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FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 4

1

Física Moderna II - FNC376

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto1o. Semestre de 2008

Universidade de São PauloInstituto de Física


2

Vimos que:

1) esta corrente circular tem um momento magnético orbital

Airr

=µ2) e– em órbita também tem momento angular:

rmL ev=

ee me

rmre

L

rerreiA

22

2π

π22

−=

−=

−=

−==

vv

vv

l

l

µ

µ

Só constantes universais!

Lmee

rrl 2

−=µ

Relação entre o momento de dipolo magnético e o momento angular orbital,

são antiparalelos

A corrente produz um campo magnético equivalente a um campo de um dipolo magnético localizado no seu centro

Modelo de Bohr: e– circulando em torno do núcleo, produzindo uma corrente circular

re

Te

dtdqi

π2v−

=−

== vrT /2π=

Lr

Lr

i−eµr

y

x

z


3

magneton de Bohr (unidade natural de medida do momento de dipolo magnético atômico)

eV/Tesla 105,788eV/Gauss 105,788

(J/T) mA 109274,059

223

−−

−

×=×=

×=

b

b

µ

µ

o momento magnético do átomo:

( ) ( )1122

+=+== llllh ll

l bee

gmegL

me µµ

lllll

l h mgmmegL

meg

be

ze

z µµ −=−=−=22

( ) ( )

ll

l

hh

llhhll

mmeL

memL

meL

meL

zzz ⋅−

=−

=⇒=

+==⇒+=

22

122

1

µ

µ

Componente z

módulo

Quanticamente:

Fator g orbital depende da

geometria dadistribuição de

cargas


4

1) Dipolo magnético sofre um torque:

Brrr

l ×= µτ

O que acontece com este dipolo magnético quando sujeito a um campo externo???????

Br2) Este torque tenderá a alinhar o dipolo com o

campo energia potencial de orientação

BErr

l ⋅−=∆ µ

Se aplicamos um campo magnético constante, ele passa a definir uma direção privilegiada no espaço, que podemos escolher como o eixo z. A energia de interação com o campo é dada por:

A quantidade ⟨Energia⟩ representa a energia adicional adquirida pelo átomo no estado Ψnℓm devido à presença do campo aplicado. Essa energia depende do valor de m e da intensidade do campo.

BmgBEBE bznergiaznergia µµµ =−=⇒−=


5

Eisberg, pág. 348

Caso não existam formas de dissipar a energia, µℓ não pode mudar sua orientação em relação a B. Nesse caso, µℓ precessiona em torno da direção de B, mantendo o ângulo entre eles constante.

dtLd

BLgB b

rr

rr

h

rrr ll

=

×−=×=

τ

µµτ

Mas

BLgdtLd b

rr

h

rl ×−=⇒µ


6

ωθ

ωθ

⋅=

⋅⋅=

sen

sen

LdtdL

dtLdL

Freqüência de Larmor

O torque dá origem a uma variação dL (do momento angular) durante o tempo dt - dL faz com L precessione de um ângulo wdt

O módulo de L permanece constante:

022 =⋅=⋅= LdtdLLL

dtdL

dtd rrrr

ωθθω

θφ

θφ ===⇒=

sensen

sen1

sen LL

dtdL

Ldtd

LdLd

meBv

meB

π4π22==⇒=

ωω Lorentzclássico

Frequência de precessão

Tratamento quântico: mesmos resultados, só que para os valores esperados das grandezas.

BmeBg b

2==

hlµω

BLgdtLd b

rr

h

rl ×−=µ

dφ


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Camada K, 1 estado

Camada L, 4 estados

Camada M, 9 estados

Camada N, 16 estados


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Estados com diferentes m têm suas degenerescências quebradas por causa da presença do campo magnético. Estados (nℓ) com valores sucessivos de m apresentam energias com diferenças de: mBgE bM µl=δO sinal da variação de energia é o mesmo de m, e os estados com m = 0 não são afetados pela presença do campo. Cada um dos níveis representados na figura corresponde a um estado de precessão diferente do átomo, com energia dada por: na presença do campo B. Por essa razão, o número quântico azimutal, m, é também conhecido como número quântico magnético.

