com uma figura muito marcante do monarca e legislador Hammurabi. Esta autora

fala ainda que neste período surgiram os literatos, sacerdotes, legisladores, administradores,

escribas e professores de línguas, literatura e matemática.

De acordo com Cajori (2007), essa região foi um dos primeiros locais da sociedade

humana, onde a escrita foi inventada e marcada em placas de argila mole que depois eram

secadas ao sol ou em fornos para que durassem por mais tempo. Essas placas de argilas foram

encontradas em sua maioria na antiga cidade de Uruk (localizada a leste do rio Eufrates), e

duravam muito mais que os papiros criados no Egito, e por isso Boyer (1996) afirma que

existem atualmente muito mais documentos matemáticos sobre a Mesopotâmia do que sobre o

Egito. Para Roque (2012), o surgimento da escrita, especialmente na matemática, se deu com a

necessidade de registrar quantidades tanto de rebanhos quanto de insumos para uma melhor

organização da sociedade.

Galvão (2008) fala que a matemática desenvolvida na Mesopotâmia está ligada à

história da evolução da contagem. A autora destaca ainda os principais avanços da matemática

neste local:

Notação matemática posicional, sexagesimal;

Uso do “zero” (ainda que tardio);

Grande habilidade no cálculo com frações;

Cálculo de raízes quadradas;

Soluções de sistemas lineares;

15

Trabalho com triplas pitagóricas;

Resolução de equações cúbicas usando tabelas;

Estudo de medidas circulares;

Utilização da Geometria.

Embora este último autor fale sobre a utilização do zero, Roque (2012) destaca que os

babilônios utilizavam um símbolo separador e que este símbolo pode ser considerado uma

espécie de zero devido a sua função no sistema posicional, porém este “zero” não podia ser

utilizado em algumas situações como sendo o último algarismo, nem como resultado de algum

cálculo. Sendo assim, este símbolo não era considerado um zero por não servir para representar

a ausência de quantidade, como em uma conta em que 1 − 1 = 0.

Segundo Cajori (2007), o cotidiano dos babilônios no comércio fazia com que

desenvolvessem a matemática através de conteúdos como aritmética, equações lineares de duas

ou mais variáveis, equações do segundo grau, entre outras. O autor afirma ainda que a princípio

não existia um símbolo para o número zero, sendo este representado por um espaço entre um

número e outro, ou seja, o que diferencia o número 18 do número 108 é um espaço entre o

número 1 e o número 8. Os números no sistema babilônicos podem ser observados na Figura

1:

Figura 1 - Sistema de Numeração Babilônica através da escrita Cuneiforme

Fonte: Miranda, Online.

16

De acordo com a Figura 1 podemos observar que o símbolo que representa as unidades

tem a forma vertical enquanto o símbolo que representa as dezenas do sistema sexagesimal tem

a forma horizontal, ficando assim mais fácil a identificação dos números a serem representados.

Contador (2012) destaca que entre as nossas heranças do sistema sexagesimal, são as

medidas de ângulo, onde sabemos que a circunferência possui 360º, e também a hora, que

possui 60 minutos e que por sua vez possui 60 segundos. Este autor também traz que muitos

dados utilizados pelos babilônios eram armazenados nas tabelas que foram encontradas na

antiga cidade de Uruk. Dentre as tabelas encontradas destacamos as que possuíam inversos

multiplicativos, raiz quadrada, tabelas com potências sucessivas de determinados números,

tabelas com os quadrados e cubos dos números de 1 a 30, que eram utilizados para resolver

equações do segundo e terceiro grau, entre outras. Através dessas tabelas também foi

encontrada uma com o cálculo da diagonal de um quadrado, onde havia uma aproximação para

o valor de √2, que posteriormente seria desvendado pelos pitagóricos que esse valor

corresponde a um número irracional. Sendo assim, vemos que os babilônios fizeram diversas

descobertas importantes para a matemática, embora neste trabalho iremos nos ater um pouco

mais para a Plimpton 322 que será explicada a seguir e que é de grande importância para

entendermos alguns conteúdos específicos.

2.1 PLIMPTON 322

Eves (2004) nos fala que talvez seja a mais importante das tábuas babilônias que

apresentam conteúdo matemático, e por esse motivo essa tábua é uma das mais estudadas. O

nome desta tábua se deve à coleção a que ela pertence, que é a Coleção G. A. Plimpton da

Universidade de Colúmbia, catalogada sob o número 322. O autor destaca ainda que essa tábua

foi escrita entre 1900 a.C. e 1600 a.C., e os primeiros autores a estudarem e descreverem seu

conteúdo foram Neugebauer e Sachs a partir de 1945. A Figura 2 mostra uma imagem da

Plimpton 322:

17

Figura 2 - Plimpton 322

Fonte: Casselman, Online

Eves (2004) lembra que uma parte dessa tábua está comprometida do lado esquerdo e

também foi perdida uma lasca profunda no lado direito. Exames comprovaram que existe na

placa cristais de uma cola moderna no lado esquerdo e com isso o autor sugere que a parte que

está perdida existe em algum lugar do mundo, o problema seria encontrá-la.

Uma tripla pitagórica (ou terno pitagórico), é representada por três números inteiros

onde os dois primeiros representam os catetos de um triângulo retângulo e o último representa

a hipotenusa.

Segundo Garbi (2010) essa tábua apresenta uma relação de 15 pares de números onde

um deles é a hipotenusa e o outro é o cateto de um triângulo retângulo. O autor destaca ainda

que somente em 300 a.C. Euclides publicou as triplas pitagóricas que são encontradas através

de fórmulas utilizando dois parâmetros, sendo que é muito difícil encontrar essas triplas através

de tentativa e erro.

Para Eves (2004) existem 4 exceções nas colunas que não representam pares de

hipotenusa e cateto de triângulo retângulos, sendo que três dessas exceções são facilmente

explicadas:

18

É difícil explicar a exceção da segunda linha, mas nos outros casos isso pode ser feito

facilmente. Assim, na nona linha, 481 e 541 aparecem como (8,1)1 e (9,1) no sistema

sexagesimal. Obviamente a ocorrência do 9 em vez do 8 pode ter sido um mero lapso

cometido com o estilo ao se escreverem esses números em escrita cuneiforme. O

número na linha 13 é o quadrado do valor correto e o da última linha é metade do

valor correto. (EVES, 2004, p.64)

2.1.1 Outras Interpretações Para a Plimpton 322

Embora a interpretação mais aceita para a Plimpton 322 seja que os números nela

representados são triplas pitagóricas e , existem ainda outras versões para o que poderiam

representar tais números. Nos dias atuais, a interpretação mais aceita para a Plimpton 322, é a

interpretação de Eleonor Robson, sendo que existem outras versões anteriores a essa.

2.1.1.1 Interpretação de Neugebauer

Neugebauer foi um dos primeiros historiadores a estudar a Plimpton 322, sendo que até

o momento em que ele passou a estudá-la ela não se passava de uma placa comum, como tantas

outras.

Otto Eduard Neugebauer era um matemático austríaco, nascido no ano de 1899, e veio

a falecer no ano de 1990, com 90 anos de idade. Estudou principalmente sobre História da

Astronomia e Ciências Exatas na Idade Média e Antiga, sendo que seu estudo teve foco nas

tábuas de argila, onde acabou estudando, além da Plimpton 322, diversas outras tábuas

babilônicas.

Marques (2011) nos fala que segundo Neugebauer na quinta coluna encontramos a

sequência de números naturais de 1 a 15 enquanto na segunda coluna existe a interpretação do

título comprimento. Já na terceira coluna o título se refere a palavra diagonal enquanto na

primeira coluna é impossível decifrar o título, uma vez que já foi mencionado que existe um

pedaço faltando na placa.

