UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

FACULDADE INTEGRADA AVM

Explorando o Ensino da Matemática.

Por: Joyce de Oliveira Rezende.

Orientador

Professor: Pablo Santos

Duque de Caxias

2012

2

UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES

PÓS - GRADUAÇÃO ‘’ LATO SENSU’’

FACULDADE INTEGRADA AVM

A Matemática na escola, alguns problemas e suas causas.

Apresentação de monografia à

Universidade Cândido Mendes como

requisito parcial para obtenção do grau de

especialista em Docência no Ensino

Superior.

Por: Joyce de Oliveira Rezende.

3

AGRADECIMENTOS

É muito mais difícil aprender a

conduzir-se do que a pilotar

um avião ou domar animais

selvagens, porque somos

seres complexos e cheios de

tendências contraditórias.

(Aléxis Canel).

4

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, amigos e a

minha família pelo apoio

oferecido,...

5

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

O presente trabalho foi desenvolvido através de pesquisas

bibliográficas, tendo como base inicial a autora, Ana Catarina

Hellmeister. A consulta de tal bibliografia foi feita na Biblioteca

Euclides da Cunha (UNIGRANRIO – Campus Duque de Caxias) que

cedeu gentilmente seu acervo para consulta.

Também foram consultados trabalhos e teses expostos na

Internet.

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SUMÁRIO

Introdução 7

Capítulo I - A Educação Matemática 10

Capítulo II - A Matemática na Escola, alguns problemas e suas causas 17

Capítulo III - O Livro Didático 20

Capítulo IV - As Mulheres que Contribuíram para a História da

Matemática 23

Capítulo V - Ética Docente 38

Considerações Finais 42

Bibliografia Consultada 43

Bibliografia Citada 45

7

INTRODUÇÃO

A MATEMÁTICA NA SOCIEDADE ATUAL

Observa-se no mundo de hoje a presença da Matemática nas

atividades humanas das diversas culturas. Muitas ações cotidianas

requerem competências matemáticas, que se tornam mais complexas

na medida em que as interações sociais e as relações de produção e

de troca de bens e serviços se diversificam e se intensificam. Em

sociedades como a nossa, permeadas por tecnologias de base

científica e por um crescente acúmulo e troca de informações de

vários tipos, é consenso reconhecer que se tornou imperativo o

desenvolvimento de competências matemáticas. As mudanças no

mundo do trabalho têm sido cada vez mais rápidas e profundas e

exigem capacidade de adaptação a novos processos de produção e

de comunicação. Um olhar sobre o passado também mostra que, em

todas as épocas, as atividades foram uma das formas usadas pelo

homem para interagir com o mundo físico, social e cultural.

A Matemática pode ser concebida como uma fonte de

modelos para os fenômenos nas mais diversas áreas do saber. Tais

modelos são construções abstratas que se constituem em

instrumentos para ajudar na compreensão desses fenômenos.

Modelos matemáticos incluem conceito, relações entre

conceitos, procedimentos e representações simbólicas que, num

processo contínuo, passam de instrumento na resolução de

problemas a objeto próprio de conhecimento. Também não deve ser

esquecido que as atividades matemáticas geraram, ao longo da

história, um corpo de saber – a Matemática, que é um campo

científico, bastante extenso, diversificado e em permanente evolução.

Este saber não é um repertório de conhecimentos antigos e

8

cristalizados, mas sim um conjunto de ideias procedimentos

extremamente poderosos e em evolução constante. Assim,

aprofundar o conhecimento sobre os modelos matemáticos fortalece a

contribuição da Matemática para outras áreas do saber. No sentido

oposto, procurar resolver problemas cada vez mais complexos dos

outros campos do conhecimento promove o desenvolvimento de

novos modelos matemáticos.

Os modelos matemáticos são construídos com vários graus

de abrangência e de sistematização. Nos estágios mais simples, eles

são associados a objetos do mundo físico – são as chamadas figuras

ou sólidos geométricos. Por exemplo, a certa lata pode ser associada

à figura geométrica definida abstratamente como um cilindro. Esses

modelos particulares são, quase sempre, enfeixados em teorias

matemáticas gerais que, por sua vez, se constituem em modelos

abstratos para amplas classes de fenômenos em vários outros

campos do saber. A geometria euclidiana, as estruturas algébricas, a

teoria das probabilidades são exemplos desses modelos matemáticos

mais gerais. Por outro lado, muitas vezes, parte-se de um conceito ou

ente matemático e procura-se no mundo físico um fenômeno ou

objeto que o represente. Nesse caso, tal objeto ou fenômeno é

chamado modelo concreto de ente matemático. Assim, um dado de

jogar pode ser modelo concreto da figura geométrica definida com

cubo. Outros exemplos são os denominados materiais concretos, de

uso frequente como recurso didático no ensino da Matemática. Os

desenhos formam, igualmente, uma classe significativa de modelos

concretos de entes matemáticos e cumprem papel importante nas

atividades em que intervêm as habilidades de visualização. Cabe

observar que os desenhos, mesmo considerados como modelos

concretos, contêm certo grau de abstração em relação aos objetos do

mundo físico.

9

Mais um aspecto fundamental da Matemática é a diversidade

de formas simbólicas presentes em seu corpo de conhecimento.

Língua natural, linguagem simbólica, desenhos, gráficos, tabelas,

diagramas, ícones, entre outros, desempenham papel central, tanto

na representação dos conceitos, relações e procedimentos, quanto na

própria formação desses conteúdos. Por exemplo, um mesmo número

racional pode ser representado por símbolos tais como ½; 0,50; 50%,

ou pela área de uma região plana ou, ainda, por expressões como

meio ou ‘ metade’.

Até que ponto tais alterações formam um professor de

Matemática voltado tanto para o desenvolvimento das competências

técnicas, como para o seu compromisso ético com a sociedade na

qual atua?

10

CAPÍTULO I

A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

“Os homens são bons ou maus, úteis ou inúteis, graças a sua

educação”. John Locke, 1688, pg.35

Uma reflexão de outra natureza, agora voltada para a

educação matemática das pessoas, revela que, nas últimas décadas,

acumulou-se um acervo considerável de conhecimentos sobre os

processos de construção e aquisição dos conceitos e procedimentos

matemáticos, assim como sobre as questões correspondentes no

ensino e na aprendizagem.