BmgE bn µl+

Quebra da degenerescência em m ⇒ quebra da simetria rotacional

abertura


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Resultado clássico!

Lyman α

Balmer α

A separação dos níveis provocada pelo efeito Zeeman produz mudanças na freqüência da radiação emitida pelo átomo nas transições ⇒regras de seleção: ∆ℓ = ± 1 e ∆m = 0 ou ± 1. Todas as transições indicadas envolvem apenas 3 diferentes energias de fótons emitidos: ∆E – δEM ; ∆E ; e ∆E + δEMonde ∆E representa a energia de transição sem o campo aplicado. Aparece então um tripleto, com variação de freqüência dada por:

e

bM

meBBg

hEv

π4π2δδ ===

h

µ

n=2 ⇒ n=1

n=3 ⇒ n=2


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Em 1920 já se sabia que havia separação das linhas espectrais mesmo sem a presença de campos magnéticos externos (estrutura fina). Sommerfeld utilizou cálculos relativísticos, baseados no modelo de Bohr, para explicar os resultados experimentais da estrutura fina do hidrogênio (suposta linha constituída de duas ou mais linhas).No entanto o no de linhas previstas eram menores que as observadas para outros átomos

Este sistema de interação dos momentos magnéticos internos e externos foi proposto para explicar a estrutura dos múltiplos na ausência do campo, bem como as anomalias do feito Zeeman na presença de campos.

Fenômeno então atribuído a processos internos ao átomo: “caroço magnético (núcleo + elétrons internos)” responsável por produzir campo e interagir com os elétrons mais externos.


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1922: experiência de Stern&Gerlach

Vamos imaginar que temos um pequeno ímã, que atravessam uma região com campo magnético, como ilustrado na figura abaixo:

A componente z do campo, na posição dos pólos N e S, pode ser escrita, em 1ª ordem, como:

e

onde Bz0 e ∂Bz/∂z são, respectivamente, os valores do campo e de seu gradiente sobre o eixo do dipolo. Se considerarmos que os pólos (hipotéticos) têm intensidades ±g0, a força pode ser escrita como:

Força depende de µz!

campo uniforme campo não-uniforme, varia na direção z

Proposta: Medir os valores possíveis do momento de dipolo magnético.

Não haverá força de translação haverá força de translação


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feixe de ímãs

imagem

Assim, o momento de dipolo magnético, µz, pode ter apenas alguns valores. No caso de um feixe de átomos de H:

Essa é a força responsável pela deflexão vertical do feixe, dependendo do sinal de µz. Classicamente, µz varia continuamente, por conta da orientação aleatória dos ímãs. Isso deve resultar numa imagem contínua, conforme a figura: Resultados muito diferentes são

obtidos se substituímos o feixe de ímãs por um feixe de átomos, pois, nesse caso, cada átomo tem uma certa probabilidade de ser encontrado com uma certa orientação, definida pelo valor da projeção de seu momento angular sobre o eixo z (Lz).

com

Assim, µlz só poderá ter os valores discretos quantizados. Os diferentes valores de µz vão sofrer forças distintas e deflexões diferentes, conforme ilustrado na figura abaixo:


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(2ℓ+1) manchas 2 manchas

momento magnético orbital observado

O experimento original de Stern&Gerlach usou um feixe de átomos neutros de Ag, obtidos por evaporação em um forno. Depois de atravessarem o campo eles eram depositados em uma placa de vidro, onde as deflexões podem ser medidas. A imagem de duas manchas (discreto em vez de contínuo) concordava com o que se esperava pelo modelo do “caroço magnético” para a Ag.