O autor afirma ainda que segundo a interpretação de Neugebauer os babilônios tinham

a intenção de encontrar triângulos retângulos onde os lados tivessem comprimentos com

1 O símbolo (8,1) significa 8.60 + 1 = 481 na nossa notação. Da mesma forma, (4,3,5) significaria 4.602 +3.60 + 5 = 14.585

19

representação finita na base sexagesimal. Outro ponto a ser destacado é que o triângulo

retângulo da primeira linha teria um dos ângulos igual a 45º, e da segunda linha em diante esse

ângulo diminuiria um grau a cada linha, sendo que na última linha da tabela estaria representado

o triângulo retângulo que tivesse um dos ângulos igual a 31º. Essa interpretação de Neugebauer

induziu outros historiadores a uma série de falsas suposições, e o autor afirma ainda que o que

nos leva a crer que essa interpretação está errada é que Eleonor Robson, historiadora que iremos

apresentar mais adiante, garante que na época que a tábua foi criada não existia o conceito de

ângulo. Também podemos perceber que a única palavra presente na tábua que nos lembra uma

relação com a geometria é a palavra diagonal.

Outro ponto que o autor destaca ainda são algumas correções que Neugebauer teria feito

para que a sua suposição fosse verdadeira:

Na linha nove, onde aparece [9:1], deveria estar então [8:1], e neste caso Neugebauer

justifica o erro como um equívoco de transcrição.

Na linha treze, o valor [7:12,1]2 é o quadrado de [2:41], que seria o valor correto, e

como tal, uma incongruência simples de justificar, uma vez que nesta tábua também

aparecem os quadrados dos respectivos números (segundo esta conjectura).

Na linha quinze [53], deveria ser [1:46], que é precisamente o seu dobro.

Finalmente na linha dois, onde figura [3:12,1], deveria encontrar-se [1:20,25]. No que

diz respeito a este último erro surgiram várias sugestões de como teria sido cometido,

mas nenhuma suficientemente convincente para aqui ser referida. (MARQUES, 2011,

p. 40-41).

Marques (2011) fala que mais tarde, Neugebauer passou a admitir que os babilônios

teriam o conhecimento das triplas pitagóricas na forma (𝑝2 + 𝑞2, 𝑝2 − 𝑞2, 2𝑝𝑞), e também que

eles escolhiam valores para p e para q de maneira que obtivessem números regulares. A autora

destaca ainda que os erros destacados por Neugebauer se justificam caso o conteúdo realmente

seja sobre as triplas pitagóricas, uma vez que os erros são corrigidos em outras colunas da

tabela.

2.1.1.2 Interpretação de Jöran Friberg

Jöran Friberg é um historiador matemático, sueco, nascido em 1934, que é especialista

em estudar a influência da matemática babilônica para o desenvolvimento da matemática grega.

2 A notação utilizada por Marques entende que [7: 12,1] = 7 +

12

60+

1

602≅ 7,2002. De fato é igual ao quadrado

de [2: 41] = 2 +41

60≅ 2,6833, donde 2,68332 ≅ 7,2002.

20

Marques (2011) traz também a interpretação de Jöran Friberg para a Plimpton 322, que

dizia que a tabela não passava de um auxílio ao professor que a utilizava para construir

exercícios envolvendo triângulo retângulo e saber antecipadamente a resposta. Sendo assim, a

autora sugere um exercício que poderia ser proposto pelo professor:

[...] se um professor pretendesse colocar um problema do tipo: “Uma escada de

comprimento c encontra-se encostada a uma parede, com uma distância ao nível da

base b da mesma. Determine até que altura da parede se consegue subir pela escada?”.

Escolhendo os números b e c na tábua de Plimpton, o professor estaria seguro de que

a resposta à questão seria possível e “simpática”, isto é, um número com representação

sexagesimal finita, que segundo a definição de Neugebauer se designa, como já

mencionamos, por um número regular. (MARQUES, 2011, p. 42-43).

A autora também lembra que existiram tábuas com números quadrados, cubos, inversos,

que funcionariam como máquinas de calcular para os babilônios, sendo que essas tábuas

provavelmente eram utilizadas nas Escolas de Escribas, que ensinavam os alunos a escrever,

fazer cálculos, entre outras competências essenciais para o desenvolvimento de uma sociedade.

É importante destacar também que essas placas de resolução de problemas serviam

principalmente para sistematizar a resolução de cada tipo de problema, ou seja, não importava

tanto o resultado do problema, mas sim como se chegou a esse resultado, e isso percebemos

quando essas placas muitas vezes apresentavam contas em que era descrita a multiplicação por

uma unidade, ou seja, não precisava mostrar a multiplicação por um já que sabemos que 1 é o

elemento neutro da multiplicação, porém era importante mostrar esse passo para que em outro

exercício essa unidade fosse substituída por outro valor. Esse fato ajudou a sustentar a teoria de

Jöran Friberg por algum tempo.

2.1.1.3 Interpretação de Eleonor Robson

Marques (2011) diz que conforme os anos passaram e não surgiram outras propostas

mais convincentes que a proposta de Neugebauer, a tábua Plimpton 322 passou a ser

interpretada de acordo com a teoria deste historiador e isso fez com que os autores passassem a

publicar essa versão em seus livros esquecendo de mencionar que tratava-se de uma hipótese

ainda não comprovada. Dessa forma, os autores esqueciam-se de trazer a tábua em sua versão

original e passaram a apresentar a versão “corrigida” de Neugebauer como se esta fosse a

verdadeira tábua. Porém, em 1997, Eleonor Robson contrapôs Neugebauer quando afirmou que

21

era improvável que a Plimpton estivesse apresentando ângulos, uma vez que os textos referentes

a matemática da época mostravam que os babilônios não tinham a noção de ângulo.

Eleonor Robson, é uma arqueologista, nascida em 1969, especializada em História da

Ciência, sendo que é autora de diversos trabalhos em História da Matemática e cultura

mesopotâmica.

Marques (2011) afirma que Robson chama a atenção para que a Plimpton seja

interpretada no contexto em que estava inserida, e não no contexto em que nós estamos

inseridos, onde a matemática já avançou muito. Robson falou ainda que os historiadores que

analisaram a Plimpton viram o que queriam ver e não o que estava exposto, e assim a

“domesticação” da placa fez com que ela não fosse mais apresentada com seu conteúdo original,

mas com as correções realizadas por algum historiador que achou que ficaria melhor dessa

forma.

Sobre a interpretação de Eleonor Robson para a tábua Plimpton 322, Marques (2011)

destaca:

Tal como Neugebauer, Eleonor refere também conteúdo dos lados e das diagonais dos

triângulos, no entanto questiona o porquê das colunas possuírem como cabeçalhos as

palavras quadrado, diagonal e comprimento, quando na realidade as restantes entradas

da tabela só contêm comprimentos de linhas. Segundo ela, a resposta reside no fato

de em Acádio a palavra “mithartun” derivar do verbo “mohärun”, que define o “ser

igual a simultaneamente ser oposto”, o que significa literalmente “coisa que é igual e

oposta a si própria ao mesmo tempo”. Em Acádio e em outras línguas, a palavra

“quadrado” também se pode referir ao seu lado, ou seja, à sua raiz quadrada.

(MARQUES, 2011, p. 47).

Dessa forma, a autora destaca que “mithartun” deve ser traduzido como “lado do

quadrado” ou ainda “raiz quadrada”, e na época em que foi escrita a tábua, existia uma lógica

métrica, ou seja, existiam medidas distintas para dimensões distintas, que era o caso de

comprimentos e áreas, sendo assim, era impossível um escriba não perceber a diferença entre

um e outro conteúdo em que estivesse trabalhando.

Marques (2011) destaca ainda que Eleonor Robson não considerava os erros

encontrados por Neugebauer da mesma forma, pois ela menciona que três desses supostos erros

(pois Robson não considerava que fossem erros) foram apenas assim considerados devido a

interpretação dada pelo historiador.