Nesses estudos, tem sido consensualmente defendido que

ensinar Matemática não se reduz à transmissão de informações sobre

o saber acumulado nesse campo. Muito mais amplo e complexo, o

processo de ensino- aprendizagem da Matemática envolve a

construção de um leque variado de competências cognitivas e requer,

além disso, que se favoreça a participação ativa do aluno nessa

construção. Nesse contexto, convém lembrar que as competências

não se realizam no vazio e sim por meio de saberes de diversos tipos,

dos mais informais aos mais sistematizados, estas últimas a serem

construídos na escola.

Indicar um conjunto de competências matemáticas a serem

construídas é sempre um terreno difícil. Por isso, adverte-se que a

relação de competências de natureza mais geral, apontada a seguir,

não esgota todas as possibilidades. Ao contrário, pode e deve ser

11

adaptada em função das diversidades de cada contexto educacional.

É também importante não as encarar como independentes uma das

outras. Tendo isso em conta, um conjunto de competências mais

gerais pode ser citado:

• Interpretar matematicamente situações do dia a dia ou

de outras áreas do conhecimento;

• Usar independentemente o raciocínio matemático, para

a compreensão do mundo que nos cerca;

• Resolver problemas, criando estratégias próprias para

sua resolução, desenvolvendo a iniciativa, a imaginação e a

criatividade;

• Avaliar se os resultados obtidos na solução de

situações- problemas são ou não razoáveis;

• Estabelecer conexões entre os campos da Matemática e

entre essa e as outras áreas do saber;

• Raciocinar, fazer abstrações com base em situações

concretas, generalizar, organizar e representar;

• Compreender e transmitir ideias matemáticas, por

escrito ou oralmente, desenvolvendo a capacidade de

argumentação;

• Utilizar a argumentação matemática apoiada em vários

tipos de raciocínio: dedutivo, indutivo, probabilístico, por analogia,

plausível, entre outros;

• Comunicar-se utilizando as diversas formas de

linguagem empregadas na Matemática;

• Desenvolver a sensibilidade para as relações da

Matemática com as atividades estéticas e lúdicas;

• Utilizar as novas tecnologias de computação e de

informação.

12

As competências gerais acima esboçadas desenvolvem-se de

forma articulada com competências específicas associadas aos

conteúdos matemáticos (conceitos, relações entre conceitos,

propriedades, procedimentos e algoritmos matemáticos) visados no

ensino do 6º ano ao 9º ano. Esses conteúdos têm sido organizados

em cinco grandes campos: números e operações; álgebra; geometria;

grandezas e medidas; e tratamento da informação.

As atividades matemáticas no mundo atual requerem, desde

os níveis mais básicos aos mais complexos, a capacidade de contar

coleções, comparar e quantificar grandezas e realizar codificações.

Ainda nesse campo, convém lembrar a necessidade de se

compreenderem os vários significados e propriedades das operações

fundamentais e de se ter domínio dos seus algoritmos. Saber utilizar o

cálculo mental, as estimativas em contagens, em medições e em

cálculos, e conseguir valer-se da calculadora é outras capacidades

indispensáveis. Tais competências podem ser associadas à

aritmética, à álgebra e à combinatória, mas, evidentemente, não são

as únicas a serem visadas.

A percepção de regularidades, que pode levar à criação de

modelos simbólicos para diversas situações, e a capacidade de

traduzir simbolicamente problemas encontrados no dia a dia, ou

provenientes de outras áreas do conhecimento, deve ser

gradativamente desenvolvida para se chegar ao uso pleno da

linguagem e das técnicas da álgebra. O uso da linguagem algébrica,

para expressar generalizações que se constituam em propriedades de

outros campos da Matemática, é outra função da álgebra que deve

ser, pouco a pouco, introduzida.

13

O pensamento geométrico surge da interação espacial com

objetos e os movimentos no mundo físico e desenvolve-se por meio

das competências de localização, de visualização, de representação e

de construção de figuras geométricas. A organização e a síntese

desse conhecimento também são importantes para a construção do

pensamento geométrico.

As grandezas e medidas estão presentes nas atividades

humanas desde as mais simples, no dia a dia, até as mais elaboradas

nas tecnologias e na ciência. Na Matemática, o conceito de grandeza

tem papel importante na atribuição de significado a conceitos centrais,

como os de números natural, inteiro, racional e irracional, entre

outros. Além disso, é um campo que se articula bem com a álgebra e

a geometria e contribui de forma clara para estabelecer ligações entre

a Matemática e outras disciplinas escolares.

Associadas ao campo do tratamento da informação, o qual

inclui estatística, probabilidade e combinatória, são cada vez

relevantes questões relativas os dados a da realidade física ou social,

que precisam ser coletados, selecionados, organizados, apresentados

e interpretados criticamente. Fazer inferências com base em

informações qualitativas ou dadas numéricos e saber lidar com os

conceitos de chance e de incerteza também é competências de

grande utilidade.

Um primeiro princípio metodológico amplamente reconhecido

como importante hoje é que o ensino e a aprendizagem da

Matemática devem estar baseados na resolução de problemas. Um

problema não é uma atividade de simples aplicação de técnicas e

procedimentos já exemplificados. Ao contrário, é uma atividade em

que o aluno é desafiado a mobilizar seus conhecimentos

14

matemáticos, procurar apropriar-se de outros, sozinho ou com ajuda

de colegas e do professor, a fim de elaborar uma estratégia que leve

a uma solução da situação proposta.

Historicamente, desde as mais remotas eras, a Matemática

desenvolveu-se resolvendo problemas. A que se estuda hoje, em

todos os níveis, é a Matemática úteis para resolver problemas que

nos surgem vários níveis de aplicação dessa ciência.

Não é à toa que a Matemática já foi caracterizada como “a

arte de resolver problemas”. Nesta caracterização, vemos dois

elementos essenciais, que não devem ser esquecidos. O primeiro

deles é a Matemática lida com problemas, ela não é um corpo de

conhecimentos mortos, aprendidos apenas por amor à erudição. Em

segundo lugar, este saber científico tem um componente criativo

muito grande, não é um simples estoque de procedimentos prontos

para serem aplicados a situações rotineiras. Esse aspecto criativo

aflora naturalmente, e se desenvolve, com a resolução de problemas

genuínos, cuidadosamente adequados ao desenvolvimento cognitivo

e à escolaridade do aluno.

Em geral, o ensino de Matemática por competências vem

associado a outros princípios metodológicos. Entre esses, destaca-se

o que preconiza o estabelecimento de diversos tipos de articulações.