Duas componentes discretas devido a quantização espacial, uma desviada para z positivo e outra na direção de z negativo

Resultados são qualitativamente demonstrações do quantização da componente z dos momentos de dipolo magnético dos átomos e portanto de seus momentos angulares.


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Resultados de Stern & GerlachMas os resultados não estão quantitativamente de acordo com:

lll mg bz µµ −= 2l+1 valores

lm

Piorou... um experimento análogo feito (1927) com feixe de átomos de H –

para os quais não era esperada deflexão – átomos com um só elétron (no estado fundamental) l=0, logo um único valor possível para =0

obteve-se os mesmos resultados (duas manchas).

pme

2h

=µ

Como l é inteiro, teríamos um número ímpar não estando de acordo com o observado.

Igual no de valores possíveis de ml

Erro na teoria de Schroedinger?Ou teoria incompleta???

Sugestão foi: existe um momento de dipolo magnético associado as cargas do núcleo

⇒ me < mp ⇒ µe >> µp O valor medido experimentalmente está de acordo com me


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Teoria de Schrödinger incompleta?

A origem desta observação deve está ligada especificamente ao elétron

núcleo não pode ser responsável pelo µ observado

1924: Pauli sugere que as estruturas dos multipletos e as anomalias no efeito Zeeman poderiam ser explicadas se um novo grau de liberdade, formal, com 2 valores, fosse associado ao elétron.

Goudsmit e Uhlenbeck (estudantes de pós, ver Eisberg, pág. 356) propõem uma variável, quantizada, com 2 valores, com propriedades de momento angular. Eles supuseram um movimento de rotação do elétron em torno de seu próprio eixo.


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Analogia com o momento angular orbital ⇒e e com

Como foram observadas 2 manchas para o H ⇒ 2 valores de ms

Como ∆ms = 1 ⇒ ms = ± ½. Assim, o momento angular de spin é dado:

( ) 222

431 e

2hh

hh =+=±== ssSmS sz

incerto

Temos que o elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco devido ao momento angular de spin (S)spin (S)

sbssbs

s mgSgz

µµµµ −=−= e r

h

r

com gs = 2 fator g do spin

sµr

A intensidade S e a componente Sz do momento angular de spin estão associados a dois números quânticos s e ms

momento de dipolo magnético de spin


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Um estado estacionário de um átomo monoeletrônico é descrito por um conjunto de 4 números quânticos:

ou

s=1/2 e ms=-1/2 e +1/2

Spin para cimas=1/2 Spin para baixo

s=-1/2

Estas duas novas propriedades, faz com que o número de estados que aparecem no

diagrama de níveis de energia duplique

O spin não tem um análogo clássico (no limite clássico a intensidade de S é totalmente desprezível porque h émuito pequeno). O spin éfundamentalmente não clássico.


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szz

z zBF µ∂∂

=

sbss mgz

µµ −=

2/12±=

=

s

s

mg

Força média que age sobre o dipolo magnético de spin


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20

Interação spin-órbita

Os vetores quantizados e devem ser adicionados em situações em que mais tipos gerais de estados queremos considerar. Definimos o momento angular total do átomo, pela soma dos vetores momento angular orbital e de spin: SLJ

rrr+=

Análogo ao momento angular combinado de um corpo clássico que tenha movimentos orbital e de rotação em torno de seu eixo, exceto pelo fato de que, no caso clássico, os vetores L e S podem ter quaisquer magnitude e direção, resultando em uma soma com módulo entre os limites:

SLSLrrrr

+− e

E como é a interação entre o momento de dipolo magnético do spin eletrônico e o campo magnético interno de um átomo de

um elétron (devido ao momento angular orbital do e-)?

Interação fraca responsável (em parte) pela estrutura fina dos estados excitados dos átomos de 1 e- (no caso de muitos elétrons esta interação é relativamente forte)

Lr

Sr

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