Segundo Marques (2011), para Eleonor Robson, a Plimpton não passava de uma tábua

com noções de geometria de áreas, que juntando com outras tábuas datadas da mesma época

acabam sendo um auxílio para professores proporem apenas problemas resolúveis aos alunos.

22

Depois de ter trazido todos estes elementos sobre a matemática babilônica,

principalmente no que tange às chamadas triplas pitagóricas, passarei para o próximo capítulo

em que poderei falar mais sobre o trabalho de Pitágoras e seus discípulos, deixando para retomar

o trabalho dos babilônios nas minhas considerações finais.

23

3 PITÁGORAS, SUA ESCOLA E SEUS IDEAIS

3.1 GRECIA

A Grécia é um país localizado ao sul da Europa, onde a matemática teve um grande

avanço a partir do sétimo século a.C. Para Marques (2011), o povo grego originou-se da união

de vários povos que migraram para a península balcânica a partir do início do terceiro milênio

a.C. A autora destaca ainda os Jogos Olímpicos, que iniciaram a partir de 776 a.C., como uma

atividade cultural comum na Grécia, sendo de grande importância, uma vez que o povo chegava

a interromper guerras entre cidades durante os Jogos que aconteciam de quatro em quatro anos.

Segundo Cajori (2007) nessa época havia troca de ideias além de mercadorias entre a

Grécia e o Egito, sendo que vários gregos já haviam procurado sacerdotes egípcios em busca

de instrução. O autor afirma ainda que a cultura grega não é original, uma vez que se baseou

em linhas de pensamentos egípcios.

Para Boyer (1996), ainda que a matemática grega estivesse atrasada em relação ao

desenvolvimento literário, no sexto século a.C. apareceram Tales e Pitágoras como

personalidades que contribuíram para o desenvolvimento da matemática. O avanço da

civilização grega é descrito por Eves (2004), da seguinte forma:

Os últimos séculos do segundo milênio a.C. testemunharam muitas mudanças

econômicas e políticas. Algumas civilizações desapareceram, o poder do Egito e da

Babilônia declinou, e outros povos, especialmente os hebreus, os assírios, os feníncios

e os gregos, passaram ao primeiro plano. A Idade do Ferro que se anunciava trazia

consigo mudanças abrangentes no que se refere à guerra e a todas as atividades que

exigiam instrumentos ou ferramentas. Inventou-se o alfabeto e se introduziram as

moedas. O comércio foi crescentemente incentivado e se fizeram muitas descobertas

geográficas. O mundo estava pronto para um novo tipo de civilização. O aparecimento

dessa nova civilização se deu nas cidades comerciais espalhadas ao longo das costas

da Ásia Menor e, mais tarde, na parte continental da Grécia, na Sicília e no litoral da

Itália. A visão estática do Oriente antigo sobre as coisas tornou-se insustentável e,

numa atmosfera de racionalismo crescente, o homem começou a indagar como e por

quê. (EVES, 2004, p.94).

Sendo assim, o autor afirma ainda que o homem começou a questionar certas verdades

matemáticas, como por exemplo “Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são

iguais?”, ou ainda “Por que o diâmetro de um círculo divide esse círculo ao meio?”. Os estudos

até então sabiam responder perguntas na forma de “como”, mas isso não bastava, uma vez que

o homem passou a questionar o “Por quê”.

24

Marques (2011) destaca que os egípcios e babilônios já utilizavam diversos resultados

matemáticos na forma de aplicações práticas de seu cotidiano, e essa matemática foi importada

pelos gregos que não se contentaram apenas em utilizá-los, mas queriam também enunciar e

fundamentar os resultados que haviam sido utilizados por outras civilizações.Nessa época, a

matemática grega começou a se destacar, a princípio através do matemático Tales e logo após,

por Pitágoras e outros tantos filósofos e matemáticos.

3.2 PITÁGORAS

Falar de Pitágoras não é uma tarefa fácil, uma vez que a maioria dos autores tem dúvidas

sobre o que é ou não é real. No entanto, para falar um pouco sobre esse grande matemático

pretendo construir parte do seu pensamento levando em consideração o que a maioria dos

autores acredita ser verdade. A Figura 3 mostra uma imagem do matemático Pitágoras que

comumente pode ser encontrada em enciclopédias e sites da internet.

Figura 3 - Busto de Pitágoras

Fonte: Enciclopédia Culturama, Online

Acredita-se que Pitágoras nasceu por volta de 580 a.C., em Samos, ilha do mar Egeu,

localizada na Grécia. De acordo com Garbi (2010), quando Tales de Mileto veio a falecer,

25

Pitágoras tinha por volta de 20 anos de idade, sendo, portanto, possível que Pitágoras tenha sido

atraído para o campo da Matemática pela fama de Tales. O autor ainda afirma que é possível

que os dois matemáticos tenham tido contato, embora alguns historiadores acreditem o

contrário. O que é certo é que as ideias de Tales influenciaram os estudos de Pitágoras,

primeiramente porque a partir de Tales os historiadores apontam a existência de uma nova

mentalidade responsável pela coordenação racional dos dados da experiência sensível,

buscando integrá-los numa visão compreensiva e globalizadora (SOUZA, 1996), algo que está

muito presente na maneira de Pitágoras compreender o mundo.

Podemos perceber ainda que Pitágoras dá considerável valor ao estudo dos gnomons –

que mais adiante irei falar a respeito – e que é algo que foi introduzido na Grécia por

Anaximandro, quem assumiu a escola de Mileto em meados do século VI a.C. Além disso,

Pitágoras nasceu na cidade de Samos, que na época era rival comercial da cidade de Mileto

(Ibidem), o que nos permite ainda pensar que tal rivalidade possa ter gerado certo intercâmbio

de conhecimento, mesmo informalmente, entre as cidades e, com isso, alcançando Pitágoras.

Já Marques (2011) afirma que Pitágoras teve uma boa educação quando era jovem,

sendo que para esta autora Pitágoras teve contato com Tales, de quem recebeu influências no

campo da matemática e astronomia. Além de Tales, Pitágoras foi considerado aluno de Pericles3

na infância, além de ter sido orientado por Anaximandro que, como já mencionei, era discípulo

de Tales, e isso se deve a idade avançada de Tales.

Boyer (1996) afirma que Pitágoras foi além de matemático, um profeta e místico, e o

que mais o assemelha a Tales de Mileto é o fato de ter ido ao Egito e à Babilônia para estudar

matemática, astronomia além de religião, fazendo com que os dois matemáticos tivessem

diversas semelhanças em seus estudos. O autor afirma ainda que a vida de Pitágoras é um

mistério devido à perda de vários documentos da época em que ele viveu, pois, várias biografias

haviam sido escritas, sendo uma delas escrita por Aristóteles.

De acordo com Gomes (2010), após o período em que estudou principalmente no Egito

e na Babilônia, Pitágoras retornou à Grécia e fixou-se em Crotona, região sudeste da Itália,

chamada de Magna Grécia, e obteve o patrocínio de Milo4 para fundar a famosa Escola

Pitagórica. A autora afirma ainda que tudo indica que Pitágoras veio a se casar com Teano, filha

de Milo, que além de esposa viera a ser também sua discípula na Escola. Em seu artigo é

destacado ainda que Pitágoras veio a falecer, talvez assassinado, na cidade de Metaponto, para

3 Péricles pertencia a uma das mais nobres famílias de Atenas, além de ter sido eleito estratego, cargo que é

conhecido atualmente como de um general. 4 Milo era considerado o homem mais rico da cidade de Crotona.

26

onde teria fugido após sua Escola ter sido destruída e, dessa forma, não deixou nenhum registro

de seu trabalho.