Uma delas é a articulação entre os diferentes campos de

conteúdos mencionados anteriormente. É consensual entre os

educadores que, no ensino, os conteúdos matemáticos não sejam

isolados em campos estanques e auto-suficientes. Uma segunda

articulação que se faz necessário estabelecer é entre os vários

enfoques na abordagem de um mesmo conteúdo. Outra, também

15

importante, é aquela que se deve buscar estabelecer entre as

diversas representações de um mesmo conteúdo.

Os educadores matemáticos têm defendido a ideia de que os

conceitos relevantes para a formação matemática atual devem ser

abordados desde o início da escolarização. Isso valeria mesmo para

aqueles que podem atingir níveis elevados de complexidade, tais

como o de número racional, probabilidade, semelhança, simetria,

entre muitos outros. Tal ponto de vista apoia-se na concepção de que

a construção de um conceito pelas pessoas processa-se no decorrer

de um longo período, de estágios mais intuitivos aos mais

formalizados. Além disso, um conceito nunca é isolado, mas se

integra a um conjunto de outros conceitos por meio de relações, das

mais simples às mais complexas. Dessa maneira, não se deve

esperar que a aprendizagem dos conceitos e procedimentos se

realize de forma completa e num período curto de tempo. Por isso, ela

é mais efetiva quando os conteúdos são revisitados, de forma

progressivamente ampliada e aprofundada, durante todo o percurso

escolar. É preciso, então, que esses vários momentos sejam bem

articulados, em especial, evitando-se a fragmentação ou as

retomadas repetitivas.

Com o objetivo de favorecer a atribuição de significados aos

conteúdos matemáticos, dois princípios têm assumido particular

destaque no ensino atual: o da contextualização e o da

interdisciplinaridade. O primeiro deles estabelece a necessidade de o

ensino da Matemática estar articulado com as várias práticas e

necessidades sociais, enquanto o segundo defende um ensino aberto

para as inter-relaçõesentre a Matemática e as outras áreas do saber

científico ou tecnológico.

16

Além disso, convém observar que as contextualizações

artificiais, em que a situação apresentada é apenas um pretexto para

a obtenção de dados numéricos usados em operações pretensamente

baseadas no cotidiano, mas com aspectos totalmente irreais.

Outro rumo de reflexão é o que indaga sobre o papel do

ensino da Matemática na formação integral do aluno como cidadão da

sociedade contemporânea – sociedade na qual a convivência é cada

vez mais complexa e marcada por graves tensões sociais, produzidas

e mantidas por persistentes desigualdades no acesso de todo cidadão

a bens e serviços, a informações e tecnologia, e às esferas de

decisão política. O ensino de Matemática pode contribuir bastante

para a formação de cidadãos críticos e responsáveis. Em primeiro

lugar, constituindo-se em um ensino que considere todo aluno como

sujeito ativo de seu processo de aprendizagem; que reconheça os

seus conhecimentos prévios e extra-escolares; que incentive sua

autonomia e sua interação com os colegas. Em segundo lugar, sendo

um ensino que procure desenvolver competências matemáticas que

contribuam mais diretamente para auxiliar o aluno a compreender

questões sociais vinculadas, primeiramente, à sua comunidade e,

progressivamente, à sociedade mais ampla.

17

CAPÍTULO II

A Matemática na escola, alguns problemas e

suas causas.

“A educação precisa justificar- se realçando o entendimento humano”.

Howard Gardner, p. 66, 1980.

A ausência no ensino da Matemática analisa a dificuldade de

aprendizagem da Matemática e a situação do profissional dessa

disciplina. Dessa maneira, busca-se um ensino de uma forma mais

dinâmica que possibilite ao aluno enxergar a Matemática como uma

ferramenta auxiliar na resolução dos seus problemas cotidianos,

tornando dessa forma o seu conhecimento (e não apenas o

aprendizado suficiente para promoção de séries) ao mesmo tempo útil

e necessário. Assim, a educação matemática através de seus

resultados de pesquisas, especialmente em sala de aula, se propõe a

indicar propostas pedagógicas buscando contribuir para uma melhor

compreensão dos processos de ensino e aprendizagem da

Matemática visando uma melhoria no seu ensino. Neste contexto, um

aspecto importante a ser discutido é a reconhecida dificuldade que os

alunos da Educação Básica têm em relação a aprendizagem da

disciplina, o que remete a necessidade e análise profunda da questão

e de como os cursos de Licenciatura em Matemática, podem

capacitar os futuros professores de modo que promovam de forma

significativa, o aprendizado desta disciplina.

Até que ponto, tais alterações formam um professor de

Matemática voltado tanto para o desenvolvimento das competências

técnicas, como para o seu compromisso – ético com a sociedade na

qual atua?

18

Segundo o professor Roberto Markarian pode-se resumir a

explicação do porquê de a disciplina ser motivo de tantas

preocupações para alunos, professores e pais, nos seguintes três

aspectos:

• O subdesenvolvimento

Em nações onde a aplicação criativa do conhecimento para o

desenvolvimento de novas tecnologias não constitui parte da

mentalidade dominante, é difícil aumentar o prestígio e o

reconhecimento das ciências básicas, necessárias para tais

desenvolvimentos.

• A Matemática é difícil

A abstração das propriedades quantitativas ou geométricas

que caracterizam as primeiras noções estudadas no curso de

Matemática constitui um processo de complicada assimilação.

Pequenos erros nesse processo tornam muito difíceis a assimilação

de novos conceitos e procedimentos, gerando grandes traumas

futuros. Por outro lado, a memorização de uma nomenclatura

diferente e muito precisa introduz componentes que não são usuais

na vida diária. Por sua vez, tais formas de pensar, de poder

“desmaterializar” os objetos, é parte de nossa relação com a natureza,

o que nos diferencia de outros animais avançados. A compreensão de

propriedades globais de objetos que nos são apresentados não se faz

por mera acumulação. Faz-se por reordenação, por associação de

semelhanças, que são parte fundamental do conhecimento

matemático.

• O ensino da matemática é problemático

O grave problema do ensino da Matemática não é

exclusividade dessa disciplina. Atualmente admite-se que todo o

sistema educacional está em crise. Que a velocidade das mudanças

nos grandes e pequenos processos introduziu imensas dificuldades

19

na sistematização do conhecimento e, portanto, em sua divulgação e

ensino. Sem ser muito rigoroso, pode-se dizer que a interação aluno-

docente que caracteriza o aprendizado dá-se sobre a base do estado

atual do conhecimento e estão fortemente influenciadas pelos

interesses de ambas as partes.

O valor acumulativo do conhecimento matemático é um

aspecto particularmente sentido pelos docentes dos ciclos superiores,

a aceitação e compreensão das dificuldades da Matemática e, por sua

vez, da necessidade de sua aplicação são básicas para poder

analisar o problema do ensino da Matemática em nível alto e com

competência.

20

CAPÍTULO III

O LIVRO DIDÁTICO

O livro didático contribui para o processo de ensino –

aprendizagem como um interlocutor que dialoga com o professor e

com o aluno, Nesse diálogo, tal texto é portador de uma perspectiva

sobre o saber a ser estudado e sobre o modo de se conseguir

aprendê-lo mais eficazmente.

No que diz respeito ao professor, o livro didático

desempenha, entre outras, as importantes funções de:

• Auxiliar no planejamento e na gestão das aulas, seja

pela explanação de conteúdos curriculares, seja pelas atividades,

exercícios e trabalhos propostos;

• Favorecer a aquisição dos conhecimentos, assumindo o

papel de texto de referência;

• Favorecer a formação didática- pedagógica;

• Auxiliar na avaliação da aprendizagem do aluno.

É preciso observar, no entanto, que as possíveis funções que

um livro didático pode exercer não se tornam realidade, caso não se

leve em conta o contexto em que ele é utilizado. Em outras palavras,

as funções acima referidas são históricas e socialmente situadas e,

assim, sujeitas a limitações e contradições. Por isso, tanto na escolha

quanto no uso do livro, o professor tem o papel indispensável de

observar a adequação desse instrumento didático à sua própria

pedagógica, ao seu aluno ao projeto político-pedagógico de sua

escola.

21

Vale ressaltar, ainda, que o livro didático é recurso auxiliar no

processo de ensino- aprendizagem e não pode, portanto, ocupar o

papel dominante nesse processo. Assim, cabe ao professor manter-se

atento para que sua autonomia pedagógica não seja comprometida.

Não é demais insistir que, apesar de toda a sua importância, o livro

didático não deve ser o único suporte de trabalho pedagógico do

professor. É sempre desejável buscar complementá-lo, seja para

ampliar suas informações e as atividades nele propostas ou contornar

suas deficiências, seja para adequá-lo ao grupo de alunos que o

utilizam. Mas amplamente é preciso levar em consideração as

especificidades sociais e culturais da comunidade em que o livro é

utilizado, para que o seu papel na formação integral do aluno seja

mais efetivo.

Essas são tarefas em que o professor é insubstituível, entre

tantas outras.

Segundo a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), a

Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e a Sociedade

Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC), no

Fórum nacional de Licenciatura em Matemática, as diretrizes

compõem um documento em que foi apresentada uma proposta que

não atende aos aspectos que estão diretamente ligados a “ideal”

formação de professores de Matemática. Dizem ainda que as

diretrizes propostas para os cursos de licenciatura contradizem as

Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN) para a formação de

professores da Educação Básica. Pode-se considerar então que as

propostas para a formação de professores Matemática, ainda não

atendem plenamente ás expectativas dos próprios formandos e da

sociedade em geral, pois mesmo com as alterações na estrutura

curricular dos cursos bem como no estabelecimento das

22

competências que devem ser desenvolvidas nos futuros professores,

ainda enfrentamos problemas no que diz respeito ao estudo das

propostas feitas pelos estudiosos desta área.

23

CAPÍTULO IV

AS MULHERES QUE CONTRIBUIRAM PARA A

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.

“O simples aspecto da mulher revela que ela não é destinada nem

aos grandes trabalhos intelectuais, nem aos grandes trabalhos

materiais. Schopenhauer em As Dores do Mundo (Esboço acerca das

mulheres)”. (Daniel C. Morais Filho, 2004, pg. 186).

A história da matemática é tão antiga, que se mistura com a

história da humanidade e não temos relatos, ou pelo menos os livros

não relatam a contribuição feminina nessa ciência.

O objetivo desse capítulo é mostrar que na Matemática não

existe somente homens importantes e sim mulheres que fizeram um

grande marco na história matemática e que enfrentaram dificuldades,

onde superaram todas as barreiras com coragem, talento e

genialidade superior.

Através de uma ordem cronológica, estarei apresentando as

contribuições significativas dessas mulheres:

Contribuição feminina com a ciência da matemática na

antiguidade, vencendo todos os preconceitos e diversidades:

Hipatia de Alexandria

24

Conhecida como a primeira mulher matemática, Hipatia (370-

415 D.C.) também foi filósofa, cientista e erudita. Nascida em

Alexandria, foi criada por seu pai Teon, pois sua mãe morrera

enquanto ela ainda era bebê. Professor universitário de matemática e

importante astrônomo, ele supervisionou todos os aspectos da

educação de Hipatia. Sob sua tutela, ela estudava matemática,

ciência, literatura, filosofia e artes, e ainda praticava vigorosos

exercícios diários com ele.

Depois de frequentar uma escola em Atenas em que Plutarco

(46-120 D.C.) lecionava, Hipatia voltou a Alexandria e se tornou

professora da universidade, onde se diz que ela ocupou a cadeira de

filosofia platônica. Hipatia era considerada um tipo de oráculo, e

alunos de diversas partes do país ia a Alexandria para assistir às suas

palestras inspiradoras sobre matemática e para estudar com ela.

Quase tudo o que se sabe sobre Hipatia vem das cartas que ela

escreveu para um de seus alunos, Sinesius de Cirene, da Grécia, que

posteriormente em 411, se tornou bispo de Ptolomaida. Hipatia

25

sugeriu que Sinesius medisse as posições das estrelas e dos planetas

com um astrolábio e um planisfério, instrumentos astronômicos que

ela havia projetado.

Acredita-se que Hipatia, que manteve as tradições religiosas

da Grécia apesar de o cristianismo ser a fé dominante em Alexandria,

tenha sido vítima de uma disputa de poder entre seu amigo Orestes, o

prefeito romano do Egito, e Cirilo, o patriarca cristão de Alexandria,

que se comprometera a eliminar aquilo que ele considerava crenças

religiosas heréticas. Inflamada por Cirilo, uma multidão a raptou e a

assassinou em 415 D.C.