3.3 ESCOLA PITAGÓRICA

Por volta de 540 a.C. Pitágoras fundou a Escola Pitagórica, em Crotona, Itália, que

segundo Eves (2004), era um centro de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais, local

que era considerado por seus integrantes uma irmandade unida por ritos secretos e cerimônias.

Isso me permite identificar que a matemática para Pitágoras e sua escola estava

intimamente associada com sua visão de mundo e suas crenças, o que são elementos para

reconhecer melhor seu pensamento. Para Souza (1996), Pitágoras, ao chegar em Crotona, criou

o que o autor chama de sistema global de doutrinas, onde tinha a finalidade de descobrir a

harmonia existente no cosmo, harmonia essa garantida pela presença do divino, e assim traçar

com ela regras para os indivíduos e governos. O autor sugere que outra novidade introduzida

pelos pitagóricos foi o processo de liberdade da alma, onde a purificação se daria através do

trabalho intelectual, descobrindo a estrutura numérica das coisas e tornando a alta semelhante

ao cosmo, em harmonia, proporção e beleza.

De acordo com Zaniratto (2009), a “filosofia” da Escola Pitagórica era “Tudo é

Número”, pois Pitágoras acreditava que qualquer medida podia ser representada através de uma

razão de números inteiros. Livio (2012) destaca o pensamento pitagórico sobre os números da

seguinte forma:

Para os pitagóricos, números eram tanto entidades vivas quanto princípios universais,

permeando tudo desde os céus até a ética humana. Em outras palavras, números

tinham dois aspectos distintos, complementares. De um lado, tinham uma existência

física tangível; do outro, eram prescrições abstratas em que tudo era fundamentado.

Por exemplo, a mônada (o número 1) era interpretada tanto como a geradora de todos

os outros números, uma entidade tão real quanto a água, o ar e o fogo que participavam

na estrutura do mundo físico, como também como uma ideia – a unidade metafísica

na origem de toda a criação[...] Logo, números não eram simplesmente ferramentas

para denotar quantidades ou quantias. Melhor dizendo, números tiveram de ser

descobertos e foram os agentes formativos que estão ativos na natureza. Tudo no

universo, desde objetos materiais como a Terra até conceitos abstratos como justiça,

foi número do início ao fim. (LIVIO, 2012, p. 32)

Através dessa passagem percebemos o quanto os pitagóricos veneravam os números,

sendo que o autor ainda destaca que achar os números fascinantes não é surpreedente, uma vez

que vários números comuns do dia a dia têm propriedades interessantes.

27

Para representar esse pensamento, o autor traz uma série de exemplos, sendo que um

deles traz a proposta dos pitagóricos para o que eles chamavam de números perfeitos. Os

números perfeitos são números que possuem a propriedade de serem iguais a soma de todos os

seus divisores próprios, um exemplo é o número 28, pois 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, e os 4

primeiros números perfeitos são 6, 28, 496 e 8218.

Ainda sobre o pensamento de Pitágoras a respeito dos números podemos destacar o que

é dito em Souza (1996):

Os números não seriam, portanto — como virão a ser mais tarde —, meros símbolos

a exprimir o valor das grandezas: para os pitagóricos, eles são reais, são a própria

"alma das coisas", são entidades corpóreas constituídas pelas unidades contíguas.

Assim, quando os pitagóricos falam que as coisas imitam os números estariam

entendendo essa imitação (mímesis) num sentido perfeitamente realista: as coisas

manifestariam externamente a estrutura numérica que lhes é inerente. (SOUZA, 1996,

p. 22)

Através desse autor percebemos o quanto os pitagóricos veneravam os números,

fazendo com que os mesmos fossem responsáveis pela existência não só do homem mas de

todas as coisas, inclusive do próprio universo. Souza (1996) destaca ainda que Pitágoras

provavelmente chegou a essa conclusão de que tudo é número através do estudo da música,

mais especificamente do monocórdio5, onde o som varia conforme o tamanho da corda sonora,

ou seja, o som está diretamente relacionado à extensão, e desta forma a música relacionada à

matemática.

Pitágoras concebe a extensão como descontínua: constituída por unidades invisíveis

e separadas por um "intervalo". Segundo a cosmologia pitagórica, esse "intervalo"

seria resultante da respiração do universo, que, vivo, inalaria o ar infinito (pneuma

ápeiron) em que estaria imerso. Mínimo de extensão e mínimo de corpo, as unidades

comporiam os números. (SOUZA, 1996, p. 22)

Eis aí um ponto extremamente importante da filosofia pitagórica que dá base para a

ideia do “Tudo é número”. Pouco antes de Pitágoras, o culto ao deus Dionísio era comum entre

as manifestações religiosas da época. Orfeu seria quem teria recebido algumas revelações deste

deus e confiava o conhecimento de seus mistérios a alguns de seus iniciados na forma de

poemas musicados (Ibidem, p. 21), então a música passa a estar relacionada com aquilo que é

“divino”.

Perceba que quando Pitágoras estabelece uma dependência da música em relação à

matemática, esta harmonia que há na música, e se manifesta aos nossos ouvidos, está na verdade

5 Monocórdio é um antigo instrumento musical composto por uma caixa de ressonância e uma corda com a qual

era estudado o cálculo das relações entre vibrações sonoras.

28

na matemática, então através da matemática passa-se a poder reconhecer a harmonia que

constitui o cosmos e, com isso, estabelecer as regras para conduzir a vida privada e o governo

das cidades. É quando Pitágoras tira a posição de Dionísio como sendo o deus que ajuda a alma

a se libertar do ciclo de reencarnações infinitas e coloca em seu lugar a matemática.

É interessante que muitas vezes encontramos textos falando de Pitágoras e o

monocórdio dando atenção, principalmente, para colocá-lo como precursor do estudo da música

através da matemática, entretanto a “potência” do monocórdio está na base para a ideia do

“Tudo é número”, levado adiante pela escola pitagórica.

Uma vez instituída esta ideia, uma série de outras relações, muitas delas cheias de

misticismo, foram estabelecidas pelos pitagóricos. O símbolo utilizado pelos pitagóricos para

ficar na entrada da escola, por exemplo, era um pentágono estrelado, como mostro na Figura 4,

uma primeira observação que faço em relação a esta figura é o fato de que para os pitagóricos

o número 5 simbolizava a união, ou o casamento, entre os números 2 e 3 o primeiro número par

e o primeiro número ímpar, que para os pitagóricos eram vistos, respectivamente, pela

representação do feminino e do masculino, e simbolizava a criação. (MARQUES, 2011). O

número 1 não é considerado um número como seus sucessores, pois ele é a representação da

unidade que constitui o cosmo, veremos a seguir, por exemplo, que é dele que “nascem” todos

os números figurados.

Figura 4 - Pentágono Estrelado, insígnia da sociedade pitagórica

Fonte: Carvalho, 2008. (Online)

Outra propriedade do pentágono estrelado é a sua auto propagação, ou seja, ao traçarmos

as diagonais do pentágono regular podemos perceber que no centro se forma outro pentágono

regular, e ao traçarmos as diagonais deste, mais uma vez obtemos um pentágono regular ao

centro, e isso se dá infinitamente, sendo sempre um pentágono proporcional ao outro.

29

E, por fim, os pitagóricos já tinham conhecimento que a medida da diagonal do

pentágono regular e a medida de seu lado estão em média e extrema razão, ou como nos

referimos atualmente, a razão áurea estava presente. O que mais chama atenção dos pitagóricos

é que se trata de um resultado que é característico da “natureza” da própria figura (o pentágono

regular), não foi algo intencional que se buscava ao construí-la.

Então podemos observar que não faltavam razões para atribuir ao pentágono estrelado

atributos especiais, como divino e harmônico, por exemplo, fortalecendo a imagem mística da

escola.