Alguns historiadores consideram a morte de Hipatia o marco

do fim da era dourada da matemática grega. Duzentos anos mais

tarde, Alexandria foi destruída pelos árabes, pondo fim à tradição

acadêmica de mil anos da Universidade de Alexandria.

Do Século V ao Século XVIII

Convêm ressaltar, entretanto, que durante esse período,

mulheres colaboraram em cálculos astronômicos e vários

matemáticos famosos, tais como Viète, Descartes e Leibniz, foram

convidados para serem professores de algumas nobres em suas

cortes.

Após a morte de Hipatia existe um vazio secular em que o

nome de nenhuma mulher teve seu nome registrado na história da

Matemática.

26

Século XVIII

Maria Gaetana Agnesi

Nascida em Milão, primeira dos vinte e um filhos dos três

casamentos de seu pai, a talentosa e erudita Maria Gaetana Agnesi

se notabilizou em muitas áreas, além da matemática. Bastante

criança ela já dominava o latim, o grego, o hebreu, o francês, o

espanhol, o alemão e vário outras línguas.

Com apenas nove anos de idade teve um discurso publicado

seu em latim em que defendia a educação superior para as mulheres.

Durante sua infância, o pai, um professor de matemática da

Universidade de Bolonha, comprazia-se em receber a intelectualidade

local para ver Maria conversar com doutos professores, sobre os

assuntos que preferissem e em suas línguas. Posteriormente, quando

tinha vinte anos, publicou Propositiones philosophicae, uma coletânea

de 190 ensaios que, além da matemática, se ocupavam de lógica,

mecânica, hidromecânica, elasticidade, gravitação, mecânica celeste,

27

química, botânica zoologia e mineração. Esses ensaios resultaram

das discussões nas tertúlias em casa de seu pai. Em 1749 Agnesi foi

designada pelo Papa Benedito XIV, membro honorário da

Universidade de Bolonha, mas jamais foi professora dessa instituição,

ao contrário do que contam certas narrações imprecisas.

Em 1748, com trinta anos, Agnesi publicou um trabalho em

dois volumes, intitulado Instituzioni Analitiche, escrito com a finalidade

de servir na formação de um de seus irmãos mais novos que revelava

interesse e aptidão para a matemática. O trabalho constitui um curso

de matemática elementar e avançado estruturado especialmente para

espíritos jovens, O primeiro volume se ocupa de aritmética, álgebra,

trigonometria, geometria analítica e, principalmente, cálculo, tratando-

se do primeiro texto de cálculo escrito primariamente para jovens. O

segundo volume trata de séries infinitas e equações diferenciais. Este

volume foi escrito em italiano e, posteriormente, em inglês.

Com a morte de seu pai, Agnesi agregou-se a uma vida de

exclusão, dedicando o resto de sua vida à caridade e o ensino

religioso e diretora de uma escola em Milão. Durante Sua vida, ela

não só ganhou fama pela matemática como também como pela

filosofia, mas também como sonâmbula! Em alguns acontecimentos,

ela, em estado de sonambulismo, acendia uma lâmpada prosseguia

seus estudos e ao acordar, encontrava seus problemas resolvidos.

Infelizmente Agnesi, que muitos nem imaginam ser uma

mulher, ficou apenas conhecida por uma curva de terceiro grau, que

leva seu nome, a chamada “Curva de Agnesi”.

Sophie Germain

Nasceu alguns

sem participar ativam

provocou sua própria

significativos avanços

Aos 13 anos e

sua segurança no ano

biblioteca do pai, ent

conheceu a história d

então velhinho morad

pensamentos e rascu

romanos (que deveria

deu-lhe ordens. Como

Arquimedes não o

Sophie Germain ficou

homem ignorar orde

pensamentos? No mín

ser interessantíssimo

no inspirador: a Matem

inapropriado para uma

alguns anos antes da Revolução Francesa e,

ativamente dos acontecimentos políticos da

rópria revolução: uma revolução feminina que

nços na Matemática e na Física.

nos e confinada em casa pelos pais, que tem

o ano da Queda da Bastilha, Sophie aventuro

então diretor do Banco da França. Na bib

tória de Arquimedes. Conta-se que Arquimed

morador de Siracusa, estava na praia ime

rascunhos de algum problema na areia. S

everiam protegê-lo!) invadiram a praia e um

Como estava desenhando seus raciocínios n

o obedeceu e então o soldado o

ficou impressionadíssima. Afinal, como pod

ordens de um soldado por estar perd

o mínimo, o objeto de estudo de Arquimedes

simo e então, Sophie iniciou seus estudos s

Matemática. Obviamente, os pais de Sophie a

a uma mulher estudar (afinal, que homem se

28

sa e, mesmo

s da época,

a que trouxe

e temiam por

enturou-se na

Na biblioteca,

uimedes, um

a imerso em

ia. Soldados

e um deles

nios na areia,

o matou.

o poderia um

perdido em

edes deveria

dos seguindo

phie achavam

m se casaria

29

com ela?) e tentaram persuadi-la a abandonar os estudos. Mas, como

uma boa adolescente, Sophie contrariou os pais e começou a estudar

a noite, escondida. Conformados de que a matemática era seu

talento, os pais de Sophie a incentivaram.

Com 18 anos, no ano de 1794, foi fundada em Paris a Ecole

Polytechnique, que pretendia "treinar matemáticos e cientistas para a

nação". Obviamente, mulheres não eram aceitas. E, como sempre,

Sophie buscou uma maneira de estudar. Descobriu que um estudante

chamado Le Blanc tinha abandonado seus estudos e resolveu

interceptar sua correspondência. A partir de então, com o pseudônimo

de Le Blanc, Sophie pode trocar correspondências com outros

estudantes e iniciar seu estudo na Ecole Polytechnique. Joseph Louis

Lagrange, grande matemático da época, notou a rápida evolução de

Le Blanc, que passou de um medíocre aluno a um aluno excepcional

em pouco tempo. Quis então marcar uma reunião com o aluno, e

descobriu os planos de Sophie. Lagrange tornou-se a partir de então,

mentor, tutor e confidente de Sophie.

Em 1804, Sophie começou a se corresponder um excepcional

matemático alemão, chamado Carl Friedrich Gauss, ainda usando o

pseudônimo de Le Blanc, com medo de ser recusada por ser mulher.