Ainda sobre a Escola Pitagórica, Marques (2011) destaca que:

A Escola era constituída por matemáticos, alunos internos aos quais não era permitido

possuir bens próprios, partilhando os seguintes princípios:

A Natureza é matemática até ao seu mais profundo nível;

A filosofia pode ser usada para purificação espiritual;

A alma pode partilhar uma união com o divino;

Alguns símbolos têm significado místico;

Todos os seguidores da ordem devem manter lealdade e segredo. (MARQUES, 2011, p. 104)

Quanto ao último item citado pela autora, significava que nenhum aluno da Escola

poderia falar ou comentar o que acontecia nela. De acordo com Gomes (2010) a escola

pitagórica era considerada uma sociedade secreta que tinha um código de conduta muito

rigoroso onde seus membros ao entrarem juravam não revelar suas descobertas, sendo que

qualquer descoberta era atribuída a Irmandade e não a um membro. Porém, Marques (2011)

destaca que tudo o que se fazia na Escola Pitagórica era atribuído por respeito ao Mestre

Pitágoras, por isso existe uma dificuldade de descobrir se os resultados a ele atribuídos eram

realmente por ele descobertos, ou se eram de outros alunos da Escola.

Segundo Contador (2011), os pitagóricos foram os responsáveis pela descoberta de

diversos números como os números perfeitos, números amigáveis, números racionais, triplas

pitagóricas, números irracionais, etc. Os números amigáveis são aqueles que somando os

divisores próprios de um dos números você encontra o outro, sendo um exemplo os números

220 e 284, onde 220 tem como divisores os números 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 que

somando é igual a 284. Já o número 284 tem como divisores os números 1, 2, 4, 71 e 142 que

somando chegam a 220. As triplas pitagóricas e os números irracionais serão destacados nos

próximos subtítulos.

30

3.3.1 A Descoberta das Grandezas Irracionais

Como já mencionei anteriormente, a filosofia pitagórica pregava que “Tudo é número”,

pois os pitagóricos acreditavam que se entendessem a relação entre os números inteiros,

entenderiam todos os segredos “espirituais” do Universo. Para eles, a essência de tudo estava

nos números inteiros e suas razões, ou seja, os números racionais, representados na forma de

fração 𝑝

𝑞 na notação moderna, onde p e q são números inteiros, e q é diferente de zero. (GOMES,

2010).

Segundo Eves (2004), e saindo um pouco da filosofia pitagórica, os números inteiros

são abstrações utilizadas para contar coleções finitas de objetos, e que utilizamos em nossa vida

diária para medir diversas quantidades. Porém, existem algumas quantidades que necessitam

outros tipos de números além dos números inteiros, para isso utilizamos as frações que

representam os números racionais, especialmente para medirmos algumas quantidades como

peso, comprimento e tempo.

O que os pitagóricos não imaginavam era que existiam números além dos números

inteiros e racionais, a esses números chamamos de números irracionais, que neste caso fugiam

do raciocínio dos pitagóricos.

Para Eves (2004), descobrir os números irracionais foi um dos grandes feitos dos

pitagóricos, que fizeram essa descoberta ao perceberem que não existia nenhum número

racional que representava a diagonal de um quadrado cujos lados mediam uma unidade. Souza

(1996) nos diz que não existia razão comum para o valor da diagonal do quadrado de lado

unitário, o que possibilitou o surgimento de um valor incomensurável que atualmente

representamos por √2, que é um número irracional.

Sendo assim, Zaniratto (2009) nos diz que se provarmos que √2 é um número não

racional passamos a entender que existe um novo conjunto numérico que era desconhecido até

o momento. Por mais que os pitagóricos não tivessem uma representação para os irracionais,

nem um símbolo para trabalhar com ele, eles se depararam com uma medida que não era

considerada inteira nem racional e, com isso, colocava em cheque a ideia de unidade que os

pitagóricos tinham, além da ideia de que tudo é número, pois se deparavam com um número

que era totalmente estranho aos seus conhecimentos.

Assim, para demonstrar que √2 não era racional, o autor propõe uma redução ao

absurdo, o que seria mais provável que os pitagóricos tenham feito, pois seria mais fácil, e

também lógico, dizer o que esta medida não era, ou seja, mostrar que não era racional. Uma

31

forma de fazer isso é supormos que √2 =𝑝

𝑞, sendo que p e q são números inteiros, primos entre

si, ou seja, não tem divisores comuns. Para extrair o número 2 da raiz quadrada, vamos elevar

ambos os lados ao quadrado, e ficaremos com 𝑝²

𝑞²= 2, que podemos escrever da seguinte forma

𝑝2 = 2𝑞², onde podemos afirmar que p é par, pois está representado na forma 𝑝 = 2𝑧, onde z

é também um número inteiro.

Substituindo o valor de p na equação que tínhamos, teremos (2𝑧)2 = 2𝑞2 ⇒ 4𝑧2 =

2𝑞2 ⇒ 𝑞2 = 2𝑧², e pelo mesmo raciocínio anterior, concluímos que q é par, ou seja, um

absurdo, pois supomos inicialmente que p e q eram primos entre si. Assim, podemos afirmar

com certeza que √2 não é um número racional.

De acordo com Eves (2004) e Souza (1996), a descoberta dos números irracionais

parecia ir contra o pensamento pitagórico, os quais acreditavam que tudo dependia dos números

inteiros. Os autores afirmam ainda que o “escândalo lógico” foi tão grande que por algum tempo

essa descoberta ficou em sigilo. A princípio acredita-se que √2 foi por um bom tempo o único

número irracional conhecido, sendo que mais tarde, provavelmente o pitagórico Teodoro de

Cirene mostrou também que √3, √5, √6, √7, √8, √10, √11, √12, √13, √14, √15 e √17 são

números irracionais.

3.3.2 Números Figurados e Triplas Pitagóricas

É criação da Escola Pitagórica também os números figurados, onde Roque (2012) nos

mostra que cada número tem um arranjo diferente, sendo que formam ligações próprias. Essas

ligações formam figuras como triângulos, quadrados, pentágonos, entre outras formas

geométricas. A autora afirma que esses números eram figuras formadas por pontos idênticos

aos pontos de um dado. A Figura 5 representa alguns números triangulares, os quais as coleções

de bolinhas formam triângulos:

32

Figura 5 - Números triangulares

Fonte: Site de Curiosidades. (Online)

O primeiro número triangular é o número 1, representado por uma bolinha, o segundo o

número 3, três bolinhas, em seguida o 6, depois o 10, o 15, e assim por diante, sempre, a partir

do 1, criando a forma de um triângulo, como apresento na Figura 5. Em linguagem moderna

podemos escrever a lei de formação dos números triangulares através da soma dos termos de

uma progressão aritmética com primeiro termo igual a 1 e a razão 1, 1+2+3+4+..., que pode ser

expressa pela fórmula 𝑛(𝑛+1)

2. Em que n é a ordem do número triangular.

Utilizando o mesmo raciocínio Pitágoras constrói os números quadrados. A Figura 6

mostra os quatro primeiros números quadrados, os números 1, 4, 9 e 16. Para encontrar os

números quadrados, podemos utilizar a fórmula 𝑃(𝑛) = 𝑛², onde n é um número natural.

Figura 6 - Números Quadrados

Fonte: Uol. (Online)

33

Com raciocínio análogo obtém-se os números pentagonais, mais uma vez começando

do 1, depois vem o 5, 12 e 22, ..., conforme mostra a Figura 7. Esses números podem ser

encontrados utilizando a fórmula 𝑃(𝑛) =𝑛(3𝑛−1)

2, com n=1, 2, 3...

Figura 7 - Números Pentagonais

Fonte: Uol. (Online)

Com o mesmo raciocínio utilizado para os números triangulares, quadrados e

pentagonais, é possível obter números poligonais de todas as ordens, e esse processo se estende

também para o espaço tridimensional gerando os chamados números poliedrais.

Um ponto a ser destacado é a presença do número 1 no grupo dos números triangulares,

quadrados, pentagonais e, de uma forma geral, nos números poligonais e até poliedrais. Como

mencionei anteriormente, o 1 não se tratava necessariamente de um número como os demais,

ele era unidade geradora do cosmo, e neste caso particular, dos números figurados.

Segundo Roque (2012) é possível enxergar nos números figurados a primeira ocorrência

do estudo de sequências numéricas, porém, para os pitagóricos essa sequência numérica partia

da observação visual, que é diferente do que praticamos hoje em dia.

A autora sugere que podemos tirar algumas conclusões como, por exemplo, que todo

número quadrado é composto por dois números triangulares consecutivos, como mostro na

Figura 8.

34

Figura 8 - A soma de dois números triangulares seguidos forma um número quadrado

Fonte: Falando de Matemática, 2014 (Online)

A junção do número 3 com o número 1, forma o número quadrado 4, os números 6 e 3

para formam o número quadrado 9, 10 e 6 formam o 16, e assim por diante.

Roque (2012) menciona ainda que é possível passar de um número quadrado para o

quadrado posterior acrescentando uma sequência de números ímpares. Para entender melhor

esta ideia vamos observar a Figura 9, em que os números ímpares se dão a partir dos contornos

em forma de “L”, os quais eram chamamos de gnomons pelos pitagóricos.

Figura 9 - Os gnomons pitagóricos

Fonte: Brolezzi, 2011 (Online)

35

De acordo com Roque (2012), é provável que os pitagóricos chegaram às chamadas

triplas pitagóricas através dos gnomons, pois eram sinônimos de números ímpares formados

pela diferença de números quadrados sucessivos. Na Figura 10 o gnomon 3 é obtido pela

diferença dos quadrados 4 – 1 = 3, o gnomon 5 é 5 = 9 – 4, 7 = 16 – 9 e 9 = 25 – 16.

Figura 10 - Representação de alguns gnomons consecutivos

FONTE: Roque, 2012.

Os gnomons, que podem ser vistos como esquadros, forneciam uma técnica para a

realização de cálculos. Observando a Figura [9], podemos calcular a sequência dos

quadrados com o deslocamento do esquadro, procedimento equivalente a somar a

sequência dos números ímpares.

Por exemplo, para obter o 4 a partir do 1, adicionamos o gnomon de três pontos; para

obter o 9 a partir do 4, adicionamos o próximo gnomon, que é o próximo número

ímpar, 5. Seguindo esse procedimento, chega-se a uma figura na qual o gnomon

também é um número quadrado, constituído por nove pontinhos. Obtém-se, assim, a

igualdade 16 + 9 = 25, que dá origem à primeira tripla pitagórica: (3, 4, 5). (ROQUE,

2012, p. 113)

A autora afirma que esses seriam os procedimentos aritméticos utilizados pelos

pitagóricos para encontrar as famosas triplas pitagóricas, enquanto a fórmula de Pitágoras era

utilizada no contexto dos números figurados. Tradicionalmente, poucas triplas são

mencionadas, sendo que (3, 4, 5) são consideradas fundamentais, pois mais uma vez há uma

forma de unir um número masculino com um feminino, 3 e 4, para obter o 5.

Se dermos continuidade ao pensamento apresentado por Roque (2012), o próximo

gnomon que é um número quadrado é o 25 que, em forma de “L”, pode ser acrescentado ao

número quadrado 144 (12 por 12), que nos dará como resultado o quadrado 169, ou seja, 144 +

25 = 169, gerando assim a tripla (5, 12, 13).

Observando esse método, percebemos que as triplas pitagóricas que mais tarde nos

levam ao famoso Teorema de Pitágoras foram descobertas através dos números figurados e não

exatamente através de triângulos retângulos, o que nos faz pensar de outra forma a matemática

que estamos ensinando aos nossos alunos. Se as triplas pitagóricas e consequentemente o

36

Teorema de Pitágoras vieram dos números figurados, porque nós, professores, insistimos em

relacionar este teorema apenas a figura do triângulo retângulo? Penso que este problema tenha

relação com a sobrecarga de trabalho que o professor tem que cumprir em sala de aula, o que

implica em pouco tempo ou disposição para refletir sobre sua prática, além de o livro didático,

que retrata essa forma de proceder a partir do teorema, torna-se uma das únicas ferramentas

para auxiliar o professor em sala de aula.

Isto é algo que pode ser pensado no ensino de matemática, pois quando ensinamos este

famoso teorema aos nossos alunos, nos preocupamos apenas em utilizar fórmulas prontas e

aplicá-las no triângulo retângulo quando poderíamos utilizar o contexto histórico envolvido,

mostrando aos alunos os números figurados, que dificilmente algum professor de ensino

fundamental apresenta esse conceito, e a partir desses números mostrar ao aluno que o famoso

teorema atribuído a Pitágoras não necessariamente está relacionado apenas com triângulos, mas

com os números quadrados.

De acordo com Proclus (apud ROQUE, 2012) existiam dois métodos para se encontrar

as triplas pitagóricas, um método de Pitágoras e outro de Platão. O método de Pitágoras inicia

com os números ímpares, onde esse número deve ser o menor lado de um triângulo retângulo,

e quando elevado ao quadrado, subtraímos uma unidade e dividimos por 2, e assim se obtém o

outro lado. Para se obter a hipotenusa, adicionamos uma unidade ao segundo lado.

Exemplificando, pegamos o número 3 como número ímpar representando o primeiro lado do

nosso triângulo, assim elevamos ao quadrado e obtemos o número 9. Em seguida, subtraímos

uma unidade de 9, obtendo assim o número 8 que será dividido por 2. Dessa forma encontramos

o outro lado do triângulo retângulo que será 4, e para obtermos a hipotenusa basta adicionarmos

1 ao segundo lado, desse modo teremos 4+1=5. Logo, os catetos desse triângulo serão 3 e 4 e a

hipotenusa será 5. Atualmente, Roque (2012) mostra que o método de Pitágoras pode ser

traduzido da seguinte maneira: escolhemos um número inicial “a”, sendo que esse número deve

ser ímpar, assim encontramos o outro cateto e a hipotenusa do nosso triângulo calculando 𝑎²−1

2

e 𝑎2+1

2. Vamos utilizar o número a=35, para mostrar que o exemplo é válido. Utilizando as

fórmulas, teremos 35²−1

2=

1225−1

2= 612, e o outro valor será

352+1

2=

1225+1

2= 613, sendo

assim, formamos a tripla (35,612,613).

Se quisermos iniciar utilizando um número par, temos que usar o método que é atribuído

à Platão, assim escolhemos um número par para ser o primeiro cateto do nosso triângulo, e

dividimos esse número por 2, elevamos ao quadrado. Do número encontrado subtraímos uma

37

unidade para encontrar o outro cateto do triângulo e somamos uma unidade para obter a

hipotenusa. Para exemplificar esse método, escolhemos o número 6 como número par inicial,

e aplicando o método platônico, dividimos 6 por 2, obtendo 3, e elevamos ao quadrado, onde 3

elevado ao quadrado é igual a 9, diminuímos uma unidade para encontrar o outro cateto, logo,

9-1=8, e somamos uma unidade para encontrar a hipotenusa, 9+1=10, e formando assim a tripla

(6,8,10). Trazendo também esse método para a atualidade, escolhemos um número “a”, sendo

esse número par e o primeiro cateto do nosso triângulo, o outro cateto encontraremos calculando

(𝑎

2)

2

− 1, já a hipotenusa encontraremos calculando (𝑎

2)

2

+ 1. Para mostrar que a fórmula é

válida, escolheremos como número inicial a=54, e utilizaremos (54

2)

2

− 1 = 729 − 1 = 728,

e a hipotenusa será dada por (54

2)

2

+ 1 = 729 + 1 = 730, sendo assim formaremos a tripla

(54, 728, 730).