Gauss e Le Blanc trocaram muitas cartas, até Sophie saber que

Napoleão pretendia invadir a Rússia. Sophie pediu a um general

amigo da família que resgatasse Gauss antes da invasão. Gauss ficou

imensamente feliz e quis saber quem era seu salvador. Foi então que

conheceu Sophie e descobriu que ela era Le Blanc, com quem ele se

correspondia. Gauss escreveu:

“But how to describe to you my admiration and

astonishment at seeing my esteemed

30

correspondent Monsieur Le Blanc

metamorphose himself into this illustrious

personage who gives such a brilliant example of

what I would find it difficult to believe. A taste for

the abstract sciences in general and above all

the mysteries of numbers is excessively rare:

one is not astonished at it: the enchanting

charms of this sublime science reveal only to

those who have the courage to go deeply into it.

But when a person of the sex which, according to

our customs and prejudices, must encounter

infinitely more difficulties than men to familiarize

herself with these thorny researches, succeeds

nevertheless in surmounting these obstacles and

penetrating the most obscure parts of them, then

without doubt she must have the noblest

courage, quite extraordinary talents and superior

genius. Indeed nothing could prove to me in so

flattering and less equivocal manner that the

attractions of this science, which has enriched

my life with so many joys, are not chimerical,

[than] the predilection with which you have

honored it.”

Sophie Germain contribuiu para o desenvolvimento de uma

prova para o Teorema de Fermat usando números primos; descobriu,

entre outras coisas, que, se p é um número primo, então 2p + 1

também é primo; trabalhou também na teoria da elasticidade.

Sophie Germain foi à primeira mulher a ser aceita da

Academia de Ciências de Paris. Além de Matemática, Sophie estudou

31

Química, Física, Geografia, História, Psicologia e publicou dois

volumes com seus trabalhos filosóficos. Ela continuou trabalhando em

Matemática e Filosofia até a sua morte, em 1831.

Século XIX

No final do século passado, à custa de árduos esforços, as

mulheres começaram a estudar Matemática regularmente em

algumas universidades e a obter os primeiros graus de Doutoras em

Matemática. Aos poucos os preconceitos foram sendo quebrados.

Entre as mulheres matemáticas que biografamos acima e as

de hoje, matemáticas profissionais, estão duas mulheres

extraordinárias que viveram entre o final do século passado e o

começo deste, verdadeiramente respeitadas como as “primeiras”

matemáticas: Sofia Kovalevskye Emmy Noether. Suas biografias são

admiráveis. E sobre isso, esperamos falar numa próxima vez.

Amalie Emmy Noether

32

Foi uma matemática e física alemã, uma das mais

importantes matemáticas no campo da Álgebra. Nasceu em de março

de em Erlange, Bavaria (Alemanha) e morreu em de abril de. Foi à

filha mais velha de uma família judia de quatro filhos. Filha de Max

Noether, professor matemático, e de Ida Kaufmann, de uma rica

família de Cologne, ambas as famílias de origem judia.

Embora nascida no final do século, sua obra matemática foi

realizada na primeira metade do século. Seu pai, Max Noether foi um

matemático ilustre da Universidade de Erlanger. Max Noether era um

algebrista, assim como Paul Gordan , também ligado à universidade e

amigo íntimo da família Noether. Por isso, não é de estranhar que

Emmy Noether, que estudou na Universidade, também se tornasse

algebrista. Sua tese de doutorado, sobre Sistemas Completos de

Invariantes para Formas Biquadradas Ternárias, foi defendida em sob

a orientação de Gordan e fez com que Emmy Noether ganhasse

notoriedade, de por seu trabalho em Álgebra Abstrata.

Um ano após sua aposentadoria em, Gordan foi sucedido por

Ernest Fischer, outro algebrista que trabalhava com teoria da

eliminação e teoria dos invariantes. Sua influência sobre Noether foi

grande e, sob sua orientação, sua preocupação passou dos aspectos

algorítmicos do trabalho de Gordan à abordagem axiomática de

Hilbert.

Estudou na Escola Höhere Töchter, em Erlangen onde

estudou alemão, inglês, francês, aritmético e lições de piano. Estudou

também inglês e francês e prestou exames oficiais no Estado de

Baviera, obtendo o certificado e tornando-se professora nas escolas

de meninas Bávaras. Obteve permissão para frequentar a

Universidade de Erlanger. Em 1903, passou no exame em Nürnberg e

33

foi para a Universidade de Göttingen. Estou com Blumenthal, Hilbert,

Klein e Minkowski. Em conseguiu permissão para se matricular em

Erlangen, o que até então era inédito para mulheres na Alemanha. Foi

orientada por Paul Gordan, e com uma tese sobre a teoria dos

invariantes aplicada ao teorema de Hilbert, chegou ao nível de PhD

em pela Universidade de Erlangen, mesmo em uma época em que

não era permitido que mulheres frequentassem universidade na

Alemanha.

Com sua reputação crescendo rapidamente pelas suas

publicações, em foi eleita para o Círculo Matemático de Palermo e, no

ano seguinte, foi convidada a participar do Deutsche Mathematiker

Vereinigung, fazendo parte da reunião anual da Sociedade em

Salzburg. Devido à sua condição feminina, somente após mais de dez

anos ela pôde ingressar nos quadros de Göttingen, graças à ajuda de

colegas como Hilbert, com quem ela publicou um catálogo com o

título de Seminário de física-matemática em, foi aprovada no exame

de habilitação, após superar objeções de parte da faculdade que se

opunha a aula de mulheres. "O que nossos militares pensarão",

argumentavam, "quando retornarem à universidade e verificarem que

têm de aprender aos pés de uma mulher?" David Hilbert ficou muito

irritado com a pergunta e respondeu: “Não vejo em que o sexo de um

candidato possa ser um argumento contra sua admissão como

Privatdozent”. “Afinal, o Conselho não é nenhuma casa de banhos”.

Publicou um artigo de fundamental importância para o

desenvolvimento da Álgebra Moderna, chamado Idealtheorie in

Ringbereichen. Em tornou-se professora, em caráter extraordinário,

de Göttingen e em foi professora do holandês B. L. Van der Waerden,

que publicou posteriormente Moderne Algebre, em dois volumes, com

a maior do segundo volume dedicado aos trabalhos de Amalie.

34

Colaborou com Helmut Hasse e Richard Brauer no trabalho sobre

álgebra não comutativa. Participou do Congresso Internacional de

Matemática de Bologna e também do de Zurique, no mesmo ano em

que ganhou o prêmio intitulado Alfred Ackermann-Teubner Memorial

Prize for the Advancement of Mathematical Knowledge.