3.3.3 Triplas Pitagóricas e o Teorema de Pitágoras

Ao se lembrar de Pitágoras é quase impossível dissociá-lo do famoso teorema que leva

o seu nome. O Teorema de Pitágoras que pode ser descrito como: “A soma dos quadrados dos

catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa”, pode não

necessariamente ter sido provado por Pitágoras, mas por qualquer outro pitagórico, uma vez

que já mencionamos que tudo que se descobria na Escola Pitagórica era atribuído como

descoberta de todos os pitagóricos ou apenas de Pitágoras, o mestre que conduzia a escola.

De acordo com Roque (2012) há indícios que o teorema, na forma de triplas pitagóricas,

já era conhecido por diversos povos mais antigos que os gregos e que talvez fosse até um saber

comum na época de Pitágoras. O que parece ser original dos pitagóricos é encontrar a relação

com os gnomons ímpares.

Para Burkert (apud Roque (2012), o teorema de Pitágoras era um resultado mais

aritmético que geométrico, e quando tratamos de aritmética falamos de padrões numéricos que

estão relacionados aos números figurados. O autor ainda afirma que provavelmente não houve

um teorema geométrico demonstrado por Pitágoras e seus discípulos, mas sim um estudo das

conhecidas triplas pitagóricas. As triplas pitagóricas, ou seja, um conjunto de números (a, b, c)

que obedecem a regra a²=b²+c², ou satisfazem o teorema de Pitágoras.

38

Embora alguns autores acreditem que o Teorema de Pitágoras seja um resultado

aritmético encontrado pelos pitagóricos, através das triplas pitagóricas, este teorema está

intimamente relacionado com a geometria nas escolas de ensino fundamental, e especialmente

com a figura do triângulo retângulo.

Para Roque (2012), o que ocorre nas escolas hoje é que é comum os professores

mostrarem as definições para só depois apresentarem os teoremas e demonstrações que utilizam

tais definições, e muitas vezes por último são apresentadas as aplicações, (isso quando os

professores apresentam aplicações), sendo que muitas vezes seria mais fácil o aluno entender a

aplicação ou problema, e depois aprender como resolver esse problema.

A autora afirma ainda que essa forma de apresentar o conteúdo muitas vezes traz

dificuldade para o aluno, pois ele se questiona o porquê de um triângulo retângulo merecer tanta

atenção, por que o aluno deve medir os lados de um triângulo ou ainda para quê saber a relação

entre os lados desses triângulos, e que as respostas a essas perguntas ainda não ficam claras

para os mesmos, uma vez que nós, como professores, utilizamos apenas as fórmulas prontas e

muitas vezes não nos preocupamos em analisar os resultados relacionados a essas fórmulas.

Isso se deve também ao fato de que a matemática que estudamos através dos livros ainda

é muito abstrata, apesar de estar sendo reorganizada constantemente, assim Roque (2012) nos

fala que existem muitos pedidos para que ela se torne mais concreta, mais ligada ao cotidiano

de todos, porém isso ainda é um desafio, uma vez que ela é vista como um saber abstrato.

Deixarei mais algumas considerações sobre o ensino deste tema para o final deste

trabalho, passarei agora para o próximo capítulo em que apresento alguns elementos referentes

à matemática grega após Pitágoras, trazendo algumas distinções de seu pensamento em

comparação aos platônicos.

39

4 AS TERNAS PÓS PITÁGORAS

Entre os anos 600 a.C. e 300 a.C. consideramos que houve um grande avanço na

matemática através dos gregos. Além da escola pitagórica, teve também a escola jônica de Tales

de Mileto e vários outros centros de estudo em matemática que contribuíram para o avanço da

matemática.

Outra figura importante para o desenvolvimento da matemática grega foi Platão. Platão

nasceu por volta de 428 a.C. em Atenas e veio a falecer por volta de 348 a.C, a Figura 11 nos

mostra uma representação do busto de Platão.

Figura 11 - Busto de Platão

Fonte: Doughert, 2004. (Online)

Platão foi o filósofo que fundou a Academia de Atenas, considerada a primeira

instituição de ensino superior do mundo ocidental, onde é provável que tenha surgido a ideia

de demonstrações matemáticas indiretas, o que conhecemos hoje por Método de Redução ao

Absurdo ou Prova por Contradição. Garbi (2010) diz que esta é uma das ideias mais criativas

de demonstração matemática e que nos mostra o pensamento grego “que já se dispunha a voar

há mais de 24 séculos”. Este método é útil em casos onde nos falta recursos para demonstrar

40

algo diretamente. De acordo com Garbi (2010), este foi o método utilizado por Hipasus,

discípulo de Pitágoras, em cerca de 470 a.C. para se demonstrar a existência dos números

irracionais. Existem ainda muitas lendas a respeito dessa descoberta que teria sido feita por

Hipasus, pois se afirma que Pitágoras poderia estar vivo quando essa demonstração foi feita, e

que ele poderia até ser o autor dessa demonstração, e o fato de ser atribuída a Hipasus se dá

devido a ter sido ele o primeiro a divulgá-la. Outras lendas também falam sobre o que teria

acontecido a Hipasus devido a divulgação dessa demonstração, algumas delas dizem que ele

teria sido lançado ao mar pelos pitagóricos, causando o afogamento dele, e outras lendas dizem

ainda que ele veio a falecer em um naufrágio, sendo castigado pelos deuses.

Segundo Garbi (2010), Platão embora não fosse matemático, soube reconhecer o valor

da matemática por ser indispensável à compreensão do mundo e também por incentivar seus

estudiosos a conduzir o raciocínio de maneira lógica, e devido a isso, sua passagem na história

representou um grande impulso para a matemática. Para Cajori (2007), Platão tinha uma

filosofia natural que era parcialmente baseada na dos pitagóricos, pois ele também buscou na

aritmética e na geometria a chave do universo.

Vejo que a diferença em Pitágoras e Platão se dá quando o primeiro pensa nos números

como algo concreto, algo que está ao nosso alcance, uma vez que os pitagóricos acreditavam

que tudo é número, como me referi muitas vezes no capítulo anterior. Já Platão via os números

como algo perfeito, algo que estava apenas no mundo das ideias, ou seja, não era concreto.

Parece-me que Platão foi quem fez uma transição do concreto presente na matemática de

Pitágoras para toda a formalização abstrata presente na matemática de Euclides.

Euclides (Figura 12) foi um matemático platônico, possivelmente grego, conhecido

como “Pai da Geometria”. Ficou famoso com a escrita de diversos livros sendo o livro Os

Elementos o mais famoso deles, onde Euclides traz a demonstração para diversos problemas de

geometria, sendo um desses problemas o famoso Teorema de Pitágoras. Até o livro de Euclides

não se sabe se existiu uma prova geométrica para o teorema de Pitágoras nos moldes mais

rigorosos como desta obra, mas o fato é que Euclides o provou em seu livro6.

6 Vale mencionar aqui que estou me referindo à Euclides como autor de Os Elementos, mas o vejo muito mais

como alguém que compilou os vários saberes que já circulavam sobre geometria no mundo grego – trazendo,

com certeza, algumas contribuições relevantes –, do que o “gênio” que escreveu tudo sozinho.

41

Figura 12 - Euclides de Alexandria - O Pai da Geometria

Fonte: Santana. (Online)

Roque (2012) destaca ainda que boa parte do conhecimento matemático desenvolvido

na Grécia podemos encontrar no livro Os Elementos de Euclides, sendo que alguns autores

dizem que Os Elementos trazem apenas uma compilação de conhecimentos matemáticos. Sobre

o livro de Euclides, Roque (2012) traz ainda que:

Os Elementos de Euclides são um conjunto de treze livros publicados por volta do ano

300 a.E.C.7, mas não temos registros da obra original, somente versões e traduções

tardias. Um dos fragmentos mais antigos de uma dessas versões, encontrado entre

diversos papiros gregos em Oxy rhy nque, cidade às margens do Nilo, data,

provavelmente, dos anos 100 da Era Comum. Nos Elementos são expostos resultados

de tipos diversos, organizados de modo particular. (p. 151-152)

Assim, vemos que Euclides pode ter trazido em sua “coleção de livros” uma compilação

de demonstrações formais e abstratas para aquilo que os matemáticos da época já conheciam.

A demonstração do Teorema de Pitágoras está presente no livro I, como sendo a

Proposição 47, sendo esta a primeira demonstração formal, encontrada em algum documento

histórico, para este teorema.

7Tatiana Roque utiliza a expressão “antes da Era Comum” (a.E.C.) no lugar de “antes de Cristo” (a.C.), com o

objetivo de neutralizar conotações religiosas.

42

Figura 13 - Triângulo Retângulo para demonstração do Teorema de Pitágoras

Fonte: Kilhian, 2011 (Online)

Euclides enunciou o Teorema de Pitágoras como sendo: “Em todo o triângulo retângulo

o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os

outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto” (Figura 13).

Para demonstrar geometricamente o teorema de Pitágoras Euclides utilizou o triângulo

retângulo ABC da Figura 13, cujo ângulo reto é em BAC. Sendo assim, formaremos um

quadrado com vértices BDEC cujo lado tem o tamanho de BC, outro quadrado de vértices

BFGA com lado igual a BA e por último o quadrado AHKC onde o lado mede AC. Desse

modo, o que queremos provar é que a área do quadrado formado pelo lado BC é igual á soma

das áreas dos quadrados formados por BA e AC.

Para isso vamos traçar um segmento de reta paralelo a BD e CE com ponto de partida

em A e ponto final em L. Ligaremos também, através de segmentos de retas, os pontos A e D,

além de F e C. Como os ângulos BAC e BAG são retos, podemos afirmar que CA e AG são a

continuação uma da outra, e da mesma forma podemos afirmar que BA e AH são a continuação

uma da outra. Temos ainda que DBC e FBA são retos, portanto, congruentes. Juntando o ângulo

ABC ao ângulo DBC ou FBA teremos que FBC será congruente a ABD. Olhando para os

triângulos ABD e FBC, além de possuírem os ângulos congruentes que acabamos de identificar,

43

eles também têm os lados AB congruente a FB, e BD congruente a BC, logo, pelo critério

ângulo, lado e ângulo (ALA), eles são congruentes.

Mas temos também o paralelogramo BMLD com o dobro da área do triângulo ABD,

pois está sobre a mesma base BD e entre as mesmas paralelas que são BD e AL; e também o

quadrado GABF tem o dobro da área do triângulo FBC, pois tem a base em comum FB e estão

entre as mesmas paralelas FB e GC. Logo, a área do paralelogramo BMLD é igual à área do

quadrado GABF.

Da mesma forma, se pegarmos os segmentos AE e BK, podemos mostrar que a área do

paralelogramo CMLE é igual à área do quadrado HKCA. Dessa forma, a área do quadrado

BDEC, que está sobre o lado BC e é oposto ao ângulo reto BAC, deve ser igual à soma das

áreas dos dois quadrados GABF e HKCA que se formam sobre os lados BA e AC e que fazem

o mesmo ângulo reto BAC.

Segundo Bicudo (1998), não encontramos nos documentos antigos dos egípcios nem

dos babilônios traços que se pareçam com demonstrações matemáticas formais, apenas

problemas interessantes com suas devidas soluções. Sendo assim, quando Euclides escreveu Os

Elementos foi como apagar os rastros que o precederam, pois ele demonstrou e formalizou

axiomas e teoremas de forma que ninguém havia formalizado até então.

Sendo assim, percebemos que o trabalho de Euclides foi importante para materializar os

registros do que se conhecia sobre o pensamento matemático grego assumindo o caráter formal

expresso através de seus livros.

44

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao iniciar este trabalho falando sobre os babilônios, percebi que talvez Pitágoras não

fosse o “único dono” do teorema que leva seu nome, uma vez que existem fortes indícios de

eles já conhecerem as triplas pitagóricas, o que nos faz pensar como chegaram nelas e porque

chegaram nelas.

Sobre Pitágoras, vejo que existem muitas suposições, pois nada havia que comprovasse

suas descobertas. A ideia de que tudo é número, nos mostra o quanto os pitagóricos veneravam

os números. Para eles, os números eram agentes formativos da natureza e não objetos ou

símbolos que representavam apenas quantidades

A pergunta que coloquei na introdução deste trabalho foi: quais especificidades são

possíveis encontrar no pensamento pitagórico? Penso ter conseguido elementos para

respondê-la neste trabalho quando falei tanto sobre os pitagóricos quanto os babilônios terem

conhecido as triplas pitagóricas. Esta é a primeira aproximação que trago dos babilônios com

os pitagóricos. Pela interpretação que temos atualmente das tábuas babilônicas, especialmente

a Plimpton 322, vemos que os babilônios já tinham conhecimento das triplas pitagóricas,

embora pareciam ser mais utilizadas como consulta de resultados do que como “fenômeno”

particular que as triplas poderiam apresentar.

Por outro lado, os pitagóricos trabalhavam com as triplas a partir do que pareceu ser

uma observação sobre uma formação muito específica dos números figurados, os gnomons.

Como mostrado no Capítulo 3 deste trabalho, foi analisando o crescimento da construção dos

números quadrados através dos gnomons, que os pitagóricos olharam para os gnomons ímpares

que eram números quadrados para obter uma lei de formação para os ternos. Eis então, um

distanciamento entre o que sabemos sobre as triplas pitagóricas “dos” babilônicos e as triplas

pitagóricas “dos” pitagóricos.

Quando observamos o teorema de Pitágoras, identificamos que o mesmo não parece ter

sido demonstrado por Pitágoras, e nem mesmo pelos pitagóricos, entretanto a observação dos

gnomons para obter as triplas mostra uma grande originalidade e sabedoria da Escola Pitagórica.

Sendo assim, a demonstração que aparece em Os Elementos parece ser bem diferente daquilo

que se originou dos gnomons.

Contrapondo os Capítulos 3 e 4 deste trabalho, pude perceber que tanto Pitágoras como

Platão tinham estimado valor pela matemática, entretanto, seus pensamentos não são uma

continuação um do outro. Como mencionei, Pitágoras entendia que os números eram a ordem

45

do universo, que “tudo é número”, mas ao mesmo tempo, os números formavam a natureza e,

desta forma, eram entes materiais.

Já Platão entende que há um mundo mais perfeito que este material em que estamos,

inalcançável para nós, e os números (e seu estudo), por mais importantes que fossem, eram uma

representação dos entes ideais neste mundo, ou seja, os números que trabalhamos em

matemática não são os números em si, como para os pitagóricos.

Além disso, com o trabalho de Bicudo (1998) é possível perceber que Platão era mestre

de muitos matemáticos famosos como Teeteto e Eudoxo, entretanto ele muito mais apreciou do

que produziu resultados.

Portanto penso ter conseguido atingir o objetivo geral desta pesquisa que era o de

organizar uma trilha histórica sobre Pitágoras na tentativa de reconhecer

particularidades de seu pensamento matemático, passando principalmente pelo teorema

que recebeu seu nome.

Ao final deste trabalho, identifico que como os gnomons pitagóricos são saberes

matemáticos, além de serem originais e engenhosos, que tem relação com o teorema de

Pitágoras, por isso, talvez pudéssemos pensar em como utilizá-los em sala de aula. Assim, fica

uma sugestão para realização de pesquisas que possam discutir como este saber pode trazer, se

é que traz, potencialidades para ensinar o teorema de Pitágoras.

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REFERÊNCIAS

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. A