Emigrou para os EUA, passando a trabalhar no Bryn Mawr College e

no Institute for Advanced Study, em Princeton, New Jersey.

Depois de dois anos, faleceu em Bryn Mawr, Pensylvania.

Seu trabalho sobre teoria dos invariantes foi usado por Albert Einstein

na formulação da Teoria da Relatividade. O teorema de Noether,

explica as conexões entre simetrias e as leis de conservação em

Física Teórica.

O teorema de Noether emparelha dois conceitos básicos da

Física, sendo um a invariância (simetria) da forma que uma lei física

toma em relação a qualquer transformação generalizada que preserva

o sistema de coordenadas (tanto a nível espacial como a nível

temporal), e sendo o outro a lei de conservação de uma quantidade

física.

Informalmente, podemos apresentar o teorema de Noether

dizendo que "Para cada simetria corresponde uma lei de conservação

e vice-versa”. Embora Noether deixasse a desejar como professora,

pedagogicamente falando, inspirou um grande número de alunos que,

também, deixariam suas pegadas no campo da Álgebra Abstrata.

Suas pesquisas sobre anéis abstratos e teoria dos ideais foram

particularmente no desenvolvimento da Álgebra Abstrata.

Nas cerimônias que se seguiram à sua morte, Emmy Noether

recebeu calorosos elogios de Albert Einstein. Alguém, certa vez,

35

referiu-se a ela como a filha de Marx Noether. Ao que Edmund

Landau replicou: "Marx Noether" foi o pai de Emmy Noether.

Em, fundou-se nos Estados Unidos a Association for Women in

Mathematics (aberta também ao sexo masculino) com o objetivo de

colocar homens e mulheres da matemática em pé de igualdade. Não

há nenhuma superioridade inerente aos homens no que tange o

raciocínio ou criatividade em matemática, como se nota hoje com o

rápido crescimento do número de mulheres entre os que praticam e

criam.

Ada Lovelace.

Filha legítima do poeta Lord Byron, nascida em Londres, na

Inglaterra, viveu uma vida modelo para as senhoras da corte inglesa

do começo do século XIX. Seu pai nunca a viu antes de completar o

primeiro ano.

Casada aos vinte anos, assumiu o nome do marido e o título

de condessa, tornando-se a Condessa de Lovelace, a Sra. Augusta

Ada King. E com o nome de Ada Lovelace entrou para a história como

a primeira programadora.

36

Durante um período de nove meses entre os anos de 1842 e

1843, Ada Lovelace criou um algoritmo para o cálculo da sequência

de Bernoulli usando a máquina analítica de Charles Babbage.

Ada foi uma das poucas pessoas que realmente entenderam

os conceitos envolvidos no projeto de Babbage e durante o processo

de tradução de uma publicação científica italiana sobre o projeto de

Babbage incluiu algumas notas de tradução que constituem o primeiro

programa escrito na história da humanidade.

Em 1980, o Departamento de Defesa dos EUA registrou a

linguagem de programação Ada, em sua homenagem.

Ada faleceu em Londres no dia 27 de Novembro de 1852,

aos 36 anos, de câncer de útero, deixando dois filhos e uma filha,

conhecida como Lady Anne Blunt. Em 1953, cem anos depois da sua

morte, a máquina analítica de Babbage foi redescoberta e seu projeto

e as notas de Ada entraram para história como o primeiro computador

e software, respectivamente.

Ficou conhecida como a primeira programadora de

computadores da História.

Um enigma proposto por Ada Lovelace

Essa mulher do século XIX (toda a sua vida decorreu durante

esse século) foi uma das mulheres mais sobressalentes da História da

Matemática, famosa, sobretudo pelos seus trabalhos com Charles

BABBAGE na invenção da sua máquina de calcular.

37

Certo dia, ao lhe perguntarem a idade, ela respondeu: “Se

trocarmos a ordem dos seus dois algarismos e elevarmos ao

quadrado, obtém-se justamente o ano em que estamos”.

Em que ano teve lugar esta conversa? Em que ano nasceu

Ada BYRON?

38

CAPÍTULO V

ÉTICA DOCENTE

“O prazer de ver todas as coisas que a nossa visão descobre não é

comparável à satisfação proporcionada pelo conhecimento daquelas

que encontramos por meio da filosofia; esse estudo é mais necessário

para regrar os nossos costumes e conduzir-nos por essa vida do que

o uso dos nossos olhos para orientar os nossos passos”.

René Descartes, in

Princípios da Filosofia.

A ética na visão de alguns docentes ainda não é muito

colocada em prática. Porém, é um tema de extrema relevância, visto

que os valores éticos defendidos pelo professor podem ser

determinantes para sua prática docente e, em consequência, para a

sociedade. Nesse sentido, o assunto não deve ser esgotado, mas

esclarecido, de maneira que os mestres possam ter plena consciência

do seu "fazer profissional“.

Mas o que é ética?

Ética é a ciência da moral, que estuda os comportamentos

morais do homem para com uma força metafísica e a sociedade, e

tem como finalidade garantir a integridade de um grupo através do

regime da conduta dos seus membros, de acordo com princípios de

conveniência geral. Segundo Isabel Baptista, doutoranda em filosofia

da educação pela faculdade de Letras da Universidade do Porto, a

ética pode ser entendida ainda, como “uma reflexão de caráter

filosófico sobre os princípios e valores que devem orientar o ser

39

humano- noções como o bem, o mal ou a justiça”. Ainda segundo a

autora, a moral significa

“uma formalização de normas de conduta que

terão de estar de acordo ou subordinadas àquilo

que entendemos por valores éticos, obrigando

no fundo, a considerar o primado da Ética sobre

a Moral”.

Analisados os conceitos de Ética e Moral, cabe-nos a

seguinte reflexão:

Nós, enquanto docentes, temos a clareza de por que

educamos, porque atuamos e intervimos na sociedade e para que o

fazemos? Esta reflexão deveria fazer parte do cotidiano do professor

e dar suporte para todo o fazer pedagógico, até por que a mesma é

norteadora da sociedade que desejamos construir.

Cabe salientar que a ética na sociedade é uma referência

no mundo dos direitos, mas também no mundo dos deveres

profissionais na medida em que através dela definimos ideias,

valores, modos de estar e, essencialmente, modos de ser. Ou seja, a

ética deverá ser um vetor fundamental na identidade dos

profissionais. É impensável que um profissional se defina apenas

como um técnico e se esqueça do por que do seu saber fazer,

especialmente quando trabalha com outros, com a sociedade e para a

sociedade.

Segundo Monti, Schroeder e Mecking “a ética no exercício

profissional é fundamental e o professor deve assumir este

compromisso para que sejam estabelecidas relações de respeito em

40

seu ambiente de trabalho”. Observamos no cotidiano escolar,

situações que causam certos constrangimentos e que podem

comprometer a eficiência e eficácia do processo ensino-

aprendizagem. Situações tais como:

• Discutir assuntos que particularmente dizem respeito a

alunos, em locais inadequados, como corredores, pátios, banheiros,

cantina, ônibus, etc.

• Rotular alunos (este é comprometido, interessado,

aquele não);

• Incoerência de atitudes do professor com aquelas

cobradas dos alunos (faça o que eu digo, mas não faça o que eu

faço);

• Falta de comprometimento do professor com o seu papel

de educador. Atitudes simples no dia a dia do professor são

demonstrações de ética profissional e consequentemente são

refletidas nas atitudes dos alunos, são elas:

• Respeito à origem, raça, credo, sexo, cor e idade de

todos que o rodeiam;

• Tratar assuntos relativos aos alunos com discrição e em

locais adequados, nos quais os discentes não sejam expostos a

conclusões errôneas por parte de pessoas que desconheçam a

íntegra dos assuntos;

• Manter sigilo quando se trata de assunto que possa

expor os alunos a situações constrangedoras;

• Manter coerência nas suas atitudes com aquelas

cobradas dos alunos.

Assim, ao perceber qualquer problema com seus alunos na

relação ensino-aprendizagem, o professor deve discutir com a equipe

41

pedagógica de sua escola, a forma mais adequada de solucioná-lo,

deixando o cargo de profissionais especializados o diagnóstico

devido. O educador, também deve estar consciente da importância de

seu papel como profissional da educação, principalmente por que ele

é o alicerce para o desenvolvimento pleno dos educandos e dos

valores ligados à cidadania dos seus alunos. A convivência

harmoniosa dos seres humanos é proveniente da conduta praticada

pelos mesmos, portanto, a ética é um dos fatores predominantes para

que se materialize uma educação consciente e eficiente. Mas vale

lembrar eu esse compromisso ético transcende aos alunos; há muito

que se discutir sobre ética docente, pois esta não é algo acabado, é

algo em permanente construção. Quando falamos em ética, falamos

de algo que deve contemplar o sentido plural dos valores, da

diversidade, do pensamento e da ação profissional. Os

conhecimentos Matemáticos devem estar associados à realidade da

sociedade, dando a esta disciplina, caráter fundamental na construção

de qualquer argumentação útil, não deixando se limitar apenas em

sala de aula.

A atividade lúdica está sempre ligada a conteúdos

matemáticos que são explorados e aprofundados em sala de aula

utilizando materiais de fácil acesso (canudos, cartolinas, jornais,

barbantes, etc.) ou explorando situações do cotidiano onde a

Matemática está presente.

A arte de resolver problemas, afirmava, muito

adequadamente, que para ensinar é preciso saber muito mais do que

ensina, é preciso conhecer sua matéria, ter interesse e entusiasmo

por ela.

42

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Matemática está presente na vida cotidiana de todo

cidadão, por vezes de forma explícita e por vezes de forma sutil. No

momento em que abrimos os olhos pela manhã e olhamos a hora no

despertador, estamos “lendo” na linguagem matemática, exercitando

nossa abstração e utilizando conhecimentos matemáticos que a

humanidade levou séculos para construir. É quase impossível abrir

uma página de jornal cuja compreensão não requeira certo

conhecimento matemático e um domínio mínimo da linguagem que

lhe é própria: porcentagens, gráficos ou tabelas são necessárias na

descrição e na análise da vários assuntos.

Na sociedade atual, a Matemática é cada vez mais solicitada

para descrever, modelar e resolver problemas nas diversas áreas da

atividade humana. Apesar de permear praticamente todas as áreas do

conhecimento, nem sempre é fácil (e, por vezes parece impossível)

mostrar ao estudante aplicações interessantes e realistas dos temas a

serem tratados ou motivá-los com problemas contextualizados.

O professor, quase sempre, não encontra ajuda ou apoio para

realizar essa tarefa de motivar e instigar o aluno relacionando a

Matemática com outras áreas de estudo e identificando, no nosso

cotidiano, a presença de conteúdos que são desenvolvidos em sala

de aula. Para isso, é importante compartilhar experiências que já

foram testadas na prática e é essencial que o professor tenha acesso

a textos de leitura acessível que ampliem seus horizontes e

aprofundem seus conhecimentos.

43

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

AMORIM, Tiago. Palestra: Ética Docente. Rio de Janeiro: Duque de

Caxias, Colégio Estadual Zumbi dos Palmares, em 19/ 04/ 2012.

ARAÚJO, Elizabeth de Melo Bonfin. Reforma Universitária: suas

causas e consequências In. São Paulo: Ibrasa, 1984.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática.

(Coleção Perspectivas em Educação Matemática). Campinas, SP:

Papirus, 1996.

___________________. Da realidade à ação: reflexões sobre

educação e matemática. São Paulo: Campinas: Summus / Unicamp,

1986.

Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa. 11ª Edição. 9º triagem.

Editora Gamma: Rio de Janeiro, 1982.

HELLMEISTER, Ana Catarina. Explorando o Ensino da Matemática:

Artigos: volume I. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de

Educação Básica, 2004.

Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Brasília, MEC-

SEF.

PÓLYA, G. (1981). Mathematical Discovery: On Understanding,

learning, and teaching Problem Solving. New York: John Wiley and

Sons.

44

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http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap2.pdf, acesso em 10/05/2012

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf, acesso em 10/05/2012

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap4.pdf, acesso em 10/05/2012

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap5.pdf, acesso em 10/05/2012

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap6.pdf, acesso em 10/05/2012

45

BIBLIOGRAFIA CITADA

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Edgard Blucher/ Edusp, 1974.

Revista do Professor de Matemática. São Paulo: Sociedade Brasileira

de Matemática (SBM), 1982-1998. V.1 a 36.

Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade

Brasileira de Matemática (SBM), 1993. 14 volumes.